Kräfte, die senkrecht zur Achse des Balkens wirken und sich in einer durch diese Achse verlaufenden Ebene befinden, verursachen eine sogenannte Verformung Querbiegung. Ist die Wirkungsebene der genannten Kräfte – Hauptebene, dann entsteht eine gerade (flache) Querbiegung. Andernfalls wird die Biegung als schräge Querbiegung bezeichnet. Als Balken bezeichnet man einen Balken, der überwiegend einer Biegung unterliegt Strahl 1 .

Im Wesentlichen handelt es sich bei der Querbiegung um eine Kombination aus reiner Biegung und Scherung. Im Zusammenhang mit der Krümmung von Querschnitten aufgrund der ungleichmäßigen Scherverteilung über die Höhe stellt sich die Frage nach der Möglichkeit der Verwendung der Normalspannungsformel σ X, abgeleitet für reine Biegung basierend auf der Hypothese ebener Schnitte.

1 Es wird ein einfeldriger Träger genannt, der an den Enden jeweils einen zylindrischen festen Träger und einen zylindrischen, in Richtung der Trägerachse beweglichen Träger aufweist einfach. Ein Balken, dessen eines Ende festgeklemmt und dessen anderes frei ist, wird als Balken bezeichnet Konsole. Als Balken bezeichnet man einen einfachen Balken, bei dem ein oder zwei Teile über einer Stütze hängen Konsole.

Wenn die Abschnitte außerdem weit von den Stellen entfernt sind, an denen die Last aufgebracht wird (in einem Abstand von mindestens der halben Höhe des Balkenabschnitts), kann wie bei der reinen Biegung davon ausgegangen werden, dass dass die Fasern keinen Druck aufeinander ausüben. Dies bedeutet, dass jede Faser eine einachsige Spannung oder Kompression erfährt.

Unter Einwirkung einer verteilten Last unterscheiden sich die Querkräfte in zwei benachbarten Abschnitten um den Betrag qdx. Daher wird auch die Krümmung der Abschnitte leicht unterschiedlich sein. Außerdem üben die Fasern Druck aufeinander aus. Eine gründliche Untersuchung des Problems zeigt, dass die Länge des Balkens l ziemlich groß im Vergleich zu seiner Höhe H (l/ H> 5), dann haben diese Faktoren auch bei verteilter Belastung keinen wesentlichen Einfluss auf die Normalspannungen im Querschnitt und dürfen daher in praktischen Berechnungen nicht berücksichtigt werden.

ein B C

Reis. 10.5 Abb. 10.6

In Abschnitten unter Einzellast und in deren Nähe ist die Verteilung von σ X weicht vom linearen Gesetz ab. Diese Abweichung ist lokaler Natur und geht nicht mit einem Anstieg einher höchste Belastung(in den extremen Fasern) werden sie in der Praxis meist nicht berücksichtigt.

Also wann Querbiegung(im Flugzeug xy) Normalspannungen werden nach der Formel berechnet

σ X= – [M z(X)/Iz]j.

Wenn wir zwei benachbarte Abschnitte auf einem lastfreien Abschnitt des Balkens zeichnen, ist die Querkraft in beiden Abschnitten gleich und daher ist die Krümmung der Abschnitte gleich. In diesem Fall jedes Stück Faser ab(Abb. 10.5) wird in eine neue Position verschoben a"b", ohne eine zusätzliche Dehnung zu erfahren und daher den Wert der Normalspannung zu ändern.

Bestimmen wir die Tangentialspannungen im Querschnitt durch ihre paarigen Spannungen, die im Längsschnitt des Balkens wirken.

Wählen Sie ein Längenelement aus dem Holz aus dx(Abb. 10.7 a). Zeichnen wir einen horizontalen Abschnitt in einiger Entfernung bei von der neutralen Achse z, Teilen Sie das Element in zwei Teile (Abb. 10.7) und betrachten Sie das Gleichgewicht des oberen Teils, der eine Basis hat

Breite B. Nach dem Gesetz der Tangentialspannungspaarung sind die im Längsschnitt wirkenden Spannungen gleich den im Querschnitt wirkenden Spannungen. Berücksichtigt man dies, so wird davon ausgegangen, dass die Schubspannungen im Standort vorhanden sind B gleichmäßig verteilt, unter Verwendung der Bedingung ΣХ = 0, erhalten wir:

N * - (N * +dN *)+

wobei: N * die Resultierende der Normalkräfte σ im linken Querschnitt des Elements dx innerhalb der „abgeschnittenen“ Fläche A * ist (Abb. 10.7 d):

wobei: S = - statisches Moment des „abgeschnittenen“ Teils des Querschnitts (schattierter Bereich in Abb. 10.7 c). Deshalb können wir schreiben:

Dann können wir schreiben:

Diese Formel wurde im 19. Jahrhundert vom russischen Wissenschaftler und Ingenieur D.I. Zhuravsky und trägt seinen Namen. Und obwohl es sich bei dieser Formel um eine Näherungsformel handelt, da sie die Spannung über die Breite des Abschnitts mittelt, stimmen die daraus erhaltenen Berechnungsergebnisse gut mit den experimentellen Daten überein.

Um die Schubspannungen an einem beliebigen Querschnittspunkt im Abstand y von der z-Achse zu bestimmen, sollten Sie:

Bestimmen Sie aus dem Diagramm die Größe der im Abschnitt wirkenden Querkraft Q;

Berechnen Sie das Trägheitsmoment I z des gesamten Abschnitts;

Zeichnen Sie durch diesen Punkt eine Ebene parallel zur Ebene xz und bestimmen Sie die Abschnittsbreite B;

Berechnen Sie das statische Moment der abgeschnittenen Fläche S relativ zur Hauptmittelachse z und setzen Sie die gefundenen Werte in die Zhuravsky-Formel ein.

Bestimmen wir als Beispiel Tangentialspannungen in einem rechteckigen Querschnitt (Abb. 10.6, c). Statisches Moment um die Achse z Teile des Abschnitts über Zeile 1-1, in denen die Spannung bestimmt wird, werden in der Form geschrieben:

Sie ändert sich nach dem Gesetz einer quadratischen Parabel. Abschnittsbreite V für einen rechteckigen Balken ist konstant, dann ist das Gesetz der Änderung der Tangentialspannungen im Abschnitt auch parabolisch (Abb. 10.6, c). Bei y = und y = − sind die Tangentialspannungen Null und liegen auf der neutralen Achse z sie erreichen ihren größten Wert.

Für einen runden Balken Querschnitt auf der neutralen Achse haben wir.

Aufgabe. Konstruieren Sie die Diagramme Q und M für einen statisch unbestimmten Balken. Berechnen wir die Balken mit der Formel:

N= Σ R- Sch— 3 = 4 — 0 — 3 = 1

Strahl einmal ist statisch unbestimmt, das heißt eins der Reaktionen ist „extra“ unbekannt. Nehmen wir die Unterstützungsreaktion als das „zusätzliche“ Unbekannte IN — R B.

Ein statisch bestimmter Träger, der aus einem gegebenen Träger durch Entfernen der „zusätzlichen“ Verbindung entsteht, wird als Hauptsystem bezeichnet (B).

Nun soll dieses System vorgestellt werden Äquivalent gegeben. Laden Sie dazu das Hauptsystem gegeben laden, und zwar auf den Punkt IN Bewerben wir uns „zusätzliche“ Reaktion R B(Reis. V).

Allerdings für Gleichwertigkeit Das nicht genug, da in einem solchen Strahl der Punkt IN Vielleicht vertikal bewegen, und in einem gegebenen Strahl (Abb. A ) Das kann nicht passieren. Deshalb fügen wir hinzu Zustand, Was Durchbiegung t. IN im Hauptsystem sollte gleich 0 sein. Durchbiegung t. IN besteht aus Durchbiegung von der aktiven Last Δ F und von Ablenkung von der „zusätzlichen“ Reaktion Δ R.

Dann versöhnen wir uns Voraussetzung für Bewegungskompatibilität:

Δ F + Δ R=0 (1)

Jetzt müssen diese noch berechnet werden Bewegungen (Ablenkungen).).

Wird geladen hauptsächlich System gegebene Belastung(Reis .G) und wir werden bauen BelastungsdiagrammM F (Reis. D ).

IN T. IN Bewerben wir uns und erstellen wir eine Folge. (Reis. Igel ).

Mit der Simpson-Formel bestimmen wir Durchbiegung aufgrund aktiver Belastung.

Lassen Sie uns nun definieren Ablenkung von der Aktion der „zusätzlichen“ Reaktion R B , dazu laden wir das Hauptsystem R B (Reis. H ) und erstellen Sie ein Diagramm der Momente seiner Aktion HERR (Reis. Und ).

Wir komponieren und lösen Gleichung (1):

Lass uns bauen Folge Q Und M (Reis. k, l ).

Erstellen eines Diagramms Q.

Lassen Sie uns ein Diagramm erstellen M Methode charakteristische Punkte. Wir platzieren Punkte auf dem Balken – das sind die Punkte am Anfang und Ende des Balkens ( D,A ), konzentrierter Moment ( B ), und markieren Sie außerdem die Mitte einer gleichmäßig verteilten Last als charakteristischen Punkt ( K ) ist ein zusätzlicher Punkt zur Konstruktion einer Parabelkurve.

Wir bestimmen Biegemomente an Punkten. Regel der Zeichen cm. - .

Der Moment in IN wir werden es bestimmen auf die folgende Weise. Definieren wir zunächst:

Punkt ZU lasst uns aufnehmen Mitte Fläche mit gleichmäßig verteilter Belastung.

Erstellen eines Diagramms M . Handlung AB – parabolische Kurve(Regenschirmregel), Fläche ВD – gerade schräge Linie.

Bestimmen Sie für einen Balken Unterstützungsreaktionen und erstellen Sie Diagramme von Biegemomenten ( M) Und Scherkräfte (Q).

1. Wir benennen unterstützt Briefe A Und IN und direkte Unterstützungsreaktionen R A Und R B .

Kompilieren Gleichgewichtsgleichungen.

Untersuchung

Notieren Sie die Werte R A Und R B An Entwurfsschema.

2. Erstellen eines Diagramms Scherkräfte Methode Abschnitte. Wir ordnen die Abschnitte weiter charakteristische Bereiche(zwischen Änderungen). Laut Dimensionsfaden - 4 Abschnitte, 4 Abschnitte.

Sek. 1-1 bewegen links.

Der Abschnitt verläuft durch das Gebiet mit gleichmäßig verteilte Last, markieren Sie die Größe z 1 links vom Abschnitt vor Beginn des Abschnitts. Die Länge des Abschnitts beträgt 2 m. Regel der Zeichen Für Q - cm.

Wir bauen nach dem gefundenen Wert DiagrammQ.

Sek. 2:2-Zug nach rechts.

Der Abschnitt durchläuft erneut den Bereich mit gleichmäßig verteilter Last, markieren Sie die Größe z 2 nach rechts vom Abschnitt zum Anfang des Abschnitts. Die Länge des Abschnitts beträgt 6 m.

Erstellen eines Diagramms Q.

Sek. 3-3 Spielzug nach rechts.

Sek. 4-4 nach rechts ziehen.

Wir bauen DiagrammQ.

3. Bau Diagramme M Methode charakteristische Punkte.

Feature-Punkt- ein Punkt, der auf dem Balken etwas sichtbar ist. Das sind die Punkte A, IN, MIT, D , und auch ein Punkt ZU , wobei Q=0 Und Das Biegemoment hat ein Extremum. auch in Mitte Konsole werden wir einen zusätzlichen Punkt setzen E, da in diesem Bereich unter einer gleichmäßig verteilten Belastung das Diagramm M beschrieben krumm Linie, und es ist zumindest entsprechend gebaut 3 Punkte.

Also, die Punkte sind platziert, beginnen wir mit der Bestimmung der darin enthaltenen Werte Biegemomente. Zeichenregel - siehe.

Websites NA, AD – parabolische Kurve(die „Umbrella“-Regel für mechanische Fachgebiete oder die „Segelregel“ für Baufachgebiete), Abschnitte DC, SV – gerade schräge Linien.

Moment an einem Punkt D sollte bestimmt werden sowohl links als auch rechts vom Punkt D . Der Moment in diesen Ausdrücken Ausgeschlossen. Am Punkt D wir bekommen zwei Werte mit Unterschied um den Betrag M – Sprung durch seine Größe.

Jetzt müssen wir den Moment vor Ort bestimmen ZU (Q=0). Zunächst definieren wir jedoch Punktposition ZU , wobei der Abstand von ihm zum Anfang des Abschnitts als unbekannt bezeichnet wird X .

T. ZU gehört zweite charakteristisches Gebiet, es Gleichung für Scherkraft(siehe oben)

Aber die Scherkraft inkl. ZU gleich 0 , A z 2 gleich unbekannt X .

Wir erhalten die Gleichung:

Jetzt wissen X, Bestimmen wir den Moment an der Stelle ZU auf der rechten Seite.

Erstellen eines Diagramms M . Der Bau kann z.B. durchgeführt werden mechanisch Spezialitäten, verschieben positive Werte hoch von der Nulllinie und unter Verwendung der „Umbrella“-Regel.

Für eine gegebene Konstruktion eines Kragarms ist es notwendig, Diagramme der Querkraft Q und des Biegemoments M zu erstellen und eine Konstruktionsberechnung durch Auswahl eines kreisförmigen Querschnitts durchzuführen.

Material - Holz, Bemessungswiderstand des Materials R=10MPa, M=14kN·m, q=8kN/m

Es gibt zwei Möglichkeiten, Diagramme in einem Auslegerträger mit starrer Einbettung zu erstellen – auf die übliche Weise, nachdem zuvor die Auflagerreaktionen bestimmt wurden, und ohne Bestimmung der Auflagerreaktionen, wenn man die Abschnitte betrachtet, ausgehend vom freien Ende des Trägers und verwerfend der linke Teil mit der Einbettung. Lassen Sie uns Diagramme erstellen normal Weg.

1. Definieren wir Unterstützungsreaktionen.

Gleichmäßig verteilte Last Q durch bedingte Gewalt ersetzen Q= q·0,84=6,72 kN

In einer starren Einbettung gibt es drei Auflagerreaktionen – vertikal, horizontal und Moment; in unserem Fall ist die horizontale Reaktion 0.

Wir werden finden Vertikale Bodenreaktion R A Und unterstützender Moment M A aus Gleichgewichtsgleichungen.

In den ersten beiden Abschnitten rechts gibt es keine Scherkraft. Am Anfang eines Abschnitts mit gleichmäßiger Lastverteilung (rechts) Q=0, im Hintergrund - das Ausmaß der Reaktion R A.
3. Zur Konstruktion verfassen wir Ausdrücke für deren Bestimmung in Abschnitten. Lassen Sie uns ein Diagramm der Momente auf Fasern erstellen, d.h. runter.

(Das Diagramm der einzelnen Momente wurde bereits früher erstellt)

Wir lösen Gleichung (1) und reduzieren um EI

Statische Unbestimmtheit offenbart, der Wert der „zusätzlichen“ Reaktion wurde gefunden. Sie können mit der Konstruktion von Diagrammen von Q und M für einen statisch unbestimmten Strahl beginnen... Wir skizzieren das gegebene Diagramm des Strahls und geben die Größe der Reaktion an Rb. Bei diesem Strahl sind Reaktionen in der Einbettung nicht erkennbar, wenn man von rechts ausgeht.

Konstruktion Q-Plots für einen statisch unbestimmten Balken

Lassen Sie uns Q plotten.

Konstruktion von Diagramm M

Definieren wir M am Extrempunkt – am Punkt ZU. Bestimmen wir zunächst seine Position. Bezeichnen wir die Entfernung dazu als unbekannt“ X" Dann

Wir erstellen ein Diagramm von M.

Bestimmung der Schubspannungen in einem I-Profil. Betrachten wir den Abschnitt Ich glänze S x =96,9 cm 3 ; Yх=2030 cm 4 ; Q=200 kN

Zur Bestimmung der Schubspannung wird diese verwendet Formel,wobei Q die Scherkraft im Abschnitt ist, S x 0 das statische Moment des Teils des Querschnitts ist, der sich auf einer Seite der Schicht befindet, in der die Tangentialspannungen bestimmt werden, I x das Trägheitsmoment des Ganzen Querschnitt, b ist die Breite des Abschnitts an der Stelle, an der die Scherspannung bestimmt wird

Rechnen wir maximal Schubspannung:

Berechnen wir das statische Moment für obersten Regal:

Nun lasst uns rechnen Schubspannung:

Wir bauen Schubspannungsdiagramm:

Entwurfs- und Verifizierungsberechnungen. Wählen Sie für einen Balken mit konstruierten Schnittgrößendiagrammen einen Abschnitt in Form von zwei Kanälen aus der Festigkeitsbedingung gemäß aus normale Spannungen. Überprüfen Sie die Festigkeit des Balkens anhand der Scund des Energiefestigkeitskriteriums. Gegeben:

Lassen Sie uns einen Balken mit konstruiertem zeigen Diagramme Q und M

Laut Biegemomentdiagramm ist es gefährlich Abschnitt C, indem M C = M max = 48,3 kNm.

Normaler Spannungsfestigkeitszustand denn dieser Balken hat die Form σ max =M C /W X ≤σ adm . Es ist notwendig, einen Abschnitt auszuwählen aus zwei Kanälen.

Lassen Sie uns den erforderlichen berechneten Wert ermitteln axiales Widerstandsmoment des Abschnitts:

Für einen Abschnitt in Form von zwei Kanälen akzeptieren wir entsprechend zwei Kanäle Nr. 20a, Trägheitsmoment jedes Kanals I x =1670cm 4, Dann axiales Widerstandsmoment des gesamten Abschnitts:

Überspannung (Unterspannung) an gefährlichen Stellen rechnen wir nach der Formel: Dann bekommen wir Unterspannung:

Lassen Sie uns nun die Stärke des Balkens anhand überprüfen Festigkeitsbedingungen für Tangentialspannungen. Entsprechend Scherkraftdiagramm gefährlich sind Abschnitte auf Abschnitt BC und Abschnitt D. Wie aus dem Diagramm ersichtlich ist, Q max =48,9 kN.

Festigkeitsbedingung für Tangentialspannungen hat die Form:

Für Kanal Nr. 20 a: statisches Flächenmoment S x 1 = 95,9 cm 3, Trägheitsmoment des Abschnitts I x 1 = 1670 cm 4, Wandstärke d 1 = 5,2 mm, mittlere Flanschdicke t 1 = 9,7 mm, Rinnenhöhe h 1 =20 cm, Regalbreite b 1 =8 cm.

Für Quer Abschnitte von zwei Kanälen:

S x = 2S x 1 =2 95,9 = 191,8 cm 3,

I x =2I x 1 =2·1670=3340 cm 4,

b=2d 1 =2·0,52=1,04 cm.

Den Wert ermitteln maximale Schubspannung:

τ max =48,9 10 3 191,8 10 −6 /3340 10 −8 1,04 10 −2 =27 MPa.

Wie gesehen, τ max<τ adm (27 MPa<75МПа).

Somit, die Festigkeitsbedingung ist erfüllt.

Wir prüfen die Stärke des Strahls anhand des Energiekriteriums.

Aus Rücksichtnahme Diagramme Q und M folgt dem Abschnitt C ist gefährlich, in dem sie tätig sind M C =M max =48,3 kNm und Q C =Q max =48,9 kN.

Lasst uns ausführen Analyse des Spannungszustandes an den Punkten des Abschnitts C

Definieren wir Normal- und Schubspannungen auf mehreren Ebenen (im Schnittdiagramm markiert)

Stufe 1-1: Y 1-1 = H 1 /2 = 20/2 = 10 cm.

Normal und Tangente Stromspannung:

Hauptsächlich Stromspannung:

Ebene 2−2: y 2-2 =h 1 /2−t 1 =20/2−0,97=9,03 cm.

Hauptbetonungen:

Ebene 3−3: y 3-3 =h 1 /2−t 1 =20/2−0,97=9,03 cm.

Normal- und Schubspannungen:

Hauptbetonungen:

Extreme Scherbeanspruchung:

Ebene 4−4: y 4-4 =0.

(in der Mitte sind die Normalspannungen Null, die Tangentialspannungen sind maximal, sie wurden im Festigkeitsversuch mit Tangentialspannungen ermittelt)

Hauptbetonungen:

Extreme Scherbeanspruchung:

Stufe 5–5:

Normal- und Schubspannungen:

Hauptbetonungen:

Extreme Scherbeanspruchung:

Stufe 6–6:

Normal- und Schubspannungen:

Hauptbetonungen:

Extreme Scherbeanspruchung:

Stufe 7–7:

Normal- und Schubspannungen:

Hauptbetonungen:

Extreme Scherbeanspruchung:

Gemäß den durchgeführten Berechnungen Spannungsdiagramme σ, τ, σ 1, σ 3, τ max und τ min sind in Abb. dargestellt.

Analyse diese Diagramm zeigt, das im Abschnitt des Balkens liegt Gefährliche Punkte liegen auf Level 3-3 (oder 5-5).), in welchem:

Benutzen Energiekriterium der Festigkeit, wir bekommen

Aus einem Vergleich von äquivalenten und zulässigen Spannungen ergibt sich, dass auch die Festigkeitsbedingung erfüllt ist

(135,3 MPa<150 МПа).

Der Durchlaufträger wird in allen Feldern belastet. Konstruieren Sie die Diagramme Q und M für einen durchgehenden Träger.

1. Definieren Grad der statischen Unbestimmtheit Balken nach der Formel:

n= Sop -3= 5-3 =2, Wo Sop – Anzahl unbekannter Reaktionen, 3 – Anzahl statischer Gleichungen. Um diesen Strahl zu lösen, ist es erforderlich zwei zusätzliche Gleichungen.

2. Bezeichnen wir Zahlen unterstützt von Null an in Ordnung ( 0,1,2,3 )

3. Bezeichnen wir Span-Zahlen vom ersten in Ordnung ( ι 1, ι 2, ι 3)

4. Wir betrachten jede Spanne als einfacher Balken und erstellen Sie Diagramme für jeden einfachen Balken Q und M. Was betrifft einfacher Balken, werden wir bezeichnen mit Index „0", das, worauf es sich bezieht kontinuierlich Strahl, wir werden bezeichnen ohne diesen Index. Somit ergibt sich die Scherkraft und das Biegemoment für einen einfachen Balken.

10.1. Allgemeine Konzepte und Definitionen

Biegen- Hierbei handelt es sich um eine Belastungsart, bei der der Stab mit Momenten in Ebenen belastet wird, die durch die Längsachse des Stabes verlaufen.

Ein Stab, der sich biegt, wird Balken (oder Holz) genannt. Zukünftig werden wir geradlinige Balken betrachten, deren Querschnitt mindestens eine Symmetrieachse aufweist.

Der Widerstand von Materialien wird in flache, schräge und komplexe Biegung unterteilt.

Flache Biegung– Biegung, bei der alle den Balken biegenden Kräfte in einer der Symmetrieebenen des Balkens (in einer der Hauptebenen) liegen.

Die Hauptträgheitsebenen eines Balkens sind die Ebenen, die durch die Hauptachsen der Querschnitte und die geometrische Achse des Balkens (x-Achse) verlaufen.

Schräge Biegung– Biegung, bei der die Lasten in einer Ebene wirken, die nicht mit den Hauptträgheitsebenen zusammenfällt.

Komplexe Biegung– Biegung, bei der Lasten in verschiedenen (beliebigen) Ebenen wirken.

10.2. Bestimmung der inneren Biegekräfte

Betrachten wir zwei typische Biegefälle: Im ersten Fall wird der Kragarm durch ein konzentriertes Moment Mo gebogen; im zweiten - konzentrierte Kraft F.

Mit der Methode der mentalen Schnitte und der Aufstellung von Gleichgewichtsgleichungen für die abgeschnittenen Teile des Balkens ermitteln wir in beiden Fällen die Schnittgrößen:

Die übrigen Gleichgewichtsgleichungen sind offensichtlich identisch gleich Null.

Im allgemeinen Fall einer ebenen Biegung im Querschnitt eines Balkens entstehen also von sechs Schnittgrößen zwei – Biegemoment Mz und Scherkraft Qy (oder bei Biegung relativ zu einer anderen Hauptachse - Biegemoment My und Querkraft Qz).

Darüber hinaus kann die ebene Biegung entsprechend den beiden betrachteten Belastungsfällen in reine und transversale Biegung unterteilt werden.

Saubere Biegung– flache Biegung, bei der in den Stababschnitten von sechs Schnittgrößen nur eine entsteht – ein Biegemoment (siehe erster Fall).

Querbiegung– Biegung, bei der in den Stababschnitten zusätzlich zum inneren Biegemoment auch eine Querkraft entsteht (siehe zweiter Fall).

Zu den einfachen Widerstandsarten zählt genau genommen nur das reine Biegen; Querbiegung wird üblicherweise als einfache Widerstandsart eingestuft, da in den meisten Fällen (bei ausreichend langen Trägern) die Wirkung der Querkraft bei der Festigkeitsberechnung vernachlässigt werden kann.

Bei der Ermittlung des Eigenaufwandes orientieren wir uns an folgender Zeichenregel:

1) Die Querkraft Qy gilt als positiv, wenn sie dazu neigt, das betreffende Balkenelement im Uhrzeigersinn zu drehen;

2) Das Biegemoment Mz gilt als positiv, wenn beim Biegen eines Balkenelements die oberen Fasern des Elements gestaucht und die unteren Fasern gedehnt werden (Umbrella-Regel).

Somit wird die Lösung des Problems der Bestimmung der Schnittgrößen beim Biegen nach folgendem Plan aufgebaut: 1) Im ersten Schritt ermitteln wir unter Berücksichtigung der Gleichgewichtsbedingungen der gesamten Struktur ggf. die unbekannten Reaktionen der Stützen (beachten Sie, dass bei einem freitragenden Balken die Reaktionen in der Einbettung nicht gefunden werden können, wenn wir den Balken vom freien Ende aus betrachten); 2) Im zweiten Schritt wählen wir charakteristische Abschnitte des Balkens aus, wobei wir als Grenzen der Abschnitte die Angriffspunkte der Kräfte, die Änderungspunkte der Form oder Größe des Balkens und die Befestigungspunkte des Balkens nehmen. 3) Im dritten Schritt bestimmen wir die Schnittgrößen in den Balkenabschnitten unter Berücksichtigung der Gleichgewichtsbedingungen der Balkenelemente in jedem Abschnitt.

10.3. Differenzielle Abhängigkeiten beim Biegen

Lassen Sie uns einige Beziehungen zwischen inneren Kräften und äußeren Lasten beim Biegen sowie die charakteristischen Merkmale der Q- und M-Diagramme herstellen, deren Kenntnis die Erstellung von Diagrammen erleichtert und es uns ermöglicht, ihre Richtigkeit zu kontrollieren. Zur Vereinfachung der Notation bezeichnen wir: M≡Mz, Q≡Qy.

Wählen wir ein kleines Element dx in einem Balkenabschnitt mit einer beliebigen Last an einer Stelle aus, an der keine konzentrierten Kräfte und Momente auftreten. Da sich der gesamte Träger im Gleichgewicht befindet, befindet sich auch das Element dx unter der Einwirkung von Scherkräften, Biegemomenten und äußerer Belastung im Gleichgewicht. Da Q und M im Allgemeinen variieren

Achse des Balkens, dann entstehen in den Abschnitten des Elements dx Querkräfte Q und Q+dQ sowie Biegemomente M und M+dM. Aus der Gleichgewichtsbedingung des ausgewählten Elements erhalten wir

Die erste der beiden geschriebenen Gleichungen gibt die Bedingung an

Aus der zweiten Gleichung ergibt sich unter Vernachlässigung des Termes q dx (dx/2) als infinitesimale Größe zweiter Ordnung

Wenn wir die Ausdrücke (10.1) und (10.2) zusammen betrachten, können wir erhalten

Die Beziehungen (10.1), (10.2) und (10.3) werden Differential genannt Abhängigkeiten von D. I. Zhuravsky beim Biegen.

Die Analyse der oben genannten unterschiedlichen Abhängigkeiten beim Biegen ermöglicht es uns, einige Merkmale (Regeln) für die Erstellung von Diagrammen von Biegemomenten und Querkräften festzulegen: a - In Bereichen, in denen keine verteilte Last q vorhanden ist, sind die Diagramme Q auf gerade Linien parallel zur Basis beschränkt , und Diagramme M sind auf geneigte Geraden beschränkt; b – In Bereichen, in denen eine verteilte Last q auf den Balken wirkt, werden die Q-Diagramme durch geneigte Geraden und die M-Diagramme durch quadratische Parabeln begrenzt.

Wenn wir außerdem das Diagramm M „auf einer gestreckten Faser“ konstruieren, ist die Konvexität der Parabel in die Wirkungsrichtung q gerichtet, und das Extremum befindet sich in dem Abschnitt, in dem das Diagramm Q die Grundlinie schneidet. c – in Abschnitten, in denen eine konzentrierte Kraft auf den Balken ausgeübt wird, gibt es im Diagramm Q Sprünge um die Größe und in die Richtung dieser Kraft, und im Diagramm M gibt es Knicke, deren Spitze in die Richtung gerichtet ist Wirkung dieser Kraft; d – in Abschnitten, in denen ein konzentriertes Moment auf den Balken ausgeübt wird, gibt es keine Änderungen im Diagramm Q und im Diagramm M werden Sprünge in der Größe dieses Moments auftreten; d – in Bereichen, in denen Q>0 ist, nimmt das Moment M zu, und in Bereichen, in denen Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. Normalspannungen beim reinen Biegen eines geraden Trägers

Betrachten wir den Fall einer reinen ebenen Biegung eines Balkens und leiten wir eine Formel zur Bestimmung der Normalspannungen für diesen Fall ab.

Beachten Sie, dass es in der Elastizitätstheorie möglich ist, eine genaue Abhängigkeit der Normalspannungen bei reiner Biegung zu erhalten. Wenn dieses Problem jedoch mithilfe von Materialfestigkeitsmethoden gelöst werden soll, müssen einige Annahmen eingeführt werden.

Für das Biegen gibt es drei solcher Hypothesen:

a – Hypothese flacher Abschnitte (Bernoulli-Hypothese) – flache Abschnitte vor der Verformung bleiben nach der Verformung flach, drehen sich jedoch nur relativ zu einer bestimmten Linie, die als neutrale Achse des Balkenabschnitts bezeichnet wird. In diesem Fall werden die Fasern des Balkens, die auf einer Seite der neutralen Achse liegen, gedehnt und auf der anderen Seite gestaucht; Fasern, die auf der neutralen Achse liegen, ändern ihre Länge nicht;

b – Hypothese über die Konstanz der Normalspannungen – Spannungen, die im gleichen Abstand y von der neutralen Achse wirken, sind über die Breite des Balkens konstant;

c – Hypothese über das Fehlen seitlicher Drücke – benachbarte Längsfasern drücken nicht aufeinander.

Statische Seite des Problems

Um die Spannungen in den Balkenquerschnitten zu ermitteln, betrachten wir zunächst die statischen Seiten des Problems. Mithilfe der Methode der mentalen Schnitte und der Aufstellung von Gleichgewichtsgleichungen für den abgeschnittenen Teil des Balkens ermitteln wir die Schnittgrößen beim Biegen. Wie bereits gezeigt wurde, ist die einzige innere Kraft, die bei reiner Biegung im Balkenabschnitt wirkt, das innere Biegemoment, sodass hier die damit verbundenen Normalspannungen auftreten.

Wir werden die Beziehung zwischen inneren Kräften und Normalspannungen im Balkenquerschnitt ermitteln, indem wir die Spannungen auf der Elementarfläche dA berücksichtigen, die im Querschnitt A des Balkens an dem Punkt mit den Koordinaten y und z ausgewählt wird (die y-Achse ist nach unten gerichtet). Bequemlichkeit der Analyse):

Wie wir sehen, ist das Problem intern statisch unbestimmt, da die Art der Verteilung der Normalspannungen über den Abschnitt unbekannt ist. Betrachten Sie zur Lösung des Problems das geometrische Bild der Verformungen.

Geometrische Seite des Problems

Betrachten wir die Verformung eines Balkenelements der Länge dx, das an einem beliebigen Punkt mit der Koordinate x von einem Biegestab getrennt ist. Unter Berücksichtigung der zuvor akzeptierten Hypothese flacher Abschnitte dreht sich der Balkenabschnitt nach dem Biegen relativ zur neutralen Achse (n.o.) um einen Winkel dϕ, während sich die Faser ab, die im Abstand y von der neutralen Achse entfernt ist, in eine verwandelt Kreisbogen a1b1, und seine Länge ändert sich um eine gewisse Größe. Erinnern wir uns hier daran, dass sich die Länge der Fasern, die auf der neutralen Achse liegen, nicht ändert und daher der Bogen a0b0 (dessen Krümmungsradius mit ρ bezeichnet wird) die gleiche Länge hat wie das Segment a0b0 vor der Verformung a0b0=dx .

Ermitteln wir die relative lineare Verformung εx der Faser ab des gekrümmten Balkens:

Gerade Kurve. Ebene Querbiegung Erstellen von Diagrammen der Schnittgrößenfaktoren für Balken Erstellen von Diagrammen von Q und M unter Verwendung von Gleichungen Erstellen von Diagrammen von Q und M unter Verwendung charakteristischer Abschnitte (Punkte) Festigkeitsberechnungen für die direkte Biegung von Balken Hauptspannungen beim Biegen. Eine vollständige Überprüfung der Festigkeit von Balken. Das Konzept des Biegezentrums. Bestimmung von Verschiebungen in Balken während der Biegung. Konzepte der Verformung von Balken und Bedingungen für ihre Steifigkeit Differentialgleichung der gekrümmten Achse eines Balkens Methode der direkten Integration Beispiele für die Bestimmung von Verschiebungen in Balken durch die Methode der direkten Integration Physikalische Bedeutung der Integrationskonstanten Methode der Anfangsparameter (universelle Gleichung der gekrümmten Achse). Achse eines Balkens). Beispiele für die Bestimmung von Verschiebungen in einem Balken mit der Anfangsparametermethode. Bestimmung von Verschiebungen mit der Mohr-Methode. Regel A.K. Wereschtschagin. Berechnung des Mohr-Integrals nach der Regel von A.K. Vereshchagina Beispiele zur Bestimmung von Verschiebungen mithilfe des Mohr-Integrals Bibliographie Direkte Biegung. Flache Querbiegung. 1.1. Erstellen von Diagrammen der Schnittgrößenfaktoren für Balken Direkte Biegung ist eine Verformungsart, bei der in den Stabquerschnitten zwei Schnittgrößenfaktoren entstehen: ein Biegemoment und eine Querkraft. Im Einzelfall kann die Scherkraft Null sein, dann spricht man von reiner Biegung. Bei der flachen Querbiegung liegen alle Kräfte in einer der Hauptträgheitsebenen des Stabes und senkrecht zu seiner Längsachse, und die Momente liegen in derselben Ebene (Abb. 1.1, a, b). Reis. 1.1 Die Querkraft in einem beliebigen Querschnitt eines Balkens ist numerisch gleich der algebraischen Summe der Projektionen auf die Normale zur Balkenachse aller äußeren Kräfte, die auf einer Seite des betrachteten Abschnitts wirken. Die Querkraft im m-n-Abschnitt des Balkens (Abb. 1.2, a) gilt als positiv, wenn die Resultierende der äußeren Kräfte links vom Abschnitt nach oben und rechts nach unten gerichtet ist und im umgekehrten Fall negativ ist (Abb. 1.2, b). Reis. 1.2 Bei der Berechnung der Querkraft in einem bestimmten Abschnitt werden links vom Abschnitt liegende äußere Kräfte mit einem Pluszeichen berücksichtigt, wenn sie nach oben gerichtet sind, und mit einem Minuszeichen, wenn sie nach unten gerichtet sind. Für die rechte Seite des Balkens – umgekehrt. 5 Das Biegemoment in einem beliebigen Querschnitt eines Balkens ist numerisch gleich der algebraischen Summe der Momente um die Mittelachse z des Abschnitts aller äußeren Kräfte, die auf einer Seite des betrachteten Abschnitts wirken. Das Biegemoment im Abschnitt m-n des Balkens (Abb. 1.3, a) gilt als positiv, wenn das resultierende Moment der äußeren Kräfte links vom Abschnitt im Uhrzeigersinn und rechts - gegen den Uhrzeigersinn und negativ - im Gegenteil gerichtet ist Fall (Abb. 1.3, b). Reis. 1.3 Bei der Berechnung des Biegemoments in einem bestimmten Abschnitt werden die Momente der äußeren Kräfte, die links vom Abschnitt liegen, als positiv berücksichtigt, wenn sie im Uhrzeigersinn gerichtet sind. Für die rechte Seite des Balkens – umgekehrt. Es ist zweckmäßig, das Vorzeichen des Biegemoments anhand der Art der Verformung des Balkens zu bestimmen. Das Biegemoment gilt als positiv, wenn sich im betrachteten Abschnitt der abgeschnittene Teil des Balkens konvex nach unten biegt, d. h. die unteren Fasern werden gedehnt. Im umgekehrten Fall ist das Biegemoment im Abschnitt negativ. Es bestehen unterschiedliche Zusammenhänge zwischen Biegemoment M, Querkraft Q und Belastungsintensität q. 1. Die erste Ableitung der Querkraft entlang der Abszisse des Abschnitts ist gleich der Intensität der verteilten Last, d.h. . (1.1) 2. Die erste Ableitung des Biegemoments entlang der Abszisse des Abschnitts ist gleich der Querkraft, d.h. (1.2) 3. Die zweite Ableitung nach der Abszisse des Abschnitts ist gleich der Intensität der verteilten Last, d. h. . (1.3) Wir betrachten die nach oben gerichtete Flächenlast als positiv. Aus den Differenzbeziehungen zwischen M, Q, q ergeben sich eine Reihe wichtiger Schlussfolgerungen: 1. Wenn am Balkenabschnitt: a) die Querkraft positiv ist, dann nimmt das Biegemoment zu; b) ist die Scherkraft negativ, dann nimmt das Biegemoment ab; c) die Querkraft Null ist, dann hat das Biegemoment einen konstanten Wert (reine Biegung); 6 d) Die Querkraft geht durch den Nullpunkt und wechselt das Vorzeichen von Plus nach Minus, max M M, im umgekehrten Fall M Mmin. 2. Wenn auf den Balkenabschnitt keine Flächenlast ausgeübt wird, ist die Querkraft konstant und das Biegemoment ändert sich nach einem linearen Gesetz. 3. Wenn auf einen Balkenabschnitt eine gleichmäßig verteilte Last wirkt, ändert sich die Querkraft nach einem linearen Gesetz und das Biegemoment - nach dem Gesetz einer quadratischen Parabel, die konvex in Lastrichtung zeigt ( im Falle der Konstruktion von Diagramm M von der Seite der gestreckten Fasern). 4. Im Abschnitt unter konzentrierter Kraft weist Diagramm Q einen Sprung (um die Größe der Kraft) auf, Diagramm M weist einen Knick in Richtung der Kraft auf. 5. In dem Abschnitt, in dem ein konzentriertes Moment wirkt, weist das Diagramm M einen Sprung auf, der dem Wert dieses Moments entspricht. Dies spiegelt sich im Q-Diagramm nicht wider. Wenn Balken mit komplexer Belastung belastet werden, werden Diagramme der Querkräfte Q und Biegemomente M aufgetragen. Diagramm Q(M) ist ein Diagramm, das das Änderungsgesetz der Querkraft (Biegemoment) entlang der Länge des Balkens zeigt. Basierend auf der Analyse der Diagramme M und Q werden gefährliche Abschnitte des Strahls bestimmt. Positive Ordinaten des Q-Diagramms werden nach oben gelegt und negative Ordinaten werden von der Grundlinie aus gelegt, die parallel zur Längsachse des Balkens verläuft. Positive Ordinaten des M-Diagramms werden nach unten und negative Ordinaten nach oben gelegt, d. h. das M-Diagramm wird von der Seite der gestreckten Fasern aus erstellt. Die Erstellung von Q- und M-Diagrammen für Balken sollte mit der Bestimmung der Auflagerreaktionen beginnen. Für einen Träger mit einem eingespannten Ende und einem freien Ende kann die Konstruktion der Diagramme Q und M vom freien Ende aus begonnen werden, ohne die Reaktionen in der Einbettung zu bestimmen. 1.2. Die Konstruktion von Q- und M-Diagrammen unter Verwendung der Balkengleichungen ist in Abschnitte unterteilt, in denen die Funktionen für das Biegemoment und die Querkraft konstant bleiben (keine Diskontinuitäten aufweisen). Die Grenzen der Abschnitte sind Angriffspunkte konzentrierter Kräfte, Kräftepaare und Orte der Intensitätsänderung der Flächenlast. An jedem Abschnitt wird ein beliebiger Abschnitt im Abstand x vom Koordinatenursprung genommen und für diesen Abschnitt Gleichungen für Q und M aufgestellt. Mit diesen Gleichungen werden Diagramme von Q und M erstellt. Beispiel 1.1 Konstruieren Sie Diagramme der Querrichtung Kräfte Q und Biegemomente M für einen gegebenen Balken (Abb. 1.4,a). Lösung: 1. Bestimmung der Stützreaktionen. Wir stellen Gleichgewichtsgleichungen auf: Daraus erhalten wir: Die Reaktionen der Stützen werden korrekt bestimmt. Der Balken besteht aus vier Abschnitten Abb. 1,4 Ladungen: CA, AD, DB, BE. 2. Aufbau des Diagramms Q. Abschnitt CA. Im Abschnitt CA 1 zeichnen wir einen beliebigen Abschnitt 1-1 im Abstand x1 vom linken Ende des Balkens. Wir definieren Q als die algebraische Summe aller äußeren Kräfte, die links vom Abschnitt 1-1 wirken: Das Minuszeichen wird verwendet, weil die Kraft, die links vom Abschnitt wirkt, nach unten gerichtet ist. Der Ausdruck für Q hängt nicht von der Variablen x1 ab. Diagramm Q in diesem Abschnitt wird als gerade Linie parallel zur Abszissenachse dargestellt. Abschnitt AD. Auf dem Abschnitt zeichnen wir einen beliebigen Abschnitt 2-2 im Abstand x2 vom linken Ende des Balkens. Wir definieren Q2 als die algebraische Summe aller externen Kräfte, die links von Abschnitt 2-2 wirken: 8 Der Wert von Q ist im Abschnitt konstant (hängt nicht von der Variablen x2 ab). Der Q-Plot auf dem Abschnitt ist eine gerade Linie parallel zur Abszissenachse. Plot-DB. Auf der Baustelle zeichnen wir einen beliebigen Abschnitt 3-3 im Abstand x3 vom rechten Ende des Balkens. Wir definieren Q3 als die algebraische Summe aller äußeren Kräfte, die rechts von Abschnitt 3-3 wirken: Der resultierende Ausdruck ist die Gleichung einer geneigten Geraden. Abschnitt BE. Auf der Baustelle zeichnen wir einen Abschnitt 4-4 im Abstand x4 vom rechten Ende des Balkens. Wir definieren Q als die algebraische Summe aller äußeren Kräfte, die rechts von Abschnitt 4-4 wirken: 4 Hier wird das Pluszeichen verwendet, da die resultierende Last rechts von Abschnitt 4-4 nach unten gerichtet ist. Basierend auf den erhaltenen Werten erstellen wir Q-Diagramme (Abb. 1.4, b). 3. Aufbau von Diagramm M. Grundstück m1. Wir definieren das Biegemoment in Abschnitt 1-1 als die algebraische Summe der Momente der Kräfte, die links von Abschnitt 1-1 wirken. – Gleichung einer Geraden. Abschnitt A 3 Wir bestimmen das Biegemoment in Abschnitt 2-2 als algebraische Summe der Momente der Kräfte, die links von Abschnitt 2-2 wirken. – Gleichung einer Geraden. Abschnitt DB 4 Wir bestimmen das Biegemoment in Abschnitt 3-3 als algebraische Summe der Momente der Kräfte, die rechts von Abschnitt 3-3 wirken. – Gleichung einer quadratischen Parabel. 9 Wir finden drei Werte an den Enden des Abschnitts und am Punkt mit der Koordinate xk, wobei Abschnitt BE 1. Wir bestimmen das Biegemoment in Abschnitt 4-4 als algebraische Summe der Momente der Kräfte, die rechts vom Abschnitt wirken 4-4. – Gleichung einer quadratischen Parabel, wir finden drei Werte von M4: Aus den erhaltenen Werten erstellen wir ein Diagramm von M (Abb. 1.4, c). In den Abschnitten CA und AD wird das Q-Diagramm durch Geraden parallel zur Abszissenachse und in den Abschnitten DB und BE durch geneigte Geraden begrenzt. In den Abschnitten C, A und B des Q-Diagramms gibt es Sprünge in der Größe der entsprechenden Kräfte, die als Kontrolle für die Richtigkeit des Q-Diagramms dienen. In Abschnitten, in denen Q  0, nehmen die Momente von links nach rechts zu. In Bereichen mit Q  0 nehmen die Momente ab. Unter den konzentrierten Kräften kommt es zu Knicken in der Wirkungsrichtung der Kräfte. Unter dem konzentrierten Moment liegt ein Sprung in der Größe des Moments. Dies zeigt die Richtigkeit der Konstruktion des Diagramms M an. Beispiel 1.2 Konstruieren Sie die Diagramme Q und M für einen Balken auf zwei Stützen, der mit einer verteilten Last belastet ist, deren Intensität nach einem linearen Gesetz variiert (Abb. 1.5, a). Lösung Ermittlung von Stützreaktionen. Die Resultierende der verteilten Last ist gleich der Fläche des Dreiecks, das ein Diagramm der Last darstellt und im Schwerpunkt dieses Dreiecks wirkt. Wir bilden die Summen der Momente aller Kräfte relativ zu den Punkten A und B: Konstruieren des Diagramms Q. Zeichnen wir einen beliebigen Abschnitt im Abstand x vom linken Träger. Die Ordinate des dem Abschnitt entsprechenden Lastdiagramms wird aus der Ähnlichkeit von Dreiecken ermittelt. Die Resultierende des Teils der Last, der sich links vom Abschnitt befindet. Die Querkraft im Abschnitt ist gleich. Die Querkraft ändert sich gemäß dem Gesetz einer quadratischen Parabel Wenn wir die Gleichung der Querkraft mit Null gleichsetzen, finden wir die Abszisse des Abschnitts, in dem das Diagramm Q durch Null geht: Die Q-Kurve ist in Abb. dargestellt. 1,5, geb. Das Biegemoment in einem beliebigen Abschnitt ist gleich: Das Biegemoment variiert gemäß dem Gesetz einer kubischen Parabel: Das Biegemoment hat einen maximalen Wert in dem Abschnitt, in dem 0 ist, d. h. bei Diagramm M ist in Abb. 1,5, c. 1.3. Erstellen von Diagrammen von Q und M aus charakteristischen Abschnitten (Punkten) Unter Verwendung der differentiellen Abhängigkeiten zwischen M, Q, q und der daraus resultierenden Schlussfolgerungen empfiehlt es sich, Diagramme von Q und M aus charakteristischen Abschnitten zu erstellen (ohne Gleichungen aufzustellen). Mit dieser Methode werden die Werte von Q und M in charakteristischen Abschnitten berechnet. Die charakteristischen Abschnitte sind die Grenzabschnitte von Abschnitten sowie Abschnitte, in denen ein bestimmter Schnittgrößenfaktor einen Extremwert hat. Innerhalb der Grenzen zwischen den charakteristischen Abschnitten wird der Grundriss 12 des Diagramms auf der Grundlage der differentiellen Abhängigkeiten zwischen M, Q, q und den daraus resultierenden Schlussfolgerungen erstellt. Beispiel 1.3 Konstruieren Sie die Diagramme Q und M für den in Abb. gezeigten Balken. 1.6, a. Reis. 1.6. Lösung: Wir beginnen mit der Konstruktion der Q- und M-Diagramme vom freien Ende des Trägers aus, während die Reaktionen in der Einbettung nicht bestimmt werden müssen. Der Balken hat drei Ladeabschnitte: AB, BC, CD. In den Abschnitten AB und BC gibt es keine verteilte Last. Scherkräfte sind konstant. Das Q-Diagramm ist auf Geraden parallel zur x-Achse beschränkt. Biegemomente variieren linear. Diagramm M wird durch zur Abszissenachse geneigte Geraden begrenzt. Auf dem Abschnitt CD herrscht eine gleichmäßig verteilte Belastung. Querkräfte variieren nach einem linearen Gesetz und Biegemomente nach dem Gesetz einer quadratischen Parabel mit Konvexität in Richtung der verteilten Last. An der Grenze der Abschnitte AB und BC ändert sich die Querkraft sprunghaft. An der Grenze der Abschnitte BC und CD ändert sich das Biegemoment sprunghaft. 1. Konstruktion des Diagramms Q. Wir berechnen die Werte der Querkräfte Q in den Grenzabschnitten der Abschnitte: Basierend auf den Berechnungsergebnissen erstellen wir das Diagramm Q für den Balken (Abb. 1, b). Aus dem Diagramm Q folgt, dass die Querkraft auf den Abschnitt CD in dem Abschnitt, der sich im Abstand qa a q vom Anfang dieses Abschnitts befindet, gleich Null ist. In diesem Abschnitt hat das Biegemoment seinen Maximalwert. 2. Erstellen des Diagramms M. Wir berechnen die Werte der Biegemomente in den Grenzabschnitten der Abschnitte: Beim maximalen Moment im Abschnitt. Basierend auf den Berechnungsergebnissen erstellen wir das Diagramm M (Abb. 5.6, c). Beispiel 1.4 Bestimmen Sie anhand eines gegebenen Diagramms der Biegemomente (Abb. 1.7, a) für einen Balken (Abb. 1.7, b) die wirkenden Lasten und erstellen Sie das Diagramm Q. Der Kreis zeigt den Scheitelpunkt einer quadratischen Parabel an. Lösung: Bestimmen wir die auf den Balken wirkenden Lasten. Der Abschnitt AC wird mit einer gleichmäßig verteilten Last belastet, da das Diagramm M in diesem Abschnitt eine quadratische Parabel ist. Im Referenzabschnitt B wird ein konzentriertes Moment auf den Balken ausgeübt, das im Uhrzeigersinn wirkt, da wir im Diagramm M einen Sprung nach oben um die Größe des Moments haben. Im NE-Abschnitt wird der Balken nicht belastet, da das M-Diagramm in diesem Abschnitt durch eine geneigte Gerade begrenzt wird. Die Reaktion des Trägers B wird aus der Bedingung bestimmt, dass das Biegemoment im Abschnitt C gleich Null ist, d. h. Um die Intensität der verteilten Last zu bestimmen, erstellen wir einen Ausdruck für das Biegemoment im Abschnitt A als Summe der Momente von Kräfte auf der rechten Seite und setzen sie mit Null gleich. Nun bestimmen wir die Reaktion der Stütze A. Dazu erstellen wir einen Ausdruck für Biegemomente im Abschnitt als Summe der Kraftmomente auf der linken Seite. Das Konstruktionsdiagramm des Balkens mit einer Last ist in Abb. dargestellt. 1,7, c. Ausgehend vom linken Ende des Balkens berechnen wir die Werte der Querkräfte in den Grenzabschnitten der Abschnitte: Diagramm Q ist in Abb. dargestellt. 1.7, d. Das betrachtete Problem kann gelöst werden, indem in jedem Abschnitt funktionale Abhängigkeiten für M, Q erstellt werden. Wählen wir den Koordinatenursprung am linken Ende des Balkens. Im AC-Abschnitt wird das Diagramm M durch eine quadratische Parabel ausgedrückt, deren Gleichung die Form hat. Die Konstanten a, b, c ergeben sich aus der Bedingung, dass die Parabel durch drei Punkte mit bekannten Koordinaten verläuft: Ersetzen der Koordinaten der Punkte In die Gleichung der Parabel erhalten wir: Der Ausdruck für das Biegemoment lautet: Durch Differenzieren der Funktion M1 erhalten wir die Abhängigkeit für die Querkraft. Nach Differenzieren der Funktion Q erhalten wir einen Ausdruck für die Intensität der verteilten Last. Im Abschnitt NE wird der Ausdruck für das Biegemoment in Form einer linearen Funktion dargestellt. Zur Bestimmung der Konstanten a und b verwenden wir die Bedingungen, dass diese Gerade durch zwei Punkte verläuft, deren Koordinaten bekannt sind. Wir Erhalten Sie zwei Gleichungen: ,b, aus denen wir eine 20 haben. Die Gleichung für das Biegemoment im Abschnitt NE lautet. Nach doppelter Differentiation von M2 finden wir. Unter Verwendung der gefundenen Werte von M und Q erstellen wir Diagramme von Biegemomente und Scherkräfte für den Balken. Zusätzlich zur verteilten Last wirken konzentrierte Kräfte in drei Abschnitten auf den Balken ein, in denen es im Diagramm Q zu Sprüngen kommt, und konzentrierte Momente in dem Abschnitt, in dem es in Diagramm M zu Stößen kommt. Beispiel 1.5 Bestimmen Sie für einen Balken (Abb. 1.8, a) die rationale Position des Scharniers C, bei der das größte Biegemoment in der Spannweite gleich dem Biegemoment in der Einbettung ist (in absoluten Werten). Konstruieren Sie Diagramme von Q und M. Lösung Bestimmung der Stützreaktionen. Trotz der Tatsache, dass die Gesamtzahl der Stützglieder vier beträgt, ist der Balken statisch bestimmt. Das Biegemoment im Scharnier C ist Null, was es uns ermöglicht, eine zusätzliche Gleichung zu erstellen: Die Summe der Momente aller äußeren Kräfte, die auf einer Seite dieses Scharniers um das Scharnier wirken, ist gleich Null. Berechnen wir die Summe der Momente aller Kräfte rechts vom Scharnier C. Das Diagramm Q für den Balken wird durch eine geneigte Gerade begrenzt, da q = const. Wir bestimmen die Werte der Querkräfte in den Grenzabschnitten des Balkens: Die Abszisse xK des Abschnitts mit Q = 0 wird aus der Gleichung bestimmt, aus der das Diagramm M für den Balken durch eine quadratische Parabel begrenzt wird. Ausdrücke für Biegemomente in Abschnitten mit Q = 0 und in der Einbettung werden jeweils wie folgt geschrieben: Aus der Bedingung der Momentengleichheit erhalten wir eine quadratische Gleichung für den gewünschten Parameter x: Realer Wert x2x 1.029 M. Wir ermitteln die Zahlenwerte der Querkräfte und Biegemomente in charakteristischen Abschnitten des Balkens. Abbildung 1.8, b zeigt das Diagramm Q und in Abb. 1.8, c – Diagramm M. Das betrachtete Problem könnte durch die Aufteilung des Gelenkträgers in seine Bestandteile gelöst werden, wie in Abb. 1.8, d. Zu Beginn werden die Reaktionen der Stützen VC und VB ermittelt. Aus der Einwirkung der auf ihn wirkenden Last werden für den Hängebalken SV Diagramme von Q und M erstellt. Dann bewegen sie sich zum Hauptträger AC und belasten ihn mit einer zusätzlichen Kraft VC, die der Druckkraft des Trägers CB auf den Träger AC entspricht. Danach werden die Diagramme Q und M für Strahl AC erstellt. 1.4. Festigkeitsberechnungen für die direkte Biegung von Trägern. Festigkeitsberechnungen basierend auf Normal- und Schubspannungen. Wenn sich ein Balken direkt in seinen Querschnitten biegt, entstehen Normal- und Tangentialspannungen (Abb. 1.9). 18 Abb. 1.9 Normalspannungen sind mit Biegemomenten verbunden, Tangentialspannungen sind mit Scherkräften verbunden. Bei gerader reiner Biegung sind die Schubspannungen Null. Normalspannungen an einem beliebigen Punkt im Querschnitt eines Balkens werden durch die Formel (1.4) bestimmt, wobei M das Biegemoment in einem bestimmten Abschnitt ist; Iz – Trägheitsmoment des Abschnitts relativ zur neutralen Achse z; y ist der Abstand vom Punkt, an dem die Normalspannung bestimmt wird, zur neutralen z-Achse. Normalspannungen entlang der Höhe des Abschnitts ändern sich nach einem linearen Gesetz und erreichen ihren größten Wert an Punkten, die am weitesten von der neutralen Achse entfernt sind. Wenn der Abschnitt symmetrisch um die neutrale Achse ist (Abb. 1.11), dann gilt Abb. 1.11 Die größten Zug- und Druckspannungen sind gleich und werden durch die Formel bestimmt:  ist das axiale Widerstandsmoment des Abschnitts beim Biegen. Für einen rechteckigen Abschnitt mit der Breite b und der Höhe h: (1.7) Für einen kreisförmigen Abschnitt mit dem Durchmesser d: (1.8) Für einen ringförmigen Abschnitt   – der Innen- bzw. Außendurchmesser des Rings. Bei Trägern aus Kunststoff sind symmetrische Formen mit 20 Abschnitten (I-Träger, kastenförmig, ringförmig) am sinnvollsten. Für Träger aus spröden Materialien, die Zug und Druck nicht gleichermaßen standhalten, sind Abschnitte sinnvoll, die in Bezug auf die neutrale z-Achse asymmetrisch sind (T-Träger, U-förmig, asymmetrischer I-Träger). Für Träger mit konstantem Querschnitt aus Kunststoffmaterialien mit symmetrischen Querschnittsformen lautet die Festigkeitsbedingung wie folgt: (1.10) wobei Mmax das maximale Biegemoment im Modul ist; – zulässige Beanspruchung des Materials. Für Träger mit konstantem Querschnitt aus Kunststoffmaterialien mit asymmetrischen Querschnittsformen wird die Festigkeitsbedingung in der folgenden Form geschrieben: (1. 11) Für Balken aus spröden Materialien mit asymmetrischen Querschnitten in Bezug auf die neutrale Achse müssen bei eindeutigem Diagramm M (Abb. 1.12) zwei Festigkeitsbedingungen notiert werden – der Abstand von der neutralen Achse zur am weitesten entfernte Punkte der gestreckten bzw. komprimierten Zonen des gefährlichen Abschnitts; P – zulässige Spannungen für Zug bzw. Druck. Abb.1.12. 21 Wenn das Diagramm der Biegemomente Abschnitte mit unterschiedlichen Vorzeichen aufweist (Abb. 1.13), müssen zusätzlich zur Überprüfung von Abschnitt 1-1, in dem Mmax wirkt, die höchsten Zugspannungen für Abschnitt 2-2 (mit der höchsten) berechnet werden Moment des umgekehrten Vorzeichens). Reis. 1.13 Neben der Hauptberechnung mit Normalspannungen ist es in manchen Fällen erforderlich, die Festigkeit des Balkens mit Tangentialspannungen zu überprüfen. Tangentialspannungen in Balken werden nach der Formel von D. I. Zhuravsky (1.13) berechnet, wobei Q die Querkraft im Querschnitt des betrachteten Balkens ist; Szотс – statisches Moment relativ zur neutralen Achse der Fläche des Abschnittsteils, die sich auf einer Seite einer geraden Linie befindet, die durch einen bestimmten Punkt und parallel zur z-Achse gezogen wird; b – Abschnittsbreite auf der Höhe des betrachteten Punktes; Iz ist das Trägheitsmoment des gesamten Abschnitts relativ zur neutralen z-Achse. In vielen Fällen treten maximale Schubspannungen auf der Ebene der neutralen Schicht des Trägers (Rechteck, I-Träger, Kreis) auf. In solchen Fällen wird die Festigkeitsbedingung für Tangentialspannungen in der Form (1.14) geschrieben, wobei Qmax die betragsmäßig größte Querkraft ist; – zulässige Scherspannung für das Material. Für einen rechteckigen Balkenabschnitt hat die Festigkeitsbedingung die Form (1.15) A ist die Querschnittsfläche des Balkens. Für einen kreisförmigen Abschnitt wird die Festigkeitsbedingung in der Form (1.16) dargestellt. Für einen I-Abschnitt wird die Festigkeitsbedingung wie folgt geschrieben: (1.17) wobei Szo,ðmсax das statische Moment des Halbabschnitts relativ zum Neutralleiter ist Achse; d – Wandstärke des I-Trägers. Typischerweise werden die Querschnittsabmessungen eines Trägers aus dem Festigkeitszustand bei Normalbeanspruchung bestimmt. Die Überprüfung der Festigkeit von Trägern durch Scherbeanspruchung ist bei kurzen Trägern und Trägern beliebiger Länge obligatorisch, wenn in der Nähe der Stützen konzentrierte Kräfte großer Größe auftreten, sowie bei Holz-, Niet- und Schweißträgern. Beispiel 1.6 Überprüfen Sie die Festigkeit eines Kastenträgers (Abb. 1.14) unter Verwendung von Normal- und Scherspannungen, wenn MPa. Erstellen Sie Diagramme im gefährlichen Abschnitt des Trägers. Reis. 1.14 Lösung 23 1. Erstellen von Diagrammen von Q und M unter Verwendung charakteristischer Abschnitte. Betrachtet man die linke Seite des Balkens, erhält man das Diagramm der Querkräfte in Abb. 1,14, c. Das Diagramm der Biegemomente ist in Abb. dargestellt. 5.14, g. 2. Geometrische Eigenschaften des Querschnitts 3. Die höchsten Normalspannungen im Abschnitt C, wo Mmax wirkt (modulo): MPa. Die maximalen Normalspannungen im Balken entsprechen nahezu den zulässigen. 4. Die höchsten Tangentialspannungen im Abschnitt C (oder A), wobei max. Q wirkt (modulo): Hier ist das statische Moment der Halbabschnittsfläche relativ zur neutralen Achse; b2 cm – Abschnittsbreite auf der Ebene der neutralen Achse. 5. Tangentialspannungen an einem Punkt (in der Wand) im Abschnitt C: Abb. 1.15 Hier ist Szomc 834,5 108 cm3 das statische Moment der Fläche des Abschnitts, der sich über der Linie befindet, die durch Punkt K1 verläuft; b2 cm – Wandstärke auf der Höhe des Punktes K1. Die Diagramme  und  für Abschnitt C des Trägers sind in Abb. dargestellt. 1.15. Beispiel 1.7 Für den in Abb. gezeigten Balken. 1.16, a, erforderlich: 1. Erstellen Sie Diagramme von Querkräften und Biegemomenten entlang charakteristischer Abschnitte (Punkte). 2. Bestimmen Sie die Abmessungen des Querschnitts in Form eines Kreises, eines Rechtecks ​​und eines I-Trägers aus dem Festigkeitszustand bei Normalbeanspruchung und vergleichen Sie die Querschnittsflächen. 3. Überprüfen Sie die ausgewählten Abmessungen der Balkenabschnitte entsprechend der Tangentialspannung. Gegeben: Lösung: 1. Bestimmen Sie die Reaktionen der Balkenstützen. Überprüfen Sie: 2. Konstruktion der Diagramme Q und M. Werte der Querkräfte in charakteristischen Abschnitten des Balkens 25 Abb. 1.16 In den Abschnitten CA und AD ist die Belastungsintensität q = const. Folglich ist das Q-Diagramm in diesen Bereichen auf zur Achse geneigte Geraden beschränkt. Im Abschnitt DB beträgt die Intensität der Flächenlast q = 0, daher ist das Diagramm Q in diesem Abschnitt auf eine Gerade parallel zur x-Achse beschränkt. Das Q-Diagramm für den Strahl ist in Abb. dargestellt. 1,16, geb. Werte der Biegemomente in charakteristischen Abschnitten des Balkens: Im zweiten Abschnitt bestimmen wir die Abszisse x2 des Abschnitts, in dem Q = 0: Maximales Moment im zweiten Abschnitt Diagramm M für den Balken ist in Abb. dargestellt. 1,16, c. 2. Wir erstellen eine Festigkeitsbedingung basierend auf Normalspannungen, aus der wir das erforderliche axiale Widerstandsmoment des Abschnitts aus dem Ausdruck bestimmen, der durch den erforderlichen Durchmesser d eines Balkens mit kreisförmigem Abschnitt bestimmt wird. Fläche eines kreisförmigen Abschnitts. Für einen Balken mit rechteckigem Querschnitt. Erforderliche Höhe des Abschnitts. Fläche eines rechteckigen Abschnitts. Bestimmen Sie die erforderliche Anzahl der I-Träger. Anhand der Tabellen von GOST 8239-89 ermitteln wir den nächsthöheren Wert des axialen Widerstandsmoments von 597 cm3, was dem I-Träger Nr. 33 mit den Eigenschaften A z 9840 cm4 entspricht. Toleranzprüfung: (Unterlastung um 1 % der zulässigen 5 %) des nächstgelegenen I-Trägers Nr. 30 (B 2 cm3) führt zu erheblicher Überlastung (mehr als 5 %). Wir akzeptieren schließlich I-Träger Nr. 33. Wir vergleichen die Flächen der runden und rechteckigen Abschnitte mit der kleinsten Fläche A des I-Trägers: Von den drei betrachteten Abschnitten ist der I-Träger-Abschnitt der wirtschaftlichste. 3. Wir berechnen die höchsten Normalspannungen im gefährlichen Abschnitt 27 des I-Trägers (Abb. 1.17, a): Normalspannungen in der Wand in der Nähe des Flansches des I-Trägers. Das Diagramm der Normalspannungen im gefährlichen Abschnitt von Der Balken ist in Abb. dargestellt. 1,17, geb. 5. Bestimmen Sie die höchsten Schubspannungen für die ausgewählten Balkenabschnitte. a) rechteckiger Querschnitt des Trägers: b) runder Querschnitt des Trägers: c) I-Träger-Abschnitt: Tangentialspannungen in der Wand in der Nähe des Flansches des I-Trägers im gefährlichen Abschnitt A (rechts) (an Punkt 2): Die Das Diagramm der Tangentialspannungen in gefährlichen Abschnitten des I-Trägers ist in Abb. dargestellt. 1,17, c. Die maximalen Tangentialspannungen im Balken überschreiten nicht die zulässigen Spannungen. Beispiel 1.8 Bestimmen Sie die zulässige Belastung des Balkens (Abb. 1.18, a). Bei 60 MPa werden die Querschnittsabmessungen angegeben (Abb. 1.19, a). Erstellen Sie ein Diagramm der Normalspannungen in einem gefährlichen Abschnitt eines Balkens bei einer zulässigen Last. Abbildung 1.18 1. Bestimmung der Reaktionen von Balkenstützen. Aufgrund der Symmetrie des Systems 2. Konstruktion der Diagramme Q und M unter Verwendung charakteristischer Abschnitte. Querkräfte in charakteristischen Abschnitten eines Balkens: Diagramm Q für einen Balken ist in Abb. dargestellt. 5,18, geb. Biegemomente in charakteristischen Abschnitten des Balkens. Für die zweite Balkenhälfte liegen die Ordinaten M entlang der Symmetrieachsen. Diagramm M für den Balken ist in Abb. dargestellt. 1,18, geb. 3. Geometrische Eigenschaften des Abschnitts (Abb. 1.19). Wir teilen die Figur in zwei einfache Elemente: I-Träger – 1 und Rechteck – 2. Abb. 1.19 Gemäß dem Sortiment für I-Träger Nr. 20 gilt für ein Rechteck: Statisches Moment der Querschnittsfläche relativ zur z1-Achse Abstand von der z1-Achse zum Schwerpunkt des Abschnitts Trägheitsmoment des Abschnitts relativ zur Hauptmittelachse z des gesamten Abschnitts gemäß den Formeln für den Übergang zu parallelen Achsen 4. Festigkeitszustand für Normalspannungen für Gefahrenpunkt „a“ (Abb. 1.19) im Gefahrenabschnitt I (Abb. 1.18): Nach dem Ersetzen numerische Daten 5. Bei einer zulässigen Belastung in einem gefährlichen Abschnitt sind die Normalspannungen an den Punkten „a“ und „b“ gleich: Das Diagramm der Normalspannungen für den gefährlichen Abschnitt 1-1 ist in Abb. dargestellt. 1,19, geb.

Die Hypothese ebener Schnitte beim Biegen lässt sich an einem Beispiel erklären: Wir wenden auf der Seitenfläche eines unverformten Balkens ein Gitter aus Längs- und Quergeraden (senkrecht zur Achse) an. Durch die Biegung des Balkens erhalten die Längslinien einen gekrümmten Umriss, während die Querlinien praktisch gerade und senkrecht zur gekrümmten Achse des Balkens bleiben.

Formulierung der Planschnitthypothese: Querschnitte, die zuvor flach und senkrecht zur Achse des Balkens waren, bleiben nach der Verformung flach und senkrecht zur gekrümmten Achse.

Dieser Umstand zeigt an: wenn erfüllt Ebene-Schnitt-Hypothese, wie bei und

Zusätzlich zur Hypothese flacher Abschnitte wird die Annahme akzeptiert, dass die Längsfasern des Balkens beim Biegen nicht aufeinander drücken.

Die Ebenenschnitthypothese und -annahme werden aufgerufen Bernoullis Hypothese.

Stellen Sie sich einen Balken mit rechteckigem Querschnitt vor, der einer reinen Biegung unterzogen wird (). Wählen wir ein Balkenelement mit einer Länge aus (Abb. 7.8. a). Durch die Biegung drehen sich die Querschnitte des Balkens und bilden einen Winkel. Die oberen Fasern erfahren Druck und die unteren Fasern erfahren Spannung. Wir bezeichnen den Krümmungsradius der neutralen Faser als .

Herkömmlicherweise gehen wir davon aus, dass die Fasern ihre Länge ändern, während sie gerade bleiben (Abb. 7.8. b). Dann die absoluten und relativen Dehnungen der Faser, die sich im Abstand y von der neutralen Faser befindet:

Wir zeigen, dass Längsfasern, die beim Biegen des Balkens weder Zug noch Druck erfahren, durch die Hauptmittelachse x verlaufen.

Da sich die Länge des Trägers beim Biegen nicht ändert, muss die im Querschnitt auftretende Längskraft (N) Null sein. Elementare Längskraft.

Angesichts des Ausdrucks :

Der Faktor kann aus dem Integralzeichen entnommen werden (hängt nicht von der Integrationsvariablen ab).

Der Ausdruck stellt den Querschnitt des Strahls um die neutrale x-Achse dar. Sie ist Null, wenn die neutrale Achse durch den Schwerpunkt des Querschnitts verläuft. Folglich verläuft die neutrale Achse (Nulllinie) beim Biegen des Balkens durch den Schwerpunkt des Querschnitts.

Offensichtlich ist das Biegemoment mit Normalspannungen verbunden, die an Punkten im Stabquerschnitt auftreten. Elementares Biegemoment, erzeugt durch eine Elementarkraft:

,

Dabei ist das axiale Trägheitsmoment des Querschnitts relativ zur neutralen x-Achse und das Verhältnis die Krümmung der Balkenachse.

Steifigkeit Balken beim Biegen(je größer, desto kleiner der Krümmungsradius).

Die resultierende Formel repräsentiert Hookesches Biegegesetz für einen Stab: Das im Querschnitt auftretende Biegemoment ist proportional zur Krümmung der Balkenachse.

Ausdrücken des Krümmungsradius () aus der Formel des Hookeschen Gesetzes für einen Stab beim Biegen und Einsetzen seines Wertes in die Formel , erhalten wir eine Formel für Normalspannungen () an einem beliebigen Punkt im Querschnitt des Balkens, der sich im Abstand y von der neutralen Achse x befindet: .

In der Formel für Normalspannungen () an einem beliebigen Punkt im Balkenquerschnitt sollten die Absolutwerte des Biegemoments () und der Abstand vom Punkt zur neutralen Achse (y-Koordinaten) eingesetzt werden. Ob es sich bei der Spannung an einem bestimmten Punkt um Zug- oder Druckspannung handelt, lässt sich leicht anhand der Art der Verformung des Balkens oder anhand des Diagramms der Biegemomente bestimmen, dessen Ordinaten auf der Seite der komprimierten Fasern des Balkens aufgetragen sind.

Aus der Formel ist klar: Normalspannungen () ändern sich entlang der Höhe des Balkenquerschnitts nach einem linearen Gesetz. In Abb. 7.8 zeigt das Diagramm. Die größten Spannungen beim Biegen des Balkens treten an den Punkten auf, die am weitesten von der neutralen Achse entfernt sind. Zeichnet man im Balkenquerschnitt eine Linie parallel zur neutralen x-Achse, so entstehen an allen Punkten gleiche Normalspannungen.

Einfache Analyse Normalspannungsdiagramme zeigt, dass beim Biegen eines Balkens das Material, das sich in der Nähe der neutralen Achse befindet, praktisch nicht funktioniert. Um das Gewicht des Trägers zu reduzieren, wird daher empfohlen, Querschnittsformen zu wählen, bei denen der größte Teil des Materials von der neutralen Achse entfernt ist, beispielsweise ein I-Profil.