Definitionen bestimmter und unbestimmter linearer Gleichungssysteme. Die Matrix und ihre Varianten
Lesen Sie auch
Abschnitt 5. ELEMENTE DER LINEARALGEBRA
Systeme linearer Gleichungen
Grundlegendes Konzept
Ein System linearer algebraischer Gleichungen, enthaltend T Gleichungen und P Unbekannte nennt man ein System der Form
Wo sind die Zahlen? A ij ,
ich=
,
J=
werden genannt Koeffizienten Systeme, Zahlen B ich - kostenlose Mitglieder. Zahlen zu finden X P .
Es ist praktisch, ein solches System kompakt zu schreiben Matrixform 
.
Hier ist A die Matrix der Systemkoeffizienten, genannt Hauptmatrix:
,
–Spaltenvektor der Unbekannten X J ,
– Spaltenvektor freier Begriffe B ich .
Erweitert Die Matrix des Systems wird Matrix genannt 
System ergänzt durch eine Spalte mit freien Begriffen
.
Durch Entscheidung System aufgerufen wird P unbekannte Werte X 1
=c 1
, X 2
=c 2
, ..., X P =c P ,
Bei der Substitution werden alle Gleichungen des Systems zu echten Gleichheiten. Jede Lösung des Systems kann als Spaltenmatrix geschrieben werden 
.
Das Gleichungssystem heißt gemeinsam, wenn es mindestens eine Lösung hat, und nicht gelenkig, wenn es keine einzige Lösung gibt.
Das Gelenksystem heißt bestimmt wenn sie es getan hat einzige Entscheidung, Und unsicher, wenn es mehr als eine Lösung gibt. Im letzteren Fall wird jede ihrer Lösungen aufgerufen private Lösung Systeme. Die Menge aller Partikularlösungen heißt Allgemeine Lösung.
Lösen Sie das System – Das bedeutet herauszufinden, ob es kompatibel ist oder nicht. Wenn das System konsistent ist, dann finden Sie es gemeinsame Entscheidung.
Die beiden Systeme heißen Äquivalent(äquivalent), wenn sie die gleiche allgemeine Lösung haben. Mit anderen Worten: Systeme sind äquivalent, wenn jede Lösung des einen von ihnen eine Lösung des anderen ist und umgekehrt.
Äquivalente Systeme erhält man insbesondere, wenn elementare Transformationen System, vorausgesetzt, dass die Transformationen nur für die Zeilen der Matrix durchgeführt werden.
Das lineare Gleichungssystem heißt homogen, wenn alle freien Terme gleich Null sind:
Ein homogenes System ist immer konsistent, da X 1 =x 2 =…=x P =0 ist eine Lösung für das System. Diese Lösung heißt null oder trivial.
Systemlösung lineare Gleichungen
Gegeben sei ein beliebiges System T lineare Gleichungen mit P Unbekannt
Satz 1(Kronecker-Capelli). Ein System linearer algebraischer Gleichungen ist genau dann konsistent, wenn der Rang der erweiterten Matrix gleich dem Rang der Hauptmatrix ist.
Satz 2. Wenn der Rang eines gemeinsamen Systems gleich der Anzahl der Unbekannten ist, dann hat das System eine eindeutige Lösung.
Satz 3. Wenn der Rang eines konsistenten Systems kleiner ist als die Anzahl der Unbekannten, dann hat das System unendlich viele Lösungen.
BEISPIEL Untersuchen Sie das System auf Kompatibilität 
Lösung. 
,R(A)=1;
,
R(
)=2,
.
Auf diese Weise, R(A) R(
), daher ist das System inkonsistent.
Lösen nicht entarteter Systeme linearer Gleichungen. Cramers Formeln
Das System sei gegeben P lineare Gleichungen mit P Unbekannt
oder in Matrixform A∙X=B.
Die Hauptmatrix A eines solchen Systems ist quadratisch. Die Determinante dieser Matrix heißt Determinante des Systems. Wenn die Determinante des Systems von Null verschieden ist, heißt das System aufgerufen nicht entartet.
Finden wir eine Lösung für dieses Gleichungssystem im Fall von ∆0. Wenn wir beide Seiten der Gleichung A∙X=B auf der linken Seite mit der Matrix A 1 multiplizieren, erhalten wir A 1 ∙ A∙X= A 1 ∙B. Da A 1 ∙ A=E und E∙X=X, dann ist X= A 1 ∙ B. Diese Methode zur Lösung des Systems heißt Matrix.
Aus der Matrixmethode folgt Cramers Formeln
, wobei ∆ die Determinante der Hauptmatrix des Systems ist und ∆ ich ist die Determinante, die man aus der Determinante ∆ durch Ersetzen erhält ich Die Spalte mit den Koeffizienten ist eine Spalte mit freien Termen.
BEISPIEL Lösen Sie das System 
Lösung. 
, 70, 
,
. Bedeutet, X 1
=
, X 2
=
.
Lösen linearer Gleichungssysteme mit der Gauß-Methode
Die Gaußsche Methode besteht aus der sequentiellen Eliminierung von Unbekannten.
Gegeben sei ein Gleichungssystem
Der Gaußsche Lösungsprozess besteht aus zwei Stufen. In der ersten Stufe (direkte Bewegung) wird das System in den Zustand gebracht schrittweise(insbesondere, dreieckig) Geist.
Wo k≤ n, ein ii
0, ich=
.
Chancen A ii werden genannt hauptsächlich Elemente des Systems.
In der zweiten Stufe (umgekehrt) erfolgt eine sequentielle Bestimmung der Unbekannten aus diesem schrittweisen System.
Anmerkungen:
Wenn sich herausstellt, dass das Stufensystem dreieckig ist, d.h. k= N, dann hat das ursprüngliche System eine eindeutige Lösung. Aus der letzten Gleichung finden wir X P , aus der vorletzten Gleichung finden wir X P 1 , Wenn wir dann im System nach oben gehen, werden wir alle anderen Unbekannten finden.
In der Praxis ist es bequemer, mit der erweiterten Matrix des Systems zu arbeiten und alle elementaren Transformationen in ihren Zeilen durchzuführen. Es ist praktisch, dass der Koeffizient A 11 war gleich 1 (gleichungen neu ordnen oder durch dividieren). A 11 1).
BEISPIEL Lösen Sie das System mit der Gaußschen Methode 
Lösung. Als Ergebnis elementarer Transformationen über die erweiterte Matrix des Systems
~
~
~
~
Das ursprüngliche System wurde auf ein schrittweises System reduziert: 
Daher lautet die allgemeine Lösung des Systems: X 2 =5 X 4 13 X 3 3; X 1 =5 X 4 8 X 3 1.
Wenn wir zum Beispiel sagen: X 3 =x 4 =0, dann werden wir eine der besonderen Lösungen dieses Systems finden X 1 = 1, x 2 = 3, x 3 =0, x 4 =0.
Systeme homogener linearer Gleichungen
Gegeben sei ein System linearer homogener Gleichungen
Es ist offensichtlich, dass ein homogenes System immer konsistent ist; es hat eine Nulllösung (trivial).
Satz 4. Damit ein System homogener Gleichungen eine Lösung ungleich Null hat, ist es notwendig und ausreichend, dass der Rang seiner Hauptmatrix kleiner ist als die Anzahl der Unbekannten, d.h. R< N.
Satz 5. Damit ein homogenes System entsteht P lineare Gleichungen mit P Unbekannte hatten eine Lösung ungleich Null, es ist notwendig und ausreichend, dass die Determinante ihrer Hauptmatrix gleich Null ist, d.h. ∆=0.
Wenn das System Lösungen ungleich Null hat, dann ist ∆=0.
BEISPIEL Lösen Sie das System 
Lösung. 
,R(A)=2
,
n=3. Als R<
N,
dann hat das System unendlich viele Lösungen.
,
. Das ist, X 1
=
=2x 3
, X 2
=
=3x 3
- gemeinsame Entscheidung.
Putten X 3 =0, Wir erhalten eine bestimmte Lösung: X 1 =0, x 2 =0, x 3 =0. Putten X 3 =1, Wir erhalten die zweite spezielle Lösung: X 1 =2, x 2 =3, x 3 =1 usw.
Fragen zur Kontrolle
Was ist ein System linearer algebraischer Gleichungen?
Erklären Sie die folgenden Konzepte: Koeffizient, Dummy-Term, Basis- und erweiterte Matrizen.
Welche Arten von linearen Gleichungssystemen gibt es? Nennen Sie den Kronker-Capelli-Satz (über die Kompatibilität eines linearen Gleichungssystems).
Methoden zur Lösung linearer Gleichungssysteme auflisten und erläutern.
Gleichungssysteme werden im Wirtschaftsbereich häufig zur mathematischen Modellierung verschiedener Prozesse eingesetzt. Zum Beispiel bei der Lösung von Problemen des Produktionsmanagements und der Produktionsplanung, Logistikrouten (Transportproblem) oder der Geräteplatzierung.
Gleichungssysteme werden nicht nur in der Mathematik, sondern auch in der Physik, Chemie und Biologie zur Lösung von Problemen zur Bestimmung der Bevölkerungsgröße verwendet.
Ein lineares Gleichungssystem besteht aus zwei oder mehr Gleichungen mit mehreren Variablen, für die eine gemeinsame Lösung gefunden werden muss. Eine solche Zahlenfolge, bei der alle Gleichungen zu wahren Gleichheiten werden oder beweisen, dass die Folge nicht existiert.
Lineare Gleichung
Gleichungen der Form ax+by=c heißen linear. Die Bezeichnungen x, y sind die Unbekannten, deren Wert gefunden werden muss, b, a sind die Koeffizienten der Variablen, c ist der freie Term der Gleichung.
Wenn Sie eine Gleichung durch Auftragen lösen, sieht sie wie eine gerade Linie aus, deren Punkte alle Lösungen des Polynoms sind.
Arten von linearen Gleichungssystemen
Als einfachste Beispiele gelten Systeme linearer Gleichungen mit zwei Variablen X und Y.
F1(x, y) = 0 und F2(x, y) = 0, wobei F1,2 Funktionen und (x, y) Funktionsvariablen sind.
Gleichungssystem lösen - Dies bedeutet, Werte (x, y) zu finden, bei denen das System zu einer echten Gleichheit wird, oder festzustellen, dass keine geeigneten Werte für x und y existieren.
Ein Wertepaar (x, y), geschrieben als Koordinaten eines Punktes, wird als Lösung eines linearen Gleichungssystems bezeichnet.
Wenn Systeme eine gemeinsame Lösung haben oder keine Lösung existiert, werden sie als äquivalent bezeichnet.
Homogene lineare Gleichungssysteme sind Systeme, deren rechte Seite gleich Null ist. Wenn der rechte Teil nach dem Gleichheitszeichen einen Wert hat oder durch eine Funktion ausgedrückt wird, ist ein solches System heterogen.
Die Anzahl der Variablen kann viel mehr als zwei betragen, dann sollten wir über ein Beispiel eines linearen Gleichungssystems mit drei oder mehr Variablen sprechen.
Wenn Schüler mit Systemen konfrontiert werden, gehen sie davon aus, dass die Anzahl der Gleichungen zwangsläufig mit der Anzahl der Unbekannten übereinstimmen muss, was jedoch nicht der Fall ist. Die Anzahl der Gleichungen im System hängt nicht von den Variablen ab, es können beliebig viele davon vorhanden sein.
Einfache und komplexe Methoden zur Lösung von Gleichungssystemen
Es gibt keine allgemeine analytische Methode zur Lösung solcher Systeme; alle Methoden basieren auf numerischen Lösungen. Der Schulmathematikkurs beschreibt ausführlich Methoden wie Permutation, algebraische Addition, Substitution sowie grafische und Matrixmethoden, Lösung nach der Gaußschen Methode.
Die Hauptaufgabe bei der Vermittlung von Lösungsmethoden besteht darin, zu lehren, wie man das System richtig analysiert und für jedes Beispiel den optimalen Lösungsalgorithmus findet. Die Hauptsache besteht nicht darin, sich ein System von Regeln und Aktionen für jede Methode zu merken, sondern die Prinzipien der Verwendung einer bestimmten Methode zu verstehen
Lösen von Beispielen für lineare Gleichungssysteme des Programms der 7. Klasse weiterführende Schule ganz einfach und ausführlich erklärt. In jedem Mathematiklehrbuch wird diesem Abschnitt genügend Aufmerksamkeit geschenkt. Die Lösung von Beispielen linearer Gleichungssysteme mit der Gauß- und Cramer-Methode wird in den ersten Studienjahren genauer untersucht.
Lösen von Systemen mit der Substitutionsmethode
Die Aktionen der Substitutionsmethode zielen darauf ab, den Wert einer Variablen durch die zweite auszudrücken. Der Ausdruck wird in die verbleibende Gleichung eingesetzt und dann auf eine Form mit einer Variablen reduziert. Die Aktion wird abhängig von der Anzahl der Unbekannten im System wiederholt
Geben wir eine Lösung für ein Beispiel eines linearen Gleichungssystems der Klasse 7 mit der Substitutionsmethode:
Wie aus dem Beispiel hervorgeht, wurde die Variable x durch F(X) = 7 + Y ausgedrückt. Der resultierende Ausdruck, der anstelle von X in die zweite Gleichung des Systems eingesetzt wurde, trug dazu bei, eine Variable Y in der zweiten Gleichung zu erhalten . Lösung dieses Beispiel bereitet keine Schwierigkeiten und ermöglicht die Ermittlung des Y-Werts. Der letzte Schritt besteht darin, die erhaltenen Werte zu überprüfen.
Es ist nicht immer möglich, ein Beispiel eines linearen Gleichungssystems durch Substitution zu lösen. Die Gleichungen können komplex sein und die Variable als zweite Unbekannte auszudrücken wäre für weitere Berechnungen zu umständlich. Wenn das System mehr als drei Unbekannte enthält, ist die Lösung durch Substitution ebenfalls ungeeignet.
Lösung eines Beispiels eines Systems linearer inhomogener Gleichungen:
Lösung mit algebraischer Addition
Bei der Suche nach Systemlösungen mit der Additionsmethode werden Gleichungen Term für Term addiert und mit verschiedenen Zahlen multipliziert. Das ultimative Ziel mathematischer Operationen ist eine Gleichung in einer Variablen.
Für Bewerbungen diese MethodeÜbung und Beobachtung sind erforderlich. Es ist nicht einfach, ein lineares Gleichungssystem mit der Additionsmethode zu lösen, wenn drei oder mehr Variablen vorhanden sind. Die algebraische Addition ist praktisch, wenn Gleichungen Brüche und Dezimalzahlen enthalten.
Lösungsalgorithmus:
- Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit einer bestimmten Zahl. Als Ergebnis der arithmetischen Operation sollte einer der Koeffizienten der Variablen gleich 1 werden.
- Addieren Sie den resultierenden Ausdruck Term für Term und finden Sie eine der Unbekannten.
- Setzen Sie den resultierenden Wert in die zweite Gleichung des Systems ein, um die verbleibende Variable zu finden.
Lösungsmethode durch Einführung einer neuen Variablen
Eine neue Variable kann eingeführt werden, wenn das System die Suche nach einer Lösung für nicht mehr als zwei Gleichungen erfordert; die Anzahl der Unbekannten sollte ebenfalls nicht mehr als zwei betragen.
Die Methode wird verwendet, um eine der Gleichungen durch Einführung einer neuen Variablen zu vereinfachen. Die neue Gleichung wird nach der eingeführten Unbekannten gelöst und der resultierende Wert wird zur Bestimmung der ursprünglichen Variablen verwendet.
Das Beispiel zeigt, dass es durch die Einführung einer neuen Variablen t möglich war, die 1. Gleichung des Systems auf ein quadratisches Standardtrinom zu reduzieren. Sie können ein Polynom lösen, indem Sie die Diskriminante ermitteln.
Der Wert der Diskriminante muss mithilfe der bekannten Formel D = b2 - 4*a*c ermittelt werden, wobei D die gewünschte Diskriminante und b, a, c die Faktoren des Polynoms sind. Im gegebenen Beispiel ist a=1, b=16, c=39, also D=100. Wenn die Diskriminante Über Null, dann gibt es zwei Lösungen: t = -b±√D / 2*a, wenn die Diskriminante kleiner als Null ist, dann gibt es eine Lösung: x = -b / 2*a.
Die Lösung für die resultierenden Systeme wird durch die Additionsmethode gefunden.
Visuelle Methode zur Lösung von Systemen
Geeignet für 3 Gleichungssysteme. Die Methode besteht darin, Diagramme jeder im System enthaltenen Gleichung auf der Koordinatenachse zu erstellen. Die Koordinaten der Schnittpunkte der Kurven sind die allgemeine Lösung des Systems.
Die grafische Methode weist eine Reihe von Nuancen auf. Schauen wir uns einige Beispiele für die visuelle Lösung linearer Gleichungssysteme an.
Wie aus dem Beispiel ersichtlich ist, wurden für jede Linie zwei Punkte konstruiert, die Werte der Variablen x wurden willkürlich gewählt: 0 und 3. Basierend auf den Werten von x wurden die Werte für y gefunden: 3 und 0. Punkte mit den Koordinaten (0, 3) und (3, 0) wurden im Diagramm markiert und durch eine Linie verbunden.
Die Schritte müssen für die zweite Gleichung wiederholt werden. Der Schnittpunkt der Geraden ist die Lösung des Systems.
Im folgenden Beispiel muss eine grafische Lösung für ein lineares Gleichungssystem gefunden werden: 0,5x-y+2=0 und 0,5x-y-1=0.
Wie aus dem Beispiel ersichtlich ist, hat das System keine Lösung, da die Graphen parallel sind und sich nicht auf ihrer gesamten Länge schneiden.
Die Systeme aus den Beispielen 2 und 3 sind ähnlich, beim Aufbau wird jedoch deutlich, dass ihre Lösungen unterschiedlich sind. Es sollte beachtet werden, dass es nicht immer möglich ist, zu sagen, ob ein System eine Lösung hat oder nicht; es ist immer notwendig, einen Graphen zu erstellen.
Die Matrix und ihre Varianten
Matrizen werden verwendet, um ein System linearer Gleichungen präzise zu schreiben. Eine Matrix ist eine Tabelle spezieller Typ gefüllt mit Zahlen. n*m hat n - Zeilen und m - Spalten.
Eine Matrix ist quadratisch, wenn die Anzahl der Spalten und Zeilen gleich ist. Ein Matrixvektor ist eine Matrix aus einer Spalte mit einer unendlich möglichen Anzahl von Zeilen. Eine Matrix mit Einsen entlang einer der Diagonalen und anderen Nullelementen wird Identität genannt.
Eine inverse Matrix ist eine Matrix, bei deren Multiplikation sich die ursprüngliche in eine Einheitsmatrix verwandelt; eine solche Matrix existiert nur für die ursprüngliche quadratische Matrix.
Regeln zur Umwandlung eines Gleichungssystems in eine Matrix
In Bezug auf Gleichungssysteme werden die Koeffizienten und freien Terme der Gleichungen als Matrixzahlen geschrieben; eine Gleichung ist eine Zeile der Matrix.
Eine Matrixzeile heißt ungleich Null, wenn mindestens ein Element der Zeile ungleich Null ist. Wenn also in einer der Gleichungen die Anzahl der Variablen unterschiedlich ist, muss anstelle der fehlenden Unbekannten eine Null eingegeben werden.
Die Matrixspalten müssen genau den Variablen entsprechen. Das bedeutet, dass die Koeffizienten der Variablen x nur in eine Spalte geschrieben werden können, zum Beispiel die erste, der Koeffizient der Unbekannten y – nur in die zweite.
Bei der Multiplikation einer Matrix werden alle Elemente der Matrix nacheinander mit einer Zahl multipliziert.
Optionen zum Finden der inversen Matrix
Formel finden inverse Matrix ist ganz einfach: K -1 = 1 / |K|, wobei K -1 die inverse Matrix und |K| ist ist die Determinante der Matrix. |K| darf nicht gleich Null sein, dann hat das System eine Lösung.
Die Determinante lässt sich für eine Zwei-mal-Zwei-Matrix leicht berechnen; Sie müssen lediglich die Diagonalelemente miteinander multiplizieren. Für die Option „drei mal drei“ gibt es eine Formel |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Sie können die Formel verwenden oder sich merken, dass Sie aus jeder Zeile und jeder Spalte ein Element entnehmen müssen, damit sich die Anzahl der Spalten und Elementreihen in der Arbeit nicht wiederholt.
Beispiele für lineare Gleichungssysteme mit der Matrixmethode lösen
Mit der Matrixlösungsmethode können Sie umständliche Eingaben beim Lösen von Systemen mit einer großen Anzahl von Variablen und Gleichungen reduzieren.
Im Beispiel sind a nm die Koeffizienten der Gleichungen, die Matrix ist ein Vektor, x n sind Variablen und b n sind freie Terme.
Lösen von Systemen mit der Gaußschen Methode
In der höheren Mathematik wird die Gauß-Methode zusammen mit der Cramer-Methode untersucht, und der Prozess der Lösungsfindung für Systeme wird als Gauß-Cramer-Lösungsmethode bezeichnet. Diese Methoden werden verwendet, um Variablen von Systemen mit einer großen Anzahl linearer Gleichungen zu finden.
Die Gauß-Methode ähnelt stark den Lösungen durch Substitution und algebraische Addition, ist jedoch systematischer. Im Schulunterricht wird die Lösung nach der Gaußschen Methode für Systeme mit 3 und 4 Gleichungen verwendet. Der Zweck der Methode besteht darin, das System auf die Form eines umgekehrten Trapezes zu reduzieren. Durch algebraische Transformationen und Substitutionen wird der Wert einer Variablen in einer der Gleichungen des Systems ermittelt. Die zweite Gleichung ist ein Ausdruck mit 2 Unbekannten, während 3 und 4 jeweils mit 3 bzw. 4 Variablen sind.
Nachdem das System in die beschriebene Form gebracht wurde, reduziert sich die weitere Lösung auf die sequentielle Substitution bekannter Variablen in die Gleichungen des Systems.
In Schulbüchern für die 7. Klasse wird ein Beispiel für eine Lösung nach der Gauß-Methode wie folgt beschrieben:
Wie aus dem Beispiel ersichtlich ist, wurden in Schritt (3) zwei Gleichungen erhalten: 3x 3 -2x 4 =11 und 3x 3 +2x 4 =7. Wenn Sie eine der Gleichungen lösen, können Sie eine der Variablen x n herausfinden.
Der im Text erwähnte Satz 5 besagt, dass, wenn eine der Gleichungen des Systems durch eine äquivalente ersetzt wird, das resultierende System auch äquivalent zum ursprünglichen ist.
Die Gauß-Methode ist für Schüler weiterführender Schulen schwer zu verstehen, aber sie ist eine der am meisten verbreiteten interessante Wege den Einfallsreichtum von Kindern zu fördern, die in fortgeschrittenen Studienprogrammen im Mathematik- und Physikunterricht eingeschrieben sind.
Um die Aufzeichnung zu erleichtern, werden Berechnungen normalerweise wie folgt durchgeführt:
Die Koeffizienten der Gleichungen und freien Terme werden in Form einer Matrix geschrieben, wobei jede Zeile der Matrix einer der Gleichungen des Systems entspricht. trennt die linke Seite der Gleichung von der rechten. Römische Ziffern geben die Nummern der Gleichungen im System an.
Notieren Sie zunächst die Matrix, mit der gearbeitet werden soll, und anschließend alle Aktionen, die mit einer der Zeilen ausgeführt werden. Die resultierende Matrix wird nach dem „Pfeil“-Zeichen geschrieben und die notwendigen algebraischen Operationen werden fortgesetzt, bis das Ergebnis erreicht ist.
Das Ergebnis sollte eine Matrix sein, in der eine der Diagonalen gleich 1 ist und alle anderen Koeffizienten gleich Null sind, das heißt, die Matrix wird auf eine Einheitsform reduziert. Wir dürfen nicht vergessen, Berechnungen mit Zahlen auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.
Diese Aufnahmemethode ist weniger umständlich und ermöglicht es Ihnen, sich nicht durch das Auflisten zahlreicher Unbekannter ablenken zu lassen.
Der freie Einsatz jeder Lösungsmethode erfordert Sorgfalt und etwas Erfahrung. Nicht alle Methoden sind angewandter Natur. Einige Methoden zur Lösungsfindung sind in einem bestimmten Bereich menschlicher Tätigkeit vorzuziehen, während andere für Bildungszwecke existieren.
Das Lösen linearer algebraischer Gleichungssysteme (SLAEs) ist zweifellos das wichtigste Thema in einem Kurs über lineare Algebra. Bei einer Vielzahl von Problemen aus allen Bereichen der Mathematik geht es darum, lineare Gleichungssysteme zu lösen. Diese Faktoren erklären den Grund für diesen Artikel. Das Material des Artikels ist so ausgewählt und strukturiert, dass Sie es mit seiner Hilfe tun können
- Wählen Sie die optimale Methode zur Lösung Ihres Systems linearer algebraischer Gleichungen.
- die Theorie der gewählten Methode studieren,
- Lösen Sie Ihr lineares Gleichungssystem, indem Sie detaillierte Lösungen typischer Beispiele und Probleme berücksichtigen.
Kurze Beschreibung des Artikelmaterials.
Zunächst geben wir alle notwendigen Definitionen, Konzepte und führen Notationen ein.
Als nächstes betrachten wir Methoden zur Lösung linearer algebraischer Gleichungssysteme, bei denen die Anzahl der Gleichungen gleich der Anzahl unbekannter Variablen ist und die eine eindeutige Lösung haben. Erstens konzentrieren wir uns auf die Cramer-Methode, zweitens zeigen wir die Matrixmethode zur Lösung solcher Gleichungssysteme und drittens analysieren wir die Gauß-Methode (die Methode der sequentiellen Eliminierung unbekannter Variablen). Um die Theorie zu festigen, werden wir auf jeden Fall mehrere SLAEs auf unterschiedliche Weise lösen.
Danach werden wir mit der Lösung linearer algebraischer Gleichungssysteme fortfahren Gesamtansicht, bei dem die Anzahl der Gleichungen nicht mit der Anzahl der unbekannten Variablen übereinstimmt oder die Hauptmatrix des Systems singulär ist. Formulieren wir das Kronecker-Capelli-Theorem, das es uns ermöglicht, die Kompatibilität von SLAEs festzustellen. Lassen Sie uns die Lösung von Systemen (sofern sie kompatibel sind) anhand des Konzepts einer Basis-Minor-Matrix analysieren. Wir werden auch die Gauß-Methode betrachten und die Lösungen der Beispiele ausführlich beschreiben.
Wir werden uns auf jeden Fall mit der Struktur der allgemeinen Lösung homogener und inhomogener Systeme linearer algebraischer Gleichungen befassen. Geben wir das Konzept eines fundamentalen Lösungssystems und zeigen wir, wie die allgemeine Lösung eines SLAE unter Verwendung der Vektoren des fundamentalen Lösungssystems geschrieben wird. Zum besseren Verständnis schauen wir uns einige Beispiele an.
Abschließend betrachten wir Gleichungssysteme, die sich auf lineare reduzieren lassen, sowie mehrere Aufgaben, bei deren Lösung SLAEs entstehen.
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Definitionen, Konzepte, Bezeichnungen.
Wir betrachten Systeme von p linearen algebraischen Gleichungen mit n unbekannten Variablen (p kann gleich n sein) der Form
Unbekannte Variablen - Koeffizienten (einige reelle oder komplexe Zahlen), - freie Terme (auch reelle oder komplexe Zahlen).
Diese Form der Aufzeichnung wird SLAE genannt Koordinate.
IN Matrixform Das Schreiben dieses Gleichungssystems hat die Form:
Wo 
- die Hauptmatrix des Systems, - eine Spaltenmatrix unbekannter Variablen, - eine Spaltenmatrix freier Terme.
Wenn wir der Matrix A als (n+1)-te Spalte eine Matrixspalte freier Terme hinzufügen, erhalten wir die sogenannte erweiterte Matrix Systeme linearer Gleichungen. Typischerweise wird eine erweiterte Matrix mit dem Buchstaben T bezeichnet und die Spalte mit den freien Begriffen wird durch eine vertikale Linie von den übrigen Spalten getrennt, d. h. 
Lösen eines Systems linearer algebraischer Gleichungen bezeichnet eine Menge von Werten unbekannter Variablen, die alle Gleichungen des Systems in Identitäten umwandelt. Auch die Matrixgleichung für gegebene Werte der unbekannten Variablen wird zu einer Identität.
Wenn ein Gleichungssystem mindestens eine Lösung hat, heißt es gemeinsam.
Wenn ein Gleichungssystem keine Lösungen hat, heißt es nicht gelenkig.
Wenn ein SLAE eine eindeutige Lösung hat, wird es aufgerufen bestimmt; wenn es mehr als eine Lösung gibt, dann – unsicher.
Wenn die freien Terme aller Gleichungen des Systems gleich Null sind 
, dann wird das System aufgerufen homogen, sonst - heterogen.
Lösung elementarer Systeme linearer algebraischer Gleichungen.
Wenn die Anzahl der Gleichungen eines Systems gleich der Anzahl der unbekannten Variablen ist und die Determinante seiner Hauptmatrix ungleich Null ist, werden solche SLAEs aufgerufen elementar. Solche Gleichungssysteme haben eine eindeutige Lösung, und im Fall eines homogenen Systems sind alle unbekannten Variablen gleich Null.
Wir haben in der High School begonnen, solche SLAEs zu studieren. Als wir sie lösten, nahmen wir eine Gleichung, drückten eine unbekannte Variable durch andere aus und setzten sie in die übrigen Gleichungen ein, dann nahmen wir die nächste Gleichung, drückten die nächste unbekannte Variable aus und setzten sie in andere Gleichungen ein und so weiter. Oder sie verwendeten die Additionsmethode, das heißt, sie fügten zwei oder mehr Gleichungen hinzu, um einige unbekannte Variablen zu eliminieren. Wir werden nicht näher auf diese Methoden eingehen, da es sich im Wesentlichen um Modifikationen der Gauß-Methode handelt.
Die wichtigsten Methoden zur Lösung elementarer linearer Gleichungssysteme sind die Cramer-Methode, die Matrixmethode und die Gauß-Methode. Sortieren wir sie.
Lösen linearer Gleichungssysteme mit der Cramer-Methode.
Angenommen, wir müssen ein System linearer algebraischer Gleichungen lösen 
in dem die Anzahl der Gleichungen gleich der Anzahl der unbekannten Variablen ist und die Determinante der Hauptmatrix des Systems von Null verschieden ist, also .
Sei die Determinante der Hauptmatrix des Systems und 
- Determinanten von Matrizen, die aus A durch Ersetzung gewonnen werden 1., 2., …, n Spalte bzw. zur Spalte der freien Mitglieder: 
Mit dieser Notation werden unbekannte Variablen mit den Formeln der Cramer-Methode berechnet als 
. Auf diese Weise wird die Lösung eines Systems linearer algebraischer Gleichungen mit der Methode von Cramer gefunden.
Beispiel.
Cramers Methode 
.
Lösung.
Die Hauptmatrix des Systems hat die Form 
. Berechnen wir seine Determinante (siehe ggf. den Artikel): 
Da die Determinante der Hauptmatrix des Systems ungleich Null ist, verfügt das System über eine eindeutige Lösung, die mit der Cramer-Methode gefunden werden kann.
Lassen Sie uns die notwendigen Determinanten zusammenstellen und berechnen 
(Wir erhalten die Determinante, indem wir die erste Spalte in Matrix A durch eine Spalte mit freien Termen ersetzen, die Determinante, indem wir die zweite Spalte durch eine Spalte mit freien Termen ersetzen und indem wir die dritte Spalte der Matrix A durch eine Spalte mit freien Termen ersetzen.) : 
Unbekannte Variablen mithilfe von Formeln finden 
:
Antwort:
Der Hauptnachteil der Methode von Cramer (wenn man ihn überhaupt als Nachteil bezeichnen kann) ist die Komplexität der Berechnung von Determinanten, wenn die Anzahl der Gleichungen im System mehr als drei beträgt.
Lösen von Systemen linearer algebraischer Gleichungen mit der Matrixmethode (unter Verwendung einer inversen Matrix).
Es sei ein System linearer algebraischer Gleichungen in Matrixform gegeben, wobei die Matrix A die Dimension n mal n hat und ihre Determinante ungleich Null ist.
Da Matrix A invertierbar ist, liegt eine inverse Matrix vor. Wenn wir beide Seiten der Gleichheit mit links multiplizieren, erhalten wir eine Formel zum Finden einer Matrixspalte unbekannter Variablen. Auf diese Weise haben wir mithilfe der Matrixmethode eine Lösung für ein System linearer algebraischer Gleichungen erhalten.
Beispiel.
Lösen Sie ein lineares Gleichungssystem Matrixmethode.
Lösung.
Schreiben wir das Gleichungssystem in Matrixform um: 
Als
dann kann der SLAE mit der Matrixmethode gelöst werden. Mit der inversen Matrix kann die Lösung dieses Systems gefunden werden als 
.
Konstruieren wir eine inverse Matrix unter Verwendung einer Matrix aus algebraischen Additionen von Elementen der Matrix A (siehe ggf. den Artikel): 
Es bleibt die Matrix unbekannter Variablen durch Multiplikation der inversen Matrix zu berechnen 
zu einer Matrixspalte freier Mitglieder (siehe ggf. den Artikel): 
Antwort:
oder in einer anderen Notation x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Das Hauptproblem beim Finden von Lösungen für Systeme linearer algebraischer Gleichungen mithilfe der Matrixmethode ist die Komplexität des Findens der inversen Matrix, insbesondere für quadratische Matrizen mit einer höheren Ordnung als der dritten Ordnung.
Lösen linearer Gleichungssysteme mit der Gauß-Methode.
Angenommen, wir müssen eine Lösung für ein System aus n linearen Gleichungen mit n unbekannten Variablen finden 
deren Determinante von Null verschieden ist.
Die Essenz der Gauß-Methode besteht darin, unbekannte Variablen nacheinander zu eliminieren: Zuerst wird x 1 aus allen Gleichungen des Systems ausgeschlossen, beginnend mit der zweiten, dann wird x 2 aus allen Gleichungen ausgeschlossen, beginnend mit der dritten usw., bis nur noch die unbekannte Variable x n übrig bleibt in der letzten Gleichung. Dieser Prozess der Transformation von Systemgleichungen zur sequentiellen Eliminierung unbekannter Variablen wird aufgerufen direkte Gaußsche Methode. Nach Abschluss des Vorwärtshubs der Gaußschen Methode wird x n aus der letzten Gleichung ermittelt, unter Verwendung dieses Werts aus der vorletzten Gleichung wird x n-1 berechnet und so weiter wird x 1 aus der ersten Gleichung ermittelt. Der Prozess der Berechnung unbekannter Variablen beim Übergang von der letzten Gleichung des Systems zur ersten wird aufgerufen Umkehrung der Gaußschen Methode.
Beschreiben wir kurz den Algorithmus zur Eliminierung unbekannter Variablen.
Wir gehen davon aus, dass wir dies immer erreichen können, indem wir die Gleichungen des Systems neu ordnen. Eliminieren wir die unbekannte Variable x 1 aus allen Gleichungen des Systems, beginnend mit der zweiten. Dazu addieren wir zur zweiten Gleichung des Systems die erste, multipliziert mit , zur dritten Gleichung addieren wir die erste, multipliziert mit usw., zur n-ten Gleichung addieren wir die erste, multipliziert mit . Das Gleichungssystem wird nach solchen Transformationen die Form annehmen 
wo und 
.
Wir wären zum gleichen Ergebnis gekommen, wenn wir x 1 durch andere unbekannte Variablen in der ersten Gleichung des Systems ausgedrückt und den resultierenden Ausdruck in alle anderen Gleichungen eingesetzt hätten. Somit wird die Variable x 1 ab der zweiten aus allen Gleichungen ausgeschlossen.
Als nächstes gehen wir ähnlich vor, allerdings nur mit einem Teil des resultierenden Systems, der in der Abbildung markiert ist 
Dazu addieren wir zur dritten Gleichung des Systems die zweite, multipliziert mit , zur vierten Gleichung addieren wir die zweite, multipliziert mit usw., zur n-ten Gleichung addieren wir die zweite, multipliziert mit . Das Gleichungssystem wird nach solchen Transformationen die Form annehmen 
wo und 
. Somit wird die Variable x 2 ab der dritten aus allen Gleichungen ausgeschlossen.
Als nächstes eliminieren wir die Unbekannte x 3, während wir mit dem in der Abbildung markierten Teil des Systems ähnlich vorgehen 
Also setzen wir die direkte Weiterentwicklung der Gaußschen Methode fort, bis das System die Form annimmt 
Von diesem Moment an beginnen wir mit der Umkehrung der Gaußschen Methode: Wir berechnen x n aus der letzten Gleichung als , unter Verwendung des erhaltenen Werts von x n ermitteln wir x n-1 aus der vorletzten Gleichung und so weiter ermitteln wir x 1 aus der ersten Gleichung .
Beispiel.
Lösen Sie ein lineares Gleichungssystem Gauß-Methode.
Lösung.
Lassen Sie uns die unbekannte Variable x 1 aus der zweiten und dritten Gleichung des Systems ausschließen. Dazu addieren wir auf beiden Seiten der zweiten und dritten Gleichung die entsprechenden Teile der ersten Gleichung, multipliziert mit bzw. mit: 
Jetzt eliminieren wir x 2 aus der dritten Gleichung, indem wir zu ihrer linken und rechten Seite die linke und rechte Seite der zweiten Gleichung addieren, multipliziert mit: 
Damit ist der Vorwärtshub der Gauß-Methode abgeschlossen; wir beginnen mit dem Rückwärtshub.
Aus der letzten Gleichung des resultierenden Gleichungssystems finden wir x 3: 
Aus der zweiten Gleichung erhalten wir .
Aus der ersten Gleichung ermitteln wir die verbleibende unbekannte Variable und vervollständigen damit die Umkehrung der Gauß-Methode.
Antwort:
X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Lösen von Systemen linearer algebraischer Gleichungen allgemeiner Form.
Im Allgemeinen stimmt die Anzahl der Gleichungen des Systems p nicht mit der Anzahl der unbekannten Variablen n überein:
Solche SLAEs haben möglicherweise keine Lösungen, eine einzige Lösung oder unendlich viele Lösungen. Diese Aussage gilt auch für Gleichungssysteme, deren Hauptmatrix quadratisch und singulär ist.
Kronecker-Capelli-Theorem.
Bevor eine Lösung für ein lineares Gleichungssystem gefunden werden kann, muss dessen Kompatibilität festgestellt werden. Die Antwort auf die Frage, wann SLAE kompatibel und wann inkonsistent ist, lautet: Kronecker-Capelli-Theorem:
Damit ein System von p Gleichungen mit n Unbekannten (p kann gleich n sein) konsistent ist, ist es notwendig und ausreichend, dass der Rang der Hauptmatrix des Systems gleich dem Rang der erweiterten Matrix ist , Rang(A)=Rang(T).
Betrachten wir als Beispiel die Anwendung des Kronecker-Capelli-Theorems zur Bestimmung der Kompatibilität eines linearen Gleichungssystems.
Beispiel.
Finden Sie heraus, ob das System linearer Gleichungen hat 
Lösungen.
Lösung.
. Lassen Sie uns die Methode der Grenzüberschreitung von Minderjährigen anwenden. Moll zweiter Ordnung 
verschieden von Null. Schauen wir uns die angrenzenden Minderjährigen dritter Ordnung an: 
Da alle angrenzenden Minderjährigen dritter Ordnung gleich Null sind, ist der Rang der Hauptmatrix gleich zwei.
Im Gegenzug der Rang der erweiterten Matrix 
ist gleich drei, da das Moll dritter Ordnung ist 
verschieden von Null.
Auf diese Weise, Rang(A) können wir daher unter Verwendung des Kronecker-Capelli-Theorems schlussfolgern, dass das ursprüngliche System linearer Gleichungen inkonsistent ist.
Antwort:
Das System hat keine Lösungen.
Wir haben also gelernt, die Inkonsistenz eines Systems mithilfe des Kronecker-Capelli-Theorems festzustellen.
Aber wie findet man eine Lösung für ein SLAE, wenn dessen Kompatibilität festgestellt wurde?
Dazu benötigen wir das Konzept einer Basis-Minor-Matrix und einen Satz über den Rang einer Matrix.
Der Minor der höchsten Ordnung der Matrix A, der von Null verschieden ist, wird aufgerufen Basic.
Aus der Definition einer Basis Minor folgt, dass ihre Ordnung gleich dem Rang der Matrix ist. Für eine Matrix A ungleich Null kann es mehrere Basis-Minor-Matrixen geben; es gibt immer eine Basis-Minor-Matrix.
Betrachten Sie zum Beispiel die Matrix 
.
Alle Minderjährigen dritter Ordnung dieser Matrix sind gleich Null, da die Elemente der dritten Zeile dieser Matrix die Summe der entsprechenden Elemente der ersten und zweiten Zeile sind.
Die folgenden Minderjährigen zweiter Ordnung sind einfach, da sie ungleich Null sind 
Minderjährige 
sind nicht grundlegend, da sie gleich Null sind.
Matrixrangsatz.
Wenn der Rang einer Matrix der Ordnung p mal n gleich r ist, werden alle Zeilen- (und Spalten-) Elemente der Matrix, die nicht die gewählte Basis-Minor bilden, linear durch die entsprechenden bildenden Zeilen- (und Spalten-) Elemente ausgedrückt das Basis-Moll.
Was sagt uns der Matrixrangsatz?
Wenn wir gemäß dem Kronecker-Capelli-Theorem die Kompatibilität des Systems festgestellt haben, wählen wir eine beliebige Basisminor der Hauptmatrix des Systems (ihre Ordnung ist gleich r) und schließen alle Gleichungen, die dies tun, aus dem System aus nicht das gewählte Basis-Moll bilden. Der auf diese Weise erhaltene SLAE entspricht dem ursprünglichen, da die verworfenen Gleichungen immer noch redundant sind (gemäß dem Matrixrangsatz handelt es sich um eine Linearkombination der verbleibenden Gleichungen).
Infolgedessen sind nach dem Verwerfen unnötiger Gleichungen des Systems zwei Fälle möglich.
Wenn die Anzahl der Gleichungen r im resultierenden System gleich der Anzahl der unbekannten Variablen ist, dann ist es eindeutig und die einzige Lösung kann mit der Cramer-Methode, der Matrixmethode oder der Gauß-Methode gefunden werden.
Beispiel.
.
Lösung.
Rang der Hauptmatrix des Systems 
ist gleich zwei, da das Moll zweiter Ordnung ist 
verschieden von Null. Erweiterter Matrixrang 
ist ebenfalls gleich zwei, da das einzige Moll dritter Ordnung Null ist 
und der oben betrachtete Moll zweiter Ordnung ist von Null verschieden. Basierend auf dem Kronecker-Capelli-Theorem können wir die Kompatibilität des ursprünglichen linearen Gleichungssystems behaupten, da Rang(A)=Rang(T)=2.
Als Basis-Moll nehmen wir . Sie wird durch die Koeffizienten der ersten und zweiten Gleichung gebildet: 
Die dritte Gleichung des Systems ist nicht an der Bildung der Basis Minor beteiligt, daher schließen wir sie basierend auf dem Satz über den Rang der Matrix aus dem System aus: 
Auf diese Weise haben wir ein elementares System linearer algebraischer Gleichungen erhalten. Lösen wir es mit der Cramer-Methode: 
Antwort:
x 1 = 1, x 2 = 2.
Wenn die Anzahl der Gleichungen r im resultierenden SLAE kleiner ist als die Anzahl der unbekannten Variablen n, dann belassen wir auf der linken Seite der Gleichungen die Terme, die die Basis bilden, und übertragen die verbleibenden Terme auf die rechte Seite der Gleichung Gleichungen des Systems mit umgekehrtem Vorzeichen.
Die auf der linken Seite der Gleichungen verbleibenden unbekannten Variablen (r davon) werden aufgerufen hauptsächlich.
Es werden unbekannte Variablen (es gibt n - r Stücke) aufgerufen, die auf der rechten Seite liegen frei.
Nun glauben wir, dass freie unbekannte Variablen beliebige Werte annehmen können, während die r wichtigsten unbekannten Variablen auf einzigartige Weise durch freie unbekannte Variablen ausgedrückt werden. Ihr Ausdruck kann durch Lösen des resultierenden SLAE mithilfe der Cramer-Methode, der Matrixmethode oder der Gauß-Methode ermittelt werden.
Schauen wir es uns anhand eines Beispiels an.
Beispiel.
Lösen Sie ein System linearer algebraischer Gleichungen 
.
Lösung.
Lassen Sie uns den Rang der Hauptmatrix des Systems ermitteln 
durch die Methode der Grenzüberschreitung von Minderjährigen. Nehmen wir a 1 1 = 1 als Moll erster Ordnung ungleich Null. Beginnen wir mit der Suche nach einem Moll zweiter Ordnung ungleich Null, das an dieses Moll grenzt: 
Auf diese Weise haben wir ein Moll zweiter Ordnung ungleich Null gefunden. Beginnen wir mit der Suche nach einem ungleich Null angrenzenden Moll dritter Ordnung: 
Somit beträgt der Rang der Hauptmatrix drei. Der Rang der erweiterten Matrix ist ebenfalls gleich drei, das heißt, das System ist konsistent.
Als Basis nehmen wir das gefundene Nicht-Null-Moll dritter Ordnung.
Der Übersichtlichkeit halber zeigen wir die Elemente, die das Basis-Moll bilden: 
Wir belassen die in der Basis Minor beteiligten Terme auf der linken Seite der Systemgleichungen und übertragen den Rest mit entgegengesetzten Vorzeichen auf die rechten Seiten: 
Geben wir den freien unbekannten Variablen x 2 und x 5 beliebige Werte, das heißt, wir akzeptieren 
, wo sind beliebige Zahlen. In diesem Fall nimmt das SLAE das Formular an 
Lösen wir das resultierende Elementarsystem linearer algebraischer Gleichungen mit der Cramer-Methode: 
Somit, .
Vergessen Sie in Ihrer Antwort nicht, freie unbekannte Variablen anzugeben.
Antwort:
Wo sind beliebige Zahlen?
Zusammenfassen.
Um ein System allgemeiner linearer algebraischer Gleichungen zu lösen, bestimmen wir zunächst seine Kompatibilität mithilfe des Kronecker-Capelli-Theorems. Wenn der Rang der Hauptmatrix nicht dem Rang der erweiterten Matrix entspricht, schließen wir daraus, dass das System inkompatibel ist.
Wenn der Rang der Hauptmatrix gleich dem Rang der erweiterten Matrix ist, wählen wir eine Basis-Minor aus und verwerfen die Gleichungen des Systems, die nicht an der Bildung der ausgewählten Basis-Minor beteiligt sind.
Wenn die Reihenfolge der Basis minderjährig ist gleich der Zahl Unbekannte Variablen, dann hat das SLAE eine eindeutige Lösung, die wir mit jeder uns bekannten Methode finden können.
Wenn die Ordnung der Basis kleiner ist als die Anzahl der unbekannten Variablen, dann belassen wir auf der linken Seite des Gleichungssystems die Terme mit den wichtigsten unbekannten Variablen, übertragen die restlichen Terme auf die rechten Seiten und geben beliebige Werte an die freien unbekannten Variablen. Aus dem resultierenden linearen Gleichungssystem finden wir die wichtigsten Unbekannten Variablen nach Methode Cramer-, Matrix- oder Gauß-Methode.
Gauß-Methode zur Lösung linearer algebraischer Gleichungssysteme allgemeiner Form.
Mit der Gauß-Methode lassen sich Systeme linearer algebraischer Gleichungen jeglicher Art lösen, ohne sie vorher auf Konsistenz zu prüfen. Der Prozess der sequentiellen Eliminierung unbekannter Variablen ermöglicht es, Rückschlüsse sowohl auf die Kompatibilität als auch auf die Inkompatibilität des SLAE zu ziehen und, falls eine Lösung existiert, diese zu finden.
In Hinsicht auf Rechenarbeit Die Gaußsche Methode wird bevorzugt.
Schau es dir an detaillierte Beschreibung und analysierte Beispiele im Artikel die Gauß-Methode zur Lösung von Systemen linearer algebraischer Gleichungen allgemeiner Form.
Schreiben einer allgemeinen Lösung für homogene und inhomogene lineare algebraische Systeme unter Verwendung von Vektoren des fundamentalen Lösungssystems.
In diesem Abschnitt wir werden redenüber simultane homogene und inhomogene Systeme linearer algebraischer Gleichungen mit unendlich vielen Lösungen.
Befassen wir uns zunächst mit homogenen Systemen.
Grundlegendes Lösungssystem Ein homogenes System p linearer algebraischer Gleichungen mit n unbekannten Variablen ist eine Sammlung von (n – r) linear unabhängigen Lösungen dieses Systems, wobei r die Ordnung der Basisminor der Hauptmatrix des Systems ist.
Wenn wir linear unabhängige Lösungen eines homogenen SLAE als X (1) , X (2) , …, X (n-r) bezeichnen (X (1) , durch 1) , dann wird die allgemeine Lösung dieses homogenen Systems als lineare Kombination von Vektoren des fundamentalen Lösungssystems mit beliebigen konstanten Koeffizienten C 1, C 2, ..., C (n-r) dargestellt, d. h. .
Was bedeutet der Begriff allgemeine Lösung eines homogenen Systems linearer algebraischer Gleichungen (Oroslau)?
Die Bedeutung ist einfach: Die Formel legt alles fest mögliche Lösungen das ursprüngliche SLAE, mit anderen Worten, wenn wir einen beliebigen Satz von Werten beliebiger Konstanten C 1, C 2, ..., C (n-r) nehmen, erhalten wir unter Verwendung der Formel eine der Lösungen des ursprünglichen homogenen SLAE.
Wenn wir also ein grundlegendes Lösungssystem finden, können wir alle Lösungen dieses homogenen SLAE als definieren.
Lassen Sie uns den Prozess der Konstruktion eines grundlegenden Lösungssystems für ein homogenes SLAE zeigen.
Wir wählen die Basis Minor des ursprünglichen linearen Gleichungssystems aus, schließen alle anderen Gleichungen aus dem System aus und übertragen alle Terme, die freie unbekannte Variablen enthalten, mit entgegengesetzten Vorzeichen auf die rechten Seiten der Gleichungen des Systems. Geben wir den freien unbekannten Variablen die Werte 1,0,0,...,0 und berechnen wir die Hauptunbekannten, indem wir das resultierende elementare lineare Gleichungssystem auf beliebige Weise lösen, beispielsweise mit der Cramer-Methode. Dies führt zu X (1) – der ersten Lösung des Fundamentalsystems. Wenn du kostenlos gibst unbekannte Werte 0,1,0,0,…,0 und berechnen die Hauptunbekannten, wir erhalten X (2) . Usw. Wenn wir den freien unbekannten Variablen die Werte 0,0,…,0,1 zuweisen und die Hauptunbekannten berechnen, erhalten wir X (n-r) . Auf diese Weise wird ein grundlegendes Lösungssystem für ein homogenes SLAE konstruiert und seine allgemeine Lösung kann in der Form geschrieben werden.
Für inhomogene Systeme linearer algebraischer Gleichungen wird die allgemeine Lösung in der Form dargestellt, wobei die allgemeine Lösung des entsprechenden homogenen Systems und die besondere Lösung des ursprünglichen inhomogenen SLAE sind, die wir erhalten, indem wir den freien Unbekannten die Werte geben 0,0,…,0 und Berechnen der Werte der wichtigsten Unbekannten.
Schauen wir uns Beispiele an.
Beispiel.
Finden Sie das grundlegende Lösungssystem und die allgemeine Lösung eines homogenen Systems linearer algebraischer Gleichungen 
.
Lösung.
Der Rang der Hauptmatrix homogener linearer Gleichungssysteme ist immer gleich dem Rang der erweiterten Matrix. Lassen Sie uns den Rang der Hauptmatrix mithilfe der Methode der angrenzenden Nebenmatrix ermitteln. Als Nicht-Null-Minor erster Ordnung nehmen wir das Element a 1 1 = 9 der Hauptmatrix des Systems. Suchen wir das angrenzende Nicht-Null-Moll zweiter Ordnung: 
Es wurde ein von Null verschiedenes Moll zweiter Ordnung gefunden. Gehen wir die angrenzenden Minderjährigen dritter Ordnung auf der Suche nach einem Nicht-Null-Wert durch: 
Alle angrenzenden Minderjährigen dritter Ordnung sind gleich Null, daher ist der Rang der Haupt- und erweiterten Matrix gleich zwei. Lass uns nehmen . Der Klarheit halber notieren wir uns die Elemente des Systems, aus denen es besteht: 
Die dritte Gleichung des ursprünglichen SLAE ist nicht an der Bildung der Basis Minor beteiligt und kann daher ausgeschlossen werden: 
Wir belassen die Terme mit den Hauptunbekannten auf der rechten Seite der Gleichungen und übertragen die Terme mit freien Unbekannten auf die rechte Seite:
Konstruieren wir ein grundlegendes Lösungssystem für das ursprüngliche homogene System linearer Gleichungen. Das grundlegende Lösungssystem dieses SLAE besteht aus zwei Lösungen, da das ursprüngliche SLAE vier unbekannte Variablen enthält und die Ordnung seiner Basis-Minor-Variablen gleich zwei ist. Um X (1) zu finden, geben wir den freien unbekannten Variablen die Werte x 2 = 1, x 4 = 0, dann finden wir die wichtigsten Unbekannten aus dem Gleichungssystem 
.
Lösung Wir machen es mit einem Taschenrechner. Schreiben wir die erweiterten und Hauptmatrizen auf: 
Die Hauptmatrix A ist durch eine gestrichelte Linie getrennt. Wir schreiben oben unbekannte Systeme und berücksichtigen dabei die mögliche Neuordnung von Termen in den Gleichungen des Systems. Indem wir den Rang der erweiterten Matrix bestimmen, ermitteln wir gleichzeitig den Rang der Hauptmatrix. In Matrix B sind die erste und zweite Spalte proportional. Von den beiden Proportionalspalten kann nur eine in den Grundmoll fallen, also verschieben wir zum Beispiel die erste Spalte mit dem umgekehrten Vorzeichen über die gepunktete Linie hinaus. Für das System bedeutet dies, Terme von x 1 auf die rechte Seite der Gleichungen zu übertragen. 
Reduzieren wir die Matrix auf die Dreiecksform. Wir werden nur mit Zeilen arbeiten, da die Multiplikation einer Matrixzeile mit einer anderen Zahl als Null und deren Addition zu einer anderen Zeile für das System bedeutet, die Gleichung mit derselben Zahl zu multiplizieren und sie mit einer anderen Gleichung zu addieren, was die Lösung der Gleichung nicht ändert System. Wir arbeiten mit der ersten Zeile: Multiplizieren Sie die erste Zeile der Matrix mit (-3) und addieren Sie der Reihe nach zur zweiten und dritten Zeile. Dann multiplizieren Sie die erste Zeile mit (-2) und addieren Sie sie zur vierten. 
Die zweite und dritte Linie sind proportional, daher kann eine davon, beispielsweise die zweite, durchgestrichen werden. Dies ist gleichbedeutend mit dem Streichen der zweiten Gleichung des Systems, da sie eine Folge der dritten ist. 
Jetzt arbeiten wir mit der zweiten Zeile: Multiplizieren Sie sie mit (-1) und addieren Sie sie zur dritten. 
Das mit einer gestrichelten Linie eingekreiste Nebenelement hat die höchste Ordnung (möglicher Nebenelemente) und ist ungleich Null (es ist gleich dem Produkt der Elemente auf der Hauptdiagonale). Daher gehört dieses Nebenelement sowohl zur Hauptmatrix als auch zur erweiterten Matrix rangA = rangB = 3.
Unerheblich 
ist einfach. Es enthält Koeffizienten für die Unbekannten x 2 , x 3 , x 4 , was bedeutet, dass die Unbekannten x 2 , x 3 , x 4 abhängig und x 1 , x 5 frei sind.
Lassen Sie uns die Matrix transformieren und links nur die Basis Minor übrig lassen (was Punkt 4 des obigen Lösungsalgorithmus entspricht). 
Das System mit den Koeffizienten dieser Matrix entspricht dem Originalsystem und hat die Form
Mit der Methode zur Eliminierung von Unbekannten finden wir: 
, ,
Wir haben Beziehungen erhalten, die die abhängigen Variablen x 2, x 3, x 4 durch die freien Variablen x 1 und x 5 ausdrücken, d. h. wir haben eine allgemeine Lösung gefunden: 
Indem wir den freien Unbekannten beliebige Werte zuweisen, erhalten wir beliebig viele bestimmte Lösungen. Lassen Sie uns zwei spezielle Lösungen finden:
1) Sei x 1 = x 5 = 0, dann x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) Setzen Sie x 1 = 1, x 5 = -1, dann x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7.
Somit wurden zwei Lösungen gefunden: (0,1,-3,3,0) – eine Lösung, (1,4,-7,7,-1) – eine andere Lösung.
Beispiel 2. Erkunden Sie die Kompatibilität und finden Sie eine allgemeine und eine bestimmte Lösung für das System 
Lösung. Ordnen wir die erste und zweite Gleichung so um, dass sie eins in der ersten Gleichung haben, und schreiben wir die Matrix B. 
Wir erhalten Nullen in der vierten Spalte, indem wir mit der ersten Zeile operieren: 
Jetzt erhalten wir die Nullen in der dritten Spalte mithilfe der zweiten Zeile: 
Die dritte und vierte Zeile sind proportional, sodass eine davon gestrichen werden kann, ohne dass sich die Rangfolge ändert:
Multiplizieren Sie die dritte Zeile mit (–2) und addieren Sie sie zur vierten: 
Wir sehen, dass die Ränge der Haupt- und erweiterten Matrizen gleich 4 sind und der Rang mit der Anzahl der Unbekannten übereinstimmt, daher hat das System eine eindeutige Lösung:
;
x 4 = 10- 3x 1 – 3x 2 – 2x 3 = 11.
Beispiel 3. Untersuchen Sie das System auf Kompatibilität und finden Sie gegebenenfalls eine Lösung. 
Lösung. Wir erstellen eine erweiterte Matrix des Systems. 
Wir ordnen die ersten beiden Gleichungen so um, dass in der oberen linken Ecke eine 1 steht:
Multiplizieren Sie die erste Zeile mit (-1) und addieren Sie sie zur dritten: 
Multiplizieren Sie die zweite Zeile mit (-2) und addieren Sie sie zur dritten: 
Das System ist inkonsistent, da wir in der Hauptmatrix eine aus Nullen bestehende Zeile erhalten haben, die beim Finden des Rangs durchgestrichen wird, in der erweiterten Matrix jedoch die letzte Zeile erhalten bleibt, d. h. r B > r A .
Übung. Forschung dieses System Kompatibilitätsgleichungen und lösen Sie sie mithilfe der Matrizenrechnung.
Lösung
Beispiel. Beweisen Sie die Kompatibilität des linearen Gleichungssystems und lösen Sie es auf zwei Arten: 1) nach der Gauß-Methode; 2) Cramers Methode. (Geben Sie die Antwort in der Form ein: x1,x2,x3)
Lösung :doc :doc :xls
Antwort: 2,-1,3.
Beispiel. Gegeben ist ein lineares Gleichungssystem. Beweisen Sie die Kompatibilität. Finden Sie eine allgemeine Lösung des Systems und eine bestimmte Lösung.
Lösung
Antwort: x 3 = - 1 + x 4 + x 5 ; x 2 = 1 - x 4 ; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5
Übung. Finden Sie die allgemeinen und besonderen Lösungen jedes Systems.
Lösung. Wir untersuchen dieses System mit dem Kronecker-Capelli-Theorem.
Schreiben wir die erweiterten und Hauptmatrizen auf:
| 1 | 1 | 14 | 0 | 2 | 0 |
| 3 | 4 | 2 | 3 | 0 | 1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
Hier ist Matrix A fett hervorgehoben.
Reduzieren wir die Matrix auf die Dreiecksform. Wir werden nur mit Zeilen arbeiten, da die Multiplikation einer Matrixzeile mit einer anderen Zahl als Null und deren Addition zu einer anderen Zeile für das System bedeutet, die Gleichung mit derselben Zahl zu multiplizieren und sie mit einer anderen Gleichung zu addieren, was die Lösung der Gleichung nicht ändert System.
Lassen Sie uns die 1. Zeile mit (3) multiplizieren. Multiplizieren Sie die 2. Zeile mit (-1). Fügen wir die 2. Zeile zur 1. hinzu:
| 0 | -1 | 40 | -3 | 6 | -1 |
| 3 | 4 | 2 | 3 | 0 | 1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
Lassen Sie uns die 2. Zeile mit (2) multiplizieren. Multiplizieren Sie die 3. Zeile mit (-3). Fügen wir die 3. Zeile zur 2. hinzu:
| 0 | -1 | 40 | -3 | 6 | -1 |
| 0 | -1 | 13 | -3 | 6 | -1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
Multiplizieren Sie die 2. Zeile mit (-1). Fügen wir die 2. Zeile zur 1. hinzu:
| 0 | 0 | 27 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | -1 | 13 | -3 | 6 | -1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
Die ausgewählte Nebenmatrix hat die höchste Ordnung (möglicher Nebenmatrix) und ist ungleich Null (sie ist gleich dem Produkt der Elemente auf der umgekehrten Diagonale), und diese Nebenmatrix gehört sowohl zur Hauptmatrix als auch zur erweiterten Matrix, daher rang( A) = rang(B) = 3 Da der Rang der Hauptmatrix gleich dem Rang der erweiterten Matrix ist, dann Das System ist kollaborativ.
Dieses Nebenfach ist grundlegend. Es enthält Koeffizienten für die Unbekannten x 1 , x 2 , x 3 , was bedeutet, dass die Unbekannten x 1 , x 2 , x 3 abhängig (grundlegend) und x 4 , x 5 frei sind.
Lassen Sie uns die Matrix transformieren und links nur die Basis-Moll übrig lassen.
| 0 | 0 | 27 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | -1 | 13 | -1 | 3 | -6 |
| 2 | 3 | -3 | 1 | -3 | 2 |
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
27x 3 =
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4 - 6x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
Mit der Methode zur Eliminierung von Unbekannten finden wir:
Wir haben Beziehungen erhalten, die die abhängigen Variablen x 1 , x 2 , x 3 durch die freien Variablen x 4 , x 5 ausdrücken, das heißt, wir haben sie gefunden gemeinsame Entscheidung:
x 3 = 0
x 2 = 1 - 3x 4 + 6x 5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
unsicher, Weil hat mehr als eine Lösung.
Übung. Lösen Sie das Gleichungssystem.
Antwort:x 2 = 2 - 1,67x 3 + 0,67x 4
x 1 = 5 - 3,67 x 3 + 0,67 x 4
Indem wir den freien Unbekannten beliebige Werte zuweisen, erhalten wir beliebig viele bestimmte Lösungen. Das System ist unsicher
- ob das System kollaborativ ist;
- wenn das System kompatibel ist, dann ist es definitiv oder unbestimmt (das Kriterium für die Kompatibilität des Systems wird durch den Satz bestimmt);
- Wenn das System definiert ist, wie findet man dann seine eindeutige Lösung (verwendet werden die Methode von Cramer, die Methode der inversen Matrix oder die Methode von Jordan-Gauß);
- Wenn das System unsicher ist, wie soll dann die Menge seiner Lösungen beschrieben werden?
Klassifikation linearer Gleichungssysteme
Ein beliebiges lineares Gleichungssystem hat die Form:a 1 1 x 1 + a 1 2 x 2 + ... + a 1 n x n = b 1
a 2 1 x 1 + a 2 2 x 2 + ... + a 2 n x n = b 2
...................................................
a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ... + a m n x n = b m
- Systeme linearer inhomogener Gleichungen (die Anzahl der Variablen ist gleich der Anzahl der Gleichungen, m = n).
- Beliebige Systeme linearer inhomogener Gleichungen (m > n oder m< n).
Definition. Zwei Systeme heißen äquivalent, wenn die Lösung des ersten die Lösung des zweiten ist und umgekehrt.
Definition. Ein System, das mindestens eine Lösung hat, heißt gemeinsam. Ein System, das keine einzige Lösung hat, wird als inkonsistent bezeichnet.
Definition. Ein System, das eine eindeutige Lösung hat, heißt bestimmt, und es ist ungewiss, mehr als eine Lösung zu haben.
Algorithmus zur Lösung linearer Gleichungssysteme
- Finden Sie die Ränge der Haupt- und erweiterten Matrizen. Wenn sie nicht gleich sind, ist das System nach dem Kronecker-Capelli-Theorem inkonsistent und hier endet die Studie.
- Sei rang(A) = rang(B). Wir wählen das grundlegende Nebenfach. Dabei werden alle unbekannten linearen Gleichungssysteme in zwei Klassen eingeteilt. Unbekannte, deren Koeffizienten im Basis-Minor enthalten sind, werden als abhängig bezeichnet, und Unbekannte, deren Koeffizienten nicht im Basis-Minor enthalten sind, werden als frei bezeichnet. Beachten Sie, dass die Auswahl abhängiger und freier Unbekannter nicht immer einfach ist.
- Wir streichen diejenigen Gleichungen des Systems durch, deren Koeffizienten nicht in der Basis-Minor enthalten sind, da sie Folgen der anderen sind (gemäß dem Satz über die Basis-Minor).
- Wir verschieben die Terme der Gleichungen, die freie Unbekannte enthalten, auf die rechte Seite. Als Ergebnis erhalten wir ein System von r Gleichungen mit r Unbekannten, äquivalent zu der gegebenen Gleichung, deren Determinante ungleich Null ist.
- Das resultierende System wird auf eine der folgenden Arten gelöst: die Cramer-Methode, die inverse Matrixmethode oder die Jordan-Gauß-Methode. Es werden Beziehungen gefunden, die die abhängigen Variablen durch die freien ausdrücken.