Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, die eine Funktion und eine oder mehrere ihrer Ableitungen umfasst. Bei den meisten praktischen Problemen handelt es sich um Funktionen physikalische Quantitäten, die Ableitungen entsprechen den Änderungsraten dieser Größen und die Gleichung bestimmt die Beziehung zwischen ihnen.

In diesem Artikel werden Methoden zur Lösung bestimmter Arten gewöhnlicher Differentialgleichungen beschrieben, deren Lösungen in der Form geschrieben werden können Elementarfunktionen , also polynomial, exponentiell, logarithmisch und trigonometrisch, sowie deren Umkehrfunktionen. Viele dieser Gleichungen kommen im wirklichen Leben vor, obwohl die meisten anderen Differentialgleichungen nicht mit diesen Methoden gelöst werden können und die Antwort für sie in Form spezieller Funktionen oder Potenzreihen geschrieben oder mit numerischen Methoden gefunden wird.

Um diesen Artikel zu verstehen, müssen Sie sich mit Differential- und Integralrechnung auskennen und über ein gewisses Verständnis für partielle Ableitungen verfügen. Es wird außerdem empfohlen, die Grundlagen der linearen Algebra in ihrer Anwendung auf Differentialgleichungen, insbesondere Differentialgleichungen zweiter Ordnung, zu kennen, obwohl Kenntnisse der Differential- und Integralrechnung zur Lösung dieser Gleichungen ausreichen.

Vorabinformationen

• Differentialgleichung verfügen über eine umfangreiche Klassifizierung. In diesem Artikel geht es um gewöhnliche Differentialgleichungen, das heißt über Gleichungen, die eine Funktion einer Variablen und ihrer Ableitungen enthalten. Gewöhnliche Differentialgleichungen sind viel einfacher zu verstehen und zu lösen als partielle Differentialgleichungen, die Funktionen mehrerer Variablen umfassen. In diesem Artikel werden partielle Differentialgleichungen nicht behandelt, da die Methoden zur Lösung dieser Gleichungen normalerweise durch ihre besondere Form bestimmt werden.
  • Nachfolgend finden Sie einige Beispiele für gewöhnliche Differentialgleichungen.
    • d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
  • Nachfolgend finden Sie einige Beispiele für partielle Differentialgleichungen.
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))+(\frac (\partial ^(2 )f)(\partial y^(2)))=0)
    • ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2)))=0)
• Befehl einer Differentialgleichung wird durch die Ordnung der höchsten in dieser Gleichung enthaltenen Ableitung bestimmt. Die erste der oben genannten gewöhnlichen Differentialgleichungen ist erster Ordnung, während die zweite eine Gleichung zweiter Ordnung ist. Grad Differentialgleichung heißt Höchster Abschluss, auf den einer der Terme dieser Gleichung angehoben wird.
  • Die folgende Gleichung ist beispielsweise dritter Ordnung und zweiten Grades.
    • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d) )^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\ rechts)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
• Die Differentialgleichung lautet lineare Differentialgleichung für den Fall, dass die Funktion und alle ihre Ableitungen ersten Grades sind. Ansonsten lautet die Gleichung nichtlineare Differentialgleichung. Das Besondere an linearen Differentialgleichungen ist, dass ihre Lösungen zur Bildung von Linearkombinationen verwendet werden können, die auch Lösungen der gegebenen Gleichung sind.
  • Nachfolgend finden Sie einige Beispiele für lineare Differentialgleichungen.
  • Nachfolgend finden Sie einige Beispiele für nichtlineare Differentialgleichungen. Die erste Gleichung ist aufgrund des Sinusterms nichtlinear.
    • d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
    • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
• Gemeinsame Entscheidung Eine gewöhnliche Differentialgleichung ist nicht eindeutig, sie beinhaltet beliebige Integrationskonstanten. In den meisten Fällen entspricht die Anzahl der willkürlichen Konstanten der Ordnung der Gleichung. In der Praxis werden die Werte dieser Konstanten anhand der Gegebenheiten ermittelt Anfangsbedingungen, also entsprechend den Werten der Funktion und ihrer Ableitungen bei x = 0. (\displaystyle x=0.) Die Anzahl der Anfangsbedingungen, die gefunden werden müssen private Lösung Differentialgleichung ist in den meisten Fällen auch gleich der Ordnung der gegebenen Gleichung.
  • In diesem Artikel geht es beispielsweise um die Lösung der folgenden Gleichung. Dies ist eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung. Seine allgemeine Lösung enthält zwei beliebige Konstanten. Um diese Konstanten zu finden, ist es notwendig, die Anfangsbedingungen zu kennen x (0) (\displaystyle x(0)) Und x ′ (0) . (\displaystyle x"(0).) Normalerweise werden an dieser Stelle die Anfangsbedingungen angegeben x = 0 , (\displaystyle x=0,), obwohl dies nicht notwendig ist. In diesem Artikel wird auch erläutert, wie bestimmte Lösungen für gegebene Anfangsbedingungen gefunden werden können.
    • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2 )x=0)
    • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

Schritte

Teil 1

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1. Lineare Gleichungen erster Ordnung. In diesem Abschnitt werden Methoden zur Lösung linearer Differentialgleichungen erster Ordnung im Allgemeinen und in Sonderfällen erläutert, in denen einige Terme gleich Null sind. Tun wir mal so y = y (x) , (\displaystyle y=y(x),) p (x) (\displaystyle p(x)) Und q (x) (\displaystyle q(x)) sind Funktionen X. (\displaystyle x.)

   D y d x + p (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x ))
   

   P (x) = 0. (\displaystyle p(x)=0.) Nach einem der Hauptsätze mathematische Analyse, das Integral der Ableitung einer Funktion ist auch eine Funktion. Daher reicht es aus, die Gleichung einfach zu integrieren, um ihre Lösung zu finden. Dies sollte bei der Berechnung berücksichtigt werden unbestimmtes Integral Es erscheint eine beliebige Konstante.

   • y (x) = ∫ q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)

   Q (x) = 0. (\displaystyle q(x)=0.) Wir verwenden die Methode Trennung von Variablen. Dadurch werden verschiedene Variablen auf unterschiedliche Seiten der Gleichung verschoben. Sie können beispielsweise alle Mitglieder aus verschieben y (\displaystyle y) in eins, und alle Mitglieder mit x (\displaystyle x) auf die andere Seite der Gleichung. Mitglieder können auch übertragen werden d x (\displaystyle (\mathrm (d) )x) Und d y (\displaystyle (\mathrm (d) )y), die in den Ausdrücken von Ableitungen enthalten sind, aber es sollte beachtet werden, dass dies nur ein Symbol ist, das bei der Differenzierung praktisch ist komplexe Funktion. Diskussion dieser Mitglieder, die aufgerufen werden Differentiale, würde den Rahmen dieses Artikels sprengen.

   • Zuerst müssen Sie die Variablen auf die gegenüberliegenden Seiten des Gleichheitszeichens verschieben.
     • 1 y d y = − p (x) d x (\displaystyle (\frac (1)(y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
   • Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichung integrieren. Nach der Integration erscheinen auf beiden Seiten beliebige Konstanten, die auf die rechte Seite der Gleichung übertragen werden können.
     • ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
     • y (x) = e − ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Beispiel 1.1. Im letzten Schritt haben wir die Regel verwendet e a + b = e a e b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b)) und ersetzt e C (\displaystyle e^(C)) An C (\displaystyle C), da dies ebenfalls eine beliebige Integrationskonstante ist.
     • d y d x − 2 y sin ⁡ x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
     • 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = − cos ⁡ x + C ln ⁡ y = − 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e − 2 cos ⁡ x (\displaystyle (\begin(aligned )(\frac (1)(2y))(\mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(aligned)))

   P (x) ≠ 0 , q (x) ≠ 0. (\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.) Um eine allgemeine Lösung zu finden, haben wir eingeführt integrierender Faktor als Funktion von x (\displaystyle x) um die linke Seite auf eine gemeinsame Ableitung zu reduzieren und so die Gleichung zu lösen.

   • Multiplizieren Sie beide Seiten mit μ (x) (\displaystyle \mu (x))
     • μ d y d x + μ p y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
   • Um die linke Seite auf die allgemeine Ableitung zu reduzieren, müssen folgende Transformationen durchgeführt werden:
     • d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\ frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
   • Die letzte Gleichheit bedeutet das d μ d x = μ p (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))=\mu p). Dies ist ein integrierender Faktor, der ausreicht, um jede lineare Gleichung erster Ordnung zu lösen. Jetzt können wir die Formel zur Lösung dieser Gleichung bezüglich ableiten μ , (\displaystyle \mu ,) obwohl es für das Training nützlich ist, alle Zwischenberechnungen durchzuführen.
     • μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Beispiel 1.2. IN in diesem BeispielÜberlegte, wie man eine bestimmte Lösung für eine Differentialgleichung mit gegebenen Anfangsbedingungen findet.
     • t d y d t + 2 y = t 2 , y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\quad y(2)=3)
     • d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
     • μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
     • d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\begin(aligned)(\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(aligned)))
     • 3 = y (2) = 1 + C 4 , C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
     • y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
   
   Lösen linearer Gleichungen erster Ordnung (aufgezeichnet von Intuit – National Open University).

2. Nichtlineare Gleichungen erster Ordnung. In diesem Abschnitt werden Methoden zur Lösung einiger nichtlinearer Differentialgleichungen erster Ordnung erläutert. Obwohl es keine allgemeine Methode zum Lösen solcher Gleichungen gibt, können einige davon mit den folgenden Methoden gelöst werden.

   D y d x = f (x , y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
   d y d x = h (x) g (y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).) Wenn die Funktion f (x , y) = h (x) g (y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y)) kann in Funktionen einer Variablen zerlegt werden, eine solche Gleichung heißt Differentialgleichung mit separierbaren Variablen. In diesem Fall können Sie die oben beschriebene Methode verwenden:

   • ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )X)
   • Beispiel 1.3.
     • d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4)))))
     • ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\displaystyle (\ begin(aligned)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\end(aligned)))

   D y d x = g (x , y) h (x , y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))).) Tun wir mal so g (x , y) (\displaystyle g(x,y)) Und h (x, y) (\displaystyle h(x,y)) sind Funktionen x (\displaystyle x) Und j. (\displaystyle y.) Dann homogene Differentialgleichung ist eine Gleichung, in der g (\displaystyle g) Und h (\displaystyle h) Sind homogene Funktionen im gleichen Maße. Das heißt, die Funktionen müssen die Bedingung erfüllen g (α x , α y) = α k g (x , y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),) Wo k (\displaystyle k) wird als Homogenitätsgrad bezeichnet. Jede homogene Differentialgleichung kann geeignet verwendet werden Ersetzungen von Variablen (v = y / x (\displaystyle v=y/x) oder v = x / y (\displaystyle v=x/y)) in eine separierbare Gleichung umwandeln.

   • Beispiel 1.4. Die obige Beschreibung der Homogenität mag unklar erscheinen. Schauen wir uns dieses Konzept anhand eines Beispiels an.
     • d y d x = y 3 − x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(y^(2)x)))
     • Zunächst ist zu beachten, dass diese Gleichung in Bezug auf nichtlinear ist j. (\displaystyle y.) Wir sehen auch, dass es in diesem Fall unmöglich ist, die Variablen zu trennen. Gleichzeitig ist diese Differentialgleichung homogen, da sowohl der Zähler als auch der Nenner mit einer Potenz von 3 homogen sind. Daher können wir Variablen ändern v = y/x. (\displaystyle v=y/x.)
     • d y d x = y x − x 2 y 2 = v − 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
     • y = v x , d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x+v)
     • d v d x x = − 1 v 2 . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))).) Als Ergebnis haben wir die Gleichung für v (\displaystyle v) mit trennbaren Variablen.
     • v (x) = − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
     • y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))

   D y d x = p (x) y + q (x) y n . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).) Das Bernoulli-Differentialgleichung- eine spezielle Art nichtlinearer Gleichung ersten Grades, deren Lösung mit Elementarfunktionen geschrieben werden kann.

   • Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit (1 − n) y − n (\displaystyle (1-n)y^(-n)):
     • (1 − n) y − n d y d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac ( (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
   • Wir verwenden die Regel zum Differenzieren einer komplexen Funktion auf der linken Seite und transformieren die Gleichung in Lineargleichung verhältnismäßig y 1 − n , (\displaystyle y^(1-n),) welches mit den oben genannten Methoden gelöst werden kann.
     • d y 1 − n d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y^(1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))

   M (x, y) + N (x, y) d y d x = 0. (\displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0.) Das Gleichung in totalen Differentialen. Es ist notwendig, das sogenannte zu finden potentielle Funktion φ (x , y) , (\displaystyle \varphi (x,y),), was die Bedingung erfüllt d φ d x = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=0.)

   • Um diese Bedingung zu erfüllen, ist es notwendig, Folgendes zu haben Gesamtableitung. Die Gesamtableitung berücksichtigt die Abhängigkeit von anderen Variablen. Um die Gesamtableitung zu berechnen φ (\displaystyle \varphi ) Von x , (\displaystyle x,) Wir nehmen an, dass y (\displaystyle y) kann auch davon abhängen X. (\displaystyle x.)
     • d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))+(\frac (\partial \varphi )(\partial y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
   • Der Vergleich der Begriffe gibt uns Auskunft M (x , y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))) Und N (x, y) = ∂ φ ∂ y. (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y)).) Dies ist ein typisches Ergebnis für Gleichungen in mehreren Variablen, bei denen die gemischten Ableitungen glatter Funktionen einander gleich sind. Manchmal wird dieser Fall aufgerufen Satz von Clairaut. In diesem Fall ist die Differentialgleichung eine totale Differentialgleichung, wenn die folgende Bedingung erfüllt ist:
     • ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\partial M)(\partial y))=(\frac (\partial N)(\partial x)))
   • Die Methode zum Lösen von Gleichungen in Totaldifferentialen ähnelt der Suche nach potentiellen Funktionen in Gegenwart mehrerer Ableitungen, auf die wir kurz eingehen werden. Lassen Sie uns zunächst integrieren M (\displaystyle M) Von X. (\displaystyle x.) Weil das M (\displaystyle M) ist eine Funktion und x (\displaystyle x), Und y, (\displaystyle y,) Bei der Integration erhalten wir eine unvollständige Funktion φ , (\displaystyle \varphi ,) bezeichnet als φ ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi ))). Das Ergebnis hängt auch davon ab y (\displaystyle y) Integrationskonstante.
     • φ (x , y) = ∫ M (x , y) d x = φ ~ (x , y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (d) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
   • Danach, um zu bekommen c (y) (\displaystyle c(y)) Wir können die partielle Ableitung der resultierenden Funktion nach bilden y, (\displaystyle y,) das Ergebnis gleichsetzen N (x, y) (\displaystyle N(x,y)) und integrieren. Sie können auch zunächst integrieren N (\displaystyle N), und bilden Sie dann die partielle Ableitung nach x (\displaystyle x), mit dem Sie eine beliebige Funktion finden können d(x). (\displaystyle d(x).) Beide Methoden sind geeignet und in der Regel wird für die Integration die einfachere Funktion gewählt.
     • N (x , y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y))=(\frac (\ partiell (\tilde (\varphi )))(\partial y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
   • Beispiel 1.5. Sie können partielle Ableitungen vornehmen und sehen, dass die folgende Gleichung eine totale Differentialgleichung ist.
     • 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x) )=0)
     • φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x , y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\begin(aligned)\varphi &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\partial \varphi )(\partial y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(aligned)))
     • d c d y = 0 , c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))=0,\quad c(y)=C)
     • x 3 + x y 2 = C (\displaystyle x^(3)+xy^(2)=C)
   • Wenn die Differentialgleichung keine totale Differentialgleichung ist, können Sie in manchen Fällen einen integrierenden Faktor finden, der es Ihnen ermöglicht, sie in eine totale Differentialgleichung umzuwandeln. Allerdings werden solche Gleichungen in der Praxis selten verwendet, und obwohl der integrierende Faktor existiert, es findet es zufällig nicht einfach Daher werden diese Gleichungen in diesem Artikel nicht berücksichtigt.

Teil 2

1. Homogene lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. Diese Gleichungen werden in der Praxis häufig verwendet, daher ist ihre Lösung von größter Bedeutung. In diesem Fall geht es nicht um homogene Funktionen, sondern um die Tatsache, dass auf der rechten Seite der Gleichung eine 0 steht. Im nächsten Abschnitt wird gezeigt, wie man das entsprechende löst heterogen Differentialgleichung. Unten ein (\displaystyle a) Und b (\displaystyle b) sind Konstanten.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Charakteristische Gleichung. Das Besondere an dieser Differentialgleichung ist, dass sie sehr einfach gelöst werden kann, wenn man darauf achtet, welche Eigenschaften ihre Lösungen haben sollten. Aus der Gleichung geht das klar hervor y (\displaystyle y) und seine Ableitungen sind proportional zueinander. Aus früheren Beispielen, die im Abschnitt über Gleichungen erster Ordnung besprochen wurden, wissen wir, dass nur eine Exponentialfunktion diese Eigenschaft besitzt. Daher ist es möglich, einen Antrag zu stellen Ansatz(eine fundierte Vermutung) darüber, wie die Lösung einer bestimmten Gleichung aussehen wird.

   • Die Lösung hat die Form einer Exponentialfunktion e r x , (\displaystyle e^(rx),) Wo r (\displaystyle r) ist eine Konstante, deren Wert gefunden werden soll. Setzen Sie diese Funktion in die Gleichung ein und erhalten Sie den folgenden Ausdruck
     • e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
   • Diese Gleichung besagt, dass das Produkt einer Exponentialfunktion und eines Polynoms gleich Null sein muss. Es ist bekannt, dass der Exponent für keinen Gradwert gleich Null sein kann. Daraus schließen wir, dass das Polynom gleich Null ist. Somit haben wir das Problem der Lösung einer Differentialgleichung auf das viel einfachere Problem der Lösung einer algebraischen Gleichung reduziert, die als charakteristische Gleichung für eine gegebene Differentialgleichung bezeichnet wird.
     • r 2 + a r + b = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
     • r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
   • Wir haben zwei Wurzeln. Da diese Differentialgleichung linear ist, ist ihre allgemeine Lösung eine Linearkombination von Teillösungen. Da es sich um eine Gleichung zweiter Ordnung handelt, wissen wir, dass dies der Fall ist Wirklich allgemeine Lösung, und es gibt keine anderen. Eine strengere Begründung dafür finden sich in Lehrbüchern mit Theoremen über die Existenz und Einzigartigkeit einer Lösung.
   • Eine nützliche Methode zur Überprüfung, ob zwei Lösungen linear unabhängig sind, ist die Berechnung Wronskiana. Wronskian W (\displaystyle W) ist die Determinante einer Matrix, deren Spalten Funktionen und ihre aufeinanderfolgenden Ableitungen enthalten. Der Satz der linearen Algebra besagt, dass die in der Wronski-Funktion enthaltenen Funktionen linear abhängig sind, wenn die Wronski-Funktion gleich Null ist. In diesem Abschnitt können wir prüfen, ob zwei Lösungen linear unabhängig sind – dazu müssen wir sicherstellen, dass der Wronski-Operator nicht Null ist. Der Wronski-Ansatz ist wichtig bei der Lösung inhomogener Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten durch die Methode der Variation von Parametern.
     • W = | y 1 y 2 y 1 ′ y 2 ′ | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
   • In Bezug auf die lineare Algebra bildet die Menge aller Lösungen einer gegebenen Differentialgleichung einen Vektorraum, dessen Dimension der Ordnung der Differentialgleichung entspricht. In diesem Bereich kann man eine Basis auswählen linear unabhängig Entscheidungen voneinander. Dies ist möglich, da die Funktion y (x) (\displaystyle y(x)) gültig linearer Operator. Derivat Ist linearer Operator, da er den Raum differenzierbarer Funktionen in den Raum aller Funktionen umwandelt. Gleichungen werden in den Fällen als homogen bezeichnet, in denen für jeden linearen Operator gilt L (\displaystyle L) Wir müssen eine Lösung für die Gleichung finden L [ y ] = 0. (\displaystyle L[y]=0.)

   Betrachten wir nun einige konkrete Beispiele. Wir werden den Fall mehrerer Wurzeln der charakteristischen Gleichung etwas später im Abschnitt über die Reduzierung der Ordnung betrachten.

   Wenn die Wurzeln r ± (\displaystyle r_(\pm )) Sind verschiedene reelle Zahlen, hat die Differentialgleichung nächste Lösung

   • y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x (\displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))

   Zwei komplexe Wurzeln. Aus dem Grundsatz der Algebra folgt, dass Lösungen von Polynomgleichungen mit reellen Koeffizienten Wurzeln haben, die reell sind oder konjugierte Paare bilden. Wenn es sich also um eine komplexe Zahl handelt r = α + i β (\displaystyle r=\alpha +i\beta ) ist dann die Wurzel der charakteristischen Gleichung r ∗ = α − i β (\displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta ) ist auch die Wurzel dieser Gleichung. Somit können wir die Lösung in das Formular schreiben c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α − i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alpha -i\beta)x),) Es handelt sich jedoch um eine komplexe Zahl, die zur Lösung praktischer Probleme nicht geeignet ist.

   • Stattdessen können Sie verwenden Eulers Formel e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), was es uns ermöglicht, die Lösung in das Formular zu schreiben trigonometrische Funktionen:
     • e α x (c 1 cos ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x − i c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ beta x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
   • Jetzt können Sie anstelle einer Konstante c 1 + c 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2)) aufschreiben c 1 (\displaystyle c_(1)), und der Ausdruck i (c 1 − c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2))) ersetzt durch c 2 . (\displaystyle c_(2).) Danach erhalten wir folgende Lösung:
     • y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\sin\beta x))
   • Es gibt eine andere Möglichkeit, die Lösung in Form von Amplitude und Phase zu schreiben, die für physikalische Probleme besser geeignet ist.
   • Beispiel 2.1. Finden wir eine Lösung für die unten angegebene Differentialgleichung mit den angegebenen Anfangsbedingungen. Dazu müssen Sie die resultierende Lösung nehmen, sowie seine Ableitung, und setzen Sie sie in die Anfangsbedingungen ein, was es uns ermöglicht, beliebige Konstanten zu bestimmen.
     • d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0 , x (0) = 1 , x ′ (0) = − 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\x"(0)=-1)
     • r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i (\displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\pm (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )ich)
     • x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1 )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
     • x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
     • x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 (− 31 2 c 1 sin ⁡ 31 2 t + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\displaystyle (\begin(aligned)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\end(aligned)))
     • x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2 , c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0)=-1=-(\frac (3)(2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
     • x (t) = e − 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
   
   Lösen von Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten (aufgezeichnet von Intuit – National Open University).

2. Absteigende Reihenfolge. Ordnungsreduktion ist eine Methode zur Lösung von Differentialgleichungen, wenn eine linear unabhängige Lösung bekannt ist. Diese Methode besteht darin, die Ordnung der Gleichung um eins zu verringern, wodurch Sie die Gleichung mit den im vorherigen Abschnitt beschriebenen Methoden lösen können. Lassen Sie die Lösung bekannt sein. Die Hauptidee der Ordnungsreduktion besteht darin, eine Lösung in der folgenden Form zu finden, in der die Funktion definiert werden muss v (x) (\displaystyle v(x)), es in die Differentialgleichung einsetzen und finden v(x). (\displaystyle v(x).) Schauen wir uns an, wie Ordnungsreduktion verwendet werden kann, um eine Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten und mehreren Wurzeln zu lösen.

   
   

   Mehrere Wurzeln homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Denken Sie daran, dass eine Gleichung zweiter Ordnung zwei linear unabhängige Lösungen haben muss. Wenn die charakteristische Gleichung mehrere Wurzeln hat, ist die Menge der Lösungen Nicht bildet einen Raum, da diese Lösungen linear abhängig sind. In diesem Fall ist es notwendig, mithilfe der Ordnungsreduktion eine zweite linear unabhängige Lösung zu finden.

   • Die charakteristische Gleichung soll mehrere Wurzeln haben r (\displaystyle r). Nehmen wir an, dass die zweite Lösung in der Form geschrieben werden kann y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x)) und setze es in die Differentialgleichung ein. In diesem Fall die meisten Terme, mit Ausnahme des Termes mit der zweiten Ableitung der Funktion v , (\displaystyle v,) wird reduziert.
     • v ″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
   • Beispiel 2.2. Gegeben sei die folgende Gleichung mit mehreren Wurzeln r = − 4. (\displaystyle r=-4.) Bei der Substitution werden die meisten Begriffe gekürzt.
     • d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
     • y = v (x) e − 4 x y ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 x y ″ = v ″ (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\displaystyle (\begin(aligned)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\end(ausgerichtet)))
     • v ″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 (\displaystyle (\begin(aligned )v""e^(-4x)&-(\cancel (8v"e^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))\\&+(\cancel (8v"e ^(-4x)))-(\cancel (32ve^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))=0\end(aligned)))
   • Ähnlich wie bei unserem Ansatz für eine Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten kann in diesem Fall nur die zweite Ableitung gleich Null sein. Wir integrieren zweimal und erhalten den gewünschten Ausdruck für v (\displaystyle v):
     • v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
   • Dann kann die allgemeine Lösung einer Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten für den Fall, dass die charakteristische Gleichung mehrere Wurzeln hat, in der folgenden Form geschrieben werden. Der Einfachheit halber können Sie sich daran erinnern, dass es ausreicht, einfach den zweiten Term mit zu multiplizieren, um eine lineare Unabhängigkeit zu erhalten x (\displaystyle x). Diese Lösungsmenge ist linear unabhängig und somit haben wir alle Lösungen dieser Gleichung gefunden.
     • y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))

   D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+q(x)y=0.) Eine Bestellreduzierung ist möglich, wenn die Lösung bekannt ist y 1 (x) (\displaystyle y_(1)(x)), die in der Problemstellung gefunden oder angegeben werden kann.

   • Wir suchen nach einer Lösung im Formular y (x) = v (x) y 1 (x) (\displaystyle y(x)=v(x)y_(1)(x)) und setze es in diese Gleichung ein:
     • v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
   • Weil das y 1 (\displaystyle y_(1)) ist eine Lösung einer Differentialgleichung, alle Terme mit v (\displaystyle v) werden reduziert. Am Ende bleibt es dabei lineare Gleichung erster Ordnung. Um dies klarer zu sehen, nehmen wir eine Änderung der Variablen vor w (x) = v ′ (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
     • y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
     • w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\ frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\right)(\mathrm (d) )x\right))
     • v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
   • Wenn die Integrale berechnet werden können, erhalten wir die allgemeine Lösung als Kombination von Elementarfunktionen. Andernfalls kann die Lösung in integraler Form belassen werden.

3. Cauchy-Euler-Gleichung. Die Cauchy-Euler-Gleichung ist ein Beispiel für eine Differentialgleichung zweiter Ordnung mit Variablen Koeffizienten, die exakte Lösungen haben. Diese Gleichung wird in der Praxis beispielsweise zur Lösung der Laplace-Gleichung in Kugelkoordinaten verwendet.

   X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Charakteristische Gleichung. Wie Sie sehen können, enthält in dieser Differentialgleichung jeder Term einen Leistungsfaktor, dessen Grad der Ordnung der entsprechenden Ableitung entspricht.

   • So können Sie versuchen, im Formular nach einer Lösung zu suchen y (x) = x n , (\displaystyle y(x)=x^(n),) wo es notwendig ist, zu bestimmen n (\displaystyle n), genauso wie wir nach einer Lösung in Form einer Exponentialfunktion für eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten suchten. Nach Differenzierung und Substitution erhalten wir
     • x n (n 2 + (a − 1) n + b) = 0 (\displaystyle x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
   • Um die charakteristische Gleichung verwenden zu können, müssen wir davon ausgehen x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0). Punkt x = 0 (\displaystyle x=0) angerufen regelmäßiger Singularpunkt Differentialgleichung. Solche Punkte sind wichtig, wenn Differentialgleichungen mithilfe von Potenzreihen gelöst werden. Diese Gleichung hat zwei Wurzeln, die unterschiedlich und reell, mehrfach oder komplex konjugiert sein können.
     • n ± = 1 − a ± (a − 1) 2 − 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b )))(2)))

   Zwei verschiedene echte Wurzeln. Wenn die Wurzeln n ± (\displaystyle n_(\pm )) real und unterschiedlich sind, dann hat die Lösung der Differentialgleichung die folgende Form:

   • y (x) = c 1 x n + + c 2 x n − (\displaystyle y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))

   Zwei komplexe Wurzeln. Wenn die charakteristische Gleichung Wurzeln hat n ± = α ± β i (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i), die Lösung ist eine komplexe Funktion.

   • Um die Lösung in eine reale Funktion umzuwandeln, nehmen wir eine Änderung der Variablen vor x = e t , (\displaystyle x=e^(t),) also t = ln ⁡ x , (\displaystyle t=\ln x,) und verwenden Sie die Eulersche Formel. Ähnliche Aktionen wurden zuvor bei der Bestimmung beliebiger Konstanten durchgeführt.
     • y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e − β i t) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta it)))
   • Dann kann die allgemeine Lösung geschrieben werden als
     • y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))

   Mehrere Wurzeln. Um eine zweite linear unabhängige Lösung zu erhalten, ist es notwendig, die Ordnung erneut zu reduzieren.

   • Es sind ziemlich viele Berechnungen erforderlich, aber das Prinzip bleibt dasselbe: Wir ersetzen y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1)) in eine Gleichung, deren erste Lösung ist y 1 (\displaystyle y_(1)). Nach Reduktionen erhält man die folgende Gleichung:
     • v ″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
   • Dies ist eine lineare Gleichung erster Ordnung bzgl v ′ (x) . (\displaystyle v"(x).) Seine Lösung ist v (x) = c 1 + c 2 ln ⁡ x . (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.) Somit kann die Lösung in der folgenden Form geschrieben werden. Das kann man sich leicht merken – um die zweite linear unabhängige Lösung zu erhalten, ist lediglich ein zusätzlicher Term mit erforderlich ln ⁡ x (\displaystyle \ln x).
     • y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\displaystyle y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))

4. Inhomogene lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. Inhomogene Gleichungen haben die Form L [ y (x) ] = f (x), (\displaystyle L=f(x),) Wo f (x) (\displaystyle f(x))- sogenannt Freies Mitglied. Nach der Theorie der Differentialgleichungen ist die allgemeine Lösung dieser Gleichung eine Superposition private Lösung y p (x) (\displaystyle y_(p)(x)) Und zusätzliche Lösung y c (x) . (\displaystyle y_(c)(x).) Allerdings bedeutet eine bestimmte Lösung in diesem Fall nicht eine Lösung, die durch die Anfangsbedingungen gegeben ist, sondern vielmehr eine Lösung, die durch das Vorhandensein von Heterogenität (ein freier Begriff) bestimmt wird. Eine zusätzliche Lösung ist eine Lösung der entsprechenden homogenen Gleichung, in der f (x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.) Die Gesamtlösung ist eine Überlagerung dieser beiden Lösungen, da L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\displaystyle L=L+L=f(x)), und da L [ y c ] = 0 , (\displaystyle L=0,) Eine solche Überlagerung ist tatsächlich eine allgemeine Lösung.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
   

   Methode unbestimmter Koeffizienten. Die Methode der unbestimmten Koeffizienten wird in Fällen verwendet, in denen der Dummy-Term eine Kombination aus exponentiellem, trigonometrischem, hyperbolischem oder ist Potenzfunktionen. Nur diese Funktionen haben garantiert eine endliche Anzahl linear unabhängiger Ableitungen. In diesem Abschnitt werden wir eine bestimmte Lösung der Gleichung finden.

   • Vergleichen wir die Begriffe in f (x) (\displaystyle f(x)) mit Begriffen in, ohne auf konstante Faktoren zu achten. Es gibt drei mögliche Fälle.
     • Keine zwei Mitglieder sind gleich. In diesem Fall eine besondere Lösung y p (\displaystyle y_(p)) wird eine lineare Kombination von Begriffen aus sein y p (\displaystyle y_(p))
     • f (x) (\displaystyle f(x)) enthält Mitglied x n (\displaystyle x^(n)) und Mitglied aus y c , (\displaystyle y_(c),) Wo n (\displaystyle n) ist Null oder eine positive ganze Zahl, und dieser Term entspricht einer separaten Wurzel der charakteristischen Gleichung. In diesem Fall y p (\displaystyle y_(p)) wird aus einer Kombination der Funktion bestehen x n + 1 h (x) , (\displaystyle x^(n+1)h(x),) seine linear unabhängigen Ableitungen sowie andere Terme f (x) (\displaystyle f(x)) und ihre linear unabhängigen Ableitungen.
     • f (x) (\displaystyle f(x)) enthält Mitglied h (x), (\displaystyle h(x),) Das ist eine Arbeit x n (\displaystyle x^(n)) und Mitglied aus y c , (\displaystyle y_(c),) Wo n (\displaystyle n) ist gleich 0 oder eine positive ganze Zahl, und dieser Begriff entspricht mehrere Wurzel der charakteristischen Gleichung. In diesem Fall y p (\displaystyle y_(p)) ist eine Linearkombination der Funktion x n + s h (x) (\displaystyle x^(n+s)h(x))(Wo s (\displaystyle s)- Multiplizität der Wurzel) und ihre linear unabhängigen Ableitungen sowie andere Mitglieder der Funktion f (x) (\displaystyle f(x)) und seine linear unabhängigen Ableitungen.
   • Schreiben wir es auf y p (\displaystyle y_(p)) als Linearkombination der oben aufgeführten Begriffe. Aufgrund dieser Koeffizienten in einer linearen Kombination wird diese Methode als „Methode der unbestimmten Koeffizienten“ bezeichnet. Wenn darin enthalten y c (\displaystyle y_(c)) Mitglieder können aufgrund des Vorhandenseins beliebiger Konstanten verworfen werden y c . (\displaystyle y_(c).) Danach ersetzen wir y p (\displaystyle y_(p)) in die Gleichung ein und setzen ähnliche Begriffe gleich.
   • Wir bestimmen die Koeffizienten. In diesem Stadium entsteht ein System algebraischer Gleichungen, das in der Regel problemlos gelöst werden kann. Die Lösung dieses Systems ermöglicht es uns, zu erhalten y p (\displaystyle y_(p)) und damit die Gleichung lösen.
   • Beispiel 2.3. Betrachten wir eine inhomogene Differentialgleichung, deren freier Term eine endliche Anzahl linear unabhängiger Ableitungen enthält. Eine besondere Lösung einer solchen Gleichung kann mit der Methode der unbestimmten Koeffizienten gefunden werden.
     • d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
     • y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t)
     • y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\displaystyle y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
     • 9 A e 3 t − 25 B cos ⁡ 5 t − 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos ⁡ 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t ( \displaystyle (\begin(aligned)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(ausgerichtet)))
     • ( 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 − 25 B + 6 B = − 1 , B = 1 19 − 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\displaystyle (\begin(cases)9A+ 6A =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ end(cases)))
     • y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6 ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)

   Lagrange-Methode. Die Lagrange-Methode oder Methode zur Variation beliebiger Konstanten ist eine allgemeinere Methode zur Lösung inhomogener Differentialgleichungen, insbesondere in Fällen, in denen der Achsenabschnittsterm keine endliche Anzahl linear unabhängiger Ableitungen enthält. Zum Beispiel mit kostenlosen Mitgliedern tan ⁡ x (\displaystyle \tan x) oder x − n (\displaystyle x^(-n)) Um eine bestimmte Lösung zu finden, muss die Lagrange-Methode verwendet werden. Mit der Lagrange-Methode können sogar Differentialgleichungen mit variablen Koeffizienten gelöst werden, allerdings wird sie in diesem Fall mit Ausnahme der Cauchy-Euler-Gleichung seltener verwendet, da die zusätzliche Lösung in der Regel nicht durch Elementarfunktionen ausgedrückt wird.

   • Nehmen wir an, dass die Lösung die folgende Form hat. Seine Ableitung ist in der zweiten Zeile angegeben.
     • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\displaystyle y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
     • y ′ = v 1 ′ y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) „+v_(2)“y_(2)+v_(2)y_(2)“)
   • Da die vorgeschlagene Lösung enthält zwei Unbekannte Größen müssen auferlegt werden zusätzlich Zustand. Wählen wir diese Zusatzbedingung in folgender Form:
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
     • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
     • y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\displaystyle y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
   • Jetzt können wir die zweite Gleichung erhalten. Nach der Ersetzung und Umverteilung von Mitgliedern können Sie Mitglieder mit gruppieren v 1 (\displaystyle v_(1)) und Mitglieder mit v 2 (\displaystyle v_(2)). Diese Begriffe werden reduziert, weil y 1 (\displaystyle y_(1)) Und y 2 (\displaystyle y_(2)) sind Lösungen der entsprechenden homogenen Gleichung. Als Ergebnis erhalten wir das folgende Gleichungssystem
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 ′ y 2 ′ = f (x) (\displaystyle (\begin(aligned)v_(1)"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\end(aligned)))
   • Dieses System kann in eine Matrixgleichung der Form transformiert werden A x = b , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ),) dessen Lösung ist x = A − 1 b . (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ).) Für Matrix 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2) Die inverse Matrix wird ermittelt, indem man durch die Determinante dividiert, die diagonalen Elemente neu anordnet und das Vorzeichen der nichtdiagonalen Elemente ändert. Tatsächlich ist die Determinante dieser Matrix ein Wronski-Operator.
     • (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ − y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ end(pmatrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
   • Ausdrücke für v 1 (\displaystyle v_(1)) Und v 2 (\displaystyle v_(2)) sind unten angegeben. Wie bei der Ordnungsreduktionsmethode erscheint in diesem Fall bei der Integration eine beliebige Konstante, die eine zusätzliche Lösung in die allgemeine Lösung der Differentialgleichung einbezieht.
     • v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac (1)(W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
     • v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2)(x)=\int (\frac (1)(W))f(x)y_(1) (x)(\mathrm (d) )x)
   
   Vortrag der National Open University Intuit mit dem Titel „Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten“.

Praktischer Nutzen

Differentialgleichungen stellen eine Beziehung zwischen einer Funktion und einer oder mehreren ihrer Ableitungen her. Da solche Beziehungen äußerst verbreitet sind, haben Differentialgleichungen in einer Vielzahl von Bereichen breite Anwendung gefunden, und da wir in vier Dimensionen leben, handelt es sich bei diesen Gleichungen häufig um Differentialgleichungen Privat Derivate. In diesem Abschnitt werden einige der wichtigsten Gleichungen dieser Art behandelt.

• Exponentielles Wachstum und Verfall. Radioaktiver Zerfall. Zinseszins. Die Geschwindigkeit chemischer Reaktionen. Konzentration von Medikamenten im Blut. Unbegrenztes Bevölkerungswachstum. Newton-Richmann-Gesetz. In der realen Welt gibt es viele Systeme, in denen die Wachstums- oder Verfallsrate zu einem bestimmten Zeitpunkt proportional zur Menge ist dieser Moment Zeit oder kann durch das Modell gut angenähert werden. Dies liegt daran, dass die Lösung einer gegebenen Differentialgleichung, die Exponentialfunktion, eine der wichtigsten Funktionen in der Mathematik und anderen Wissenschaften ist. Allgemeiner gesagt kann das System bei kontrolliertem Bevölkerungswachstum zusätzliche Bedingungen enthalten, die das Wachstum begrenzen. In der folgenden Gleichung ist die Konstante k (\displaystyle k) kann entweder größer oder kleiner als Null sein.
  • d y d x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
• Harmonische Schwingungen. Sowohl in der klassischen als auch in der Quantenmechanik ist der harmonische Oszillator einer der wichtigsten physikalische Systeme aufgrund seiner Einfachheit und breiten Anwendung zur Approximation komplexerer Systeme wie eines einfachen Pendels. In der klassischen Mechanik werden harmonische Schwingungen durch eine Gleichung beschrieben, die die Position eines materiellen Punktes mit seiner Beschleunigung durch das Hookesche Gesetz in Beziehung setzt. Dabei können auch Dämpfungs- und Antriebskräfte berücksichtigt werden. Im folgenden Ausdruck x ˙ (\displaystyle (\dot (x)))- Zeitableitung von x , (\displaystyle x,) β (\displaystyle \beta)- Parameter, der die Dämpfungskraft beschreibt, ω 0 (\displaystyle \omega _(0))- Kreisfrequenz des Systems, F (t) (\displaystyle F(t))- zeitabhängige Antriebskraft. Der harmonische Oszillator kommt auch in elektromagnetischen Schwingkreisen vor und lässt sich dort mit größerer Genauigkeit umsetzen als in mechanischen Systemen.
  • x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\displaystyle (\ddot (x))+2\beta (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x =F(t))
• Bessels Gleichung. Die Bessel-Differentialgleichung wird in vielen Bereichen der Physik verwendet, einschließlich der Lösung der Wellengleichung, der Laplace-Gleichung und der Schrödinger-Gleichung, insbesondere bei Vorliegen einer Zylinder- oder Kugelsymmetrie. Diese Differentialgleichung zweiter Ordnung mit variablen Koeffizienten ist keine Cauchy-Euler-Gleichung, daher können ihre Lösungen nicht als Elementarfunktionen geschrieben werden. Die Lösungen der Bessel-Gleichung sind die Bessel-Funktionen, die aufgrund ihrer Anwendung in vielen Bereichen gut untersucht sind. Im folgenden Ausdruck α (\displaystyle \alpha )- eine Konstante, die entspricht in Ordnung Bessel-Funktionen.
  • x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 − α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) y=0)
• Maxwells Gleichungen. Zusammen mit der Lorentzkraft bilden die Maxwellschen Gleichungen die Grundlage der klassischen Elektrodynamik. Dies sind die vier partiellen Differentialgleichungen für die Elektrik E (r , t) (\displaystyle (\mathbf (E) )((\mathbf (r) ),t)) und magnetisch B (r , t) (\displaystyle (\mathbf (B) )((\mathbf (r) ),t)) Felder. In den folgenden Ausdrücken ρ = ρ (r , t) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- Ladungsdichte, J = J (r , t) (\displaystyle (\mathbf (J) )=(\mathbf (J) )((\mathbf (r) ),t))- Stromdichte und ϵ 0 (\displaystyle \epsilon _(0)) Und μ 0 (\displaystyle \mu _(0))- elektrische bzw. magnetische Konstanten.
  • ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\displaystyle (\begin(aligned)\nabla \cdot (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B) ))(\partial t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\partial (\mathbf (E) ))(\partial t))\end(aligned)))
• Schrödinger-Gleichung. In der Quantenmechanik ist die Schrödinger-Gleichung die grundlegende Bewegungsgleichung, die die Bewegung von Teilchen entsprechend einer Änderung der Wellenfunktion beschreibt Ψ = Ψ (r , t) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r) ),t)) mit der Zeit. Die Bewegungsgleichung wird durch das Verhalten beschrieben Hamiltonianer H^(\displaystyle (\hat (H))) - Operator, die die Energie des Systems beschreibt. Eines der bekanntesten Beispiele der Schrödinger-Gleichung in der Physik ist die Gleichung für ein einzelnes nichtrelativistisches Teilchen, das dem Potential unterliegt V (r , t) (\displaystyle V((\mathbf (r) ),t)). Viele Systeme werden durch die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung beschrieben, und auf der linken Seite der Gleichung steht sie E Ψ , (\displaystyle E\Psi ,) Wo E (\displaystyle E)- Teilchenenergie. In den folgenden Ausdrücken ℏ (\displaystyle \hbar )- reduzierte Planck-Konstante.
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=(\hat (H))\Psi )
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=\left(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\right)\Psi )
• Wellengleichung. Wellen sind aus Physik und Technik nicht mehr wegzudenken, sie sind in allen Arten von Systemen vorhanden. Im Allgemeinen werden Wellen durch die folgende Gleichung beschrieben: u = u (r , t) (\displaystyle u=u((\mathbf (r) ),t)) ist die gewünschte Funktion und c (\displaystyle c)- experimentell ermittelte Konstante. d'Alembert entdeckte als erster, dass die Lösung der Wellengleichung für den eindimensionalen Fall lautet beliebig Funktion mit Argument x − c t (\displaystyle x-ct), die eine Welle beliebiger Form beschreibt, die sich nach rechts ausbreitet. Die allgemeine Lösung für den eindimensionalen Fall ist eine Linearkombination dieser Funktion mit einer zweiten Funktion mit Argument x + c t (\displaystyle x+ct), was eine Welle beschreibt, die sich nach links ausbreitet. Diese Lösung wird in der zweiten Zeile vorgestellt.
  • ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)u)(\partial t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
  • u (x , t) = f (x − c t) + g (x + c t) (\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
• Navier-Stokes-Gleichungen. Die Navier-Stokes-Gleichungen beschreiben die Bewegung von Flüssigkeiten. Da Flüssigkeiten in praktisch allen Bereichen der Wissenschaft und Technologie vorkommen, sind diese Gleichungen äußerst wichtig für die Vorhersage des Wetters, die Konstruktion von Flugzeugen, die Untersuchung von Meeresströmungen und die Lösung vieler anderer angewandter Probleme. Die Navier-Stokes-Gleichungen sind nichtlineare partielle Differentialgleichungen und in den meisten Fällen sehr schwer zu lösen, da die Nichtlinearität zu Turbulenzen führt und das Erhalten einer stabilen Lösung mit numerischen Methoden eine Aufteilung in sehr kleine Zellen erfordert, was erhebliche Rechenleistung erfordert. Für praktische Zwecke in der Hydrodynamik werden Methoden wie die zeitliche Mittelung zur Simulation turbulenter Strömungen eingesetzt. Noch grundlegendere Fragen wie die Existenz und Einzigartigkeit von Lösungen nichtlinearer partieller Differentialgleichungen stellen eine Herausforderung dar, und der Nachweis der Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen in drei Dimensionen gehört zu den mathematischen Problemen des Jahrtausends. Nachfolgend finden Sie die Gleichung für den inkompressiblen Flüssigkeitsfluss und die Kontinuitätsgleichung.
  • ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h , ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\displaystyle (\frac (\partial (\mathbf (u) ) )(\partial t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho )(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

• Viele Differentialgleichungen können mit den oben genannten Methoden einfach nicht gelöst werden, insbesondere nicht mit den im letzten Abschnitt erwähnten. Dies gilt, wenn die Gleichung variable Koeffizienten enthält und keine Cauchy-Euler-Gleichung ist, oder wenn die Gleichung nichtlinear ist, außer in einigen sehr seltenen Fällen. Allerdings können die oben genannten Methoden viele wichtige Differentialgleichungen lösen, die in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft häufig vorkommen.
• Im Gegensatz zur Differentiation, mit der Sie die Ableitung jeder Funktion ermitteln können, kann das Integral vieler Ausdrücke nicht in Elementarfunktionen ausgedrückt werden. Verschwenden Sie also keine Zeit damit, ein Integral zu berechnen, obwohl dies unmöglich ist. Schauen Sie sich die Tabelle der Integrale an. Wenn die Lösung einer Differentialgleichung nicht durch Elementarfunktionen ausgedrückt werden kann, kann sie manchmal in Integralform dargestellt werden, und in diesem Fall spielt es keine Rolle, ob dieses Integral analytisch berechnet werden kann.

Warnungen

• Aussehen Differentialgleichungen können irreführend sein. Im Folgenden finden Sie beispielsweise zwei Differentialgleichungen erster Ordnung. Die erste Gleichung lässt sich mit den in diesem Artikel beschriebenen Methoden leicht lösen. Auf den ersten Blick eine kleine Änderung y (\displaystyle y) An y 2 (\displaystyle y^(2)) in der zweiten Gleichung macht sie nichtlinear und wird sehr schwer zu lösen.
  • d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
  • d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))

Differentialgleichungen lösen. Vielen Dank an unsere Onlineservice Sie können Differentialgleichungen jeder Art und Komplexität lösen: inhomogen, homogen, nichtlinear, linear, erster, zweiter Ordnung, mit trennbaren oder nicht trennbaren Variablen usw. Eine Lösung von Differentialgleichungen erhalten Sie in analytischer Form mit detaillierte Beschreibung. Viele Menschen interessieren sich für die Frage: Warum ist es notwendig, Differentialgleichungen online zu lösen? Diese Art von Gleichung ist in der Mathematik und Physik weit verbreitet, wo es unmöglich sein wird, viele Probleme zu lösen, ohne die Differentialgleichung zu berechnen. Differentialgleichungen sind auch in den Wirtschaftswissenschaften, der Medizin, der Biologie, der Chemie und anderen Wissenschaften weit verbreitet. Das Online-Lösen einer solchen Gleichung vereinfacht Ihre Aufgaben erheblich und gibt Ihnen die Möglichkeit, den Stoff besser zu verstehen und sich selbst zu testen. Vorteile der Online-Lösung von Differentialgleichungen. Eine moderne mathematische Serviceseite ermöglicht Ihnen die Lösung von Differentialgleichungen online irgendwelche Schwierigkeiten. Wie Sie wissen, gibt es das große Menge Arten von Differentialgleichungen und jede von ihnen hat ihre eigenen Lösungsmethoden. Auf unserem Service können Sie online Lösungen für Differentialgleichungen jeglicher Ordnung und Art finden. Um eine Lösung zu erhalten, empfehlen wir Ihnen, die Ausgangsdaten einzugeben und auf die Schaltfläche „Lösung“ zu klicken. Fehler bei der Bedienung des Dienstes sind ausgeschlossen, sodass Sie zu 100 % sicher sein können, dass Sie die richtige Antwort erhalten haben. Lösen Sie Differentialgleichungen mit unserem Service. Differentialgleichungen online lösen. Standardmäßig ist in einer solchen Gleichung die Funktion y eine Funktion der x-Variablen. Sie können aber auch eine eigene Variablenbezeichnung angeben. Wenn Sie beispielsweise y(t) in einer Differentialgleichung angeben, ermittelt unser Dienst automatisch, dass y eine Funktion der Variablen t ist. Die Ordnung der gesamten Differentialgleichung hängt von der maximalen Ordnung der Ableitung der in der Gleichung vorhandenen Funktion ab. Das Lösen einer solchen Gleichung bedeutet, die gewünschte Funktion zu finden. Unser Service hilft Ihnen, Differentialgleichungen online zu lösen. Es erfordert von Ihrer Seite keinen großen Aufwand, die Gleichung zu lösen. Sie müssen lediglich die linke und rechte Seite Ihrer Gleichung in die erforderlichen Felder eingeben und auf die Schaltfläche „Lösung“ klicken. Bei der Eingabe muss die Ableitung einer Funktion durch einen Apostroph gekennzeichnet werden. In Sekundenschnelle erhalten Sie das fertige Produkt detaillierte Lösung Differentialgleichung. Unser Service ist absolut kostenlos. Differentialgleichungen mit separierbaren Variablen. Wenn in einer Differentialgleichung auf der linken Seite ein Ausdruck steht, der von y abhängt, und auf der rechten Seite ein Ausdruck, der von x abhängt, dann heißt eine solche Differentialgleichung mit separierbaren Variablen. Die linke Seite kann eine Ableitung von y enthalten; die Lösung für Differentialgleichungen dieser Art wird in Form einer Funktion von y vorliegen, ausgedrückt durch das Integral der rechten Seite der Gleichung. Liegt auf der linken Seite ein Differential der Funktion von y vor, so werden in diesem Fall beide Seiten der Gleichung integriert. Wenn die Variablen in einer Differentialgleichung nicht getrennt sind, müssen sie getrennt werden, um eine getrennte Differentialgleichung zu erhalten. Lineare Differentialgleichung. Eine Differentialgleichung, deren Funktion und alle ihre Ableitungen ersten Grades sind, heißt linear. Allgemeine Form der Gleichung: y’+a1(x)y=f(x). f(x) und a1(x) sind stetige Funktionen von x. Die Lösung derartiger Differentialgleichungen reduziert sich auf die Integration zweier Differentialgleichungen mit getrennten Variablen. Ordnung der Differentialgleichung. Eine Differentialgleichung kann erster, zweiter und n-ter Ordnung sein. Die Ordnung einer Differentialgleichung bestimmt die Ordnung der höchsten darin enthaltenen Ableitung. In unserem Service können Sie Differentialgleichungen lösen zuerst online, zweiter, dritter usw. Befehl. Die Lösung der Gleichung ist eine beliebige Funktion y=f(x). Wenn Sie sie in die Gleichung einsetzen, erhalten Sie eine Identität. Der Prozess, eine Lösung für eine Differentialgleichung zu finden, wird Integration genannt. Cauchy-Problem. Ist zusätzlich zur Differentialgleichung selbst die Anfangsbedingung y(x0)=y0 gegeben, so spricht man vom Cauchy-Problem. Die Indikatoren y0 und x0 werden zur Lösung der Gleichung addiert und der Wert einer beliebigen Konstante C bestimmt, und dann wird eine bestimmte Lösung der Gleichung bei diesem Wert von C bestimmt. Dies ist die Lösung des Cauchy-Problems. Das Cauchy-Problem wird auch als Problem mit Randbedingungen bezeichnet, was in der Physik und Mechanik sehr verbreitet ist. Sie haben auch die Möglichkeit, das Cauchy-Problem zu stellen, das heißt, aus allen möglichen Lösungen der Gleichung einen Quotienten auszuwählen, der die gegebenen Anfangsbedingungen erfüllt.

Entweder wurden sie bereits bezüglich der Ableitung gelöst, oder sie können bezüglich der Ableitung gelöst werden .

Allgemeine Lösung von Differentialgleichungen vom Typ auf dem Intervall X, die gegeben ist, kann gefunden werden, indem man das Integral beider Seiten dieser Gleichheit bildet.

Wir bekommen .

Wenn wir uns die Eigenschaften des unbestimmten Integrals ansehen, finden wir die gewünschte allgemeine Lösung:

y = F(x) + C,

Wo F(x)- eine der primitiven Funktionen f(x) zwischen X, A MIT- Willkürliche Konstante.

Bitte beachten Sie, dass bei den meisten Problemen das Intervall X nicht angeben. Das bedeutet, dass für alle eine Lösung gefunden werden muss. X, wofür und die gewünschte Funktion j und die ursprüngliche Gleichung machen Sinn.

Wenn Sie eine bestimmte Lösung einer Differentialgleichung berechnen müssen, die die Anfangsbedingung erfüllt y(x 0) = y 0, dann nach der Berechnung des allgemeinen Integrals y = F(x) + C, ist es noch notwendig, den Wert der Konstante zu bestimmen C = C 0, unter Verwendung der Anfangsbedingung. Das heißt, eine Konstante C = C 0 aus der Gleichung ermittelt F(x 0) + C = y 0, und die gewünschte Teillösung der Differentialgleichung wird die Form annehmen:

y = F(x) + C 0.

Schauen wir uns ein Beispiel an:

Lassen Sie uns eine allgemeine Lösung der Differentialgleichung finden und die Richtigkeit des Ergebnisses überprüfen. Lassen Sie uns eine bestimmte Lösung für diese Gleichung finden, die die Anfangsbedingung erfüllen würde.

Lösung:

Nachdem wir die gegebene Differentialgleichung integriert haben, erhalten wir:

.

Nehmen wir dieses Integral mit der Methode der partiellen Integration:

Das., ist eine allgemeine Lösung der Differentialgleichung.

Um sicherzustellen, dass das Ergebnis korrekt ist, führen wir eine Überprüfung durch. Dazu setzen wir die gefundene Lösung in die gegebene Gleichung ein:

.

Das ist wenn aus der ursprünglichen Gleichung wird eine Identität:

Daher wurde die allgemeine Lösung der Differentialgleichung korrekt bestimmt.

Die von uns gefundene Lösung ist eine allgemeine Lösung der Differentialgleichung für jeden reellen Wert des Arguments X.

Es bleibt noch eine bestimmte Lösung der ODE zu berechnen, die die Anfangsbedingung erfüllen würde. Mit anderen Worten: Es ist notwendig, den Wert der Konstante zu berechnen MIT, bei dem die Gleichheit wahr sein wird:

.

.

Dann ersetzen C = 2 In die allgemeine Lösung der ODE erhalten wir eine bestimmte Lösung der Differentialgleichung, die die Anfangsbedingung erfüllt:

.

Gewöhnliche Differentialgleichung kann nach der Ableitung gelöst werden, indem man die beiden Seiten der Gleichung durch dividiert f(x). Diese Transformation ist äquivalent, wenn f(x) geht unter keinen Umständen auf Null X aus dem Integrationsintervall der Differentialgleichung X.

Es gibt wahrscheinliche Situationen, in denen für einige Werte das Argument gilt X ∈ X Funktionen f(x) Und g(x) werden gleichzeitig Null. Für ähnliche Werte X Die allgemeine Lösung einer Differentialgleichung ist eine beliebige Funktion j, was in ihnen definiert ist, weil .

Wenn für einige Argumentwerte X ∈ X die Bedingung ist erfüllt, was bedeutet, dass die ODE in diesem Fall keine Lösungen hat.

Für alle anderen X aus dem Intervall X Aus der transformierten Gleichung wird die allgemeine Lösung der Differentialgleichung ermittelt.

Schauen wir uns Beispiele an:

Beispiel 1.

Lassen Sie uns eine allgemeine Lösung für die ODE finden: .

Lösung.

Aus den Eigenschaften der grundlegenden Elementarfunktionen geht hervor, dass die natürliche Logarithmusfunktion für nichtnegative Werte des Arguments definiert ist, daher der Definitionsbereich des Ausdrucks ln(x+3) es gibt ein Intervall X > -3 . Dies bedeutet, dass die gegebene Differentialgleichung sinnvoll ist X > -3 . Für diese Argumentwerte ist der Ausdruck x+3 verschwindet nicht, daher können Sie die ODE für die Ableitung lösen, indem Sie die beiden Teile durch dividieren x + 3.

Wir bekommen .

Als nächstes integrieren wir die resultierende Differentialgleichung, gelöst nach der Ableitung: . Um dieses Integral zu bilden, verwenden wir die Methode, es unter dem Differentialzeichen zu subsumieren.

Differentialgleichungen erster Ordnung. Beispiele für Lösungen.
Differentialgleichungen mit separierbaren Variablen

Differentialgleichungen (DE). Diese beiden Wörter erschrecken normalerweise den Durchschnittsmenschen. Differentialgleichungen scheinen für viele Studierende unerschwinglich und schwer zu beherrschen zu sein. Uuuuuu... Differentialgleichungen, wie kann ich das alles überleben?!

Diese Meinung und diese Einstellung ist grundsätzlich falsch, denn tatsächlich DIFFERENZGLEICHUNGEN – ES IST EINFACH UND SOGAR SPASS. Was müssen Sie wissen und können, um das Lösen von Differentialgleichungen zu lernen? Um Diffuses erfolgreich zu studieren, müssen Sie gut integrieren und differenzieren können. Je besser die Themen studiert werden Ableitung einer Funktion einer Variablen Und Unbestimmtes Integral, desto einfacher wird es, Differentialgleichungen zu verstehen. Ich sage noch mehr: Wenn Sie über mehr oder weniger gute Integrationsfähigkeiten verfügen, ist das Thema fast gemeistert! Je mehr Integrale verschiedene Arten Sie wissen, wie man sich entscheidet – umso besser. Warum? Man muss viel integrieren. Und differenzieren. Auch sehr empfehlenswert lernen zu finden.

In 95 % der Fälle Tests Es gibt 3 Arten von Differentialgleichungen erster Ordnung: trennbare Gleichungen was wir uns in dieser Lektion ansehen werden; homogene Gleichungen Und lineare inhomogene Gleichungen. Für diejenigen, die anfangen, Diffusoren zu studieren, empfehle ich Ihnen, die Lektionen genau in dieser Reihenfolge zu lesen, und nach dem Studium der ersten beiden Artikel wird es nicht schaden, Ihre Fähigkeiten in einem zusätzlichen Workshop zu festigen – Gleichungen reduzieren sich auf homogen.

Es gibt noch seltenere Arten von Differentialgleichungen: totale Differentialgleichungen, Bernoulli-Gleichungen und einige andere. Der wichtigste der letzten beiden Typen sind Gleichungen in totalen Differentialgleichungen, da ich zusätzlich zu dieser Differentialgleichung neues Material betrachte - Teilintegration.

Wenn Sie nur noch ein oder zwei Tage Zeit haben, Das für ultraschnelle Zubereitung Es gibt Blitzkurs im PDF-Format.

Die Weichen sind also gestellt – los geht’s:

Erinnern wir uns zunächst an die üblichen algebraischen Gleichungen. Sie enthalten Variablen und Zahlen. Das einfachste Beispiel: . Was bedeutet es, eine gewöhnliche Gleichung zu lösen? Das bedeutet Finden Reihe von Zahlen, die diese Gleichung erfüllen. Es ist leicht zu erkennen, dass die Kindergleichung eine einzige Wurzel hat: . Lassen Sie uns zum Spaß die gefundene Wurzel überprüfen und in unsere Gleichung einsetzen:

– Es liegt die richtige Gleichheit vor, was bedeutet, dass die Lösung richtig gefunden wurde.

Die Diffusoren sind ähnlich gestaltet!

Differentialgleichung erste Bestellung Im Algemeinen enthält:
1) unabhängige Variable;
2) abhängige Variable (Funktion);
3) die erste Ableitung der Funktion: .

In einigen Gleichungen erster Ordnung gibt es möglicherweise kein „x“ und/oder „y“, aber das ist nicht von Bedeutung – wichtig in den Kontrollraum gehen War erste Ableitung und hatte nicht Derivate höherer Ordnung – usw.

Was heißt ? Eine Differentialgleichung zu lösen bedeutet zu finden Menge aller Funktionen, die diese Gleichung erfüllen. Eine solche Menge von Funktionen hat oft die Form (– eine beliebige Konstante), die aufgerufen wird allgemeine Lösung der Differentialgleichung.

Beispiel 1

Differentialgleichung lösen

Volle Munition. Wo soll ich anfangen? Lösung?

Zunächst müssen Sie die Ableitung in einer etwas anderen Form umschreiben. Wir erinnern uns an die umständliche Bezeichnung, die vielen von Ihnen wahrscheinlich lächerlich und unnötig vorkam. Das ist es, was bei Diffusoren herrscht!

Schauen wir im zweiten Schritt, ob es möglich ist separate Variablen? Was bedeutet es, Variablen zu trennen? Grob gesagt, auf der linken Seite wir müssen gehen nur „Griechen“, A auf der rechten Seite organisieren nur „X“. Die Aufteilung der Variablen erfolgt durch „schulische“ Manipulationen: Herausnehmen aus Klammern, Übertragen von Begriffen von Teil zu Teil mit Vorzeichenwechsel, Übertragen von Faktoren von Teil zu Teil nach der Proportionsregel usw.

Differentiale und sind vollwertige Multiplikatoren und aktive Teilnehmer an Feindseligkeiten. Im betrachteten Beispiel lassen sich die Variablen leicht trennen, indem man die Faktoren nach der Proportionsregel verwürfelt:

Variablen werden getrennt. Auf der linken Seite gibt es nur „Y’s“, auf der rechten Seite nur „X’s“.

Nächste Stufe – Integration der Differentialgleichung. Es ist ganz einfach, wir setzen auf beiden Seiten Integrale:

Natürlich müssen wir Integrale nehmen. In diesem Fall sind sie tabellarisch:

Wie wir uns erinnern, wird jeder Stammfunktion eine Konstante zugewiesen. Hier gibt es zwei Integrale, aber es reicht aus, die Konstante einmal zu schreiben (da Konstante + Konstante immer noch gleich einer anderen Konstante ist). In den meisten Fällen wird es auf der rechten Seite platziert.

Streng genommen gilt die Differentialgleichung nach der Bildung der Integrale als gelöst. Das Einzige ist, dass unser „y“ nicht durch „x“ ausgedrückt wird, das heißt, die Lösung wird präsentiert implizit bilden. Die Lösung einer Differentialgleichung in impliziter Form heißt allgemeines Integral der Differentialgleichung. Das heißt, das ist allgemeines Integral.

Die Antwort in dieser Form ist durchaus akzeptabel, aber gibt es eine bessere Option? Versuchen wir es zu bekommen gemeinsame Entscheidung.

Bitte, Erinnern Sie sich an die erste Technik, es ist sehr verbreitet und wird oft in praktischen Aufgaben verwendet: Wenn nach der Integration auf der rechten Seite ein Logarithmus erscheint, dann empfiehlt es sich in vielen Fällen (aber nicht immer!) auch, die Konstante unter den Logarithmus zu schreiben.

Also, ANSTATT Einträge werden in der Regel geschrieben .

Warum ist das notwendig? Und um es einfacher zu machen, „Spiel“ auszudrücken. Nutzung der Eigenschaft von Logarithmen . In diesem Fall:

Jetzt können Logarithmen und Module entfernt werden:

Die Funktion wird explizit dargestellt. Dies ist die allgemeine Lösung.

Antwort: gemeinsame Entscheidung: .

Die Antworten auf viele Differentialgleichungen sind relativ einfach zu überprüfen. In unserem Fall geht das ganz einfach, wir nehmen die gefundene Lösung und differenzieren sie:

Dann setzen wir die Ableitung in die ursprüngliche Gleichung ein:

– Die korrekte Gleichheit wird erhalten, was bedeutet, dass die allgemeine Lösung die Gleichung erfüllt, was überprüft werden musste.

Eine Konstante geben unterschiedliche Bedeutungen, man kann unendlich viele bekommen private Lösungen Differentialgleichung. Es ist klar, dass alle Funktionen , usw. erfüllt die Differentialgleichung.

Manchmal wird die allgemeine Lösung aufgerufen Familie von Funktionen. In diesem Beispiel die allgemeine Lösung - Das ist eine Familie lineare Funktionen, oder besser gesagt, eine Familie der direkten Proportionalität.

Nach einer gründlichen Durchsicht des ersten Beispiels ist es angebracht, einige naive Fragen zu Differentialgleichungen zu beantworten:

1)In diesem Beispiel konnten wir die Variablen trennen. Kann das immer gemacht werden? Nein nicht immer. Und noch häufiger können Variablen nicht getrennt werden. Zum Beispiel in homogene Gleichungen erster Ordnung, müssen Sie es zuerst ersetzen. Bei anderen Arten von Gleichungen, beispielsweise bei einer linearen inhomogenen Gleichung erster Ordnung, müssen Sie verschiedene Techniken und Methoden verwenden, um eine allgemeine Lösung zu finden. Gleichungen mit separierbaren Variablen, die wir in der ersten Lektion betrachten, sind die einfachste Art von Differentialgleichungen.

2) Ist es immer möglich, eine Differentialgleichung zu integrieren? Nein nicht immer. Es ist sehr einfach, eine „ausgefallene“ Gleichung aufzustellen, die nicht integriert werden kann; außerdem gibt es Integrale, die nicht genommen werden können. Solche DEs können jedoch mit speziellen Methoden näherungsweise gelöst werden. D’Alembert und Cauchy garantieren... ...ugh, lurkmore.um gerade viel zu lesen, hätte ich fast „aus der anderen Welt“ hinzugefügt.

3) In diesem Beispiel haben wir eine Lösung in Form eines allgemeinen Integrals erhalten . Ist es immer möglich, aus einem allgemeinen Integral eine allgemeine Lösung zu finden, also das „y“ explizit auszudrücken? Nein nicht immer. Zum Beispiel: . Wie kann man hier „Griechisch“ ausdrücken?! In solchen Fällen sollte die Antwort als allgemeines Integral geschrieben werden. Darüber hinaus ist es manchmal möglich, eine allgemeine Lösung zu finden, diese ist jedoch so umständlich und ungeschickt geschrieben, dass es besser ist, die Antwort in Form eines allgemeinen Integrals zu belassen

4) ...vielleicht reicht das für den Moment. Im ersten Beispiel sind wir darauf gestoßen noch eins wichtiger Punkt , aber um die „Dummies“ nicht mit einer Lawine neuer Informationen zu überschütten, belasse ich es bis zur nächsten Lektion.

Wir werden uns nicht beeilen. Eine weitere einfache Fernbedienung und eine weitere typische Lösung:

Beispiel 2

Finden Sie eine bestimmte Lösung der Differentialgleichung, die die Anfangsbedingung erfüllt

Lösung: Je nach Zustand müssen Sie finden private Lösung DE, das eine gegebene Anfangsbedingung erfüllt. Diese Formulierung der Frage wird auch genannt Cauchy-Problem.

Zuerst finden wir eine allgemeine Lösung. Es gibt keine „x“-Variable in der Gleichung, aber das sollte nicht verwirren, Hauptsache, sie hat die erste Ableitung.

Wir schreiben die Ableitung in die erforderliche Form um:

Offensichtlich können die Variablen getrennt werden, Jungen auf der linken Seite, Mädchen auf der rechten Seite:

Integrieren wir die Gleichung:

Man erhält das allgemeine Integral. Hier habe ich eine Konstante mit einem Sternchen gezeichnet, Tatsache ist, dass sie sich sehr bald in eine andere Konstante verwandeln wird.

Jetzt versuchen wir, das allgemeine Integral in eine allgemeine Lösung umzuwandeln (drücken Sie das „y“ explizit aus). Erinnern wir uns an die guten alten Dinge aus der Schule: . In diesem Fall:

Die Konstante im Indikator sieht irgendwie unkoscher aus, daher wird sie normalerweise auf den Boden der Tatsachen zurückgeführt. Im Detail passiert es so. Unter Verwendung der Eigenschaft der Potenzen schreiben wir die Funktion um auf die folgende Weise:

Wenn es eine Konstante ist, dann gibt es auch eine Konstante. Bezeichnen wir sie mit dem Buchstaben:

Denken Sie daran, dass das „Abreißen“ einer Konstante bedeutet zweite Technik, das häufig beim Lösen von Differentialgleichungen verwendet wird.

Die allgemeine Lösung lautet also: . Dies ist eine schöne Familie von Exponentialfunktionen.

Im letzten Schritt müssen Sie eine bestimmte Lösung finden, die die gegebene Ausgangsbedingung erfüllt. Auch das ist einfach.

Was ist die Aufgabe? Muss abgeholt werden solch den Wert der Konstante, sodass die Bedingung erfüllt ist.

Es kann auf unterschiedliche Weise formatiert werden, aber dies ist wahrscheinlich die übersichtlichste Methode. In der allgemeinen Lösung ersetzen wir anstelle des „X“ eine Null und anstelle des „Y“ eine Zwei:



Also,

Standard Version Design:

Nun setzen wir den gefundenen Wert der Konstante in die allgemeine Lösung ein:
– Das ist genau die Lösung, die wir brauchen.

Antwort: private Lösung:

Lass uns das Prüfen. Die Prüfung einer privaten Lösung umfasst zwei Phasen:

Zunächst muss geprüft werden, ob die jeweils gefundene Lösung die Ausgangsbedingung wirklich erfüllt? Anstelle des „X“ ersetzen wir eine Null und schauen, was passiert:
- Ja, tatsächlich wurde eine Zwei erhalten, was bedeutet, dass die Anfangsbedingung erfüllt ist.

Die zweite Stufe ist bereits bekannt. Wir nehmen die resultierende spezielle Lösung und finden die Ableitung:

Wir setzen in die ursprüngliche Gleichung ein:

– die richtige Gleichheit erreicht wird.

Fazit: Die jeweilige Lösung wurde richtig gefunden.

Kommen wir zu aussagekräftigeren Beispielen.

Beispiel 3

Differentialgleichung lösen

Lösung: Wir schreiben die Ableitung in der Form um, die wir brauchen:

Wir bewerten, ob es möglich ist, die Variablen zu trennen? Dürfen. Wir verschieben den zweiten Term mit einem Vorzeichenwechsel auf die rechte Seite:

Und wir übertragen die Multiplikatoren nach der Proportionsregel:

Die Variablen sind getrennt, integrieren wir beide Teile:

Ich muss Sie warnen, der Tag des Jüngsten Gerichts naht. Wenn Sie nicht gut gelernt haben unbestimmte Integrale Wenn Sie einige Beispiele gelöst haben, können Sie nirgendwo hingehen – Sie müssen sie jetzt beherrschen.

Das Integral der linken Seite ist leicht zu finden; wir behandeln das Integral des Kotangens mit der Standardtechnik, die wir in der Lektion betrachtet haben Integration trigonometrischer Funktionen letztes Jahr:

Auf der rechten Seite haben wir einen Logarithmus, und laut meiner ersten technischen Empfehlung sollte die Konstante auch unter den Logarithmus geschrieben werden.

Jetzt versuchen wir, das allgemeine Integral zu vereinfachen. Da wir nur Logarithmen haben, ist es durchaus möglich (und notwendig), sie loszuwerden. Mit Hilfe bekannte Eigenschaften Wir „packen“ die Logarithmen so weit wie möglich. Ich schreibe es ganz ausführlich auf:

Die Verpackung ist barbarisch zerfetzt:

Kann man „Spiel“ ausdrücken? Dürfen. Es ist notwendig, beide Teile auszurichten.

Aber Sie müssen das nicht tun.

Dritter technischer Tipp: Wenn es zur Erlangung einer allgemeinen Lösung notwendig ist, zur Macht aufzusteigen oder Wurzeln zu schlagen, dann in den meisten Fällen Sie sollten diese Aktionen unterlassen und die Antwort in Form eines allgemeinen Integrals belassen. Tatsache ist, dass die allgemeine Lösung einfach schrecklich aussehen wird – mit großen Wurzeln, Schildern und anderem Müll.

Daher schreiben wir die Antwort in Form eines allgemeinen Integrals. Es wird als gute Praxis angesehen, es in der Form darzustellen, das heißt, auf der rechten Seite, wenn möglich, nur eine Konstante zu belassen. Es ist nicht notwendig, dies zu tun, aber es ist immer von Vorteil, dem Professor eine Freude zu machen ;-)

Antwort: allgemeines Integral:

! Notiz: Das allgemeine Integral einer Gleichung kann auf mehr als eine Weise geschrieben werden. Wenn also Ihr Ergebnis nicht mit der zuvor bekannten Antwort übereinstimmt, bedeutet das nicht, dass Sie die Gleichung falsch gelöst haben.

Das allgemeine Integral ist auch recht einfach zu überprüfen, die Hauptsache ist, es finden zu können Ableitung einer implizit angegebenen Funktion. Differenzieren wir die Antwort:

Wir multiplizieren beide Terme mit:

Und dividiere durch:

Die ursprüngliche Differentialgleichung wurde exakt erhalten, was bedeutet, dass das allgemeine Integral korrekt gefunden wurde.

Beispiel 4

Finden Sie eine bestimmte Lösung der Differentialgleichung, die die Anfangsbedingung erfüllt. Prüfung durchführen.

Dies ist ein Beispiel dafür unabhängige Entscheidung.

Ich möchte Sie daran erinnern, dass der Algorithmus aus zwei Phasen besteht:
1) eine allgemeine Lösung finden;
2) Finden der erforderlichen Einzellösung.

Die Prüfung erfolgt ebenfalls in zwei Schritten (siehe Beispiel in Beispiel Nr. 2), Sie müssen:
1) Stellen Sie sicher, dass die jeweilige gefundene Lösung die Anfangsbedingung erfüllt;
2) Überprüfen Sie, ob eine bestimmte Lösung im Allgemeinen die Differentialgleichung erfüllt.

Komplette Lösung und die Antwort am Ende der Lektion.

Beispiel 5

Finden Sie eine bestimmte Lösung der Differentialgleichung , die die Anfangsbedingung erfüllt. Prüfung durchführen.

Lösung: Finden wir zunächst eine allgemeine Lösung. Diese Gleichung enthält bereits vorgefertigte Differentiale und daher ist die Lösung vereinfacht. Wir trennen die Variablen:

Integrieren wir die Gleichung:

Das Integral links ist tabellarisch, das Integral rechts wird genommen Methode, eine Funktion unter dem Differentialzeichen zu subsumieren:

Das allgemeine Integral wurde erhalten. Ist es möglich, die allgemeine Lösung erfolgreich auszudrücken? Dürfen. Wir hängen auf beiden Seiten Logarithmen auf. Da sie positiv sind, sind die Vorzeichen des Moduls nicht erforderlich:

(Ich hoffe, jeder versteht die Transformation, solche Dinge sollten bereits bekannt sein)

Die allgemeine Lösung lautet also:

Finden wir eine bestimmte Lösung, die der gegebenen Anfangsbedingung entspricht.
In der allgemeinen Lösung ersetzen wir anstelle von „X“ Null und anstelle von „Y“ den Logarithmus von zwei:

Bekannteres Design:

Wir setzen den gefundenen Wert der Konstante in die allgemeine Lösung ein.

Antwort: private Lösung:

Prüfen: Zunächst prüfen wir, ob die Anfangsbedingung erfüllt ist:
- Alles ist gut.

Prüfen wir nun, ob die gefundene spezielle Lösung die Differentialgleichung überhaupt erfüllt. Finden der Ableitung:

Schauen wir uns die ursprüngliche Gleichung an: – es wird in Differentialen dargestellt. Es gibt zwei Möglichkeiten, dies zu überprüfen. Es ist möglich, das Differential aus der gefundenen Ableitung auszudrücken:

Setzen wir die gefundene Sonderlösung und das resultierende Differential in die ursprüngliche Gleichung ein :

Wir verwenden die grundlegende logarithmische Identität:

Man erhält die richtige Gleichheit, was bedeutet, dass die jeweilige Lösung richtig gefunden wurde.

Die zweite Methode zur Überprüfung ist gespiegelt und bekannter: aus der Gleichung Lassen Sie uns die Ableitung ausdrücken. Dazu dividieren wir alle Teile durch:

Und in das transformierte DE ersetzen wir die erhaltene Teillösung und die gefundene Ableitung. Durch Vereinfachungen soll auch die richtige Gleichheit erreicht werden.

Beispiel 6

Differentialgleichung lösen. Präsentieren Sie die Antwort in Form eines allgemeinen Integrals.

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können, eine vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Welche Schwierigkeiten lauern beim Lösen von Differentialgleichungen mit separierbaren Variablen?

1) Es ist nicht immer offensichtlich (insbesondere bei einer „Teekanne“), dass Variablen getrennt werden können. Betrachten wir ein bedingtes Beispiel: . Hier müssen Sie die Faktoren aus Klammern herausnehmen: und die Wurzeln trennen: . Es ist klar, was als nächstes zu tun ist.

2) Schwierigkeiten bei der Integration selbst. Integrale sind oft nicht die einfachsten, und es gibt Mängel in den Findungskompetenzen unbestimmtes Integral, dann wird es bei vielen Diffusoren schwierig. Darüber hinaus ist die Logik „Da die Differentialgleichung einfach ist, sollten die Integrale zumindest komplizierter sein“ bei Verfassern von Sammlungen und Schulungshandbüchern beliebt.

3) Transformationen mit einer Konstante. Wie jeder bemerkt hat, lässt sich die Konstante in Differentialgleichungen recht frei handhaben und einige Transformationen sind für einen Anfänger nicht immer klar. Schauen wir uns ein weiteres bedingtes Beispiel an: . Es empfiehlt sich, alle Terme mit 2 zu multiplizieren: . Die resultierende Konstante ist ebenfalls eine Art Konstante, die wie folgt bezeichnet werden kann: . Ja, und da auf der rechten Seite ein Logarithmus steht, empfiehlt es sich, die Konstante in Form einer anderen Konstante umzuschreiben: .

Das Problem ist, dass sie sich oft nicht um Indizes kümmern und denselben Buchstaben verwenden. Als Ergebnis hat der Entscheidungsdatensatz die folgende Form:

Was für eine Ketzerei? Da sind Fehler drin! Streng genommen ja. Aus inhaltlicher Sicht liegen jedoch keine Fehler vor, da durch die Transformation einer Variablenkonstante immer noch eine Variablenkonstante erhalten wird.

Oder ein anderes Beispiel: Nehmen wir an, dass im Zuge der Lösung der Gleichung ein allgemeines Integral erhalten wird. Diese Antwort sieht hässlich aus, daher ist es ratsam, das Vorzeichen jedes Begriffs zu ändern: . Formal liegt hier ein weiterer Fehler vor – er sollte rechts geschrieben werden. Aber informell wird impliziert, dass „minus ce“ immer noch eine Konstante ist ( was genauso gut jede Bedeutung annehmen kann!) Daher macht es keinen Sinn, ein „Minus“ zu setzen, und Sie können denselben Buchstaben verwenden.

Ich werde versuchen, eine nachlässige Vorgehensweise zu vermeiden und den Konstanten bei der Konvertierung dennoch unterschiedliche Indizes zuzuweisen.

Beispiel 7

Differentialgleichung lösen. Prüfung durchführen.

Lösung: Diese Gleichung ermöglicht die Trennung von Variablen. Wir trennen die Variablen:

Integrieren wir:

Es ist nicht notwendig, die Konstante hier als Logarithmus zu definieren, da dabei nichts Nützliches herauskommt.

Antwort: allgemeines Integral:

Prüfen: Differenzieren Sie die Antwort (implizite Funktion):

Wir entfernen Brüche, indem wir beide Terme multiplizieren mit:

Die ursprüngliche Differentialgleichung wurde erhalten, was bedeutet, dass das allgemeine Integral korrekt gefunden wurde.

Beispiel 8

Finden Sie eine bestimmte Lösung des DE.
,

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Der einzige Hinweis ist, dass Sie hier ein allgemeines Integral erhalten, und genauer gesagt, Sie müssen es schaffen, nicht eine bestimmte Lösung zu finden, sondern Teilintegral. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.