Satz von Funktionswerten 5 5. Bereich von Funktionswerten (Satz von Funktionswerten)
Im Rahmen der Lösung von Problemen müssen wir häufig nach vielen Werten einer Funktion in einem Definitionsbereich oder einem Segment suchen. Dies sollte beispielsweise beim Lösen erfolgen verschiedene Typen Ungleichungen, Bewertungen von Ausdrücken usw.
In diesem Material erklären wir Ihnen den Wertebereich einer Funktion, geben die wichtigsten Methoden an, mit denen sie berechnet werden kann, und analysieren Probleme unterschiedlicher Komplexität. Aus Gründen der Übersichtlichkeit sind einzelne Bestimmungen mit Grafiken dargestellt. Nach der Lektüre dieses Artikels erhalten Sie ein umfassendes Verständnis für den Umfang einer Funktion.
Beginnen wir mit grundlegenden Definitionen.
Definition 1
Die Wertemenge einer Funktion y = f(x) auf einem bestimmten Intervall x ist die Menge aller Werte, die diese Funktion annimmt, wenn sie über alle Werte x ∈ X iteriert.
Definition 2
Der Wertebereich einer Funktion y = f (x) ist die Menge aller ihrer Werte, die sie annehmen kann, wenn sie die Werte von x aus dem Bereich x ∈ (f) durchsucht.
Der Wertebereich einer bestimmten Funktion wird üblicherweise mit E(f) bezeichnet.
Bitte beachten Sie, dass der Begriff der Wertemenge einer Funktion nicht immer mit ihrem Wertebereich identisch ist. Diese Konzepte sind nur dann äquivalent, wenn der Wertebereich von x beim Finden der Menge vorliegt Werte werden übereinstimmen mit dem Definitionsbereich der Funktion.
Es ist auch wichtig, zwischen dem Wertebereich und dem Bereich akzeptabler Werte der Variablen x für den Ausdruck auf der rechten Seite y = f (x) zu unterscheiden. Der Bereich der zulässigen Werte x für den Ausdruck f (x) ist der Definitionsbereich dieser Funktion.
Nachfolgend finden Sie eine Abbildung mit einigen Beispielen. Blaue Linien sind Funktionsgraphen, rote Linien sind Asymptoten, rote Punkte und Linien auf der Ordinatenachse sind Funktionsbereiche.
Offensichtlich kann der Wertebereich einer Funktion erhalten werden, indem der Graph der Funktion auf die O-y-Achse projiziert wird. Darüber hinaus kann es entweder eine einzelne Zahl oder eine Menge von Zahlen, ein Segment, ein Intervall, einen offenen Strahl, eine Vereinigung numerischer Intervalle usw. darstellen.
Schauen wir uns die wichtigsten Möglichkeiten an, den Wertebereich einer Funktion zu ermitteln.
Beginnen wir mit der Definition der Wertemenge der stetigen Funktion y = f (x) auf einem bestimmten Segment mit der Bezeichnung [ a ; B ] . Wir wissen, dass eine Funktion, die auf einem bestimmten Segment stetig ist, dort ihr Minimum und Maximum erreicht, also das größte m a x x ∈ a ; b f (x) und der kleinste Wert m i n x ∈ a ; b f (x) . Das bedeutet, dass wir ein Segment m i n x ∈ a erhalten; bf(x); m a x x ∈ a ; b f (x) , das die Wertemengen der ursprünglichen Funktion enthält. Dann müssen wir nur noch die angegebenen Mindest- und Höchstpunkte auf diesem Segment finden.
Nehmen wir ein Problem, bei dem wir den Bereich der Arkussinuswerte bestimmen müssen.
Beispiel 1
Zustand: Finden Sie den Wertebereich y = a r c sin x .
Lösung
Im allgemeinen Fall liegt der Definitionsbereich des Arkussinus auf der Strecke [ - 1 ; 1 ] . Wir müssen den größten und kleinsten Wert der angegebenen Funktion darauf bestimmen.
y " = a r c sin x " = 1 1 - x 2
Wir wissen, dass die Ableitung der Funktion für alle Werte von x im Intervall [ - 1 ; 1 ], das heißt, im gesamten Definitionsbereich nimmt die Arkussinusfunktion zu. Das bedeutet, dass es den kleinsten Wert annimmt, wenn x gleich -1 ist, und den größten Wert, wenn x gleich 1 ist.
m i n x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - π 2 m a x x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin 1 = π 2
Somit ist der Wertebereich der Arkussinusfunktion gleich E (a r c sin x) = - π 2; π 2.
Antwort: E (a r c sin x) = - π 2 ; π 2
Beispiel 2
Zustand: Berechnen Sie den Wertebereich y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 im angegebenen Intervall [ 1 ; 4 ] .
Lösung
Wir müssen lediglich den größten und kleinsten Wert der Funktion in einem bestimmten Intervall berechnen.
Um Extrempunkte zu bestimmen, müssen folgende Berechnungen durchgeführt werden:
y " = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 " = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1; 4 und l und 4 x 2 - 15 x + 12 = 0 D = - 15 2 - 4 4 12 = 33 x 2 = 15 - 33 8 ≈ 1. 16 ∈ 1 ; 4 ; x 3 = 15 + 33 8 ≈ 2 , 59 ∈ 1 ; 4
Suchen wir nun die Werte der gegebenen Funktion an den Enden des Segments und an den Punkten x 2 = 15 - 33 8; x 3 = 15 + 33 8:
y (1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 512 ≈ 2. 08 y 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 · 15 + 33 8 3 + 6 · 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 Jahre (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32
Dies bedeutet, dass die Menge der Funktionswerte durch das Segment 117 - 165 33 512 bestimmt wird; 32.
Antwort: 117 - 165 33 512 ; 32 .
Fahren wir mit der Ermittlung der Wertemenge der stetigen Funktion y = f (x) in den Intervallen (a ; b) und a ; + ∞ , - ∞ ; b , - ∞ ; + ∞ .
Beginnen wir mit der Bestimmung der größten und kleinsten Punkte sowie der Anstiegs- und Abfallintervalle in einem bestimmten Intervall. Danach müssen wir einseitige Grenzen an den Enden des Intervalls und/oder Grenzen im Unendlichen berechnen. Mit anderen Worten: Wir müssen das Verhalten der Funktion unter bestimmten Bedingungen bestimmen. Dafür liegen uns alle notwendigen Daten vor.
Beispiel 3
Zustand: Berechnen Sie den Bereich der Funktion y = 1 x 2 - 4 auf dem Intervall (- 2 ; 2) .
Lösung
Bestimmen Sie den größten und kleinsten Wert einer Funktion auf einem bestimmten Segment
y " = 1 x 2 - 4 " = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2)
Wir haben einen Maximalwert von 0 erhalten, da sich an diesem Punkt das Vorzeichen der Funktion ändert und der Graph abzunehmen beginnt. Siehe Abbildung:
Das heißt, y (0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 ist der Maximalwert der Funktion.
Bestimmen wir nun das Verhalten der Funktion für ein x, das gegen – 2 s tendiert rechte Seite und k + 2 auf der linken Seite. Mit anderen Worten: Wir finden einseitige Grenzen:
lim x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 · 1 + 0 = - ∞ lim x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = - ∞
Es stellt sich heraus, dass die Funktionswerte von minus Unendlich auf – 1 4 ansteigen, wenn sich das Argument von – 2 auf 0 ändert. Und wenn sich das Argument von 0 auf 2 ändert, nehmen die Funktionswerte in Richtung minus Unendlich ab. Folglich ist die Menge der Werte einer gegebenen Funktion in dem von uns benötigten Intervall (- ∞ ; - 1 4 ] .
Antwort: (- ∞ ; - 1 4 ] .
Beispiel 4
Zustand: Geben Sie die Wertemenge y = t g x in einem bestimmten Intervall an - π 2; π 2.
Lösung
Wir wissen, dass im allgemeinen Fall die Ableitung der Tangente - π 2 ist; π 2 wird positiv sein, das heißt, die Funktion wird zunehmen. Lassen Sie uns nun bestimmen, wie sich die Funktion innerhalb der angegebenen Grenzen verhält:
lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞
Wir haben eine Zunahme der Werte der Funktion von minus Unendlich auf plus Unendlich erhalten, wenn sich das Argument von - π 2 auf π 2 ändert, und wir können sagen, dass die Menge der Lösungen dieser Funktion die Menge aller reellen Zahlen sein wird .
Antwort: - ∞ ; + ∞ .
Beispiel 5
Zustand: Bestimmen Sie den Bereich der natürlichen Logarithmusfunktion y = ln x.
Lösung
Wir wissen, dass diese Funktion definiert ist positive Werte Argument D (y) = 0 ; + ∞ . Die Ableitung in einem bestimmten Intervall ist positiv: y " = ln x " = 1 x . Dies bedeutet, dass die Funktion darauf zunimmt. Als nächstes müssen wir einen einseitigen Grenzwert für den Fall definieren, dass das Argument gegen 0 geht (auf der rechten Seite) und wenn x gegen Unendlich geht:
lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞
Wir haben festgestellt, dass die Werte der Funktion von minus Unendlich auf plus Unendlich ansteigen, wenn sich die Werte von x von Null auf plus Unendlich ändern. Das bedeutet, dass die Menge aller reellen Zahlen der Wertebereich der natürlichen Logarithmusfunktion ist.
Antwort: Die Menge aller reellen Zahlen ist der Wertebereich der natürlichen Logarithmusfunktion.
Beispiel 6
Zustand: Bestimmen Sie den Bereich der Funktion y = 9 x 2 + 1 .
Lösung
Diese Funktion ist definiert, vorausgesetzt, dass x eine reelle Zahl ist. Berechnen wir den größten und kleinsten Wert der Funktion sowie die Intervalle ihrer Zunahme und Abnahme:
y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0
Als Ergebnis haben wir festgestellt, dass diese Funktion abnimmt, wenn x ≥ 0; erhöhen, wenn x ≤ 0 ; Es hat einen Maximalpunkt y (0) = 9 0 2 + 1 = 9 mit einer Variablen gleich 0.
Sehen wir uns an, wie sich die Funktion im Unendlichen verhält:
lim x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0
Aus der Aufzeichnung geht klar hervor, dass sich die Funktionswerte in diesem Fall asymptotisch 0 nähern.
Zusammenfassend lässt sich sagen: Wenn sich das Argument von minus unendlich auf Null ändert, erhöhen sich die Funktionswerte von 0 auf 9. Wenn sich die Argumentwerte von 0 auf plus unendlich ändern, verringern sich die entsprechenden Funktionswerte von 9 auf 0. Wir haben dies in der Abbildung gezeigt:
Es zeigt, dass der Wertebereich der Funktion das Intervall E (y) = (0 ; 9 ] sein wird
Antwort: E (y) = (0 ; 9 ]
Wenn wir die Wertemenge der Funktion y = f (x) in den Intervallen [ a ; b) , (a ; b ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; b ] , dann müssen wir genau die gleichen Studien durchführen. Wir werden diese Fälle vorerst nicht analysieren: Wir werden ihnen später in begegnen Probleme.
Was aber, wenn der Definitionsbereich einer bestimmten Funktion eine Vereinigung mehrerer Intervalle ist? Dann müssen wir die Wertesätze für jedes dieser Intervalle berechnen und sie kombinieren.
Beispiel 7
Zustand: Bestimmen Sie den Wertebereich y = x x - 2 .
Lösung
Da der Nenner der Funktion nicht auf 0 gedreht werden sollte, gilt D (y) = - ∞; 2 ∪ 2 ; + ∞ .
Beginnen wir mit der Definition der Menge der Funktionswerte im ersten Segment - ∞; 2, das ist ein offener Balken. Wir wissen, dass die Funktion darauf abnimmt, das heißt, die Ableitung dieser Funktion wird negativ sein.
lim x → 2 - 0 x x - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ x x - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0
Dann nähern sich die Funktionswerte in Fällen, in denen sich das Argument in Richtung minus Unendlich ändert, asymptotisch 1. Wenn sich die Werte von x von minus Unendlich auf 2 ändern, dann sinken die Werte von 1 auf minus Unendlich, d.h. die Funktion in diesem Segment nimmt Werte aus dem Intervall - ∞; 1 . Wir schließen die Einheit aus unseren Betrachtungen aus, da die Werte der Funktion diese nicht erreichen, sondern sich ihr nur asymptotisch nähern.
Für offenen Balken 2; + ∞ führen wir genau die gleichen Aktionen aus. Die Funktion darauf nimmt ebenfalls ab:
lim x → 2 + 0 x x - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x x - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0
Die Werte der Funktion in einem bestimmten Segment werden durch die Menge 1 bestimmt; + ∞ . Dies bedeutet, dass der Wertebereich, den wir für die in der Bedingung angegebene Funktion benötigen, die Vereinigung von Mengen ist - ∞ ; 1 und 1; + ∞ .
Antwort: E(y) = - ∞ ; 1 ∪ 1 ; + ∞ .
Dies ist in der Grafik zu sehen:
Ein Sonderfall sind periodische Funktionen. Ihr Wertebereich stimmt mit der Wertemenge auf dem Intervall überein, das der Periode dieser Funktion entspricht.
Beispiel 8
Zustand: Bestimmen Sie den Wertebereich von Sinus y = sin x.
Lösung
Sinus ist eine periodische Funktion und ihre Periode beträgt 2 pi. Nehmen Sie das Segment 0; 2 π und sehen Sie, wie die Wertemenge darauf aussehen wird.
y " = (sin x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z
Innerhalb von 0; 2 π Die Funktion hat Extrempunkte π 2 und x = 3 π 2 . Berechnen wir, wie hoch die Funktionswerte in ihnen sowie an den Grenzen des Segments sein werden, und wählen dann den größten und kleinsten Wert aus.
y (0) = sin 0 = 0 y π 2 = sin π 2 = 1 y 3 π 2 = sin 3 π 2 = - 1 y (2 π) = sin (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π sin x = sin 3 π 2 = - 1, max x ∈ 0; 2 π sin x = sin π 2 = 1
Antwort: E (sin x) = - 1 ; 1 .
Wenn Sie die Bereiche von Funktionen wie Potenz, Exponential, Logarithmus, Trigonometrie, Umkehrtrigonometrie kennen müssen, empfehlen wir Ihnen, den Artikel über grundlegende Elementarfunktionen noch einmal zu lesen. Die hier vorgestellte Theorie ermöglicht es uns, die dort angegebenen Werte zu überprüfen. Es empfiehlt sich, sie zu erlernen, da sie häufig bei der Lösung von Problemen benötigt werden. Wenn Sie die Bereiche der Grundfunktionen kennen, können Sie mithilfe einer geometrischen Transformation leicht die Bereiche von Funktionen ermitteln, die aus Elementarfunktionen erhalten werden.
Beispiel 9
Zustand: Bestimmen Sie den Wertebereich y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 .
Lösung
Wir wissen, dass das Segment von 0 bis Pi der Arcus-Cosinus-Bereich ist. Mit anderen Worten: E (a r c cos x) = 0; π oder 0 ≤ a r c cos x ≤ π . Wir können die Funktion a r c cos x 3 + 5 π 7 aus dem Arkuskosinus erhalten, indem wir ihn entlang der O x-Achse verschieben und strecken, aber solche Transformationen werden uns nichts bringen. Dies bedeutet 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ π .
Die Funktion 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 kann aus dem Arcuskosinus a r c cos x 3 + 5 π 7 durch Streckung entlang der Ordinatenachse erhalten werden, d.h. 0 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . Die letzte Transformation ist eine Verschiebung entlang der Oy-Achse um 4 Werte. Als Ergebnis erhalten wir eine doppelte Ungleichung:
0 - 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4
Wir haben festgestellt, dass der von uns benötigte Wertebereich gleich E (y) = - 4 ist; 3 π - 4 .
Antwort: E(y) = - 4 ; 3 π - 4 .
Wir werden ein weiteres Beispiel ohne Erklärung aufschreiben, weil es ist dem vorherigen völlig ähnlich.
Beispiel 10
Zustand: Berechnen Sie, wie groß der Bereich der Funktion y = 2 2 x - 1 + 3 sein wird.
Lösung
Schreiben wir die in der Bedingung angegebene Funktion als y = 2 · (2 x - 1) - 1 2 + 3 um. Für Power-Funktion y = x - 1 2 Der Wertebereich wird im Intervall 0 definiert; + ∞, d.h. x - 1 2 > 0 . In diesem Fall:
2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3
Also E(y) = 3; + ∞ .
Antwort: E(y) = 3; + ∞ .
Schauen wir uns nun an, wie man den Wertebereich einer Funktion ermittelt, die nicht stetig ist. Dazu müssen wir den gesamten Bereich in Intervalle unterteilen und in jedem von ihnen Wertemengen finden und dann das Ergebnis kombinieren. Um dies besser zu verstehen, empfehlen wir Ihnen, sich die wichtigsten Arten von Funktionshaltepunkten anzusehen.
Beispiel 11
Zustand: gegeben die Funktion y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3. Berechnen Sie den Wertebereich.
Lösung
Diese Funktion ist für alle Werte von x definiert. Analysieren wir es auf Kontinuität für Argumentwerte gleich - 3 und 3:
lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 sin x 2 - 4 = 2 sin - 3 2 - 4 = - 2 sin 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim x → - 3 - 0 f (x) ≠ lim x → - 3 + 0 f (x)
Wir haben eine unentfernbare Diskontinuität erster Art, wenn der Wert des Arguments -3 ist. Wenn wir uns dem nähern, tendieren die Werte der Funktion zu - 2 sin 3 2 - 4 , und wenn x auf der rechten Seite zu - 3 tendiert, tendieren die Werte zu - 1 .
lim x → 3 - 0 f (x) = lim x → 3 - 0 (- 1) = 1 lim x → 3 + 0 f (x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞
Im Punkt 3 haben wir eine unauflösbare Diskontinuität zweiter Art. Wenn eine Funktion dazu tendiert, nähern sich ihre Werte - 1, wenn sie zum gleichen Punkt rechts tendiert - minus Unendlich.
Dies bedeutet, dass der gesamte Definitionsbereich dieser Funktion in 3 Intervalle (- ∞ ; - 3 ], (- 3 ; 3 ], (3 ; + ∞) unterteilt ist.
Im ersten von ihnen haben wir die Funktion y = 2 sin x 2 - 4 erhalten. Da - 1 ≤ sin x ≤ 1, erhalten wir:
1 ≤ sin x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2
Das bedeutet, dass in einem gegebenen Intervall (- ∞ ; - 3 ] die Menge der Funktionswerte [ - 6 ; 2 ] ist.
Auf dem halben Intervall (- 3; 3 ] ist das Ergebnis eine konstante Funktion y = - 1. Folglich wird die gesamte Menge ihrer Werte in diesem Fall auf eine Zahl reduziert - 1.
Im zweiten Intervall 3 ; + ∞ haben wir die Funktion y = 1 x - 3 . Sie nimmt ab, weil y " = - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:
lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0
Dies bedeutet, dass die Wertemenge der Originalfunktion für x > 3 die Menge 0 ist; + ∞ . Nun kombinieren wir die Ergebnisse: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; + ∞ .
Antwort: E(y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; + ∞ .
Die Lösung ist in der Grafik dargestellt:
Beispiel 12
Bedingung: Es gibt eine Funktion y = x 2 - 3 e x. Bestimmen Sie die Menge seiner Werte.
Lösung
Es ist für alle Argumentwerte definiert, die reelle Zahlen sind. Bestimmen wir, in welchen Intervallen diese Funktion zunimmt und in welchen sie abnimmt:
y " = x 2 - 3 e x " = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x
Wir wissen, dass die Ableitung 0 wird, wenn x = - 1 und x = 3. Platzieren wir diese beiden Punkte auf der Achse und finden wir heraus, welche Vorzeichen die Ableitung in den resultierenden Intervallen haben wird.
Die Funktion verringert sich um (- ∞ ; - 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞) und erhöht sich um [ - 1 ; 3]. Die Mindestpunktzahl beträgt -1, die Höchstpunktzahl -3.
Suchen wir nun die entsprechenden Funktionswerte:
y (- 1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3
Schauen wir uns das Verhalten der Funktion im Unendlichen an:
lim x → - ∞ x 2 - 3 e x = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 e x = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 - 3 " e x " = lim x → + ∞ 2 x e x = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x " (e x) " = 2 lim x → + ∞ 1 e x = 2 1 + ∞ = + 0
Zur Berechnung der zweiten Grenze wurde die Regel von L'Hopital verwendet. Lassen Sie uns den Fortschritt unserer Lösung in einem Diagramm darstellen.
Es zeigt, dass die Funktionswerte von plus Unendlich auf – 2 e sinken, wenn sich das Argument von minus Unendlich auf – 1 ändert. Ändert er sich von 3 auf plus unendlich, dann sinken die Werte von 6 e – 3 auf 0, 0 wird jedoch nicht erreicht.
Somit ist E(y) = [ - 2 e ; + ∞) .
Antwort: E(y) = [ - 2 e ; + ∞)
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Lektion 3
„Funktionsbereich“
Ziele: - Das Konzept des Wertebereichs auf die Lösung eines spezifischen Problems anwenden;
typische Probleme lösen.
Seit einigen Jahren treten bei Prüfungen regelmäßig Probleme auf, bei denen aus einer gegebenen Funktionsfamilie diejenigen ausgewählt werden müssen, deren Wertemengen die angegebenen Bedingungen erfüllen.
Betrachten wir ein solches Problem.
Wissen aktualisieren.
Was meinen wir mit der Menge der Funktionswerte?
Wie wird die Wertemenge einer Funktion bezeichnet?
Aus welchen Daten können wir die Menge der Funktionswerte ermitteln? (Entsprechend der analytischen Notation einer Funktion oder ihres Graphen)
(cm Aufgaben zum Einheitlichen Staatsexamen, Teil A)
Welche Funktionen kennen wir? (Die Hauptfunktionen werden aufgelistet und an die Tafel geschrieben; für jede Funktion ist ihr Wertesatz notiert). Als Ergebnis an der Tafel und in den Heften der Schüler
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Funktion |
Mehrere Bedeutungen |
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j = X 2 j = X 3 y =| X| y =
|
E( j) = E( j) = [- 1, 1] E( j) = (– ∞, + ∞) E( j) = (– ∞, + ∞) E( j) = (– ∞, + ∞) E( j) = (0, + ∞) |
Können wir mit diesem Wissen sofort die Wertesätze der an der Tafel geschriebenen Funktionen finden? (siehe Tabelle 2).
Was kann bei der Beantwortung dieser Frage helfen? (Graphen dieser Funktionen).
Wie zeichnet man die erste Funktion grafisch auf? (Senken Sie die Parabel um 4 Einheiten nach unten).
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Funktion |
Mehrere Bedeutungen |
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j = X 2 – 4 |
E( j) = [-4, + ∞) |
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j = + 5 |
E( j) = |
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j = – 5 cos X |
E( j) = [- 5, 5] |
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y = tg( x+ / 6) – 1 |
E( j) = (– ∞, + ∞) |
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y = Sünde( x+ / 3) – 2 |
E( j) = [- 3, - 1] |
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y =| X – 1 | + 3 |
E( j) = |
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y =| ctg X| |
E( j) = |
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j =  = | cos(x + /4) | |
E( j) = |
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|
y =(X - 5) 2 + 3 |
E( j) = . Finden Sie die Menge der Funktionswerte:   . 
Einführung eines Algorithmus zur Lösung von Problemen beim Finden einer Wertemenge trigonometrischer Funktionen. Sehen wir uns an, wie wir unsere vorhandenen Erfahrungen auf die verschiedenen Aufgaben anwenden können, die in den Unified Exam-Optionen enthalten sind. 1. Ermitteln der Werte von Funktionen für einen bestimmten Argumentwert. Beispiel. Finden Sie den Wert der Funktion y = 2 cos(π/2+ π/4 ) – 1, Wenn x = -π/2. Lösung. j(-π/2) = 2 cos(- π/2 – π/4 )- 1= 2 cos(π/2 + π/4 )- 1 = - 2 Sündeπ/4 – 1 = - 2  – 1 =
= – 2. Ermitteln des Wertebereichs trigonometrischer Funktionen
1≤ SündeX≤ 1 2 ≤ 2 SündeX≤ 2 9 ≤ 11+2SündeX≤ 13 3 ≤ Schreiben wir die ganzzahligen Werte der Funktion im Intervall auf. Das ist die Nummer 3. Antwort: 3.
bei= Sünde 2 X- 2 3 Sündex + 3 2 - 3 2 + 8, bei= (SündeX- 3) 2 -1. E ( SündeX) = [-1;1]; E ( SündeX -3) = [-4;-2]; E ( SündeX -3) 2 = ; E ( bei) = . Antwort: .
Können wir die Wertemenge dieser Funktion finden? (Nein.) Was soll getan werden? (Auf eine Funktion reduzieren.) Wie kann man das machen? (Verwenden Sie die Cos-2-Formel X= 1-Sünde 2 X.) Also, bei= 1-Sünde 2 X+ 2 Sünde X –2, j= -sünde 2 X+ 2 Sünde X –1, bei= -(Sünde X –1) 2 . Nun können wir eine Reihe von Werten finden und den kleinsten auswählen. 1 ≤ Sünde X ≤ 1, 2 ≤ Sünde X – 1 ≤ 0, 0 ≤ (Sünde X – 1) 2 ≤ 4, 4 ≤ -(Sünde X -1) 2 ≤ 0. Dies bedeutet, dass der kleinste Wert der Funktion ist bei Name= –4. Antwort: -4.
Lösung. bei= 1-cos 2 X+cos X + 1,5, bei= -cos 2 X+ 2∙0,5∙cos X - 0,25 + 2,75, bei= -(cos X- 0,5) 2 + 2,75. E(cos X) = [-1;1], E(cos X – 0,5) = [-1,5;0,5], E(cos X – 0,5) 2 = , E(-(cos X-0,5) 2) = [-2,25;0], E( bei) = . Größter Funktionswert bei naib= 2,75; kleinster Wert bei Name= 0,5. Finden wir das Produkt aus dem größten und kleinsten Wert der Funktion: bei naib ∙bei Name = 0,5∙2,75 = 1,375. Antwort: 1.375. Lösung. Schreiben wir die Funktion im Formular neu bei =, bei = Lassen Sie uns nun die Wertemenge der Funktion ermitteln. E(Sünde X) = [-1, 1], E(6sin X) = [-6, 6], E(6sin X + 1) = [-5, 7], E((6sin X + 1) 2) = , E(– (6sin X + 1) 2) = [-49, 0], E(– (6sin X + 1) 2 + 64) = , E( j) = [ Finden wir die Summe der ganzzahligen Werte der Funktion: 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30. Antwort: 30.  Lösung. 1) 2) Deshalb 2 X gehören zum zweiten Viertel. 3) Im zweiten Viertel nimmt die Sinusfunktion ab und ist stetig. Dies bedeutet, dass diese Funktion 4) Berechnen wir diese Werte:
Antwort :
 Lösung. 1) Da ein Sinus Werte von -1 bis 1 annimmt, dann die Menge der Differenzwerte 2) Arcuskosinus ist eine monoton fallende und stetige Funktion. Dies bedeutet, dass die Wertemenge des Ausdrucks ein Segment ist 3) Beim Multiplizieren dieses Segments mit Antwort:  Lösung. Da der Arkustangens also eine steigende Funktion ist 2) Beim Erhöhen X aus 3) Beim Erhöhen von 4) Mit der Formel, die den Sinus durch den Tangens eines halben Winkels ausdrückt, finden wir das heraus
Dies bedeutet, dass die gewünschte Wertemenge die Vereinigung von Segmenten ist Antwort: bei= a sin x + b cos x oder bei= eine Sünde (Rx) + b cos (RX).
Lösung. Finden wir den Wert Lassen Sie uns den Ausdruck umwandeln 15 sin 2x + 20 cos 2x = 25 ( 25 Sünde (2x + Die Menge der Funktionswerte y = sin (2x + Dann beträgt die Wertemenge der ursprünglichen Funktion -25 Antwort:
[-25; 25].
Funktion bei= сtg X nimmt im Intervall [π/4; π/2], daher nimmt die Funktion den kleinsten Wert an, wenn x =π/2, das heißt bei(π/2) = сtg π/2 = 0; A Höchster Wert- bei x=π/4, das heißt bei(π/4) = сtg π/4 = 1. Antwort: 1, 0.  . Lösung. Lassen Sie uns gleichberechtigt auswählen Daraus folgt, dass der Graph der Funktion f(x) entweder eine Hyperbel (a≠ 0) oder eine Gerade ohne Punkt ist. Darüber hinaus, wenn a; 2a) und (2a; Wenn a = 0, dann ist f(x) = -2 im gesamten Definitionsbereich x ≠ 0. Daher ist es offensichtlich, dass die erforderlichen Werte des Parameters nicht gleich Null sind. Da uns die Funktionswerte nur auf dem Intervall [-1; 1], dann wird die Klassifizierung von Situationen dadurch bestimmt, dass die Asymptote x = 2a der Hyperbel (a≠0) relativ zu diesem Segment liegt. Fall 1. Alle Punkte im Intervall [-1; 1] rechts von der vertikalen Asymptote x = 2a liegen, also wenn 2a Fall 2. Die vertikale Asymptote kreuzt das Intervall [-1; 1], und die Funktion nimmt ab (wie im Fall 1), also wann Fall 3. Die vertikale Asymptote kreuzt das Intervall [-1; 1] und die Funktion nimmt zu, also -1 Fall 4. Alle Punkte im Intervall [-1; 1] liegen links von der vertikalen Asymptote, also 1 a > . und zweitens Empfang 5. Vereinfachung der Formel, die eine gebrochenrationale Funktion definiert Empfang 6. Mehrere Werte finden quadratische Funktionen(durch Finden des Scheitelpunkts der Parabel und Bestimmen des Verhaltens ihrer Zweige). Empfang 7. Einführung eines Hilfswinkels zum Ermitteln der Wertemenge einiger trigonometrischer Funktionen. Funktion y=f(x) ist eine solche Abhängigkeit der Variablen y von der Variablen x, wenn jeder gültige Wert der Variablen x einem einzelnen Wert der Variablen y entspricht. Funktionsdefinitionsdomäne D(f) ist die Menge aller möglichen Werte der Variablen x. Funktionsumfang E(f) ist die Menge aller zulässigen Werte der Variablen y. Graph einer Funktion y=f(x) ist eine Menge von Punkten auf der Ebene, deren Koordinaten eine gegebene funktionale Abhängigkeit erfüllen, also Punkte der Form M (x; f(x)). Der Graph einer Funktion ist eine bestimmte Linie auf einer Ebene. Wenn b=0 ist, nimmt die Funktion die Form y=kx an und wird aufgerufen direkte Proportionalität. D(f) : x \in R;\enspace E(f) : y \in R Zeitplan lineare Funktion- gerade. Die Steigung k der Geraden y=kx+b wird nach folgender Formel berechnet: k= tan \alpha, wobei \alpha der Neigungswinkel der Geraden zur positiven Richtung der Ox-Achse ist. 1) Die Funktion wächst monoton für k > 0. Zum Beispiel: y=x+1 2) Die Funktion nimmt monoton mit k ab< 0 . Beispiel: y=-x+1
3) Wenn k=0 und b willkürliche Werte gegeben werden, erhalten wir eine Schar gerader Linien parallel zur Ox-Achse. Beispiel: y=-1
Umgekehrte ProportionalitätUmgekehrte Proportionalität eine Funktion der Form genannt y=\frac(k)(x), wobei k eine reelle Zahl ungleich Null ist D(f) : x \in \left \( R/x \neq 0 \right \); \: E(f) : y \in \left \(R/y \neq 0 \right \). Funktionsgraph y=\frac(k)(x) ist eine Übertreibung. 1) Wenn k > 0, dann liegt der Graph der Funktion im ersten und dritten Viertel der Koordinatenebene. Zum Beispiel: y=\frac(1)(x)
2) Wenn k< 0 , то график функции будет располагаться во второй и четвертой координатной плоскости. Zum Beispiel: y=-\frac(1)(x)
Power-FunktionPower-Funktion ist eine Funktion der Form y=x^n, wobei n eine reelle Zahl ungleich Null ist 1) Wenn n=2, dann y=x^2. D(f) : x \in R; \: E(f) : y \in; Hauptperiode der Funktion T=2 \pi Der Funktionsbegriff und alles, was damit zusammenhängt, ist traditionell komplex und nicht vollständig verstanden. Ein besonderer Stolperstein beim Studium einer Funktion und der Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen ist der Definitionsbereich und der Wertebereich (Änderungen) der Funktion. I. Bestimmen des Wertebereichs einer Funktion. Der Wertebereich (Menge) E(y) der Funktion y = f(x) ist die Menge solcher Zahlen y 0, für die es jeweils eine Zahl x 0 gibt, so dass: f(x 0) = y 0. Erinnern wir uns an die Wertebereiche des Mains elementare Funktionen. Schauen wir uns die Tabelle an.
Beachten Sie auch, dass der Wertebereich jedes Polynoms geraden Grades das Intervall ist, wobei n der größte Wert dieses Polynoms ist. II. Eigenschaften von Funktionen, die beim Ermitteln des Bereichs einer Funktion verwendet werden Um die Wertemenge einer Funktion erfolgreich zu finden, müssen Sie über gute Kenntnisse der Eigenschaften der grundlegenden Elementarfunktionen verfügen, insbesondere ihrer Definitionsbereiche, Wertebereiche und der Natur der Monotonie. Lassen Sie uns die Eigenschaften stetiger, monoton differenzierbarer Funktionen vorstellen, die am häufigsten zum Ermitteln der Menge von Funktionswerten verwendet werden. Die Eigenschaften 2 und 3 werden in der Regel zusammen mit der Eigenschaft einer Elementarfunktion verwendet, in ihrem Definitionsbereich stetig zu sein. Gleichzeitig das einfachste und kurze Lösung Die Aufgabe, die Wertemenge einer Funktion zu finden, wird auf Basis der Eigenschaft 1 gelöst, wenn es mit einfachen Methoden möglich ist, die Monotonie der Funktion zu bestimmen. Die Lösung des Problems ist noch einfacher, wenn die Funktion zusätzlich gerade oder ungerade, periodisch usw. ist. Daher sollte man bei der Lösung von Problemen beim Finden von Wertemengen einer Funktion bei Bedarf die folgenden Eigenschaften der Funktion überprüfen und verwenden:
Einfache Aufgaben zum Ermitteln der Wertemenge einer Funktion orientieren sich meist an: a) die einfachsten Schätzungen und Einschränkungen zu verwenden: (2 x >0, -1≤sinx?1, 0≤cos 2 x?1 usw.); b) um ein vollständiges Quadrat zu isolieren: x 2 – 4x + 7 = (x – 2) 2 + 3; c) zur Transformation trigonometrische Ausdrücke: 2sin 2 x – 3cos 2 x + 4 = 5sin 2 x +1; d) unter Verwendung der Monotonie der Funktion x 1/3 + 2 x-1 um R erhöht. III. Betrachten wir Möglichkeiten, die Funktionsbereiche zu finden. a) sequentielles Finden der Werte komplexer Funktionsargumente; Lassen Sie uns die Essenz dieser Methoden anhand konkreter Beispiele verdeutlichen. Beispiel 1: Finden Sie den Bereich E(y) Funktionen y = log 0,5 (4 – 2 3 x – 9 x). Lösen wir dieses Beispiel, indem wir nacheinander die Werte komplexer Funktionsargumente ermitteln. Indem wir das perfekte Quadrat unter dem Logarithmus auswählen, transformieren wir die Funktion y = log 0,5 (5 – (1 + 2 3 x – 3 2x)) = log 0,5 (5 – (3 x + 1) 2) Und wir werden nacheinander die Wertemengen seiner komplexen Argumente finden: E(3 x) = (0;+∞), E(3 x + 1) = (1;+∞), E(-(3 x + 1) 2 = (-∞;-1), E(5 – (3 x +1) 2) = (-∞;4) Bezeichnen wir T= 5 – (3 x +1) 2, wobei -∞≤ t≤4. Somit reduziert sich das Problem darauf, die Wertemenge der Funktion y = log 0,5 t auf dem Strahl zu finden (-∞;4) . Da die Funktion y = log 0,5 t nur für definiert ist, stimmt ihre Wertemenge auf dem Strahl (-∞;4) mit der Menge der Funktionswerte auf dem Intervall (0;4) überein, das den Schnittpunkt darstellt des Strahls (-∞;4) mit Definitionsbereich (0;+∞) der logarithmischen Funktion. Im Intervall (0;4) ist diese Funktion stetig und abnehmend. Bei T> 0 tendiert es zu +∞, und wann t = 4 nimmt also den Wert -2 an E(y) =(-2, +∞). Beispiel 2: Ermitteln Sie den Bereich einer Funktion y = cos7x + 5cosx Lösen wir dieses Beispiel mit der Schätzmethode, deren Kern darin besteht, eine kontinuierliche Funktion von unten und oben zu schätzen und zu beweisen, dass die Funktion die Unter- und Obergrenzen der Schätzungen erreicht. In diesem Fall wird die Übereinstimmung der Menge der Funktionswerte mit dem Intervall von der Untergrenze der Schätzung zur Obergrenze durch die Kontinuität der Funktion und das Fehlen anderer Werte dafür bestimmt. Aus den Ungleichungen -1≤cos7x?1, -5≤5cosx?5 erhalten wir die Schätzung -6≤y?6. Bei x = p und x = 0 nimmt die Funktion die Werte -6 und 6 an, d.h. die untere und obere Grenze der Schätzung erreicht. Als lineare Kombination der stetigen Funktionen cos7x und cosx ist die Funktion y auf der gesamten Zahlenachse stetig, daher nimmt sie aufgrund der Eigenschaft einer stetigen Funktion alle Werte von -6 bis einschließlich 6 an und seitdem nur diese Aufgrund der Ungleichungen -6≤y?6 sind für sie andere Werte unmöglich. Somit, E(y)= [-6;6]. Beispiel 3: Finden Sie den Bereich E(f) Funktionen f(x)= cos2x + 2cosx.
Mit der Doppelwinkelkosinusformel transformieren wir die Funktion f(x)= 2cos 2 x + 2cosx – 1 und bezeichnen T=cosx. Dann f(x)= 2t 2 + 2t – 1. Da E(cosx) = [-1;1], dann der Wertebereich der Funktion f(x) stimmt mit der Wertemenge der Funktion g überein (T)= 2t 2 + 2t – 1 auf dem Segment [-1;1], das wir finden werden grafische Methode. Nachdem wir die Funktion y = 2t 2 + 2t – 1 = 2(t + 0,5) 2 – 1,5 auf das Intervall [-1;1] aufgetragen haben, finden wir E(f) = [-1,5; 3]. Hinweis: Viele Probleme mit einem Parameter beschränken sich darauf, die Wertemenge einer Funktion zu finden, hauptsächlich im Zusammenhang mit der Lösbarkeit und Anzahl der Lösungen von Gleichungen und Ungleichungen. Zum Beispiel die Gleichung f(x)= a ist genau dann lösbar, wenn ein E(f) Ebenso gilt Gl. f(x)= a hat mindestens eine Wurzel in einem Intervall X oder hat genau dann keine einzige Wurzel in diesem Intervall, wenn a zur Wertemenge der Funktion gehört oder nicht f(x) auf dem Intervall X. Wird auch anhand einer Reihe von Funktionswerten und Ungleichungen untersucht f(x)≠ A, f(x)> a usw. Insbesondere, f(x)≠ und für alle zulässigen Werte von x, wenn ein E(f) Beispiel 4. Für welche Werte des Parameters a hat die Gleichung (x + 5) 1/2 = a(x 2 + 4) eine einzelne Wurzel im Intervall [-4;-1]. Schreiben wir die Gleichung in der Form (x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) = a. Die letzte Gleichung hat genau dann mindestens eine Wurzel im Intervall [-4;-1], wenn a zur Wertemenge der Funktion gehört f(x) =(x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) auf dem Segment [-4;-1]. Finden wir diese Menge mithilfe der Eigenschaft der Stetigkeit und Monotonie der Funktion. Auf dem Intervall [-4;-1] ist die Funktion y = xІ + 4 stetig, abnehmend und positiv, daher die Funktion g(x) = 1/(x 2 + 4) ist stetig und nimmt auf diesem Segment zu, da bei Division durch positive Funktion die Natur der Monotonie der Funktion ändert sich ins Gegenteil. Funktion h(x) =(x + 5) 1/2 ist in seinem Definitionsbereich stetig und wachsend D(h) =[-5;+∞) und insbesondere auf dem Segment [-4;-1], wo es außerdem positiv ist. Dann die Funktion f(x)=g(x) h(x), als Produkt zweier stetiger, steigender und positiver Funktionen, ist auch stetig und steigend auf dem Segment [-4;-1], daher ist seine Wertemenge auf [-4;-1] das Segment [ f(-4); f(-1)] = . Folglich hat die Gleichung eine Lösung im Intervall [-4;-1], und zwar die einzige (durch die Eigenschaft der Stetigkeit). monotone Funktion), bei 0,05 ≤ a ≤ 0,4 Kommentar. Lösbarkeit der Gleichung f(x) = a in einem bestimmten Intervall ist X gleichbedeutend mit der Zugehörigkeit zu den Werten des Parameters A Satz von Funktionswerten f(x) auf X. Folglich die Wertemenge der Funktion f(x) auf dem Intervall X stimmt mit der Menge der Parameterwerte überein A, für die die Gleichung f(x) = a hat mindestens eine Wurzel im Intervall X. Insbesondere der Wertebereich E(f) Funktionen f(x) entspricht dem Satz von Parameterwerten A, für die die Gleichung f(x) = a hat mindestens eine Wurzel. Beispiel 5: Finden Sie den Bereich E(f) Funktionen
Lösen wir das Beispiel, indem wir einen Parameter einführen, nach dem E(f) entspricht dem Satz von Parameterwerten A, für die die Gleichung
hat mindestens eine Wurzel. Wenn a = 2, ist die Gleichung linear – 4x – 5 = 0 mit einem Koeffizienten ungleich Null für das unbekannte x, daher hat sie eine Lösung. Für a≠2 ist die Gleichung quadratisch, also genau dann lösbar, wenn sie diskriminant ist
Da der Punkt a = 2 zum Segment gehört
Als direkte Weiterentwicklung der Methode zur Einführung eines Parameters beim Finden einer Menge von Funktionswerten können wir die Methode der Umkehrfunktion betrachten, um herauszufinden, welche Gleichung nach x gelöst werden muss f(x)=y, wobei y als Parameter betrachtet wird. Wenn diese Gleichung hat einzige Entscheidung x =g(y), dann der Wertebereich E(f) ursprüngliche Funktion f(x) fällt mit dem Definitionsbereich zusammen D(g) Umkehrfunktion g(y). Wenn die Gleichung f(x)=y hat mehrere Lösungen x =g 1 (y), x =g 2 (y) usw. also E(f) ist gleich der Vereinigung der Bereiche der Funktion g 1 (y), g 2 (y) usw. Beispiel 6: Finden Sie den Bereich E(y) Funktionen y = 5 2/(1-3x). Aus Gl.
wir werden finden Umkehrfunktion x = log 3 ((log 5 y – 2)/(log 5 y)) und sein Definitionsbereich D(x):
Da die Gleichung für x eine eindeutige Lösung hat, dann E(y) = D(x) = (0; 1)(25;+∞ ). Wenn der Definitionsbereich einer Funktion aus mehreren Intervallen besteht oder die Funktion in verschiedenen Intervallen durch unterschiedliche Formeln gegeben ist, müssen zum Ermitteln des Wertebereichs der Funktion die Wertemengen der Funktion ermittelt werden in jedem Intervall und nehmen Sie ihre Vereinigung. Beispiel 7: Bereiche suchen f(x) Und f(f(x)), Wo
f(x) auf dem Strahl (-∞;1], wo es mit dem Ausdruck 4 x + 9 4 -x + 3 übereinstimmt. Bezeichnen wir t = 4x. Dann f(x) = t + 9/t + 3, wobei 0< t ≤ 4 , так как показательная функция непрерывно возрастает на луче (-∞;1] и стремится к нулю при х → -∞. Тем самым множество значений функции f(x) auf dem Strahl (-∞;1] stimmt mit der Wertemenge der Funktion überein g(t) = t + 9/t + 3, auf dem Intervall (0;4], das wir mit der Ableitung finden g’(t) = 1 – 9/t 2. Auf der Ableitung des Intervalls (0;4). g'(t) ist definiert und verschwindet dort t = 3. Bei 0<T<3 она отрицательна, а при 3<T<4 положительна. Следовательно, в интервале (0;3) функция g(t) abnimmt und im Intervall (3;4) zunimmt und über das gesamte Intervall (0;4) kontinuierlich bleibt, also g (3)= 9 – der kleinste Wert dieser Funktion im Intervall (0;4], während ihr größter Wert nicht existiert, also wann t→0 richtige Funktion g(t)→+∞. Dann wird durch die Eigenschaft einer stetigen Funktion die Wertemenge der Funktion bestimmt g(t) auf dem Intervall (0;4] und daher eine Menge von Werten f(x) auf (-∞;-1] wird es einen Strahl geben. Nun kombinieren wir die Intervalle – die Mengen der Funktionswerte f(f(x)), bezeichnen t = f(x). Dann f(f(x)) = f(t), wo Für das angegebene T Funktion f(t)= 2cos( x-1) 1/2+ 7 und es nimmt wieder alle Werte von 5 bis einschließlich 9 an, d.h. Reichweite E(fІ) = E(f(f(x))) =. Ebenso bezeichnen z = f(f(x)), finden Sie den Wertebereich E(f 3) Funktionen f(f(f(x))) = f(z), wobei 5 ≤ z ≤ 9 usw. Stelle sicher das E(f 3) = . Die universellste Methode zum Ermitteln einer Reihe von Funktionswerten besteht darin, den größten und kleinsten Wert der Funktion in einem bestimmten Intervall zu verwenden. Beispiel 8. Bei welchen Parameterwerten R Ungleichung 8 x - ð ≠ 2 x+1 – 2 x gilt für alle -1 ≤ x< 2. Bestimmt haben t = 2 x, schreiben wir die Ungleichung in die Form ð ≠ t 3 – 2t 2 + t. Als t = 2 x– kontinuierliche Steigerungsfunktion eingeschaltet R, dann für -1 ≤ x< 2 переменная 2 -1 ≤ t<2 2 ↔ 0,5 ≤ t< 4, и исходное неравенство выполняется для всех -1 ≤ x < 2 тогда и только тогда, когда R von den Funktionswerten abweichen f(t) = t 3 – 2t 2 + t bei 0,5 ≤ t< 4. Lassen Sie uns zunächst die Wertemenge der Funktion ermitteln f(t) auf dem Segment, wo es überall eine Ableitung hat f’(t) =3t 2 – 4t + 1. Somit, f(t) ist differenzierbar und daher im Intervall stetig. Aus Gl. f’(t) = 0 Finden Sie die kritischen Punkte der Funktion t = 1/3, t = 1, Das erste davon gehört nicht zum Segment und das zweite gehört dazu. Als f(0,5) = 1/8, f(1) = 0, f(4) = 36, Dann ist gemäß der Eigenschaft einer differenzierbaren Funktion 0 der kleinste und 36 der größte Wert der Funktion f(t) auf dem Segment. Dann f(t), Als stetige Funktion nimmt sie im Intervall alle Werte von 0 bis einschließlich 36 an, und den Wert 36 nimmt sie nur dann an t=4, also für 0,5 ≤ t< 4,
она принимает все значения из промежутка
. Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на этом отрезке. Die Ableitung ist für alle x aus dem Intervall (-1; 1) positiv, d. h. die Arkussinusfunktion nimmt über den gesamten Definitionsbereich zu. Folglich nimmt es den kleinsten Wert bei x = -1 und den größten bei x = 1 an. Wir haben den Bereich der Arkussinusfunktion erhalten Beispiel. Finden Sie die Menge der Funktionswerte Lösung. Lassen Sie uns den größten und kleinsten Wert der Funktion in einem bestimmten Segment ermitteln. Bestimmen wir die zum Segment gehörenden Extrempunkte: Wir berechnen die Werte der Originalfunktion an den Enden des Segments und an Punkten Daher ist die Menge der Werte einer Funktion in einem Intervall das Intervall Jetzt zeigen wir, wie man die Wertemenge einer stetigen Funktion y = f(x) in den Intervallen (a; b) , findet. Zuerst bestimmen wir die Extrempunkte, Extrema der Funktion, Anstiegs- und Abfallintervalle der Funktion in einem bestimmten Intervall. Als nächstes berechnen wir die Enden des Intervalls und (oder) die Grenzen im Unendlichen (das heißt, wir untersuchen das Verhalten der Funktion an den Grenzen des Intervalls oder im Unendlichen). Diese Informationen reichen aus, um die Menge der Funktionswerte in solchen Intervallen zu finden. Beispiel. Definieren Sie die Menge der Funktionswerte im Intervall (-2; 2). Lösung. Suchen wir die Extrempunkte der Funktion, die auf das Intervall (-2; 2) fallen: Punkt x = 0 ist ein Maximalpunkt, da die Ableitung beim Durchlaufen das Vorzeichen von Plus nach Minus ändert und der Graph der Funktion von zunehmend nach fallend übergeht.
Lassen Sie uns das Verhalten der Funktion herausfinden, wenn x rechts zu -2 tendiert und wenn x links zu 2 tendiert, das heißt, wir finden einseitige Grenzen: Was wir bekommen haben: Wenn sich das Argument von -2 auf Null ändert, erhöhen sich die Funktionswerte von minus Unendlich auf minus ein Viertel (das Maximum der Funktion bei x = 0), wenn sich das Argument von Null auf 2 ändert Funktionswerte verringern sich auf minus unendlich. Somit ist die Menge der Funktionswerte im Intervall (-2; 2). Beispiel. Geben Sie die Wertemenge der Tangensfunktion y = tgx im Intervall an. Lösung. Die Ableitung der Tangensfunktion nach dem Intervall ist positiv Wenn sich also das Argument von zu ändert, steigen die Funktionswerte von minus Unendlich auf plus Unendlich, d. h. die Menge der Tangentenwerte in diesem Intervall ist die Menge aller reellen Zahlen. Beispiel. Finden Sie den Bereich der natürlichen Logarithmusfunktion y = lnx. Lösung. Die natürliche Logarithmusfunktion ist für positive Werte des Arguments definiert Wir sehen, dass die Werte der Funktion von minus Unendlich auf plus Unendlich ansteigen, wenn sich x von Null auf plus Unendlich ändert. Daher ist der Bereich der natürlichen Logarithmusfunktion die gesamte Menge der reellen Zahlen. Beispiel. Lösung. Diese Funktion ist für alle reellen Werte von x definiert. Bestimmen wir die Extrempunkte sowie die Anstiegs- und Abfallintervalle der Funktion. Folglich nimmt die Funktion bei ab, steigt bei an, x = 0 ist der Maximalpunkt, Schauen wir uns das Verhalten der Funktion im Unendlichen an: Somit nähern sich die Werte der Funktion im Unendlichen asymptotisch Null. Wir haben festgestellt, dass, wenn sich das Argument von minus Unendlich auf Null (den Maximalpunkt) ändert, die Funktionswerte von Null auf Neun (bis zum Maximum der Funktion) ansteigen, und wenn sich x von Null auf Plus Unendlich ändert, steigen die Funktionswerte von neun auf null sinken. Schauen Sie sich die schematische Zeichnung an.  Nun ist deutlich zu erkennen, dass der Wertebereich der Funktion beträgt. Das Finden der Wertemenge der Funktion y = f(x) in Intervallen erfordert ähnliche Untersuchungen. Wir werden uns jetzt nicht im Detail mit diesen Fällen befassen. Wir werden sie in den folgenden Beispielen wieder treffen. Der Definitionsbereich der Funktion y = f(x) sei die Vereinigung mehrerer Intervalle. Bei der Ermittlung des Wertebereichs einer solchen Funktion werden die Wertemengen in jedem Intervall bestimmt und deren Vereinigung gebildet. Beispiel. Finden Sie den Bereich der Funktion. Lösung. Der Nenner unserer Funktion sollte nicht Null werden, also . Suchen wir zunächst die Menge der Funktionswerte auf dem offenen Strahl. Ableitung einer Funktion Wir haben festgestellt, dass sich die Funktionswerte asymptotisch der Eins nähern, wenn das Argument gegen minus Unendlich tendiert. Wenn sich x von minus Unendlich auf zwei ändert, nehmen die Werte der Funktion von eins auf minus Unendlich ab, d. h. im betrachteten Intervall nimmt die Funktion eine Reihe von Werten an. Wir schließen die Einheit nicht ein, da die Werte der Funktion diese nicht erreichen, sondern nur asymptotisch bei minus Unendlich dazu tendieren. Für den offenen Balken gehen wir ähnlich vor. In diesem Intervall nimmt auch die Funktion ab. Die Menge der Funktionswerte auf diesem Intervall ist die Menge. Somit ist der gewünschte Wertebereich der Funktion die Vereinigung der Mengen und . Grafische Illustration.  Besonderes Augenmerk sollte auf periodische Funktionen gelegt werden. Der Wertebereich periodischer Funktionen stimmt mit der Wertemenge auf dem Intervall überein, das der Periode dieser Funktion entspricht. Beispiel. Finden Sie den Bereich der Sinusfunktion y = sinx. Lösung. Diese Funktion ist periodisch mit einer Periode von zwei pi. Nehmen wir ein Segment und definieren die Wertemenge darauf. Das Segment enthält zwei Extrempunkte und . Wir berechnen die Werte der Funktion an diesen Punkten und wählen an den Grenzen des Segments die kleinsten und größten Werte aus: Somit, Beispiel. Finden Sie den Bereich einer Funktion Lösung. Wir wissen, dass der Arcuskosinusbereich das Segment von Null bis Pi ist, d. h. Somit beträgt der erforderliche Wertebereich Lassen Sie uns die Lösung für ein anderes Beispiel geben, jedoch ohne Erklärungen (sie sind nicht erforderlich, da sie völlig ähnlich sind). Beispiel. Funktionsumfang definieren Lösung. Schreiben wir die ursprüngliche Funktion in das Formular Somit, Um das Bild zu vervollständigen, sollten wir darüber sprechen, den Wertebereich einer Funktion zu finden, die im Definitionsbereich nicht stetig ist. In diesem Fall unterteilen wir den Definitionsbereich durch Haltepunkte in Intervalle und finden für jedes von ihnen Wertemengen. Durch die Kombination der resultierenden Wertemengen erhalten wir den Wertebereich der ursprünglichen Funktion. Wir empfehlen, sich 3 auf der linken Seite zu merken, die Werte der Funktion tendieren zu minus eins, und da x auf der rechten Seite zu 3 tendiert, tendieren die Werte der Funktion zu plus Unendlich. Daher unterteilen wir den Definitionsbereich der Funktion in drei Intervalle. Auf dem Intervall haben wir die Funktion Somit beträgt die Wertemenge der ursprünglichen Funktion im Intervall [-6;2] . Auf dem Halbintervall haben wir eine konstante Funktion y = -1. Das heißt, die Wertemenge der ursprünglichen Funktion im Intervall besteht aus einem einzigen Element. Die Funktion ist für alle gültigen Argumentwerte definiert. Lassen Sie uns die Intervalle der Zunahme und Abnahme der Funktion herausfinden. Die Ableitung verschwindet bei x=-1 und x=3. Markieren wir diese Punkte auf dem Zahlenstrahl und bestimmen wir die Vorzeichen der Ableitung der resultierenden Intervalle. Die Funktion nimmt um ab Berechnen wir das entsprechende Minimum und Maximum der Funktion: Lassen Sie uns das Verhalten der Funktion im Unendlichen überprüfen: Der zweite Grenzwert wurde mit berechnet. Lassen Sie uns eine schematische Zeichnung erstellen. Wenn sich das Argument von minus Unendlich auf -1 ändert, verringern sich die Funktionswerte von plus Unendlich auf -2e, wenn sich das Argument von -1 auf 3 ändert, erhöhen sich die Funktionswerte von -2e auf, wenn sich das Argument von ändert 3 bis plus unendlich, die Funktionswerte nehmen von auf Null ab, erreichen aber nicht Null. 
|
– 1.
, d.h. E(y) = .
,
, 8].
also X gehört zum ersten Viertel.
Vor 
.
. Bei Multiplikation mit 
Dieses Segment wird in das Segment aufgenommen 
.
.
wir bekommen 
.
.
.
Vor 
Argument 2 X steigt von 
Vor 
. Da der Sinus über ein solches Intervall zunimmt, ist die Funktion 
bis 1.
Argument 2 X steigt von 
. Da der Sinus in einem solchen Intervall abnimmt, gilt die Funktion 
bis 1.
.
Und 
, also das Segment 
= 
= 25.
) = 25 () =
), wo cos 
Sünde (2x + 
) und steigt, wenn a > 0, auf diesen Strahlen monoton an.
.
dann der gewünschte Satz Parameterwerte A, daher der Wertebereich E(f) wird das gesamte Segment sein.
.
auf dem Segment.
:
.
es gibt ein entsprechendes Maximum der Funktion.
, was auf eine Funktionssteigerung hinweist. Lassen Sie uns das Verhalten der Funktion an den Grenzen des Intervalls untersuchen: 
. In diesem Intervall ist die Ableitung positiv 
Dies weist auf eine Erhöhung der Funktion hin. Finden wir den einseitigen Grenzwert der Funktion, wenn das Argument rechts gegen Null tendiert, und den Grenzwert, wenn x gegen plus Unendlich tendiert: 
das entsprechende Maximum der Funktion.
ist in diesem Intervall negativ, d. h. die Funktion nimmt in diesem Intervall ab. 
.
.
oder in einem anderen Beitrag. Funktion 
kann aus arccosx durch Verschiebung und Streckung entlang der Abszissenachse erhalten werden. Solche Transformationen haben keinen Einfluss auf den Wertebereich, daher 
. Funktion 
erhalten von 
. Und die letzte Transformationsstufe ist eine Verschiebung um vier Einheiten nach unten entlang der Ordinate. Dies führt uns zu einer doppelten Ungleichheit 
.
.
. Der Wertebereich der Potenzfunktion ist das Intervall. Also, . Dann 
.
. Seit damals 
, erhöht sich um [-1; 3], x=-1 minimaler Punkt, x=3 maximaler Punkt.
