Grundbegriff der Wahrscheinlichkeitstheorie. Gesetze der Wahrscheinlichkeitstheorie

Ereignisse, die in der Realität oder in unserer Vorstellung passieren, können in drei Gruppen eingeteilt werden. Dies sind bestimmte Ereignisse, die definitiv eintreten werden, unmögliche Ereignisse und zufällige Ereignisse. Die Wahrscheinlichkeitstheorie untersucht zufällige Ereignisse, d. h. Ereignisse, die eintreten können oder auch nicht. Dieser Artikel wird in vorgestellt in Kürze Formeln der Wahrscheinlichkeitstheorie und Beispiele zur Lösung von Problemen in der Wahrscheinlichkeitstheorie, die in Aufgabe 4 des Einheitlichen Staatsexamens in Mathematik (Profilebene) enthalten sein werden.

Warum brauchen wir Wahrscheinlichkeitstheorie?

Historisch gesehen entstand die Notwendigkeit, diese Probleme im 17. Jahrhundert im Zusammenhang mit der Entwicklung und Professionalisierung des Glücksspiels und der Entstehung von Casinos zu untersuchen. Dies war ein reales Phänomen, das eigene Studien und Forschungen erforderte.

Das Spielen von Karten, Würfeln und Roulette schuf Situationen, in denen eine endliche Anzahl gleich möglicher Ereignisse eintreten konnte. Es bestand Bedarf an numerischen Schätzungen der Möglichkeit des Eintretens eines bestimmten Ereignisses.

Im 20. Jahrhundert stellte sich heraus, dass diese scheinbar frivole Wissenschaft eine Rolle spielt wichtige Rolle im Wissen über grundlegende Prozesse, die im Mikrokosmos ablaufen. Wurde erstellt moderne Theorie Wahrscheinlichkeiten.

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie

Gegenstand des Studiums der Wahrscheinlichkeitstheorie sind Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeiten. Wenn ein Ereignis komplex ist, kann es in einfache Komponenten zerlegt werden, deren Wahrscheinlichkeiten leicht zu ermitteln sind.

Die Summe der Ereignisse A und B wird als Ereignis C bezeichnet und besteht darin, dass entweder Ereignis A oder Ereignis B oder die Ereignisse A und B gleichzeitig aufgetreten sind.

Das Produkt der Ereignisse A und B ist ein Ereignis C, was bedeutet, dass sowohl Ereignis A als auch Ereignis B eingetreten sind.

Die Ereignisse A und B werden als inkompatibel bezeichnet, wenn sie nicht gleichzeitig auftreten können.

Ein Ereignis A heißt unmöglich, wenn es nicht eintreten kann. Ein solches Ereignis wird durch das Symbol angezeigt.

Ein Ereignis A heißt sicher, wenn es sicher eintritt. Ein solches Ereignis wird durch das Symbol angezeigt.

Jedem Ereignis A sei eine Zahl P(A) zugeordnet. Diese Zahl P(A) wird als Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A bezeichnet, wenn die folgenden Bedingungen mit dieser Entsprechung erfüllt sind.

Ein wichtiger Sonderfall ist der Fall, dass gleichwahrscheinliche Elementarergebnisse vorliegen und beliebige dieser Ergebnisse Ereignisse A bilden. In diesem Fall kann die Wahrscheinlichkeit mithilfe der Formel eingegeben werden. Die so eingeführte Wahrscheinlichkeit heißt klassische Wahrscheinlichkeit. Es kann nachgewiesen werden, dass in diesem Fall die Eigenschaften 1-4 erfüllt sind.

Probleme der Wahrscheinlichkeitstheorie, die im Einheitlichen Staatsexamen in Mathematik auftreten, beziehen sich hauptsächlich auf die klassische Wahrscheinlichkeit. Solche Aufgaben können sehr einfach sein. Die Probleme der Wahrscheinlichkeitstheorie in den Demonstrationsversionen sind besonders einfach. Es ist einfach, die Anzahl der günstigen Ergebnisse zu berechnen; die Anzahl aller Ergebnisse wird direkt in die Bedingung geschrieben.

Die Antwort erhalten wir mit der Formel.

Ein Beispiel für eine Aufgabe aus dem Einheitlichen Staatsexamen in Mathematik zur Wahrscheinlichkeitsbestimmung

Auf dem Tisch liegen 20 Kuchen – 5 mit Kohl, 7 mit Äpfeln und 8 mit Reis. Marina will den Kuchen essen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie den Reiskuchen nimmt?

Lösung.

Es gibt 20 gleichwahrscheinliche Elementarergebnisse, das heißt, Marina kann jeden der 20 Kuchen nehmen. Aber wir müssen die Wahrscheinlichkeit abschätzen, dass Marina die Reistorte nehmen wird, das heißt, wobei A die Wahl der Reistorte ist. Dies bedeutet, dass die Anzahl der günstigen Ergebnisse (Auswahl an Kuchen mit Reis) nur 8 beträgt. Dann wird die Wahrscheinlichkeit durch die Formel bestimmt:

Unabhängige, gegensätzliche und willkürliche Ereignisse

In der offenen Aufgabendatenbank wurden jedoch zunehmend komplexere Aufgaben gefunden. Lassen Sie uns daher die Aufmerksamkeit des Lesers auf andere Themen lenken, die in der Wahrscheinlichkeitstheorie untersucht werden.

Die Ereignisse A und B heißen unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit beider Ereignisse nicht davon abhängt, ob das andere Ereignis eintritt.

Ereignis B bedeutet, dass Ereignis A nicht eingetreten ist, d. h. Ereignis B ist das Gegenteil von Ereignis A. Die Wahrscheinlichkeit des entgegengesetzten Ereignisses ist gleich eins minus der Wahrscheinlichkeit des direkten Ereignisses, d. h. .

Wahrscheinlichkeitsadditions- und Multiplikationssätze, Formeln

Für beliebige Ereignisse A und B ist die Wahrscheinlichkeit der Summe dieser Ereignisse gleich der Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten ohne die Wahrscheinlichkeit ihres gemeinsamen Ereignisses, d.h. .

Für die unabhängigen Ereignisse A und B ist die Eintrittswahrscheinlichkeit dieser Ereignisse gleich dem Produkt ihrer Wahrscheinlichkeiten, d.h. in diesem Fall .

Die letzten beiden Aussagen werden als Sätze der Addition und Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten bezeichnet.

Die Anzahl der Ergebnisse zu zählen ist nicht immer so einfach. In manchen Fällen ist es notwendig, kombinatorische Formeln zu verwenden. Das Wichtigste ist, die Anzahl der Ereignisse zu zählen, die bestimmte Bedingungen erfüllen. Manchmal können solche Berechnungen zu eigenständigen Aufgaben werden.

Auf wie viele Arten können 6 Schüler auf 6 freien Plätzen Platz nehmen? Der erste Student nimmt einen der 6 Plätze ein. Jede dieser Optionen entspricht 5 Möglichkeiten für den zweiten Studierenden, einen Platz einzunehmen. Für den dritten Studierenden sind noch 4 Plätze frei, für den vierten 3, für den fünften 2 und der sechste wird den einzigen verbleibenden Platz einnehmen. Um die Anzahl aller Optionen zu ermitteln, müssen Sie das Produkt finden, das mit dem Symbol 6 gekennzeichnet ist! und lautet „sechs Fakultäten“.

Im allgemeinen Fall ergibt sich die Antwort auf diese Frage durch die Formel für die Anzahl der Permutationen von n Elementen. In unserem Fall.

Betrachten wir nun einen anderen Fall mit unseren Schülern. Auf wie viele Arten können zwei Schüler auf sechs freien Plätzen Platz nehmen? Der erste Student nimmt einen der 6 Plätze ein. Jede dieser Optionen entspricht 5 Möglichkeiten für den zweiten Studierenden, einen Platz einzunehmen. Um die Anzahl aller Optionen zu ermitteln, müssen Sie das Produkt finden.

Im Allgemeinen wird die Antwort auf diese Frage durch die Formel für die Anzahl der Platzierungen von n Elementen über k Elementen gegeben

In unserem Fall .

Und der letzte Fall dieser Serie. Auf wie viele Arten kann man drei von sechs Schülern auswählen? Der erste Schüler kann auf sechs Arten ausgewählt werden, der zweite auf fünf Arten und der dritte auf vier Arten. Aber unter diesen Optionen tauchen dieselben drei Schüler sechsmal auf. Um die Anzahl aller Optionen zu ermitteln, müssen Sie den Wert berechnen: . Im Allgemeinen ergibt sich die Antwort auf diese Frage durch die Formel für die Anzahl der Elementkombinationen pro Element:

In unserem Fall .

Beispiele für die Lösung von Problemen aus dem Einheitlichen Staatsexamen in Mathematik zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit

Aufgabe 1. Aus der Sammlung herausgegeben von. Jaschtschenko.

Auf dem Teller liegen 30 Pasteten: 3 mit Fleisch, 18 mit Kohl und 9 mit Kirschen. Sasha wählt zufällig einen Kuchen aus. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er am Ende eine Kirsche bekommt.

.

Antwort: 0,3.

Aufgabe 2. Aus der Sammlung herausgegeben von. Jaschtschenko.

In jeder Charge von 1000 Glühbirnen sind durchschnittlich 20 defekt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig aus einer Charge entnommene Glühbirne funktioniert.

Lösung: Die Anzahl der funktionierenden Glühbirnen beträgt 1000-20=980. Dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig aus einer Charge entnommene Glühbirne funktioniert:

Antwort: 0,98.

Die Wahrscheinlichkeit, dass Schüler U bei einem Mathematiktest mehr als 9 Aufgaben richtig löst, beträgt 0,67. Die Wahrscheinlichkeit, dass U. mehr als 8 Aufgaben richtig löst, beträgt 0,73. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass U genau 9 Probleme richtig löst.

Wenn wir uns einen Zahlenstrahl vorstellen und darauf die Punkte 8 und 9 markieren, dann sehen wir, dass die Bedingung „U. wird genau 9 Aufgaben richtig lösen“ ist in der Bedingung „U. wird mehr als 8 Aufgaben richtig lösen“, gilt jedoch nicht für die Bedingung „U. wird mehr als 9 Probleme richtig lösen.“

Die Bedingung „U. wird mehr als 9 Aufgaben richtig lösen“ ist in der Bedingung „U. wird mehr als 8 Probleme richtig lösen.“ Wenn wir also Ereignisse bezeichnen: „U. wird genau 9 Probleme richtig lösen“ – durch A, „U. wird mehr als 8 Probleme richtig lösen“ – durch B, „U. wird mehr als 9 Probleme richtig lösen“ durch C. Diese Lösung wird so aussehen auf die folgende Weise:

Antwort: 0,06.

Bei einer Geometrieprüfung beantwortet ein Student eine Frage aus einer Liste von Prüfungsfragen. Die Wahrscheinlichkeit, dass es sich hierbei um eine Trigonometriefrage handelt, beträgt 0,2. Die Wahrscheinlichkeit ist groß, dass es sich hierbei um eine Frage zum Thema „ Außenecken", ist gleich 0,15. Es gibt keine Fragen, die sich gleichzeitig auf diese beiden Themen beziehen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Student in der Prüfung eine Frage zu einem dieser beiden Themen erhält.

Denken wir darüber nach, welche Veranstaltungen wir haben. Wir erhalten zwei inkompatible Ereignisse. Das heißt, entweder bezieht sich die Frage auf das Thema „Trigonometrie“ oder auf das Thema „Außenwinkel“. Gemäß dem Wahrscheinlichkeitssatz ist die Wahrscheinlichkeit inkompatibler Ereignisse gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten jedes Ereignisses. Wir müssen die Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse ermitteln, das heißt:

Antwort: 0,35.

Der Raum wird von einer Laterne mit drei Lampen beleuchtet. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Lampe innerhalb eines Jahres durchbrennt, beträgt 0,29. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Lampe im Laufe des Jahres nicht durchbrennt.

Betrachten wir mögliche Ereignisse. Wir haben drei Glühbirnen, von denen jede unabhängig von jeder anderen Glühbirne durchbrennen kann oder auch nicht. Es handelt sich um eigenständige Veranstaltungen.

Dann zeigen wir die Möglichkeiten für solche Veranstaltungen auf. Wir verwenden die folgenden Schreibweisen: - die Glühbirne ist an, - die Glühbirne ist durchgebrannt. Und direkt daneben berechnen wir die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses. Beispielsweise ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, bei dem drei unabhängige Ereignisse „die Glühbirne ist durchgebrannt“, „die Glühbirne ist an“, „die Glühbirne ist an“ aufgetreten: , wobei die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „die Glühbirne.“ ist an“ wird als Wahrscheinlichkeit des Ereignisses berechnet, das dem Ereignis „Die Glühbirne ist nicht an“ entgegengesetzt ist, nämlich: .

Viele bekommen Angst, wenn sie mit dem Konzept der „Wahrscheinlichkeitstheorie“ konfrontiert werden, weil sie denken, dass es sich um etwas Überwältigendes und sehr Komplexes handelt. Aber eigentlich ist alles nicht so tragisch. Heute beschäftigen wir uns mit dem Grundkonzept der Wahrscheinlichkeitstheorie und lernen anhand konkreter Beispiele, wie man Probleme löst.

Die Wissenschaft

Was untersucht ein Zweig der Mathematik wie die „Wahrscheinlichkeitstheorie“? Sie notiert Muster und Mengen. Wissenschaftler interessierten sich erstmals für dieses Thema im 18. Jahrhundert, als sie sich mit Glücksspielen beschäftigten. Der Grundbegriff der Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein Ereignis. Dabei handelt es sich um jede Tatsache, die durch Erfahrung oder Beobachtung festgestellt wird. Aber was ist Erfahrung? Ein weiteres Grundkonzept der Wahrscheinlichkeitstheorie. Dies bedeutet, dass diese Umstände nicht zufällig, sondern zu einem bestimmten Zweck geschaffen wurden. Was die Beobachtung betrifft, so nimmt hier der Forscher selbst nicht am Experiment teil, sondern ist lediglich Zeuge dieser Ereignisse; er hat keinen Einfluss auf das Geschehen.

Veranstaltungen

Wir haben gelernt, dass das Grundkonzept der Wahrscheinlichkeitstheorie ein Ereignis ist, aber wir haben die Klassifizierung nicht berücksichtigt. Alle sind in die folgenden Kategorien unterteilt:

• Zuverlässig.
• Unmöglich.
• Zufällig.

Unabhängig davon, um welche Art von Ereignissen es sich handelt, ob sie während des Erlebnisses beobachtet oder erzeugt werden, unterliegen sie alle dieser Klassifizierung. Wir laden Sie ein, sich mit jedem Typ einzeln vertraut zu machen.

Zuverlässige Veranstaltung

Für diesen Umstand wurden die notwendigen Maßnahmen ergriffen. Um das Wesentliche besser zu verstehen, ist es besser, einige Beispiele zu nennen. Physik, Chemie, Wirtschaftswissenschaften und höhere Mathematik unterliegen diesem Gesetz. Die Wahrscheinlichkeitstheorie beinhaltet dies wichtiges Konzept als verlässliche Veranstaltung. Hier sind einige Beispiele:

• Wir arbeiten und erhalten eine Vergütung in Form von Lohn.
• Wir haben die Prüfungen gut bestanden, den Wettbewerb bestanden und erhalten dafür eine Belohnung in Form der Zulassung zu einer Bildungseinrichtung.
• Wir haben Geld bei der Bank angelegt und bekommen es bei Bedarf auch zurück.

Solche Ereignisse sind zuverlässig. Wenn wir alles erledigt haben die notwendigen Voraussetzungen, dann werden wir auf jeden Fall das erwartete Ergebnis bekommen.

Unmögliche Ereignisse

Jetzt betrachten wir Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie. Wir schlagen vor, mit der Erklärung der nächsten Art von Ereignissen fortzufahren, nämlich des Unmöglichen. Lassen Sie uns zunächst das Meiste festlegen wichtige Regel- Die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist Null.

Von dieser Formulierung kann man bei der Lösung von Problemen nicht abweichen. Zur Verdeutlichung hier Beispiele für solche Ereignisse:

• Bei einer Temperatur von plus zehn gefror das Wasser (das ist unmöglich).
• Der Strommangel beeinträchtigt die Produktion in keiner Weise (genauso unmöglich wie im vorherigen Beispiel).

Es lohnt sich nicht, weitere Beispiele zu nennen, da die oben beschriebenen sehr deutlich das Wesen dieser Kategorie widerspiegeln. Ein unmögliches Ereignis wird während eines Experiments unter keinen Umständen eintreten.

Zufällige Ereignisse

Studium der Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie, Besondere Aufmerksamkeit Es lohnt sich, dieser Art von Veranstaltung Aufmerksamkeit zu schenken. Das ist es, was die Wissenschaft studiert. Aufgrund der Erfahrung kann etwas passieren oder auch nicht. Darüber hinaus kann der Test unbegrenzt oft durchgeführt werden. Anschauliche Beispiele kann dienen:

• Der Münzwurf ist ein Erlebnis oder eine Prüfung, das Landen einer Münze ist ein Ereignis.
• Einen Ball blind aus einem Beutel zu ziehen ist ein Test; einen roten Ball zu bekommen ist ein Ereignis und so weiter.

Es kann eine unbegrenzte Anzahl solcher Beispiele geben, aber im Allgemeinen sollte das Wesentliche klar sein. Um die gewonnenen Erkenntnisse zu den Ereignissen zusammenzufassen und zu systematisieren, wird eine Tabelle bereitgestellt. Die Wahrscheinlichkeitstheorie untersucht nur die letzte Art von allen vorgestellten.

Name	Definition
Zuverlässig	Ereignisse, die bei Erfüllung bestimmter Bedingungen mit 100-prozentiger Garantie eintreten.	Zulassung zu einer Bildungseinrichtung bei bestandener Aufnahmeprüfung.
Unmöglich	Ereignisse, die unter keinen Umständen eintreten werden.	Bei einer Lufttemperatur von plus dreißig Grad Celsius schneit es.
Zufällig	Ein Ereignis, das während eines Experiments/Tests auftreten kann oder auch nicht.	Ein Treffer oder Fehlschuss beim Werfen eines Basketballs in einen Korb.

Gesetze

Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist eine Wissenschaft, die die Möglichkeit des Eintretens eines Ereignisses untersucht. Wie die anderen gibt es einige Regeln. Es gibt folgende Gesetze der Wahrscheinlichkeitstheorie:

• Konvergenz von Folgen von Zufallsvariablen.
• Gesetz der großen Zahlen.

Wenn Sie die Möglichkeit eines komplexen Ereignisses berechnen, können Sie eine Reihe einfacher Ereignisse verwenden, um einfacher und schneller ein Ergebnis zu erzielen. Beachten Sie, dass die Gesetze mithilfe bestimmter Theoreme leicht bewiesen werden können. Wir empfehlen Ihnen, sich zunächst mit dem ersten Gesetz vertraut zu machen.

Konvergenz von Folgen von Zufallsvariablen

Beachten Sie, dass es verschiedene Arten der Konvergenz gibt:

• Die Folge von Zufallsvariablen konvergiert hinsichtlich der Wahrscheinlichkeit.
• Nahezu unmöglich.
• Mittlere quadratische Konvergenz.
• Verteilungskonvergenz.

Daher ist es auf Anhieb sehr schwierig, das Wesentliche zu verstehen. Hier finden Sie Definitionen, die Ihnen helfen, dieses Thema zu verstehen. Beginnen wir mit der ersten Ansicht. Die Sequenz wird aufgerufen konvergent in der Wahrscheinlichkeit, wenn die folgende Bedingung erfüllt ist: n strebt gegen Unendlich, die Zahl, zu der die Folge strebt, Über Null und ist nahe an der Einheit.

Fahren wir mit der nächsten Ansicht fort: Fast sicher. Die Folge soll konvergieren Fast sicher zu einer Zufallsvariablen, wobei n gegen Unendlich tendiert und P gegen einen Wert nahe Eins tendiert.

Der nächste Typ ist mittlere quadratische Konvergenz. Bei Verwendung der SC-Konvergenz wird die Untersuchung von Vektorzufallsprozessen auf die Untersuchung ihrer Koordinatenzufallsprozesse reduziert.

Der letzte Typ bleibt bestehen. Schauen wir ihn uns kurz an, damit wir direkt zur Problemlösung übergehen können. Konvergenz in der Verteilung hat einen anderen Namen – „schwach“, und wir werden später erklären, warum. Schwache Konvergenz ist die Konvergenz der Verteilungsfunktionen an allen Kontinuitätspunkten der Grenzverteilungsfunktion.

Wir werden unser Versprechen auf jeden Fall halten: Die schwache Konvergenz unterscheidet sich darin von allen oben genannten Zufallswert ist nicht auf dem Wahrscheinlichkeitsraum definiert. Dies ist möglich, da die Bedingung ausschließlich über Verteilungsfunktionen gebildet wird.

Gesetz der großen Zahlen

Sätze der Wahrscheinlichkeitstheorie, wie zum Beispiel:

• Tschebyscheffs Ungleichung.
• Satz von Tschebyschew.
• Verallgemeinerter Satz von Tschebyschew.
• Satz von Markov.

Wenn wir alle diese Theoreme berücksichtigen, kann sich diese Frage über mehrere Dutzend Blätter hinziehen. Unsere Hauptaufgabe besteht darin, die Wahrscheinlichkeitstheorie in der Praxis anzuwenden. Wir empfehlen Ihnen, dies jetzt zu tun. Aber werfen wir vorher einen Blick auf die Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie; sie werden die wichtigsten Helfer bei der Lösung von Problemen sein.

Axiome

Den ersten trafen wir bereits, als wir über ein unmögliches Ereignis sprachen. Denken wir daran: Die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist Null. Wir haben ein sehr anschauliches und einprägsames Beispiel gegeben: Bei einer Lufttemperatur von dreißig Grad Celsius fiel Schnee.

Das zweite ist wie folgt: Ein zuverlässiges Ereignis tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von eins ein. Jetzt zeigen wir, wie man dies in mathematischer Sprache schreibt: P(B)=1.

Drittens: Ein zufälliges Ereignis kann eintreten oder auch nicht, aber die Wahrscheinlichkeit liegt immer zwischen null und eins. Je näher der Wert bei eins liegt, desto größer sind die Chancen. geht der Wert gegen Null, ist die Wahrscheinlichkeit sehr gering. Schreiben wir das in mathematischer Sprache: 0<Р(С)<1.

Betrachten wir das letzte, vierte Axiom, das so klingt: Die Wahrscheinlichkeit der Summe zweier Ereignisse ist gleich der Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten. Wir schreiben es in mathematischer Sprache: P(A+B)=P(A)+P(B).

Die Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie sind die einfachsten Regeln, die man sich leicht merken kann. Versuchen wir, einige Probleme auf der Grundlage des bereits erworbenen Wissens zu lösen.

Lotterieschein

Schauen wir uns zunächst das einfachste Beispiel an – eine Lotterie. Stellen Sie sich vor, Sie hätten als Glücksbringer einen Lottoschein gekauft. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie mindestens zwanzig Rubel gewinnen? Insgesamt nehmen tausend Lose an der Verlosung teil, von denen eines einen Preis von fünfhundert Rubel hat, zehn von ihnen jeweils einhundert Rubel, fünfzig einen Preis von zwanzig Rubel und einhundert einen Preis von fünf. Wahrscheinlichkeitsprobleme basieren auf der Suche nach der Möglichkeit von Glück. Nun analysieren wir gemeinsam die Lösung der oben genannten Aufgabe.

Wenn wir den Buchstaben A verwenden, um einen Gewinn von fünfhundert Rubel zu bezeichnen, beträgt die Wahrscheinlichkeit, A zu erhalten, 0,001. Wie sind wir darauf gekommen? Sie müssen lediglich die Anzahl der „Glückslose“ durch ihre Gesamtzahl dividieren (in diesem Fall: 1/1000).

B ist ein Gewinn von einhundert Rubel, die Wahrscheinlichkeit beträgt 0,01. Jetzt haben wir nach dem gleichen Prinzip wie in der vorherigen Aktion (10/1000) gehandelt.

C – der Gewinn beträgt zwanzig Rubel. Wir finden die Wahrscheinlichkeit, sie beträgt 0,05.

An den restlichen Losen sind wir nicht interessiert, da ihr Preisgeld geringer ist als in der Bedingung angegeben. Wenden wir das vierte Axiom an: Die Wahrscheinlichkeit, mindestens zwanzig Rubel zu gewinnen, beträgt P(A)+P(B)+P(C). Der Buchstabe P bezeichnet die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines bestimmten Ereignisses; wir haben sie bereits in früheren Aktionen gefunden. Jetzt müssen nur noch die notwendigen Daten addiert werden und wir erhalten als Ergebnis 0,061. Diese Nummer ist die Antwort auf die Aufgabenfrage.

Kartendeck

Probleme in der Wahrscheinlichkeitstheorie können komplexer sein; nehmen wir zum Beispiel die folgende Aufgabe. Vor Ihnen liegt ein Kartenspiel mit sechsunddreißig Karten. Ihre Aufgabe besteht darin, zwei Karten hintereinander zu ziehen, ohne den Stapel zu mischen. Die erste und zweite Karte müssen Asse sein, die Farbe spielt keine Rolle.

Lassen Sie uns zunächst die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass die erste Karte ein Ass ist. Dazu teilen wir vier durch sechsunddreißig. Sie legen es beiseite. Wir ziehen die zweite Karte heraus, es wird ein Ass mit einer Wahrscheinlichkeit von drei Fünfunddreißigsteln sein. Die Wahrscheinlichkeit des zweiten Ereignisses hängt davon ab, welche Karte wir zuerst gezogen haben. Wir fragen uns, ob es ein Ass war oder nicht. Daraus folgt, dass Ereignis B von Ereignis A abhängt.

Der nächste Schritt besteht darin, die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitigen Auftretens zu ermitteln, d Das Ereignis ist eingetreten, das heißt, wir haben mit der ersten Karte ein Ass gezogen.

Um alles klarer zu machen, geben wir einem solchen Element eine Bezeichnung als Ereignisse. Die Berechnung erfolgt unter der Annahme, dass Ereignis A eingetreten ist. Es wird wie folgt berechnet: P(B/A).

Fahren wir mit der Lösung unseres Problems fort: P(A * B) = P(A) * P(B/A) oder P(A * B) = P(B) * P(A/B). Die Wahrscheinlichkeit ist gleich (4/36) * ((3/35)/(4/36). Wir berechnen, indem wir auf das nächste Hundertstel runden. Wir haben: 0,11 * (0,09/0,11) = 0,11 * 0, 82 = 0,09. Die Wahrscheinlichkeit, dass wir zwei Asse hintereinander ziehen, beträgt neun Hundertstel. Der Wert ist sehr klein, daraus folgt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt, extrem klein ist.

Nummer vergessen

Wir schlagen vor, mehrere weitere Varianten von Aufgaben zu analysieren, die von der Wahrscheinlichkeitstheorie untersucht werden. Beispiele für die Lösung einiger dieser Probleme haben Sie in diesem Artikel bereits gesehen. Versuchen wir, das folgende Problem zu lösen: Der Junge vergaß die letzte Ziffer der Telefonnummer seines Freundes, aber da der Anruf sehr wichtig war, begann er, alles nacheinander anzurufen . Wir müssen die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass er nicht mehr als dreimal anruft. Die Lösung des Problems ist am einfachsten, wenn die Regeln, Gesetze und Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie bekannt sind.

Bevor Sie sich die Lösung ansehen, versuchen Sie, sie selbst zu lösen. Wir wissen, dass die letzte Ziffer zwischen null und neun liegen kann, also insgesamt zehn Werte. Die Wahrscheinlichkeit, das Richtige zu finden, liegt bei 1/10.

Als nächstes müssen wir die Optionen für den Ursprung des Ereignisses berücksichtigen. Angenommen, der Junge hat richtig geraten und sofort das Richtige getippt. Die Wahrscheinlichkeit eines solchen Ereignisses beträgt 1/10. Zweite Option: Der erste Anruf geht daneben und der zweite trifft das Ziel. Berechnen wir die Wahrscheinlichkeit eines solchen Ereignisses: Multiplizieren Sie 9/10 mit 1/9, und als Ergebnis erhalten wir ebenfalls 1/10. Die dritte Möglichkeit: Beim ersten und zweiten Anruf stellte sich heraus, dass sie an der falschen Adresse waren, erst beim dritten kam der Junge dort an, wo er wollte. Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit eines solchen Ereignisses: 9/10 multipliziert mit 8/9 und 1/8, was 1/10 ergibt. Wir sind nicht an anderen Optionen entsprechend den Bedingungen des Problems interessiert, also müssen wir nur die erhaltenen Ergebnisse addieren, am Ende haben wir 3/10. Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, dass der Junge nicht mehr als dreimal anruft, beträgt 0,3.

Karten mit Zahlen

Vor Ihnen liegen neun Karten, auf denen jeweils eine Zahl von eins bis neun steht, die Zahlen werden nicht wiederholt. Sie wurden in eine Kiste gegeben und gründlich gemischt. Sie müssen die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen

• es erscheint eine gerade Zahl;
• zweistellig.

Bevor wir mit der Lösung fortfahren, legen wir fest, dass m die Anzahl der erfolgreichen Fälle und n die Gesamtzahl der Optionen ist. Lassen Sie uns die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass die Zahl gerade ist. Es wird nicht schwer sein zu berechnen, dass es vier gerade Zahlen gibt, das wird unser m sein, es gibt insgesamt neun mögliche Optionen, also m=9. Dann beträgt die Wahrscheinlichkeit 0,44 oder 4/9.

Betrachten wir den zweiten Fall: Die Anzahl der Optionen beträgt neun und es kann überhaupt keine erfolgreichen Ergebnisse geben, das heißt, m ist gleich Null. Die Wahrscheinlichkeit, dass die gezogene Karte eine zweistellige Zahl enthält, ist ebenfalls Null.

Was ist Wahrscheinlichkeit?

Als mir dieser Begriff zum ersten Mal begegnete, hätte ich nicht verstanden, was er bedeutet. Deshalb werde ich versuchen, es klar zu erklären.

Die Wahrscheinlichkeit ist die Chance, dass das von uns gewünschte Ereignis eintritt.

Wenn Sie beispielsweise beschlossen haben, zum Haus eines Freundes zu gehen, erinnern Sie sich an den Eingang und sogar an die Etage, in der er wohnt. Aber ich habe die Nummer und den Standort der Wohnung vergessen. Und jetzt stehen Sie auf der Treppe und vor Ihnen stehen Türen zur Auswahl.

Wie groß ist die Chance (Wahrscheinlichkeit), dass Ihr Freund die Tür für Sie öffnet, wenn Sie an der ersten Tür klingeln? Es gibt nur Wohnungen und nur hinter einer davon wohnt ein Freund. Bei gleicher Chance können wir jede Tür wählen.

Aber was ist diese Chance?

Die Tür, die rechte Tür. Wahrscheinlichkeit des Erratens durch das erste Klingeln: . Das heißt, in einem von drei Fällen werden Sie es richtig erraten.

Wir möchten wissen, wie oft wir die Tür erraten, wenn wir einmal angerufen haben. Schauen wir uns alle Optionen an:

1. Du hast angerufen 1 Tür
2. Du hast angerufen 2 Tür
3. Du hast angerufen 3 Tür

Schauen wir uns nun alle Möglichkeiten an, wo ein Freund sein könnte:

A. Hinter 1 die Tür
B. Hinter 2 die Tür
V. Hinter 3 die Tür

Vergleichen wir alle Optionen in Tabellenform. Ein Häkchen zeigt Optionen an, wenn Ihre Auswahl mit dem Standort eines Freundes übereinstimmt, ein Kreuz, wenn dies nicht der Fall ist.

Wie siehst du alles? Vielleicht Optionen den Standort Ihres Freundes und Ihre Wahl, an welcher Tür geklingelt werden soll.

A positive Ergebnisse für alle . Das heißt, Sie raten einmal, indem Sie einmal an der Tür klingeln, d. h. .

Dies ist die Wahrscheinlichkeit – das Verhältnis eines günstigen Ergebnisses (wenn Ihre Wahl mit dem Standort Ihres Freundes übereinstimmt) zur Anzahl möglicher Ereignisse.

Die Definition ist die Formel. Die Wahrscheinlichkeit wird normalerweise mit p bezeichnet, also:

Es ist nicht sehr praktisch, eine solche Formel zu schreiben, daher nehmen wir für – die Anzahl der günstigen Ergebnisse und für – die Gesamtzahl der Ergebnisse.

Die Wahrscheinlichkeit kann in Prozent angegeben werden; dazu müssen Sie das resultierende Ergebnis multiplizieren mit:

Das Wort „Ergebnisse“ ist Ihnen wahrscheinlich aufgefallen. Da Mathematiker verschiedene Aktionen (in unserem Fall eine Türklingel) als Experimente bezeichnen, wird das Ergebnis solcher Experimente üblicherweise als Ergebnis bezeichnet.

Nun, es gibt günstige und ungünstige Ergebnisse.

Kehren wir zu unserem Beispiel zurück. Nehmen wir an, wir haben an einer der Türen geklingelt, aber ein Fremder hat sie für uns geöffnet. Wir haben nicht richtig geraten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unser Freund sie für uns öffnet, wenn wir an einer der verbleibenden Türen klingeln?

Wenn Sie das gedacht haben, dann ist das ein Fehler. Lass es uns herausfinden.

Wir haben noch zwei Türen übrig. Wir haben also mögliche Schritte:

1) Rufen Sie an 1 Tür
2) Rufen Sie an 2 Tür

Trotz alledem steht der Freund definitiv hinter einem von ihnen (schließlich stand er nicht hinter dem, den wir anriefen):

a) Freund für 1 die Tür
b) Freund für 2 die Tür

Zeichnen wir die Tabelle noch einmal:

Wie Sie sehen, gibt es nur Optionen, die günstig sind. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit ist gleich.

Warum nicht?

Die von uns betrachtete Situation ist Beispiel für abhängige Ereignisse. Das erste Ereignis ist die erste Türklingel, das zweite Ereignis ist die zweite Türklingel.

Und sie werden abhängig genannt, weil sie die folgenden Handlungen beeinflussen. Denn wenn schon nach dem ersten Klingeln ein Freund an der Tür geantwortet hätte, wie groß wäre dann die Wahrscheinlichkeit, dass er sich hinter einem der beiden anderen befand? Rechts, .

Aber wenn es abhängige Ereignisse gibt, dann muss es auch welche geben unabhängig? Das stimmt, sie kommen vor.

Ein Beispiel aus dem Lehrbuch ist das Werfen einer Münze.

1. Wirf einmal eine Münze. Wie hoch ist zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit, Kopf zu bekommen? Das ist richtig – denn es gibt alle Optionen (entweder Kopf oder Zahl, wir vernachlässigen die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze auf der Kante landet), aber es passt nur zu uns.
2. Aber es kam Kopf hoch. Okay, lass es uns noch einmal werfen. Wie hoch ist jetzt die Wahrscheinlichkeit, Köpfe zu bekommen? Nichts hat sich verändert, alles ist gleich. Wie viele Optionen? Zwei. Mit wie vielen sind wir zufrieden? Eins.

Und lassen Sie es mindestens tausendmal hintereinander Kopf hochkommen. Die Wahrscheinlichkeit, auf einmal Kopf zu bekommen, ist gleich. Es gibt immer Möglichkeiten, und zwar günstige.

Es ist einfach, abhängige Ereignisse von unabhängigen zu unterscheiden:

1. Wird das Experiment einmal durchgeführt (sie werfen einmal eine Münze, klingeln einmal an der Tür usw.), dann sind die Ereignisse immer unabhängig.
2. Wird ein Experiment mehrmals durchgeführt (eine Münze wird einmal geworfen, es wird mehrmals an der Tür geklingelt), dann ist das erste Ereignis immer unabhängig. Und wenn sich dann die Zahl der günstigen oder die Zahl aller Ergebnisse ändert, dann sind die Ereignisse abhängig, und wenn nicht, sind sie unabhängig.

Üben wir ein wenig die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit.

Beispiel 1.

Die Münze wird zweimal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zweimal hintereinander „Kopf“ zu bekommen?

Lösung:

Betrachten wir alle möglichen Optionen:

1. Adler-Adler
2. Kopf-Zahl
3. Zahl-Köpfe
4. Schwanz-Schwanz

Wie Sie sehen, gibt es nur Optionen. Davon sind wir nur zufrieden. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit:

Wenn Sie in der Bedingung lediglich aufgefordert werden, die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, muss die Antwort in Form eines Dezimalbruchs angegeben werden. Wenn angegeben wäre, dass die Antwort in Prozent angegeben werden soll, dann würden wir mit multiplizieren.

Antwort:

Beispiel 2.

In einer Pralinenschachtel sind alle Pralinen in der gleichen Hülle verpackt. Allerdings aus Süßigkeiten – mit Nüssen, mit Cognac, mit Kirschen, mit Karamell und mit Nougat.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine Süßigkeit zu nehmen und eine Süßigkeit mit Nüssen zu bekommen? Geben Sie Ihre Antwort in Prozent an.

Lösung:

Wie viele mögliche Ergebnisse gibt es? .

Das heißt, wenn Sie eine Süßigkeit nehmen, ist es eine der in der Schachtel verfügbaren.

Wie viele positive Ergebnisse?

Denn in der Schachtel sind ausschließlich Pralinen mit Nüssen enthalten.

Antwort:

Beispiel 3.

In einer Schachtel mit Luftballons. davon sind weiß und schwarz.

1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel zu ziehen?
2. Wir haben der Box weitere schwarze Bälle hinzugefügt. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel zu ziehen?

Lösung:

a) Es sind nur Bälle in der Box. Davon sind weiß.

Die Wahrscheinlichkeit ist:

b) Jetzt sind mehr Bälle in der Box. Und es sind genauso viele Weiße übrig - .

Antwort:

Gesamtwahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit aller möglichen Ereignisse ist gleich ().

Nehmen wir an, in einer Schachtel befinden sich rote und grüne Kugeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen? Grüner Ball? Roter oder grüner Ball?

Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen

Grüner Ball:

Roter oder grüner Ball:

Wie Sie sehen, ist die Summe aller möglichen Ereignisse gleich (). Wenn Sie diesen Punkt verstehen, können Sie viele Probleme lösen.

Beispiel 4.

In der Box befinden sich Markierungen: grün, rot, blau, gelb, schwarz.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, KEINE rote Markierung zu zeichnen?

Lösung:

Zählen wir die Zahl günstige Ergebnisse.

KEIN roter Marker, das heißt grün, blau, gelb oder schwarz.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis nicht eintritt, ist gleich minus der Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt.

Regel zur Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse

Sie wissen bereits, was unabhängige Ereignisse sind.

Was wäre, wenn Sie die Wahrscheinlichkeit dafür ermitteln müssten, dass zwei (oder mehr) unabhängige Ereignisse hintereinander auftreten?

Nehmen wir an, wir möchten wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass wir, wenn wir einmal eine Münze werfen, zweimal „Kopf“ sehen?

Wir haben bereits darüber nachgedacht - .

Was wäre, wenn wir einmal eine Münze werfen würden? Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, einen Adler zweimal hintereinander zu sehen?

Insgesamt mögliche Optionen:

1. Adler-Adler-Adler
2. Kopf-Kopf-Zahl
3. Kopf-Zahl-Kopf
4. Kopf-Zahl-Zahl
5. Zahl-Köpfe-Köpfe
6. Zahl-Kopf-Zahl
7. Zahl-Zahl-Köpfe
8. Schwänze-Schwänze-Schwänze

Ich weiß nicht, wie es Ihnen geht, aber ich habe beim Zusammenstellen dieser Liste mehrmals Fehler gemacht. Wow! Und nur die Option (die erste) passt zu uns.

Für 5 Würfe können Sie selbst eine Liste möglicher Ergebnisse erstellen. Aber Mathematiker sind nicht so fleißig wie Sie.

Daher stellten sie zunächst fest und bewiesen dann, dass die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Folge unabhängiger Ereignisse jedes Mal um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses abnimmt.

Mit anderen Worten,

Schauen wir uns das Beispiel derselben unglücklichen Münze an.

Wahrscheinlichkeit, in einer Herausforderung Kopf zu bekommen? . Jetzt werfen wir die Münze einmal.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, in einer Reihe „Kopf“ zu bekommen?

Diese Regel funktioniert nicht nur, wenn wir die Wahrscheinlichkeit ermitteln sollen, dass dasselbe Ereignis mehrmals hintereinander eintritt.

Wenn wir die Reihenfolge SCHWANZ-KOPF-SCHWANZ für aufeinanderfolgende Würfe finden wollten, würden wir dasselbe tun.

Die Wahrscheinlichkeit, Zahl zu bekommen, beträgt , Kopf - .

Wahrscheinlichkeit, die Reihenfolge TAILS-HEADS-TAILS-TAILS zu erhalten:

Sie können es selbst überprüfen, indem Sie eine Tabelle erstellen.

Die Regel zum Addieren der Wahrscheinlichkeiten inkompatibler Ereignisse.

Also hör auf! Neue Definition.

Lass es uns herausfinden. Nehmen wir unsere abgenutzte Münze und werfen sie einmal.
Möglichkeiten:

1. Adler-Adler-Adler
2. Kopf-Kopf-Zahl
3. Kopf-Zahl-Kopf
4. Kopf-Zahl-Zahl
5. Zahl-Köpfe-Köpfe
6. Zahl-Kopf-Zahl
7. Zahl-Zahl-Köpfe
8. Schwänze-Schwänze-Schwänze

Inkompatible Ereignisse sind also eine bestimmte, gegebene Abfolge von Ereignissen. - Dies sind inkompatible Ereignisse.

Wenn wir die Wahrscheinlichkeit von zwei (oder mehr) inkompatiblen Ereignissen bestimmen wollen, addieren wir die Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse.

Sie müssen verstehen, dass Kopf und Zahl zwei unabhängige Ereignisse sind.

Wenn wir die Wahrscheinlichkeit des Auftretens einer Sequenz (oder einer anderen) bestimmen möchten, verwenden wir die Regel der Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Wurf „Kopf“ und beim zweiten und dritten Wurf „Zahl“ zu bekommen?

Wenn wir aber wissen wollen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, eine von mehreren Sequenzen zu erhalten, zum Beispiel wenn „Kopf“ genau einmal auftaucht, d. h. Optionen und dann müssen wir die Wahrscheinlichkeiten dieser Folgen addieren.

Die Gesamtoptionen passen zu uns.

Wir können das Gleiche erhalten, indem wir die Eintrittswahrscheinlichkeiten jeder Sequenz addieren:

Daher addieren wir Wahrscheinlichkeiten, wenn wir die Wahrscheinlichkeit bestimmter, inkonsistenter Abfolgen von Ereignissen bestimmen wollen.

Es gibt eine tolle Regel, die Ihnen dabei hilft, nicht zu verwechseln, wann Sie multiplizieren und wann Sie addieren sollten:

Kehren wir zu dem Beispiel zurück, in dem wir einmal eine Münze geworfen haben und wissen wollten, wie wahrscheinlich es ist, dass wir einmal „Kopf“ sehen.
Was wird passieren?

Sollte herausfallen:
(Kopf UND Zahl UND Zahl) ODER (Zahl UND Zahl UND Zahl) ODER (Zahl UND Zahl UND Zahl).
So stellt sich heraus:

Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Beispiel 5.

In der Schachtel sind Bleistifte. rot, grün, orange und gelb und schwarz. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, mit roten oder grünen Stiften zu zeichnen?

Lösung:

Beispiel 6.

Wenn ein Würfel zweimal geworfen wird, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er insgesamt 8 ergibt?

Lösung.

Wie können wir Punkte bekommen?

(und) oder (und) oder (und) oder (und) oder (und).

Die Wahrscheinlichkeit, ein (beliebiges) Gesicht zu bekommen, beträgt .

Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit:

Ausbildung.

Ich denke, jetzt verstehen Sie, wann Sie Wahrscheinlichkeiten berechnen, wann Sie sie addieren und wann Sie sie multiplizieren müssen. Nicht wahr? Lasst uns ein wenig üben.

Aufgaben:

Nehmen wir ein Kartenspiel mit Karten wie Pik, Herz, 13 Kreuz und 13 Karo. Von bis Ass jeder Farbe.

1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, Kreuze hintereinander zu ziehen (wir legen die zuerst gezogene Karte zurück in den Stapel und mischen sie)?
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine schwarze Karte (Pik oder Kreuz) zu ziehen?
3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, ein Bild zu zeichnen (Bube, Dame, König oder Ass)?
4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zwei Bilder hintereinander zu ziehen (wir nehmen die erste gezogene Karte vom Stapel)?
5. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass man mit zwei Karten eine Kombination (Bube, Dame oder König) und ein Ass erhält? Die Reihenfolge, in der die Karten gezogen werden, spielt keine Rolle.

Antworten:

Wenn Sie alle Probleme selbst lösen konnten, dann sind Sie großartig! Jetzt werden Sie die Probleme der Wahrscheinlichkeitstheorie im Einheitlichen Staatsexamen wie verrückt lösen!

WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE. DURCHSCHNITTSNIVEAU

Schauen wir uns ein Beispiel an. Nehmen wir an, wir werfen einen Würfel. Was für ein Knochen ist das, wissen Sie? So nennt man einen Würfel mit Zahlen auf den Seiten. Wie viele Gesichter, so viele Zahlen: von bis wie viele? Vor.

Also würfeln wir und wir wollen, dass es auftaucht oder. Und wir verstehen es.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie sagen sie, was passiert ist glückverheißendes Ereignis(nicht zu verwechseln mit wohlhabend).

Wenn es passieren würde, wäre das Ereignis auch günstig. Insgesamt können nur zwei günstige Ereignisse eintreten.

Wie viele sind ungünstig? Da es insgesamt mögliche Ereignisse gibt, bedeutet dies, dass die ungünstigen Ereignisse Ereignisse sind (dies ist, wenn oder herausfällt).

Definition:

Die Wahrscheinlichkeit ist das Verhältnis der Anzahl günstiger Ereignisse zur Anzahl aller möglichen Ereignisse. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit gibt an, welcher Anteil aller möglichen Ereignisse günstig ist.

Sie bezeichnen Wahrscheinlichkeit mit einem lateinischen Buchstaben (anscheinend vom englischen Wort Wahrscheinlichkeit – Wahrscheinlichkeit).

Es ist üblich, die Wahrscheinlichkeit in Prozent zu messen (siehe Thema). Dazu muss der Wahrscheinlichkeitswert mit multipliziert werden. Im Würfelbeispiel Wahrscheinlichkeit.

Und in Prozent: .

Beispiele (entscheide selbst):

1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Münzwurf „Kopf“ zu bekommen? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, Köpfe zu landen?
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln eine gerade Zahl zu erhalten? Welches ist seltsam?
3. In einer Schachtel mit einfachen blauen und roten Stiften. Wir zeichnen zufällig einen Bleistift. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, ein einfaches zu bekommen?

Lösungen:

1. Wie viele Möglichkeiten gibt es? Kopf und Zahl – nur zwei. Wie viele davon sind günstig? Nur einer ist ein Adler. Also die Wahrscheinlichkeit

   Dasselbe gilt auch für tails: .

2. Gesamtoptionen: (wie viele Seiten hat der Würfel, so viele verschiedene Optionen). Günstige: (das sind alles gerade Zahlen:).
   Wahrscheinlichkeit. Das Gleiche gilt natürlich auch für ungerade Zahlen.
3. Gesamt: . Günstig: . Wahrscheinlichkeit: .

Gesamtwahrscheinlichkeit

Alle Stifte in der Box sind grün. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, einen Rotstift zu zeichnen? Es gibt keine Chancen: Wahrscheinlichkeit (schließlich günstige Ereignisse -).

Ein solches Ereignis wird als unmöglich bezeichnet.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem grünen Stift zu zeichnen? Es gibt genau so viele günstige Ereignisse wie es insgesamt Ereignisse gibt (alle Ereignisse sind günstig). Die Wahrscheinlichkeit ist also gleich oder.

Ein solches Ereignis wird als zuverlässig bezeichnet.

Wenn eine Schachtel grüne und rote Stifte enthält, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, grün oder rot zu zeichnen? Wieder mal. Beachten wir Folgendes: Die Wahrscheinlichkeit, Grün herauszuziehen, ist gleich und Rot ist gleich.

Insgesamt sind diese Wahrscheinlichkeiten genau gleich. Also, die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ereignisse ist gleich oder.

Beispiel:

In einer Schachtel mit Bleistiften befinden sich darunter Blau, Rot, Grün, Uni, Gelb und der Rest ist Orange. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nicht grün zu zeichnen?

Lösung:

Wir erinnern uns daran, dass sich alle Wahrscheinlichkeiten summieren. Und die Wahrscheinlichkeit, grün zu werden, ist gleich. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, kein Grün zu zeichnen, gleich ist.

Denken Sie an diesen Trick: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis nicht eintritt, ist gleich minus der Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt.

Unabhängige Ereignisse und die Multiplikationsregel

Sie werfen eine Münze einmal und möchten, dass sie beide Male „Kopf“ zeigt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit hierfür?

Lassen Sie uns alle möglichen Optionen durchgehen und feststellen, wie viele es gibt:

Kopf-Kopf, Zahl-Kopf, Kopf-Zahl, Zahl-Zahl. Was sonst?

Gesamtoptionen. Davon passt nur einer zu uns: Eagle-Eagle. Insgesamt ist die Wahrscheinlichkeit gleich.

Bußgeld. Jetzt werfen wir einmal eine Münze. Rechnen Sie selbst. Passiert? (Antwort).

Sie haben vielleicht bemerkt, dass sich die Wahrscheinlichkeit mit jedem weiteren Wurf um die Hälfte verringert. Die allgemeine Regel heißt Multiplikationsregel:

Die Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse ändern sich.

Was sind unabhängige Veranstaltungen? Alles ist logisch: Das sind diejenigen, die nicht voneinander abhängig sind. Wenn wir beispielsweise eine Münze mehrmals werfen, wird jedes Mal ein neuer Wurf ausgeführt, dessen Ergebnis nicht von allen vorherigen Würfen abhängt. Wir können genauso gut zwei verschiedene Münzen gleichzeitig werfen.

Mehr Beispiele:

1. Es wird zweimal gewürfelt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, es beide Male zu bekommen?
2. Die Münze wird einmal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es beim ersten Mal „Kopf“ und dann zweimal „Zahl“ gibt?
3. Der Spieler würfelt mit zwei Würfeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der darauf befindlichen Zahlen gleich ist?

Antworten:

1. Die Ereignisse sind unabhängig, was bedeutet, dass die Multiplikationsregel funktioniert: .
2. Die Wahrscheinlichkeit für Kopf ist gleich. Die Wahrscheinlichkeit für „Zahlen“ ist gleich. Multiplizieren:
3. 12 kann nur erhalten werden, wenn zwei -ki gewürfelt werden: .

Inkompatible Ereignisse und die Additionsregel

Ereignisse, die sich bis zur vollen Wahrscheinlichkeit ergänzen, werden als inkompatibel bezeichnet. Wie der Name schon sagt, können sie nicht gleichzeitig auftreten. Wenn wir zum Beispiel eine Münze werfen, kann es entweder „Kopf“ oder „Zahl“ sein.

Beispiel.

In einer Schachtel mit Bleistiften befinden sich darunter Blau, Rot, Grün, Uni, Gelb und der Rest ist Orange. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, Grün oder Rot zu zeichnen?

Lösung .

Die Wahrscheinlichkeit, mit einem grünen Stift zu zeichnen, ist gleich. Rot - .

Günstige Ereignisse insgesamt: Grün + Rot. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, Grün oder Rot zu zeichnen, gleich ist.

Die gleiche Wahrscheinlichkeit kann in dieser Form dargestellt werden: .

Dies ist die Additionsregel: die Wahrscheinlichkeiten inkompatibler Ereignisse summieren sich.

Probleme gemischter Art

Beispiel.

Die Münze wird zweimal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Ergebnisse der Würfe unterschiedlich ausfallen?

Lösung .

Das heißt, wenn das erste Ergebnis „Kopf“ ist, muss das zweite Ergebnis „Zahl“ sein und umgekehrt. Es stellt sich heraus, dass es zwei Paare unabhängiger Ereignisse gibt und diese Paare miteinander nicht kompatibel sind. Wie man nicht verwirrt, wo man multipliziert und wo man addiert.

Für solche Situationen gibt es eine einfache Regel. Versuchen Sie zu beschreiben, was passieren wird, indem Sie die Konjunktionen „AND“ oder „OR“ verwenden. In diesem Fall zum Beispiel:

Es sollte (Kopf und Zahl) oder (Zahl und Kopf) erscheinen.

Wo es eine Konjunktion „und“ gibt, wird es eine Multiplikation geben, und wo es ein „oder“ gibt, wird es eine Addition geben:

Versuch es selber:

1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Münze beim zweimaligen Werfen beide Male auf derselben Seite landet?
2. Es wird zweimal gewürfelt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, insgesamt Punkte zu erzielen?

Lösungen:

Ein anderes Beispiel:

Wirf einmal eine Münze. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einmal Köpfe auftauchen?

Lösung:

WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE. KURZ ÜBER DAS WICHTIGSTE

Die Wahrscheinlichkeit ist das Verhältnis der Anzahl günstiger Ereignisse zur Anzahl aller möglichen Ereignisse.

Unabhängige Veranstaltungen

Zwei Ereignisse sind unabhängig, wenn das Eintreten des einen die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des anderen nicht verändert.

Gesamtwahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit aller möglichen Ereignisse ist gleich ().

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis nicht eintritt, ist gleich minus der Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt.

Regel zur Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse

Die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Folge unabhängiger Ereignisse ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten jedes Ereignisses

Inkompatible Ereignisse

Inkompatible Ereignisse sind solche, die als Ergebnis eines Experiments unmöglich gleichzeitig auftreten können. Eine Reihe inkompatibler Ereignisse bilden eine vollständige Gruppe von Ereignissen.

Die Wahrscheinlichkeiten inkompatibler Ereignisse summieren sich.

Nachdem wir beschrieben haben, was passieren soll, setzen wir mithilfe der Konjunktionen „AND“ oder „OR“ anstelle von „AND“ ein Multiplikationszeichen und anstelle von „OR“ ein Additionszeichen.

Nun, das Thema ist vorbei. Wenn Sie diese Zeilen lesen, bedeutet das, dass Sie sehr cool sind.

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Wahrscheinlichkeitstheorie- tikimybių teorija statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. Wahrscheinlichkeitstheorie vok. Wahrscheinlichkeitstheorie, f rus. Wahrscheinlichkeitstheorie, f pranc. Wahrscheinlichkeitstheorie, f … Fizikos terminų žodynas

Wahrscheinlichkeitstheorie- ... Wikipedia

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Wahrscheinlichkeitstheorie und ihre Anwendungen- („Wahrscheinlichkeitstheorie und ihre Anwendungen“), wissenschaftliche Zeitschrift der Abteilung für Mathematik der Akademie der Wissenschaften der UdSSR. Veröffentlicht Originalartikel und Kurzmitteilungen zur Wahrscheinlichkeitstheorie, zu allgemeinen Fragen der mathematischen Statistik und ihren Anwendungen in den Naturwissenschaften und... ... Große sowjetische Enzyklopädie

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Abschnitt 12. Wahrscheinlichkeitstheorie.

1. Einleitung

2. Die einfachsten Konzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie

3. Algebra der Ereignisse

4. Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses

5. Geometrische Wahrscheinlichkeiten

6. Klassische Wahrscheinlichkeiten. Kombinatorische Formeln.

7. Bedingte Wahrscheinlichkeit. Unabhängigkeit von Ereignissen.

8. Gesamtwahrscheinlichkeitsformel und Bayes-Formel

9. Wiederholtes Testschema. Bernoulli-Formel und ihre Asymptotik

10. Zufallsvariablen (RV)

11. DSV-Verteilungsreihe

12. Kumulative Verteilungsfunktion

13. NSV-Verteilungsfunktion

14. Wahrscheinlichkeitsdichte von NSV

15. Numerische Eigenschaften von Zufallsvariablen

16. Beispiele wichtiger SV-Verteilungen

16.1. Binomialverteilung von DSV.

16.2. Poisson-Verteilung

16.3. Gleichmäßige Verteilung von NSV.

16.4. Normalverteilung.

17. Grenzwertsätze der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Einführung

Die Wahrscheinlichkeitstheorie entwickelte sich wie viele andere mathematische Disziplinen aus den Bedürfnissen der Praxis. Gleichzeitig war es bei der Untersuchung eines realen Prozesses notwendig, ein abstraktes mathematisches Modell des realen Prozesses zu erstellen. Normalerweise werden die wichtigsten und bedeutendsten Triebkräfte eines realen Prozesses berücksichtigt und die sekundären Kräfte, die als zufällig bezeichnet werden, aus der Betrachtung ausgeschlossen. Natürlich ist das, was als Hauptaufgabe gilt und was als zweitrangig gilt, eine separate Aufgabe. Die Lösung dieser Frage bestimmt den Abstraktionsgrad, die Einfachheit oder Komplexität des mathematischen Modells und den Grad der Angemessenheit des Modells für den realen Prozess. Im Wesentlichen ist jedes abstrakte Modell das Ergebnis zweier gegensätzlicher Bestrebungen: Einfachheit und Realitätsnähe.

In der Schießtheorie wurden beispielsweise recht einfache und praktische Formeln entwickelt, um die Flugbahn eines Projektils aus einer an einem Punkt befindlichen Waffe zu bestimmen (Abb. 1).

Unter bestimmten Bedingungen ist die genannte Theorie ausreichend, beispielsweise bei der massiven Artillerievorbereitung.

Es ist jedoch klar, dass, wenn mehrere Schüsse aus einer Waffe unter den gleichen Bedingungen abgefeuert werden, die Flugbahnen zwar ähnlich, aber dennoch unterschiedlich sind. Und wenn die Zielgröße im Vergleich zur Streufläche klein ist, stellen sich spezifische Fragen, die sich speziell auf den Einfluss von Faktoren beziehen, die im vorgeschlagenen Modell nicht berücksichtigt werden. Gleichzeitig führt die Berücksichtigung zusätzlicher Faktoren zu einem übermäßig komplexen Modell, das kaum noch anwendbar ist. Darüber hinaus gibt es viele dieser Zufallsfaktoren, deren Natur meist unbekannt ist.

Im obigen Beispiel sind solche spezifischen Fragen, die über das deterministische Modell hinausgehen, beispielsweise die folgenden: Wie viele Schüsse müssen abgegeben werden, um das Treffen des Ziels mit einer bestimmten Sicherheit (z. B. auf ) zu gewährleisten? Wie sollte das Einschießen durchgeführt werden, um mit möglichst wenig Granaten das Ziel zu treffen? usw.

Wie wir später sehen werden, werden die Wörter „zufällig“ und „Wahrscheinlichkeit“ zu strengen mathematischen Begriffen. Gleichzeitig kommen sie in der gewöhnlichen Umgangssprache sehr häufig vor. Es wird angenommen, dass das Adjektiv „zufällig“ das Gegenteil von „natürlich“ ist. Dies ist jedoch nicht der Fall, da die Natur so konzipiert ist, dass zufällige Prozesse Muster erkennen lassen, allerdings unter bestimmten Bedingungen.

Die Hauptbedingung heißt Massencharakter.

Wenn Sie beispielsweise eine Münze werfen, können Sie nicht vorhersagen, was herauskommt, ein Wappen oder eine Zahl, Sie können nur raten. Wenn diese Münze jedoch sehr oft geworfen wird, weicht der Anteil des herausfallenden Wappens nicht wesentlich von einer bestimmten Zahl nahe 0,5 ab (im Folgenden nennen wir diese Zahl Wahrscheinlichkeit). Darüber hinaus nimmt mit zunehmender Anzahl der Würfe die Abweichung von dieser Zahl ab. Diese Eigenschaft heißt Stabilität Durchschnittsindikatoren (in diesem Fall der Anteil der Wappen). Es muss gesagt werden, dass selbst große Wissenschaftler es in den ersten Schritten der Wahrscheinlichkeitstheorie, als es notwendig war, das Vorhandensein der Stabilitätseigenschaft in der Praxis zu überprüfen, nicht für schwierig hielten, ihre eigene Überprüfung durchzuführen. So warf das berühmte Experiment von Buffon 4040 Mal eine Münze und das Wappen kam 2048 Mal zum Vorschein, daher beträgt der Anteil (oder die relative Häufigkeit) des Verlusts des Wappens 0,508, was dem intuitiven Wert nahe kommt erwartete Zahl von 0,5.

Daher wird normalerweise die Definition angegeben das Thema der Wahrscheinlichkeitstheorie als Teilgebiet der Mathematik, das die Muster von Massenzufallsprozessen untersucht.

Es muss gesagt werden, dass trotz der Tatsache, dass die größten Errungenschaften der Wahrscheinlichkeitstheorie auf den Beginn des letzten Jahrhunderts zurückgehen, insbesondere dank der axiomatischen Konstruktion der Theorie in den Werken von A.N. Kolmogorov (1903-1987) interessierte sich schon vor langer Zeit für die Erforschung von Unfällen.

Das anfängliche Interesse bestand darin, einen numerischen Ansatz auf das Glücksspiel anzuwenden. Die ersten recht interessanten Ergebnisse der Wahrscheinlichkeitstheorie werden üblicherweise mit den Werken von L. Pacioli (1494), D. Cardano (1526) und N. Tartaglia (1556) in Verbindung gebracht.

Später legten B. Pascal (1623-1662), P. Fermat (1601-1665) und H. Huygens (1629-1695) den Grundstein für die klassische Wahrscheinlichkeitstheorie. Zu Beginn des 18. Jahrhunderts entwickelte J. Bernoulli (1654-1705) den Begriff der Wahrscheinlichkeit eines Zufallsereignisses als Verhältnis der Anzahl günstiger Chancen zur Anzahl aller möglichen. E. Borel (1871-1956), A. Lomnitsky (1881-1941), R. Mises (1883-1953) bauten ihre Theorien auf der Verwendung des Konzepts des Maßes einer Menge auf.

Der mengentheoretische Standpunkt wurde 1933 in seiner vollständigsten Form dargelegt. EIN. Kolmogorov in seiner Monographie „Grundkonzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie“. Von diesem Moment an wird die Wahrscheinlichkeitstheorie zu einer strengen mathematischen Wissenschaft.

Die russischen Mathematiker P.L. leisteten einen großen Beitrag zur Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie. Tschebyschew (1821-1894), A.A. Markov (1856-1922), S.N. Bernstein (1880-1968) und andere.

Die Wahrscheinlichkeitstheorie entwickelt sich derzeit rasant.

Die einfachsten Konzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie

Wie jede mathematische Disziplin beginnt die Wahrscheinlichkeitstheorie mit der Einführung der einfachsten Konzepte, die nicht definiert, sondern nur erklärt werden.

Eines der wichtigsten Grundkonzepte ist Erfahrung. Unter Erfahrung versteht man eine Reihe von Bedingungen, die unbegrenzt oft reproduziert werden können. Wir werden jede Implementierung dieses Komplexes als Erfahrung oder Test bezeichnen. Die Ergebnisse des Experiments können unterschiedlich sein, und hier kommt das Element des Zufalls ins Spiel. Die verschiedenen Ergebnisse oder Folgen einer Erfahrung werden genannt Veranstaltungen(genauer gesagt, zufällige Ereignisse). Daher kann es während der Durchführung des Experiments zu dem einen oder anderen Ereignis kommen. Mit anderen Worten ist ein Zufallsereignis ein Ergebnis eines Experiments, das während der Durchführung des Experiments auftreten (erscheinen) kann oder auch nicht auftreten kann.

Erfahrung wird mit dem Buchstaben bezeichnet, und zufällige Ereignisse werden normalerweise mit Großbuchstaben bezeichnet

Bei einem Experiment ist es oft möglich, seine Ergebnisse im Voraus zu identifizieren, die als die einfachsten bezeichnet werden können und nicht in einfachere zerlegt werden können. Solche Ereignisse werden aufgerufen elementare Ereignisse(oder Fälle).

Beispiel 1. Lassen Sie die Münze werfen. Die Ergebnisse des Experiments sind: der Verlust des Wappens (wir kennzeichnen dieses Ereignis mit dem Buchstaben); Zahlenverlust (gekennzeichnet mit ). Dann können wir schreiben: Erfahrung = (Münzwurf), Ergebnisse: Es ist klar, dass die elementaren Ereignisse in diesem Experiment. Mit anderen Worten: Die Auflistung aller elementaren Ereignisse der Erfahrung beschreibt diese vollständig. In diesem Zusammenhang werden wir sagen, dass Erfahrung der Raum elementarer Ereignisse ist, und in unserem Fall kann Erfahrung kurz in der Form geschrieben werden: = (Münzwurf) = (G; C).

Beispiel 2. =(Münze wird zweimal geworfen)= Hier ist eine verbale Beschreibung des Erlebnisses und eine Auflistung aller elementaren Ereignisse: Es bedeutet, dass beim ersten Münzwurf ein Wappen fiel, beim zweiten auch das Wappen; bedeutet, dass beim ersten Münzwurf das Wappen auftauchte, beim zweiten die Zahl usw.

Beispiel 3. Im Koordinatensystem werden Punkte in ein Quadrat geworfen. In diesem Beispiel sind die Elementarereignisse Punkte mit Koordinaten, die die angegebenen Ungleichungen erfüllen. Kurz gesagt ist es wie folgt geschrieben:

Ein Doppelpunkt in geschweiften Klammern bedeutet, dass er aus Punkten besteht, jedoch nicht aus beliebigen, sondern nur aus solchen, die die nach dem Doppelpunkt angegebene Bedingung (oder Bedingungen) erfüllen (in unserem Beispiel handelt es sich um Ungleichungen).

Beispiel 4. Die Münze wird geworfen, bis das erste Wappen erscheint. Mit anderen Worten: Der Münzwurf wird fortgesetzt, bis die Münze „Kopf“ landet. In diesem Beispiel können elementare Ereignisse aufgelistet werden, obwohl ihre Anzahl unendlich ist:

Beachten Sie, dass in den Beispielen 3 und 4 der Raum der Elementarereignisse unendlich viele Ergebnisse hat. In Beispiel 4 können sie aufgelistet werden, d.h. neu berechnen. Eine solche Menge heißt abzählbar. In Beispiel 3 ist der Raum unzählbar.

Lassen Sie uns zwei weitere Ereignisse vorstellen, die in jeder Erfahrung vorhanden sind und von großer theoretischer Bedeutung sind.

Nennen wir die Veranstaltung unmöglich, es sei denn, aufgrund der Erfahrung geschieht dies zwangsläufig nicht. Wir bezeichnen es mit dem Vorzeichen der leeren Menge. Im Gegenteil wird ein Ereignis genannt, das aufgrund der Erfahrung mit Sicherheit eintreten wird zuverlässig. Ein verlässliches Ereignis wird genauso bezeichnet wie der Raum der Elementarereignisse selbst – mit dem Buchstaben .

Beim Würfeln beispielsweise ist das Ereignis (weniger als 9 gewürfelte Punkte) zuverlässig, das Ereignis (genau 9 gewürfelte Punkte) jedoch unmöglich.

Der Raum elementarer Ereignisse kann also durch eine verbale Beschreibung, eine Auflistung aller seiner elementaren Ereignisse und die Festlegung von Regeln oder Bedingungen spezifiziert werden, nach denen alle seine elementaren Ereignisse erhalten werden.

Algebra der Ereignisse

Bisher haben wir nur von elementaren Ereignissen als unmittelbaren Ergebnissen der Erfahrung gesprochen. Im Rahmen der Erfahrung können wir jedoch neben elementaren auch über andere zufällige Ereignisse sprechen.

Beispiel 5.При подбрасывании игральной кости, кроме элементарных событий выпадений соответственно единицы, двойки,…, шестерки, можно говорить о других событиях: (выпадение четного числа), (выпадение нечетного числа), (выпадение числа, кратного трем), (выпадение числа, меньшего 4 ) usw. In diesem Beispiel können die angegebenen Ereignisse zusätzlich zur verbalen Aufgabe durch die Auflistung elementarer Ereignisse angegeben werden:

Die Bildung neuer Ereignisse aus elementaren sowie aus anderen Ereignissen erfolgt durch Operationen (oder Aktionen) auf Ereignissen.

Definition. Das Produkt zweier Ereignisse ist ein Ereignis, das darin besteht, dass als Ergebnis ein Experiment eintritt Und Ereignis , Und Ereignis, d. h. beide Ereignisse werden gleichzeitig (gleichzeitig) auftreten.

Das Produktzeichen (Punkt) wird oft weggelassen:

Definition. Die Summe zweier Ereignisse ist ein Ereignis, das darin besteht, dass als Ergebnis das Experiment eintritt oder Ereignis , oder Ereignis , oder beides zusammen (gleichzeitig).

In beiden Definitionen haben wir bewusst Konjunktionen hervorgehoben Und Und oder- um die Aufmerksamkeit des Lesers bei der Lösung von Problemen auf Ihre Rede zu lenken. Wenn wir die Konjunktion „und“ aussprechen, dann sprechen wir von der Produktion von Ereignissen; Wenn die Konjunktion „oder“ ausgesprochen wird, müssen die Ereignisse hinzugefügt werden. Gleichzeitig stellen wir fest, dass die Konjunktion „oder“ in der Alltagssprache oft in dem Sinne verwendet wird, dass eines von zwei ausgeschlossen wird: „nur oder nur“. In der Wahrscheinlichkeitstheorie wird eine solche Ausnahme nicht angenommen: und , und , und bedeuten das Eintreten eines Ereignisses

Wenn sie durch Aufzählung elementarer Ereignisse gegeben sind, können komplexe Ereignisse mithilfe der angegebenen Operationen leicht ermittelt werden. Um dies zu erhalten, müssen Sie alle Elementarereignisse finden, die zu beiden Ereignissen gehören. Wenn keine vorhanden sind, lässt sich die Summe der Ereignisse auch einfach zusammenstellen: Sie müssen eines der beiden Ereignisse nehmen und die Elementarereignisse aus diesen beiden Ereignissen hinzufügen die anderen Ereignisse, die nicht im ersten enthalten sind.

Im Beispiel 5 erhalten wir insbesondere

Die eingeführten Operationen werden als binär bezeichnet, weil für zwei Ereignisse definiert. Die folgende unäre Operation (definiert für ein einzelnes Ereignis) ist von großer Bedeutung: Das Ereignis wird aufgerufen Gegenteil Ereignis, wenn es in der Tatsache besteht, dass das Ereignis in einer bestimmten Erfahrung nicht eingetreten ist. Aus der Definition geht hervor, dass jedes Ereignis und sein Gegenteil die folgenden Eigenschaften haben: Die eingeführte Operation wird aufgerufen Zusatz Ereignisse A.

Daraus folgt, dass, wenn es durch eine Auflistung von Elementarereignissen gegeben ist, es bei Kenntnis der Spezifikation des Ereignisses leicht ist, zu ermitteln, dass es aus allen Elementarereignissen des Raums besteht, die nicht dazugehören. Insbesondere zum Beispiel 5 das Ereignis

Wenn keine Klammern vorhanden sind, wird bei der Ausführung von Operationen die folgende Priorität festgelegt: Addition, Multiplikation, Addition.

Mit Hilfe der eingeführten Operationen wird also der Raum der Elementarereignisse mit anderen Zufallsereignissen aufgefüllt, die die sogenannten bilden Algebra der Ereignisse.

Beispiel 6. Der Schütze gab drei Schüsse auf das Ziel ab. Betrachten Sie die Ereignisse = (der Schütze trifft das Ziel mit dem i-ten Schuss), i = 1,2,3.

Lassen Sie uns aus diesen Ereignissen einige Ereignisse zusammenstellen (vergessen wir nicht die gegenteiligen Ereignisse). Wir geben keine ausführlichen Kommentare ab. Wir glauben, dass der Leser sie selbstständig durchführen wird.

Ereignis B = (alle drei Schüsse treffen das Ziel). Weitere Details: B = ( Und Erste, Und zweite, Und der dritte Schuss traf das Ziel). Gebrauchte Verbindung Und, daher werden die Ereignisse multipliziert:

Ebenfalls:

C = (kein Schuss traf das Ziel)

E = (ein Schuss erreichte das Ziel)

D = (Zieltreffer beim zweiten Schuss) = ;

F = (Ziel von zwei Schüssen getroffen)

N = (mindestens ein Treffer trifft das Ziel)

Bekanntlich ist in der Mathematik die geometrische Interpretation analytischer Objekte, Konzepte und Formeln von großer Bedeutung.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist es zweckmäßig, Erfahrungen, zufällige Ereignisse und Operationen darauf in Form sogenannter visuell darzustellen (geometrische Interpretation). Euler-Venn-Diagramme. Das Wesentliche ist, dass jede Erfahrung mit dem Werfen von Punkten in ein bestimmtes Quadrat identifiziert (interpretiert) wird. Die Punkte werden nach dem Zufallsprinzip geworfen, sodass alle Punkte die gleiche Chance haben, irgendwo auf dem Feld zu landen. Das Quadrat definiert den Rahmen des jeweiligen Erlebnisses. Jedes Ereignis innerhalb des Erlebnisses wird mit einem bestimmten Bereich des Platzes identifiziert. Mit anderen Worten bedeutet das Eintreten eines Ereignisses, dass ein zufälliger Punkt in den durch den Buchstaben angegebenen Bereich fällt. Dann können Operationen an Ereignissen leicht geometrisch interpretiert werden (Abb. 2).

A:

A + B: beliebig

Schraffur

In Abb. 2 a) ist der Übersichtlichkeit halber Ereignis A durch vertikale Schattierung und Ereignis B durch horizontale Schattierung hervorgehoben. Dann entspricht die Multiplikationsoperation einer Doppelschraffur – das Ereignis entspricht dem Teil des Quadrats, der mit einer Doppelschraffur bedeckt ist. Darüber hinaus werden sie als inkompatible Ereignisse bezeichnet. Dementsprechend entspricht die Additionsoperation jeder Schraffur – das Ereignis bedeutet einen Teil des Quadrats, der durch jede Schraffur – vertikal, horizontal und doppelt – schattiert ist. In Abb. 2 b) ist das Ereignis dargestellt; es entspricht dem schraffierten Teil des Quadrats – also allem, was nicht in der Fläche enthalten ist. Die eingeführten Operationen haben die folgenden Grundeigenschaften, die teilweise auch für gleichnamige Operationen gelten auf Zahlen, es gibt aber auch konkrete.

10 . Kommutativität der Multiplikation;

20 . Kommutativität der Addition;

dreißig . Assoziativität der Multiplikation;

4 0 . Additionsassoziativität,

50 . Distributivität der Multiplikation relativ zur Addition,

6 0 . Distributivität der Addition relativ zur Multiplikation;

9 0 . de Morgans Gesetze der Dualität,

10 0 .

1 .A .A+ .A· =A, 1 .A+ . 1 .A· = , 1 .A+ =

Beispiel 7. Ivan und Peter vereinbarten, sich im Zeitintervall von T Stunden zu treffen, zum Beispiel (0,T). Gleichzeitig einigten sie sich darauf, dass jeder von ihnen, wenn er zum Treffen kam, nicht länger als eine Stunde auf den anderen warten würde.

Lassen Sie uns dieses Beispiel geometrisch interpretieren. Bezeichnen wir: den Zeitpunkt von Ivans Ankunft beim Treffen; Peters Ankunftszeit für das Treffen. Wie vereinbart: 0 . Dann erhalten wir im Koordinatensystem: = Es ist leicht zu erkennen, dass in unserem Beispiel der Raum der Elementarereignisse ein Quadrat ist. 1

0 x entspricht dem Teil des Quadrats, der über dieser Linie liegt. Ebenso gilt für die zweite Ungleichung y≤x+ und; und funktioniert nicht, wenn nicht alle Elemente funktionieren, d.h. .Somit wird de Morgans zweites Dualitätsgesetz umgesetzt, wenn Elemente parallel verbunden sind.

Das obige Beispiel zeigt, warum die Wahrscheinlichkeitstheorie in der Physik weit verbreitet ist, insbesondere bei der Berechnung der Zuverlässigkeit realer technischer Geräte.