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Die n-te Wurzel einer reellen Zahl a ist eine Zahl b, für die die Gleichheit b^n = a gilt. Ungerade Wurzeln gibt es für negative und positive Zahlen, gerade Wurzeln nur für positive Zahlen. Der Wert der Wurzel ist oft unendlich Dezimal, was eine genaue Berechnung erschwert, daher ist es wichtig, die Wurzeln vergleichen zu können.

Anweisung

• Es sei erforderlich, zwei irrationale Zahlen zu vergleichen. Das erste, worauf Sie achten sollten, sind die Exponenten der Wurzeln der verglichenen Zahlen. Wenn die Indikatoren gleich sind, werden die radikalen Ausdrücke verglichen. Je größer die Wurzelzahl ist, desto größer ist natürlich die mehr Wert Wurzeln mit gleichen Exponenten. Vergleichen wir zum Beispiel Kubikwurzel von zwei und die Kubikwurzel von acht. Die Indikatoren sind gleich und gleich 3, die radikalen Ausdrücke sind 2 und 8 und 2< 8. Следовательно, и кубический корень из двух меньше кубического корня из восьми.
• In einem anderen Fall können die Exponenten unterschiedlich sein, aber die Wurzelausdrücke sind dieselben. Es ist auch ziemlich klar, dass beim Ziehen einer größeren Wurzel eine kleinere Zahl erhalten wird, zum Beispiel die Kubikwurzel aus acht und die sechste Wurzel aus acht. Wenn wir den Wert der ersten Wurzel mit a und der zweiten Wurzel mit b bezeichnen, dann ist a^3 = 8 und b^6 = 8. Es ist leicht zu sehen, dass a größer als b sein muss, also die Kubikwurzel von acht größer ist als die sechste Wurzel aus acht.
• Komplizierter ist die Situation bei unterschiedlichen Exponenten des Wurzelgrades und unterschiedlichen Wurzelausdrücken. In diesem Fall müssen Sie das kleinste gemeinsame Vielfache für die Wurzelexponenten finden und beide Ausdrücke potenzieren, die dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen entsprechen. Beispiel: Sie müssen 3 ^ 1/3 und 2 ^ 1/2 vergleichen (die mathematische Notation der Wurzeln ist in der Abbildung). Das kleinste gemeinsame Vielfache von 2 und 3 ist 6. Potenzieren Sie beide Wurzeln mit der sechsten Potenz. Es stellt sich sofort heraus, dass 3^2 = 9 und 2^3 = 8, 9 > 8. Also 3^1/3 > 2^1/2.

Wurzelformeln. Eigenschaften von Quadratwurzeln.

Aufmerksamkeit!
Es gibt zusätzliche
Material in Sondersektion 555.
Für diejenigen, die stark "nicht sehr ..."
Und für diejenigen, die "sehr viel...")

In der vorherigen Lektion haben wir herausgefunden, was eine Quadratwurzel ist. Es ist Zeit herauszufinden, was ist Formeln für Wurzeln, was sind Root-Eigenschaften und was man dagegen tun kann.

Root-Formeln, Root-Eigenschaften und Regeln für Aktionen mit Roots- Es ist im Wesentlichen dasselbe. Formeln für Quadratwurzelnüberraschend wenig. Was natürlich gefällt! Vielmehr kann man jede Menge allerlei Formeln schreiben, aber nur drei reichen für ein praktisches und souveränes Arbeiten mit Wurzeln. Alles andere ergibt sich aus diesen dreien. Obwohl sich viele in den drei Formeln der Wurzeln verirren, ja ...

Beginnen wir mit dem Einfachsten. Da ist sie:

Wenn Ihnen diese Seite gefällt...

Übrigens habe ich noch ein paar interessantere Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lernen - mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Erste Ebene

Vergleich von Zahlen. Umfassender Leitfaden (2019)

Beim Lösen von Gleichungen und Ungleichungen sowie Problemen mit Moduln ist es erforderlich, die gefundenen Nullstellen auf der reellen Linie zu lokalisieren. Wie Sie wissen, können die gefundenen Wurzeln unterschiedlich sein. Sie können so sein:, oder sie können so sein:,.

Wenn die Zahlen nicht rational, sondern irrational sind (wenn Sie vergessen haben, was es ist, schauen Sie im Thema nach) oder komplexe mathematische Ausdrücke sind, ist es sehr problematisch, sie auf dem Zahlenstrahl zu platzieren. Darüber hinaus können in der Prüfung keine Taschenrechner verwendet werden, und eine ungefähre Berechnung gibt keine 100%ige Garantie, dass eine Zahl kleiner als eine andere ist (was ist, wenn es einen Unterschied zwischen den verglichenen Zahlen gibt?).

Sie wissen natürlich, dass positive Zahlen immer größer sind als negative, und dass, wenn wir eine Zahlenachse darstellen, beim Vergleichen größte Zahlen befindet sich rechts vom kleinsten: ; ; usw.

Aber ist es immer so einfach? Wo auf dem Zahlenstrahl markieren wir .

Wie kann man sie zum Beispiel mit einer Zahl vergleichen? Da ist der Haken...)

Lassen Sie uns zuerst darüber sprechen allgemein gesagt wie und was zu vergleichen.

Wichtig: Es ist wünschenswert, Transformationen so vorzunehmen, dass sich das Ungleichheitszeichen nicht ändert! Das heißt, im Verlauf von Transformationen ist es unerwünscht, mit einer negativen Zahl zu multiplizieren, und es ist verboten Quadrat, wenn einer der Teile negativ ist.

Bruchvergleich

Wir müssen also zwei Brüche vergleichen: und.

Dazu gibt es mehrere Möglichkeiten.

Möglichkeit 1. Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen.

Schreiben wir es als gewöhnlichen Bruch:

- (wie man sieht, habe ich auch noch um Zähler und Nenner gekürzt).

Jetzt müssen wir Brüche vergleichen:

Jetzt können wir auch auf zwei Arten weiter vergleichen. Wir können:

1. Reduzieren Sie einfach alles auf einen gemeinsamen Nenner und stellen Sie beide Brüche als unpassend dar (der Zähler ist größer als der Nenner):

   Welche Zahl ist größer? Richtig, derjenige, dessen Zähler größer ist, also der erste.

2. „verwerfen“ (angenommen, wir haben von jedem Bruch eins subtrahiert und das Verhältnis der Brüche zueinander hat sich nicht geändert) und wir werden die Brüche vergleichen:

   Auch diese bringen wir auf einen gemeinsamen Nenner:

   Wir haben genau das gleiche Ergebnis wie im vorherigen Fall erhalten - die erste Zahl ist größer als die zweite:

   Lassen Sie uns auch überprüfen, ob wir richtig eins subtrahiert haben? Lassen Sie uns die Differenz im Zähler in der ersten Berechnung und der zweiten berechnen:
   1)
   2)

Also haben wir uns angesehen, wie man Brüche vergleicht und sie auf einen gemeinsamen Nenner bringt. Kommen wir zu einer anderen Methode - Brüche vergleichen, indem wir sie auf einen gemeinsamen ... Zähler bringen.

Option 2. Vergleichen von Brüchen durch Reduzieren auf einen gemeinsamen Zähler.

Ja Ja. Dies ist kein Tippfehler. In der Schule wird diese Methode selten jemandem beigebracht, aber sehr oft ist sie sehr praktisch. Damit Sie das Wesentliche schnell verstehen, stelle ich Ihnen nur eine Frage: "In welchen Fällen ist der Wert des Bruchteils am größten?" Natürlich werden Sie sagen "wenn der Zähler so groß wie möglich und der Nenner so klein wie möglich ist".

Zum Beispiel werden Sie definitiv sagen, dass True? Und wenn wir solche Brüche vergleichen müssen: Ich denke, auch Sie werden das Zeichen sofort richtig setzen, denn im ersten Fall sind sie in Teile geteilt, im zweiten in ganze, was bedeutet, dass im zweiten Fall die Stücke sehr klein sind, und dementsprechend:. Wie Sie sehen können, sind hier die Nenner unterschiedlich, aber die Zähler sind gleich. Um diese beiden Brüche zu vergleichen, müssen Sie jedoch keinen gemeinsamen Nenner finden. Obwohl ... finden und sehen, ob das Vergleichszeichen immer noch falsch ist?

Aber das Zeichen ist das gleiche.

Kehren wir zu unserer ursprünglichen Aufgabe zurück - zu vergleichen und. Wir werden vergleichen und Wir bringen diese Brüche nicht auf einen gemeinsamen Nenner, sondern auf einen gemeinsamen Zähler. Dafür ist es einfach Zähler und Nenner multipliziere den ersten Bruch mit. Wir bekommen:

und. Welcher Bruch ist größer? Richtig, der erste.

Option 3. Brüche durch Subtraktion vergleichen.

Wie vergleicht man Brüche durch Subtraktion? Ja, ganz einfach. Wir subtrahieren einen weiteren von einem Bruch. Wenn das Ergebnis positiv ist, dann ist der erste Bruchteil (reduziert) größer als der zweite (subtrahiert), und wenn negativ, dann umgekehrt.

Versuchen wir in unserem Fall, den ersten Bruch vom zweiten zu subtrahieren: .

Wie Sie bereits verstanden haben, übersetzen wir auch in einen gewöhnlichen Bruch und erhalten dasselbe Ergebnis -. Unser Ausdruck wird:

Außerdem müssen wir noch auf eine Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner zurückgreifen. Die Frage ist, wie: auf die erste Weise Brüche in unechte umwandeln oder auf die zweite Weise die Einheit „entfernen“? Übrigens hat diese Aktion eine völlig mathematische Begründung. Aussehen:

Mir gefällt die zweite Option besser, da das Multiplizieren im Zähler beim Reduzieren auf einen gemeinsamen Nenner um ein Vielfaches einfacher wird.

Wir bringen auf einen gemeinsamen Nenner:

Die Hauptsache hier ist, sich nicht darüber zu verwirren, von welcher Zahl und wo wir subtrahiert haben. Schauen Sie sich den Verlauf der Lösung genau an und verwechseln Sie die Zeichen nicht versehentlich. Wir haben die erste von der zweiten Zahl subtrahiert und ein negatives Ergebnis erhalten, also?.. Richtig, die erste Zahl ist größer als die zweite.

Habe es? Versuchen Sie, Brüche zu vergleichen:

Halt halt. Beeilen Sie sich nicht, auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen oder zu subtrahieren. Schauen Sie: Es kann leicht in einen Dezimalbruch umgewandelt werden. Wie viel wird es sein? Korrekt. Was wird am Ende mehr?

Dies ist eine weitere Option - Brüche vergleichen, indem sie auf eine Dezimalzahl reduziert werden.

Option 4. Brüche durch Division vergleichen.

Ja Ja. Und so ist es auch möglich. Die Logik ist einfach: Wenn wir eine größere Zahl durch eine kleinere dividieren, erhalten wir in der Antwort eine Zahl größer als eins, und wenn wir eine kleinere Zahl durch eine größere dividieren, fällt die Antwort auf das Intervall von bis.

Um sich an diese Regel zu erinnern, nehmen Sie zwei beliebige zum Vergleich Primzahlen, zum Beispiel ich. Weißt du, was mehr ist? Jetzt teilen wir durch. Unsere Antwort ist . Dementsprechend ist die Theorie richtig. Wenn wir durch dividieren, erhalten wir weniger als eins, was wiederum bestätigt, was tatsächlich weniger ist.

Lassen Sie uns versuchen, diese Regel auf anzuwenden gemeinsame Brüche. Vergleichen Sie:

Teilen Sie den ersten Bruch durch den zweiten:

Lassen Sie uns nach und nach kürzen.

Das Ergebnis ist kleiner, also ist der Dividende kleiner als der Divisor, das heißt:

Wir haben alles auseinander genommen Möglichkeiten Bruchvergleiche. Wie Sie sehen können, gibt es 5 davon:

• Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner;
• Reduktion auf einen gemeinsamen Zähler;
• Reduktion auf die Form eines Dezimalbruchs;
• Subtraktion;
• Einteilung.

Bereit zum Training? Brüche am besten vergleichen:

Vergleichen wir die Antworten:

1. (- in Dezimalzahl umwandeln)
2. (einen Bruch durch einen anderen dividieren und mit Zähler und Nenner kürzen)
3. (ganzen Teil auswählen und Brüche nach dem Prinzip des gleichen Zählers vergleichen)
4. (Teile einen Bruch durch einen anderen und kürze mit Zähler und Nenner).

2. Vergleich der Abschlüsse

Stellen Sie sich nun vor, dass wir nicht nur Zahlen vergleichen müssen, sondern auch Ausdrücke, in denen es einen Grad gibt ().

Natürlich können Sie ganz einfach ein Zeichen setzen:

Wenn wir den Grad durch Multiplikation ersetzen, erhalten wir schließlich:

Aus diesem kleinen und primitiven Beispiel folgt die Regel:

Versuchen Sie nun Folgendes zu vergleichen: . Sie können auch ganz einfach ein Zeichen setzen:

Denn wenn wir Potenzierung durch Multiplikation ersetzen...

Im Allgemeinen verstehen Sie alles und es ist überhaupt nicht schwierig.

Schwierigkeiten ergeben sich nur dann, wenn die Abschlüsse im Vergleich unterschiedliche Grundlagen und Indikatoren haben. In diesem Fall muss versucht werden, sie auf eine gemeinsame Basis zu bringen. Zum Beispiel:

Sie wissen natürlich, dass dies dementsprechend der Ausdruck die Form hat:

Lassen Sie uns die Klammern öffnen und vergleichen, was passiert:

Ein etwas spezieller Fall ist, wenn die Basis des Grades () kleiner als eins ist.

Wenn, dann von zwei Grad oder mehr, derjenige, dessen Indikator kleiner ist.

Versuchen wir, diese Regel zu beweisen. Lassen.

Lassen Sie uns einige vorstellen natürliche Zahl als Unterschied zwischen und.

Logisch, oder?

Jetzt achten wir auf die Bedingung - .

Bzw: . Folglich, .

Zum Beispiel:

Wie Sie verstehen, haben wir den Fall betrachtet, in dem die Basiswerte der Potenzen gleich sind. Nun wollen wir sehen, wann die Basis im Bereich von bis liegt, aber die Exponenten gleich sind. Hier ist alles ganz einfach.

Erinnern wir uns, wie man dies mit einem Beispiel vergleicht:

Natürlich haben Sie schnell nachgerechnet:

Wenn Sie also zu Vergleichszwecken auf ähnliche Probleme stoßen, denken Sie an ein einfaches ähnliches Beispiel, das Sie schnell berechnen können, und tragen Sie auf der Grundlage dieses Beispiels Zeichen in einem komplexeren ein.

Denken Sie bei der Durchführung von Transformationen daran, dass beim Multiplizieren, Addieren, Subtrahieren oder Dividieren alle Aktionen sowohl auf der linken als auch auf der rechten Seite ausgeführt werden müssen (wenn Sie mit multiplizieren, müssen Sie beide multiplizieren).

Darüber hinaus gibt es Zeiten, in denen Manipulationen einfach unrentabel sind. Zum Beispiel müssen Sie vergleichen. In diesem Fall ist es nicht so schwierig, eine Potenz zu erheben und das Zeichen darauf basierend anzuordnen:

Lass uns üben. Abschlüsse vergleichen:

Bereit, Antworten zu vergleichen? Das ist, was ich tat:

1. - das Gleiche wie
2. - das Gleiche wie
3. - das Gleiche wie
4. - das Gleiche wie

3. Vergleich von Zahlen mit einer Wurzel

Beginnen wir damit, was sind Wurzeln? Erinnern Sie sich an diesen Eintrag?

Die Wurzel einer reellen Zahl ist eine Zahl, für die Gleichheit gilt.

Wurzeln ungerader Grad gibt es für negative und positive Zahlen, und sogar Wurzeln- Nur für positiv.

Der Wert der Wurzel ist oft eine unendliche Dezimalzahl, was es schwierig macht, ihn genau zu berechnen, daher ist es wichtig, Wurzeln vergleichen zu können.

Wenn Sie vergessen haben, was es ist und womit es gegessen wird -. Wenn Sie sich an alles erinnern, lernen Sie Schritt für Schritt, die Wurzeln zu vergleichen.

Nehmen wir an, wir müssen vergleichen:

Um diese beiden Wurzeln zu vergleichen, müssen Sie keine Berechnungen durchführen, sondern nur das Konzept von "Wurzel" analysieren. Verstanden, wovon ich rede? Ja, dazu: Andernfalls kann es als dritte Potenz einer Zahl geschrieben werden, die dem Wurzelausdruck entspricht.

Was mehr? oder? Das kann man natürlich ohne weiteres vergleichen. Je größer die Zahl, die wir potenzieren, desto größer wird der Wert.

So. Lassen Sie uns die Regel bekommen.

Wenn die Exponenten der Wurzeln gleich sind (in unserem Fall ist dies der Fall), müssen die Wurzelausdrücke (und) verglichen werden. Je größer die Wurzelzahl, desto größer der Wert der Wurzel bei gleichen Indikatoren.

Schwer zu merken? Dann behalte einfach ein Beispiel im Hinterkopf und. Das mehr?

Die Exponenten der Wurzeln sind gleich, da die Wurzel quadratisch ist. Der Wurzelausdruck einer Zahl () ist größer als eine andere (), was bedeutet, dass die Regel wirklich wahr ist.

Was aber, wenn die Wurzelausdrücke dieselben sind, aber die Grade der Wurzeln unterschiedlich sind? Zum Beispiel: .

Es ist auch ziemlich klar, dass beim Ziehen einer Wurzel mit größerem Grad eine kleinere Zahl erhalten wird. Nehmen wir zum Beispiel:

Bezeichnen Sie den Wert der ersten Wurzel als und den zweiten - als, dann:

Sie können leicht erkennen, dass in diesen Gleichungen mehr enthalten sein sollte, daher:

Wenn die Stammausdrücke gleich sind(in unserem Fall), und die Exponenten der Wurzeln sind unterschiedlich(in unserem Fall ist dies und), dann ist es notwendig, die Exponenten zu vergleichen(und) - je größer der Exponent, desto kleiner der gegebene Ausdruck.

Versuchen Sie, die folgenden Wurzeln zu vergleichen:

Vergleichen wir die Ergebnisse?

Das haben wir erfolgreich gelöst :). Eine weitere Frage stellt sich: Was ist, wenn wir alle verschieden sind? Und der Grad und der radikale Ausdruck? Nicht alles ist so schwierig, wir müssen nur ... die Wurzel "loswerden". Ja Ja. Werde es los.)

Wenn wir unterschiedliche Grade und Wurzelausdrücke haben, ist es notwendig, das kleinste gemeinsame Vielfache (lesen Sie den Abschnitt über) für die Wurzelexponenten zu finden und beide Ausdrücke zu potenzieren, die gleich dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen sind.

Dass wir alle in Worten und in Worten sind. Hier ist ein Beispiel:

1. Wir betrachten die Indikatoren der Wurzeln - und. Ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches ist .
2. Potenzieren wir beide Ausdrücke:
3. Lassen Sie uns den Ausdruck umwandeln und die Klammern erweitern (mehr Details im Kapitel):
4. Betrachten wir, was wir getan haben, und setzen wir ein Zeichen:

4. Vergleich von Logarithmen

So näherten wir uns langsam aber sicher der Frage, wie man Logarithmen vergleicht. Wenn Sie sich nicht erinnern, um welche Art von Tier es sich handelt, rate ich Ihnen, zuerst die Theorie aus dem Abschnitt zu lesen. Lesen? Beantworten Sie dann einige wichtige Fragen:

1. Was ist das Argument des Logarithmus und was ist seine Basis?
2. Was bestimmt, ob eine Funktion zunimmt oder abnimmt?

Wenn Sie sich an alles erinnern und es gut gelernt haben - fangen wir an!

Um Logarithmen miteinander zu vergleichen, müssen Sie nur 3 Tricks kennen:

• Reduktion auf die gleiche Basis;
• Gießen auf dasselbe Argument;
• Vergleich mit der dritten Zahl.

Achte zuerst auf die Basis des Logarithmus. Sie erinnern sich, dass die Funktion abnimmt, wenn sie kleiner ist, und wenn sie größer ist, dann zunimmt. Darauf basieren unsere Urteile.

Ziehen Sie in Betracht, Logarithmen zu vergleichen, die bereits auf dieselbe Basis oder dasselbe Argument reduziert wurden.

Vereinfachen wir zunächst das Problem: Geben Sie die verglichenen Logarithmen ein gleiche Gründe. Dann:

1. Die Funktion, wenn auf dem Intervall von zunimmt, bedeutet per Definition dann („direkter Vergleich“).
2. Beispiel:- die Basen sind jeweils gleich, wir vergleichen die Argumente: , also:
3. Die Funktion at nimmt im Intervall von ab, was per Definition dann bedeutet („umgekehrter Vergleich“). - Die Basen sind jeweils gleich, wir vergleichen die Argumente: , das Vorzeichen der Logarithmen ist jedoch „umgekehrt“, da die Funktion abnimmt: .

Betrachten Sie nun die Fälle, in denen die Basen unterschiedlich sind, die Argumente jedoch dieselben sind.

1. Die Basis ist größer.
   • . In diesem Fall verwenden wir den "umgekehrten Vergleich". Zum Beispiel: - die Argumente sind die gleichen, und. Wir vergleichen die Basen: Das Vorzeichen der Logarithmen ist jedoch „umgekehrt“:
2. Basis a liegt dazwischen.
   • . In diesem Fall verwenden wir den „direkten Vergleich“. Zum Beispiel:
   • . In diesem Fall verwenden wir den "umgekehrten Vergleich". Zum Beispiel:

Schreiben wir alles in allgemeiner Tabellenform:

Dementsprechend müssen wir, wie Sie bereits verstanden haben, beim Vergleichen von Logarithmen zur gleichen Basis oder zum gleichen Argument führen. Wir kommen zur gleichen Basis, indem wir die Formel zum Bewegen von einer Basis zur anderen verwenden.

Sie können Logarithmen auch mit einer dritten Zahl vergleichen und daraus schließen, was weniger und was mehr ist. Denken Sie zum Beispiel darüber nach, wie Sie diese beiden Logarithmen vergleichen können?

Ein kleiner Hinweis - zum Vergleich hilft Ihnen der Logarithmus sehr, dessen Argument gleich ist.

Habe gedacht? Lassen Sie uns gemeinsam entscheiden.

Wir können diese beiden Logarithmen leicht mit Ihnen vergleichen:

Sie wissen nicht wie? Siehe oben. Wir haben es einfach auseinander genommen. Welches Zeichen wird da sein? Korrekt:

Sich einigen?

Vergleichen wir mal miteinander:

Sie sollten Folgendes erhalten:

Kombinieren Sie nun alle unsere Schlussfolgerungen zu einer einzigen. Passierte?

5. Vergleich trigonometrischer Ausdrücke.

Was ist Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens? Wozu dient der Einheitskreis und wie findet man den Wert darauf? trigonometrische Funktionen? Wenn Sie die Antworten auf diese Fragen nicht kennen, empfehle ich Ihnen dringend, die Theorie zu diesem Thema zu lesen. Und wenn Sie es wissen, dann fällt es Ihnen nicht schwer, trigonometrische Ausdrücke miteinander zu vergleichen!

Frischen wir unsere Erinnerung ein wenig auf. Zeichnen wir einen trigonometrischen Einheitskreis und ein darin eingeschriebenes Dreieck. Hast du es geschafft? Markieren Sie nun, auf welcher Seite wir den Kosinus und auf welcher Seite den Sinus haben, indem Sie die Seiten des Dreiecks verwenden. (Sie erinnern sich natürlich, dass der Sinus das Verhältnis der gegenüberliegenden Seite zur Hypotenuse und der Kosinus der angrenzenden ist?). Hast du gezeichnet? Exzellent! Der letzte Schliff - ablegen, wo wir es haben werden, wo und so weiter. Hinlegen? Puh) Vergleich was mit mir und dir passiert ist.

Puh! Jetzt starten wir den Vergleich!

Angenommen, wir müssen und vergleichen. Zeichnen Sie diese Winkel mit Hilfe der Hinweise in den Kästchen (wo wir wo markiert haben) und legen Sie die Punkte auf dem Einheitskreis an. Hast du es geschafft? Das ist, was ich tat.

Lassen Sie uns nun die Senkrechte von den Punkten, die wir auf dem Kreis markiert haben, auf die Achse absenken ... Welche? Welche Achse zeigt den Wert der Sinus? Richtig, . Hier ist, was Sie bekommen sollten:

Betrachtet man diese Figur, die größer ist: oder? Natürlich, weil der Punkt über dem Punkt liegt.

In ähnlicher Weise vergleichen wir den Wert von Cosinus. Wir senken nur die Senkrechte auf die Achse ... Richtig, . Schauen wir also, welcher Punkt rechts ist (gut oder höher, wie bei Sinus), dann ist der Wert größer.

Sie wissen wahrscheinlich schon, wie man Tangenten vergleicht, oder? Alles, was Sie wissen müssen, ist, was Tangente ist. Also, was ist Tangens?) Richtig, das Verhältnis von Sinus zu Cosinus.

Um die Tangenten zu vergleichen, zeichnen wir wie im vorherigen Fall auch einen Winkel. Nehmen wir an, wir müssen vergleichen:

Hast du gezeichnet? Jetzt markieren wir auch die Werte des Sinus auf der Koordinatenachse. Gemerkt? Und geben Sie nun die Werte des Kosinus auf der Koordinatenlinie an. Passierte? Lass uns vergleichen:

Analysieren Sie nun, was Sie geschrieben haben. - wir großer Schnitt durch klein teilen. Die Antwort wird ein Wert sein, der genau größer als eins ist. Rechts?

Und wenn wir den Kleinen durch den Großen dividieren. Die Antwort wird eine Zahl sein, die genau kleiner als eins ist.

Was ist also der Sinn trigonometrischer Ausdruck mehr?

Korrekt:

Wie Sie jetzt verstehen, ist der Vergleich der Kotangenten dasselbe, nur umgekehrt: Wir sehen uns an, wie die Segmente, die Kosinus und Sinus definieren, zueinander in Beziehung stehen.

Versuchen Sie, die folgenden trigonometrischen Ausdrücke selbst zu vergleichen:

Beispiele.

Antworten.

ZAHLENVERGLEICH. MITTELSTUFE.

Welche der Zahlen ist größer: oder? Die Antwort ist offensichtlich. Und jetzt: oder? Nicht mehr so ​​offensichtlich, oder? Also: oder?

Oft muss man wissen, welche numerische Ausdrücke mehr. Wenn Sie beispielsweise eine Ungleichung lösen, bringen Sie die Punkte in der richtigen Reihenfolge auf der Achse an.

Jetzt werde ich Ihnen beibringen, solche Zahlen zu vergleichen.

Wenn Sie Zahlen vergleichen müssen, setzen Sie ein Zeichen dazwischen (abgeleitet vom lateinischen Wort Versus oder abgekürzt vs. - gegen):. Dieses Zeichen ersetzt das unbekannte Ungleichheitszeichen (). Als nächstes werden wir ausführen identische Transformationen bis klar ist, welches Zeichen zwischen die Zahlen zu setzen ist.

Das Wesentliche beim Zahlenvergleich ist folgender: Wir behandeln das Zeichen so, als wäre es eine Art Ungleichheitszeichen. Und mit dem Ausdruck können wir alles tun, was wir normalerweise mit Ungleichungen tun:

• Addiere eine beliebige Zahl zu beiden Teilen (und wir können natürlich auch subtrahieren)
• „alles in eine Richtung verschieben“, also einen der verglichenen Ausdrücke von beiden Teilen subtrahieren. Anstelle des subtrahierten Ausdrucks bleibt: .
• mit derselben Zahl multiplizieren oder dividieren. Wenn diese Zahl negativ ist, wird das Ungleichheitszeichen umgekehrt: .
• Erhöhen Sie beide Seiten auf die gleiche Stärke. Wenn diese Potenz gerade ist, müssen Sie darauf achten, dass beide Teile das gleiche Vorzeichen haben; sind beide Teile positiv, ändert sich das Vorzeichen bei Potenzierung nicht, sind sie negativ, so ändert es sich ins Gegenteil.
• aus beiden Teilen die Wurzel gleichen Grades ziehen. Wenn wir die Wurzel eines geraden Grades ziehen, müssen Sie zuerst sicherstellen, dass beide Ausdrücke nicht negativ sind.
• alle anderen äquivalenten Transformationen.

Wichtig: Es ist wünschenswert, Transformationen so vorzunehmen, dass sich das Ungleichheitszeichen nicht ändert! Das heißt, im Verlauf von Transformationen ist es unerwünscht, mit einer negativen Zahl zu multiplizieren, und es ist unmöglich, zu quadrieren, wenn einer der Teile negativ ist.

Schauen wir uns ein paar typische Situationen an.

1. Potenzierung.

Beispiel.

Was ist mehr: oder?

Entscheidung.

Da beide Seiten der Ungleichung positiv sind, können wir quadrieren, um die Wurzel loszuwerden:

Beispiel.

Was ist mehr: oder?

Entscheidung.

Auch hier können wir quadrieren, aber das hilft uns nur, die Quadratwurzel loszuwerden. Hier muss so weit angehoben werden, dass beide Wurzeln verschwinden. Das bedeutet, dass der Exponent dieses Grades sowohl durch (den Grad der ersten Wurzel) als auch durch teilbar sein muss. Diese Zahl ist, also potenzieren wir sie:

2. Multiplikation mit dem Konjugierten.

Beispiel.

Was ist mehr: oder?

Entscheidung.

Multipliziere und dividiere jede Differenz durch die konjugierte Summe:

Offensichtlich ist der Nenner auf der rechten Seite größer als der Nenner auf der linken Seite. Daher ist der rechte Bruch kleiner als der linke:

3. Subtraktion

Erinnern wir uns daran.

Beispiel.

Was ist mehr: oder?

Entscheidung.

Natürlich könnten wir alles quadrieren, neu gruppieren und wieder quadrieren. Aber Sie können etwas Klügeres tun:

Es ist ersichtlich, dass jeder Term auf der linken Seite kleiner ist als jeder Term auf der rechten Seite.

Dementsprechend ist die Summe aller Terme auf der linken Seite kleiner als die Summe aller Terme auf der rechten Seite.

Aber sei vorsichtig! Wir wurden mehr gefragt...

Die rechte Seite ist größer.

Beispiel.

Zahlen vergleichen und.

Entscheidung.

Denken Sie an die Formeln der Trigonometrie:

Lassen Sie uns überprüfen, in welchen Vierteln die Punkte und auf dem trigonometrischen Kreis liegen.

4. Teilung.

Auch hier verwenden wir eine einfache Regel: .

Mit oder, das ist.

Bei Vorzeichenwechsel: .

Beispiel.

Einen Vergleich machen: .

Entscheidung.

5. Vergleichen Sie die Zahlen mit der dritten Zahl

Wenn und dann (Gesetz der Transitivität).

Beispiel.

Vergleichen Sie.

Entscheidung.

Vergleichen wir die Zahlen nicht miteinander, sondern mit der Zahl.

Es ist klar, dass.

Andererseits, .

Beispiel.

Was ist mehr: oder?

Entscheidung.

Beide Zahlen sind größer, aber kleiner. Wählen Sie eine Zahl so, dass sie größer als eins, aber kleiner als das andere ist. Zum Beispiel, . Lass uns nachsehen:

6. Was tun mit Logarithmen?

Nichts Besonderes. Wie man Logarithmen loswird, wird im Thema ausführlich beschrieben. Die Grundregeln sind:

\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \Leftrightarrow (\rm( ))\left[ (\begin(array)(*(20)(l))(x \vee (a^ b)\;(\rm(at))\;a > 1)\\(x \wedge(a^b)\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \wedge y\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]

Wir können auch eine Regel über Logarithmen mit unterschiedlichen Basen und demselben Argument hinzufügen:

Dies lässt sich folgendermaßen erklären: Je größer die Basis, desto weniger muss sie angehoben werden, um dieselbe zu erhalten. Ist die Basis kleiner, dann gilt das Gegenteil, da die entsprechende Funktion monoton fallend ist.

Beispiel.

Zahlen vergleichen: i.

Entscheidung.

Nach den oben genannten Regeln:

Und jetzt die erweiterte Formel.

Die Regel zum Vergleichen von Logarithmen lässt sich auch kürzer schreiben:

Beispiel.

Was ist mehr: oder?

Entscheidung.

Beispiel.

Vergleichen Sie, welche der Zahlen größer ist: .

Entscheidung.

ZAHLENVERGLEICH. KURZ ÜBER DAS WESENTLICHE

1. Potenzierung

Wenn beide Seiten der Ungleichung positiv sind, können sie quadriert werden, um die Wurzel loszuwerden

2. Multiplikation mit dem Konjugierten

Ein Konjugat ist ein Multiplikator, der den Ausdruck um die Formel für die Differenz von Quadraten ergänzt: - Konjugiert für und umgekehrt, weil .

3. Subtraktion

4. Teilung

Bei oder das ist

Bei Vorzeichenwechsel:

5. Vergleich mit der dritten Zahl

Wenn und dann

6. Vergleich von Logarithmen

Grundregeln.

Die n-te Wurzel einer reellen Zahl a ist eine Zahl b, für die die Gleichheit b^n = a gilt. Wurzeln Wurzeln mit ungeradem Grad gibt es für negative und positive Zahlen, und Wurzeln mit geradem Grad gibt es nur für positive. Der Wert der Wurzel ist oft eine unendliche Dezimalzahl, was es schwierig macht, ihn genau zu berechnen, daher ist es wichtig, Wurzeln vergleichen zu können.

Anweisung

Es sei erforderlich, zwei irrationale Zahlen zu vergleichen. Das erste, worauf Sie achten sollten, sind die Exponenten der Wurzeln der verglichenen Zahlen. Wenn die Indikatoren gleich sind, werden die radikalen Ausdrücke verglichen. Je größer die Wurzelzahl, desto größer ist natürlich der Wert der Wurzel bei gleichen Indikatoren. Vergleichen wir zum Beispiel zwei und die Kubikwurzel von acht. Die Indikatoren sind gleich und gleich 3, die radikalen Ausdrücke sind 2 und 8 und 2

In einem anderen Fall können die Exponenten unterschiedlich sein, aber die Wurzelausdrücke sind dieselben. Es ist auch ziemlich klar, dass beim Ziehen einer größeren Wurzel eine kleinere Zahl erhalten wird, zum Beispiel die Kubikwurzel aus acht und die sechste Wurzel aus acht. Wenn wir den Wert der ersten Wurzel mit a und der zweiten Wurzel mit b bezeichnen, dann ist a^3 = 8 und b^6 = 8. Es ist leicht zu sehen, dass a größer als b sein muss, also die Kubikwurzel von acht größer ist als die sechste Wurzel aus acht.

Komplizierter ist die Situation bei unterschiedlichen Exponenten des Wurzelgrades und unterschiedlichen Wurzelausdrücken. In diesem Fall müssen Sie das kleinste gemeinsame Vielfache für die Wurzelexponenten finden und beide Ausdrücke potenzieren, die dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen entsprechen. Beispiel: Sie müssen 3 ^ 1/3 und 2 ^ 1/2 vergleichen (die mathematische Notation der Wurzeln ist in der Abbildung). Das kleinste gemeinsame Vielfache von 2 und 3 ist 6. Potenzieren Sie beide Wurzeln mit der sechsten Potenz. Es stellt sich sofort heraus, dass 3^2 = 9 und 2^3 = 8, 9 > 8. Also 3^1/3 > 2^1/2.