Der Artikel bietet eine detaillierte Erläuterung der Definitionen und der geometrischen Bedeutung der Ableitung mit grafische Symbole. Die Gleichung einer Tangente wird anhand von Beispielen betrachtet, die Gleichungen einer Tangente an Kurven 2. Ordnung werden gefunden.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definition 1

Der Neigungswinkel der Geraden y = k x + b heißt Winkel α, der von der positiven Richtung der x-Achse zur Geraden y = k x + b in positiver Richtung gemessen wird.

In der Abbildung ist die x-Richtung durch einen grünen Pfeil und einen grünen Bogen und der Neigungswinkel durch einen roten Bogen gekennzeichnet. Die blaue Linie bezieht sich auf die gerade Linie.

Definition 2

Steigungsfaktor die Gerade y = k x + b heißt numerischer Koeffizient k.

Der Winkelkoeffizient ist gleich dem Tangens der Geraden, also k = t g α.

• Der Neigungswinkel einer Geraden ist nur dann gleich 0, wenn sie parallel zu x verläuft und die Steigung gleich Null ist, weil der Tangens von Null gleich 0 ist. Dies bedeutet, dass die Gleichung die Form y = b hat.
• Wenn der Neigungswinkel der Geraden y = k x + b spitz ist, dann sind die Bedingungen 0 erfüllt< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0, und es gibt einen Anstieg im Diagramm.
• Wenn α = π 2, dann ist der Ort der Linie senkrecht zu x. Gleichheit wird durch x = c angegeben, wobei der Wert c eine reelle Zahl ist.
• Ist der Neigungswinkel der Geraden y = k x + b stumpf, dann entspricht er den Bedingungen π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает negative Bedeutung, und die Grafik nimmt ab.

Definition 3

Eine Sekante ist eine Gerade, die durch 2 Punkte der Funktion f (x) verläuft. Mit anderen Worten: Eine Sekante ist eine Gerade, die durch zwei beliebige Punkte im Graphen einer gegebenen Funktion verläuft.

Die Abbildung zeigt, dass A B eine Sekante ist und f (x) eine schwarze Kurve ist. α ist ein roter Bogen, der den Neigungswinkel der Sekante angibt.

Wenn der Winkelkoeffizient einer Geraden gleich dem Tangens des Neigungswinkels ist, ist es klar, dass der Tangens eines rechtwinkligen Dreiecks A B C durch das Verhältnis der gegenüberliegenden Seite zur benachbarten Seite ermittelt werden kann.

Definition 4

Wir erhalten eine Formel zum Finden einer Sekante der Form:

k = t g α = B C A C = f (x B) – f x A x B – x A, wobei die Abszissen der Punkte A und B die Werte x A, x B und f (x A), f (x) sind B) sind die Wertefunktionen an diesen Punkten.

Offensichtlich wird der Winkelkoeffizient der Sekante anhand der Gleichheit k = f (x B) – f (x A) x B – x A oder k = f (x A) – f (x B) x A – x B bestimmt , und die Gleichung muss geschrieben werden als y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) oder
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

Die Sekante teilt den Graphen visuell in drei Teile: links von Punkt A, von A nach B, rechts von B. Die folgende Abbildung zeigt, dass es drei Sekanten gibt, die als zusammenfallend gelten, das heißt, sie werden mit a festgelegt ähnliche Gleichung.

Per Definition ist klar, dass in diesem Fall die Gerade und ihre Sekante zusammenfallen.

Eine Sekante kann den Graphen einer bestimmten Funktion mehrmals schneiden. Wenn es für eine Sekante eine Gleichung der Form y = 0 gibt, dann ist die Anzahl der Schnittpunkte mit der Sinuskurve unendlich.

Definition 5

Tangente an den Graphen der Funktion f (x) am Punkt x 0 ; f (x 0) ist eine gerade Linie, die durch einen gegebenen Punkt x 0 verläuft; f (x 0), mit dem Vorhandensein eines Segments, das viele x-Werte nahe bei x 0 hat.

Beispiel 1

Schauen wir uns das folgende Beispiel genauer an. Dann ist klar, dass die durch die Funktion y = x + 1 definierte Linie als Tangente an y = 2 x am Punkt mit den Koordinaten (1; 2) betrachtet wird. Aus Gründen der Übersichtlichkeit müssen Diagramme mit Werten nahe (1; 2) berücksichtigt werden. Die Funktion y = 2 x ist schwarz dargestellt, die blaue Linie ist die Tangente und der rote Punkt ist der Schnittpunkt.

Offensichtlich verschmilzt y = 2 x mit der Geraden y = x + 1.

Um die Tangente zu bestimmen, sollten wir das Verhalten der Tangente A B berücksichtigen, wenn sich Punkt B Punkt A unendlich nähert. Zur Verdeutlichung präsentieren wir eine Zeichnung.

Die durch die blaue Linie angezeigte Sekante A B neigt zur Position der Tangente selbst, und der Neigungswinkel der Sekante α beginnt sich zum Neigungswinkel der Tangente selbst α x zu neigen.

Definition 6

Die Tangente an den Graphen der Funktion y = f (x) am Punkt A wird als Grenzposition der Sekante A B angesehen, da B nach A tendiert, also B → A.

Betrachten wir nun die geometrische Bedeutung der Ableitung einer Funktion an einem Punkt.

Betrachten wir nun die Sekante A B für die Funktion f (x), wobei A und B mit den Koordinaten x 0, f (x 0) und x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x) und ∆ x ist wird als Inkrement des Arguments bezeichnet. Jetzt nimmt die Funktion die Form an ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Zur Verdeutlichung geben wir ein Beispiel einer Zeichnung.

Betrachten wir das Ergebnis rechtwinkliges Dreieck A B C. Wir verwenden zur Lösung die Definition der Tangente, das heißt, wir erhalten die Beziehung ∆ y ∆ x = t g α . Aus der Definition einer Tangente folgt, dass lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . Nach der Regel der Ableitung an einem Punkt gilt, dass die Ableitung f (x) am Punkt x 0 als Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments bezeichnet wird, wobei ∆ x → 0 , dann bezeichnen wir es als f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

Daraus folgt, dass f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, wobei k x als Steigung der Tangente bezeichnet wird.

Das heißt, wir stellen fest, dass f ' (x) am Punkt x 0 existieren kann und wie die Tangente an einen gegebenen Graphen der Funktion am Tangentialpunkt gleich x 0 ist, f 0 (x 0), wobei der Wert von Die Steigung der Tangente am Punkt ist gleich der Ableitung am Punkt x 0 . Dann erhalten wir k x = f " (x 0) .

Die geometrische Bedeutung der Ableitung einer Funktion an einem Punkt besteht darin, dass sie das Konzept der Existenz einer Tangente an den Graphen am selben Punkt liefert.

Um die Gleichung einer Geraden auf einer Ebene aufzustellen, ist es notwendig, einen Winkelkoeffizienten mit dem Punkt zu haben, durch den sie verläuft. Seine Notation wird als x 0 am Schnittpunkt angenommen.

Die Tangentengleichung an den Graphen der Funktion y = f (x) am Punkt x 0, f 0 (x 0) hat die Form y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0).

Dies bedeutet, dass der Endwert der Ableitung f "(x 0) die Position der Tangente bestimmen kann, also vertikal, vorausgesetzt lim x → x 0 + 0 f "(x) = ∞ und lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ oder Abwesenheit überhaupt unter der Bedingung lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) .

Die Lage der Tangente hängt vom Wert ihres Winkelkoeffizienten k x = f "(x 0) ab. Wenn parallel zur o x-Achse, erhalten wir k k = 0, wenn parallel zu o y - k x = ∞ und die Form der Die Tangentengleichung x = x 0 steigt mit k x > 0 und nimmt mit k x ab< 0 .

Beispiel 2

Stellen Sie eine Gleichung für die Tangente an den Graphen der Funktion y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 am Punkt mit den Koordinaten (1; 3) auf und bestimmen Sie den Neigungswinkel.

Lösung

Durch die Bedingung haben wir, dass die Funktion für alle reellen Zahlen definiert ist. Wir stellen fest, dass der Punkt mit den durch die Bedingung (1; 3) angegebenen Koordinaten ein Tangentialpunkt ist, dann ist x 0 = - 1, f (x 0) = - 3.

Es ist notwendig, die Ableitung am Punkt mit dem Wert - 1 zu finden. Wir verstehen das

y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Der Wert von f' (x) am Tangentialpunkt ist die Steigung der Tangente, die gleich der Tangente der Steigung ist.

Dann ist k x = t g α x = y " (x 0) = 3 3

Daraus folgt, dass α x = a r c t g 3 3 = π 6

Antwort: Die Tangentengleichung nimmt die Form an

y = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

Zur Verdeutlichung geben wir ein Beispiel in einer grafischen Darstellung.

Für den Graphen der Originalfunktion wird die Farbe Schwarz verwendet. blaue Farbe– Bild einer Tangente, roter Punkt – Tangentialpunkt. Die Abbildung rechts zeigt eine vergrößerte Ansicht.

Beispiel 3

Bestimmen Sie die Existenz einer Tangente an den Graphen einer gegebenen Funktion
y = 3 · x - 1 5 + 1 am Punkt mit den Koordinaten (1 ; 1) . Schreiben Sie eine Gleichung und bestimmen Sie den Neigungswinkel.

Lösung

Durch die Bedingung gilt, dass der Definitionsbereich einer gegebenen Funktion die Menge aller reellen Zahlen ist.

Fahren wir mit der Suche nach der Ableitung fort

y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Wenn x 0 = 1, dann ist f' (x) undefiniert, aber die Grenzen werden als lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 geschrieben · 1 + 0 = + ∞ und lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , was bedeutet Existenz vertikale Tangente am Punkt (1; 1).

Antwort: Die Gleichung hat die Form x = 1, wobei der Neigungswinkel gleich π 2 ist.

Der Übersichtlichkeit halber stellen wir es grafisch dar.

Beispiel 4

Finden Sie die Punkte im Diagramm der Funktion y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2, wobei

1. Es gibt keine Tangente;
2. Die Tangente ist parallel zu x;
3. Die Tangente verläuft parallel zur Geraden y = 8 5 x + 4.

Lösung

Dabei ist auf den Geltungsbereich der Definition zu achten. Als Bedingung gilt, dass die Funktion auf der Menge aller reellen Zahlen definiert ist. Wir erweitern das Modul und lösen das System mit Intervallen x ∈ - ∞ ; 2 und [ - 2 ; + ∞) . Wir verstehen das

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Es ist notwendig, die Funktion zu differenzieren. Wir haben das

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Wenn x = − 2, dann existiert die Ableitung nicht, weil die einseitigen Grenzen an diesem Punkt nicht gleich sind:

lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y " (x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Wir berechnen den Wert der Funktion am Punkt x = - 2, wo wir ihn erhalten

1. y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, also die Tangente am Punkt ( - 2; - 2) wird nicht existieren.
2. Die Tangente ist parallel zu x, wenn die Steigung Null ist. Dann k x = t g α x = f "(x 0). Das heißt, es ist notwendig, die Werte eines solchen x zu finden, wenn die Ableitung der Funktion es auf Null dreht. Das heißt, die Werte von f ' (x) sind die Tangentialpunkte, bei denen die Tangente parallel zu x verläuft.

Wenn x ∈ - ∞ ; - 2, dann - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0, und für x ∈ (- 2; + ∞) erhalten wir 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

Berechnen Sie die entsprechenden Funktionswerte

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Daher - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 gelten als erforderliche Punkte des Funktionsgraphen.

Schauen wir uns eine grafische Darstellung der Lösung an.

Die schwarze Linie ist der Graph der Funktion, die roten Punkte sind die Tangentialpunkte.

1. Wenn die Linien parallel sind, sind die Winkelkoeffizienten gleich. Dann ist es notwendig, im Funktionsgraphen nach Punkten zu suchen, an denen die Steigung dem Wert 8 5 entspricht. Dazu müssen Sie eine Gleichung der Form y "(x) = 8 5 lösen. Wenn x ∈ - ∞; - 2 ist, erhalten wir - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, und wenn x ∈ ( - 2 ; + ∞), dann 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.

Die erste Gleichung hat keine Wurzeln, da die Diskriminante kleiner als Null ist. Schreiben wir das auf

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Eine andere Gleichung hat also zwei reelle Wurzeln

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

Fahren wir mit der Ermittlung der Werte der Funktion fort. Wir verstehen das

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Punkte mit Werten - 1; 4 15, 5; 8 3 sind die Punkte, an denen die Tangenten parallel zur Geraden y = 8 5 x + 4 verlaufen.

Antwort: schwarze Linie – Graph der Funktion, rote Linie – Graph von y = 8 5 x + 4, blaue Linie – Tangenten an Punkten - 1; 4 15, 5; 8 3.

Für gegebene Funktionen kann es unendlich viele Tangenten geben.

Beispiel 5

Schreiben Sie die Gleichungen aller verfügbaren Tangenten der Funktion y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3, die senkrecht zur Geraden y = - 2 x + 1 2 stehen.

Lösung

Um die Tangentengleichung zu erstellen, müssen der Koeffizient und die Koordinaten des Tangentenpunkts basierend auf der Bedingung der Rechtwinkligkeit der Linien ermittelt werden. Die Definition lautet wie folgt: Das Produkt der Winkelkoeffizienten, die senkrecht zu Geraden stehen, ist gleich - 1, also geschrieben als k x · k ⊥ = - 1. Aus der Bedingung folgt, dass der Winkelkoeffizient senkrecht zur Geraden steht und gleich k ⊥ = - 2 ist, dann gilt k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2.

Jetzt müssen Sie die Koordinaten der Berührungspunkte ermitteln. Sie müssen x und dann seinen Wert für eine bestimmte Funktion finden. Beachten Sie, dass aus der geometrischen Bedeutung der Ableitung am Punkt
x 0 erhalten wir, dass k x = y "(x 0). Aus dieser Gleichheit ermitteln wir die Werte von x für die Kontaktpunkte.

Wir verstehen das

y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

Das trigonometrische Gleichung wird zur Berechnung der Ordinaten der Tangentenpunkte verwendet.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk oder 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk oder 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk oder x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z ist eine Menge von ganzen Zahlen.

Es wurden x Berührungspunkte gefunden. Jetzt müssen Sie mit der Suche nach den Werten von y fortfahren:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 oder y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 oder y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 oder y 0 = - 4 5 + 1 3

Daraus erhalten wir, dass 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 sind die Tangentialpunkte.

Antwort: Die notwendigen Gleichungen werden geschrieben als

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Betrachten Sie für eine visuelle Darstellung eine Funktion und eine Tangente an einer Koordinatenlinie.

Die Abbildung zeigt, dass die Funktion im Intervall [ - 10 ; 10 ], wobei die schwarze Linie der Graph der Funktion ist, die blauen Linien sind Tangenten, die senkrecht zur gegebenen Linie der Form y = - 2 x + 1 2 liegen. Rote Punkte sind Berührungspunkte.

Die kanonischen Gleichungen von Kurven 2. Ordnung sind keine einwertigen Funktionen. Tangentengleichungen für sie werden nach bekannten Schemata erstellt.

Tangente an einen Kreis

So definieren Sie einen Kreis mit Mittelpunkt im Punkt x c e n t e r ; y-Mittelpunkt und Radius R, wenden Sie die Formel x - x-Mittelpunkt 2 + y - y-Mittelpunkt 2 = R 2 an.

Diese Gleichheit kann als Vereinigung zweier Funktionen geschrieben werden:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

Die erste Funktion befindet sich oben und die zweite unten, wie in der Abbildung dargestellt.

Um die Gleichung eines Kreises am Punkt x 0 aufzustellen; y 0 , das sich im oberen oder unteren Halbkreis befindet, sollten Sie die Gleichung des Graphen einer Funktion der Form y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r oder y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + finden Y-Mittelpunkt am angegebenen Punkt.

Wenn an Punkten x c e n t e r ; y c e n t e r + R und x c e n t e r ; y c e n t e r - R Tangenten können durch die Gleichungen y = y c e n t e r + R und y = y c e n t e r - R und an den Punkten x c e n t e r + R angegeben werden; y c e n t e r und
x c e n t e r - R ; y c e n t e r parallel zu o y sein wird, dann erhalten wir Gleichungen der Form x = x c e n t e r + R und x = x c e n t e r - R .

Tangente an eine Ellipse

Wenn die Ellipse einen Mittelpunkt bei x c e n t e r hat; y c e n t e r mit den Halbachsen a und b, dann kann es mit der Gleichung x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 angegeben werden.

Eine Ellipse und ein Kreis können durch die Kombination zweier Funktionen, nämlich der oberen und unteren Halbellipse, bezeichnet werden. Dann verstehen wir das

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Liegen die Tangenten an den Eckpunkten der Ellipse, dann sind sie parallel um x oder um y. Betrachten Sie im Folgenden zur Verdeutlichung die Abbildung.

Beispiel 6

Schreiben Sie die Gleichung der Tangente an die Ellipse x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 an Punkten mit Werten von x gleich x = 2.

Lösung

Es müssen die Tangentenpunkte gefunden werden, die dem Wert x = 2 entsprechen. Wir setzen es in die bestehende Gleichung der Ellipse ein und finden das

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Dann 2 ; 5 3 2 + 5 und 2; - 5 3 2 + 5 sind die Tangentenpunkte, die zur oberen und unteren Halbellipse gehören.

Fahren wir mit dem Finden und Lösen der Gleichung der Ellipse in Bezug auf y fort. Wir verstehen das

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Offensichtlich wird die obere Halbellipse durch eine Funktion der Form y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 und die untere Halbellipse y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 angegeben.

Wenden wir einen Standardalgorithmus an, um eine Gleichung für eine Tangente an den Graphen einer Funktion an einem Punkt zu erstellen. Schreiben wir, dass die Gleichung für die erste Tangente an Punkt 2; 5 3 2 + 5 wird aussehen

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Wir finden die Gleichung der zweiten Tangente mit einem Wert am Punkt
2 ; - 5 3 2 + 5 nimmt die Form an

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Grafisch werden Tangenten wie folgt bezeichnet:

Tangente an die Übertreibung

Wenn eine Hyperbel ein Zentrum bei x c e n t e r hat; y c e n t e r und Eckpunkte x c ​​e n t e r + α ; y c e n t e r und x c e n t e r - α ; y c e n t e r , die Ungleichung x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 liegt vor, wenn mit Eckpunkten x c e n t e r ; y c e n t e r + b und x c e n t e r ; y c e n t e r - b , wird dann unter Verwendung der Ungleichung x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 angegeben.

Eine Hyperbel kann als zwei kombinierte Funktionen der Form dargestellt werden

y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r oder y = b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r

Im ersten Fall sind die Tangenten parallel zu y, im zweiten Fall parallel zu x.

Daraus folgt, dass man, um die Gleichung der Tangente an eine Hyperbel zu finden, herausfinden muss, zu welcher Funktion der Tangentenpunkt gehört. Um dies zu ermitteln, ist es notwendig, in die Gleichungen einzusetzen und auf Identität zu prüfen.

Beispiel 7

Schreiben Sie eine Gleichung für die Tangente an die Hyperbel x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 an Punkt 7; - 3 3 - 3 .

Lösung

Es ist notwendig, den Lösungsdatensatz zum Finden einer Hyperbel mithilfe von 2 Funktionen zu transformieren. Wir verstehen das

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 und y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Es muss ermittelt werden, zu welcher Funktion ein bestimmter Punkt mit den Koordinaten 7 gehört; - 3 3 - 3 .

Offensichtlich ist es zur Überprüfung der ersten Funktion notwendig y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, dann gehört der Punkt nicht zum Graphen, da die Gleichheit nicht gilt.

Für die zweite Funktion gilt y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, was bedeutet, dass der Punkt zum gegebenen Graphen gehört. Von hier aus sollten Sie den Hang finden.

Wir verstehen das

y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Antwort: Die Tangentengleichung kann dargestellt werden als:

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Es wird deutlich so dargestellt:

Tangente an eine Parabel

Um eine Gleichung für die Tangente an die Parabel y = a x 2 + b x + c am Punkt x 0, y (x 0) zu erstellen, müssen Sie einen Standardalgorithmus verwenden, dann nimmt die Gleichung die Form y = y "(x) an 0) x - x 0 + y ( x 0).Eine solche Tangente am Scheitelpunkt ist parallel zu x.

Sie sollten die Parabel x = a y 2 + b y + c als Vereinigung zweier Funktionen definieren. Daher müssen wir die Gleichung nach y lösen. Wir verstehen das

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Grafisch dargestellt als:

Um herauszufinden, ob ein Punkt x 0, y (x 0) zu einer Funktion gehört, gehen Sie vorsichtig nach dem Standardalgorithmus vor. Eine solche Tangente verläuft parallel zu o y relativ zur Parabel.

Beispiel 8

Schreiben Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen x - 2 y 2 - 5 y + 3, wenn wir einen Tangentenwinkel von 150° haben.

Lösung

Wir beginnen die Lösung, indem wir die Parabel als zwei Funktionen darstellen. Wir verstehen das

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

Der Wert der Steigung ist gleich dem Wert der Ableitung am Punkt x 0 dieser Funktion und gleich dem Tangens des Neigungswinkels.

Wir bekommen:

k x = y "(x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3

Von hier aus bestimmen wir den x-Wert für die Kontaktpunkte.

Die erste Funktion wird geschrieben als

y " = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Offensichtlich gibt es keine wirklichen Wurzeln, da wir einen negativen Wert erhalten haben. Wir schließen daraus, dass es für eine solche Funktion keine Tangente mit einem Winkel von 150° gibt.

Die zweite Funktion wird geschrieben als

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Wir wissen, dass es 23 4 Berührungspunkte gibt; - 5 + 3 4 .

Antwort: Die Tangentengleichung nimmt die Form an

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Lassen Sie es uns grafisch so darstellen:

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Dieses mathematische Programm ermittelt die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion \(f(x)\) an einem vom Benutzer angegebenen Punkt \(a\).

Das Programm zeigt nicht nur die Tangentengleichung an, sondern zeigt auch den Lösungsprozess des Problems an.

Dieser Online-Rechner kann für Oberstufenschüler nützlich sein Weiterführende Schulen in Vorbereitung für Tests und Prüfungen beim Testen von Wissen vor dem Einheitlichen Staatsexamen, damit Eltern die Lösung vieler Probleme in Mathematik und Algebra kontrollieren können. Oder ist es für Sie vielleicht zu teuer, einen Nachhilfelehrer zu engagieren oder neue Lehrbücher zu kaufen? Oder möchten Sie es einfach so schnell wie möglich erledigen? Hausaufgaben in Mathematik oder Algebra? Auch in diesem Fall können Sie unsere Programme mit Detaillösungen nutzen.

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Wenn Sie die Ableitung einer Funktion finden müssen, dann haben wir dafür die Aufgabe Finden Sie die Ableitung.

Wenn Sie mit den Regeln zur Eingabe von Funktionen nicht vertraut sind, empfehlen wir Ihnen, sich damit vertraut zu machen.

Geben Sie den Funktionsausdruck \(f(x)\) und die Zahl \(a\) ein.

f(x)=
a=

Finden Sie die Tangentengleichung

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Eine kleine Theorie.

Direkter Hang

Erinnern wir uns an den Zeitplan lineare Funktion\(y=kx+b\) ist eine Gerade. Die Zahl \(k=tg \alpha \) wird aufgerufen Steigung einer Geraden, und der Winkel \(\alpha \) ist der Winkel zwischen dieser Linie und der Ox-Achse

Wenn \(k>0\), dann \(0 Wenn \(kGleichung der Tangente an den Graphen der Funktion

Wenn der Punkt M(a; f(a)) zum Graphen der Funktion y = f(x) gehört und an diesem Punkt eine Tangente an den Graphen der Funktion gezogen werden kann, die nicht senkrecht zur x-Achse steht, Aus der geometrischen Bedeutung der Ableitung folgt dann, dass der Winkelkoeffizient der Tangente gleich f "(a) ist. Als nächstes entwickeln wir einen Algorithmus zum Erstellen einer Gleichung für eine Tangente an den Graphen einer beliebigen Funktion.

Auf dem Graphen dieser Funktion seien eine Funktion y = f(x) und ein Punkt M(a; f(a)) gegeben; Es sei bekannt, dass f"(a) existiert. Erstellen wir eine Gleichung für die Tangente an den Graphen einer gegebenen Funktion an einem gegebenen Punkt. Diese Gleichung hat, wie die Gleichung jeder geraden Linie, die nicht parallel zur Ordinatenachse ist, die bilden y = kx + b, daher besteht die Aufgabe darin, die Werte der Koeffizienten k und b zu finden.

Mit dem Winkelkoeffizienten k ist alles klar: Es ist bekannt, dass k = f"(a). Um den Wert von b zu berechnen, nutzen wir die Tatsache, dass die gewünschte Gerade durch den Punkt M(a; f(a)) geht. Das heißt, wenn wir die Koordinaten des Punktes M in die Gleichung einer Geraden einsetzen, erhalten wir die korrekte Gleichung: \(f(a)=ka+b\), also \(b = f(a) - ka\).

Es müssen noch die gefundenen Werte der Koeffizienten k und b in die Geradengleichung eingesetzt werden:

$$ y=kx+b $$ $$ y=kx+ f(a) - ka $$ $$ y=f(a)+ k(x-a) $$ $$ y=f(a)+ f"(a )(x-a)$$

Wir bekamen Gleichung der Tangente an den Graphen einer Funktion\(y = f(x) \) am Punkt \(x=a \).

Algorithmus zum Finden der Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion \(y=f(x)\)
1. Bezeichnen Sie die Abszisse des Tangentenpunktes mit dem Buchstaben \(a\)
2. Berechnen Sie \(f(a)\)
3. Finden Sie \(f"(x)\) und berechnen Sie \(f"(a)\)
4. Setze die gefundenen Zahlen \(a, f(a), f"(a) \) in die Formel \(y=f(a)+ f"(a)(x-a) \) ein

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Gleichung der Tangente an den Graphen einer Funktion

P. Romanov, T. Romanova,
Magnitogorsk,
Gebiet Tscheljabinsk

Gleichung der Tangente an den Graphen einer Funktion

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An moderne Bühne Entwicklung der Bildung, eine ihrer Hauptaufgaben ist die Bildung einer kreativ denkenden Persönlichkeit. Die Kreativitätsfähigkeit der Studierenden kann nur dann entwickelt werden, wenn sie sich systematisch für das Wesentliche begeistern Forschungstätigkeit. Die Grundlage dafür, dass die Studierenden ihre kreativen Kräfte, Fähigkeiten und Talente nutzen können, ist die Ausbildung umfassender Kenntnisse und Fähigkeiten. In diesem Zusammenhang ist das Problem der Bildung eines Systems grundlegender Kenntnisse und Fähigkeiten für jedes Thema des schulischen Mathematikunterrichts von nicht geringer Bedeutung. Dabei sollte die Vermittlung vollwertiger Kompetenzen nicht das didaktische Ziel einzelner Aufgaben, sondern eines durchdachten Systems davon sein. Im weitesten Sinne wird ein System als eine Menge miteinander verbundener, interagierender Elemente verstanden, die Integrität und eine stabile Struktur aufweisen.

Betrachten wir eine Technik, mit der Schüler lernen können, eine Gleichung für eine Tangente an den Graphen einer Funktion zu schreiben. Im Wesentlichen beruhen alle Probleme beim Finden der Tangentengleichung auf der Notwendigkeit, aus einer Menge (Bündel, Familie) von Geraden diejenigen auszuwählen, die eine bestimmte Anforderung erfüllen – sie sind tangential zum Graphen einer bestimmten Funktion. In diesem Fall kann die Menge der Zeilen, aus denen ausgewählt wird, auf zwei Arten angegeben werden:

a) ein Punkt, der auf der xOy-Ebene liegt (zentrales Linienbündel);
b) Winkelkoeffizient (paralleler Strahl gerader Linien).

In diesem Zusammenhang haben wir bei der Untersuchung des Themas „Tangente an den Graphen einer Funktion“ zur Isolierung der Elemente des Systems zwei Arten von Problemen identifiziert:

1) Tangentenprobleme, durch den Punkt gegeben, durch die es geht;
2) Probleme an einer Tangente, die durch ihre Steigung gegeben ist.

Das Training zur Lösung von Tangentenproblemen wurde mit dem von A.G. vorgeschlagenen Algorithmus durchgeführt. Mordkowitsch. Der grundlegende Unterschied zu den bereits bekannten besteht darin, dass die Abszisse des Tangentenpunkts mit dem Buchstaben a (anstelle von x0) bezeichnet wird und daher die Tangentengleichung die Form annimmt

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(vergleiche mit y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). Dies methodische Technik, unserer Meinung nach, ermöglicht es den Schülern, schnell und einfach zu verstehen, wo in der allgemeinen Tangentengleichung die Koordinaten des aktuellen Punktes geschrieben sind und wo sich die Tangentenpunkte befinden.

Algorithmus zum Zusammenstellen der Tangentengleichung an den Graphen der Funktion y = f(x)

1. Bezeichnen Sie die Abszisse des Tangentenpunktes mit dem Buchstaben a.
2. Finden Sie f(a).
3. Finden Sie f "(x) und f "(a).
4. Ersetzen Sie die gefundenen Zahlen ein, f(ein), f "(ein) in allgemeine Gleichung Tangente y = f(a) = f "(a)(x – a).

Dieser Algorithmus kann auf der Grundlage der unabhängigen Identifizierung von Operationen durch die Studierenden und der Reihenfolge ihrer Implementierung erstellt werden.

Die Praxis hat gezeigt, dass Sie durch die sequentielle Lösung jedes der Schlüsselprobleme mithilfe eines Algorithmus die Fähigkeit entwickeln können, die Gleichung einer Tangente an den Graphen einer Funktion schrittweise zu schreiben, und die Schritte des Algorithmus als Bezugspunkte für Aktionen dienen . Dieser Ansatz entspricht der von P.Ya. entwickelten Theorie der allmählichen Bildung geistiger Handlungen. Galperin und N.F. Talyzina.

Im ersten Aufgabentyp wurden zwei Schlüsselaufgaben identifiziert:

• die Tangente verläuft durch einen auf der Kurve liegenden Punkt (Aufgabe 1);
• die Tangente geht durch einen Punkt, der nicht auf der Kurve liegt (Aufgabe 2).

Aufgabe 1. Schreiben Sie eine Gleichung für die Tangente an den Funktionsgraphen am Punkt M(3; – 2).

Lösung. Punkt M(3; – 2) ist ein Tangentenpunkt, da

1. a = 3 – Abszisse des Tangentenpunktes.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – Tangensgleichung.

Aufgabe 2. Schreiben Sie die Gleichungen aller Tangenten an den Graphen der Funktion y = – x 2 – 4x + 2, die durch den Punkt M(– 3; 6) verläuft.

Lösung. Punkt M(– 3; 6) ist kein Tangentenpunkt, da f(– 3) 6 (Abb. 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – Tangentengleichung.

Die Tangente verläuft durch den Punkt M(– 3; 6), daher erfüllen seine Koordinaten die Tangentengleichung.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

Wenn a = – 4, dann lautet die Tangentengleichung y = 4x + 18.

Wenn a = – 2, dann hat die Tangentengleichung die Form y = 6.

Beim zweiten Typ sind die Hauptaufgaben folgende:

• die Tangente verläuft parallel zu einer Geraden (Aufgabe 3);
• die Tangente verläuft in einem bestimmten Winkel zur gegebenen Geraden (Aufgabe 4).

Aufgabe 3. Schreiben Sie die Gleichungen aller Tangenten an den Graphen der Funktion y = x 3 – 3x 2 + 3, parallel zur Geraden y = 9x + 1.

Lösung.

1. a – Abszisse des Tangentenpunktes.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

Aber andererseits ist f "(a) = 9 (Parallelitätsbedingung). Das bedeutet, dass wir die Gleichung 3a 2 – 6a = 9 lösen müssen. Ihre Wurzeln sind a = – 1, a = 3 (Abb. 3 ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 – Tangentengleichung;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – Tangentengleichung.

Aufgabe 4. Schreiben Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion y = 0,5x 2 – 3x + 1, die in einem Winkel von 45° zur Geraden y = 0 verläuft (Abb. 4).

Lösung. Aus der Bedingung f "(a) = tan 45° ergibt sich a: a – 3 = 1^a = 4.

1. a = 4 – Abszisse des Tangentenpunktes.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – Tangentengleichung.

Es lässt sich leicht zeigen, dass die Lösung jedes anderen Problems darin besteht, ein oder mehrere Schlüsselprobleme zu lösen. Betrachten Sie als Beispiel die folgenden zwei Probleme.

1. Schreiben Sie die Gleichungen der Tangenten an die Parabel y = 2x 2 – 5x – 2, wenn sich die Tangenten im rechten Winkel schneiden und eine von ihnen die Parabel im Punkt mit Abszisse 3 berührt (Abb. 5).

Lösung. Da die Abszisse des Tangentenpunktes gegeben ist, reduziert sich der erste Teil der Lösung auf Kernproblem 1.

1. a = 3 – Abszisse des Tangentialpunktes einer der Seiten rechter Winkel.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – Gleichung der ersten Tangente.

Lass a – Neigungswinkel der ersten Tangente. Da die Tangenten senkrecht zueinander stehen, gilt auch der Neigungswinkel der zweiten Tangente. Aus der Gleichung y = 7x – 20 der ersten Tangente ergibt sich tg a = 7. Finden wir

Das bedeutet, dass die Steigung der zweiten Tangente gleich ist.

Die weitere Lösung ergibt sich aus Kernaufgabe 3.

Sei dann B(c; f(c)) der Tangentialpunkt der zweiten Geraden

1. – Abszisse des zweiten Tangentialpunktes.
2.
3.
4.
– Gleichung der zweiten Tangente.

Notiz. Der Winkelkoeffizient der Tangente kann leichter ermittelt werden, wenn die Schüler das Verhältnis der Koeffizienten senkrechter Geraden kennen k 1 k 2 = – 1.

2. Schreiben Sie die Gleichungen aller gemeinsamen Tangenten an die Funktionsgraphen

Lösung. Das Problem besteht darin, die Abszisse der Tangentenpunkte gemeinsamer Tangenten zu finden, also das Schlüsselproblem 1 in zu lösen Gesamtansicht, Erstellung eines Gleichungssystems und dessen anschließende Lösung (Abb. 6).

1. Sei a die Abszisse des Tangentenpunktes, der auf dem Graphen der Funktion y = x 2 + x + 1 liegt.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. Sei c die Abszisse des Tangentenpunktes, der auf dem Funktionsgraphen liegt
2.
3. f "(c) = c.
4.

Da Tangenten also allgemein sind

Also sind y = x + 1 und y = – 3x – 3 gemeinsame Tangenten.

Das Hauptziel der betrachteten Aufgaben besteht darin, die Studierenden darauf vorzubereiten, bei der Lösung weiterer Aufgaben selbstständig die Art des Schlüsselproblems zu erkennen komplexe Aufgaben, die bestimmte Forschungsfähigkeiten erfordern (die Fähigkeit zu analysieren, zu vergleichen, zu verallgemeinern, eine Hypothese aufzustellen usw.). Zu diesen Aufgaben zählen alle Aufgaben, in denen die Schlüsselaufgabe als Komponente enthalten ist. Betrachten wir als Beispiel das Problem (invers zu Problem 1), eine Funktion aus der Familie ihrer Tangenten zu finden.

3. Für welche b und c sind die Geraden y = x und y = – 2x tangential zum Graphen der Funktion y = x 2 + bx + c?

Lösung.

Sei t die Abszisse des Tangentialpunktes der Geraden y = x mit der Parabel y = x 2 + bx + c; p ist die Abszisse des Tangentialpunktes der Geraden y = – 2x mit der Parabel y = x 2 + bx + c. Dann nimmt die Tangentengleichung y = x die Form y = (2t + b)x + c – t 2 an, und die Tangentengleichung y = – 2x nimmt die Form y = (2p + b)x + c – p 2 an .

Lassen Sie uns ein Gleichungssystem aufstellen und lösen

Antwort:

Probleme, die selbstständig gelöst werden müssen

1. Schreiben Sie die Gleichungen der Tangenten, die an den Graphen der Funktion y = 2x 2 – 4x + 3 an den Schnittpunkten des Graphen mit der Geraden y = x + 3 gezogen werden.

Antwort: y = – 4x + 3, y = 6x – 9,5.

2. Für welche Werte von a verläuft die an den Graphen der Funktion y = x 2 – ax gezogene Tangente am Punkt des Graphen mit der Abszisse x 0 = 1 durch den Punkt M(2; 3)?

Antwort: a = 0,5.

3. Für welche Werte von p berührt die Gerade y = px – 5 die Kurve y = 3x 2 – 4x – 2?

Antwort: p 1 = – 10, p 2 = 2.

4. Finden Sie alle gemeinsamen Punkte des Graphen der Funktion y = 3x – x 3 und der Tangente, die durch den Punkt P(0; 16) an diesen Graphen gezogen wird.

Antwort: A(2; – 2), B(– 4; 52).

5. Finden Sie den kürzesten Abstand zwischen der Parabel y = x 2 + 6x + 10 und der Geraden

Antwort:

6. Suchen Sie auf der Kurve y = x 2 – x + 1 den Punkt, an dem die Tangente an den Graphen parallel zur Geraden y – 3x + 1 = 0 verläuft.

Antwort: M(2; 3).

7. Schreiben Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion y = x 2 + 2x – | 4x |, der es an zwei Punkten berührt. Fertige eine Zeichnung an.

Antwort: y = 2x – 4.

8. Beweisen Sie, dass die Gerade y = 2x – 1 die Kurve y = x 4 + 3x 2 + 2x nicht schneidet. Finden Sie den Abstand zwischen den nächstgelegenen Punkten.

Antwort:

9. Auf der Parabel y = x 2 werden zwei Punkte mit Abszissen x 1 = 1, x 2 = 3 genommen. Durch diese Punkte wird eine Sekante gezogen. An welchem ​​Punkt der Parabel verläuft die Tangente parallel zur Sekante? Schreiben Sie die Sekanten- und Tangentengleichungen.

Antwort: y = 4x – 3 – Sekantengleichung; y = 4x – 4 – Tangentengleichung.

10. Finden Sie den Winkel q zwischen den Tangenten an den Graphen der Funktion y = x 3 – 4x 2 + 3x + 1, gezeichnet an den Punkten mit den Abszissen 0 und 1.

Antwort: q = 45°.

11. An welchen Punkten bildet die Tangente an den Funktionsgraphen einen Winkel von 135° mit der Ox-Achse?

Antwort: A(0; – 1), B(4; 3).

12. Am Punkt A(1; 8) zur Kurve Es wird eine Tangente gezeichnet. Ermitteln Sie die Länge des Tangentensegments zwischen den Koordinatenachsen.

Antwort:

13. Schreiben Sie die Gleichung aller gemeinsamen Tangenten an die Graphen der Funktionen y = x 2 – x + 1 und y = 2x 2 – x + 0,5.

Antwort: y = – 3x und y = x.

14. Ermitteln Sie den Abstand zwischen den Tangenten an den Funktionsgraphen parallel zur x-Achse.

Antwort:

15. Bestimmen Sie, in welchen Winkeln die Parabel y = x 2 + 2x – 8 die x-Achse schneidet.

Antwort: q 1 = Arctan 6, q 2 = Arctan (– 6).

16. Funktionsgraph Finden Sie alle Punkte, deren Tangente an diesen Graphen jeweils die positiven Halbachsen der Koordinaten schneidet, und schneiden Sie gleiche Segmente von ihnen ab.

Antwort: A(– 3; 11).

17. Die Gerade y = 2x + 7 und die Parabel y = x 2 – 1 schneiden sich in den Punkten M und N. Finden Sie den Schnittpunkt K der Tangenten der Parabel in den Punkten M und N.

Antwort: K(1; – 9).

18. Für welche Werte von b tangiert die Gerade y = 9x + b den Graphen der Funktion y = x 3 – 3x + 15?

Antwort 1; 31.

19. Für welche Werte von k hat die Gerade y = kx – 10 nur einen gemeinsamen Punkt mit dem Graphen der Funktion y = 2x 2 + 3x – 2? Bestimmen Sie für die gefundenen Werte von k die Koordinaten des Punktes.

Antwort: k 1 = – 5, A(– 2; 0); k 2 = 11, B(2; 12).

20. Für welche Werte von b verläuft die Tangente, die an den Graphen der Funktion y = bx 3 – 2x 2 – 4 am Punkt mit der Abszisse x 0 = 2 gezogen wird, durch den Punkt M(1; 8)?

Antwort: b = – 3.

21. Eine Parabel mit einem Scheitelpunkt auf der Ox-Achse berührt die Linie, die durch die Punkte A(1; 2) und B(2; 4) verläuft, am Punkt B. Finden Sie die Gleichung der Parabel.

Antwort:

22. Bei welchem ​​Wert des Koeffizienten k berührt die Parabel y = x 2 + kx + 1 die Ox-Achse?

Antwort: k = d 2.

23. Finden Sie die Winkel zwischen der Geraden y = x + 2 und der Kurve y = 2x 2 + 4x – 3.

29. Ermitteln Sie den Abstand zwischen den Tangenten an den Funktionsgraphen und den Generatoren mit der positiven Richtung der Ox-Achse in einem Winkel von 45°.

Antwort:

30. Finden Sie den Ort der Scheitelpunkte aller Parabeln der Form y = x 2 + ax + b tangential zur Linie y = 4x – 1.

Antwort: Gerade y = 4x + 3.

Literatur

1. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina M.V. Algebra und Anfänge der Analysis: 3600 Aufgaben für Schüler und Studienanfänger. – M., Bustard, 1999.
2. Mordkovich A. Seminar vier für junge Lehrer. Thema: Derivative Anwendungen. – M., „Mathematik“, Nr. 21/94.
3. Bildung von Wissen und Fähigkeiten basierend auf der Theorie der schrittweisen Assimilation geistiger Handlungen. / Ed. P.Ya. Galperina, N.F. Talyzina. – M., Staatliche Universität Moskau, 1968.

Die Videolektion „Gleichung einer Tangente an den Graphen einer Funktion“ zeigt Lehrmaterial zur Beherrschung des Themas. Während der Videolektion werden das theoretische Material beschrieben, das zur Formulierung des Konzepts der Gleichung einer Tangente an den Graphen einer Funktion an einem bestimmten Punkt erforderlich ist, ein Algorithmus zum Finden einer solchen Tangente und Beispiele für die Lösung von Problemen mithilfe des untersuchten theoretischen Materials .

Das Video-Tutorial verwendet Methoden, die die Klarheit des Materials verbessern. Die Präsentation enthält Zeichnungen, Diagramme, wichtige Sprachkommentare, Animationen, Hervorhebungen und andere Tools.

Die Videolektion beginnt mit einer Präsentation des Unterrichtsthemas und einem Bild einer Tangente an den Graphen einer Funktion y=f(x) am Punkt M(a;f(a)). Es ist bekannt, dass der Winkelkoeffizient der Tangente, die an einem bestimmten Punkt an den Graphen angelegt wird, gleich der Ableitung der Funktion f΄(a) an diesem Punkt ist. Auch aus dem Algebrakurs kennen wir die Gleichung der Geraden y=kx+m. Die Lösung des Problems, die Tangentengleichung an einem Punkt zu finden, wird schematisch dargestellt, was sich auf das Finden der Koeffizienten k, m reduziert. Wenn wir die Koordinaten eines Punktes kennen, der zum Funktionsgraphen gehört, können wir m ermitteln, indem wir den Koordinatenwert in die Tangentengleichung f(a)=ka+m einsetzen. Daraus finden wir m=f(a)-ka. Wenn wir also den Wert der Ableitung an einem bestimmten Punkt und die Koordinaten des Punktes kennen, können wir die Tangentengleichung auf diese Weise darstellen: y=f(a)+f΄(a)(x-a).

Das Folgende ist ein Beispiel für die Erstellung einer Tangentengleichung nach dem Diagramm. Gegeben sei die Funktion y=x 2 , x=-2. Mit a=-2 ermitteln wir den Wert der Funktion an einem gegebenen Punkt f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4. Wir bestimmen die Ableitung der Funktion f΄(x)=2x. An diesem Punkt ist die Ableitung gleich f΄(a)= f΄(-2)=2·(-2)=-4. Um die Gleichung zusammenzustellen, wurden alle Koeffizienten a=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4 gefunden, sodass die Tangentengleichung y=4+(-4)(x+2) lautet. Wenn wir die Gleichung vereinfachen, erhalten wir y = -4-4x.

Das folgende Beispiel schlägt vor, eine Gleichung für die Tangente am Ursprung des Graphen der Funktion y=tgx zu konstruieren. An einem gegebenen Punkt a=0, f(0)=0, f΄(x)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. Die Tangentengleichung sieht also wie folgt aus: y=x.

Als Verallgemeinerung wird der Prozess des Zusammenstellens einer Gleichung tangential zum Graphen einer Funktion an einem bestimmten Punkt in Form eines Algorithmus formalisiert, der aus 4 Schritten besteht:

• Geben Sie für die Abszisse des Tangentenpunktes die Bezeichnung a ein;
• f(a) wird berechnet;
• f΄(x) wird bestimmt und f΄(a) berechnet. Die gefundenen Werte von a, f(a), f΄(a) werden in die Tangentengleichungsformel y=f(a)+f΄(a)(x-a) eingesetzt.

In Beispiel 1 wird die Zusammenstellung der Tangentengleichung an den Graphen der Funktion y=1/x am Punkt x=1 betrachtet. Um das Problem zu lösen, verwenden wir einen Algorithmus. Für eine gegebene Funktion am Punkt a=1 ist der Wert der Funktion f(a)=-1. Ableitung der Funktion f΄(x)=1/x 2. Am Punkt a=1 ist die Ableitung f΄(a)= f΄(1)=1. Anhand der erhaltenen Daten wird die Tangensgleichung y=-1+(x-1) oder y=x-2 erstellt.

In Beispiel 2 ist es notwendig, die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion y=x 3 +3x 2 -2x-2 zu finden. Die Hauptbedingung ist die Parallelität der Tangente und der Geraden y=-2x+1. Zuerst ermitteln wir den Winkelkoeffizienten der Tangente, der dem Winkelkoeffizienten der Geraden y=-2x+1 entspricht. Da f΄(a)=-2 für eine gegebene Gerade ist, ist k=-2 für die gewünschte Tangente. Wir finden die Ableitung der Funktion (x 3 +3x 2 -2x-2)΄=3x 2 +6x-2. Wenn wir wissen, dass f΄(a)=-2 ist, finden wir die Koordinaten von Punkt 3a 2 +6a-2=-2. Nachdem wir die Gleichung gelöst haben, erhalten wir 1 = 0 und 2 = -2. Anhand der gefundenen Koordinaten können Sie mit einem bekannten Algorithmus die Tangentengleichung ermitteln. Wir finden den Wert der Funktion an den Punkten f(a 1)=-2, f(a 2)=-18. Der Wert der Ableitung am Punkt f΄(à 1)= f΄(à 2)=-2. Wenn wir die gefundenen Werte in die Tangentengleichung einsetzen, erhalten wir für den ersten Punkt a 1 =0 y=-2x-2 und für den zweiten Punkt a 2 =-2 die Tangentengleichung y=-2x-22.

Beispiel 3 beschreibt die Zusammensetzung der Tangentengleichung zum Zeichnen am Punkt (0;3) zum Graphen der Funktion y=√x. Die Lösung erfolgt über einen bekannten Algorithmus. Der Tangentenpunkt hat die Koordinaten x=a, wobei a>0. Der Wert der Funktion am Punkt f(a)=√x. Die Ableitung der Funktion f΄(х)=1/2√х, also an einem bestimmten Punkt f΄(а)=1/2√а. Wenn wir alle erhaltenen Werte in die Tangentengleichung einsetzen, erhalten wir y = √a + (x-a)/2√a. Wenn wir die Gleichung umwandeln, erhalten wir y=x/2√а+√а/2. Da wir wissen, dass die Tangente durch den Punkt (0;3) verläuft, ermitteln wir den Wert von a. Wir finden a aus 3=√a/2. Daher ist √a=6, a=36. Wir finden die Tangentengleichung y=x/12+3. Die Abbildung zeigt den Graphen der betrachteten Funktion und den konstruierten Solltangens.

Die Schüler werden an die Näherungsgleichungen Δy=≈f΄(x)Δx und f(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx erinnert. Nehmen wir x=a, x+Δx=x, Δx=x-a, erhalten wir f(x)- f(a)≈f΄(a)(x-a), also f(x)≈f(a)+ f΄( a)(x-a).

In Beispiel 4 muss der ungefähre Wert des Ausdrucks 2,003 6 ermittelt werden. Da es notwendig ist, den Wert der Funktion f(x)=x 6 am Punkt x=2,003 zu finden, können wir die bekannte Formel verwenden und f(x)=x 6, a=2, f(a )= f(2)=64, f ΄(x)=6x 5. Ableitung am Punkt f΄(2)=192. Daher 2,003 6 ≈65-192·0,003. Nachdem wir den Ausdruck berechnet haben, erhalten wir 2,003 6 ≈64,576.

Die Videolektion „Gleichung einer Tangente an den Graphen einer Funktion“ wird für den Einsatz im klassischen Mathematikunterricht in der Schule empfohlen. Für einen Lehrer, der aus der Ferne unterrichtet, hilft Videomaterial dabei, das Thema klarer zu erklären. Den Studierenden kann empfohlen werden, das Video bei Bedarf selbstständig durchzulesen, um ihr Verständnis für das Thema zu vertiefen.

TEXTDEKODIERUNG:

Wir wissen, dass, wenn ein Punkt M (a; f(a)) (em mit den Koordinaten a und ef von a) zum Graphen der Funktion y = f (x) gehört und es an diesem Punkt möglich ist, eine Tangente zu zeichnen zum Graphen der Funktion, der nicht senkrecht zur Abszisse der Achse steht, dann ist der Winkelkoeffizient der Tangente gleich f"(a) (eff Primzahl von a).

Gegeben sei eine Funktion y = f(x) und ein Punkt M (a; f(a)), und es sei auch bekannt, dass f´(a) existiert. Erstellen wir eine Gleichung für die Tangente an den Graphen einer gegebenen Funktion an einem gegebenen Punkt. Diese Gleichung hat, wie die Gleichung jeder geraden Linie, die nicht parallel zur Ordinatenachse ist, die Form y = kx+m (das y ist gleich ka x plus em), daher besteht die Aufgabe darin, die Werte von zu finden die Koeffizienten k und m. (ka und em)

Winkelkoeffizient k= f"(a). Um den Wert von m zu berechnen, nutzen wir die Tatsache, dass die gewünschte Gerade durch den Punkt M(a; f (a)) verläuft. Dies bedeutet, dass, wenn wir die Koordinaten des ersetzen Punkt M in die Geradengleichung ein, erhalten wir die korrekte Gleichung: f(a) = ka+m, woraus folgt, dass m = f(a) - ka.

Es müssen noch die gefundenen Werte der Koeffizienten ki und m in die Geradengleichung eingesetzt werden:

y = kx+(f(a) -ka);

y = f(a)+k(x-a);

j= F(A)+ F"(A) (X- A). ( y ist gleich ef aus a plus ef prim aus a, multipliziert mit x minus a).

Wir haben die Gleichung für die Tangente an den Graphen der Funktion y = f(x) am Punkt x=a erhalten.

Wenn beispielsweise y = x 2 und x = -2 (d. h. a = -2), dann ist f (a) = f (-2) = (-2) 2 = 4; f´(x) = 2x, was f"(a) = f´(-2) = 2·(-2) = -4 bedeutet. (dann ist der ef von a gleich vier, der ef der Primzahl von x ist gleich zwei x, was bedeutet, dass ef prim von a gleich minus vier ist)

Wenn wir die gefundenen Werte a = -2, f(a) = 4, f"(a) = -4 in die Gleichung einsetzen, erhalten wir: y = 4+(-4)(x+2), d.h. y = -4x -4.

(E ist gleich minus vier x minus vier)

Erstellen wir eine Gleichung für die Tangente an den Graphen der Funktion y = tgx(Griechisch gleich Tangente x) im Ursprung. Es gilt: a = 0, f(0) = tan0=0;

f"(x)= , was f"(0) = l bedeutet. Wenn wir die gefundenen Werte a=0, f(a)=0, f´(a) = 1 in die Gleichung einsetzen, erhalten wir: y=x.

Fassen wir unsere Schritte zusammen, um mithilfe eines Algorithmus die Gleichung der Tangente an den Graphen einer Funktion am Punkt x zu finden.

Algorithmus zur Entwicklung einer Gleichung für eine Tangente an den Graphen der Funktion y = f(x):

1) Bezeichnen Sie die Abszisse des Tangentenpunktes mit dem Buchstaben a.

2) Berechnen Sie f(a).

3) Finden Sie f´(x) und berechnen Sie f´(a).

4) Setze die gefundenen Zahlen a, f(a), f´(a) in die Formel ein j= F(A)+ F"(A) (X- A).

Beispiel 1. Erstellen Sie eine Gleichung für die Tangente an den Graphen der Funktion y = - in

Punkt x = 1.

Lösung. Lassen Sie uns den Algorithmus verwenden und dabei Folgendes berücksichtigen in diesem Beispiel

2) f(a)=f(1)=- =-1

3) f´(x)=; f´(a)= f´(1)= =1.

4) Setzen Sie die gefundenen drei Zahlen: a = 1, f(a) = -1, f"(a) = 1 in die Formel ein. Wir erhalten: y = -1+(x-1), y = x-2 .

Antwort: y = x-2.

Beispiel 2. Gegeben sei die Funktion y = x 3 +3x 2 -2x-2. Schreiben Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion y = f(x) parallel zur Geraden y = -2x +1 auf.

Mit dem Algorithmus zum Zusammenstellen der Tangentengleichung berücksichtigen wir, dass in diesem Beispiel f(x) = x 3 +3x 2 -2x-2, aber die Abszisse des Tangentenpunktes ist hier nicht angegeben.

Fangen wir an, so zu denken. Die gewünschte Tangente muss parallel zur Geraden y = -2x+1 sein. Und parallele Linien haben gleiche Winkelkoeffizienten. Das bedeutet, dass der Winkelkoeffizient der Tangente gleich dem Winkelkoeffizienten der gegebenen Geraden ist: k Tangente. = -2. Hok cas. = f"(a). Somit können wir den Wert von a aus der Gleichung f ´(a) = -2 ermitteln.

Finden wir die Ableitung der Funktion y=F(X):

F"(X)= (x 3 +3x 2 -2x-2)´ =3x 2 +6x-2;F„(a)= 3a 2 +6a-2.

Aus der Gleichung f"(a) = -2, d.h. 3a 2 +6a-2=-2 finden wir a 1 =0, a 2 =-2. Das bedeutet, dass es zwei Tangenten gibt, die die Bedingungen des Problems erfüllen: eine am Punkt mit der Abszisse 0, die andere am Punkt mit der Abszisse -2.

Jetzt können Sie dem Algorithmus folgen.

1) a 1 =0 und 2 =-2.

2) f(ein 1)= 0 3 +3·0 2 -2∙0-2=-2; f(a 2)= (-2) 3 +3·(-2) 2 -2·(-2)-2=6;

3) f"(a 1) = f"(a 2) = -2.

4) Wenn wir die Werte a 1 = 0, f(a 1) = -2, f"(a 1) = -2 in die Formel einsetzen, erhalten wir:

y=-2-2(x-0), y=-2x-2.

Wenn wir die Werte a 2 = -2, f(a 2) =6, f"(a 2) = -2 in die Formel einsetzen, erhalten wir:

y=6-2(x+2), y=-2x+2.

Antwort: y=-2x-2, y=-2x+2.

Beispiel 3. Zeichnen Sie vom Punkt (0; 3) eine Tangente an den Graphen der Funktion y = . Lösung. Lassen Sie uns den Algorithmus zum Erstellen der Tangentengleichung verwenden und dabei berücksichtigen, dass in diesem Beispiel f(x) = . Beachten Sie, dass hier, wie in Beispiel 2, die Abszisse des Tangentenpunkts nicht explizit angegeben wird. Dennoch folgen wir dem Algorithmus.

1) Sei x = a die Abszisse des Tangentialpunktes; Es ist klar, dass a >0.

3) f´(x)=()´=; f´(a) =.

4) Einsetzen der Werte von a, f(a) = , f"(a) = in die Formel

y=f (a) +f "(a) (x-a), wir bekommen:

Gemäß der Bedingung verläuft die Tangente durch den Punkt (0; 3). Wenn wir die Werte x = 0, y = 3 in die Gleichung einsetzen, erhalten wir: 3 = , und dann =6, a =36.

Wie Sie in diesem Beispiel sehen können, ist es uns erst im vierten Schritt des Algorithmus gelungen, die Abszisse des Tangentenpunkts zu finden. Wenn wir den Wert a =36 in die Gleichung einsetzen, erhalten wir: y=+3

In Abb. Abbildung 1 zeigt eine geometrische Darstellung des betrachteten Beispiels: Ein Graph der Funktion y = wird konstruiert, eine Gerade wird gezeichnet y = +3.

Antwort: y = +3.

Wir wissen, dass für eine Funktion y = f(x), die im Punkt x eine Ableitung hat, die Näherungsgleichung gilt: Δyf´(x)Δx (Delta y ist ungefähr gleich der eff-Primzahl von x multipliziert mit Delta x)

oder genauer gesagt: f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (eff von x plus Delta x minus ef von x ist ungefähr gleich ef prime von x mal Delta x).

Zur Vereinfachung der weiteren Diskussion ändern wir die Notation:

statt x schreiben wir A,

statt x+Δx schreiben wir x

Anstelle von Δx schreiben wir x-a.

Dann nimmt die oben beschriebene ungefähre Gleichheit die Form an:

f(x)-f(a)f´(a)(x-a)

f(x)f(a)+f´(a)(x-a). (eff von x ist ungefähr gleich ef von a plus ef prim von a, multipliziert mit der Differenz zwischen x und a).

Beispiel 4: Finden Sie einen ungefähren Wert numerischer Ausdruck 2,003 6 .

Lösung. Wir sprechen davon, den Wert der Funktion y = x 6 am Punkt x = 2,003 zu finden. Verwenden wir die Formel f(x)f(a)+f´(a)(x-a) und berücksichtigen dabei, dass in diesem Beispiel f(x)=x 6, a = 2,f(a) = f(2) = 2 6 =64; x = 2,003, f"(x) = 6x 5 und daher f"(a) = f"(2) = 6 2 5 =192.

Als Ergebnis erhalten wir:

2,003 6 64+192· 0,003, d.h. 2,003 6 =64,576.

Wenn wir einen Taschenrechner verwenden, erhalten wir:

2,003 6 = 64,5781643...

Wie Sie sehen, ist die Näherungsgenauigkeit durchaus akzeptabel.

Eine ihrer Hauptaufgaben im gegenwärtigen Entwicklungsstadium der Bildung ist die Bildung einer kreativ denkenden Persönlichkeit. Die Kreativitätsfähigkeit der Studierenden kann nur dann entwickelt werden, wenn sie sich systematisch in die Grundlagen der Forschungstätigkeit einarbeiten. Die Grundlage dafür, dass die Studierenden ihre kreativen Kräfte, Fähigkeiten und Talente nutzen können, ist die Ausbildung umfassender Kenntnisse und Fähigkeiten. In diesem Zusammenhang ist das Problem der Bildung eines Systems grundlegender Kenntnisse und Fähigkeiten für jedes Thema des schulischen Mathematikunterrichts von nicht geringer Bedeutung. Dabei sollte die Vermittlung vollwertiger Kompetenzen nicht das didaktische Ziel einzelner Aufgaben, sondern eines durchdachten Systems davon sein. Im weitesten Sinne wird ein System als eine Menge miteinander verbundener, interagierender Elemente verstanden, die Integrität und eine stabile Struktur aufweisen.

Betrachten wir eine Technik, mit der Schüler lernen können, eine Gleichung für eine Tangente an den Graphen einer Funktion zu schreiben. Im Wesentlichen beruhen alle Probleme beim Finden der Tangentengleichung auf der Notwendigkeit, aus einer Menge (Bündel, Familie) von Geraden diejenigen auszuwählen, die eine bestimmte Anforderung erfüllen – sie sind tangential zum Graphen einer bestimmten Funktion. In diesem Fall kann die Menge der Zeilen, aus denen ausgewählt wird, auf zwei Arten angegeben werden:

a) ein Punkt, der auf der xOy-Ebene liegt (zentrales Linienbündel);
b) Winkelkoeffizient (paralleler Strahl gerader Linien).

In diesem Zusammenhang haben wir bei der Untersuchung des Themas „Tangente an den Graphen einer Funktion“ zur Isolierung der Elemente des Systems zwei Arten von Problemen identifiziert:

1) Probleme an einer Tangente, die durch den Punkt gegeben ist, durch den sie verläuft;
2) Probleme an einer Tangente, die durch ihre Steigung gegeben ist.

Das Training zur Lösung von Tangentenproblemen wurde mit dem von A.G. vorgeschlagenen Algorithmus durchgeführt. Mordkowitsch. Der grundlegende Unterschied zu den bereits bekannten besteht darin, dass die Abszisse des Tangentenpunkts mit dem Buchstaben a (anstelle von x0) bezeichnet wird und daher die Tangentengleichung die Form annimmt

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(vergleiche mit y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). Diese methodische Technik ermöglicht es den Schülern unserer Meinung nach, schnell und einfach zu verstehen, wo die Koordinaten des aktuellen Punktes eingeschrieben sind die allgemeine Tangentengleichung und wo liegen die Berührungspunkte?

Algorithmus zum Zusammenstellen der Tangentengleichung an den Graphen der Funktion y = f(x)

1. Bezeichnen Sie die Abszisse des Tangentenpunktes mit dem Buchstaben a.
2. Finden Sie f(a).
3. Finden Sie f "(x) und f "(a).
4. Setze die gefundenen Zahlen ein, f(ein), f "(ein) in die allgemeine Tangentengleichung ein y = f(ein) = f "(ein)(x – ein).

Dieser Algorithmus kann auf der Grundlage der unabhängigen Identifizierung von Operationen durch die Studierenden und der Reihenfolge ihrer Implementierung erstellt werden.

Die Praxis hat gezeigt, dass Sie durch die sequentielle Lösung jedes der Schlüsselprobleme mithilfe eines Algorithmus die Fähigkeit entwickeln können, die Gleichung einer Tangente an den Graphen einer Funktion schrittweise zu schreiben, und die Schritte des Algorithmus als Bezugspunkte für Aktionen dienen . Dieser Ansatz entspricht der von P.Ya. entwickelten Theorie der allmählichen Bildung geistiger Handlungen. Galperin und N.F. Talyzina.

Im ersten Aufgabentyp wurden zwei Schlüsselaufgaben identifiziert:

• die Tangente verläuft durch einen auf der Kurve liegenden Punkt (Aufgabe 1);
• die Tangente geht durch einen Punkt, der nicht auf der Kurve liegt (Aufgabe 2).

Aufgabe 1. Schreiben Sie eine Gleichung für die Tangente an den Funktionsgraphen am Punkt M(3; – 2).

Lösung. Punkt M(3; – 2) ist ein Tangentenpunkt, da

1. a = 3 – Abszisse des Tangentenpunktes.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – Tangensgleichung.

Aufgabe 2. Schreiben Sie die Gleichungen aller Tangenten an den Graphen der Funktion y = – x 2 – 4x + 2, die durch den Punkt M(– 3; 6) verläuft.

Lösung. Punkt M(– 3; 6) ist kein Tangentenpunkt, da f(– 3) 6 (Abb. 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – Tangentengleichung.

Die Tangente verläuft durch den Punkt M(– 3; 6), daher erfüllen seine Koordinaten die Tangentengleichung.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

Wenn a = – 4, dann lautet die Tangentengleichung y = 4x + 18.

Wenn a = – 2, dann hat die Tangentengleichung die Form y = 6.

Beim zweiten Typ sind die Hauptaufgaben folgende:

• die Tangente verläuft parallel zu einer Geraden (Aufgabe 3);
• die Tangente verläuft in einem bestimmten Winkel zur gegebenen Geraden (Aufgabe 4).

Aufgabe 3. Schreiben Sie die Gleichungen aller Tangenten an den Graphen der Funktion y = x 3 – 3x 2 + 3, parallel zur Geraden y = 9x + 1.

1. a – Abszisse des Tangentenpunktes.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

Aber andererseits ist f "(a) = 9 (Parallelitätsbedingung). Das bedeutet, dass wir die Gleichung 3a 2 – 6a = 9 lösen müssen. Ihre Wurzeln sind a = – 1, a = 3 (Abb. 3 ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 – Tangentengleichung;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – Tangentengleichung.

Aufgabe 4. Schreiben Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion y = 0,5x 2 – 3x + 1, die in einem Winkel von 45° zur Geraden y = 0 verläuft (Abb. 4).

Lösung. Aus der Bedingung f "(a) = tan 45° ergibt sich a: a – 3 = 1 ^ a = 4.

1. a = 4 – Abszisse des Tangentenpunktes.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – Tangentengleichung.

Es lässt sich leicht zeigen, dass die Lösung jedes anderen Problems darin besteht, ein oder mehrere Schlüsselprobleme zu lösen. Betrachten Sie als Beispiel die folgenden zwei Probleme.

1. Schreiben Sie die Gleichungen der Tangenten an die Parabel y = 2x 2 – 5x – 2, wenn sich die Tangenten im rechten Winkel schneiden und eine von ihnen die Parabel im Punkt mit Abszisse 3 berührt (Abb. 5).

Lösung. Da die Abszisse des Tangentenpunktes gegeben ist, reduziert sich der erste Teil der Lösung auf Kernproblem 1.

1. a = 3 – Abszisse des Tangentialpunktes einer der Seiten des rechten Winkels.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – Gleichung der ersten Tangente.

Sei a der Neigungswinkel der ersten Tangente. Da die Tangenten senkrecht zueinander stehen, gilt auch der Neigungswinkel der zweiten Tangente. Aus der Gleichung y = 7x – 20 der ersten Tangente ergibt sich tg a = 7. Finden wir

Das bedeutet, dass die Steigung der zweiten Tangente gleich ist.

Die weitere Lösung ergibt sich aus Kernaufgabe 3.

Sei dann B(c; f(c)) der Tangentialpunkt der zweiten Geraden

1. – Abszisse des zweiten Tangentialpunktes.
2.
3.
4.
– Gleichung der zweiten Tangente.

Notiz. Der Winkelkoeffizient der Tangente kann leichter ermittelt werden, wenn die Schüler das Verhältnis der Koeffizienten senkrechter Geraden kennen k 1 k 2 = – 1.

2. Schreiben Sie die Gleichungen aller gemeinsamen Tangenten an die Funktionsgraphen

Lösung. Die Aufgabe besteht darin, die Abszisse der Tangentenpunkte gemeinsamer Tangenten zu finden, also das Schlüsselproblem 1 in allgemeiner Form zu lösen, ein Gleichungssystem aufzustellen und es dann zu lösen (Abb. 6).

1. Sei a die Abszisse des Tangentenpunktes, der auf dem Graphen der Funktion y = x 2 + x + 1 liegt.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. Sei c die Abszisse des Tangentenpunktes, der auf dem Funktionsgraphen liegt
2.
3. f "(c) = c.
4.

Da Tangenten also allgemein sind

Also sind y = x + 1 und y = – 3x – 3 gemeinsame Tangenten.

Das Hauptziel der betrachteten Aufgaben besteht darin, die Studierenden darauf vorzubereiten, die Art des Schlüsselproblems bei der Lösung komplexerer Probleme, die bestimmte Forschungskompetenzen erfordern (die Fähigkeit zu analysieren, zu vergleichen, zu verallgemeinern, eine Hypothese aufzustellen usw.), selbstständig zu erkennen. Zu diesen Aufgaben zählen alle Aufgaben, in denen die Schlüsselaufgabe als Komponente enthalten ist. Betrachten wir als Beispiel das Problem (invers zu Problem 1), eine Funktion aus der Familie ihrer Tangenten zu finden.

3. Für welche b und c sind die Geraden y = x und y = – 2x tangential zum Graphen der Funktion y = x 2 + bx + c?

Sei t die Abszisse des Tangentialpunktes der Geraden y = x mit der Parabel y = x 2 + bx + c; p ist die Abszisse des Tangentialpunktes der Geraden y = – 2x mit der Parabel y = x 2 + bx + c. Dann nimmt die Tangentengleichung y = x die Form y = (2t + b)x + c – t 2 an, und die Tangentengleichung y = – 2x nimmt die Form y = (2p + b)x + c – p 2 an .

Lassen Sie uns ein Gleichungssystem aufstellen und lösen

Antwort: