Komplexe Zahlen

Grundlegendes Konzept

Die ersten Daten zur Zahl stammen aus der Steinzeit – dem Paläomelitikum. Dies sind „eins“, „wenige“ und „viele“. Sie wurden in Form von Kerben, Knoten usw. aufgezeichnet. Die Entwicklung der Arbeitsprozesse und die Entstehung des Eigentums zwangen den Menschen, Zahlen und deren Namen zu erfinden. Zuerst erschienen die natürlichen Zahlen N, erhalten durch Zählen von Objekten. Dann bestand neben der Notwendigkeit des Zählens auch das Bedürfnis, Längen, Flächen, Volumina, Zeit und andere Größen zu messen, wobei Teile des verwendeten Maßes berücksichtigt werden mussten. So entstanden Brüche. Die formale Konkretisierung der Konzepte der gebrochenen und negativen Zahlen erfolgte im 19. Jahrhundert. Satz von ganzen Zahlen Z– das sind natürliche Zahlen, natürliche Zahlen mit Minuszeichen und Null. Ganze und gebrochene Zahlen bildeten eine Menge rationaler Zahlen Q, aber es erwies sich auch als unzureichend, um sich ständig verändernde Studien zu studieren Variablen. Die Genesis zeigte erneut die Unvollkommenheit der Mathematik: die Unmöglichkeit, eine Gleichung dieser Form zu lösen X 2 = 3, weshalb irrationale Zahlen auftauchten ICH. Vereinigung der Menge rationaler Zahlen Q und irrationale Zahlen ICH– Menge reeller (oder reeller) Zahlen R. Dadurch wurde die Zahlengeraden gefüllt: Jede reelle Zahl entsprach einem Punkt darauf. Aber auf viele R Es gibt keine Möglichkeit, eine Gleichung der Form zu lösen X 2 = – A 2. Folglich entstand erneut die Notwendigkeit, den Zahlbegriff zu erweitern. So entstanden im Jahr 1545 komplexe Zahlen. Ihr Schöpfer J. Cardano nannte sie „rein negativ“. Der Name „imaginär“ wurde 1637 vom Franzosen R. Descartes eingeführt, 1777 schlug Euler vor, den Anfangsbuchstaben der französischen Zahl zu verwenden ich um die imaginäre Einheit zu bezeichnen. Dieses Symbol wurde dank K. Gauß allgemein verwendet.

Im 17. und 18. Jahrhundert wurde die Diskussion über die arithmetische Natur von Imaginären und ihre geometrische Interpretation fortgesetzt. Der Däne G. Wessel, der Franzose J. Argan und der Deutsche K. Gauss schlugen unabhängig voneinander vor, eine komplexe Zahl als Punkt auf der Koordinatenebene darzustellen. Später stellte sich heraus, dass es noch bequemer ist, eine Zahl nicht durch den Punkt selbst darzustellen, sondern durch einen Vektor, der vom Ursprung zu diesem Punkt verläuft.

Erst gegen Ende des 18. und Anfang des 19. Jahrhunderts nahmen komplexe Zahlen ihren rechtmäßigen Platz ein mathematische Analyse. Ihre erste Verwendung erfolgt in der Theorie Differentialgleichung und in der Theorie der Hydrodynamik.

Definition 1.Komplexe Zahl wird als Ausdruck der Form bezeichnet, wobei X Und j sind reelle Zahlen, und ich– imaginäre Einheit, .

Zwei komplexe Zahlen und gleich dann und nur dann, wenn , .

Wenn , dann wird die Nummer angerufen rein imaginär; Wenn , dann ist die Zahl eine reelle Zahl, das heißt, die Menge R MIT, Wo MIT- ein Haufen komplexe Zahlen.

Konjugieren zu einer komplexen Zahl wird als komplexe Zahl bezeichnet.

Geometrische Darstellung komplexer Zahlen.

Jede komplexe Zahl kann durch einen Punkt dargestellt werden M(X, j) Flugzeug Oxy. Ein Paar reeller Zahlen bezeichnet auch die Koordinaten des Radiusvektors , d.h. Zwischen der Menge der Vektoren auf der Ebene und der Menge der komplexen Zahlen kann man eine Eins-zu-Eins-Entsprechung herstellen: .

Definition 2.Echter Teil X.

Bezeichnung: X= Re z(aus dem lateinischen Realis).

Definition 3.Imaginärer Teil komplexe Zahl ist eine reelle Zahl j.

Bezeichnung: j= Ich z(aus dem lateinischen Imaginarius).

Re z wird auf der Achse abgelegt ( Oh), Ich bin z wird auf der Achse abgelegt ( Oh), dann ist der der komplexen Zahl entsprechende Vektor der Radiusvektor des Punktes M(X, j), (oder M(Re z, Ich bin z)) (Abb. 1).

Definition 4. Eine Ebene, deren Punkte einer Menge komplexer Zahlen zugeordnet sind, heißt komplexe Ebene. Die Abszissenachse wird aufgerufen echte Achse, da es reelle Zahlen enthält. Die Ordinatenachse wird aufgerufen imaginäre Achse, es enthält rein imaginäre komplexe Zahlen. Die Menge der komplexen Zahlen wird bezeichnet MIT.

Definition 5.Modul komplexe Zahl z = (X, j) heißt die Länge des Vektors: , d.h. .

Definition 6.Streit Die komplexe Zahl ist der Winkel zwischen der positiven Richtung der Achse ( Oh) und Vektor: .

Form von Zahlen

Bei digitalen Geräten gibt es zwei Formen der Zahlendarstellung: mit fest і schwebendes Koma.

Im ersten Absatz gab es mehr als nur ein paar positive Zahlen. Formel (1.14) ermöglicht die Darstellung doppelter Zahlen mit einem ganzzahligen und gebrochenen Teil sowie mit einem festen Teil. Das Vorzeichen einer Doppelzahl mit fester Zahl wird durch eine zusätzliche Ziffer angegeben, die vor den Ziffern steht. Bei Zusatzzahlen ist der Wert der Zusatzziffer gleich „ 0 ", für Frauen - " 1 ”.

In der Tabelle 1.3 bietet drei Möglichkeiten zur Kodierung zusätzlicher und subnumerischer Zahlen mit einem vierstelligen Doppelcode.

Tabelle 1.3.

Bei der ersten Variante sind, wie aus der Tabelle hervorgeht, in der doppelten Codefolge zusätzliche und führende Nullen enthalten, was zu Problemen bei der Eingabe arithmetischer Operationen führen kann.

Auch die Darstellung signifikanter Zahlen im Returncode stellt das beschriebene Problem nicht dar. Dies ist nur möglich, wenn bestimmte Nummern darin vorkommen zusätzlicher Code, die nach der Formel berechnet wird:

In Abb. Abbildung 1.12 zeigt eine grafische Interpretation des Bildes positiver und negativer Zahlen, einschließlich Null, mit direkten und zusätzlichen Codes. Wie später gezeigt wird, vereinfacht diese Form der Zehnerdarstellung arithmetische Operationen wesentlich.

Lager 1.10. Finden Sie zusätzliche Codes für Zehnerzahlen: 0 10, 17 10, -127 10.

Rozvyazannya. Wir kennen zwei Äquivalente der angegebenen Zahlen:

0 10 = 00000000 2 ; 17 10 = 00010001 2 ; -127 10 = 10000001 2 .

Wir kennen die Codes, die Tore für zwei sind bestätigt: 11111111; 11101110; 01111110.

Wir kennen die zusätzlichen Codes für die angegebenen Zahlen: 11111111 + 1 = 100000000 2 = 0 10 ;

11101110 + 1 = 11101111 2 = -17 10 ; 01111110 + 1 = 01111111 2 = 127 10 .

Lassen Sie uns nun die Essenz des Schreibens von Zahlen mit festem Komma erklären. Unabhängig davon, ob eine Zahl in digitalen Systemen in speziellen Speichergeräten gespeichert wird, besteht jede Zeile aus einer festen Anzahl von Elementen. Coma, das einen ganzen Teil der Schrotflinte ausmacht, nimmt einen festen Platz in der Erinnerungsreihe ein – vor der Senior-Kategorie oder nach der Jüngeren.

Im ersten Fall ist der Absolutwert einer Zahl kleiner als eins – zum Beispiel 0,110101 2. Wenn es eine Reihe von Speicherwerten für zehn Ziffern gibt, dann wird die Zahl in dieser wie in Abb. gezeigt geschrieben. 1.13, wobei die Ziffer ganz links das Vorzeichen der Zahl und die Ziffer links die Ziffer des Moduls darstellt. Vilny Young-Entladungen werden mit Nullen gefüllt. In diesem Fall wird nur der Bruchteil einer Zahl in die Speicherzeile übertragen, dann müssen die Ergebnisse aller Operationen absolute Werte kleiner als eins haben. Die Ergebnisse dieser Analyse werden durch die Auswahl geeigneter Skalenkoeffizienten sichergestellt, mit denen die Ausgabedaten multipliziert werden. Wenn der große Auswahlkoeffizient falsch ist, kann es zu einer Wiederauffüllung der Entladungen und dem Auftreten eines ganzen Teils kommen, der ausgegeben wird, die Fragmente im Entladungsnetz werden nicht übertragen und erscheinen. All dies wird in der Folge zu einem Mord führen, was auf diese Weise nicht sehr wahrscheinlich ist.

In einem anderen Fall, wenn ein Koma nach einer jüngeren Entlassung registriert wird, können wir ganze Zahlen verwenden. Beispielsweise wird die Zahl 10011 2 in der Speicherzeile in der in Abb. gezeigten Form platziert. 1.14, die linke Ziffer ist vorzeichenbehaftet und die links darauf folgenden Ziffern rechts werden mit Nullen aufgefüllt. In diesem Fall ist der Wert des Moduls von einer Speicherzeile umgeben.

Die Zahlen mit dem schwebenden Koma werden auf die Bilder der Zahlen mit den Vicoren der Gottesanbeterin übertragen, die mit der Basis des Zahlensystems auf der durch die Reihenfolge angegebenen Stufe multipliziert werden. Beispielsweise wird die Zahl 200 als 0,2 × 10 3 und die Zahl 0,000312 als 0,312 × 10 -3 geschrieben. Es ist notwendig, doppelte Nummern zu registrieren. Die Gottesanbeterin und die Ordnung werden in den beiden Codes angezeigt, und die Basis sind die beiden. Beispielsweise wird die Zahl 0,111 × 2 10 = 11,10 2 im zehnten System als 0,875 × 2 2 = 3,5 10 dargestellt. In der Speicherzeile werden solche Zahlen in Form von zwei Zahlengruppen gespeichert: Die erste Gruppe – Mantis – bedeutet die Zahl selbst, die andere – die Reihenfolge – den Ort in der Zahl (Abb. 1.15).

Am Nullelement der Speicherzeile wird das Vorzeichen der Zahl angezeigt (für die angegebene doppelte Zahl, die in die Speicherzeile geschrieben wird – „ 0 "). Als nächstes werden alle Ziffern der Zahl selbst angegeben (Abschnitte 1...8). Bei einer Angabe mit einer geringeren Stellenzahl werden die restlichen Speicherelemente rechts von der Zahl mit Nullen aufgefüllt. Die neunte Ziffer stellt ein Zeichen der Ordnung dar, und in der Auflösung gibt es, der Analogie zur Gottesanbeterin folgend, eine Zahl, die Ordnung bedeutet. Bei Verwendung dieser Notationsform wird die Größe der Zahl auf die Größenordnung eingestellt, sodass die erste signifikante Ziffer der Gottesanbeterin „ nicht überschreitet. 0 " Diese Form der Eingabe heißt normal.

Die minimale zusätzliche Zahl, die in Normalform in eine Speicherordnung geschrieben werden kann, wird durch die minimale Mantisse 0,1000..0 2 und die maximale Ordnung 111..1 2 angegeben. Zu einem hohen Preis k Entladungen in der Größenordnung der kleinsten Zehntelzahl, die aufgeschrieben werden kann, ergibt sich aus der Formel:

. (1.15)

Die maximale Anzahl von Matimemos beim Maximalwert der Gottesanbeterin (0,111...1) 2 und der maximalen Zusatzordnung (111...1 2) = 2 k– 1 also

Reichweite D In Normalform dargestellte Zahlen, wie aus den Formeln (1.15) und (1.16) hervorgeht, werden nur durch die Zahl definiert k. Zum Beispiel, z k= 6 bekannt:

; .

Die Genauigkeit der Zahlenaufzeichnung wird durch die Anzahl der Ziffern bestimmt M Mantisi. Wenn die Anzahl der Ziffern einer Zahl die unter der Mantis eingegebene Ziffernanzahl überschreitet, wird die Zahl auf das erforderliche Maximum gerundet. Die Regel zum Runden zweistelliger Zahlen in dieser Reihe lautet wie folgt: Wenn die höchste Ziffer des aufgerollten Wortteils eins ist, wird eins zur jüngsten Ziffer der Gottesanbeterin addiert. Bei einer solchen Rundung übersteigt der absolute Verlust des E-Bildes der Gottesanbeterin nicht die Hälfte des vagalen Koeffizienten der erhaltenen jungen Kategorie der Gottesanbeterin, dann gilt:

Ärzte, dass bei einer normalen Form der Aufzeichnung der Mantis nicht weniger als 0,5 sein kann, ist es möglich, η zu stehlen:

Zum Beispiel wann M= 24. Mai:

.

In heutigen digitalen Systemen gibt es für die Darstellung von Zahlen mit schwebendem Komma eine Zeile von fast vier Bytes. Wenn es 23 Entladungen gibt, stellen Sie die Gottesanbeterin ein und 7 – die Größe der Ordnung. Der angezeigte Zahlenbereich liegt zwischen ± 2.127 und ± 2 -127.

Die Operation von Zahlen mit schwebendem Koma erweitert und vereinfacht im Wesentlichen die Bilder von Zahlen, aber die Viconny-Operation für solche Zahlen ist komplexer als für Zahlen mit festem Komma.

Es kann eine ausdrucksstarke geometrische Darstellung des Systems rationaler Zahlen erhalten werden auf die folgende Weise.

Reis. 8. Zahlenachse

Auf einer bestimmten Geraden, der „Zahlenachse“, markieren wir den Abschnitt von 0 bis 1 (Abb. 8). Dadurch wird die Länge eines Einheitssegments festgelegt, die im Allgemeinen beliebig gewählt werden kann. Positive und negative ganze Zahlen werden dann durch eine Reihe gleichmäßig verteilter Punkte auf der Zahlenachse dargestellt, nämlich positive Zahlen rechts und negative Zahlen links vom Punkt 0. Um Zahlen mit einem Nenner darzustellen, dividieren wir sie die resultierenden Segmente mit Einheitslänge in gleiche Teile teilen; Teilungspunkte stellen Brüche mit einem Nenner dar. Wenn wir dies für die Werte tun, die allen natürlichen Zahlen entsprechen, dann für jeden Rationale Zahl wird durch einen Punkt auf der Zahlenachse dargestellt. Wir werden uns darauf einigen, diese Punkte als „rational“ zu bezeichnen; Im Allgemeinen verwenden wir die Begriffe „rationale Zahl“ und „rationaler Punkt“ als Synonyme.

In Kapitel I, § 1 wurde die Ungleichheitsrelation für natürliche Zahlen definiert. Auf der Zahlenachse spiegelt sich dieser Zusammenhang wie folgt wider: if natürliche Zahl A kleiner als die natürliche Zahl B ist, liegt Punkt A links von Punkt B. Da die angegebene geometrische Beziehung für jedes Paar rationaler Punkte gilt, ist es naheliegend, zu versuchen, die arithmetische Ungleichheitsbeziehung wie folgt zu verallgemeinern um diese geometrische Ordnung für die betrachteten Punkte beizubehalten. Dies funktioniert, wenn Sie akzeptieren folgende Definition: Wir sagen, dass eine rationale Zahl A kleiner als eine rationale Zahl ist oder dass eine Zahl B größer als eine Zahl ist, wenn die Differenz positiv ist. Daraus folgt (at), dass die Punkte (Zahlen) dazwischen diejenigen sind, die

gleichzeitig Jedes dieser Punktpaare wird zusammen mit allen Punkten zwischen ihnen als Segment (oder Segment) bezeichnet und bezeichnet (und die Menge der Zwischenpunkte allein wird als Intervall (oder Intervall) bezeichnet

Der Abstand eines beliebigen Punktes A vom Ursprung 0, betrachtet als positive Zahl, wird Absolutwert von A genannt und mit dem Symbol bezeichnet

Das Konzept " Absolutwert" ist wie folgt definiert: if , then if then Es ist klar, dass die Gleichheit wahr ist, wenn die Zahlen das gleiche Vorzeichen haben verschiedene Zeichen, Das . Wenn wir diese beiden Ergebnisse zusammenfügen, gelangen wir zur allgemeinen Ungleichung

Das gilt unabhängig von den Vorzeichen

Eine Tatsache von grundlegender Bedeutung wird durch den folgenden Satz ausgedrückt: Rationale Punkte liegen überall dicht auf der Zahlengeraden. Die Bedeutung dieser Aussage ist, dass jedes Intervall, egal wie klein, rationale Punkte enthält. Um die Gültigkeit der angegebenen Aussage zu überprüfen, reicht es aus, eine Zahl zu nehmen, die so groß ist, dass das Intervall ( kleiner als das angegebene Intervall ist; dann liegt mindestens einer der Punkte der Form innerhalb des angegebenen Intervalls. Also, da Es gibt kein solches Intervall auf der Zahlenachse (auch nicht das kleinste, das man sich vorstellen kann), in dem es keine rationalen Punkte gäbe. Daraus folgt eine weitere Folgerung: Jedes Intervall enthält eine unendliche Anzahl rationaler Punkte. In der Tat, wenn ein bestimmtes Intervall enthalten wäre B. nur eine endliche Anzahl rationaler Punkte, dann gäbe es innerhalb des Intervalls zweier benachbarter solcher Punkte keine rationalen Punkte mehr, und dies widerspricht dem, was gerade bewiesen wurde.

REALE ZAHLEN II

§ 44 Geometrische Darstellung reeller Zahlen

Geometrisch reelle Zahlen werden wie rationale Zahlen durch Punkte auf einer Geraden dargestellt.

Lassen l ist eine beliebige Gerade und O sind einige ihrer Punkte (Abb. 58). Jede positive reelle Zahl α Ordnen wir den Punkt A zu, der rechts von O im Abstand von liegt α Längeneinheiten.

Wenn zum Beispiel α = 2,1356..., dann

2 < α < 3
2,1 < α < 2,2
2,13 < α < 2,14

usw. Offensichtlich muss Punkt A in diesem Fall auf der Geraden liegen l rechts von den Punkten, die den Zahlen entsprechen

2; 2,1; 2,13; ... ,

aber links von den Punkten, die den Zahlen entsprechen

3; 2,2; 2,14; ... .

Es kann gezeigt werden, dass diese Bedingungen auf der Linie definiert sind l der einzige Punkt A, den wir als geometrisches Bild einer reellen Zahl betrachten α = 2,1356... .

Ebenso für jede negative reelle Zahl β Ordnen wir den Punkt B zu, der links von O im Abstand | liegt β | Längeneinheiten. Schließlich assoziieren wir die Zahl „Null“ mit dem Punkt O.

Die Zahl 1 wird also auf einer geraden Linie dargestellt l Punkt A, rechts von O im Abstand von einer Längeneinheit gelegen (Abb. 59), die Zahl - √2 - durch Punkt B, links von O im Abstand von √2 Längeneinheiten gelegen usw .

Lassen Sie uns zeigen, wie auf einer geraden Linie l Mit einem Zirkel und einem Lineal können Sie Punkte finden, die den reellen Zahlen √2, √3, √4, √5 usw. entsprechen. Dazu zeigen wir zunächst, wie Sie Segmente konstruieren, deren Längen ausgedrückt werden durch diese Zahlen. AB sei ein Segment als Längeneinheit (Abb. 60).

Am Punkt A konstruieren wir eine Senkrechte zu diesem Segment und zeichnen darauf ein Segment AC gleich dem Segment AB. Wenn wir dann den Satz des Pythagoras auf das rechtwinklige Dreieck ABC anwenden, erhalten wir; BC = √AB 2 + AC 2 = √1+1 = √2

Daher hat das Segment BC die Länge √2. Konstruieren wir nun am Punkt C eine Senkrechte zum Segment BC und wählen darauf den Punkt D aus, sodass das Segment CD einer Längeneinheit AB entspricht. Dann von rechtwinkliges Dreieck Finden wir BCD:

ВD = √ВC 2 + СD 2 = √2+1 = √3

Daher hat das Segment BD die Länge √3. Wenn wir den beschriebenen Prozess weiter fortsetzen, könnten wir Segmente BE, BF, ... erhalten, deren Längen durch die Zahlen √4, √5 usw. ausgedrückt werden.

Jetzt auf einer geraden Linie l Es ist einfach, die nützlichen Punkte zu finden geometrisches Bild Zahlen √2, √3, √4, √5 usw.

Indem wir beispielsweise das Segment BC rechts vom Punkt O ablegen (Abb. 61), erhalten wir den Punkt C, der als geometrisches Bild der Zahl √2 dient. Wenn wir das Segment BD rechts vom Punkt O platzieren, erhalten wir auf die gleiche Weise den Punkt D", der das geometrische Bild der Zahl √3 usw. ist.

Allerdings sollte man nicht denken, dass man Zirkel und Lineal auf der Zahlengeraden benutzt l Man kann den Punkt finden, der einer gegebenen reellen Zahl entspricht. Es ist beispielsweise erwiesen, dass es unmöglich ist, ein Segment zu konstruieren, dessen Länge durch die Zahl ausgedrückt wird, wenn man nur über einen Zirkel und ein Lineal verfügt π = 3,14 ... . Daher auf dem Zahlenstrahl l Mit Hilfe solcher Konstruktionen ist es unmöglich, den Punkt anzugeben, der dieser Zahl entspricht. Dennoch existiert ein solcher Punkt.

Also für jede reelle Zahl α Es ist möglich, einer geraden Linie einen genau definierten Punkt zuzuordnen l . Dieser Punkt wird einen Abstand von | haben α | Längeneinheiten und rechts von O liegen, wenn α > 0, und links von O, wenn α < 0. Очевидно, что при этом двум неравным действительным числам будут соответствовать две verschiedene Punkte gerade l . In der Tat, lassen Sie die Nummer α Punkt A entspricht und die Zahl β - Punkt B. Dann, wenn α > β , dann befindet sich A rechts von B (Abb. 62, a); Wenn α < β , dann liegt A links von B (Abb. 62, b).

Als wir in § 37 über das geometrische Bild rationaler Zahlen sprachen, stellten wir die Frage: Kann jeder Punkt auf einer Linie als geometrisches Bild einiger betrachtet werden? rational Zahlen? Diese Frage konnten wir damals nicht beantworten; Jetzt können wir es ganz eindeutig beantworten. Es gibt Punkte auf der Linie, die als geometrische Darstellung irrationaler Zahlen dienen (z. B. √2). Daher stellt nicht jeder Punkt auf einer Geraden eine rationale Zahl dar. In diesem Fall stellt sich jedoch eine andere Frage: Kann jeder Punkt auf der Zahlenlinie als geometrisches Bild einiger Punkte betrachtet werden? gültig Zahlen? Dieses Problem wurde bereits positiv gelöst.

Sei A tatsächlich ein beliebiger Punkt auf der Geraden l , rechts von O liegend (Abb. 63).

Die Länge des Segments OA wird durch eine positive reelle Zahl ausgedrückt α (siehe § 41). Daher ist Punkt A ein geometrisches Abbild der Zahl α . Ebenso wird festgestellt, dass jeder Punkt B, der links von O liegt, als geometrisches Bild einer negativen reellen Zahl betrachtet werden kann – β , Wo β - Länge des Segments VO. Schließlich dient der Punkt O als geometrische Darstellung der Zahl Null. Es ist klar, dass zwei verschiedene Punkte auf einer Linie liegen l kann kein geometrisches Bild derselben reellen Zahl sein.

Aus den oben genannten Gründen wird eine Gerade genannt, auf der ein bestimmter Punkt O als „Ausgangspunkt“ (für eine gegebene Längeneinheit) angegeben ist Zahlenstrahl.

Abschluss. Die Menge aller reellen Zahlen und die Menge aller Punkte auf der Zahlengeraden stehen in einer Eins-zu-eins-Entsprechung.

Dies bedeutet, dass jede reelle Zahl einem genau definierten Punkt auf der Zahlengeraden entspricht und umgekehrt jedem Punkt auf der Zahlengeraden mit einer solchen Entsprechung eine genau definierte reelle Zahl entspricht.

Übungen

320. Finden Sie heraus, welcher der beiden Punkte links und welcher rechts auf der Zahlengeraden liegt, wenn diese Punkte Zahlen entsprechen:

a) 1.454545... und 1.455454...; c) 0 und - 1,56673...;

b) - 12.0003... und - 12.0002...; d) 13.24... und 13.00...

321. Finden Sie heraus, welcher der beiden Punkte auf der Zahlenlinie weiter vom Startpunkt O entfernt liegt, wenn diese Punkte den Zahlen entsprechen:

a) 5,2397... und 4,4996...; .. c) -0,3567... und 0,3557... .

d) - 15.0001 und - 15.1000...;

322. In diesem Abschnitt wurde gezeigt, dass man ein Segment der Länge √ konstruieren kann N Mit einem Zirkel und einem Lineal können Sie wie folgt vorgehen: Konstruieren Sie zunächst ein Segment der Länge √2, dann ein Segment der Länge √3 usw., bis wir ein Segment der Länge √ erreichen N . Aber für jeden festen P > 3 Dieser Prozess kann beschleunigt werden. Wie würden Sie beispielsweise beginnen, ein Segment der Länge √10 zu konstruieren?

323*. So finden Sie mit Zirkel und Lineal den Punkt auf der Zahlengeraden, der der Zahl 1 entspricht / α , wenn die Position des Punktes der Zahl entspricht α , ist es bekannt?