In dieser Lektion behandeln Sie das Thema " Numerische Ausdrücke. Vergleich numerischer Ausdrücke. Diese Lektion führt Sie in die Definition numerischer Ausdrücke ein. Sie werden lernen, dass numerische Ausdrücke gelesen werden können. Sie lernen auch, wie Sie ihre Bedeutung finden und vergleichen können. Etwas praktische Beispiele helfen Ihnen, das Gelernte zu festigen.

Lektion: Numerische Ausdrücke. Numerische Ausdrücke vergleichen

Schauen Sie sich diese Ausdrücke an und versuchen Sie, das Überflüssige darunter zu finden.

20 + ein
c + 7
6 + 8
15 - (10 + 2)
18 > 9

Der Eintrag 18 > 9 ist überflüssig (18 ist größer als 9). Warum denken Sie?

Richtige Antwort: weil nur es das Vergleichszeichen verwendet. Alle anderen verwenden Aktionszeichen.

Die aufgezeichneten Ausdrücke können in zwei Gruppen unterteilt werden:

Literale Ausdrücke Numerische Ausdrücke
20 + eine 6 + 8
c + 7 15 - (10 + 2)

Wörtliche Ausdrücke sind Ausdrücke, die die Buchstaben des lateinischen Alphabets verwenden.

Numerische Ausdrücke- Zahlen, die durch Aktionszeichen verbunden sind. Numerische Ausdrücke können gelesen werden.

6 + 8 …(Summe aus 6 und 8)

15 - (10 + 2) ... (Subtrahieren Sie die Summe von 10 und 2 von 15)

Lassen Sie uns die Werte von Ausdrücken finden:

15 - (10 + 2) = …
Zuerst führen wir die in Klammern angegebene Aktion aus. Wir addieren 2 zu 10.
10 + 2 = 12
Jetzt müssen Sie 12 von 15 subtrahieren.
15 - 12 = 3
15 - (10 + 2) = 3

Jetzt machen wir die Aufgabe:

Wir haben wiederholt, was es bedeutet, den Wert eines numerischen Ausdrucks zu finden.

Jetzt müssen wir lernen, wie man numerische Ausdrücke vergleicht. Numerischen Ausdruck vergleichen - Finden Sie den Wert jedes Ausdrucks und vergleichen Sie ihn.

Vergleichen wir die Werte der beiden Ausdrücke. Dazu finden wir die Werte von jedem von ihnen.

15 - 7 < 6 + 3

Vergleichen wir nun die Werte von zwei weiteren Ausdrücken:

3. Fest Pädagogische Ideen « Öffentlicher Unterricht» (). zu Hause machen Numerische Ausdrücke lösen: a) 20 +14 b) 56 - 22 c) 47 - 22 Ausdrücke vergleichen: a) 33 - 12 und 25 + 7 b) 45 - 5 und 19 + 21 c) 23 + 5 und 12 + 6

Ausdrücke sind die Grundlage der Mathematik. Das Konzept ist recht weit gefasst. Das meiste, womit Sie sich in der Mathematik befassen müssen – und Beispiele und Gleichungen und sogar Brüche – sind Ausdrücke. Eine Besonderheit des Ausdrucks ist das Vorhandensein mathematischer Operationen. Sie wird durch bestimmte Zeichen (Multiplikation, Division, Subtraktion oder Addition) angezeigt. Die Reihenfolge der Durchführung mathematischer Operationen wird gegebenenfalls mit Klammern korrigiert. Mathematische Operationen durchzuführen bedeutet, den Wert eines Ausdrucks zu finden.

Was ist kein Ausdruck

Nicht jede mathematische Notation kann als Ausdruck klassifiziert werden Gleichheiten sind keine Ausdrücke. Ob mathematische Operationen in der Gleichung vorhanden sind oder nicht, spielt keine Rolle. Zum Beispiel ist a=5 eine Gleichheit, kein Ausdruck, aber 8+6*2=20 ist auch kein Ausdruck, obwohl es Multiplikation und Addition enthält. Auch dieses Beispiel gehört in die Kategorie der Gleichheiten: Die Begriffe Ausdruck und Gleichheit schließen einander nicht aus, ersteres ist Teil des zweiten. Das Gleichheitszeichen verbindet zwei Ausdrücke:
5+7=24:2 Diese Gleichung kann vereinfacht werden:
5+7=12 Ein Ausdruck setzt immer voraus, dass die mathematischen Operationen, die er darstellt, durchgeführt werden können. 9+:-7 ist kein Ausdruck, obwohl es hier Anzeichen für mathematische Operationen gibt, weil es unmöglich ist, diese Aktionen auszuführen.Es gibt auch solche mathematischen Beispiele, die formal Ausdrücke sind, aber keinen Sinn ergeben. Ein Beispiel für einen solchen Ausdruck:
46:(5-2-3) Die Zahl 46 muss durch das Ergebnis der Aktionen in Klammern dividiert werden und ist gleich Null. Es ist unmöglich, durch Null zu teilen, eine solche Aktion in der Mathematik gilt als verboten.

Numerische und algebraische Ausdrücke

Es gibt zwei Arten von mathematischen Ausdrücken: Wenn der Ausdruck nur Zahlen und Zeichen mathematischer Operationen enthält, wird ein solcher Ausdruck als numerischer Ausdruck bezeichnet. Wenn in dem Ausdruck neben Zahlen auch mit Buchstaben bezeichnete Variablen oder gar keine Zahlen vorkommen, der Ausdruck aber nur aus Variablen und Zeichen mathematischer Operationen besteht, spricht man von Algebra algebraisch ist, dass ein numerischer Ausdruck nur einen Wert hat. Beispielsweise ist der Wert des numerischen Ausdrucks 56–2*3 immer 50, nichts kann geändert werden. Ein algebraischer Ausdruck kann viele Werte haben, da ein Buchstabe durch eine beliebige Zahl ersetzt werden kann. Wenn also im Ausdruck b–7 anstelle von b 9 ersetzt wird, ist der Wert des Ausdrucks 2, und wenn 200, ist es 193.

Numerische und algebraische Ausdrücke. Ausdruckskonvertierung.

Was ist ein Ausdruck in der Mathematik? Warum sind Ausdruckskonvertierungen notwendig?

Die Frage ist, wie sie sagen, interessant... Tatsache ist, dass diese Konzepte die Grundlage aller Mathematik sind. Alle Mathematik besteht aus Ausdrücken und ihren Transformationen. Nicht sehr klar? Lassen Sie mich erklären.

Nehmen wir an, Sie haben ein böses Beispiel. Sehr groß und sehr komplex. Angenommen, Sie sind gut in Mathe und haben vor nichts Angst! Können Sie gleich antworten?

Du musst lösen dieses Beispiel. Nacheinander, Schritt für Schritt, dieses Beispiel vereinfachen. Natürlich nach bestimmten Regeln. Jene. machen Ausdruckskonvertierung. Wie erfolgreich Sie diese Transformationen durchführen, so stark sind Sie in Mathematik. Wenn Sie nicht wissen, wie man die richtigen Transformationen durchführt, können Sie es in Mathematik nicht nichts...

Um solch eine unbequeme Zukunft (oder Gegenwart ...) zu vermeiden, schadet es nicht, dieses Thema zu verstehen.)

Finden wir es zunächst heraus was ist ein ausdruck in mathe. Was numerischer Ausdruck und was ist Algebraischer Ausdruck.

Was ist ein Ausdruck in der Mathematik?

Ausdruck in der Mathematik ist ein sehr weit gefasster Begriff. Fast alles, womit wir uns in der Mathematik befassen, ist eine Reihe mathematischer Ausdrücke. Alle Beispiele, Formeln, Brüche, Gleichungen und so weiter - alles besteht aus mathematische Ausdrücke.

3+2 ist ein mathematischer Ausdruck. c 2 - d 2 ist auch ein mathematischer Ausdruck. Und ein gesunder Bruchteil und sogar eine Zahl - das sind alles mathematische Ausdrücke. Die Gleichung lautet zum Beispiel:

5x + 2 = 12

besteht aus zwei mathematischen Ausdrücken, die durch ein Gleichheitszeichen verbunden sind. Ein Ausdruck steht links, der andere rechts.

BEI Gesamtansicht Begriff " mathematischer Ausdruck" wird meistens verwendet, um nicht zu murmeln. Sie werden Sie zum Beispiel fragen, was ein gewöhnlicher Bruch ist? Und wie soll man antworten?!

Antwort 1: „Es ist … m-m-m-m... so etwas ... in dem ... Kann ich einen Bruch besser schreiben? Welches willst du?"

Zweite Antwort: „ Gemeinsamer Bruch Das ist (fröhlich und freudig!) mathematischer Ausdruck , die aus Zähler und Nenner besteht!"

Die zweite Option ist irgendwie beeindruckender, oder?)

Dazu ist der Satz „ mathematischer Ausdruck "sehr gut. Korrekt und solide. Aber für praktische Anwendung sollte sich gut auskennen bestimmte Arten von Ausdrücken in der Mathematik .

Der genaue Typ ist eine andere Sache. Das ganz was anderes! Jede Art von mathematischem Ausdruck hat Bergwerk eine Reihe von Regeln und Techniken, die bei der Entscheidung verwendet werden müssen. Mit Brüchen arbeiten - ein Satz. Für die Arbeit mit trigonometrischen Ausdrücken - die zweite. Für die Arbeit mit Logarithmen - der dritte. Usw. Irgendwo stimmen diese Regeln überein, irgendwo unterscheiden sie sich stark. Aber fürchte dich nicht vor diesen schrecklichen Worten. Logarithmen, Trigonometrie und andere mysteriöse Dinge werden wir in den entsprechenden Abschnitten beherrschen.

Hier werden wir zwei Haupttypen von mathematischen Ausdrücken beherrschen (oder - wiederholen Sie, wie Sie möchten ...). Numerische Ausdrücke und algebraische Ausdrücke.

Numerische Ausdrücke.

Was numerischer Ausdruck? Dies ist ein sehr einfaches Konzept. Der Name selbst deutet darauf hin, dass es sich um einen Ausdruck mit Zahlen handelt. So ist es. Mathematischer Ausdruck aus Zahlen, Klammern und Zeichen Rechenoperationen wird als numerischer Ausdruck bezeichnet.

7-3 ist ein numerischer Ausdruck.

(8+3.2) 5.4 ist auch ein numerischer Ausdruck.

Und dieses Monster:

auch ein numerischer Ausdruck, ja...

Eine gewöhnliche Zahl, ein Bruch, irgendein Rechenbeispiel ohne x und andere Buchstaben – all das sind numerische Ausdrücke.

Hauptmerkmal numerisch Ausdrücke darin keine Buchstaben. Keiner. Nur Zahlen und mathematische Symbole (falls erforderlich). Es ist einfach, oder?

Und was kann man mit numerischen Ausdrücken machen? Numerische Ausdrücke können normalerweise gezählt werden. Dafür muss man manchmal Klammern öffnen, Vorzeichen wechseln, abkürzen, Begriffe vertauschen – also machen Ausdruckskonvertierungen. Aber dazu weiter unten mehr.

Hier behandeln wir solch einen lustigen Fall bei einem numerischen Ausdruck Sie müssen nichts tun. Nun, gar nichts! Diese schöne Aktion nichts tun)- wird ausgeführt, wenn der Ausdruck Es ist nicht sinnvoll.

Wann macht ein numerischer Ausdruck keinen Sinn?

Wenn wir natürlich eine Art Abrakadabra vor uns sehen, wie z

dann machen wir nichts. Da ist nicht klar, was damit zu tun ist. Etwas Unsinn. Es sei denn, um die Anzahl der Pluspunkte zu zählen ...

Aber es gibt äußerlich ganz anständige Ausdrücke. Zum Beispiel das:

(2+3): (16 - 2 8)

Allerdings ist dieser Ausdruck auch Es ist nicht sinnvoll! Aus dem einfachen Grund, dass man in der zweiten Klammer – wenn man mitzählt – Null bekommt. Du kannst nicht durch Null dividieren! Dies ist eine verbotene Operation in der Mathematik. Daher brauchen Sie auch mit diesem Ausdruck nichts zu tun. Für jede Aufgabe mit einem solchen Ausdruck ist die Antwort immer dieselbe: "Der Ausdruck ergibt keinen Sinn!"

Um eine solche Antwort zu geben, musste ich natürlich berechnen, was in Klammern stehen würde. Und manchmal in Klammern so eine Wendung ... Naja, dagegen ist nichts zu machen.

Es gibt nicht so viele verbotene Operationen in der Mathematik. In diesem Thread gibt es nur einen. Durch Null teilen. Zusätzliche Verbote, die bei Wurzeln und Logarithmen auftreten, werden in den entsprechenden Themen behandelt.

Also, eine Vorstellung davon, was ist numerischer Ausdruck- empfangen. Konzept Numerischer Ausdruck macht keinen Sinn- erkannte. Gehen wir weiter.

Algebraische Ausdrücke.

Wenn Buchstaben in einem numerischen Ausdruck vorkommen, wird dieser Ausdruck zu... Der Ausdruck wird zu... Ja! Es wird Algebraischer Ausdruck. Zum Beispiel:

5a 2 ; 3x-2y; 3(z-2); 3,4 m/n; x2+4x-4; (a + b) 2; ...

Solche Ausdrücke werden auch genannt wörtliche Ausdrücke. Oder Ausdrücke mit Variablen. Es ist praktisch dasselbe. Ausdruck 5a+c, zum Beispiel - sowohl wörtlich als auch algebraisch und Ausdruck mit Variablen.

Konzept Algebraischer Ausdruck - breiter als numerisch. Es beinhaltet und alle numerischen Ausdrücke. Jene. ein numerischer Ausdruck ist auch ein algebraischer Ausdruck, nur ohne die Buchstaben. Jeder Hering ist ein Fisch, aber nicht jeder Fisch ist ein Hering...)

Warum wörtlich- Es ist klar. Nun, da gibt es Buchstaben ... Phrase Ausdruck mit Variablen auch nicht sehr verwirrend. Wenn Sie verstehen, dass Zahlen unter den Buchstaben versteckt sind. Unter den Buchstaben können alle möglichen Zahlen versteckt werden ... Und 5 und -18 und was immer Sie wollen. Das heißt, ein Brief kann ersetzen für verschiedene Nummern. Deshalb heißen die Buchstaben Variablen.

Im Ausdruck j+5, zum Beispiel, bei - Variable. Oder sag einfach " Variable", ohne das Wort "Wert". Anders als die Fünf, die ein konstanter Wert ist. Oder einfach - Konstante.

Begriff Algebraischer Ausdruck bedeutet, dass Sie die Gesetze und Regeln verwenden müssen, um mit diesem Ausdruck zu arbeiten Algebra. Wenn Arithmetik arbeitet dann mit bestimmten Nummern Algebra- mit allen Zahlen auf einmal. Ein einfaches Beispiel zur Verdeutlichung.

In der Arithmetik kann man das schreiben

Aber wenn wir ähnliche Gleichberechtigung wir schreiben durch algebraische Ausdrücke:

a + b = b + a

wir entscheiden sofort Alle Fragen. Für alle Nummern Schlaganfall. Für unendlich viele Dinge. Denn unter den Buchstaben a und b impliziert Alle Zahlen. Und nicht nur Zahlen, sondern auch andere mathematische Ausdrücke. So funktioniert Algebra.

Wann macht ein algebraischer Ausdruck keinen Sinn?

Über den numerischen Ausdruck ist alles klar. Du kannst nicht durch Null teilen. Und mit Buchstaben ist es möglich herauszufinden, durch was wir dividieren?!

Nehmen wir als Beispiel den folgenden Variablenausdruck:

2: (a - 5)

Macht das Sinn? Aber wer kennt ihn? a- irgendeine Nummer...

Irgendein, irgendein... Aber es gibt eine Bedeutung a, für die dieser Ausdruck exakt Es ist nicht sinnvoll! Und was ist diese Zahl? Ja! Es ist 5! Wenn die Variable a ersetzen (sie sagen - "ersetzen") durch die Zahl 5, in Klammern wird sich herausstellen, dass Null ist. die nicht geteilt werden können. Es stellt sich also heraus, dass unser Ausdruck Es ist nicht sinnvoll, wenn a = 5. Aber für andere Werte a macht das Sinn? Können Sie andere Nummern ersetzen?

Natürlich. In solchen Fällen wird einfach gesagt, dass der Ausdruck

2: (a - 5)

macht für jeden Wert Sinn a, außer a = 5 .

Das ganze Zahlenwerk kann substituieren in den gegebenen Ausdruck wird aufgerufen gültiger Bereich dieser Ausdruck.

Wie Sie sehen können, ist nichts schwierig. Wir betrachten den Ausdruck mit Variablen und denken: Bei welchem ​​Wert der Variablen erhält man die verbotene Operation (Division durch Null)?

Und dann schauen Sie sich unbedingt die Frage der Zuordnung an. Was fragen sie?

Es ist nicht sinnvoll, unser verbotener Wert wird die Antwort sein.

Wenn sie fragen, bei welchem ​​​​Wert der Variablen der Ausdruck ist hat die bedeutung(Fühlen Sie den Unterschied!), lautet die Antwort alle anderen Zahlen außer dem Verbotenen.

Warum brauchen wir die Bedeutung des Ausdrucks? Er ist da, er ist nicht... Was ist der Unterschied?! Tatsache ist, dass dieses Konzept in der High School sehr wichtig wird. Extrem wichtig! Dies ist die Grundlage für so solide Konzepte wie den Bereich gültiger Werte oder den Umfang einer Funktion. Ohne dies werden Sie überhaupt nicht in der Lage sein, ernsthafte Gleichungen oder Ungleichungen zu lösen. So.

Ausdruckskonvertierung. Identitätstransformationen.

Wir haben uns mit numerischen und algebraischen Ausdrücken vertraut gemacht. Verstehe, was der Satz „der Ausdruck ergibt keinen Sinn“ bedeutet. Jetzt müssen wir herausfinden, was Ausdruckskonvertierung. Die Antwort ist einfach, unverschämt.) Dies ist jede Aktion mit einem Ausdruck. Und alle. Sie haben diese Transformationen seit der ersten Klasse durchgeführt.

Nehmen Sie den coolen numerischen Ausdruck 3+5. Wie kann es umgewandelt werden? Ja, ganz einfach! Berechnung:

Diese Berechnung wird die Transformation des Ausdrucks sein. Sie können denselben Ausdruck auch anders schreiben:

Wir haben hier nichts gezählt. Schreiben Sie einfach den Ausdruck auf in anderer Form. Dies wird auch eine Transformation des Ausdrucks sein. Es kann so geschrieben werden:

Und auch dies ist die Transformation eines Ausdrucks. Sie können so viele dieser Transformationen vornehmen, wie Sie möchten.

Beliebig Aktion auf einen Ausdruck beliebig Das Schreiben in einer anderen Form wird als Ausdruckstransformation bezeichnet. Und alle Dinge. Alles ist sehr einfach. Aber hier gibt es eine Sache sehr wichtige Regel. So wichtig, dass es sicher angerufen werden kann Hauptregel alles Mathematik. Diese Regel brechen zwangsläufig führt zu Fehlern. Verstehen wir?)

Nehmen wir an, wir haben unseren Ausdruck willkürlich transformiert, wie folgt:

Transformation? Natürlich. Wir haben den Ausdruck in einer anderen Form geschrieben, was ist hier falsch?

So ist es nicht.) Tatsache ist, dass die Transformationen "wie auch immer" Mathematik interessiert das überhaupt nicht.) Alle Mathematik baut auf Transformationen auf, in denen die Aussehen, aber das Wesen des Ausdrucks ändert sich nicht. Drei plus fünf kann in jeder Form geschrieben werden, aber es muss acht sein.

Transformationen, Ausdrücke, die nichts an der Essenz ändern namens identisch.

Genau identische Transformationen und erlaube uns, uns Schritt für Schritt zu verwandeln komplexes Beispiel in einen einfachen Ausdruck, halten Essenz des Beispiels. Wenn wir einen Fehler in der Transformationskette machen, machen wir eine NICHT identische Transformation, dann werden wir entscheiden Ein weiterer Beispiel. Mit anderen Antworten, die nicht mit den richtigen zusammenhängen.)

Hier ist die Hauptregel für die Lösung aller Aufgaben: Einhaltung der Identität von Transformationen.

Ich habe zur Verdeutlichung ein Beispiel mit einem numerischen Ausdruck 3 + 5 gegeben. In algebraischen Ausdrücken sind identische Transformationen durch Formeln und Regeln gegeben. Nehmen wir an, es gibt eine Formel in der Algebra:

a(b+c) = ab + ac

In jedem Beispiel können wir also anstelle des Ausdrucks a(b+c) Fühlen Sie sich frei, einen Ausdruck zu schreiben ab+ac. Umgekehrt. Das identische Verwandlung. Die Mathematik gibt uns die Wahl zwischen diesen beiden Ausdrücken. Und von welchem ​​man schreiben soll Fallstudie hängt davon ab.

Ein anderes Beispiel. Eine der wichtigsten und notwendigen Transformationen ist die grundlegende Eigenschaft eines Bruchs. Sie können weitere Details unter dem Link sehen, aber hier erinnere ich nur an die Regel: Wenn Zähler und Nenner eines Bruchs mit derselben Zahl oder einem Ausdruck ungleich Null multipliziert (dividiert) werden, ändert sich der Bruch nicht. Hier ist ein Beispiel für identische Transformationen für diese Eigenschaft:

Wie Sie wahrscheinlich erraten haben, kann diese Kette unendlich fortgesetzt werden ...) Eine sehr wichtige Eigenschaft. Dadurch können Sie alle möglichen Beispielmonster in weiß und flauschig verwandeln.)

Es gibt viele Formeln, die identische Transformationen definieren. Aber das Wichtigste - eine ziemlich vernünftige Menge. Eine der grundlegenden Transformationen ist die Faktorisierung. Es wird in der gesamten Mathematik verwendet - von der Grundstufe bis zur Fortgeschrittenen. Beginnen wir mit ihm. in der nächsten Lektion.)

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Beim Studium des Themas numerische, wörtliche Ausdrücke und Ausdrücke mit Variablen muss auf das Konzept geachtet werden Ausdruckswert. In diesem Artikel beantworten wir die Frage, was der Wert eines numerischen Ausdrucks ist und was der Wert eines Literalausdrucks und eines Ausdrucks mit Variablen für die ausgewählten Werte der Variablen ist. Um diese Definitionen zu verdeutlichen, geben wir Beispiele.

Seitennavigation.

Welchen Wert hat ein numerischer Ausdruck?

Die Bekanntschaft mit numerischen Ausdrücken beginnt fast mit den ersten Mathematikstunden in der Schule. Fast sofort wird das Konzept des „Wertes eines numerischen Ausdrucks“ eingeführt. Es bezieht sich auf Ausdrücke, die aus Zahlen bestehen, die durch arithmetische Zeichen verbunden sind (+, −, ·, :). Lassen Sie uns eine angemessene Definition geben.

Definition.

Der Wert eines numerischen Ausdrucks- Dies ist die Zahl, die nach Ausführung aller Aktionen im ursprünglichen numerischen Ausdruck erhalten wird.

Betrachten Sie beispielsweise den numerischen Ausdruck 1+2 . Nach der Ausführung erhalten wir die Zahl 3 , es ist der Wert des numerischen Ausdrucks 1+2 .

Oftmals wird bei der Wendung „Wert eines numerischen Ausdrucks“ das Wort „numerisch“ weggelassen und man sagt einfach „Wert des Ausdrucks“, da immer noch klar ist, welcher Ausdruck gemeint ist.

Die obige Definition der Bedeutung eines Ausdrucks gilt auch für numerische Ausdrücke mehr als komplexer Typ die im Gymnasium unterrichtet werden. Hierbei ist zu beachten, dass man auf Zahlenausdrücke stoßen kann, deren Werte nicht angegeben werden können. Dies liegt daran, dass es in einigen Ausdrücken unmöglich ist, die aufgezeichneten Aktionen auszuführen. Daher können wir beispielsweise den Wert des Ausdrucks 3:(2−2) nicht angeben. Solche numerischen Ausdrücke werden aufgerufen Ausdrücke, die keinen Sinn ergeben.

In der Praxis interessiert oft weniger der numerische Ausdruck als vielmehr sein Wert. Das heißt, es entsteht die Aufgabe, die darin besteht, den Wert dieses Ausdrucks zu bestimmen. In diesem Fall sagen sie normalerweise, dass Sie den Wert des Ausdrucks finden müssen. In diesem Artikel wird der Prozess der Ermittlung des Wertes numerischer Ausdrücke im Detail analysiert. andere Art, und viele Beispiele mit ausführlichen Lösungsbeschreibungen werden berücksichtigt.

Bedeutung von wörtlichen und variablen Ausdrücken

Neben numerischen Ausdrücken studieren sie wörtliche Ausdrücke, also Ausdrücke, in denen neben Zahlen ein oder mehrere Buchstaben vorkommen. Buchstaben in einem wörtlichen Ausdruck können für verschiedene Zahlen stehen, und wenn die Buchstaben durch diese Zahlen ersetzt werden, wird der wörtliche Ausdruck zu einem numerischen.

Definition.

Die Zahlen, die Buchstaben in einem wörtlichen Ausdruck ersetzen, werden aufgerufen die Bedeutung dieser Buchstaben, und der Wert des resultierenden numerischen Ausdrucks wird aufgerufen der Wert des wörtlichen Ausdrucks angesichts der Werte der Buchstaben.

Bei wörtlichen Ausdrücken spricht man also nicht nur von der Bedeutung eines wörtlichen Ausdrucks, sondern von der Bedeutung eines wörtlichen Ausdrucks für gegebene (gegebene, angegebene usw.) Werte von Buchstaben.

Nehmen wir ein Beispiel. Nehmen wir den wörtlichen Ausdruck 2·a+b . Seien die Werte der Buchstaben a und b gegeben, zum Beispiel a=1 und b=6 . Ersetzen wir die Buchstaben im ursprünglichen Ausdruck durch ihre Werte, erhalten wir einen numerischen Ausdruck der Form 2 1+6 , sein Wert ist 8 . Somit ist die Zahl 8 der Wert des wörtlichen Ausdrucks 2·a+b, wenn die Werte der Buchstaben a=1 und b=6 gegeben sind. Wenn andere Buchstabenwerte angegeben würden, würden wir den Wert des wörtlichen Ausdrucks für diese Buchstabenwerte erhalten. Bei a=5 und b=1 haben wir beispielsweise den Wert 2 5+1=11 .

In der High School dürfen beim Studium der Algebra Buchstaben in wörtlichen Ausdrücken verwendet werden verschiedene Bedeutungen, solche Buchstaben werden als Variablen bezeichnet, und wörtliche Ausdrücke werden als Ausdrücke mit Variablen bezeichnet. Für diese Ausdrücke wird das Konzept des Werts eines Ausdrucks mit Variablen für die gewählten Werte der Variablen eingeführt. Lassen Sie uns herausfinden, was es ist.

Definition.

Der Wert eines Ausdrucks mit Variablen für die ausgewählten Werte der Variablen wird der Wert eines numerischen Ausdrucks aufgerufen, der nach dem Einsetzen der ausgewählten Werte der Variablen in den ursprünglichen Ausdruck erhalten wird.

Lassen Sie uns die Klangdefinition anhand eines Beispiels erläutern. Betrachten Sie einen Ausdruck mit Variablen x und y der Form 3·x·y+y . Nehmen wir x=2 und y=4 , setzen diese Variablenwerte in den ursprünglichen Ausdruck ein, wir erhalten den numerischen Ausdruck 3 2 4+4 . Berechnen wir den Wert dieses Ausdrucks: 3 2 4+4=24+4=28 . Der gefundene Wert 28 ist der Wert des ursprünglichen Ausdrucks mit den Variablen 3·x·y+y mit den ausgewählten Werten der Variablen x=2 und y=4 .

Wenn Sie andere Variablenwerte auswählen, z. B. x=5 und y=0 , entsprechen diese ausgewählten Variablenwerte dem Wert des Ausdrucks mit Variablen gleich 3 5 0+0=0 .

Es kann angemerkt werden, dass manchmal gleiche Werte des Ausdrucks für verschiedene gewählte Werte von Variablen erhalten werden können. Zum Beispiel ist für x=9 und y=1 der Wert des Ausdrucks 3 x y+y 28 (weil 3 9 1+1=27+1=28 ), und oben haben wir gezeigt, dass derselbe Wert Ausdruck mit ist Variablen hat bei x=2 und y=4 .

Variable Werte können aus ihren jeweiligen ausgewählt werden Bereiche akzeptabler Werte. Andernfalls führt das Ersetzen der Werte dieser Variablen in den ursprünglichen Ausdruck zu einem numerischen Ausdruck, der keinen Sinn ergibt. Wenn Sie beispielsweise x=0 wählen und diesen Wert in den Ausdruck 1/x einsetzen, erhalten Sie den numerischen Ausdruck 1/0 , was keinen Sinn ergibt, da die Division durch Null nicht definiert ist.

Es bleibt nur hinzuzufügen, dass es Ausdrücke mit Variablen gibt, deren Werte nicht von den Werten ihrer konstituierenden Variablen abhängen. Beispielsweise hängt der Wert eines Ausdrucks mit einer Variablen x der Form 2+x−x nicht vom Wert dieser Variablen ab, er ist gleich 2 für jeden gewählten Wert der Variablen x aus ihrem Bereich gültiger Werte, was in diesem Fall die Menge aller reellen Zahlen ist.

Referenzliste.

• Mathematik: Studien. für 5 Zellen. Allgemeinbildung Institutionen / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. Aufl., gelöscht. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 S.: mit Abb. ISBN 5-346-00699-0.
• Algebra: Lehrbuch für 7 Zellen. Allgemeinbildung Institutionen / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teljakowski. - 17. Aufl. - M. : Bildung, 2008. - 240 S. : krank. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: Lehrbuch für 8 Zellen. Allgemeinbildung Institutionen / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teljakowski. - 16. Aufl. - M. : Bildung, 2008. - 271 p. : krank. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Ein Eintrag, der aus Zahlen, Zeichen und Klammern besteht und auch sinnvoll ist, wird als numerischer Ausdruck bezeichnet.

Beispielsweise die folgenden Einträge:

• (100-32)/17,
• 2*4+7,
• 4*0.7 -3/5,
• 1/3 +5/7

wird numerisch sein. Es versteht sich, dass eine Zahl auch ein numerischer Ausdruck sein wird. In unserem Beispiel ist diese Zahl 13.

Beispielsweise die folgenden Einträge

• 100 - *9,
• /32)343

werden keine numerischen Ausdrücke sein, weil sie bedeutungslos sind und nur eine Ansammlung von Zahlen und Zeichen sind.

Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Da die Vorzeichen von Rechenoperationen als Vorzeichen in Zahlenausdrücken enthalten sind, können wir den Wert eines Zahlenausdrucks berechnen. Gehen Sie dazu folgendermaßen vor.

Zum Beispiel,

(100-32)/17 = 4, d. h. für den Ausdruck (100-32)/17 ist der Wert dieses numerischen Ausdrucks die Zahl 4.

2*4+7=15, die Zahl 15 ist der Wert des numerischen Ausdrucks 2*4+7.

Der Kürze halber schreiben Einträge oft nicht den vollen Wert eines numerischen Ausdrucks, sondern schreiben einfach "den Wert des Ausdrucks", während das Wort "numerisch" weggelassen wird.

Numerische Gleichheit

Werden zwei numerische Ausdrücke mit einem Gleichheitszeichen geschrieben, so bilden diese Ausdrücke eine numerische Gleichheit. Beispielsweise ist der Ausdruck 2*4+7=15 eine numerische Gleichheit.

Wie oben erwähnt, können Klammern in numerischen Ausdrücken verwendet werden. Wie Sie bereits wissen, beeinflussen Klammern die Reihenfolge der Aktionen.

Im Allgemeinen sind alle Aktionen in mehrere Phasen unterteilt.

• Aktionen des ersten Schritts: Addition und Subtraktion.
• Aktionen der zweiten Stufe: Multiplikation und Division.
• Aktionen des dritten Schritts - Quadrieren und Erhöhen zu einem Würfel.

Regeln zur Berechnung der Werte numerischer Ausdrücke

Bei der Berechnung der Werte numerischer Ausdrücke sollten die folgenden Regeln beachtet werden.

• 1. Wenn der Ausdruck keine Klammern enthält, müssen die Aktionen beginnend mit den höchsten Schritten ausgeführt werden: dem dritten Schritt, dem zweiten Schritt und dem ersten Schritt. Wenn es mehrere Aktionen derselben Stufe gibt, werden sie in der Reihenfolge ausgeführt, in der sie geschrieben sind, dh von links nach rechts.
• 2. Wenn der Ausdruck Klammern enthält, werden zuerst die Aktionen in den Klammern ausgeführt und erst dann werden alle Stahlaktionen in der üblichen Reihenfolge ausgeführt. Wenn Sie Aktionen in Klammern ausführen, sollten Sie, wenn es mehrere davon gibt, die in Absatz 1 beschriebene Reihenfolge verwenden.
• 3. Wenn der Ausdruck ein Bruch ist, werden zuerst die Werte im Zähler und Nenner berechnet und dann der Zähler durch den Nenner dividiert.
• 4. Wenn der Ausdruck verschachtelte Klammern enthält, sollten die Aktionen von den inneren Klammern ausgeführt werden.