So extrahieren Sie eine Zahl aus ihrer Wurzel. Quadratwurzel im komplexen Körper C

Fakt 1.
\(\bullet\) Nehmen wir eine nichtnegative Zahl \(a\) (das heißt \(a\geqslant 0\) ). Dann (Arithmetik) Quadratwurzel aus der Zahl \(a\) nennt man eine solche nichtnegative Zahl \(b\), quadriert erhalten wir die Zahl \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(same as )\quad a=b^2\] Aus der Definition ergibt sich das \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Diese Einschränkungen sind eine wichtige Voraussetzung Existenz Quadratwurzel und sie sollten in Erinnerung bleiben!
Denken Sie daran, dass jede quadrierte Zahl ein nicht negatives Ergebnis ergibt. Das heißt, \(100^2=10000\geqslant 0\) und \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Was ist \(\sqrt(25)\) gleich? Wir wissen, dass \(5^2=25\) und \((-5)^2=25\) . Da wir per Definition eine nichtnegative Zahl finden müssen, ist \(-5\) nicht geeignet, daher gilt \(\sqrt(25)=5\) (da \(25=5^2\) ).
Den Wert von \(\sqrt a\) zu ermitteln, nennt man Ziehen der Quadratwurzel aus der Zahl \(a\) und die Zahl \(a\) nennt man Wurzelausdruck.
\(\bullet\) Basierend auf der Definition, dem Ausdruck \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\) usw. ergibt keinen Sinn.

Fakt 2.
Für schnelle Berechnungen ist es hilfreich, die Quadrattabelle zu lernen natürliche Zahlen von \(1\) bis \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

Fakt 3.
Welche Operationen können Sie mit Quadratwurzeln durchführen?
\(\Kugel\) Die Summe oder Differenz der Quadratwurzeln ist NICHT GLEICH der Quadratwurzel der Summe oder Differenz \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Wenn Sie also beispielsweise \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) berechnen müssen, müssen Sie zunächst die Werte von \(\sqrt(25)\) und \(\ sqrt(49)\ ) und falten Sie sie dann. Somit, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Können bei der Addition von \(\sqrt a+\sqrt b\) die Werte \(\sqrt a\) oder \(\sqrt b\) nicht gefunden werden, dann wird ein solcher Ausdruck nicht weiter transformiert und bleibt so wie er ist. Beispielsweise können wir in der Summe \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) feststellen, dass \(\sqrt(49)\) \(7\) ist, aber \(\sqrt 2\) kann nicht in umgewandelt werden Wie auch immer, Deshalb \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Leider kann dieser Ausdruck nicht weiter vereinfacht werden\(\bullet\) Das Produkt/Quotient der Quadratwurzeln ist gleich der Quadratwurzel des Produkts/Quotienten, d. h \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (vorausgesetzt, dass beide Seiten der Gleichheiten Sinn ergeben)
Beispiel: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Mit diesen Eigenschaften ist es praktisch, Quadratwurzeln großer Zahlen zu finden, indem man sie faktorisiert.
Schauen wir uns ein Beispiel an. Finden wir \(\sqrt(44100)\) . Da \(44100:100=441\) , dann \(44100=100\cdot 441\) . Gemäß dem Kriterium der Teilbarkeit ist die Zahl \(441\) durch \(9\) teilbar (da die Summe ihrer Ziffern 9 ist und durch 9 teilbar ist), also \(441:9=49\), das heißt, \(441=9\ cdot 49\) .
So bekamen wir: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Schauen wir uns ein anderes Beispiel an: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Lassen Sie uns am Beispiel des Ausdrucks \(5\sqrt2\) zeigen, wie man Zahlen unter dem Quadratwurzelzeichen eingibt (Kurzschreibweise für den Ausdruck \(5\cdot \sqrt2\)). Da \(5=\sqrt(25)\) , dann \ Beachten Sie auch, dass z. B.
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Warum so? Erklären wir es anhand von Beispiel 1). Wie Sie bereits verstehen, können wir die Zahl \(\sqrt2\) nicht irgendwie umwandeln. Stellen wir uns vor, dass \(\sqrt2\) eine Zahl \(a\) ist. Dementsprechend ist der Ausdruck \(\sqrt2+3\sqrt2\) nichts anderes als \(a+3a\) (eine Zahl \(a\) plus drei weitere gleiche Zahlen \(a\)). Und wir wissen, dass dies vier solchen Zahlen \(a\) entspricht, also \(4\sqrt2\) .

Fakt 4.
\(\bullet\) Sie sagen oft „Sie können die Wurzel nicht extrahieren“, wenn Sie das Vorzeichen \(\sqrt () \ \) der Wurzel (Radikal) nicht entfernen können, wenn Sie den Wert einer Zahl ermitteln . Beispielsweise können Sie die Wurzel der Zahl \(16\) ziehen, weil \(16=4^2\) , also \(\sqrt(16)=4\) . Aber es ist unmöglich, die Wurzel der Zahl \(3\) zu ziehen, also \(\sqrt3\) zu finden, weil es keine Zahl gibt, die quadriert \(3\) ergibt.
Solche Zahlen (oder Ausdrücke mit solchen Zahlen) sind irrational. Zum Beispiel Zahlen \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) usw. sind irrational.
Также иррациональными являются числа \(\pi\) (число “пи”, приблизительно равное \(3,14\) ), \(e\) (это число называют числом Эйлера, приблизительно оно равно \(2,7\) ) usw.
\(\bullet\) Bitte beachten Sie, dass jede Zahl entweder rational oder irrational sein kann. Und alle rationalen und alle irrationalen Zahlen bilden zusammen eine Menge namens eine Menge reeller Zahlen. Diese Menge wird mit dem Buchstaben \(\mathbb(R)\) bezeichnet.
Dies bedeutet, dass alle Nummern, die eingeschaltet sind dieser Moment wir wissen, werden reelle Zahlen genannt.

Fakt 5.
\(\bullet\) Der Modul einer reellen Zahl \(a\) ist eine nicht negative Zahl \(|a|\) gleich dem Abstand vom Punkt \(a\) zu \(0\) auf der echte Linie. Zum Beispiel sind \(|3|\) und \(|-3|\) gleich 3, da die Abstände von den Punkten \(3\) und \(-3\) zu \(0\) sind gleich und gleich \(3 \) .
\(\bullet\) Wenn \(a\) eine nicht negative Zahl ist, dann ist \(|a|=a\) .
Beispiel: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Wenn \(a\) eine negative Zahl ist, dann \(|a|=-a\) .
Beispiel: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Sie sagen, dass bei negativen Zahlen der Modul das Minus „frisst“, während positive Zahlen sowie die Zahl \(0\) vom Modul unverändert bleiben.
ABER Diese Regel gilt nur für Zahlen. Если у вас под знаком модуля находится неизвестная \(x\) (или какая-то другая неизвестная), например, \(|x|\) , про которую мы не знаем, положительная она, равна нулю или отрицательная, то избавиться от модуля wir können nicht. In diesem Fall bleibt dieser Ausdruck derselbe: \(|x|\) . \(\bullet\) Es gelten die folgenden Formeln: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( vorausgesetzt ) a\geqslant 0\] Sehr oft wird der folgende Fehler gemacht: Man sagt, dass \(\sqrt(a^2)\) und \((\sqrt a)^2\) ein und dasselbe seien. Dies gilt nur, wenn \(a\) eine positive Zahl oder Null ist. Aber wenn \(a\) eine negative Zahl ist, dann ist dies falsch. Es genügt, dieses Beispiel zu betrachten. Nehmen wir statt \(a\) die Zahl \(-1\) . Dann ist \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , aber der Ausdruck \((\sqrt (-1))^2\) existiert überhaupt nicht (schließlich Es ist unmöglich, das Wurzelzeichen für negative Zahlen zu verwenden!).
Deshalb machen wir Sie darauf aufmerksam, dass \(\sqrt(a^2)\) nicht gleich \((\sqrt a)^2\) ist! Beispiel 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), Weil \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Da \(\sqrt(a^2)=|a|\) , dann ist \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (Der Ausdruck \(2n\) bezeichnet eine gerade Zahl)
Das heißt, wenn man aus einer Zahl, die bis zu einem gewissen Grad die Wurzel zieht, diesen Grad halbiert.
Beispiel:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (Beachten Sie, dass sich herausstellt, dass die Wurzel der Zahl gleich \(-25\) ist, wenn das Modul nicht angegeben wird. ) ; aber wir erinnern uns, dass dies per Definition einer Wurzel nicht passieren kann: Wenn wir eine Wurzel ziehen, sollten wir immer eine positive Zahl oder Null erhalten)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (da jede Zahl zu einer geraden Potenz nicht negativ ist)

Fakt 6.
Wie vergleiche ich zwei Quadratwurzeln?
\(\bullet\) Für Quadratwurzeln gilt: if \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aBeispiel:
1) Vergleiche \(\sqrt(50)\) und \(6\sqrt2\) . Lassen Sie uns zunächst den zweiten Ausdruck in umwandeln \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Da \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Zwischen welchen ganzen Zahlen liegt \(\sqrt(50)\)?
Da \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) und \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Vergleichen wir \(\sqrt 2-1\) und \(0.5\) . Nehmen wir an, dass \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((einen auf beiden Seiten hinzufügen))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((beide Seiten quadrieren))\\ &2>1.5^2\\ &2>2.25 \end(aligned)\] Wir sehen, dass wir eine falsche Ungleichung erhalten haben. Daher war unsere Annahme falsch und \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Beachten Sie, dass das Hinzufügen einer bestimmten Zahl zu beiden Seiten der Ungleichung das Vorzeichen nicht beeinflusst. Das Multiplizieren/Dividieren beider Seiten einer Ungleichung mit einer positiven Zahl hat ebenfalls keinen Einfluss auf deren Vorzeichen, aber das Multiplizieren/Dividieren mit einer negativen Zahl kehrt das Vorzeichen der Ungleichung um!
Sie können beide Seiten einer Gleichung/Ungleichung NUR dann quadrieren, wenn beide Seiten nicht negativ sind. Beispielsweise kann man in der Ungleichung aus dem vorherigen Beispiel beide Seiten quadrieren, in der Ungleichung \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Daran sollte man sich erinnern \[\begin(aligned) &\sqrt 2\ca. 1,4\\ &\sqrt 3\ca. 1,7 \end(aligned)\] Die ungefähre Bedeutung dieser Zahlen zu kennen, wird Ihnen beim Zahlenvergleich helfen! \(\bullet\) Um die Wurzel (sofern sie extrahiert werden kann) aus einer großen Zahl zu ziehen, die nicht in der Quadrattabelle enthalten ist, müssen Sie zunächst bestimmen, zwischen welchen „Hundertern“ sie liegt, und dann – zwischen denen „ Zehner“ und bestimmen Sie dann die letzte Ziffer dieser Zahl. Lassen Sie uns anhand eines Beispiels zeigen, wie das funktioniert.
Nehmen wir \(\sqrt(28224)\) . Wir wissen, dass \(100^2=10\.000\), \(200^2=40\.000\) usw. Beachten Sie, dass \(28224\) zwischen \(10\,000\) und \(40\,000\) liegt. Daher liegt \(\sqrt(28224)\) zwischen \(100\) und \(200\) .
Nun bestimmen wir, zwischen welchen „Zehnern“ unsere Zahl liegt (also zum Beispiel zwischen \(120\) und \(130\)). Aus der Quadrattabelle wissen wir auch, dass \(11^2=121\) , \(12^2=144\) usw., dann \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ). Wir sehen also, dass \(28224\) zwischen \(160^2\) und \(170^2\) liegt. Daher liegt die Zahl \(\sqrt(28224)\) zwischen \(160\) und \(170\) .
Versuchen wir, die letzte Ziffer zu bestimmen. Erinnern wir uns, welche einstelligen Zahlen quadriert am Ende \(4\) ergeben? Dies sind \(2^2\) und \(8^2\) . Daher endet \(\sqrt(28224)\) entweder mit 2 oder 8. Lassen Sie uns dies überprüfen. Finden wir \(162^2\) und \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Daher ist \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Um das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik adäquat zu lösen, müssen Sie zunächst theoretisches Material studieren, das Sie in zahlreiche Theoreme, Formeln, Algorithmen usw. einführt. Auf den ersten Blick scheint dies recht einfach zu sein. Tatsächlich ist es jedoch eine ziemlich schwierige Aufgabe, eine Quelle zu finden, in der die Theorie für das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik für Studierende aller Ausbildungsniveaus einfach und verständlich dargestellt wird. Schulbücher können nicht immer griffbereit sein. Und selbst im Internet kann es schwierig sein, Grundformeln für das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik zu finden.

Warum ist das Studium der Mathematiktheorie nicht nur für Absolventen des Einheitlichen Staatsexamens so wichtig?

1. Weil es Ihren Horizont erweitert. Das Studium theoretischer Materialien in der Mathematik ist für jeden nützlich, der Antworten auf eine Vielzahl von Fragen im Zusammenhang mit dem Wissen über die Welt um ihn herum erhalten möchte. Alles in der Natur ist geordnet und hat eine klare Logik. Genau das spiegelt sich in der Wissenschaft wider, durch die es möglich ist, die Welt zu verstehen.
2. Weil es Intelligenz entwickelt. Durch das Studium von Referenzmaterialien für das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik sowie das Lösen verschiedener Probleme lernt eine Person, logisch zu denken und zu argumentieren, Gedanken kompetent und klar zu formulieren. Er entwickelt die Fähigkeit zu analysieren, zu verallgemeinern und Schlussfolgerungen zu ziehen.

Wir laden Sie ein, alle Vorteile unseres Ansatzes zur Systematisierung und Präsentation von Lehrmaterialien persönlich zu bewerten.

Bibliografische Beschreibung: Pryostanovo S. M., Lysogorova L. V. Methoden zur Extraktion der Quadratwurzel // Junger Wissenschaftler. 2017. Nr. 2.2. S. 76-77..02.2019).



Stichworte : Quadratwurzel, Quadratwurzelextraktion.

Im Mathematikunterricht lernte ich das Konzept einer Quadratwurzel und die Operation zum Ziehen einer Quadratwurzel kennen. Mich interessierte, ob das Extrahieren der Quadratwurzel nur mit einer Quadrattabelle oder einem Taschenrechner möglich ist oder ob es eine Möglichkeit gibt, sie manuell zu extrahieren. Ich habe mehrere Möglichkeiten gefunden: die Formel des alten Babylon, durch das Lösen von Gleichungen, die Methode zum Verwerfen eines vollständigen Quadrats, die Newton-Methode, die geometrische Methode, die grafische Methode (, ), die Schätzmethode, die Methode der Ableitungen ungerader Zahlen.

Betrachten Sie die folgenden Methoden:

Lassen Sie uns mithilfe des Teilbarkeitskriteriums 27225=5*5*3*3*11*11 in Primfaktoren zerlegen. Auf diese Weise

1. ZU Kanadische Methode. Diese schnelle Methode wurde im 20. Jahrhundert von jungen Wissenschaftlern an einer der führenden Universitäten Kanadas entdeckt. Die Genauigkeit beträgt maximal zwei bis drei Dezimalstellen.

wobei x die Zahl ist, aus der die Wurzel gezogen werden muss, c die Zahl des nächsten Quadrats), zum Beispiel:

=5,92

1. In einer Kolumne. Mit dieser Methode können Sie den Näherungswert der Wurzel einer beliebigen reellen Zahl mit einer vorgegebenen Genauigkeit ermitteln. Zu den Nachteilen dieser Methode gehört die zunehmende Komplexität der Berechnung mit zunehmender Anzahl gefundener Ziffern. Um die Wurzel manuell zu extrahieren, wird eine Notation ähnlich der Langdivision verwendet

Quadratwurzel-Algorithmus

1. Wir teilen den Bruchteil und den ganzzahligen Teil getrennt vom Komma an der Grenze von zwei Ziffern in jedem Gesicht ( Kuss Teil - von rechts nach links; gebrochen- von links nach rechts). Es ist möglich, dass der ganzzahlige Teil eine Ziffer und der gebrochene Teil Nullen enthält.

2. Die Extraktion beginnt von links nach rechts und wir wählen eine Zahl aus, deren Quadrat die Zahl auf der ersten Seite nicht überschreitet. Wir quadrieren diese Zahl und schreiben sie unter die Zahl auf der ersten Seite.

3. Ermitteln Sie die Differenz zwischen der Zahl auf der ersten Seite und dem Quadrat der ausgewählten ersten Zahl.

4. Wir addieren die nächste Kante zur resultierenden Differenz, die resultierende Zahl wird sein teilbar. Lasst uns erziehen Teiler. Wir verdoppeln die erste ausgewählte Ziffer der Antwort (multiplizieren sie mit 2), wir erhalten die Zehnerzahl des Divisors und die Anzahl der Einheiten sollte so sein, dass ihr Produkt mit dem gesamten Divisor den Dividenden nicht überschreitet. Als Antwort notieren wir die gewählte Zahl.

5. Wir nehmen die nächste Kante zur resultierenden Differenz und führen die Aktionen gemäß dem Algorithmus aus. Wenn sich herausstellt, dass es sich bei dieser Fläche um eine Fläche mit einem Bruchteil handelt, setzen wir in der Antwort ein Komma. (Abb. 1.)

Mit dieser Methode können Sie Zahlen mit unterschiedlicher Genauigkeit extrahieren, beispielsweise bis zu Tausendsteln. (Abb.2)

Wenn wir verschiedene Methoden zum Ziehen der Quadratwurzel betrachten, können wir schlussfolgern: In jedem Einzelfall müssen Sie sich für die effektivste Methode entscheiden, um weniger Zeit mit der Lösung zu verbringen

Literatur:

1. Kiselev A. Elemente der Algebra und Analysis. Erster Teil.-M.-1928

Stichworte: Quadratwurzel, Quadratwurzel.

Anmerkung: Der Artikel beschreibt Methoden zum Ziehen von Quadratwurzeln und bietet Beispiele für das Ziehen von Wurzeln.

Wurzel N-te Potenz einer natürlichen Zahl A diese Nummer wird angerufen N der te Grad davon ist gleich A. Die Wurzel wird wie folgt bezeichnet: . Das Symbol √ heißt Wurzelzeichen oder Wurzelzeichen, Nummer A - Wurzelzahl, N - Wurzelexponent.

Die Aktion, durch die die Wurzel eines bestimmten Grades gefunden wird, wird aufgerufen Wurzelextraktion.

Denn nach der Definition des Begriffs einer Wurzel N Abschluss

Das Wurzelextraktion- eine zur Potenzierung umgekehrte Aktion, mit deren Hilfe die Basis des Grades aus einem gegebenen Grad und einem gegebenen Exponenten ermittelt wird.

Quadratwurzel

Quadratwurzel einer Zahl A ist die Zahl, deren Quadrat gleich ist A.

Die Aktion, mit der die Quadratwurzel berechnet wird, wird Quadratwurzelbildung genannt.

Quadratwurzel- die entgegengesetzte Wirkung des Quadrierens (oder Erhöhens einer Zahl in die zweite Potenz). Wenn Sie eine Zahl quadrieren, müssen Sie ihr Quadrat finden. Beim Ziehen der Quadratwurzel ist das Quadrat der Zahl bekannt; Sie müssen es verwenden, um die Zahl selbst zu ermitteln.

Um die Richtigkeit der Aktion zu überprüfen, können Sie daher die gefundene Wurzel auf die zweite Potenz erhöhen. Wenn der Grad gleich der Wurzelzahl ist, wurde die Wurzel korrekt gefunden.

Schauen wir uns das Ziehen der Quadratwurzel an und überprüfen es anhand eines Beispiels. Berechnen wir oder (der Wurzelexponent mit dem Wert 2 wird normalerweise nicht geschrieben, da 2 der kleinste Exponent ist und man bedenken sollte, dass, wenn es keinen Exponenten über dem Wurzelzeichen gibt, der Exponent 2 impliziert ist), dafür wir Sie müssen die Zahl finden. Wenn Sie sie auf die Sekunde genau erhöhen, beträgt der Grad 49. Offensichtlich ist eine solche Zahl 7, da

7 7 = 7 2 = 49.

Berechnen der Quadratwurzel

Wenn eine bestimmte Zahl 100 oder weniger beträgt, kann die Quadratwurzel daraus mithilfe der Multiplikationstabelle berechnet werden. Beispielsweise ist die Quadratwurzel aus 25 5, weil 5 · 5 = 25.

Schauen wir uns nun eine Möglichkeit an, die Quadratwurzel einer beliebigen Zahl zu ermitteln, ohne einen Taschenrechner zu verwenden. Nehmen wir zum Beispiel die Zahl 4489 und beginnen wir, sie Schritt für Schritt zu berechnen.

1. Lassen Sie uns bestimmen, aus welchen Ziffern die erforderliche Wurzel bestehen soll. Da 10 2 = 10 · 10 = 100 und 100 2 = 100 · 100 = 10000, wird klar, dass die gesuchte Wurzel größer als 10 und kleiner als 100 sein muss, d. h. bestehen aus Zehnern und Einern.
2. Finden Sie die Zehnerzahl der Wurzel. Die Multiplikation mit Zehnern ergibt Hunderter, und davon gibt es 44 in unserer Zahl, daher muss die Wurzel so viele Zehner enthalten, dass das Quadrat der Zehner ungefähr 44 Hunderter ergibt. Daher muss die Wurzel 6 Zehner haben, denn 60 2 = 3600 und 70 2 = 4900 (das ist zu viel). So haben wir herausgefunden, dass unsere Wurzel 6 Zehner und mehrere Einer enthält, da sie im Bereich von 60 bis 70 liegt.
3. Mithilfe der Multiplikationstabelle können Sie die Anzahl der Einheiten in der Wurzel ermitteln. Wenn wir uns die Zahl 4489 ansehen, sehen wir, dass die letzte Ziffer darin 9 ist. Jetzt schauen wir uns die Multiplikationstabelle an und sehen, dass 9 Einheiten nur durch Quadrieren der Zahlen 3 und 7 erhalten werden können. Das bedeutet, dass die Wurzel der Zahl sein wird gleich 63 oder 67.
4. Wir überprüfen die erhaltenen Zahlen 63 und 67, indem wir sie quadrieren: 63 2 = 3969, 67 2 = 4489.

Studenten fragen immer: „Warum kann ich in der Matheprüfung keinen Taschenrechner verwenden?“ Wie zieht man die Quadratwurzel einer Zahl ohne Taschenrechner? Versuchen wir, diese Frage zu beantworten.

Wie zieht man die Quadratwurzel einer Zahl ohne die Hilfe eines Taschenrechners?

Aktion Quadratwurzel umgekehrt zum Quadrieren.

√81= 9 9 2 =81

Wenn Sie die Quadratwurzel einer positiven Zahl ziehen und das Ergebnis quadrieren, erhalten Sie dieselbe Zahl.

Aus kleinen Zahlen, die exakte Quadrate natürlicher Zahlen sind, zum Beispiel 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, können Quadratwurzeln mündlich gezogen werden. Normalerweise unterrichten sie in der Schule eine Tabelle mit Quadraten natürlicher Zahlen bis zwanzig. Wenn man diese Tabelle kennt, ist es einfach, Quadratwurzeln aus den Zahlen 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400 zu ziehen. Aus Zahlen größer als 400 können Sie sie mit der Auswahlmethode und einigen Tipps ziehen. Versuchen wir, diese Methode anhand eines Beispiels zu betrachten.

Beispiel: Extrahieren Sie die Wurzel der Zahl 676.

Wir stellen fest, dass 20 2 = 400 und 30 2 = 900, was 20 bedeutet< √676 < 900.

Exakte Quadrate natürlicher Zahlen enden auf 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Die Zahl 6 ergibt sich aus 4 2 und 6 2.
Das heißt, wenn die Wurzel aus 676 genommen wird, dann ist sie entweder 24 oder 26.

Es bleibt noch zu prüfen: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Antwort: √676 = 26 .

Noch Beispiel: √6889 .

Da 80 2 = 6400 und 90 2 = 8100, dann 80< √6889 < 90.
Die Zahl 9 ergibt sich aus 3 2 und 7 2, dann ist √6889 entweder 83 oder 87.

Überprüfen wir: 83 2 = 6889.

Antwort: √6889 = 83 .

Wenn die Lösung mit der Auswahlmethode für Sie schwierig ist, können Sie den Wurzelausdruck faktorisieren.

Zum Beispiel, finde √893025.

Lassen Sie uns die Zahl 893025 faktorisieren. Denken Sie daran, Sie haben das in der sechsten Klasse gemacht.

Wir erhalten: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Noch Beispiel: √20736. Faktorisieren wir die Zahl 20736:

Wir erhalten √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Natürlich erfordert die Faktorisierung Kenntnisse über Teilbarkeitszeichen und Faktorisierungsfähigkeiten.

Und schließlich gibt es sie Regel zum Ziehen von Quadratwurzeln. Machen wir uns anhand von Beispielen mit dieser Regel vertraut.

Berechnen Sie √279841.

Um die Wurzel einer mehrstelligen ganzen Zahl zu extrahieren, teilen wir sie von rechts nach links in Flächen mit zwei Ziffern auf (die Kante ganz links kann eine Ziffer enthalten). Wir schreiben es so: 27’98’41

Um die erste Ziffer der Wurzel (5) zu erhalten, ziehen wir die Quadratwurzel des größten perfekten Quadrats, das in der ersten Fläche links enthalten ist (27).
Dann wird das Quadrat der ersten Ziffer der Wurzel (25) von der ersten Fläche subtrahiert und die nächste Fläche (98) zur Differenz addiert (subtrahiert).
Schreiben Sie links von der resultierenden Zahl 298 die doppelte Ziffer der Wurzel (10), dividieren Sie durch sie die Zahl aller Zehner der zuvor erhaltenen Zahl (29/2 ≈ 2) und testen Sie den Quotienten (102 ∙ 2 = 204). sollte nicht größer als 298 sein) und schreiben Sie (2) nach der ersten Ziffer der Wurzel.
Dann wird der resultierende Quotient 204 von 298 subtrahiert und die nächste Kante (41) zur Differenz (94) addiert.
Schreiben Sie links von der resultierenden Zahl 9441 das Doppelprodukt der Ziffern der Wurzel (52 ∙2 = 104), dividieren Sie die Zahl aller Zehner der Zahl 9441 (944/104 ≈ 9) durch dieses Produkt, testen Sie das Der Quotient (1049 ∙9 = 9441) sollte 9441 sein und notieren Sie (9) nach der zweiten Ziffer der Wurzel.

Wir haben die Antwort √279841 = 529 erhalten.

Ähnlich extrahieren Wurzeln von Dezimalbrüchen. Nur die Grundzahl muss in Gesichter unterteilt werden, sodass das Komma zwischen den Gesichtern liegt.

Beispiel. Finden Sie den Wert √0,00956484.

Denken Sie daran: Wenn ein Dezimalbruch eine ungerade Anzahl an Dezimalstellen hat, kann daraus nicht die Quadratwurzel gezogen werden.

Jetzt haben Sie drei Möglichkeiten gesehen, die Wurzel zu extrahieren. Wählen Sie diejenige aus, die am besten zu Ihnen passt, und üben Sie. Um zu lernen, Probleme zu lösen, müssen Sie sie lösen. Und wenn Sie Fragen haben, melden Sie sich für meinen Unterricht an.

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Was ist eine Quadratwurzel?

Aufmerksamkeit!
Es gibt noch weitere
Materialien im Sonderabschnitt 555.
Für diejenigen, die sehr „nicht sehr…“ sind
Und für diejenigen, die „sehr…“)

Dieses Konzept ist sehr einfach. Natürlich würde ich sagen. Mathematiker versuchen, für jede Aktion eine Reaktion zu finden. Es gibt Addition – es gibt auch Subtraktion. Es gibt Multiplikation – es gibt auch Division. Es gibt Quadrieren... Das gibt es auch Ziehe die Quadratwurzel! Das ist alles. Diese Aktion ( Quadratwurzel) wird in der Mathematik durch dieses Symbol angezeigt:

Das Symbol selbst wird als schönes Wort bezeichnet. Radikale".

Wie extrahiere ich die Wurzel? Es ist besser anzuschauen Beispiele.

Was ist die Quadratwurzel von 9? Welche Zahl im Quadrat ergibt 9? 3 zum Quadrat ergibt 9! Diese:

Aber was ist die Quadratwurzel aus Null? Kein Problem! Welche Zahl im Quadrat ergibt Null? Ja, es gibt Null! Bedeutet:

Habe es, Was ist Quadratwurzel? Dann überlegen wir Beispiele:

Antworten (in Unordnung): 6; 1; 4; 9; 5.

Entschieden? Wirklich, wie viel einfacher ist das?!

Aber... Was macht ein Mensch, wenn er eine Aufgabe mit Wurzeln sieht?

Ein Mensch beginnt traurig zu werden... Er glaubt nicht an die Einfachheit und Leichtigkeit seiner Wurzeln. Obwohl er es zu wissen scheint Was ist Quadratwurzel?...

Dies liegt daran, dass die Person beim Studium der Wurzeln mehrere wichtige Punkte ignoriert hat. Dann rächen sich diese Modeerscheinungen grausam an Tests und Prüfungen ...

Punkt eins. Man muss die Wurzeln am Sehen erkennen!

Was ist die Quadratwurzel von 49? Sieben? Rechts! Woher wussten Sie, dass es sieben war? Sieben quadriert und 49 erhalten? Rechts! Bitte beachte, dass Extrahieren Sie die Wurzel Von 49 mussten wir den umgekehrten Vorgang durchführen – Quadrat 7! Und stellen Sie sicher, dass wir es nicht verpassen. Oder sie hätten es verpassen können...

Das ist die Schwierigkeit Wurzelextraktion. Quadrat Sie können problemlos jede beliebige Rufnummer nutzen. Eine Zahl mit sich selbst mit einer Spalte multiplizieren – das ist alles. Aber für Wurzelextraktion Es gibt keine so einfache und ausfallsichere Technologie. Wir müssen abholen Beantworten Sie die Antwort und überprüfen Sie, ob sie richtig ist, indem Sie sie quadrieren.

Dieser komplexe kreative Prozess – die Auswahl einer Antwort – wird erheblich vereinfacht, wenn Sie erinnern Quadrate beliebter Zahlen. Wie eine Multiplikationstabelle. Wenn Sie beispielsweise 4 mit 6 multiplizieren müssen, addieren Sie doch nicht viermal 6, oder? Da fällt sofort die Antwort 24. Auch wenn sie nicht jeder versteht, ja...

Um frei und erfolgreich mit Wurzeln arbeiten zu können, reicht es aus, die Quadrate der Zahlen von 1 bis 20 zu kennen Dort Und zurück. Diese. Sie sollten in der Lage sein, beispielsweise sowohl 11 zum Quadrat als auch die Quadratwurzel von 121 problemlos aufzusagen. Um dieses Auswendiglernen zu erreichen, gibt es zwei Möglichkeiten. Die erste besteht darin, die Quadrattabelle zu lernen. Dies wird eine große Hilfe bei der Lösung von Beispielen sein. Die zweite besteht darin, weitere Beispiele zu lösen. Dies wird Ihnen sehr helfen, sich an die Quadrattabelle zu erinnern.

Und keine Taschenrechner! Nur zu Testzwecken. Sonst wird man während der Prüfung gnadenlos langsamer...

Also, Was ist Quadratwurzel? und wie Wurzeln extrahieren- Ich denke, es ist klar. Jetzt wollen wir herausfinden, WAS wir daraus extrahieren können.

Punkt zwei. Root, ich kenne dich nicht!

Aus welchen Zahlen kann man Quadratwurzeln ziehen? Ja, fast alle. Es ist einfacher zu verstehen, woher es kommt es ist verboten Extrahieren Sie sie.

Versuchen wir, diese Wurzel zu berechnen:

Dazu müssen wir eine Zahl wählen, deren Quadrat -4 ergibt. Wir wählen aus.

Was, es passt nicht? 2 2 ergibt +4. (-2) 2 ergibt wieder +4! Das ist alles... Es gibt keine Zahlen, die quadriert eine negative Zahl ergeben! Obwohl ich diese Zahlen kenne. Aber ich werde es dir nicht sagen). Gehen Sie aufs College und Sie werden es selbst herausfinden.

Die gleiche Geschichte wird mit jeder negativen Zahl passieren. Daher die Schlussfolgerung:

Ein Ausdruck, in dem unter dem Quadratwurzelzeichen eine negative Zahl steht - Es ist nicht sinnvoll! Dies ist eine verbotene Operation. Es ist ebenso verboten wie die Division durch Null. Merken Sie sich diese Tatsache genau! Oder mit anderen Worten:

Aus negativen Zahlen kann man keine Quadratwurzeln ziehen!

Aber von allen anderen ist es möglich. Eine Berechnung ist zum Beispiel durchaus möglich

Auf den ersten Blick ist das sehr schwierig. Brüche auswählen und quadrieren ... Keine Sorge. Wenn wir die Eigenschaften von Wurzeln verstehen, werden solche Beispiele auf die gleiche Quadrattabelle reduziert. Das Leben wird einfacher!

Okay, Brüche. Aber wir stoßen immer noch auf Ausdrücke wie:

Macht nichts. Alles das selbe. Die Quadratwurzel aus zwei ist die Zahl, die quadriert zwei ergibt. Nur ist diese Zahl völlig ungerade... Hier ist sie:

Das Interessante ist, dass dieser Bruch nie endet ... Solche Zahlen werden irrational genannt. Bei Quadratwurzeln kommt dies am häufigsten vor. Aus diesem Grund werden übrigens Ausdrücke mit Wurzeln aufgerufen irrational. Es ist klar, dass es unbequem ist, ständig einen solchen unendlichen Bruch zu schreiben. Deshalb belassen sie es statt eines unendlichen Bruchs so:

Wenn Sie beim Lösen eines Beispiels am Ende auf etwas stoßen, das nicht extrahiert werden kann, wie zum Beispiel:

dann lassen wir es so. Das wird die Antwort sein.

Sie müssen klar verstehen, was die Symbole bedeuten

Natürlich, wenn die Wurzel der Zahl gezogen wird glatt, du musst das tun. Die Antwort auf die Aufgabe steht zum Beispiel im Formular

Eine ziemlich vollständige Antwort.

Und natürlich müssen Sie die ungefähren Werte aus dem Gedächtnis kennen:

Dieses Wissen hilft sehr, die Situation bei komplexen Aufgaben einzuschätzen.

Punkt drei. Das Schlaueste.

Die größte Verwirrung bei der Arbeit mit Wurzeln wird durch diesen Punkt verursacht. Er ist es, der Vertrauen in seine eigenen Fähigkeiten gibt... Lassen Sie uns diesen Punkt richtig behandeln!

Ziehen wir zunächst noch einmal die Quadratwurzel aus vier davon. Habe ich dich schon mit dieser Wurzel belästigt?) Egal, jetzt wird es interessant!

Welche Zahl ergibt 4 im Quadrat? Na ja, zwei, zwei – ich höre unzufriedene Antworten...

Rechts. Zwei. Aber auch minus zwei ergibt 4 zum Quadrat... In der Zwischenzeit die Antwort

richtig und die Antwort

grober Fehler. So.

Also, was ist der Deal?

Tatsächlich ist (-2) 2 = 4. Und unter der Definition der Quadratwurzel aus vier minus zwei durchaus geeignet... Dies ist auch die Quadratwurzel aus vier.

Aber! Im Schulmathematikunterricht ist es üblich, Quadratwurzeln zu berücksichtigen nur nicht negative Zahlen! Das heißt, Null und alle sind positiv. Sogar ein spezieller Begriff wurde erfunden: aus der Nummer A- Das nicht negativ Zahl, deren Quadrat ist A. Negative Ergebnisse beim Ziehen einer arithmetischen Quadratwurzel werden einfach verworfen. In der Schule ist alles Quadratwurzeln - Arithmetik. Obwohl dies nicht besonders erwähnt wird.

Okay, das ist verständlich. Noch besser ist es, sich nicht mit negativen Ergebnissen herumzuärgern... Das ist noch keine Verwirrung.

Beim Lösen quadratischer Gleichungen beginnt Verwirrung. Beispielsweise müssen Sie die folgende Gleichung lösen.

Die Gleichung ist einfach, wir schreiben die Antwort (wie gelehrt):

Diese Antwort (übrigens absolut richtig) ist nur eine Kurzfassung zwei Antworten:

Halt halt! Direkt oben habe ich geschrieben, dass die Quadratwurzel eine Zahl ist Stets nicht negativ! Und hier ist eine der Antworten: Negativ! Störung. Dies ist das erste (aber nicht das letzte) Problem, das Misstrauen gegenüber den Wurzeln hervorruft... Lassen Sie uns dieses Problem lösen. Schreiben wir die Antworten (nur zum Verständnis!) so auf:

Die Klammern ändern nichts am Kern der Antwort. Ich habe es einfach durch Klammern getrennt Zeichen aus Wurzel. Jetzt können Sie deutlich erkennen, dass die Wurzel selbst (in Klammern) immer noch eine nicht negative Zahl ist! Und die Zeichen sind Ergebnis der Lösung der Gleichung. Schließlich müssen wir beim Lösen einer Gleichung schreiben Alle Xs, die, wenn sie in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt werden, das richtige Ergebnis liefern. Die Wurzel aus fünf (positiv!) mit einem Plus und einem Minus passt in unsere Gleichung.

So. Wenn Sie Ziehen Sie einfach die Quadratwurzel von allem, du Stets du erhältst eins nicht negativ Ergebnis. Zum Beispiel:

Weil es - arithmetische Quadratwurzel.

Wenn Sie jedoch eine quadratische Gleichung lösen, wie zum Beispiel:

Das Stets es stellt sich heraus zwei Antwort (mit Plus und Minus):

Denn das ist die Lösung der Gleichung.

Hoffnung, Was ist Quadratwurzel? Sie haben Ihre Argumente klar dargelegt. Nun gilt es herauszufinden, was man mit den Wurzeln machen kann und welche Eigenschaften sie haben. Und was sind die Punkte und Fallstricke... sorry, Steine!)

All dies finden Sie in den folgenden Lektionen.

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