Bedingungen für die Anwendung der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel. Lösen von Problemen mit der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel und der Bayes-Formel

Veranstaltungsformular volle Gruppe, wenn mindestens einer von ihnen als Ergebnis des Experiments definitiv auftritt und paarweise inkompatibel ist.

Nehmen wir an, dass das Ereignis A kann nur zusammen mit einem von mehreren paarweise inkompatiblen Ereignissen auftreten, die eine vollständige Gruppe bilden. Wir nennen Ereignisse ( ich= 1, 2,…, N) Hypothesen zusätzliche Erfahrung (a priori). Die Eintrittswahrscheinlichkeit des Ereignisses A wird durch die Formel bestimmt volle Wahrscheinlichkeit :

Beispiel 16. Es gibt drei Urnen. Die erste Urne enthält 5 weiße und 3 schwarze Kugeln, die zweite enthält 4 weiße und 4 schwarze Kugeln und die dritte enthält 8 weiße Kugeln. Eine der Urnen wird zufällig ausgewählt (das könnte zum Beispiel bedeuten, dass die Wahl aus einer Hilfsurne getroffen wird, die drei Kugeln mit den Nummern 1, 2 und 3 enthält). Aus dieser Urne wird zufällig eine Kugel gezogen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es schwarz sein wird?

Lösung. Ereignis A– Die schwarze Kugel wird entfernt. Wenn bekannt wäre, aus welcher Urne die Kugel entnommen wurde, könnte die gewünschte Wahrscheinlichkeit mithilfe der klassischen Wahrscheinlichkeitsdefinition berechnet werden. Lassen Sie uns Annahmen (Hypothesen) darüber aufstellen, welche Urne für die Bergung der Kugel ausgewählt wird.

Die Kugel kann entweder aus der ersten Urne (Vermutung), aus der zweiten (Vermutung) oder aus der dritten (Vermutung) gezogen werden. Da die Chancen, sich für eine der Urnen zu entscheiden, gleich sind .

Es folgt dem

Beispiel 17. Elektrische Lampen werden in drei Fabriken hergestellt. Die erste Anlage produziert 30 % der Gesamtzahl elektrischer Lampen, die zweite 25 %.
und der dritte - der Rest. Die Produkte der ersten Anlage enthalten 1 % defekte elektrische Lampen, die zweite - 1,5 %, die dritte - 2 %. Der Laden erhält Produkte aus allen drei Fabriken. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine im Laden gekaufte Lampe defekt ist?

Lösung. Es müssen Annahmen getroffen werden, in welchem ​​Werk die Glühbirne hergestellt wurde. Wenn wir das wissen, können wir die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass es defekt ist. Lassen Sie uns die Notation für Ereignisse einführen: A– sich herausstellte, dass die gekaufte elektrische Lampe defekt war, – die Lampe im ersten Werk hergestellt wurde, – die Lampe im zweiten Werk hergestellt wurde,
– Die Lampe wurde im dritten Werk hergestellt.

Wir ermitteln die gewünschte Wahrscheinlichkeit mithilfe der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel:

Bayes-Formel. Sei eine vollständige Gruppe paarweise inkompatibler Ereignisse (Hypothesen). A– Zufälliges Ereignis. Dann,

Die letzte Formel, die es ermöglicht, die Wahrscheinlichkeiten von Hypothesen neu abzuschätzen, nachdem das Ergebnis des Tests bekannt ist, der zu Ereignis A geführt hat, heißt Bayes-Formel .

Beispiel 18. Im Durchschnitt werden 50 % der erkrankten Patienten in ein spezialisiertes Krankenhaus eingeliefert ZU, 30 % – mit Krankheit L, 20 % –
mit Krankheit M. Wahrscheinlichkeit einer vollständigen Heilung der Krankheit K gleich 0,7 für Krankheiten L Und M diese Wahrscheinlichkeiten betragen 0,8 bzw. 0,9. Der ins Krankenhaus eingelieferte Patient wurde gesund entlassen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Patient an der Krankheit litt K.

Lösung. Stellen wir die Hypothesen vor: – Der Patient litt an einer Krankheit ZU L, – der Patient litt an einer Krankheit M.

Dann haben wir entsprechend den Bedingungen des Problems . Lassen Sie uns eine Veranstaltung vorstellen A– Der ins Krankenhaus eingelieferte Patient wurde gesund entlassen. Nach Bedingung

Mit der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel erhalten wir:

Nach der Formel von Bayes.

Beispiel 19. Angenommen, in der Urne befinden sich fünf Kugeln, und alle Vermutungen über die Anzahl der weißen Kugeln sind gleichermaßen möglich. Aus der Urne wird zufällig eine Kugel genommen, die sich als weiß herausstellt. Welche Annahme über die ursprüngliche Zusammensetzung der Urne ist am wahrscheinlichsten?

Lösung. Nehmen wir an, dass sich in der Urne weiße Kugeln befinden d. h. es können sechs Annahmen getroffen werden. Dann haben wir entsprechend den Bedingungen des Problems .

Lassen Sie uns eine Veranstaltung vorstellen A– ein zufällig ausgewählter weißer Ball. Rechnen wir. Da gilt dann nach der Bayes-Formel:

Daher ist die wahrscheinlichste Hypothese, dass .

Beispiel 20. Zwei der drei unabhängig voneinander arbeitenden Elemente des Computergeräts sind ausgefallen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das erste und das zweite Element ausgefallen sind, wenn die Ausfallwahrscheinlichkeiten des ersten, zweiten und dritten Elements jeweils 0,2 betragen; 0,4 und 0,3.

Lösung. Bezeichnen wir mit A Ereignis – zwei Elemente sind ausgefallen. Folgende Hypothesen können aufgestellt werden:

– Das erste und das zweite Element sind ausgefallen, das dritte Element ist jedoch betriebsbereit. Da die Elemente unabhängig voneinander wirken, gilt der Multiplikationssatz:

In der Praxis ist es häufig erforderlich, die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses von Interesse zu bestimmen, wobei eines der Ereignisse eine vollständige Gruppe bildet. Der folgende Satz, eine Konsequenz aus den Additions- und Multiplikationssätzen der Wahrscheinlichkeit, führt zur Ableitung einer wichtigen Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit solcher Ereignisse. Diese Formel wird Gesamtwahrscheinlichkeitsformel genannt.

Lassen H 1 , H 2 , … , H n ist Npaarweise inkompatibel Ereignisse, die eine vollständige Gruppe bilden:

1) Alle Ereignisse sind paarweise inkompatibel: Hallo ∩ Hj= ; ich, J= 1,2, … , N; ichJ;

2) ihre Vereinigung bildet den Raum elementarer Ergebnisse W:

Solche Ereignisse werden manchmal aufgerufen Hypothesen. Lass das Ereignis geschehen A, was nur dann eintreten kann, wenn eines der Ereignisse eintritt H ich ( ich = 1, 2, … , N). Dann ist der Satz wahr.

Nachweisen. Tatsächlich durch die Bedingung des Ereignisses A kann auftreten, wenn eines der inkompatiblen Ereignisse eintritt H 1 , H 2 … H n, d.h. Eintreten eines Ereignisses A bedeutet das Eintreten eines der Ereignisse H 1 ∙ A, H 2 ∙ A, … , H n∙ A. Die neuesten Ereignisse sind auch nicht kompatibel, weil... aus H ich∙ H j = ( ich j) es folgt dem ( A ∙ H i) ∙ ( A ∙ H j) = ( ich j). Das merken wir jetzt Diese Gleichheit ist in Abb. gut dargestellt. 1.19. Aus dem Additionssatz folgt . Aber nach dem Multiplikationssatz gilt Gleichheit für alle ich, 1 ≤ ich ≤ N. Daher ist die Gesamtwahrscheinlichkeitsformel (1.14) gültig. Der Satz ist bewiesen. Kommentar. Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen (Hypothesen) H 1 , H 2 , … , H n , die bei der Lösung konkreter Probleme in Formel (1.14) einfließen, werden entweder vorgegeben oder müssen während des Lösungsprozesses berechnet werden. Im letzteren Fall ist die Richtigkeit der Berechnung gewährleistet R(H ich) ( ich = 1, 2, … , N) wird durch die Beziehung = 1 und die Berechnung überprüft R(H i) wird in der ersten Phase der Problemlösung durchgeführt. Im zweiten Schritt wird es berechnet R(A). Bei der Lösung von Problemen mithilfe der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel ist es zweckmäßig, die folgende Technik einzuhalten. Methodik zur Anwendung der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel A). Ein Ereignis in Betracht ziehen (wir bezeichnen es). A), deren Wahrscheinlichkeit anhand der Bedingungen des Problems bestimmt werden muss. B). Berücksichtigen Sie Ereignisse (Hypothesen). H 1 , H 2 , … , H n , die eine vollständige Gruppe bilden. V). Schreiben Sie die Wahrscheinlichkeiten von Hypothesen auf oder berechnen Sie sie R(H 1), R(H 2), … , R(H N). Überprüfung der Richtigkeit der Berechnung R(H i) nach Bedingung geprüft Bei mehr Wahrscheinlichkeitsproblemen R(H i) werden direkt in der Problemstellung angegeben. Manchmal sind dies Wahrscheinlichkeiten sowie Wahrscheinlichkeiten P(A/H 1), P(A/H 2), …, P(A/H n) multipliziert mit 100 (die Zahlen sind in Prozent angegeben). In diesem Fall müssen die angegebenen Zahlen durch 100 geteilt werden. G). Berechnen Sie die erforderliche Wahrscheinlichkeit R(A) nach Formel (1.14). Beispiel. Der Ökonom errechnete, dass die Wahrscheinlichkeit eines Anstiegs des Aktienkurses seines Unternehmens in nächstes Jahr 0,75, wenn die Wirtschaft des Landes wächst, und 0,30, wenn es zu einer Finanzkrise kommt. Laut Experten liegt die Wahrscheinlichkeit einer wirtschaftlichen Erholung bei 0,6. Schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Aktienkurs des Unternehmens im nächsten Jahr steigen wird. Lösung. Zu Beginn wird die Problembedingung in Bezug auf die Wahrscheinlichkeit formalisiert. Lassen A– Ereignis „Aktien werden im Preis steigen“ (relativ zum Problem). Je nach Problemstellung werden Hypothesen unterschieden: H 1 – „Die Wirtschaft wird auf dem Vormarsch sein“, H 2 – „Die Wirtschaft wird in eine Krisenphase geraten.“ H 1 , H 2 – eine komplette Gruppe bilden, d.h. H 1 ∙ H 2 = , H 1 + H 2 = . Wahrscheinlichkeit P(H 1) = 0,6, also P(H 2) = 1 – 0,6 = 0,4. Bedingte Wahrscheinlichkeiten P(A/H 1) = 0,75, P(A/H 2) = 0,3. Mit Formel (1.14) erhalten wir: P(A) = P(H 1) ∙ P(A/H 1) + P(H 2) ∙ P(A/H 2) = 0,75 ∙ 0,6 + 0,3 ∙ 0,4 = 0,57.

Die Konsequenz beider Hauptsätze – dem Satz der Addition von Wahrscheinlichkeiten und dem Satz der Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten – ist die sogenannte Formel der Gesamtwahrscheinlichkeit.

Lassen Sie es notwendig sein, die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu bestimmen, das zusammen mit einem der Ereignisse auftreten kann:

eine vollständige Gruppe inkompatibler Ereignisse bilden. Wir nennen diese Ereignisse Hypothesen.

Beweisen wir das in diesem Fall

, (3.4.1)

diese. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses wird als Summe der Produkte der Wahrscheinlichkeit jeder Hypothese und der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses unter dieser Hypothese berechnet.

Formel (3.4.1) wird Gesamtwahrscheinlichkeitsformel genannt.

Nachweisen. Da die Hypothesen eine vollständige Gruppe bilden, kann ein Ereignis nur in Kombination mit einer dieser Hypothesen auftreten:

Da die Hypothesen inkonsistent sind, sind die Kombinationen auch inkompatibel; Wenn wir den Additionssatz auf sie anwenden, erhalten wir:

Wenn wir den Multiplikationssatz auf das Ereignis anwenden, erhalten wir:

,

Q.E.D.

Beispiel 1. Es gibt drei identisch aussehende Urnen; die erste Urne enthält zwei weiße und eine schwarze Kugel; im zweiten - drei weiße und ein schwarzes; im dritten sind zwei weiße und zwei schwarze Kugeln. Jemand wählt zufällig eine der Urnen aus und nimmt eine Kugel daraus. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Ball weiß ist.

Lösung. Betrachten wir drei Hypothesen:

Wahl der ersten Wahlurne

Auswahl der zweiten Urne

Auswahl der dritten Urne

und das Ereignis ist das Erscheinen einer weißen Kugel.

Da die Hypothesen je nach den Bedingungen des Problems gleichermaßen möglich sind

.

Die bedingten Wahrscheinlichkeiten des Ereignisses unter diesen Hypothesen sind jeweils gleich:

Nach der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel

.

Beispiel 2. Es werden drei Einzelschüsse auf das Flugzeug abgefeuert. Die Trefferwahrscheinlichkeit beträgt beim ersten Schuss 0,4, beim zweiten 0,5 und beim dritten 0,7. Drei Treffer reichen offensichtlich aus, um ein Flugzeug außer Gefecht zu setzen; Bei einem Treffer fällt das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,2 aus, bei zwei Treffern mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,6. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Flugzeug durch drei Schüsse außer Gefecht gesetzt wird.

Lösung. Betrachten wir vier Hypothesen:

Keine einzige Granate traf das Flugzeug,

Eine Granate traf das Flugzeug,

Das Flugzeug wurde von zwei Granaten getroffen,

Das Flugzeug wurde von drei Granaten getroffen.

Mithilfe der Additions- und Multiplikationssätze ermitteln wir die Wahrscheinlichkeiten dieser Hypothesen:

Die bedingten Wahrscheinlichkeiten des Ereignisses (Flugzeugausfall) unter diesen Hypothesen sind gleich:

Wenn wir die Gesamtwahrscheinlichkeitsformel anwenden, erhalten wir:

Beachten Sie, dass die erste Hypothese nicht berücksichtigt werden konnte, da der entsprechende Term in der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel verschwindet. Dies geschieht normalerweise bei der Anwendung der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel, wobei nicht die gesamte Gruppe inkompatibler Hypothesen berücksichtigt wird, sondern nur diejenigen davon, unter denen ein bestimmtes Ereignis möglich ist.

Beispiel 3. Der Betrieb des Motors wird von zwei Reglern gesteuert. Dabei wird ein bestimmter Zeitraum berücksichtigt, in dem ein störungsfreier Betrieb des Motors gewährleistet sein soll. Wenn beide Regler vorhanden sind, fällt der Motor mit Wahrscheinlichkeit aus, wenn nur der erste von ihnen arbeitet – mit Wahrscheinlichkeit, wenn nur der zweite funktioniert –, wenn beide Regler ausfallen – mit Wahrscheinlichkeit. Der erste der Regler ist zuverlässig, der zweite -. Alle Elemente versagen unabhängig voneinander. Ermitteln Sie die Gesamtzuverlässigkeit (Wahrscheinlichkeit eines störungsfreien Betriebs) des Motors.

Zusammengestellt vom Lehrer der Abteilung für höhere Mathematik Ishchanov T.R. Lektion Nr. 4. Gesamtwahrscheinlichkeitsformel. Wahrscheinlichkeit von Hypothesen. Bayes-Formeln.

Theoretisches Material
Gesamtwahrscheinlichkeitsformel
Satz. Die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A, die nur eintreten kann, wenn eines der inkompatiblen Ereignisse, die eine vollständige Gruppe bilden, eintritt, ist gleich der Summe der Produkte der Wahrscheinlichkeiten jedes dieser Ereignisse mit der entsprechenden bedingten Wahrscheinlichkeit von Ereignis A:

.
Diese Formel wird „Gesamtwahrscheinlichkeitsformel“ genannt.

Nachweisen. Gemäß der Bedingung kann Ereignis A eintreten, wenn eines der inkompatiblen Ereignisse eintritt. Mit anderen Worten bedeutet das Eintreten von Ereignis A das Eintreten eines der inkompatiblen Ereignisse, egal welches. Unter Verwendung des Additionssatzes zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit von Ereignis A erhalten wir:
. (*)
Es bleibt noch, jeden der Terme zu berechnen. Nach dem Satz der Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten abhängiger Ereignisse haben wir
.
Wenn wir die rechten Seiten dieser Gleichungen in die Beziehung (*) einsetzen, erhalten wir die Formel für die Gesamtwahrscheinlichkeit

Beispiel 1. Es gibt zwei Teilesätze. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Teil des ersten Satzes Standard ist, beträgt 0,8 und der zweite 0,9. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Teil (aus einer zufällig ausgewählten Menge) dem Standard entspricht.
Lösung. Bezeichnen wir mit A das Ereignis „Der extrahierte Teil ist Standard“.
Der Teil kann entweder aus dem ersten Satz (Ereignis) oder aus dem zweiten (Ereignis) abgerufen werden.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teil aus der ersten Menge entnommen wird, beträgt .
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teil aus der zweiten Menge entnommen wird, beträgt .
Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass ein Standardteil aus dem ersten Satz gezogen wird, beträgt .
Bedingte Wahrscheinlichkeit, dass ein Standardteil aus dem zweiten Satz gezogen wird .
Die erforderliche Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig extrahierter Teil ein Standardteil ist, ist gemäß der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel gleich

Beispiel 2. Die erste Box enthält 20 Radioröhren, davon 18 Standardröhren; In der zweiten Box befinden sich 10 Lampen, davon 9 Standardlampen. Aus der zweiten Kiste wird zufällig eine Lampe genommen und in die erste gelegt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig aus der ersten Box gezogene Lampe eine Standardlampe ist.
Lösung. Bezeichnen wir mit A das Ereignis „Eine Stehlampe wird aus der ersten Kiste entfernt.“
Aus der zweiten Box könnte entweder eine Standardlampe (Ereignis) oder eine Nicht-Standardlampe (Ereignis) entnommen werden.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Stehlampe aus der zweiten Box entnommen wird, beträgt .
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine nicht standardmäßige Lampe aus der zweiten Box entfernt wurde, beträgt
Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass eine Standardlampe aus der ersten Box entfernt wird, vorausgesetzt, dass eine Standardlampe von der zweiten Box in die erste übertragen wurde, ist gleich .
Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass eine Standardlampe aus der ersten Box entfernt wird, vorausgesetzt, dass eine Nicht-Standardlampe von der zweiten Box in die erste übertragen wurde, ist gleich .
Die erforderliche Wahrscheinlichkeit, dass eine Standardlampe aus der ersten Box entfernt wird, ist gemäß der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel gleich

Wahrscheinlichkeit von Hypothesen. Bayes-Formeln

Angenommen, Ereignis A kann eintreten, sofern eines der inkompatiblen Ereignisse eintritt, die eine vollständige Gruppe bilden. Da nicht im Voraus bekannt ist, welches dieser Ereignisse eintreten wird, spricht man von Hypothesen. Die Eintrittswahrscheinlichkeit von Ereignis A wird durch die Gesamtwahrscheinlichkeitsformel bestimmt:

Nehmen wir an, dass ein Test durchgeführt wurde, bei dem Ereignis A eingetreten ist. Stellen wir uns die Aufgabe, festzustellen, wie sich die Wahrscheinlichkeiten der Hypothesen verändert haben (aufgrund der Tatsache, dass Ereignis A bereits eingetreten ist). Mit anderen Worten, wir werden nach bedingten Wahrscheinlichkeiten suchen

Lassen Sie uns zunächst die bedingte Wahrscheinlichkeit ermitteln. Nach dem Multiplikationssatz haben wir

.

Wenn wir P(A) hier durch die Formel (*) ersetzen, erhalten wir

Ebenso werden Formeln abgeleitet, die die bedingten Wahrscheinlichkeiten der verbleibenden Hypothesen bestimmen, d. h. die bedingte Wahrscheinlichkeit jeder Hypothese kann mithilfe der Formel berechnet werden

Die resultierenden Formeln werden aufgerufen Bayes-Formeln(benannt nach dem englischen Mathematiker, der sie abgeleitet hat; veröffentlicht 1764). Mit den Formeln von Bayes können wir die Wahrscheinlichkeiten von Hypothesen neu schätzen, nachdem das Ergebnis des Tests bekannt geworden ist, der zu Ereignis A geführt hat.

Beispiel. Von der Werkswerkstatt hergestellte Teile werden an einen von zwei Prüfern geschickt, um ihre Standardität zu überprüfen. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Teil beim ersten Prüfer ankommt, beträgt 0,6 und beim zweiten 0,4. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein passendes Teil vom ersten Prüfer als Standard erkannt wird, beträgt 0,94 und vom zweiten 0,98. Bei der Inspektion wurde festgestellt, dass das gültige Teil dem Standard entspricht. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Prüfer dieses Teil überprüft hat.
Lösung. Mit A bezeichnen wir den Fall, dass ein passendes Teil als Standard erkannt wird. Es können zwei Annahmen getroffen werden:
1) das Teil wurde vom ersten Prüfer geprüft (Hypothese);
2) Das Teil wurde vom zweiten Prüfer geprüft (Hypothese). Die gewünschte Wahrscheinlichkeit, dass das Teil vom ersten Prüfer geprüft wurde, ermitteln wir mithilfe der Bayes-Formel:

Entsprechend den Bedingungen des Problems haben wir:
(Wahrscheinlichkeit, dass das Teil den ersten Prüfer erreicht);
(Wahrscheinlichkeit, dass das Teil den zweiten Prüfer erreicht);
(die Wahrscheinlichkeit, dass ein passendes Teil vom Erstprüfer als Standard anerkannt wird);
(die Wahrscheinlichkeit, dass ein passendes Teil vom zweiten Prüfer als Standard erkannt wird).
Erforderliche Wahrscheinlichkeit

Wie Sie sehen können, betrug die Wahrscheinlichkeit der Hypothese vor dem Test 0,6; nachdem das Testergebnis bekannt wurde, änderte sich die Wahrscheinlichkeit dieser Hypothese (genauer gesagt die bedingte Wahrscheinlichkeit) und betrug 0,59. Somit ermöglichte die Verwendung der Bayes-Formel eine Überschätzung der Wahrscheinlichkeit der betrachteten Hypothese.

Praktisches Material.
1. (4) Der Monteur erhielt 3 Kisten mit Teilen, die von Werk Nr. 1 hergestellt wurden, und 2 Kisten mit Teilen, die von Werk Nr. 2 hergestellt wurden. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teil aus Werk Nr. 1 Standard ist, beträgt 0,8 und das aus Werk Nr. 2 0,9 beträgt, hat Assembler das Teil zufällig aus einer zufällig ausgewählten Box entnommen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Standardteil entfernt wird.
Rep. 0,84.
2. (5) Die erste Box enthält 20 Teile, davon 15 Standardteile; im zweiten gibt es 30 Teile, davon 24 Standardteile; im dritten gibt es 10 Teile, davon 6 Standardteile. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig aus einer zufällig entnommenen Kiste entnommenes Teil dem Standard entspricht.
Rep. 43/60.
3. (6) Im Fernsehstudio gibt es 4 Bildröhren. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Bildröhre die Garantiedauer übersteht, beträgt jeweils 0,8; 0,85; 0,9; 0,95. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig entnommene Bildröhre die Garantiezeit übersteht.
Rep. 0,875.
4. (3) Die Athletengruppe besteht aus 20 Skifahrern, 6 Radfahrern und 4 Läufern. Die Wahrscheinlichkeit, den Qualifikationsstandard zu erfüllen, ist wie folgt: für einen Skifahrer - 0,9, für einen Radfahrer - 0,8. und für den Läufer - 0,75. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Athlet die Norm erfüllt.
Rep. 0,86.
5. (C) In einer weißen Schachtel befinden sich 12 rote und 6 blaue Kugeln. In Schwarz sind es 15 rote und 10 blaue Kugeln. Einen Würfel werfen. Ist die Punktezahl ein Vielfaches von 3, wird zufällig eine Kugel aus dem weißen Feld genommen. Wird eine andere Punktzahl gewürfelt, wird eine Kugel zufällig aus der schwarzen Box genommen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein roter Ball erscheint?
Lösung:
Zwei Hypothesen sind möglich:
– Beim Würfeln erscheint die Anzahl der Punkte, die ein Vielfaches von 3 ist, d. h. oder 3 oder 6;
– beim Würfeln erscheint eine unterschiedliche Anzahl an Punkten, d.h. oder 1 oder 2 oder 4 oder 5.
Nach der klassischen Definition sind die Wahrscheinlichkeiten von Hypothesen gleich:

Da die Hypothesen eine vollständige Gruppe von Ereignissen darstellen, muss die Gleichheit erfüllt sein

Angenommen, Ereignis A bestehe aus dem Erscheinen einer roten Kugel. Die bedingten Wahrscheinlichkeiten dieses Ereignisses hängen davon ab, welche Hypothese verwirklicht wurde und sind dementsprechend:

Dann ist gemäß der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A gleich:

6. (7) Zwei Kisten enthalten Radioröhren. Die erste Box enthält 12 Lampen, von denen 1 nicht dem Standard entspricht; Im zweiten gibt es 10 Lampen, von denen 1 nicht dem Standard entspricht. Aus der ersten Kiste wird zufällig eine Lampe genommen und in die zweite gelegt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig aus der zweiten Kiste entnommene Lampe nicht dem Standard entspricht.
Rep. 13/132.

7. (89 D) Eine weiße Kugel wird in eine Urne mit zwei Kugeln geworfen, woraufhin eine Kugel zufällig gezogen wird. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die extrahierte Kugel weiß ist, wenn alle möglichen Annahmen über die ursprüngliche Zusammensetzung der Kugeln (basierend auf der Farbe) gleichermaßen möglich sind.
Lösung. Bezeichnen wir mit A das Ereignis – eine weiße Kugel wird gezogen. Über die Ausgangszusammensetzung der Kugeln sind folgende Annahmen (Hypothesen) möglich: - keine weißen Kugeln, - eine weiße Kugel, - zwei weiße Kugeln.
Da es insgesamt drei Hypothesen gibt und diese je nach Bedingung gleich wahrscheinlich sind und die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Hypothesen gleich eins ist (da sie eine vollständige Gruppe von Ereignissen bilden), dann ist die Wahrscheinlichkeit jeder der Hypothesen ist gleich 1/3, d.h. .
Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass eine weiße Kugel gezogen wird, vorausgesetzt, dass sich ursprünglich keine weißen Kugeln in der Urne befanden, .
Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass eine weiße Kugel gezogen wird, vorausgesetzt, dass sich ursprünglich eine weiße Kugel in der Urne befand, .
Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass eine weiße Kugel gezogen wird, vorausgesetzt, dass sich ursprünglich zwei weiße Kugeln in der Urne befanden.
Wir ermitteln die erforderliche Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine weiße Kugel gezogen wird, indem wir die Gesamtwahrscheinlichkeitsformel verwenden:

8. (10) Ein Standardteil wird in eine Kiste mit 3 identischen Teilen geworfen und dann wird ein Teil zufällig gezogen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Standardteil entfernt wird, wenn alle möglichen Schätzungen über die Anzahl der ursprünglich in der Box enthaltenen Standardteile gleich wahrscheinlich sind.
Rep. 0,625.

9. (6.5.2L) Um die Qualität der Funkkommunikation zu verbessern, werden zwei Funkempfänger verwendet. Die Wahrscheinlichkeit, dass jeder Empfänger ein Signal empfängt, beträgt 0,8, und diese Ereignisse (Signalempfang durch den Empfänger) sind unabhängig. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit des Signalempfangs, wenn die Wahrscheinlichkeit eines störungsfreien Betriebs während einer Funkkommunikationssitzung für jeden Empfänger 0,9 beträgt.
Lösung.
Sei das Ereignis A = (das Signal wird empfangen). Betrachten wir vier Hypothesen:

=(der erste Empfänger funktioniert, der zweite nicht);

=(der zweite funktioniert, der erste nicht);

=(beide Empfänger funktionieren);

=(beide Empfänger funktionieren nicht).

Ereignis A kann nur unter einer dieser Hypothesen eintreten. Lassen Sie uns die Wahrscheinlichkeit dieser Hypothesen ermitteln, indem wir die folgenden Ereignisse berücksichtigen:

=(erster Empfänger funktioniert),

=(der zweite Empfänger funktioniert).

Kontrolle:

.

Die bedingten Wahrscheinlichkeiten sind jeweils gleich:

;

;

Mithilfe der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel ermitteln wir nun die gewünschte Wahrscheinlichkeit

10. (11) Wenn die Maschine vom normalen Betriebsmodus abweicht, wird der C-1-Alarm mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,8 und der C-11-Alarm mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 ausgelöst. Die Wahrscheinlichkeiten, dass die Maschine mit einem C ausgestattet ist -1- oder C-11-Alarm entsprechen jeweils 0, 6 und 0,4. Es wurde ein Signal zum Abschalten des Maschinengewehrs empfangen. Was ist wahrscheinlicher: Die Maschine ist mit einem S-1- oder S-11-Signalgerät ausgestattet?
Rep. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Maschine mit einem Signalgerät S-1 ausgestattet ist, beträgt 6/11 und S-11 5/11

11. (12) Zur Teilnahme an studentischen Qualifikationssportwettkämpfen wurden 4 Studierende aus der ersten Gruppe des Kurses, 6 aus der zweiten und 5 aus der dritten Gruppe zugeteilt. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Student der ersten, zweiten und dritten Gruppe in das Team des Instituts aufgenommen wird, beträgt jeweils 0,9; 0,7 und 0,8. Durch den Wettbewerb gelangte ein zufällig ausgewählter Schüler in die Nationalmannschaft. Zu welcher Gruppe gehörte dieser Schüler höchstwahrscheinlich?
Rep. Die Wahrscheinlichkeiten, dass ein Schüler der ersten, zweiten und dritten Gruppe ausgewählt wird, betragen jeweils 18/59, 21/59, 20/59.

12. (1,34K) Ein Handelsunternehmen erhielt Fernseher von drei Lieferanten im Verhältnis 1:4:5. Die Praxis hat gezeigt, dass bei Fernsehern des 1., 2. und 3. Lieferanten keine Reparaturen erforderlich sind Garantiezeit jeweils in 98, 88 und 92 % der Fälle.
1) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein von einem Handelsunternehmen erhaltener Fernseher während der Garantiezeit keine Reparaturen erfordert.
2) Der verkaufte Fernseher musste während der Garantiezeit repariert werden. Von welchem ​​Anbieter stammt dieser Fernseher höchstwahrscheinlich?
Lösung.
Bezeichnen wir die Ereignisse: - Der Fernseher kam vom i-ten Lieferanten (i=1,2,3) beim Handelsunternehmen an;
A – Der Fernseher muss während der Garantiezeit nicht repariert werden.
Nach Bedingung

Nach der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel

Event TV muss während der Garantiezeit repariert werden; .
Nach Bedingung

Nach der Formel von Bayes

;

Somit stieg nach Eintritt des Ereignisses die Wahrscheinlichkeit der Hypothese mit auf Maximum, und die Hypothese verringerte sich vom Maximum auf; Wenn früher (vor dem Eintreten von Ereignis A) die wahrscheinlichste Hypothese war, dann ist jetzt angesichts neuer Informationen (das Eintreten von Ereignis A) die wahrscheinlichste Hypothese, dass dieser Fernseher vom zweiten Lieferanten kommt.

13. (1,35K) Es ist bekannt, dass durchschnittlich 95 % der hergestellten Produkte dem Standard entsprechen. Ein vereinfachtes Kontrollschema erkennt ein Produkt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,98 als geeignet, wenn es dem Standard entspricht, und mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,06, wenn es nicht dem Standard entspricht. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass:
1) ein stichprobenartig entnommenes Produkt wird einer vereinfachten Kontrolle unterzogen;
2) ein Standardprodukt, wenn es: a) die vereinfachte Kontrolle bestanden hat; b) die vereinfachte Kontrolle zweimal bestanden.
Lösung.
1). Bezeichnen wir die Ereignisse:
- ein zufällig ausgewähltes, standardmäßiges bzw. nicht standardmäßiges Produkt;
- Das Produkt hat die vereinfachte Kontrolle bestanden.

Nach Bedingung

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig entnommenes Produkt die vereinfachte Kontrolle besteht, gemäß der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel:

2, a). Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Produkt, das die vereinfachte Kontrolle bestanden hat, dem Standard entspricht, gemäß der Bayes-Formel:

2, b). Lassen Sie das Ereignis – das Produkt die vereinfachte Kontrolle zweimal durchlaufen. Dann gilt nach dem Wahrscheinlichkeitsmultiplikationssatz:

Nach der Formel von Bayes

sehr klein ist, sollte die Hypothese, dass ein Produkt, das die vereinfachte Kontrolle zweimal bestanden hat, nicht dem Standard entspricht, als praktisch unmögliches Ereignis verworfen werden.

14. (1,36K) Zwei Schützen schießen unabhängig voneinander auf ein Ziel, wobei jeder einen Schuss abfeuert. Die Trefferwahrscheinlichkeit für den ersten Schützen beträgt 0,8; für die Sekunde – 0,4. Nach dem Schießen wurde ein Loch in der Zielscheibe entdeckt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gehört es zu:
a) 1. Schütze;
b) 2. Schütze?
Lösung.
Bezeichnen wir die Ereignisse:

Beide Schützen verfehlten das Ziel;

Beide Schützen trafen das Ziel;

Der 1. Schütze traf das Ziel, der 2. nicht;

Der erste Schütze verfehlte das Ziel, der zweite verfehlte es;

Es gibt ein Loch in der Zielscheibe (ein Treffer).

Beispiel Nr. 1. Ein Computerhersteller bezieht identische Komponenten von drei Lieferanten. Der erste liefert 50 % aller Komponenten, der zweite 20 % und der dritte 30 % der Teile.
Es ist bekannt, dass die Qualität der gelieferten Teile schwankt, und bei den Produkten des ersten Lieferanten beträgt der Fehleranteil 4 %, beim zweiten 5 % und beim dritten 2 %. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig aus allen erhaltenen Teilen ausgewähltes Teil fehlerhaft sein wird.

Lösung. Bezeichnen wir die Ereignisse: A – „das ausgewählte Teil ist defekt“, H i – „das ausgewählte Teil wird vom i-ten Lieferanten erhalten“, i = 1, 2, 3 Hypothesen H 1, H 2, H 3 bilden eine vollständige Gruppe inkompatibler Ereignisse. Nach Bedingung
P(H 1) = 0,5; P(H2) = 0,2; P(H 3) = 0,3
P(A|H 1) = 0,04; P(A|H 2) = 0,05; P(A|H 3) = 0,02

Gemäß der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel (1.11) ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A gleich
P(A) = P(H 1) P(A|H 1) + P(H 2) P(A|H 2) + P(H 3) P(A|H 3) = 0,5 0,04 + 0,2 · 0,05 + 0,3 · 0,02=0,036
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Teil defekt ist, beträgt 0,036.

Angenommen, unter den Bedingungen des vorherigen Beispiels ist Ereignis A bereits eingetreten: Das ausgewählte Teil erwies sich als defekt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es vom Erstlieferanten stammt? Die Antwort auf diese Frage gibt die Bayes-Formel.
Wir haben die Wahrscheinlichkeitsanalyse nur mit vorläufigen A-priori-Werten der Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen begonnen. Dann wurde ein Experiment durchgeführt (ein Teil wurde ausgewählt) und wir erhielten zusätzliche Informationen über das für uns interessante Ereignis. Mit diesen neuen Informationen können wir unsere A-priori-Wahrscheinlichkeiten verfeinern. Neue Werte der Wahrscheinlichkeiten derselben Ereignisse werden bereits a posteriori (postexperimentelle) Wahrscheinlichkeiten der Hypothesen sein (Abb. 1.5).

Schema zur Neubewertung der Hypothese
Ereignis A sei nur zusammen mit einer der Hypothesen H 1 , H 2 , …, H n (einer vollständigen Gruppe inkompatibler Ereignisse) realisierbar. Wir haben die A-priori-Wahrscheinlichkeiten von Hypothesen als P(H i) und die bedingten Wahrscheinlichkeiten des Ereignisses A - P(A|H i), i = 1, 2,…, n bezeichnet. Wenn das Experiment bereits durchgeführt wurde und infolgedessen Ereignis A eingetreten ist, dann sind die A-posteriori-Wahrscheinlichkeiten der Hypothesen die bedingten Wahrscheinlichkeiten P(H i |A), i = 1, 2,…, n. In der Notation des vorherigen Beispiels ist P(H 1 |A) die Wahrscheinlichkeit, dass das ausgewählte Teil, das sich als fehlerhaft herausstellte, vom ersten Lieferanten erhalten wurde.
Uns interessiert die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses H k |A. Betrachten wir das gemeinsame Auftreten der Ereignisse H k und A, also das Ereignis AH k. Seine Wahrscheinlichkeit kann auf zwei Arten mithilfe der Multiplikationsformeln (1.5) und (1.6) ermittelt werden:
P(AH k) = P(H k)P(A|H k);
P(AH k) = P(A)P(H k |A).

Lassen Sie uns die rechten Seiten dieser Formeln gleichsetzen
P(H k) P(A|H k) = P(A) P(H k |A),

daher ist die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit der Hypothese H k gleich

Der Nenner enthält die Gesamtwahrscheinlichkeit des Ereignisses A. Wenn wir seinen Wert anstelle von P(A) gemäß der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel (1.11) einsetzen, erhalten wir:
(1.12)
Formel (1.12) heißt Bayes-Formel und wird verwendet, um die Wahrscheinlichkeiten von Hypothesen neu abzuschätzen.
Unter den Bedingungen des vorherigen Beispiels ermitteln wir die Wahrscheinlichkeit, dass das defekte Teil vom ersten Lieferanten erhalten wurde. Fassen wir in einer Tabelle die A-priori-Wahrscheinlichkeiten der uns bekannten Hypothesen P(H i), die bedingten Wahrscheinlichkeiten P(A|H i) und die im Lösungsprozess berechneten gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten P(AH i) = P(H) zusammen i) P(A|H i) und A-posteriori-Wahrscheinlichkeiten P(H k |A), i,k = 1, 2,…, n berechnet nach Formel (1.12) (Tabelle 1.3).

Tabelle 1.3 – Neubewertung von Hypothesen

Hypothesen Hallo	Wahrscheinlichkeiten
	A priori P(H i)	Bedingtes P(A|H i)	Gelenk P(AH i)	A posteriori P(H i |A)
1	2	3	4	5
H 1 – Teil vom ersten Lieferanten erhalten	0.5	0.04	0.02
H 2 - Teil von einem zweiten Lieferanten erhalten	0.2	0.05	0.01
H 3 - Teil von einem dritten Lieferanten erhalten	0.3	0.02	0.006
Summe	1.0	-	0.036	1

Schauen wir uns die letzte Zeile dieser Tabelle an. Die zweite Spalte enthält die Summe der Wahrscheinlichkeiten der inkompatiblen Ereignisse H1, H2, H3, die eine vollständige Gruppe bilden:
P(Ω) = P(H 1 + H 2 + H 3) = P(H 1) + P(H 2) + P(H 3) = 0,5 + 0,2 + 0,3 = 1
In der vierten Spalte wird der Wert in jeder Zeile (gemeinsame Wahrscheinlichkeiten) durch die Regel der Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten durch Multiplikation der entsprechenden Werte in der zweiten und dritten Spalte erhalten, und in der letzten Zeile ist 0,036 die Gesamtwahrscheinlichkeit von Ereignis A ( unter Verwendung der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel).
Spalte 5 berechnet die A-posteriori-Wahrscheinlichkeiten der Hypothesen mithilfe der Bayes-Formel (1.12):

Die A-posteriori-Wahrscheinlichkeiten P(H 2 |A) und P(H 3 |A) werden auf ähnliche Weise berechnet, wobei der Zähler des Bruchs die in den entsprechenden Zeilen von Spalte 4 geschriebenen gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten und der Nenner die Gesamtwahrscheinlichkeit des Ereignisses ist A steht in der letzten Zeile von Spalte 4.
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Hypothesen nach dem Experiment ist gleich 1 und wird in die letzte Zeile der fünften Spalte geschrieben.
Die Wahrscheinlichkeit, dass das defekte Teil vom ersten Lieferanten erhalten wurde, beträgt also 0,555. Die postexperimentelle Wahrscheinlichkeit ist größer als die a priori Wahrscheinlichkeit (aufgrund des großen Angebotsvolumens). Die Post-Test-Wahrscheinlichkeit, dass das fehlerhafte Teil vom zweiten Lieferanten erhalten wurde, beträgt 0,278 und ist ebenfalls größer als die Vor-Test-Wahrscheinlichkeit (aufgrund von große Menge Hochzeit). Die Wahrscheinlichkeit nach dem Test, dass das defekte Teil von einem dritten Lieferanten stammt, beträgt 0,167.

Beispiel Nr. 3. Es gibt drei identische Urnen; die erste Urne enthält zwei weiße und eine schwarze Kugel; im zweiten - drei weiße und ein schwarzes; im dritten sind zwei weiße und zwei schwarze Kugeln. Für das Experiment wird eine Urne zufällig ausgewählt und daraus eine Kugel gezogen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Ball weiß ist.
Lösung. Betrachten wir drei Hypothesen: H 1 – die erste Urne ist ausgewählt, H 2 – die zweite Urne ist ausgewählt, H 3 – die dritte Urne ist ausgewählt und Ereignis A – die weiße Kugel wird gezogen.
Da die Hypothesen entsprechend den Bedingungen des Problems gleichermaßen möglich sind

Die bedingten Wahrscheinlichkeiten von Ereignis A unter diesen Hypothesen sind jeweils gleich:
Nach der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel

Beispiel Nr. 4. In der Pyramide befinden sich 19 Gewehre, davon 3 mit optischem Visier. Ein Schütze, der mit einem Gewehr mit optischem Visier schießt, kann das Ziel mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,81 treffen, und wenn er mit einem Gewehr ohne optisches Visier schießt, kann er das Ziel mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,46 treffen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schütze mit einem zufälligen Gewehr ein Ziel trifft.
Lösung. Hier besteht der erste Test in der zufälligen Auswahl eines Gewehrs, der zweite darin, auf ein Ziel zu schießen. Betrachten Sie die folgenden Ereignisse: A – der Schütze trifft das Ziel; H 1 – der Schütze nimmt ein Gewehr mit optischem Visier; H 2 – Der Schütze nimmt ein Gewehr ohne optisches Visier. Wir verwenden die Gesamtwahrscheinlichkeitsformel. Wir haben

Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass Gewehre einzeln ausgewählt werden, und unter Verwendung der klassischen Wahrscheinlichkeitsformel erhalten wir: P(H 1) = 3/19, P(H 2) = 16/19.
Bedingte Wahrscheinlichkeiten werden in der Problemstellung angegeben: P(A|H 1) = 0,81 und P(A|H 2) = 0,46. Somit,

Beispiel Nr. 5. Aus einer Urne mit 2 weißen und 3 schwarzen Kugeln werden zufällig zwei Kugeln gezogen und 1 weiße Kugel in die Urne gelegt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Ball weiß ist.
Lösung. Das Ereignis „eine weiße Kugel wird gezogen“ bezeichnen wir mit A. Ereignis H 1 – zwei weiße Kugeln werden zufällig gezogen; H 2 - zwei schwarze Kugeln wurden zufällig gezogen; H 3 – es wurden eine weiße und eine schwarze Kugel gezogen. Dann die Wahrscheinlichkeiten der aufgestellten Hypothesen

Die bedingten Wahrscheinlichkeiten unter diesen Hypothesen sind jeweils gleich: P(A|H 1) = 1/4 – die Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel zu ziehen, wenn die Urne enthält dieser Moment eine weiße und drei schwarze Kugeln, P(A|H 2) = 3/4 – die Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel zu ziehen, wenn sich derzeit drei weiße und eine schwarze Kugel in der Urne befinden, P(A|H 3) = 2/ 4 = 1/2 – Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel zu ziehen, wenn sich aktuell zwei weiße und zwei schwarze Kugeln in der Urne befinden. Nach der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel

Beispiel Nr. 6. Es werden zwei Schüsse auf das Ziel abgefeuert. Die Trefferwahrscheinlichkeit beträgt beim ersten Schuss 0,2, beim zweiten 0,6. Die Wahrscheinlichkeit der Zielzerstörung bei einem Treffer beträgt 0,3, bei zwei - 0,9. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Ziel zerstört wird.
Lösung. Angenommen, Ereignis A – das Ziel wird zerstört. Dazu genügt es, mit einem von zwei Schüssen zu treffen oder das Ziel mit zwei Schüssen hintereinander zu treffen, ohne zu verfehlen. Stellen wir Hypothesen auf: H 1 – beide Schüsse treffen das Ziel. Dann ist P(H 1) = 0,2 · 0,6 = 0;12. H 2 – entweder beim ersten oder beim zweiten Mal, als ein Fehlschlag gemacht wurde. Dann ist P(H 2) = 0,2 · 0,4 + 0,8 · 0,6 = 0,56. Hypothese H 3 – beide Schüsse waren Fehlschüsse – wird nicht berücksichtigt, da die Wahrscheinlichkeit einer Zielzerstörung Null ist. Dann sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten jeweils gleich: Die Wahrscheinlichkeit der Zielzerstörung, sofern beide erfolgreichen Schüsse abgegeben werden, beträgt P(A|H 1) = 0,9, und die Wahrscheinlichkeit der Zielzerstörung, sofern nur ein erfolgreicher Schuss erfolgt, beträgt P(A|H 2) = 0,3. Dann ist die Wahrscheinlichkeit der Zerstörung des Ziels gemäß der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel gleich.