Der Winkel zwischen zwei Geraden. Winkel zwischen geraden Linien im Raum

Für jeden Studenten, der sich auf das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik vorbereitet, wird es nützlich sein, das Thema „Winkel zwischen Geraden finden“ zu wiederholen. Wie Statistiken zeigen, bereiten Aufgaben in diesem Abschnitt der Stereometrie beim Bestehen der Zertifizierungsprüfung Schwierigkeiten große Menge Studenten. Gleichzeitig finden sich Aufgaben, bei denen es darum geht, den Winkel zwischen Geraden zu ermitteln, sowohl im Grund- als auch im Einheitlichen Staatsexamen Profilebene. Das bedeutet, dass jeder sie lösen kann.

Grundlegende Momente

Es gibt 4 Arten relativer Positionen von Linien im Raum. Sie können zusammenfallen, sich schneiden, parallel sein oder sich schneiden. Der Winkel zwischen ihnen kann spitz oder gerade sein.

Um den Winkel zwischen Linien im Einheitlichen Staatsexamen oder beispielsweise beim Lösen zu ermitteln, können Schulkinder in Moskau und anderen Städten auf verschiedene Arten Probleme in diesem Abschnitt der Stereometrie lösen. Sie können die Aufgabe mit klassischen Konstruktionen lösen. Dazu lohnt es sich, die grundlegenden Axiome und Theoreme der Stereometrie zu erlernen. Der Schüler muss in der Lage sein, logisch zu denken und Zeichnungen zu erstellen, um die Aufgabe auf ein planimetrisches Problem zu übertragen.

Sie können die Koordinatenvektormethode auch mit einfachen Formeln, Regeln und Algorithmen verwenden. In diesem Fall kommt es vor allem darauf an, alle Berechnungen korrekt durchzuführen. Das Shkolkovo-Bildungsprojekt wird Ihnen helfen, Ihre Fähigkeiten zur Problemlösung in Stereometrie und anderen Abschnitten des Schulkurses zu verbessern.

Definition. Wenn zwei Geraden gegeben sind y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, dann scharfe Ecke zwischen diesen Geraden wird definiert als

Zwei Geraden sind parallel, wenn k 1 = k 2. Zwei Geraden stehen senkrecht, wenn k 1 = -1/ k 2.

Satz. Die Linien Ax + Bу + C = 0 und A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sind parallel, wenn die Koeffizienten A 1 = λA, B 1 = λB proportional sind. Ist auch C 1 = λC, dann fallen die Geraden zusammen. Die Koordinaten des Schnittpunkts zweier Geraden werden als Lösung des Gleichungssystems dieser Geraden ermittelt.

Gleichung einer durchgehenden Geraden dieser Punkt

Senkrecht zu einer bestimmten Linie

Definition. Eine Gerade, die durch den Punkt M 1 (x 1, y 1) verläuft und senkrecht zur Geraden y = kx + b steht, wird durch die Gleichung dargestellt:

Abstand vom Punkt zur Linie

Satz. Wenn ein Punkt M(x 0, y 0) gegeben ist, dann wird der Abstand zur Geraden Ax + Bу + C = 0 bestimmt als

.

Nachweisen. Der Punkt M 1 (x 1, y 1) sei die Basis der Senkrechten, die vom Punkt M zu einer gegebenen Geraden fällt. Dann ist der Abstand zwischen den Punkten M und M 1:

(1)

Die Koordinaten x 1 und y 1 können durch Lösen des Gleichungssystems ermittelt werden:

Die zweite Gleichung des Systems ist die Gleichung der durchlaufenden Geraden angegebenen Punkt M 0 steht senkrecht auf einer gegebenen Geraden. Wenn wir die erste Gleichung des Systems in die Form umwandeln:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

dann erhalten wir beim Lösen:

Wenn wir diese Ausdrücke in Gleichung (1) einsetzen, finden wir:

Der Satz ist bewiesen.

Beispiel. Bestimmen Sie den Winkel zwischen den Linien: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Beispiel. Zeigen Sie, dass die Geraden 3x – 5y + 7 = 0 und 10x + 6y – 3 = 0 senkrecht zueinander stehen.

Lösung. Wir finden: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, daher stehen die Geraden senkrecht.

Beispiel. Gegeben sind die Eckpunkte des Dreiecks A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Finden Sie die Gleichung der Höhe, die vom Scheitelpunkt C aus gezogen wird.

Lösung. Wir finden die Gleichung der Seite AB: ; 4 x = 6 Jahre – 6;

2 x – 3 Jahre + 3 = 0;

Die erforderliche Höhengleichung hat die Form: Ax + By + C = 0 oder y = kx + b. k = . Dann ist y = . Weil die Höhe geht durch den Punkt C, dann erfüllen seine Koordinaten diese Gleichung: mit b = 17. Gesamt: .

Antwort: 3 x + 2 y – 34 = 0.

Die Gleichung einer Geraden, die durch einen bestimmten Punkt in einer bestimmten Richtung verläuft. Gleichung einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte verläuft. Der Winkel zwischen zwei Geraden. Der Zustand der Parallelität und Rechtwinkligkeit zweier Geraden. Bestimmen des Schnittpunkts zweier Geraden

1. Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt verläuft A(X 1 , j 1) in einer bestimmten Richtung, bestimmt durch die Neigung k,

j - j 1 = k(X - X 1). (1)

Diese Gleichung definiert ein Bündel von Linien, die durch einen Punkt verlaufen A(X 1 , j 1), das Strahlzentrum genannt wird.

2. Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte geht: A(X 1 , j 1) und B(X 2 , j 2), so geschrieben:

Der Winkelkoeffizient einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte verläuft, wird durch die Formel bestimmt

3. Winkel zwischen Geraden A Und B ist der Winkel, um den die erste Gerade gedreht werden muss A um den Schnittpunkt dieser Linien gegen den Uhrzeigersinn herum, bis er mit der zweiten Linie zusammenfällt B. Wenn zwei Geraden durch Gleichungen mit Steigung gegeben sind

j = k 1 X + B 1 ,

j = k 2 X + B 2 , (4)

dann wird der Winkel zwischen ihnen durch die Formel bestimmt

Es ist zu beachten, dass im Zähler des Bruchs die Steigung der ersten Geraden von der Steigung der zweiten Geraden subtrahiert wird.

Wenn die Gleichungen einer Geraden gegeben sind in Gesamtansicht

A 1 X + B 1 j + C 1 = 0,

A 2 X + B 2 j + C 2 = 0, (6)

Der Winkel zwischen ihnen wird durch die Formel bestimmt

4. Bedingungen für die Parallelität zweier Geraden:

a) Sind die Geraden durch die Gleichungen (4) mit einem Winkelkoeffizienten gegeben, dann ist die notwendige und hinreichende Bedingung für ihre Parallelität die Gleichheit ihrer Winkelkoeffizienten:

k 1 = k 2 . (8)

b) Für den Fall, dass die Geraden durch Gleichungen in allgemeiner Form (6) gegeben sind, ist eine notwendige und hinreichende Bedingung für ihre Parallelität, dass die Koeffizienten für die entsprechenden aktuellen Koordinaten in ihren Gleichungen proportional sind, d.h.

5. Bedingungen für die Rechtwinkligkeit zweier Geraden:

a) Für den Fall, dass die Geraden durch die Gleichungen (4) mit einem Winkelkoeffizienten gegeben sind, ist eine notwendige und ausreichende Bedingung für ihre Rechtwinkligkeit, dass sie Pisten sind im Betrag umgekehrt und im Vorzeichen entgegengesetzt, d. h.

Diese Bedingung kann auch im Formular geschrieben werden

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Wenn die Geradengleichungen in der allgemeinen Form (6) vorliegen, dann besteht die Bedingung für ihre Rechtwinkligkeit (notwendig und ausreichend) darin, die Gleichheit zu erfüllen

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Die Koordinaten des Schnittpunkts zweier Geraden werden durch Lösen des Gleichungssystems (6) ermittelt. Geraden (6) schneiden sich genau dann, wenn

1. Schreiben Sie die Gleichungen von Geraden, die durch den Punkt M verlaufen, von denen eine parallel und die andere senkrecht zur gegebenen Geraden l verläuft.

Oh-oh-oh-oh-oh... na ja, das ist hart, als ob er sich einen Satz vorliest =) Entspannung hilft aber später, zumal ich mir heute die passenden Accessoires gekauft habe. Fahren wir daher mit dem ersten Abschnitt fort. Ich hoffe, dass ich am Ende des Artikels eine fröhliche Stimmung bewahren werde.

Die relative Position zweier gerader Linien

Dies ist der Fall, wenn das Publikum im Chor mitsingt. Zwei gerade Linien können:

1) Spiel;

2) parallel sein: ;

3) oder sich in einem einzigen Punkt schneiden: .

Hilfe für Dummies : Bitte denk daran mathematisches Zeichen Kreuzungen wird es sehr häufig vorkommen. Die Notation bedeutet, dass die Linie die Linie im Punkt schneidet.

Wie bestimmt man die relative Position zweier Linien?

Beginnen wir mit dem ersten Fall:

Zwei Geraden fallen genau dann zusammen, wenn ihre entsprechenden Koeffizienten proportional sind, das heißt, es gibt eine Zahl „Lambda“, so dass die Gleichheiten erfüllt sind

Betrachten wir die Geraden und erstellen wir drei Gleichungen aus den entsprechenden Koeffizienten: . Aus jeder Gleichung folgt, dass diese Geraden zusammenfallen.

In der Tat, wenn alle Koeffizienten der Gleichung Mit –1 multiplizieren (Vorzeichen ändern) und alle Koeffizienten der Gleichung um 2 reduzieren, erhalten Sie die gleiche Gleichung: .

Der zweite Fall, wenn die Geraden parallel sind:

Zwei Geraden sind genau dann parallel, wenn ihre Koeffizienten der Variablen proportional sind: , Aber.

Betrachten Sie als Beispiel zwei Geraden. Wir prüfen die Proportionalität der entsprechenden Koeffizienten für die Variablen:

Es ist jedoch ziemlich offensichtlich, dass.

Und der dritte Fall, wenn sich die Linien schneiden:

Zwei Geraden schneiden sich genau dann, wenn ihre Koeffizienten der Variablen NICHT proportional sind Das heißt, es gibt KEINEN solchen Wert von „Lambda“, dass die Gleichheiten erfüllt sind

Für gerade Linien erstellen wir also ein System:

Aus der ersten Gleichung folgt, dass und aus der zweiten Gleichung: , was bedeutet Das System ist inkonsistent(keine Lösungen). Somit sind die Koeffizienten der Variablen nicht proportional.

Fazit: Linien schneiden sich

Bei praktischen Problemen können Sie das gerade besprochene Lösungsschema verwenden. Es erinnert übrigens sehr an den Algorithmus zur Überprüfung von Vektoren auf Kollinearität, den wir uns im Unterricht angesehen haben Das Konzept der linearen (Un-)Abhängigkeit von Vektoren. Basis von Vektoren. Aber es gibt eine zivilisiertere Verpackung:

Beispiel 1

Herausfinden gegenseitige Übereinkunft Direkte:

Lösung basierend auf der Untersuchung der Richtungsvektoren gerader Linien:

a) Aus den Gleichungen ermitteln wir die Richtungsvektoren der Geraden: .

, was bedeutet, dass die Vektoren nicht kollinear sind und sich die Geraden schneiden.

Für alle Fälle stelle ich an der Kreuzung einen Stein mit Schildern auf:

Der Rest springt über den Stein und folgt weiter, direkt zu Kashchei dem Unsterblichen =)

b) Finden Sie die Richtungsvektoren der Geraden:

Die Linien haben den gleichen Richtungsvektor, das heißt, sie sind entweder parallel oder fallen zusammen. Die Determinante muss hier nicht gezählt werden.

Es ist offensichtlich, dass die Koeffizienten der Unbekannten proportional sind und .

Finden wir heraus, ob die Gleichheit wahr ist:

Auf diese Weise,

c) Finden Sie die Richtungsvektoren der Geraden:

Berechnen wir die Determinante, die aus den Koordinaten dieser Vektoren besteht:
Daher sind die Richtungsvektoren kollinear. Die Linien sind entweder parallel oder fallen zusammen.

Der Proportionalitätskoeffizient „Lambda“ lässt sich leicht direkt aus dem Verhältnis der kollinearen Richtungsvektoren ablesen. Es kann jedoch auch über die Koeffizienten der Gleichungen selbst ermittelt werden: .

Lassen Sie uns nun herausfinden, ob die Gleichheit wahr ist. Beide freien Terme sind Null, also:

Der resultierende Wert erfüllt diese Gleichung (im Allgemeinen erfüllt sie jede Zahl).

Somit fallen die Linien zusammen.

Antwort:

Schon bald werden Sie lernen (oder haben es sogar schon gelernt), das verbal besprochene Problem buchstäblich in Sekundenschnelle zu lösen. In dieser Hinsicht sehe ich keinen Sinn darin, etwas dafür anzubieten unabhängige Entscheidung, ist es besser, einen weiteren wichtigen Baustein in das geometrische Fundament zu legen:

Wie konstruiere ich eine Linie parallel zu einer gegebenen Linie?

Aus Unwissenheit darüber einfachste Aufgabe Nachtigall der Räuber bestraft hart.

Beispiel 2

Die Gerade ergibt sich aus der Gleichung. Schreiben Sie eine Gleichung für eine parallele Gerade, die durch den Punkt verläuft.

Lösung: Bezeichnen wir die unbekannte Zeile mit dem Buchstaben . Was sagt der Zustand über sie aus? Die Gerade geht durch den Punkt. Und wenn die Geraden parallel sind, dann ist es offensichtlich, dass der Richtungsvektor der Geraden „tse“ auch zur Konstruktion der Geraden „de“ geeignet ist.

Wir nehmen den Richtungsvektor aus der Gleichung:

Antwort:

Die Beispielgeometrie sieht einfach aus:

Das analytische Testen besteht aus den folgenden Schritten:

1) Wir überprüfen, ob die Linien den gleichen Richtungsvektor haben (wenn die Gleichung der Linie nicht richtig vereinfacht wird, sind die Vektoren kollinear).

2) Überprüfen Sie, ob der Punkt die resultierende Gleichung erfüllt.

In den meisten Fällen können analytische Tests problemlos mündlich durchgeführt werden. Schauen Sie sich die beiden Gleichungen an, und viele von Ihnen werden schnell die Parallelität der Linien bestimmen, ohne sie zeichnen zu müssen.

Beispiele für eigenständige Lösungen werden heute kreativ sein. Weil Sie immer noch mit Baba Yaga konkurrieren müssen, und sie ist, wie Sie wissen, eine Liebhaberin aller möglichen Rätsel.

Beispiel 3

Schreiben Sie eine Gleichung für eine Gerade, die durch einen Punkt parallel zur Geraden verläuft

Es gibt einen rationalen und einen weniger rationalen Weg, das Problem zu lösen. Am meisten Abkürzung- am Ende der Lektion.

Wir haben ein wenig mit parallelen Linien gearbeitet und werden später darauf zurückkommen. Der Fall übereinstimmender Linien ist von geringem Interesse. Betrachten wir daher ein Problem, das Ihnen aus dem Lehrplan sehr bekannt ist:

Wie finde ich den Schnittpunkt zweier Geraden?

Wenn gerade sich im Punkt schneiden, dann sind seine Koordinaten die Lösung Systeme linearer Gleichungen

Wie finde ich den Schnittpunkt von Linien? Lösen Sie das System.

Bitte schön geometrische Bedeutung des Zweiersystems lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten- Dies sind (meistens) zwei sich schneidende Linien in einer Ebene.

Beispiel 4

Finden Sie den Schnittpunkt der Linien

Lösung: Es gibt zwei Lösungswege – grafisch und analytisch.

Die grafische Methode besteht darin, einfach die vorgegebenen Linien zu zeichnen und den Schnittpunkt direkt aus der Zeichnung herauszufinden:

Hier ist unser Punkt: . Um dies zu überprüfen, sollten Sie ihre Koordinaten in jede Gleichung der Linie einsetzen. Sie sollten sowohl dort als auch dort passen. Mit anderen Worten: Die Koordinaten eines Punktes sind eine Lösung des Systems. Im Wesentlichen haben wir uns eine grafische Lösung angesehen Systeme linearer Gleichungen mit zwei Gleichungen, zwei Unbekannten.

Die grafische Methode ist natürlich nicht schlecht, aber es gibt spürbare Nachteile. Nein, es geht nicht darum, dass Siebtklässler so entscheiden, sondern darum, dass es einige Zeit dauern wird, eine korrekte und GENAUE Zeichnung zu erstellen. Darüber hinaus sind einige Geraden nicht so einfach zu konstruieren und der Schnittpunkt selbst kann irgendwo im dreißigsten Königreich außerhalb des Notizbuchblatts liegen.

Daher ist es sinnvoller, den Schnittpunkt mit der analytischen Methode zu suchen. Lassen Sie uns das System lösen:

Zur Lösung des Systems wurde die Methode der Term-für-Term-Addition von Gleichungen verwendet. Nehmen Sie an einer Unterrichtsstunde teil, um relevante Fähigkeiten zu entwickeln Wie löst man ein Gleichungssystem?

Antwort:

Die Prüfung ist trivial – die Koordinaten des Schnittpunkts müssen jede Gleichung des Systems erfüllen.

Beispiel 5

Finden Sie den Schnittpunkt der Linien, wenn sie sich schneiden.

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Es ist zweckmäßig, die Aufgabe in mehrere Phasen aufzuteilen. Die Analyse des Zustands legt nahe, dass Folgendes erforderlich ist:
1) Schreiben Sie die Gleichung der Geraden auf.
2) Schreiben Sie die Gleichung der Geraden auf.
3) Ermitteln Sie die relative Position der Linien.
4) Wenn sich die Linien schneiden, ermitteln Sie den Schnittpunkt.

Die Entwicklung eines Aktionsalgorithmus ist typisch für viele geometrische Probleme, und ich werde mich immer wieder darauf konzentrieren.

Komplette Lösung und die Antwort am Ende der Lektion:

Noch nicht einmal ein Paar Schuhe war abgenutzt, bevor wir zum zweiten Abschnitt der Lektion kamen:

Senkrechte Linien. Abstand von einem Punkt zu einer Linie.
Winkel zwischen Geraden

Beginnen wir mit einem typischen und sehr wichtige Aufgabe. Im ersten Teil haben wir gelernt, wie man eine gerade Linie parallel zu dieser baut, und jetzt dreht sich die Hütte auf Hühnerbeinen um 90 Grad:

Wie konstruiere ich eine Gerade senkrecht zu einer gegebenen Geraden?

Beispiel 6

Die Gerade ergibt sich aus der Gleichung. Schreiben Sie eine Gleichung senkrecht zur Geraden, die durch den Punkt verläuft.

Lösung: Durch die Bedingung ist bekannt, dass . Es wäre schön, den Richtungsvektor der Linie zu finden. Da die Linien senkrecht stehen, ist der Trick einfach:

Aus der Gleichung „entfernen“ wir den Normalenvektor: , der der Richtungsvektor der Geraden sein wird.

Stellen wir die Gleichung einer Geraden aus einem Punkt und einem Richtungsvektor auf:

Antwort:

Erweitern wir die geometrische Skizze:

Hmmm... Orangefarbener Himmel, orangefarbenes Meer, orangefarbenes Kamel.

Analytische Überprüfung der Lösung:

1) Wir entnehmen die Richtungsvektoren aus den Gleichungen und mit der Hilfe Skalarprodukt von Vektoren Wir kommen zu dem Schluss, dass die Geraden tatsächlich senkrecht stehen: .

Übrigens können Sie Normalenvektoren verwenden, das ist noch einfacher.

2) Überprüfen Sie, ob der Punkt die resultierende Gleichung erfüllt .

Auch der Test lässt sich leicht mündlich durchführen.

Beispiel 7

Finden Sie den Schnittpunkt senkrechter Geraden, wenn die Gleichung bekannt ist und Punkt.

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Da das Problem mehrere Aktionen umfasst, ist es zweckmäßig, die Lösung Punkt für Punkt zu formulieren.

Unsere spannende Reise geht weiter:

Abstand vom Punkt zur Linie

Vor uns liegt ein gerader Flussstreifen und unsere Aufgabe ist es, auf dem kürzesten Weg dorthin zu gelangen. Es gibt keine Hindernisse und die optimale Route ist die Bewegung entlang der Senkrechten. Das heißt, der Abstand von einem Punkt zu einer Geraden ist die Länge des senkrechten Abschnitts.

In der Geometrie wird der Abstand traditionell mit dem griechischen Buchstaben „rho“ bezeichnet, zum Beispiel: – der Abstand vom Punkt „em“ zur Geraden „de“.

Abstand vom Punkt zur Linie ausgedrückt durch die Formel

Beispiel 8

Finden Sie den Abstand von einem Punkt zu einer Linie

Lösung: Sie müssen lediglich die Zahlen sorgfältig in die Formel einsetzen und die Berechnungen durchführen:

Antwort:

Machen wir die Zeichnung:

Der gefundene Abstand vom Punkt zur Linie entspricht genau der Länge des roten Segments. Wenn Sie eine Zeichnung auf kariertem Papier im Maßstab 1 Einheit erstellen. = 1 cm (2 Zellen), dann kann der Abstand mit einem gewöhnlichen Lineal gemessen werden.

Betrachten wir eine andere Aufgabe basierend auf derselben Zeichnung:

Die Aufgabe besteht darin, die Koordinaten eines Punktes zu finden, der relativ zur Geraden symmetrisch zum Punkt ist . Ich schlage vor, die Schritte selbst durchzuführen, aber ich werde den Lösungsalgorithmus mit Zwischenergebnissen skizzieren:

1) Finden Sie eine Linie, die senkrecht zur Linie steht.

2) Finden Sie den Schnittpunkt der Geraden: .

Beide Aktionen werden in dieser Lektion ausführlich besprochen.

3) Der Punkt ist der Mittelpunkt des Segments. Wir kennen die Koordinaten der Mitte und eines der Enden. Von Formeln für die Koordinaten des Mittelpunkts eines Segments wir finden .

Es wäre eine gute Idee zu überprüfen, ob der Abstand ebenfalls 2,2 Einheiten beträgt.

Hier kann es zu Berechnungsschwierigkeiten kommen, doch im Turm ist ein Mikrorechner eine große Hilfe, der das Zählen ermöglicht gemeinsame Brüche. Ich habe Sie schon oft beraten und werde Sie auch weiterhin weiterempfehlen.

Wie finde ich den Abstand zwischen zwei parallelen Linien?

Beispiel 9

Finden Sie den Abstand zwischen zwei parallelen Linien

Dies ist ein weiteres Beispiel, über das Sie selbst entscheiden können. Ich gebe Ihnen einen kleinen Hinweis: Es gibt unendlich viele Möglichkeiten, dieses Problem zu lösen. Nachbesprechung am Ende der Lektion, aber es ist besser, selbst zu raten, ich denke, Ihr Einfallsreichtum war gut entwickelt.

Winkel zwischen zwei Geraden

Jede Ecke ist ein Pfosten:


In der Geometrie wird der Winkel zwischen zwei Geraden als der KLEINERE Winkel angenommen, woraus automatisch folgt, dass er nicht stumpf sein kann. In der Abbildung wird der durch den roten Bogen angezeigte Winkel nicht als Winkel zwischen sich schneidenden Linien betrachtet. Und sein „grüner“ Nachbar bzw gegensätzlich ausgerichtet„Himbeer“-Ecke.

Wenn die Linien senkrecht zueinander stehen, kann jeder der vier Winkel als Winkel zwischen ihnen angenommen werden.

Wie unterscheiden sich die Winkel? Orientierung. Erstens ist die Richtung, in die der Winkel „gescrollt“ wird, von grundlegender Bedeutung. Zweitens wird ein negativ ausgerichteter Winkel mit einem Minuszeichen geschrieben, zum Beispiel wenn .

Warum habe ich dir das erzählt? Es scheint, dass wir mit dem üblichen Winkelkonzept auskommen können. Tatsache ist, dass die Formeln, mit denen wir Winkel ermitteln, leicht zu einem negativen Ergebnis führen können, und das sollte Sie nicht überraschen. Ein Winkel mit einem Minuszeichen ist nicht schlechter und hat eine ganz bestimmte geometrische Bedeutung. Achten Sie in der Zeichnung darauf, bei einem negativen Winkel dessen Ausrichtung mit einem Pfeil (im Uhrzeigersinn) anzugeben.

Wie finde ich den Winkel zwischen zwei Geraden? Es gibt zwei Arbeitsformeln:

Beispiel 10

Finden Sie den Winkel zwischen Linien

Lösung Und Methode eins

Betrachten Sie zwei Geraden, durch Gleichungen gegeben Im Algemeinen:

Wenn gerade nicht senkrecht, Das orientiert Der Winkel zwischen ihnen kann mit der Formel berechnet werden:

Achten wir genau auf den Nenner – genau dieser ist es Skalarprodukt richtende Vektoren von Geraden:

Wenn , dann wird der Nenner der Formel Null und die Vektoren sind orthogonal und die Linien sind senkrecht. Aus diesem Grund wurde in der Formulierung ein Vorbehalt hinsichtlich der Nichtsenkrechtigkeit von Geraden gemacht.

Basierend auf dem oben Gesagten ist es zweckmäßig, die Lösung in zwei Schritten zu formalisieren:

1) Berechnen wir Skalarprodukt richtende Vektoren von Geraden:
, was bedeutet, dass die Linien nicht senkrecht sind.

2) Ermitteln Sie den Winkel zwischen Geraden mit der Formel:

Mit Hilfe Umkehrfunktion Die Ecke selbst ist leicht zu finden. In diesem Fall verwenden wir die Ungeradheit des Arkustangens (siehe. Graphen und Eigenschaften elementarer Funktionen):

Antwort:

In der Antwort geben wir an genauer Wert, sowie einen ungefähren Wert (vorzugsweise in Grad und Bogenmaß), berechnet mit einem Taschenrechner.

Nun ja, Minus, Minus, keine große Sache. Hier ist eine geometrische Illustration:

Es ist nicht verwunderlich, dass sich herausstellte, dass der Winkel eine negative Ausrichtung hatte, da in der Problemstellung die erste Zahl eine Gerade ist und das „Abschrauben“ des Winkels genau damit begann.

Wenn Sie wirklich einen positiven Winkel erhalten möchten, müssen Sie die Linien vertauschen, also die Koeffizienten aus der zweiten Gleichung übernehmen , und nehmen Sie die Koeffizienten aus der ersten Gleichung. Kurz gesagt, Sie müssen direkt beginnen .

Ich werde mich kurz fassen. Winkel zwischen zwei Geraden gleich Winkel zwischen ihren Richtungsvektoren. Wenn es Ihnen also gelingt, die Koordinaten der Richtungsvektoren a = (x 1 ; y 1 ; z 1) und b = (x 2 ; y 2 ​​​​; z 2) zu finden, können Sie den Winkel ermitteln. Genauer gesagt, der Kosinus des Winkels nach der Formel:

Sehen wir uns anhand konkreter Beispiele an, wie diese Formel funktioniert:

Aufgabe. Im Würfel ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 sind die Punkte E und F markiert – die Mittelpunkte der Kanten A 1 B 1 bzw. B 1 C 1. Finden Sie den Winkel zwischen den Linien AE und BF.

Da die Kante des Würfels nicht angegeben ist, setzen wir AB = 1. Wir führen ein Standardkoordinatensystem ein: Der Ursprung liegt im Punkt A, die x-, y- und z-Achsen sind entlang AB, AD bzw. AA 1 gerichtet. Das Einheitssegment ist gleich AB = 1. Nun wollen wir die Koordinaten der Richtungsvektoren für unsere Linien ermitteln.

Finden wir die Koordinaten des Vektors AE. Dazu benötigen wir die Punkte A = (0; 0; 0) und E = (0,5; 0; 1). Da Punkt E die Mitte des Segments A 1 B 1 ist, sind seine Koordinaten gleich dem arithmetischen Mittel der Koordinaten der Enden. Beachten Sie, dass der Ursprung des Vektors AE mit dem Koordinatenursprung übereinstimmt, also AE = (0,5; 0; 1).

Schauen wir uns nun den BF-Vektor an. Ebenso analysieren wir die Punkte B = (1; 0; 0) und F = (1; 0,5; 1), weil F ist die Mitte des Segments B 1 C 1. Wir haben:
BF = (1 − 1; 0,5 − 0; 1 − 0) = (0; 0,5; 1).

Die Richtungsvektoren sind also fertig. Der Kosinus des Winkels zwischen Geraden ist der Kosinus des Winkels zwischen den Richtungsvektoren, also haben wir:

Aufgabe. In einem regelmäßigen dreieckigen Prisma ABCA 1 B 1 C 1, dessen Kanten alle gleich 1 sind, sind die Punkte D und E markiert – die Mittelpunkte der Kanten A 1 B 1 bzw. B 1 C 1. Finden Sie den Winkel zwischen den Linien AD und BE.

Lassen Sie uns ein Standardkoordinatensystem einführen: Der Ursprung liegt im Punkt A, die x-Achse ist entlang AB gerichtet, z - entlang AA 1. Richten wir die y-Achse so aus, dass die OXY-Ebene mit der ABC-Ebene zusammenfällt. Das Einheitssegment ist gleich AB = 1. Lassen Sie uns die Koordinaten der Richtungsvektoren für die erforderlichen Linien ermitteln.

Suchen wir zunächst die Koordinaten des Vektors AD. Betrachten Sie die Punkte: A = (0; 0; 0) und D = (0,5; 0; 1), weil D - die Mitte des Segments A 1 B 1. Da der Anfang des Vektors AD mit dem Koordinatenursprung zusammenfällt, erhalten wir AD = (0,5; 0; 1).

Lassen Sie uns nun die Koordinaten des Vektors BE ermitteln. Punkt B = (1; 0; 0) ist leicht zu berechnen. Bei Punkt E – der Mitte des Segments C 1 B 1 – ist es etwas komplizierter. Wir haben:

Es bleibt noch der Kosinus des Winkels zu ermitteln:

Aufgabe. In einem regelmäßigen sechseckigen Prisma ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , dessen Kanten alle gleich 1 sind, sind die Punkte K und L markiert – die Mittelpunkte der Kanten A 1 B 1 bzw. B 1 C 1 . Finden Sie den Winkel zwischen den Linien AK und BL.

Lassen Sie uns ein Standardkoordinatensystem für ein Prisma einführen: Wir platzieren den Koordinatenursprung in der Mitte der unteren Basis, die x-Achse verläuft entlang FC, die y-Achse verläuft durch die Mittelpunkte der Segmente AB und DE und die z Die Achse ist senkrecht nach oben gerichtet. Die Einheitsstrecke ist wieder gleich AB = 1. Schreiben wir die Koordinaten der für uns interessanten Punkte auf:

Die Punkte K und L sind die Mittelpunkte der Segmente A 1 B 1 bzw. B 1 C 1, sodass ihre Koordinaten durch das arithmetische Mittel ermittelt werden. Wenn wir die Punkte kennen, ermitteln wir die Koordinaten der Richtungsvektoren AK und BL:

Jetzt ermitteln wir den Kosinus des Winkels:

Aufgabe. Rechts viereckige Pyramide SABCD, bei dem alle Kanten gleich 1 sind, sind die Punkte E und F markiert – die Mittelpunkte der Seiten SB bzw. SC. Finden Sie den Winkel zwischen den Linien AE und BF.

Lassen Sie uns ein Standardkoordinatensystem einführen: Der Ursprung liegt im Punkt A, die x- und y-Achse sind entlang AB bzw. AD gerichtet und die z-Achse ist vertikal nach oben gerichtet. Das Einheitssegment ist gleich AB = 1.

Die Punkte E und F sind die Mittelpunkte der Segmente SB bzw. SC, sodass ihre Koordinaten als arithmetisches Mittel der Enden ermittelt werden. Schreiben wir uns die Koordinaten der für uns interessanten Punkte auf:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Wenn wir die Punkte kennen, ermitteln wir die Koordinaten der Richtungsvektoren AE und BF:

Die Koordinaten des Vektors AE stimmen mit den Koordinaten des Punktes E überein, da Punkt A der Ursprung ist. Es bleibt noch der Kosinus des Winkels zu ermitteln: