Vorbereitung auf das Studium von Brüchen: Teilbarkeit und Faktorisierung. Angst vor Intimität ist wie ein Bumerang, der zurückkommt

Zusammengestellt vom Lehrer der Abteilung für höhere Mathematik Ishchanov T.R.

Lektion Nr. 1. Elemente der Kombinatorik

Theorie.
Multiplikationsregel: Wenn aus einer bestimmten endlichen Menge das erste Objekt (Element) auf verschiedene Arten und das zweite Objekt (Element) auf verschiedene Arten ausgewählt werden kann, dann können beide Objekte ( und ) in der angegebenen Reihenfolge auf verschiedene Arten ausgewählt werden.
Additionsregel: Wenn ein Objekt auf verschiedene Arten ausgewählt werden kann und ein Objekt auf verschiedene Arten ausgewählt werden kann und sich die erste und zweite Methode nicht überschneiden, dann kann jedes der Objekte (oder) auf verschiedene Arten ausgewählt werden.

Praktisches Material.
1.(6.1.44. L) Wie viele verschiedene dreistellige Zahlen können aus den Zahlen 0, 1, 2, 3, 4 gebildet werden, wenn:
a) Zahlen können nicht wiederholt werden;
b) Nummern dürfen wiederholt werden;
c) die Zahlen müssen gerade sein (Zahlen dürfen wiederholt werden);
d) die Zahl muss durch 5 teilbar sein (Zahlen können nicht wiederholt werden)
(Antwort: a) 48 b) 100 c) 60 d) 12)

2. (6.1.2.) Wie viele Zahlen mit mindestens drei verschiedenen Ziffern können aus den Zahlen 3, 4, 5, 6, 7 gebildet werden? (Antwort: 300.)

3. (6.1.39) Wie viele vierstellige Zahlen können gebildet werden, sodass zwei beliebige benachbarte Ziffern unterschiedlich sind? (Antwort: 6561)

Theorie. Gegeben sei eine Menge bestehend aus n verschiedenen Elementen.
Eine Anordnung von n Elementen durch k Elemente (0?k?n) ist eine beliebige geordnete Teilmenge einer gegebenen Menge, die k Elemente enthält. Zwei Anordnungen sind unterschiedlich, wenn sie sich entweder in der Zusammensetzung der Elemente oder in der Reihenfolge ihres Auftretens voneinander unterscheiden.
Die Anzahl der Platzierungen von n Elementen durch k wird durch ein Symbol angegeben und wird nach der Formel berechnet:

wobei n!=1·2·3·…·n und 1!=1,0!=1.

Praktisches Material.
4. (6.1.9 L.) Verfassen verschiedene Platzierungen aus den Elementen der Menge A=(3,4,5) jeweils zwei Elemente und zähle deren Anzahl. (Antwort: 6)

5. (6.1.3 L) Auf wie viele Arten können drei Preise unter 16 Teilnehmern verteilt werden? (Antwort: 3360)

6. (6.1.11. L) Wie viele fünfstellige Zahlen gibt es, deren Ziffern alle unterschiedlich sind? Hinweis: Berücksichtigen Sie, dass Nummern wie 02345, 09782 usw. Wir zählen sie nicht fünfstellig. (Antwort: 27.216)

7. (6.1.12.L.) Auf wie viele Arten kann eine dreifarbig gestreifte Flagge (drei horizontale Streifen) zusammengesetzt werden, wenn Material in 5 verschiedenen Farben vorhanden ist? (Antwort: 60.)

Theorie. Eine Kombination aus n Elementen mit jeweils k Elementen (0?k?n) ist eine beliebige Teilmenge einer gegebenen Menge, die k Elemente enthält.
Zwei beliebige Kombinationen unterscheiden sich lediglich in der Zusammensetzung der Elemente. Die Anzahl der Kombinationen von n Elementen durch k wird durch ein Symbol angegeben und wird nach der Formel berechnet:

Praktisches Material.
8.(6.1.20.) Bilden Sie aus den Elementen der Menge A=(3,4,5) verschiedene Kombinationen zweier Elemente und zählen Sie deren Anzahl. (Antwort: 3.)

9. (6.1.25.) Eine Touristengruppe aus 12 Jungen und 7 Mädchen wählt per Los 5 Personen aus, die das Abendessen zubereiten sollen. Wie viele Möglichkeiten gibt es, in diese „Fünf“ zu gelangen:
a) nur Mädchen; b) 3 Jungen und 2 Mädchen;
c) 1 Junge und 4 Mädchen; d) 5 junge Männer; e) Touristen des gleichen Geschlechts.
(Antwort: a) 21; b) 4620; c) 420; d) 792; e) 813.)

Theorie. Eine n-Elemente-Permutation ist eine Anordnung von n Elementen mal n Elementen. Die eine oder andere Permutation einer gegebenen Menge von n Elementen anzugeben bedeutet also, eine bestimmte Reihenfolge dieser Elemente zu wählen. Daher unterscheiden sich zwei beliebige Permutationen nur in der Reihenfolge der Elemente.
Die Anzahl der Permutationen von n Elementen wird durch ein Symbol angegeben und nach der Formel berechnet:

Praktisches Material.

10.(6.1.14.L) Erstellen Sie verschiedene Permutationen aus den Elementen der Menge A=(5;8;9). (Antwort: 6)

11.(6.1.15.L) Auf wie viele Arten kann ein zehnbändiges Buch mit Werken von D. London in einem Bücherregal arrangiert werden, indem man sie anordnet:
a) in beliebiger Reihenfolge;
b) so dass die Bände 1, 5, 9 nebeneinander liegen (in beliebiger Reihenfolge);
c) so dass die Bände 1, 2, 3 nebeneinander liegen (in beliebiger Reihenfolge).
(Antwort: a) 10! b) 8!?3! V) )

12. (1.6.16.L.) Es gibt 7 Stühle im Raum. Auf wie viele Arten können 7 Gäste untergebracht werden? 3 Gäste? (Antwort: 5040; 210)

Auswahlschema mit Rückgabe.
Theorie. Wenn eine geordnete Auswahl von k Elementen aus n Elementen zurückgegeben wird, stellen die resultierenden Auswahlen Zuordnungen mit Wiederholungen dar. Die Anzahl aller Platzierungen mit Wiederholungen von n Elementen um k wird mit dem Symbol bezeichnet und nach der Formel berechnet:

Wenn bei der Auswahl von k Elementen aus n die Elemente ohne anschließende Reihenfolge zurückgegeben werden (so dass dieselben Elemente mehrmals entfernt, d. h. wiederholt werden können), dann sind die resultierenden Stichproben Kombinationen mit Wiederholungen. Die Anzahl aller Kombinationen mit Wiederholungen von n Elementen in k wird durch ein Symbol bezeichnet und nach der Formel berechnet:

Praktisches Material.

13.(6.1.29.) Bilden Sie aus den Elementen (Zahlen) 2, 4, 5 alle Anordnungen und Kombinationen mit Wiederholungen von zwei Elementen. (Antwort: 9; 6)

14. (6.1.31.L.) Fünf Personen betraten den Aufzug im 1. Stock eines neunstöckigen Gebäudes. Auf wie viele Arten können Fahrgäste den Aufzug auf den gewünschten Etagen verlassen? (Antwort: )

15. (6.1.59.L.) In der Konditorei gibt es 7 Kuchensorten. Auf wie viele Arten kann man davon kaufen: a) 3 Kuchen der gleichen Sorte; b) 5 Kuchen? (Antwort: a) 7; b) 462)

Theorie. Es gebe k in einer Menge von n Elementen verschiedene Arten Elemente, während der 1. Elementtyp einmal wiederholt wird, der 2. - einmal, . . . , k-tes Mal, und . Dann sind Permutationen von Elementen einer gegebenen Menge Permutationen mit Wiederholungen.
Die Anzahl der Permutationen mit Wiederholungen (manchmal spricht man von der Anzahl der Partitionen einer Menge) von n Elementen wird durch ein Symbol bezeichnet und nach der Formel berechnet:

Praktisches Material.
16.(6.1.32.) Wie viele verschiedene „Wörter“ (ein „Wort“ bedeutet eine beliebige Buchstabenkombination) können durch Umordnen der Buchstaben im Wort AGA gebildet werden? MISSISSIPPI?
Lösung.
Im Allgemeinen können Sie aus drei Buchstaben verschiedene „Wörter“ mit drei Buchstaben bilden. Im Wort AGA wird der Buchstabe A wiederholt, und die Neuanordnung identischer Buchstaben ändert nichts am „Wort“. Daher ist die Anzahl der Permutationen mit Wiederholungen um so oft geringer als die Anzahl der Permutationen ohne Wiederholungen, wie sich wiederholende Buchstaben neu angeordnet werden können. IN dieses Wort zwei Buchstaben (1. und 3.) werden wiederholt; Daher können aus den Buchstaben des Wortes AGA so viele verschiedene Permutationen von „Wörtern“ mit drei Buchstaben gebildet werden: . Die Antwort lässt sich jedoch einfacher erhalten: . Mit der gleichen Formel ermitteln wir die Anzahl der „Wörter“ mit elf Buchstaben, indem wir die Buchstaben im Wort MISSISSIPPI neu anordnen. Hier (4 Buchstaben S), (4 Buchstaben I), also

17.(6.1.38.L.) Wie viele verschiedene Buchstabenkombinationen gibt es im Wort TRACTATE? Und im „Wort“ AAUUUUUUU? (Antwort: 420;210)

Abschnitte: Mathematik

Klasse: 5

Thema: Division mit Rest.

Lernziele:

Wiederholen Sie die Division mit einem Rest, leiten Sie eine Regel ab, wie der Dividend bei einer Division mit einem Rest ermittelt wird, und schreiben Sie ihn in das Formular wörtlicher Ausdruck;
- Aufmerksamkeit, logisches Denken und mathematische Sprache entwickeln;
- Pflege einer Kultur des Redens und des Durchhaltevermögens.

Während des Unterrichts

Der Unterricht wird von einer Computerpräsentation begleitet. (Anwendung)

ICH. Zeit organisieren

II. Verbales Zählen. Nachricht zum Unterrichtsthema

Durch das Lösen der Beispiele und das Ausfüllen der Tabelle können Sie das Thema der Lektion lesen.

Auf dem Schreibtisch:

Lesen Sie das Thema der Lektion.

Wir öffneten unsere Notizbücher und notierten Datum und Thema der Lektion. (Folie 1)

III. Arbeiten Sie am Thema der Lektion

Wir entscheiden mündlich. (Folie 2)

1. Lesen Sie die Ausdrücke:

30: 5
103: 10
34: 5
60: 7
47: 6
131: 11
42: 6

In welche zwei Gruppen kann man sie einteilen? Schreiben Sie die Aufgaben auf, bei denen die Division einen Rest hat, und lösen Sie sie.

2. Lass uns das Prüfen. (Folie 3)

Ohne Rest:		Mit Rest:
30: 5 42: 6		103: 10 = 10 (Pause 3) 34: 5 = 6 (Pause 4) 60: 7 = 8 (Pause 4) 47: 6 = 7 (Pause 5) 131: 11 = 11 (Rest 10)

Sagen Sie uns, wie Sie die Division mit einem Rest durchgeführt haben?

Eine natürliche Zahl ist nicht immer durch eine andere Zahl teilbar. Man kann aber immer mit einem Rest dividieren.

Was bedeutet es, mit dem Rest zu dividieren? Um diese Frage zu beantworten, lösen wir das Problem. ( Folie 4)

4 Enkelkinder besuchten ihre Großmutter. Die Großmutter beschloss, ihre Enkelkinder mit Süßigkeiten zu verwöhnen. In der Schüssel befanden sich 23 Bonbons. Wie viele Bonbons bekommt jedes Enkelkind, wenn Oma anbietet, die Bonbons gleichmäßig aufzuteilen?

Lassen Sie uns argumentieren.

Wie viele Süßigkeiten hat Oma? (23)

Wie viele Enkelkinder besuchten ihre Großmutter? (4)

Was ist je nach Problem zu tun? (Die Bonbons müssen gleichmäßig geteilt werden, 23 muss durch 4 geteilt werden; 23 wird durch 4 mit einem Rest geteilt; der Quotient beträgt 5 und der Rest beträgt 3.)

Wie viele Süßigkeiten bekommt jedes Enkelkind? (Jedes Enkelkind erhält 5 Bonbons und in der Vase sind noch 3 Bonbons übrig.)

Schreiben wir die Lösung auf. (Folie 5)

23: 4=5 (Ost 3)

Wie heißt die Zahl, die geteilt wird? (Teilbar.)

Was ist ein Divisor? (Die Zahl wird durch geteilt.)

Wie nennt man das Ergebnis einer Division mit Rest? (Unvollständiger Quotient.)

Nennen Sie Dividend, Divisor, Teilquotient und Rest unserer Lösung (23 – Dividende, 4 – Divisor, 5 – unvollständiger Quotient, 3 – Rest.)

Leute, überlegt und schreibt auf, wie man den Dividenden von 23 findet, wenn man den Divisor, den Teilquotienten und den Rest kennt?

Lass uns das Prüfen.

Leute, formulieren wir eine Regel, wie man den Dividenden findet, wenn der Divisor, der Teilquotient und der Rest bekannt sind.

Regel. (Folie 6)

Der Dividend ist gleich dem Produkt aus dem Divisor und dem zum Rest addierten unvollständigen Quotienten.

a = Sonne + D , a – Dividende, b – Divisor, c – unvollständiger Quotient, d – Rest.

Was sollten wir bei der Division mit Rest beachten?

Das stimmt, der Rest ist immer kleiner als der Divisor.

Und wenn der Rest Null ist, wird die Dividende vollständig ohne Rest durch den Divisor geteilt.

IV. Vertiefung des Gelernten

Folie 7

Finden Sie die Dividende, wenn:

A) Der Teilquotient ist 7, der Rest ist 3 und der Divisor ist 6.
B) Der Teilquotient ist 11, der Rest ist 1 und der Divisor ist 9.
C) Der Teilquotient ist 20, der Rest ist 13 und der Divisor ist 15.

V. Arbeiten mit dem Lehrbuch

1. An einer Aufgabe arbeiten.
2. Formulierung der Lösung des Problems.

№ 516 (Der Schüler löst die Aufgabe an der Tafel.)

20 x 10: 18 = 11 (Pause 2)

Antwort: Aus 10 Rohlingen können 11 Teile à 18 kg gegossen werden, es bleiben 2 kg Gusseisen übrig.

№ 519 (Arbeitsbuch, S. 52 Nr. 1.)

Folie 8, 9

Die erste Aufgabe wird vom Schüler an der Tafel erledigt. Die zweite und dritte Aufgabe lösen die Studierenden selbstständig mit Selbsttest.

Wir lösen Probleme mündlich. (Folie 10)

VI. Zusammenfassung der Lektion

In Ihrer Klasse sind 17 Schüler. Du warst in einer Reihe. Es stellte sich heraus, dass es sich um mehrere Reihen mit jeweils fünf Schülern und eine unvollständige Reihe handelte. Wie viele volle Ränge gibt es und wie viele Personen gibt es in einem unvollständigen Rang?

Ihre Klasse beim Sportunterricht stand wieder einmal Schlange. Diesmal gab es 4 identische volle Ränge und einen unvollständigen? Wie viele Personen sind in jeder Reihe? Was ist mit unvollständig?

Wir beantworten die Fragen:

Kann der Rest größer als der Divisor sein? Kann der Rest gleich dem Divisor sein?

Wie ermittelt man den Dividenden mithilfe des unvollständigen Quotienten, Divisors und Rests?

Welche Reste kann es geben, wenn man durch 5 dividiert? Nenne Beispiele.

Wie kann man überprüfen, ob die Division mit Rest korrekt ist?

Oksana dachte an eine Zahl. Wenn man diese Zahl um das Siebenfache erhöht und 17 zum Produkt hinzufügt, erhält man 108. Welche Zahl hatte Oksana im Sinn?

VII. Hausaufgaben

Punkt 13, Nr. 537, 538, Arbeitsbuch, S. 42, Nr. 4.

Referenzliste

1. Mathematik: Lehrbuch. für die 5. Klasse. Allgemeinbildung Institutionen / N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Tschesnokow, S.I. Schwartzburd. – 9. Aufl., Stereotyp. – M.: Mnemosyne, 2001. – 384 S.: Abb.
2. Mathematik. 5. Klasse. Arbeitsbuch Nr. 1. natürliche Zahlen / V.N. Rudnizkaja. – 7. Aufl. – M.: Mnemosyne, 2008. – 87 S.: Abb.
3. Chesnokov A.S., Neshkov K.I. Didaktische Materialien zur Mathematik für die 5. Klasse. – M.: Classics Style, 2007. – 144 S.: Abb.

Es sollte beachtet werden, dass die Kombinatorik ein eigenständiger Zweig der höheren Mathematik ist (und nicht Teil der höheren Mathematik) und zu dieser Disziplin umfangreiche Lehrbücher geschrieben wurden, deren Inhalt manchmal nicht einfacher ist als der der abstrakten Algebra. Allerdings wird uns ein kleiner Teil des theoretischen Wissens genügen und ich werde in diesem Artikel versuchen, die Grundlagen des Themas mit typischen kombinatorischen Problemen in einer zugänglichen Form zu analysieren. Und viele von euch werden mir helfen ;-)

Was werden wir machen? Im engeren Sinne ist Kombinatorik die Berechnung verschiedener Kombinationen, die aus einer bestimmten Menge erstellt werden können diskret Objekte. Unter Objekten versteht man alle isolierten Objekte oder Lebewesen – Menschen, Tiere, Pilze, Pflanzen, Insekten usw. Dabei ist es der Kombinatorik völlig egal, dass das Set aus einem Teller Grießbrei, einem Lötkolben und einem Sumpffrosch besteht. Grundsätzlich ist es wichtig, dass diese Objekte aufgezählt werden können – es gibt drei davon (Diskretion) und das Wichtigste ist, dass keines von ihnen identisch ist.

Wir haben uns mit viel beschäftigt, jetzt mit den Kombinationen. Die häufigsten Arten von Kombinationen sind Permutationen von Objekten, deren Auswahl aus einer Menge (Kombination) und Verteilung (Platzierung). Mal sehen, wie das jetzt passiert:

Permutationen, Kombinationen und Platzierungen ohne Wiederholung

Haben Sie keine Angst vor obskuren Begriffen, zumal einige davon wirklich nicht sehr gut sind. Beginnen wir mit dem Ende des Titels – was bedeutet „ keine Wiederholungen„? Das bedeutet, dass wir in diesem Abschnitt Mengen betrachten, die bestehen aus verschieden Objekte. Zum Beispiel ... nein, ich biete keinen Brei mit Lötkolben und Frosch an, es ist besser, etwas Leckereres zu haben =) Stellen Sie sich vor, auf dem Tisch vor Ihnen sind ein Apfel, eine Birne und eine Banane aufgetaucht ( Wenn Sie sie haben, kann die Situation in der Realität simuliert werden. Legen Sie die Früchte von links nach rechts hinein Nächste Bestellung:

Apfel / Birne / Banane

Frage eins: Auf wie viele Arten können sie neu angeordnet werden?

Eine Kombination wurde oben bereits beschrieben und mit dem Rest gibt es keine Probleme:

Apfel / Banane / Birne
Birne / Apfel / Banane
Birne / Banane / Apfel
Banane / Apfel / Birne
Banane / Birne / Apfel

Gesamt: 6 Kombinationen oder 6 Permutationen.

Okay, es war nicht schwer, alle möglichen Fälle aufzulisten, aber was ist, wenn es mehr Objekte gibt? Mit nur vier verschiedenen Früchten erhöht sich die Zahl der Kombinationen deutlich!

Bitte öffnen Sie das Referenzmaterial (Es ist praktisch, das Handbuch auszudrucken) und finden Sie in Punkt Nr. 2 die Formel für die Anzahl der Permutationen.

Kein Aufwand – 3 Objekte können auf unterschiedliche Weise neu angeordnet werden.

Frage zwei: Auf wie viele Arten kann man a) eine Frucht, b) zwei Früchte, c) drei Früchte, d) mindestens eine Frucht wählen?

Warum wählen? Also haben wir im vorherigen Punkt Appetit gemacht – um zu essen! =)

a) Eine Frucht kann natürlich auf drei Arten ausgewählt werden: Nehmen Sie entweder einen Apfel, eine Birne oder eine Banane. Die formale Berechnung erfolgt nach Formel für die Anzahl der Kombinationen :

Der Eintrag ist in diesem Fall wie folgt zu verstehen: „Auf wie viele Arten kann man eine von drei Früchten auswählen?“

b) Listen wir alle möglichen Kombinationen zweier Früchte auf:

Apfel und Birne;
Apfel und Banane;
Birne und Banane.

Die Anzahl der Kombinationen lässt sich leicht mit der gleichen Formel überprüfen:

Der Eintrag ist ähnlich zu verstehen: „Auf wie viele Arten kann man zwei von drei Früchten auswählen?“

c) Und schließlich gibt es nur eine Möglichkeit, drei Früchte auszuwählen:

Die Formel für die Anzahl der Kombinationen bleibt übrigens auch für eine leere Stichprobe sinnvoll:
Auf diese Weise können Sie sich keine einzige Frucht aussuchen, sondern einfach nichts nehmen und fertig.

d) Auf wie viele Arten können Sie gehen? mindestens ein Obst? Die Bedingung „mindestens eine“ impliziert, dass wir mit 1 Frucht (beliebiger) oder 2 beliebigen Früchten oder allen 3 Früchten zufrieden sind:
Mit diesen Methoden können Sie mindestens eine Frucht auswählen.

Leser, die die Einführungslektion sorgfältig studiert haben Wahrscheinlichkeitstheorie , wir haben schon etwas erraten. Aber zur Bedeutung des Pluszeichens später mehr.

Um die nächste Frage zu beantworten, brauche ich zwei Freiwillige... ...Nun, da keiner will, dann rufe ich dich ins Forum =)

Frage drei: Auf wie viele Arten kannst du jeweils eine Frucht an Dasha und Natasha verteilen?

Um zwei Früchte zu verteilen, müssen Sie diese zunächst auswählen. Gemäß Absatz „be“ der vorherigen Frage kann dies auf verschiedene Weise erfolgen, ich werde sie umschreiben:

Apfel und Birne;
Apfel und Banane;
Birne und Banane.

Aber jetzt wird es doppelt so viele Kombinationen geben. Betrachten Sie zum Beispiel das erste Fruchtpaar:
Sie können Dascha mit einem Apfel und Natascha mit einer Birne behandeln;
oder umgekehrt – Dascha bekommt die Birne und Natascha den Apfel.

Und eine solche Permutation ist für jedes Fruchtpaar möglich.

Stellen Sie sich die gleiche Studentengruppe vor, die zum Tanz gegangen ist. Auf wie viele Arten können ein Junge und ein Mädchen zusammenpassen?

Auf verschiedene Arten können Sie 1 jungen Mann auswählen;
Möglichkeiten, wie du ein Mädchen auswählen kannst.

Also ein junger Mann Und Sie können ein Mädchen auswählen: Wege.

Wenn aus jeder Menge 1 Objekt ausgewählt wird, gilt das folgende Prinzip zum Zählen von Kombinationen: „ jeden Ein Objekt aus einer Menge kann ein Paar bilden mit jedem Objekt einer anderen Menge.

Das heißt, Oleg kann jedes der 13 Mädchen zum Tanzen einladen, Evgeny kann auch jedes der dreizehn einladen und der Rest der jungen Leute hat eine ähnliche Wahl. Gesamt: mögliche Paare.

Es ist zu beachten, dass in in diesem Beispiel die „Geschichte“ der Paarbildung spielt keine Rolle; Wenn wir jedoch die Initiative berücksichtigen, muss die Anzahl der Kombinationen verdoppelt werden, da jedes der 13 Mädchen auch jeden Jungen zum Tanzen einladen kann. Es hängt alles von den Bedingungen einer bestimmten Aufgabe ab!

Ein ähnliches Prinzip gilt für komplexere Kombinationen, zum Beispiel: Auf wie viele Arten kann man zwei junge Männer auswählen? Und zwei Mädchen, die an einem KVN-Sketch teilnehmen?

Union UND weist deutlich darauf hin, dass die Kombinationen multipliziert werden müssen:

Mögliche Künstlergruppen.

Mit anderen Worten, jede mit denen ein Paar Jungen (45 einzigartige Paare) auftreten kann beliebig ein Paar Mädchen (78 einzigartige Paare). Und wenn wir die Rollenverteilung zwischen den Teilnehmern berücksichtigen, wird es noch mehr Kombinationen geben. ...Das möchte ich unbedingt, aber ich werde trotzdem davon absehen, weiterzumachen, um dir keine Abneigung gegen das Studentenleben einzuflößen =).

Die Regel zur Multiplikation von Kombinationen gilt auch für eine größere Anzahl von Multiplikatoren:

Aufgabe 8

Wie viele dreistellige Zahlen gibt es, die durch 5 teilbar sind?

Lösung: Der Klarheit halber kennzeichnen wir diese Zahl mit drei Sternchen: ***

IN Hunderterplatz Sie können jede beliebige Zahl schreiben (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 oder 9). Null ist nicht geeignet, da die Zahl in diesem Fall nicht mehr dreistellig ist.

Aber in Zehnerstelle(„in der Mitte“) können Sie eine von 10 Ziffern wählen: .

Gemäß der Bedingung muss die Zahl durch 5 teilbar sein. Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn sie auf 5 oder 0 endet. Wir geben uns also mit 2 Ziffern in der niedrigstwertigen Ziffer zufrieden.

Insgesamt gibt es: dreistellige Zahlen, die durch 5 teilbar sind.

In diesem Fall wird die Arbeit wie folgt entschlüsselt: „9 Möglichkeiten, wie Sie eine Zahl auswählen können Hunderterplatz Und 10 Möglichkeiten, eine Nummer auszuwählen Zehnerstelle Und 2 Wege hinein Einheitenziffer»

Oder noch einfacher: „ jede von 9 Ziffern bis Hunderterplatz vereint mit jedem aus 10 Ziffern Zehnerstelle und mit jedem von zwei Ziffern bis Einheitenziffer».

Antwort: 180

Und jetzt…

Ja, ich hätte fast den versprochenen Kommentar zu Problem Nr. 5 vergessen, bei dem Bor, Dima und Volodya auf unterschiedliche Weise jeweils eine Karte erhalten können. Die Multiplikation hat hier die gleiche Bedeutung: Möglichkeiten, 3 Karten aus dem Stapel zu entfernen UND in jedem Beispiel: Ordnen Sie sie auf verschiedene Arten neu an.

Und nun die Aufgabe für unabhängige Entscheidung... jetzt werde ich mir etwas Interessanteres einfallen lassen, ... es soll um dieselbe russische Version von Blackjack gehen:

Problem 9

Wie viele Gewinnkombinationen aus 2 Karten gibt es beim „Punkt“-Spiel?

Für diejenigen, die es nicht wissen: Die Gewinnkombination ist 10 + AS (11 Punkte) = 21 Punkte und betrachten wir die Gewinnkombination aus zwei Assen.

(Die Reihenfolge der Karten in einem Paar spielt keine Rolle)

Schnelle Lösung und die Antwort am Ende der Lektion.

Betrachten Sie das Beispiel übrigens nicht als primitiv. Blackjack ist fast das einzige Spiel, für das es einen mathematisch basierten Algorithmus gibt, der es Ihnen ermöglicht, das Casino zu schlagen. Interessierte finden hier problemlos zahlreiche Informationen zur optimalen Strategie und Taktik. Zwar landen solche Meister recht schnell auf der schwarzen Liste aller Betriebe =)

Es ist an der Zeit, den behandelten Stoff durch ein paar solide Aufgaben zu festigen:

Aufgabe 10

Vasya hat 4 Katzen zu Hause.

a) Auf wie viele Arten können Katzen in den Ecken des Raumes sitzen?
b) Auf wie viele Arten kann man Katzen spazieren gehen lassen?
c) Auf wie viele Arten kann Vasya zwei Katzen hochheben (eine zu seiner Linken, die andere zu seiner Rechten)?

Lass uns entscheiden: Erstens sollten Sie noch einmal darauf achten, worum es bei dem Problem geht anders Gegenstände (auch wenn die Katzen eineiige Zwillinge sind). Das ist sehr wichtige Bedingung!

a) Schweigen der Katzen. Vorbehaltlich dieser Ausführung alle Katzen auf einmal
+ Ihr Standort ist wichtig, daher gibt es hier Permutationen:
Mit diesen Methoden können Sie Katzen in den Ecken des Raumes platzieren.

Ich wiederhole, dass beim Permutieren nur die Anzahl der verschiedenen Objekte und deren gegenseitige Übereinkunft. Je nach Lust und Laune kann Vasya die Tiere im Halbkreis auf dem Sofa, in einer Reihe auf der Fensterbank usw. platzieren. – In allen Fällen wird es 24 Permutationen geben. Der Einfachheit halber können sich Interessierte vorstellen, dass Katzen mehrfarbig sind (zum Beispiel weiß, schwarz, rot und getigert) und alle möglichen Kombinationen auflisten.

b) Auf wie viele Arten kann man Katzen spazieren gehen lassen?

Es wird davon ausgegangen, dass Katzen nur durch die Tür spazieren gehen, und die Frage impliziert Gleichgültigkeit hinsichtlich der Anzahl der Tiere – 1, 2, 3 oder alle 4 Katzen können spazieren gehen.

Wir zählen alle möglichen Kombinationen:

In gewisser Weise können Sie eine Katze (eine der vier) spazieren gehen lassen;
Möglichkeiten, wie Sie zwei Katzen spazieren gehen lassen können (zählen Sie die Optionen selbst auf);
in gewisser Weise kann man drei Katzen spazieren gehen lassen (eine der vier sitzt zu Hause);
Auf diese Weise können Sie alle Katzen freilassen.

Sie haben wahrscheinlich vermutet, dass die resultierenden Werte zusammengefasst werden sollten:
So können Sie Katzen spazieren gehen lassen.

Für Enthusiasten biete ich eine komplizierte Version des Problems an – wenn jede Katze in jeder Stichprobe zufällig nach draußen gehen kann, sowohl durch die Tür als auch durch das Fenster im 10. Stock. Es wird eine spürbare Zunahme an Kombinationen geben!

c) Auf wie viele Arten kann Vasya zwei Katzen hochheben?

In der Situation geht es darum, nicht nur 2 Tiere auszuwählen, sondern sie auch in jede Hand zu legen:
Auf diese Weise können Sie 2 Katzen aufnehmen.

Zweite Lösung: Sie können mithilfe von Methoden zwei Katzen auswählen Und Wege zum Pflanzen jeden ein paar zur Hand:

Antwort: a) 24, b) 15, c) 12

Nun, um Ihr Gewissen zu beruhigen, etwas Konkreteres zum Thema Multiplikation von Kombinationen ... Lass Vasya 5 zusätzliche Katzen haben =) Auf wie viele Arten kann man 2 Katzen spazieren gehen lassen? Und 1 Katze?

Das heißt, mit jede ein paar Katzen können freigelassen werden jeden Katze.

Ein weiteres Knopfakkordeon zur eigenständigen Lösung:

Aufgabe 11

Drei Passagiere bestiegen den Aufzug eines 12-stöckigen Gebäudes. Jeder, unabhängig von den anderen, kann mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf jeder Etage (ab der 2. Etage) aussteigen. Auf wie viele Arten:

1) Passagiere können auf derselben Etage aussteigen (Ausstiegsreihenfolge spielt keine Rolle);
2) Auf einer Etage können zwei Personen aussteigen, auf der anderen eine dritte.
3) Personen können auf verschiedenen Etagen aussteigen;
4) Können Passagiere den Aufzug verlassen?

Und hier wird oft noch einmal gefragt, ich stelle klar: Wenn 2 oder 3 Personen auf derselben Etage aussteigen, spielt die Reihenfolge des Ausstiegs keine Rolle. DENKEN Sie, verwenden Sie Formeln und Regeln zum Addieren/Multiplizieren von Kombinationen. Bei Schwierigkeiten ist es sinnvoll, dass die Fahrgäste Namen nennen und spekulieren, in welchen Kombinationen sie den Aufzug verlassen können. Es besteht kein Grund zur Aufregung, wenn beispielsweise etwas nicht klappt. Punkt Nr. 2 ist ziemlich heimtückisch. Einer der Leser hat jedoch eine einfache Lösung gefunden, und ich bedanke mich noch einmal für Ihre Briefe!

Komplette Lösung mit ausführlichen Kommentaren am Ende der Lektion.

Der letzte Absatz ist den Kombinationen gewidmet, die ebenfalls recht häufig vorkommen – meiner subjektiven Einschätzung nach in etwa 20-30 % der kombinatorischen Probleme:

Permutationen, Kombinationen und Platzierungen mit Wiederholungen

Die aufgeführten Kombinationsarten sind in Absatz Nr. 5 des Referenzmaterials aufgeführt Grundformeln der Kombinatorik Einige davon sind jedoch beim ersten Lesen möglicherweise nicht ganz klar. In diesem Fall empfiehlt es sich zunächst, sich damit vertraut zu machen praktische Beispiele, und erst dann die allgemeine Formulierung verstehen. Gehen:

Permutationen mit Wiederholungen

Bei Permutationen mit Wiederholungen, wie bei „normalen“ Permutationen, all die vielen Objekte auf einmal, aber eines gibt es: In dieser Menge wiederholen sich ein oder mehrere Elemente (Objekte). Erfüllen Sie den nächsten Standard:

Aufgabe 12

Wie viele verschiedene Buchstabenkombinationen erhält man, wenn man Karten mit den folgenden Buchstaben neu anordnet: K, O, L, O, K, O, L, b, Ch, I, K?

Lösung: Für den Fall, dass alle Buchstaben unterschiedlich wären, müsste eine triviale Formel angewendet werden, aber es ist völlig klar, dass für den vorgeschlagenen Kartensatz einige Manipulationen „leer“ funktionieren, beispielsweise wenn Sie zwei beliebige Karten vertauschen Mit den Buchstaben „K“ erhalten Sie in jedem Wort das gleiche Wort. Darüber hinaus können die Karten physisch sehr unterschiedlich sein: Eine kann rund sein und den Buchstaben „K“ darauf aufdrucken, die andere kann quadratisch sein und den Buchstaben „K“ darauf zeichnen. Aber je nach Bedeutung der Aufgabe auch solche Karten gelten als gleich, da die Bedingung nach Buchstabenkombinationen fragt.

Alles ist denkbar einfach – nur 11 Karten, inklusive Brief:

K – dreimal wiederholt;
O – dreimal wiederholt;
L – 2 Mal wiederholt;
b – 1 Mal wiederholt;
H – 1 Mal wiederholt;
Und - 1 Mal wiederholt.

Überprüfen Sie: 3 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 11, was überprüft werden musste.

Nach der Formel Anzahl der Permutationen mit Wiederholungen :
Es können verschiedene Buchstabenkombinationen erhalten werden. Mehr als eine halbe Million!

Um schnell einen großen Faktorwert zu berechnen, ist es praktisch, die Standard-Excel-Funktion zu verwenden: Geben Sie in eine beliebige Zelle ein =FAKT(11) und drücke Eingeben.

In der Praxis ist es durchaus akzeptabel, nicht aufzuschreiben allgemeine Formel und lassen Sie zusätzlich die Einheitsfakultäten weg:

Vorabkommentare zu wiederholten Briefen sind jedoch erforderlich!

Antwort: 554400

Ein weiteres typisches Beispiel für Permutationen mit Wiederholung ist das Problem der Schachfigurenplatzierung, das im Lagerhaus zu finden ist fertige Lösungen im entsprechenden PDF. Und für eine eigenständige Lösung habe ich mir eine weniger formelhafte Aufgabe ausgedacht:

Aufgabe 13

Alexey treibt 4 Tage die Woche Sport - Leichtathletik, 2 Tage - Kraftübungen und ruht 1 Tag. Auf wie viele Arten kann er einen Wochenplan für sich selbst erstellen?

Die Formel funktioniert hier nicht, da sie zufällige Vertauschungen berücksichtigt (zum Beispiel das Vertauschen der Kraftübungen am Mittwoch mit den Kraftübungen am Donnerstag). Und noch einmal - tatsächlich die gleichen 2 Krafttraining können sich stark voneinander unterscheiden, werden aber im Kontext der Aufgabe (aus Sicht des Zeitplans) als dieselben Elemente betrachtet.

Zweizeilige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Kombinationen mit Wiederholungen

Besonderheit Diese Art der Kombination besteht darin, dass die Stichprobe aus mehreren Gruppen gezogen wird, die jeweils aus identischen Objekten bestehen.

Jeder hat heute hart gearbeitet, also ist es Zeit, sich zu erfrischen:

Aufgabe 14

Die Mensa verkauft Würstchen im Teig, Käsekuchen und Donuts. Auf wie viele Arten kann man fünf Kuchen kaufen?

Lösung: Achten Sie sofort auf das typische Kriterium für Kombinationen mit Wiederholungen – je nach Bedingung wird nicht eine Menge von Objekten als solche zur Auswahl angeboten, sondern Verschiedene Arten Gegenstände; Es wird davon ausgegangen, dass mindestens fünf Hotdogs, fünf Käsekuchen und fünf Donuts im Angebot sind. Die Kuchen in jeder Gruppe sind natürlich unterschiedlich - denn absolut identische Donuts können nur am Computer simuliert werden =) Allerdings sind die physikalischen Eigenschaften der Kuchen für den Zweck des Problems nicht von Bedeutung, und die Hot Dogs / Käsekuchen / Donuts in ihren Gruppen gelten als gleich.

Was könnte in der Probe enthalten sein? Zunächst ist zu beachten, dass es in der Probe auf jeden Fall identische Kuchen geben wird (da wir 5 Stück auswählen und 3 Sorten zur Auswahl stehen). Hier gibt es Optionen für jeden Geschmack: 5 Hot Dogs, 5 Käsekuchen, 5 Donuts, 3 Hot Dogs + 2 Käsekuchen, 1 Hot Dog + 2 Käsekuchen + 2 Donuts usw.

Wie bei „normalen“ Kombinationen spielt die Reihenfolge der Auswahl und Platzierung der Kuchen in der Auswahl keine Rolle – Sie wählen einfach 5 Stücke und das war’s.

Wir verwenden die Formel Anzahl der Kombinationen mit Wiederholungen:
Mit dieser Methode können Sie 5 Kuchen kaufen.

Guten Appetit!

Antwort: 21

Welche Schlussfolgerung lässt sich aus vielen kombinatorischen Problemen ziehen?

Manchmal ist es am schwierigsten, den Zustand zu verstehen.

Ein ähnliches Beispiel für eine unabhängige Lösung:

Aufgabe 15

Es ist genug im Portemonnaie große Menge 1-, 2-, 5- und 10-Rubel-Münzen. Auf wie viele Arten können drei Münzen aus einer Brieftasche entfernt werden?

Beantworten Sie zur Selbstkontrolle ein Paar einfache Fragen:

1) Können alle Münzen in der Stichprobe unterschiedlich sein?
2) Nennen Sie die „billigste“ und „teuerste“ Münzkombination.

Lösung und Antworten am Ende der Lektion.

Von meinem persönliche Erfahrung Ich kann sagen, dass Kombinationen mit Wiederholungen in der Praxis am seltensten vorkommen, was man von der folgenden Art von Kombinationen nicht sagen kann:

Platzierungen mit Wiederholungen

Aus einem Satz bestehend aus Elementen werden Elemente ausgewählt, und die Reihenfolge der Elemente in jeder Auswahl ist wichtig. Und alles wäre gut, aber ein ziemlich unerwarteter Witz ist, dass wir jedes Objekt des Originalsets so oft auswählen können, wie wir möchten. Bildlich gesprochen: „Die Menge wird nicht kleiner werden.“

Wann passiert das? Ein typisches Beispiel ist ein Zahlenschloss mit mehreren Scheiben, aber aufgrund der technologischen Entwicklung ist es relevanter, seinen digitalen Nachkommen zu berücksichtigen:

Aufgabe 16

Wie viele vierstellige PIN-Codes gibt es?

Lösung: Um das Problem zu lösen, reicht es tatsächlich aus, die Regeln der Kombinatorik zu kennen: In gewisser Weise können Sie die erste Ziffer des PIN-Codes auswählen Und Wege - die zweite Ziffer des PIN-Codes Und in vielerlei Hinsicht - drittens Und die gleiche Zahl - die vierte. Nach der Regel der Multiplikation von Kombinationen kann ein vierstelliger PIN-Code also auf folgende Weise zusammengesetzt werden:

Und jetzt mit der Formel. Je nach Bedingung wird uns ein Zahlensatz angeboten, aus dem die Zahlen ausgewählt und geordnet werden in einer bestimmten Reihenfolge, während die Zahlen in der Stichprobe wiederholt werden können (d. h. jede Ziffer des Originalsatzes kann beliebig oft verwendet werden). Nach der Formel für die Anzahl der Platzierungen mit Wiederholungen:

Antwort: 10000

Was mir hier in den Sinn kommt... ...wenn der Geldautomat die Karte nach dem dritten erfolglosen Versuch, den PIN-Code einzugeben, „frisst“, sind die Chancen, sie zufällig zu ergattern, sehr gering.

Und wer hat gesagt, dass es in der Kombinatorik keine gibt? praktischer Sinn? Eine kognitive Aufgabe für alle Leser der Seite:

Aufgabe 17

Laut Landesnorm besteht ein Autokennzeichen aus 3 Zahlen und 3 Buchstaben. In diesem Fall ist eine Zahl mit drei Nullen nicht akzeptabel und es werden Buchstaben aus der Menge A, B, E, K, M, N, O, P, S, T, U, X ausgewählt (es werden nur kyrillische Buchstaben verwendet, deren Schreibweise mit lateinischen Buchstaben übereinstimmt).

Wie viele verschiedene Kennzeichen können für eine Region erstellt werden?

Übrigens nicht so viele davon. IN große Regionen Diese Menge reicht nicht aus und daher gibt es für sie mehrere Codes für die Inschrift RUS.

Die Lösung und Antwort finden Sie am Ende der Lektion. Vergessen Sie nicht, die Regeln der Kombinatorik anzuwenden ;-) ...Ich wollte zeigen, was exklusiv war, aber es stellte sich heraus, dass es nicht exklusiv war =) Ich habe bei Wikipedia nachgeschaut - dort gibt es Berechnungen, allerdings ohne Kommentare. Obwohl es aus Bildungsgründen wahrscheinlich nur wenige Leute gelöst haben.

Ist unser spannende Aktivität ist zu Ende, und abschließend möchte ich sagen, dass Sie Ihre Zeit nicht verschwendet haben – aus dem Grund, dass kombinatorische Formeln ein anderes wichtiges Element finden praktischer Nutzen: Sie treffen sich in mehrere Aufgaben Von Wahrscheinlichkeitstheorie ,
und in Probleme der klassischen Wahrscheinlichkeitsbestimmung – besonders oft =)

Vielen Dank an alle für die aktive Teilnahme und bis bald!

Lösungen und Antworten:

Aufgabe 2: Lösung: Finden Sie die Anzahl aller möglichen Permutationen von 4 Karten:

Wenn an erster Stelle eine Karte mit einer Null platziert wird, wird die Zahl dreistellig, daher sollten diese Kombinationen ausgeschlossen werden. An erster Stelle steht eine Null, dann können die restlichen 3 Ziffern in den unteren Ziffern auf unterschiedliche Weise neu angeordnet werden.

Notiz : Weil Da es nur wenige Karten gibt, ist es einfach, alle Optionen hier aufzulisten:
0579
0597
0759
0795
0957
0975

Somit können wir aus der vorgeschlagenen Menge Folgendes machen:
24 – 6 = 18 vierstellige Zahlen
Antwort : 18

ZY Niemals gedacht , was diese Aufgaben Erstklässlern bieten würden, von denen einer bemerkte, dass die „9“-Karte als „6“ verwendet werden könne und daher die Anzahl der Kombinationen verdoppelt werden müsse. In der Bedingung ist jedoch immer noch ein konkreter Wert angegeben und von einer Verdoppelung sollte besser Abstand genommen werden.

Aufgabe 4: Lösung: Auf verschiedene Arten können Sie 3 von 36 Karten auswählen.
Antwort : 7140

Aufgabe 6: Lösung: Wege.
Eine andere Lösung : Möglichkeiten, zwei Personen aus einer Gruppe auszuwählen und Möglichkeiten, die Positionen in jeder Stichprobe zu verteilen. Somit können der Schulleiter und sein Stellvertreter gewählt werden Wege. Dritte Lösung , ein anderer Site-Leser gefunden. Durch ein kombinatorisches Produkt:

(11 Möglichkeiten, wie ein Passagier aussteigen kann und für alle Von diesen Optionen gibt es 10 Möglichkeiten, wie ein anderer Passagier aussteigen kann und für jeden mögliche Kombination ihrer Ausstiege – der dritte Passagier kann auf 9 Arten aussteigen)

4) Methode eins: Wir fassen die Kombinationen der ersten drei Punkte zusammen:
So können Fahrgäste den Aufzug verlassen.

Methode zwei : Im allgemeinen Fall ist es rationaler, außerdem können Sie auf die Ergebnisse der vorherigen Absätze verzichten. Die Begründung lautet wie folgt: Auf welche Weise kann der 1. Passagier den Aufzug verlassen? Und Möglichkeiten, wie der 2. Passagier aussteigen kann Und
2) Das „billigste“ Set enthält 3 Rubelmünzen und das „teuerste“ Set enthält 3 Zehn-Rubel-Münzen.

Aufgabe 17: Lösung: Mit diesen Methoden können Sie eine digitale Kombination einer Autonummer erstellen, wobei eine davon (000) ausgeschlossen werden sollte: .
Mit diesen Methoden können Sie eine Buchstabenkombination aus einem Kennzeichen erstellen.
Nach der Regel der Multiplikation von Kombinationen kann die Summe gebildet werden:
Nummernschilder
(jede digitale Kombination wird kombiniert mit jedem Buchstabenkombination).
Antwort : 1726272

Aufteilung natürliche Zahlen, insbesondere polysemantische, werden zweckmäßigerweise mit einer speziellen Methode durchgeführt, die aufgerufen wird Division durch eine Spalte (in einer Spalte). Dort finden Sie auch den Namen Eckteilung. Beachten wir gleich, dass die Spalte sowohl zur Division natürlicher Zahlen ohne Rest als auch zur Division natürlicher Zahlen mit Rest verwendet werden kann.

In diesem Artikel werden wir uns ansehen, wie lange die Division durchgeführt wird. Hier werden wir über die Aufzeichnungsregeln und alle Zwischenberechnungen sprechen. Konzentrieren wir uns zunächst auf die Division einer mehrstelligen natürlichen Zahl durch eine einstellige Zahl mit einer Spalte. Danach konzentrieren wir uns auf Fälle, in denen sowohl der Dividend als auch der Divisor mehrwertige natürliche Zahlen sind. Die gesamte Theorie dieses Artikels wird mit typischen Beispielen der Division durch eine Spalte natürlicher Zahlen mit detaillierten Erläuterungen zum Lösungsprozess und Abbildungen versehen.

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Regeln für die Aufzeichnung beim Teilen durch eine Spalte

Beginnen wir mit dem Studium der Regeln zum Schreiben des Dividenden, des Divisors, aller Zwischenberechnungen und Ergebnisse bei der Division natürlicher Zahlen durch eine Spalte. Nehmen wir gleich an, dass es am bequemsten ist, die Spalteneinteilung beim Schreiben auf Papier mit einer karierten Linie vorzunehmen – auf diese Weise ist die Wahrscheinlichkeit geringer, dass man von der gewünschten Zeile und Spalte abweicht.

Zuerst werden Dividend und Divisor in einer Zeile von links nach rechts geschrieben, danach wird ein Symbol der Form zwischen die geschriebenen Zahlen gezeichnet. Wenn der Dividend beispielsweise die Zahl 6 105 und der Divisor 5 5 ist, dann sieht ihre korrekte Aufzeichnung bei der Aufteilung in eine Spalte wie folgt aus:

Schauen Sie sich das folgende Diagramm an, um zu veranschaulichen, wo die Dividenden-, Divisor-, Quotienten-, Rest- und Zwischenberechnungen bei der langen Division geschrieben werden müssen.

Aus dem obigen Diagramm geht hervor, dass der erforderliche Quotient (oder der unvollständige Quotient bei Division mit Rest) unterhalb des Divisors unter der horizontalen Linie geschrieben wird. Und Zwischenberechnungen werden unterhalb der Dividende durchgeführt, und Sie müssen sich im Voraus um die Verfügbarkeit von Platz auf der Seite kümmern. In diesem Fall sollten Sie sich an der Regel orientieren: Je größer der Unterschied in der Anzahl der Zeichen in den Einträgen von Dividend und Divisor ist, desto mehr Platz wird benötigt. Wenn Sie beispielsweise die natürliche Zahl 614.808 durch 51.234 mit einer Spalte dividieren (614.808 ist eine sechsstellige Zahl, 51.234 ist eine fünfstellige Zahl, beträgt der Unterschied in der Anzahl der Zeichen in den Datensätzen 6 − 5 = 1), mittel Berechnungen erfordern wenig Platz als bei der Division der Zahlen 8.058 und 4 (hier beträgt der Unterschied in der Ziffernzahl 4−1=3). Um unsere Worte zu bestätigen, präsentieren wir vollständige Aufzeichnungen der Division durch eine Spalte dieser natürlichen Zahlen:

Jetzt können Sie direkt mit der Division natürlicher Zahlen durch eine Spalte fortfahren.

Spaltendivision einer natürlichen Zahl durch eine einstellige natürliche Zahl, Spaltendivisionsalgorithmus

Es ist klar, dass die Division einer einstelligen natürlichen Zahl durch eine andere recht einfach ist und es keinen Grund gibt, diese Zahlen in eine Spalte aufzuteilen. Es wird jedoch hilfreich sein, Ihre anfänglichen Fähigkeiten im Bereich der Langdivision anhand dieser einfachen Beispiele zu üben.

Beispiel.

Wir müssen mit einer Spalte von 8 durch 2 dividieren.

Lösung.

Natürlich können wir eine Division mithilfe der Multiplikationstabelle durchführen und sofort die Antwort 8:2=4 aufschreiben.

Uns interessiert aber, wie man diese Zahlen durch eine Spalte dividiert.

Zuerst schreiben wir den Dividenden 8 und den Divisor 2 auf, wie es die Methode erfordert:

Jetzt beginnen wir herauszufinden, wie oft der Divisor im Dividenden enthalten ist. Dazu multiplizieren wir den Divisor nacheinander mit den Zahlen 0, 1, 2, 3, ..., bis das Ergebnis eine Zahl ist, die dem Dividenden entspricht (oder eine Zahl größer als der Dividenden, wenn es sich um eine Division mit Rest handelt). ). Wenn wir eine Zahl erhalten, die dem Dividenden entspricht, schreiben wir sie sofort unter den Dividenden und an die Stelle des Quotienten schreiben wir die Zahl, mit der wir den Divisor multipliziert haben. Wenn wir eine Zahl erhalten, die größer als der Dividend ist, schreiben wir unter den Divisor die im vorletzten Schritt berechnete Zahl und anstelle des unvollständigen Quotienten die Zahl, mit der der Divisor im vorletzten Schritt multipliziert wurde.

Los geht's: 2·0=0 ; 2 1=2 ; 2·2=4 ; 2·3=6 ; 2·4=8. Wir haben eine Zahl erhalten, die dem Dividenden entspricht, also schreiben wir sie unter den Dividenden und anstelle des Quotienten schreiben wir die Zahl 4. In diesem Fall hat die Aufzeichnung folgende Form:

Der letzte Schritt der Division einstelliger natürlicher Zahlen mit einer Spalte bleibt bestehen. Unter der unter dem Dividenden geschriebenen Zahl müssen Sie eine horizontale Linie zeichnen und die Zahlen über dieser Linie auf die gleiche Weise subtrahieren, wie Sie es beim Subtrahieren natürlicher Zahlen in einer Spalte tun. Die aus der Subtraktion resultierende Zahl ist der Rest der Division. Ist sie gleich Null, werden die ursprünglichen Zahlen ohne Rest dividiert.

In unserem Beispiel erhalten wir

Jetzt haben wir eine fertige Aufzeichnung der Spaltenteilung der Zahl 8 durch 2 vor uns. Wir sehen, dass der Quotient von 8:2 4 ist (und der Rest 0 ist).

Antwort:

8:2=4 .

Schauen wir uns nun an, wie eine Spalte einstellige natürliche Zahlen durch einen Rest dividiert.

Beispiel.

Teilen Sie 7 durch 3 mithilfe einer Spalte.

Lösung.

An Erstphase der Eintrag sieht so aus:

Wir beginnen herauszufinden, wie oft die Dividende den Divisor enthält. Wir multiplizieren 3 mit 0, 1, 2, 3 usw. bis wir eine Zahl erhalten, die gleich oder größer als die Dividende 7 ist. Wir erhalten 3·0=0<7 ; 3·1=3<7 ; 3·2=6<7 ; 3·3=9>7 (siehe ggf. den Artikel zum Vergleich natürlicher Zahlen). Unter den Dividenden schreiben wir die Zahl 6 (sie wurde im vorletzten Schritt erhalten) und anstelle des unvollständigen Quotienten schreiben wir die Zahl 2 (die Multiplikation wurde damit im vorletzten Schritt durchgeführt).

Es bleibt noch die Subtraktion durchzuführen und die Division durch eine Spalte der einstelligen natürlichen Zahlen 7 und 3 ist abgeschlossen.

Somit ist der Teilquotient 2 und der Rest ist 1.

Antwort:

7:3=2 (Rest. 1) .

Jetzt können Sie mit der Division mehrstelliger natürlicher Zahlen durch Spalten in einstellige natürliche Zahlen fortfahren.

Jetzt werden wir es herausfinden Langdivisionsalgorithmus. In jeder Phase präsentieren wir die Ergebnisse, die wir durch Division der mehrstelligen natürlichen Zahl 140.288 durch die einstellige natürliche Zahl 4 erhalten. Dieses Beispiel wurde nicht zufällig ausgewählt, da wir bei der Lösung auf alle möglichen Nuancen stoßen und diese im Detail analysieren können.

Zuerst schauen wir uns die erste Ziffer links in der Dividendenschreibweise an. Wenn die durch diese Zahl definierte Zahl größer als der Teiler ist, müssen wir im nächsten Absatz mit dieser Zahl arbeiten. Wenn diese Zahl kleiner als der Teiler ist, müssen wir die nächste Ziffer links in der Notation des Dividenden zur Betrachtung hinzufügen und mit der Zahl weiterarbeiten, die durch die beiden betrachteten Ziffern bestimmt wird. Der Einfachheit halber heben wir in unserer Notation die Zahl hervor, mit der wir arbeiten werden.

Die erste Ziffer von links in der Notation des Dividenden 140288 ist die Ziffer 1. Die Zahl 1 ist kleiner als der Teiler 4, daher schauen wir uns auch die nächste Ziffer links in der Notation des Dividenden an. Gleichzeitig sehen wir die Zahl 14, mit der wir weiter arbeiten müssen. Wir heben diese Zahl in der Notation der Dividende hervor.

Die folgenden Schritte vom zweiten bis zum vierten werden zyklisch wiederholt, bis die Division der natürlichen Zahlen durch eine Spalte abgeschlossen ist.

Jetzt müssen wir bestimmen, wie oft der Divisor in der Zahl enthalten ist, mit der wir arbeiten (der Einfachheit halber bezeichnen wir diese Zahl als x). Dazu multiplizieren wir den Teiler nacheinander mit 0, 1, 2, 3, ..., bis wir die Zahl x oder eine Zahl größer als x erhalten. Wenn wir die Zahl x erhalten haben, schreiben wir sie gemäß den Aufzeichnungsregeln, die beim Subtrahieren natürlicher Zahlen in einer Spalte verwendet werden, unter die hervorgehobene Zahl. Anstelle des Quotienten wird beim ersten Durchlauf des Algorithmus die Zahl geschrieben, mit der die Multiplikation durchgeführt wurde (in nachfolgenden Durchgängen von 2-4 Punkten des Algorithmus wird diese Zahl rechts von den bereits vorhandenen Zahlen geschrieben). Wenn eine Zahl erhalten wird, die größer als die Zahl x ist, schreiben wir unter die markierte Zahl die im vorletzten Schritt erhaltene Zahl und anstelle des Quotienten (oder rechts von den bereits vorhandenen Zahlen) schreiben wir die Zahl von wobei die Multiplikation im vorletzten Schritt durchgeführt wurde. (In den beiden oben besprochenen Beispielen haben wir ähnliche Aktionen durchgeführt).

Multiplizieren Sie den Teiler 4 mit den Zahlen 0, 1, 2, ..., bis wir eine Zahl erhalten, die gleich 14 oder größer als 14 ist. Wir haben 4·0=0<14 , 4·1=4<14 , 4·2=8<14 , 4·3=12<14 , 4·4=16>14 . Da wir im letzten Schritt die Zahl 16 erhalten haben, die größer als 14 ist, schreiben wir unter die hervorgehobene Zahl die Zahl 12, die wir im vorletzten Schritt erhalten haben, und anstelle des Quotienten schreiben wir die Zahl 3, da in am vorletzten Punkt wurde die Multiplikation genau dadurch durchgeführt.


Subtrahieren Sie zu diesem Zeitpunkt mithilfe einer Spalte die darunter liegende Zahl von der ausgewählten Zahl. Das Ergebnis der Subtraktion wird unter die horizontale Linie geschrieben. Wenn das Ergebnis der Subtraktion jedoch Null ist, muss es nicht aufgeschrieben werden (es sei denn, die Subtraktion an diesem Punkt ist die allerletzte Aktion, die den Prozess der langen Division vollständig abschließt). Hier wäre es zur eigenen Kontrolle nicht verkehrt, das Ergebnis der Subtraktion mit dem Divisor zu vergleichen und darauf zu achten, dass dieser kleiner als der Divisor ist. Ansonsten ist irgendwo ein Fehler passiert.

Wir müssen die Zahl 12 mit einer Spalte von der Zahl 14 subtrahieren (für die Richtigkeit der Aufzeichnung müssen wir daran denken, links von den zu subtrahierenden Zahlen ein Minuszeichen zu setzen). Nach Abschluss dieser Aktion erschien die Nummer 2 unter der horizontalen Linie. Nun überprüfen wir unsere Berechnungen, indem wir die resultierende Zahl mit dem Divisor vergleichen. Da die Zahl 2 kleiner als der Teiler 4 ist, können Sie sicher zum nächsten Punkt übergehen.


Nun schreiben wir unter der horizontalen Linie rechts von den dort stehenden Zahlen (oder rechts von der Stelle, an der wir die Null nicht notiert haben) die Zahl, die sich in derselben Spalte in der Notation des Dividenden befindet. Wenn in der Aufzeichnung des Dividenden in dieser Spalte keine Zahlen vorhanden sind, endet die Division durch die Spalte dort. Danach wählen wir die unter der horizontalen Linie gebildete Zahl aus, akzeptieren sie als Arbeitszahl und wiederholen damit die Punkte 2 bis 4 des Algorithmus.

Unter der horizontalen Linie rechts neben der bereits vorhandenen Zahl 2 schreiben wir die Zahl 0, da es sich bei der Aufzeichnung der Dividende 140.288 in dieser Spalte um die Zahl 0 handelt. Somit wird unter der horizontalen Linie die Zahl 20 gebildet.


Wir wählen diese Zahl 20, nehmen sie als Arbeitszahl und wiederholen damit die Aktionen des zweiten, dritten und vierten Punktes des Algorithmus.

Multiplizieren Sie den Teiler 4 mit 0, 1, 2, ..., bis wir die Zahl 20 oder eine Zahl größer als 20 erhalten. Wir haben 4·0=0<20 , 4·1=4<20 , 4·2=8<20 , 4·3=12<20 , 4·4=16<20 , 4·5=20 . Так как мы получили число, равное числу 20 , то записываем его под отмеченным числом, а на месте частного, справа от уже имеющегося там числа 3 записываем число 5 (на него производилось умножение).


Wir führen die Subtraktion in einer Spalte durch. Da wir gleiche natürliche Zahlen subtrahieren, ist das Ergebnis aufgrund der Eigenschaft, gleiche natürliche Zahlen zu subtrahieren, Null. Wir schreiben die Null nicht auf (da dies nicht die letzte Stufe der Division mit einer Spalte ist), aber wir merken uns die Stelle, an der wir sie schreiben könnten (der Einfachheit halber markieren wir diese Stelle mit einem schwarzen Rechteck).


Unter der horizontalen Linie rechts von der gespeicherten Stelle schreiben wir die Zahl 2, da genau diese in der Aufzeichnung der Dividende 140.288 in dieser Spalte steht. Unter der horizontalen Linie haben wir also die Zahl 2.


Wir nehmen die Zahl 2 als Arbeitszahl, markieren sie und müssen erneut die Aktionen von 2-4 Punkten des Algorithmus ausführen.

Wir multiplizieren den Teiler mit 0, 1, 2 usw. und vergleichen die resultierenden Zahlen mit der markierten Zahl 2. Wir haben 4·0=0<2 , 4·1=4>2. Daher schreiben wir unter die markierte Zahl die Zahl 0 (sie wurde im vorletzten Schritt erhalten) und an die Stelle des Quotienten rechts von der bereits vorhandenen Zahl schreiben wir die Zahl 0 (wir haben im vorletzten Schritt mit 0 multipliziert). ).


Führen wir die Subtraktion in einer Spalte durch, erhalten wir die Zahl 2 unter der horizontalen Linie. Wir überprüfen uns selbst, indem wir die resultierende Zahl mit dem Divisor 4 vergleichen. Seit 2<4 , то можно спокойно двигаться дальше.


Fügen Sie unter der horizontalen Linie rechts neben der Zahl 2 die Zahl 8 hinzu (da sie in dieser Spalte im Eintrag für die Dividende 140 288 steht). Somit erscheint die Zahl 28 unter der horizontalen Linie.


Wir nehmen diese Nummer als Arbeitsnummer, markieren sie und wiederholen die Schritte 2-4.

Wenn Sie bisher vorsichtig vorgegangen sind, sollte es hier keine Probleme geben. Nach Abschluss aller notwendigen Schritte erhält man das folgende Ergebnis.

Jetzt müssen Sie nur noch die Schritte aus den Punkten 2, 3, 4 ein letztes Mal ausführen (das überlassen wir Ihnen), danach erhalten Sie ein vollständiges Bild der Aufteilung der natürlichen Zahlen 140,288 und 4 in eine Spalte:

Bitte beachten Sie, dass ganz unten in der Zeile die Zahl 0 steht. Wenn dies nicht der letzte Schritt der Division durch eine Spalte wäre (das heißt, wenn in der Aufzeichnung des Dividenden noch Zahlen in den rechten Spalten vorhanden wären), würden wir diese Null nicht schreiben.

Wenn wir uns also die vollständige Aufzeichnung der Division der mehrstelligen natürlichen Zahl 140.288 durch die einstellige natürliche Zahl 4 ansehen, sehen wir, dass der Quotient die Zahl 35.072 ist (und der Rest der Division ist Null, er steht ganz unten). Linie).

Wenn Sie natürliche Zahlen durch eine Spalte dividieren, werden Sie natürlich nicht alle Ihre Aktionen so detailliert beschreiben. Ihre Lösungen werden in etwa wie die folgenden Beispiele aussehen.

Beispiel.

Führen Sie eine lange Division durch, wenn der Dividend 7 136 beträgt und der Divisor eine einstellige natürliche Zahl 9 ist.

Lösung.

Im ersten Schritt des Algorithmus zum Teilen natürlicher Zahlen durch Spalten erhalten wir eine Aufzeichnung der Form

Nachdem die Aktionen aus dem zweiten, dritten und vierten Punkt des Algorithmus ausgeführt wurden, nimmt der Spaltenteilungsdatensatz die Form an

Wir werden den Zyklus wiederholen

Ein weiterer Durchgang wird uns ein vollständiges Bild der Spalteneinteilung der natürlichen Zahlen 7.136 und 9 geben

Somit beträgt der Teilquotient 792 und der Rest 8.

Antwort:

7 136:9=792 (Rest. 8) .

Und dieses Beispiel zeigt, wie eine lange Division aussehen sollte.

Beispiel.

Teilen Sie die natürliche Zahl 7.042.035 durch die einstellige natürliche Zahl 7.

Lösung.

Die bequemste Art der Aufteilung ist die Aufteilung nach Spalten.

Antwort:

7 042 035:7=1 006 005 .

Spaltenteilung mehrstelliger natürlicher Zahlen

Wir beeilen uns, Ihnen eine Freude zu machen: Wenn Sie den Spaltenteilungsalgorithmus aus dem vorherigen Absatz dieses Artikels gründlich beherrschen, wissen Sie fast schon, wie er vorgeht Spaltenteilung mehrstelliger natürlicher Zahlen. Dies ist richtig, da die Stufen 2 bis 4 des Algorithmus unverändert bleiben und im ersten Punkt nur geringfügige Änderungen auftreten.

In der ersten Phase der Aufteilung mehrstelliger natürlicher Zahlen in eine Spalte müssen Sie nicht auf die erste Ziffer links in der Notation des Dividenden achten, sondern auf deren Anzahl, die der Anzahl der in der Notation enthaltenen Ziffern entspricht des Divisors. Wenn die durch diese Zahlen definierte Zahl größer als der Teiler ist, müssen wir im nächsten Absatz mit dieser Zahl arbeiten. Wenn diese Zahl kleiner als der Divisor ist, müssen wir die nächste Ziffer links in der Notation des Dividenden in die Betrachtung einbeziehen. Danach werden die in den Absätzen 2, 3 und 4 des Algorithmus genannten Aktionen ausgeführt, bis das Endergebnis vorliegt.

Bleibt nur noch, die Anwendung des Spaltenteilungsalgorithmus für mehrwertige natürliche Zahlen in der Praxis beim Lösen von Beispielen zu sehen.

Beispiel.

Führen wir eine Spaltendivision der mehrstelligen natürlichen Zahlen 5.562 und 206 durch.

Lösung.

Da der Divisor 206 drei Ziffern enthält, betrachten wir die ersten drei Ziffern links im Dividenden 5.562. Diese Zahlen entsprechen der Zahl 556. Da 556 größer als der Teiler 206 ist, nehmen wir die Zahl 556 als Arbeitszahl, wählen sie aus und fahren mit der nächsten Stufe des Algorithmus fort.

Nun multiplizieren wir den Teiler 206 mit den Zahlen 0, 1, 2, 3, ..., bis wir eine Zahl erhalten, die entweder gleich 556 oder größer als 556 ist. Wir haben (wenn die Multiplikation schwierig ist, dann ist es besser, natürliche Zahlen in einer Spalte zu multiplizieren): 206 0 = 0<556 , 206·1=206<556 , 206·2=412<556 , 206·3=618>556. Da wir eine Zahl erhalten haben, die größer als die Zahl 556 ist, schreiben wir unter die hervorgehobene Zahl die Zahl 412 (sie wurde im vorletzten Schritt erhalten) und anstelle des Quotienten schreiben wir die Zahl 2 (da wir damit multipliziert haben). im vorletzten Schritt). Der Spalteneinteilungseintrag hat folgende Form:

Wir führen eine Spaltensubtraktion durch. Wir erhalten die Differenz 144, diese Zahl ist kleiner als der Divisor, sodass Sie die erforderlichen Aktionen sicher weiter ausführen können.

Unter der horizontalen Linie rechts von der dortigen Zahl schreiben wir die Zahl 2, da sie im Datensatz der Dividende 5562 in dieser Spalte steht:

Nun arbeiten wir mit der Zahl 1.442, wählen sie aus und gehen die Schritte zwei bis vier noch einmal durch.

Multiplizieren Sie den Teiler 206 mit 0, 1, 2, 3, ..., bis Sie die Zahl 1442 oder eine Zahl größer als 1442 erhalten. Los geht's: 206·0=0<1 442 , 206·1=206<1 442 , 206·2=412<1 332 , 206·3=618<1 442 , 206·4=824<1 442 , 206·5=1 030<1 442 , 206·6=1 236<1 442 , 206·7=1 442 . Таким образом, под отмеченным числом записываем 1 442 , а на месте частного правее уже имеющегося там числа записываем 7 :

Wir führen die Subtraktion in einer Spalte durch, wir erhalten Null, aber wir schreiben sie nicht gleich auf, sondern merken uns nur ihre Position, weil wir nicht wissen, ob die Division hier endet oder ob wir sie wiederholen müssen noch einmal die Schritte des Algorithmus:

Jetzt sehen wir, dass wir unter der horizontalen Linie rechts von der gespeicherten Position keine Zahl schreiben können, da in der Aufzeichnung des Dividenden in dieser Spalte keine Ziffern vorhanden sind. Damit ist die Division nach Spalte abgeschlossen und wir vervollständigen den Eintrag:

• Mathematik. Alle Lehrbücher für die 1., 2., 3., 4. Klasse allgemeinbildender Einrichtungen.
• Mathematik. Alle Lehrbücher für die 5. Klasse allgemeinbildender Einrichtungen.