Lösen Sie quadratische Gleichungen online. Lösen Sie online eine quadratische Gleichung. So lösen Sie eine quadratische Gleichung

Wir bieten Ihnen ein bequemes kostenloses Online-Rechner zum Lösen quadratischer Gleichungen. Anhand anschaulicher Beispiele können Sie schnell nachvollziehen, wie sie gelöst werden.
Produzieren Lösen Sie quadratische Gleichungen online Reduzieren Sie zunächst die Gleichung auf Gesamterscheinung:
Axt 2 + bx + c = 0
Füllen Sie die Formularfelder entsprechend aus:

So lösen Sie eine quadratische Gleichung

Beispiel 1. Lösen einer gewöhnlichen quadratischen Gleichung mit verschiedenen reellen Wurzeln.
x 2 + 3x -10 = 0
In dieser Gleichung
A=1, B=3, C=-10
D=B 2 -4*A*C = 9-4*1*(-10) = 9+40 = 49
Quadratwurzel Wir werden es als Zahl 1/2 bezeichnen!
x1=(-B+D 1/2)/2A = (-3+7)/2 = 2
x2=(-B-D 1/2)/2A = (-3-7)/2 = -5

Um dies zu überprüfen, ersetzen wir:
(x-2)*(x+5) = x2 -2x +5x – 10 = x2 + 3x -10

Beispiel 2. Lösen einer quadratischen Gleichung mit passenden reellen Wurzeln.
x 2 – 8x + 16 = 0
A=1, B = -8, C=16
D = k 2 – AC = 16 – 16 = 0
X = -k/A = 4

Lasst uns ersetzen
(x-4)*(x-4) = (x-4)2 = X 2 – 8x + 16

Beispiel 3. Lösen einer quadratischen Gleichung mit komplexen Wurzeln.
13x 2 – 4x + 1 = 0
A=1, B = -4, C=9
D = b 2 – 4AC = 16 – 4*13*1 = 16 - 52 = -36
Die Diskriminante ist negativ – die Wurzeln sind komplex.

X1=(-B+D 1/2)/2A = (4+6i)/(2*13) = 2/13+3i/13
x2=(-B-D 1/2)/2A = (4-6i)/(2*13) = 2/13-3i/13
, wobei I die Quadratwurzel von -1 ist

Hier sind eigentlich alle möglichen Fälle zur Lösung quadratischer Gleichungen aufgeführt.
Wir hoffen, dass unsere Online-Rechner wird für Sie sehr nützlich sein.
Wenn das Material nützlich war, können Sie es tun

In diesem Artikel lernen wir, biquadratische Gleichungen zu lösen.

Welche Art von Gleichungen nennt man also biquadratisch?
Alle Gleichungen der Form ah 4 + bx 2 + C = 0 , Wo a ≠ 0, die bezüglich x 2 quadratisch sind, und heißen biquadratisch Gleichungen. Wie Sie sehen können, ist dieser Eintrag dem Eintrag für eine quadratische Gleichung sehr ähnlich, daher werden wir biquadratische Gleichungen mit den Formeln lösen, die wir zum Lösen der quadratischen Gleichung verwendet haben.

Wir müssen nur eine neue Variable einführen, das heißt, wir bezeichnen x 2 eine andere Variable, zum Beispiel bei oder T (oder jeder andere Buchstabe des lateinischen Alphabets).

Zum Beispiel, Lasst uns die Gleichung lösen x 4 + 4x 2 ‒ 5 = 0.

Bezeichnen wir x 2 durch bei (x 2 = y ) und wir erhalten die Gleichung y 2 + 4y – 5 = 0.
Wie Sie sehen, wissen Sie bereits, wie man solche Gleichungen löst.

Wir lösen die resultierende Gleichung:

D = 4 · 2 – 4 (‒ 5) = 16 + 20 = 36, √D = √36 = 6.

y 1 = (‒ 4 – 6)/2= ‒ 10 /2 = ‒ 5,

y 2 = (‒ 4 + 6)/2= 2 /2 = 1.

Kehren wir zu unserer Variablen x zurück.

Wir haben herausgefunden, dass x 2 = ‒ 5 und x 2 = 1.

Wir stellen fest, dass die erste Gleichung keine Lösungen hat und die zweite zwei Lösungen liefert: x 1 = 1 und x 2 = ‒1. Achten Sie darauf, die negative Wurzel nicht zu verlieren (meistens erhalten sie die Antwort x = 1, aber das ist nicht korrekt).

Antwort:- 1 und 1.

Um das Thema besser zu verstehen, schauen wir uns einige Beispiele an.

Beispiel 1. Löse die Gleichung 2x 4 ‒ 5 x 2 + 3 = 0.

Sei x 2 = y, dann ist 2y 2 ‒ 5y + 3 = 0.

D = (‒ 5) 2 – 4 2 3 = 25 ‒ 24 = 1, √D = √1 = 1.

y 1 = (5 – 1)/(2 2) = 4 /4 =1, y 2 = (5 + 1)/(2 2) = 6 /4 =1,5.

Dann ist x 2 = 1 und x 2 = 1,5.

Wir erhalten x 1 = ‒1, x 2 = 1, x 3 = ‒ √1,5, x 4 = √1,5.

Antwort: ‒1; 1; ‒ √1,5; √1,5.

Beispiel 2. Löse die Gleichung 2x 4 + 5 x 2 + 2 = 0.

2y 2 + 5y + 2 =0.

D = 5 2 – 4 2 2 = 25 ‒ 16 = 9, √D = √9 = 3.

y 1 = (‒ 5 – 3)/(2 2) = ‒ 8 /4 = ‒2, y 2 = (‒5 + 3)/(2 2) = ‒ 2 /4 = ‒ 0,5.

Dann ist x 2 = - 2 und x 2 = - 0,5. Bitte beachten Sie, dass keine dieser Gleichungen eine Lösung hat.

Antwort: es gibt keine Lösungen.

Unvollständige biquadratische Gleichungen- es ist wann B = 0 (ax 4 + c = 0) oder C = 0

(ax 4 + bx 2 = 0) werden wie unvollständige quadratische Gleichungen gelöst.

Beispiel 3. Löse die Gleichung x 4 ‒ 25x 2 = 0

Lassen Sie uns faktorisieren, x 2 aus Klammern setzen und dann x 2 (x 2 ‒ 25) = 0.

Wir erhalten x 2 = 0 oder x 2 ‒ 25 = 0, x 2 = 25.

Dann haben wir Wurzeln 0; 5 und – 5.

Antwort: 0; 5; – 5.

Beispiel 4. Löse die Gleichung 5x 4 ‒ 45 = 0.

x 2 = ‒ √9 (hat keine Lösungen)

x 2 = √9, x 1 = ‒ 3, x 2 = 3.

Wie Sie sehen, können Sie, wenn Sie quadratische Gleichungen lösen können, auch biquadratische Gleichungen lösen.

Wenn Sie noch Fragen haben, melden Sie sich für meinen Unterricht an. Nachhilfelehrerin Valentina Galinevskaya.

Wenn Sie Material ganz oder teilweise kopieren, ist ein Link zur Quelle erforderlich.

Ziele:

1. Systematisieren und verallgemeinern Sie Kenntnisse und Fähigkeiten zum Thema: Lösungen von Gleichungen dritten und vierten Grades.
2. Vertiefen Sie Ihr Wissen, indem Sie eine Reihe von Aufgaben erledigen, die teilweise weder in der Art noch in der Lösungsmethode bekannt sind.
3. Weiterentwicklung des Interesses an Mathematik durch das Studium neuer Kapitel der Mathematik, Förderung einer grafischen Kultur durch die Konstruktion von Gleichungsgraphen.

Unterrichtsart: kombiniert.

Ausrüstung: Grafikprojektor.

Sichtweite: Tabelle „Theorem von Viete“.

Während des Unterrichts

1. Mündliches Zählen

a) Was ist der Rest, wenn das Polynom p n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x 1 + a 0 durch das Binomial x-a dividiert wird?

b) Wie viele Wurzeln kann eine kubische Gleichung haben?

c) Wie lösen wir Gleichungen dritten und vierten Grades?

d) Wenn b eine gerade Zahl in einer quadratischen Gleichung ist, welchen Wert haben dann D und x 1; x 2?

2. Selbstständige Arbeit(in Gruppen)

Schreiben Sie eine Gleichung, wenn die Wurzeln bekannt sind (Antworten auf Aufgaben sind codiert). Es wird der „Satz von Vieta“ verwendet

1 Gruppe

Wurzeln: x 1 = 1; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = 6

Bilden Sie eine Gleichung:

B=1 -2-3+6=2; b=-2

c=-2-3+6+6-12-18= -23; c= -23

d=6-12+36-18=12; d= -12

e=1(-2)(-3)6=36

x 4 -2 x 3 - 23x 2 - 12 x + 36 = 0(Diese Gleichung wird dann von Gruppe 2 an der Tafel gelöst)

Lösung . Wir suchen nach ganzen Wurzeln unter den Teilern der Zahl 36.

ð = ±1;±2;±3;±4;±6…

p 4 (1)=1-2-23-12+36=0 Die Zahl 1 erfüllt die Gleichung, daher ist =1 die Wurzel der Gleichung. Nach Horners Schema

p 3 (x) = x 3 - x 2 -24x -36

p 3 (-2) = -8 -4 +48 -36 = 0, x 2 = -2

p 2 (x) = x 2 -3x -18=0

x 3 =-3, x 4 =6

Antwort: 1;-2;-3;6 Wurzelsumme 2 (P)

2. Gruppe

Wurzeln: x 1 = -1; x 2 = x 3 =2; x 4 =5

Bilden Sie eine Gleichung:

B=-1+2+2+5-8; b= -8

c=2(-1)+4+10-2-5+10=15; c=15

D=-4-10+20-10= -4; d=4

e=2(-1)2*5=-20;e=-20

8+15+4x-20=0 (Gruppe 3 löst diese Gleichung an der Tafel)

ð = ±1;±2;±4;±5;±10;±20.

S. 4 (1)=1-8+15+4-20=-8

ð 4 (-1)=1+8+15-4-20=0

p 3 (x) = x 3 -9x 2 +24x -20

S. 3 (2) = 8 -36+48 -20=0

p 2 (x) = x 2 -7x +10 = 0 x 1 = 2; x 2 =5

Antwort: -1;2;2;5 Wurzelsumme 8(P)

3 Gruppe

Wurzeln: x 1 = -1; x 2 =1; x 3 = -2; x 4 =3

Bilden Sie eine Gleichung:

Â=-1+1-2+3=1;Â=-1

с=-1+2-3-2+3-6=-7;с=-7

D=2+6-3-6=-1; d=1

e=-1*1*(-2)*3=6

x 4 - x 3- 7x 2 + x + 6 = 0(Gruppe 4 löst diese Gleichung später an der Tafel)

Lösung. Wir suchen nach ganzen Wurzeln unter den Teilern der Zahl 6.

ð = ±1;±2;±3;±6

S. 4 (1)=1-1-7+1+6=0

p 3 (x) = x 3 - 7x -6

ð 3 (-1) = -1+7-6=0

p 2 (x) = x 2 - x -6 = 0; x 1 = -2; x 2 =3

Antwort: -1;1;-2;3 Summe der Wurzeln 1(O)

4 Gruppe

Wurzeln: x 1 = -2; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = -3

Bilden Sie eine Gleichung:

B=-2-2-3+3=-4; b=4

c=4+6-6+6-6-9=-5; с=-5

D=-12+12+18+18=36; d=-36

e=-2*(-2)*(-3)*3=-36;e=-36

x 4 +4x 3 – 5x 2 – 36x -36 = 0(Diese Gleichung wird dann von Gruppe 5 an der Tafel gelöst)

Lösung. Wir suchen nach ganzen Wurzeln unter den Teilern der Zahl -36

ð = ±1;±2;±3…

p(1)= 1 + 4-5-36-36 = -72

p 4 (-2) = 16 -32 -20 + 72 -36 = 0

p 3 (x) = x 3 +2x 2 -9x-18 = 0

p 3 (-2) = -8 + 8 + 18-18 = 0

p 2 (x) = x 2 -9 = 0; x=±3

Antwort: -2; -2; -3; 3 Summe der Wurzeln-4 (F)

5 Gruppe

Wurzeln: x 1 = -1; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = -4

Schreiben Sie eine Gleichung

x 4+ 10x 3 + 35x 2 + 50x + 24 = 0(Diese Gleichung wird dann von Gruppe 6 an der Tafel gelöst)

Lösung . Wir suchen nach ganzen Wurzeln unter den Teilern der Zahl 24.

ð = ±1;±2;±3

p 4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0

p 3 (x) = x- 3 + 9x 2 + 26x+ 24 = 0

p 3 (-2) = -8 + 36-52 + 24 = O

p 2 (x) = x 2 + 7x+ 12 = 0

Antwort: -1;-2;-3;-4 sum-10 (I)

6 Gruppe

Wurzeln: x 1 = 1; x 2 = 1; x 3 = -3; x 4 = 8

Schreiben Sie eine Gleichung

B=1+1-3+8=7;b=-7

c=1 -3+8-3+8-24= -13

D=-3-24+8-24= -43; d=43

x 4 - 7x 3- 13x 2 + 43X - 24 = 0 (Diese Gleichung wird dann von Gruppe 1 an der Tafel gelöst)

Lösung . Wir suchen nach ganzen Wurzeln unter den Teilern der Zahl -24.

S. 4 (1)=1-7-13+43-24=0

S. 3 (1)=1-6-19+24=0

p 2 (x)= x 2 -5x - 24 = 0

x 3 =-3, x 4 =8

Antwort: 1;1;-3;8 Summe 7 (L)

3. Gleichungen mit einem Parameter lösen

1. Lösen Sie die Gleichung x 3 + 3x 2 + mx - 15 = 0; wenn eine der Wurzeln gleich (-1) ist

Schreiben Sie die Antwort in aufsteigender Reihenfolge

R=P 3 (-1)=-1+3-m-15=0

x 3 + 3x 2 -13x - 15 = 0; -1+3+13-15=0

Nach Bedingung x 1 = - 1; D=1+15=16

P 2 (x) = x 2 +2x-15 = 0

x 2 = -1-4 = -5;

x 3 = -1 + 4 = 3;

Antwort: - 1; -5; 3

In aufsteigender Reihenfolge: -5;-1;3. (b N S)

2. Finden Sie alle Wurzeln des Polynoms x 3 - 3x 2 + ax - 2a + 6, wenn die Reste seiner Division in die Binome x-1 und x +2 gleich sind.

Lösung: R=P 3 (1) = P 3 (-2)

P 3 (1) = 1-3 + a- 2a + 6 = 4-a

P 3 (-2) = -8-12-2a-2a + 6 = -14-4a

x 3 -Zx 2 -6x + 12 + 6 = x 3 -Zx 2 -6x + 18

x 2 (x-3)-6(x-3) = 0

(x-3)(x 2 -6) = 0

3) a=0, x 2 -0*x 2 +0 = 0; x 2 =0; x 4 =0

a=0; x=0; x=1

a>0; x=1; x=a ± √a

2. Schreiben Sie eine Gleichung

1 Gruppe. Wurzeln: -4; -2; 1; 7;

2. Gruppe. Wurzeln: -3; -2; 1; 2;

3 Gruppe. Wurzeln: -1; 2; 6; 10;

4 Gruppe. Wurzeln: -3; 2; 2; 5;

5 Gruppe. Wurzeln: -5; -2; 2; 4;

6 Gruppe. Wurzeln: -8; -2; 6; 7.

Der Begriff der Gleichungen mit zwei Variablen wird erstmals im Mathematikkurs der 7. Klasse entwickelt. Es werden spezifische Probleme betrachtet, deren Lösungsprozess zu dieser Art von Gleichungen führt.

Sie werden jedoch eher oberflächlich untersucht. Der Schwerpunkt des Programms liegt auf Gleichungssystemen mit zwei Unbekannten.

Dies ist der Grund dafür, dass Probleme, bei denen den Koeffizienten der Gleichung bestimmte Einschränkungen auferlegt werden, praktisch nicht berücksichtigt werden. Methoden zur Lösung von Aufgaben wie „Lösen Sie eine Gleichung in natürlichen oder ganzen Zahlen“ werden nicht ausreichend berücksichtigt. Es ist bekannt, dass Materialien zum Einheitlichen Staatsexamen und Eintrittskarten für Aufnahmeprüfungen häufig solche Übungen enthalten.

Welche Gleichungen sind als Gleichungen mit zwei Variablen definiert?

xy = 8, 7x + 3y = 13 oder x 2 + y = 7 sind Beispiele für Gleichungen mit zwei Variablen.

Betrachten Sie die Gleichung x – 4y = 16. Wenn x = 4 und y = -3, ist es eine korrekte Gleichheit. Das bedeutet, dass dieses Wertepaar die Lösung dieser Gleichung ist.

Die Lösung für jede Gleichung mit zwei Variablen ist die Menge der Zahlenpaare (x; y), die diese Gleichung erfüllen (sie in eine echte Gleichheit umwandeln).

Oft wird die Gleichung so transformiert, dass daraus ein System zum Auffinden von Unbekannten erstellt werden kann.

Beispiele

Lösen Sie die Gleichung: xy – 4 = 4x – y.

IN in diesem Beispiel Sie können die Faktorisierungsmethode verwenden. Dazu müssen Sie die Begriffe gruppieren und den gemeinsamen Faktor aus Klammern entfernen:

xy – 4 = 4x – y;

xy – 4 – 4x + y = 0;

(xy + y) – (4x + 4) = 0;

y(x + 1) – 4(x + 1) = 0;

(x + 1)(y - 4) = 0.

Antwort: Alle Paare (x; 4), wobei x beliebig ist Rationale Zahl und (-1; y), wobei y eine beliebige rationale Zahl ist.

Lösen Sie die Gleichung: 4x 2 + y 2 + 2 = 2(2x - y).

Der erste Schritt ist die Gruppierung.

4x 2 + y 2 + 2 = 4x – 2y;

4x 2 + y 2 + 1 - 4x + 2y + 1 = 0;

(4x 2 – 4x +1) + (y 2 + 2y + 1) = 0.

Wenn wir die Formel für die quadrierte Differenz anwenden, erhalten wir:

(2x - 1) 2 + (y + 1) 2 = 0.

Wenn zwei nichtnegative Ausdrücke summiert werden, ergibt sich Null nur, wenn 2x – 1 = 0 und y + 1 = 0. Daraus folgt: x = ½ und y = -1.

Antwort: (1/2; -1).

Lösen Sie die Gleichung (x 2 – 6x + 10)(y 2 + 10y + 29) = 4.

Es ist sinnvoll, die Schätzmethode anzuwenden und die vollständigen Quadrate in Klammern hervorzuheben.

((x - 3) 2 + 1)((y + 5) 2 + 4) = 4.

In diesem Fall ist (x - 3) 2 + 1 ≥ 1 und (y + 5) 2 + 4 ≥ 4. Dann ist die linke Seite der Gleichung immer mindestens 4. In diesem Fall ist Gleichheit möglich

(x - 3) 2 + 1 = 1 und (y + 5) 2 + 4 = 4. Daher ist x = 3, y = -5.

Antwort: (3; -5).

Lösen Sie die Gleichung in ganzen Zahlen: x 2 + 10y 2 = 15x + 3.

Diese Gleichung kann wie folgt geschrieben werden:

x 2 = -10y 2 + 15x + 3. Wenn die rechte Seite der Gleichheit durch 5 geteilt wird, dann ist 3 der Rest. Daraus folgt, dass x 2 nicht durch 5 teilbar ist. Es ist bekannt, dass das Quadrat einer Zahl, die nicht durch 5 teilbar ist, entweder einen Rest von 1 oder 4 übrig lassen muss. Das bedeutet, dass die Gleichung keine Wurzeln hat.

Antwort: Es gibt keine Lösungen.

Lassen Sie sich nicht von Schwierigkeiten bei der Suche entmutigen die richtige Entscheidung für eine Gleichung mit zwei Variablen. Ausdauer und Übung werden auf jeden Fall Früchte tragen.