Methoden zum Finden der inversen Matrix. Methoden zum Finden der inversen Matrix
Betrachten wir das Problem der Definition der Umkehroperation der Matrixmultiplikation.
Sei A eine quadratische Matrix der Ordnung n. Matrix A^(-1), die zusammen mit der gegebenen Matrix A die folgenden Gleichungen erfüllt:
A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E,
angerufen umkehren. Die Matrix A heißt reversibel, wenn es eine Umkehrung dafür gibt, andernfalls - irreversibel.
Aus der Definition folgt, dass, wenn die inverse Matrix A^(-1) existiert, sie ein Quadrat derselben Ordnung wie A ist. Allerdings hat nicht jede quadratische Matrix eine Umkehrung. Wenn die Determinante einer Matrix A gleich Null ist (\det(A)=0), dann gibt es dafür keine Umkehrung. Tatsächlich erhalten wir einen Widerspruch, wenn wir den Satz auf die Determinante des Matrizenprodukts für die Identitätsmatrix E=A^(-1)A anwenden
\det(E)=\det(A^(-1)\cdot A)=\det(A^(-1))\det(A)=\det(A^(-1))\cdot0=0
da die Determinante der Identitätsmatrix gleich 1 ist. Es stellt sich heraus, dass die Determinante einer quadratischen Matrix ungleich Null die einzige Bedingung für die Existenz einer inversen Matrix ist. Denken Sie daran, dass eine quadratische Matrix, deren Determinante gleich Null ist, singulär (singulär) heißt; andernfalls heißt sie nicht entartet (nicht singulär).
Satz 4.1 über die Existenz und Eindeutigkeit der inversen Matrix. Quadratische Matrix A=\begin(pmatrix)a_(11)&\cdots&a_(1n)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_(n1)&\cdots&a_(nn) \end(pmatrix), dessen Determinante ungleich Null ist, hat eine inverse Matrix und darüber hinaus nur eine:
A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot\! \begin(pmatrix)A_(11)&A_(21)&\cdots&A_(1n)\\ A_(12)&A_(22)&\cdots&A_(n2)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_(1n )&A_(2n)&\cdots&A_(nn) \end(pmatrix)= \frac(1)(\det(A))\cdot A^(+),
wobei A^(+) die Matrix ist, die für eine Matrix transponiert ist, die aus algebraischen Komplementen von Elementen der Matrix A besteht.
Die Matrix A^(+) wird aufgerufen Adjungierte Matrix in Bezug auf Matrix A.
Tatsächlich die Matrix \frac(1)(\det(A))\,A^(+) existiert unter der Bedingung \det(A)\ne0 . Es muss gezeigt werden, dass es invers zu A ist, d. h. erfüllt zwei Bedingungen:
\begin(aligned)\mathsf(1))&~A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)=E;\\ \mathsf (2))&~ \!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)\!\cdot A=E.\end(aligned)
Beweisen wir die erste Gleichheit. Gemäß Absatz 4 der Anmerkungen 2.3 folgt aus den Eigenschaften der Determinante Folgendes AA^(+)=\det(A)\cdot E. Deshalb
A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)= \frac(1)(\det(A))\cdot AA^(+) = \frac(1)(\det(A))\cdot \det(A)\cdot E=E,
Das ist es, was gezeigt werden musste. Die zweite Gleichheit wird auf ähnliche Weise bewiesen. Daher hat Matrix A unter der Bedingung \det(A)\ne0 eine Umkehrung
A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+).
Wir werden die Eindeutigkeit der inversen Matrix durch Widerspruch beweisen. Es sei zusätzlich zur Matrix A^(-1) eine weitere inverse Matrix B\,(B\ne A^(-1)) mit AB=E vorhanden. Wenn wir beide Seiten dieser Gleichheit von links mit der Matrix A^(-1) multiplizieren, erhalten wir \underbrace(A^(-1)AB)_(E)=A^(-1)E. Daher B=A^(-1) , was der Annahme B\ne A^(-1) widerspricht. Daher ist die inverse Matrix eindeutig.
Hinweise 4.1
1. Aus der Definition folgt, dass die Matrizen A und A^(-1) kommutieren.
2. Die Umkehrung einer nicht singulären Diagonalmatrix ist ebenfalls diagonal:
\Bigl[\operatorname(diag)(a_(11),a_(22),\ldots,a_(nn))\Bigr]^(-1)= \operatorname(diag)\!\left(\frac(1 )(a_(11)),\,\frac(1)(a_(22)),\,\ldots,\,\frac(1)(a_(nn))\right)\!.
3. Die Umkehrung einer nicht singulären unteren (oberen) Dreiecksmatrix ist die untere (obere) Dreiecksmatrix.
4. Elementarmatrizen haben Inversen, die ebenfalls elementar sind (siehe Absatz 1 der Anmerkungen 1.11).
Eigenschaften einer inversen Matrix
Die Matrixinversionsoperation hat die folgenden Eigenschaften:
\begin(aligned)\bold(1.)&~~ (A^(-1))^(-1)=A\,;\\ \bold(2.)&~~ (AB)^(-1 )=B^(-1)A^(-1)\,;\\ \bold(3.)&~~ (A^T)^(-1)=(A^(-1))^T\ ,;\\ \bold(4.)&~~ \det(A^(-1))=\frac(1)(\det(A))\,;\\ \bold(5.)&~~ E^(-1)=E\,. \end(ausgerichtet)
ob die in den Gleichungen 1-4 angegebenen Operationen sinnvoll sind.
Beweisen wir Eigenschaft 2: wenn das Produkt AB nichtsingulärer quadratischer Matrizen gleicher Ordnung eine inverse Matrix hat, dann (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1).
Tatsächlich ist die Determinante des Produkts der Matrizen AB nicht gleich Null, da
\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot\det(B), Wo \det(A)\ne0,~\det(B)\ne0
Daher existiert die inverse Matrix (AB)^(-1) und ist eindeutig. Zeigen wir per Definition, dass die Matrix B^(-1)A^(-1) die Umkehrung der Matrix AB ist. Wirklich.
Methoden zum Finden der inversen Matrix, . Betrachten Sie eine quadratische Matrix
Bezeichnen wir Δ =det A.
Die quadratische Matrix A heißt nicht degeneriert, oder nicht speziell, wenn seine Determinante ungleich Null ist, und degenerieren, oder besonders, WennΔ = 0.
Eine quadratische Matrix B gilt für eine quadratische Matrix A derselben Ordnung, wenn ihr Produkt A B = B A = E ist, wobei E die Identitätsmatrix derselben Ordnung wie die Matrizen A und B ist.
Satz . Damit Matrix A eine inverse Matrix hat, ist es notwendig und ausreichend, dass ihre Determinante von Null verschieden ist.
Die inverse Matrix der Matrix A, bezeichnet mit A- 1, also B = A - 1 und wird nach der Formel berechnet
, (1)
wobei A i j algebraische Komplemente der Elemente a i j der Matrix A sind.
Die Berechnung von A –1 mithilfe der Formel (1) für Matrizen höherer Ordnung ist sehr arbeitsintensiv, daher ist es in der Praxis praktisch, A –1 mithilfe der Methode der Elementartransformationen (ET) zu ermitteln. Jede nicht singuläre Matrix A kann auf die Identitätsmatrix E reduziert werden, indem nur die Spalten (oder nur die Zeilen) auf die Identitätsmatrix angewendet werden. Wenn die über die Matrix A perfekten Transformationen in derselben Reihenfolge auf die Identitätsmatrix E angewendet werden, Das Ergebnis ist eine inverse Matrix. Es ist praktisch, EP gleichzeitig für die Matrizen A und E auszuführen und dabei beide Matrizen nebeneinander durch eine Zeile zu schreiben. Beachten wir noch einmal, dass Sie bei der Suche nach der kanonischen Form einer Matrix zum Auffinden Transformationen von Zeilen und Spalten verwenden können. Wenn Sie die Umkehrung einer Matrix ermitteln müssen, sollten Sie während des Transformationsprozesses nur Zeilen oder nur Spalten verwenden.
Beispiel 2.10. Für Matrix 
finde A -1 .
Lösung.Zuerst ermitteln wir die Determinante der Matrix A 
Das bedeutet, dass die inverse Matrix existiert und wir sie mit der Formel finden können: 
, wobei A i j (i,j=1,2,3) algebraische Additionen von Elementen a i j der ursprünglichen Matrix sind. 
Wo 
.
Beispiel 2.11. Finden Sie mit der Methode der Elementartransformationen A -1 für die Matrix: A = .
Lösung.Wir weisen der Originalmatrix rechts eine Identitätsmatrix derselben Ordnung zu: 
. Mithilfe elementarer Transformationen der Spalten reduzieren wir die linke „Hälfte“ auf die Identitätsmatrix und führen gleichzeitig genau die gleichen Transformationen an der rechten Matrix durch.
Vertauschen Sie dazu die erste und zweite Spalte: 
~
. Zur dritten Spalte addieren wir die erste und zur zweiten die erste, multipliziert mit -2: 
. Von der ersten Spalte subtrahieren wir das zweite Doppelte und von der dritten Spalte multiplizieren wir das zweite mit 6; 
. Fügen wir die dritte Spalte zur ersten und zweiten hinzu: 
. Multiplizieren Sie die letzte Spalte mit -1: 
. Die rechts vom vertikalen Balken erhaltene quadratische Matrix ist die inverse Matrix der gegebenen Matrix A. Also,
.
Die inverse Matrix für eine gegebene Matrix ist eine solche Matrix, deren Multiplikation mit der Originalmatrix die Identitätsmatrix ergibt: Eine zwingende und ausreichende Bedingung für das Vorhandensein einer inversen Matrix ist, dass die Determinante der Originalmatrix ist ungleich Null (was wiederum impliziert, dass die Matrix quadratisch sein muss). Wenn die Determinante einer Matrix gleich Null ist, dann heißt sie singulär und eine solche Matrix hat keine Umkehrung. In der höheren Mathematik sind inverse Matrizen wichtig und werden zur Lösung einer Reihe von Problemen verwendet. Zum Beispiel am Finden der inversen Matrix Es wurde eine Matrixmethode zur Lösung von Gleichungssystemen entwickelt. Unsere Serviceseite ermöglicht Inverse Matrix online berechnen zwei Methoden: die Gauß-Jordan-Methode und die Verwendung der Matrix algebraischer Additionen. Interrupt impliziert große Menge elementare Transformationen innerhalb der Matrix, die zweite ist die Berechnung der Determinanten und algebraischen Additionen aller Elemente. Um die Determinante einer Matrix online zu berechnen, können Sie unseren anderen Service nutzen – Berechnung der Determinante einer Matrix online
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Lassen Sie uns das Gespräch über Aktionen mit Matrizen fortsetzen. Während des Studiums dieser Vorlesung erfahren Sie nämlich, wie Sie die inverse Matrix finden. Lernen. Auch wenn Mathe schwierig ist.
Was ist eine inverse Matrix? Hier können wir eine Analogie zu inversen Zahlen ziehen: Betrachten Sie zum Beispiel die optimistische Zahl 5 und ihre inverse Zahl. Das Produkt dieser Zahlen ist gleich eins: . Bei Matrizen ist alles ähnlich! Das Produkt einer Matrix und ihrer inversen Matrix ist gleich – Identitätsmatrix, das Matrixanalogon der numerischen Einheit. Doch das Wichtigste zuerst: Lassen Sie uns zunächst ein wichtiges praktisches Problem lösen, nämlich lernen, wie man genau diese inverse Matrix findet.
Was müssen Sie wissen und können, um die inverse Matrix zu finden? Sie müssen entscheiden können Qualifikanten. Sie müssen verstehen, was es ist Matrix und in der Lage sein, einige Aktionen mit ihnen durchzuführen.
Es gibt zwei Hauptmethoden zum Ermitteln der inversen Matrix:
mit Hilfe algebraische Additionen Und unter Verwendung elementarer Transformationen.
Heute werden wir die erste, einfachere Methode studieren.
Beginnen wir mit dem Schrecklichsten und Unverständlichsten. Lassen Sie uns überlegen Quadrat Matrix. Die inverse Matrix kann mit der folgenden Formel ermittelt werden:
Wo ist die Determinante der Matrix, ist die transponierte Matrix algebraischer Komplemente der entsprechenden Elemente der Matrix.
Das Konzept einer inversen Matrix existiert nur für quadratische Matrizen, Matrizen „zwei mal zwei“, „drei mal drei“ usw.
Bezeichnungen: Wie Sie vielleicht bereits bemerkt haben, wird die inverse Matrix durch einen hochgestellten Index gekennzeichnet
Beginnen wir mit dem einfachsten Fall – einer Zwei-mal-Zwei-Matrix. Am häufigsten ist natürlich „drei mal drei“ erforderlich, aber ich empfehle dennoch dringend, eine einfachere Aufgabe zu studieren, um sie zu meistern allgemeines Prinzip Lösungen.
Beispiel:
Finden Sie die Umkehrung einer Matrix
Lass uns entscheiden. Es ist praktisch, die Abfolge der Aktionen Punkt für Punkt aufzuschlüsseln.
1) Zuerst ermitteln wir die Determinante der Matrix.
Wenn Sie diese Aktion nicht gut verstehen, lesen Sie das Material Wie berechnet man die Determinante?
Wichtig! Wenn die Determinante der Matrix gleich ist NULL– inverse Matrix EXISTIERT NICHT.
Wie sich herausstellte, ist im betrachteten Beispiel alles in Ordnung.
2) Finden Sie die Matrix der Minderjährigen.
Um unser Problem zu lösen, ist es nicht notwendig zu wissen, was ein Minderjähriger ist, es ist jedoch ratsam, den Artikel zu lesen So berechnen Sie die Determinante.
Die Matrix der Minderjährigen hat in diesem Fall die gleichen Dimensionen wie die Matrix.
Jetzt müssen Sie nur noch vier Zahlen finden und diese anstelle der Sternchen einfügen.
Kehren wir zu unserer Matrix zurück
Schauen wir uns zunächst das Element oben links an:
So finden Sie es unerheblich?
Und das geht so: Streichen Sie GEISTLICH die Zeile und Spalte durch, in der sich dieses Element befindet:
Die verbleibende Anzahl ist Moll dieses Elements, was wir in unserer Matrix der Minderjährigen schreiben:
Betrachten Sie das folgende Matrixelement:
Streichen Sie im Geiste die Zeile und Spalte durch, in der dieses Element vorkommt:
Übrig bleibt das Moll dieses Elements, das wir in unsere Matrix schreiben:
Ebenso betrachten wir die Elemente der zweiten Reihe und finden ihre Nebenelemente:
Bereit.
Das ist einfach. In der Matrix der Minderjährigen benötigen Sie ÄNDERUNGSSCHILDER zwei Zahlen:
Das sind die Zahlen, die ich eingekreist habe!
– Matrix algebraischer Additionen der entsprechenden Elemente der Matrix.
Und nur...
4) Finden Sie die transponierte Matrix algebraischer Additionen.
– transponierte Matrix algebraischer Komplemente der entsprechenden Elemente der Matrix.
5) Antwort.
Erinnern wir uns an unsere Formel
Alles wurde gefunden!
Die Umkehrmatrix lautet also: 
Es ist besser, die Antwort so zu lassen, wie sie ist. NICHT NÖTIG Teilen Sie jedes Element der Matrix durch 2, da das Ergebnis Bruchzahlen sind. Diese Nuance wird im selben Artikel ausführlicher besprochen. Aktionen mit Matrizen.
Wie überprüfe ich die Lösung?
Sie müssen eine Matrixmultiplikation durchführen oder
Untersuchung: 
Erhalten bereits erwähnt Identitätsmatrix ist eine Matrix mit Einsen von Hauptdiagonale und Nullen an anderen Stellen.
Somit wird die inverse Matrix korrekt gefunden.
Wenn Sie die Aktion ausführen, ist das Ergebnis ebenfalls eine Identitätsmatrix. Dies ist einer der wenigen Fälle, in denen die Matrixmultiplikation kommutativ ist. Weitere Einzelheiten finden Sie im Artikel Eigenschaften von Operationen auf Matrizen. Matrixausdrücke. Beachten Sie auch, dass bei der Prüfung die Konstante (Bruch) vorgezogen und ganz am Ende verarbeitet wird – nach der Matrixmultiplikation. Dies ist eine Standardtechnik.
Kommen wir zu einem in der Praxis häufiger vorkommenden Fall – der Drei-mal-Drei-Matrix:
Beispiel:
Finden Sie die Umkehrung einer Matrix 
Der Algorithmus ist genau der gleiche wie für den Fall „zwei mal zwei“.
Wir finden die inverse Matrix mit der Formel: , wobei die transponierte Matrix algebraischer Komplemente der entsprechenden Elemente der Matrix ist.
1) Finden Sie die Determinante der Matrix.
Hier wird die Determinante offenbart in der ersten Zeile.
Vergessen Sie das auch nicht, das bedeutet, dass alles in Ordnung ist – Es existiert eine inverse Matrix.
2) Finden Sie die Matrix der Minderjährigen.
Die Matrix der Minderjährigen hat die Dimension „drei mal drei“ 
, und wir müssen neun Zahlen finden.
Ich werde mir ein paar Nebenfächer genauer ansehen:
Betrachten Sie das folgende Matrixelement: 
Streichen Sie im Geiste die Zeile und Spalte durch, in der sich dieses Element befindet: 
Die restlichen vier Zahlen schreiben wir in die Determinante „zwei mal zwei“. 
Diese Zwei-mal-Zwei-Determinante und ist das Moll dieses Elements. Es muss berechnet werden: 
Das war’s, der Minor ist gefunden, wir schreiben es in unsere Minor-Matrix: 
Wie Sie wahrscheinlich vermutet haben, müssen Sie neun Determinanten im Zwei-mal-Zwei-Format berechnen. Der Prozess ist natürlich langwierig, aber der Fall ist nicht der schwerwiegendste, er kann schlimmer sein.
Nun, zur Festigung – auf den Bildern einen weiteren Minderjährigen finden: 
Versuchen Sie, die verbleibenden Minderjährigen selbst zu berechnen.
Endergebnis: 
– Matrix der Minderjährigen der entsprechenden Elemente der Matrix.
Die Tatsache, dass alle Minderjährigen negativ ausfielen, ist reiner Zufall.
3) Finden Sie die Matrix algebraischer Additionen.
In der Minderjährigenmatrix ist es notwendig ÄNDERUNGSSCHILDER ausschließlich für die folgenden Elemente: 
In diesem Fall:
Wir denken nicht darüber nach, die inverse Matrix für eine „Vier mal Vier“-Matrix zu finden, da eine solche Aufgabe nur von einem sadistischen Lehrer gestellt werden kann (wobei der Schüler eine „Vier mal Vier“-Determinante und 16 „Drei mal drei“-Determinanten berechnen muss ). In meiner Praxis gab es nur einen solchen Fall, und zwar den Kunden Testarbeit Ich habe meine Qual ziemlich teuer bezahlt =).
In einer Reihe von Lehrbüchern und Handbüchern finden Sie einen etwas anderen Ansatz zur Ermittlung der inversen Matrix, ich empfehle jedoch die Verwendung des oben beschriebenen Lösungsalgorithmus. Warum? Denn die Wahrscheinlichkeit, bei Berechnungen und Zeichen durcheinander zu kommen, ist deutlich geringer.
Matrix A -1 heißt die inverse Matrix bezüglich Matrix A, wenn A*A -1 = E, wobei E die Identitätsmatrix n-ter Ordnung ist. Eine inverse Matrix kann nur für quadratische Matrizen existieren.
Zweck des Dienstes. Mithilfe dieses Dienstes können Sie online algebraische Komplemente, transponierte Matrizen A T, alliierte Matrizen und inverse Matrizen finden. Die Entscheidung wird direkt auf der Website (online) getroffen und ist kostenlos. Die Berechnungsergebnisse werden in einem Bericht im Word- und Excel-Format dargestellt (d. h. es besteht die Möglichkeit, die Lösung zu überprüfen). siehe Designbeispiel.
Anweisungen. Um eine Lösung zu erhalten, ist es notwendig, die Dimension der Matrix anzugeben. Füllen Sie als Nächstes Matrix A im neuen Dialogfeld aus.
Siehe auch Inverse Matrix mit der Jordano-Gauß-Methode
Algorithmus zum Finden der inversen Matrix
- Finden der transponierten Matrix A T .
- Definition algebraischer Komplemente. Ersetzen Sie jedes Element der Matrix durch sein algebraisches Komplement.
- Erstellen einer inversen Matrix aus algebraischen Additionen: Jedes Element der resultierenden Matrix wird durch die Determinante der ursprünglichen Matrix dividiert. Die resultierende Matrix ist die Umkehrung der ursprünglichen Matrix.
- Bestimmen Sie, ob die Matrix quadratisch ist. Wenn nicht, dann gibt es dafür keine inverse Matrix.
- Berechnung der Determinante der Matrix A. Ist sie ungleich Null, setzen wir die Lösung fort, andernfalls existiert die inverse Matrix nicht.
- Definition algebraischer Komplemente.
- Ausfüllen der Vereinigungsmatrix (gegenseitig, adjungiert) C .
- Erstellen einer inversen Matrix aus algebraischen Additionen: Jedes Element der adjungierten Matrix C wird durch die Determinante der ursprünglichen Matrix dividiert. Die resultierende Matrix ist die Umkehrung der ursprünglichen Matrix.
- Sie führen eine Prüfung durch: Sie multiplizieren die Original- und die resultierenden Matrizen. Das Ergebnis sollte eine Identitätsmatrix sein.
Beispiel Nr. 1. Schreiben wir die Matrix in der Form:
Algebraische Ergänzungen.
| A 1,1 = (-1) 1+1 |
|
∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
|
∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4
| A 1,3 = (-1) 1+3 |
|
∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8
| A 2,1 = (-1) 2+1 |
|
∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7
| A 2,2 = (-1) 2+2 |
|
∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2
| A 2,3 = (-1) 2+3 |
|
∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1
| A 3,1 = (-1) 3+1 |
|
∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1
| A 3,2 = (-1) 3+2 |
|
∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4
| A 3,3 = (-1) 3+3 |
|
∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Dann inverse Matrix kann geschrieben werden als:
| A -1 = 1/10 |
|
| A -1 = |
|
Ein weiterer Algorithmus zum Finden der inversen Matrix
Lassen Sie uns ein anderes Schema zum Finden der inversen Matrix vorstellen.- Finden Sie die Determinante einer gegebenen quadratischen Matrix A.
- Wir finden algebraische Komplemente zu allen Elementen der Matrix A.
- Wir schreiben algebraische Additionen von Zeilenelementen zu Spalten (Transposition).
- Wir dividieren jedes Element der resultierenden Matrix durch die Determinante der Matrix A.
Ein Sonderfall: Die Umkehrung der Identitätsmatrix E ist die Identitätsmatrix E.