Die Operation, die Ableitung zu finden, wird Differenzierung genannt.

Als Ergebnis der Lösung von Problemen bei der Suche nach Ableitungen der einfachsten (und nicht sehr einfachen) Funktionen durch Definition der Ableitung als Grenze des Verhältnisses von Inkrement zu Inkrement des Arguments entstand eine Tabelle mit Ableitungen und genau definierten Differenzierungsregeln . Die ersten, die sich mit der Suche nach Derivaten beschäftigten, waren Isaac Newton (1643–1727) und Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716).

Daher ist es heutzutage zum Ermitteln der Ableitung einer Funktion nicht erforderlich, die oben genannte Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments zu berechnen, sondern Sie müssen lediglich die Tabelle von verwenden Ableitungen und die Regeln der Differenzierung. Zur Ermittlung der Ableitung eignet sich der folgende Algorithmus.

Um die Ableitung zu finden, benötigen Sie einen Ausdruck unter dem Primzeichen Zerlegen Sie einfache Funktionen in Komponenten und bestimmen Sie, welche Aktionen (Produkt, Summe, Quotient) Diese Funktionen hängen zusammen. Weitere Derivate elementare Funktionen finden wir in der Ableitungstabelle, und die Formeln für die Ableitungen von Produkt, Summe und Quotient finden sich in den Differentiationsregeln. Die Ableitungstabelle und die Differenzierungsregeln werden nach den ersten beiden Beispielen angegeben.

Beispiel 1. Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. Aus den Differenzierungsregeln erfahren wir, dass die Ableitung einer Summe von Funktionen die Summe der Ableitungen von Funktionen ist, d. h.

Aus der Ableitungstabelle erfahren wir, dass die Ableitung von „x“ gleich eins und die Ableitung des Sinus gleich dem Kosinus ist. Wir setzen diese Werte in die Summe der Ableitungen ein und finden die Ableitung, die für die Bedingung des Problems erforderlich ist:

Beispiel 2. Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. Wir differenzieren als Ableitung einer Summe, bei der der zweite Term einen konstanten Faktor hat; er lässt sich aus dem Vorzeichen der Ableitung entnehmen:

Sollten dennoch Fragen auftauchen, woher etwas kommt, werden diese in der Regel geklärt, nachdem man sich mit der Ableitungstabelle und den einfachsten Differenzierungsregeln vertraut gemacht hat. Wir machen gerade mit ihnen weiter.

Tabelle der Ableitungen einfacher Funktionen

1. Ableitung einer Konstante (Zahl). Beliebige Zahl (1, 2, 5, 200...), die im Funktionsausdruck enthalten ist. Immer gleich Null. Dies ist sehr wichtig, da dies sehr oft erforderlich ist
2. Ableitung der unabhängigen Variablen. Am häufigsten „X“. Immer gleich eins. Dies ist auch wichtig, um sich lange daran zu erinnern
3. Ableitung des Grades. Beim Lösen von Problemen müssen Sie Nichtquadratwurzeln in Potenzen umwandeln.
4. Ableitung einer Variablen nach der Potenz -1
5. Ableitung der Quadratwurzel
6. Ableitung des Sinus
7. Ableitung des Kosinus
8. Ableitung der Tangente
9. Ableitung des Kotangens
10. Ableitung des Arkussinus
11. Ableitung des Arkuskosinus
12. Ableitung des Arkustangens
13. Ableitung des Arcuskotangens
14. Ableitung des natürlichen Logarithmus
15. Ableitung einer logarithmischen Funktion
16. Ableitung des Exponenten
17. Ableitung Exponentialfunktion

Differenzierungsregeln

1. Ableitung einer Summe oder Differenz
2. Derivat des Produkts
2a. Ableitung eines Ausdrucks multipliziert mit einem konstanten Faktor
3. Ableitung des Quotienten
4. Ableitung einer komplexen Funktion

Regel 1.Wenn das funktioniert

an einem Punkt differenzierbar sind, dann sind die Funktionen am selben Punkt differenzierbar

Und

diese. Die Ableitung einer algebraischen Summe von Funktionen ist gleich der algebraischen Summe der Ableitungen dieser Funktionen.

Folge. Wenn sich zwei differenzierbare Funktionen um einen konstanten Term unterscheiden, dann sind ihre Ableitungen gleich, d.h.

Regel 2.Wenn das funktioniert

sind irgendwann differenzierbar, dann ist ihr Produkt am selben Punkt differenzierbar

Und

diese. Die Ableitung des Produkts zweier Funktionen ist gleich der Summe der Produkte jeder dieser Funktionen und der Ableitung der anderen.

Folgerung 1. Der konstante Faktor kann aus dem Vorzeichen der Ableitung entnommen werden:

Folgerung 2. Die Ableitung des Produkts mehrerer differenzierbarer Funktionen ist gleich der Summe der Produkte der Ableitung jedes Faktors und aller anderen.

Zum Beispiel für drei Multiplikatoren:

Regel 3.Wenn das funktioniert

irgendwann differenzierbar Und , dann ist an dieser Stelle auch ihr Quotient differenzierbaru/v , und

diese. Die Ableitung des Quotienten zweier Funktionen ist gleich einem Bruch, dessen Zähler die Differenz zwischen den Produkten des Nenners und der Ableitung des Zählers und des Zählers und der Ableitung des Nenners ist und dessen Nenner das Quadrat von ist der ehemalige Zähler.

Wo kann man auf anderen Seiten nach Dingen suchen?

Bei der Bestimmung der Ableitung eines Produkts und eines Quotienten in realen Problemen ist es immer notwendig, mehrere Differenzierungsregeln gleichzeitig anzuwenden, daher finden Sie im Artikel weitere Beispiele zu diesen Ableitungen„Ableitung von Produkt und Quotient von Funktionen“.

Kommentar. Sie sollten eine Konstante (also eine Zahl) nicht als Term in einer Summe und als konstanten Faktor verwechseln! Bei einem Term ist seine Ableitung gleich Null, bei einem konstanten Faktor wird sie aus dem Vorzeichen der Ableitungen genommen. Das typischer Fehler, was am auftritt Erstphase Beim Studium von Ableitungen, aber da sie mehrere ein- und zweiteilige Beispiele lösen, macht der durchschnittliche Student diesen Fehler nicht mehr.

Und wenn Sie bei der Differenzierung eines Produkts oder Quotienten einen Term haben u"v, indem u- eine Zahl, zum Beispiel 2 oder 5, also eine Konstante, dann ist die Ableitung dieser Zahl gleich Null und daher ist der gesamte Term gleich Null (dieser Fall wird in Beispiel 10 besprochen).

Andere häufiger Fehler- mechanische Lösung der Ableitung einer komplexen Funktion als Ableitung einer einfachen Funktion. Deshalb Ableitung einer komplexen Funktion ist ein eigener Artikel gewidmet. Aber zuerst lernen wir, Ableitungen einfacher Funktionen zu finden.

Unterwegs kommt man nicht ohne die Transformation von Ausdrücken aus. Dazu müssen Sie ggf. das Handbuch in einem neuen Fenster öffnen. Taten mit Kraft und Wurzeln Und Operationen mit Brüchen .

Wenn Sie nach Lösungen für Ableitungen von Brüchen mit Potenzen und Wurzeln suchen, also wenn die Funktion aussieht , dann folgen Sie der Lektion „Ableitung von Bruchsummen mit Potenzen und Wurzeln“.

Wenn Sie eine Aufgabe haben wie , dann nehmen Sie an der Lektion „Ableitungen einfacher trigonometrischer Funktionen“ teil.

Schritt-für-Schritt-Beispiele – So finden Sie die Ableitung

Beispiel 3. Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. Wir definieren die Teile des Funktionsausdrucks: Der gesamte Ausdruck stellt ein Produkt dar, und seine Faktoren sind Summen, in deren zweitem einer der Terme einen konstanten Faktor enthält. Wir wenden die Produktdifferenzierungsregel an: Die Ableitung des Produkts zweier Funktionen ist gleich der Summe der Produkte jeder dieser Funktionen mit der Ableitung der anderen:

Als nächstes wenden wir die Differenzierungsregel der Summe an: Die Ableitung der algebraischen Summe von Funktionen ist gleich der algebraischen Summe der Ableitungen dieser Funktionen. In unserem Fall hat der zweite Term in jeder Summe ein Minuszeichen. In jeder Summe sehen wir sowohl eine unabhängige Variable, deren Ableitung gleich eins ist, als auch eine Konstante (Zahl), deren Ableitung gleich Null ist. „X“ wird also zu Eins und minus 5 zu Null. Im zweiten Ausdruck wird „x“ mit 2 multipliziert, also multiplizieren wir zwei mit derselben Einheit wie die Ableitung von „x“. Wir erhalten folgende Ableitungswerte:

Wir setzen die gefundenen Ableitungen in die Summe der Produkte ein und erhalten die Ableitung der gesamten Funktion, die für die Problembedingung erforderlich ist:

Beispiel 4. Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. Wir müssen die Ableitung des Quotienten ermitteln. Wir wenden die Formel zur Differenzierung des Quotienten an: Die Ableitung des Quotienten zweier Funktionen ist gleich einem Bruch, dessen Zähler die Differenz zwischen den Produkten des Nenners und der Ableitung des Zählers und des Zählers und der Ableitung des ist Nenner, und der Nenner ist das Quadrat des vorherigen Zählers. Wir bekommen:

Die Ableitung der Faktoren im Zähler haben wir bereits in Beispiel 2 gefunden. Vergessen wir auch nicht, dass das Produkt, das der zweite Faktor im Zähler ist, in aktuelles Beispiel mit Minuszeichen genommen:

Wenn Sie nach Lösungen für Probleme suchen, bei denen Sie die Ableitung einer Funktion finden müssen, bei der es einen kontinuierlichen Haufen von Wurzeln und Potenzen gibt, wie zum Beispiel: , dann willkommen im Unterricht „Ableitung von Bruchsummen mit Potenzen und Wurzeln“ .

Wenn Sie mehr über die Ableitungen von Sinus, Cosinus, Tangens und anderen erfahren möchten trigonometrische Funktionen, das heißt, wenn die Funktion aussieht , dann eine Lektion für Sie „Ableitungen einfacher trigonometrischer Funktionen“ .

Beispiel 5. Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. In dieser Funktion sehen wir ein Produkt, dessen Faktor die Quadratwurzel der unabhängigen Variablen ist, deren Ableitung wir in der Ableitungstabelle kennengelernt haben. Unter Verwendung der Regel zur Differenzierung des Produkts und des Tabellenwerts der Ableitung der Quadratwurzel erhalten wir:

Beispiel 6. Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. In dieser Funktion sehen wir einen Quotienten, dessen Dividende die Quadratwurzel der unabhängigen Variablen ist. Unter Verwendung der Regel der Differenzierung von Quotienten, die wir in Beispiel 4 wiederholt und angewendet haben, und dem tabellierten Wert der Ableitung der Quadratwurzel erhalten wir:

Um einen Bruch im Zähler loszuwerden, multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit .

Datum: 20.11.2014

Was ist ein Derivat?

Tabelle der Derivate.

Ableitung ist eines der Hauptkonzepte der höheren Mathematik. In dieser Lektion stellen wir dieses Konzept vor. Lernen wir uns kennen, ohne strenge mathematische Formulierungen und Beweise.

Diese Bekanntschaft ermöglicht Ihnen:

Verstehen Sie die Essenz einfacher Aufgaben mit Ableitungen;

Lösen Sie diese einfachsten Aufgaben erfolgreich;

Bereiten Sie sich auf ernsthaftere Lektionen zum Thema Derivate vor.

Erstens - eine angenehme Überraschung.)

Die strenge Definition der Ableitung basiert auf der Grenzwerttheorie und ist ziemlich kompliziert. Das ist ärgerlich. Aber die praktische Anwendung von Derivaten erfordert in der Regel kein so umfangreiches und tiefes Wissen!

Um die meisten Aufgaben in Schule und Universität erfolgreich zu erledigen, reicht es aus, etwas zu wissen nur ein paar Begriffe- die Aufgabe verstehen und nur ein paar Regeln- um es zu lösen. Und alle. Es gefällt.

Beginnen wir mit dem Kennenlernen?)

Begriffe und Bezeichnungen.

In der Elementarmathematik gibt es viele verschiedene mathematische Operationen. Addition, Subtraktion, Multiplikation, Potenzierung, Logarithmus usw. Wenn Sie diesen Operationen eine weitere Operation hinzufügen, wird die elementare Mathematik höher. Diese neue Operation wird aufgerufen Differenzierung. Die Definition und Bedeutung dieser Operation werden in separaten Lektionen besprochen.

Hier ist es wichtig zu verstehen, dass es sich bei der Differenzierung lediglich um eine mathematische Operation an einer Funktion handelt. Wir nehmen jede Funktion und transformieren sie nach bestimmten Regeln. Das Ergebnis wird eine neue Funktion sein. Diese neue Funktion heißt: Derivat.

Differenzierung- Aktion auf eine Funktion.

Derivat- das Ergebnis dieser Aktion.

So wie zum Beispiel Summe- das Ergebnis der Addition. Oder Privat- das Ergebnis der Teilung.

Wenn man die Begriffe kennt, kann man zumindest die Aufgaben verstehen. Die Formulierungen lauten wie folgt: finde die Ableitung einer Funktion; nimm die Ableitung; die Funktion differenzieren; Ableitung berechnen usw. Das ist alles Dasselbe. Natürlich gibt es auch komplexere Aufgaben, bei denen das Finden der Ableitung (Differenzierung) nur einer der Schritte zur Lösung des Problems ist.

Die Ableitung wird durch einen Strich oben rechts in der Funktion angezeigt. So: y" oder f"(x) oder S"(t) usw.

Lektüre igrek-Strich, ef-Strich von x, es-Strich von te, na ja, du verstehst...)

Eine Primzahl kann auch die Ableitung einer bestimmten Funktion angeben, zum Beispiel: (2x+3)", (X 3 )" , (sinx)" usw. Ableitungen werden oft durch Differentiale dargestellt, aber wir werden eine solche Notation in dieser Lektion nicht berücksichtigen.

Gehen wir davon aus, dass wir gelernt haben, die Aufgaben zu verstehen. Jetzt müssen Sie nur noch lernen, wie man sie löst.) Ich möchte Sie noch einmal daran erinnern: Die Ableitung zu finden ist Transformation einer Funktion nach bestimmten Regeln.Überraschenderweise gibt es nur sehr wenige dieser Regeln.

Um die Ableitung einer Funktion zu finden, müssen Sie nur drei Dinge wissen. Drei Säulen, auf denen jede Differenzierung ruht. Hier sind sie diese drei Säulen:

1. Tabelle der Ableitungen (Differenzierungsformeln).

3. Ableitung einer komplexen Funktion.

Beginnen wir der Reihe nach. In dieser Lektion werden wir uns die Tabelle der Derivate ansehen.

Tabelle der Derivate.

Es gibt unendlich viele Funktionen auf der Welt. Unter dieser Vielfalt gibt es Funktionen, die am wichtigsten sind praktische Anwendung. Diese Funktionen finden sich in allen Naturgesetzen. Aus diesen Funktionen können Sie, wie aus Bausteinen, alle anderen konstruieren. Diese Klasse von Funktionen heißt elementare Funktionen. Es sind diese Funktionen, die in der Schule studiert werden – linear, quadratisch, Hyperbel usw.

Differenzierung von Funktionen „von Grund auf“, d.h. Basierend auf der Definition von Derivaten und der Grenzwerttheorie ist dies eine ziemlich arbeitsintensive Angelegenheit. Und Mathematiker sind auch Menschen, ja, ja!) Also haben sie ihr (und unser) Leben vereinfacht. Sie haben vor uns die Ableitungen elementarer Funktionen berechnet. Das Ergebnis ist eine Ableitungstabelle, in der alles fertig ist.)

Hier ist sie, diese Platte für die gängigsten Funktionen. Links ist eine Elementarfunktion, rechts ihre Ableitung.

	Funktion j	Ableitung der Funktion y y"
1	C ( Konstante)	C" = 0
2	X	x" = 1
3	x n (n – eine beliebige Zahl)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	Sünde x	(sin x)“ = cosx
	weil x	(cos x)“ = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctan x
	arcctg x
4	A X
	e X
5	Protokoll A X
	ln x ( a = e)

Ich empfehle, auf die dritte Funktionsgruppe in dieser Ableitungstabelle zu achten. Die Ableitung einer Potenzfunktion ist eine der gebräuchlichsten Formeln, wenn nicht sogar die gebräuchlichste! Verstehen Sie den Hinweis?) Ja, es ist ratsam, die Ableitungstabelle auswendig zu kennen. Das ist übrigens nicht so schwierig, wie es scheint. Versuchen Sie, weitere Beispiele zu lösen, die Tabelle selbst bleibt im Gedächtnis!)

Den Tabellenwert der Ableitung zu finden, ist, wie Sie wissen, nicht die schwierigste Aufgabe. Daher gibt es bei solchen Aufgaben sehr oft zusätzliche Chips. Entweder im Wortlaut der Aufgabe, oder in der ursprünglichen Funktion, die scheinbar nicht in der Tabelle steht...

Schauen wir uns ein paar Beispiele an:

1. Finden Sie die Ableitung der Funktion y = x 3

In der Tabelle gibt es keine solche Funktion. Aber es gibt eine Ableitung der Potenzfunktion in Gesamtansicht(dritte Gruppe). In unserem Fall ist n=3. Also ersetzen wir drei statt n und schreiben das Ergebnis sorgfältig auf:

(X 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Das ist es.

Antwort: y" = 3x 2

2. Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion y = sinx am Punkt x = 0.

Diese Aufgabe bedeutet, dass Sie zuerst die Ableitung des Sinus ermitteln und dann den Wert ersetzen müssen x = 0 in dieselbe Ableitung. Genau in dieser Reihenfolge! Andernfalls kommt es vor, dass sie sofort Null in die Originalfunktion einsetzen... Wir werden gebeten, nicht den Wert der Originalfunktion, sondern den Wert zu finden seine Ableitung. Ich möchte Sie daran erinnern, dass die Ableitung eine neue Funktion ist.

Mit der Tafel ermitteln wir den Sinus und die entsprechende Ableitung:

y" = (sin x)" = cosx

Wir setzen Null in die Ableitung ein:

y"(0) = cos 0 = 1

Das wird die Antwort sein.

3. Differenzieren Sie die Funktion:

Was inspiriert es?) In der Ableitungstabelle gibt es keine solche Funktion.

Ich möchte Sie daran erinnern, dass die Differenzierung einer Funktion einfach darin besteht, die Ableitung dieser Funktion zu finden. Wenn Sie die elementare Trigonometrie vergessen, ist die Suche nach der Ableitung unserer Funktion ziemlich mühsam. Die Tabelle hilft nicht...

Aber wenn wir sehen, dass unsere Funktion ist doppelter Winkelkosinus, dann wird sofort alles besser!

Ja Ja! Denken Sie daran, die ursprüngliche Funktion umzuwandeln vor der Differenzierung durchaus akzeptabel! Und es macht das Leben viel einfacher. Mit der Formel des Doppelwinkelkosinus:

Diese. Unsere knifflige Funktion ist nichts weiter als y = cosx. Und das ist eine Tabellenfunktion. Wir erhalten sofort:

Antwort: y" = - sin x.

Beispiel für fortgeschrittene Absolventen und Studierende:

4. Finden Sie die Ableitung der Funktion:

Eine solche Funktion gibt es in der Ableitungstabelle natürlich nicht. Aber wenn Sie sich an elementare Mathematik erinnern, Operationen mit Potenzen... Dann ist es durchaus möglich, diese Funktion zu vereinfachen. So:

Und x hoch ein Zehntel ist bereits eine Tabellenfunktion! Dritte Gruppe, n=1/10. Wir schreiben direkt nach der Formel:

Das ist alles. Das wird die Antwort sein.

Ich hoffe, dass mit der ersten Säule der Differenzierung – der Derivatetabelle – alles klar ist. Es bleibt noch, sich um die beiden verbleibenden Wale zu kümmern. In der nächsten Lektion lernen wir die Regeln der Differenzierung.

Datum: 10.05.2015

Wie findet man die Ableitung?

Differenzierungsregeln.

Um die Ableitung einer Funktion zu finden, müssen Sie nur drei Konzepte beherrschen:

2. Differenzierungsregeln.

3. Ableitung einer komplexen Funktion.

Genau in dieser Reihenfolge. Es ist ein Hinweis.)

Natürlich wäre es schön, eine Vorstellung von Derivaten im Allgemeinen zu haben. Was eine Ableitung ist und wie man mit der Ableitungstabelle arbeitet, wurde in der vorherigen Lektion anschaulich erklärt. Hier beschäftigen wir uns mit den Differenzierungsregeln.

Differenzierung ist die Operation, die Ableitung zu finden. Hinter diesem Begriff verbirgt sich nichts mehr. Diese. Ausdrücke „Finde die Ableitung einer Funktion“ Und „Eine Funktion differenzieren“- Es ist das Gleiche.

Ausdruck „Regeln der Differenzierung“ bezieht sich auf das Finden der Ableitung aus arithmetischen Operationen. Dieses Verständnis hilft sehr, Verwirrung in Ihrem Kopf zu vermeiden.

Konzentrieren wir uns und merken wir uns alle, alle, alle Rechenoperationen. Es gibt vier davon. Addition (Summe), Subtraktion (Differenz), Multiplikation (Produkt) und Division (Quotient). Hier sind sie, die Regeln der Differenzierung:

Die Platte zeigt fünf Regeln auf vier Rechenoperationen. Ich bin nicht zu kurz gekommen.) Es ist nur so, dass Regel 4 eine elementare Konsequenz von Regel 3 ist. Aber sie ist so beliebt, dass es Sinn macht, sie als eigenständige Formel zu schreiben (und sich daran zu erinnern!).

Unter den Bezeichnungen U Und V einige (absolut alle!) Funktionen sind impliziert U(x) Und V(x).

Schauen wir uns ein paar Beispiele an. Erstens – die einfachsten.

Finden Sie die Ableitung der Funktion y=sinx - x 2

Hier haben wir Unterschied zwei elementare Funktionen. Wir wenden Regel 2 an. Wir gehen davon aus, dass sinx eine Funktion ist U, und x 2 ist die Funktion V. Wir haben jedes Recht zu schreiben:

y" = (sinx - x 2)" = (sinx)"- (x 2)"

Das ist besser, oder?) Jetzt müssen nur noch die Ableitungen von Sinus und Quadrat von x ermittelt werden. Hierzu gibt es eine Derivatetabelle. Wir suchen einfach in der Tabelle nach den Funktionen, die wir benötigen ( sinx Und x 2), schauen Sie sich an, welche Derivate sie haben, und schreiben Sie die Antwort auf:

y" = (sinx)" - (x 2)" = cosx - 2x

Das ist es. Regel 1 der Summendifferenzierung funktioniert genauso.

Was ist, wenn wir mehrere Begriffe haben? Kein Problem.) Wir zerlegen die Funktion in Terme und suchen nach der Ableitung jedes Termes unabhängig von den anderen. Zum Beispiel:

Finden Sie die Ableitung der Funktion y=sinx - x 2 +cosx - x +3

Wir schreiben kühn:

y" = (sinx)" - (x 2)" + (cosx)" - (x)" + (3)"

Am Ende der Lektion gebe ich Tipps, die das Differenzieren einfacher machen.)

Praktische Ratschläge:

1. Prüfen Sie vor der Differenzierung, ob es möglich ist, die ursprüngliche Funktion zu vereinfachen.

2. In komplizierten Beispielen beschreiben wir die Lösung ausführlich, mit allen Klammern und Bindestrichen.

3. Bei der Differenzierung von Brüchen mit einer konstanten Zahl im Nenner wandeln wir die Division in eine Multiplikation um und verwenden Regel 4.

Erste Ebene

Ableitung einer Funktion. Umfassender Leitfaden (2019)

Stellen wir uns eine gerade Straße vor, die durch ein hügeliges Gebiet führt. Das heißt, es geht auf und ab, dreht sich aber nicht nach rechts oder links. Wenn die Achse horizontal und vertikal entlang der Straße ausgerichtet ist, ähnelt die Straßenlinie stark dem Diagramm einer kontinuierlichen Funktion:

Die Achse ist eine bestimmte Höhe von Null; im Leben verwenden wir den Meeresspiegel als diese.

Wenn wir auf einem solchen Weg vorankommen, bewegen wir uns auch nach oben oder unten. Wir können auch sagen: Wenn sich das Argument ändert (Bewegung entlang der Abszissenachse), ändert sich der Wert der Funktion (Bewegung entlang der Ordinatenachse). Lassen Sie uns nun darüber nachdenken, wie wir die „Steilheit“ unserer Straße bestimmen können. Was für ein Wert könnte das sein? Es ist ganz einfach: Wie stark ändert sich die Höhe, wenn man sich eine bestimmte Strecke vorwärts bewegt? Tatsächlich werden wir auf verschiedenen Straßenabschnitten, wenn wir uns einen Kilometer vorwärts (entlang der x-Achse) bewegen, auf- oder absteigen unterschiedliche Mengen Meter relativ zum Meeresspiegel (entlang der Ordinatenachse).

Bezeichnen wir den Fortschritt (lesen Sie „Delta x“).

Der griechische Buchstabe (Delta) wird in der Mathematik häufig als Präfix für „Veränderung“ verwendet. Das heißt – das ist eine Mengenänderung, – eine Veränderung; Was ist es dann? Das ist richtig, eine Größenänderung.

Wichtig: Ein Ausdruck ist ein einzelnes Ganzes, eine Variable. Trennen Sie niemals das „Delta“ vom „x“ oder einem anderen Buchstaben! Das ist zum Beispiel .

Wir sind also horizontal vorangekommen. Wenn wir die Straßenlinie mit dem Funktionsgraphen vergleichen, wie bezeichnen wir dann den Anstieg? Sicherlich, . Das heißt, je weiter wir voranschreiten, desto höher steigen wir.

Der Wert lässt sich leicht berechnen: Wenn wir am Anfang in einer Höhe waren und uns nach der Bewegung in einer Höhe befanden, dann. Wenn der Endpunkt niedriger als der Startpunkt ist, ist er negativ – das bedeutet, dass wir nicht aufsteigen, sondern absteigen.

Kommen wir zurück zur „Steilheit“: Dies ist ein Wert, der angibt, um wie viel (steiler) die Höhe zunimmt, wenn man sich eine Distanzeinheit vorwärts bewegt:

Nehmen wir an, dass die Straße auf einem bestimmten Straßenabschnitt beim Vorwärtsfahren um einen Kilometer um einen Kilometer ansteigt. Dann ist die Steigung an dieser Stelle gleich. Und wenn die Straße, während sie sich um m vorwärts bewegt, um km abfällt? Dann ist die Steigung gleich.

Schauen wir uns nun die Spitze eines Hügels an. Nimmt man den Anfang des Abschnitts einen halben Kilometer vor dem Gipfel und das Ende einen halben Kilometer danach, erkennt man, dass die Höhenlage nahezu gleich ist.

Das heißt, nach unserer Logik stellt sich heraus, dass die Steigung hier nahezu gleich Null ist, was eindeutig nicht stimmt. Schon auf einer Strecke von mehreren Kilometern kann sich viel ändern. Für eine angemessenere und genauere Beurteilung der Steilheit müssen kleinere Bereiche berücksichtigt werden. Wenn Sie beispielsweise die Höhenänderung bei einer Bewegung von einem Meter messen, ist das Ergebnis viel genauer. Aber selbst diese Genauigkeit reicht uns möglicherweise nicht aus – denn wenn mitten auf der Straße ein Mast steht, können wir einfach daran vorbeifahren. Welchen Abstand sollten wir dann wählen? Zentimeter? Millimeter? Weniger ist besser!

IN wahres Leben Entfernungen auf den Millimeter genau zu messen ist mehr als ausreichend. Aber Mathematiker streben immer nach Perfektion. Daher wurde das Konzept erfunden unendlich klein, das heißt, der absolute Wert ist kleiner als jede Zahl, die wir nennen können. Sie sagen zum Beispiel: ein Billionstel! Wie viel weniger? Und dividieren Sie diese Zahl durch – und es wird noch weniger. Usw. Wenn wir schreiben wollen, dass eine Größe unendlich klein ist, schreiben wir so: (wir lesen „x tendiert gegen Null“). Es ist sehr wichtig zu verstehen dass diese Zahl nicht Null ist! Aber sehr nah dran. Das bedeutet, dass man dadurch dividieren kann.

Das Gegenteil von Infinitesimal ist unendlich groß (). Sie sind wahrscheinlich schon darauf gestoßen, als Sie an Ungleichungen gearbeitet haben: Diese Zahl ist modulo größer als jede Zahl, die Sie sich vorstellen können. Wenn Sie sich das Größte ausgedacht haben mögliche Zahlen, multiplizieren Sie es einfach mit zwei und Sie erhalten noch mehr. Und die Unendlichkeit ist noch größer als das, was passiert. Tatsächlich sind das Unendlich Große und das Unendlich Kleine das Gegenteil voneinander, also at, und umgekehrt: at.

Kommen wir nun zurück zu unserem Weg. Die ideal berechnete Steigung ist die Steigung, die für einen unendlich kleinen Abschnitt des Pfades berechnet wurde, d. h.:

Ich stelle fest, dass bei einer unendlich kleinen Verschiebung auch die Höhenänderung verschwindend gering sein wird. Aber ich möchte Sie daran erinnern, dass unendlich klein nicht gleich Null bedeutet. Wenn man infinitesimale Zahlen durcheinander dividiert, erhält man eine ganz gewöhnliche Zahl, zum Beispiel . Das heißt, ein kleiner Wert kann genau um ein Vielfaches größer sein als ein anderer.

Wozu dient das alles? Die Straße, die Steilheit ... Wir nehmen nicht an einer Autorallye teil, sondern unterrichten Mathematik. Und in der Mathematik ist alles genau gleich, nur anders genannt.

Konzept der Ableitung

Die Ableitung einer Funktion ist das Verhältnis des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments für ein infinitesimales Inkrement des Arguments.

Inkrementell in der Mathematik nennt man Veränderung. Das Ausmaß, in dem sich das Argument () ändert, während es sich entlang der Achse bewegt, wird aufgerufen Argumentinkrement und wird bezeichnet. Es wird aufgerufen, um wie viel sich die Funktion (Höhe) bei einer Vorwärtsbewegung entlang der Achse um eine Strecke verändert hat Funktionsinkrement und ist bezeichnet.

Die Ableitung einer Funktion ist also das Verhältnis zu when. Wir bezeichnen die Ableitung mit demselben Buchstaben wie die Funktion, nur mit einem Primzahl oben rechts: oder einfach. Schreiben wir also die Ableitungsformel mit diesen Notationen:

Wie in der Analogie zur Straße ist auch hier die Ableitung positiv, wenn die Funktion zunimmt, und wenn sie abnimmt, ist sie negativ.

Kann die Ableitung gleich Null sein? Sicherlich. Wenn wir beispielsweise auf einer ebenen, horizontalen Straße fahren, ist die Steilheit Null. Und es stimmt, die Höhe ändert sich überhaupt nicht. So ist es auch mit der Ableitung: Die Ableitung einer konstanten Funktion (Konstante) ist gleich Null:

da das Inkrement einer solchen Funktion für jede gleich Null ist.

Erinnern wir uns an das Beispiel auf einem Hügel. Es stellte sich heraus, dass es möglich war, die Enden des Segments auf gegenüberliegenden Seiten des Scheitelpunkts so anzuordnen, dass die Höhe an den Enden gleich ist, das heißt, das Segment ist parallel zur Achse:

Große Segmente sind jedoch ein Zeichen für eine ungenaue Messung. Wir heben unser Segment parallel zu sich selbst an, dann verringert sich seine Länge.

Wenn wir uns schließlich unendlich nahe an der Spitze befinden, wird die Länge des Segments verschwindend klein. Aber gleichzeitig blieb es parallel zur Achse, das heißt, der Höhenunterschied an seinen Enden ist gleich Null (es tendiert nicht dazu, sondern ist gleich). Also die Ableitung

Das kann man so verstehen: Wenn wir ganz oben stehen, verändert eine kleine Verschiebung nach links oder rechts unsere Körpergröße vernachlässigbar.

Es gibt auch eine rein algebraische Erklärung: Links vom Scheitelpunkt nimmt die Funktion zu, rechts ab. Wie wir zuvor herausgefunden haben, ist die Ableitung positiv, wenn eine Funktion zunimmt, und wenn sie abnimmt, ist sie negativ. Aber es ändert sich sanft und ohne Sprünge (da die Straße ihre Neigung nirgends stark ändert). Daher zwischen negativ und positive Werte Das muss es auf jeden Fall geben. Dort wird die Funktion weder zu- noch abfallen – am Scheitelpunkt.

Das Gleiche gilt für den Tiefpunkt (den Bereich, in dem die Funktion links abnimmt und rechts zunimmt):

Etwas mehr über Inkremente.

Also ändern wir das Argument in Größe. Ab welchem ​​Wert wechseln wir? Was ist daraus (das Argument) jetzt geworden? Wir können jeden Punkt wählen und jetzt werden wir von dort aus tanzen.

Betrachten Sie einen Punkt mit einer Koordinate. Der Wert der darin enthaltenen Funktion ist gleich. Dann machen wir das gleiche Inkrement: Wir erhöhen die Koordinate um. Was ist nun das Argument? Sehr leicht: . Welchen Wert hat die Funktion nun? Wo das Argument hingehört, gehört auch die Funktion dazu: . Was ist mit Funktionsinkrement? Nichts Neues: Dies ist immer noch der Betrag, um den sich die Funktion geändert hat:

Üben Sie das Finden von Inkrementen:

1. Finden Sie das Inkrement der Funktion an einem Punkt, an dem das Inkrement des Arguments gleich ist.
2. Dasselbe gilt für die Funktion an einem Punkt.

Lösungen:

IN verschiedene Punkte Bei gleichem Argumentinkrement ist das Funktionsinkrement unterschiedlich. Das bedeutet, dass die Ableitung an jedem Punkt unterschiedlich ist (wir haben das gleich zu Beginn besprochen – die Steilheit der Straße ist an verschiedenen Punkten unterschiedlich). Wenn wir eine Ableitung schreiben, müssen wir daher angeben, an welcher Stelle:

Power-Funktion.

Eine Potenzfunktion ist eine Funktion, bei der das Argument bis zu einem gewissen Grad (logisch, oder?) ist.

Darüber hinaus – in jedem Umfang: .

Der einfachste Fall ist, wenn der Exponent ist:

Finden wir seine Ableitung an einem Punkt. Erinnern wir uns an die Definition einer Ableitung:

Das Argument ändert sich also von zu. Was ist das Inkrement der Funktion?

Inkrement ist das. Aber eine Funktion ist an jedem Punkt gleich ihrem Argument. Deshalb:

Die Ableitung ist gleich:

Die Ableitung von ist gleich:

b) Überlegen Sie nun quadratische Funktion (): .

Erinnern wir uns jetzt daran. Dies bedeutet, dass der Wert des Inkrements vernachlässigt werden kann, da er unendlich klein und daher vor dem Hintergrund des anderen Termes unbedeutend ist:

Also haben wir uns eine weitere Regel ausgedacht:

c) Wir setzen die logische Reihe fort: .

Dieser Ausdruck kann auf unterschiedliche Weise vereinfacht werden: Öffnen Sie die erste Klammer mit der Formel für die abgekürzte Multiplikation der Potenz der Summe oder faktorisieren Sie den gesamten Ausdruck mit der Formel für die Differenz der Würfel. Versuchen Sie es selbst mit einer der vorgeschlagenen Methoden.

Also, ich habe folgendes bekommen:

Und erinnern wir uns noch einmal daran. Das bedeutet, dass wir alle Begriffe vernachlässigen können, die Folgendes enthalten:

Wir bekommen: .

d) Ähnliche Regeln können für große Potenzen erhalten werden:

e) Es stellt sich heraus, dass diese Regel für eine Potenzfunktion mit einem beliebigen Exponenten, nicht einmal einer ganzen Zahl, verallgemeinert werden kann:

(2)

Die Regel lässt sich mit den Worten formulieren: „Der Grad wird als Koeffizient vorgezogen und dann um reduziert.“

Wir werden diese Regel später (fast ganz am Ende) beweisen. Schauen wir uns nun einige Beispiele an. Finden Sie die Ableitung der Funktionen:

1. (auf zwei Arten: durch Formel und unter Verwendung der Definition der Ableitung – durch Berechnung des Inkrements der Funktion);

1. . Ob Sie es glauben oder nicht, dies ist eine Potenzfunktion. Wenn Sie Fragen haben wie „Wie ist das? Wo ist der Abschluss?“, denken Sie an das Thema „“!
   Ja, ja, die Wurzel ist auch ein Grad, nur ein Bruch: .
   Das bedeutet, dass unsere Quadratwurzel nur eine Potenz mit einem Exponenten ist:
   .
   Wir suchen die Ableitung mithilfe der kürzlich erlernten Formel:

   Sollte es an dieser Stelle erneut unklar werden, wiederholen Sie das Thema „“!!!“ (ungefähr ein Grad mit negativem Exponenten)

2. . Nun der Exponent:

   Und nun zur Definition (haben Sie es schon vergessen?):
   ;
   .
   Nun vernachlässigen wir wie üblich den Begriff, der Folgendes enthält:
   .

3. . Kombination früherer Fälle: .

Trigonometrische Funktionen.

Hier verwenden wir eine Tatsache aus der höheren Mathematik:

Mit Ausdruck.

Den Nachweis erlernen Sie im ersten Studienjahr (und um dorthin zu gelangen, müssen Sie das Einheitliche Staatsexamen gut bestehen). Jetzt zeige ich es einfach grafisch:

Wir sehen, dass der Punkt im Diagramm ausgeschnitten wird, wenn die Funktion nicht existiert. Aber je näher am Wert, desto näher ist die Funktion daran. Das ist es, was „strebt“.

Zusätzlich können Sie diese Regel mit einem Taschenrechner überprüfen. Ja, ja, keine Scheu, nehmen Sie einen Taschenrechner mit, wir sind noch nicht beim Einheitlichen Staatsexamen.

Lass es uns versuchen: ;

Vergessen Sie nicht, Ihren Rechner auf den Bogenmaßmodus umzustellen!

usw. Wir sehen, je kleiner, desto näher liegt der Wert des Verhältnisses.

a) Betrachten Sie die Funktion. Lassen Sie uns wie üblich das Inkrement ermitteln:

Lassen Sie uns die Sinusdifferenz in ein Produkt umwandeln. Dazu verwenden wir die Formel (denken Sie an das Thema „“): .

Nun die Ableitung:

Machen wir einen Ersatz: . Dann ist es für Infinitesimal auch Infinitesimal: . Der Ausdruck für hat die Form:

Und jetzt erinnern wir uns daran mit dem Ausdruck. Und was wäre, wenn eine unendlich kleine Größe in der Summe (also at) vernachlässigt werden könnte?

Wir erhalten also die folgende Regel: die Ableitung des Sinus ist gleich dem Kosinus:

Dabei handelt es sich um einfache („tabelläre“) Ableitungen. Hier sind sie in einer Liste:

Später werden wir noch einige hinzufügen, aber diese sind die wichtigsten, da sie am häufigsten verwendet werden.

Üben:

1. Finden Sie die Ableitung der Funktion an einem Punkt;
2. Finden Sie die Ableitung der Funktion.

Lösungen:

1. Lassen Sie uns zunächst die Ableitung in allgemeiner Form finden und dann ihren Wert ersetzen:
   ;
   .
2. Hier haben wir so etwas wie eine Potenzfunktion. Versuchen wir, sie dazu zu bringen
   normale Ansicht:
   .
   Großartig, jetzt können Sie die Formel verwenden:
   .
   .
3. . Eeeeeee….. Was ist das????

Okay, Sie haben Recht, wir wissen noch nicht, wie man solche Derivate findet. Hier haben wir eine Kombination mehrerer Arten von Funktionen. Um mit ihnen arbeiten zu können, müssen Sie noch ein paar Regeln lernen:

Exponent und natürlicher Logarithmus.

In der Mathematik gibt es eine Funktion, deren Ableitung für einen beliebigen Wert gleichzeitig gleich dem Wert der Funktion selbst ist. Sie wird „Exponent“ genannt und ist eine Exponentialfunktion

Die Basis dieser Funktion ist eine Konstante – sie ist unendlich Dezimal, also eine irrationale Zahl (z. B.). Sie wird „Euler-Zahl“ genannt, weshalb sie mit einem Buchstaben bezeichnet wird.

Also die Regel:

Sehr leicht zu merken.

Nun, lasst uns nicht zu weit gehen, schauen wir es uns gleich an Umkehrfunktion. Welche Funktion ist die Umkehrung der Exponentialfunktion? Logarithmus:

In unserem Fall ist die Basis die Zahl:

Einen solchen Logarithmus (also einen Logarithmus mit Basis) nennen wir „natürlich“, und wir verwenden dafür eine spezielle Schreibweise: Wir schreiben stattdessen.

Was ist es gleich? Natürlich, .

Auch die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist sehr einfach:

Beispiele:

1. Finden Sie die Ableitung der Funktion.
2. Was ist die Ableitung der Funktion?

Antworten: Der Exponential- und der natürliche Logarithmus sind aus abgeleiteter Sicht einzigartig einfache Funktionen. Exponentielle und logarithmische Funktionen mit jeder anderen Basis haben eine andere Ableitung, die wir später analysieren werden Gehen wir die Regeln durch Differenzierung.

Differenzierungsregeln

Regeln wofür? Wieder neuer Ausdruck, wieder?!...

Differenzierung ist der Prozess, die Ableitung zu finden.

Das ist alles. Wie kann man diesen Prozess sonst in einem Wort nennen? Keine Ableitung... Mathematiker nennen das Differential das gleiche Inkrement einer Funktion bei. Dieser Begriff kommt vom lateinischen differentia – Unterschied. Hier.

Bei der Ableitung all dieser Regeln verwenden wir beispielsweise zwei Funktionen und. Wir benötigen auch Formeln für ihre Inkremente:

Insgesamt gibt es 5 Regeln.

Die Konstante wird aus dem Ableitungszeichen entnommen.

Wenn einige konstante Zahl(konstant), dann.

Offensichtlich gilt diese Regel auch für den Unterschied: .

Lass es uns beweisen. Lass es sein, oder einfacher.

Beispiele.

Finden Sie die Ableitungen der Funktionen:

1. an einem Punkt;
2. an einem Punkt;
3. an einem Punkt;
4. am Punkt.

Lösungen:

1. (Die Ableitung ist an allen Punkten gleich, da es sich um eine lineare Funktion handelt, erinnern Sie sich?);

Derivat des Produkts

Hier ist alles ähnlich: Lassen Sie uns eine neue Funktion einführen und deren Inkrement ermitteln:

Derivat:

Beispiele:

1. Finden Sie die Ableitungen der Funktionen und;
2. Finden Sie die Ableitung der Funktion an einem Punkt.

Lösungen:

Ableitung einer Exponentialfunktion

Jetzt reichen Ihre Kenntnisse aus, um zu lernen, wie Sie die Ableitung einer beliebigen Exponentialfunktion und nicht nur von Exponenten finden (haben Sie schon vergessen, was das ist?).

Also, wo ist eine Zahl?

Wir kennen bereits die Ableitung der Funktion, also versuchen wir, unsere Funktion auf eine neue Basis zu reduzieren:

Dafür werden wir verwenden einfache Regel: . Dann:

Nun, es hat funktioniert. Versuchen Sie nun, die Ableitung zu finden, und vergessen Sie nicht, dass diese Funktion komplex ist.

Passiert?

Hier prüfen Sie selbst:

Es stellte sich heraus, dass die Formel der Ableitung eines Exponenten sehr ähnlich war: So wie sie war, blieb sie gleich, es erschien nur ein Faktor, der nur eine Zahl, aber keine Variable ist.

Beispiele:
Finden Sie die Ableitungen der Funktionen:

Antworten:

Dies ist lediglich eine Zahl, die ohne Taschenrechner nicht berechnet, also nicht mehr aufgeschrieben werden kann in einfacher Form. Deshalb belassen wir es in der Antwort in dieser Form.

Ableitung einer logarithmischen Funktion

Hier ist es ähnlich: Die Ableitung des natürlichen Logarithmus kennen Sie bereits:

Um also einen beliebigen Logarithmus mit einer anderen Basis zu finden, zum Beispiel:

Wir müssen diesen Logarithmus auf die Basis reduzieren. Wie ändert man die Basis eines Logarithmus? Ich hoffe, Sie erinnern sich an diese Formel:

Erst jetzt schreiben wir stattdessen:

Der Nenner ist einfach eine Konstante (eine konstante Zahl ohne Variable). Die Ableitung erhält man ganz einfach:

Ableitungen exponentieller und logarithmischer Funktionen werden im Einheitlichen Staatsexamen fast nie gefunden, aber es wird nicht überflüssig sein, sie zu kennen.

Ableitung einer komplexen Funktion.

Was " komplexe Funktion„? Nein, das ist kein Logarithmus und kein Arkustangens. Diese Funktionen können schwer zu verstehen sein (wenn Sie jedoch Schwierigkeiten mit dem Logarithmus haben, lesen Sie das Thema „Logarithmen“ und es wird Ihnen nichts ausmachen), aber aus mathematischer Sicht bedeutet das Wort „komplex“ nicht „schwierig“.

Stellen Sie sich ein kleines Förderband vor: Zwei Personen sitzen und führen mit einigen Gegenständen Aktionen aus. Zum Beispiel wickelt der erste einen Schokoriegel in eine Hülle und der zweite bindet ihn mit einem Band zusammen. Das Ergebnis ist ein zusammengesetztes Objekt: eine Tafel Schokolade, umwickelt und mit einem Band zusammengebunden. Um einen Schokoriegel zu essen, müssen Sie die umgekehrten Schritte in umgekehrter Reihenfolge ausführen.

Erstellen wir eine ähnliche mathematische Pipeline: Zuerst ermitteln wir den Kosinus einer Zahl und quadrieren dann die resultierende Zahl. Wir bekommen also eine Zahl (Schokolade), ich finde ihren Kosinus (Umschlag) und dann quadrieren Sie, was ich bekommen habe (binden Sie es mit einem Band zusammen). Was ist passiert? Funktion. Dies ist ein Beispiel für eine komplexe Funktion: Um ihren Wert zu ermitteln, führen wir die erste Aktion direkt mit der Variablen aus und dann eine zweite Aktion mit dem Ergebnis der ersten.

Wir können die gleichen Schritte auch in umgekehrter Reihenfolge durchführen: Zuerst quadrieren Sie es, und dann suche ich nach dem Kosinus der resultierenden Zahl: . Es ist leicht zu erraten, dass das Ergebnis fast immer anders ausfallen wird. Wichtiges Merkmal komplexe Funktionen: Wenn sich die Reihenfolge der Aktionen ändert, ändert sich die Funktion.

Mit anderen Worten, Eine komplexe Funktion ist eine Funktion, deren Argument eine andere Funktion ist: .

Für das erste Beispiel: .

Zweites Beispiel: (das Gleiche). .

Die Aktion, die wir zuletzt ausführen, wird aufgerufen „externe“ Funktion, und die zuerst ausgeführte Aktion - entsprechend „interne“ Funktion(Dies sind informelle Namen, ich verwende sie nur, um das Material in einfacher Sprache zu erklären).

Versuchen Sie selbst herauszufinden, welche Funktion extern und welche intern ist:

Antworten: Das Trennen innerer und äußerer Funktionen ist dem Ändern von Variablen sehr ähnlich: zum Beispiel in einer Funktion

1. Welche Aktion werden wir zuerst durchführen? Berechnen wir zunächst den Sinus und würfeln ihn erst dann. Dies bedeutet, dass es sich um eine interne Funktion handelt, jedoch um eine externe.
   Und die ursprüngliche Funktion ist ihre Zusammensetzung: .
2. Intern: ; extern: .
   Untersuchung: .
3. Intern: ; extern: .
   Untersuchung: .
4. Intern: ; extern: .
   Untersuchung: .
5. Intern: ; extern: .
   Untersuchung: .

Wir ändern Variablen und erhalten eine Funktion.

Nun, jetzt werden wir unsere Tafel Schokolade herausnehmen und nach dem Derivat suchen. Das Verfahren ist immer umgekehrt: Zuerst suchen wir die Ableitung der äußeren Funktion, dann multiplizieren wir das Ergebnis mit der Ableitung der inneren Funktion. Bezogen auf das Originalbeispiel sieht es so aus:

Ein anderes Beispiel:

Lassen Sie uns nun endlich die offizielle Regel formulieren:

Algorithmus zum Finden der Ableitung einer komplexen Funktion:

Es scheint einfach, oder?

Schauen wir uns das anhand von Beispielen an:

Lösungen:

1) Intern: ;

Extern: ;

2) Intern: ;

(Versuchen Sie jetzt bloß nicht, es zu schneiden! Unter dem Kosinus kommt nichts heraus, schon vergessen?)

3) Intern: ;

Extern: ;

Es ist sofort klar, dass es sich um eine komplexe Funktion mit drei Ebenen handelt: Schließlich ist dies bereits eine komplexe Funktion für sich, und wir extrahieren daraus auch die Wurzel, das heißt, wir führen die dritte Aktion aus (wir geben die Schokolade in eine mit Umschlag und Schleife in der Aktentasche). Aber es besteht kein Grund zur Angst: Wir werden diese Funktion trotzdem in der gewohnten Reihenfolge „auspacken“: vom Ende an.

Das heißt, wir differenzieren zuerst die Wurzel, dann den Kosinus und erst dann den Ausdruck in Klammern. Und dann multiplizieren wir alles.

In solchen Fällen ist es sinnvoll, die Aktionen zu nummerieren. Stellen wir uns vor, was wir wissen. In welcher Reihenfolge werden wir Aktionen ausführen, um den Wert dieses Ausdrucks zu berechnen? Schauen wir uns ein Beispiel an:

Je später die Aktion ausgeführt wird, desto „externer“ ist die entsprechende Funktion. Der Aktionsablauf ist derselbe wie zuvor:

Dabei erfolgt die Schachtelung grundsätzlich 4-stufig. Lassen Sie uns die Vorgehensweise festlegen.

1. Radikaler Ausdruck. .

2. Wurzel. .

3. Sinus. .

4. Quadrat. .

5. Alles zusammenfassen:

DERIVAT. KURZ ÜBER DAS WICHTIGSTE

Ableitung einer Funktion- das Verhältnis des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments für ein infinitesimales Inkrement des Arguments:

Grundlegende Derivate:

Differenzierungsregeln:

Die Konstante wird aus dem Ableitungszeichen entnommen:

Ableitung der Summe:

Derivat des Produkts:

Ableitung des Quotienten:

Ableitung einer komplexen Funktion:

Algorithmus zum Finden der Ableitung einer komplexen Funktion:

1. Wir definieren die „interne“ Funktion und finden ihre Ableitung.
2. Wir definieren die „externe“ Funktion und finden ihre Ableitung.
3. Wir multiplizieren die Ergebnisse des ersten und zweiten Punktes.

Ableitungsrechnung- eine der wichtigsten Operationen in Differentialrechnung. Nachfolgend finden Sie eine Tabelle zum Finden von Ableitungen einfacher Funktionen. Für komplexere Differenzierungsregeln siehe andere Lektionen:

• Tabelle der Ableitungen exponentieller und logarithmischer Funktionen

Verwenden Sie die angegebenen Formeln als Referenzwerte. Sie helfen Ihnen bei der Entscheidung Differentialgleichung und Aufgaben. Auf dem Bild befindet sich in der Tabelle der Ableitungen einfacher Funktionen ein „Spickzettel“ mit den wichtigsten Fällen, in denen eine Ableitung in einer für die Verwendung verständlichen Form gefunden wird, daneben finden sich Erläuterungen zu jedem Fall.

Ableitungen einfacher Funktionen

1. Die Ableitung einer Zahl ist Null
с´ = 0
Beispiel:
5´ = 0

Erläuterung:
Die Ableitung zeigt die Rate, mit der sich der Wert einer Funktion ändert, wenn sich ihr Argument ändert. Da sich die Zahl unter keinen Umständen ändert, ist die Änderungsrate immer Null.

2. Ableitung einer Variablen gleich eins
x´ = 1

Erläuterung:
Mit jeder Erhöhung des Arguments (x) um eins erhöht sich der Wert der Funktion (das Ergebnis der Berechnung) um den gleichen Betrag. Somit ist die Änderungsrate des Werts der Funktion y = x genau gleich der Änderungsrate des Werts des Arguments.

3. Die Ableitung einer Variablen und eines Faktors ist gleich diesem Faktor
сx´ = с
Beispiel:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Erläuterung:
In diesem Fall ändert sich jedes Mal, wenn sich das Funktionsargument ändert ( X) sein Wert (y) nimmt zu Mit einmal. Somit ist die Änderungsrate des Funktionswerts im Verhältnis zur Änderungsrate des Arguments genau gleich dem Wert Mit.

Daraus folgt das
(cx + b)“ = c
das heißt, das Differential lineare Funktion y=kx+b ist gleich Neigung Steigung der Geraden (k).

4. Modulo-Ableitung einer Variablen gleich dem Quotienten dieser Variablen zu ihrem Modul
|x|"= x / |x| vorausgesetzt, dass x ≠ 0
Erläuterung:
Da die Ableitung einer Variablen (siehe Formel 2) gleich Eins ist, unterscheidet sich die Ableitung des Moduls nur dadurch, dass sich der Wert der Änderungsrate der Funktion beim Überqueren des Ursprungspunkts ins Gegenteil ändert (versuchen Sie, einen Graphen zu zeichnen). der Funktion y = |x| und überzeugen Sie sich selbst. Das ist genau der Wert und gibt den Ausdruck x / |x| zurück. Wenn x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - eins. Das ist wenn negative Werte Variable x, mit jedem Anstieg des Arguments verringert sich der Wert der Funktion um genau den gleichen Wert, und bei positiven Werten nimmt er im Gegenteil zu, jedoch um genau den gleichen Wert.

5. Ableitung einer Variablen nach einer Potenz gleich dem Produkt einer Zahl dieser Potenz und einer Variablen zu der um eins reduzierten Potenz
(x c)"= cx c-1, vorausgesetzt, dass x c und cx c-1 definiert sind und c ≠ 0
Beispiel:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Sich an die Formel erinnern:
Verschieben Sie den Grad der Variablen als Faktor nach unten und reduzieren Sie dann den Grad selbst um eins. Zum Beispiel für x 2 - die beiden waren vor x, und dann ergab die reduzierte Potenz (2-1 = 1) einfach 2x. Das Gleiche geschah für x 3 – wir „bewegen“ das Tripel nach unten, reduzieren es um eins und statt eines Würfels haben wir ein Quadrat, also 3x 2. Etwas „unwissenschaftlich“, aber sehr leicht zu merken.

6.Ableitung eines Bruchs 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Beispiel:
Denn ein Bruch lässt sich als Potenz negativ darstellen
(1/x)" = (x -1)", dann können Sie die Formel aus Regel 5 der Ableitungstabelle anwenden
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. Ableitung eines Bruchs mit einer Variablen beliebigen Grades im Nenner
(1 / x c)" = - c / x c+1
Beispiel:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. Ableitung der Wurzel(Ableitung der Variablen unter Quadratwurzel)
(√x)“ = 1 / (2√x) oder 1/2 x -1/2
Beispiel:
(√x)" = (x 1/2)" bedeutet, dass Sie die Formel aus Regel 5 anwenden können
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

9. Ableitung einer Variablen unter der Wurzel eines beliebigen Grades
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)