Finden Sie konstante Zahlen in einem Monom der Standardform. Das Konzept eines Monoms

Monome sind eine der Hauptausdrucksarten, die im Algebrakurs der Schule studiert werden. In diesem Material erklären wir Ihnen, was diese Ausdrücke sind, definieren ihre Standardform und zeigen Beispiele und verstehen auch verwandte Konzepte, wie den Grad eines Monoms und seinen Koeffizienten.

Was ist ein Monom?

Schulbücher geben normalerweise folgende Definition dieses Konzept:

Definition 1

Monome umfassen Zahlen, Variablen sowie deren Potenzen mit natürlicher Indikator Und verschiedene Typen daraus zusammengestellte Werke.

Basierend auf dieser Definition können wir Beispiele für solche Ausdrücke geben. Somit sind alle Zahlen 2, 8, 3004, 0, - 4, - 6, 0, 78, 1 4, - 4 3 7 Monome. Alle Variablen, zum Beispiel x, a, b, p, q, t, y, z, sind per Definition ebenfalls Monome. Dazu gehören auch Potenzen von Variablen und Zahlen, zum Beispiel 6 3, (− 7, 41) 7, x 2 und bis 15, sowie Ausdrücke der Form 65 · x, 9 · (− 7) · x · y 3 · 6, x · x · y 3 · x · y 2 · z usw. Bitte beachten Sie, dass ein Monom eine oder mehrere Zahlen oder Variablen enthalten kann und diese mehrmals in einem Polynom vorkommen können.

Zu den Monomen gehören auch Zahlentypen wie ganze Zahlen, rationale Zahlen und natürliche Zahlen. Sie können auch gültige und einschließen komplexe Zahlen. Daher sind Ausdrücke der Form 2 + 3 · i · x · z 4, 2 · x, 2 · π · x 3 ebenfalls Monome.

Was ist die Standardform eines Monoms und wie konvertiert man einen Ausdruck in diese?

Zur Vereinfachung der Verwendung werden alle Monome zunächst auf eine spezielle Form namens Standard reduziert. Lassen Sie uns konkret formulieren, was das bedeutet.

Definition 2

Standardform des Monoms Sie nennen es die Form, in der es das Produkt eines numerischen Faktors und natürlicher Potenzen verschiedener Variablen ist. Der numerische Faktor, auch Koeffizient des Monoms genannt, wird normalerweise zuerst auf der linken Seite geschrieben.

Der Übersichtlichkeit halber wählen wir mehrere Monome der Standardform aus: 6 (dies ist ein Monom ohne Variablen), 4 · a, − 9 · x 2 · y 3, 2 3 5 · x 7. Dazu gehört auch der Ausdruck x y(hier ist der Koeffizient gleich 1), − x 3(hier ist der Koeffizient - 1).

Nun geben wir Beispiele für Monome, die in die Standardform gebracht werden müssen: 4 ein 2 ein 3(hier müssen Sie die gleichen Variablen kombinieren), 5 x (− 1) 3 y 2(Hier müssen Sie die numerischen Faktoren auf der linken Seite kombinieren).

Wenn ein Monom mehrere in Buchstaben geschriebene Variablen hat, werden normalerweise die Buchstabenfaktoren geschrieben alphabetischer Reihenfolge. Zum Beispiel ist es vorzuziehen, zu schreiben 6 a b 4 c z 2, Wie b 4 6 a z 2 c. Die Reihenfolge kann jedoch abweichen, wenn der Zweck der Berechnung dies erfordert.

Jedes Monom kann auf die Standardform reduziert werden. Dazu müssen Sie alle notwendigen Identitätstransformationen durchführen.

Der Begriff des Grades eines Monoms

Das begleitende Konzept des Grades eines Monoms ist sehr wichtig. Schreiben wir die Definition dieses Konzepts auf.

Definition 3

Durch die Kraft des Monoms, geschrieben in Standardform, ist die Summe der Exponenten aller Variablen, die in seiner Notation enthalten sind. Wenn es keine Variablen enthält und das Monom selbst von 0 verschieden ist, ist sein Grad Null.

Lassen Sie uns Beispiele für Potenzen eines Monoms geben.

Beispiel 1

Somit hat das Monom a den Grad 1, da a = a 1. Wenn wir ein Monom 7 haben, dann hat es den Grad Null, da es keine Variablen hat und von 0 verschieden ist. Und hier ist die Aufnahme 7 a 2 x y 3 a 2 wird ein Monom 8. Grades sein, da die Summe der Exponenten aller Grade der darin enthaltenen Variablen gleich 8 ist: 2 + 1 + 3 + 2 = 8 .

Das auf die Standardform reduzierte Monom und das ursprüngliche Polynom haben denselben Grad.

Beispiel 2

Wir zeigen Ihnen, wie Sie den Grad eines Monoms berechnen 3 x 2 Jahre 3 x (− 2) x 5 Jahre. In der Standardform kann es geschrieben werden als − 6 x 8 und 4. Wir berechnen den Grad: 8 + 4 = 12 . Das bedeutet, dass der Grad des ursprünglichen Polynoms ebenfalls gleich 12 ist.

Konzept des Monomialkoeffizienten

Wenn wir ein auf die Standardform reduziertes Monom haben, das mindestens eine Variable enthält, dann sprechen wir von einem Produkt mit einem numerischen Faktor. Dieser Faktor wird numerischer Koeffizient oder Monomkoeffizient genannt. Schreiben wir die Definition auf.

Definition 4

Der Koeffizient eines Monoms ist der numerische Faktor eines auf die Standardform reduzierten Monoms.

Nehmen wir als Beispiel die Koeffizienten verschiedener Monome.

Beispiel 3

Also, im Ausdruck 8 bis 3 der Koeffizient ist die Zahl 8 und in (− 2 , 3) ​​​​x y z Sie werden − 2 , 3 .

Besonderes Augenmerk sollte auf Koeffizienten gleich eins und minus eins gelegt werden. Auf sie wird in der Regel nicht explizit hingewiesen. Es wird angenommen, dass in einem Monom der Standardform, in dem es keinen numerischen Faktor gibt, der Koeffizient gleich 1 ist, beispielsweise in den Ausdrücken a, x · z 3, a · t · x, da sie sein können betrachtet als 1 · a, x · z 3 – Wie 1 x Z 3 usw.

Ebenso können wir bei Monomen, die keinen numerischen Faktor haben und mit einem Minuszeichen beginnen, - 1 als Koeffizient betrachten.

Beispiel 4

Beispielsweise haben die Ausdrücke − x, − x 3 · y · z 3 einen solchen Koeffizienten, da sie als − x = (− 1) · x, − x 3 · y · z 3 = (− 1) dargestellt werden können ) · x 3 y z 3 usw.

Wenn ein Monom überhaupt keinen einzelnen Buchstabenfaktor hat, dann können wir in diesem Fall von einem Koeffizienten sprechen. Die Koeffizienten solcher Monomzahlen sind diese Zahlen selbst. So ist beispielsweise der Koeffizient des Monoms 9 gleich 9.

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1. Positiver ganzzahliger Koeffizient. Lassen Sie uns ein Monom +5a haben, da dann davon ausgegangen wird, dass die positive Zahl +5 mit der arithmetischen Zahl 5 übereinstimmt

5a = a ∙ 5 = a + a + a + a + a.

Auch +7xy² = xy² ∙ 7 = xy² + xy² + xy² + xy² + xy² + xy² + xy²; +3a³ = a³ ∙ 3 = a³ + a³ + a³; +2abc = abc ∙ 2 = abc + abc und so weiter.

Anhand dieser Beispiele können wir feststellen, dass der positive ganzzahlige Koeffizient angibt, wie oft der Buchstabenfaktor (oder: das Produkt von Buchstabenfaktoren) eines Monoms vom Summanden wiederholt wird.

Daran sollte man sich soweit gewöhnen, dass man sich das zum Beispiel in einem Polynom sofort in der Fantasie vorstellt

3a + 4a² + 5a³

Die Sache läuft darauf hinaus, dass zunächst a² 3-mal als Begriff, dann a³ 4-mal als Begriff und dann a 5-mal als Begriff wiederholt wird.

Auch: 2a + 3b + c = a + a + b + b + b + c
x³ + 2xy² + 3y³ = x³ + xy² + xy² + y³ + y³ + y³ usw.

2. Positiver Bruchkoeffizient. Lassen Sie uns ein Monom +a haben. Da die positive Zahl + mit der arithmetischen Zahl übereinstimmt, gilt +a = a ∙, was bedeutet: Wir müssen drei Viertel der Zahl a nehmen, d.h.

Daher: Der gebrochene positive Koeffizient zeigt, wie oft und welcher Teil des Buchstabenfaktors des Monoms vom Summanden wiederholt wird.

Polynom sollte leicht in der Form dargestellt werden:

und dergleichen.

3. Negativer Koeffizient. Multiplikation kennen relative Zahlen, können wir leicht feststellen, dass zum Beispiel (+5) ∙ (–3) = (–5) ∙ (+3) oder (–5) ∙ (–3) = (+5) ∙ (+3) oder im Allgemeinen a ∙ (–3) = (–a) ∙ (+3); auch a ∙ (–) = (–a) ∙ (+) usw.

Wenn wir also ein Monom mit einem negativen Koeffizienten nehmen, zum Beispiel –3a, dann

–3a = a ∙ (–3) = (–a) ∙ (+3) = (–a) ∙ 3 = – a – a – a (–a wird dreimal als Term genommen).

Aus diesen Beispielen sehen wir, dass der negative Koeffizient angibt, wie oft der Buchstabenteil eines Monoms oder sein bestimmter Bruch, mit einem Minuszeichen genommen, vom Term wiederholt wird.

Potenz eines Monoms

Für ein Monom gibt es den Begriff seines Grades. Lassen Sie uns herausfinden, was es ist.

Definition.

Potenz eines Monoms Die Standardform ist die Summe der Exponenten aller in ihrem Datensatz enthaltenen Variablen. Wenn die Notation eines Monoms keine Variablen enthält und es von Null verschieden ist, wird sein Grad als gleich Null betrachtet; Die Zahl Null gilt als Monom, dessen Grad nicht definiert ist.

Durch die Bestimmung des Grades eines Monoms können Sie Beispiele nennen. Der Grad des Monoms a ist gleich eins, da a eine 1 ist. Die Potenz des Monoms 5 ist Null, da es ungleich Null ist und seine Notation keine Variablen enthält. Und das Produkt 7·a 2 ·x·y 3 ·a 2 ist ein Monom achten Grades, da die Summe der Exponenten aller Variablen a, x und y gleich 2+1+3+2=8 ist.

Übrigens ist der Grad eines nicht in Standardform geschriebenen Monoms gleich dem Grad des entsprechenden Monoms in Standardform. Um dies zu veranschaulichen, berechnen wir den Grad des Monoms 3 x 2 Jahre 3 x (−2) x 5 Jahre. Dieses Monom hat in Standardform die Form −6·x 8 ·y 4, sein Grad ist 8+4=12. Somit beträgt der Grad des ursprünglichen Monoms 12.

Monomialkoeffizient

Ein Monom in Standardform, das in seiner Notation mindestens eine Variable hat, ist ein Produkt mit einem einzigen numerischen Faktor – einem numerischen Koeffizienten. Dieser Koeffizient wird Monomkoeffizient genannt. Formulieren wir die obigen Argumente in Form einer Definition.

Definition.

Monomialkoeffizient ist der numerische Faktor eines in Standardform geschriebenen Monoms.

Jetzt können wir Beispiele für Koeffizienten verschiedener Monome geben. Die Zahl 5 ist per Definition der Koeffizient des Monoms 5·a 3, ebenso hat das Monom (−2,3)·x·y·z einen Koeffizienten von −2,3.

Besondere Aufmerksamkeit verdienen die Koeffizienten der Monome gleich 1 und −1. Der Punkt hierbei ist, dass sie in der Aufzeichnung normalerweise nicht explizit vorhanden sind. Es wird angenommen, dass der Koeffizient von Monomen in Standardform, die keinen numerischen Faktor in ihrer Notation haben, gleich eins ist. Zum Beispiel Monome a, x·z 3, a·t·x usw. haben einen Koeffizienten von 1, da a als 1·a, x·z 3 - als 1·x·z 3 usw. betrachtet werden kann.

Ebenso gilt der Koeffizient von Monomen, deren Einträge in der Standardform keinen numerischen Faktor haben und mit einem Minuszeichen beginnen, als minus eins. Zum Beispiel Monome −x, −x 3 y z 3 usw. einen Koeffizienten −1 haben, da −x=(−1) x, −x 3 y z 3 =(−1) x 3 y z 3 usw.

Übrigens wird der Begriff des Koeffizienten eines Monoms oft als Monome der Standardform bezeichnet, bei denen es sich um Zahlen ohne Buchstabenfaktoren handelt. Die Koeffizienten solcher Monome-Zahlen werden als diese Zahlen betrachtet. So wird beispielsweise der Koeffizient des Monoms 7 als gleich 7 betrachtet.

Referenzliste.

• Algebra: Lehrbuch für die 7. Klasse Allgemeinbildung Institutionen / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; bearbeitet von S. A. Telyakovsky. - 17. Aufl. - M.: Bildung, 2008. - 240 S. : krank. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Mordkovich A. G. Algebra. 7. Klasse. In 2 Stunden. Teil 1. Lehrbuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen / A. G. Mordkovich. - 17. Aufl., hinzufügen. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 S.: Abb. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Mathematik (ein Handbuch für diejenigen, die technische Schulen besuchen): Proc. Zulage.- M.; Höher Schule, 1984.-351 S., mit Abb.

Lektion zum Thema: „Standardform eines Monoms. Definition. Beispiele“

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Monom. Definition

Monome umfassen alle Zahlen, Variablen, ihre Potenzen mit einem natürlichen Exponenten:
42; 3; 0; 6 2 ; 2 3 ; b 3 ; Axt 4 ; 4x 3 ; 5a 2 ; 12xyz 3 .

Sehr oft ist es schwierig zu bestimmen, ob sich ein gegebener mathematischer Ausdruck auf ein Monom bezieht oder nicht. Zum Beispiel $\frac(4a^3)(5)$. Ist das ein Monom oder nicht? Um diese Frage zu beantworten, müssen wir den Ausdruck vereinfachen, d.h. liegt in der Form vor: $\frac(4)(5)*a^3$.
Wir können mit Sicherheit sagen, dass dieser Ausdruck ein Monom ist.

Standardform des Monoms

Das Verfahren zum Reduzieren eines Monoms auf die Standardform ist wie folgt:
1. Multiplizieren Sie die Koeffizienten des Monoms (oder numerischen Faktoren) und platzieren Sie das resultierende Ergebnis an erster Stelle.
2. Wählen Sie alle Potenzen mit der gleichen Buchstabenbasis aus und multiplizieren Sie sie.
3. Wiederholen Sie Punkt 2 für alle Variablen.

Beispiele.
I. Reduzieren Sie das gegebene Monom $3x^2zy^3*5y^2z^4$ auf die Standardform.

Lösung.
1. Multiplizieren Sie die Koeffizienten des Monoms $15x^2y^3z * y^2z^4$.
2. Jetzt präsentieren wir ähnliche Begriffe $15x^2y^5z^5$.

II. Reduzieren Sie das gegebene Monom $5a^2b^3 * \frac(2)(7)a^3b^2c$ auf die Standardform.

Lösung.
1. Multiplizieren Sie die Koeffizienten des Monoms $\frac(10)(7)a^2b^3*a^3b^2c$.
2. Jetzt präsentieren wir ähnliche Begriffe $\frac(10)(7)a^5b^5c$.