So finden Sie die Quadratwurzel einer großen Zahl. Optionen zur Darstellung der Funktion z=√y

Das Berechnen (oder Extrahieren) der Quadratwurzel kann auf verschiedene Arten erfolgen, aber nicht alle sind sehr einfach. Einfacher ist es natürlich, einen Taschenrechner zu verwenden. Wenn dies jedoch nicht möglich ist (oder Sie das Wesen der Quadratwurzel verstehen möchten), kann ich Ihnen den folgenden Weg raten. Der Algorithmus lautet wie folgt:

Wenn Sie nicht die Kraft, Lust oder Geduld für solch langwierige Berechnungen haben, können Sie auf eine grobe Auswahl zurückgreifen; deren Vorteil ist, dass sie unglaublich schnell und bei entsprechendem Einfallsreichtum genau ist. Beispiel:

Als ich in der Schule war (Anfang der 60er Jahre), wurde uns beigebracht, aus einer beliebigen Zahl die Quadratwurzel zu ziehen. Die Technik ist einfach und ähnelt äußerlich einer langen Division, aber um sie hier vorzustellen, sind eine halbe Stunde Zeit und 4-5.000 Zeichen Text erforderlich. Aber warum brauchen Sie das? Sie haben ein Telefon oder ein anderes Gerät, nm hat einen Taschenrechner. Auf jedem Computer gibt es einen Taschenrechner. Persönlich bevorzuge ich solche Berechnungen in Excel.

In der Schule ist es oft erforderlich, die Quadratwurzeln verschiedener Zahlen zu finden. Aber wenn wir es gewohnt sind, dafür ständig einen Taschenrechner zu verwenden, dann wird dies in Prüfungen nicht möglich sein, also müssen wir lernen, ohne die Hilfe eines Taschenrechners nach der Wurzel zu suchen. Und das ist grundsätzlich möglich.

Der Algorithmus ist wie folgt:

Schauen Sie sich zuerst die letzte Ziffer Ihrer Nummer an:

Zum Beispiel,

Jetzt müssen wir ungefähr den Wert für die Wurzel der Gruppe ganz links bestimmen

Wenn eine Zahl mehr als zwei Gruppen hat, müssen Sie die Wurzel wie folgt finden:

Aber die nächste Zahl sollte die größte sein, Sie müssen sie so wählen:

Jetzt müssen wir eine neue Zahl A bilden, indem wir die folgende Gruppe zum oben erhaltenen Rest hinzufügen.

In unseren Beispielen:

Die Spalte ist höher, und wenn mehr als fünfzehn Zeichen benötigt werden, ruhen Computer und Telefone mit Taschenrechnern am häufigsten. Es bleibt zu prüfen, ob die Beschreibung der Technik 4-5.000 Zeichen benötigt.

Berm eine beliebige Zahl, vom Dezimalpunkt aus zählen wir Ziffernpaare nach rechts und links

Beispiel: 1234567890.098765432100

Ein Ziffernpaar ist wie eine zweistellige Zahl. Die Wurzel einer zweistelligen Zahl ist einstellig. Wir wählen eine einzelne Ziffer aus, deren Quadrat kleiner als das erste Ziffernpaar ist. In unserem Fall ist es 3.

Wie bei der Division durch eine Spalte schreiben wir dieses Quadrat unter das erste Paar und subtrahieren es vom ersten Paar. Das Ergebnis ist unterstrichen. 12 - 9 = 3. Addiere das zweite Zahlenpaar zu dieser Differenz (es ergibt 334). Links von der Anzahl der Bermen wird der doppelte Wert des bereits gefundenen Teils des Ergebnisses mit einer Zahl ergänzt (wir haben 2 * 6 = 6), so dass dies bei Multiplikation mit der nicht erhaltenen Zahl der Fall ist Die Zahl mit dem zweiten Ziffernpaar darf nicht überschritten werden. Wir erhalten, dass die gefundene Zahl fünf ist. Wir ermitteln erneut die Differenz (9), addieren das nächste Ziffernpaar, um 956 zu erhalten, schreiben erneut den doppelten Teil des Ergebnisses (70) aus, ergänzen ihn erneut mit der gewünschten Ziffer und so weiter, bis es aufhört. Oder auf die erforderliche Genauigkeit der Berechnungen.

Um die Quadratwurzel zu berechnen, müssen Sie zunächst die Multiplikationstabelle gut kennen. Am meisten einfache Beispiele- das ist 25 (5 mal 5 = 25) und so weiter. Wenn Sie komplexere Zahlen verwenden, können Sie diese Tabelle verwenden, in der die horizontale Linie für Einheiten und die vertikale Linie für Zehner steht.



Essen gute Möglichkeit So finden Sie die Wurzel einer Zahl ohne Hilfe von Taschenrechnern. Dazu benötigen Sie ein Lineal und einen Zirkel. Der Punkt ist, dass Sie auf dem Lineal den Wert finden, der unter Ihrer Wurzel liegt. Setzen Sie zum Beispiel ein Kreuz neben 9. Ihre Aufgabe besteht darin, diese Zahl in gleich viele Segmente, also in zwei Linien von jeweils 4,5 cm, und in ein gerades Segment zu unterteilen. Es ist leicht zu erraten, dass am Ende 3 Segmente von jeweils 3 Zentimetern herauskommen.

Die Methode ist nicht einfach und für große Zahlen nicht geeignet, kann aber ohne Taschenrechner berechnet werden.

Ohne die Hilfe eines Taschenrechners wurde die Methode zum Ziehen der Quadratwurzel erlernt Sowjetzeit in der Schule in der 8. Klasse.

Dazu müssen Sie eine mehrstellige Zahl von rechts nach links in Kanten von 2 Ziffern aufteilen :

Die erste Ziffer der Wurzel ist die ganze Wurzel der linken Seite, in diesem Fall 5.

Wir subtrahieren 5 zum Quadrat von 31, 31-25 = 6 und addieren die nächste Seite zur Sechs, wir haben 678.

Die nächste Ziffer x wird der doppelten Fünf zugeordnet, sodass

10x*x war das Maximum, aber weniger als 678.

x=6, da 106*6 = 636,

Jetzt berechnen wir 678 - 636 = 42 und addieren die nächste Kante 92, wir haben 4292.

Wieder suchen wir nach dem Maximum x, so dass 112x*x lt; 4292.

Antwort: Die Wurzel ist 563

Sie können so lange wie nötig fortfahren.

In manchen Fällen können Sie versuchen, die Wurzelzahl in zwei oder mehr Quadratfaktoren zu zerlegen.

Es ist auch nützlich, sich die Tischquadrate (oder zumindest einen Teil davon) zu merken natürliche Zahlen von 10 bis 99.



Ich schlage eine Version vor, die ich erfunden habe, um die Quadratwurzel einer Spalte zu ziehen. Es unterscheidet sich vom allgemein bekannten bis auf die Auswahl der Zahlen. Aber wie ich später herausfand, gab es diese Methode schon viele Jahre vor meiner Geburt. Beschrieb es in seinem Buch „General Arithmetic“ oder einem Buch über arithmetische Synthese und Analyse toller Isaak Newton. Hier präsentiere ich meine Vision und Begründung für den Algorithmus der Newton-Methode. Es besteht keine Notwendigkeit, sich den Algorithmus zu merken. Bei Bedarf können Sie einfach das Diagramm in der Abbildung als visuelle Hilfe verwenden.







Mit Hilfe von Tabellen können Sie nicht rechnen, sondern die Quadratwurzeln der in den Tabellen enthaltenen Zahlen ermitteln. Der einfachste Weg, nicht nur Quadratwurzeln, sondern auch andere Grade zu berechnen, ist die Methode der sukzessiven Approximation. Wenn wir zum Beispiel die Quadratwurzel aus 10739 berechnen, die letzten drei Ziffern durch Nullen ersetzen und die Wurzel aus 10000 ziehen, erhalten wir 100 mit einem Nachteil, also nehmen wir die Zahl 102, quadrieren sie und erhalten 10404, was ebenfalls weniger ist Als der angegebene Wert nehmen wir 103*103=10609 wieder mit einem Nachteil, wir nehmen 103,5*103,5=10712,25, nehmen noch mehr 103,6*103,6=10732, nehmen 103,7*103,7=10753,69, was bereits im Überschuss ist. Sie können die Wurzel aus 10739 als ungefähr gleich 103,6 annehmen. Genauer gesagt 10739=103,629... . . In ähnlicher Weise berechnen wir die Kubikwurzel, zunächst erhalten wir aus 10000 ungefähr 25*25*25=15625, was ein Überschuss ist, wir nehmen 22*22*22=10,648, wir nehmen etwas mehr als 22,06*22,06*22,06=10735 , was dem angegebenen sehr nahe kommt.

Das Extrahieren der Wurzel ist der umgekehrte Vorgang zum Erhöhen einer Potenz. Das heißt, wenn wir die Wurzel aus der Zahl X ziehen, erhalten wir eine Zahl, deren Quadrat die gleiche Zahl X ergibt.

Das Extrahieren der Wurzel ist ein ziemlich einfacher Vorgang. Eine Tabelle mit Quadraten kann die Extraktionsarbeit erleichtern. Denn es ist unmöglich, sich alle Quadrate und Wurzeln auswendig zu merken, aber die Zahlen können groß sein.

Extrahieren der Wurzel einer Zahl

Die Quadratwurzel einer Zahl zu ziehen ist einfach. Darüber hinaus kann dies nicht sofort, sondern schrittweise erfolgen. Nehmen Sie zum Beispiel den Ausdruck √256. Für einen Unwissenden ist es zunächst schwierig, sofort eine Antwort zu geben. Dann machen wir es Schritt für Schritt. Zuerst dividieren wir einfach durch die Zahl 4, woraus wir das ausgewählte Quadrat als Wurzel ziehen.

Stellen wir uns vor: √(64 4), dann entspricht es 2√64. Und wie Sie wissen, ist laut Einmaleins 64 = 8 8. Die Antwort lautet 2*8=16.

Melden Sie sich für den Kurs „Beschleunigen Sie Kopfrechnen, NICHT Kopfrechnen“ an, um zu lernen, wie Sie schnell und korrekt addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren, Zahlen quadrieren und sogar Wurzeln ziehen. In 30 Tagen lernen Sie, wie Sie mit einfachen Tricks Rechenoperationen vereinfachen. Jede Lektion enthält neue Techniken, klare Beispiele und nützliche Aufgaben.

Extrahieren einer komplexen Wurzel

Die Quadratwurzel lässt sich nicht aus negativen Zahlen berechnen, denn jede quadrierte Zahl ist eine positive Zahl!

Eine komplexe Zahl ist die Zahl i, deren Quadrat gleich -1 ist. Das heißt, i2=-1.

In der Mathematik gibt es eine Zahl, die man erhält, indem man aus der Zahl -1 die Wurzel zieht.

Das heißt, es ist möglich, die Wurzel einer negativen Zahl zu berechnen, dies gilt jedoch bereits für die höhere Mathematik, nicht für die Schulmathematik.

Betrachten wir ein Beispiel für eine solche Wurzelextraktion: √(-49)=7*√(-1)=7i.

Online-Wurzelrechner

Mit unserem Rechner können Sie die Extraktion einer Zahl aus der Quadratwurzel berechnen:

Konvertieren von Ausdrücken, die eine Root-Operation enthalten

Der Kern der Transformation radikaler Ausdrücke besteht darin, die Wurzelzahl in einfachere zu zerlegen, aus denen die Wurzel gezogen werden kann. Wie 4, 9, 25 und so weiter.

Geben wir ein Beispiel: √625. Teilen wir den Wurzelausdruck durch die Zahl 5. Wir erhalten √(125 5), wiederholen Sie den Vorgang √(25 25), aber wir wissen, dass 25 52 ist. Das bedeutet, dass die Antwort 5*5=25 sein wird.

Es gibt jedoch Zahlen, bei denen die Wurzel mit dieser Methode nicht berechnet werden kann und Sie müssen nur die Antwort kennen oder eine Quadrattabelle zur Hand haben.

√289=√(17*17)=17

Endeffekt

Wir haben uns nur die Spitze des Eisbergs angeschaut, um Mathematik besser zu verstehen – melden Sie sich für unseren Kurs an: Kopfrechnen beschleunigen – NICHT Kopfrechnen.

Im Kurs erlernen Sie nicht nur Dutzende Techniken zur vereinfachten und schnellen Multiplikation, Addition, Multiplikation, Division und Berechnung von Prozentsätzen, sondern üben diese auch in speziellen Aufgaben und Lernspielen! Auch das Kopfrechnen erfordert viel Aufmerksamkeit und Konzentration, die beim Lösen interessanter Probleme aktiv trainiert werden.

Bevor es Taschenrechner gab, berechneten Schüler und Lehrer die Quadratwurzeln von Hand. Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Quadratwurzel einer Zahl manuell zu berechnen. Einige von ihnen bieten nur eine ungefähre Lösung, andere geben eine genaue Antwort.

Schritte

Primfaktorzerlegung

Faktorisieren Sie die Wurzelzahl in Faktoren, die Quadratzahlen sind. Abhängig von der Wurzelzahl erhalten Sie eine ungefähre oder genaue Antwort. Quadratzahlen sind Zahlen, aus denen die ganze Quadratwurzel gezogen werden kann. Faktoren sind Zahlen, deren Multiplikation die ursprüngliche Zahl ergibt. Beispielsweise sind die Faktoren der Zahl 8 2 und 4, da 2 x 4 = 8, die Zahlen 25, 36, 49 sind Quadratzahlen, da √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Quadratfaktoren sind Faktoren, also Quadratzahlen. Versuchen Sie zunächst, die Wurzelzahl in Quadratfaktoren zu zerlegen.

• Berechnen Sie beispielsweise die Quadratwurzel von 400 (von Hand). Versuchen Sie zunächst, 400 in Quadratfaktoren zu faktorisieren. 400 ist ein Vielfaches von 100, also durch 25 teilbar – das ist eine Quadratzahl. Wenn man 400 durch 25 teilt, erhält man 16. Die Zahl 16 ist ebenfalls eine Quadratzahl. Somit kann 400 in die Quadratfaktoren von 25 und 16 zerlegt werden, also 25 x 16 = 400.
• Das können Sie aufschreiben auf die folgende Weise: √400 = √(25 x 16).

1. Die Quadratwurzel des Produkts einiger Terme ist gleich dem Produkt Quadratwurzeln aus jedem Term, also √(a x b) = √a x √b. Verwenden Sie diese Regel, um die Quadratwurzel jedes Quadratfaktors zu ziehen und die Ergebnisse zu multiplizieren, um die Antwort zu finden.

   • Ziehen Sie in unserem Beispiel die Wurzel aus 25 und 16.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Wenn die Wurzelzahl nicht in zwei Quadratfaktoren zerlegt wird (was in den meisten Fällen der Fall ist), können Sie die genaue Antwort nicht in Form einer ganzen Zahl finden. Sie können das Problem jedoch vereinfachen, indem Sie die Wurzelzahl in einen Quadratfaktor und einen gewöhnlichen Faktor (eine Zahl, aus der nicht die ganze Quadratwurzel gezogen werden kann) zerlegen. Dann ziehen Sie die Quadratwurzel aus dem Quadratfaktor und ziehen die Wurzel aus dem gemeinsamen Faktor.

   • Berechnen Sie beispielsweise die Quadratwurzel der Zahl 147. Die Zahl 147 lässt sich nicht in zwei Quadratfaktoren zerlegen, wohl aber in die folgenden Faktoren: 49 und 3. Lösen Sie das Problem wie folgt:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Schätzen Sie ggf. den Wert der Wurzel. Jetzt können Sie den Wert der Wurzel schätzen (einen Näherungswert finden), indem Sie ihn mit den Werten der Wurzeln der Quadratzahlen vergleichen, die der Grundzahl am nächsten liegen (auf beiden Seiten der Zahlenlinie). Sie erhalten den Wert der Wurzel als Dezimal, die mit der Zahl hinter dem Wurzelzeichen multipliziert werden muss.

   • Kehren wir zu unserem Beispiel zurück. Die Wurzelzahl ist 3. Die ihr am nächsten liegenden Quadratzahlen sind die Zahlen 1 (√1 = 1) und 4 (√4 = 2). Somit liegt der Wert von √3 zwischen 1 und 2. Da der Wert von √3 wahrscheinlich näher bei 2 als bei 1 liegt, lautet unsere Schätzung: √3 = 1,7. Wir multiplizieren diesen Wert mit der Zahl am Wurzelzeichen: 7 x 1,7 = 11,9. Wenn Sie mit einem Taschenrechner rechnen, erhalten Sie 12,13, was unserer Antwort ziemlich nahe kommt.
     • Diese Methode funktioniert auch mit großen Zahlen. Betrachten Sie zum Beispiel √35. Die Wurzelzahl ist 35. Die ihr am nächsten kommenden Quadratzahlen sind die Zahlen 25 (√25 = 5) und 36 (√36 = 6). Somit liegt der Wert von √35 zwischen 5 und 6. Da der Wert von √35 viel näher bei 6 als bei 5 liegt (weil 35 nur 1 kleiner als 36 ist), können wir sagen, dass √35 etwas kleiner als 6 ist . Der Blick auf den Rechner ergibt die Antwort 5,92 – wir hatten Recht.

4. Eine andere Möglichkeit besteht darin, die Wurzelzahl in Primfaktoren zu zerlegen. Primfaktoren sind Zahlen, die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind. Schreib es auf Primfaktoren hintereinander und finde Paare identischer Faktoren. Solche Faktoren können aus dem Wurzelzeichen entnommen werden.

   • Berechnen Sie beispielsweise die Quadratwurzel von 45. Wir zerlegen die Grundzahl in Primfaktoren: 45 = 9 x 5 und 9 = 3 x 3. Somit ist √45 = √(3 x 3 x 5). 3 kann als Wurzelzeichen herausgenommen werden: √45 = 3√5. Jetzt können wir √5 schätzen.
   • Schauen wir uns ein anderes Beispiel an: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Sie haben drei Multiplikatoren von 2 erhalten; Nehmen Sie ein paar davon und verschieben Sie sie über das Wurzelzeichen hinaus.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Jetzt können Sie √2 und √11 auswerten und eine ungefähre Antwort finden.

   Quadratwurzel manuell berechnen

   Mit langer Division

   1. Diese Methode beinhaltet einen Prozess ähnlich der Langdivision und liefert eine genaue Antwort. Zeichnen Sie zunächst eine vertikale Linie, die das Blatt in zwei Hälften teilt, und zeichnen Sie dann rechts und etwas unterhalb der Oberkante des Blattes eine horizontale Linie zur vertikalen Linie. Teilen Sie nun die Grundzahl in Zahlenpaare auf, beginnend mit dem Nachkommateil. Die Zahl 79520789182.47897 wird also als „7 95 20 78 91 82, 47 89 70“ geschrieben.

      • Berechnen wir zum Beispiel die Quadratwurzel der Zahl 780,14. Zeichnen Sie zwei Linien (wie im Bild gezeigt) und schreiben Sie oben links die angegebene Zahl in der Form „7 80, 14“. Es ist normal, dass die erste Ziffer von links eine ungepaarte Ziffer ist. Die Antwort (die Wurzel dieser Zahl) schreiben Sie oben rechts.

   2. Finden Sie für das erste Zahlenpaar (oder die einzelne Zahl) von links die größte ganze Zahl n, deren Quadrat kleiner oder gleich dem betreffenden Zahlenpaar (oder der einzelnen Zahl) ist. Mit anderen Worten: Finden Sie die Quadratzahl, die dem ersten Zahlenpaar (oder der einzelnen Zahl) von links am nächsten, aber kleiner als dieses ist, und ziehen Sie daraus die Quadratwurzel Quadratzahl; Sie erhalten die Nummer n. Schreiben Sie das n, das Sie gefunden haben, oben rechts und das Quadrat von n unten rechts.

      • In unserem Fall ist die erste Zahl links die 7. Als nächstes die 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Subtrahieren Sie das Quadrat der Zahl n, die Sie gerade gefunden haben, vom ersten Zahlenpaar (oder der einzelnen Zahl) auf der linken Seite. Schreiben Sie das Ergebnis der Rechnung unter den Subtrahend (das Quadrat der Zahl n).

      • Subtrahieren Sie in unserem Beispiel 4 von 7 und erhalten Sie 3.

   4. Notieren Sie sich das zweite Zahlenpaar und notieren Sie es neben dem im vorherigen Schritt erhaltenen Wert. Dann verdoppeln Sie die Zahl oben rechts und schreiben das Ergebnis unten rechts mit dem Zusatz „_×_=".

      • In unserem Beispiel ist das zweite Zahlenpaar „80“. Schreiben Sie „80“ nach der 3. Dann verdoppeln Sie die Zahl oben rechts, um 4 zu erhalten. Schreiben Sie „4_×_=" unten rechts.

   5. Füllen Sie die Lücken rechts aus.

      • Wenn wir in unserem Fall die Zahl 8 anstelle von Bindestrichen eingeben, dann ist 48 x 8 = 384, was mehr als 380 ist. Daher ist 8 eine zu große Zahl, aber 7 reicht aus. Schreiben Sie 7 anstelle von Bindestrichen und erhalten Sie: 47 x 7 = 329. Schreiben Sie oben rechts 7 – das ist die zweite Ziffer in der gewünschten Quadratwurzel der Zahl 780,14.

   6. Subtrahieren Sie die resultierende Zahl von der aktuellen Zahl auf der linken Seite. Schreiben Sie das Ergebnis aus dem vorherigen Schritt unter die aktuelle Zahl links, ermitteln Sie die Differenz und schreiben Sie sie unter den Subtrahend.

      • In unserem Beispiel subtrahieren Sie 329 von 380, was 51 ergibt.

   7. Wiederholen Sie Schritt 4. Handelt es sich bei dem übertragenen Zahlenpaar um den Bruchteil der ursprünglichen Zahl, dann setzen Sie in der erforderlichen Quadratwurzel oben rechts ein Trennzeichen (Komma) zwischen den ganzzahligen und gebrochenen Teilen. Bringen Sie links das nächste Zahlenpaar nach unten. Verdoppeln Sie die Zahl oben rechts und schreiben Sie das Ergebnis unten rechts mit dem Zusatz „_×_=".

      • In unserem Beispiel ist das nächste zu entfernende Zahlenpaar der Bruchteil der Zahl 780,14. Platzieren Sie daher das Trennzeichen für den ganzzahligen Teil und den Bruchteil in der gewünschten Quadratwurzel oben rechts. Notieren Sie sich 14 und schreiben Sie sie unten links auf. Das Doppelte der Zahl oben rechts (27) ist 54, also schreiben Sie unten rechts „54_×_=".

   8. Wiederholen Sie die Schritte 5 und 6. Suchen Sie anstelle der Bindestriche auf der rechten Seite die größte Zahl (anstelle der Bindestriche müssen Sie dieselbe Zahl ersetzen), sodass das Ergebnis der Multiplikation kleiner oder gleich der aktuellen Zahl auf der linken Seite ist.

      • In unserem Beispiel ist 549 x 9 = 4941, was kleiner ist als die aktuelle Zahl links (5114). Schreiben Sie oben rechts eine 9 und subtrahieren Sie das Ergebnis der Multiplikation von der aktuellen Zahl links: 5114 - 4941 = 173.

   9. Wenn Sie weitere Dezimalstellen für die Quadratwurzel finden müssen, schreiben Sie ein paar Nullen links von der aktuellen Zahl und wiederholen Sie die Schritte 4, 5 und 6. Wiederholen Sie die Schritte, bis Sie die Antwortgenauigkeit (Anzahl der Dezimalstellen) erhalten brauchen.

   Den Prozess verstehen

   Zur Assimilation diese Methode Stellen Sie sich die Zahl, deren Quadratwurzel Sie ermitteln möchten, als Fläche des Quadrats S vor. In diesem Fall suchen Sie nach der Länge der Seite L eines solchen Quadrats. Wir berechnen den Wert von L so, dass L² = S.

   Geben Sie für jede Zahl in der Antwort einen Buchstaben an. Bezeichnen wir mit A die erste Ziffer im Wert von L (der gewünschten Quadratwurzel). B ist die zweite Ziffer, C die dritte und so weiter.

   Geben Sie für jedes Paar erster Ziffern einen Buchstaben an. Bezeichnen wir mit S a das erste Ziffernpaar im Wert von S, mit S b das zweite Ziffernpaar und so weiter.

   Verstehen Sie den Zusammenhang zwischen dieser Methode und der Langdivision. Genau wie bei der Division, bei der wir jedes Mal nur an der nächsten Ziffer der Zahl interessiert sind, die wir dividieren, arbeiten wir bei der Berechnung einer Quadratwurzel nacheinander durch ein Ziffernpaar (um die nächste Ziffer im Quadratwurzelwert zu erhalten). ).

   1. Betrachten Sie das erste Ziffernpaar Sa der Zahl S (in unserem Beispiel Sa = 7) und ermitteln Sie deren Quadratwurzel. In diesem Fall ist die erste Ziffer A des gewünschten Quadratwurzelwerts eine Ziffer, deren Quadrat kleiner oder gleich S a ist (das heißt, wir suchen nach einem A, für das die Ungleichung A² ≤ Sa gilt< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Nehmen wir an, wir müssen 88962 durch 7 teilen; hier wird der erste Schritt ähnlich sein: Wir betrachten die erste Ziffer der teilbaren Zahl 88962 (8) und wählen die größte Zahl aus, die bei Multiplikation mit 7 einen Wert kleiner oder gleich 8 ergibt. Das heißt, wir suchen eine Zahl d, für die die Ungleichung gilt: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Stellen Sie sich im Geiste ein Quadrat vor, dessen Fläche Sie berechnen müssen. Sie suchen nach L, also der Seitenlänge eines Quadrats, dessen Fläche gleich S ist. A, B, C sind die Zahlen in der Zahl L. Sie können es auch anders schreiben: 10A + B = L (für eine zweistellige Zahl) oder 100A + 10B + C = L (für eine dreistellige Zahl) und so weiter.

      • Lassen (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Denken Sie daran, dass 10A+B eine Zahl ist, bei der die Ziffer B für Einer und die Ziffer A für Zehner steht. Wenn beispielsweise A=1 und B=2, dann ist 10A+B gleich der Zahl 12. (10A+B)² ist die Fläche des gesamten Platzes, 100A²- Fläche des großen inneren Platzes, B²- Fläche des kleinen inneren Platzes, 10A×B- die Fläche jedes der beiden Rechtecke. Durch Addition der Flächen der beschriebenen Figuren erhalten Sie die Fläche des ursprünglichen Quadrats.

Bei der Lösung von Problemen werden wir oft mit großen Zahlen konfrontiert, aus denen wir etwas extrahieren müssen Quadratwurzel. Viele Schüler entscheiden, dass dies ein Fehler ist und beginnen, das gesamte Beispiel erneut zu lösen. Auf keinen Fall sollten Sie dies tun! Dafür gibt es zwei Gründe:

1. In Problemen tauchen durchaus Wurzeln großer Zahlen auf. Besonders in Textform;
2. Es gibt einen Algorithmus, mit dem diese Wurzeln fast mündlich berechnet werden.

Wir werden diesen Algorithmus heute betrachten. Vielleicht kommt Ihnen manches unverständlich vor. Aber wenn Sie dieser Lektion Aufmerksamkeit schenken, erhalten Sie eine mächtige Waffe dagegen Quadratwurzeln.

Also der Algorithmus:

1. Beschränken Sie die erforderliche Wurzel oben und unten auf Zahlen, die ein Vielfaches von 10 sind. Daher reduzieren wir den Suchbereich auf 10 Zahlen;
2. Entfernen Sie aus diesen 10 Zahlen diejenigen, die definitiv keine Wurzeln sein können. Dadurch bleiben 1-2 Nummern übrig;
3. Quadrieren Sie diese 1-2 Zahlen. Derjenige, dessen Quadrat gleich der ursprünglichen Zahl ist, ist die Wurzel.

Bevor wir diesen Algorithmus in die Praxis umsetzen, schauen wir uns jeden einzelnen Schritt an.

Root-Beschränkung

Zunächst müssen wir herausfinden, zwischen welchen Zahlen unsere Wurzel liegt. Es ist äußerst wünschenswert, dass die Zahlen ein Vielfaches von zehn sind:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Wir erhalten eine Reihe von Zahlen:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Was sagen uns diese Zahlen? Es ist ganz einfach: Wir setzen Grenzen. Nehmen wir zum Beispiel die Zahl 1296. Sie liegt zwischen 900 und 1600. Daher kann ihre Wurzel nicht kleiner als 30 und nicht größer als 40 sein:

[Bildunterschrift]

Das Gleiche gilt für jede andere Zahl, aus der Sie die Quadratwurzel ermitteln können. Zum Beispiel 3364:

Somit erhalten wir statt einer unverständlichen Zahl einen ganz bestimmten Bereich, in dem die ursprüngliche Wurzel liegt. Um den Suchbereich weiter einzugrenzen, fahren Sie mit dem zweiten Schritt fort.

Eliminierung offensichtlich unnötiger Zahlen

Wir haben also 10 Zahlen – Kandidaten für die Wurzel. Wir haben sie sehr schnell bekommen, ohne kompliziertes Nachdenken und Multiplizieren in einer Kolumne. Es ist Zeit weiterzugehen.

Ob Sie es glauben oder nicht, wir werden nun die Anzahl der Kandidatenzahlen auf zwei reduzieren – wiederum ohne komplizierte Berechnungen! Es reicht aus, die Sonderregel zu kennen. Hier ist es:

Die letzte Ziffer des Quadrats hängt nur von der letzten Ziffer ab Originalnummer.

Mit anderen Worten: Schauen Sie sich einfach die letzte Ziffer des Quadrats an und wir werden sofort verstehen, wo die ursprüngliche Zahl endet.

An letzter Stelle können nur 10 Ziffern stehen. Versuchen wir herauszufinden, was sie im Quadrat ergeben. Schauen Sie sich die Tabelle an:

Diese Tabelle ist ein weiterer Schritt zur Berechnung der Wurzel. Wie Sie sehen können, erwiesen sich die Zahlen in der zweiten Zeile als symmetrisch zur Fünf. Zum Beispiel:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Wie Sie sehen, ist die letzte Ziffer in beiden Fällen gleich. Das bedeutet, dass beispielsweise die Wurzel von 3364 auf 2 oder 8 enden muss. Andererseits erinnern wir uns an die Einschränkung aus dem vorherigen Absatz. Wir bekommen:

Rote Quadrate zeigen an, dass wir diese Zahl noch nicht kennen. Aber die Wurzel liegt im Bereich von 50 bis 60, in dem es nur zwei Zahlen gibt, die auf 2 und 8 enden:

Das ist alles! Von allen möglichen Wurzeln haben wir nur zwei Optionen gelassen! Und das ist im schwierigsten Fall, denn die letzte Ziffer kann 5 oder 0 sein. Und dann gibt es nur einen Kandidaten für die Wurzeln!

Endgültige Berechnungen

Wir haben also noch 2 Kandidatennummern übrig. Woher wissen Sie, welches die Wurzel ist? Die Antwort liegt auf der Hand: Quadrieren Sie beide Zahlen. Die Zahl, die quadriert die ursprüngliche Zahl ergibt, ist die Wurzel.

Für die Zahl 3364 haben wir beispielsweise zwei Kandidatenzahlen gefunden: 52 und 58. Quadrieren wir sie:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

Das ist alles! Es stellte sich heraus, dass die Wurzel 58 ist! Gleichzeitig habe ich zur Vereinfachung der Berechnungen die Formel für die Quadrate von Summe und Differenz verwendet. Dadurch musste ich die Zahlen nicht einmal in einer Spalte multiplizieren! Dies ist eine weitere Ebene der Berechnungsoptimierung, aber natürlich völlig optional :)

Beispiele für die Berechnung von Wurzeln

Die Theorie ist natürlich gut. Aber lassen Sie es uns in der Praxis überprüfen.

[Bildunterschrift]

Lassen Sie uns zunächst herausfinden, zwischen welchen Zahlen die Zahl 576 liegt:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Schauen wir uns nun die letzte Zahl an. Es ist gleich 6. Wann passiert das? Nur wenn die Wurzel auf 4 oder 6 endet. Wir erhalten zwei Zahlen:

Jetzt müssen Sie nur noch jede Zahl quadrieren und mit dem Original vergleichen:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Großartig! Es stellte sich heraus, dass das erste Quadrat der ursprünglichen Zahl entsprach. Das ist also die Wurzel.

Aufgabe. Berechnen Sie die Quadratwurzel:

[Bildunterschrift]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Schauen wir uns die letzte Ziffer an:

1369 → 9;
33; 37.

Quadrieren Sie es:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369.

Hier ist die Antwort: 37.

Aufgabe. Berechnen Sie die Quadratwurzel:

[Bildunterschrift]

Wir begrenzen die Anzahl:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Schauen wir uns die letzte Ziffer an:

2704 → 4;
52; 58.

Quadrieren Sie es:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Wir haben die Antwort erhalten: 52. Die zweite Zahl muss nicht mehr quadriert werden.

Aufgabe. Berechnen Sie die Quadratwurzel:

[Bildunterschrift]

Wir begrenzen die Anzahl:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Schauen wir uns die letzte Ziffer an:

4225 → 5;
65.

Wie Sie sehen, gibt es nach dem zweiten Schritt nur noch eine Option: 65. Dies ist die gewünschte Wurzel. Aber lassen Sie es uns trotzdem vergleichen und prüfen:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Alles ist richtig. Wir schreiben die Antwort auf.

Abschluss

Leider nicht besser. Schauen wir uns die Gründe an. Es gibt zwei davon:

• In jeder normalen Mathematikprüfung, sei es das Staatsexamen oder das Einheitliche Staatsexamen, ist die Verwendung von Taschenrechnern verboten. Und wenn man einen Taschenrechner mit in den Unterricht bringt, kann man leicht von der Prüfung ausgeschlossen werden.
• Seien Sie nicht wie dumme Amerikaner. Das sind nicht nur Wurzeln – es sind zwei Primzahlen Sie können es nicht falten. Und wenn sie Brüche sehen, werden sie im Allgemeinen hysterisch.