Geometrische Figuren. Pyramide

Einführung

Als wir begannen, stereometrische Figuren zu studieren, berührten wir das Thema „Pyramide“. Dieses Thema hat uns gefallen, da die Pyramide in der Architektur sehr häufig verwendet wird. Und seit unserem zukünftiger Beruf Architektin, inspiriert von dieser Figur, wir glauben, dass sie uns zu großartigen Projekten antreiben kann.

Die Stärke architektonischer Strukturen ist ihre wichtigste Qualität. Sie verbinden Stärke erstens mit den Materialien, aus denen sie hergestellt sind, und zweitens mit den Eigenschaften konstruktive Lösungen Es stellt sich heraus, dass die Festigkeit einer Struktur in direktem Zusammenhang mit der ihr zugrunde liegenden geometrischen Form steht.

Mit anderen Worten, es handelt sich um die geometrische Figur, die als Modell des Entsprechenden betrachtet werden kann architektonische Form. Es stellt sich heraus, dass die geometrische Form auch die Stärke einer architektonischen Struktur bestimmt.

Seit der Antike gelten die ägyptischen Pyramiden als die langlebigsten architektonischen Bauwerke. Wie Sie wissen, haben sie die Form regelmäßiger viereckiger Pyramiden.

Es ist diese geometrische Form, die die größte Stabilität bietet großes Gebiet Gründe. Andererseits sorgt die Pyramidenform dafür, dass die Masse mit zunehmender Höhe über dem Boden abnimmt. Es sind diese beiden Eigenschaften, die die Pyramide stabil und damit stark unter den Bedingungen der Schwerkraft machen.

Ziel des Projekts: Lernen Sie etwas Neues über Pyramiden, vertiefen Sie Ihr Wissen und finden Sie praktische Anwendung.

Um dieses Ziel zu erreichen, mussten folgende Aufgaben gelöst werden:

· Erfahren Sie historische Informationen über die Pyramide

· Betrachten Sie die Pyramide als geometrische Figur

· Finden Sie Anwendung im Leben und in der Architektur

· Finden Sie die Ähnlichkeiten und Unterschiede zwischen den Pyramiden in verschiedene Teile Sweta

Theoretischer Teil

Historische Informationen

Der Beginn der Geometrie der Pyramide wurde im alten Ägypten und Babylon gelegt, aber sie wurde dort aktiv weiterentwickelt Antikes Griechenland. Der erste, der das Volumen der Pyramide festlegte, war Demokrit, und Eudoxos von Knidos bewies es. Der antike griechische Mathematiker Euklid systematisierte das Wissen über die Pyramide im XII. Band seiner „Elemente“ und leitete auch die erste Definition einer Pyramide ab: eine feste Figur, die von Ebenen begrenzt wird, die von einer Ebene zu einem Punkt zusammenlaufen.

Gräber ägyptischer Pharaonen. Die größten von ihnen – die Pyramiden von Cheops, Khafre und Mikerin in El Gizeh – galten in der Antike als eines der sieben Weltwunder. Der Bau der Pyramide, in der bereits die Griechen und Römer ein Denkmal für den beispiellosen Stolz der Könige und die Grausamkeit sahen, die das gesamte ägyptische Volk zu sinnlosem Bau verurteilte, war der wichtigste Kultakt und sollte offenbar das zum Ausdruck bringen mystische Identität des Landes und seines Herrschers. Die Bevölkerung des Landes arbeitete während des von landwirtschaftlicher Arbeit freien Teils des Jahres am Bau des Grabes. Eine Reihe von Texten zeugen von der Aufmerksamkeit und Sorgfalt, die die Könige selbst (wenn auch aus späterer Zeit) dem Bau ihres Grabes und seiner Erbauer widmeten. Es ist auch bekannt, dass der Pyramide selbst besondere Kultverehrung zuteil wurde.

Grundlegendes Konzept

Pyramide wird ein Polyeder genannt, dessen Basis ein Polygon ist und dessen verbleibende Flächen Dreiecke sind, die einen gemeinsamen Scheitelpunkt haben.

Apothema- die Höhe der Seitenfläche einer regelmäßigen Pyramide, ausgehend von ihrer Spitze;

Seitenflächen- Dreiecke, die sich an einem Scheitelpunkt treffen;

Seitliche Rippen- gemeinsame Seiten der Seitenflächen;

Spitze der Pyramide- Punktverbindung seitliche Rippen und nicht in der Ebene der Basis liegen;

Höhe- ein senkrechtes Segment, das durch die Spitze der Pyramide zur Ebene ihrer Basis gezogen wird (die Enden dieses Segments sind die Spitze der Pyramide und die Basis der Senkrechten);

Diagonalschnitt einer Pyramide- Abschnitt der Pyramide, der durch die Spitze und die Diagonale der Basis verläuft;

Base- ein Polygon, das nicht zum Scheitelpunkt der Pyramide gehört.

Grundlegende Eigenschaften einer regelmäßigen Pyramide

Die Seitenkanten, Seitenflächen und Apotheme sind jeweils gleich.

Die Diederwinkel an der Basis sind gleich.

Die Diederwinkel an den Seitenkanten sind gleich.

Jeder Höhenpunkt ist von allen Eckpunkten der Basis gleich weit entfernt.

Jeder Höhenpunkt ist von allen Seitenflächen gleich weit entfernt.

Grundlegende Pyramidenformeln

Seitenbereich u Vollflächig Pyramiden.

Die Fläche der Seitenfläche einer Pyramide (voll und stumpf) ist die Summe der Flächen aller ihrer Seitenflächen, die Gesamtoberfläche ist die Summe der Flächen aller ihrer Flächen.

Satz: Die Fläche der Mantelfläche einer regelmäßigen Pyramide ist gleich der Hälfte des Produkts aus dem Umfang der Grundfläche und dem Apothem der Pyramide.

P- Grundumfang;

H- Apothem.

Die Fläche der Seiten- und Vollflächen eines Pyramidenstumpfes.

S. 1, P 2 - Grundumfang;

H- Apothem.

R- Gesamtoberfläche eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes;

S-Seite- Fläche der Mantelfläche eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes;

S 1 + S 2- Grundfläche

Volumen der Pyramide

Bilden Volumen ula wird für Pyramiden jeglicher Art verwendet.

H- Höhe der Pyramide.

Pyramidenecken

Die von der Seitenfläche und der Basis der Pyramide gebildeten Winkel werden Diederwinkel an der Basis der Pyramide genannt.

Ein Diederwinkel wird durch zwei Senkrechte gebildet.

Um diesen Winkel zu bestimmen, müssen Sie häufig den Satz der drei senkrechten Winkel verwenden.

Die Winkel, die die Seitenkante und ihre Projektion auf die Grundebene bilden, werden aufgerufen Winkel zwischen der Seitenkante und der Ebene der Basis.

Der von zwei Seitenkanten gebildete Winkel heißt Diederwinkel am Seitenrand der Pyramide.

Der Winkel, den zwei Seitenkanten einer Seite der Pyramide bilden, wird aufgerufen Winkel an der Spitze der Pyramide.

Pyramidenabschnitte

Die Oberfläche einer Pyramide ist die Oberfläche eines Polyeders. Jede ihrer Flächen ist eine Ebene, daher ist der durch eine Schnittebene definierte Abschnitt einer Pyramide eine gestrichelte Linie, die aus einzelnen geraden Linien besteht.

Diagonaler Abschnitt

Der Schnitt einer Pyramide durch eine Ebene, die durch zwei Seitenkanten verläuft, die nicht auf derselben Seite liegen, wird genannt Diagonalabschnitt Pyramiden.

Parallele Abschnitte

Satz:

Wird die Pyramide von einer zur Grundfläche parallelen Ebene geschnitten, so werden die Seitenkanten und Höhen der Pyramide durch diese Ebene in proportionale Teile geteilt;

Der Schnitt dieser Ebene ist ein der Grundfläche ähnliches Polygon;

Die Flächen des Abschnitts und der Basis stehen im Verhältnis zueinander als Quadrate ihrer Abstände vom Scheitelpunkt.

Arten von Pyramiden

Richtige Pyramide- eine Pyramide, deren Basis ist regelmäßiges Vieleck, und die Spitze der Pyramide wird in die Mitte der Basis projiziert.

Für eine regelmäßige Pyramide:

1. Seitenrippen sind gleich

2. Seitenflächen sind gleich

3. Apotheme sind gleich

4. Diederwinkel gleich an der Basis

5. Die Diederwinkel an den Seitenkanten sind gleich

6. Jeder Höhenpunkt ist von allen Eckpunkten der Basis gleich weit entfernt

7. Jeder Höhenpunkt ist von allen Seitenkanten gleich weit entfernt

Pyramidenstumpf- Teil der Pyramide, der zwischen ihrer Basis und einer zur Basis parallelen Schnittebene eingeschlossen ist.

Die Basis und der entsprechende Abschnitt eines Pyramidenstumpfes werden genannt Basen eines Pyramidenstumpfes.

Eine Senkrechte, die von einem beliebigen Punkt einer Basis zur Ebene einer anderen Basis gezogen wird, heißt die Höhe eines Pyramidenstumpfes.

Aufgaben

Nr. 1. In einer regelmäßigen viereckigen Pyramide ist Punkt O der Mittelpunkt der Basis, SO=8 cm, BD=30 cm. Finden Sie die Seitenkante SA.

Probleme lösen

Nr. 1. In einer regelmäßigen Pyramide sind alle Flächen und Kanten gleich.

Betrachten Sie OSB: OSB ist ein rechteckiges Rechteck, weil.

SB 2 =SO 2 +OB 2

SB 2 =64+225=289

Pyramide in der Architektur

Eine Pyramide ist ein monumentales Bauwerk in der Form eines gewöhnlichen Regelkreises geometrische Pyramide, bei dem die Seiten in einem Punkt zusammenlaufen. Von funktionaler Zweck In der Antike waren Pyramiden Orte der Bestattung oder Kultverehrung. Die Basis einer Pyramide kann dreieckig, viereckig oder die Form eines Polygons mit einer beliebigen Anzahl von Eckpunkten haben. Die gebräuchlichste Version ist jedoch die viereckige Basis.

Es gibt eine beträchtliche Anzahl von Pyramiden, die von verschiedenen Kulturen erbaut wurden. Antike Welt hauptsächlich als Tempel oder Denkmäler. Zu den großen Pyramiden zählen die ägyptischen Pyramiden.

Überall auf der Erde sind architektonische Strukturen in Form von Pyramiden zu sehen. Die Pyramidengebäude erinnern an antike Zeiten und sehen sehr schön aus.

Ägyptische Pyramiden sind die größten Baudenkmäler Antikes Ägypten, darunter eines der „Sieben Weltwunder“ die Cheopspyramide. Vom Fuß bis zum Gipfel erreicht er eine Höhe von 137,3 m, und bevor er den Gipfel verlor, betrug seine Höhe 146,7 m

Das Gebäude des Radiosenders in der Hauptstadt der Slowakei, das einer umgekehrten Pyramide ähnelt, wurde 1983 erbaut. Neben Büros und Serviceräumen befindet sich im Inneren des Gebäudes ein recht geräumiger Konzertsaal, der über eine der größten Orgeln der Slowakei verfügt.

Der Louvre, der „still, unverändert und majestätisch wie eine Pyramide“ ist, hat im Laufe der Jahrhunderte viele Veränderungen durchgemacht, bevor er zum größten Museum der Welt wurde. Es entstand als Festung, die 1190 von Philipp Augustus errichtet wurde und bald zu einer königlichen Residenz wurde. 1793 wurde der Palast zum Museum. Sammlungen werden durch Schenkungen oder Ankäufe bereichert.

Definition

Pyramide ist ein Polyeder, das aus einem Polygon \(A_1A_2...A_n\) und \(n\) Dreiecken mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt \(P\) (der nicht in der Ebene des Polygons liegt) und gegenüberliegenden Seiten besteht, die mit dem zusammenfallen Seiten des Polygons.
Bezeichnung: \(PA_1A_2...A_n\) .
Beispiel: fünfeckige Pyramide \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Dreiecke \(PA_1A_2, \PA_2A_3\) usw. werden genannt Seitenflächen Pyramiden, Segmente \(PA_1, PA_2\) usw. – seitliche Rippen, Polygon \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – Basis, Punkt \(P\) – Spitze.

Höhe Pyramiden sind eine Senkrechte, die von der Spitze der Pyramide zur Ebene der Basis verläuft.

Man nennt eine Pyramide mit einem Dreieck an der Basis Tetraeder.

Die Pyramide heißt richtig, wenn seine Basis ein regelmäßiges Vieleck ist und eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

\((a)\) die Seitenkanten der Pyramide sind gleich;

\((b)\) die Höhe der Pyramide verläuft durch den Mittelpunkt des Kreises, der in der Nähe der Basis umschrieben wird;

\((c)\) Die Seitenrippen sind im gleichen Winkel zur Grundebene geneigt.

\((d)\) die Seitenflächen sind im gleichen Winkel zur Grundebene geneigt.

Regelmäßiges Tetraeder- Das Dreieckige Pyramide, deren Flächen alle gleiche gleichseitige Dreiecke sind.

Satz

Die Bedingungen \((a), (b), (c), (d)\) sind äquivalent.

Nachweisen

Lassen Sie uns die Höhe der Pyramide \(PH\) ermitteln. Sei \(\alpha\) die Ebene der Basis der Pyramide.

1) Beweisen wir, dass aus \((a)\) \((b)\) folgt. Sei \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

Weil \(PH\perp \alpha\), dann steht \(PH\) senkrecht zu jeder in dieser Ebene liegenden Geraden, was bedeutet, dass die Dreiecke rechtwinklig sind. Dies bedeutet, dass diese Dreiecke im gemeinsamen Bein \(PH\) und in der Hypotenuse \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) gleich sind. Das bedeutet \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Das bedeutet, dass die Punkte \(A_1, A_2, ..., A_n\) den gleichen Abstand vom Punkt \(H\) haben, also auf demselben Kreis mit dem Radius \(A_1H\) liegen. Dieser Kreis wird per Definition um das Polygon \(A_1A_2...A_n\) herum beschrieben.

2) Beweisen wir, dass \((b)\) \((c)\) impliziert.

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) rechteckig und gleich auf zwei Beinen. Das bedeutet, dass auch ihre Winkel gleich sind, also \(\angle PA_1H=\angle PA_2H=...=\angle PA_nH\).

3) Beweisen wir, dass \((c)\) \((a)\) impliziert.

Ähnlich wie beim ersten Punkt, Dreiecke \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) rechteckig und entlang des Beins und scharfe Ecke. Das bedeutet, dass auch ihre Hypotenusen gleich sind, also \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) Lassen Sie uns beweisen, dass \((b)\) \((d)\) impliziert.

Weil In einem regelmäßigen Polygon fallen die Mittelpunkte des umschriebenen und des eingeschriebenen Kreises zusammen (im Allgemeinen wird dieser Punkt als Mittelpunkt eines regelmäßigen Vielecks bezeichnet), dann ist \(H\) der Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises. Zeichnen wir Senkrechte vom Punkt \(H\) zu den Seiten der Basis: \(HK_1, HK_2\) usw. Dies sind die Radien des eingeschriebenen Kreises (per Definition). Dann ist gemäß TTP (\(PH\) eine Senkrechte zur Ebene, \(HK_1, HK_2\) usw. sind Projektionen senkrecht zu den Seiten) geneigt \(PK_1, PK_2\) usw. senkrecht zu den Seiten \(A_1A_2, A_2A_3\) usw. jeweils. Also per Definition \(\angle PK_1H, \angle PK_2H\) gleich den Winkeln zwischen den Seitenflächen und der Basis. Weil Dreiecke \(PK_1H, PK_2H, ...\) gleich sind (als Rechtecke auf zwei Seiten), dann die Winkel \(\angle PK_1H, \angle PK_2H, ...\) sind gleich.

5) Beweisen wir, dass \((d)\) \((b)\) impliziert.

Ähnlich wie beim vierten Punkt sind die Dreiecke \(PK_1H, PK_2H, ...\) gleich (als Rechteck entlang des Schenkels und spitzer Winkel), was bedeutet, dass die Segmente \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) sind gleich. Dies bedeutet per Definition, dass \(H\) der Mittelpunkt eines in die Basis eingeschriebenen Kreises ist. Aber weil Bei regelmäßigen Polygonen fallen die Mittelpunkte des eingeschriebenen und des umschriebenen Kreises zusammen, dann ist \(H\) der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises. Chtd.

Folge

Die Seitenflächen einer regelmäßigen Pyramide sind gleich gleichschenklige Dreiecke.

Definition

Die Höhe der Seitenfläche einer von ihrem Scheitel aus gezogenen regelmäßigen Pyramide wird aufgerufen Apothema.
Die Apotheme aller Seitenflächen einer regelmäßigen Pyramide sind einander gleich und sind auch Mediane und Winkelhalbierende.

Wichtige Notizen

1. Die Höhe einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide fällt am Schnittpunkt der Höhen (oder Winkelhalbierenden oder Mittellinien) der Basis (die Basis ist ein regelmäßiges Dreieck).

2. Die Höhe stimmt viereckige Pyramide fällt im Schnittpunkt der Diagonalen der Grundfläche (die Grundfläche ist ein Quadrat).

3. Die Höhe stimmt sechseckige Pyramide fällt am Schnittpunkt der Diagonalen der Grundfläche (die Grundfläche ist ein regelmäßiges Sechseck).

4. Die Höhe der Pyramide steht senkrecht zu jeder geraden Linie, die an der Basis liegt.

Definition

Die Pyramide heißt rechteckig, wenn eine seiner Seitenkanten senkrecht zur Ebene der Grundfläche steht.

Wichtige Notizen

1. Bei einer rechteckigen Pyramide entspricht die Kante senkrecht zur Basis der Höhe der Pyramide. Das heißt, \(SR\) ist die Höhe.

2. Weil \(SR\) ist dann senkrecht zu jeder Linie von der Basis \(\triangle SRM, \triangle SRP\)– rechtwinklige Dreiecke.

3. Dreiecke \(\triangle SRN, \triangle SRK\)- auch rechteckig.
Das heißt, jedes Dreieck, das durch diese Kante und die Diagonale gebildet wird, die vom Scheitelpunkt dieser an der Basis liegenden Kante ausgeht, ist rechteckig.

\[(\Large(\text(Volumen und Oberfläche der Pyramide)))\]

Satz

Das Volumen der Pyramide entspricht einem Drittel des Produkts aus der Grundfläche und der Höhe der Pyramide: \

Folgen

Sei \(a\) die Seite der Basis, \(h\) die Höhe der Pyramide.

1. Das Volumen einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide beträgt \(V_(\text(rechtwinkliges Dreieck.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. Das Volumen einer regelmäßigen viereckigen Pyramide beträgt \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).

3. Das Volumen einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide beträgt \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. Das Volumen eines regelmäßigen Tetraeders beträgt \(V_(\text(right tetr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Satz

Die Fläche der Mantelfläche einer regelmäßigen Pyramide ist gleich dem halben Produkt aus dem Umfang der Basis und dem Apothem.

\[(\Large(\text(Frustum)))\]

Definition

Betrachten Sie eine beliebige Pyramide \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Zeichnen wir eine Ebene parallel zur Basis der Pyramide durch einen bestimmten Punkt, der an der Seitenkante der Pyramide liegt. Diese Ebene teilt die Pyramide in zwei Polyeder, von denen eines eine Pyramide (\(PB_1B_2...B_n\)) ist und das andere aufgerufen wird Pyramidenstumpf(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

Der Pyramidenstumpf hat zwei Grundflächen – die Polygone \(A_1A_2...A_n\) und \(B_1B_2...B_n\), die einander ähnlich sind.

Die Höhe eines Pyramidenstumpfes ist eine Senkrechte, die von einem Punkt der oberen Basis zur Ebene der unteren Basis verläuft.

Wichtige Notizen

1. Alle Seitenflächen eines Pyramidenstumpfes sind Trapeze.

2. Das Segment, das die Mittelpunkte der Grundflächen eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes (d. h. einer Pyramide, die durch den Querschnitt einer regelmäßigen Pyramide entsteht) verbindet, ist die Höhe.

Viereckige Pyramide ist ein Polyeder, dessen Grundfläche ein Quadrat ist und dessen Seitenflächen identische gleichschenklige Dreiecke sind.

Dieses Polyeder hat viele verschiedene Eigenschaften:

• Seine Seitenkanten und angrenzenden Diederwinkel sind einander gleich;
• Die Flächen der Seitenflächen sind gleich;
• An der Basis einer regelmäßigen viereckigen Pyramide liegt ein Quadrat;
• Die Höhe, die von der Spitze der Pyramide abfällt, schneidet den Punkt, an dem sich die Diagonalen der Basis schneiden.

All diese Eigenschaften erleichtern das Auffinden. Allerdings ist es häufig darüber hinaus notwendig, das Volumen des Polyeders zu berechnen. Verwenden Sie dazu die Formel für das Volumen einer viereckigen Pyramide:

Das heißt, das Volumen der Pyramide entspricht einem Drittel des Produkts aus der Höhe der Pyramide und der Grundfläche. Da es gleich dem Produkt seiner gleichen Seiten ist, geben wir die Formel für die Fläche eines Quadrats sofort in den Ausdruck für das Volumen ein.
Betrachten wir ein Beispiel für die Berechnung des Volumens einer viereckigen Pyramide.

Gegeben sei eine viereckige Pyramide, deren Grundfläche ein Quadrat mit der Seitenlänge a = 6 cm ist. Die Seitenfläche der Pyramide beträgt b = 8 cm. Bestimmen Sie das Volumen der Pyramide.

Um das Volumen eines bestimmten Polyeders zu ermitteln, benötigen wir die Länge seiner Höhe. Deshalb werden wir es finden, indem wir den Satz des Pythagoras anwenden. Berechnen wir zunächst die Länge der Diagonale. Im blauen Dreieck ist es die Hypotenuse. Es sei auch daran erinnert, dass die Diagonalen eines Quadrats einander gleich sind und am Schnittpunkt in zwei Hälften geteilt werden:


Aus dem roten Dreieck ermitteln wir nun die Höhe h, die wir benötigen. Es wird gleich sein:

Lasst uns ersetzen erforderliche Werte und finde die Höhe der Pyramide:

Wenn wir nun die Höhe kennen, können wir alle Werte in die Formel für das Volumen der Pyramide einsetzen und den erforderlichen Wert berechnen:

Auf diese Weise konnten wir mit der Kenntnis einiger einfacher Formeln das Volumen einer regelmäßigen viereckigen Pyramide berechnen. Vergiss das nicht gegebener Wert gemessen in Kubikeinheiten.

Wichtige Notizen!
1. Wenn Sie Gobbledygook anstelle von Formeln sehen, leeren Sie Ihren Cache. Wie Sie das in Ihrem Browser machen, lesen Sie hier:
2. Bevor Sie mit dem Lesen des Artikels beginnen, werfen Sie einen Blick auf unseren Navigator, um die nützlichsten Ressourcen zu finden

Was ist eine Pyramide?

Wie sieht sie aus?

Sie sehen: am Fuße der Pyramide (sie sagen „ an der Wurzel") ein Polygon, und alle Eckpunkte dieses Polygons sind mit einem Punkt im Raum verbunden (dieser Punkt heißt " Scheitel»).

Diese ganze Struktur hat immer noch Bestand Seitenflächen, seitliche Rippen Und Grundrippen. Zeichnen wir noch einmal eine Pyramide mit all diesen Namen:

Manche Pyramiden sehen vielleicht sehr seltsam aus, aber es sind immer noch Pyramiden.

Hier ist zum Beispiel völlig „schräg“ Pyramide.

Und noch etwas zu den Namen: Wenn sich an der Basis der Pyramide ein Dreieck befindet, dann heißt die Pyramide dreieckig, wenn es ein Viereck ist, dann viereckig, und wenn es ein Zenteck ist, dann... raten Sie selbst .

Gleichzeitig der Punkt, an dem es fiel Höhe, angerufen Höhe Basis. Bitte beachten Sie, dass es sich um „schiefe“ Pyramiden handelt Höhe könnte sogar außerhalb der Pyramide landen. So:

Und daran ist nichts auszusetzen. Es sieht aus wie ein stumpfes Dreieck.

Richtige Pyramide.

Viel komplexe Wörter? Entschlüsseln wir: „An der Basis – richtig“ – das ist verständlich. Erinnern wir uns nun daran, dass ein regelmäßiges Vieleck einen Mittelpunkt hat – einen Punkt, der der Mittelpunkt von und , und ist.

Nun, die Worte „die Spitze wird in die Mitte der Basis projiziert“ bedeuten, dass die Basis der Höhe genau in die Mitte der Basis fällt. Schauen Sie, wie glatt und süß es aussieht regelmäßige Pyramide.

Sechseckig: An der Basis befindet sich ein regelmäßiges Sechseck, dessen Scheitelpunkt in die Mitte der Basis projiziert wird.

Viereckig: Die Grundfläche ist ein Quadrat, die Oberseite wird auf den Schnittpunkt der Diagonalen dieses Quadrats projiziert.

Dreieckig: An der Basis befindet sich ein regelmäßiges Dreieck, dessen Scheitelpunkt auf den Schnittpunkt der Höhen (sie sind auch Mittel- und Winkelhalbierende) dieses Dreiecks projiziert wird.

Sehr wichtige Eigenschaften einer regelmäßigen Pyramide:

In der rechten Pyramide

• alle Seitenkanten sind gleich.
• Alle Seitenflächen sind gleichschenklige Dreiecke und alle diese Dreiecke sind gleich.

Volumen der Pyramide

Die Hauptformel für das Volumen einer Pyramide:

Wo genau kam es her? Das ist nicht so einfach, und zunächst müssen Sie sich nur daran erinnern, dass eine Pyramide und ein Kegel in der Formel Volumen haben, ein Zylinder jedoch nicht.

Berechnen wir nun das Volumen der beliebtesten Pyramiden.

Die Seite der Basis sei gleich und die Seitenkante sei gleich. Wir müssen finden und.

Dies ist die Fläche eines regelmäßigen Dreiecks.

Erinnern wir uns daran, wie man nach diesem Bereich sucht. Wir verwenden die Flächenformel:

Für uns ist „ “ dies, und „ “ ist auch dies, eh.

Jetzt lasst es uns finden.

Nach dem Satz des Pythagoras für

Was ist der Unterschied? Dies ist der Umkreisradius in weil Pyramiderichtig und damit das Zentrum.

Da - auch der Schnittpunkt der Mediane.

(Satz des Pythagoras für)

Ersetzen wir es in die Formel für.

Und setzen wir alles in die Volumenformel ein:

Aufmerksamkeit: Wenn Sie ein regelmäßiges Tetraeder haben (d. h.), dann sieht die Formel so aus:

Die Seite der Basis sei gleich und die Seitenkante sei gleich.

Es besteht keine Notwendigkeit, hier nachzuschauen. Schließlich ist die Basis ein Quadrat und daher.

Wir werden es finden. Nach dem Satz des Pythagoras für

Wissen wir? Fast. Sehen:

(Wir haben es gesehen, als wir es uns angesehen haben).

Ersetzen Sie in die Formel:

Und jetzt ersetzen wir und in die Volumenformel.

Lassen Sie die Seite der Basis gleich sein und die Seitenkante.

Wie findet man? Schauen Sie, ein Sechseck besteht aus genau sechs identischen regelmäßigen Dreiecken. Wir haben bereits bei der Berechnung des Volumens einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide nach der Fläche eines regelmäßigen Dreiecks gesucht; hier verwenden wir die Formel, die wir gefunden haben.

Jetzt lasst uns (es) finden.

Nach dem Satz des Pythagoras für

Aber worauf kommt es an? Es ist einfach, weil (und alle anderen auch) Recht haben.

Ersetzen wir:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

PYRAMIDE. KURZ ÜBER DAS WICHTIGSTE

Eine Pyramide ist ein Polyeder, das aus einem beliebigen flachen Polygon (), einem Punkt, der nicht in der Ebene der Basis (Spitze der Pyramide) liegt, und allen Segmenten besteht, die die Spitze der Pyramide mit Punkten der Basis (Seitenkanten) verbinden.

Eine Senkrechte verläuft von der Spitze der Pyramide zur Ebene der Basis.

Richtige Pyramide- eine Pyramide, bei der an der Basis ein regelmäßiges Vieleck liegt und die Spitze der Pyramide in die Mitte der Basis projiziert wird.

Eigenschaft einer regelmäßigen Pyramide:

• Bei einer regelmäßigen Pyramide sind alle Seitenkanten gleich.
• Alle Seitenflächen sind gleichschenklige Dreiecke und alle diese Dreiecke sind gleich.

Pyramidenvolumen:

Nun, das Thema ist vorbei. Wenn Sie diese Zeilen lesen, bedeutet das, dass Sie sehr cool sind.

Denn nur 5 % der Menschen sind in der Lage, etwas alleine zu meistern. Und wenn Sie bis zum Ende lesen, dann sind Sie bei diesen 5 %!

Jetzt das Wichtigste.

Sie haben die Theorie zu diesem Thema verstanden. Und ich wiederhole, das... das ist einfach super! Sie sind bereits besser als die überwiegende Mehrheit Ihrer Kollegen.

Das Problem ist, dass dies möglicherweise nicht ausreicht ...

Wofür?

Für das erfolgreiche Bestehen des Einheitlichen Staatsexamens, für den Studieneintritt mit kleinem Budget und vor allem für das Leben.

Ich werde Sie von nichts überzeugen, ich sage nur eines ...

Menschen, die empfangen haben eine gute Ausbildung, verdienen viel mehr als diejenigen, die es nicht erhalten haben. Das ist Statistik.

Aber das ist nicht die Hauptsache.

Hauptsache, sie sind GLÜCKLICHER (es gibt solche Studien). Vielleicht, weil sich ihnen viel mehr Möglichkeiten eröffnen und das Leben schöner wird? Weiß nicht...

Aber denken Sie selbst...

Was braucht es, um beim Einheitlichen Staatsexamen sicher besser zu sein als andere und letztendlich ... glücklicher zu sein?

Gewinnen Sie Ihre Hand, indem Sie Probleme zu diesem Thema lösen.

Während der Prüfung werden Sie nicht nach Theorie gefragt.

Du wirst brauchen Probleme gegen die Zeit lösen.

Und wenn Sie sie nicht (VIEL!) gelöst haben, machen Sie mit Sicherheit irgendwo einen dummen Fehler oder haben einfach keine Zeit.

Es ist wie im Sport – man muss es viele Male wiederholen, um sicher zu gewinnen.

Finden Sie die Sammlung, wo immer Sie wollen, unbedingt mit Lösungen, Detaillierte Analyse und entscheide, entscheide, entscheide!

Sie können unsere Aufgaben (optional) nutzen und wir empfehlen diese selbstverständlich weiter.

Um unsere Aufgaben besser nutzen zu können, müssen Sie dazu beitragen, die Lebensdauer des YouClever-Lehrbuchs, das Sie gerade lesen, zu verlängern.

Wie? Es gibt zwei Möglichkeiten:

1. Schalte alle versteckten Aufgaben in diesem Artikel frei –
2. Schalten Sie den Zugriff auf alle versteckten Aufgaben in allen 99 Artikeln des Lehrbuchs frei – Kaufen Sie ein Lehrbuch - 499 RUR

Ja, wir haben 99 solcher Artikel in unserem Lehrbuch und der Zugriff auf alle Aufgaben und alle darin versteckten Texte kann sofort geöffnet werden.

Der Zugriff auf alle versteckten Aufgaben ist für die GESAMTE Lebensdauer der Website gewährleistet.

Abschließend...

Wenn Ihnen unsere Aufgaben nicht gefallen, finden Sie andere. Hören Sie einfach nicht bei der Theorie auf.

„Verstanden“ und „Ich kann lösen“ sind völlig unterschiedliche Fähigkeiten. Sie brauchen beides.

Finden Sie Probleme und lösen Sie sie!

Lange vor dem Studium der Geometrie begegnen Studierende dem Konzept einer Pyramide. Der Fehler liegt bei den berühmten großen ägyptischen Weltwundern. Deshalb stellen sich die meisten Studenten, wenn sie mit dem Studium dieses wunderbaren Polyeders beginnen, es bereits klar vor. Alle oben genannten Attraktionen haben die richtige Form. Was regelmäßige Pyramide, und welche Eigenschaften es hat und wir werden reden weiter.

In Kontakt mit

Definition

Es gibt eine ganze Reihe von Definitionen für eine Pyramide. Seit der Antike erfreut es sich großer Beliebtheit.

Euklid definierte es beispielsweise als eine Körperfigur, die aus Ebenen besteht, die von einer Ebene ausgehend in einem bestimmten Punkt zusammenlaufen.

Heron lieferte eine präzisere Formulierung. Er bestand darauf, dass dies die Figur sei hat eine Basis und Ebenen in Form von Dreiecken, in einem Punkt zusammenlaufen.

Verlassen auf moderne Interpretation Die Pyramide wird als räumliches Polyeder dargestellt, das aus bestimmten k-Eck- und k-Flachfiguren besteht dreieckige Form, mit einem gemeinsamen Punkt.

Schauen wir es uns genauer an, Aus welchen Elementen besteht es:

• Das K-Eck gilt als Grundlage der Figur;
• Als Kanten des Seitenteils ragen 3-eckige Formen hervor;
• der obere Teil, von dem die Seitenelemente ausgehen, wird Apex genannt;
• alle Segmente, die einen Scheitelpunkt verbinden, werden Kanten genannt;
• Wenn eine gerade Linie vom Scheitelpunkt in einem Winkel von 90 Grad zur Ebene der Figur abgesenkt wird, ist ihr Teil darin eingeschlossen Innenraum— Höhe der Pyramide;
• In jedem Seitenelement kann eine Senkrechte, ein sogenanntes Apothem, zur Seite unseres Polyeders gezogen werden.

Die Anzahl der Kanten wird mit der Formel 2*k berechnet, wobei k die Anzahl der Seiten des k-Ecks ist. Wie viele Flächen ein Polyeder wie beispielsweise eine Pyramide hat, lässt sich mit dem Ausdruck k+1 ermitteln.

Wichtig! Eine Pyramide regelmäßiger Form ist eine stereometrische Figur, deren Grundebene ein k-Eck mit gleichen Seiten ist.

Grundeigenschaften

Richtige Pyramide hat viele Eigenschaften, die für sie einzigartig sind. Lassen Sie uns sie auflisten:

1. Die Basis ist eine Figur mit der richtigen Form.
2. Die Kanten der Pyramide, die die Seitenelemente begrenzen, haben gleiche Zahlenwerte.
3. Die Seitenelemente sind gleichschenklige Dreiecke.
4. Die Höhenbasis der Figur fällt in die Mitte des Polygons und ist gleichzeitig Mittelpunkt des Eingeschriebenen und Umschriebenen.
5. Alle Seitenrippen sind im gleichen Winkel zur Grundebene geneigt.
6. Alle Seitenflächen haben gegenüber der Grundfläche den gleichen Neigungswinkel.

Dank aller aufgeführten Eigenschaften ist die Durchführung von Elementberechnungen wesentlich einfacher. Basierend auf den oben genannten Eigenschaften achten wir auf zwei Zeichen:

1. Wenn das Polygon in einen Kreis passt, haben die Seitenflächen eine Grundfläche gleiche Winkel.
2. Bei der Beschreibung eines Kreises um ein Polygon haben alle vom Scheitelpunkt ausgehenden Kanten der Pyramide die gleiche Länge und den gleichen Winkel zur Grundfläche.

Die Basis ist ein Quadrat

Regelmäßige viereckige Pyramide - ein Polyeder, dessen Grundfläche ein Quadrat ist.

Es hat vier Seitenflächen, die gleichschenklig aussehen.

Ein Quadrat wird auf einer Ebene dargestellt, basiert aber auf allen Eigenschaften eines regelmäßigen Vierecks.

Wenn Sie beispielsweise die Seite eines Quadrats mit seiner Diagonale in Beziehung setzen müssen, verwenden Sie die folgende Formel: Die Diagonale ist gleich dem Produkt aus der Seite des Quadrats und der Quadratwurzel aus zwei.

Es basiert auf einem regelmäßigen Dreieck

Eine regelmäßige dreieckige Pyramide ist ein Polyeder, dessen Grundfläche ein regelmäßiges Dreieck ist.

Wenn die Basis ein regelmäßiges Dreieck ist und die Seitenkanten gleich den Kanten der Basis sind, dann ist eine solche Figur ein Tetraeder genannt.

Alle Flächen eines Tetraeders sind gleichseitige 3-Ecke. In diesem Fall müssen Sie einige Punkte kennen und dürfen bei der Berechnung keine Zeit damit verschwenden:

• der Neigungswinkel der Rippen zu jeder Basis beträgt 60 Grad;
• die Größe aller Innenflächen beträgt ebenfalls 60 Grad;
• jedes Gesicht kann als Basis dienen;
• , innerhalb der Figur eingezeichnet, handelt es sich um gleiche Elemente.

Abschnitte eines Polyeders

In jedem Polyeder gibt es mehrere Arten von Abschnitten Wohnung. In einem Schulgeometriekurs arbeiten sie oft mit zwei:

• axial;
• parallel zur Basis.

Ein Axialschnitt entsteht durch den Schnitt eines Polyeders mit einer Ebene, die durch den Scheitelpunkt, die Seitenkanten und die Achse verläuft. In diesem Fall ist die Achse die vom Scheitelpunkt ausgehende Höhe. Die Schnittebene wird durch die Schnittlinien mit allen Flächen begrenzt, sodass ein Dreieck entsteht.

Aufmerksamkeit! Bei einer regelmäßigen Pyramide ist der axiale Abschnitt ein gleichschenkliges Dreieck.

Verläuft die Schnittebene parallel zur Grundfläche, so ergibt sich die zweite Möglichkeit. In diesem Fall haben wir eine Querschnittsfigur ähnlich der Basis.

Befindet sich beispielsweise an der Basis ein Quadrat, dann ist der zur Basis parallele Abschnitt ebenfalls ein Quadrat, nur mit kleineren Abmessungen.

Bei der Lösung von Problemen unter dieser Bedingung verwenden sie Zeichen und Eigenschaften der Ähnlichkeit von Figuren, basierend auf dem Satz von Thales. Zunächst muss der Ähnlichkeitskoeffizient bestimmt werden.

Zieht man die Ebene parallel zur Grundfläche und schneidet sie den oberen Teil des Polyeders ab, so erhält man im unteren Teil einen regelmäßigen Pyramidenstumpf. Dann nennt man die Grundflächen eines Polyederstumpfes ähnliche Polyeder. In diesem Fall sind die Seitenflächen gleichschenklige Trapeze. Der Axialschnitt ist ebenfalls gleichschenklig.

Um die Höhe eines Polyederstumpfes zu bestimmen, ist es notwendig, die Höhe im Axialschnitt, also im Trapez, einzutragen.

Oberflächenbereiche

Die wichtigsten geometrischen Probleme, die in einem Schulgeometriekurs gelöst werden müssen, sind Ermitteln der Oberfläche und des Volumens einer Pyramide.

Es gibt zwei Arten von Oberflächenwerten:

• Bereich der Seitenelemente;
• Fläche der gesamten Oberfläche.

Aus dem Namen selbst ist klar, wovon wir sprechen. Seitenfläche Enthält nur Seitenelemente. Daraus folgt, dass man, um es zu finden, lediglich die Flächen der Seitenebenen addieren muss, also die Flächen der gleichschenkligen 3-Ecke. Versuchen wir, die Formel für die Fläche der Seitenelemente abzuleiten:

1. Die Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks beträgt Str=1/2(aL), wobei a die Seite der Basis und L das Apothem ist.
2. Die Anzahl der Seitenebenen hängt von der Art des k-Ecks an der Basis ab. Beispielsweise hat eine regelmäßige viereckige Pyramide vier Seitenebenen. Daher ist es notwendig, die Flächen von vier Figuren Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L zu addieren. Der Ausdruck wird auf diese Weise vereinfacht, da der Wert 4a = Rosn ist, wobei Rosn der Umfang der Basis ist. Und der Ausdruck 1/2*Rosn ist sein Halbumfang.
3. Daraus schließen wir, dass die Fläche der Seitenelemente einer regelmäßigen Pyramide gleich dem Produkt aus dem Halbumfang der Basis und dem Apothem ist: Sside = Rosn * L.

Die Fläche der Gesamtoberfläche der Pyramide setzt sich aus der Summe der Flächen der Seitenebenen und der Grundfläche zusammen: Sp.p. = Sside + Sbas.

Für die Grundfläche wird hier die Formel entsprechend der Art des Polygons verwendet.

Volumen einer regelmäßigen Pyramide gleich dem Produkt aus der Fläche der Grundebene und der Höhe dividiert durch drei: V=1/3*Sbas*H, wobei H die Höhe des Polyeders ist.

Was ist eine regelmäßige Pyramide in der Geometrie?

Eigenschaften einer regelmäßigen viereckigen Pyramide