Bestimmung des mathematischen Erwartungswerts einer Zufallsvariablen. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie
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Die nächstwichtigste Eigenschaft zufällige Variable Dem mathematischen Erwartungswert folgt seine Varianz, definiert als die durchschnittliche quadratische Abweichung vom Mittelwert:
Wenn bis dahin angegeben, ist die Varianz VX der erwartete Wert. Dies ist ein Merkmal der „Streuung“ der Verteilung von X.
Als einfaches Beispiel Um die Varianz zu berechnen, gehen wir davon aus, dass wir gerade ein Angebot erhalten haben, das wir nicht ablehnen können: Jemand hat uns zwei Gutscheine für die Teilnahme an einer Lotterie gegeben. Die Lotterieveranstalter verkaufen jede Woche 100 Lose und nehmen an einer separaten Ziehung teil. Bei der Verlosung wird durch ein einheitliches Zufallsverfahren eines dieser Lose ausgewählt – jedes Los hat die gleiche Chance, ausgewählt zu werden – und der Besitzer dieses glücklichen Loses erhält einhundert Millionen Dollar. Die restlichen 99 Eigentümer Lotterielose Sie gewinnen nichts.
Wir können das Geschenk auf zwei Arten nutzen: Entweder zwei Lose für eine Lotterie kaufen oder je eines, um an zwei verschiedenen Lotterien teilzunehmen. Welche Strategie ist besser? Versuchen wir es zu analysieren. Um dies zu tun, bezeichnen wir die Höhe unserer Gewinne auf dem ersten und zweiten Los mit Zufallsvariablen. Der erwartete Wert in Millionen beträgt
und das Gleiche gilt für die Erwartungswerte, die additiv sind, sodass unsere durchschnittliche Gesamtauszahlung gleich sein wird
unabhängig von der gewählten Strategie.
Die beiden Strategien scheinen jedoch unterschiedlich zu sein. Gehen wir über die erwarteten Werte hinaus und untersuchen wir die vollständige Wahrscheinlichkeitsverteilung
Wenn wir zwei Lose in einer Lotterie kaufen, beträgt unsere Chance, nichts zu gewinnen, 98 % und bei 2 % die Chance, 100 Millionen zu gewinnen. Wenn wir Spielscheine für verschiedene Ziehungen kaufen, sind die Zahlen wie folgt: 98,01 % – die Chance, nichts zu gewinnen, was etwas höher ist als zuvor; 0,01 % – Chance auf einen Gewinn von 200 Millionen, ebenfalls etwas mehr als zuvor; und die Chance, 100 Millionen zu gewinnen, beträgt jetzt 1,98 %. Im zweiten Fall ist die Größenverteilung also etwas stärker gestreut; Der mittlere Wert, 100 Millionen US-Dollar, ist etwas unwahrscheinlicher, während die Extreme wahrscheinlicher sind.
Es ist dieses Konzept der Streuung einer Zufallsvariablen, das die Streuung widerspiegeln soll. Wir messen die quadratische Streuung der Abweichung einer Zufallsvariablen von ihrem mathematischen Erwartungswert. Im Fall 1 beträgt die Varianz also
im Fall 2 beträgt die Varianz
Letzterer Wert ist erwartungsgemäß etwas größer, da die Verteilung im Fall 2 etwas gestreuter ist.
Wenn wir mit Varianzen arbeiten, wird alles quadriert, sodass das Ergebnis recht große Zahlen sein kann. (Der Multiplikator beträgt eine Billion, das dürfte beeindruckend sein
(sogar Spieler, die an große Einsätze gewöhnt sind.) Um Werte in eine aussagekräftigere Originalskala umzuwandeln, extrahieren sie oft Quadratwurzel aus der Zerstreuung. Die resultierende Zahl wird als Standardabweichung bezeichnet und normalerweise mit dem griechischen Buchstaben a bezeichnet:
Die Standardabweichungen der Größenordnung für unsere beiden Lotteriestrategien betragen . In mancher Hinsicht ist die zweite Option um etwa 71.247 $ riskanter.
Wie hilft Varianz bei der Strategiewahl? Es ist nicht klar. Eine Strategie mit höherer Varianz ist riskanter; aber was ist besser für unseren Geldbeutel - Risiko bzw sicheres Spiel? Geben Sie uns die Möglichkeit, nicht zwei, sondern gleich einhundert Tickets zu kaufen. Dann könnten wir den Gewinn einer Lotterie garantieren (und die Varianz wäre Null); Oder Sie könnten an hundert verschiedenen Ziehungen teilnehmen und mit einer Wahrscheinlichkeit nichts gewinnen, aber eine Gewinnchance ungleich Null von bis zu Dollar haben. Die Wahl einer dieser Alternativen würde den Rahmen dieses Buches sprengen; Wir können hier nur erklären, wie die Berechnungen durchgeführt werden.
Es gibt tatsächlich eine einfachere Möglichkeit, die Varianz zu berechnen als direkte Nutzung Definitionen (8.13). (Es gibt allen Grund, hier eine Art versteckte Mathematik zu vermuten; warum sollte sich sonst herausstellen, dass die Varianz in den Lotteriebeispielen ein ganzzahliges Vielfaches ist? Das haben wir.)
seitdem - konstant; somit,
„Varianz ist der Mittelwert des Quadrats minus dem Quadrat des Mittelwerts.“
Bei der Lotterieaufgabe ergibt sich beispielsweise der Durchschnittswert als oder Die Subtraktion (das Quadrat des Durchschnitts) ergibt Ergebnisse, die wir bereits früher auf schwierigere Weise erhalten haben.
Es gibt jedoch eine noch einfachere Formel, die anwendbar ist, wenn wir für unabhängige X- und Y-Werte berechnen. Wir haben
da, wie wir wissen, für unabhängige Zufallsvariablen Daher gilt:
„Die Varianz der Summe unabhängiger Zufallsvariablen ist gleich der Summe ihrer Varianzen.“ So ist beispielsweise die Varianz des Betrags, der mit einem Lottoschein gewonnen werden kann, gleich
Daher ist die Streuung der Gesamtgewinne für zwei Lotterielose in zwei verschiedenen (unabhängigen) Lotterien der entsprechende Streuungswert für unabhängige Lotterielose
Die Varianz der Summe der auf zwei Würfeln gewürfelten Punkte kann mit der gleichen Formel ermittelt werden, da es sich um die Summe zweier unabhängiger Zufallsvariablen handelt. Wir haben
für den richtigen Würfel; also im Falle eines verschobenen Massenschwerpunktes
also, wenn beide Würfel einen verschobenen Massenschwerpunkt haben. Beachten Sie, dass im letzteren Fall die Varianz größer ist, obwohl der Mittelwert häufiger als bei normalen Würfeln den Wert 7 annimmt. Wenn es unser Ziel ist, mehr glückliche Siebener zu würfeln, dann ist das bei der Varianz nicht der Fall bester Indikator Erfolg.
Okay, wir haben herausgefunden, wie man die Varianz berechnet. Auf die Frage, warum es notwendig ist, die Varianz zu berechnen, haben wir jedoch noch keine Antwort gegeben. Jeder macht es, aber warum? Der Hauptgrund ist die Tschebyscheff-Ungleichung, die eine wichtige Eigenschaft der Streuung begründet:
(Diese Ungleichung unterscheidet sich von den Tschebyscheff-Ungleichungen für Summen, die wir in Kapitel 2 kennengelernt haben.) Auf qualitativer Ebene besagt (8.17), dass die Zufallsvariable X selten Werte weit von ihrem Mittelwert annimmt, wenn ihre Varianz VX klein ist. Nachweisen
Die Verwaltung ist außerordentlich einfach. Wirklich,
Division durch vervollständigt den Beweis.
Wenn wir den mathematischen Erwartungswert mit a und die Standardabweichung mit a bezeichnen und in (8.17) durch ersetzen, dann wird die Bedingung zu: Wir erhalten also aus (8.17)
Somit wird im Bereich von bis - zumindest für 99 %. Dies sind Fälle von Tschebyscheffs Ungleichheit.
Wenn Sie einmal ein paar Würfel werfen, liegt die Gesamtpunktzahl aller Würfe fast immer nahe bei. Der Grund dafür ist folgender: Die Varianz unabhängiger Würfe beträgt Die Varianz in bedeutet die Standardabweichung von allem
Daher erhalten wir aus Tschebyscheffs Ungleichung, dass die Summe der Punkte dazwischen liegen wird
Zumindest bei 99 % aller Würfelwürfe. Beispielsweise liegt das Ergebnis einer Million Würfen mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % zwischen 6,976 Millionen und 7,024 Millionen.
Im Allgemeinen sei X eine beliebige Zufallsvariable auf dem Wahrscheinlichkeitsraum Π mit einem endlichen mathematischen Erwartungswert und einer endlichen Standardabweichung a. Dann können wir den Wahrscheinlichkeitsraum Pn in Betracht ziehen, dessen Elementarereignisse -Sequenzen sind, wobei jede und die Wahrscheinlichkeit definiert sind als
Definieren wir nun Zufallsvariablen anhand der Formel
dann der Wert
ist die Summe unabhängiger Zufallsvariablen, was dem Prozess der Summierung unabhängiger Realisierungen des Werts X auf P entspricht. Der mathematische Erwartungswert ist gleich und die Standardabweichung - ; daher der durchschnittliche Wert der Realisierungen,
wird von bis mindestens 99 % reichen Zeitraum. Mit anderen Worten: Wenn Sie einen ausreichend großen Wert wählen, wird das arithmetische Mittel unabhängiger Tests fast immer sehr nahe am erwarteten Wert liegen (In Lehrbüchern zur Wahrscheinlichkeitstheorie wird ein noch stärkerer Satz bewiesen, der als starkes Gesetz der großen Zahlen bezeichnet wird; aber für uns die einfache Folgerung der Tschebyscheff-Ungleichung, die wir gerade herausgenommen haben.)
Manchmal kennen wir die Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsraums nicht, müssen aber den mathematischen Erwartungswert einer Zufallsvariablen X anhand wiederholter Beobachtungen ihres Werts abschätzen. (Zum Beispiel möchten wir vielleicht die durchschnittliche Januar-Mittagstemperatur in San Francisco oder die Lebenserwartung wissen, auf der Versicherungsagenten ihre Berechnungen basieren sollten.) Wenn uns unabhängige empirische Beobachtungen zur Verfügung stehen, können wir davon ausgehen, dass die Die wahre mathematische Erwartung ist ungefähr gleich
Sie können die Varianz auch mithilfe der Formel schätzen
Wenn man sich diese Formel ansieht, könnte man denken, dass sie einen Tippfehler enthält; Es scheint, dass es so sein sollte wie in (8.19), da der wahre Wert der Dispersion in (8.15) durch die erwarteten Werte bestimmt wird. Das Ersetzen hier durch ermöglicht es uns jedoch, Folgendes zu erhalten Beste Bewertung, da aus Definition (8.20) folgt
Hier ist der Beweis:
(Bei dieser Berechnung verlassen wir uns auf die Unabhängigkeit der Beobachtungen, wenn wir durch ersetzen.)
Um die Ergebnisse eines Experiments mit einer Zufallsvariablen vermutlich richtig.
Neben Verteilungsgesetzen können auch Zufallsvariablen beschrieben werden numerische Merkmale .
Mathematische Erwartung M (x) einer Zufallsvariablen wird als ihr Mittelwert bezeichnet.
Der mathematische Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen wird mithilfe der Formel berechnet
Wo – Zufallsvariablenwerte, S ich- ihre Wahrscheinlichkeiten.
Betrachten wir die Eigenschaften der mathematischen Erwartung:
1. Der mathematische Erwartungswert einer Konstante ist gleich der Konstante selbst
2. Wenn eine Zufallsvariable mit einer bestimmten Zahl k multipliziert wird, wird der mathematische Erwartungswert mit derselben Zahl multipliziert
M (kx) = kM (x)
3. Der mathematische Erwartungswert der Summe der Zufallsvariablen ist gleich der Summe ihrer mathematischen Erwartungen
M (x 1 + x 2 + … + x n) = M (x 1) + M (x 2) +…+ M (x n)
4. M (x 1 - x 2) = M (x 1) - M (x 2)
5. Für unabhängige Zufallsvariablen x 1, x 2, … x n ist die mathematische Erwartung des Produkts gleich dem Produkt ihrer mathematischen Erwartungen
M (x 1, x 2, ... x n) = M (x 1) M (x 2) ... M (x n)
6. M (x - M (x)) = M (x) - M (M (x)) = M (x) - M (x) = 0
Berechnen wir den mathematischen Erwartungswert für die Zufallsvariable aus Beispiel 11.
M(x) = = 
.
Beispiel 12. Die Zufallsvariablen x 1, x 2 seien entsprechend durch die Verteilungsgesetze spezifiziert:
x 1 Tabelle 2
x 2 Tabelle 3
Berechnen wir M (x 1) und M (x 2)
M (x 1) = (- 0,1) 0,1 + (- 0,01) 0,2 + 0 0,4 + 0,01 0,2 + 0,1 0,1 = 0
M (x 2) = (- 20) 0,3 + (- 10) 0,1 + 0 0,2 + 10 0,1 + 20 0,3 = 0
Die mathematischen Erwartungen beider Zufallsvariablen sind gleich – sie sind gleich Null. Die Art ihrer Verbreitung ist jedoch unterschiedlich. Wenn die Werte von x 1 kaum von ihrer mathematischen Erwartung abweichen, dann weichen die Werte von x 2 stark von ihrer mathematischen Erwartung ab, und die Wahrscheinlichkeiten solcher Abweichungen sind nicht gering. Diese Beispiele zeigen, dass es unmöglich ist, aus dem Durchschnittswert zu ermitteln, welche kleineren und größeren Abweichungen davon auftreten. Also mit dem gleichen Durchschnitt Aufgrund der jährlichen Niederschläge in zwei Gebieten kann nicht gesagt werden, dass diese Gebiete gleichermaßen günstig für landwirtschaftliche Arbeiten sind. Ähnlich dem Durchschnitt Löhne es ist nicht möglich zu urteilen spezifisches Gewicht Hoch- und Niedriglohnarbeiter. Daher wird ein numerisches Merkmal eingeführt - Streuung D(x) , was den Grad der Abweichung einer Zufallsvariablen von ihrem Durchschnittswert charakterisiert:
D (x) = M (x - M (x)) 2 . (2)
Dispersion ist der mathematische Erwartungswert der quadratischen Abweichung einer Zufallsvariablen vom mathematischen Erwartungswert. Für eine diskrete Zufallsvariable wird die Varianz nach folgender Formel berechnet:
D(x)= 
= 
(3)
Aus der Definition der Dispersion folgt, dass D (x) 0.
Dispersionseigenschaften:
1. Die Varianz der Konstante ist Null
2. Wenn eine Zufallsvariable mit einer bestimmten Zahl k multipliziert wird, wird die Varianz mit dem Quadrat dieser Zahl multipliziert
D (kx) = k 2 D (x)
3. D (x) = M (x 2) – M 2 (x)
4. Für paarweise unabhängige Zufallsvariablen x 1 , x 2 , … x n ist die Varianz der Summe gleich der Summe der Varianzen.
D (x 1 + x 2 + … + x n) = D (x 1) + D (x 2) +…+ D (x n)
Berechnen wir die Varianz für die Zufallsvariable aus Beispiel 11.
Mathematischer Erwartungswert M (x) = 1. Daher gilt nach Formel (3):
D (x) = (0 – 1) 2 1/4 + (1 – 1) 2 1/2 + (2 – 1) 2 1/4 =1 1/4 +1 1/4= 1/2
Beachten Sie, dass es einfacher ist, die Varianz zu berechnen, wenn Sie Eigenschaft 3 verwenden:
D (x) = M (x 2) – M 2 (x).
Berechnen wir mit dieser Formel die Varianzen für die Zufallsvariablen x 1 , x 2 aus Beispiel 12. Die mathematischen Erwartungen beider Zufallsvariablen sind Null.
D (x 1) = 0,01 0,1 + 0,0001 0,2 + 0,0001 0,2 + 0,01 0,1 = 0,001 + 0,00002 + 0,00002 + 0,001 = 0,00204
D (x 2) = (-20) 2 0,3 + (-10) 2 0,1 + 10 2 0,1 + 20 2 0,3 = 240 +20 = 260
Je näher der Varianzwert bei Null liegt, desto geringer ist die Streuung der Zufallsvariablen relativ zum Mittelwert.
Die Menge wird aufgerufen Standardabweichung. Zufallsvariablenmodus X diskreter Typ Md Der Wert einer Zufallsvariablen, der die höchste Wahrscheinlichkeit hat, wird aufgerufen.
Zufallsvariablenmodus X kontinuierlicher Typ Md ist eine reelle Zahl, die als Maximalpunkt der Wahrf(x) definiert ist.
Median einer Zufallsvariablen X kontinuierlicher Typ Mn ist eine reelle Zahl, die die Gleichung erfüllt
Der mathematische Erwartungswert (Durchschnittswert) einer auf einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum gegebenen Zufallsvariablen X ist die Zahl m =M[X]=∑x i p i, wenn die Reihe absolut konvergiert.
Zweck des Dienstes. Nutzung des Online-Dienstes mathematischer Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung werden berechnet(siehe Beispiel). Zusätzlich wird ein Graph der Verteilungsfunktion F(X) aufgetragen.
Eigenschaften des mathematischen Erwartungswerts einer Zufallsvariablen
- Erwarteter Wert konstanter Wert gleich sich selbst: M[C]=C, C ist eine Konstante;
- M=C M[X]
- Der mathematische Erwartungswert der Summe der Zufallsvariablen ist gleich der Summe ihrer mathematischen Erwartungen: M=M[X]+M[Y]
- Der mathematische Erwartungswert des Produkts unabhängiger Zufallsvariablen ist gleich dem Produkt ihrer mathematischen Erwartungen: M=M[X] M[Y] , wenn X und Y unabhängig sind.
Dispersionseigenschaften
- Die Varianz eines konstanten Werts ist Null: D(c)=0.
- Der konstante Faktor kann unter dem Dispersionszeichen durch Quadrieren ermittelt werden: D(k*X)= k 2 D(X).
- Wenn die Zufallsvariablen X und Y unabhängig sind, dann ist die Varianz der Summe gleich der Summe der Varianzen: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
- Wenn Zufallsvariablen X und Y abhängig sind: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
- Für die Streuung gilt folgende Rechenformel:
D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2
Beispiel. Die mathematischen Erwartungen und Varianzen zweier unabhängiger Zufallsvariablen X und Y sind bekannt: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Finden Sie den mathematischen Erwartungswert und die Varianz der Zufallsvariablen Z=9X-8Y+7.
Lösung. Basierend auf den Eigenschaften der mathematischen Erwartung: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
Basierend auf den Eigenschaften der Dispersion: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345
Algorithmus zur Berechnung der mathematischen Erwartung
Eigenschaften diskreter Zufallsvariablen: Alle ihre Werte können neu nummeriert werden natürliche Zahlen; Weisen Sie jedem Wert eine Wahrscheinlichkeit ungleich Null zu.- Wir multiplizieren die Paare einzeln: x i mit p i .
- Addiere das Produkt jedes Paares x i p i .
Zum Beispiel für n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
Beispiel Nr. 1.
| x i | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| p i | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
Den mathematischen Erwartungswert ermitteln wir mit der Formel m = ∑x i p i .
Erwartung M[X].
M[x] = 1*0,1 + 3*0,2 + 4*0,1 + 7*0,3 + 9*0,3 = 5,9
Wir ermitteln die Varianz mithilfe der Formel d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Varianz D[X].
D[X] = 1 2 *0,1 + 3 2 *0,2 + 4 2 *0,1 + 7 2 *0,3 + 9 2 *0,3 - 5,9 2 = 7,69
Standardabweichung σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7,69) = 2,78
Beispiel Nr. 2. Eine diskrete Zufallsvariable hat die folgende Verteilungsreihe:
| X | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| R | A | 0,32 | 2A | 0,41 | 0,03 |
Lösung. Der Wert von a ergibt sich aus der Beziehung: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 oder 0,24=3 a , woraus a = 0,08
Beispiel Nr. 3. Bestimmen Sie das Verteilungsgesetz einer diskreten Zufallsvariablen, wenn ihre Varianz bekannt ist und x 1
p 1 =0,3; p 2 =0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3
d(x)=12,96
Lösung.
Hier müssen Sie eine Formel zum Ermitteln der Varianz d(x) erstellen:
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
wobei Erwartung m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Für unsere Daten
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0,1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
oder -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Dementsprechend müssen wir die Wurzeln der Gleichung finden, und davon wird es zwei geben.
x 3 =8, x 3 =12
Wählen Sie diejenige aus, die die Bedingung x 1 erfüllt
Verteilungsgesetz einer diskreten Zufallsvariablen
x 1 =6; x 2 =9; x 3 =12; x 4 =15
p 1 =0,3; p 2 =0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3
Erwartungswert und Varianz sind die am häufigsten verwendeten numerischen Merkmale einer Zufallsvariablen. Sie charakterisieren die wichtigsten Merkmale der Verteilung: ihre Position und den Grad der Streuung. Bei vielen praktischen Problemen kann ein vollständiges, erschöpfendes Merkmal einer Zufallsvariablen – das Verteilungsgesetz – entweder überhaupt nicht ermittelt werden oder wird überhaupt nicht benötigt. In diesen Fällen beschränkt man sich auf die näherungsweise Beschreibung einer Zufallsvariablen mittels numerischer Merkmale.
Der Erwartungswert wird oft einfach als Durchschnittswert einer Zufallsvariablen bezeichnet. Die Streuung einer Zufallsvariablen ist ein Merkmal der Streuung, der Streuung einer Zufallsvariablen um ihren mathematischen Erwartungswert.
Erwartung einer diskreten Zufallsvariablen
Wir nähern uns dem Konzept der mathematischen Erwartung zunächst auf der Grundlage der mechanischen Interpretation der Verteilung einer diskreten Zufallsvariablen. Die Einheitsmasse sei zwischen den Punkten der x-Achse verteilt X1 , X 2 , ..., X N, und jeder materielle Punkt hat eine entsprechende Masse von P1 , P 2 , ..., P N. Es ist erforderlich, einen Punkt auf der Abszissenachse auszuwählen, der die Position des gesamten Systems materieller Punkte unter Berücksichtigung ihrer Massen charakterisiert. Es liegt nahe, den Massenschwerpunkt des Systems materieller Punkte als einen solchen Punkt anzunehmen. Dies ist der gewichtete Durchschnitt der Zufallsvariablen X, zu der die Abszisse jedes Punktes gehört Xich tritt mit einem „Gewicht“ ein, das der entsprechenden Wahrscheinlichkeit entspricht. Der auf diese Weise erhaltene Durchschnittswert der Zufallsvariablen X wird seine mathematische Erwartung genannt.
Der mathematische Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen ist die Summe der Produkte aller ihrer möglichen Werte und der Wahrscheinlichkeiten dieser Werte:
Beispiel 1. Es wurde eine Win-Win-Lotterie organisiert. Es gibt 1000 Gewinne, davon sind 400 10 Rubel. 300 - 20 Rubel pro Stück. 200 - 100 Rubel pro Stück. und jeweils 100 - 200 Rubel. Wie hoch ist der durchschnittliche Gewinn für jemanden, der ein Los kauft?
Lösung. Den durchschnittlichen Gewinn ermitteln wir, wenn wir den Gesamtgewinnbetrag, der 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50.000 Rubel beträgt, durch 1000 (Gesamtgewinnbetrag) dividieren. Dann erhalten wir 50.000/1.000 = 50 Rubel. Der Ausdruck zur Berechnung des durchschnittlichen Gewinns kann jedoch in folgender Form dargestellt werden:
Andererseits ist unter diesen Bedingungen der Gewinnbetrag eine Zufallsvariable, die Werte von 10, 20, 100 und 200 Rubel annehmen kann. mit Wahrscheinlichkeiten von jeweils 0,4; 0,3; 0,2; 0,1. Daher ist der erwartete durchschnittliche Gewinn gleich der Summe der Produkte aus der Höhe der Gewinne und der Wahrscheinlichkeit, diese zu erhalten.
Beispiel 2. Der Verlag beschloss, ein neues Buch zu veröffentlichen. Er plant, das Buch für 280 Rubel zu verkaufen, wovon er selbst 200 erhält, 50 an die Buchhandlung und 30 an den Autor. Die Tabelle gibt Auskunft über die Kosten für die Veröffentlichung eines Buches und die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Anzahl von Exemplaren des Buches zu verkaufen.
Ermitteln Sie den erwarteten Gewinn des Verlags.
Lösung. Die Zufallsvariable „Gewinn“ entspricht der Differenz zwischen den Erlösen aus Verkäufen und den Kosten der Kosten. Wenn beispielsweise 500 Exemplare eines Buches verkauft werden, beträgt der Erlös aus dem Verkauf 200 * 500 = 100.000 und die Veröffentlichungskosten betragen 225.000 Rubel. Dem Verlag entsteht somit ein Verlust von 125.000 Rubel. Die folgende Tabelle fasst die erwarteten Werte der Zufallsvariablen – Gewinn zusammen:
| Nummer | Profitieren Xich | Wahrscheinlichkeit Pich | Xich P ich |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Gesamt: | 1,00 | 25000 |
Somit erhalten wir die mathematische Erwartung des Verlagsgewinns:
.
Beispiel 3. Wahrscheinlichkeit, mit einem Schuss zu treffen P= 0,2. Bestimmen Sie den Verbrauch von Projektilen, die eine mathematische Erwartung für die Anzahl der Treffer von 5 liefern.
Lösung. Ausgehend von der gleichen mathematischen Erwartungsformel, die wir bisher verwendet haben, drücken wir aus X- Schalenverbrauch:
.
Beispiel 4. Bestimmen Sie den mathematischen Erwartungswert einer Zufallsvariablen X Anzahl der Treffer bei drei Schüssen, also die Wahrscheinlichkeit eines Treffers bei jedem Schuss P = 0,4 .
Hinweis: Finden Sie die Wahrscheinlichkeit zufälliger Variablenwerte durch Bernoullis Formel .
Eigenschaften der mathematischen Erwartung
Betrachten wir die Eigenschaften der mathematischen Erwartung.
Eigentum 1. Der mathematische Erwartungswert eines konstanten Wertes ist gleich dieser Konstante:
Eigentum 2. Der konstante Faktor lässt sich aus dem mathematischen Erwartungszeichen entnehmen:
Eigentum 3. Der mathematische Erwartungswert der Summe (Differenz) von Zufallsvariablen ist gleich der Summe (Differenz) ihrer mathematischen Erwartungen:
Eigentum 4. Die mathematische Erwartung eines Produkts von Zufallsvariablen ist gleich dem Produkt ihrer mathematischen Erwartungen:
Eigentum 5. Sind alle Werte einer Zufallsvariablen X um die gleiche Zahl verringern (erhöhen). MIT, dann wird seine mathematische Erwartung um die gleiche Zahl sinken (steigen):
Wenn Sie sich nicht nur auf mathematische Erwartungen beschränken können
In den meisten Fällen kann allein der mathematische Erwartungswert eine Zufallsvariable nicht ausreichend charakterisieren.
Lassen Sie die Zufallsvariablen X Und Y sind durch folgende Verteilungsgesetze gegeben:
| Bedeutung X | Wahrscheinlichkeit |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Bedeutung Y | Wahrscheinlichkeit |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Die mathematischen Erwartungen dieser Größen sind gleich – gleich Null:
Ihre Verteilungsmuster sind jedoch unterschiedlich. Zufälliger Wert X kann nur Werte annehmen, die kaum von der mathematischen Erwartung und der Zufallsvariablen abweichen Y kann Werte annehmen, die erheblich von der mathematischen Erwartung abweichen. Ein ähnliches Beispiel: Der Durchschnittslohn erlaubt keine Beurteilung des Anteils von Hoch- und Niedriglohnarbeitern. Mit anderen Worten: Man kann anhand der mathematischen Erwartung nicht beurteilen, welche Abweichungen davon zumindest im Durchschnitt möglich sind. Dazu müssen Sie die Varianz der Zufallsvariablen ermitteln.
Varianz einer diskreten Zufallsvariablen
Varianz diskrete Zufallsvariable X heißt die mathematische Erwartung des Quadrats seiner Abweichung von der mathematischen Erwartung:
Die Standardabweichung einer Zufallsvariablen X Der arithmetische Wert der Quadratwurzel seiner Varianz heißt:
.
Beispiel 5. Berechnen Sie Varianzen und Standardabweichungen von Zufallsvariablen X Und Y, deren Verteilungsgesetze in den obigen Tabellen angegeben sind.
Lösung. Mathematische Erwartungen an Zufallsvariablen X Und Y sind, wie oben gefunden, gleich Null. Nach der Dispersionsformel bei E(X)=E(j)=0 erhalten wir:
Dann die Standardabweichungen von Zufallsvariablen X Und Y bilden
.
Somit ergibt sich bei gleichen mathematischen Erwartungen die Varianz der Zufallsvariablen X sehr klein, aber eine Zufallsvariable Y- bedeutsam. Dies ist eine Folge von Unterschieden in ihrer Verteilung.
Beispiel 6. Der Investor verfügt über 4 alternative Investitionsprojekte. Die Tabelle fasst den erwarteten Gewinn in diesen Projekten mit der entsprechenden Wahrscheinlichkeit zusammen.
| Projekt 1 | Projekt 2 | Projekt 3 | Projekt 4 |
| 500, P=1 | 1000, P=0,5 | 500, P=0,5 | 500, P=0,5 |
| 0, P=0,5 | 1000, P=0,25 | 10500, P=0,25 | |
| 0, P=0,25 | 9500, P=0,25 |
Finden Sie für jede Alternative den mathematischen Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung.
Lösung. Lassen Sie uns zeigen, wie diese Werte für die 3. Alternative berechnet werden:
Die Tabelle fasst die gefundenen Werte für alle Alternativen zusammen.
Alle Alternativen haben die gleichen mathematischen Erwartungen. Das bedeutet, dass auf lange Sicht alle das gleiche Einkommen haben. Die Standardabweichung kann als Maß für das Risiko interpretiert werden – je höher sie ist, desto größer ist das Risiko der Investition. Ein Investor, der kein großes Risiko möchte, wird Projekt 1 wählen, da es die kleinste Standardabweichung (0) aufweist. Wenn der Investor Risiko und hohe Renditen in kurzer Zeit bevorzugt, wählt er das Projekt mit der größten Standardabweichung – Projekt 4.
Dispersionseigenschaften
Lassen Sie uns die Eigenschaften der Dispersion vorstellen.
Eigentum 1. Die Varianz eines konstanten Wertes ist Null:
Eigentum 2. Der konstante Faktor kann durch Quadrieren aus dem Dispersionszeichen entnommen werden:
.
Eigentum 3. Die Varianz einer Zufallsvariablen ist gleich dem mathematischen Erwartungswert des Quadrats dieses Werts, von dem das Quadrat des mathematischen Erwartungswerts des Werts selbst subtrahiert wird:
,
Wo 
.
Eigentum 4. Die Varianz der Summe (Differenz) von Zufallsvariablen ist gleich der Summe (Differenz) ihrer Varianzen:
Beispiel 7. Es ist bekannt, dass es sich um eine diskrete Zufallsvariable handelt X nimmt nur zwei Werte an: −3 und 7. Außerdem ist der mathematische Erwartungswert bekannt: E(X) = 4 . Finden Sie die Varianz einer diskreten Zufallsvariablen.
Lösung. Bezeichnen wir mit P die Wahrscheinlichkeit, mit der eine Zufallsvariable einen Wert annimmt X1 = −3 . Dann die Wahrscheinlichkeit des Wertes X2 = 7 wird 1 − sein P. Lassen Sie uns die Gleichung für den mathematischen Erwartungswert herleiten:
E(X) = X 1 P + X 2 (1 − P) = −3P + 7(1 − P) = 4 ,
wo wir die Wahrscheinlichkeiten bekommen: P= 0,3 und 1 − P = 0,7 .
Verteilungsgesetz einer Zufallsvariablen:
| X | −3 | 7 |
| P | 0,3 | 0,7 |
Wir berechnen die Varianz dieser Zufallsvariablen mithilfe der Formel aus Eigenschaft 3 der Streuung:
D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Finden Sie selbst den mathematischen Erwartungswert einer Zufallsvariablen und schauen Sie sich dann die Lösung an
Beispiel 8. Diskrete Zufallsvariable X nimmt nur zwei Werte an. Es akzeptiert den größeren der Werte 3 mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,4. Darüber hinaus ist die Varianz der Zufallsvariablen bekannt D(X) = 6 . Finden Sie den mathematischen Erwartungswert einer Zufallsvariablen.
Beispiel 9. In der Urne befinden sich 6 weiße und 4 schwarze Kugeln. Aus der Urne werden 3 Kugeln gezogen. Die Anzahl der weißen Kugeln unter den gezogenen Kugeln ist eine diskrete Zufallsvariable X. Finden Sie den mathematischen Erwartungswert und die Varianz dieser Zufallsvariablen.
Lösung. Zufälliger Wert X kann die Werte 0, 1, 2, 3 annehmen. Daraus lassen sich die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten berechnen Wahrscheinlichkeitsmultiplikationsregel. Verteilungsgesetz einer Zufallsvariablen:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Daher die mathematische Erwartung dieser Zufallsvariablen:
M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
Die Varianz einer gegebenen Zufallsvariablen beträgt:
D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Erwartungswert und Varianz einer kontinuierlichen Zufallsvariablen
Für eine kontinuierliche Zufallsvariable behält die mechanische Interpretation der mathematischen Erwartung dieselbe Bedeutung: der Massenschwerpunkt für eine Einheitsmasse, die kontinuierlich auf der x-Achse mit Dichte verteilt ist F(X). Im Gegensatz zu einer diskreten Zufallsvariablen, deren Funktionsargument Xichändert sich abrupt; bei einer kontinuierlichen Zufallsvariablen ändert sich das Argument kontinuierlich. Der mathematische Erwartungswert einer kontinuierlichen Zufallsvariablen hängt aber auch von ihrem Durchschnittswert ab.
Um den mathematischen Erwartungswert und die Varianz einer kontinuierlichen Zufallsvariablen zu ermitteln, müssen Sie bestimmte Integrale finden . Ist die Dichtefunktion einer kontinuierlichen Zufallsvariablen gegeben, so geht diese direkt in den Integranden ein. Wenn eine Wahrscgegeben ist, müssen Sie durch Differenzieren die Dichtefunktion ermitteln.
Das arithmetische Mittel aller möglichen Werte einer kontinuierlichen Zufallsvariablen wird als ihr bezeichnet mathematische Erwartung, gekennzeichnet durch oder .
Wie bereits bekannt ist, charakterisiert das Verteilungsgesetz eine Zufallsvariable vollständig. Allerdings ist das Verteilungsgesetz oft unbekannt und man muss sich auf weniger Informationen beschränken. Manchmal ist es sogar noch gewinnbringender, Zahlen zu verwenden, die die Zufallsvariable insgesamt beschreiben; solche Nummern werden aufgerufen numerische Eigenschaften einer Zufallsvariablen. Eines der wichtigen numerischen Merkmale ist der mathematische Erwartungswert.
Der mathematische Erwartungswert entspricht, wie weiter unten gezeigt wird, ungefähr dem Durchschnittswert der Zufallsvariablen. Um viele Probleme zu lösen, reicht es aus, den mathematischen Erwartungswert zu kennen. Wenn beispielsweise bekannt ist, dass die mathematische Erwartung der vom ersten Schützen erzielten Punkte größer ist als die des zweiten, dann erzielt der erste Schütze im Durchschnitt mehr Punkte als der zweite und schießt daher besser als der zweite. Obwohl die mathematische Erwartung viel weniger Informationen über eine Zufallsvariable liefert als das Gesetz ihrer Verteilung, reicht die Kenntnis der mathematischen Erwartung aus, um Probleme wie das obige und viele andere zu lösen.
§ 2. Mathematische Erwartung einer diskreten Zufallsvariablen
Mathematische Erwartung Eine diskrete Zufallsvariable ist die Summe der Produkte aller ihrer möglichen Werte und ihrer Wahrscheinlichkeiten.
Lassen Sie die Zufallsvariable X kann nur Werte annehmen X 1 , X 2 , ..., X P , deren Wahrscheinlichkeiten jeweils gleich sind R 1 , R 2 , . . ., R P . Dann die mathematische Erwartung M(X) zufällige Variable X wird durch Gleichheit bestimmt
M(X) = X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + X N P N .
Wenn eine diskrete Zufallsvariable X nimmt dann eine abzählbare Menge möglicher Werte an
M(X)=
Darüber hinaus liegt der mathematische Erwartungswert vor, wenn die Reihe auf der rechten Seite der Gleichheit absolut konvergiert.
Kommentar. Aus der Definition folgt, dass der mathematische Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen eine nicht zufällige (konstante) Größe ist. Wir empfehlen Ihnen, sich diese Aussage zu merken, da sie später noch oft verwendet wird. Später wird gezeigt, dass der mathematische Erwartungswert einer kontinuierlichen Zufallsvariablen ebenfalls ein konstanter Wert ist.
Beispiel 1. Finden Sie den mathematischen Erwartungswert einer Zufallsvariablen X, das Gesetz seiner Verteilung kennen:
Lösung. Der erforderliche mathematische Erwartungswert ist gleich der Summe der Produkte aller möglichen Werte der Zufallsvariablen und ihrer Wahrscheinlichkeiten:
M(X)= 3* 0, 1+ 5* 0, 6+ 2* 0, 3= 3, 9.
Beispiel 2. Finden Sie die mathematische Erwartung für die Häufigkeit des Auftretens eines Ereignisses A in einem Versuch, wenn die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A gleich R.
Lösung. Zufälliger Wert X - Anzahl der Vorkommnisse des Ereignisses A in einem Test - kann nur zwei Werte annehmen: X 1 = 1 (Ereignis A aufgetreten ist) mit Wahrscheinlichkeit R Und X 2 = 0 (Ereignis A nicht aufgetreten ist) mit Wahrscheinlichkeit Q= 1 -R. Die erforderliche mathematische Erwartung
M(X)= 1* P+ 0* Q= P
Also, Die mathematische Erwartung der Häufigkeit des Auftretens eines Ereignisses in einem Versuch ist gleich der Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses. Dieses Ergebnis wird im Folgenden verwendet.
§ 3. Probabilistische Bedeutung der mathematischen Erwartung
Lass es entstehen P Tests, bei denen die Zufallsvariable X akzeptiert T 1 mal Wert X 1 , T 2 mal Wert X 2 ,...,M k mal Wert X k , Und T 1 + T 2 + …+t Zu = S. Dann wird die Summe aller Werte genommen X, gleich
X 1 T 1 + X 2 T 2 + ... + X Zu T Zu .
Finden wir das arithmetische Mittel 
alle von einer Zufallsvariablen akzeptierten Werte, für die wir die gefundene Summe durch die Gesamtzahl der Tests dividieren:
=
(X 1 T 1
+
X 2 T 2 +
... +
X Zu T Zu)/P,
=
X 1
(M 1 /
N)
+
X 2
(M 2 /
N)
+ ... +
X Zu
(T Zu /P).
(*)
Ich bemerke, dass die Einstellung M 1 / N- relative Frequenz W 1 Werte X 1 , M 2 / N - relative Frequenz W 2 Werte X 2 usw. schreiben wir die Relation (*) so:
=X 1
W 1
+
X 2 W 2
+ ..
. + X Zu W k .
(**)
Nehmen wir an, dass die Anzahl der Tests recht groß ist. Dann ist die relative Häufigkeit ungefähr gleich der Wahrscheinlichkeit des Eintretens des Ereignisses (dies wird in Kapitel IX, § 6 bewiesen):
W 1
P 1 ,
W 2
P 2 ,
…,
W k
P k .
Ersetzen wir die relativen Häufigkeiten durch die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten in Beziehung (**), erhalten wir
X 1 P 1
+
X 2 R 2
+ … +
X Zu R Zu .
Die rechte Seite dieser ungefähren Gleichheit ist M(X). Also,
M(X).
Die probabilistische Bedeutung des erhaltenen Ergebnisses ist wie folgt: Die mathematische Erwartung ist ungefähr gleich(je genauer, desto mehr Tests) das arithmetische Mittel der beobachteten Werte einer Zufallsvariablen.
Bemerkung 1. Es ist leicht zu verstehen, dass die mathematische Erwartung größer als der kleinste und kleiner als der größtmögliche Wert ist. Mit anderen Worten: Auf dem Zahlenstrahl liegen mögliche Werte links und rechts vom mathematischen Erwartungswert. In diesem Sinne charakterisiert der mathematische Erwartungswert den Ort der Verteilung und wird daher oft als „Erwartungswert“ bezeichnet Verteilzentrum.
Dieser Begriff ist der Mechanik entlehnt: wenn die Massen R 1 , R 2 , ..., R P an den Abszissenpunkten gelegen X 1 ,
X 2 ,
...,
X N, Und 
dann die Abszisse des Schwerpunkts
X C =
.
Bedenkt, dass
=
M
(X)
Und 
wir bekommen M(X)= x Mit .
Die mathematische Erwartung ist also die Abszisse des Schwerpunkts eines Systems materieller Punkte, deren Abszissen den möglichen Werten der Zufallsvariablen und deren Massen ihren Wahrscheinlichkeiten entsprechen.
Anmerkung 2. Der Ursprung des Begriffs „mathematische Erwartung“ ist mit der Anfangszeit der Entstehung der Wahrscheinlichkeitstheorie (16.-17. Jahrhundert) verbunden, als der Anwendungsbereich auf das Glücksspiel beschränkt war. Den Spieler interessierte der Durchschnittswert des erwarteten Gewinns, oder anders ausgedrückt, die mathematische Gewinnerwartung.