Sprechen wir über Probleme, bei denen der Ausdruck „mindestens einer“ vorkommt. Sicherlich sind Sie bei Hausaufgaben und Tests auf solche Probleme gestoßen, und jetzt erfahren Sie, wie Sie sie lösen können. Zuerst werde ich darüber reden allgemeine Regel, und betrachten Sie dann einen Sonderfall und schreiben Sie für jeden Formeln und Beispiele auf.

Allgemeine Methodik und Beispiele

Allgemeine Technik Um Probleme zu lösen, in denen die Phrase „mindestens eins“ vorkommt, geht es wie folgt:

Notieren Sie das Anfangsereignis $A$ = (Wahrscheinlichkeit, dass...zumindest...).

Formulieren Gegenteil Ereignis $\bar(A)$.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $P(\bar(A))$.

Finden Sie die erforderliche Wahrscheinlichkeit mithilfe der Formel $P(A)=1-P(\bar(A))$.

Schauen wir uns das nun anhand von Beispielen an. Nach vorne!

Beispiel 1. Die Box enthält 25 Standard- und 6 defekte Teile des gleichen Typs. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von drei zufällig ausgewählten Teilen mindestens eines defekt ist?

Wir handeln direkt Punkt für Punkt.
1. Wir schreiben ein Ereignis auf, dessen Wahrscheinlichkeit direkt aus der Problemstellung ermittelt werden muss:
$A$ =(Aus 3 ausgewählten Teilen mindestens ein defekt).

2. Dann wird das umgekehrte Ereignis wie folgt formuliert: $\bar(A)$ = (Aus 3 ausgewählten Details keiner defekt) = (Alle 3 ausgewählten Teile sind Standard).

3. Jetzt müssen wir verstehen, wie wir die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $\bar(A)$ ermitteln, wofür wir uns das Problem noch einmal ansehen: Wir sprechen über Objekte zweier Typen (defekte Teile und nicht), aus denen ein bestimmtes besteht Anzahl der herausgenommenen und untersuchten Objekte (defekt oder nicht). Dieses Problem wird mit der klassischen Definition der Wahrscheinlichkeit gelöst (genauer gesagt mit der hypergeometrischen Wahrscheinlichkeitsformel, mehr darüber lesen Sie im Artikel).

Für das erste Beispiel schreiben wir die Lösung detailliert auf, dann reduzieren wir sie (und vollständige Anleitung und Rechner finden Sie unter dem obigen Link).

Lassen Sie uns zunächst die Gesamtzahl der Ergebnisse ermitteln. Dies ist die Anzahl der Möglichkeiten, drei beliebige Teile aus einer Menge von 25 + 6 = 31 Teilen in einer Box auszuwählen. Da die Reihenfolge der Auswahl unwichtig ist, wenden wir die Formel für die Anzahl der Kombinationen von 31 Objekten von 3 an: $n=C_(31)^3$.

Kommen wir nun zur Anzahl der für die Veranstaltung günstigen Ergebnisse. Dazu müssen alle 3 ausgewählten Teile Standardteile sein; sie können auf $m = C_(25)^3$-Arten ausgewählt werden (da genau 25 Standardteile in der Box sind).

Die Wahrscheinlichkeit ist:

$$ P(\bar(A))=\frac(m)(n)=\frac(C_(25)^3 )(C_(31)^3) = \frac(23 \cdot 24\cdot 25) (29\cdot 30\cdot 31) =\frac(2300)(4495)= 0,512. $$

4. Dann ist die gewünschte Wahrscheinlichkeit:

$$ P(A)=1-P(\bar(A))=1- 0,512 = 0,488. $$

Antwort: 0.488.

Beispiel 2. Aus einem Stapel mit 36 ​​Karten werden 6 Karten zufällig ausgewählt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den gezogenen Karten mindestens zwei Pik befinden.

1. Wir erfassen das Ereignis $A$ =(Von den 6 ausgewählten Karten wird es sein mindestens zwei Gipfel).

2. Dann wird das umgekehrte Ereignis wie folgt formuliert: $\bar(A)$ = (Von 6 ausgewählten Karten wird es weniger als 2 Pik geben) = (Von 6 ausgewählten Karten wird es genau 0 oder 1 Pik geben, der Rest von einen anderen Anzug).

Kommentar. Hier werde ich innehalten und eine kleine Bemerkung machen. Obwohl die Technik „zum entgegengesetzten Ereignis gehen“ in 90 % der Fälle perfekt funktioniert, gibt es Fälle, in denen es einfacher ist, die Wahrscheinlichkeit des ursprünglichen Ereignisses zu ermitteln. Wenn Sie in diesem Fall direkt nach der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $A$ suchen, müssen Sie 5 Wahrscheinlichkeiten addieren, und für das Ereignis $\bar(A)$ nur 2 Wahrscheinlichkeiten. Wenn das Problem jedoch lautete: „Von 6 Karten sind mindestens 5 Spitzen“, wäre die Situation umgekehrt und es wäre einfacher, das ursprüngliche Problem zu lösen. Wenn ich erneut versuche, Anweisungen zu geben, sage ich Folgendes. Bei Aufgaben, bei denen Sie „mindestens eins“ sehen, können Sie gerne mit dem entgegengesetzten Ereignis fortfahren. Wenn wir von „mindestens 2, mindestens 4 usw.“ sprechen, müssen Sie herausfinden, was einfacher zu zählen ist.

3. Wir kehren zu unserem Problem zurück und ermitteln die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $\bar(A)$ unter Verwendung der klassischen Wahrscheinlichkeitsdefinition.

Die Gesamtzahl der Ergebnisse (Möglichkeiten, 6 beliebige Karten aus 36 auszuwählen) beträgt $n=C_(36)^6$ (Rechner).

Lassen Sie uns die Anzahl der für die Veranstaltung günstigen Ergebnisse ermitteln. $m_0 = C_(27)^6$ – die Anzahl der Möglichkeiten, alle 6 Karten einer Nicht-Peak-Farbe auszuwählen (es sind 36-9=27 im Deck), $m_1 = C_(9)^1\cdot C_(27)^5$ – Anzahl der Möglichkeiten, 1 Karte der Pik-Farbe (von 9) und 5 andere Farben (von 27) auszuwählen.

$$ P(\bar(A))=\frac(m_0+m_1)(n)=\frac(C_(27)^6+C_(9)^1\cdot C_(27)^5 )(C_( 36)^6) =\frac(85215)(162316)= 0,525. $$

4. Dann ist die gewünschte Wahrscheinlichkeit:

$$ P(A)=1-P(\bar(A))=1- 0,525 = 0,475. $$

Antwort: 0.475.

Beispiel 3. In der Urne befinden sich 2 weiße, 3 schwarze und 5 rote Kugeln. Es werden zufällig drei Kugeln gezogen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den gezogenen Kugeln mindestens zwei befinden verschiedene Farben.

1. Wir zeichnen das Ereignis $A$ =(Unter 3 gezogenen Bällen auf mindestens zwei verschiedene Farben). Das heißt zum Beispiel „2 rote Bälle und 1 weißer“, oder „1 weißer, 1 schwarzer, 1 roter“, oder „2 schwarze, 1 roter“ und so weiter, es gibt viele Möglichkeiten. Versuchen wir es mit der Regel des Übergangs zum entgegengesetzten Ereignis.

2. Dann wird das umgekehrte Ereignis wie folgt formuliert: $\bar(A)$ = (Alle drei Bälle haben die gleiche Farbe) = (3 schwarze Bälle oder 3 rote Bälle werden ausgewählt) – es gibt nur 2 Optionen, was bedeutet, dass diese Methode von Lösung vereinfacht die Berechnungen. Übrigens alle Bälle Weiß kann nicht gewählt werden, da es nur 2 davon gibt und 3 Kugeln gezogen werden.

3. Die Gesamtzahl der Ergebnisse (Möglichkeiten, drei beliebige Bälle aus 2+3+5=10 Bällen auszuwählen) beträgt $n=C_(10)^3=120$.

Lassen Sie uns die Anzahl der für die Veranstaltung günstigen Ergebnisse ermitteln. $m = C_(3)^3+C_(5)^3=1+10=11$ – die Anzahl der Möglichkeiten, entweder 3 schwarze Kugeln (von 3) oder 3 rote Kugeln (von 5) auszuwählen.

$$ P(\bar(A))=\frac(m)(n)=\frac(11)(120). $$

4. Erforderliche Wahrscheinlichkeit:

$$ P(A)=1-P(\bar(A))=1- \frac(11)(120)=\frac(109)(120) = 0,908. $$

Antwort: 0.908.

Ein Sonderfall. Unabhängige Veranstaltungen

Gehen wir weiter und kommen zu einer Klasse von Problemen, bei denen mehrere unabhängige Ereignisse berücksichtigt werden (Pfeile treffen, Glühbirnen brennen durch, Autos starten, Arbeiter werden mit unterschiedlicher Wahrscheinlichkeit krank usw.) und wir brauchen „Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Ereignis eintritt“. In Variationen kann das so klingen: „Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer von drei Schützen das Ziel trifft“, „Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer von zwei Bussen pünktlich am Bahnhof ankommt“, „Finden Sie die.“ Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Element in einem aus vier Elementen bestehenden Gerät innerhalb eines Jahres ausfällt“ usw.

Wenn wir in den obigen Beispielen über die Verwendung der klassischen Wahrscheinlichkeitsformel gesprochen haben, kommen wir hier zur Algebra der Ereignisse. Wir verwenden die Formeln zum Addieren und Multiplizieren von Wahrscheinlichkeiten (eine kleine Theorie).

Es werden also mehrere unabhängige Ereignisse $A_1, A_2,...,A_n$ betrachtet, die Wahrscheinlichkeiten jedes Auftretens sind bekannt und gleich $P(A_i)=p_i$ ($q_i=1-p_i$). Anschließend wird mit der Formel die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass mindestens eines der Ereignisse als Ergebnis des Experiments eintritt

$$ P=1-q_1\cdot q_2 \cdot ...\cdot q_n. \quad(1) $$

Streng genommen erhält man diese Formel auch durch Anwendung der Grundtechnik „zur entgegengesetzten Veranstaltung gehen“. In der Tat sei $A$=(Mindestens ein Ereignis aus $A_1, A_2,...,A_n$ wird eintreten), dann ist $\bar(A)$ = (Keines der Ereignisse wird eintreten), was bedeutet:

$$ P(\bar(A))=P(\bar(A_1) \cdot \bar(A_2) \cdot ... \bar(A_n))=P(\bar(A_1)) \cdot P(\ bar(A_2)) \cdot ... P(\bar(A_n))=\\ =(1-P(A_1)) \cdot (1-P(A_2)) \cdot ... (1-P( A_n))=\\ =(1-p_1) \cdot (1-p_2) \cdot ... (1-p_n)=q_1\cdot q_2 \cdot ...\cdot q_n,\\ $$ von wo wir Holen Sie sich unsere Formel $$ P(A)=1-P(\bar(A))=1-q_1\cdot q_2 \cdot ...\cdot q_n. $$

Beispiel 4. Das Gerät enthält zwei unabhängig voneinander arbeitende Teile. Die Ausfallwahrscheinlichkeiten von Teilen betragen 0,05 bzw. 0,08. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit eines Geräteausfalls, wenn dieser ausreicht, damit mindestens ein Teil ausfällt.

Ereignis $A$ =(Knoten ist ausgefallen) = (Mindestens einer der beiden Teile ist ausgefallen). Lassen Sie uns unabhängige Ereignisse einführen: $A_1$ = (Der erste Teil ist fehlgeschlagen) und $A_2$ = (Der zweite Teil ist fehlgeschlagen). Unter der Bedingung $p_1=P(A_1)=0,05$, $p_2=P(A_2)=0,08$, dann $q_1=1-p_1=0,95$, $q_2=1-p_2=0, $92. Wenden wir Formel (1) an und erhalten:

$$ P(A)=1-q_1\cdot q_2 = 1-0,95\cdot 0,92=0,126. $$

Antwort: 0,126.

Beispiel 5. Der Schüler sucht in drei Nachschlagewerken nach der Formel, die er benötigt. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Formel im ersten Verzeichnis enthalten ist, beträgt 0,8, im zweiten - 0,7, im dritten - 0,6. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Formel in mindestens einem Nachschlagewerk enthalten ist.

Wir gehen genauso vor. Betrachten Sie das Hauptereignis
$A$ =(Die Formel ist in mindestens einem Nachschlagewerk enthalten). Lassen Sie uns unabhängige Ereignisse vorstellen:
$A_1$ = (Die Formel steht im ersten Nachschlagewerk),
$A_2$ = (Die Formel befindet sich im zweiten Nachschlagewerk),
$A_3$ = (Die Formel befindet sich im dritten Nachschlagewerk).

Unter der Bedingung $p_1=P(A_1)=0,8$, $p_2=P(A_2)=0,7$, $p_3=P(A_3)=0,6$, dann $q_1=1-p_1=0 ,2$, $q_2 =1-p_2=0,3$, $q_3=1-p_3=0,4$. Wenden wir Formel (1) an und erhalten:

$$ P(A)=1-q_1\cdot q_2\cdot q_3 = 1-0,2\cdot 0,3\cdot 0,4=0,976. $$

Antwort: 0,976.

Beispiel 6. Ein Arbeiter wartet 4 Maschinen, die unabhängig voneinander arbeiten. Die Wahrscheinlichkeit, dass während einer Schicht die erste Maschine die Aufmerksamkeit eines Arbeiters erfordert, beträgt 0,3, die zweite 0,6, die dritte 0,4 und die vierte 0,25. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass während einer Schicht mindestens eine Maschine nicht die Aufmerksamkeit eines Vorarbeiters erfordert.

Ich denke, Sie haben das Prinzip der Lösung bereits verstanden. Die einzige Frage ist die Anzahl der Ereignisse, die jedoch keinen Einfluss auf die Komplexität der Lösung hat (im Gegensatz zu gemeinsame Aufgabenüber Addition und Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten). Seien Sie vorsichtig, die Wahrscheinlichkeiten werden für „erfordert Aufmerksamkeit“ angegeben, aber die Problemfrage lautet: „Mindestens eine Maschine erfordert KEINE Aufmerksamkeit“. Zur Verwendung müssen Sie die gleichen Ereignisse wie das Hauptereignis eingeben (in diesem Fall mit NOT). allgemeine Formel (1).

Wir bekommen:
$A$ = (Während der Schicht benötigt mindestens eine Maschine NICHT die Aufmerksamkeit eines Vorarbeiters),
$A_i$ = ($i$-te Maschine benötigt NICHT die Aufmerksamkeit des Masters), $i=1,2,3,4$,
$p_1 = 0,7$, $p_2 = 0,4$, $p_3 = 0,6$, $p_4 = 0,75$.

Erforderliche Wahrscheinlichkeit:

$$ P(A)=1-q_1\cdot q_2\cdot q_3 \cdot q_4= 1-(1-0,7)\cdot (1-0,4)\cdot (1-0,6)\cdot ( 1-0,75)=0,982 . $$

Antwort: 0,982. Mit ziemlicher Sicherheit wird der Meister die ganze Schicht über ruhen;)

Ein Sonderfall. Wiederholte Tests

Wir haben also $n$ unabhängige Ereignisse (oder Wiederholungen einiger Erfahrungen) und die Wahrscheinlichkeiten des Eintretens dieser Ereignisse (oder des Eintretens eines Ereignisses in jedem der Experimente) sind jetzt gleich und sind gleich $p$. Dann vereinfacht sich Formel (1) zu der Form:

$$ P=1-q_1\cdot q_2 \cdot ...\cdot q_n = 1-q^n. $$

Tatsächlich beschränken wir uns auf eine Klasse von Problemen, die „wiederholte unabhängige Versuche“ oder „Bernoulli-Schema“ genannt werden, bei denen $n$-Experimente durchgeführt werden und die Wahrscheinlichkeit, dass in jedem von ihnen ein Ereignis auftritt, gleich $p$ ist. Wir müssen die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass das Ereignis mindestens einmal aus $n$ Wiederholungen auftritt:

$$ P=1-q^n. \quad(2) $$

Sie können mehr über das Bernoulli-Schema im Online-Lehrbuch lesen und sich auch Taschenrechner-Artikel zum Lösen verschiedener Untertypen von Problemen ansehen (über Schüsse, Lotterielose usw.). Im Folgenden werden nur Probleme mit „mindestens einem“ besprochen.

Beispiel 7. Berücksichtigen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Fernseher nicht repariert werden muss Garantiezeit, ist gleich 0,9. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass während der Garantiezeit mindestens einer der drei Fernseher nicht repariert werden muss.

Kurz gesagt, Sie haben die Lösung noch nicht gesehen.
Wir schreiben einfach aus der Bedingung heraus: $n=3$, $p=0,9$, $q=1-p=0,1$.
Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass während der Garantiezeit mindestens einer von 3 Fernsehern nicht repariert werden muss, gemäß Formel (2):

$$ P=1-0,1^3=1-0,001=0,999 $$

Antwort: 0,999.

Beispiel 8. Es werden 5 unabhängige Schüsse auf ein bestimmtes Ziel abgefeuert. Die Trefferwahrscheinlichkeit mit einem Schuss beträgt 0,8. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es mindestens einen Treffer gibt.

Auch hier beginnen wir mit der Formalisierung des Problems, indem wir bekannte Größen aufschreiben. $n=5$ Schüsse, $p=0,8$ - Trefferwahrscheinlichkeit mit einem Schuss, $q=1-p=0,2$.
Und dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass es bei fünf Schüssen mindestens einen Treffer gibt, gleich: $$ P=1-0,2^5=1-0,00032=0,99968 $$

Antwort: 0,99968.

Ich denke, dass mit der Formel (2) alles mehr als klar ist (vergessen Sie nicht, über andere Probleme zu lesen, die im Rahmen von Bernoullis Schema gelöst wurden, die Links waren oben). Und unten werde ich etwas mehr geben schwierige Aufgabe. Solche Probleme treten seltener auf, aber auch die Methode zu ihrer Lösung muss erlernt werden. Gehen!

Beispiel 9. Es werden N unabhängige Experimente durchgeführt, in denen jeweils ein Ereignis A mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,7 auftritt. Wie viele Experimente müssen durchgeführt werden, um mindestens ein Auftreten von Ereignis A mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,95 zu garantieren?

Wir haben ein Bernoulli-Schema, $n$ ist die Anzahl der Experimente, $p=0,7$ ist die Eintrittswahrscheinlichkeit von Ereignis A.

Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Ereignis A in $n$ Experimenten auftritt, gleich der Formel (2): $$ P=1-q^n=1-(1-0.7)^n=1-0, 3^ n $$ Gemäß der Bedingung darf diese Wahrscheinlichkeit nicht kleiner als 0,95 sein, also:

$$ 1-0.3^n \ge 0.95,\\ 0.3^n \le 0.05,\\ n \ge \log_(0.3) 0.05 = 2.49. $$

Zusammenfassend kommen wir zu dem Schluss, dass Sie mindestens drei Experimente durchführen müssen.

Antwort: Sie müssen mindestens 3 Experimente durchführen.

Kurze Theorie

Um Ereignisse quantitativ nach dem Grad der Wahrscheinlichkeit ihres Eintretens zu vergleichen, wird ein numerisches Maß eingeführt, das als Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses bezeichnet wird. Die Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses ist eine Zahl, die das Maß für die objektive Möglichkeit des Eintretens eines Ereignisses ausdrückt.

Die Größen, die bestimmen, wie bedeutsam die objektiven Gründe für die Erwartung des Eintretens eines Ereignisses sind, werden durch die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses charakterisiert. Es muss betont werden, dass die Wahrscheinlichkeit eine objektive Größe ist, die unabhängig vom Wissenden existiert und durch die Gesamtheit der Bedingungen bedingt ist, die zum Eintreten eines Ereignisses beitragen.

Die Erklärungen, die wir für das Konzept der Wahrscheinlichkeit gegeben haben, sind es nicht mathematische Definition, da sie diesen Begriff nicht quantitativ definieren. Es gibt mehrere Definitionen der Wahrscheinlichkeit eines Zufallsereignisses, die häufig zur Lösung spezifischer Probleme verwendet werden (klassisch, axiomatisch, statistisch usw.).

Klassische Definition der Ereigniswahrscheinlichkeit reduziert diesen Begriff auf den elementareren Begriff gleich möglicher Ereignisse, der keiner Definition mehr unterliegt und als intuitiv klar vorausgesetzt wird. Wenn es sich bei einem Würfel beispielsweise um einen homogenen Würfel handelt, ist der Verlust einer beliebigen Seite dieses Würfels ein ebenso mögliches Ereignis.

Ein zuverlässiges Ereignis sei in gleich mögliche Fälle unterteilt, deren Summe das Ereignis ergibt. Das heißt, die Fälle, aus denen es hervorgeht, werden als für das Ereignis günstig bezeichnet, da das Erscheinen eines von ihnen das Eintreten sicherstellt.

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses wird durch das Symbol angegeben.

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich dem Verhältnis der Anzahl der dafür günstigen Fälle aus der Gesamtzahl der eindeutig möglichen, gleichermaßen möglichen und inkompatiblen Fälle zur Anzahl, d.h.

Dies ist die klassische Definition von Wahrscheinlichkeit. Um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu ermitteln, ist es daher erforderlich, nach Berücksichtigung der verschiedenen Ergebnisse des Tests eine Menge eindeutig möglicher, gleichermaßen möglicher und inkompatibler Fälle zu finden und deren Gesamtzahl n, die Anzahl der Fälle, für die m günstig ist, zu berechnen ein bestimmtes Ereignis und führen Sie dann die Berechnung mit der obigen Formel durch.

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, die dem Verhältnis der Anzahl der für das Ereignis günstigen experimentellen Ergebnisse zur Gesamtzahl der experimentellen Ergebnisse entspricht, wird aufgerufen klassische Wahrscheinlichkeit Zufälliges Ereignis.

Aus der Definition ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeitseigenschaften:

Eigenschaft 1. Die Wahrscheinlichkeit eines zuverlässigen Ereignisses ist gleich eins.

Eigenschaft 2. Die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist Null.

Eigenschaft 3. Die Wahrscheinlichkeit eines Zufallsereignisses ist eine positive Zahl zwischen Null und Eins.

Eigenschaft 4. Die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von Ereignissen, die eine vollständige Gruppe bilden, ist gleich eins.

Eigenschaft 5. Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des gegenteiligen Ereignisses wird auf die gleiche Weise bestimmt wie die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von Ereignis A.

Die Anzahl der Fälle, die das Eintreten eines gegenteiligen Ereignisses begünstigen. Daher ist die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des entgegengesetzten Ereignisses gleich der Differenz zwischen Eins und der Wahrscheinlichkeit des Eintretens von Ereignis A:

Ein wichtiger Vorteil der klassischen Definition der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses besteht darin, dass mit ihrer Hilfe die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ohne Rückgriff auf Erfahrung, sondern auf der Grundlage logischer Überlegungen bestimmt werden kann.

Wenn eine Reihe von Bedingungen erfüllt sind, wird ein verlässliches Ereignis definitiv eintreten, aber ein unmögliches Ereignis wird definitiv nicht eintreten. Unter den Ereignissen, die eintreten können oder auch nicht, wenn eine Reihe von Bedingungen geschaffen wird, kann man mit dem Eintreten einiger mit gutem Grund und mit dem Eintreten anderer mit weniger Grund rechnen. Befinden sich in einer Urne beispielsweise mehr weiße als schwarze Kugeln, dann gibt es mehr Grund, auf das Erscheinen einer weißen Kugel zu hoffen, wenn sie zufällig aus der Urne gezogen wird, als auf das Erscheinen einer schwarzen Kugel.

Beispiel einer Problemlösung

Beispiel 1

Eine Schachtel enthält 8 weiße, 4 schwarze und 7 rote Kugeln. Es werden zufällig 3 Bälle gezogen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse: – es wird mindestens 1 roter Ball gezogen, – es gibt mindestens 2 Bälle derselben Farbe, – es gibt mindestens 1 roten und 1 weißen Ball.

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Die Lösung des Problems

Gesamtzahl der Testergebnisse:

Lassen Sie uns die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ermitteln– mindestens 1 rote Kugel wird gezogen (1,2 oder 3 rote Kugeln)

Erforderliche Wahrscheinlichkeit:

Lassen Sie die Veranstaltung– es gibt mindestens 2 gleichfarbige Bälle (2 oder 3 weiße Bälle, 2 oder 3 schwarze Bälle und 2 oder 3 rote Bälle)

Anzahl der für die Veranstaltung günstigen Ergebnisse:

Erforderliche Wahrscheinlichkeit:

Lassen Sie die Veranstaltung– Es gibt mindestens eine rote und eine weiße Kugel

(1 rot, 1 weiß, 1 schwarz oder 1 rot, 2 weiß oder 2 rot, 1 weiß)

Anzahl der für die Veranstaltung günstigen Ergebnisse:

Erforderliche Wahrscheinlichkeit:

Antwort: P(A)=0,773;P(C)=0,7688; P(D)=0,6068

Beispiel 2

Es werden zwei Würfel geworfen. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Punkte mindestens 5 beträgt.

Lösung

Lassen Sie die Veranstaltung eine Punktzahl von mindestens 5 haben

Verwenden wir die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit:

Gesamtzahl der möglichen Testergebnisse

Anzahl der Versuche, die das interessierende Ereignis begünstigen

Auf der fallengelassenen Seite des ersten Würfels können ein Punkt, zwei Punkte ..., sechs Punkte erscheinen. Ebenso sind beim zweiten Würfeln sechs Ergebnisse möglich. Jedes Ergebnis des ersten Würfels kann mit jedem Ergebnis des zweiten Würfels kombiniert werden. Somit beträgt die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse des Elementartests:

Lassen Sie uns die Wahrscheinlichkeit des gegenteiligen Ereignisses ermitteln – die Summe der Punkte beträgt weniger als 5

Antwort: p=0,8611

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Am Beispiel der Problemlösung betrachten wir die Formel volle Wahrscheinlichkeit und die Bayes-Formel und erklärt auch, was Hypothesen und bedingte Wahrscheinlichkeiten sind.

Geometrische Definition der Wahrscheinlichkeit
Die geometrische Definition der Wahrscheinlichkeit wird vorgestellt und die Lösung des bekannten Begegnungsproblems angegeben.

Erste Ebene

Wahrscheinlichkeitstheorie. Problemlösung (2019)

Was ist Wahrscheinlichkeit?

Als mir dieser Begriff zum ersten Mal begegnete, hätte ich nicht verstanden, was er bedeutet. Deshalb werde ich versuchen, es klar zu erklären.

Die Wahrscheinlichkeit ist die Chance, dass das von uns gewünschte Ereignis eintritt.

Wenn Sie beispielsweise beschlossen haben, zum Haus eines Freundes zu gehen, erinnern Sie sich an den Eingang und sogar an die Etage, in der er wohnt. Aber ich habe die Nummer und den Standort der Wohnung vergessen. Und jetzt stehen Sie auf der Treppe und vor Ihnen stehen Türen zur Auswahl.

Wie groß ist die Chance (Wahrscheinlichkeit), dass Ihr Freund die Tür für Sie öffnet, wenn Sie an der ersten Tür klingeln? Es gibt nur Wohnungen und nur hinter einer davon wohnt ein Freund. Bei gleicher Chance können wir jede Tür wählen.

Aber was ist diese Chance?

Die Tür, die rechte Tür. Wahrscheinlichkeit des Erratens durch Klingeln der ersten Tür: . Das heißt, in einem von drei Fällen werden Sie es richtig erraten.

Wir möchten wissen, wie oft wir die Tür erraten, wenn wir einmal angerufen haben. Schauen wir uns alle Optionen an:

1. Du hast angerufen 1 Tür
2. Du hast angerufen 2 Tür
3. Du hast angerufen 3 Tür

Schauen wir uns nun alle Möglichkeiten an, wo ein Freund sein könnte:

A. Hinter 1 die Tür
B. Hinter 2 die Tür
V. Hinter 3 die Tür

Vergleichen wir alle Optionen in Tabellenform. Ein Häkchen zeigt Optionen an, wenn Ihre Auswahl mit dem Standort eines Freundes übereinstimmt, ein Kreuz, wenn dies nicht der Fall ist.

Wie siehst du alles? Vielleicht Optionen den Standort Ihres Freundes und Ihre Wahl, an welcher Tür geklingelt werden soll.

A positive Ergebnisse für alle . Das heißt, Sie raten einmal, indem Sie einmal an der Tür klingeln, d. h. .

Dies ist die Wahrscheinlichkeit – das Verhältnis eines günstigen Ergebnisses (wenn Ihre Wahl mit dem Standort Ihres Freundes übereinstimmt) zur Anzahl möglicher Ereignisse.

Die Definition ist die Formel. Die Wahrscheinlichkeit wird normalerweise mit p bezeichnet, also:

Es ist nicht sehr praktisch, eine solche Formel zu schreiben, daher nehmen wir für – die Anzahl der günstigen Ergebnisse und für – die Gesamtzahl der Ergebnisse.

Die Wahrscheinlichkeit kann in Prozent angegeben werden; dazu müssen Sie das resultierende Ergebnis multiplizieren mit:

Das Wort „Ergebnisse“ ist Ihnen wahrscheinlich aufgefallen. Weil Mathematiker anrufen verschiedene Aktionen(in unserem Land ist eine solche Aktion eine Türklingel) Experimente, dann wird das Ergebnis solcher Experimente normalerweise als Ergebnis bezeichnet.

Nun, es gibt günstige und ungünstige Ergebnisse.

Kehren wir zu unserem Beispiel zurück. Nehmen wir an, wir haben an einer der Türen geklingelt, aber sie wurde für uns geöffnet Fremder. Wir haben nicht richtig geraten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unser Freund sie für uns öffnet, wenn wir an einer der verbleibenden Türen klingeln?

Wenn Sie das gedacht haben, dann ist das ein Fehler. Lass es uns herausfinden.

Wir haben noch zwei Türen übrig. Wir haben also mögliche Schritte:

1) Rufen Sie an 1 Tür
2) Rufen Sie an 2 Tür

Trotz alledem steht der Freund definitiv hinter einem von ihnen (schließlich stand er nicht hinter dem, den wir anriefen):

a) Freund für 1 die Tür
b) Freund für 2 die Tür

Zeichnen wir die Tabelle noch einmal:

Wie Sie sehen, gibt es nur Optionen, die günstig sind. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit ist gleich.

Warum nicht?

Die von uns betrachtete Situation ist Beispiel für abhängige Ereignisse. Das erste Ereignis ist die erste Türklingel, das zweite Ereignis ist die zweite Türklingel.

Und sie werden abhängig genannt, weil sie die folgenden Handlungen beeinflussen. Denn wenn schon nach dem ersten Klingeln ein Freund an der Tür geantwortet hätte, wie groß wäre dann die Wahrscheinlichkeit, dass er sich hinter einem der beiden anderen befand? Rechts, .

Aber wenn es abhängige Ereignisse gibt, dann muss es auch welche geben unabhängig? Das stimmt, sie kommen vor.

Ein Beispiel aus dem Lehrbuch ist das Werfen einer Münze.

1. Wirf einmal eine Münze. Wie hoch ist zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit, Kopf zu bekommen? Das ist richtig – denn es gibt alle Optionen (entweder Kopf oder Zahl, wir vernachlässigen die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze auf der Kante landet), aber es passt nur zu uns.
2. Aber es kam Kopf hoch. Okay, lass es uns noch einmal werfen. Wie hoch ist jetzt die Wahrscheinlichkeit, Köpfe zu bekommen? Nichts hat sich verändert, alles ist gleich. Wie viele Optionen? Zwei. Mit wie vielen sind wir zufrieden? Eins.

Und lassen Sie es mindestens tausendmal hintereinander Kopf hochkommen. Die Wahrscheinlichkeit, auf einmal Kopf zu bekommen, ist gleich. Es gibt immer Möglichkeiten, und zwar günstige.

Es ist einfach, abhängige Ereignisse von unabhängigen zu unterscheiden:

1. Wird das Experiment einmal durchgeführt (sie werfen einmal eine Münze, klingeln einmal an der Tür usw.), dann sind die Ereignisse immer unabhängig.
2. Wird ein Experiment mehrmals durchgeführt (eine Münze wird einmal geworfen, es wird mehrmals an der Tür geklingelt), dann ist das erste Ereignis immer unabhängig. Und wenn sich dann die Zahl der günstigen oder die Zahl aller Ergebnisse ändert, dann sind die Ereignisse abhängig, und wenn nicht, sind sie unabhängig.

Üben wir ein wenig die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit.

Beispiel 1.

Die Münze wird zweimal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zweimal hintereinander „Kopf“ zu bekommen?

Lösung:

Betrachten wir alles Möglichkeiten:

1. Adler-Adler
2. Kopf-Zahl
3. Zahl-Köpfe
4. Schwanz-Schwanz

Wie Sie sehen, gibt es nur Optionen. Davon sind wir nur zufrieden. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit:

Wenn die Bedingung lediglich darum bittet, die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, sollte die Antwort im Formular angegeben werden Dezimal. Wenn angegeben wäre, dass die Antwort in Prozent angegeben werden soll, dann würden wir mit multiplizieren.

Antwort:

Beispiel 2.

In einer Pralinenschachtel sind alle Pralinen in der gleichen Hülle verpackt. Allerdings aus Süßigkeiten – mit Nüssen, mit Cognac, mit Kirschen, mit Karamell und mit Nougat.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine Süßigkeit zu nehmen und eine Süßigkeit mit Nüssen zu bekommen? Geben Sie Ihre Antwort in Prozent an.

Lösung:

Wie viele mögliche Ergebnisse gibt es? .

Das heißt, wenn Sie eine Süßigkeit nehmen, ist es eine der in der Schachtel verfügbaren.

Wie viele positive Ergebnisse?

Denn in der Schachtel sind ausschließlich Pralinen mit Nüssen enthalten.

Antwort:

Beispiel 3.

In einer Schachtel mit Luftballons. davon sind weiß und schwarz.

1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel zu ziehen?
2. Wir haben der Box weitere schwarze Bälle hinzugefügt. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel zu ziehen?

Lösung:

a) Es sind nur Bälle in der Box. Davon sind weiß.

Die Wahrscheinlichkeit ist:

b) Jetzt sind mehr Bälle in der Box. Und es sind genauso viele Weiße übrig - .

Antwort:

Gesamtwahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit aller möglichen Ereignisse ist gleich ().

Nehmen wir an, in einer Schachtel befinden sich rote und grüne Kugeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen? Grüner Ball? Roter oder grüner Ball?

Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen

Grüner Ball:

Roter oder grüner Ball:

Wie Sie sehen, ist die Summe aller möglichen Ereignisse gleich (). Wenn Sie diesen Punkt verstehen, können Sie viele Probleme lösen.

Beispiel 4.

In der Box befinden sich Markierungen: grün, rot, blau, gelb, schwarz.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, KEINE rote Markierung zu zeichnen?

Lösung:

Zählen wir die Zahl günstige Ergebnisse.

KEIN roter Marker, das heißt grün, blau, gelb oder schwarz.

Wahrscheinlichkeit aller Ereignisse. Und die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen, die wir als ungünstig erachten (wenn wir eine rote Markierung entfernen), beträgt .

Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, einen NICHT roten Filzstift herauszuziehen, .

Antwort:

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis nicht eintritt, ist gleich minus der Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt.

Regel zur Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse

Sie wissen bereits, was unabhängige Ereignisse sind.

Was wäre, wenn Sie die Wahrscheinlichkeit dafür ermitteln müssten, dass zwei (oder mehr) unabhängige Ereignisse hintereinander auftreten?

Nehmen wir an, wir möchten wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass wir, wenn wir einmal eine Münze werfen, zweimal „Kopf“ sehen?

Wir haben bereits darüber nachgedacht - .

Was wäre, wenn wir einmal eine Münze werfen würden? Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, einen Adler zweimal hintereinander zu sehen?

Insgesamt mögliche Optionen:

1. Adler-Adler-Adler
2. Kopf-Kopf-Zahl
3. Kopf-Zahl-Kopf
4. Kopf-Zahl-Zahl
5. Zahl-Köpfe-Köpfe
6. Zahl-Kopf-Zahl
7. Zahl-Zahl-Köpfe
8. Schwänze-Schwänze-Schwänze

Ich weiß nicht, wie es Ihnen geht, aber ich habe beim Zusammenstellen dieser Liste mehrmals Fehler gemacht. Wow! Und nur die Option (die erste) passt zu uns.

Für 5 Würfe können Sie selbst eine Liste möglicher Ergebnisse erstellen. Aber Mathematiker sind nicht so fleißig wie Sie.

Daher stellten sie zunächst fest und bewiesen dann, dass die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Folge unabhängiger Ereignisse jedes Mal um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses abnimmt.

Mit anderen Worten,

Schauen wir uns das Beispiel derselben unglücklichen Münze an.

Wahrscheinlichkeit, in einer Herausforderung Kopf zu bekommen? . Jetzt werfen wir die Münze einmal.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, in einer Reihe „Kopf“ zu bekommen?

Diese Regel funktioniert nicht nur, wenn wir die Wahrscheinlichkeit ermitteln sollen, dass dasselbe Ereignis mehrmals hintereinander eintritt.

Wenn wir die Reihenfolge SCHWANZ-KOPF-SCHWANZ für aufeinanderfolgende Würfe finden wollten, würden wir dasselbe tun.

Die Wahrscheinlichkeit, Zahl zu bekommen, beträgt , Kopf - .

Wahrscheinlichkeit, die Reihenfolge TAILS-HEADS-TAILS-TAILS zu erhalten:

Sie können es selbst überprüfen, indem Sie eine Tabelle erstellen.

Die Regel zum Addieren der Wahrscheinlichkeiten inkompatibler Ereignisse.

Also hör auf! Neue Definition.

Lass es uns herausfinden. Nehmen wir unsere abgenutzte Münze und werfen sie einmal.
Möglichkeiten:

1. Adler-Adler-Adler
2. Kopf-Kopf-Zahl
3. Kopf-Zahl-Kopf
4. Kopf-Zahl-Zahl
5. Zahl-Köpfe-Köpfe
6. Zahl-Kopf-Zahl
7. Zahl-Zahl-Köpfe
8. Schwänze-Schwänze-Schwänze

Inkompatible Ereignisse sind also eine bestimmte, gegebene Abfolge von Ereignissen. - Dies sind inkompatible Ereignisse.

Wenn wir die Wahrscheinlichkeit von zwei (oder mehr) inkompatiblen Ereignissen bestimmen wollen, addieren wir die Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse.

Sie müssen verstehen, dass Kopf und Zahl zwei unabhängige Ereignisse sind.

Wenn wir die Wahrscheinlichkeit des Auftretens einer Sequenz (oder einer anderen) bestimmen möchten, verwenden wir die Regel der Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Wurf „Kopf“ und beim zweiten und dritten Wurf „Zahl“ zu bekommen?

Wenn wir aber wissen wollen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, eine von mehreren Sequenzen zu erhalten, zum Beispiel wenn „Kopf“ genau einmal auftaucht, d. h. Optionen und dann müssen wir die Wahrscheinlichkeiten dieser Folgen addieren.

Die Gesamtoptionen passen zu uns.

Wir können das Gleiche erhalten, indem wir die Eintrittswahrscheinlichkeiten jeder Sequenz addieren:

Daher addieren wir Wahrscheinlichkeiten, wenn wir die Wahrscheinlichkeit bestimmter, inkonsistenter Abfolgen von Ereignissen bestimmen wollen.

Es gibt eine tolle Regel, die Ihnen dabei hilft, nicht zu verwechseln, wann Sie multiplizieren und wann Sie addieren sollten:

Kehren wir zu dem Beispiel zurück, in dem wir einmal eine Münze geworfen haben und wissen wollten, wie wahrscheinlich es ist, dass wir einmal „Kopf“ sehen.
Was wird passieren?

Sollte herausfallen:
(Kopf UND Zahl UND Zahl) ODER (Zahl UND Zahl UND Zahl) ODER (Zahl UND Zahl UND Zahl).
So stellt sich heraus:

Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Beispiel 5.

In der Schachtel sind Bleistifte. rot, grün, orange und gelb und schwarz. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, mit roten oder grünen Stiften zu zeichnen?

Lösung:

Was wird passieren? Wir müssen ziehen (rot ODER grün).

Nun ist es klar, addieren wir die Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse:

Antwort:

Beispiel 6.

Wenn ein Würfel zweimal geworfen wird, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er insgesamt 8 ergibt?

Lösung.

Wie können wir Punkte bekommen?

(und) oder (und) oder (und) oder (und) oder (und).

Die Wahrscheinlichkeit, ein (beliebiges) Gesicht zu bekommen, beträgt .

Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit:

Antwort:

Ausbildung.

Ich denke, jetzt verstehen Sie, wann Sie Wahrscheinlichkeiten berechnen, wann Sie sie addieren und wann Sie sie multiplizieren müssen. Nicht wahr? Lasst uns ein wenig üben.

Aufgaben:

Nehmen wir ein Kartenspiel mit Karten wie Pik, Herz, 13 Kreuz und 13 Karo. Von bis Ass jeder Farbe.

1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, Kreuze hintereinander zu ziehen (wir legen die zuerst gezogene Karte zurück in den Stapel und mischen sie)?
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine schwarze Karte (Pik oder Kreuz) zu ziehen?
3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, ein Bild zu zeichnen (Bube, Dame, König oder Ass)?
4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zwei Bilder hintereinander zu ziehen (wir nehmen die erste gezogene Karte vom Stapel)?
5. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass man mit zwei Karten eine Kombination (Bube, Dame oder König) und ein Ass erhält? Die Reihenfolge, in der die Karten gezogen werden, spielt keine Rolle.

Antworten:

1. In einem Kartenspiel mit jedem Wert bedeutet dies:
2. Ereignisse sind abhängig, da nach dem Herausziehen der ersten Karte die Anzahl der Karten im Stapel abnahm (ebenso wie die Anzahl der „Bilder“). Zu Beginn sind insgesamt Buben, Damen, Könige und Asse im Deck, was die Wahrscheinlichkeit angibt, mit der ersten Karte ein „Bild“ zu ziehen:

   Da wir die erste Karte aus dem Stapel entfernen, bedeutet dies, dass bereits Karten im Stapel übrig sind, einschließlich Bildern. Wahrscheinlichkeit, mit der zweiten Karte ein Bild zu zeichnen:

   Da uns die Situation interessiert, wenn wir ein „Bild“ UND ein „Bild“ vom Stapel nehmen, müssen wir die Wahrscheinlichkeiten multiplizieren:

   Antwort:

3. Nachdem die erste Karte herausgezogen wurde, verringert sich die Anzahl der Karten im Stapel. Daher passen zwei Optionen zu uns:
   1) Die erste Karte ist ein Ass, die zweite ist ein Bube, eine Dame oder ein König
   2) Wir ziehen mit der ersten Karte einen Buben, eine Dame oder einen König und mit der zweiten ein Ass. (Ass und (Bube oder Dame oder König)) oder ((Bube oder Dame oder König) und Ass). Vergessen Sie nicht, die Anzahl der Karten im Stapel zu reduzieren!

Wenn Sie alle Probleme selbst lösen konnten, dann sind Sie großartig! Jetzt werden Sie die Probleme der Wahrscheinlichkeitstheorie im Einheitlichen Staatsexamen wie verrückt lösen!

WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE. DURCHSCHNITTSNIVEAU

Schauen wir uns ein Beispiel an. Nehmen wir an, wir werfen einen Würfel. Was für ein Knochen ist das, wissen Sie? So nennt man einen Würfel mit Zahlen auf den Seiten. Wie viele Gesichter, so viele Zahlen: von bis wie viele? Vor.

Also würfeln wir und wir wollen, dass es auftaucht oder. Und wir verstehen es.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie sagen sie, was passiert ist glückverheißendes Ereignis(nicht zu verwechseln mit wohlhabend).

Wenn es passieren würde, wäre das Ereignis auch günstig. Insgesamt können nur zwei günstige Ereignisse eintreten.

Wie viele sind ungünstig? Da es insgesamt mögliche Ereignisse gibt, bedeutet dies, dass die ungünstigen Ereignisse Ereignisse sind (dies ist, wenn oder herausfällt).

Definition:

Die Wahrscheinlichkeit ist das Verhältnis der Anzahl günstiger Ereignisse zur Anzahl aller möglichen Ereignisse. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit gibt an, welcher Anteil aller möglichen Ereignisse günstig ist.

Die Wahrscheinlichkeit wird durch einen lateinischen Buchstaben (anscheinend von) bezeichnet englisches Wort Wahrscheinlichkeit - Wahrscheinlichkeit).

Es ist üblich, die Wahrscheinlichkeit in Prozent zu messen (siehe Thema). Dazu muss der Wahrscheinlichkeitswert mit multipliziert werden. Im Würfelbeispiel Wahrscheinlichkeit.

Und in Prozent: .

Beispiele (entscheide selbst):

1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Münzwurf „Kopf“ zu bekommen? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, Köpfe zu landen?
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln eine gerade Zahl zu erhalten? Welches ist seltsam?
3. In einer Schachtel mit einfachen blauen und roten Stiften. Wir zeichnen zufällig einen Bleistift. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, ein einfaches zu bekommen?

Lösungen:

1. Wie viele Möglichkeiten gibt es? Kopf und Zahl – nur zwei. Wie viele davon sind günstig? Nur einer ist ein Adler. Also die Wahrscheinlichkeit

   Dasselbe gilt auch für tails: .

2. Gesamtoptionen: (Wie viele Seiten hat der Würfel, so viele Verschiedene Optionen). Günstige: (das sind alles gerade Zahlen:).
   Wahrscheinlichkeit. Das Gleiche gilt natürlich auch für ungerade Zahlen.
3. Gesamt: . Günstig: . Wahrscheinlichkeit: .

Gesamtwahrscheinlichkeit

Alle Stifte in der Box sind grün. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, einen Rotstift zu zeichnen? Es gibt keine Chancen: Wahrscheinlichkeit (schließlich günstige Ereignisse -).

Ein solches Ereignis wird als unmöglich bezeichnet.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem grünen Stift zu zeichnen? Es gibt genau so viele günstige Ereignisse wie es insgesamt Ereignisse gibt (alle Ereignisse sind günstig). Die Wahrscheinlichkeit ist also gleich oder.

Ein solches Ereignis wird als zuverlässig bezeichnet.

Wenn eine Schachtel grüne und rote Stifte enthält, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, grün oder rot zu zeichnen? Wieder mal. Beachten wir Folgendes: Die Wahrscheinlichkeit, Grün herauszuziehen, ist gleich und Rot ist gleich.

Insgesamt sind diese Wahrscheinlichkeiten genau gleich. Also, die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ereignisse ist gleich oder.

Beispiel:

In einer Schachtel mit Bleistiften befinden sich darunter Blau, Rot, Grün, Uni, Gelb und der Rest ist Orange. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nicht grün zu zeichnen?

Lösung:

Wir erinnern uns daran, dass sich alle Wahrscheinlichkeiten summieren. Und die Wahrscheinlichkeit, grün zu werden, ist gleich. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, kein Grün zu zeichnen, gleich ist.

Denken Sie an diesen Trick: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis nicht eintritt, ist gleich minus der Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt.

Unabhängige Ereignisse und die Multiplikationsregel

Sie werfen eine Münze einmal und möchten, dass sie beide Male „Kopf“ zeigt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit hierfür?

Lassen Sie uns alle möglichen Optionen durchgehen und feststellen, wie viele es gibt:

Kopf-Kopf, Zahl-Kopf, Kopf-Zahl, Zahl-Zahl. Was sonst?

Gesamtoptionen. Davon passt nur einer zu uns: Eagle-Eagle. Insgesamt ist die Wahrscheinlichkeit gleich.

Bußgeld. Jetzt werfen wir einmal eine Münze. Rechnen Sie selbst. Passiert? (Antwort).

Sie haben vielleicht bemerkt, dass sich die Wahrscheinlichkeit mit jedem weiteren Wurf um die Hälfte verringert. Die allgemeine Regel heißt Multiplikationsregel:

Die Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse ändern sich.

Was sind unabhängige Veranstaltungen? Alles ist logisch: Das sind diejenigen, die nicht voneinander abhängig sind. Wenn wir beispielsweise eine Münze mehrmals werfen, wird jedes Mal ein neuer Wurf ausgeführt, dessen Ergebnis nicht von allen vorherigen Würfen abhängt. Wir können genauso gut zwei verschiedene Münzen gleichzeitig werfen.

Mehr Beispiele:

1. Es wird zweimal gewürfelt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, es beide Male zu bekommen?
2. Die Münze wird einmal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es beim ersten Mal „Kopf“ und dann zweimal „Zahl“ gibt?
3. Der Spieler würfelt mit zwei Würfeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der darauf befindlichen Zahlen gleich ist?

Antworten:

1. Die Ereignisse sind unabhängig, was bedeutet, dass die Multiplikationsregel funktioniert: .
2. Die Wahrscheinlichkeit für Kopf ist gleich. Die Wahrscheinlichkeit für „Zahlen“ ist gleich. Multiplizieren:
3. 12 kann nur erhalten werden, wenn zwei -ki gewürfelt werden: .

Inkompatible Ereignisse und die Additionsregel

Ereignisse, die sich bis zur vollen Wahrscheinlichkeit ergänzen, werden als inkompatibel bezeichnet. Wie der Name schon sagt, können sie nicht gleichzeitig auftreten. Wenn wir zum Beispiel eine Münze werfen, kann es entweder „Kopf“ oder „Zahl“ sein.

Beispiel.

In einer Schachtel mit Bleistiften befinden sich darunter Blau, Rot, Grün, Uni, Gelb und der Rest ist Orange. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, Grün oder Rot zu zeichnen?

Lösung .

Die Wahrscheinlichkeit, mit einem grünen Stift zu zeichnen, ist gleich. Rot - .

Günstige Ereignisse insgesamt: Grün + Rot. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, Grün oder Rot zu zeichnen, gleich ist.

Die gleiche Wahrscheinlichkeit kann in dieser Form dargestellt werden: .

Dies ist die Additionsregel: die Wahrscheinlichkeiten inkompatibler Ereignisse summieren sich.

Probleme gemischter Art

Beispiel.

Die Münze wird zweimal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Ergebnisse der Würfe unterschiedlich ausfallen?

Lösung .

Das heißt, wenn das erste Ergebnis „Kopf“ ist, muss das zweite Ergebnis „Zahl“ sein und umgekehrt. Es stellt sich heraus, dass es zwei Paare unabhängiger Ereignisse gibt und diese Paare miteinander nicht kompatibel sind. Wie man nicht verwirrt, wo man multipliziert und wo man addiert.

Für solche Situationen gibt es eine einfache Regel. Versuchen Sie zu beschreiben, was passieren wird, indem Sie die Konjunktionen „AND“ oder „OR“ verwenden. In diesem Fall zum Beispiel:

Es sollte (Kopf und Zahl) oder (Zahl und Kopf) erscheinen.

Wo es eine Konjunktion „und“ gibt, wird es eine Multiplikation geben, und wo es ein „oder“ gibt, wird es eine Addition geben:

Versuch es selber:

1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Münze beim zweimaligen Werfen beide Male auf derselben Seite landet?
2. Es wird zweimal gewürfelt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, insgesamt Punkte zu erzielen?

Lösungen:

1. (Köpfe fielen und Schwänze fielen) oder (Schwänze fielen und Schwänze fielen): .
2. Was sind die Möglichkeiten? Und. Dann:
   Weggelassen (und) oder (und) oder (und): .

Ein anderes Beispiel:

Wirf einmal eine Münze. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einmal Köpfe auftauchen?

Lösung:

Oh, wie ich die Optionen nicht durchgehen möchte ... Kopf-Zahl-Zahl, Adler-Kopf-Zahl, ... Aber das ist nicht nötig! Erinnern wir uns an die Gesamtwahrscheinlichkeit. Erinnerst du dich? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Adler wird nie herausfallen? Es ist ganz einfach: Köpfe fliegen ständig, deshalb.

WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE. KURZ ÜBER DAS WICHTIGSTE

Die Wahrscheinlichkeit ist das Verhältnis der Anzahl günstiger Ereignisse zur Anzahl aller möglichen Ereignisse.

Unabhängige Veranstaltungen

Zwei Ereignisse sind unabhängig, wenn das Eintreten des einen die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des anderen nicht verändert.

Gesamtwahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit aller möglichen Ereignisse ist gleich ().

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis nicht eintritt, ist gleich minus der Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt.

Regel zur Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse

Die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Folge unabhängiger Ereignisse ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten jedes Ereignisses

Inkompatible Ereignisse

Inkompatible Ereignisse sind solche, die als Ergebnis eines Experiments unmöglich gleichzeitig auftreten können. Eine Reihe inkompatibler Ereignisse bilden eine vollständige Gruppe von Ereignissen.

Die Wahrscheinlichkeiten inkompatibler Ereignisse summieren sich.

Nachdem wir beschrieben haben, was passieren soll, setzen wir mithilfe der Konjunktionen „AND“ oder „OR“ anstelle von „AND“ ein Multiplikationszeichen und anstelle von „OR“ ein Additionszeichen.

Nun, das Thema ist vorbei. Wenn Sie diese Zeilen lesen, bedeutet das, dass Sie sehr cool sind.

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Ursprünglich war die Wahrscheinlichkeitstheorie nur eine Sammlung von Informationen und empirischen Beobachtungen über das Würfelspiel und entwickelte sich zu einer umfassenden Wissenschaft. Die ersten, die ihm einen mathematischen Rahmen gaben, waren Fermat und Pascal.

Vom Nachdenken über das Ewige bis zur Wahrscheinlichkeitstheorie

Die beiden Personen, denen die Wahrscheinlichkeitstheorie viele ihrer Grundformeln verdankt, Blaise Pascal und Thomas Bayes, gelten als zutiefst religiöse Menschen, wobei letzterer ein presbyterianischer Pfarrer war. Anscheinend gab der Wunsch dieser beiden Wissenschaftler, den Irrtum der Meinung zu beweisen, dass eine gewisse Wahrsagerin ihren Lieblingen Glück schenkt, der Forschung auf diesem Gebiet Anstoß. Tatsächlich ist jedes Glücksspiel mit seinen Gewinnen und Verlusten nur eine Symphonie mathematischer Prinzipien.

Dank der Leidenschaft des Chevalier de Mere, der sowohl ein Spieler als auch ein Mann war, der der Wissenschaft gegenüber nicht gleichgültig war, war Pascal gezwungen, einen Weg zu finden, die Wahrscheinlichkeit zu berechnen. De Mere interessierte sich für die folgende Frage: „Wie oft muss man zwei Würfel paarweise werfen, damit die Wahrscheinlichkeit, 12 Punkte zu bekommen, 50 % übersteigt?“ Die zweite Frage, die für den Herrn von großem Interesse war: „Wie teilt man den Einsatz zwischen den Teilnehmern des noch nicht beendeten Spiels auf?“ Natürlich beantwortete Pascal erfolgreich beide Fragen von de Mere, der unwissentlich zum Initiator der Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie wurde. Interessant ist, dass die Person von de Mere in diesem Bereich bekannt blieb und nicht in der Literatur.

Bisher hatte kein Mathematiker versucht, die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen zu berechnen, da man glaubte, dass dies nur eine Vermutung sei. Blaise Pascal gab die erste Definition der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses und zeigte, dass es sich um eine bestimmte Zahl handelt, die mathematisch begründet werden kann. Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist zur Grundlage der Statistik geworden und wird in der modernen Wissenschaft häufig verwendet.

Was ist Zufälligkeit?

Wenn wir einen Test betrachten, der unendlich oft wiederholt werden kann, können wir ein Zufallsereignis definieren. Dies ist eines der wahrscheinlichen Ergebnisse des Experiments.

Erfahrung ist die Umsetzung konkreter Handlungen unter konstanten Bedingungen.

Um mit den Ergebnissen des Experiments arbeiten zu können, werden Ereignisse üblicherweise mit den Buchstaben A, B, C, D, E... bezeichnet.

Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses

Um mit dem mathematischen Teil der Wahrscheinlichkeit zu beginnen, müssen alle ihre Komponenten definiert werden.

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist ein numerisches Maß für die Möglichkeit, dass ein Ereignis (A oder B) als Ergebnis einer Erfahrung eintritt. Die Wahrscheinlichkeit wird als P(A) oder P(B) bezeichnet.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie unterscheiden sie:

• zuverlässig das Ereignis wird aufgrund der Erfahrung P(Ω) = 1 garantiert eintreten;
• unmöglich das Ereignis kann niemals eintreten P(Ø) = 0;
• zufällig ein Ereignis liegt zwischen zuverlässig und unmöglich, d. h. die Wahrscheinlichkeit seines Eintretens ist möglich, aber nicht garantiert (die Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses liegt immer im Bereich 0≤Р(А)≤ 1).

Beziehungen zwischen Ereignissen

Sowohl eines als auch die Summe der Ereignisse A+B werden berücksichtigt, wenn das Ereignis gezählt wird, wenn mindestens eine der Komponenten A oder B oder beide Komponenten A und B erfüllt ist.

Im Verhältnis zueinander können Ereignisse sein:

• Ebenso möglich.
• Kompatibel.
• Unvereinbar.
• Gegensätzlich (sich gegenseitig ausschließend).
• Abhängig.

Wenn zwei Ereignisse mit gleicher Wahrscheinlichkeit eintreten können, dann sind sie gleichermaßen möglich.

Wenn das Eintreten von Ereignis A die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von Ereignis B nicht auf Null reduziert, dann sind sie kompatibel.

Wenn die Ereignisse A und B niemals gleichzeitig in derselben Erfahrung auftreten, werden sie aufgerufen unvereinbar. Münzwurf - gutes Beispiel: Das Erscheinen von Köpfen ist automatisch das Nichterscheinen von Köpfen.

Die Wahrscheinlichkeit für die Summe solcher inkompatiblen Ereignisse besteht aus der Summe der Wahrscheinlichkeiten jedes der Ereignisse:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Wenn das Eintreten eines Ereignisses das Eintreten eines anderen Ereignisses unmöglich macht, werden sie als Gegenteil bezeichnet. Dann wird einer von ihnen als A bezeichnet und der andere als Ā (gelesen als „nicht A“). Das Eintreten von Ereignis A bedeutet, dass Ā nicht stattgefunden hat. Diese beiden Ereignisse bilden eine vollständige Gruppe mit einer Wahrscheinlichkeitssumme von 1.

Abhängige Ereignisse beeinflussen sich gegenseitig und verringern oder erhöhen die Wahrscheinlichkeit des anderen.

Beziehungen zwischen Ereignissen. Beispiele

Anhand von Beispielen ist es viel einfacher, die Prinzipien der Wahrscheinlichkeitstheorie und Ereigniskombinationen zu verstehen.

Das Experiment, das durchgeführt wird, besteht darin, Kugeln aus einer Schachtel zu nehmen, und das Ergebnis jedes Experiments ist ein elementares Ergebnis.

Ein Ereignis ist eines der möglichen Ergebnisse eines Experiments – ein roter Ball, ein blauer Ball, ein Ball mit der Nummer sechs usw.

Test Nr. 1. Es sind 6 Kugeln beteiligt, drei davon sind blau mit ungeraden Zahlen und die anderen drei sind rot mit geraden Zahlen.

Test Nr. 2. 6 Bälle beteiligt von blauer Farbe mit Zahlen von eins bis sechs.

Anhand dieses Beispiels können wir Kombinationen benennen:

• Zuverlässige Veranstaltung. In Spanisch Nr. 2 Das Ereignis „Hol dir den blauen Ball“ ist zuverlässig, da die Wahrscheinlichkeit seines Eintretens gleich 1 ist, da alle Bälle blau sind und es keinen Fehlschlag geben kann. Das Ereignis „Erhalte den Ball mit der Nummer 1“ hingegen ist zufällig.
• Unmögliches Ereignis. In Spanisch Nr. 1 mit blauen und roten Kugeln, das Ereignis „die lila Kugel bekommen“ ist unmöglich, da die Wahrscheinlichkeit seines Eintretens 0 ist.
• Ebenso mögliche Ereignisse. In Spanisch Nr. 1 sind die Ereignisse „Ball mit der Nummer 2 holen“ und „Ball mit der Nummer 3 holen“ ebenso möglich, wie auch die Ereignisse „Ball mit gerader Nummer holen“ und „Ball mit der Nummer 2 holen“. „haben unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten.
• Kompatible Ereignisse. Beim Würfeln zweimal hintereinander eine Sechs zu bekommen, ist ein kompatibles Ereignis.
• Inkompatible Ereignisse. Im gleichen Spanisch Nr. 1: Die Ereignisse „Erhalte einen roten Ball“ und „Erhalte einen Ball mit einer ungeraden Zahl“ können nicht im selben Erlebnis kombiniert werden.
• Gegensätzliche Ereignisse. Am meisten leuchtendes Beispiel Dabei handelt es sich um Münzwurf, bei dem das Ziehen von „Kopf“ dem Nicht-Ziehen von „Zahl“ entspricht und die Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten immer 1 ist (vollständige Gruppe).
• Abhängige Ereignisse. Also auf Spanisch Nr. 1: Sie können das Ziel festlegen, den roten Ball zweimal hintereinander zu ziehen. Ob es beim ersten Mal abgerufen wird oder nicht, beeinflusst die Wahrscheinlichkeit, beim zweiten Mal abgerufen zu werden.

Es ist ersichtlich, dass das erste Ereignis die Wahrscheinlichkeit des zweiten erheblich beeinflusst (40 % und 60 %).

Formel für die Ereigniswahrscheinlichkeit

Der Übergang von der Wahrsagerei zu präzisen Daten erfolgt durch die Übersetzung des Themas in eine mathematische Ebene. Das heißt, Urteile über ein zufälliges Ereignis wie „hohe Wahrscheinlichkeit“ oder „minimale Wahrscheinlichkeit“ können in spezifische numerische Daten übersetzt werden. Es ist bereits zulässig, solches Material auszuwerten, zu vergleichen und in komplexere Berechnungen einzubeziehen.

Aus rechnerischer Sicht ist die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses das Verhältnis der Anzahl elementarer positiver Ergebnisse zur Anzahl aller möglichen Erfahrungsergebnisse bezüglich eines bestimmten Ereignisses. Die Wahrscheinlichkeit wird mit P(A) bezeichnet, wobei P für das Wort „probabilite“ steht, was aus dem Französischen mit „Wahrscheinlichkeit“ übersetzt wird.

Die Formel für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lautet also:

Dabei ist m die Anzahl der günstigen Ergebnisse für Ereignis A und n die Summe aller möglichen Ergebnisse für dieses Erlebnis. In diesem Fall liegt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses immer zwischen 0 und 1:

0 ≤ P(A)≤ 1.

Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses. Beispiel

Nehmen wir Spanisch. Nr. 1 mit Kugeln, die bereits beschrieben wurde: 3 blaue Kugeln mit den Zahlen 1/3/5 und 3 rote Kugeln mit den Zahlen 2/4/6.

Basierend auf diesem Test können verschiedene Probleme berücksichtigt werden:

• A - roter Ball fällt heraus. Es gibt 3 rote Kugeln und insgesamt 6 Optionen. Das ist einfachstes Beispiel, wobei die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses gleich P(A)=3/6=0,5 ist.
• B – eine gerade Zahl würfeln. Es gibt 3 gerade Zahlen (2,4,6) und die Gesamtzahl der möglichen numerischen Optionen beträgt 6. Die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses beträgt P(B)=3/6=0,5.
• C – das Auftreten einer Zahl größer als 2. Es gibt 4 solcher Optionen (3,4,5,6) von insgesamt 6 möglichen Ergebnissen. Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses C ist gleich P(C)=4 /6=0,67.

Wie aus den Berechnungen hervorgeht, hat Ereignis C eine höhere Wahrscheinlichkeit, da die Anzahl der wahrscheinlichen positiven Ausgänge höher ist als in A und B.

Inkompatible Ereignisse

Solche Ereignisse können nicht gleichzeitig in derselben Erfahrung auftreten. Wie auf Spanisch Nr. 1: Es ist unmöglich, gleichzeitig einen blauen und einen roten Ball zu bekommen. Das heißt, Sie können entweder einen blauen oder einen roten Ball bekommen. Ebenso können bei einem Würfel nicht gleichzeitig eine gerade und eine ungerade Zahl vorkommen.

Die Wahrscheinlichkeit zweier Ereignisse wird als Wahrscheinlichkeit ihrer Summe oder ihres Produkts betrachtet. Die Summe dieser Ereignisse A+B wird als ein Ereignis betrachtet, das aus dem Eintreten des Ereignisses A oder B besteht, und das Produkt AB ist das Eintreten beider. Zum Beispiel das gleichzeitige Erscheinen von zwei Sechsen auf den Seiten zweier Würfel in einem Wurf.

Die Summe mehrerer Ereignisse ist ein Ereignis, das das Eintreten mindestens eines von ihnen voraussetzt. Die Produktion mehrerer Ereignisse ist deren gemeinsames Auftreten.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie bezeichnet die Verwendung der Konjunktion „und“ in der Regel eine Summe und die Konjunktion „oder“ eine Multiplikation. Formeln mit Beispielen helfen Ihnen, die Logik der Addition und Multiplikation in der Wahrscheinlichkeitstheorie zu verstehen.

Wahrscheinlichkeit der Summe inkompatibler Ereignisse

Wenn die Wahrscheinlichkeit inkompatibler Ereignisse berücksichtigt wird, ist die Wahrscheinlichkeit der Summe der Ereignisse gleich der Addition ihrer Wahrscheinlichkeiten:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Zum Beispiel: Berechnen wir die Wahrscheinlichkeit, dass auf Spanisch. Nr. 1 mit blauen und roten Kugeln, es erscheint eine Zahl zwischen 1 und 4. Wir rechnen nicht in einem Zug, sondern durch die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Elementarkomponenten. In einem solchen Experiment gibt es also nur 6 Bälle oder 6 aller möglichen Ergebnisse. Die Zahlen, die die Bedingung erfüllen, sind 2 und 3. Die Wahrscheinlichkeit, die Zahl 2 zu erhalten, beträgt 1/6, die Wahrscheinlichkeit, die Zahl 3 zu erhalten, beträgt ebenfalls 1/6. Die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl zwischen 1 und 4 zu erhalten, beträgt:

Die Wahrscheinlichkeit der Summe inkompatibler Ereignisse einer vollständigen Gruppe beträgt 1.

Wenn wir also in einem Experiment mit einem Würfel die Wahrscheinlichkeiten aller auftretenden Zahlen addieren, ist das Ergebnis eins.

Dies gilt auch für gegensätzliche Ereignisse, beispielsweise im Experiment mit einer Münze, bei der bekanntlich die eine Seite das Ereignis A und die andere das entgegengesetzte Ereignis Ā ist,

P(A) + P(Ā) = 1

Wahrscheinlichkeit des Auftretens inkompatibler Ereignisse

Die Wwird verwendet, wenn das Auftreten von zwei oder mehr inkompatiblen Ereignissen in einer Beobachtung berücksichtigt wird. Die Wahrscheinlichkeit, dass darin die Ereignisse A und B gleichzeitig auftreten, ist gleich dem Produkt ihrer Wahrscheinlichkeiten, oder:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit, dass auf Spanisch Nr. 1: Als Ergebnis von zwei Versuchen erscheint zweimal ein blauer Ball, gleich

Das heißt, die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, wenn als Ergebnis von zwei Versuchen, Bälle zu extrahieren, nur blaue Bälle extrahiert werden, beträgt 25 %. Es ist sehr einfach, praktische Experimente zu diesem Problem durchzuführen und herauszufinden, ob dies tatsächlich der Fall ist.

Gemeinsame Veranstaltungen

Ereignisse gelten als gemeinsam, wenn das Eintreten eines von ihnen mit dem Eintreten eines anderen zusammenfallen kann. Obwohl sie gemeinsam sind, wird die Wahrscheinlichkeit unabhängiger Ereignisse berücksichtigt. Beispielsweise kann das Werfen zweier Würfel ein Ergebnis ergeben, wenn auf beiden die Zahl 6 erscheint. Obwohl die Ereignisse zusammenfielen und gleichzeitig auftraten, sind sie unabhängig voneinander – es konnte nur eine Sechs herausfallen, der zweite Würfel hat keine Einfluss darauf.

Die Wahrscheinlichkeit gemeinsamer Ereignisse wird als Wahrscheinlichkeit ihrer Summe betrachtet.

Wahrscheinlichkeit der Summe gemeinsamer Ereignisse. Beispiel

Die Wahrscheinlichkeit der Summe der Ereignisse A und B, die im Verhältnis zueinander gemeinsam sind, ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten des Ereignisses abzüglich der Wahrscheinlichkeit ihres Eintretens (d. h. ihres gemeinsamen Eintretens):

R-Gelenk (A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)

Nehmen wir an, dass die Wahrscheinlichkeit, das Ziel mit einem Schuss zu treffen, 0,4 beträgt. Dann trifft Ereignis A im ersten Versuch das Ziel, B im zweiten. Diese Ereignisse sind gemeinsam, da es möglich ist, dass Sie das Ziel sowohl mit dem ersten als auch mit dem zweiten Schuss treffen können. Aber Ereignisse sind nicht abhängig. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis mit zwei Schüssen (zumindest mit einem) das Ziel trifft? Nach der Formel:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Die Antwort auf die Frage lautet: „Die Wahrscheinlichkeit, mit zwei Schüssen das Ziel zu treffen, beträgt 64 %.“

Diese Formel für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses kann auch auf inkompatible Ereignisse angewendet werden, bei denen die Wahrscheinlichkeit des gemeinsamen Eintretens eines Ereignisses P(AB) = 0 ist. Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit der Summe inkompatibler Ereignisse als Sonderfall betrachtet werden kann der vorgeschlagenen Formel.

Geometrie der Wahrscheinlichkeit zur Verdeutlichung

Interessanterweise kann die Wahrscheinlichkeit der Summe gemeinsamer Ereignisse als zwei Bereiche A und B dargestellt werden, die sich überschneiden. Wie aus dem Bild ersichtlich ist, ist die Fläche ihrer Vereinigung gleich der Gesamtfläche abzüglich der Fläche ihres Schnittpunkts. Diese geometrische Erklärung macht die scheinbar unlogische Formel verständlicher. Beachten Sie, dass geometrische Lösungen in der Wahrscheinlichkeitstheorie keine Seltenheit sind.

Die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit der Summe vieler (mehr als zwei) gemeinsamer Ereignisse ist recht umständlich. Zur Berechnung müssen Sie die für diese Fälle bereitgestellten Formeln verwenden.

Abhängige Ereignisse

Ereignisse werden als abhängig bezeichnet, wenn das Eintreten eines (A) von ihnen die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines anderen (B) beeinflusst. Darüber hinaus wird der Einfluss sowohl des Eintretens des Ereignisses A als auch seines Nichteintretens berücksichtigt. Obwohl Ereignisse per Definition als abhängig bezeichnet werden, ist nur eines davon abhängig (B). Die gewöhnliche Wahrscheinlichkeit wurde als P(B) oder die Wahrscheinlichkeit unabhängiger Ereignisse bezeichnet. Im Fall abhängiger Ereignisse wird ein neues Konzept eingeführt – die bedingte Wahrscheinlichkeit P A (B), die die Wahrscheinlichkeit eines abhängigen Ereignisses B ist, abhängig vom Eintreten des Ereignisses A (Hypothese), von dem es abhängt.

Aber auch Ereignis A ist zufällig, hat also auch eine Wahrscheinlichkeit, die bei den durchgeführten Berechnungen berücksichtigt werden muss und berücksichtigt werden kann. Das folgende Beispiel zeigt, wie mit abhängigen Ereignissen und einer Hypothese gearbeitet wird.

Ein Beispiel für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit abhängiger Ereignisse

Ein gutes Beispiel für die Berechnung abhängiger Ereignisse wäre ein Standardkartenspiel.

Schauen wir uns am Beispiel eines Kartenspiels mit 36 ​​Karten die abhängigen Ereignisse an. Wir müssen die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass die zweite gezogene Karte aus Karo besteht, wenn die erste gezogene Karte wie folgt aussieht:

1. Bubnovaya.
2. Eine andere Farbe.

Offensichtlich hängt die Wahrscheinlichkeit des zweiten Ereignisses B vom ersten A ab. Wenn also die erste Option zutrifft, also 1 Karte (35) und 1 Diamant (8) weniger im Stapel sind, beträgt die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B:

R A (B) =8/35=0,23

Wenn die zweite Option wahr ist, das Deck 35 Karten hat und die volle Anzahl an Karos (9) noch erhalten bleibt, dann ist die Wahrscheinlichkeit des folgenden Ereignisses B:

R A (B) =9/35=0,26.

Es ist ersichtlich, dass, wenn Ereignis A davon abhängt, dass die erste Karte eine Karo ist, die Wahrscheinlichkeit von Ereignis B abnimmt und umgekehrt.

Abhängige Ereignisse multiplizieren

Basierend auf dem vorherigen Kapitel akzeptieren wir das erste Ereignis (A) als Tatsache, aber im Wesentlichen ist es zufälliger Natur. Die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses, nämlich das Ziehen eines Diamanten aus einem Kartenspiel, ist gleich:

P(A) = 9/36=1/4

Da die Theorie nicht für sich allein existiert, sondern praktischen Zwecken dienen soll, kann man mit Recht anmerken, dass es am häufigsten auf die Wahrscheinlichkeit der Erzeugung abhängiger Ereignisse ankommt.

Nach dem Satz über das Produkt der Wahrscheinlichkeiten abhängiger Ereignisse ist die Eintrittswahrscheinlichkeit der gemeinsam abhängigen Ereignisse A und B gleich der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A, multipliziert mit der bedingten Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B (abhängig von A):

P(AB) = P(A) *P A(B)

Dann beträgt im Deckbeispiel die Wahrscheinlichkeit, zwei Karten mit der Farbe Karo zu ziehen, wie folgt:

9/36*8/35=0,0571 oder 5,7 %

Und die Wahrscheinlichkeit, zuerst Diamanten und dann Diamanten zu gewinnen, ist gleich:

27/36*9/35=0,19 oder 19 %

Es ist ersichtlich, dass die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von Ereignis B größer ist, sofern die erste gezogene Karte eine andere Farbe als Karo hat. Dieses Ergebnis ist durchaus logisch und verständlich.

Gesamtwahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Wenn ein Problem mit bedingten Wahrscheinlichkeiten vielschichtig wird, kann es nicht mit herkömmlichen Methoden berechnet werden. Wenn es mehr als zwei Hypothesen gibt, nämlich A1, A2,…, A n, ..bildet eine vollständige Gruppe von Ereignissen, vorausgesetzt:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

Die Formel für die Gesamtwahrscheinlichkeit für Ereignis B mit einer vollständigen Gruppe von Zufallsereignissen A1, A2,..., A n lautet also:

Ein Blick in die Zukunft

Die Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses ist in vielen Bereichen der Wissenschaft äußerst wichtig: Ökonometrie, Statistik, Physik usw. Da einige Prozesse nicht deterministisch beschrieben werden können, da sie selbst probabilistischer Natur sind, sind spezielle Arbeitsmethoden erforderlich. Die Theorie der Ereigniswahrscheinlichkeit kann in jedem technischen Bereich verwendet werden, um die Möglichkeit eines Fehlers oder einer Fehlfunktion zu bestimmen.

Wir können sagen, dass wir durch das Erkennen der Wahrscheinlichkeit in gewisser Weise einen theoretischen Schritt in die Zukunft machen und sie durch das Prisma der Formeln betrachten.

Wahrscheinlichkeit Ereignis ist das Verhältnis der Anzahl elementarer Ergebnisse, die für ein bestimmtes Ereignis günstig sind, zur Anzahl aller gleichermaßen möglichen Ergebnisse der Erfahrung, in der dieses Ereignis auftreten kann. Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A wird mit P(A) bezeichnet (hier ist P der erste Buchstabe). Französisches Wort Wahrscheinlichkeit - Wahrscheinlichkeit). Laut Definition
(1.2.1)
wo ist die Anzahl der Elementarergebnisse, die für Ereignis A günstig sind; - die Anzahl aller gleich möglichen elementaren Ergebnisse des Experiments, die eine vollständige Gruppe von Ereignissen bilden.
Diese Wahrscheinlichkeitsdefinition wird als klassisch bezeichnet. Es entstand am Erstphase Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses hat folgende Eigenschaften:
1. Die Wahrscheinlichkeit eines zuverlässigen Ereignisses ist gleich eins. Bezeichnen wir ein zuverlässiges Ereignis mit dem Buchstaben . Für ein bestimmtes Ereignis also
(1.2.2)
2. Die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist Null. Bezeichnen wir ein unmögliches Ereignis mit dem Buchstaben . Für ein unmögliches Ereignis also
(1.2.3)
3. Die Wahrscheinlichkeit eines Zufallsereignisses wird als positive Zahl kleiner als eins ausgedrückt. Da für ein zufälliges Ereignis die Ungleichungen , oder , erfüllt sind, dann
(1.2.4)
4. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses erfüllt die Ungleichungen
(1.2.5)
Dies folgt aus den Beziehungen (1.2.2) – (1.2.4).

Beispiel 1. Eine Urne enthält 10 gleich große und gleich schwere Kugeln, davon 4 rote und 6 blaue. Aus der Urne wird eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die gezogene Kugel blau ist?

Lösung. Das Ereignis „Der gezogene Ball stellte sich als blau heraus“ bezeichnen wir mit dem Buchstaben A. Dieser Test hat 10 gleich mögliche Elementarausgänge, von denen 6 das Ereignis A begünstigen. Gemäß Formel (1.2.1) erhalten wir

Beispiel 2. Alle natürlichen Zahlen von 1 bis 30 werden auf identische Karten geschrieben und in eine Urne gelegt. Nach gründlichem Mischen der Karten wird eine Karte aus der Urne entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl auf der gezogenen Karte ein Vielfaches von 5 ist?

Lösung. Bezeichnen wir mit A das Ereignis „Die Zahl auf der genommenen Karte ist ein Vielfaches von 5.“ Bei diesem Test gibt es 30 gleichermaßen mögliche Elementarausgänge, von denen Ereignis A durch 6 Ausfälle (die Zahlen 5, 10, 15, 20, 25, 30) begünstigt wird. Somit,

Beispiel 3. Es werden zwei Würfel geworfen und die Summe der Punkte auf den Oberseiten berechnet. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für Ereignis B, sodass die Oberseiten der Würfel insgesamt 9 Punkte haben.

Lösung. In diesem Test gibt es nur 6 2 = 36 gleich mögliche Elementarergebnisse. Ereignis B wird daher durch 4 Ergebnisse begünstigt: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3).

Beispiel 4. Zufällig ausgewählt natürliche Zahl, nicht größer als 10. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl eine Primzahl ist?

Lösung. Bezeichnen wir mit dem Buchstaben C das Ereignis „die gewählte Zahl ist eine Primzahl“. In diesem Fall ist n = 10, m = 4 ( Primzahlen 2, 3, 5, 7). Daher die erforderliche Wahrscheinlichkeit

Beispiel 5. Es werden zwei symmetrische Münzen geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich auf der Oberseite beider Münzen Zahlen befinden?

Lösung. Bezeichnen wir mit dem Buchstaben D das Ereignis „Auf der Oberseite jeder Münze befindet sich eine Zahl.“ In diesem Test gibt es 4 gleichermaßen mögliche elementare Ergebnisse: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Die Notation (G, C) bedeutet, dass die erste Münze ein Wappen hat, die zweite eine Nummer). Ereignis D wird durch ein Elementarergebnis (C, C) begünstigt. Da m = 1, n = 4, dann

Beispiel 6. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte zweistellige Zahl die gleichen Ziffern hat?

Lösung. Zweistellige Zahlen sind Zahlen von 10 bis 99; Insgesamt gibt es 90 solcher Nummern. Gleiche Zahlen haben 9 Zahlen (diese Zahlen sind 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Da in diesem Fall m = 9, n = 90, dann
,
Dabei ist A das Ereignis „Zahl mit identischen Ziffern“.

Beispiel 7. Aus den Buchstaben des Wortes Differential Ein Buchstabe wird zufällig ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Buchstabe a) ein Vokal, b) ein Konsonant, c) ein Buchstabe ist? H?

Lösung. Das Wortdifferential besteht aus 12 Buchstaben, davon sind 5 Vokale und 7 Konsonanten. Briefe H es gibt kein in diesem Wort. Bezeichnen wir die Ereignisse: A – „Vokalbuchstabe“, B – „Konsonantenbuchstabe“, C – „Buchstabe“. H". Die Anzahl der günstigen Elementarergebnisse: - für Ereignis A, - für Ereignis B, - für Ereignis C. Da n = 12, dann
, Und .

Beispiel 8. Es werden zwei Würfel geworfen und die Augenzahl auf der Oberseite jedes Würfels wird notiert. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beide Würfel würfeln selbe Nummer Punkte.

Lösung. Bezeichnen wir dieses Ereignis mit dem Buchstaben A. Ereignis A wird durch 6 elementare Ergebnisse begünstigt: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6 ;6). Die Gesamtzahl der gleichermaßen möglichen Elementarergebnisse, die eine vollständige Gruppe von Ereignissen bilden, in diesem Fall n=6 2 =36. Dies bedeutet, dass die erforderliche Wahrscheinlichkeit

Beispiel 9. Das Buch hat 300 Seiten. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig geöffnete Seite angezeigt wird? Ordnungsnummer, Vielfaches von 5?

Lösung. Aus den Bedingungen des Problems folgt, dass alle gleich möglichen elementaren Ergebnisse, die eine vollständige Gruppe von Ereignissen bilden, n = 300 sein werden. Davon begünstigen m = 60 das Eintreten des angegebenen Ereignisses. Tatsächlich hat eine Zahl, die ein Vielfaches von 5 ist, die Form 5k, wobei k eine natürliche Zahl ist und , woher . Somit,
, wobei A – das „Seite“-Ereignis eine Sequenznummer hat, die ein Vielfaches von 5 ist.

Beispiel 10. Es werden zwei Würfel geworfen und die Summe der Punkte auf den Oberseiten berechnet. Was ist wahrscheinlicher – eine Gesamtpunktzahl von 7 oder 8 zu erreichen?

Lösung. Bezeichnen wir die Ereignisse: A – „7 Punkte werden gewürfelt“, B – „8 Punkte werden gewürfelt“. Ereignis A wird durch 6 elementare Ergebnisse begünstigt: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), und Ereignis B wird begünstigt durch 5 Ergebnisse: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Alle gleichermaßen möglichen Elementarergebnisse sind n = 6 · 2 = 36. Daher gilt: Und .

Es gilt also P(A)>P(B), d. h. das Erreichen von insgesamt 7 Punkten ist ein wahrscheinlicheres Ereignis als das Erreichen von insgesamt 8 Punkten.

Aufgaben

1. Eine natürliche Zahl, die 30 nicht überschreitet, wird zufällig ausgewählt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl ein Vielfaches von 3 ist?
2. In der Urne A Rot und B blaue Kugeln, identisch in Größe und Gewicht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig aus dieser Urne gezogene Kugel blau ist?
3. Es wird zufällig eine Zahl ausgewählt, die 30 nicht überschreitet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl ein Teiler von 30 ist?
4. In der Urne A blau und B rote Kugeln, identisch in Größe und Gewicht. Aus dieser Urne wird eine Kugel entnommen und beiseite gelegt. Es stellte sich heraus, dass dieser Ball rot war. Anschließend wird eine weitere Kugel aus der Urne gezogen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der zweite Ball ebenfalls rot ist.
5. Eine nationale Zahl, die 50 nicht überschreitet, wird zufällig ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl eine Primzahl ist?
6. Drei Würfel werden geworfen und die Summe der Punkte auf den Oberseiten wird berechnet. Was ist wahrscheinlicher – insgesamt 9 oder 10 Punkte zu erreichen?
7. Es werden drei Würfel geworfen und die Summe der gewürfelten Punkte berechnet. Was ist wahrscheinlicher – insgesamt 11 (Event A) oder 12 Punkte (Event B)?

Antworten

1. 1/3. 2 . B/(A+B). 3 . 0,2. 4 . (B-1)/(A+B-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 – Wahrscheinlichkeit, insgesamt 9 Punkte zu erhalten; p 2 = 27/216 – Wahrscheinlichkeit, insgesamt 10 Punkte zu erreichen; p 2 > p 1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

Fragen

1. Wie nennt man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses?
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eines zuverlässigen Ereignisses?
3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses?
4. Wo liegen die Grenzen der Wahrscheinlichkeit eines Zufallsereignisses?
5. Wo liegen die Grenzen der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses?
6. Welche Wahrscheinlichkeitsdefinition wird als klassisch bezeichnet?