Beispiele für den Abstand von einem Punkt zu einer Linie. Bestimmen des Abstands von einem Punkt zu einer Geraden

Staatliche Marinetechnische Universität St. Petersburg

Abteilung Computergrafik und Informationsunterstützung

LEKTION 3

PRAKTISCHE AUFGABE Nr. 3

Bestimmen des Abstands von einem Punkt zu einer Geraden.

Sie können den Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden bestimmen, indem Sie die folgenden Konstruktionen durchführen (siehe Abb. 1):

· vom Punkt MIT Senken Sie die Senkrechte auf eine gerade Linie A;

· Markieren Sie einen Punkt ZU Schnittpunkt einer Senkrechten mit einer Geraden;

Messen Sie die Länge des Segments KS, dessen Anfang ein gegebener Punkt und dessen Ende der markierte Schnittpunkt ist.

Abb.1. Abstand von einem Punkt zu einer Linie.

Grundlage für die Lösung derartiger Probleme ist die Projektionsregel rechter Winkel: Ein rechter Winkel wird verzerrungsfrei projiziert, wenn mindestens eine seiner Seiten parallel zur Projektionsebene verläuft(d. h. nimmt eine private Position ein). Beginnen wir mit einem solchen Fall und betrachten Konstruktionen zur Bestimmung der Entfernung von einem Punkt MIT zu einem geraden Liniensegment AB.

Für diese Aufgabe gibt es keine Testbeispiele, es werden Möglichkeiten zur Lösung einzelner Aufgaben angegeben Tabelle1 und Tabelle2. Die Lösung des Problems wird im Folgenden beschrieben, die entsprechenden Konstruktionen sind in Abb. 2 dargestellt.

1. Bestimmen des Abstands von einem Punkt zu einer bestimmten Linie.

Zunächst werden Projektionen eines Punktes und einer Strecke konstruiert. Projektion A1B1 parallel zur Achse X. Dies bedeutet, dass das Segment AB parallel zur Ebene P2. Wenn von Punkt MIT senkrecht zeichnen AB, dann wird der rechte Winkel verzerrungsfrei auf die Ebene projiziert P2. Dadurch können Sie eine Senkrechte von einem Punkt aus zeichnen C2 zur Projektion A2B2.

Dropdown-Menü Zeichnungssegment (Ziehen- Linie) . Platzieren Sie den Cursor am Punkt C2 und fixieren Sie ihn als ersten Punkt des Segments. Bewegen Sie den Cursor in Richtung der Normalen des Segments A2B2 und fixieren Sie den zweiten Punkt darauf, sobald der Hinweis erscheint Normal (Aufrecht) . Markieren Sie den konstruierten Punkt K2. Modus aktivieren ORTHO(ORTHO) , und vom Punkt K2 Zeichnen Sie eine vertikale Verbindungslinie, bis sie die Projektion schneidet A1 B1. Bezeichnen Sie den Schnittpunkt mit K1. Punkt ZU, auf dem Segment liegend AB, ist der Schnittpunkt der Senkrechten, die von diesem Punkt aus gezogen werden MIT, mit Segment AB. Also das Segment KS ist der erforderliche Abstand vom Punkt zur Linie.

Aus den Konstruktionen geht hervor, dass das Segment KS nimmt eine allgemeine Position ein und daher sind seine Prognosen verzerrt. Wenn wir über Distanz reden, meinen wir immer wahren Wert des Segments, was die Entfernung ausdrückt. Daher müssen wir den wahren Wert des Segments ermitteln KS, durch Drehen in eine bestimmte Position, zum Beispiel KS|| P1. Das Ergebnis der Konstruktionen ist in Abb. 2 dargestellt.

Aus den in Abb. 2 gezeigten Konstruktionen können wir schließen: Die besondere Position der Linie (das Segment ist parallel). P1 oder P2) ermöglicht es Ihnen, schnell Projektionen des Abstands von einem Punkt zu einer Linie zu erstellen, diese sind jedoch verzerrt.

Abb.2. Bestimmen des Abstands von einem Punkt zu einer bestimmten Linie.

2. Bestimmen des Abstands von einem Punkt zu einer Linie allgemeine Stellung.

Das Segment nimmt im Ausgangszustand nicht immer eine bestimmte Position ein. Mit einer allgemeinen Ausgangsposition werden folgende Konstruktionen durchgeführt, um den Abstand von einem Punkt zu einer Linie zu bestimmen:

a) Konvertieren Sie mithilfe der Zeichnungstransformationsmethode ein Segment von einer allgemeinen Position in eine bestimmte Position. Dadurch können (verzerrte) Abstandsprojektionen erstellt werden.

b) Konvertieren Sie mit der Methode erneut das Segment, das der erforderlichen Entfernung entspricht, in eine bestimmte Position. Wir erhalten eine Projektion der Entfernung, deren Größe der tatsächlichen entspricht.

Betrachten Sie die Reihenfolge der Konstruktionen, um die Entfernung von einem Punkt zu bestimmen A zu einem Segment in allgemeiner Position Sonne(Abb. 3).

Beim ersten Durchlauf Es ist notwendig, die jeweilige Position des Segments zu ermitteln INC. Dies geschieht in der Ebene TMR müssen die Punkte verbinden UM 2, C2 Und A2. Verwenden des Befehls Ändern-Drehen (Ändern – Drehen) Dreieck В2С2А2 um einen Punkt drehen C2 an die Position, an der sich die neue Projektion befindet B2*C2 wird streng horizontal liegen (Punkt MIT ist bewegungslos und daher stimmt seine neue Projektion mit der ursprünglichen und der Bezeichnung überein C2* Und C1* dürfen in der Zeichnung nicht dargestellt sein). Als Ergebnis werden neue Prognosen für das Segment erstellt B2*C2 und Punkte: A2*. Weiter nach Punkten A2* Und UM 2* vertikale werden durchgeführt, und zwar von den Punkten IN 1 Und A1 horizontale Kommunikationslinien. Der Schnittpunkt der entsprechenden Linien bestimmt die Position der Punkte der neuen horizontalen Projektion: des Segments B1*C1 und Punkte A1*.

In der resultierenden bestimmten Position können wir hierfür Abstandsprojektionen konstruieren: vom Punkt A1* das Normale B1*C1. Der Punkt ihrer gegenseitigen Schnittmenge ist K1*. Von diesem Punkt aus wird eine vertikale Verbindungslinie gezeichnet, bis sie die Projektion schneidet B2*C2. Ein Punkt wird markiert K2*. Als Ergebnis wurden die Prognosen des Segments erhalten AK, das ist der erforderliche Abstand vom Punkt A zu einem geraden Liniensegment Sonne.

Als nächstes ist es notwendig, Distanzprojektionen im Ausgangszustand zu konstruieren. Um dies vom Punkt aus zu tun K1* Es ist zweckmäßig, eine horizontale Linie zu zeichnen, bis sie die Projektion schneidet В1С1 und markieren Sie den Schnittpunkt K1. Dann wird ein Punkt konstruiert K2 Auf der Frontalprojektion des Segments werden Projektionen durchgeführt A1K1 Und A2K2. Als Ergebnis der Konstruktionen wurden Projektionen der Entfernung erhalten, jedoch sowohl in der ursprünglichen als auch in der neuen Teilposition des Segments Sonne, Liniensegment AK nimmt eine allgemeine Position ein, und dies führt dazu, dass alle seine Projektionen verzerrt sind.

Bei der zweiten Umdrehung Es ist notwendig, das Segment zu drehen AK zu einer bestimmten Position, die es uns ermöglicht, den wahren Wert der Entfernungsprojektion zu bestimmen A2*K2**. Das Ergebnis aller Konstruktionen ist in Abb. 3 dargestellt.

AUFGABE Nr. 3-1. MIT zu einer geraden Linie mit einer bestimmten Position, die durch ein Segment angegeben wird AB. Geben Sie die Antwort in mm an (Tabelle 1).Projektionslinsen entfernen

Tabelle 1

AUFGABE Nr. 3-2. Finden Sie die wahre Entfernung von einem Punkt M zu einer geraden Linie in der durch das Segment gegebenen allgemeinen Position ED. Geben Sie die Antwort in mm an (Tabelle 2).

Tabelle 2

Überprüfen und Bestehen der abgeschlossenen AUFGABE Nr. 3.

Oh-oh-oh-oh-oh... na ja, das ist hart, als ob er sich einen Satz vorliest =) Entspannung hilft aber später, zumal ich mir heute die passenden Accessoires gekauft habe. Fahren wir daher mit dem ersten Abschnitt fort. Ich hoffe, dass ich am Ende des Artikels eine fröhliche Stimmung bewahren werde.

Die relative Position zweier gerader Linien

Dies ist der Fall, wenn das Publikum im Chor mitsingt. Zwei gerade Linien können:

1) Spiel;

2) parallel sein: ;

3) oder sich in einem einzigen Punkt schneiden: .

Hilfe für Dummies : Bitte denk daran mathematisches Zeichen Kreuzungen wird es sehr häufig vorkommen. Die Notation bedeutet, dass die Linie die Linie im Punkt schneidet.

Wie bestimmt man die relative Position zweier Linien?

Beginnen wir mit dem ersten Fall:

Zwei Geraden fallen genau dann zusammen, wenn ihre entsprechenden Koeffizienten proportional sind, das heißt, es gibt eine Zahl „Lambda“, so dass die Gleichheiten erfüllt sind

Betrachten wir die Geraden und erstellen wir drei Gleichungen aus den entsprechenden Koeffizienten: . Aus jeder Gleichung folgt, dass diese Geraden zusammenfallen.

In der Tat, wenn alle Koeffizienten der Gleichung Mit –1 multiplizieren (Vorzeichen ändern) und alle Koeffizienten der Gleichung um 2 reduzieren, erhalten Sie die gleiche Gleichung: .

Der zweite Fall, wenn die Geraden parallel sind:

Zwei Geraden sind genau dann parallel, wenn ihre Koeffizienten der Variablen proportional sind: , Aber.

Betrachten Sie als Beispiel zwei Geraden. Wir prüfen die Proportionalität der entsprechenden Koeffizienten für die Variablen:

Es ist jedoch ziemlich offensichtlich, dass.

Und der dritte Fall, wenn sich die Linien schneiden:

Zwei Geraden schneiden sich genau dann, wenn ihre Koeffizienten der Variablen NICHT proportional sind Das heißt, es gibt KEINEN solchen Wert von „Lambda“, dass die Gleichheiten erfüllt sind

Für gerade Linien erstellen wir also ein System:

Aus der ersten Gleichung folgt, dass und aus der zweiten Gleichung: , was bedeutet Das System ist inkonsistent(keine Lösungen). Somit sind die Koeffizienten der Variablen nicht proportional.

Fazit: Linien schneiden sich

Bei praktischen Problemen können Sie das gerade besprochene Lösungsschema verwenden. Es erinnert übrigens sehr an den Algorithmus zur Überprüfung von Vektoren auf Kollinearität, den wir uns im Unterricht angesehen haben Das Konzept der linearen (Un-)Abhängigkeit von Vektoren. Basis von Vektoren. Aber es gibt eine zivilisiertere Verpackung:

Beispiel 1

Herausfinden gegenseitige Übereinkunft Direkte:

Lösung basierend auf der Untersuchung der Richtungsvektoren gerader Linien:

a) Aus den Gleichungen ermitteln wir die Richtungsvektoren der Geraden: .

, was bedeutet, dass die Vektoren nicht kollinear sind und sich die Geraden schneiden.

Für alle Fälle stelle ich an der Kreuzung einen Stein mit Schildern auf:

Der Rest springt über den Stein und folgt weiter, direkt zu Kashchei dem Unsterblichen =)

b) Finden Sie die Richtungsvektoren der Geraden:

Die Linien haben den gleichen Richtungsvektor, das heißt, sie sind entweder parallel oder fallen zusammen. Die Determinante muss hier nicht gezählt werden.

Es ist offensichtlich, dass die Koeffizienten der Unbekannten proportional sind und .

Finden wir heraus, ob die Gleichheit wahr ist:

Auf diese Weise,

c) Finden Sie die Richtungsvektoren der Geraden:

Berechnen wir die Determinante, die aus den Koordinaten dieser Vektoren besteht:
Daher sind die Richtungsvektoren kollinear. Die Linien sind entweder parallel oder fallen zusammen.

Der Proportionalitätskoeffizient „Lambda“ lässt sich leicht direkt aus dem Verhältnis der kollinearen Richtungsvektoren ablesen. Es kann jedoch auch über die Koeffizienten der Gleichungen selbst ermittelt werden: .

Lassen Sie uns nun herausfinden, ob die Gleichheit wahr ist. Beide freien Terme sind Null, also:

Der resultierende Wert erfüllt diese Gleichung(Jede Zahl erfüllt im Allgemeinen die Anforderungen).

Somit fallen die Linien zusammen.

Antwort:

Schon bald werden Sie lernen (oder haben es sogar schon gelernt), das verbal besprochene Problem buchstäblich in Sekundenschnelle zu lösen. In dieser Hinsicht sehe ich keinen Sinn darin, etwas dafür anzubieten unabhängige Entscheidung, ist es besser, einen weiteren wichtigen Baustein in das geometrische Fundament zu legen:

Wie konstruiere ich eine Linie parallel zu einer gegebenen Linie?

Aus Unwissenheit darüber einfachste Aufgabe Nachtigall der Räuber bestraft hart.

Beispiel 2

Die Gerade ergibt sich aus der Gleichung. Schreiben Sie eine Gleichung für eine parallele Gerade, die durch den Punkt verläuft.

Lösung: Bezeichnen wir die unbekannte Zeile mit dem Buchstaben . Was sagt der Zustand über sie aus? Die Gerade geht durch den Punkt. Und wenn die Geraden parallel sind, dann ist es offensichtlich, dass der Richtungsvektor der Geraden „tse“ auch zur Konstruktion der Geraden „de“ geeignet ist.

Wir nehmen den Richtungsvektor aus der Gleichung:

Antwort:

Die Beispielgeometrie sieht einfach aus:

Das analytische Testen besteht aus den folgenden Schritten:

1) Wir überprüfen, ob die Linien den gleichen Richtungsvektor haben (wenn die Gleichung der Linie nicht richtig vereinfacht wird, sind die Vektoren kollinear).

2) Überprüfen Sie, ob der Punkt die resultierende Gleichung erfüllt.

In den meisten Fällen können analytische Tests problemlos mündlich durchgeführt werden. Schauen Sie sich die beiden Gleichungen an, und viele von Ihnen werden schnell die Parallelität der Linien bestimmen, ohne sie zeichnen zu müssen.

Beispiele für eigenständige Lösungen werden heute kreativ sein. Weil Sie immer noch mit Baba Yaga konkurrieren müssen, und sie ist, wie Sie wissen, eine Liebhaberin aller möglichen Rätsel.

Beispiel 3

Schreiben Sie eine Gleichung für eine Gerade, die durch einen Punkt parallel zur Geraden verläuft

Es gibt einen rationalen und einen weniger rationalen Weg, das Problem zu lösen. Am meisten Abkürzung- am Ende der Lektion.

Wir haben ein wenig mit parallelen Linien gearbeitet und werden später darauf zurückkommen. Der Fall übereinstimmender Linien ist von geringem Interesse. Betrachten wir daher ein Problem, das Ihnen aus dem Lehrplan sehr bekannt ist:

Wie finde ich den Schnittpunkt zweier Geraden?

Wenn gerade sich im Punkt schneiden, dann sind seine Koordinaten die Lösung Systeme linearer Gleichungen

Wie finde ich den Schnittpunkt von Linien? Lösen Sie das System.

Bitte schön geometrische Bedeutung des Zweiersystems lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten- Dies sind (meistens) zwei sich schneidende Linien in einer Ebene.

Beispiel 4

Finden Sie den Schnittpunkt der Linien

Lösung: Es gibt zwei Lösungswege – grafisch und analytisch.

Die grafische Methode besteht darin, einfach die vorgegebenen Linien zu zeichnen und den Schnittpunkt direkt aus der Zeichnung herauszufinden:

Hier ist unser Punkt: . Um dies zu überprüfen, sollten Sie ihre Koordinaten in jede Gleichung der Linie einsetzen. Sie sollten sowohl dort als auch dort passen. Mit anderen Worten: Die Koordinaten eines Punktes sind eine Lösung des Systems. Im Wesentlichen haben wir uns eine grafische Lösung angesehen Systeme linearer Gleichungen mit zwei Gleichungen, zwei Unbekannten.

Die grafische Methode ist natürlich nicht schlecht, aber es gibt spürbare Nachteile. Nein, es geht nicht darum, dass Siebtklässler so entscheiden, sondern darum, dass es einige Zeit dauern wird, eine korrekte und GENAUE Zeichnung zu erstellen. Darüber hinaus sind einige Geraden nicht so einfach zu konstruieren und der Schnittpunkt selbst kann irgendwo im dreißigsten Königreich außerhalb des Notizbuchblatts liegen.

Daher ist es sinnvoller, den Schnittpunkt mit einer analytischen Methode zu suchen. Lassen Sie uns das System lösen:

Zur Lösung des Systems wurde die Methode der Term-für-Term-Addition von Gleichungen verwendet. Nehmen Sie an einer Unterrichtsstunde teil, um relevante Fähigkeiten zu entwickeln Wie löst man ein Gleichungssystem?

Antwort:

Die Prüfung ist trivial – die Koordinaten des Schnittpunkts müssen jede Gleichung des Systems erfüllen.

Beispiel 5

Finden Sie den Schnittpunkt der Linien, wenn sie sich schneiden.

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Es ist zweckmäßig, die Aufgabe in mehrere Phasen aufzuteilen. Die Analyse des Zustands legt nahe, dass Folgendes erforderlich ist:
1) Schreiben Sie die Gleichung der Geraden auf.
2) Schreiben Sie die Gleichung der Geraden auf.
3) Ermitteln Sie die relative Position der Linien.
4) Wenn sich die Linien schneiden, ermitteln Sie den Schnittpunkt.

Die Entwicklung eines Aktionsalgorithmus ist typisch für viele geometrische Probleme, und ich werde mich immer wieder darauf konzentrieren.

Komplette Lösung und die Antwort am Ende der Lektion:

Noch nicht einmal ein Paar Schuhe war abgenutzt, bevor wir zum zweiten Abschnitt der Lektion kamen:

Senkrechte Linien. Abstand von einem Punkt zu einer Linie.
Winkel zwischen Geraden

Beginnen wir mit einem typischen und sehr wichtige Aufgabe. Im ersten Teil haben wir gelernt, wie man eine gerade Linie parallel zu dieser baut, und jetzt dreht sich die Hütte auf Hühnerbeinen um 90 Grad:

Wie konstruiere ich eine Gerade senkrecht zu einer gegebenen Geraden?

Beispiel 6

Die Gerade ergibt sich aus der Gleichung. Schreiben Sie eine Gleichung senkrecht zur Geraden, die durch den Punkt verläuft.

Lösung: Durch die Bedingung ist bekannt, dass . Es wäre schön, den Richtungsvektor der Linie zu finden. Da die Linien senkrecht stehen, ist der Trick einfach:

Aus der Gleichung „entfernen“ wir den Normalenvektor: , der der Richtungsvektor der Geraden sein wird.

Stellen wir die Gleichung einer Geraden aus einem Punkt und einem Richtungsvektor zusammen:

Antwort:

Erweitern wir die geometrische Skizze:

Hmmm... Orangefarbener Himmel, orangefarbenes Meer, orangefarbenes Kamel.

Analytische Überprüfung der Lösung:

1) Wir entnehmen die Richtungsvektoren aus den Gleichungen und mit der Hilfe Skalarprodukt von Vektoren Wir kommen zu dem Schluss, dass die Geraden tatsächlich senkrecht stehen: .

Übrigens können Sie Normalenvektoren verwenden, das ist noch einfacher.

2) Überprüfen Sie, ob der Punkt die resultierende Gleichung erfüllt .

Auch der Test lässt sich leicht mündlich durchführen.

Beispiel 7

Finden Sie den Schnittpunkt senkrechter Geraden, wenn die Gleichung bekannt ist und Punkt.

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Da das Problem mehrere Aktionen umfasst, ist es zweckmäßig, die Lösung Punkt für Punkt zu formulieren.

Unsere spannende Reise geht weiter:

Abstand vom Punkt zur Linie

Vor uns liegt ein gerader Flussstreifen und unsere Aufgabe ist es, auf dem kürzesten Weg dorthin zu gelangen. Es gibt keine Hindernisse und die optimale Route ist die Bewegung entlang der Senkrechten. Das heißt, der Abstand von einem Punkt zu einer Geraden ist die Länge des senkrechten Abschnitts.

In der Geometrie wird der Abstand traditionell mit dem griechischen Buchstaben „rho“ bezeichnet, zum Beispiel: – der Abstand vom Punkt „em“ zur Geraden „de“.

Abstand vom Punkt zur Linie ausgedrückt durch die Formel

Beispiel 8

Finden Sie den Abstand von einem Punkt zu einer Linie

Lösung: Sie müssen lediglich die Zahlen sorgfältig in die Formel einsetzen und die Berechnungen durchführen:

Antwort:

Machen wir die Zeichnung:

Der gefundene Abstand vom Punkt zur Linie entspricht genau der Länge des roten Segments. Wenn Sie eine Zeichnung auf kariertem Papier im Maßstab 1 Einheit erstellen. = 1 cm (2 Zellen), dann kann der Abstand mit einem gewöhnlichen Lineal gemessen werden.

Betrachten wir eine andere Aufgabe basierend auf derselben Zeichnung:

Die Aufgabe besteht darin, die Koordinaten eines Punktes zu finden, der relativ zur Geraden symmetrisch zum Punkt ist . Ich schlage vor, die Schritte selbst durchzuführen, aber ich werde den Lösungsalgorithmus mit Zwischenergebnissen skizzieren:

1) Finden Sie eine Linie, die senkrecht zur Linie steht.

2) Finden Sie den Schnittpunkt der Geraden: .

Beide Aktionen werden in dieser Lektion ausführlich besprochen.

3) Der Punkt ist der Mittelpunkt des Segments. Wir kennen die Koordinaten der Mitte und eines der Enden. Von Formeln für die Koordinaten des Mittelpunkts eines Segments wir finden .

Es wäre eine gute Idee zu überprüfen, ob der Abstand ebenfalls 2,2 Einheiten beträgt.

Hier kann es zu Berechnungsschwierigkeiten kommen, doch ein Mikrorechner im Turm ist eine große Hilfe und ermöglicht das Rechnen gemeinsame Brüche. Ich habe Sie schon oft beraten und werde Sie auch weiterhin weiterempfehlen.

Wie finde ich den Abstand zwischen zwei parallelen Linien?

Beispiel 9

Finden Sie den Abstand zwischen zwei parallelen Linien

Dies ist ein weiteres Beispiel, über das Sie selbst entscheiden können. Ich gebe Ihnen einen kleinen Hinweis: Es gibt unendlich viele Möglichkeiten, dieses Problem zu lösen. Nachbesprechung am Ende der Lektion, aber es ist besser, selbst zu raten, ich denke, Ihr Einfallsreichtum war gut entwickelt.

Winkel zwischen zwei Geraden

Jede Ecke ist ein Pfosten:


In der Geometrie wird der Winkel zwischen zwei Geraden als der KLEINERE Winkel angenommen, woraus automatisch folgt, dass er nicht stumpf sein kann. In der Abbildung wird der durch den roten Bogen angezeigte Winkel nicht als Winkel zwischen sich schneidenden Linien betrachtet. Und sein „grüner“ Nachbar bzw gegensätzlich ausgerichtet„Himbeer“-Ecke.

Stehen die Geraden senkrecht zueinander, kann jeder der vier Winkel als Winkel zwischen ihnen angenommen werden.

Wie unterscheiden sich die Winkel? Orientierung. Erstens ist die Richtung, in die der Winkel „gescrollt“ wird, von grundlegender Bedeutung. Zweitens wird ein negativ ausgerichteter Winkel mit einem Minuszeichen geschrieben, zum Beispiel wenn .

Warum habe ich dir das erzählt? Es scheint, dass wir mit dem üblichen Winkelkonzept auskommen können. Tatsache ist, dass die Formeln, mit denen wir Winkel ermitteln, leicht zu einem negativen Ergebnis führen können, und das sollte Sie nicht überraschen. Ein Winkel mit einem Minuszeichen ist nicht schlechter und hat eine ganz bestimmte geometrische Bedeutung. Achten Sie in der Zeichnung darauf, bei einem negativen Winkel dessen Ausrichtung mit einem Pfeil (im Uhrzeigersinn) anzugeben.

Wie finde ich den Winkel zwischen zwei Geraden? Es gibt zwei Arbeitsformeln:

Beispiel 10

Finden Sie den Winkel zwischen Linien

Lösung Und Methode eins

Betrachten wir zwei Geraden, die durch Gleichungen in allgemeiner Form definiert sind:

Wenn gerade nicht senkrecht, Das orientiert Der Winkel zwischen ihnen kann mit der Formel berechnet werden:

Achten wir genau auf den Nenner – genau dieser ist es Skalarprodukt richtende Vektoren von Geraden:

Wenn , dann wird der Nenner der Formel Null und die Vektoren sind orthogonal und die Linien sind senkrecht. Aus diesem Grund wurde in der Formulierung ein Vorbehalt hinsichtlich der Nichtsenkrechtigkeit von Geraden gemacht.

Basierend auf dem oben Gesagten ist es zweckmäßig, die Lösung in zwei Schritten zu formalisieren:

1) Berechnen wir das Skalarprodukt der Richtungsvektoren der Linien:
, was bedeutet, dass die Linien nicht senkrecht sind.

2) Ermitteln Sie den Winkel zwischen Geraden mit der Formel:

Mit Hilfe Umkehrfunktion Die Ecke selbst ist leicht zu finden. In diesem Fall verwenden wir die Ungeradheit des Arkustangens (siehe. Graphen und Eigenschaften elementarer Funktionen):

Antwort:

In der Antwort geben wir an genauer Wert, sowie einen ungefähren Wert (vorzugsweise in Grad und Bogenmaß), berechnet mit einem Taschenrechner.

Nun ja, Minus, Minus, keine große Sache. Hier ist eine geometrische Illustration:

Es ist nicht verwunderlich, dass sich herausstellte, dass der Winkel eine negative Ausrichtung hatte, da in der Problemstellung die erste Zahl eine Gerade ist und das „Abschrauben“ des Winkels genau damit begann.

Wenn Sie wirklich einen positiven Winkel erhalten möchten, müssen Sie die Linien vertauschen, also die Koeffizienten aus der zweiten Gleichung übernehmen , und nehmen Sie die Koeffizienten aus der ersten Gleichung. Kurz gesagt, Sie müssen direkt beginnen .

Der Abstand von einem Punkt zu einer Linie ist die Länge der Senkrechten, die vom Punkt zur Linie gezogen wird. IN beschreibende Geometrie sie wird grafisch mit dem untenstehenden Algorithmus ermittelt.

Algorithmus

1. Die gerade Linie wird in eine Position verschoben, in der sie parallel zu einer beliebigen Projektionsebene verläuft. Zu diesem Zweck werden Methoden zur Transformation orthogonaler Projektionen verwendet.
2. Von einem Punkt aus wird eine Senkrechte zu einer Geraden gezogen. Diese Konstruktion basiert auf dem Satz über die Projektion eines rechten Winkels.
3. Die Länge einer Senkrechten wird durch Transformation ihrer Projektionen oder mithilfe der Methode des rechtwinkligen Dreiecks bestimmt.

Die folgende Abbildung zeigt eine komplexe Zeichnung von Punkt M und Linie b, definiert durch das Segment CD. Sie müssen den Abstand zwischen ihnen ermitteln.

Nach unserem Algorithmus muss zunächst die Linie in eine Position parallel zur Projektionsebene verschoben werden. Es ist wichtig zu verstehen, dass sich der tatsächliche Abstand zwischen Punkt und Linie nach Durchführung der Transformationen nicht ändern sollte. Aus diesem Grund ist es hier sinnvoll, die Methode des Flugzeugersatzes zu verwenden, bei der Figuren nicht im Raum bewegt werden.

Nachfolgend sind die Ergebnisse des ersten Bauabschnitts dargestellt. Die Abbildung zeigt, wie parallel zu b eine zusätzliche Frontalebene P 4 eingeführt wird. IN neues System(P 1, P 4) Die Punkte C"" 1, D"" 1, M"" 1 haben den gleichen Abstand von der X-Achse 1 wie C"", D"", M"" von der X-Achse.

Bei der Ausführung des zweiten Teils des Algorithmus senken wir von M"" 1 die Senkrechte M"" 1 N"" 1 auf die Gerade b"" 1, da der rechte Winkel MND zwischen b und MN auf die Ebene P projiziert wird 4 in voller Größe. Mithilfe der Kommunikationslinie bestimmen wir die Position des Punktes N“ und führen die Projektion M“N“ des Segments MN durch.

Im letzten Schritt müssen Sie die Größe des Segments MN anhand seiner Projektionen M"N" und M"" 1 N"" 1 bestimmen. Dafür bauen wir rechtwinkliges Dreieck M"" 1 N"" 1 N 0, dessen Schenkel N"" 1 N 0 gleich der Differenz (Y M 1 – Y N 1) des Abstands der Punkte M" und N" von der X 1-Achse ist. Die Länge der Hypotenuse M"" 1 N 0 des Dreiecks M"" 1 N"" 1 N 0 entspricht dem gewünschten Abstand von M nach b.

Zweite Lösung

• Parallel zur CD führen wir eine neue Frontalebene P 4 ein. Es schneidet P 1 entlang der X 1-Achse und X 1 ∥C"D". Gemäß der Methode zum Ersetzen von Ebenen bestimmen wir die Projektionen der Punkte C"" 1, D"" 1 und M"" 1, wie in der Abbildung gezeigt.
• Senkrecht zu C"" 1 D"" 1 bauen wir eine zusätzliche horizontale Ebene P 5, auf die die Gerade b auf den Punkt C" 2 = b" 2 projiziert wird.
• Der Abstand zwischen Punkt M und Linie b wird durch die Länge des Segments M" 2 C" 2 bestimmt, dargestellt in Rot.

Ähnliche Aufgaben:

Dieser Artikel befasst sich mit dem Thema « Abstand von einem Punkt zu einer Linie », Bespricht die Definition des Abstands von einem Punkt zu einer Linie anhand illustrierter Beispiele unter Verwendung der Koordinatenmethode. Jeder Theorieblock am Ende zeigt Beispiele zur Lösung ähnlicher Probleme.

Der Abstand von einem Punkt zu einer Linie wird ermittelt, indem der Abstand von Punkt zu Punkt bestimmt wird. Lass uns genauer hinschauen.

Es gebe eine Gerade a und einen Punkt M 1, der nicht zur gegebenen Geraden gehört. Durch sie ziehen wir eine Gerade b, die senkrecht zur Geraden a steht. Nehmen wir den Schnittpunkt der Geraden als H 1. Wir erhalten, dass M 1 H 1 eine Senkrechte ist, die vom Punkt M 1 zur Geraden a abgesenkt wurde.

Definition 1

Abstand vom Punkt M 1 zur Geraden a heißt der Abstand zwischen den Punkten M 1 und H 1.

Es gibt Definitionen, die die Länge der Senkrechten einbeziehen.

Definition 2

Abstand vom Punkt zur Linie ist die Länge der Senkrechten, die von einem gegebenen Punkt zu einer gegebenen Geraden gezogen wird.

Die Definitionen sind gleichwertig. Betrachten Sie die Abbildung unten.

Es ist bekannt, dass der Abstand von einem Punkt zu einer Linie der kleinste von allen ist. Schauen wir uns das anhand eines Beispiels an.

Wenn wir einen Punkt Q nehmen, der auf einer Geraden a liegt, der nicht mit dem Punkt M 1 zusammenfällt, dann erhalten wir, dass das Segment M 1 Q ein geneigtes Segment genannt wird, das von M 1 auf eine Gerade A abgesenkt wird. Es muss angegeben werden, dass die Senkrechte vom Punkt M 1 kleiner ist als jede andere geneigte Linie, die vom Punkt zur Geraden gezogen wird.

Um dies zu beweisen, betrachten Sie das Dreieck M 1 Q 1 H 1, wobei M 1 Q 1 die Hypotenuse ist. Es ist bekannt, dass seine Länge immer größer ist als die Länge eines der Beine. Das heißt, wir haben M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Die Ausgangsdaten zum Finden von einem Punkt zu einer Geraden ermöglichen die Verwendung mehrerer Lösungsmethoden: durch den Satz des Pythagoras, Bestimmung von Sinus, Cosinus, Tangens eines Winkels und anderen. Die meisten Aufgaben dieser Art werden in der Schule im Geometrieunterricht gelöst.

Wenn bei der Bestimmung des Abstands von einem Punkt zu einer Linie ein rechtwinkliges Koordinatensystem eingeführt werden kann, wird die Koordinatenmethode verwendet. In diesem Absatz betrachten wir die beiden wichtigsten Methoden zum Ermitteln der erforderlichen Entfernung von einem bestimmten Punkt.

Die erste Methode besteht darin, den Abstand als Senkrechte zu suchen, die von M 1 zur Geraden a gezogen wird. Die zweite Methode verwendet die Normalengleichung der Geraden a, um den erforderlichen Abstand zu ermitteln.

Wenn es auf der Ebene einen Punkt mit den Koordinaten M 1 (x 1 , y 1) gibt, der sich in einem rechtwinkligen Koordinatensystem, der Geraden a, befindet und Sie den Abstand M 1 H 1 ermitteln müssen, können Sie die Berechnung in zwei Schritten durchführen Wege. Schauen wir sie uns an.

Erster Weg

Wenn Koordinaten des Punktes H 1 gleich x 2, y 2 vorhanden sind, wird der Abstand vom Punkt zur Linie anhand der Koordinaten aus der Formel M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2) berechnet - y 1) 2.

Fahren wir nun mit der Ermittlung der Koordinaten des Punktes H 1 fort.

Es ist bekannt, dass eine Gerade in O x y der Gleichung einer Geraden in der Ebene entspricht. Nehmen wir die Methode zum Definieren einer Geraden a, indem wir eine allgemeine Gleichung einer Geraden oder eine Gleichung mit einem Winkelkoeffizienten schreiben. Wir stellen die Gleichung einer Geraden auf, die durch den Punkt M 1 senkrecht zu einer gegebenen Geraden a verläuft. Bezeichnen wir die Gerade mit dem Buchstaben b. H 1 ist der Schnittpunkt der Linien a und b, was bedeutet, dass Sie zur Bestimmung der Koordinaten den Artikel verwenden müssen, der sich mit den Koordinaten der Schnittpunkte zweier Linien befasst.

Es ist ersichtlich, dass der Algorithmus zum Ermitteln des Abstands von einem bestimmten Punkt M 1 (x 1, y 1) zur Geraden a gemäß den Punkten ausgeführt wird:

Definition 3

• Finden der allgemeinen Gleichung einer Geraden a mit der Form A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 oder einer Gleichung mit einem Winkelkoeffizienten mit der Form y = k 1 x + b 1;
• Erhalten einer allgemeinen Gleichung der Linie b mit der Form A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 oder einer Gleichung mit einem Winkelkoeffizienten y = k 2 x + b 2, wenn Linie b Punkt M 1 schneidet und senkrecht dazu steht eine gegebene Zeile a;
• Bestimmung der Koordinaten x 2, y 2 des Punktes H 1, der der Schnittpunkt von a und b ist, dazu wird das lineare Gleichungssystem gelöst A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 oder y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
• Berechnen des erforderlichen Abstands von einem Punkt zu einer Linie mit der Formel M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Zweiter Weg

Der Satz kann bei der Beantwortung der Frage helfen, den Abstand von einem bestimmten Punkt zu einer bestimmten geraden Linie in einer Ebene zu ermitteln.

Satz

Das rechteckige Koordinatensystem O x y hat einen Punkt M 1 (x 1, y 1), von dem aus eine gerade Linie zur Ebene gezogen wird, die durch die Normalgleichung der Ebene gegeben ist und die Form cos α x + cos β y hat - p = 0, gleich Der auf der linken Seite der Normalgleichung der Geraden erhaltene Absolutwert, berechnet bei x = x 1, y = y 1, bedeutet, dass M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p.

Nachweisen

Linie a entspricht der Normalgleichung der Ebene mit der Form cos α x + cos β y - p = 0, dann wird n → = (cos α, cos β) als Normalvektor der Linie a im Abstand von betrachtet Ursprung zur Linie a mit p Einheiten. Um alle Daten in der Abbildung anzuzeigen, müssen Sie einen Punkt mit den Koordinaten M 1 (x 1, y 1) hinzufügen, wobei der Radiusvektor des Punktes M 1 - O M 1 → = (x 1, y 1) ist. Es ist notwendig, eine gerade Linie von einem Punkt zu einer geraden Linie zu zeichnen, die wir als M 1 H 1 bezeichnen. Es ist notwendig, die Projektionen M 2 und H 2 der Punkte M 1 und H 2 auf eine durch den Punkt O verlaufende Gerade mit einem Richtungsvektor der Form n → = (cos α, cos β) darzustellen und zu bezeichnen numerische Projektion des Vektors als O M 1 → = (x 1, y 1) auf die Richtung n → = (cos α , cos β) als n p n → O M 1 → .

Die Variationen hängen von der Position des M1-Punkts selbst ab. Schauen wir uns die Abbildung unten an.

Wir fixieren die Ergebnisse mit der Formel M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p. Dann bringen wir die Gleichheit in diese Form M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p, um n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 zu erhalten.

Skalarprodukt Vektoren ergeben als Ergebnis eine transformierte Formel der Form n → , O M → 1 = n → · n p n → O M 1 → = 1 · n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , die ein Produkt in Koordinatenform ist bilden n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Das bedeutet, dass wir erhalten: n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Daraus folgt, dass M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p. Der Satz ist bewiesen.

Wir stellen fest, dass Sie mehrere Aktionen ausführen müssen, um den Abstand vom Punkt M 1 (x 1 , y 1) zur Geraden a in der Ebene zu ermitteln:

Definition 4

• Erhalten der Normalgleichung der Geraden a cos α · x + cos β · y - p = 0, sofern sie nicht in der Aufgabe enthalten ist;
• Berechnung des Ausdrucks cos α · x 1 + cos β · y 1 - p, wobei der resultierende Wert M 1 H 1 annimmt.

Wenden wir diese Methoden an, um Probleme bei der Ermittlung des Abstands von einem Punkt zu einer Ebene zu lösen.

Beispiel 1

Finden Sie den Abstand vom Punkt mit den Koordinaten M 1 (- 1, 2) zur Geraden 4 x - 3 y + 35 = 0.

Lösung

Verwenden wir zur Lösung die erste Methode.

Dazu müssen Sie finden allgemeine Gleichung Linie b, die durch einen gegebenen Punkt M 1 (- 1, 2) verläuft, senkrecht zur Linie 4 x - 3 y + 35 = 0. Aus der Bedingung geht klar hervor, dass die Linie b senkrecht zur Linie a steht, dann hat ihr Richtungsvektor die Koordinaten (4, - 3). Somit haben wir die Möglichkeit, die kanonische Gleichung der Linie B in der Ebene aufzuschreiben, da es Koordinaten des Punktes M 1 gibt, der zur Linie B gehört. Bestimmen wir die Koordinaten des Richtungsvektors der Geraden b. Wir erhalten, dass x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3. Die resultierende kanonische Gleichung muss in eine allgemeine umgewandelt werden. Dann verstehen wir das

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 · (x + 1) = 4 · (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

Finden wir die Koordinaten der Schnittpunkte der Geraden, die wir als Bezeichnung H 1 annehmen. Die Transformationen sehen so aus:

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

Aus dem oben Geschriebenen haben wir, dass die Koordinaten des Punktes H 1 gleich (- 5; 5) sind.

Es ist notwendig, den Abstand vom Punkt M 1 zur Geraden a zu berechnen. Wir haben die Koordinaten der Punkte M 1 (- 1, 2) und H 1 (- 5, 5), dann setzen wir sie in die Formel ein, um den Abstand zu ermitteln und diesen zu erhalten

M 1 H 1 = (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 = 25 = 5

Zweite Lösung.

Um auf andere Weise zu lösen, ist es notwendig, die Normalgleichung der Geraden zu erhalten. Wir berechnen den Wert des Normalisierungsfaktors und multiplizieren beide Seiten der Gleichung 4 x - 3 y + 35 = 0. Daraus ergibt sich, dass der Normalisierungsfaktor gleich - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5 ist und die Normalengleichung die Form - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 hat ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .

Gemäß dem Berechnungsalgorithmus ist es notwendig, die Normalgleichung der Geraden zu erhalten und diese mit den Werten x = - 1, y = 2 zu berechnen. Dann verstehen wir das

4 5 · - 1 + 3 5 · 2 - 7 = - 5

Daraus erhalten wir, dass der Abstand vom Punkt M 1 (- 1, 2) zur gegebenen Geraden 4 x - 3 y + 35 = 0 den Wert - 5 = 5 hat.

Antwort: 5 .

Es ist klar, dass in diese Methode Es ist wichtig, die Normalgleichung einer Geraden zu verwenden, da diese Methode die kürzeste ist. Die erste Methode ist jedoch praktisch, da sie konsistent und logisch ist, obwohl sie über mehr Berechnungspunkte verfügt.

Beispiel 2

Auf der Ebene gibt es ein rechtwinkliges Koordinatensystem O x y mit dem Punkt M 1 (8, 0) und der Geraden y = 1 2 x + 1. Ermitteln Sie den Abstand von einem bestimmten Punkt zu einer geraden Linie.

Lösung

Die erste Lösung besteht im Gießen gegebene Gleichung mit der Steigung zur Gleichung Gesamtansicht. Der Einfachheit halber können Sie es auch anders machen.

Wenn das Produkt der Winkelkoeffizienten senkrechter Geraden den Wert - 1 hat, dann Neigung Linie senkrecht zu der gegebenen y = 1 2 x + 1 hat den Wert 2. Jetzt erhalten wir die Gleichung einer Geraden, die durch einen Punkt mit den Koordinaten M 1 (8, 0) verläuft. Wir haben, dass y - 0 = - 2 · (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .

Wir fahren mit der Ermittlung der Koordinaten des Punktes H 1 fort, also der Schnittpunkte y = - 2 x + 16 und y = 1 2 x + 1. Wir stellen ein Gleichungssystem auf und erhalten:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 · 6 + 1 x = 6 = y = 4 x = 6 ⇒ H 1 (6, 4)

Daraus folgt, dass der Abstand vom Punkt mit den Koordinaten M 1 (8, 0) zur Geraden y = 1 2 x + 1 gleich dem Abstand vom Startpunkt und Endpunkt mit den Koordinaten M 1 (8, 0) und ist H 1 (6, 4) . Berechnen wir und finden wir heraus, dass M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5.

Die Lösung auf dem zweiten Weg besteht darin, von einer Gleichung mit einem Koeffizienten zu ihrer Normalform überzugehen. Das heißt, wir erhalten y = 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 = 0, dann ist der Wert des Normalisierungsfaktors - 1 1 2 2 + (- 1) 2 = - 2 5. Daraus folgt, dass die Normalgleichung der Geraden die Form annimmt: - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0. Führen wir die Berechnung vom Punkt M 1 8, 0 zu einer Geraden der Form - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 durch. Wir bekommen:

M 1 H 1 = - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 = - 10 5 = 2 5

Antwort: 2 5 .

Beispiel 3

Es ist notwendig, den Abstand vom Punkt mit den Koordinaten M 1 (- 2, 4) zu den Linien 2 x - 3 = 0 und y + 1 = 0 zu berechnen.

Lösung

Wir erhalten die Gleichung der Normalform der Geraden 2 x - 3 = 0:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

Dann berechnen wir den Abstand vom Punkt M 1 - 2, 4 zur Geraden x - 3 2 = 0. Wir bekommen:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

Die Gleichung der Geraden y + 1 = 0 hat einen Normierungsfaktor mit einem Wert gleich -1. Dies bedeutet, dass die Gleichung die Form - y - 1 = 0 annimmt. Wir berechnen den Abstand vom Punkt M 1 (- 2, 4) zur Geraden - y - 1 = 0. Wir finden, dass es gleich - 4 - 1 = 5 ist.

Antwort: 3 1 2 und 5.

Schauen wir uns die Ermittlung des Abstands von einem bestimmten Punkt auf der Ebene zu den Koordinatenachsen O x und O y genauer an.

In einem rechtwinkligen Koordinatensystem hat die O-Achse y eine Geradengleichung, die unvollständig ist und die Form x = 0 und O x - y = 0 hat. Die Gleichungen sind normal für die Koordinatenachsen, dann ist es notwendig, den Abstand vom Punkt mit den Koordinaten M 1 x 1, y 1 zu den Linien zu ermitteln. Dies geschieht anhand der Formeln M 1 H 1 = x 1 und M 1 H 1 = y 1. Schauen wir uns die Abbildung unten an.

Beispiel 4

Finden Sie den Abstand vom Punkt M 1 (6, - 7) zu den Koordinatenlinien in der O x y-Ebene.

Lösung

Da sich die Gleichung y = 0 auf die Gerade O x bezieht, können Sie mit der Formel den Abstand von M 1 mit gegebenen Koordinaten zu dieser Geraden ermitteln. Wir erhalten 6 = 6.

Da sich die Gleichung x = 0 auf die Gerade O y bezieht, können Sie mit der Formel den Abstand von M 1 zu dieser Geraden ermitteln. Dann erhalten wir das - 7 = 7.

Antwort: der Abstand von M 1 zu O x hat einen Wert von 6 und von M 1 zu O y hat einen Wert von 7.

Wenn wir im dreidimensionalen Raum einen Punkt mit den Koordinaten M 1 (x 1, y 1, z 1) haben, ist es notwendig, den Abstand vom Punkt A zur Geraden a zu ermitteln.

Betrachten wir zwei Methoden, mit denen Sie den Abstand von einem Punkt zu einer im Raum befindlichen Geraden berechnen können. Im ersten Fall wird der Abstand vom Punkt M 1 zu einer Geraden betrachtet, wobei ein Punkt auf der Geraden H 1 genannt wird und die Basis einer Senkrechten ist, die vom Punkt M 1 zur Geraden a gezogen wird. Der zweite Fall legt nahe, dass die Punkte dieser Ebene als Höhe des Parallelogramms gesucht werden müssen.

Erster Weg

Aus der Definition haben wir, dass der Abstand vom Punkt M 1 auf der Geraden a die Länge der Senkrechten M 1 H 1 ist, dann erhalten wir das mit den gefundenen Koordinaten des Punktes H 1, dann ermitteln wir den Abstand zwischen M 1 ( x 1, y 1, z 1 ) und H 1 (x 1 , y 1 , z 1) , basierend auf der Formel M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.

Wir stellen fest, dass die gesamte Lösung darin besteht, die Koordinaten der Basis der Senkrechten zu finden, die von M 1 zur Geraden a gezogen werden. Das wird produziert auf die folgende Weise: H 1 ist der Punkt, an dem die Gerade a die Ebene schneidet, die durch den gegebenen Punkt verläuft.

Dies bedeutet, dass der Algorithmus zur Bestimmung des Abstands vom Punkt M 1 (x 1, y 1, z 1) zur Linie a im Raum mehrere Punkte impliziert:

Definition 5

• Erstellen der Gleichung der Ebene χ als Gleichung der Ebene, die durch einen gegebenen Punkt verläuft, der senkrecht zur Linie liegt;
• Bestimmung der Koordinaten (x 2, y 2, z 2), die zum Punkt H 1 gehören, der der Schnittpunkt der Geraden a und der Ebene χ ist;
• Berechnen des Abstands von einem Punkt zu einer Linie mit der Formel M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.

Zweiter Weg

Aus der Bedingung, dass wir eine Gerade a haben, können wir den Richtungsvektor a → = a x, a y, a z mit den Koordinaten x 3, y 3, z 3 und einem bestimmten Punkt M 3 bestimmen, der zur Geraden a gehört. Wenn Sie die Koordinaten der Punkte M 1 (x 1, y 1) und M 3 x 3, y 3, z 3 haben, können Sie M 3 M 1 → berechnen:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

Wir sollten die Vektoren a → = a x , a y , a z und M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 vom Punkt M 3 beiseite legen, sie verbinden und eine Parallelogrammfigur erhalten . M 1 H 1 ist die Höhe des Parallelogramms.

Schauen wir uns die Abbildung unten an.

Wir wissen, dass die Höhe M 1 H 1 der erforderliche Abstand ist, dann ist es notwendig, ihn mithilfe der Formel zu ermitteln. Das heißt, wir suchen nach M 1 H 1.

Bezeichnen wir die Fläche des Parallelogramms mit dem Buchstaben S, ermittelt durch die Formel unter Verwendung des Vektors a → = (a x, a y, a z) und M 3 M 1 → = x 1 - x 3. y 1 - y 3, z 1 - z 3. Die Flächenformel lautet S = a → × M 3 M 1 → . Außerdem ist die Fläche der Figur gleich dem Produkt aus den Längen ihrer Seiten und der Höhe, wir erhalten S = a → · M 1 H 1 mit a → = a x 2 + a y 2 + a z 2, was ist die Länge des Vektors a → = (a x, a y, a z), der gleich der Seite des Parallelogramms ist. Das bedeutet, dass M 1 H 1 der Abstand vom Punkt zur Geraden ist. Es wird mithilfe der Formel M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → ermittelt.

Um den Abstand von einem Punkt mit den Koordinaten M 1 (x 1, y 1, z 1) zu einer Geraden a im Raum zu ermitteln, müssen Sie mehrere Schritte des Algorithmus ausführen:

Definition 6

• Bestimmung des Richtungsvektors der Geraden a - a → = (a x, a y, a z);
• Berechnen der Länge des Richtungsvektors a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
• Erhalten der Koordinaten x 3 , y 3 , z 3 , die zum Punkt M 3 gehören, der sich auf der Geraden a befindet;
• Berechnen der Koordinaten des Vektors M 3 M 1 → ;
• Finden des Vektorprodukts der Vektoren a → (a x , a y , a z) und M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 als a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3, um die Länge mit der Formel a → × M 3 M 1 → zu erhalten;
• Berechnen des Abstands von einem Punkt zu einer Geraden M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Lösen von Problemen beim Ermitteln der Entfernung von einem bestimmten Punkt zu einer bestimmten Linie im Raum

Beispiel 5

Finden Sie den Abstand vom Punkt mit den Koordinaten M 1 2, - 4, - 1 zur Geraden x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5.

Lösung

Die erste Methode beginnt mit dem Schreiben der Gleichung der Ebene χ, die durch M 1 verläuft und senkrecht zu einem bestimmten Punkt verläuft. Wir erhalten einen Ausdruck wie:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Es ist notwendig, die Koordinaten des Punktes H 1 zu finden, der der Schnittpunkt mit der χ-Ebene und der durch die Bedingung angegebenen Linie ist. Sie sollten von der kanonischen Sichtweise zur sich überschneidenden Sichtweise übergehen. Dann erhalten wir ein Gleichungssystem der Form:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 · (x + 1) = 2 · y 5 · (x + 1) = 2 · (z + 5) 5 · y = - 1 · (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Es ist notwendig, das System x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 zu berechnen 2 x - y + 5 z = 3 nach der Cramer-Methode, dann erhalten wir Folgendes:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 60 = 0

Von hier aus haben wir H 1 (1, - 1, 0).

M 1 H 1 = 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 = 11

Die zweite Methode muss mit der Suche nach Koordinaten in der kanonischen Gleichung beginnen. Dazu müssen Sie auf die Nenner des Bruchs achten. Dann ist a → = 2, - 1, 5 der Richtungsvektor der Geraden x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5. Die Länge muss mit der Formel a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30 berechnet werden.

Es ist klar, dass die Gerade x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 den Punkt M 3 (- 1 , 0 , - 5) schneidet, daher haben wir, dass der Vektor mit dem Ursprung M 3 (- 1 , 0 , - 5) und sein Ende im Punkt M 1 2, - 4, - 1 ist M 3 M 1 → = 3, - 4, 4. Finden Sie das Vektorprodukt a → = (2, - 1, 5) und M 3 M 1 → = (3, - 4, 4).

Wir erhalten einen Ausdruck der Form a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 · j → = 16 · i → + 7 · j → - 5 · k →

Wir finden, dass die Länge des Vektorprodukts gleich a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330 ist.

Wir haben alle Daten, um die Formel zur Berechnung des Abstands von einem Punkt für eine gerade Linie zu verwenden. Wenden wir sie also an und erhalten:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

Antwort: 11 .

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Ein rechteckiges Koordinatensystem sei im dreidimensionalen Raum fixiert Oxyz, gegebener Punkt, gerade Linie A und Sie müssen den Abstand vom Punkt ermitteln A zu einer geraden Linie A.

Wir zeigen zwei Methoden, mit denen Sie den Abstand von einem Punkt zu einer Linie im Raum berechnen können. Im ersten Fall wird die Entfernung von einem Punkt ermittelt M 1 zu einer geraden Linie A kommt es darauf an, die Entfernung vom Punkt zu ermitteln M 1 auf den Punkt H 1 , Wo H 1 - die Basis einer Senkrechten, die von einem Punkt aus fällt M 1 direkt A. Im zweiten Fall ermitteln wir den Abstand vom Punkt zur Ebene als Höhe des Parallelogramms.

Also lasst uns anfangen.

Die erste Möglichkeit, den Abstand von einem Punkt zu einer Linie a im Raum zu ermitteln.

Da per Definition der Abstand von einem Punkt M 1 zu einer geraden Linie A ist die Länge der Senkrechten M 1 H 1 , dann, nachdem die Koordinaten des Punktes bestimmt wurden H 1 können wir den erforderlichen Abstand als Abstand zwischen Punkten berechnen Und nach der Formel.

Das Problem besteht also darin, die Koordinaten der Basis der aus dem Punkt konstruierten Senkrechten zu finden M 1 zu einer geraden Linie A. Das geht ganz einfach: Punkt H 1 ist der Schnittpunkt der Geraden A mit einer Ebene, die durch einen Punkt geht M 1 senkrecht zur Linie A.

Somit, Algorithmus, mit dem Sie die Entfernung von einem Punkt bestimmen können zu einer geraden LinieA im Weltraum, Ist:

Mit der zweiten Methode können Sie den Abstand von einem Punkt zu einer Linie a im Raum ermitteln.

Denn in der Problemstellung erhalten wir eine Gerade A, dann können wir seinen Richtungsvektor bestimmen und die Koordinaten eines Punktes M 3 , auf der Geraden liegend A. Dann entsprechend den Koordinaten der Punkte und Wir können die Koordinaten eines Vektors berechnen: (Beziehen Sie sich bei Bedarf auf die Artikelkoordinaten eines Vektors durch die Koordinaten seiner Start- und Endpunkte).

Lassen wir die Vektoren beiseite und vom Punkt M 3 und konstruiere darauf ein Parallelogramm. In diesem Parallelogramm zeichnen wir die Höhe ein M 1 H 1 .

Offensichtlich die Höhe M 1 H 1 des konstruierten Parallelogramms ist gleich dem erforderlichen Abstand vom Punkt M 1 zu einer geraden Linie A. Finden wir es.

Auf der einen Seite die Fläche des Parallelogramms (bezeichnen wir sie). S) kann durch das Vektorprodukt von Vektoren gefunden werden und nach der Formel . Andererseits ist die Fläche eines Parallelogramms gleich dem Produkt aus der Länge seiner Seite und seiner Höhe, also , Wo - Vektorlänge , gleich der Länge der Seite des betreffenden Parallelogramms. Daher die Entfernung von einem bestimmten Punkt M 1 zu einer gegebenen Geraden A kann aus der Gleichheit gefunden werden Wie .

Also, um die Entfernung von einem Punkt zu ermitteln zu einer geraden LinieA im benötigten Platz

Lösen von Problemen beim Ermitteln der Entfernung von einem bestimmten Punkt zu einer bestimmten Linie im Raum.

Schauen wir uns die Beispiellösung an.

Beispiel.

Finden Sie die Entfernung vom Punkt zu einer geraden Linie .

Lösung.

Erster Weg.

Schreiben wir die Gleichung der Ebene, die durch den Punkt verläuft M 1 senkrecht zu einer gegebenen Linie:

Finden Sie die Koordinaten des Punktes H 1 - Schnittpunkte der Ebene und einer gegebenen Geraden. Dazu gehen wir von den kanonischen Gleichungen einer Geraden zu den Gleichungen zweier sich schneidender Ebenen über

Danach lösen wir das lineare Gleichungssystem Cramers Methode:

Auf diese Weise, .

Es bleibt noch der erforderliche Abstand von einem Punkt zu einer Linie als Abstand zwischen Punkten zu berechnen Und : .

Zweiter Weg.

Die Zahlen in den Nennern der Brüche in den kanonischen Gleichungen einer Geraden repräsentieren die entsprechenden Koordinaten des Richtungsvektors dieser Geraden, also - direkter Vektor . Berechnen wir seine Länge: .

Offensichtlich gerade geht durch einen Punkt , dann ein Vektor mit Ursprung im Punkt und endet an einem Punkt Es gibt . Finden wir das Vektorprodukt von Vektoren Und :
dann beträgt die Länge dieses Vektorprodukts .

Jetzt haben wir alle Daten, um mit der Formel den Abstand von einem bestimmten Punkt zu einer bestimmten Ebene zu berechnen: .

Antwort:

Die relative Position von Linien im Raum