Zum Zwecke der Analyse und Gewinnung statistischer Schlussfolgerungen auf der Grundlage der Ergebnisse der Zusammenfassung und Gruppierung werden verallgemeinernde Indikatoren berechnet – Durchschnitts- und Relativwerte.

Durchschnittsproblem – alle Einheiten einer statistischen Grundgesamtheit mit einem charakteristischen Wert charakterisieren.

Durchschnittswerte charakterisieren Qualitätsindikatoren unternehmerische Tätigkeit: Vertriebskosten, Gewinn, Rentabilität usw.

Durchschnittswert- Dies ist ein verallgemeinerndes Merkmal von Bevölkerungseinheiten nach einem variierenden Merkmal.

Mittelwerte ermöglichen es Ihnen, die Ausprägungen desselben Merkmals in verschiedenen Populationen zu vergleichen und die Gründe für diese Diskrepanzen zu finden.

Bei der Analyse der untersuchten Phänomene spielen Durchschnittswerte eine enorme Rolle. Der englische Ökonom W. Petty (1623-1687) verwendete häufig Durchschnittswerte. V. Petty wollte Durchschnittswerte als Maß für die Ausgaben für die durchschnittliche tägliche Verpflegung eines Arbeiters verwenden. Die Stabilität des Durchschnittswerts spiegelt die Regelmäßigkeit der untersuchten Prozesse wider. Er glaubte, dass Informationen transformiert werden können, auch wenn nicht genügend Originaldaten vorhanden sind.

Der englische Wissenschaftler G. King (1648-1712) verwendete Durchschnitts- und Relativwerte bei der Analyse von Daten über die Bevölkerung Englands.

Die theoretischen Entwicklungen des belgischen Statistikers A. Quetelet (1796-1874) basieren auf der Widersprüchlichkeit sozialer Phänomene – höchst stabil in der Masse, aber rein individuell.

Laut A. Quetelet wirken konstante Ursachen gleichermaßen auf jedes untersuchte Phänomen und machen diese Phänomene einander ähnlich, wodurch für alle gemeinsame Muster entstehen.

Eine Konsequenz der Lehren von A. Quetelet war die Identifizierung von Durchschnittswerten als Haupttechnik statistische Analyse. Er sagte, dass statistische Durchschnittswerte keine Kategorie der objektiven Realität darstellen.

A. Quetelet brachte seine Ansichten zum Durchschnitt in seiner Theorie des Durchschnittsmenschen zum Ausdruck. Eine durchschnittliche Person ist eine Person, die alle Eigenschaften einer durchschnittlichen Größe aufweist (durchschnittliche Sterblichkeits- oder Geburtenrate, durchschnittliche Größe und Gewicht, durchschnittliche Laufgeschwindigkeit, durchschnittliche Neigung zu Heirat und Selbstmord, gute Taten usw.). Für A. Quetelet ist der Durchschnittsmensch der ideale Mensch. Die Widersprüchlichkeit der Theorie des Durchschnittsmenschen von A. Quetelet wurde in der russischen Statistikliteratur Ende des 19.-20. Jahrhunderts nachgewiesen.

Der berühmte russische Statistiker Yu. E. Yanson (1835-1893) schrieb, dass A. Quetelet die Existenz eines Typs eines Durchschnittsmenschen in der Natur als etwas Gegebenes annimmt, von dem das Leben des Durchschnittsmenschen einer bestimmten Gesellschaft und einer bestimmten Zeit abgewichen ist , und dies führt ihn zu einer völlig mechanischen Sichtweise und zu den Bewegungsgesetzen soziales Leben: Bewegung ist eine allmähliche Steigerung der durchschnittlichen Eigenschaften einer Person, eine allmähliche Wiederherstellung des Typs; folglich eine solche Nivellierung aller Manifestationen des Lebens des sozialen Körpers, jenseits derer jede Vorwärtsbewegung aufhört.

Der Kern dieser Theorie hat seinen Sinn gefunden weitere Entwicklung in den Werken einer Reihe statistischer Theoretiker als Theorie wahrer Größen. A. Quetelet hatte Anhänger – den deutschen Ökonomen und Statistiker V. Lexis (1837-1914), der die Theorie der wahren Werte auf wirtschaftliche Phänomene übertrug öffentliches Leben. Seine Theorie ist als Stabilitätstheorie bekannt. Eine andere Version der idealistischen Durchschnittstheorie basiert auf der Philosophie

Ihr Begründer ist der englische Statistiker A. Bowley (1869–1957) – einer der bedeutendsten Theoretiker der neueren Zeit auf dem Gebiet der Durchschnittstheorie. Sein Konzept der Durchschnittswerte wird in seinem Buch Elements of Statistics dargelegt.

A. Boley betrachtet Durchschnittswerte nur von der quantitativen Seite und trennt damit Quantität von Qualität. A. Boley bestimmt die Bedeutung von Durchschnittswerten (oder „ihrer Funktion“) und stellt das machianische Denkprinzip vor. A. Boley schrieb, dass die Funktion der Durchschnittswerte eine komplexe Gruppe ausdrücken sollte

mit der Hilfe einiger weniger Primzahlen. Statistische Daten sollten vereinfacht, gruppiert und auf Durchschnittswerte reduziert werden. Diese Ansichten: geteilt von R. Fisher (1890–1968), J. Yule (1871–1951), Frederick S. Mills (1892) usw.

In den 30er Jahren 20. Jahrhundert und Folgejahre gilt der Durchschnittswert als gesellschaftlich bedeutsames Merkmal, dessen Informationsgehalt von der Homogenität der Daten abhängt.

Die prominentesten Vertreter der italienischen Schule, R. Benini (1862-1956) und C. Gini (1884-1965), betrachteten die Statistik als einen Zweig der Logik und erweiterten den Anwendungsbereich der statistischen Induktion, verbanden jedoch das Kognitive Prinzipien der Logik und Statistik mit der Natur der untersuchten Phänomene in Anlehnung an die Traditionen der soziologischen Interpretation von Statistiken.

In den Werken von K. Marx und V. I. Lenin kommt Durchschnittswerten eine besondere Rolle zu.

K. Marx argumentierte, dass der Durchschnitt individuelle Abweichungen vom Gesamtniveau ausgleicht und Durchschnittsniveau wird zu einem verallgemeinernden Merkmal eines Massenphänomens. Der Durchschnittswert wird nur dann zu einem solchen Merkmal eines Massenphänomens, wenn eine signifikante Anzahl von Einheiten genommen wird und diese Einheiten qualitativ homogen sind. Marx schrieb, dass der gefundene Durchschnittswert der Durchschnitt von „...vielen verschiedenen Einzelwerten gleicher Art“ sein sollte.

Dem Durchschnittswert kommt in den Konditionen eine besondere Bedeutung zu Marktwirtschaft. Es hilft, das Notwendige und Allgemeine, die Tendenz des Musters zu bestimmen wirtschaftliche Entwicklung direkt durch das Singuläre und Zufällige.

Durchschnittliche Werte sind allgemeine Indikatoren, in denen die Auswirkung allgemeiner Bedingungen und das Muster des untersuchten Phänomens zum Ausdruck gebracht werden.

Statistische Mittelwerte werden auf Basis von Massendaten aus statistisch korrekt organisierter Massenbeobachtung berechnet. Wenn der statistische Durchschnitt aus Massendaten für eine qualitativ homogene Bevölkerung (Massenphänomene) berechnet wird, dann ist er objektiv.

Der Durchschnittswert ist abstrakt, da er den Wert einer abstrakten Einheit charakterisiert.

Der Durchschnitt wird aus der Vielfalt des Merkmals in einzelnen Objekten abstrahiert. Abstraktion ist ein Schritt wissenschaftliche Forschung. Im Durchschnittswert verwirklicht sich die dialektische Einheit des Einzelnen und des Allgemeinen.

Durchschnittswerte sollten auf der Grundlage eines dialektischen Verständnisses der Kategorien Individuum und Allgemeines, Individuum und Masse angewendet werden.

Das mittlere zeigt etwas Gemeinsames an, das in einem bestimmten einzelnen Objekt enthalten ist.

Um Muster in gesellschaftlichen Massenprozessen zu erkennen, ist der Durchschnittswert von großer Bedeutung.

Die Abweichung des Einzelnen vom Allgemeinen ist Ausdruck des Entwicklungsprozesses.

Der Durchschnittswert spiegelt das charakteristische, typische, reale Niveau der untersuchten Phänomene wider. Die Aufgabe von Durchschnittswerten besteht darin, diese Niveaus und ihre zeitlichen und räumlichen Veränderungen zu charakterisieren.

Der Durchschnittsindikator ist ein allgemeiner Wert, da er unter normalen, natürlichen, allgemeinen Bedingungen der Existenz eines bestimmten Massenphänomens als Ganzes gebildet wird.

Die objektive Eigenschaft eines statistischen Prozesses oder Phänomens spiegelt sich im Durchschnittswert wider.

Die einzelnen Werte des untersuchten statistischen Merkmals sind für jede Bevölkerungseinheit unterschiedlich. Der Durchschnittswert einzelner Werte einer Art ist ein Produkt der Notwendigkeit, das das Ergebnis der gemeinsamen Wirkung aller Bevölkerungseinheiten ist, die sich in einer Masse sich wiederholender Zufälle manifestiert.

Einige einzelne Phänomene haben Eigenschaften, die in allen Phänomenen vorhanden sind, aber in unterschiedliche Mengen ist die Größe oder das Alter einer Person. Andere Anzeichen eines individuellen Phänomens sind bei verschiedenen Phänomenen qualitativ unterschiedlich, das heißt, sie sind bei einigen vorhanden und werden bei anderen nicht beobachtet (aus einem Mann wird keine Frau). Der Durchschnittswert wird für qualitativ homogene und nur quantitativ unterschiedliche Merkmale berechnet, die allen Phänomenen einer bestimmten Menge innewohnen.

Der Durchschnittswert spiegelt die Werte des untersuchten Merkmals wider und wird in derselben Dimension wie dieses Merkmal gemessen.

Die Theorie des dialektischen Materialismus lehrt, dass sich alles auf der Welt verändert und entwickelt. Und auch die Merkmale, die durch Durchschnittswerte gekennzeichnet sind, ändern sich und dementsprechend auch die Durchschnittswerte selbst.

Im Leben gibt es einen kontinuierlichen Prozess, etwas Neues zu schaffen. Träger einer neuen Qualität sind einzelne Objekte, dann nimmt die Anzahl dieser Objekte zu und das Neue wird massenhaft, typisch.

Der Durchschnittswert charakterisiert die untersuchte Population anhand nur eines Merkmals. Für eine vollständige und umfassende Darstellung der untersuchten Bevölkerung nach einer Reihe spezifischer Merkmale ist ein System von Durchschnittswerten erforderlich, das das Phänomen aus verschiedenen Blickwinkeln beschreiben kann.

2. Arten von Durchschnittswerten

Bei der statistischen Verarbeitung von Material entstehen mehrere Aufgaben die gelöst werden müssen, weshalb in der statistischen Praxis unterschiedliche Durchschnittswerte verwendet werden. Mathe-Statistik verwendet verschiedene Durchschnittswerte, wie zum Beispiel: arithmetischer Durchschnitt; geometrisches Mittel; harmonische Mittel; quadratischer Mittelwert.

Um eine der oben genannten Arten von Durchschnittswerten anzuwenden, ist es notwendig, die untersuchte Bevölkerung zu analysieren und den materiellen Inhalt des untersuchten Phänomens zu bestimmen. Dies alles erfolgt auf der Grundlage von Schlussfolgerungen, die sich aus dem Prinzip der Aussagekraft der Ergebnisse ergeben Wiegen oder Summieren.

Bei der Untersuchung von Durchschnittswerten werden die folgenden Indikatoren und Notationen verwendet.

Das Vorzeichen, anhand dessen der Durchschnitt ermittelt wird, wird aufgerufen gemittelte Kennlinie und wird mit x bezeichnet; der Wert des gemittelten Merkmals für jede Einheit einer statistischen Grundgesamtheit wird aufgerufen seine individuelle Bedeutung, oder Optionen, und bezeichnet als X 1 , X 2 , X 3 ,… X P ; Häufigkeit ist die Wiederholbarkeit einzelner Werte eines Merkmals, bezeichnet durch den Buchstaben F.

Arithmetisches Mittel

Eine der häufigsten Arten von Medien ist arithmetisches Mittel, die berechnet wird, wenn das Volumen des gemittelten Merkmals als Summe seiner Werte in einzelnen Einheiten der untersuchten statistischen Grundgesamtheit gebildet wird.

Zur Berechnung des arithmetischen Mittels wird die Summe aller Stufen des Attributs durch deren Anzahl dividiert.

Wenn einige Optionen mehrmals auftreten, kann die Summe der Stufen des Attributs ermittelt werden, indem jede Stufe mit der entsprechenden Anzahl von Einheiten in der Grundgesamtheit multipliziert und dann die resultierenden Produkte addiert werden. Das so berechnete arithmetische Mittel wird als gewichtet bezeichnet arithmetisches Mittel.

Die Formel für das gewichtete arithmetische Mittel lautet wie folgt:

wo х ich Optionen bin,

f i – Frequenzen oder Gewichte.

In allen Fällen, in denen die Optionen unterschiedliche Nummern haben, sollte ein gewichteter Durchschnitt verwendet werden.

Das arithmetische Mittel verteilt sozusagen den Gesamtwert des Attributs gleichmäßig auf einzelne Objekte, der in Wirklichkeit für jedes von ihnen unterschiedlich ist.

Die Berechnung der Durchschnittswerte erfolgt anhand von in Form von Intervallverteilungsreihen gruppierten Daten, wobei die Varianten des Merkmals, aus dem der Durchschnitt berechnet wird, in Form von Intervallen (von – bis) dargestellt werden.

Eigenschaften des arithmetischen Mittels:

1) Das arithmetische Mittel der Summe variierender Werte ist gleich der Summe der arithmetischen Mittelwerte: Wenn x i = y i +z i, dann

Diese Eigenschaft zeigt an, in welchen Fällen eine Zusammenfassung von Durchschnittswerten möglich ist.

2) Die algebraische Summe der Abweichungen einzelner Werte eines variierenden Merkmals vom Durchschnitt ist gleich Null, da die Summe der Abweichungen in eine Richtung durch die Summe der Abweichungen in die andere Richtung kompensiert wird:

Diese Regel zeigt, dass der Durchschnitt das Resultierende ist.

3) Wenn alle Optionen in einer Reihe um dieselbe Zahl erhöht oder verringert werden? Wird der Durchschnitt dann um dieselbe Zahl steigen oder fallen?:

4) Wenn alle Varianten der Reihe um das A-fache erhöht oder verringert werden, erhöht oder verringert sich auch die durchschnittliche Variante um das A-fache:

5) Die fünfte Eigenschaft des Durchschnitts zeigt uns, dass er nicht von der Größe der Skalen abhängt, sondern von der Beziehung zwischen ihnen. Als Maßstäbe können nicht nur relative, sondern auch absolute Werte herangezogen werden.

Wenn alle Häufigkeiten der Reihe durch dieselbe Zahl d dividiert oder multipliziert werden, ändert sich der Durchschnitt nicht.

Harmonische Mittel. Um das arithmetische Mittel zu ermitteln, sind mehrere Möglichkeiten und Häufigkeiten bzw. Werte erforderlich X Und F.

Nehmen wir an, dass die einzelnen Werte des Merkmals bekannt sind X und funktioniert X/, und Frequenzen F unbekannt sind, bezeichnen wir zur Berechnung des Durchschnitts das Produkt = X/; Wo:

Der Durchschnitt in dieser Form wird als harmonisch gewichteter Durchschnitt bezeichnet und bezeichnet x Schaden. hoch

Dementsprechend ist das harmonische Mittel identisch mit dem arithmetischen Mittel. Dies gilt, wenn die tatsächlichen Gewichte unbekannt sind F, und die Arbeit ist bekannt fx = z

Wenn das funktioniert fx Bei identischen oder gleichen Einheiten (m = 1) wird das harmonische einfache Mittel verwendet, berechnet nach der Formel:

Wo X– separate Optionen;

N- Nummer.

Geometrisches Mittel

Wenn es n Wachstumskoeffizienten gibt, lautet die Formel für den Durchschnittskoeffizienten:

Dies ist die geometrische Mittelformel.

Das geometrische Mittel ist gleich der Wurzel der Potenz N aus dem Produkt der Wachstumskoeffizienten, die das Verhältnis des Wertes jeder nachfolgenden Periode zum Wert der vorherigen charakterisieren.

Wenn im Formular ausgedrückte Werte einer Mittelung unterliegen quadratische Funktionen, wird der mittlere Quadratwert angewendet. Mithilfe des quadratischen Mittelwerts können Sie beispielsweise die Durchmesser von Rohren, Rädern usw. bestimmen.

Der quadratische Mittelwert wird durch Extrahieren ermittelt Quadratwurzel aus dem Quotienten der Quadratsumme individuelle Werte unterschreiben Sie ihre Nummer.

Das gewichtete mittlere Quadrat ist gleich:

3. Strukturelle Durchschnittswerte. Modus und Median

Zur Charakterisierung der Struktur einer statistischen Grundgesamtheit werden Indikatoren verwendet, die aufgerufen werden Strukturdurchschnitte. Dazu gehören Modus und Median.

Mode (M Ö ) - die häufigste Option. Mode ist der Wert des Attributs, der dem Maximalpunkt der theoretischen Verteilungskurve entspricht.

Mode stellt die am häufigsten vorkommende bzw. typischste Bedeutung dar.

Mode wird in der kommerziellen Praxis verwendet, um die Verbrauchernachfrage zu untersuchen und Preise festzuhalten.

In einer diskreten Reihe ist der Modus die Variante mit der höchsten Frequenz. In einer Intervallvariationsreihe wird der Modus als die zentrale Variante des Intervalls betrachtet, die die höchste Häufigkeit (Besonderheit) aufweist.

Innerhalb des Intervalls müssen Sie den Wert des Attributs ermitteln, das den Modus darstellt.

Wo X Ö– untere Grenze des Modalintervalls;

H– der Wert des Modalintervalls;

f m– Häufigkeit des Modalintervalls;

f t-1 – Häufigkeit des Intervalls vor dem modalen Intervall;

f m+1 – Häufigkeit des Intervalls, das dem modalen Intervall folgt.

Der Modus richtet sich nach der Größe der Gruppen und nach der genauen Lage der Gruppengrenzen.

Mode– die Zahl, die tatsächlich am häufigsten vorkommt (ein eindeutiger Wert ist), in der Praxis die breiteste Anwendung findet (häufigster Käufertyp).

Median (M e ist eine Größe, die die Anzahl einer geordneten Variationsreihe in zwei gleiche Teile teilt: Ein Teil hat Werte des variierenden Merkmals, die kleiner als die durchschnittliche Variante sind, und der andere hat größere Werte.

Median ist ein Element, das größer oder gleich und gleichzeitig kleiner oder gleich der Hälfte der übrigen Elemente der Verteilungsreihe ist.

Die Eigenschaft des Medians besteht darin, dass die Summe der absoluten Abweichungen der Attributwerte vom Median geringer ist als von jedem anderen Wert.

Mit dem Median erhalten Sie genauere Ergebnisse als mit anderen Durchschnittsformen.

Die Reihenfolge zum Ermitteln des Medians in einer Intervallvariationsreihe ist wie folgt: Wir ordnen die einzelnen Werte des Merkmals nach der Rangfolge; Wir ermitteln die akkumulierten Häufigkeiten für eine bestimmte Rangfolge. Anhand der akkumulierten Häufigkeitsdaten ermitteln wir das Medianintervall:

Wo x ich– untere Grenze des Medianintervalls;

ich Mich– der Wert des Medianintervalls;

f/2– Halbsumme der Häufigkeiten der Reihe;

S Mich-1 – die Summe der akkumulierten Häufigkeiten vor dem Medianintervall;

F Mich– Häufigkeit des Medianintervalls.

Der Median teilt die Anzahl einer Reihe in zwei Hälften. Er liegt also vor, wenn die akkumulierte Häufigkeit die Hälfte oder mehr als die Hälfte der Gesamtsumme der Häufigkeiten beträgt und die vorherige (akkumulierte) Häufigkeit weniger als die Hälfte der Bevölkerungszahl beträgt.

Die in der Wirtschaftsforschung am häufigsten verwendete Form statistischer Indikatoren ist der Durchschnittswert, bei dem es sich um ein verallgemeinertes quantitatives Merkmal eines Merkmals in einer statistischen Grundgesamtheit unter bestimmten Orts- und Zeitbedingungen handelt. Ein Indikator in Form eines Durchschnittswerts drückt typische Merkmale aus und liefert eine verallgemeinerte Charakteristik ähnlicher Phänomene entsprechend einem der variierenden Merkmale. Es spiegelt den Grad dieses Merkmals wider, der einer Bevölkerungseinheit zugeordnet wird. Die weit verbreitete Verwendung von Durchschnittswerten erklärt sich aus der Tatsache, dass sie über eine Reihe positiver Eigenschaften verfügen, die sie zu einem unverzichtbaren Instrument zur Analyse von Phänomenen und Prozessen in der Wirtschaft machen.

Die wichtigste Eigenschaft des Durchschnittswerts besteht darin, dass er das widerspiegelt, was allen Einheiten der untersuchten Bevölkerung gemeinsam ist. Die Attributwerte einzelner Bevölkerungseinheiten schwanken in die eine oder andere Richtung unter dem Einfluss vieler Faktoren, darunter sowohl grundlegende als auch zufällige. Beispielsweise wird der Aktienkurs eines Unternehmens in erster Linie durch seine finanzielle Leistung bestimmt. Gleichzeitig können diese Aktien an bestimmten Tagen und an bestimmten Börsen aufgrund der jeweiligen Umstände zu einem höheren oder niedrigeren Kurs verkauft werden. Das Wesen des Durchschnittswerts liegt darin, dass er die durch die Einwirkung zufälliger Faktoren verursachten Abweichungen der charakteristischen Werte einzelner Bevölkerungseinheiten aufhebt und die durch die Einwirkung der Hauptfaktoren verursachten Veränderungen berücksichtigt . Dadurch kann der Durchschnittswert das typische Niveau des Merkmals widerspiegeln und von den individuellen Merkmalen einzelner Einheiten abstrahieren.

Wird in Statistiken verwendet Verschiedene Arten durchschnittliche Werte. Am häufigsten werden das arithmetische Mittel, das harmonische Mittel, das geometrische Mittel und das quadratische Mittel verwendet. Die Wahl des einen oder anderen Durchschnitts hängt vom Inhalt des gemittelten Merkmals und den spezifischen Daten ab, aus denen er berechnet werden muss.

Diese Durchschnittswerte können entweder dann berechnet werden, wenn jede Variante der Grundgesamtheit nur einmal vorkommt (in diesem Fall wird der Durchschnitt genannt). einfach oder ungewichtet), oder wenn Optionen unterschiedlich oft wiederholt werden (die Anzahl der Wiederholungen von Optionen wird aufgerufen). Frequenz oder statistisches Gewicht und der unter Berücksichtigung der Gewichte berechnete Durchschnitt beträgt gewichteter Durchschnitt).

Einfaches arithmetisches Mittel– die häufigste Art des Durchschnittswerts, berechnet nach der Formel

Arithmetisches Mittel gewichtet

Wo x i- Option, und f i– Häufigkeit oder statistisches Gewicht.

Beispiel. Eine Untersuchung von fünf Büros im Erdgeschoss des Büros ergab, dass dort 1, 2, 3, 4, 5 Personen arbeiten. Berechnen wir das einfache arithmetische Mittel:

diese. Im ersten Stock sind durchschnittlich 3 Personen pro Büro untergebracht.

Die Ergebnisse der Untersuchung aller Räume im selben Gebäude sind in Tabelle 8.2 dargestellt.

Tabelle 8.2

Ergebnisse der Bürogebäudebefragung

Berechnen wir die durchschnittliche Anzahl der Mitarbeiter, die in diesem Gebäude arbeiten:

Diese. Im Durchschnitt sind in diesem Gebäude 7 Mitarbeiter pro 2 Büros beschäftigt.

Das arithmetische Mittel ist immer ein verallgemeinerndes quantitatives Merkmal eines variierenden Merkmals einer Population.

Harmonische Mittel wird in Fällen berechnet, in denen nicht die Optionen selbst, sondern ihre Kehrwerte summiert werden müssen.

Berechnungsformel bedeuten harmonisch einfach nächste:

Harmonischer Mittelwert gewichtet durch die Formel bestimmt

Wo x i- Möglichkeit, N– Anzahl der Optionen, V i– Gewichte für inverse Werte x i.

Beispiel. Harmonisches Mittel ungewichtet(Dies ist die Durchschnittsform, die viel seltener verwendet wird als die gewichtete Form). Um den Anwendungsbereich zu veranschaulichen, verwenden wir ein vereinfachtes bedingtes Beispiel. Angenommen, in einem Unternehmen, das sich auf den Versandhandel auf Basis von Vorbestellungen spezialisiert hat, sind zwei Mitarbeiter mit dem Verpacken und Versenden von Waren beschäftigt. Bei der ersten dauert die Bearbeitung einer Bestellung 5 Minuten, bei der zweiten 15 Minuten. Wie hoch ist die durchschnittliche Zeit, die für einen Auftrag aufgewendet wird, wenn die Gesamtarbeitszeit der Arbeiter gleich ist?

Die Antwort auf diese Frage liegt auf den ersten Blick in der Mittelung der Einzelwerte der für eine Bestellung aufgewendeten Zeit, d.h. (5 + 15) : 2 = 10, min. Überprüfen wir die Gültigkeit dieses Ansatzes am Beispiel einer Arbeitsstunde. Während dieser Stunde bearbeitet der erste Arbeiter 12 Bestellungen (60:5), der zweite – 4 Bestellungen (60:15), was insgesamt 16 Bestellungen ergibt. Wenn wir die Einzelwerte durch ihren geschätzten Durchschnittswert ersetzen, verringert sich in diesem Fall die Gesamtzahl der von beiden Arbeitern bearbeiteten Aufträge:

Nähern wir uns der Lösung durch das ursprüngliche Verhältnis des Durchschnitts. Um die durchschnittlich aufgewendete Zeit zu ermitteln, ist es notwendig, die Gesamtzeit, die für ein beliebiges Intervall (z. B. eine Stunde) aufgewendet wurde, durch die Gesamtzahl der von zwei Mitarbeitern in diesem Intervall bearbeiteten Aufträge zu dividieren:

Wenn wir nun die einzelnen Werte durch diese ersetzen durchschnittliche Größe, dann ändert sich die Gesamtzahl der pro Stunde bearbeiteten Bestellungen nicht:

Aufträge

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass das ungewichtete harmonische Mittel anstelle des gewichteten Mittels verwendet werden kann, wenn die Werte W J für Bevölkerungseinheiten gleich sind (im betrachteten Beispiel sind die Arbeitszeiten der Arbeitnehmer gleich).

Beispiel. Harmonischer Mittelwert gewichtet. Beim Handel an der Devisenbörse wurden in der ersten Betriebsstunde fünf Transaktionen abgeschlossen. Daten zur Höhe der Rubelverkäufe und zum Wechselkurs des Rubels gegenüber dem US-Dollar sind in Tabelle 8.3 aufgeführt.

Tabelle 8.3

Daten zum Fortschritt des Handels an der Devisenbörse

Um den durchschnittlichen Wechselkurs des Rubels gegenüber dem Dollar zu bestimmen, müssen Sie das Verhältnis zwischen der Höhe der Rubelverkäufe, die für den Kauf von Dollars während aller Transaktionen ausgegeben wurden, und der Menge der dadurch erworbenen Dollars ermitteln diese Transaktionen.

Diese. Der Durchschnittskurs für einen Dollar betrug 25,48 Rubel.

Wenn das arithmetische Mittel zur Berechnung des Durchschnittssatzes verwendet würde, d. h. reiben. für einen Dollar, dann zu diesem Wechselkurs für den Kauf von 29 Millionen Dollar. es müssten 739,5 Millionen Rubel ausgegeben werden, was nicht stimmt.

Geometrisches Mittel Wird zur Analyse der Dynamik von Phänomenen verwendet und ermöglicht die Bestimmung der durchschnittlichen Wachstumsrate. Bei der Berechnung des geometrischen Mittels sind einzelne Werte eines Merkmals in der Regel relative Dynamikindikatoren, die in Form von Kettenwerten als Verhältnis jeder Ebene der Reihe zur vorherigen Ebene konstruiert werden.

Durchschnittlich geometrisch einfach nach der Formel berechnet

Wenn wir Frequenzen verwenden M, wir bekommen gewichtete geometrische Mittelformel

Quadratischer Mittelwert Wird verwendet, wenn die Variation eines Merkmals untersucht wird. Als Optionen werden Abweichungen der tatsächlichen Werte des Merkmals entweder vom arithmetischen Mittel oder von der angegebenen Norm verwendet.

Verwenden Sie für nicht gruppierte Daten die Formel mittleres Quadrat einfach

Für gruppierte Daten verwenden Sie die Formel gewichtetes mittleres Quadrat

Arithmetische, harmonische, geometrische und quadratische Mittelwerte, die für die gleiche Anzahl von Optionen berechnet werden, unterscheiden sich voneinander. Ihr numerischer Wert steigt mit zunehmendem Exponenten in der Formel für den Leistungsdurchschnitt, d. h. – die Majoritätsregel des durchschnittlichen A.Ya. Bojarski.

Strukturelle Durchschnittswerte

Die in der Wirtschaftspraxis am häufigsten verwendeten Strukturdurchschnitte sind Mode Und Median.

Mode– Dies ist der Wert des Merkmals (Variante), das in einer bestimmten Population am häufigsten vorkommt, d. h. Dies ist die Option mit der höchsten Häufigkeit. In einer diskreten Reihe wird der Modus gemäß der Definition bestimmt, d. h. Dies ist eine der Varianten des Attributs, die in der Verteilungsreihe die höchste Häufigkeit aufweist. Für eine Intervallreihe ermitteln wir den Modus mithilfe der Formel (8.16), indem wir zunächst das Modalintervall unter Verwendung der höchsten Häufigkeit bestimmen:

wo x 0 – anfängliche (untere) Grenze des Modalintervalls;

H– Intervallgröße;

f Mo– Häufigkeit des Modalintervalls;

f Mo-1– Häufigkeit des Intervalls vor dem modalen;

f Mo+1– Häufigkeit des Intervalls, das dem modalen folgt.

Median Man nennt den Wert eines Merkmals, der in der Mitte der Rangreihe liegt, also In der Rangfolge der Verteilung weist eine Hälfte der Zeile einen charakteristischen Wert auf, der größer als der Median ist, die andere Hälfte ist kleiner als der Median.

In einer diskreten Reihe wird der Median direkt aus der akkumulierten Häufigkeit ermittelt, die der Medianzahl entspricht.

Bei einer Intervallvariationsreihe wird der Median durch die Formel bestimmt

Wo x o– untere Grenze des Medianintervalls;

N Ich– Ordnungsnummer Mediane (Σf/2);

S Ich -1– kumulierte Häufigkeit bis zum Medianintervall;

fMe– Häufigkeit des Medianintervalls.

Beispiel. Berechnen wir den Modus und den Median gemäß den Daten in der Tabelle. 8.4.

Tabelle 8.4

Verteilung der Stadtfamilien nach Größe
durchschnittliches Pro-Kopf-Einkommen im Januar 2008

Finden wir den Modus mithilfe der Formel (8.16):

Berechnen wir den Median mit der Formel (8.17):

zuerst gefunden N Mittelwerte: N Me = Σf i /2= 5000. Basierend auf den akkumulierten Häufigkeiten bestimmen wir, dass 5000 im Intervall (7000 – 8000) liegt, sein Wert wird durch die Formel bestimmt:

Fazit: Laut Mode liegt das durchschnittliche Pro-Kopf-Einkommen am häufigsten bei 7.730 Rubel, laut Median hat die Hälfte der Familien in der Stadt ein durchschnittliches Pro-Kopf-Einkommen von weniger als 7.800 Rubel, der Rest der Familien – mehr als 7.800 Rubel.

Das Verhältnis von Modus, Median und arithmetischem Mittel gibt Aufschluss über die Art der Verteilung des Merkmals im Aggregat und ermöglicht die Beurteilung seiner Asymmetrie. Wenn M 0<М е <Х – es gibt rechtsseitige Asymmetrie, mit X<М е <М 0 Es sollte gefolgert werden, dass eine linksseitige Asymmetrie der Reihe vorliegt.

Testaufgaben

1. Welche Rolle spielen relative Größen in der Statistik?

2. Welche Formen der Angabe relativer Größen gibt es?

3. Welche Bedeutung haben Durchschnittswerte in der Statistik?

4. Welche Arten von Durchschnittswerten werden in der Statistik verwendet?

5. In welchen Fällen werden harmonische, quadratische und geometrische Mittel verwendet?

6. Bestimmen Sie anhand der Daten in Tabelle 8.5 den Modus und den Median.

Tabelle 8.5

Verteilung der Gewerbebetriebe in der Stadt
nach der Höhe der Einzelhandelspreise für Produkt A

7. Bestimmen Sie gemäß Tabelle 8.6 das Durchschnittsalter des Personals.

Tabelle 8.6

Verteilung der Mitarbeiter des Unternehmens nach Alter

8. Bestimmen Sie anhand von Tabelle 8.7 die durchschnittliche Betriebszugehörigkeit von: a) Arbeitnehmern; b) Mitarbeiter.

Tabelle 8.7

Verteilung der Mitarbeiter nach Betriebszugehörigkeit

Bundesamt für Bildung

Staatliche Bildungseinrichtung für höhere Berufsbildung „Ural State Economic University“

Zentrum für Fernunterricht

PRÜFUNG

nach Disziplin: „ Statistiken"

Testamentsvollstrecker:

Gruppenschüler: ETR-09 SR

Trosheva Natalya Yurievna

Stadt Jekaterinburg

2009

Einführung

1.1 Arten von Durchschnittswerten und Berechnungsmethoden

1.2 Strukturdurchschnitte

2. Praktische Aufgabe

Abschluss

Referenzliste

Einführung

Dieser Test besteht aus zwei Teilen – theoretisch und praktisch.

Im theoretischen Teil wird eine so wichtige statistische Kategorie wie der Durchschnittswert eingehend untersucht, um dessen Wesen und Anwendungsbedingungen zu ermitteln sowie die Arten von Durchschnittswerten und Methoden zu ihrer Berechnung hervorzuheben.

Der praktische Teil ist der Berechnung und Analyse der wichtigsten Leistungsindikatoren eines jeden Unternehmens gewidmet – dem geplanten Entwicklungsstand des Phänomens und dem allgemeinen Preisindex, um die Hauptfaktoren zu identifizieren, die Veränderungen dieser Indikatoren beeinflussen.

1. Durchschnittswerte: Typen, Eigenschaften, Umfang

Der Durchschnittswert ist ein verallgemeinernder Wert des untersuchten Merkmals in der untersuchten Bevölkerung, der sein typisches Niveau pro Bevölkerungseinheit unter bestimmten Orts- und Zeitbedingungen widerspiegelt.

Unter Durchschnittswerten versteht man allgemeine statistische Indikatoren, die eine zusammenfassende Beschreibung gesellschaftlicher Massenphänomene liefern, da sie auf der Grundlage einer Vielzahl von Einzelwerten unterschiedlicher Ausprägung aufgebaut sind.

Der Durchschnittswert spiegelt wider, was allen untersuchten Bevölkerungseinheiten gemeinsam ist. Gleichzeitig gleicht es den Einfluss aller Faktoren aus, die auf den Wert des Merkmals einzelner Bevölkerungseinheiten einwirken, als ob sie sich gegenseitig auslöschen würden. Das Ausmaß eines sozialen Phänomens wird durch die Wirkung zweier Gruppen von Faktoren bestimmt. Einige von ihnen sind allgemein und grundlegend, ständig in Betrieb, stehen in engem Zusammenhang mit der Art des untersuchten Phänomens oder Prozesses und bilden das, was für alle untersuchten Einheiten der Bevölkerung typisch ist und sich im Durchschnittswert widerspiegelt. Andere sind individuell, ihre Wirkung ist weniger ausgeprägt und episodischer, zufälliger Natur. Somit fungiert der Durchschnittswert als „unpersönlicher“ Wert, der von den einzelnen Merkmalswerten abweichen kann, ohne mit einem dieser quantitativ übereinzustimmen. Der Durchschnittswert spiegelt das Allgemeine, Charakteristische und Typische für die gesamte Bevölkerung aufgrund der gegenseitigen Aufhebung zufälliger, atypischer Unterschiede zwischen den Merkmalen seiner einzelnen Einheiten wider, da sein Wert wie durch die gemeinsame Resultierende aller Ursachen bestimmt wird.

Damit der Durchschnittswert den typischsten Wert eines Merkmals widerspiegelt, sollte er nur für Populationen ermittelt werden, die aus qualitativ homogenen Einheiten bestehen. Diese Anforderung ist die Hauptvoraussetzung für die wissenschaftlich fundierte Verwendung von Durchschnittswerten und impliziert einen engen Zusammenhang zwischen der Durchschnittsmethode und der Gruppierungsmethode bei der Analyse sozioökonomischer Phänomene.

Es muss betont werden, dass die korrekte Berechnung eines Durchschnittswerts die Erfüllung folgender Anforderungen voraussetzt:

die qualitative Homogenität der Grundgesamtheit, aus der der Durchschnittswert berechnet wird.

Eliminierung des Einflusses zufälliger, rein individueller Ursachen und Faktoren auf die Berechnung des Durchschnittswerts

Bei der Berechnung des Durchschnittswerts ist es wichtig, den Zweck seiner Berechnung und den sogenannten definierenden Indikator festzulegen, auf den er sich konzentrieren sollte.

Der für die Gesamtbevölkerung berechnete Durchschnittswert wird als Gesamtdurchschnitt bezeichnet – er spiegelt die allgemeinen Merkmale des untersuchten Phänomens wider; Für jede Gruppe berechnete Durchschnittswerte liefern eine Charakteristik des Phänomens, das sich unter den spezifischen Bedingungen einer bestimmten Gruppe entwickelt.

1.1 Die Berechnungsmethoden können unterschiedlich sein, daher gibt es in der Statistik verschiedene Arten von Durchschnittswerten

Durchschnittswerte werden in zwei große Typen unterteilt:

Potenzmittel (harmonisches Mittel, geometrisches Mittel, arithmetisches Mittel usw.). Um Leistungsmittelwerte zu berechnen, müssen alle verfügbaren Kennwerte herangezogen werden. Wenn Sie alle Arten von Leistungsdurchschnitten für dieselben Daten berechnen, sind ihre Werte gleich. Dann gilt die Regel der Mehrheit der Durchschnittswerte: Mit zunehmendem Exponenten der Durchschnittswerte steigt der Durchschnittswert selbst ().

strukturelle Mittel (Modus, Median). Modus und Median werden nur durch die Struktur der Verteilung bestimmt. Daher werden sie „strukturelle Positionsdurchschnitte“ genannt. Der Median und der Modus werden häufig als Durchschnittsmerkmal in den Populationen verwendet, in denen die Berechnung des Leistungsmittelwerts unmöglich oder unpraktisch ist.

Der Übersichtlichkeit halber sind in Tabelle 1 die am häufigsten verwendeten Formeln zur Berechnung verschiedener Arten von Leistungsdurchschnitten in der praktischen Forschung aufgeführt.

Tabelle 1 Arten von Kraftmitteln

Art des Leistungsdurchschnitts	Exponent	Berechnungsformel
			Gewichtet
1. Harmonisch			, Wo
2. Geometrisch
3. Arithmetik

Das arithmetische Mittel ist der Durchschnittswert eines Merkmals, bei dessen Berechnung das Gesamtvolumen des Merkmals im Aggregat unverändert bleibt. Um das arithmetische Mittel zu berechnen, ist es notwendig, die Summe aller Merkmalswerte durch deren Anzahl zu dividieren. Es wird in Fällen verwendet, in denen das Volumen eines variierenden Merkmals für die gesamte Population die Summe der Werte der Merkmale seiner einzelnen Einheiten ist. Ein Beispiel für einen arithmetischen Durchschnitt ist der Gesamtlohnfonds.

Das arithmetische einfache Mittel ist gleich der einfachen Summe der Einzelwerte des gemittelten Merkmals geteilt durch die Gesamtzahl dieser Werte. Es wird in Fällen verwendet, in denen nicht gruppierte Einzelmerkmalswerte vorliegen.

Das gewichtete arithmetische Mittel ist der Durchschnitt ihrer Varianten, die unterschiedlich oft wiederholt werden oder unterschiedliche Gewichte haben.

Grundeigenschaften des arithmetischen Mittels:

Wenn die einzelnen Werte des Merkmals, d.h. Optionen um das i-fache verringern oder erhöhen, dann verringert oder erhöht sich der Durchschnittswert des neuen Attributs entsprechend um das i-fache.

Wenn alle Varianten des gemittelten Merkmals um die Zahl A verringert oder erhöht werden, verringert oder erhöht sich das arithmetische Mittel entsprechend um die gleiche Zahl.

Wenn die Gewichte aller gemittelten Optionen um das k-fache verringert oder erhöht werden, ändert sich das arithmetische Mittel nicht.

Die Summe der Abweichungen einzelner Werte eines Merkmals (Variante) vom arithmetischen Mittel ist gleich Null.

Vor der Berechnung des Durchschnittswerts ist es notwendig, die Intervallreihe in eine diskrete umzuwandeln. Suchen Sie dazu in jeder Gruppe die Mitte des Intervalls. Sie wird ermittelt, indem die Summe aus Ober- und Untergrenze halbiert wird.

Die harmonisch gewichtete Durchschnittsformel wird verwendet, wenn die Informationen keine Frequenzen enthalten für einzelne Optionen x der Gesamtheit und wird als Produkt dargestellt
. Um den Durchschnitt zu berechnen, ist eine Angabe erforderlich
, Wo
. Nun transformieren wir die Formel für das arithmetische Mittel so, dass wir aus den verfügbaren Daten x und m den Mittelwert berechnen können. In der Formel für den arithmetischen gewichteten Durchschnitt ersetzen wir stattdessen m und anstelle von f das Verhältnis und erhalten so die Formel für den harmonisch gewichteten Durchschnitt.

Der einfache harmonische Mittelwert wird in Fällen verwendet, in denen das Gewicht jeder Option gleich eins ist, d. h.
,

Der geometrische Mittelwert wird in Fällen verwendet, in denen die Einzelwerte eines Merkmals relative Dynamikwerte sind, die in Form von Kettenwerten als Verhältnis zum vorherigen Niveau jedes Niveaus in der Dynamikreihe aufgebaut sind, d.h. charakterisiert die durchschnittliche Wachstumsrate.

Die häufigste Form statistischer Indikatoren ist der Durchschnittswert, bei dem es sich um ein verallgemeinertes quantitatives Merkmal eines Merkmals in einer statistischen Grundgesamtheit unter bestimmten Orts- und Zeitbedingungen handelt. Ein Indikator in Form eines Durchschnittswerts drückt typische Merkmale aus und liefert eine verallgemeinerte Charakteristik ähnlicher Phänomene entsprechend einem der variierenden Merkmale. Die weit verbreitete Verwendung von Durchschnittswerten erklärt sich aus der Tatsache, dass sie über eine Reihe von Werten verfügen positive Eigenschaften Damit sind sie ein unverzichtbares Instrument zur Analyse von Phänomenen und Prozessen in der Wirtschaft.

Die wichtigste Eigenschaft des Durchschnittswerts besteht darin, dass er das widerspiegelt, was allen Einheiten der untersuchten Bevölkerung gemeinsam ist. Die Attributwerte einzelner Bevölkerungseinheiten schwanken in die eine oder andere Richtung unter dem Einfluss vieler Faktoren, darunter sowohl grundlegende als auch zufällige. Beispielsweise wird der Aktienkurs eines Unternehmens in erster Linie durch seine finanzielle Leistung bestimmt. Gleichzeitig können diese Aktien an bestimmten Tagen und an bestimmten Börsen aufgrund der jeweiligen Umstände zu einem höheren oder niedrigeren Kurs verkauft werden. Das Wesen des Durchschnitts liegt darin, dass er die durch die Wirkung zufälliger Faktoren verursachten Abweichungen der charakteristischen Werte einzelner Bevölkerungseinheiten aufhebt und die durch die Wirkung der Hauptfaktoren verursachten Veränderungen berücksichtigt. Dadurch kann der Durchschnitt das typische Niveau des Merkmals widerspiegeln und von den individuellen Merkmalen einzelner Einheiten abstrahieren.

Die Typizität des Durchschnitts steht in direktem Zusammenhang mit der Homogenität der Bevölkerung. Der Durchschnittswert spiegelt nur dann das typische Niveau des Attributs wider, wenn er aus einer qualitativ homogenen Grundgesamtheit berechnet wird. Wenn wir also den durchschnittlichen Wechselkurs für die Aktien aller Unternehmen berechnen, die an einem bestimmten Tag an einer bestimmten Börse gehandelt werden, erhalten wir einen fiktiven Durchschnitt. Dies lässt sich dadurch erklären, dass die zur Berechnung herangezogene Grundgesamtheit äußerst heterogen ist. In diesem und ähnlichen Fällen wird die Durchschnittsmethode in Kombination mit der Gruppierungsmethode verwendet: Bei heterogener Grundgesamtheit müssen die allgemeinen Durchschnittswerte durch Gruppendurchschnitte ersetzt oder ergänzt werden, d. h. Für qualitativ homogene Gruppen berechnete Durchschnittswerte.

Die Durchschnittstheorie verwendet die folgenden Konventionen.

1. Das Merkmal, anhand dessen der Durchschnitt bestimmt wird, wird aufgerufen gemittelte Kennlinie und wird bezeichnet.

2. Der Wert des gemittelten Merkmals für jede Einheit der Bevölkerung wird als sein bezeichnet individuelle Bedeutung und wird bezeichnet.

3. Die Wiederholbarkeit einzelner Werte wird als Häufigkeit bezeichnet und bezeichnet F .

4. Der Gesamtwert des Merkmals wird angezeigt W .

Jedes quantitative Merkmal einer statistischen Grundgesamtheit hat einen einzigen Durchschnittswert. Die Berechnung kann je nach Ausprägungsform des gemittelten Merkmals (absolut, relativ und Durchschnitt) und den verfügbaren Informationen auf unterschiedliche Weise erfolgen. Abhängig vom Abschluss k Es werden verschiedene Arten von Durchschnittswerten ermittelt.

1.Einfaches arithmetisches Mittel - die häufigste Mittelart

k =1

2.Arithmetisches Mittel gewichtet – wird verwendet, wenn die einzelnen Werte des Merkmals und deren Häufigkeit bekannt sind F . Jede Option wird entsprechend ihrer Häufigkeit „gewichtet“, d. h. damit multiplizieren. Frequenzen F Dies nennt man statistische Gewichte oder einfach durchschnittliche Skalen .

Beispiel. Auf Basis der verfügbaren Daten berechnen wir die durchschnittliche Betriebszugehörigkeit der Mitarbeiter

3.Mittel harmonisch einfach wird verwendet, wenn es erforderlich ist, dass bei der Mittelung die Summe der Kehrwerte der Einzelwerte des Merkmals unverändert bleibt.

wo ist die Summe der Umkehrwerte des Merkmals.

Beispiel. Ein beladenes Auto fuhr mit einer Geschwindigkeit von 40 km/h von der Fabrik zum Lager und mit einer Geschwindigkeit von 60 km/h leer zurück. Wie hoch ist die Durchschnittsgeschwindigkeit des Autos für beide Fahrten?

Die Transportentfernung sei S km. S spielt bei der Berechnung der Durchschnittsgeschwindigkeit keine Rolle. Beim Ersetzen einzelner Geschwindigkeitswerte Für einen Durchschnittswert ist es notwendig, dass die für beide Fahrten aufgewendete Zeit konstant bleibt, sonst kann die Durchschnittsgeschwindigkeit alles sein – von der Geschwindigkeit einer Schildkröte bis zur Lichtgeschwindigkeit. Die Reisezeit beträgt . Also,

Wenn wir alle Terme der Gleichheit um S reduzieren, erhalten wir diese. die Bedingung des harmonischen Mittelwerts ist erfüllt. Ersetzen wir und erhalten wir

Der arithmetische Mittelwert von 50 km/h ist falsch, weil... führt zu einer anderen Bewegungszeit als tatsächlich auftritt. Wenn die Entfernung 96 km beträgt, beträgt die tatsächliche Reisezeit

In der statistischen Praxis wird häufiger der harmonisch gewichtete Durchschnitt verwendet.

4.Harmonischer Mittelwert gewichtet wird verwendet, wenn die Einzelwerte des Merkmals und die Gesamtwerte des Merkmals bekannt sind.

Beispiel

5.Durchschnittliches Aggregat wird verwendet, wenn die Gesamtwerte der Kennlinie und deren Häufigkeiten bekannt sind.

Beispiel. Bestimmen Sie die durchschnittlichen Produktionskosten, sofern bekannt

6.Quadratischer Mittelwert Wird zur Berechnung der Standardabweichung verwendet, die ein Indikator für Variation ist, sowie in der Technik

k =2

Gewichteter mittlerer Quadratwert

7.Geometrisches Mittel wird zur Berechnung der durchschnittlichen Wachstumsrate gemäß dem Kettendiagramm verwendet k= 0

Bei k= 1 wir erhalten das arithmetische Mittel mit k= 2 – quadratisch, mit k= 3 – kubisch, mit k= 0 – geometrisch, mit k= -1 - harmonische Mittel. Je höher der Exponent k , desto größer ist der Durchschnittswert. Wenn alle Anfangswerte eines Merkmals gleich sind, dann sind alle Durchschnittswerte gleich const. Wir haben also die folgende Beziehung, die aufgerufen wird die Regel der Mehrheit der Durchschnittswerte :

Mit dieser Regel kann die Statistik je nach Stimmung und Wunsch ihres „Experten“ einen Schüler, der in der Sitzung die Noten 2 und 5 erhalten hat, entweder „ertrinken“ oder „retten“. Wie hoch ist seine durchschnittliche Punktzahl?

Gemessen am arithmetischen Mittel liegt die Durchschnittsnote bei 3,5. Aber wenn der Dekan den Unglücklichen „ertränken“ will und den harmonischen Mittelwert berechnet dann bleibt der Schüler im Durchschnitt ein D-Schüler, der das C-Niveau nicht erreicht hat.

Der Fachschaftsrat kann jedoch beim Dekan Einspruch erheben und den durchschnittlichen Kubikwert vorlegen . Der Student sieht bereits „gut“ aus und bewirbt sich sogar um ein Stipendium.

Strukturelle Durchschnittswerte – Modus und Median – fungieren im Gegensatz zu Leistungsdurchschnitten, die größtenteils ein abstraktes Merkmal einer Population sind, als spezifische Werte, die mit genau definierten Varianten der Population übereinstimmen. Dies macht sie für die Lösung praktischer Probleme unverzichtbar.

Mode– Dies ist der häufigste Wert eines Merkmals unter Einheiten einer bestimmten Grundgesamtheit. Bei einer diskreten Verteilungsreihe wird der Modus ohne Berechnung durch Betrachtung der Häufigkeitsspalte bestimmt und entspricht dem Wert des Merkmals mit der höchsten Häufigkeit. Aus Beispiel Nr. 1, die höchste Frequenz f=20, was also der 4. Tarifkategorie entspricht Mo =4.

Für eine Intervallverteilungsreihe wird der Modus durch die Formel bestimmt

wo ist die untere Grenze des Modalintervalls;

– der Wert des Modalintervalls;

– Frequenzen des Intervalls jeweils vor dem Modal, Modal und nach dem Modal.

Modal entspricht dem Intervall mit der höchsten Frequenz.

Berechnen wir den Modus zum Beispiel Nr. 2. Das Intervall 130-140 entspricht dem Modal. Für ihn , = 140-130=10, =20,

Am häufigsten beträgt die Produktionsrate der Mitarbeiter 134 %, am häufigsten wird der Plan um 34 % überschritten.

Median– der Wert des Attributs, das in der Mitte der Rangreihe liegt und diese in zwei Hälften teilt. Rangreihe – eine Reihe, die in aufsteigender oder absteigender Reihenfolge eines Merkmals angeordnet ist. Bei diskreten Variationsreihen wird der Median nicht berechnet, sondern durch Betrachtung der Reihe ermittelt. Beispielsweise beträgt die tägliche Produktionsrate von Teilen für fünf Arbeiter 10, 12, 15, 16 bzw. 18 Stück. Mich ist die Leistung des dritten Arbeiters und entspricht 15 Teilen. Bei einer geraden Anzahl von Merkmalswerten wird der Median als die Hälfte der Summe der Merkmalswerte angenommen, die den Medianwert einnehmen. Bei 10 Werten beispielsweise die Hälfte der Summe aus dem 5. und 6. Wert des Attributs.

Für eine Intervallreihe wird der Median durch die Formel bestimmt

Wo – untere Grenze des Medianintervalls;

– der Wert des Medianintervalls;

– die Hälfte der Summe des Volumens der Variationsreihe;

– kumulierte Häufigkeit des Intervalls vor dem Median;

– Häufigkeit des Medianintervalls.

Der Median ist das Intervall, das der Hälfte des Volumens der Reihe entspricht. Um das Medianintervall zu ermitteln, müssen Häufigkeiten akkumuliert werden, bis ein Intervall gefunden wird, das die Hälfte des Volumens der Reihe enthält.

Berechnen wir den Median zum Beispiel Nr. 2. Das Medianintervall beträgt 120-130, weil die entsprechende akkumulierte Häufigkeit enthält die Hälfte des Volumens der Serie. Für ihn

– Die Hälfte der Arbeiter erbringt weniger als 129 % der Leistung, die andere Hälfte der Arbeiter mehr als 129 %.

Bei der Verarbeitung und Zusammenfassung statistischer Daten besteht die Notwendigkeit, Durchschnittswerte zu ermitteln. In der Regel sind die Einzelwerte desselben Merkmals in verschiedenen Bevölkerungseinheiten nicht gleich.

Durchschnittswert – ein verallgemeinerndes Merkmal des untersuchten Merkmals in der untersuchten Population. Es spiegelt das typische Niveau pro Bevölkerungseinheit unter bestimmten Orts- und Zeitbedingungen wider.

Wenn beispielsweise das Einkommen der Arbeitnehmer in einem Unternehmen untersucht wird, ist das allgemeine Merkmal das durchschnittliche Einkommen eines Arbeitnehmers. Zur Ermittlung wird der Gesamtbetrag der für den Konsum bereitgestellten Mittel in Form von Löhnen, Sozial- und Arbeitsleistungen, Finanzhilfen, Dividenden auf Aktien und Zinsen auf Einlagen im Eigentum des Unternehmens für den Berichtszeitraum (Jahr, Quartal, Monat) herangezogen ) wird durch die Anzahl der Arbeitnehmer des Unternehmens geteilt. Das Durchschnittseinkommen charakterisiert das, was allen Arbeitnehmern eines Unternehmens gemeinsam ist, d. h. das Einkommensniveau der Masse der Arbeitnehmer unter den spezifischen Betriebsbedingungen eines bestimmten Unternehmens im Berichtszeitraum.

Der für die Gesamtbevölkerung errechnete Durchschnitt wird aufgerufen allgemeiner Durchschnitt.

Die für jede Gruppe berechneten Durchschnittswerte werden aufgerufen Gruppendurchschnitte.

Je mehr Bevölkerungseinheiten der Durchschnitt berechnet wird, desto stabiler ist er, d. h. etwas präziser. Die Berechnung des Durchschnittswerts umfasst zwei Vorgänge:

I – Summierung der Daten für alle Einheiten (Datenverallgemeinerung);

II – Division der zusammengefassten Daten durch die Anzahl der Einheiten in der Bevölkerung.

– Durchschnittswert für ein Merkmal ; N– Anzahl der Bevölkerungseinheiten;

Xich – individueller Wert des Merkmals jeder Bevölkerungseinheit.

Das Wesen des Durchschnittswerts bestimmt seine besondere Bedeutung in einer Marktwirtschaft. Der Durchschnittswert ermöglicht es uns, durch das Individuum und den Zufall das Allgemeine und Notwendige zu identifizieren und den Trend des Musters der wirtschaftlichen Entwicklung zu erkennen.

Leistungsdurchschnitte:

ü arithmetisches Mittel;

ü geometrisches Mittel;

ü harmonische Mittel;

ü quadratischer Mittelwert;

ü durchschnittlich chronologisch.

Strukturdurchschnitte: Modus und Median.

Die Wahl des einen oder anderen Durchschnittstyps erfolgt in Abhängigkeit vom Zweck der Studie, dem wirtschaftlichen Wesen des gemittelten Indikators und der Art der verfügbaren Quelldaten. Nur wenn der Durchschnitt richtig angewendet wird, erhält man Werte, die eine reale wirtschaftliche Bedeutung haben.

Arithmetisches Mittel – die häufigste Art von Durchschnitt.

Mit arithmetischem Mittel meinen wir der Wert eines Merkmals, den jede Einheit der Bevölkerung hätte, wenn die Gesamtsumme aller Werte des Merkmals gleichmäßig auf alle Einheiten der Bevölkerung verteilt wäre.

Sie wird in Fällen berechnet, in denen das Volumen des gemittelten Merkmals als Summe seiner Werte für einzelne Einheiten der untersuchten statistischen Grundgesamtheit gebildet wird. Abhängig von der Art der Quelldaten wird das arithmetische Mittel wie folgt ermittelt:

Einfacher arithmetischer Durchschnitt wird berechnet, indem die Summe der Werte durch ihre Anzahl dividiert wird.

Beispiel: Der Lohn für drei Arbeiter einer Werkstatt betrug im Januar: 6500, 4955, 5323 Rubel. Das durchschnittliche Gehalt pro Monat beträgt:
reiben.

Beispiel: Berechnen Sie die durchschnittliche Betriebszugehörigkeit von zehn Mitarbeitern eines Handelsunternehmens. Einzelattributwert (Jahre): 6,5,4,3,3,4,5,4,5,4.

= (6+5+4+3+3+4+5+4+5+4) : 10 = 43: 10 = 4,3 Jahre.

Wie wir sehen, kann sich das arithmetische Mittel als Bruchzahl herausstellen, auch wenn die einzelnen Werte des Attributs nur in ganzen Zahlen angegeben werden. Dies folgt aus dem Wesen des arithmetischen Mittels, das eine abstrakte (theoretische) Größe ist, d.h. es kann einen numerischen Wert annehmen, der in der dargestellten Menge der Einzelwerte des Attributs nicht zu finden ist.

Arithmetisches Mittel gewichtet

Es ist häufig erforderlich, den Durchschnittswert eines Merkmals über eine Verteilungsreihe zu berechnen, wenn derselbe Merkmalswert mehrmals auftritt. Indem wir die Daten nach dem Wert des Merkmals kombinieren (d. h. gruppieren) und die Anzahl der Wiederholungsfälle jedes einzelnen Merkmals zählen, erhalten wir die folgende Variationsreihe.

Um den gewichteten Durchschnitt zu berechnen, werden daher die folgenden aufeinanderfolgenden Operationen durchgeführt: Multiplizieren jeder Option mit ihrer Häufigkeit, Summieren der resultierenden Produkte, Teilen der resultierenden Summe durch die Summe der Häufigkeiten.

Das gewichtete arithmetische Mittel berücksichtigt die unterschiedliche Bedeutung einzelner Optionen innerhalb der Bevölkerung. Daher sollte es in allen Fällen verwendet werden, in denen die Optionen unterschiedliche Nummern haben. Die Verwendung eines einfachen Durchschnitts ist in diesen Fällen nicht akzeptabel, da sie zwangsläufig zu einer Verzerrung statistischer Indikatoren führt.

Das arithmetische Mittel verteilt sozusagen den Gesamtwert des Attributs gleichmäßig auf einzelne Objekte, der in Wirklichkeit für jedes von ihnen unterschiedlich ist.

Manchmal muss die Berechnung von Durchschnittswerten anhand von in Form von Intervallverteilungsreihen gruppierten Daten erfolgen, wenn die Varianten des Merkmals, aus dem der Durchschnitt berechnet wird, in Form von Intervallen (von – bis) dargestellt werden. Um den Durchschnittswert zu berechnen, ist es notwendig, den Durchschnittswert x für jede Option zu bestimmen und dann x y in der üblichen Reihenfolge abzuwägen

In einem geschlossenen Intervall ist der Mittelwert als die Hälfte der Summe der Werte der unteren und oberen Grenze definiert.

Die Aufgabe, den Durchschnittswert einer Intervallreihe zu berechnen, wird dadurch erschwert, dass die äußersten Grenzen der Anfangs- und Endintervalle unbekannt sind. In diesem Fall wird davon ausgegangen, dass der Abstand zwischen den Grenzen dieses Intervalls derselbe ist wie im angrenzenden Intervall.

Es ist zu beachten, dass wir zwar die Formel des arithmetischen gewichteten Durchschnitts verwenden, um den Durchschnitt aus einer Intervallreihe zu berechnen, der berechnete Durchschnitt jedoch kein exakter Wert ist, da wir durch Multiplikation der Durchschnittswerte von Gruppen mit ihrer Anzahl erhalten wird nicht den tatsächlichen Wert erhalten. Der Grad der Diskrepanz hängt von mehreren Gründen ab: 1 – Anzahl der Optionen. Je größer die Anzahl der Optionen, desto wahrscheinlicher ist es, dass die Intervallmitte kaum vom Gruppendurchschnitt abweicht. Wenn jede Gruppe über eine kleine Anzahl von Einheiten verfügt, können die Gruppendurchschnitte nicht nur in der Mitte, sondern auch nahe der Ober- oder Untergrenze des Intervalls liegen.

Beispiel, Es ist erforderlich, die durchschnittliche Betriebszugehörigkeit von 12 Mitarbeitern einer Werbeagentur zu berechnen. Gleichzeitig sind die Einzelwerte des Attributs (Erfahrung) in Jahren bekannt: 6,5,4,3,3,5,5,6,3,7,4,5.

Nachdem wir die Daten zum Wert des Attributs kombiniert und die Anzahl der Wiederholungen jedes einzelnen Attributs gezählt haben, berechnen wir die durchschnittliche Dienstzeit auf der Grundlage der gruppierten Daten unter Verwendung der gewichteten arithmetischen Durchschnittsformel.

X = (3*3+4*2+5*4+6*2+7*1) : 12 = 56 : 12 = 4,7 des Jahres.

In der Praxis der statistischen Materialverarbeitung treten verschiedene Probleme auf, die Besonderheiten bei der Untersuchung von Phänomenen aufweisen und zu ihrer Lösung die Verwendung verschiedener Durchschnittswerte erfordern. Da statistische Durchschnittswerte immer die qualitativen Eigenschaften der untersuchten sozialen Prozesse und Phänomene ausdrücken, ist es wichtig, die richtige Form des Durchschnitts zu wählen, basierend auf der Beziehung zwischen den Phänomenen und ihren Merkmalen.

Eigenschaften des arithmetischen Mittels:

Das arithmetische Mittel weist eine Reihe von Eigenschaften auf, deren Kenntnis erforderlich ist, um das Wesen von Durchschnittswerten zu verstehen und deren Berechnung zu vereinfachen.

1. Der arithmetische Durchschnitt der Summe variierender Größen ist gleich der Summe der arithmetischen Durchschnitte:

Wenn x i = y i + z i dann

Diese Regel zeigt, in welchen Fällen Durchschnittswerte summiert werden können. Wenn beispielsweise hergestellte Produkte aus zwei Teilen bestehen j Und z und die Herstellung jedes einzelnen von ihnen kostet im Durchschnitt bei= 3 Stunden z = 5 h, dann ist die durchschnittliche Zeit, die für die Herstellung eines Produkts aufgewendet wurde ( X), wird gleich sein: 3+5 = 8 Stunden, d.h. X= y + z..

2. Die algebraische Summe der Abweichungen einzelner Werte eines variierenden Merkmals vom Durchschnitt ist gleich Null, da die Summe der Abweichungen in eine Richtung durch die Summe der Abweichungen in die andere Richtung aufgehoben wird, d.h.

, weil

Diese Regel zeigt, dass der Durchschnitt das Resultierende ist.

3. Wenn alle Optionen einer Serie um die gleiche Zahl reduziert oder erhöht werden A, dann wird der Durchschnitt um die gleiche Zahl sinken oder steigen A:

4. Wenn alle Optionen für eine Serie um reduziert oder erhöht werden A mal, dann wird auch der Durchschnitt entsprechend sinken bzw. steigen A einmal:

5. Wenn alle Häufigkeiten einer Reihe durch die gleiche Zahl dividiert oder multipliziert werden D, dann ändert sich der Durchschnitt nicht:

Diese Eigenschaft zeigt, dass der Durchschnitt nicht von der Größe der Skalen abhängt, sondern von der Beziehung zwischen ihnen. Folglich können nicht nur absolute, sondern auch relative Werte als Gewichte fungieren.

Durchschnittlich chronologisch

Manchmal ist es bei der Analyse sozioökonomischer Indikatoren erforderlich, den Durchschnittswert zu bestimmen, wenn Daten aus einer gleichmomentigen Dynamikreihe vorliegen. Zum Beispiel der durchschnittliche monatliche Warenbestand; die durchschnittliche Anzahl der Verkäufer für das Quartal, für das Halbjahr, wenn die Anzahl der Verkäufer zu Beginn des Monats bekannt ist; oder ermitteln Sie die durchschnittliche jährliche Bevölkerung eines Gebiets und verwenden Sie dann den chronologischen Durchschnitt.

X=(x 1 + x 2 +x 3 +…+x n -1 + x n) : (n-1)

X – individueller Wert des Attributs jeder Bevölkerungseinheit;

n – Anzahl der Bevölkerungseinheiten.

Harmonische Mittel

Das harmonische Mittel ist der Kehrwert des arithmetischen Mittels. Wenn statistische Informationen keine Häufigkeiten für einzelne Varianten der Grundgesamtheit enthalten, sondern als deren Produkt dargestellt werden, wird die harmonisch gewichtete Durchschnittsformel angewendet.

Der Durchschnitt in dieser Form wird aufgerufen gewichtetes harmonisches Mittel Und bezeichnet durch x gar M. vzvz . Folglich ist das harmonische Mittel identisch mit dem arithmetischen Mittel. Es wird verwendet, wenn die tatsächlichen Gewichte unbekannt sind, das Produkt jedoch bekannt ist f x = z

In Fällen, in denen das funktioniert f x gleich oder gleich eins (m=1) gilt bedeuten harmonisch einfach, nach der Formel berechnet

Wo X- separate Optionen; P- ihre Nummer.

Geometrisches Mittel

Dieser Durchschnitt ist praktisch, wenn nicht auf absolute Unterschiede, sondern auf die Verhältnisse zweier Zahlen geachtet wird. Daher wird das geometrische Mittel zur Berechnung der durchschnittlichen jährlichen Wachstumsraten verwendet

oder

Dies ist die geometrische Mittelformel, die wie folgt formuliert werden kann:

Das geometrische Mittel ist gleich der Wurzel der Potenz P aus dem Produkt der Wachstumskoeffizienten, die das Verhältnis des Wertes jeder nachfolgenden Periode zum Wert der vorherigen charakterisieren.

Der geometrische Mittelwert gibt die inhaltlich korrekteste Antwort, das Ergebnis der Mittelwertbildung, wenn es darum geht, einen Wert des Attributs zu finden, der sowohl vom maximalen als auch vom minimalen Wert des Attributs qualitativ gleich weit entfernt ist.

Beispiel: Aufgrund der Inflation verdoppelte sich im ersten Jahr der Preis eines Produkts im Vergleich zum Vorjahr; im zweiten Jahr – noch einmal das Dreifache des Niveaus des Vorjahres. Es ist klar, dass der Preis in zwei Jahren um das Sechsfache gestiegen ist. Berechnen Sie die durchschnittliche Preiswachstumsrate pro Jahr?

Zur Berechnung der durchschnittlichen Wachstumsrate ist das arithmetische Mittel ungeeignet. Das geometrische Mittel gibt die richtige Antwort.

X = x 1 * x 2 = 2 * 3 = 6 = 2,45 mal.

Quadratischer Mittelwert

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