Formulieren Sie eine Regel zum Lösen einfacher Exponentialgleichungen. Exponentialgleichungen

Formulieren Sie eine Regel zum Lösen einfacher Exponentialgleichungen. Exponentialgleichungen
22.09.2019

Was ist eine Exponentialgleichung? Beispiele.

Also eine Exponentialgleichung... Ein neues einzigartiges Exponat in unserer allgemeinen Ausstellung einer Vielzahl von Gleichungen!) Wie fast immer ist das Schlüsselwort eines neuen mathematischen Begriffs das entsprechende Adjektiv, das ihn charakterisiert. So ist es hier. Das Schlüsselwort im Begriff „Exponentialgleichung“ ist das Wort "indikativ". Was bedeutet das? Dieses Wort bedeutet, dass das Unbekannte (x) lokalisiert ist in Bezug auf alle Abschlüsse. Und nur dort! Das ist äußerst wichtig.

Zum Beispiel diese einfachen Gleichungen:

3 x +1 = 81

5 x + 5 x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

Oder sogar diese Monster:

2 sin x = 0,5

Bitte achten Sie sofort auf eine wichtige Sache: Gründe dafür Grad (unten) – nur Zahlen. Aber in Indikatoren Grad (oben) – eine Vielzahl von Ausdrücken mit einem X. Absolut beliebig.) Alles hängt von der konkreten Gleichung ab. Wenn plötzlich x neben dem Indikator an einer anderen Stelle in der Gleichung auftaucht (z. B. 3 x = 18 + x 2), dann ist eine solche Gleichung bereits eine Gleichung gemischter Typ. Für solche Gleichungen gibt es keine klaren Regeln zu ihrer Lösung. Daher werden wir sie in dieser Lektion nicht berücksichtigen. Zur Freude der Studierenden.) Hier betrachten wir nur Exponentialgleichungen in ihrer „reinen“ Form.

Generell gilt, dass nicht alle und nicht immer auch reine Exponentialgleichungen eindeutig lösbar sind. Aber unter all der Vielfalt an Exponentialgleichungen gibt es bestimmte Arten, die gelöst werden können und sollten. Es sind diese Arten von Gleichungen, die wir betrachten werden. Und die Beispiele werden wir auf jeden Fall lösen. Also machen wir es uns bequem und los geht’s! Wie bei Computer-Shootern verläuft unsere Reise durch Level. Von einfach bis einfach, von einfach bis mittel und von mittel bis komplex. Unterwegs erwartet Sie auch ein geheimes Level – Techniken und Methoden zur Lösung nicht standardmäßiger Beispiele. Jene, über die man in den meisten Schulbüchern nichts liest... Nun ja, und am Ende erwartet einen natürlich der Endgegner in Form von Hausaufgaben.)

Level 0. Was ist die einfachste Exponentialgleichung? Einfache Exponentialgleichungen lösen.

Schauen wir uns zunächst einige grundlegende Dinge an. Irgendwo muss man doch anfangen, oder? Zum Beispiel diese Gleichung:

2 x = 2 2

Auch ohne Theorien, nach einfacher Logik und gesunder Menschenverstand Es ist klar, dass x = 2. Es gibt keinen anderen Weg, oder? Keine andere Bedeutung von X ist geeignet... Und nun richten wir unsere Aufmerksamkeit darauf Protokoll der Entscheidung diese coole Exponentialgleichung:

2 x = 2 2

X = 2

Was ist mit uns passiert? Und Folgendes geschah. Wir haben es tatsächlich genommen und... einfach die gleichen Basen (zwei) weggeworfen! Völlig rausgeworfen. Und die gute Nachricht ist: Wir haben ins Schwarze getroffen!

Ja, in der Tat, wenn es in einer Exponentialgleichung links und rechts gibt das gleiche Zahlen in beliebigen Potenzen, dann können diese Zahlen verworfen werden und einfach die Exponenten gleichgesetzt werden. Die Mathematik erlaubt es.) Und dann können Sie separat mit den Indikatoren arbeiten und eine viel einfachere Gleichung lösen. Großartig, oder?

Hier ist die Schlüsselidee zum Lösen jeder (ja, genau jeder!) Exponentialgleichung: mit Hilfe Identitätstransformationen Es ist darauf zu achten, dass links und rechts in der Gleichung übereinstimmen das gleiche Basiszahlen in verschiedenen Potenzen. Und dann können Sie sicher die gleichen Basen entfernen und die Exponenten gleichsetzen. Und arbeiten Sie mit einer einfacheren Gleichung.

Erinnern wir uns nun an die eiserne Regel: Es ist nur dann möglich, identische Basen zu entfernen, wenn die Zahlen links und rechts von der Gleichung Basiszahlen haben in stolzer Einsamkeit.

Was bedeutet es, in herrlicher Isolation? Das heißt ohne Nachbarn und Koeffizienten. Lassen Sie mich erklären.

Beispielsweise in Gl.

3 3 x-5 = 3 2 x +1

Dreier können nicht entfernt werden! Warum? Denn auf der linken Seite haben wir nicht nur einen einsamen Dreier, sondern arbeiten 3·3 x-5 . Eine zusätzliche Drei stört: der Koeffizient, verstehen Sie.)

Das Gleiche lässt sich über die Gleichung sagen

5 3 x = 5 2 x +5 x

Auch hier sind alle Basen gleich – fünf. Aber auf der rechten Seite haben wir keine einzige Fünferpotenz, sondern eine Summe von Potenzen!

Kurz gesagt, wir haben nur dann das Recht, identische Basen zu entfernen, wenn unsere Exponentialgleichung so und nur so aussieht:

AF (X) = ein g (X)

Diese Art von Exponentialgleichung heißt das einfachste. Oder, wissenschaftlich gesehen, kanonisch . Und egal, welche komplizierte Gleichung wir vor uns haben, wir werden sie auf die eine oder andere Weise auf genau diese einfachste (kanonische) Form reduzieren. Oder in manchen Fällen auch Gesamtheit Gleichungen dieser Art. Dann kann unsere einfachste Gleichung in allgemeiner Form wie folgt umgeschrieben werden:

F(x) = g(x)

Und alle. Dies wäre eine gleichwertige Konvertierung. In diesem Fall können f(x) und g(x) absolut beliebige Ausdrücke mit einem x sein. Was auch immer.

Vielleicht wird sich ein besonders neugieriger Student fragen: Warum um alles in der Welt verwerfen wir so einfach und einfach die gleichen Basen links und rechts und setzen die Exponenten gleich? Intuition ist Intuition, aber was ist, wenn sich dieser Ansatz in irgendeiner Gleichung und aus irgendeinem Grund als falsch herausstellt? Ist es immer legal, die gleichen Gründe wegzuwerfen? Leider gibt es hierfür keine strenge mathematische Antwort Interesse Fragen Sie müssen ziemlich tief und ernsthaft eintauchen allgemeine Theorie Geräte- und Funktionsverhalten. Und etwas konkreter – im Phänomen strenge Monotonie. Insbesondere strenge Monotonie Exponentialfunktion j= ein x. Da es sich um die Exponentialfunktion und ihre Eigenschaften handelt, die der Lösung von Exponentialgleichungen zugrunde liegen, ja.) Eine detaillierte Antwort auf diese Frage wird in einer separaten Speziallektion gegeben, die der Lösung komplexer nicht standardmäßiger Gleichungen unter Verwendung der Monotonie verschiedener Funktionen gewidmet ist.)

Diesen Punkt jetzt im Detail zu erklären, würde den Durchschnittsstudenten nur umhauen und ihn mit einer trockenen und schweren Theorie vorzeitig abschrecken. Ich werde das nicht tun.) Weil unser Haupt dieser Moment Aufgabe - Lernen Sie, Exponentialgleichungen zu lösen! Die einfachsten! Machen wir uns deshalb noch keine Sorgen und werfen wir mutig die gleichen Gründe weg. Das Kann, glauben Sie mir!) Und dann lösen wir die äquivalente Gleichung f(x) = g(x). In der Regel einfacher als die ursprüngliche Exponentialfunktion.

Es wird natürlich davon ausgegangen, dass die Leute bereits wissen, wie man mindestens , und Gleichungen ohne x in Exponenten löst.) Wer noch nicht weiß, wie, kann diese Seite gerne schließen, den entsprechenden Links folgen und ausfüllen die alten Lücken. Sonst wirst du es schwer haben, ja...

Ich spreche nicht von irrationalen, trigonometrischen und anderen brutalen Gleichungen, die auch im Prozess der Fundamentbeseitigung entstehen können. Aber seien Sie nicht beunruhigt, wir werden die reine Grausamkeit vorerst nicht anhand von Graden betrachten: Es ist noch zu früh. Wir werden nur die einfachsten Gleichungen trainieren.)

Schauen wir uns nun Gleichungen an, die einen zusätzlichen Aufwand erfordern, um sie auf das einfachste zu reduzieren. Der Unterscheidung halber nennen wir sie einfache Exponentialgleichungen. Also, lasst uns zum nächsten Level übergehen!

Level 1. Einfache Exponentialgleichungen. Lasst uns die Abschlüsse erkennen! Natürliche Indikatoren.

Die wichtigsten Regeln zum Lösen von Exponentialgleichungen sind: Regeln für den Umgang mit Abschlüssen. Ohne dieses Wissen und diese Fähigkeiten wird nichts funktionieren. Ach. Wenn es also Probleme mit den Abschlüssen gibt, dann sind Sie zunächst herzlich willkommen. Darüber hinaus benötigen wir auch . Diese Transformationen (zwei davon!) sind die Grundlage für die Lösung aller mathematischen Gleichungen im Allgemeinen. Und nicht nur demonstrative. Wer es also vergessen hat, schaut sich auch den Link an: Ich stelle sie nicht einfach da rein.

Aber Operationen mit Kräften und Identitätstransformationen allein reichen nicht aus. Persönliche Beobachtungsgabe und Einfallsreichtum sind ebenfalls erforderlich. Wir brauchen die gleichen Gründe, nicht wahr? Also untersuchen wir das Beispiel und suchen nach ihnen in expliziter oder verschleierter Form!

Zum Beispiel diese Gleichung:

3 2 x – 27 x +2 = 0

Erster Blick darauf Gründe. Sie sind anders! Drei und siebenundzwanzig. Aber für Panik und Verzweiflung ist es noch zu früh. Es ist Zeit, sich daran zu erinnern

27 = 3 3

Die Nummern 3 und 27 sind graduell verwandt! Und nahestehende.) Deshalb haben wir jedes Recht zu schreiben:

27 x +2 = (3 3) x+2

Lassen Sie uns nun unser Wissen über verbinden Aktionen mit Graden(Und ich habe dich gewarnt!). Da gibt es eine sehr nützliche Formel:

(a m) n = a mn

Wenn Sie es jetzt in die Tat umsetzen, funktioniert es großartig:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3(x +2)

Das Originalbeispiel sieht nun so aus:

3 2 x – 3 3(x +2) = 0

Großartig, die Grundlagen der Abschlüsse haben sich eingeebnet. Das ist es, was wir wollten. Die halbe Miete ist geschafft.) Jetzt starten wir die grundlegende Identitätstransformation – verschieben Sie 3 3(x +2) nach rechts. Niemand hat die elementaren Operationen der Mathematik aufgehoben, ja.) Wir erhalten:

3 2 x = 3 3(x +2)

Was gibt uns diese Art von Gleichung? Und die Tatsache, dass unsere Gleichung jetzt reduziert wird zur kanonischen Form: Links und rechts stehen die gleichen Zahlen (Dreier) in Potenzen. Darüber hinaus befinden sich beide drei in herrlicher Isolation. Entfernen Sie ruhig die Tripel und erhalten Sie:

2x = 3(x+2)

Wir lösen das und erhalten:

X = -6

Das ist es. Das ist die richtige Antwort.)

Lassen Sie uns nun über die Lösung nachdenken. Was hat uns in diesem Beispiel gerettet? Das Wissen um die Kräfte der Drei hat uns gerettet. Wie genau? Wir identifiziert Nummer 27 enthält eine verschlüsselte Drei! Dieser Trick (das Kodieren derselben Basis unter verschiedenen Zahlen) ist einer der beliebtesten bei Exponentialgleichungen! Es sei denn, es ist das beliebteste. Ja, und übrigens auch auf die gleiche Weise. Deshalb sind Beobachtung und die Fähigkeit, Potenzen anderer Zahlen in Zahlen zu erkennen, in Exponentialgleichungen so wichtig!

Praktische Ratschläge:

Sie müssen die Potenz populärer Zahlen kennen. In Gesicht!

Natürlich kann jeder zwei auf die siebte Potenz oder drei auf die fünfte Potenz erhöhen. Nicht in meinem Kopf, aber zumindest in einem Entwurf. Aber in Exponentialgleichungen ist es viel häufiger nicht notwendig, sie zu potenzieren, sondern im Gegenteil herauszufinden, welche Zahl und in welcher Potenz sich hinter der Zahl verbirgt, beispielsweise 128 oder 243. Und das ist komplizierter als einfaches Erhöhen, da werden Sie mir zustimmen. Spüren Sie den Unterschied, wie man so schön sagt!

Da die Fähigkeit, Abschlüsse anhand des Sehvermögens zu erkennen, nicht nur auf diesem, sondern auch auf den nächsten nützlich sein wird, ist hier eine kleine Aufgabe für Sie:

Bestimmen Sie, welche Potenzen und welche Zahlen die Zahlen sind:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Antworten (natürlich zufällig):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

Ja Ja! Seien Sie nicht überrascht, dass es mehr Antworten als Aufgaben gibt. Beispielsweise sind 2 8, 4 4 und 16 2 alle 256.

Level 2. Einfache Exponentialgleichungen. Lasst uns die Abschlüsse erkennen! Negative und gebrochene Indikatoren.

Auf diesem Niveau nutzen wir bereits unser Wissen über Studienabschlüsse voll aus. Wir beziehen nämlich negative und gebrochene Indikatoren in diesen faszinierenden Prozess ein! Ja Ja! Wir müssen unsere Macht steigern, oder?

Zum Beispiel diese schreckliche Gleichung:

Auch hier gilt der erste Blick den Grundlagen. Die Gründe sind unterschiedlich! Und dieses Mal sind sie einander nicht im Entferntesten ähnlich! 5 und 0,04... Und um die Basen zu eliminieren, werden dieselben benötigt... Was tun?

Macht nichts! Tatsächlich ist alles gleich, nur ist der Zusammenhang zwischen der Fünf und 0,04 optisch schlecht erkennbar. Wie können wir rauskommen? Kommen wir zur Zahl 0,04 als gewöhnlichem Bruch! Und dann, sehen Sie, wird alles gut.)

0,04 = 4/100 = 1/25

Wow! Es stellt sich heraus, dass 0,04 1/25 ist! Nun, wer hätte das gedacht!)

Und wie? Ist es jetzt einfacher, den Zusammenhang zwischen den Zahlen 5 und 1/25 zu erkennen? Das ist es...

Und nun nach den Handlungsregeln mit Abschlüssen mit negativer Indikator Kann mit ruhiger Hand aufschreiben:

Das ist großartig. Also kamen wir zur gleichen Basis – fünf. Jetzt ersetzen wir die unbequeme Zahl 0,04 in der Gleichung durch 5 -2 und erhalten:

Auch hier können wir gemäß den Regeln für Operationen mit Graden jetzt schreiben:

(5 -2) x -1 = 5 -2(x -1)

Für alle Fälle möchte ich Sie daran erinnern (falls es jemand nicht weiß), dass die Grundregeln für den Umgang mit Abschlüssen gelten beliebig Indikatoren! Auch für negative. Nehmen Sie also gerne die Indikatoren (-2) und (x-1) und multiplizieren Sie sie gemäß der entsprechenden Regel. Unsere Gleichung wird immer besser:

Alle! Außer einsamen Fünfern gibt es in den Mächten links und rechts nichts anderes. Die Gleichung wird auf die kanonische Form reduziert. Und dann - entlang der gerändelten Schiene. Wir entfernen die Fünfer und setzen die Indikatoren gleich:

X 2 –6 X+5=-2(X-1)

Das Beispiel ist fast gelöst. Übrig bleibt nur noch die Grundschulmathematik – öffnen Sie (richtig!) die Klammern und sammeln Sie alles auf der linken Seite ein:

X 2 –6 X+5 = -2 X+2

X 2 –4 X+3 = 0

Wir lösen dies und erhalten zwei Wurzeln:

X 1 = 1; X 2 = 3

Das ist alles.)

Jetzt lasst uns noch einmal darüber nachdenken. IN in diesem Beispiel wir mussten wieder dieselbe Zahl in unterschiedlichem Maße erkennen! Nämlich eine verschlüsselte Fünf in der Zahl 0,04 zu sehen. Und dieses Mal - in negativer Grad! Wie haben wir das gemacht? Auf Anhieb – auf keinen Fall. Aber nach dem Übergang von Dezimal 0,04 zum gemeinsamen Bruch 1/25 und das war’s! Und dann lief die ganze Entscheidung wie am Schnürchen.)

Daher noch ein grüner Praxistipp.

Wenn eine Exponentialgleichung Dezimalbrüche enthält, gehen wir von Dezimalbrüchen zu gewöhnlichen Brüchen über. IN gewöhnliche Brüche Es ist viel einfacher, Potenzen vieler beliebter Zahlen zu erkennen! Nach der Erkennung gehen wir von Brüchen zu Potenzen mit negativen Exponenten über.

Bedenken Sie, dass dieser Trick sehr, sehr oft in Exponentialgleichungen vorkommt! Aber die Person ist nicht im Thema. Er schaut zum Beispiel auf die Zahlen 32 und 0,125 und regt sich auf. Ohne dass er es wusste, ist dies ein und derselbe Zweier, nur in verschiedene Grade...Aber Sie sind schon beim Thema!)

Löse die Gleichung:

In! Es sieht nach stillem Horror aus... Doch der Schein trügt. Dies ist die einfachste Exponentialgleichung, auch wenn sie entmutigend ist Aussehen. Und jetzt werde ich es dir zeigen.)

Schauen wir uns zunächst alle Zahlen in den Basen und Koeffizienten an. Sie sind natürlich unterschiedlich, ja. Aber wir werden trotzdem ein Risiko eingehen und versuchen, sie zu schaffen identisch! Versuchen wir es zu erreichen die gleiche Anzahl in verschiedenen Potenzen. Darüber hinaus sind die Zahlen vorzugsweise so klein wie möglich. Beginnen wir also mit der Dekodierung!

Nun, bei den vier ist sofort alles klar – es ist 2 2. Okay, das ist schon etwas.)

Bei einem Bruchteil von 0,25 ist es noch unklar. Muss geprüft werden. Lassen Sie uns praktische Ratschläge nutzen – wechseln Sie von einem Dezimalbruch zu einem gewöhnlichen Bruch:

0,25 = 25/100 = 1/4

Schon viel besser. Denn jetzt ist deutlich zu erkennen, dass 1/4 2 -2 ist. Großartig, und die Zahl 0,25 entspricht auch zwei.)

So weit, ist es gut. Aber die schlechteste Zahl von allen bleibt – Quadratwurzel aus zwei! Was tun mit diesem Pfeffer? Kann es auch als Zweierpotenz dargestellt werden? Und wer weiß...

Nun, lasst uns noch einmal in unseren Wissensschatz über Abschlüsse eintauchen! Dieses Mal vernetzen wir zusätzlich unser Wissen über Wurzeln. Aus dem Kurs der 9. Klasse hätten Sie und ich lernen sollen, dass jede Wurzel, wenn gewünscht, immer in einen Abschluss umgewandelt werden kann mit einem Bruchindikator.

So:

In unserem Fall:

Wow! Es stellt sich heraus, dass die Quadratwurzel aus zwei 2 1/2 ist. Das ist es!

Das ist in Ordnung! Es stellte sich heraus, dass alle unsere unbequemen Nummern tatsächlich eine verschlüsselte Zwei waren.) Ich behaupte nicht, irgendwo sehr raffiniert verschlüsselt. Aber wir verbessern auch unsere Professionalität bei der Lösung solcher Chiffren! Und dann ist schon alles klar. In unserer Gleichung ersetzen wir die Zahlen 4, 0,25 und die Wurzel aus zwei durch Zweierpotenzen:

Alle! Die Basen aller Grade im Beispiel wurden gleich – zwei. Und jetzt werden Standardaktionen mit Graden verwendet:

Binein = Bin + N

a m:a n = a m-n

(a m) n = a mn

Für die linke Seite erhält man:

2 -2 ·(2 2) 5 x -16 = 2 -2+2(5 x -16)

Für die rechte Seite wird es sein:

Und jetzt sieht unsere böse Gleichung so aus:

Für diejenigen, die nicht genau herausgefunden haben, wie diese Gleichung zustande kam: Es geht hier nicht um Exponentialgleichungen. Die Frage betrifft Aktionen mit Abschlüssen. Ich habe Sie gebeten, es denjenigen, die Probleme haben, dringend zu wiederholen!

Hier ist die Ziellinie! Die kanonische Form der Exponentialgleichung wurde erhalten! Und wie? Habe ich Sie davon überzeugt, dass nicht alles so beängstigend ist? ;) Wir entfernen die Zweien und setzen die Indikatoren gleich:

Es bleibt nur noch die Lösung dieser linearen Gleichung. Wie? Natürlich mit Hilfe identischer Transformationen.) Entscheiden Sie, was los ist! Multiplizieren Sie beide Seiten mit zwei (um den Bruch 3/2 zu entfernen), verschieben Sie die Terme mit X nach links, ohne X nach rechts, bringen Sie ähnliche ein, zählen Sie – und Sie werden glücklich sein!

Es sollte alles schön werden:

X=4

Denken wir nun noch einmal über die Lösung nach. In diesem Beispiel hat uns der Übergang von geholfen Quadratwurzel Zu Grad mit Exponent 1/2. Darüber hinaus hat uns nur eine so raffinierte Transformation geholfen, überall die gleiche Basis (zwei) zu erreichen, was die Situation gerettet hat! Und wenn es das nicht gäbe, hätten wir jede Chance, für immer zu erstarren und diesem Beispiel nie gewachsen zu sein, ja...

Deshalb vernachlässigen wir nicht den nächsten praktischen Rat:

Wenn eine Exponentialgleichung Wurzeln enthält, gehen wir von Wurzeln zu Potenzen mit gebrochenen Exponenten über. Sehr oft klärt erst eine solche Transformation die weitere Situation.

Natürlich sind negative und gebrochene Potenzen viel komplizierter natürliche Grade. Zumindest was die visuelle Wahrnehmung und insbesondere die Erkennung von rechts nach links betrifft!

Es ist klar, dass die direkte Potenzierung von beispielsweise zwei auf -3 oder vier auf -3/2 kein so großes Problem darstellt. Für Kenner.)

Aber gehen Sie zum Beispiel und merken Sie das sofort

0,125 = 2 -3

Oder

Hier zählen nur Übung und reiche Erfahrung, ja. Und natürlich eine klare Vorstellung, Was ist ein negativer und gebrochener Grad? Und auch - praktische Ratschläge! Ja, ja, dieselben Grün.) Ich hoffe, dass sie Ihnen trotzdem dabei helfen, sich in der Vielfalt der Studienabschlüsse besser zurechtzufinden und Ihre Erfolgschancen deutlich erhöhen! Lassen Sie uns sie also nicht vernachlässigen. Ich bin nicht umsonst Grün Ich schreibe manchmal.)

Aber wenn Sie sich auch mit so exotischen Potenzen wie negativen und gebrochenen Potenzen kennenlernen, werden Ihre Fähigkeiten beim Lösen von Exponentialgleichungen enorm erweitert und Sie werden in der Lage sein, mit fast jeder Art von Exponentialgleichungen umzugehen. Wenn nicht, dann 80 Prozent aller Exponentialgleichungen – ganz sicher! Ja, ja, ich mache keine Witze!

Damit ist unser erster Teil unserer Einführung in Exponentialgleichungen zu seinem logischen Abschluss gekommen. Und als Zwischentraining schlage ich traditionell vor, ein wenig Selbstreflexion durchzuführen.)

Übung 1.

Damit meine Worte zur Entschlüsselung negativer und gebrochener Potenzen nicht umsonst sind, schlage ich vor, zu spielen ein kleines Spiel!

Drücken Sie Zahlen als Zweierpotenzen aus:

Antworten (in Unordnung):

Passiert? Großartig! Dann machen wir eine Kampfmission – lösen Sie die einfachsten und einfachsten Exponentialgleichungen!

Aufgabe 2.

Lösen Sie die Gleichungen (alle Antworten sind ein Durcheinander!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16 x+3 = 0

Antworten:

x = 16

X 1 = -1; X 2 = 2

X = 5

Passiert? Tatsächlich ist es viel einfacher!

Dann lösen wir das nächste Spiel:

(2 x +4) x -3 = 0,5 x 4 x -4

35 1-x = 0,2 - x ·7 x

Antworten:

X 1 = -2; X 2 = 2

X = 0,5

X 1 = 3; X 2 = 5

Und diese Beispiele sind noch übrig? Großartig! Du wächst! Dann finden Sie hier noch weitere Beispiele zum Knabbern:

Antworten:

X = 6

X = 13/31

X = -0,75

X 1 = 1; X 2 = 8/3

Und ist das entschieden? Na ja, Respekt! Ich ziehe meinen Hut.) Die Lektion war also nicht umsonst, und Erste Ebene Das Lösen von Exponentialgleichungen kann als erfolgreich gemeistert gelten. Die nächsten Level und mehr stehen bevor komplexe Gleichungen! Und neue Techniken und Ansätze. Und nicht standardmäßige Beispiele. Und neue Überraschungen.) All das steht in der nächsten Lektion!

Ist etwas schief gelaufen? Dies bedeutet, dass die Probleme höchstwahrscheinlich in liegen. Oder im . Oder beides gleichzeitig. Ich bin hier machtlos. Ich kann noch einmal nur eines empfehlen: Seien Sie nicht faul und folgen Sie den Links.)

Fortsetzung folgt.)

Beispiele:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

So lösen Sie Exponentialgleichungen

Wenn wir eine Exponentialgleichung lösen, streben wir danach, sie in die Form \(a^(f(x))=a^(g(x))\) zu bringen und dann zur Gleichheit der Exponenten überzugehen, das heißt:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Zum Beispiel:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Wichtig! Aus derselben Logik ergeben sich zwei Anforderungen für einen solchen Übergang:
- Zahl in links und rechts sollten gleich sein;
- die Grade links und rechts müssen „rein“ sein, das heißt, es sollte keine Multiplikation, Division usw. geben.


Zum Beispiel:


Um die Gleichung auf die Form \(a^(f(x))=a^(g(x))\) zu reduzieren, werden und verwendet.

Beispiel . Lösen Sie die Exponentialgleichung \(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Lösung:

\(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)

Wir wissen, dass \(27 = 3^3\). Unter Berücksichtigung dessen transformieren wir die Gleichung.

\(\sqrt(3^3)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)

Durch die Eigenschaft der Wurzel \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) erhalten wir, dass \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). Als nächstes erhalten wir unter Verwendung der Eigenschaft des Grades \((a^b)^c=a^(bc)\) \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).

\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)

Wir wissen auch, dass \(a^b·a^c=a^(b+c)\). Wenn wir dies auf die linke Seite anwenden, erhalten wir: \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\).

\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)

Denken Sie nun daran: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Diese Formel kann auch in verwendet werden Rückseite: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Dann ist \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).

\(3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)\)

Wenn wir die Eigenschaft \((a^b)^c=a^(bc)\) auf die rechte Seite anwenden, erhalten wir: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).

\(3^(x+0,5)=3^(-2x)\)

Und jetzt sind unsere Basen gleich und es gibt keine störenden Koeffizienten usw. Damit wir den Übergang schaffen können.

Beispiel . Lösen Sie die Exponentialgleichung \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\)
Lösung:

\(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\)

Wir verwenden wieder die Potenzeigenschaft \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) in die entgegengesetzte Richtung.

\(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\)

Denken Sie jetzt daran, dass \(4=2^2\).

\((2^2)^x·(2^2)^(0.5)-5·2^x+2=0\)

Unter Verwendung der Gradeigenschaften transformieren wir:
\((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\)
\((2^2)^(0,5)=2^(2 0,5)=2^1=2.\)

\(2·(2^x)^2-5·2^x+2=0\)

Wir schauen uns die Gleichung genau an und stellen fest, dass sich die Ersetzung \(t=2^x\) anbietet.

\(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\)

Wir haben jedoch die Werte von \(t\) gefunden und benötigen \(x\). Wir kehren zu den X zurück und führen eine umgekehrte Ersetzung durch.

\(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\)

Lassen Sie uns die zweite Gleichung mithilfe der negativen Potenzeigenschaft transformieren ...

\(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\)

...und wir entscheiden bis zur Antwort.

\(x_1=1\) \(x_2=-1\)

Antwort : \(-1; 1\).

Die Frage bleibt: Wie erkennt man, wann welche Methode anzuwenden ist? Dazu gehört Erfahrung. Bis Sie es bekommen, verwenden Sie es allgemeine Empfehlung für Lösungen komplexe Aufgaben- „Wenn Sie nicht wissen, was Sie tun sollen, tun Sie, was Sie können.“ Das heißt, suchen Sie nach einer Möglichkeit, die Gleichung im Prinzip umzuwandeln, und versuchen Sie es – was ist, wenn was passiert? Die Hauptsache ist, nur mathematisch basierte Transformationen durchzuführen.

Exponentialgleichungen ohne Lösungen

Schauen wir uns zwei weitere Situationen an, die Schüler oft verwirren:
- eine positive Zahl hoch ist gleich Null, zum Beispiel \(2^x=0\);
- Eine positive Zahl ist gleich einer Potenz einer negativen Zahl, zum Beispiel \(2^x=-4\).

Versuchen wir es mit roher Gewalt zu lösen. Wenn x eine positive Zahl ist, nimmt mit zunehmendem x die gesamte Potenz \(2^x\) nur zu:

\(x=1\); \(2^1=2\)
\(x=2\); \(2^2=4\)
\(x=3\); \(2^3=8\).

\(x=0\); \(2^0=1\)

Auch von. Es bleiben negative X übrig. Wir erinnern uns an die Eigenschaft \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\) und prüfen:

\(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\)
\(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\)
\(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\)

Obwohl die Zahl mit jedem Schritt kleiner wird, wird sie nie Null erreichen. Der negative Abschluss hat uns also nicht gerettet. Wir kommen zu einer logischen Schlussfolgerung:

Eine in jedem Grad positive Zahl bleibt eine positive Zahl.

Daher haben beide obigen Gleichungen keine Lösungen.

Exponentialgleichungen mit unterschiedlichen Grundlagen

In der Praxis stoßen wir manchmal auf Exponentialgleichungen mit unterschiedlichen Basen, die nicht aufeinander reduzierbar sind, und gleichzeitig mit den gleichen Exponenten. Sie sehen so aus: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), wobei \(a\) und \(b\) positive Zahlen sind.

Zum Beispiel:

\(7^(x)=11^(x)\)
\(5^(x+2)=3^(x+2)\)
\(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\)

Solche Gleichungen lassen sich leicht lösen, indem man durch eine beliebige Seite der Gleichung dividiert (normalerweise durch die rechte Seite dividiert, also durch \(b^(f(x))\). Sie können auf diese Weise dividieren, weil eine positive Zahl vorliegt ist positiv zu jeder Potenz (d. h. wir dividieren nicht durch Null) Wir erhalten:

\(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\)

Beispiel . Lösen Sie die Exponentialgleichung \(5^(x+7)=3^(x+7)\)
Lösung:

\(5^(x+7)=3^(x+7)\)

Hier werden wir nicht in der Lage sein, eine Fünf in eine Drei umzuwandeln oder umgekehrt (zumindest ohne die Verwendung). Das bedeutet, dass wir nicht zur Form \(a^(f(x))=a^(g(x))\ kommen können. Die Indikatoren sind jedoch dieselben.
Teilen wir die Gleichung durch die rechte Seite, also durch \(3^(x+7)\) (wir können dies tun, weil wir wissen, dass drei zu keinem Grad null sein wird).

\(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\)

Merken Sie sich nun die Eigenschaft \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) und verwenden Sie sie von links in die entgegengesetzte Richtung. Rechts reduzieren wir einfach den Bruch.

\((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\)

Es scheint, dass die Dinge nicht besser geworden sind. Aber denken Sie an eine weitere Potenzeigenschaft: \(a^0=1\), mit anderen Worten: „Jede Zahl hoch zur Nullpotenz ist gleich \(1\).“ Das Umgekehrte gilt auch: „Eins kann als jede beliebige Zahl hoch null dargestellt werden.“ Machen wir uns dies zunutze, indem wir die Basis rechts und links gleich gestalten.

\((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\)

Voila! Lasst uns die Basen loswerden.

Wir schreiben eine Antwort.

Antwort : \(-7\).


Manchmal ist die „Gleichheit“ von Exponenten nicht offensichtlich, aber der geschickte Einsatz der Eigenschaften von Exponenten löst dieses Problem.

Beispiel . Lösen Sie die Exponentialgleichung \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)
Lösung:

\(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)

Die Gleichung sieht sehr traurig aus... Nicht nur, dass die Gründe nicht auf reduziert werden können die gleiche Nummer(Sieben wird in keiner Weise gleich \(\frac(1)(3)\) sein), daher sind auch die Exponenten unterschiedlich ... Verwenden wir jedoch zwei im Exponenten der linken Potenz.

\(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)

Unter Berücksichtigung der Eigenschaft \((a^b)^c=a^(b·c)\) transformieren wir von links:
\(7^(2(x-2))=7^(2·(x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\).

\(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)

Nun erinnern wir uns an die Eigenschaft des negativen Grades \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\) und transformieren von rechts: \((\frac(1)(3))^( -x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\)

\(49^(x-2)=3^(x-2)\)

Halleluja! Die Indikatoren sind die gleichen!
Nach dem uns bereits bekannten Schema lösen wir vor der Antwort.

Antwort : \(2\).

Anwendung

Lösen Sie Gleichungen aller Art online auf der Website für Schüler und Schüler, um das gelernte Material zu festigen. Gleichungen online lösen. Gleichungen online. Es gibt algebraische, parametrische, transzendente, funktionale, Differentialgleichungen und andere Arten von Gleichungen. Einige Gleichungsklassen haben analytische Lösungen, die praktisch sind, weil sie nicht nur etwas liefern genauer Wert root, aber Sie können die Lösung in Form einer Formel schreiben, die Parameter enthalten kann. Analytische Ausdrücke ermöglichen nicht nur die Berechnung der Wurzeln, sondern auch die Analyse ihrer Existenz und ihrer Menge in Abhängigkeit von den Parameterwerten, was oft noch wichtiger ist praktische Anwendung, Wie spezifische Werte Wurzeln. Gleichungen online lösen. Gleichungen online. Das Lösen einer Gleichung besteht darin, solche Werte der Argumente zu finden, bei denen diese Gleichheit erreicht wird. Die möglichen Werte der Argumente können vorgegeben werden zusätzliche Bedingungen(ganzzahlig, reell usw.). Gleichungen online lösen. Gleichungen online. Sie können die Gleichung sofort online und mit hoher Ergebnisgenauigkeit lösen. Die Argumente für bestimmte Funktionen (manchmal auch „Variablen“ genannt) werden im Fall einer Gleichung als „Unbekannte“ bezeichnet. Die Werte der Unbekannten, bei denen diese Gleichheit erreicht wird, werden Lösungen oder Wurzeln genannt gegebene Gleichung. Man sagt, dass die Wurzeln diese Gleichung erfüllen. Eine Gleichung online zu lösen bedeutet, die Menge aller ihrer Lösungen (Wurzeln) zu finden oder zu beweisen, dass es keine Wurzeln gibt. Gleichungen online lösen. Gleichungen online. Gleichungen, deren Wurzelsätze übereinstimmen, werden als äquivalent oder gleich bezeichnet. Gleichungen, die keine Wurzeln haben, gelten ebenfalls als äquivalent. Die Äquivalenz von Gleichungen hat die Eigenschaft der Symmetrie: Wenn eine Gleichung einer anderen äquivalent ist, dann ist die zweite Gleichung äquivalent zur ersten. Die Äquivalenz von Gleichungen hat die Eigenschaft der Transitivität: Wenn eine Gleichung einer anderen entspricht und die zweite einer dritten entspricht, dann ist die erste Gleichung äquivalent zur dritten. Die Äquivalenzeigenschaft von Gleichungen ermöglicht es uns, mit ihnen Transformationen durchzuführen, auf denen Methoden zu ihrer Lösung basieren. Gleichungen online lösen. Gleichungen online. Auf der Website können Sie die Gleichung online lösen. Zu den Gleichungen, für die analytische Lösungen bekannt sind, gehören algebraische Gleichungen höchstens vierten Grades: lineare Gleichung, quadratische Gleichung, kubische Gleichung und Gleichung vierten Grades. Algebraische Gleichungen höheren Grades haben im allgemeinen Fall keine analytische Lösung, obwohl einige von ihnen auf Gleichungen niedrigeren Grades reduziert werden können. Gleichungen, die transzendente Funktionen beinhalten, werden transzendental genannt. Darunter sind für einige analytische Lösungen bekannt trigonometrische Gleichungen, da Nullen trigonometrische Funktionen sehr bekannt. Im allgemeinen Fall, wenn keine analytische Lösung gefunden werden kann, werden numerische Methoden verwendet. Numerische Methoden liefern keine exakte Lösung, sondern ermöglichen nur die Eingrenzung des Intervalls, in dem die Wurzel liegt, auf einen bestimmten vorgegebenen Wert. Gleichungen online lösen. Gleichungen online. Anstelle einer Gleichung online stellen wir uns vor, wie derselbe Ausdruck eine lineare Beziehung bildet, nicht nur entlang einer geraden Tangente, sondern auch genau am Wendepunkt des Diagramms. Diese Methode ist für das Studium des Themas jederzeit unverzichtbar. Es kommt häufig vor, dass sich das Lösen von Gleichungen dem Endwert nähert, indem man unendliche Zahlen verwendet und Vektoren schreibt. Es ist notwendig, die Ausgangsdaten zu überprüfen, und das ist der Kern der Aufgabe. Andernfalls wird die lokale Bedingung in eine Formel umgewandelt. Bei der Umkehrung einer Geraden aus einer gegebenen Funktion, die der Gleichungsrechner ohne große Verzögerung bei der Ausführung berechnet, dient der Offset als Raumprivileg. Wir werden über den Erfolg der Studierenden im wissenschaftlichen Umfeld sprechen. Wie alle oben genannten Punkte hilft es uns jedoch beim Finden. Wenn Sie die Gleichung vollständig gelöst haben, speichern Sie die resultierende Antwort an den Enden des geraden Liniensegments. Linien im Raum schneiden sich in einem Punkt und dieser Punkt wird als Schnittpunkt der Linien bezeichnet. Das Intervall auf der Linie wird wie zuvor angegeben angezeigt. Die höchste Stelle für das Studium der Mathematik wird ausgeschrieben. Durch Zuweisen eines Argumentwerts aus einer parametrisch spezifizierten Oberfläche und Online-Lösen der Gleichung können die Prinzipien des produktiven Zugriffs auf eine Funktion skizziert werden. Der Möbius-Streifen oder die Unendlichkeit, wie er genannt wird, sieht aus wie eine Acht. Dies ist eine einseitige Oberfläche, nicht zweiseitig. Nach dem allgemein bekannten Grundsatz werden wir objektiv akzeptieren lineare Gleichungen für die Grundbezeichnung wie sie ist und in der Studienrichtung. Nur zwei Werte nacheinander gegebener Argumente können die Richtung des Vektors offenbaren. Wenn man davon ausgeht, dass eine andere Lösung für Online-Gleichungen viel mehr ist als nur das Lösen, bedeutet dies, dass man als Ergebnis eine vollständige Version der Invariante erhält. Ohne einen integrierten Ansatz ist es für Studierende schwierig, dieses Material zu erlernen. Wie bisher hilft für jeden Spezialfall unser komfortabler und smarter Online-Gleichungsrechner in schwierigen Zeiten jedem weiter, denn Sie müssen nur die Eingabeparameter angeben und das System berechnet die Antwort selbst. Bevor wir mit der Dateneingabe beginnen, benötigen wir ein Eingabetool, was ohne große Schwierigkeiten möglich ist. Die Anzahl der Schätzungen jeder Antwort führt zu einer quadratischen Gleichung zu unseren Schlussfolgerungen, aber das ist nicht so einfach, weil es einfach ist, das Gegenteil zu beweisen. Die Theorie wird aufgrund ihrer Eigenschaften nicht durch praktisches Wissen gestützt. Einen Bruchrechner in der Phase der Veröffentlichung der Antwort zu sehen, ist in der Mathematik keine leichte Aufgabe, da die Alternative, eine Zahl auf eine Menge zu schreiben, dazu beiträgt, das Wachstum der Funktion zu steigern. Es wäre jedoch falsch, nicht über die Ausbildung der Studierenden zu sprechen, daher wird jeder von uns so viel sagen, wie getan werden muss. Die zuvor gefundene kubische Gleichung gehört zu Recht zum Definitionsbereich und enthält den Raum numerischer Werte sowie symbolischer Variablen. Nachdem unsere Schüler den Satz gelernt oder auswendig gelernt haben, werden sie sich nur mit beweisen die beste Seite, und wir werden uns für sie freuen. Im Gegensatz zu mehreren Feldschnittpunkten werden unsere Online-Gleichungen durch eine Bewegungsebene durch Multiplikation von zwei und drei numerischen kombinierten Linien beschrieben. Eine Menge ist in der Mathematik nicht eindeutig definiert. Die beste Lösung ist laut Studierenden eine vollständige Aufzeichnung des Ausdrucks. Wie in der wissenschaftlichen Sprache gesagt wurde, kommt es nicht auf die Abstraktion symbolischer Ausdrücke an, sondern die Lösung von Gleichungen liefert in allen bekannten Fällen ein eindeutiges Ergebnis. Die Dauer des Lehrerunterrichts hängt von den Bedürfnissen dieses Vorschlags ab. Die Analyse zeigte die Notwendigkeit aller Rechentechniken in vielen Bereichen und es ist absolut klar, dass ein Gleichungsrechner in den begabten Händen eines Studenten ein unverzichtbares Werkzeug ist. Eine loyale Herangehensweise an das Studium der Mathematik bestimmt die Bedeutung von Ansichten aus verschiedenen Richtungen. Sie möchten einen der Schlüsselsätze identifizieren und die Gleichung so lösen, dass abhängig von der Antwort ein weiterer Anwendungsbedarf besteht. Die Analytik in diesem Bereich gewinnt zunehmend an Bedeutung. Beginnen wir von vorne und leiten wir die Formel ab. Nach dem Durchbrechen des Anstiegsniveaus der Funktion wird die Linie entlang der Tangente am Wendepunkt sicherlich dazu führen, dass die Online-Lösung der Gleichung einer der Hauptaspekte bei der Konstruktion desselben Diagramms aus dem Argument der Funktion sein wird. Ein Amateuransatz hat das Recht, angewendet zu werden, wenn diese Bedingung den Schlussfolgerungen der Studierenden nicht widerspricht. Es ist die Teilaufgabe, die die Analyse mathematischer Verhältnisse als lineare Gleichungen im bestehenden Definitionsbereich des Objekts in den Hintergrund rückt. Durch die Versetzung in Richtung der Orthogonalität verringert sich gegenseitig der Vorteil des Einzelnen Absolutwert. Die Modulo-Lösung von Gleichungen online ergibt die gleiche Anzahl an Lösungen, wenn Sie die Klammern zuerst mit einem Pluszeichen und dann mit einem Minuszeichen öffnen. In diesem Fall gibt es doppelt so viele Lösungen und das Ergebnis ist genauer. Ein stabiler und korrekter Online-Gleichungsrechner ist der Erfolg beim Erreichen des angestrebten Ziels in der vom Lehrer gestellten Aufgabe. Aufgrund der erheblichen Unterschiede in den Ansichten großer Wissenschaftler scheint es möglich, die richtige Methode zu wählen. Die resultierende quadratische Gleichung beschreibt die Kurve der Linien, die sogenannte Parabel, und das Vorzeichen bestimmt ihre Konvexität im quadratischen Koordinatensystem. Aus der Gleichung erhalten wir nach dem Satz von Vieta sowohl die Diskriminante als auch die Wurzeln selbst. Der erste Schritt besteht darin, den Ausdruck als echten oder unechten Bruch darzustellen und einen Bruchrechner zu verwenden. Abhängig davon wird der Plan für unsere weiteren Berechnungen erstellt. Mathematik bei theoretischer Ansatz wird in jeder Phase nützlich sein. Wir werden das Ergebnis auf jeden Fall als kubische Gleichung darstellen, da wir seine Wurzeln in diesem Ausdruck verbergen, um die Aufgabe für einen Studenten an einer Universität zu vereinfachen. Alle Methoden sind gut, wenn sie für eine oberflächliche Analyse geeignet sind. Extra Rechenoperationen führt nicht zu Rechenfehlern. Bestimmt die Antwort mit einer bestimmten Genauigkeit. Seien wir ehrlich: Bei der Lösung von Gleichungen ist es nicht so einfach, die unabhängige Variable einer gegebenen Funktion zu finden, insbesondere während der Untersuchung paralleler Linien im Unendlichen. Angesichts der Ausnahme liegt die Notwendigkeit auf der Hand. Der Polaritätsunterschied ist deutlich. Aus der Erfahrung des Lehrens an Instituten lernte unser Lehrer die Hauptlektion, in der Online-Gleichungen im vollen mathematischen Sinne untersucht wurden. Hier ging es um höhere Anstrengungen und besondere Fähigkeiten bei der Anwendung der Theorie. Für unsere Schlussfolgerungen sollte man nicht durch ein Prisma schauen. Bis vor kurzem glaubte man, dass eine geschlossene Menge über die Region, so wie sie ist, schnell zunimmt und die Lösung der Gleichungen lediglich untersucht werden muss. Im ersten Schritt haben wir nicht alles bedacht Möglichkeiten, aber dieser Ansatz ist gerechtfertigter denn je. Zusätzliche Aktionen mit Klammern rechtfertigen einige Fortschritte entlang der Ordinaten- und Abszissenachse, die mit bloßem Auge nicht zu übersehen sind. Im Sinne eines weitgehenden proportionalen Anstiegs der Funktion liegt ein Wendepunkt vor. Wieder einmal werden wir beweisen, wie notwendige Bedingung wird während des gesamten Intervalls der Abnahme der einen oder anderen absteigenden Position des Vektors angewendet. Unter Bedingungen beengter Raum Wir wählen eine Variable aus dem ersten Block unseres Skripts aus. Für das Fehlen des Hauptkraftmoments ist ein auf drei Vektoren basierendes System verantwortlich. Der Gleichungsrechner generierte jedoch alle Terme der konstruierten Gleichung und half dabei, sie zu finden, sowohl über der Oberfläche als auch entlang paralleler Linien. Zeichnen wir einen Kreis um den Startpunkt. Wir beginnen also, uns entlang der Schnittlinien nach oben zu bewegen, und die Tangente beschreibt den Kreis über seine gesamte Länge, was zu einer Kurve führt, die als Evolvente bezeichnet wird. Lassen Sie uns übrigens ein wenig Geschichte über diese Kurve erzählen. Tatsache ist, dass es in der Mathematik historisch gesehen kein Konzept der Mathematik selbst in ihrem reinen Verständnis gab, wie es heute der Fall ist. Zuvor haben alle Wissenschaftler eines getan gemeinsame Ursache, das heißt Wissenschaft. Später, einige Jahrhunderte später, als die wissenschaftliche Welt mit einer kolossalen Menge an Informationen gefüllt war, identifizierte die Menschheit dennoch viele Disziplinen. Sie bleiben weiterhin unverändert. Und doch versuchen Wissenschaftler auf der ganzen Welt jedes Jahr zu beweisen, dass die Wissenschaft grenzenlos ist, und dass man die Gleichung nicht lösen kann, wenn man nicht über Fachkenntnisse verfügt. Naturwissenschaften. Möglicherweise wird es nicht möglich sein, dem endgültig ein Ende zu setzen. Darüber nachzudenken ist genauso sinnlos, wie die Luft draußen zu erwärmen. Finden wir das Intervall, in dem das Argument, wenn sein Wert positiv ist, den Modul des Werts in stark ansteigender Richtung bestimmt. Die Reaktion wird Ihnen dabei helfen, mindestens drei Lösungen zu finden, die Sie jedoch überprüfen müssen. Beginnen wir mit der Tatsache, dass wir die Gleichung online mithilfe des einzigartigen Dienstes unserer Website lösen müssen. Lassen Sie uns beide Teile vorstellen gegebene Gleichung Klicken Sie auf die Schaltfläche „LÖSEN“ und erhalten Sie innerhalb weniger Sekunden die genaue Antwort. Nehmen wir in besonderen Fällen ein Buch über Mathematik und überprüfen wir unsere Antwort noch einmal, nämlich nur auf die Antwort zu schauen, und alles wird klar. Das gleiche Projekt für ein künstliches redundantes Parallelepiped wird in die Realität umgesetzt. Es gibt ein Parallelogramm mit seinen parallelen Seiten, und es erklärt viele Prinzipien und Ansätze zur Untersuchung der räumlichen Beziehung des aufsteigenden Prozesses der Ansammlung von Hohlräumen in natürlichen Formformeln. Mehrdeutige lineare Gleichungen zeigen die Abhängigkeit der gewünschten Variablen von unserer allgemeinen Lösung zu einem bestimmten Zeitpunkt, und wir müssen den unechten Bruch irgendwie ableiten und in einen nichttrivialen Fall bringen. Markieren Sie zehn Punkte auf der Geraden und zeichnen Sie durch jeden Punkt eine Kurve in der angegebenen Richtung, mit dem konvexen Punkt nach oben. Ohne besondere Schwierigkeiten stellt unser Gleichungsrechner einen Ausdruck so dar, dass seine Prüfung auf die Gültigkeit der Regeln bereits zu Beginn der Aufzeichnung offensichtlich ist. Das System der speziellen Darstellungen der Stabilität steht für Mathematiker an erster Stelle, sofern die Formel nichts anderes vorsieht. Wir werden darauf mit einer detaillierten Präsentation eines Berichts zum Thema des isomorphen Zustands eines plastischen Körpersystems antworten und durch die Online-Lösung von Gleichungen die Bewegung jedes materiellen Punktes in diesem System beschreiben. Auf der Ebene der vertieften Forschung wird es notwendig sein, die Frage der Inversionen zumindest der unteren Raumschicht im Detail zu klären. Wenn wir in den Abschnitt aufsteigen, in dem die Funktion diskontinuierlich ist, werden wir die allgemeine Methode eines hervorragenden Forschers, übrigens unseres Landsmanns, anwenden und im Folgenden über das Verhalten des Flugzeugs berichten. Aufgrund der starken Eigenschaften einer analytisch definierten Funktion verwenden wir den Online-Gleichungsrechner nur für den vorgesehenen Zweck im Rahmen der abgeleiteten Befugnisse. Ausgehend von der Überlegung konzentrieren wir uns in unserer Betrachtung auf die Homogenität der Gleichung selbst, das heißt, dass ihre rechte Seite gleich Null ist. Stellen wir noch einmal sicher, dass unsere Entscheidung in Mathematik richtig ist. Um eine triviale Lösung zu vermeiden, werden wir einige Anpassungen an den Anfangsbedingungen für das Problem der bedingten Stabilität des Systems vornehmen. Erstellen wir eine quadratische Gleichung, für die wir mithilfe einer bekannten Formel zwei Einträge aufschreiben und die negativen Wurzeln ermitteln. Wenn eine Wurzel fünf Einheiten größer ist als die zweite und dritte Wurzel, verzerren wir durch Änderungen am Hauptargument die Anfangsbedingungen der Unteraufgabe. Naturgemäß kann etwas Ungewöhnliches in der Mathematik immer auf das nächste Hundertstel einer positiven Zahl beschrieben werden. Der Bruchrechner ist seinen Gegenstücken auf ähnlichen Ressourcen im besten Moment der Serverauslastung um ein Vielfaches überlegen. Auf der Oberfläche des entlang der Ordinatenachse wachsenden Geschwindigkeitsvektors zeichnen wir sieben Linien, die in einander entgegengesetzte Richtungen gebogen sind. Die Angemessenheit des zugewiesenen Funktionsarguments liegt vor den Messwerten des Wiederherstellungssaldozählers. In der Mathematik können wir dieses Phänomen durch eine kubische Gleichung mit imaginären Koeffizienten sowie durch den bipolaren Verlauf abnehmender Geraden darstellen. Kritische Punkte der Temperaturdifferenz beschreiben in ihrer Bedeutung und ihrem Verlauf den Prozess der Zerlegung einer komplexen Bruchfunktion in Faktoren. Wenn Sie aufgefordert werden, eine Gleichung zu lösen, beeilen Sie sich nicht, dies sofort zu tun. Bewerten Sie auf jeden Fall zunächst den gesamten Aktionsplan und gehen Sie erst dann richtig vor. Es wird sicherlich Vorteile geben. Die Arbeitserleichterung liegt auf der Hand, das Gleiche gilt auch für die Mathematik. Lösen Sie die Gleichung online. Alle Online-Gleichungen stellen eine bestimmte Art von Datensatz aus Zahlen oder Parametern und einer Variablen dar, die bestimmt werden muss. Berechnen Sie genau diese Variable, das heißt, finden Sie bestimmte Werte oder Intervalle einer Wertemenge, bei denen die Identität gilt. Die Anfangs- und Endbedingungen hängen direkt davon ab. Die allgemeine Lösung von Gleichungen umfasst normalerweise einige Variablen und Konstanten, durch deren Festlegung wir ganze Lösungsfamilien für eine bestimmte Problemstellung erhalten. Im Allgemeinen rechtfertigt dies die Anstrengungen, die unternommen werden, um die Funktionalität eines räumlichen Würfels mit einer Seitenlänge von 100 Zentimetern zu erhöhen. Sie können einen Satz oder ein Lemma in jeder Phase der Antwortkonstruktion anwenden. Die Site erstellt nach und nach einen Gleichungsrechner, der bei Bedarf jedes Summierungsintervall der Produkte anzeigt kleinster Wert. In der Hälfte der Fälle erfüllt eine solche Kugel aufgrund ihrer Hohlheit nicht mehr die Voraussetzungen für die Festlegung einer Zwischenantwort. Zumindest auf der Ordinatenachse in Richtung abnehmender Vektordarstellung wird dieses Verhältnis zweifellos optimaler sein als der vorherige Ausdruck. In der Stunde, in der eine vollständige Punktanalyse linearer Funktionen durchgeführt wird, werden wir tatsächlich alle unsere zusammenführen komplexe Zahlen und bipolare planare Räume. Indem Sie eine Variable in den resultierenden Ausdruck einsetzen, lösen Sie die Gleichung Schritt für Schritt und geben die detaillierteste Antwort mit hoher Genauigkeit. Es gehört zum guten Ton eines Schülers, sein Handeln in Mathematik noch einmal zu überprüfen. Der Anteil im Bruchverhältnis erfasst die Integrität des Ergebnisses in allen wichtigen Tätigkeitsbereichen des Nullvektors. Die Trivialität wird am Ende der abgeschlossenen Aktionen bestätigt. Bei einer einfachen Aufgabe dürften die Schüler keine Schwierigkeiten haben, wenn sie die Gleichung online in kürzester Zeit lösen, aber vergessen Sie nicht die vielen unterschiedlichen Regeln. Eine Menge von Teilmengen schneidet sich in einem Bereich konvergenter Notation. In verschiedenen Fällen wird das Produkt nicht fälschlicherweise faktorisiert. In unserem ersten Abschnitt, der den Grundlagen mathematischer Techniken für wichtige Abschnitte für Studierende an Universitäten und Fachhochschulen gewidmet ist, wird Ihnen bei der Online-Lösung der Gleichung geholfen. Wir müssen nicht ein paar Tage auf Antworten warten, da das Verfahren des besten Zusammenspiels von Vektoranalyse und sequentieller Lösungsfindung bereits zu Beginn des letzten Jahrhunderts patentiert wurde. Es stellte sich heraus, dass die Bemühungen, Beziehungen zum umliegenden Team aufzubauen, nicht umsonst waren; offensichtlich musste zunächst etwas anderes erfolgen. Mehrere Generationen später ließen Wissenschaftler auf der ganzen Welt die Menschen glauben, dass die Mathematik die Königin der Wissenschaften sei. Unabhängig davon, ob es sich um die linke oder die richtige Antwort handelt, müssen die erschöpfenden Begriffe in drei Zeilen geschrieben werden, da es sich in unserem Fall definitiv nur um die Vektoranalyse der Eigenschaften der Matrix handelt. Nichtlineare und lineare Gleichungen sowie biquadratische Gleichungen nehmen in unserem Buch darüber einen besonderen Platz ein empfohlene Vorgehensweise Berechnung der Bewegungsbahn im Raum aller materiellen Punkte eines geschlossenen Systems. Die lineare Analyse wird uns helfen, die Idee zum Leben zu erwecken Skalarprodukt drei aufeinanderfolgende Vektoren. Am Ende jeder Anweisung wird die Aufgabe durch die Implementierung optimierter numerischer Ausnahmen in den durchgeführten Zahlenraumüberlagerungen erleichtert. Ein anderes Urteil wird die gefundene Antwort in der willkürlichen Form eines Dreiecks in einem Kreis nicht kontrastieren. Der Winkel zwischen zwei Vektoren enthält den erforderlichen Prozentsatz der Marge, und die Online-Lösung von Gleichungen zeigt im Gegensatz zu den Anfangsbedingungen häufig eine bestimmte gemeinsame Wurzel der Gleichung. Die Ausnahme spielt die Rolle eines Katalysators im gesamten unvermeidlichen Prozess der Suche nach einer positiven Lösung im Bereich der Funktionsdefinition. Wenn nicht gesagt wird, dass Sie keinen Computer benutzen können, dann ist ein Online-Gleichungsrechner genau das Richtige für Ihre schwierigen Probleme. Sie müssen nur Ihre bedingten Daten im richtigen Format eingeben und unser Server wird in kürzester Zeit eine vollständige Antwort ausgeben. Eine Exponentialfunktion wächst viel schneller als eine lineare. Davon zeugen die Talmuds der Smart-Library-Literatur. Führt eine Berechnung im allgemeinen Sinne durch, wie es eine gegebene quadratische Gleichung mit drei komplexen Koeffizienten tun würde. Die Parabel im oberen Teil der Halbebene kennzeichnet eine geradlinige Parallelbewegung entlang der Punktachsen. Erwähnenswert ist hier der Potentialunterschied im Arbeitsraum des Körpers. Im Gegenzug zu einem suboptimalen Ergebnis belegt unser Bruchrechner zu Recht den ersten Platz in der mathematischen Wertung der Überprüfung funktionsfähiger Programme auf der Serverseite. Die Benutzerfreundlichkeit dieses Dienstes wird von Millionen Internetnutzern geschätzt. Wenn Sie nicht wissen, wie man es benutzt, helfen wir Ihnen gerne weiter. Besonders hervorheben und hervorheben möchten wir auch die kubische Gleichung aus einer Reihe von Grundschulaufgaben, bei denen es darum geht, schnell ihre Wurzeln zu finden und einen Graphen der Funktion in einer Ebene zu erstellen. Höhere Abschlüsse Die Reproduktion ist eines der komplexen mathematischen Probleme am Institut, für dessen Bearbeitung ausreichend Stunden vorgesehen sind. Wie alle linearen Gleichungen bilden auch unsere nach vielen objektiven Regeln keine Ausnahme, siehe unten verschiedene Punkte Vision, und es wird einfach und ausreichend sein, die Anfangsbedingungen festzulegen. Das Anstiegsintervall stimmt mit dem Konvexitätsintervall der Funktion überein. Gleichungen online lösen. Das Studium der Theorie basiert auf Online-Gleichungen aus zahlreichen Abschnitten zum Studium der Hauptdisziplin. Bei diesem Ansatz ist es bei unsicheren Problemen sehr einfach, die Lösung von Gleichungen in einer vorgegebenen Form darzustellen und nicht nur Schlussfolgerungen zu ziehen, sondern auch das Ergebnis einer solchen positiven Lösung vorherzusagen. Ein Gottesdienst in bester Mathematiktradition hilft uns, das Fachgebiet so zu erlernen, wie es im Osten üblich ist. IN Beste Momente In einem bestimmten Zeitintervall wurden ähnliche Aufgaben mit dem gemeinsamen Faktor zehn multipliziert. Die Fülle an Multiplikationen mehrerer Variablen im Gleichungsrechner begann sich eher mit der Qualität als mit quantitativen Variablen wie Masse oder Körpergewicht zu multiplizieren. Um Fälle von Ungleichgewicht des materiellen Systems zu vermeiden, ist die Ableitung eines dreidimensionalen Transformators auf der trivialen Konvergenz nicht entarteter mathematischer Matrizen für uns ganz offensichtlich. Vervollständigen Sie die Aufgabe und lösen Sie die Gleichung in den angegebenen Koordinaten, da die Schlussfolgerung im Voraus unbekannt ist, ebenso wie alle in der Nachraumzeit enthaltenen Variablen. An kurzfristig Verschieben Sie den gemeinsamen Faktor über die Klammern hinaus und dividieren Sie beide Seiten im Voraus durch den größten gemeinsamen Faktor. Extrahieren Sie aus der resultierenden abgedeckten Teilmenge der Zahlen in kurzer Zeit detailliert dreiunddreißig Punkte hintereinander. In dem Maße, dass auf die bestmögliche Art und Weise Das Lösen einer Gleichung online ist für jeden Schüler möglich. Mit Blick auf die Zukunft sagen wir eine wichtige, aber entscheidende Sache, ohne die es in Zukunft schwierig sein wird, zu leben. Im letzten Jahrhundert bemerkte der große Wissenschaftler eine Reihe von Mustern in der Theorie der Mathematik. In der Praxis entsprach das Ergebnis nicht ganz dem erwarteten Eindruck der Ereignisse. Grundsätzlich trägt jedoch gerade diese Online-Lösung von Gleichungen dazu bei, das Verständnis und die Wahrnehmung einer ganzheitlichen Herangehensweise an das Studium und die praktische Vertiefung des theoretischen Materials der Studierenden zu verbessern. Dies ist während der Studienzeit viel einfacher.

=

Die Verwendung von Gleichungen ist in unserem Leben weit verbreitet. Sie werden in vielen Berechnungen, beim Bau von Bauwerken und sogar im Sport eingesetzt. Der Mensch benutzte Gleichungen schon in der Antike, und seitdem hat ihre Verwendung nur noch zugenommen. Potenz- oder Exponentialgleichungen sind Gleichungen, in denen die Variablen in Potenzen vorliegen und die Basis eine Zahl ist. Zum Beispiel:

Das Lösen einer Exponentialgleichung besteht aus zwei ziemlich einfachen Schritten:

1. Sie müssen prüfen, ob die Grundlagen der Gleichung rechts und links gleich sind. Wenn die Gründe nicht dieselben sind, suchen wir nach Möglichkeiten, dieses Beispiel zu lösen.

2. Nachdem die Basen gleich geworden sind, setzen wir die Grade gleich und lösen die resultierende neue Gleichung.

Angenommen, wir erhalten eine Exponentialgleichung der folgenden Form:

Es lohnt sich, die Lösung dieser Gleichung mit einer Analyse der Basis zu beginnen. Die Basen sind unterschiedlich – 2 und 4, aber zum Lösen müssen sie gleich sein, also transformieren wir 4 mit der folgenden Formel –\[ (a^n)^m = a^(nm):\]

Wir ergänzen die ursprüngliche Gleichung:

Nehmen wir es aus Klammern \

Lassen Sie uns \ ausdrücken

Da die Grade gleich sind, verwerfen wir sie:

Antwort: \

Wo kann ich eine Exponentialgleichung mit einem Online-Löser lösen?

Sie können die Gleichung auf unserer Website https://site lösen. Mit einem kostenlosen Online-Löser können Sie die Gleichung lösen online irgendwelche Komplexität in Sekunden. Sie müssen lediglich Ihre Daten in den Solver eingeben. Auf unserer Website können Sie sich auch Videoanleitungen ansehen und erfahren, wie Sie die Gleichung lösen. Und wenn Sie noch Fragen haben, können Sie diese in unserer VKontakte-Gruppe http://vk.com/pocketteacher stellen. Treten Sie unserer Gruppe bei, wir helfen Ihnen gerne weiter.

Exponentialgleichungen sind solche, bei denen die Unbekannte im Exponenten enthalten ist. Die einfachste Exponentialgleichung hat die Form: a x = a b, wobei a > 0, a 1, x unbekannt ist.

Die Haupteigenschaften von Potenzen, mit denen Exponentialgleichungen transformiert werden: a>0, b>0.

Bei der Lösung von Exponentialgleichungen werden zusätzlich folgende Eigenschaften der Exponentialfunktion genutzt: y = a x, a > 0, a1:

Um eine Zahl als Potenz darzustellen, verwenden Sie die grundlegende logarithmische Identität: b = , a > 0, a1, b > 0.

Aufgaben und Tests zum Thema „Exponentialgleichungen“

  • Exponentialgleichungen

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  • Exponentialgleichungen - Wichtige Themen zur Überprüfung des Einheitlichen Staatsexamens in Mathematik

    Aufgaben: 14

  • Systeme exponentieller und logarithmischer Gleichungen - Exponentielle und logarithmische Funktionen Klasse 11

    Lektionen: 1 Aufgaben: 15 Tests: 1

  • §2.1. Exponentialgleichungen lösen

    Lektionen: 1 Aufgaben: 27

  • §7 Exponentielle und logarithmische Gleichungen und Ungleichungen - Abschnitt 5. Exponentielle und logarithmische Funktionen, Klasse 10

    Lektionen: 1 Aufgaben: 17

Um Exponentialgleichungen erfolgreich zu lösen, müssen Sie die grundlegenden Eigenschaften von Potenzen, Eigenschaften der Exponentialfunktion und die grundlegende logarithmische Identität kennen.

Beim Lösen von Exponentialgleichungen werden im Wesentlichen zwei Methoden verwendet:

  1. Übergang von der Gleichung a f(x) = a g(x) zur Gleichung f(x) = g(x);
  2. Einführung neuer Linien.

Beispiele.

1. Gleichungen auf das Einfachste reduziert. Sie werden gelöst, indem beide Seiten der Gleichung auf eine Potenz mit derselben Basis reduziert werden.

3 x = 9 x – 2.

Lösung:

3 x = (3 2) x – 2 ;
3 x = 3 2x – 4 ;
x = 2x –4;
x = 4.

Antwort: 4.

2. Gleichungen, die durch Entfernen des gemeinsamen Faktors aus Klammern gelöst werden.

Lösung:

3 x – 3 x – 2 = 24
3 x – 2 (3 2 – 1) = 24
3 x – 2 × 8 = 24
3 x – 2 = 3
x – 2 = 1
x = 3.

Antwort: 3.

3. Gleichungen, die durch eine Variablenänderung gelöst werden.

Lösung:

2 2x + 2 x – 12 = 0
Wir bezeichnen 2 x = y.
y 2 + y – 12 = 0
y 1 = - 4; y2 = 3.
a) 2 x = - 4. Die Gleichung hat keine Lösungen, weil 2 x > 0.
b) 2 x = 3; 2 x = 2 log 2 3 ; x = log 2 3.

Antwort: Protokoll 2 3.

4. Gleichungen, die Potenzen mit zwei verschiedenen (nicht aufeinander reduzierbaren) Basen enthalten.

3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x – 2 = 5 x + 2 x – 2.

3× 2 x + 1 – 2 x – 2 = 5 x – 2 × 5 x – 2
2 x – 2 ×23 = 5 x – 2
×23
2 x – 2 = 5 x – 2
(5/2) x– 2 = 1
x – 2 = 0
x = 2.

Antwort: 2.

5. Gleichungen, die bezüglich a x und b x homogen sind.

Generelle Form: .

9 x + 4 x = 2,5 × 6 x.

Lösung:

3 2x – 2,5 × 2 x × 3 x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x – 2,5 × (3/2) x + 1 = 0.
Bezeichnen wir (3/2) x = y.
y 2 – 2,5y + 1 = 0,
y 1 = 2; y 2 = ½.

Antwort: log 3/2 2; - Protokoll 3/2 2.