Veranstaltungsformular volle Gruppe, wenn mindestens einer von ihnen als Ergebnis des Experiments definitiv auftritt und paarweise inkompatibel ist.

Nehmen wir an, dass das Ereignis A kann nur zusammen mit einem von mehreren paarweise inkompatiblen Ereignissen auftreten, die eine vollständige Gruppe bilden. Wir nennen Ereignisse ( ich= 1, 2,…, N) Hypothesen zusätzliche Erfahrung (a priori). Die Eintrittswahrscheinlichkeit des Ereignisses A wird durch die Formel bestimmt volle Wahrscheinlichkeit :

Beispiel 16. Es gibt drei Urnen. Die erste Urne enthält 5 weiße und 3 schwarze Kugeln, die zweite enthält 4 weiße und 4 schwarze Kugeln und die dritte enthält 8 weiße Kugeln. Eine der Urnen wird zufällig ausgewählt (das könnte zum Beispiel bedeuten, dass die Wahl aus einer Hilfsurne getroffen wird, die drei Kugeln mit den Nummern 1, 2 und 3 enthält). Aus dieser Urne wird zufällig eine Kugel gezogen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es schwarz sein wird?

Lösung. Ereignis A– Die schwarze Kugel wird entfernt. Wenn bekannt wäre, aus welcher Urne die Kugel entnommen wurde, könnte die gewünschte Wahrscheinlichkeit mithilfe der klassischen Wahrscheinlichkeitsdefinition berechnet werden. Lassen Sie uns Annahmen (Hypothesen) darüber aufstellen, welche Urne für die Bergung der Kugel ausgewählt wird.

Die Kugel kann entweder aus der ersten Urne (Vermutung), aus der zweiten (Vermutung) oder aus der dritten (Vermutung) gezogen werden. Da die Chancen, sich für eine der Urnen zu entscheiden, gleich sind .

Es folgt dem

Beispiel 17. Elektrische Lampen werden in drei Fabriken hergestellt. Die erste Anlage produziert 30 % der Gesamtzahl elektrischer Lampen, die zweite 25 %.
und der dritte - der Rest. Die Produkte der ersten Anlage enthalten 1 % defekte elektrische Lampen, die zweite - 1,5 %, die dritte - 2 %. Der Laden erhält Produkte aus allen drei Fabriken. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine im Laden gekaufte Lampe defekt ist?

Lösung. Es müssen Annahmen getroffen werden, in welchem ​​Werk die Glühbirne hergestellt wurde. Wenn wir das wissen, können wir die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass es defekt ist. Lassen Sie uns die Notation für Ereignisse einführen: A– sich herausstellte, dass die gekaufte elektrische Lampe defekt war, – die Lampe im ersten Werk hergestellt wurde, – die Lampe im zweiten Werk hergestellt wurde,
– Die Lampe wurde im dritten Werk hergestellt.

Wir ermitteln die gewünschte Wahrscheinlichkeit mithilfe der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel:

Bayes-Formel. Sei eine vollständige Gruppe paarweise inkompatibler Ereignisse (Hypothesen). A– ein zufälliges Ereignis. Dann,

Die letzte Formel, die es ermöglicht, die Wahrscheinlichkeiten von Hypothesen neu abzuschätzen, nachdem das Ergebnis des Tests bekannt ist, der zu Ereignis A geführt hat, heißt Bayes-Formel .

Beispiel 18. Im Durchschnitt werden 50 % der erkrankten Patienten in ein spezialisiertes Krankenhaus eingeliefert ZU, 30 % – mit Krankheit L, 20 % –
mit Krankheit M. Wahrscheinlichkeit einer vollständigen Heilung der Krankheit K gleich 0,7 für Krankheiten L Und M diese Wahrscheinlichkeiten betragen 0,8 bzw. 0,9. Der ins Krankenhaus eingelieferte Patient wurde gesund entlassen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Patient an der Krankheit litt K.

Lösung. Stellen wir die Hypothesen vor: – Der Patient litt an einer Krankheit ZU L, – der Patient litt an einer Krankheit M.

Dann haben wir entsprechend den Bedingungen des Problems . Lassen Sie uns eine Veranstaltung vorstellen A– Der ins Krankenhaus eingelieferte Patient wurde gesund entlassen. Nach Bedingung

Mit der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel erhalten wir:

Nach der Formel von Bayes.

Beispiel 19. Angenommen, in der Urne befinden sich fünf Kugeln, und alle Vermutungen über die Anzahl der weißen Kugeln sind gleichermaßen möglich. Aus der Urne wird zufällig eine Kugel genommen, die sich als weiß herausstellt. Welche Annahme über die ursprüngliche Zusammensetzung der Urne ist am wahrscheinlichsten?

Lösung. Nehmen wir an, dass sich in der Urne weiße Kugeln befinden d. h. es können sechs Annahmen getroffen werden. Dann haben wir entsprechend den Bedingungen des Problems .

Lassen Sie uns eine Veranstaltung vorstellen A– ein zufällig ausgewählter weißer Ball. Rechnen wir. Da gilt dann nach der Bayes-Formel:

Daher ist die wahrscheinlichste Hypothese, dass .

Beispiel 20. Zwei der drei unabhängig voneinander arbeitenden Elemente des Computergeräts sind ausgefallen. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das erste und das zweite Element ausgefallen sind, wenn die Ausfallwahrscheinlichkeiten des ersten, zweiten und dritten Elements jeweils 0,2 betragen; 0,4 und 0,3.

Lösung. Bezeichnen wir mit A Ereignis – zwei Elemente sind ausgefallen. Folgende Hypothesen können aufgestellt werden:

– Das erste und das zweite Element sind ausgefallen, das dritte Element ist jedoch betriebsbereit. Da die Elemente unabhängig voneinander wirken, gilt der Multiplikationssatz:

Gesamtwahrscheinlichkeitsformel. Bayes-Formeln. Beispiele für Problemlösungen

Wie bekannt, Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A Nennen Sie das Verhältnis der Anzahl m der Testergebnisse, die für das Eintreten des Ereignisses A günstig sind, zur Gesamtzahl n aller gleich möglichen inkompatiblen Ergebnisse: P(A)=m/n.

Außerdem, bedingte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A (die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A, vorausgesetzt, dass Ereignis B eingetreten ist) ist die Zahl P B (A) = P (AB) / P (B), wobei A und B zwei sind Zufällige Ereignisse der gleiche Test.

Da Ereignisse als Summe und als Produkt dargestellt werden können, gibt es sie Regeln zum Addieren von Wahrscheinlichkeiten Ereignisse und dementsprechend Wahrscheinlichkeitsmultiplikationsregeln . Geben wir nun das Konzept der Gesamtwahrscheinlichkeit an.

Nehmen wir an, dass Ereignis A nur zusammen mit einem der paarweise inkompatiblen Ereignisse H1, H2, H3, ..., Hn, sogenannten Hypothesen, auftreten kann. Dann ist Folgendes wahr Gesamtwahrscheinlichkeitsformel :

Р(А) = Р(Н1)*Р Н1 (А)+ Р(Н2)*Р Н2 (А)+…+ Р(Нn)*Р Нn (А) = ∑Р(Н ich) *R N ich(A),

diese. Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A ist gleich der Summe der Produkte der bedingten Wahrscheinlichkeiten dieses Ereignisses für jede der Hypothesen und der Wahrscheinlichkeit der Hypothesen selbst.

Wenn Ereignis A bereits eingetreten ist, können die Wahrscheinlichkeiten der Hypothesen (A-priori-Wahrscheinlichkeiten) überschätzt werden (posteriore Wahrscheinlichkeiten). Bayes-Formeln :

Beispiele zur Lösung von Problemen zum Thema „Formel der Gesamtwahrscheinlichkeit. Bayes-Formeln"

Problem 1 .

Die Baugruppe erhält Teile von drei Maschinen. Es ist bekannt, dass die erste Maschine 3 % der Fehler verursacht, die zweite 2 % und die dritte 4 %. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein fehlerhaftes Teil in die Baugruppe gelangt, wenn 100 Teile von der ersten Maschine, 200 von der zweiten und 250 Teile von der dritten Maschine eintreffen.

Lösung.

• Ereignis A = (ein defektes Teil gelangt in die Baugruppe);
• Hypothese H1 = (dieser Teil stammt von der ersten Maschine), P(H1) = 100/(100+200+250) =100/550=2/11;
• Hypothese H2 = (dieser Teil stammt von der zweiten Maschine), P(H2) = 200/(100+200+250) = 200/550=4/11;
• Hypothese H3 = (dieser Teil stammt von der dritten Maschine), P(H3) = 250/(100+200+250) = 250/550=5/11.

2. Bedingte Wahrscheinlichkeiten dafür, dass das Teil defekt ist, sind P H1 (A) = 3 % = 0,03, P H2 (A) = 2 % = 0,02, P H3 (A) = 4 % = 0,04.

3. Unter Verwendung der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel finden wir
P(A)= P(H1)*P H1 (A)+ P(H2)*P H2 (A)+P(H3)*P H3 (A) = 0,03*2/11 + 0,02* 4/11 + 0,04*5/11 = 34/1100 ≈ 0,03

Problem 2 .

Es gibt zwei identische Urnen. Die erste enthält 2 schwarze und 3 weiße Kugeln, die zweite enthält 2 schwarze und 1 weiße Kugel. Zuerst wird eine Urne zufällig ausgewählt und dann wird zufällig eine Kugel daraus gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die weiße Kugel ausgewählt wird?

Lösung. 1. Betrachten Sie die folgenden Ereignisse und Hypothesen:

• A = (aus einer beliebigen Urne wird eine weiße Kugel gezogen);
• H1 = (die Kugel gehört zur ersten Urne), P(H1) = 1/2 = 0,5;
• H2 = (die Kugel gehört zur zweiten Urne), P(H2) = 1/2 = 0,5;

2. Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass die weiße Kugel zur ersten Urne R H1 (A) = 3/(2+3) = 3/5 gehört, und die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass die weiße Kugel zur zweiten Urne R H2 (A) gehört = 1/( 2+1)=1/3;

3. Unter Verwendung der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel erhalten wir P(A) = P(H1)*P H1 (A)+P(H2)*P H2 (A) = 0,5*3/5 + 0,5*1/3 = 3 /10 + 1/6 = 7/15 ≈ 0,47

Problem 3 .

Der Rohlingsguss stammt aus zwei Beschaffungswerkstätten: aus der ersten Werkstatt – 70 %, aus der zweiten Werkstatt – 30 %. Der Guss aus der ersten Werkstatt weist 10 % Mängel auf, der Guss aus der zweiten - 20 % Mängel. Der zufällig entnommene Rohling erwies sich als fehlerfrei. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es in der ersten Werkstatt hergestellt wird?

Lösung. 1. Betrachten Sie die folgenden Ereignisse und Hypothesen:

• Ereignis A = (leer ohne Fehler);
• Hypothese H1 = (der Rohling wurde von der ersten Werkstatt hergestellt), P(H1) = 70 % = 0,7;
• Hypothese H2 = (der Rohling wurde von der zweiten Werkstatt hergestellt), P(H2) = 30 % = 0,3.

2. Da der Guss der ersten Werkstatt 10 % Mängel aufweist, weisen 90 % der von der ersten Werkstatt hergestellten Rohlinge keine Mängel auf, d. h. R H1 (A) = 0,9.
Der Guss der zweiten Werkstatt weist 20 % Mängel auf, dann weisen 80 % der von der zweiten Werkstatt hergestellten Rohlinge keine Mängel auf, d.h. R H2 (A) = 0,8.

3. Mit der Bayes-Formel finden wir R A (H1)

0,7*0,9/(0,7*0,9+0,3*0,8)= 0,63/0,87≈0,724.

In der Praxis ist es häufig erforderlich, die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses von Interesse zu bestimmen, wobei eines der Ereignisse eine vollständige Gruppe bildet. Der folgende Satz, eine Konsequenz aus den Additions- und Multiplikationssätzen der Wahrscheinlichkeit, führt zur Ableitung einer wichtigen Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit solcher Ereignisse. Diese Formel wird Gesamtwahrscheinlichkeitsformel genannt.

Lassen H 1 , H 2 , … , H n ist Npaarweise inkompatibel Ereignisse, die eine vollständige Gruppe bilden:

1) Alle Ereignisse sind paarweise inkompatibel: Hallo ∩ Hj= ; ich, J= 1,2, … , N; ichJ;

2) ihre Vereinigung bildet den Raum elementarer Ergebnisse W:

Solche Ereignisse werden manchmal aufgerufen Hypothesen. Lass das Ereignis geschehen A, was nur dann eintreten kann, wenn eines der Ereignisse eintritt H ich ( ich = 1, 2, … , N). Dann ist der Satz wahr.

Nachweisen. Tatsächlich durch die Bedingung des Ereignisses A kann auftreten, wenn eines der inkompatiblen Ereignisse eintritt H 1 , H 2 … H n, d.h. Eintreten eines Ereignisses A bedeutet das Eintreten eines der Ereignisse H 1 ∙ A, H 2 ∙ A, … , H n∙ A. Die neuesten Ereignisse sind auch nicht kompatibel, weil... aus H ich∙ H j = ( ich j) es folgt dem ( A ∙ H i) ∙ ( A ∙ H j) = ( ich j). Das merken wir jetzt Diese Gleichheit ist in Abb. gut dargestellt. 1.19. Aus dem Additionssatz folgt . Aber nach dem Multiplikationssatz gilt Gleichheit für alle ich, 1 ≤ ich ≤ N. Daher ist die Gesamtwahrscheinlichkeitsformel (1.14) gültig. Der Satz ist bewiesen. Kommentar. Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen (Hypothesen) H 1 , H 2 , … , H n , die bei der Lösung konkreter Probleme in Formel (1.14) einfließen, werden entweder vorgegeben oder müssen während des Lösungsprozesses berechnet werden. Im letzteren Fall ist die Richtigkeit der Berechnung gewährleistet R(H ich) ( ich = 1, 2, … , N) wird durch die Beziehung = 1 und die Berechnung überprüft R(H i) wird in der ersten Phase der Problemlösung durchgeführt. Im zweiten Schritt wird es berechnet R(A). Bei der Lösung von Problemen mithilfe der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel ist es zweckmäßig, die folgende Technik einzuhalten. Methodik zur Anwendung der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel A). Ein Ereignis in Betracht ziehen (wir bezeichnen es). A), deren Wahrscheinlichkeit anhand der Bedingungen des Problems bestimmt werden muss. B). Berücksichtigen Sie Ereignisse (Hypothesen). H 1 , H 2 , … , H n , die eine vollständige Gruppe bilden. V). Schreiben Sie die Wahrscheinlichkeiten von Hypothesen auf oder berechnen Sie sie R(H 1), R(H 2), … , R(H N). Überprüfung der Richtigkeit der Berechnung R(H i) nach Bedingung geprüft Bei mehr Wahrscheinlichkeitsproblemen R(H i) werden direkt in der Problemstellung angegeben. Manchmal sind dies Wahrscheinlichkeiten sowie Wahrscheinlichkeiten P(A/H 1), P(A/H 2), …, P(A/H n) multipliziert mit 100 (die Zahlen sind in Prozent angegeben). In diesem Fall müssen die angegebenen Zahlen durch 100 geteilt werden. G). Berechnen Sie die erforderliche Wahrscheinlichkeit R(A) nach Formel (1.14). Beispiel. Der Ökonom errechnete, dass die Wahrscheinlichkeit eines Kursanstiegs der Aktien seines Unternehmens in nächstes Jahr 0,75, wenn die Wirtschaft des Landes wächst, und 0,30, wenn es zu einer Finanzkrise kommt. Laut Experten liegt die Wahrscheinlichkeit einer wirtschaftlichen Erholung bei 0,6. Schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Aktienkurs des Unternehmens im nächsten Jahr steigen wird. Lösung. Zu Beginn wird die Problembedingung in Bezug auf die Wahrscheinlichkeit formalisiert. Lassen A– Ereignis „Aktien werden im Preis steigen“ (relativ zum Problem). Je nach Problemstellung werden Hypothesen unterschieden: H 1 – „Die Wirtschaft wird auf dem Vormarsch sein“, H 2 – „Die Wirtschaft wird in eine Krisenphase geraten.“ H 1 , H 2 – eine komplette Gruppe bilden, d.h. H 1 ∙ H 2 = , H 1 + H 2 = . Wahrscheinlichkeit P(H 1) = 0,6, also P(H 2) = 1 – 0,6 = 0,4. Bedingte Wahrscheinlichkeiten P(A/H 1) = 0,75, P(A/H 2) = 0,3. Mit Formel (1.14) erhalten wir: P(A) = P(H 1) ∙ P(A/H 1) + P(H 2) ∙ P(A/H 2) = 0,75 ∙ 0,6 + 0,3 ∙ 0,4 = 0,57.

Gesamtwahrscheinlichkeitsformel.

Eine Konsequenz aus beidem Sätze - Sätze Addition von Wahrscheinlichkeiten und der Satz der Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten ist die sogenannte Gesamtwahrscheinlichkeitsformel.

Es sei notwendig, die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A zu bestimmen, das bei einem der Ereignisse auftreten kann
, die eine vollständige Gruppe inkompatibler Ereignisse bilden. Wir werden diese Ereignisse Hypothesen nennen.

Beweisen wir das in diesem Fall

Die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A wird als Summe der Produkte der Wahrscheinlichkeit jeder Hypothese und der bedingten Wahrscheinlichkeit des Ereignisses berechnet, wenn diese Hypothese verwirklicht wird.

Diese Formel wird Gesamtwahrscheinlichkeitsformel genannt.

Nachweisen

Da die Hypothesen H1, H2..., Hn eine vollständige Gruppe bilden, kann Ereignis A in Kombination mit jeder dieser Hypothesen auftreten

A=AH1+AH2+…+Ahn.

Da die Hypothesen H1, H2,…,Hn inkompatibel sind, sind auch die Kombinationen H1A, H2A,…,HnA inkompatibel; Wenn wir den Additionssatz darauf anwenden, erhalten wir:

Wenn wir den Multiplikationssatz auf das Ereignis HiA anwenden, erhalten wir

Q.E.D.

Es gibt drei identisch aussehende Urnen: Die erste Urne enthält zwei weiße und eine schwarze Kugel; im zweiten gibt es drei weiße und einen schwarzen Ball; im dritten sind zwei weiße und zwei schwarze Kugeln.

Jemand wählt zufällig eine der Urnen aus und nimmt daraus eine Kugel. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass diese Kugel weiß ist.

Betrachten wir drei Hypothesen:

H1-Auswahl der ersten Urne,

H2-Selektion der zweiten Urne,

H3-Wahl der dritten Urne

Und Ereignis A ist das Erscheinen einer weißen Kugel.

Da die Hypothesen entsprechend den Bedingungen des Problems gleichermaßen möglich sind

Die bedingten Wahrscheinlichkeiten von Ereignis A sind unter diesen Hypothesen jeweils gleich

Aufgabe 3.5.

Die Anlage produziert Produkte, von denen jedes mit der Wahrscheinlichkeit p einen Fehler aufweist.

In der Werkstatt gibt es drei Betreuer; wird nur von einem Inspektor berücksichtigt, mit gleicher Wahrscheinlichkeit vom ersten, zweiten oder dritten. Die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler (falls vorhanden) für den i-ten Inspektor zu entdecken, ist gleich Pi (i = 1,2,3). Wenn das Produkt in der Werkstatt nicht abgelehnt wurde, geht es an die Qualitätskontrollabteilung des Werks, wo der Mangel, falls vorhanden, mit der Wahrscheinlichkeit P0 erkannt wird.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt abgelehnt wird.

A – das Produkt wird abgelehnt

B – das Produkt wird in der Werkstatt abgelehnt

C- Das Produkt wird von der Qualitätskontrollabteilung des Werks abgelehnt.

Da die Ereignisse B und C inkompatibel sind und

P(A)=P(B)+P(C)

Wir finden P(B). Damit ein Produkt in der Werkstatt abgelehnt werden kann, muss erstens ein Mangel vorliegen und zweitens muss der Mangel erkannt werden.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Defekt in der Werkstatt entdeckt wird, ist gleich

Wirklich,

Hypothesen formulieren

H1-Defekt vom 1. Prüfer festgestellt

H2-Defekt vom 2. Prüfer festgestellt

H3-Defekt vom 3. Prüfer festgestellt

Von hier

Ebenfalls

Hypothesensatz (Bayes-Formel)

Eine Konsequenz aus dem Multiplikationssatz und der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel ist der sogenannte Hypothesensatz oder Bayes-Formel.

Stellen wir uns das folgende Problem.

Es gibt eine vollständige Gruppe inkompatibler Hypothesen Н1, Н2,…Hn. Die Wahrscheinlichkeiten dieser Hypothesen sind vor dem Experiment bekannt und jeweils gleich Р(Н1), Р(Н2),…, P(Hn). Ein Experiment durchgeführt, wodurch das Eintreten eines Ereignisses A beobachtet wurde. Die Frage ist, wie sich die Wahrscheinlichkeiten von Hypothesen im Zusammenhang mit dem Eintreten dieses Ereignisses ändern sollten?

Hier geht es im Wesentlichen darum, die bedingte Wahrscheinlichkeit P (Hi/A) für jede Hypothese zu ermitteln.

Aus dem Multiplikationssatz ergibt sich:

P(AHi)=P(A)*P(Hi/A)=P(Hi)*H(A/Hi),

Oder entsorgen Sie die linke Seite

P(A)*P(Hi/A)=P(Hi)*P(A/Hi), i=1,2,…,n daher

Oder wenn wir P(A) mit der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel ausdrücken, haben wir

Diese Formel wird Bayes-Formel oder Hypothesensatz genannt.

Das Gerät kann aus hochwertigen Teilen und aus Teilen normaler Qualität zusammengebaut werden; im Allgemeinen werden etwa 40 % der Geräte aus hochwertigen Teilen zusammengebaut. Wenn das Gerät aus hochwertigen Teilen zusammengesetzt ist, beträgt seine Zuverlässigkeit (Wahrscheinlichkeit eines störungsfreien Betriebs) über die Zeit t 0,05; Wenn die Teile von normaler Qualität sind, beträgt die Zuverlässigkeit 0,7. Das Gerät wurde für die Zeit t getestet und funktioniert einwandfrei. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es aus hochwertigen Teilen zusammengebaut ist.

Zwei Hypothesen sind möglich:

Das H1-Gerät ist aus hochwertigen Teilen zusammengesetzt,

Das H2-Gerät wird aus Teilen normaler Qualität zusammengebaut.

Die Wahrscheinlichkeit dieser Hypothesen vor dem Experiment

P(H1)=0,4; P(H2)=0,6.

Als Ergebnis des Experiments wurde Ereignis A beobachtet – das Gerät ist fehlerfrei

Hat für die Zeit t gearbeitet. Bedingte Wahrscheinlichkeiten dieses Ereignisses bei

Die Hypothesen H1 und H2 sind gleich:

P(A/H1) = 0,95; P(A/H2) = 0,7.

Mit der Weiss-Formel ermitteln wir die Wahrscheinlichkeit der Hypothese H1 nach

Kombinatorische Probleme.

In vielen statistische Forschung Es gibt kombinatorische Probleme, deren Einzigartigkeit anhand von Beispielen veranschaulicht werden kann:

Auf wie viele Arten können 10 verschiedene Bücher in einem Regal angeordnet werden?

An dem Turnier nehmen 8 Mannschaften teil. Wie viele unterschiedliche Ideen können zu den ersten drei Plätzen gemacht werden (basierend auf den Wettbewerbsergebnissen)?

Wie viele verschiedene dreibuchstabige Wörter können aus 32 Buchstaben des Alphabets gebildet werden, unabhängig davon, ob die aus Buchstaben zusammengesetzten Wörter einen Sinn ergeben oder nicht?

Auf wie viele Arten können r Elemente aus einer Menge von k (verschiedenen) Elementen ausgewählt werden?

Wie groß ist die Anzahl der unterschiedlichen Ergebnisse beim Werfen zweier Würfel?

Die angegebenen Beispiele zeigen, dass man bei kombinatorischen Problemen grundsätzlich an der Anzahl unterschiedlicher Proben bestimmter Objekte interessiert ist, und zwar je nach Typ zusätzliche Anforderungen, ist es notwendig zu unterscheiden, welche Proben als gleich und welche unterschiedlich angesehen werden.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematische Statistik Sie verwenden hauptsächlich drei Konzepte der Kombinatorik:

Platzierungen

Umordnungen

Kombinationen

Anordnungen von n Elementen um m sind solche Verbindungen, die sich durch die Elemente selbst oder deren Reihenfolge voneinander unterscheiden. Zum Beispiel: Platzierungen von 3 Elementen a, b, c mal 2: ab, ac, bc, ba, ca, cb. Anzahl aller Platzierungen von n verschiedenen Elementen mal m A

Zum Beispiel: Platzierungen von 3 Elementen a, b, c mal 2: ab,ac,bc, ba, ca,cb. Anzahl aller Platzierungen von n verschiedenen Elementen mal m A

Insgesamt m Multiplikatoren

Permutationen von n Elementen sind solche Verbindungen, die sich nur in der Reihenfolge der darin enthaltenen Elemente voneinander unterscheiden. Beispiel: eine Permutation von drei Elemente a,b und c: abc, bca, cab, cba, bac, acb. Anzahl aller Permutationen von n verschiedenen Elementen Pn

Pn= 1*2*3* …*n=n!=An

Auf wie viele Arten können 10 Bücher in einem Regal angeordnet werden?

P10=10!=3628800.

Kombinationen von n Elementen von m werden als ihre Verbindungen bezeichnet und unterscheiden sich voneinander nur durch die Elemente selbst. Zum Beispiel: Kombinationen aus drei Elementen a, b und c, jeweils zwei: ab, ac, bc. Die Anzahl aller Kombinationen von n verschiedenen Elementen durch m wird mit Cn bezeichnet

Wir können aufschreiben

Wiederholte Experimente

Bei praktische Anwendung Die Wahrscheinlichkeitstheorie stößt häufig auf Probleme, bei denen dasselbe Experiment oder ähnliche Experimente wiederholt wiederholt werden. Als Ergebnis jedes Experiments kann ein Ereignis A als Ergebnis einer Reihe von Experimenten auftreten oder auch nicht.

Solche Probleme lassen sich sehr leicht lösen, wenn die Experimente unabhängig sind.

Mehrere Experimente werden als unabhängig bezeichnet, wenn die Wahrscheinlichkeit des einen oder anderen Ergebnisses jedes Experiments nicht davon abhängt, welche Ergebnisse die anderen Experimente hatten. Mehrere aufeinanderfolgende Entnahmen einer Karte aus dem Stapel stellen unabhängige Experimente dar, vorausgesetzt, dass die entfernte Karte jedes Mal wieder in den Stapel zurückgelegt und die Karten gemischt werden; andernfalls abhängige Experimente.

Unabhängige Experimente können unter gleichen oder unterschiedlichen Bedingungen durchgeführt werden.

Allgemeiner Satz zur Wiederholung von Experimenten.

Ein besonderer Satz zur Wiederholung von Experimenten betrifft den Fall, dass die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A in allen Experimenten gleich ist. In der Praxis stoßen wir häufig auf einen komplexeren Fall, wenn Experimente unter unterschiedlichen Bedingungen durchgeführt werden und sich die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses von Experiment zu Experiment ändert. Eine Methode zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit des Auftretens einer bestimmten Anzahl von Ereignissen unter solchen Bedingungen ist der allgemeine Satz über die Wiederholung von Experimenten.

Sei die Anzahl der Experimente u=2, dann die vollständige Gruppe von Ereignissen:

P1P2+P1q2+q1P2+q1q2

Sei die Anzahl der Experimente u=3, dann die vollständige Gruppe von Ereignissen:

P1P2P3+P1P2q3+P1q2P3+q1P2P3+P1q2q3+q1P2q3+q1q2P+q1q2q3

Ebenso ist für die Anzahl der Experimente n die vollständige Gruppe von Ereignissen:

P1P2*…*Pn+P1P2*…*qn+…+q1P2*…*Pn+…+q1*q2*…qn, und in jedem der Produkte erscheint Ereignis A m-mal und Ereignis A n-m-mal. Die Anzahl solcher Kombinationen ist immer noch

oder kürzer

wobei z ein beliebiger Parameter ist.

Die Funktion jn(z), deren Potenzentwicklung des Parameters z pm,n als Wahrscheinlichkeitskoeffizienten ergibt, wird erzeugende Wahrscheinlichkeitsfunktion pm,n oder einfach erzeugende Funktion genannt.

Mit dem Konzept der erzeugenden Funktionen können wir einen allgemeinen Satz zur Wiederholung von Experimenten in folgender Form formulieren:

Die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A in n unabhängigen Experimenten genau m-mal auftritt, ist gleich dem Koeffizienten von zm im Ausdruck der erzeugenden Funktion

jn(z)=(qi+piz) wobei pi die Eintrittswahrscheinlichkeit des Ereignisses A im i-ten Experiment ist

Die obige Formulierung des allgemeinen Satzes zur Wiederholung von Experimenten liefert im Gegensatz zum besonderen Satz keinen expliziten Ausdruck für die Wahrscheinlichkeit pm,n.

Im Prinzip kann ein solcher Ausdruck geschrieben werden, aber er ist zu komplex und wir werden ihn nicht angeben.

Ohne auf einen solchen expliziten Ausdruck zurückzugreifen, ist es jedoch immer noch möglich, den allgemeinen Satz über die Wiederholung von Experimenten in Form einer einzigen Formel niederzuschreiben

Zufallswert.

Einer der wichtigsten Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie ist der Begriff einer Zufallsvariablen.

Eine Zufallsvariable ist eine Größe, die als Ergebnis eines Experiments den einen oder anderen Wert annehmen kann und dessen Namen nicht im Voraus bekannt ist.

Beispiele für Zufallsvariablen:

Die Anzahl der pro Tag bei der Telefonzentrale eingegangenen Anrufe;

Anzahl der im Entbindungsheim geborenen Jungen pro Monat;

Anzahl der im Entbindungsheim geborenen Mädchen pro Monat;

In allen drei Beispielen können die Zufallsvariablen einzelne, isolierte Werte annehmen, die vorab aufgezählt werden können.

In Beispiel 1;

Solche Zufallsvariablen, die nur voneinander getrennte Einzelwerte annehmen, nennt man diskrete Variablen.

Es gibt andere Arten von Zufallsvariablen.

Zum Beispiel Lufttemperatur, Luftfeuchtigkeit, Spannung im Stromnetz.

Verteilungsfunktion.

Verteilungsreihe, Verteilungspolygon nicht

sind universelle Eigenschaften zufällige Variable: Sie existieren nur für diskrete Zufallsvariablen. Es ist leicht zu erkennen, dass ein solches Merkmal nicht für eine kontinuierliche Zufallsvariable konstruiert werden kann. Tatsächlich hat eine kontinuierliche Zufallsvariable unendlich viele mögliche Werte, ???? ein bestimmtes Intervall einnehmen (die sogenannte „unzählbare Menge“). Es ist unmöglich, eine Tabelle zu erstellen, die alle möglichen Werte einer solchen Zufallsvariablen auflistet. Folglich gibt es für eine kontinuierliche Zufallsvariable keine Verteilungsreihe in dem Sinne, wie sie für eine diskontinuierliche Variable existiert. Allerdings sind verschiedene Bereiche möglicher Werte einer Zufallsvariablen immer noch nicht gleich wahrscheinlich, und für eine kontinuierliche Variable gibt es eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, allerdings nicht im gleichen Sinne wie für eine diskontinuierliche (oder diskrete) Variable.

Um diese Wahrscheinlichkeitsverteilung quantitativ zu charakterisieren, ist es zweckmäßig, nicht die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses x=x, sondern die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses x zu verwenden

Die Verteilungsfunktion F(x) wird manchmal auch Summenverteilungsfunktion oder Summenverteilungsgesetz genannt.

Die Verteilungsfunktion ist ein universelles Merkmal einer Zufallsvariablen. Sie existiert für alle Zufallsvariablen: sowohl diskrete als auch kontinuierliche. Verteilungsfunktion

Charakterisiert eine Zufallsvariable vollständig aus wahrscheinlicher Sicht, d. h. ist eine der Vertriebsformen.

Lassen Sie uns einige allgemeine Eigenschaften der Verteilungsfunktion formulieren:

Die Verteilungsfunktion F(x) ist eine nicht abnehmende Funktion ihres Arguments, d.h. für x2>x1 F(x2)>F(x1).

Bei minus unendlich ist die Verteilungsfunktion Null

3. Bei plus unendlich ist die Verteilungsfunktion gleich 1.

Eine typische Verteilungsfunktion einer kontinuierlichen Zufallsvariablen hat die Form

Wahrscheinlichkeit, eine Zufallsvariable für einen bestimmten Bereich zu lesen.

Bei der Lösung praktischer Probleme mit Zufallsvariablen ist es häufig erforderlich, die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass die Zufallsvariable einen innerhalb bestimmter Grenzen liegenden Wert annimmt, beispielsweise von a nach b.

Der Eindeutigkeit halber vereinbaren wir, das linke Ende von a in Abschnitt (a,b) einzubeziehen und das rechte Ende nicht einzubeziehen. Dann entspricht das Auftreten einer Zufallsvariablen x in Abschnitt (a,b) der folgenden Ungleichung :

Lassen Sie uns die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses durch die Verteilungsfunktion des Werts x ausdrücken. Betrachten Sie dazu drei Ereignisse:

Ereignis A, das darin besteht, dass C

Ereignis B, das darin besteht, dass C

Ereignis C, bestehend aus der Tatsache, dass a

Wenn man bedenkt, dass A=B+C, gilt nach dem Satz der Addition von Wahrscheinlichkeiten

R(C

F(b)=F(a)+R(a£C

P(a £ C

Diese. die Wahrscheinlichkeit, an einem gegebenen Grenzwert eine Zufallsvariable anzugeben, ist gleich dem Inkrement der Verteilungsfunktion in diesem Bereich.

Verteilungsdichte.

Es gebe eine stetige Zufallsvariable x mit einer Verteilungsfunktion F(x), die wir als stetig und differenzierbar vorschlagen.

Berechnen wir die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Wert auf die Fläche von x bis x+DC fällt:

R(C£C

d.h. das Inkrement der Funktion in diesem Bereich. Betrachten wir das Verhältnis dieser Wahrscheinlichkeit zur Länge des Abschnitts, d.h. die durchschnittliche Wahrscheinlichkeit pro Längeneinheit in diesem Abschnitt, und wir werden DC näher an 0 bringen. Im Gang werden wir die Ableitung der Verteilungsfunktion erhalten.

Lassen Sie uns die Notation einführen:

Die Funktion f(x) – die Ableitung der Verteilungsfunktion – charakterisiert sozusagen die Dichte, mit der die Werte einer Zufallsvariablen an einem gegebenen Punkt verteilt sind. Diese Funktion wird Verteilungsdichte genannt

(auch bekannt als „Wahrscheinlichkeitsdichte“) einer kontinuierlichen Zufallsvariablen X. Manchmal wird die Funktion f (x) als „Differentialverteilungsfunktion“ oder „Differentialverteilungsgesetz“ der Variablen X bezeichnet.

Eine Kurve, die die Verteilungsdichte einer Zufallsvariablen darstellt, wird Verteilungskurve genannt.

Die Verteilungsdichte stellt wie die Verteilungsfunktion eine Form des Verteilungsgesetzes dar. Im Gegensatz zur Verteilungsfunktion ist diese Form universell: Sie existiert nur für stetige Zufallsvariablen.

Betrachten wir einen kontinuierlichen Wert X mit der Verteilungsdichte f (x) und einem Elementarabschnitt DX,

neben Punkt X.

Die Wahrscheinlichkeit, auf diesem Elementarabschnitt eine Zufallsvariable X zu finden (mit einer Genauigkeit bis zu Infinitesimalen höherer Ordnung), ist gleich f (x)dx. Die Größe f (x)dx wird als Wahrscheinlichkeitselement bezeichnet. Geometrisch gesehen ist dies die Fläche eines Elementarrechtecks, das auf der Strecke dx ruht.

Lassen Sie uns die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert X auf das Segment von a nach b fällt, durch die Verteilungsdichte ausdrücken:

Offensichtlich ist es gleich der Summe der Wahrscheinlichkeitselemente in diesem gesamten Abschnitt, also dem Integral:

Geometrisch gesehen ist die Wahrscheinlichkeit, den Wert X in den Abschnitt (a, b) einzutragen, gleich der Fläche der auf diesem Abschnitt basierenden Verteilungskurve.

drückt die Verteilungsdichte durch die Verteilungsfunktion aus. Stellen wir uns das umgekehrte Problem: Drücken Sie die Verteilungsfunktion durch die Dichte aus. Per Definition

F(x)=P(X

Daraus ergibt sich nach Formel (3):

F(x)=

Geometrisch gesehen ist F(x) nichts anderes als die Fläche der Verteilungskurve, die links vom Punkt liegt: X

Lassen Sie uns die Haupteigenschaften der Verteilungsdichte angeben:

1. Die Verteilungsdichte ist eine nicht negative Funktion

Diese Eigenschaft ergibt sich direkt aus der Tatsache, dass die Verteilungsfunktion F(x) eine nicht abnehmende Funktion ist.

2. Das Integral über unendliche Grenzen der Verteilungsdichte ist gleich 1

Dies folgt aus der Tatsache, dass F(+¥)=1

Geometrisch bedeuten die Grundeigenschaften der Verteilungsdichte:

1. Die gesamte Verteilungskurve liegt nicht unterhalb der x-Achse.

2. Die durch die Verteilungskurve und die x-Achse begrenzte Gesamtfläche ist gleich 1.

NUMERISCHE EIGENSCHAFTEN ZUFÄLLIGER VARIABLEN. IHRE ROLLE UND ZWECK.

Wir haben eine Reihe vollständiger Merkmale von Zufallsvariablen kennengelernt – die sogenannten Verteilungsgesetze. Diese Merkmale waren:

Für eine diskrete Zufallsvariable

a) Verteilungsfunktion;

b) Verteilungsreihe (grafisch – Verteilungskurve).

Jedes Verteilungsgesetz stellt eine bestimmte Funktion dar, und die Angabe dieser Funktion ist vollständig

Beschreibt eine Zufallsvariable aus probabilistischer Sicht.

Bei vielen praktischen Fragestellungen besteht jedoch keine Notwendigkeit, eine Zufallsvariable anhand der Dichte erschöpfend zu charakterisieren.

Oft reicht es aus, nur einzelne numerische Parameter anzugeben, die die wesentlichen Merkmale der Verteilung einigermaßen charakterisieren

Teewert: zum Beispiel ein Durchschnittswert, um den herum die möglichen Werte einer Zufallsvariablen gruppiert werden; eine Zahl, die den Grad der Streuung dieser Werte relativ zum Durchschnitt usw. charakterisiert.

Mithilfe solcher Merkmale können wir alle wesentlichen Informationen über eine Zufallsvariable, die wir haben, auf kompakteste Weise mithilfe numerischer Parameter ausdrücken. Diese Parameter, die die wichtigsten Merkmale der Verteilung in einer komprimierten numerischen Form ausdrücken, werden als numerische Merkmale von bezeichnet eine Zufallsvariable.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie und der mathematischen Statistik werden eine Vielzahl verschiedener numerischer Merkmale verwendet, die unterschiedliche Zwecke und unterschiedliche Anwendungsbereiche haben, aber alle in zwei Klassen unterteilt werden:

1. Positionsmerkmale.

2. Streueigenschaften.

Positionsmerkmale.

Erwarteter Wert. Median. Mode. Startmoment.

Unter den numerischen Merkmalen von Zufallsvariablen sind zunächst diejenigen zu erwähnen, die die Positionen der Zufallsvariablen auf der Zahlenachse charakterisieren, d.h. e. Sie geben einen durchschnittlichen, ungefähren Wert an, um den herum alle möglichen Werte der Zufallsvariablen gruppiert sind.

Von den Merkmalen einer Position in der Wahrscheinlichkeitstheorie spielt der mathematische Erwartungswert einer Zufallsvariablen die wichtigste Rolle, der manchmal als Durchschnittswert einer Zufallsvariablen bezeichnet wird.

Betrachten wir eine zufällige diskrete Variable X mit möglichen Werten X1,X2,…Xn mit Wahrscheinlichkeiten P1, P2,…Pn.

Wir müssen die Position der Werte einer Zufallsvariablen auf der Abszissenachse mit einer Zahl charakterisieren. Zu diesem Zweck ist es naheliegend, den sogenannten „gewichteten Durchschnitt“ der Werte von Xi zu verwenden, wobei jeder Wert von Xi bei ?????????? muss mit einem „Gewicht“ berücksichtigt werden, das proportional zur Wahrscheinlichkeit dieses Wertes ist. Das. Wir berechnen den Durchschnittswert der Zufallsvariablen x, den wir mit M[x] bezeichnen.

Oder wenn man darüber nachdenkt

Dieser gewichtete Durchschnitt wird als mathematischer Erwartungswert der Zufallsvariablen bezeichnet.

Der mathematische Erwartungswert einer Zufallsvariablen ist die Summe der Produkte aller möglichen Werte von c. V. über die Wahrscheinlichkeit dieser Werte.

Beachten Sie, dass in der obigen Formulierung die Definition des mathematischen Erwartungswerts nur für diskrete Zufallsvariablen gilt.

Für einen kontinuierlichen Wert x wird der mathematische Erwartungswert natürlich nicht als Summe, sondern als Integral ausgedrückt:

Wobei f(x) die Verteilungsdichte der Zufallsvariablen X ist.

F(x)dx-Wahrscheinlichkeitselement.

Neben dem wichtigsten Positionsmerkmal – dem mathematischen Erwartungswert – werden in der Praxis manchmal auch andere Positionsmerkmale verwendet, insbesondere der Modus und der Median

Der Modus einer Zufallsvariablen ist ihr wahrscheinlichster Wert; streng genommen wenden wir x nur auf diskrete Variablen an

Bei einer kontinuierlichen Zufallsvariablen ist der Modus der Wert, bei dem die Wahrscheinlichkeitsdichte maximal ist

Median s. V. X heißt sein Wert Me, d. h. es ist gleich wahrscheinlich, ob die Zufallsvariable kleiner oder größer als Me ist

Geometrisch gesehen ist der Median die Abszisse des Punktes, an dem die durch die Verteilungskurve begrenzte Fläche in Teile geteilt wird.

‘ PDer Verteilungsfunktionsgraph sieht so aus

Aufgabe 5.50

An der Kreuzung gibt es eine automatische Ampel, an der

Das grüne Licht leuchtet 1 Minute lang und das rote Licht leuchtet 0,5 Minuten lang, dann leuchtet das grüne Licht 1 Minute lang, das rote Licht leuchtet 0,5 Minuten lang usw.

Jemand nähert sich in einem zufälligen Moment, der nichts mit der Arbeit zu tun hat, mit einem Auto einer Kreuzung

Ampel

a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er die Kreuzung passieren wird, ohne anzuhalten

b) Finden Sie die durchschnittliche Wartezeit an der Kreuzung

Der Moment, in dem ein Auto die Kreuzung passiert, wird gleichmäßig auf ein Intervall verteilt, das gleich ist

Die Zeit des Farbwechsels an Ampeln

Dieser Zeitraum beträgt 1+0,5=1,5 Minuten

Damit ein Auto eine Kreuzung passieren kann, ohne anzuhalten, reicht es aus

Der Moment des Passierens der Kreuzung erfolgte im Zeitintervall (0,1)

Für einen Zufallswert gilt das Gesetz der konstanten Dichte im Intervall (0,1,5)

Die Wahrscheinlichkeit, dass es auf das Intervall (0,1) fällt, ist gleich: Wartezeit ist eine gemischte Zufallsvariable, mit Wahrscheinlichkeit ist sie gleich 0, und mit Wahrscheinlichkeit nimmt sie bei gleicher Wahrscheinlichkeitsdichte jeden Wert zwischen 0 und 0,5 Minuten an

Durchschnittliche Wartezeit an einer Kreuzung

Poisson-Verteilungsgesetz

Bei vielen praktischen Problemen muss man sich mit Zufallsvariablen befassen, die nach einem besonderen Gesetz namens Poissons Gesetz verteilt sind. Lassen Sie uns überlegen

Eine diskrete Größe, die nur nichtnegative ganzzahlige Werte annehmen kann

0,1,2,..., m,...,

und die Reihenfolge dieser Werte ist praktisch unbegrenzt.

Eine Zufallsvariable X heißt nach dem Poison-Gesetz verteilt, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass

Es werden bestimmte Werte m angenommen, die durch die Formel ausgedrückt werden

Dabei ist a ein positiver Wert, der Poisson-Parameter genannt wird. Die Verteilungsreihe der Zufallsvariablen X, verteilt nach dem Poisson-Gesetz, hat die Form;

Xm				...	M	...
Uhr

Die Varianz des X-Werts ist gleich

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable, die dem Normalgesetz unterliegt, in einen bestimmten Bereich fällt.

Bei vielen Problemen im Zusammenhang mit normalverteilten Zufallsvariablen ist es notwendig, die Wahrscheinlichkeit des Auftretens einer Zufallsvariablen X zu bestimmen, die einem Normalgesetz mit Parametern unterliegt

m, s, auf den Bereich von a nach b.

Um diese Wahrscheinlichkeit zu berechnen, verwenden wir die allgemeine Formel.

R(a< C< b) = F(b) – F(a) (1)

wobei F(b) die Verteilungsfunktion des X-Werts am Punkt b ist

F(a)-Funktion der Verteilung des Wertes X am Punkt a

Finden wir die Verteilungsfunktion F(x) einer nach dem Normalgesetz verteilten Zufallsvariablen mit den Parametern m, s. Dichte

Verteilung des Wertes X ist gleich:

Von hier aus finden wir die Verteilungsfunktion:

Nehmen wir eine Variablenänderung im Integral vor:

Und lassen Sie es uns in dieser Form ausdrücken:

Dieses Integral wird nicht durch Elementarfunktionen ausgedrückt, sondern durch sie

Tabellen wurden zusammengestellt.

Die tabellarische Verteilungsfunktion (die sogenannte Wahrscheinlichkeitsintegraltabelle) wird bezeichnet durch:

Es ist leicht zu erkennen, dass diese Funktion nichts anderes als eine Verteilungsfunktion für einen normalverteilten Zufall ist

Größen mit Parametern m=0; s=1

Die Verteilungsfunktion Ф*(х) wird auch Normalverteilungsfunktion genannt.

Lassen Sie uns die Verteilungsfunktion des Wertes X mit den Parametern m, s durch die Normalverteilungsfunktion ausdrücken:

Lassen Sie uns nun die Wahrscheinlichkeit ermitteln, mit der eine Zufallsvariable X auf den Abschnitt von a nach b fällt.

Nach Formel (1):

Somit drücken wir die Wahrscheinlichkeit aus, den Bereich von a bis zu treffen

B einer Zufallsvariablen, die nach dem Normalverteilungsgesetz mit beliebigen Parametern über die Standardverteilungsfunktion Ф*(x) verteilt ist und dem Normalverteilungsgesetz mit den Parametern m=0 und s=1 entspricht. Beachten Sie, dass die Argumente der Funktion Ф* in der letzten Formel eine einfache Bedeutung haben:

Es gibt einen Abstand vom rechten Ende von Abschnitt b zum Streuzentrum, ausgedrückt in Standardabweichungen;

Für das linke Ende des Abschnitts gilt der gleiche Abstand. Der Abstand gilt als positiv, wenn sich das Ende rechts vom Streuzentrum befindet, und als negativ, wenn es links liegt.

Wie jede Verteilungsfunktion hat die Funktion Ф*(х) die folgenden Eigenschaften:

3.Ф*(х) – nicht abnehmende Funktion.

Darüber hinaus folgt dies aus der Symmetrie der Normalverteilung mit den Parametern m=0 und s=1 relativ zum Ursprung

4.Ф*(-х)=1-Ф*(х).

Betrachten Sie das folgende Beispiel.

Eine nach einem Normalgesetz verteilte Zufallsvariable X repräsentiert den Fehler bei der Messung einer bestimmten Entfernung.

Bei der Messung ist ein systematischer Fehler in Richtung Überschätzung um 1,2 (m) zulässig; Die Standardabweichung des Messfehlers beträgt 0,8(m).

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Abweichung des gemessenen Werts vom wahren Wert im absoluten Wert 1,6(m) nicht überschreitet.

Der Messfehler ist eine Zufallsvariable X, die dem Normalgesetz mit den Parametern m=12, s=0,8 unterliegt.

Wir müssen die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass diese Menge auf die Fläche fällt

a=--1, b bis b= +1,6.

Nach der Formel haben wir:

Unter Verwendung der Funktionstabellen Ф*(0,5)=0,6915 und Ф*(-3,5)=0,0002

P(-1,6<х<1,6)=0,6915-0,0002=0,6913

Aufgabe 5.48.

Der Auswurf von Kugeln für Lager erfolgt wie folgt:

Passiert die Kugel kein Loch mit dem Durchmesser d2>d1, gilt ihre Größe als akzeptabel. Wenn eine dieser Bedingungen nicht erfüllt ist, wird der Ball zurückgewiesen. Es ist bekannt, dass der Durchmesser der Kugel D eine normalverteilte Zufallsvariable mit den Eigenschaften ist

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit q, dass der Ball zurückgeworfen wird.

q= 1- p(d1< d < d2);

Es ist bekannt, dass die Größe D einer Kugel für ein Lager eine nach dem Normalgesetz verteilte Zufallsvariable ist. Der Ball wird auf die gleiche Weise zurückgewiesen, wie in der vorherigen Aufgabe angegeben. Es ist bekannt, dass die durchschnittliche Größe des Balls gleich ist

Und Fehler machen 10 % der Gesamtleistung aus. Bestimmen Sie die Standardabweichung des Kugeldurchmessers sd.

Ähnlich wie beim vorherigen Problem ist die Wahrscheinlichkeit einer Heirat

Wo

Aufgabe 5-54

Die Zufallsvariable x unterliegt dem Normalgesetz mit dem mathematischen Wert mx = 0. Die Wahrscheinlichkeit, diese Zufallsvariable in den Abschnitten von -1 bis 1 zu lesen, beträgt 0,5.

Finden Sie die Standardabweichung und schreiben Sie den Normalgesetzausdruck

Woher kommt die Verteilungsparität?

Zeichnen wir die Verteilungsparitätsfunktion

X	-5	-4	-3	-2	-1
	-5,68	-3,64	-2,05	-0,91	-0,22		-0,22	-0,91	-2,05	-3,64	-5,68
	0,003	0,026	0,129	0,403	0,803		0,803	0,403	0,129	0,026	0,003
	0,001	0,01	0,03	0,11	0,22	0,3	0,22	0,11	0,03	0,01	0,001

Hier sollte es eine Grafik geben

Aufgabe 5-58.

Es gibt eine Zufallsvariable x, die dem Normalgesetz e durch den mathematischen Erwartungswert mx und durch die Standardabweichung Sigma von x unterliegt. Erforderlich ca

Ersetzen Sie das Normalgesetz durch das Gesetz der konstanten Dichte im Intervall Alpha, Beta; Die Grenzen Alpha und Beta sollten so gewählt werden, dass die Hauptmerkmale der Zufallsvariablen x unverändert bleiben: mathematischer Erwartungswert und Streuung.

-2 -1 -5,68 -3,64 -2,05 -0,91 -0,22 -0,22 -0,91 -2,05 -3,64 -5,68 0,0033 0,0262 0,1287 0,4025 0,8025 0,8025 0,4025 0,1287 0,0262 0,033 0,001 0,01 0,03 0,11 0,22 0,270 0,22 0,11 0,03 0,01 0,001

Option 2

Die Zufallsvariable X unterliegt dem Normalgesetz mit dem mathematischen Erwartungswert Mx=6. Die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zufallsvariable in den Bereich von 4 bis 8 fällt, beträgt 0,6. Finden Sie die Standardabweichung und schreiben Sie den Ausdruck für das Normalgesetz. Erstellen Sie ein Verteilungsdichtediagramm.

Woher kommt die Verteilungsdichte?

Lassen Sie uns die Verteilungsdichte grafisch darstellen.

X	-1
	-4,36	-3,04	-2,20	-1,35	-0,76	-0,34	-0,08		-0,08	-0,34	-0,76	-1,35	-2,20	-3,04	-4,36

REGEL DER DREI s

Der Normalwert X sei nach dem Normalgesetz mit den Parametern M und s verteilt. Wir werden zeigen, dass es mit einer Genauigkeit von 03 % dazu kommt, dass eine dem Gesetz unterliegende Größe mögliche Werte annimmt, die nicht um ± 3 s vom Streuzentrum abweichen.

Wir wollen etwas finden

Wird 0003 nicht überschreiten

Die 3er-Regel ist in der Statistik sehr wichtig.

Eine der häufigsten 3er-Regeln ist das Screening-Experiment. In einem Screening-Experiment werden Ausreißer herausgefiltert.

Hauptprobleme der mathematischen Statistik

Zusammengestellt vom Lehrer der Abteilung für höhere Mathematik Ishchanov T.R. Lektion Nr. 4. Gesamtwahrscheinlichkeitsformel. Wahrscheinlichkeit von Hypothesen. Bayes-Formeln.

Theoretisches Material
Gesamtwahrscheinlichkeitsformel
Satz. Die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A, die nur eintreten kann, wenn eines der inkompatiblen Ereignisse, die eine vollständige Gruppe bilden, eintritt, ist gleich der Summe der Produkte der Wahrscheinlichkeiten jedes dieser Ereignisse mit der entsprechenden bedingten Wahrscheinlichkeit von Ereignis A:

.
Diese Formel wird „Gesamtwahrscheinlichkeitsformel“ genannt.

Nachweisen. Gemäß der Bedingung kann Ereignis A eintreten, wenn eines der inkompatiblen Ereignisse eintritt. Mit anderen Worten bedeutet das Eintreten von Ereignis A das Eintreten eines der inkompatiblen Ereignisse, egal welches. Unter Verwendung des Additionssatzes zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit von Ereignis A erhalten wir:
. (*)
Es bleibt noch, jeden der Terme zu berechnen. Nach dem Satz der Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten abhängiger Ereignisse haben wir
.
Wenn wir die rechten Seiten dieser Gleichungen in die Beziehung (*) einsetzen, erhalten wir die Formel für die Gesamtwahrscheinlichkeit

Beispiel 1. Es gibt zwei Teilesätze. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Teil des ersten Satzes Standard ist, beträgt 0,8 und der zweite 0,9. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Teil (aus einer zufällig ausgewählten Menge) dem Standard entspricht.
Lösung. Bezeichnen wir mit A das Ereignis „Der extrahierte Teil ist Standard“.
Der Teil kann entweder aus dem ersten Satz (Ereignis) oder aus dem zweiten (Ereignis) abgerufen werden.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teil aus der ersten Menge entnommen wird, beträgt .
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teil aus der zweiten Menge entnommen wird, beträgt .
Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass ein Standardteil aus dem ersten Satz gezogen wird, beträgt .
Bedingte Wahrscheinlichkeit, dass ein Standardteil aus dem zweiten Satz gezogen wird .
Die erforderliche Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig extrahierter Teil ein Standardteil ist, ist gemäß der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel gleich

Beispiel 2. Die erste Box enthält 20 Radioröhren, davon 18 Standardröhren; In der zweiten Box befinden sich 10 Lampen, davon 9 Standardlampen. Aus der zweiten Kiste wird zufällig eine Lampe genommen und in die erste gelegt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig aus der ersten Box gezogene Lampe eine Standardlampe ist.
Lösung. Bezeichnen wir mit A das Ereignis „Eine Stehlampe wird aus der ersten Kiste entfernt.“
Aus der zweiten Box könnte entweder eine Standardlampe (Ereignis) oder eine Nicht-Standardlampe (Ereignis) entnommen werden.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Stehlampe aus der zweiten Box entnommen wird, beträgt .
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine nicht standardmäßige Lampe aus der zweiten Box entfernt wurde, beträgt
Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass eine Standardlampe aus der ersten Box entfernt wird, vorausgesetzt, dass eine Standardlampe von der zweiten Box in die erste übertragen wurde, ist gleich .
Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass eine Standardlampe aus der ersten Box entfernt wird, vorausgesetzt, dass eine Nicht-Standardlampe von der zweiten Box in die erste übertragen wurde, ist gleich .
Die erforderliche Wahrscheinlichkeit, dass eine Standardlampe aus der ersten Box entfernt wird, ist gemäß der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel gleich

Wahrscheinlichkeit von Hypothesen. Bayes-Formeln

Angenommen, Ereignis A kann eintreten, sofern eines der inkompatiblen Ereignisse eintritt, die eine vollständige Gruppe bilden. Da nicht im Voraus bekannt ist, welches dieser Ereignisse eintreten wird, spricht man von Hypothesen. Die Eintrittswahrscheinlichkeit von Ereignis A wird durch die Gesamtwahrscheinlichkeitsformel bestimmt:

Nehmen wir an, dass ein Test durchgeführt wurde, bei dem Ereignis A eingetreten ist. Stellen wir uns die Aufgabe, festzustellen, wie sich die Wahrscheinlichkeiten der Hypothesen verändert haben (aufgrund der Tatsache, dass Ereignis A bereits eingetreten ist). Mit anderen Worten, wir werden nach bedingten Wahrscheinlichkeiten suchen

Lassen Sie uns zunächst die bedingte Wahrscheinlichkeit ermitteln. Nach dem Multiplikationssatz haben wir

.

Wenn wir P(A) hier durch die Formel (*) ersetzen, erhalten wir

Ebenso werden Formeln abgeleitet, die die bedingten Wahrscheinlichkeiten der verbleibenden Hypothesen bestimmen, d. h. die bedingte Wahrscheinlichkeit jeder Hypothese kann mithilfe der Formel berechnet werden

Die resultierenden Formeln werden aufgerufen Bayes-Formeln(benannt nach dem englischen Mathematiker, der sie abgeleitet hat; veröffentlicht 1764). Mit den Formeln von Bayes können wir die Wahrscheinlichkeiten von Hypothesen neu schätzen, nachdem das Ergebnis des Tests bekannt geworden ist, der zu Ereignis A geführt hat.

Beispiel. Von der Werkswerkstatt hergestellte Teile werden an einen von zwei Prüfern geschickt, um ihre Standardität zu überprüfen. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Teil beim ersten Prüfer ankommt, beträgt 0,6 und beim zweiten 0,4. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein passendes Teil vom ersten Prüfer als Standard erkannt wird, beträgt 0,94 und vom zweiten 0,98. Bei der Inspektion wurde festgestellt, dass das gültige Teil dem Standard entspricht. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Prüfer dieses Teil überprüft hat.
Lösung. Mit A bezeichnen wir den Fall, dass ein passendes Teil als Standard erkannt wird. Es können zwei Annahmen getroffen werden:
1) das Teil wurde vom ersten Prüfer geprüft (Hypothese);
2) Das Teil wurde vom zweiten Prüfer geprüft (Hypothese). Die gewünschte Wahrscheinlichkeit, dass das Teil vom ersten Prüfer geprüft wurde, ermitteln wir mithilfe der Bayes-Formel:

Entsprechend den Bedingungen des Problems haben wir:
(Wahrscheinlichkeit, dass das Teil den ersten Prüfer erreicht);
(Wahrscheinlichkeit, dass das Teil den zweiten Prüfer erreicht);
(die Wahrscheinlichkeit, dass ein passendes Teil vom Erstprüfer als Standard erkannt wird);
(die Wahrscheinlichkeit, dass ein passendes Teil vom zweiten Prüfer als Standard erkannt wird).
Erforderliche Wahrscheinlichkeit

Wie Sie sehen können, betrug die Wahrscheinlichkeit der Hypothese vor dem Test 0,6; nachdem das Testergebnis bekannt wurde, änderte sich die Wahrscheinlichkeit dieser Hypothese (genauer gesagt die bedingte Wahrscheinlichkeit) und betrug 0,59. Somit ermöglichte die Verwendung der Bayes-Formel eine Überschätzung der Wahrscheinlichkeit der betrachteten Hypothese.

Praktisches Material.
1. (4) Der Monteur erhielt 3 Kisten mit Teilen, die von Werk Nr. 1 hergestellt wurden, und 2 Kisten mit Teilen, die von Werk Nr. 2 hergestellt wurden. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teil aus Werk Nr. 1 Standard ist, beträgt 0,8 und das aus Werk Nr. 2 0,9 beträgt, hat Assembler das Teil zufällig aus einer zufällig ausgewählten Box entnommen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Standardteil entfernt wird.
Rep. 0,84.
2. (5) Die erste Box enthält 20 Teile, davon 15 Standardteile; im zweiten gibt es 30 Teile, davon 24 Standardteile; im dritten gibt es 10 Teile, davon 6 Standardteile. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig aus einer zufällig entnommenen Kiste entnommenes Teil dem Standard entspricht.
Rep. 43/60.
3. (6) Im Fernsehstudio gibt es 4 Bildröhren. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Bildröhre die Garantiedauer übersteht, beträgt jeweils 0,8; 0,85; 0,9; 0,95. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig entnommene Bildröhre die Garantiezeit übersteht.
Rep. 0,875.
4. (3) Die Athletengruppe besteht aus 20 Skifahrern, 6 Radfahrern und 4 Läufern. Die Wahrscheinlichkeit, den Qualifikationsstandard zu erfüllen, ist wie folgt: für einen Skifahrer - 0,9, für einen Radfahrer - 0,8. und für den Läufer - 0,75. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Athlet die Norm erfüllt.
Rep. 0,86.
5. (C) In einer weißen Schachtel befinden sich 12 rote und 6 blaue Kugeln. In Schwarz sind es 15 rote und 10 blaue Kugeln. Einen Würfel werfen. Ist die Punktezahl ein Vielfaches von 3, wird zufällig eine Kugel aus dem weißen Feld genommen. Wird eine andere Punktzahl gewürfelt, wird eine Kugel zufällig aus der schwarzen Box genommen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein roter Ball erscheint?
Lösung:
Zwei Hypothesen sind möglich:
– Beim Würfeln erscheint die Anzahl der Punkte, die ein Vielfaches von 3 ist, d. h. oder 3 oder 6;
– beim Würfeln erscheint eine unterschiedliche Anzahl an Punkten, d.h. oder 1 oder 2 oder 4 oder 5.
Nach der klassischen Definition sind die Wahrscheinlichkeiten von Hypothesen gleich:

Da die Hypothesen eine vollständige Gruppe von Ereignissen darstellen, muss die Gleichheit erfüllt sein

Angenommen, Ereignis A bestehe aus dem Erscheinen einer roten Kugel. Die bedingten Wahrscheinlichkeiten dieses Ereignisses hängen davon ab, welche Hypothese verwirklicht wurde und sind dementsprechend:

Dann ist gemäß der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A gleich:

6. (7) Zwei Kisten enthalten Radioröhren. Die erste Box enthält 12 Lampen, von denen 1 nicht dem Standard entspricht; Im zweiten gibt es 10 Lampen, von denen 1 nicht dem Standard entspricht. Aus der ersten Kiste wird zufällig eine Lampe genommen und in die zweite gelegt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig aus der zweiten Kiste entnommene Lampe nicht dem Standard entspricht.
Rep. 13/132.

7. (89 D) Eine weiße Kugel wird in eine Urne mit zwei Kugeln geworfen, woraufhin eine Kugel zufällig gezogen wird. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die extrahierte Kugel weiß ist, wenn alle möglichen Annahmen über die ursprüngliche Zusammensetzung der Kugeln (basierend auf der Farbe) gleichermaßen möglich sind.
Lösung. Bezeichnen wir mit A das Ereignis – eine weiße Kugel wird gezogen. Über die Ausgangszusammensetzung der Kugeln sind folgende Annahmen (Hypothesen) möglich: - keine weißen Kugeln, - eine weiße Kugel, - zwei weiße Kugeln.
Da es insgesamt drei Hypothesen gibt und diese je nach Bedingung gleich wahrscheinlich sind und die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Hypothesen gleich eins ist (da sie eine vollständige Gruppe von Ereignissen bilden), dann ist die Wahrscheinlichkeit jeder der Hypothesen ist gleich 1/3, d.h. .
Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass eine weiße Kugel gezogen wird, vorausgesetzt, dass sich ursprünglich keine weißen Kugeln in der Urne befanden, .
Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass eine weiße Kugel gezogen wird, vorausgesetzt, dass sich ursprünglich eine weiße Kugel in der Urne befand, .
Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass eine weiße Kugel gezogen wird, vorausgesetzt, dass sich ursprünglich zwei weiße Kugeln in der Urne befanden.
Wir ermitteln die erforderliche Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine weiße Kugel gezogen wird, indem wir die Gesamtwahrscheinlichkeitsformel verwenden:

8. (10) Ein Standardteil wird in eine Kiste mit 3 identischen Teilen geworfen und dann wird ein Teil zufällig gezogen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Standardteil entfernt wird, wenn alle möglichen Schätzungen über die Anzahl der ursprünglich in der Box enthaltenen Standardteile gleich wahrscheinlich sind.
Rep. 0,625.

9. (6.5.2L) Um die Qualität der Funkkommunikation zu verbessern, werden zwei Funkempfänger verwendet. Die Wahrscheinlichkeit, dass jeder Empfänger ein Signal empfängt, beträgt 0,8, und diese Ereignisse (Signalempfang durch den Empfänger) sind unabhängig. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit des Signalempfangs, wenn die Wahrscheinlichkeit eines störungsfreien Betriebs während einer Funkkommunikationssitzung für jeden Empfänger 0,9 beträgt.
Lösung.
Sei das Ereignis A = (das Signal wird empfangen). Betrachten wir vier Hypothesen:

=(der erste Empfänger funktioniert, der zweite nicht);

=(der zweite funktioniert, der erste nicht);

=(beide Empfänger funktionieren);

=(beide Empfänger funktionieren nicht).

Ereignis A kann nur unter einer dieser Hypothesen eintreten. Lassen Sie uns die Wahrscheinlichkeit dieser Hypothesen ermitteln, indem wir die folgenden Ereignisse berücksichtigen:

=(erster Empfänger funktioniert),

=(der zweite Empfänger funktioniert).

Kontrolle:

.

Die bedingten Wahrscheinlichkeiten sind jeweils gleich:

;

;

Mithilfe der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel ermitteln wir nun die gewünschte Wahrscheinlichkeit

10. (11) Wenn die Maschine vom normalen Betriebsmodus abweicht, wird der C-1-Alarm mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,8 und der C-11-Alarm mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 ausgelöst. Die Wahrscheinlichkeiten, dass die Maschine mit einem C ausgestattet ist -1- oder C-11-Alarm entsprechen jeweils 0, 6 und 0,4. Es wurde ein Signal zum Abschalten des Maschinengewehrs empfangen. Was ist wahrscheinlicher: Die Maschine ist mit einem S-1- oder S-11-Signalgerät ausgestattet?
Rep. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Maschine mit einem Signalgerät S-1 ausgestattet ist, beträgt 6/11 und S-11 5/11

11. (12) Zur Teilnahme an studentischen Qualifikationssportwettkämpfen wurden 4 Studierende aus der ersten Gruppe des Kurses, 6 aus der zweiten und 5 aus der dritten Gruppe zugeteilt. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Student der ersten, zweiten und dritten Gruppe in das Team des Instituts aufgenommen wird, beträgt jeweils 0,9; 0,7 und 0,8. Durch den Wettbewerb gelangte ein zufällig ausgewählter Schüler in die Nationalmannschaft. Zu welcher Gruppe gehörte dieser Schüler höchstwahrscheinlich?
Rep. Die Wahrscheinlichkeiten, dass ein Schüler der ersten, zweiten und dritten Gruppe ausgewählt wird, betragen jeweils 18/59, 21/59, 20/59.

12. (1,34K) Ein Handelsunternehmen erhielt Fernseher von drei Lieferanten im Verhältnis 1:4:5. Die Praxis hat gezeigt, dass Fernseher des 1., 2. und 3. Lieferanten während der Garantiezeit in 98, 88 bzw. 92 % der Fälle keiner Reparatur bedürfen.
1) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein von einem Handelsunternehmen erhaltener Fernseher während der Garantiezeit keine Reparaturen erfordert.
2) Der verkaufte Fernseher musste während der Garantiezeit repariert werden. Von welchem ​​Anbieter stammt dieser Fernseher höchstwahrscheinlich?
Lösung.
Bezeichnen wir die Ereignisse: - Der Fernseher kam vom i-ten Lieferanten (i=1,2,3) beim Handelsunternehmen an;
A – Der Fernseher muss während der Garantiezeit nicht repariert werden.
Nach Bedingung

Nach der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel

Event TV muss während der Garantiezeit repariert werden; .
Nach Bedingung

Nach der Formel von Bayes

;

Somit stieg nach Eintritt des Ereignisses die Wahrscheinlichkeit der Hypothese mit auf Maximum, und die Hypothese verringerte sich vom Maximum auf; Wenn früher (vor dem Eintreten von Ereignis A) die wahrscheinlichste Hypothese war, dann ist jetzt angesichts neuer Informationen (Eintreten von Ereignis A) die wahrscheinlichste Hypothese der Erhalt dieses Fernsehers vom 2. Lieferanten.

13. (1,35K) Es ist bekannt, dass durchschnittlich 95 % der hergestellten Produkte dem Standard entsprechen. Ein vereinfachtes Kontrollschema erkennt ein Produkt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,98 als geeignet, wenn es dem Standard entspricht, und mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,06, wenn es nicht dem Standard entspricht. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass:
1) ein stichprobenartig entnommenes Produkt wird einer vereinfachten Kontrolle unterzogen;
2) ein Standardprodukt, wenn es: a) die vereinfachte Kontrolle bestanden hat; b) die vereinfachte Kontrolle zweimal bestanden.
Lösung.
1). Bezeichnen wir die Ereignisse:
- ein zufällig ausgewähltes, standardmäßiges bzw. nicht standardmäßiges Produkt;
- Das Produkt hat die vereinfachte Kontrolle bestanden.

Nach Bedingung

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig entnommenes Produkt die vereinfachte Kontrolle besteht, gemäß der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel:

2, a). Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Produkt, das die vereinfachte Kontrolle bestanden hat, dem Standard entspricht, gemäß der Bayes-Formel:

2, b). Lassen Sie das Ereignis – das Produkt die vereinfachte Kontrolle zweimal durchlaufen. Dann gilt nach dem Wahrscheinlichkeitsmultiplikationssatz:

Nach der Formel von Bayes

sehr klein ist, sollte die Hypothese, dass ein Produkt, das die vereinfachte Kontrolle zweimal bestanden hat, nicht dem Standard entspricht, als praktisch unmögliches Ereignis verworfen werden.

14. (1,36K) Zwei Schützen schießen unabhängig voneinander auf ein Ziel, wobei jeder einen Schuss abfeuert. Die Trefferwahrscheinlichkeit für den ersten Schützen beträgt 0,8; für die Sekunde – 0,4. Nach dem Schießen wurde ein Loch in der Zielscheibe entdeckt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gehört es zu:
a) 1. Schütze;
b) 2. Schütze?
Lösung.
Bezeichnen wir die Ereignisse:

Beide Schützen verfehlten das Ziel;

Beide Schützen trafen das Ziel;

Der 1. Schütze traf das Ziel, der 2. nicht;

Der erste Schütze verfehlte das Ziel, der zweite verfehlte es;

Es gibt ein Loch in der Zielscheibe (ein Treffer).