Arkuskosinus aus der Kosinusformel. Lassen Sie uns durch alle inversen trigonometrischen Funktionen ausdrücken

Die Funktionen sin, cos, tg und ctg werden immer von Arkussinus, Arkuskosinus, Arkustangens und Arkuskotangens begleitet. Das eine ist eine Folge des anderen, und Funktionspaare sind für die Arbeit mit trigonometrischen Ausdrücken gleichermaßen wichtig.

Betrachten Sie eine Zeichnung eines Einheitskreises, der die Werte trigonometrischer Funktionen grafisch darstellt.

Wenn wir die Bögen OA, arcos OC, arctg DE und arcctg MK berechnen, dann sind sie alle gleich dem Wert des Winkels α. Die folgenden Formeln spiegeln die Beziehung zwischen den grundlegenden trigonometrischen Funktionen und ihren entsprechenden Bögen wider.

Um mehr über die Eigenschaften des Arkussinus zu verstehen, ist es notwendig, seine Funktion zu betrachten. Zeitplan hat die Form einer asymmetrischen Kurve, die durch das Koordinatenzentrum verläuft.

Eigenschaften des Arkussinus:

Wenn wir die Grafiken vergleichen Sünde Und Arcsin können zwei trigonometrische Funktionen gemeinsame Prinzipien haben.

Arkuskosinus

Arccos einer Zahl ist der Wert des Winkels α, dessen Cosinus gleich a ist.

Kurve y = arcos x spiegelt den arcsin x-Graphen wider, mit dem einzigen Unterschied, dass er durch den Punkt π/2 auf der OY-Achse verläuft.

Schauen wir uns die Arcus-Cosinus-Funktion genauer an:

1. Die Funktion ist im Intervall [-1; 1].
2. ODZ für Arccos - .
3. Der Graph liegt vollständig im ersten und zweiten Viertel und die Funktion selbst ist weder gerade noch ungerade.
4. Y = 0 bei x = 1.
5. Die Kurve nimmt über ihre gesamte Länge ab. Einige Eigenschaften des Arkuskosinus stimmen mit der Kosinusfunktion überein.

Einige Eigenschaften des Arkuskosinus stimmen mit der Kosinusfunktion überein.

Vielleicht finden Schulkinder ein so „detailliertes“ Studium der „Bögen“ unnötig. Ansonsten jedoch einige grundlegende typische Aufgaben zum Einheitlichen Staatsexamen kann bei Schülern Verwirrung stiften.

Übung 1. Geben Sie die in der Abbildung gezeigten Funktionen an.

Antwort: Reis. 1 – 4, Abb. 2 – 1.

IN in diesem Beispiel Der Schwerpunkt liegt auf den kleinen Dingen. Typischerweise sind Studierende sehr unaufmerksam gegenüber der Konstruktion von Graphen und dem Erscheinungsbild von Funktionen. Warum sollte man sich eigentlich den Kurventyp merken, wenn er immer anhand berechneter Punkte dargestellt werden kann? Vergessen Sie nicht, dass unter Testbedingungen die Zeit, die für das Zeichnen einer einfachen Aufgabe aufgewendet wird, für die Lösung komplexerer Aufgaben benötigt wird.

Arcustangens

Arctg Die Zahlen a sind der Wert des Winkels α, so dass sein Tangens gleich a ist.

Wenn wir den Arkustangensgraphen betrachten, können wir die folgenden Eigenschaften hervorheben:

1. Der Graph ist unendlich und auf dem Intervall (- ∞; + ∞) definiert.
2. Arcustangens komische Funktion, also arctan (- x) = - arctan x.
3. Y = 0 bei x = 0.
4. Die Kurve steigt über den gesamten Definitionsbereich an.

Hier ist eine kurze vergleichende Analyse tg x und arctg x in Tabellenform.

Arckotangens

Arcctg einer Zahl – nimmt einen Wert α aus dem Intervall (0; π) an, sodass sein Kotangens gleich a ist.

Eigenschaften der Arcus-Kotangens-Funktion:

1. Das Funktionsdefinitionsintervall ist unendlich.
2. Der Bereich akzeptabler Werte ist das Intervall (0; π).
3. F(x) ist weder gerade noch ungerade.
4. Der Graph der Funktion nimmt über seine gesamte Länge ab.

Der Vergleich von ctg x und arctg x ist sehr einfach; Sie müssen lediglich zwei Zeichnungen erstellen und das Verhalten der Kurven beschreiben.

Aufgabe 2. Passen Sie den Graphen und die Notationsform der Funktion an.

Wenn wir logisch denken, wird aus den Diagrammen deutlich, dass beide Funktionen zunehmen. Daher weisen beide Figuren eine gewisse Arctan-Funktion auf. Aus den Eigenschaften des Arkustangens ist bekannt, dass y=0 bei x = 0,

Antwort: Reis. 1 – 1, Abb. 2 – 4.

Trigonometrische Identitäten arcsin, arcos, arctg und arcctg

Zuvor haben wir bereits den Zusammenhang zwischen Bögen und den Grundfunktionen der Trigonometrie identifiziert. Diese Abhängigkeit kann durch eine Reihe von Formeln ausgedrückt werden, die es ermöglichen, beispielsweise den Sinus eines Arguments durch seinen Arkussinus, Arkuskosinus oder umgekehrt auszudrücken. Die Kenntnis solcher Identitäten kann bei der Lösung konkreter Beispiele hilfreich sein.

Es gibt auch Beziehungen für arctg und arcctg:

Ein weiteres nützliches Formelpaar legt den Wert für die Summe von arcsin und arcos sowie arcctg und arcctg desselben Winkels fest.

Beispiele für Problemlösungen

Trigonometrieaufgaben können in vier Gruppen unterteilt werden: Berechnen Sie den numerischen Wert eines bestimmten Ausdrucks, erstellen Sie einen Graphen einer bestimmten Funktion, finden Sie ihren Definitionsbereich oder ODZ und führen Sie analytische Transformationen durch, um das Beispiel zu lösen.

Bei der Lösung der ersten Art von Problem müssen Sie sich daran halten nächster Plan Aktionen:

Bei der Arbeit mit Funktionsgraphen kommt es vor allem auf die Kenntnis ihrer Eigenschaften an Aussehen krumm. Für Lösungen trigonometrische Gleichungen und Ungleichungen werden Identitätstabellen benötigt. Je mehr Formeln sich ein Schüler merkt, desto einfacher ist es, die Antwort auf die Aufgabe zu finden.

Nehmen wir an, Sie müssen im Einheitlichen Staatsexamen die Antwort auf eine Gleichung wie die folgende finden:

Wenn Sie den Ausdruck richtig umwandeln und in die gewünschte Form bringen, ist die Lösung sehr einfach und schnell. Verschieben wir zunächst arcsin x auf die rechte Seite der Gleichheit.

Wenn Sie sich an die Formel erinnern arcsin (sin α) = α, dann können wir die Suche nach Antworten auf die Lösung eines Systems aus zwei Gleichungen reduzieren:

Die Einschränkung auf das Modell x ergab sich wiederum aus den Eigenschaften von arcsin: ODZ für x [-1; 1]. Wenn a ≠0, ist ein Teil des Systems vorhanden quadratische Gleichung mit Wurzeln x1 = 1 und x2 = - 1/a. Wenn a = 0, ist x gleich 1.

Was ist Arkussinus, Arkuskosinus? Was ist Arcustangens, Arkuskotangens?

Aufmerksamkeit!
Es gibt noch weitere
Materialien im Sonderabschnitt 555.
Für diejenigen, die sehr „nicht sehr…“ sind
Und für diejenigen, die „sehr…“)

Zu Konzepten Arkussinus, Arkuskosinus, Arkustangens, Arkuskotangens Die Studierendenschaft ist vorsichtig. Er versteht diese Begriffe nicht und traut daher dieser netten Familie nicht.) Aber vergebens. Das ist sehr einfache Konzepte. Was übrigens das Leben enorm erleichtert. sachkundige Person beim Lösen trigonometrischer Gleichungen!

Zweifel an der Einfachheit? Vergebens.) Genau hier und jetzt werden Sie dies sehen.

Zum Verständnis wäre es natürlich schön zu wissen, was Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens sind. Ja, ihre tabellarischen Werte für einige Winkel... Zumindest in den meisten allgemeiner Überblick. Dann wird es auch hier keine Probleme geben.

Wir sind also überrascht, aber denken Sie daran: Arkussinus, Arkuskosinus, Arkustangens und Arkuskotangens sind nur einige Winkel. Nicht mehr und nicht weniger. Es gibt einen Winkel, sagen wir 30°. Und es gibt eine Ecke arcsin0,4. Oder arctg(-1,3). Es gibt alle möglichen Winkel. Sie können die Winkel einfach aufschreiben verschiedene Wege. Sie können den Winkel in Grad oder Bogenmaß angeben. Oder Sie können - durch seinen Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens ...

Was bedeutet der Ausdruck

arcsin 0,4 ?

Dies ist ein Winkel, dessen Sinus 0,4 beträgt! Ja Ja. Dies ist die Bedeutung von Arkussinus. Ich wiederhole ausdrücklich: Arcsin 0,4 ist ein Winkel, dessen Sinus gleich 0,4 ist.

Und alle.

Um diesen einfachen Gedanken lange im Kopf zu behalten, werde ich Ihnen sogar eine Aufschlüsselung dieses schrecklichen Begriffs geben – Arkussinus:

Bogen Sünde 0,4
Ecke, dessen Sinus gleich 0,4

Wie es geschrieben steht, so wird es gehört.) Fast. Konsole Bogen bedeutet Bogen(Wort Bogen weißt du?), weil Die alten Menschen verwendeten Bögen anstelle von Winkeln, aber das ändert nichts am Wesen der Sache. Erinnern Sie sich an diese elementare Dekodierung eines mathematischen Begriffs! Darüber hinaus unterscheidet sich die Dekodierung für Arkuskosinus, Arkustangens und Arkuskotangens nur im Namen der Funktion.

Was ist Arccos 0,8?
Dies ist ein Winkel, dessen Kosinus 0,8 beträgt.

Was ist arctg(-1,3)?
Dies ist ein Winkel, dessen Tangens -1,3 beträgt.

Was ist arcctg 12?
Dies ist ein Winkel, dessen Kotangens 12 beträgt.

Eine solche elementare Dekodierung ermöglicht es übrigens, epische Fehler zu vermeiden.) Beispielsweise sieht der Ausdruck arccos1,8 recht solide aus. Beginnen wir mit der Dekodierung: arccos1,8 ist ein Winkel, dessen Kosinus gleich 1,8 ist... Jump-jump!? 1,8!? Der Kosinus kann nicht größer als eins sein!!!

Rechts. Der Ausdruck arccos1,8 ergibt keinen Sinn. Und das Schreiben eines solchen Ausdrucks in irgendeiner Antwort wird den Inspektor sehr amüsieren.)

Elementar, wie Sie sehen können.) Jeder Winkel hat seinen eigenen persönlichen Sinus und Cosinus. Und fast jeder hat seinen eigenen Tangens und Kotangens. Wenn wir also die trigonometrische Funktion kennen, können wir den Winkel selbst aufschreiben. Dafür sind Arkussinus, Arkuskosinus, Arkustangens und Arkuskotangens gedacht. Von nun an werde ich diese ganze Familie bei einem Verkleinerungsnamen nennen – Bögen. Um weniger zu tippen.)

Aufmerksamkeit! Elementare verbale und bewusst Durch das Entschlüsseln von Bögen können Sie eine Vielzahl von Aufgaben ruhig und souverän lösen. Und in ungewöhnlich Nur sie speichert Aufgaben.

Ist es möglich, von Bögen zu gewöhnlichen Graden oder Bogenmaßen zu wechseln?- Ich höre eine vorsichtige Frage.)

Warum nicht!? Leicht. Sie können hin und zurück gehen. Darüber hinaus muss dies manchmal getan werden. Bögen sind eine einfache Sache, aber ohne sie ist es irgendwie ruhiger, oder?)

Zum Beispiel: Was ist Arcsin 0,5?

Erinnern wir uns an die Dekodierung: arcsin 0,5 ist der Winkel, dessen Sinus 0,5 beträgt. Schalten Sie nun Ihren Kopf (oder Google) ein und erinnern Sie sich, welcher Winkel einen Sinus von 0,5 hat? Sinus ist gleich 0,5 y 30 Grad Winkel. Das ist es: arcsin 0,5 ist ein Winkel von 30°. Sie können sicher schreiben:

arcsin 0,5 = 30°

Oder, formeller ausgedrückt, im Bogenmaß:

Das war's, Sie können den Arkussinus vergessen und mit den üblichen Graden oder Bogenmaßen weiterarbeiten.

Wenn Sie es bemerkt haben Was ist Arkussinus, Arkuskosinus... Was ist Arkustangens, Arkuskotangens... Mit einem solchen Monster kommt man zum Beispiel leicht zurecht.)

Eine unwissende Person wird entsetzt zurückschrecken, ja...) Aber eine informierte Person Erinnern Sie sich an die Dekodierung: Arkussinus ist der Winkel, dessen Sinus... Und so weiter. Wenn eine sachkundige Person auch die Sinustabelle kennt... Die Kosinustabelle. Tabelle der Tangenten und Kotangenten, dann gibt es überhaupt keine Probleme!

Es genügt zu erkennen, dass:

Ich werde es entziffern, d.h. Lassen Sie mich die Formel in Worte fassen: Winkel, dessen Tangente 1 ist (arctg1)- das ist ein Winkel von 45°. Oder, was dasselbe ist, Pi/4. Ebenfalls:

und das ist alles... Wir ersetzen alle Bögen durch Werte im Bogenmaß, alles wird reduziert, es bleibt nur noch zu berechnen, wie viel 1+1 ist. Es wird 2 sein.) Welches ist die richtige Antwort?

So können (und sollten) Sie von Arkussinus, Arkuskosinus, Arkustangens und Arkuskotangens zu gewöhnlichen Graden und Bogenmaßen wechseln. Dies vereinfacht gruselige Beispiele erheblich!

In solchen Beispielen gibt es oft innerhalb der Bögen Negativ Bedeutungen. Wie arctg(-1.3) oder zum Beispiel arccos(-0.8)... Das ist kein Problem. Hier sind einfache Formeln für den Übergang von negativen zu positiven Werten:

Sie müssen beispielsweise den Wert des Ausdrucks bestimmen:

Dies kann mit dem trigonometrischen Kreis gelöst werden, aber Sie möchten ihn nicht zeichnen. Na ja, okay. Wir ziehen ab Negativ Werte innerhalb des Arkuskosinus von k positiv nach der zweiten Formel:

Im rechten Bogen befindet sich bereits der Kosinus positiv Bedeutung. Was

Sie müssen es einfach wissen. Es bleibt nur noch, das Bogenmaß anstelle des Arkuskosinus zu ersetzen und die Antwort zu berechnen:

Das ist alles.

Einschränkungen für Arkussinus, Arkuskosinus, Arkustangens, Arkuskotangens.

Gibt es ein Problem mit den Beispielen 7–9? Nun ja, da gibt es einen Trick.)

Alle diese Beispiele von 1 bis 9 werden in Abschnitt 555 sorgfältig analysiert. Was, wie und warum. Mit allen geheimen Fallen und Tricks. Plus Möglichkeiten, die Lösung erheblich zu vereinfachen. In diesem Abschnitt gibt es übrigens einiges nützliche Informationen Und praktische Ratschläge zur Trigonometrie im Allgemeinen. Und das nicht nur in der Trigonometrie. Hilft sehr.

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Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lasst uns lernen – mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Umkehren trigonometrische Funktionen (Kreisfunktionen, Bogenfunktionen) – mathematische Funktionen, die zu trigonometrischen Funktionen invers sind.

Diese umfassen in der Regel 6 Funktionen:

• Arkussinus(Bezeichnung: arcsin x; arcsin x- Das ist der Winkel Sünde was gleich ist X),
• Arkuskosinus(Bezeichnung: arccos x; arccos x ist der Winkel, dessen Kosinus gleich ist X usw),
• Arkustangens(Bezeichnung: arctan x oder arctan x),
• Arkuskotangens(Bezeichnung: arcctg x oder arccot ​​​​x oder arccotan x),
• Bogensekant(Bezeichnung: Bogensekunden x),
• Arkuskosekant(Bezeichnung: arccosec x oder arccsc x).

Arkussinus (y = arcsin x) - Umkehrfunktion zu Sünde (x = Sünde y . Mit anderen Worten: Gibt den Winkel anhand seines Werts zurück Sünde.

Arkuskosinus (y = arccos x) - Umkehrfunktion zu cos (x = cos y cos.

Arcustangens (y = arctan x) - Umkehrfunktion zu tg (x = tan y), das eine Domäne und eine Reihe von Werten hat . Mit anderen Worten: Gibt den Winkel anhand seines Werts zurück tg.

Arckotangens (y = arcctg x) - Umkehrfunktion zu ctg (x = cotg y), das einen Definitionsbereich und eine Reihe von Werten hat. Mit anderen Worten: Gibt den Winkel anhand seines Werts zurück ctg.

Bogensekunden- Arcsecant, gibt den Winkel entsprechend dem Wert seines Sekants zurück.

arccosec- Arkuskosekans, gibt einen Winkel basierend auf dem Wert seines Kosekans zurück.

Wenn die inverse trigonometrische Funktion an einem bestimmten Punkt nicht definiert ist, erscheint ihr Wert nicht in der endgültigen Tabelle. Funktionen Bogensekunden Und arccosec werden nicht auf dem Segment (-1,1) bestimmt, aber Arcsin Und arccos werden nur im Intervall [-1,1] bestimmt.

Der Name der inversen trigonometrischen Funktion wird aus dem Namen der entsprechenden trigonometrischen Funktion gebildet, indem das Präfix „arc-“ (von lat. Bogen uns- Bogen). Dies ist auf die Tatsache zurückzuführen, dass der Wert der umgekehrten trigonometrischen Funktion geometrisch mit der Länge des Bogens des Einheitskreises (oder dem Winkel, der diesen Bogen bildet) verbunden ist, der dem einen oder anderen Segment entspricht.

Manchmal werden in der ausländischen Literatur sowie in wissenschaftlichen/technischen Taschenrechnern Notationen wie verwendet sin−1, cos −1 für Arkussinus, Arkuskosinus und dergleichen gilt dies als nicht ganz genau, weil Es kann zu Verwechslungen mit der Potenzierung einer Funktion kommen −1 (« −1 » (minus der ersten Potenz) definiert die Funktion x = f -1 (y), die Umkehrung der Funktion y = f(x)).

Grundbeziehungen inverser trigonometrischer Funktionen.

Dabei ist darauf zu achten, für welche Intervalle die Formeln gelten.

Formeln, die inverse trigonometrische Funktionen in Beziehung setzen.

Bezeichnen wir einen der Werte der inversen trigonometrischen Funktionen mit Arcsin x, Arccos x, Arctan x, Arccot ​​​​x und behalten Sie die Notation bei: arcsin x, arcos x, arctan x, arccot ​​​​x für ihre Hauptwerte, dann wird die Verbindung zwischen ihnen durch solche Beziehungen ausgedrückt.

Bei einer Reihe von Problemen in der Mathematik und ihren Anwendungen ist es notwendig, einen bekannten Wert einer trigonometrischen Funktion zu verwenden, um den entsprechenden Wert eines Winkels zu ermitteln, ausgedrückt in Grad oder Bogenmaß. Es ist bekannt, dass unendlich viele Winkel dem gleichen Sinuswert entsprechen. Wenn beispielsweise $\sin α=1/2,$, dann kann der Winkel $α$ gleich $30°$ und $150°,$ sein oder im Bogenmaß $π /6$ und $5π/6,$ und jeder der Winkel, die man daraus erhält, indem man einen Term der Form $360°⋅k,$ bzw. $2πk,$ hinzufügt, wobei $k $ ist eine beliebige Ganzzahl. Dies wird auch deutlich, wenn man den Graphen der Funktion $y=\sin x$ auf dem gesamten Zahlenstrahl untersucht (siehe Abb. $1$): Wenn wir auf der $Oy$-Achse ein Segment der Länge $1/2$ zeichnen und zeichnen eine gerade Linie parallel zur $Ox-Achse $, dann schneidet sie die Sinuskurve an unendlich vielen Punkten. Um eine mögliche Vielfalt der Antworten zu vermeiden, werden inverse trigonometrische Funktionen eingeführt, die auch Kreis- oder Bogenfunktionen genannt werden (vom lateinischen Wort arcus – „Bogen“).

Die vier wichtigsten trigonometrischen Funktionen $\sin x,$ $\cos x,$ $\mathrm(tg)\,x$ und $\mathrm(ctg)\,x$ entsprechen vier Bogenfunktionen $\arcsin x,$ $ \arccos x ,$ $\mathrm(arctg)\,x$ und $\mathrm(arcctg)\,x$ (sprich: Arkussinus, Arkuskosinus, Arkustangens, Arkuskotangens). Betrachten wir die Funktionen \arcsin x und \mathrm(arctg)\,x, da die anderen beiden durch sie mit den Formeln ausgedrückt werden:

$\arccos x = \frac(π)(2) − \arcsin x,$ $\mathrm(arcctg)\,x = \frac(π)(2) − \mathrm(arctg)\,x.$

Die Gleichheit $y = \arcsin x$ bedeutet per Definition den Winkel $y,$, ausgedrückt im Bogenmaß und im Bereich von $−\frac(π)(2)$ bis $\frac(π)(2), $ Sinus, der gleich $x,$ ist, d. h. $\sin y = x.$ Die Funktion $\arcsin x$ ist die Umkehrfunktion der Funktion $\sin x,$, betrachtet auf dem Intervall $\left[−\frac (π)(2 ),+\frac(π)(2)\right],$ wobei diese Funktion monoton ansteigt und alle Werte von $−1$ bis $+1 annimmt.$ Offensichtlich ist das Argument $y$ der Funktion $\arcsin x$ kann nur Werte aus dem Intervall $\left[−1,+1\right].$ annehmen. Die Funktion $y=\arcsin x$ ist also auf dem Intervall $\left definiert [−1,+1\right],$ ist monoton wachsend und seine Werte füllen das Segment $\left[−\frac(π)(2),+\frac(π)(2)\right]. $ Der Graph der Funktion ist in Abb. dargestellt. $2.$

Unter der Bedingung $−1 ≤ a ≤ 1$ können wir alle Lösungen der Gleichung $\sin x = a$ in der Form $x=(−1)^n \arcsin a + πn,$ $n=0 darstellen ,±1,± 2, ….$ Zum Beispiel, wenn

$\sin x = \frac(\sqrt(2))(2)$ dann $x = (−1)^n \frac(π)(4)+πn,$ $n = 0, ±1, ±2 ,….$

Die Beziehung $y=\mathrm(arcctg)\,x$ ist für alle Werte von $x$ definiert und bedeutet per Definition, dass der Winkel $y,$, ausgedrückt im Bogenmaß, darin enthalten ist

$−\frac(π)(2)

und der Tangens dieses Winkels ist gleich x, also $\mathrm(tg)\,y = x.$ Die Funktion $\mathrm(arctg)\,x$ ist auf dem gesamten Zahlenstrahl definiert und die Umkehrfunktion von die Funktion $\mathrm( tg)\,x$, die nur auf dem Intervall betrachtet wird

$−\frac(π)(2)

Die Funktion $y = \mathrm(arctg)\,x$ ist monoton wachsend, ihr Graph ist in Abb. dargestellt. $3.$

Alle Lösungen der Gleichung $\mathrm(tg)\,x = a$ können in der Form $x=\mathrm(arctg)\,a+πn,$ $n=0,±1,±2,… geschrieben werden. .$

Beachten Sie, dass inverse trigonometrische Funktionen häufig verwendet werden mathematische Analyse. Beispielsweise war eine der ersten Funktionen, für die eine Darstellung durch eine unendliche Potenzreihe erhalten wurde, die Funktion $\mathrm(arctg)\,x.$ Aus dieser Reihe, G. Leibniz, mit einem festen Wert des Arguments $x =1$, erhält die berühmte Darstellung einer Zahl bis ins Unendliche

Definition und Notation

Arkussinus (y = arcsin x) ist die Umkehrfunktion des Sinus (x = siny -1 ≤ x ≤ 1 und die Wertemenge -π /2 ≤ y ≤ π/2.
sin(arcsin x) = x ;
arcsin(sin x) = x .

Arkussinus wird manchmal wie folgt bezeichnet:
.

Diagramm der Arkussinusfunktion

Graph der Funktion y = arcsin x

Der Arkussinus-Graph ergibt sich aus dem Sinus-Graph, wenn Abszissen- und Ordinatenachse vertauscht werden. Um Mehrdeutigkeiten zu vermeiden, wird der Wertebereich auf das Intervall beschränkt, über das die Funktion monoton ist. Diese Definition wird als Hauptwert des Arkussinus bezeichnet.

Arccosinus, arccos

Definition und Notation

Arkuskosinus (y = arccos x) ist die Umkehrfunktion des Kosinus (x = gemütlich). Es hat einen Umfang -1 ≤ x ≤ 1 und viele Bedeutungen 0 ≤ y ≤ π.
cos(arccos x) = x ;
arccos(cos x) = x .

Arkuskosinus wird manchmal wie folgt bezeichnet:
.

Diagramm der Arcus-Cosinus-Funktion

Graph der Funktion y = arccos x

Der Arcus-Cosinus-Graph ergibt sich aus dem Cosinus-Graph, wenn Abszissen- und Ordinatenachse vertauscht werden. Um Mehrdeutigkeiten zu vermeiden, wird der Wertebereich auf das Intervall beschränkt, über das die Funktion monoton ist. Diese Definition wird als Hauptwert des Arkuskosinus bezeichnet.

Parität

Die Arkussinusfunktion ist ungerade:
arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - Arcsin x

Die Arkuskosinusfunktion ist weder gerade noch ungerade:
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x

Eigenschaften - Extrema, Zunahme, Abnahme

Die Funktionen Arkussinus und Arkuskosinus sind in ihrem Definitionsbereich stetig (siehe Kontinuitätsnachweis). Die Haupteigenschaften von Arkussinus und Arkuskosinus sind in der Tabelle dargestellt.

	y = arcsin x	y = arccos x
Umfang und Kontinuität	- 1 ≤ x ≤ 1	- 1 ≤ x ≤ 1
Wertebereich
Aufsteigend absteigend	monoton zunimmt	nimmt monoton ab
Höhen
Mindestbeträge
Nullen, y = 0	x = 0	x = 1
Schnittpunkte mit der Ordinatenachse, x = 0	y = 0	y = π/ 2

Tabelle der Arkussinus- und Arkuskosinusse

Diese Tabelle zeigt die Werte von Arkussinus und Arkuskosinus in Grad und Bogenmaß für bestimmte Werte des Arguments.

X	arcsin x		arccos x
	Hagel	froh.	Hagel	froh.
- 1	- 90°	-	180°	π
-	- 60°	-	150°
-	- 45°	-	135°
-	- 30°	-	120°
0	0°	0	90°
	30°		60°
	45°		45°
	60°		30°
1	90°		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

Formeln

Siehe auch: Ableitung von Formeln für inverse trigonometrische Funktionen

Summen- und Differenzformeln

bei oder

bei und

bei und

bei oder

bei und

bei und

bei

bei

bei

bei

Ausdrücke durch Logarithmen, komplexe Zahlen

Siehe auch: Formeln ableiten

Ausdrücke durch hyperbolische Funktionen

Derivate

;
.
Siehe Ableitung von Arkussinus- und Arkuskosinus-Ableitungen > > >

Derivate höherer Ordnung:
,
Wo ist ein Polynom vom Grad? Es wird durch die Formeln bestimmt:
;
;
.

Siehe Ableitung von Ableitungen höherer Ordnung von Arkussinus und Arkuskosinus > > >

Integrale

Wir führen die Substitution x = durch sint. Wir integrieren partiell und berücksichtigen dabei, dass -π/ 2 ≤ t ≤ π/2, Kosten ≥ 0:
.

Lassen Sie uns den Arkuskosinus durch den Arkussinus ausdrücken:
.

Serienerweiterung

Wenn |x|< 1 es findet folgende Zerlegung statt:
;
.

Umkehrfunktionen

Die Umkehrwerte von Arkussinus und Arkuskosinus sind Sinus bzw. Kosinus.

Im gesamten Definitionsbereich gelten folgende Formeln:
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .

Die folgenden Formeln gelten nur für die Menge der Arkussinus- und Arkuskosinuswerte:
arcsin(sin x) = x bei
arccos(cos x) = x bei .

Verweise:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten, „Lan“, 2009.

Siehe auch: