In den „alten“ Lehrbüchern wird sie auch „Kettenregel“ genannt. Also wenn y = f (u) und u = φ (x), also

y = f (φ (x))

komplex - zusammengesetzte Funktion (Zusammensetzung von Funktionen) dann

Wo , nach der Berechnung wird berücksichtigt bei u = φ(x).

Beachten Sie, dass wir hier „unterschiedliche“ Zusammensetzungen aus denselben Funktionen genommen haben und das Ergebnis der Differenzierung natürlich von der Reihenfolge der „Mischung“ abhängt.

Die Kettenregel erstreckt sich natürlich auch auf Zusammensetzungen aus drei oder mehr Funktionen. In diesem Fall gibt es drei oder mehr „Glieder“ in der „Kette“, aus der das Derivat besteht. Hier ist eine Analogie zur Multiplikation: „Wir haben“ eine Ableitungstabelle; „dort“ – Einmaleins; „bei uns“ ist die Kettenregel und „dort“ ist die „Spalten“-Multiplikationsregel. Bei der Berechnung solcher „komplexen“ Ableitungen werden natürlich keine Hilfsargumente (u¸v usw.) eingeführt, aber nachdem man sich die Anzahl und Reihenfolge der an der Zusammensetzung beteiligten Funktionen notiert hat, werden die entsprechenden Verknüpfungen „aneinandergereiht“. in der angegebenen Reihenfolge.

. Hier werden mit „x“, um den Wert von „y“ zu erhalten, fünf Operationen ausgeführt, d. dann in umgekehrter Reihenfolge, Leistung. (♦) 2 ; trigonometrische Sünde(); sedieren. () 3 und schließlich logarithmisches ln.(). Deshalb

Mit den folgenden Beispielen schlagen wir „zwei Fliegen mit einer Klappe“: Wir üben das Differenzieren komplexer Funktionen und das Addieren in die Ableitungstabelle elementare Funktionen. Also:

4. Für Power-Funktion- y = x α – Umschreiben unter Verwendung der bekannten „grundlegenden logarithmischen Identität“ – b=e ln b – in der Form x α = x α ln x erhalten wir

5. Kostenlos Exponentialfunktion mit der gleichen Technik, die wir haben werden

6. Für eine beliebige logarithmische Funktion erhalten wir unter Verwendung der bekannten Formel für den Übergang zu einer neuen Basis konsistent

.

7. Um den Tangens (Kotangens) zu differenzieren, verwenden wir die Regel zur Differenzierung von Quotienten:

Um die Ableitungen inverser trigonometrischer Funktionen zu erhalten, verwenden wir die Beziehung, die durch die Ableitungen zweier zueinander inverser Funktionen erfüllt wird, d. h. die Funktionen φ (x) und f (x), die durch die Beziehungen verbunden sind:

Das ist das Verhältnis

Daraus ergibt sich die Formel für zueinander inverse Funktionen

Und
,

Lassen Sie uns abschließend diese und einige andere Ableitungen, die ebenfalls leicht zu erhalten sind, in der folgenden Tabelle zusammenfassen.

Wenn G(X) Und F(u) – differenzierbare Funktionen ihrer Argumente bzw. an Punkten X Und u= G(X), dann ist die komplexe Funktion im Punkt auch differenzierbar X und wird durch die Formel gefunden

Ein typischer Fehler bei der Lösung von Ableitungsproblemen besteht darin, die Regeln zur Differenzierung einfacher Funktionen mechanisch auf komplexe Funktionen zu übertragen. Lernen wir, diesen Fehler zu vermeiden.

Beispiel 2. Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Falsche Lösung: Berechnen Sie den natürlichen Logarithmus jedes Termes in Klammern und suchen Sie nach der Summe der Ableitungen:

Richtige Lösung: Auch hier bestimmen wir, wo der „Apfel“ und wo das „Hackfleisch“ ist. Hier ist der natürliche Logarithmus des Klammerausdrucks ein „Apfel“, also eine Funktion über dem Zwischenargument u, und der Ausdruck in Klammern ist „Hackfleisch“, also ein Zwischenargument u durch unabhängige Variable X.

Dann (unter Verwendung der Formel 14 aus der Ableitungstabelle)

Bei vielen realen Problemen kann der Ausdruck mit einem Logarithmus etwas komplizierter sein, weshalb es eine Lektion gibt

Beispiel 3. Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Falsche Lösung:

Richtige Lösung. Noch einmal bestimmen wir, wo der „Apfel“ und wo das „Hackfleisch“ ist. Hier ist der Kosinus des Ausdrucks in Klammern (Formel 7 in der Ableitungstabelle) ein „Apfel“, er wird im Modus 1 erstellt, der nur ihn betrifft, und der Ausdruck in Klammern (die Ableitung des Grades ist Zahl 3). (in der Tabelle der Derivate) „Hackfleisch“ ist, wird es im Modus 2 zubereitet, der nur dieses betrifft. Und wie immer verbinden wir zwei Ableitungen mit dem Produktzeichen. Ergebnis:

Die Ableitung einer komplexen logarithmischen Funktion ist eine häufige Aufgabe in Tests, daher empfehlen wir Ihnen dringend, die Lektion „Ableitung einer logarithmischen Funktion“ zu besuchen.

Die ersten Beispiele betrafen komplexe Funktionen, bei denen das Zwischenargument der unabhängigen Variablen eine einfache Funktion war. Aber in praktische Aufgaben Oft ist es notwendig, die Ableitung einer komplexen Funktion zu finden, wobei das Zwischenargument entweder selbst eine komplexe Funktion ist oder eine solche Funktion enthält. Was ist in solchen Fällen zu tun? Finden Sie Ableitungen solcher Funktionen mithilfe von Tabellen und Differenzierungsregeln. Wenn die Ableitung des Zwischenarguments gefunden ist, wird sie einfach an der richtigen Stelle in der Formel eingesetzt. Nachfolgend finden Sie zwei Beispiele, wie dies geschieht.

Darüber hinaus ist es hilfreich, Folgendes zu wissen. Wenn eine komplexe Funktion als Kette von drei Funktionen dargestellt werden kann

dann sollte seine Ableitung als Produkt der Ableitungen jeder dieser Funktionen gefunden werden:

Bei vielen Ihrer Hausaufgaben müssen Sie möglicherweise Ihre Leitfäden in neuen Fenstern öffnen. Taten mit Kraft und Wurzeln Und Operationen mit Brüchen .

Beispiel 4. Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Wir wenden die Differenzierungsregel einer komplexen Funktion an und vergessen nicht, dass es im resultierenden Produkt von Ableitungen ein Zwischenargument in Bezug auf die unabhängige Variable gibt Xändert sich nicht:

Wir bereiten den zweiten Faktor des Produkts vor und wenden die Regel zur Differenzierung der Summe an:

Der zweite Term ist also die Wurzel

So haben wir herausgefunden, dass das Zwischenargument, das eine Summe ist, eine komplexe Funktion als einen der Begriffe enthält: Potenzierung ist eine komplexe Funktion, und was potenziert wird, ist ein Zwischenargument in Bezug auf das Unabhängige Variable X.

Daher wenden wir erneut die Regel zum Differenzieren einer komplexen Funktion an:

Wir wandeln den Grad des ersten Faktors in eine Wurzel um und vergessen beim Differenzieren des zweiten Faktors nicht, dass die Ableitung der Konstante gleich Null ist:

Jetzt können wir die Ableitung des Zwischenarguments finden, das zur Berechnung der Ableitung einer komplexen Funktion benötigt wird, die in der Problemstellung erforderlich ist j:

Beispiel 5. Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Zunächst verwenden wir die Regel zum Differenzieren der Summe:

Wir haben die Summe der Ableitungen zweier komplexer Funktionen erhalten. Suchen wir den ersten:

Hier ist die Potenzierung des Sinus eine komplexe Funktion, und der Sinus selbst ist ein Zwischenargument für die unabhängige Variable X. Daher werden wir nebenbei die Differenzierungsregel einer komplexen Funktion verwenden den Faktor aus Klammern nehmen :

Jetzt finden wir den zweiten Term der Ableitungen der Funktion j:

Hier ist die Potenzierung des Kosinus eine komplexe Funktion F, und der Kosinus selbst ist ein Zwischenargument in der unabhängigen Variablen X. Nutzen wir noch einmal die Regel zur Differenzierung einer komplexen Funktion:

Das Ergebnis ist die erforderliche Ableitung:

Tabelle der Ableitungen einiger komplexer Funktionen

Bei komplexen Funktionen nimmt die Formel für die Ableitung einer einfachen Funktion basierend auf der Differenzierungsregel einer komplexen Funktion eine andere Form an.

1. Ableitung einer komplexen Potenzfunktion, wobei u X
2. Ableitung der Wurzel des Ausdrucks
3. Ableitung einer Exponentialfunktion
4. Sonderfall der Exponentialfunktion
5. Ableitung einer logarithmischen Funktion mit beliebiger positiver Basis A
6. Ableitung einer komplexen logarithmischen Funktion, wobei u– differenzierbare Funktion des Arguments X
7. Ableitung des Sinus
8. Ableitung des Kosinus
9. Ableitung der Tangente
10. Ableitung des Kotangens
11. Ableitung des Arkussinus
12. Ableitung des Arcuskosinus
13. Ableitung des Arkustangens
14. Ableitung des Arcuskotangens

Komplexe Derivate. Logarithmische Ableitung.
Ableitung einer Potenz-Exponentialfunktion

Wir verbessern weiterhin unsere Differenzierungstechnik. In dieser Lektion festigen wir den behandelten Stoff, schauen uns komplexere Ableitungen an und lernen auch neue Techniken und Tricks zum Finden einer Ableitung kennen, insbesondere mit der logarithmischen Ableitung.

Leser mit einem geringen Vorbereitungsniveau sollten sich den Artikel ansehen Wie findet man die Ableitung? Beispiele für Lösungen, wodurch Sie Ihre Fähigkeiten fast von Grund auf verbessern können. Als nächstes müssen Sie die Seite sorgfältig studieren Ableitung einer komplexen Funktion, verstehen und lösen Alle die Beispiele, die ich gegeben habe. Diese Lektion ist logischerweise die dritte in Folge, und nachdem Sie sie gemeistert haben, werden Sie ziemlich komplexe Funktionen sicher unterscheiden können. Es ist unerwünscht, die Position „Wo sonst?“ einzunehmen. Ja, das reicht!“, da alle Beispiele und Lösungen der Realität entnommen sind Tests und kommen in der Praxis häufig vor.

Beginnen wir mit der Wiederholung. Im Unterricht Ableitung einer komplexen Funktion Wir haben uns eine Reihe von Beispielen mit ausführlichen Kommentaren angesehen. Während des Studiums der Differentialrechnung und anderer Abschnitte mathematische Analyse– Sie müssen sehr oft differenzieren und es ist nicht immer bequem (und nicht immer notwendig), Beispiele ausführlich zu beschreiben. Deshalb werden wir das Finden von Derivaten mündlich üben. Die am besten geeigneten „Kandidaten“ dafür sind Ableitungen einfachster komplexer Funktionen, zum Beispiel:

Nach der Differenzierungsregel komplexer Funktionen :

Beim Studium anderer Matan-Themen in der Zukunft ist eine derart detaillierte Aufzeichnung meist nicht erforderlich; es wird davon ausgegangen, dass der Student weiß, wie man solche Ableitungen auf Autopilot findet. Stellen wir uns vor, dass es um 3 Uhr morgens eine gab Anruf, und eine angenehme Stimme fragte: „Was ist die Ableitung des Tangens zweier X?“ Darauf sollte eine fast augenblickliche und höfliche Antwort folgen: .

Das erste Beispiel wird sofort gedacht sein unabhängige Entscheidung.

Beispiel 1

Finden Sie die folgenden Ableitungen mündlich, in einer Aktion, zum Beispiel: . Um die Aufgabe abzuschließen, müssen Sie nur verwenden Tabelle der Ableitungen elementarer Funktionen(falls Sie sich noch nicht daran erinnert haben). Wenn Sie Schwierigkeiten haben, empfehle ich Ihnen, die Lektion noch einmal zu lesen Ableitung einer komplexen Funktion.

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Antworten am Ende der Lektion

Komplexe Derivate

Nach vorläufiger Artillerievorbereitung werden Beispiele mit 3-4-5 Funktionsverschachtelungen weniger gruselig sein. Die folgenden beiden Beispiele mögen für manche kompliziert erscheinen, aber wenn man sie versteht (jemand wird darunter leiden), dann ist fast alles andere drin Differentialrechnung Es wird wie ein Kinderwitz wirken.

Beispiel 2

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Wie bereits erwähnt, ist es beim Finden der Ableitung einer komplexen Funktion zunächst einmal notwendig Rechts VERSTEHEN Sie Ihre Investitionen. Im Zweifelsfall erinnere ich Sie an eine nützliche Technik: Wir nehmen zum Beispiel den experimentellen Wert von „x“ und versuchen (im Geiste oder in einem Entwurf), ihn zu ersetzen gegebener Wert in einen „schrecklichen Ausdruck“ verwandelt.

1) Zuerst müssen wir den Ausdruck berechnen, was bedeutet, dass die Summe die tiefste Einbettung ist.

2) Dann müssen Sie den Logarithmus berechnen:

4) Würfeln Sie dann den Kosinus:

5) Im fünften Schritt der Unterschied:

6) Und schließlich ist die äußerste Funktion die Quadratwurzel:

Formel zur Differenzierung einer komplexen Funktion werden in umgekehrter Reihenfolge angewendet, von der äußersten Funktion zur innersten. Wir entscheiden:

Es scheint keine Fehler zu geben...

(1) Bilden Sie die Ableitung der Quadratwurzel.

(2) Wir bilden die Ableitung der Differenz nach der Regel

(3) Die Ableitung eines Tripels ist Null. Im zweiten Term bilden wir die Ableitung des Grades (Würfel).

(4) Bilden Sie die Ableitung des Kosinus.

(5) Bilden Sie die Ableitung des Logarithmus.

(6) Und schließlich nehmen wir die Ableitung der tiefsten Einbettung.

Es mag zu schwierig erscheinen, aber dies ist nicht das brutalste Beispiel. Nehmen Sie zum Beispiel die Sammlung von Kuznetsov und Sie werden die ganze Schönheit und Einfachheit des analysierten Derivats zu schätzen wissen. Mir ist aufgefallen, dass sie in einer Prüfung gerne etwas Ähnliches geben, um zu überprüfen, ob ein Student versteht, wie man die Ableitung einer komplexen Funktion ermittelt, oder nicht.

Das folgende Beispiel können Sie selbst lösen.

Beispiel 3

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Hinweis: Zuerst wenden wir die Linearitätsregeln und die Produktdifferenzierungsregel an

Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Es ist Zeit, zu etwas Kleinerem und Schönerem überzugehen.
Es ist nicht ungewöhnlich, dass ein Beispiel nicht das Produkt von zwei, sondern von drei Funktionen zeigt. Wie finde ich die Ableitung des Produkts aus drei Faktoren?

Beispiel 4

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Schauen wir uns zunächst an: Ist es möglich, das Produkt von drei Funktionen in das Produkt von zwei Funktionen umzuwandeln? Wenn wir beispielsweise zwei Polynome im Produkt hätten, könnten wir die Klammern öffnen. Im betrachteten Beispiel sind jedoch alle Funktionen unterschiedlich: Grad, Exponent und Logarithmus.

In solchen Fällen ist es notwendig der Reihe nach Wenden Sie die Produktdifferenzierungsregel an zweimal

Der Trick besteht darin, dass wir mit „y“ das Produkt zweier Funktionen bezeichnen: und mit „ve“ den Logarithmus: . Warum ist das möglich? Ist das wirklich – Das ist kein Produkt zweier Faktoren und die Regel funktioniert nicht?! Es gibt nichts Kompliziertes:

Nun gilt es, die Regel ein zweites Mal anzuwenden einklammern:

Sie können sich auch verdrehen und etwas aus Klammern setzen, aber in diesem Fall ist es besser, die Antwort genau in dieser Form zu belassen, da dies einfacher zu überprüfen ist.

Das betrachtete Beispiel lässt sich auf die zweite Art lösen:

Beide Lösungen sind absolut gleichwertig.

Beispiel 5

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Dies ist ein Beispiel für eine unabhängige Lösung; im Beispiel wird sie mit der ersten Methode gelöst.

Schauen wir uns ähnliche Beispiele mit Brüchen an.

Beispiel 6

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Es gibt mehrere Möglichkeiten, hierher zu gelangen:

Oder so:

Die Lösung wird jedoch kompakter geschrieben, wenn wir zunächst die Differenzierungsregel des Quotienten verwenden , wobei für den gesamten Zähler gilt:

Im Prinzip ist das Beispiel gelöst, und wenn man es so belässt, ist es kein Fehler. Aber wenn Sie Zeit haben, ist es immer ratsam, anhand eines Entwurfs zu prüfen, ob die Antwort vereinfacht werden kann. Reduzieren wir den Ausdruck des Zählers auf einen gemeinsamen Nenner und Lassen Sie uns den dreistöckigen Bruchteil loswerden:

Der Nachteil zusätzlicher Vereinfachungen besteht darin, dass die Gefahr besteht, dass nicht bei der Ermittlung der Ableitung, sondern bei banalen Schultransformationen ein Fehler gemacht wird. Andererseits lehnen Lehrer die Aufgabe oft ab und bitten darum, die Ableitung „in Erinnerung zu rufen“.

Ein einfacheres Beispiel, das Sie selbst lösen können:

Beispiel 7

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Wir beherrschen weiterhin die Methoden zur Ermittlung der Ableitung und betrachten nun einen typischen Fall, in dem der „schreckliche“ Logarithmus zur Differenzierung vorgeschlagen wird

Beispiel 8

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Hier können Sie den langen Weg gehen und die Regel zum Differenzieren einer komplexen Funktion verwenden:

Aber der allererste Schritt stürzt einen sofort in Verzweiflung – man muss die unangenehme Ableitung von einer Bruchzahl und dann auch von einer Bruchzahl nehmen.

Deshalb Vor Wie man die Ableitung eines „ausgefeilten“ Logarithmus berechnet, wird zunächst anhand bekannter Schuleigenschaften vereinfacht:

! Wenn Sie ein Übungsheft zur Hand haben, kopieren Sie diese Formeln direkt dorthin. Wenn Sie kein Notizbuch haben, kopieren Sie sie auf ein Blatt Papier, da sich die restlichen Beispiele der Lektion um diese Formeln drehen werden.

Die Lösung selbst kann etwa so geschrieben werden:

Lassen Sie uns die Funktion transformieren:

Finden der Ableitung:

Die Vorkonvertierung der Funktion selbst hat die Lösung erheblich vereinfacht. Wenn also ein ähnlicher Logarithmus zur Differenzierung vorgeschlagen wird, empfiehlt es sich immer, ihn „aufzubrechen“.

Und nun ein paar einfache Beispiele, die Sie selbst lösen können:

Beispiel 9

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Beispiel 10

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Alle Transformationen und Antworten finden Sie am Ende der Lektion.

Logarithmische Ableitung

Wenn die Ableitung von Logarithmen so schöne Musik ist, dann stellt sich die Frage: Ist es in manchen Fällen möglich, den Logarithmus künstlich zu organisieren? Dürfen! Und sogar notwendig.

Beispiel 11

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Wir haben uns kürzlich ähnliche Beispiele angesehen. Was zu tun ist? Sie können nacheinander die Differenzierungsregel des Quotienten und dann die Differenzierungsregel des Produkts anwenden. Der Nachteil dieser Methode besteht darin, dass am Ende ein riesiger dreistöckiger Bruchteil entsteht, mit dem man sich überhaupt nicht befassen möchte.

Aber in Theorie und Praxis gibt es so etwas Wunderbares wie die logarithmische Ableitung. Logarithmen können künstlich organisiert werden, indem man sie auf beiden Seiten „aufhängt“:

Notiz : Weil Funktion akzeptieren kann negative Werte Dann müssen Sie im Allgemeinen Module verwenden: , die durch Differenzierung verschwinden wird. Allerdings ist auch das aktuelle Design akzeptabel, sofern es standardmäßig berücksichtigt wird Komplex Bedeutungen. Aber bei aller Strenge sollte in beiden Fällen ein Vorbehalt gemacht werden.

Jetzt müssen Sie den Logarithmus der rechten Seite so weit wie möglich „zerlegen“ (Formeln vor Ihren Augen?). Ich werde diesen Prozess im Detail beschreiben:

Beginnen wir mit der Differenzierung.
Wir schließen beide Teile unter der Primzahl ab:

Die Ableitung der rechten Seite ist recht einfach; ich werde sie nicht kommentieren, denn wenn Sie diesen Text lesen, sollten Sie damit sicher umgehen können.

Was ist mit der linken Seite?

Auf der linken Seite haben wir komplexe Funktion. Ich sehe die Frage voraus: „Warum steht unter dem Logarithmus ein Buchstabe „Y“?“

Tatsache ist, dass dieses „Ein-Buchstaben-Spiel“ – IST SELBST EINE FUNKTION(Wenn es nicht ganz klar ist, lesen Sie den Artikel Ableitung einer implizit angegebenen Funktion). Daher ist der Logarithmus eine externe Funktion, und das „y“ ist es interne Funktion. Und wir verwenden die Regel zum Differenzieren einer komplexen Funktion :

Auf der linken Seite, wie von Zauberhand Zauberstab wir haben eine Ableitung. Als nächstes übertragen wir gemäß der Proportionsregel das „y“ vom Nenner der linken Seite nach oben auf der rechten Seite:

Und nun erinnern wir uns, über welche Art von „Spieler“-Funktion wir bei der Differenzierung gesprochen haben? Schauen wir uns den Zustand an:

Endgültige Antwort:

Beispiel 12

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Ein Musterentwurf eines Beispiels dieser Art finden Sie am Ende der Lektion.

Mit der logarithmischen Ableitung konnte jedes der Beispiele Nr. 4-7 gelöst werden, außerdem sind die Funktionen dort einfacher und die Verwendung der logarithmischen Ableitung ist möglicherweise nicht sehr gerechtfertigt.

Ableitung einer Potenz-Exponentialfunktion

Wir haben diese Funktion noch nicht berücksichtigt. Eine Potenzexponentialfunktion ist eine Funktion für die Sowohl der Grad als auch die Basis hängen vom „x“ ab.. Ein klassisches Beispiel, das Ihnen in jedem Lehrbuch oder jeder Vorlesung gegeben wird:

Wie finde ich die Ableitung einer Potenz-Exponentialfunktion?

Es ist notwendig, die gerade besprochene Technik zu verwenden – die logarithmische Ableitung. Wir hängen auf beiden Seiten Logarithmen auf:

In der Regel wird auf der rechten Seite der Grad unter dem Logarithmus abgezogen:

Als Ergebnis erhalten wir auf der rechten Seite das Produkt zweier Funktionen, die wir nach der Standardformel differenzieren .

Wir finden die Ableitung; dazu schließen wir beide Teile mit Strichen ein:

Weitere Aktionen sind einfach:

Endlich:

Sollte eine Umrechnung nicht ganz klar sein, lesen Sie bitte die Erläuterungen zu Beispiel Nr. 11 noch einmal sorgfältig durch.

Bei praktischen Aufgaben wird die Potenz-Exponentialfunktion immer komplizierter sein als das betrachtete Vorlesungsbeispiel.

Beispiel 13

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Wir verwenden die logarithmische Ableitung.

Auf der rechten Seite haben wir eine Konstante und das Produkt zweier Faktoren – „x“ und „Logarithmus des Logarithmus x“ (ein weiterer Logarithmus ist unter dem Logarithmus verschachtelt). Wie wir uns erinnern, ist es beim Differenzieren besser, die Konstante sofort aus dem Ableitungszeichen zu verschieben, damit sie nicht im Weg ist; Und natürlich wenden wir die bekannte Regel an :

Diese Lektion ist dem Thema „Differenzierung komplexer Funktionen“ gewidmet. Ein Problem aus der Praxis der Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik.“ In dieser Lektion geht es um die Differenzierung komplexer Funktionen. Es wird eine Ableitungstabelle einer komplexen Funktion erstellt. Darüber hinaus wird ein Beispiel für die Lösung eines Problems aus der Praxis der Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik betrachtet.

Thema: Derivat

Lektion: Differenzieren einer komplexen Funktion. Eine Übungsaufgabe zur Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik

KomplexFunktion wir haben bereits differenziert, aber das Argument war eine lineare Funktion, wir wissen nämlich, wie man die Funktion differenziert. Zum Beispiel, . Jetzt werden wir auf die gleiche Weise Ableitungen einer komplexen Funktion finden, wo statt lineare Funktion Möglicherweise gibt es noch eine andere Funktion.

Beginnen wir mit der Funktion

Wir haben also die Ableitung des Sinus aus einer komplexen Funktion gefunden, wobei das Argument des Sinus eine quadratische Funktion war.

Wenn Sie den Wert der Ableitung an einem bestimmten Punkt ermitteln müssen, muss dieser Punkt in die gefundene Ableitung eingesetzt werden.

In zwei Beispielen haben wir gesehen, wie die Regel funktioniert Differenzierung Komplex Funktionen.

2.

3. . Wir möchten Sie daran erinnern.

7.

8. .

Damit beenden wir an dieser Stelle die Tabelle zur Differenzierung komplexer Funktionen. Darüber hinaus wird es natürlich noch weiter verallgemeinert, aber jetzt gehen wir zu spezifischen Problemen der Ableitung über.

In der Praxis der Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen werden folgende Aufgaben vorgeschlagen.

Finden Sie das Minimum einer Funktion .

ODZ: .

Finden wir die Ableitung. Erinnern wir uns daran, .

Setzen wir die Ableitung mit Null gleich. Der Punkt ist in der ODZ enthalten.

Finden wir die Intervalle mit konstantem Vorzeichen der Ableitung (Intervalle der Monotonie der Funktion) (siehe Abb. 1).

Reis. 1. Monotonieintervalle für eine Funktion .

Schauen wir uns einen Punkt an und finden heraus, ob es sich um einen Extrempunkt handelt. Ein ausreichendes Zeichen für ein Extremum ist, dass die Ableitung beim Durchgang durch einen Punkt das Vorzeichen ändert. In diesem Fall ändert die Ableitung das Vorzeichen, was bedeutet, dass es sich um einen Extrempunkt handelt. Da die Ableitung das Vorzeichen von „-“ zu „+“ ändert, ist dies der Mindestpunkt. Finden wir den Wert der Funktion am Minimalpunkt: . Zeichnen wir ein Diagramm (siehe Abb. 2).

Abb.2. Extremum der Funktion .

Auf dem Intervall nimmt die Funktion ab, auf dem Intervall nimmt die Funktion zu, der Extrempunkt ist eindeutig. Niedrigster Wert Die Funktion akzeptiert nur an dem Punkt .

Während der Lektion haben wir uns mit der Differenzierung komplexer Funktionen befasst, eine Tabelle zusammengestellt und uns die Regeln zur Differenzierung einer komplexen Funktion angesehen und ein Beispiel für die Verwendung einer Ableitung aus der Praxis der Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen gegeben.

1. Algebra und Beginn der Analysis, Klasse 10 (in zwei Teilen). Lehrbuch für allgemeinbildende Einrichtungen ( Profilebene) Hrsg. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra und Beginn der Analysis, Klasse 10 (in zwei Teilen). Problembuch für Bildungseinrichtungen (Profilebene), hrsg. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra und Analysis für Klasse 10 ( Lernprogramm für Schüler von Schulen und Klassen mit vertieftem Mathematikstudium).-M.: Prosveshchenie, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Eingehendes Studium der Algebra und mathematischen Analyse.-M.: Bildung, 1997.

5. Sammlung von Problemen in der Mathematik für Bewerber an Hochschulen (herausgegeben von M.I. Skanavi). - M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebraischer Simulator.-K.: A.S.K., 1997.

7. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina Algebra und die Anfänge der Analysis. 8.-11. Klassen: Ein Handbuch für Schulen und Klassen mit vertieftem Mathematikstudium (didaktische Materialien). - M.: Bustard, 2002.

8. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Probleme der Algebra und Prinzipien der Analysis (ein Handbuch für Schüler der Klassen 10-11 allgemeinbildender Einrichtungen). - M.: Prosveshchenie, 2003.

9. Karp A.P. Sammlung von Problemen zur Algebra und Prinzipien der Analyse: Lehrbuch. Zulage für die Klassen 10-11. mit Tiefgang studiert Mathematik.-M.: Bildung, 2006.

10. Glazer G.I. Geschichte der Mathematik in der Schule. Klassen 9-10 (Handbuch für Lehrer).-M.: Bildung, 1983

Zusätzliche Webressourcen

2. Portal Naturwissenschaften ().

Machen Sie es zu Hause

Nr. 42.2, 42.3 (Algebra und Anfänge der Analysis, Klasse 10 (in zwei Teilen). Problembuch für allgemeinbildende Einrichtungen (Profilebene), herausgegeben von A. G. Mordkovich. - M.: Mnemosyne, 2007.)

Entscheiden körperliche Aufgaben oder Beispiele in der Mathematik ist ohne Kenntnis der Ableitung und Methoden zu ihrer Berechnung völlig unmöglich. Derivat ist eines davon die wichtigsten Konzepte mathematische Analyse. Wir haben beschlossen, den heutigen Artikel diesem grundlegenden Thema zu widmen. Was ist eine Ableitung, was ist ihre physikalische und geometrische Bedeutung, wie berechnet man die Ableitung einer Funktion? Alle diese Fragen lassen sich zu einer einzigen zusammenfassen: Wie ist die Ableitung zu verstehen?

Geometrische und physikalische Bedeutung der Ableitung

Lass es eine Funktion geben f(x) , angegeben in einem bestimmten Intervall (a, b) . Zu diesem Intervall gehören die Punkte x und x0. Wenn sich x ändert, ändert sich auch die Funktion selbst. Das Argument ändern – der Unterschied in seinen Werten x-x0 . Dieser Unterschied wird geschrieben als Delta x und heißt Argumentinkrement. Eine Änderung oder Erhöhung einer Funktion ist die Differenz zwischen den Werten einer Funktion an zwei Punkten. Definition von Derivat:

Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt ist die Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion an einem bestimmten Punkt zum Inkrement des Arguments, wenn dieses gegen Null tendiert.

Ansonsten kann man es so schreiben:

Welchen Sinn hat es, eine solche Grenze zu finden? Und hier ist, was es ist:

Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt ist gleich der Tangente des Winkels zwischen der OX-Achse und der Tangente an den Graphen der Funktion an einem bestimmten Punkt.

Physikalische Bedeutung der Ableitung: Die Ableitung des Weges nach der Zeit ist gleich der Geschwindigkeit der geradlinigen Bewegung.

Tatsächlich weiß jeder seit der Schulzeit, dass Geschwindigkeit ein besonderer Weg ist x=f(t) und Zeit T . Durchschnittsgeschwindigkeit für einen bestimmten Zeitraum:

Um die Bewegungsgeschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt herauszufinden t0 Sie müssen das Limit berechnen:

Regel eins: Legen Sie eine Konstante fest

Die Konstante kann aus dem Ableitungszeichen entnommen werden. Darüber hinaus muss dies getan werden. Gehen Sie beim Lösen von Beispielen in der Mathematik als Regel vor: Wenn Sie einen Ausdruck vereinfachen können, müssen Sie ihn unbedingt vereinfachen .

Beispiel. Berechnen wir die Ableitung:

Regel zwei: Ableitung der Summe der Funktionen

Die Ableitung der Summe zweier Funktionen ist gleich der Summe der Ableitungen dieser Funktionen. Dasselbe gilt für die Ableitung der Funktionsdifferenz.

Wir werden diesen Satz nicht beweisen, sondern ein praktisches Beispiel betrachten.

Finden Sie die Ableitung der Funktion:

Regel drei: Ableitung des Funktionsprodukts

Die Ableitung des Produkts zweier differenzierbarer Funktionen wird nach folgender Formel berechnet:

Beispiel: Finden Sie die Ableitung einer Funktion:

Lösung:

Es ist wichtig, hier über die Berechnung von Ableitungen komplexer Funktionen zu sprechen. Die Ableitung einer komplexen Funktion ist gleich dem Produkt der Ableitung dieser Funktion nach dem Zwischenargument und der Ableitung des Zwischenarguments nach der unabhängigen Variablen.

Im obigen Beispiel stoßen wir auf den Ausdruck:

In diesem Fall ist das Zwischenargument 8x hoch fünf. Um die Ableitung eines solchen Ausdrucks zu berechnen, berechnen wir zunächst die Ableitung der externen Funktion nach dem Zwischenargument und multiplizieren dann mit der Ableitung des Zwischenarguments selbst nach der unabhängigen Variablen.

Regel vier: Ableitung des Quotienten zweier Funktionen

Formel zur Bestimmung der Ableitung des Quotienten zweier Funktionen:

Wir haben versucht, von Grund auf über Derivate für Dummies zu sprechen. Dieses Thema ist nicht so einfach, wie es scheint. Seien Sie also gewarnt: In den Beispielen stecken oft Fallstricke. Seien Sie also vorsichtig bei der Berechnung von Ableitungen.

Bei Fragen zu diesem und anderen Themen können Sie sich an den Studierendenservice wenden. Hinter kurzfristig Wir helfen Ihnen bei der Lösung der schwierigsten Tests und Probleme, auch wenn Sie noch nie zuvor Ableitungsrechnungen durchgeführt haben.