In der Praxis gibt es sehr oft Fälle Zusammenarbeit Stab zum Biegen und Zug bzw. Druck. Diese Art der Verformung kann entweder durch die kombinierte Wirkung von Längs- und Längskräften verursacht werden Scherkräfte oder nur Längskräfte.

Der erste Fall ist in Abb. 1 dargestellt. Der Balken AB unterliegt einer gleichmäßig verteilten Last q und Längsdruckkräften P.

Abb.1.

Nehmen wir an, dass die Durchbiegungen des Balkens im Vergleich zu den Querschnittsabmessungen vernachlässigt werden können; Dann können wir mit einer für die Praxis ausreichenden Genauigkeit davon ausgehen, dass die Kräfte P auch nach der Verformung nur eine axiale Kompression des Balkens bewirken.

Mit der Methode der Kräfteaddition können wir die Normalspannung an jedem Punkt jedes Balkenquerschnitts als algebraische Summe der durch die Kräfte P und die Last q verursachten Spannungen ermitteln.

Druckspannungen aus Kräften P verteilen sich gleichmäßig über die Querschnittsfläche F und sind für alle Abschnitte gleich

normaler Stress vom Bücken vertikale Ebene in einem Abschnitt mit der Abszisse x, der beispielsweise vom linken Ende des Balkens gemessen wird, werden durch die Formel ausgedrückt

Somit ist die Gesamtspannung an einem Punkt mit der Koordinate z (von der neutralen Achse aus gezählt) für diesen Abschnitt gleich

Abbildung 2 zeigt Spannungsverteilungsdiagramme im betrachteten Abschnitt aus Kräften P, Last q und dem Gesamtdiagramm.

Die größte Belastung in diesem Abschnitt liegt in den oberen Fasern, wo beide Verformungsarten eine Kompression bewirken; In den unteren Fasern kann es abhängig von den Zahlenwerten der Spannungen und entweder zu Druck oder Zug kommen. Um den Kraftzustand zu schaffen, finden wir die größte Normalspannung.

Abb.2.

Da die Belastungen durch die Kräfte P in allen Abschnitten gleich und gleichmäßig verteilt sind, sind die Fasern, die durch Biegung am stärksten beansprucht werden, gefährlich. Dies sind die äußersten Fasern im Querschnitt mit dem höchsten Biegemoment; für Sie

Somit werden die Spannungen in den äußersten Fasern 1 und 2 des mittleren Abschnitts des Balkens durch die Formel ausgedrückt

und die berechnete Spannung wird gleich sein

Wenn die Kräfte P Zugkräfte wären, würde sich das Vorzeichen des ersten Termes ändern und die unteren Fasern des Balkens wären gefährlich.

Wenn wir die Druck- oder Zugkraft mit dem Buchstaben N bezeichnen, können wir schreiben allgemeine Formel um die Festigkeit zu prüfen

Das beschriebene Berechnungsverfahren wird auch angewendet, wenn Schrägkräfte auf den Träger einwirken. Eine solche Kraft kann in Normalen zur Achse, Biegung des Balkens und Längs-, Druck- oder Zugkraft zerlegt werden.

Balkenbiegekraftkompression

Berechnung Biegebalken Es gibt mehrere Möglichkeiten:
1. Berechnung der maximalen Belastung, der es standhalten kann
2. Auswahl des Abschnitts dieses Balkens
3. Berechnung auf Basis der maximal zulässigen Spannungen (zum Nachweis)
Lasst uns überlegen allgemeines Prinzip Auswahl des Balkenquerschnitts auf zwei Stützen, die mit einer gleichmäßig verteilten Last oder konzentrierten Kraft belastet sind.
Zunächst müssen Sie den Punkt (Abschnitt) finden, an dem das maximale Moment auftritt. Dies hängt davon ab, ob der Balken unterstützt oder eingebettet ist. Nachfolgend finden Sie Diagramme der Biegemomente für die gängigsten Schemata.

Nachdem wir das Biegemoment ermittelt haben, müssen wir das Widerstandsmoment Wx dieses Abschnitts mithilfe der in der Tabelle angegebenen Formel ermitteln:

Wenn wir außerdem das maximale Biegemoment durch das Widerstandsmoment in einem bestimmten Abschnitt dividieren, erhalten wir maximale Belastung im Balken und wir müssen diese Belastung mit der Belastung vergleichen, der unser Balken aus einem bestimmten Material im Allgemeinen standhalten kann.

Für Kunststoffmaterialien(Stahl, Aluminium usw.) beträgt die maximale Spannung Streckgrenze des Materials, A für zerbrechlich(Gusseisen) - Zugfestigkeit. Die Streckgrenze und Zugfestigkeit können wir den folgenden Tabellen entnehmen.

Schauen wir uns ein paar Beispiele an:
1. [i]Sie möchten prüfen, ob ein I-Träger Nr. 10 (Stahl St3sp5) von 2 Metern Länge, fest in der Wand verankert, Sie trägt, wenn Sie daran hängen. Lassen Sie Ihre Masse 90 kg betragen.
Zuerst müssen wir wählen Entwurfsschema.

Dieses Diagramm zeigt, dass das maximale Moment an der Dichtung liegt, und das gilt auch für unseren I-Träger gleicher Querschnitt über die gesamte Länge, dann liegt die maximale Spannung am Abschluss. Finden wir es:

P = m * g = 90 * 10 = 900 N = 0,9 kN

M = P * l = 0,9 kN * 2 m = 1,8 kN * m

Mithilfe der I-Träger-Sortimentstabelle ermitteln wir das Widerstandsmoment des I-Trägers Nr. 10.

Es beträgt 39,7 cm3. Konvertieren wir zu Kubikmeter und wir erhalten 0,0000397 m3.
Als nächstes ermitteln wir mit der Formel die maximalen Spannungen, die im Balken auftreten.

b = M / W = 1,8 kN/m / 0,0000397 m3 = 45340 kN/m2 = 45,34 MPa

Nachdem wir die maximale Spannung ermittelt haben, die im Träger auftritt, können wir sie mit der maximal zulässigen Spannung vergleichen, die der Streckgrenze von Stahl St3sp5 - 245 MPa entspricht.

45,34 MPa sind korrekt, was bedeutet, dass dieser I-Träger einer Masse von 90 kg standhält.

2. [i] Da wir über einen recht großen Vorrat verfügen, werden wir das zweite Problem lösen, bei dem wir die maximal mögliche Masse ermitteln, die derselbe I-Träger Nr. 10, 2 Meter lang, tragen kann.
Wenn wir die maximale Masse ermitteln wollen, müssen wir die Werte der Streckgrenze und der Spannung, die im Balken entsteht, gleichsetzen (b = 245 MPa = 245.000 kN*m2).

Erstellen eines Diagramms Q.

Lassen Sie uns ein Diagramm erstellen M Methode charakteristische Punkte. Wir platzieren Punkte auf dem Balken – das sind die Punkte am Anfang und Ende des Balkens ( D,A ), konzentrierter Moment ( B ), und markieren Sie außerdem die Mitte einer gleichmäßig verteilten Last als charakteristischen Punkt ( K ) ist ein zusätzlicher Punkt zur Konstruktion einer Parabelkurve.

Wir bestimmen Biegemomente an Punkten. Regel der Zeichen cm. - .

Der Moment in IN wir werden es bestimmen auf die folgende Weise. Definieren wir zunächst:

Punkt ZU lasst uns aufnehmen Mitte Fläche mit gleichmäßig verteilter Belastung.

Erstellen eines Diagramms M . Handlung AB – parabolische Kurve(Regenschirmregel), Fläche ВD – gerade schräge Linie.

Bestimmen Sie für einen Balken die Auflagerreaktionen und erstellen Sie Diagramme der Biegemomente ( M) und Scherkräfte ( Q).

1. Wir benennen unterstützt Briefe A Und IN und direkte Unterstützungsreaktionen R A Und R B .

Kompilieren Gleichgewichtsgleichungen.

Untersuchung

Notieren Sie die Werte R A Und R B An Entwurfsschema.

2. Erstellen eines Diagramms Scherkräfte Methode Abschnitte. Wir ordnen die Abschnitte weiter charakteristische Bereiche(zwischen Änderungen). Laut Dimensionsfaden - 4 Abschnitte, 4 Abschnitte.

Sek. 1-1 bewegen links.

Der Abschnitt verläuft durch das Gebiet mit gleichmäßig verteilte Last, markieren Sie die Größe z 1 links vom Abschnitt vor Beginn des Abschnitts. Die Länge des Abschnitts beträgt 2 m. Regel der Zeichen Für Q - cm.

Wir bauen nach dem gefundenen Wert DiagrammQ.

Sek. 2:2-Zug nach rechts.

Der Abschnitt durchläuft erneut den Bereich mit gleichmäßig verteilter Last, markieren Sie die Größe z 2 nach rechts vom Abschnitt zum Anfang des Abschnitts. Die Länge des Abschnitts beträgt 6 m.

Erstellen eines Diagramms Q.

Sek. 3-3 Spielzug nach rechts.

Sek. 4-4 nach rechts ziehen.

Wir bauen DiagrammQ.

3. Bau Diagramme M Methode charakteristische Punkte.

Feature-Punkt- ein Punkt, der auf dem Balken etwas sichtbar ist. Das sind die Punkte A, IN, MIT, D , und auch ein Punkt ZU , wobei Q=0 Und Das Biegemoment hat ein Extremum. auch in Mitte Konsole werden wir einen zusätzlichen Punkt setzen E, da in diesem Bereich unter einer gleichmäßig verteilten Belastung das Diagramm M beschrieben krumm Linie, und es ist zumindest entsprechend gebaut 3 Punkte.

Also, die Punkte sind platziert, beginnen wir mit der Bestimmung der darin enthaltenen Werte Biegemomente. Zeichenregel - siehe.

Websites NA, AD – parabolische Kurve(die „Umbrella“-Regel für mechanische Fachgebiete oder die „Segelregel“ für Baufachgebiete), Abschnitte DC, SV – gerade schräge Linien.

Moment an einem Punkt D sollte bestimmt werden sowohl links als auch rechts vom Punkt D . Der Moment in diesen Ausdrücken Ausgeschlossen. Am Punkt D wir bekommen zwei Werte mit Unterschied um den Betrag M – Sprung durch seine Größe.

Jetzt müssen wir den Zeitpunkt vor Ort bestimmen ZU (Q=0). Zunächst definieren wir jedoch Punktposition ZU , wobei der Abstand von ihm zum Anfang des Abschnitts als unbekannt bezeichnet wird X .

T. ZU gehört zweite charakteristisches Gebiet, es Gleichung für Scherkraft(siehe oben)

Aber die Scherkraft inkl. ZU gleich 0 , A z 2 gleich unbekannt X .

Wir erhalten die Gleichung:

Jetzt wissen X, Bestimmen wir den Moment an der Stelle ZU auf der rechten Seite.

Erstellen eines Diagramms M . Der Bau kann z.B. durchgeführt werden mechanisch Spezialitäten, positive Werte beiseite legen hoch von der Nulllinie und unter Verwendung der „Umbrella“-Regel.

Für eine gegebene Konstruktion eines Kragarms ist es notwendig, Diagramme der Querkraft Q und des Biegemoments M zu erstellen und eine Konstruktionsberechnung durch Auswahl eines kreisförmigen Querschnitts durchzuführen.

Material - Holz, Bemessungswiderstand des Materials R=10MPa, M=14kN·m, q=8kN/m

Es gibt zwei Möglichkeiten, Diagramme in einem Auslegerträger mit starrer Einbettung zu erstellen – auf die übliche Weise, nachdem zuvor die Auflagerreaktionen bestimmt wurden, und ohne Bestimmung der Auflagerreaktionen, wenn man die Abschnitte betrachtet, ausgehend vom freien Ende des Trägers und verwerfend der linke Teil mit der Einbettung. Lassen Sie uns Diagramme erstellen normal Weg.

1. Definieren wir Unterstützungsreaktionen.

Gleichmäßig verteilte Last Q durch bedingte Gewalt ersetzen Q= q·0,84=6,72 kN

In einer starren Einbettung gibt es drei Auflagerreaktionen – vertikal, horizontal und Moment; in unserem Fall ist die horizontale Reaktion 0.

Wir werden finden Vertikale Bodenreaktion R A Und unterstützender Moment M A aus Gleichgewichtsgleichungen.

In den ersten beiden Abschnitten rechts gibt es keine Scherkraft. Am Anfang eines Abschnitts mit gleichmäßiger Lastverteilung (rechts) Q=0, im Hintergrund - das Ausmaß der Reaktion R A.
3. Zur Konstruktion verfassen wir Ausdrücke für deren Bestimmung in Abschnitten. Lassen Sie uns ein Diagramm der Momente auf Fasern erstellen, d.h. runter.

(untere Fasern werden komprimiert).

DC-Teil: (die oberen Fasern werden komprimiert).

SC-Abschnitt: (linke Fasern komprimiert)

(linke Fasern komprimiert)

Die Abbildung zeigt Diagramme normal (längs) Kräfte – (b), Scherkräfte – (c) und Biegemomente – (d).

Überprüfung des Gleichgewichts von Knoten C:

Aufgabe 2 Erstellen Sie Schnittgrößendiagramme für den Rahmen (Abb. a).

Gegeben: F=30kN, q=40 kN/m, M=50kNm, a=3m, h=2m.

Definieren wir Unterstützungsreaktionen Rahmen:

Aus diesen Gleichungen finden wir:

Da die Reaktionswerte R K hat ein Schild Minus, in Abb. AÄnderungen Richtung gegebener Vektor zum Gegenteil, und wird geschrieben R K = 83,33 kN.

Lassen Sie uns die Werte interner Bemühungen bestimmen N, Q Und M in charakteristischen Rahmenabschnitten:

Abschnitt Flugzeuge:

(rechte Fasern komprimiert).

CD-Bereich:

(rechte Fasern werden komprimiert);

(rechte Fasern werden komprimiert).

Abschnitt DE:

(untere Fasern werden komprimiert);

(untere Fasern werden komprimiert).

CS-Abschnitt

(linke Fasern sind komprimiert).

Lass uns bauen Diagramme der Normalkräfte (Längskräfte) (b), Querkräfte (c) und Biegemomente (d).

Betrachten Sie das Gleichgewicht der Knoten D Und E

Aus Berücksichtigung von Knoten D Und E es ist klar, dass sie dabei sind Gleichgewicht.

Aufgabe 3. Erstellen Sie für einen Rahmen mit Scharnier Diagramme der Schnittgrößen.

Gegeben: F=30kN, q=40 kN/m, M=50kNm, a=2m, h=2m.

Lösung. Definieren wir Unterstützungsreaktionen. Es ist zu beachten, dass bei beiden Gelenk-Festlagern zwei Reaktionen. In diesem Zusammenhang sollten Sie verwenden Scharniereigenschaft C — Moment darin sowohl von linken als auch von rechten Kräften gleich Null. Schauen wir uns die linke Seite an.

Die Gleichgewichtsgleichungen für den betrachteten Rahmen können wie folgt geschrieben werden:

Aus der Lösung dieser Gleichungen folgt:

Auf dem Rahmendiagramm ist die Richtung der Kraft angegeben N VÄnderungen an Gegenteil (N B = 15 kN).

Definieren wir Bemühungen in charakteristischen Abschnitten des Rahmens.

Abschnitt BZ:

(linke Fasern sind komprimiert).

Abschnitt ZC:

(linke Fasern komprimiert);

Abschnitt KD:

(linke Fasern komprimiert);

(linke Fasern sind komprimiert).

Abschnitt DC:

(untere Fasern werden komprimiert);

Definition extremer Wert Biegemoment auf den Abschnitt CD:

1. Erstellen eines Diagramms der Querkräfte. Für einen freitragenden Balken (Abb. A ) charakteristische Punkte: A – Anwendungspunkt Bodenreaktion V A; MIT – Angriffspunkt der konzentrierten Kraft; D, B – Beginn und Ende der Flächenlast. Bei einem Ausleger wird die Querkraft ähnlich wie bei einem Zwei-Stützen-Balken ermittelt. Wenn Sie sich also von links bewegen:

Um die korrekte Bestimmung der Querkraft in den Abschnitten zu überprüfen, führen Sie den Balken auf die gleiche Weise, jedoch vom rechten Ende her, durch. Dann werden die rechten Teile des Balkens abgeschnitten. Denken Sie daran, dass sich die Vorzeichenregeln ändern werden. Das Ergebnis sollte das gleiche sein. Wir erstellen ein Diagramm der Querkraft (Abb. B).

2. Erstellen eines Momentendiagramms

Für einen Kragarmbalken ist das Diagramm der Biegemomente ähnlich wie bei der vorherigen Konstruktion aufgebaut. Charakteristische Punkte für diesen Balken (siehe Abb. A) sind wie folgt: A - Unterstützung; MIT - Angriffspunkt konzentrierter Momente und Kräfte F; D Und IN- Beginn und Ende der Einwirkung einer gleichmäßig verteilten Last. Da das Diagramm Q X im Bereich der verteilten Lasteinwirkung überschreitet nicht die Nulllinie Um ein Diagramm der Momente in einem bestimmten Abschnitt (parabolische Kurve) zu erstellen, sollten Sie willkürlich einen zusätzlichen Punkt auswählen, um die Kurve zu erstellen, beispielsweise in der Mitte des Abschnitts.

Linksbewegung:

Wenn wir uns nach rechts bewegen, finden wir M B = 0.

Aus den gefundenen Werten erstellen wir ein Diagramm der Biegemomente (siehe Abb. V ).

Eintrag veröffentlicht vom Autor Der Administrator ist begrenzt geneigte gerade Linie, A in einem Bereich, in dem keine verteilte Last vorhanden ist - gerade, parallel zur Achse Um ein Diagramm der Querkräfte zu erstellen, reicht es daher aus, die Werte zu bestimmen Qbei am Anfang und am Ende jedes Abschnitts. In dem Abschnitt, der dem Angriffspunkt der konzentrierten Kraft entspricht, sollte die Querkraft etwas links von diesem Punkt (in unendlich geringem Abstand davon) und etwas rechts davon berechnet werden; Scherkräfte an solchen Stellen werden entsprechend bezeichnet .

Erstellen eines Diagramms Qbei mit der charakteristischen Punktmethode, Bewegung von links. Für eine bessere Übersichtlichkeit empfiehlt es sich, den weggeworfenen Teil des Balkens zunächst mit einem Blatt Papier abzudecken. Charakteristische Punkte für einen Zwei-Stützen-Träger (Abb. A ) wird es Punkte geben C Und D – Beginn und Ende der Flächenlast sowie A Und B – Angriffspunkte von Unterstützungsreaktionen, E – Angriffspunkt der konzentrierten Kraft. Zeichnen wir im Geiste eine Achse j senkrecht zur Strahlachse durch einen Punkt MIT und wir werden seine Position nicht ändern, bis wir den gesamten Strahl passiert haben C Vor E. Unter Berücksichtigung der an charakteristischen Punkten abgeschnittenen linken Teile des Strahls projizieren wir auf die Achse j Kräfte, die in einem bestimmten Bereich wirken, mit entsprechenden Vorzeichen. Als Ergebnis erhalten wir:

Um die korrekte Bestimmung der Querkraft in den Abschnitten zu überprüfen, können Sie den Balken auf ähnliche Weise, jedoch vom rechten Ende her, passieren. Dann werden die richtigen Teile des Balkens abgeschnitten. Das Ergebnis sollte das gleiche sein. Die Übereinstimmung der Ergebnisse kann als Kontrolle für die Darstellung dienen Qbei. Wir zeichnen eine Nulllinie unter dem Bild des Balkens und tragen daraus im akzeptierten Maßstab die gefundenen Werte der Querkräfte unter Berücksichtigung der Vorzeichen an den entsprechenden Punkten ein. Holen wir uns das Diagramm Qbei(Reis. B ).

Beachten Sie nach der Erstellung des Diagramms Folgendes: Das Diagramm wird unter verteilter Last als geneigte Gerade dargestellt, unter unbelasteten Abschnitten - Segmente parallel zur Nulllinie, unter konzentrierter Kraft bildet sich im Diagramm ein Sprung gleich der Wert der Kraft. Wenn eine geneigte Linie unter einer verteilten Last die Nulllinie schneidet, markieren Sie diesen Punkt und dann diesen Extrempunkt, und es ist nun charakteristisch für uns, entsprechend der differentiellen Beziehung zwischen Qbei Und MX, an diesem Punkt hat das Moment ein Extremum und es muss bei der Erstellung eines Diagramms der Biegemomente bestimmt werden. In unserem Problem ist das der Punkt ZU . Konzentrierter Moment auf Diagramm Qbei manifestiert sich in keiner Weise, da die Summe der Projektionen der das Paar bildenden Kräfte gleich Null ist.

2. Erstellen eines Momentendiagramms. Wir erstellen ein Diagramm der Biegemomente sowie der Querkräfte nach der charakteristischen Punktmethode von links. Es ist bekannt, dass in einem Balkenabschnitt mit gleichmäßig verteilter Last das Diagramm der Biegemomente durch eine gekrümmte Linie (quadratische Parabel) umrissen wird, für deren Konstruktion man Folgendes haben muss mindestens drei Punkte und daher müssen die Werte der Biegemomente am Anfang des Abschnitts, am Ende davon und in einem Zwischenabschnitt berechnet werden. Als solchen Zwischenpunkt nimmt man am besten den Abschnitt, in dem sich das Diagramm befindet Qbei kreuzt die Nulllinie, d.h. Wo Qbei= 0. Auf dem Diagramm M Dieser Abschnitt sollte den Scheitelpunkt der Parabel enthalten. Wenn das Diagramm Q bei die Nulllinie nicht überschreitet, dann ein Diagramm erstellen M folgt weiter Nehmen Sie in diesem Abschnitt einen zusätzlichen Punkt, beispielsweise in der Mitte des Abschnitts (Anfang und Ende der verteilten Last), und beachten Sie, dass die Konvexität der Parabel immer nach unten zeigt, wenn die Last von oben nach unten wirkt (für den Bau). Spezialitäten). Es gibt eine „Regen“-Regel, die beim Aufbau des parabolischen Teils des Diagramms sehr hilfreich ist M. Für Bauherren sieht diese Regel so aus: Stellen Sie sich vor, die verteilte Last sei Regen, stellen Sie einen Regenschirm verkehrt herum darunter, damit der Regen nicht herunterfließt, sondern sich darin sammelt. Dann zeigt die Wölbung des Schirms nach unten. Genau so sieht der Umriss des Momentendiagramms unter einer verteilten Last aus. Für Mechaniker gilt die sogenannte „Umbrella“-Regel. Die verteilte Last wird durch Regen dargestellt, und der Umriss des Diagramms sollte dem Umriss eines Regenschirms ähneln. IN in diesem Beispiel Das Diagramm wurde für Bauherren erstellt.

Wenn eine genauere Darstellung erforderlich ist, müssen die Werte der Biegemomente in mehreren Zwischenabschnitten berechnet werden. Für jeden dieser Abschnitte vereinbaren wir, zunächst das Biegemoment in einem beliebigen Abschnitt zu bestimmen und es durch die Entfernung auszudrücken X von jedem Punkt aus. Geben Sie dann die Entfernung an X Durch eine Reihe von Werten erhalten wir die Werte der Biegemomente in den entsprechenden Abschnitten des Abschnitts. Für Abschnitte ohne verteilte Last werden die Biegemomente in zwei Abschnitten ermittelt, die dem Anfang und dem Ende des Abschnitts entsprechen, da das Diagramm M in solchen Bereichen ist sie auf eine gerade Linie beschränkt. Wenn ein externes konzentriertes Moment auf den Balken einwirkt, muss das Biegemoment etwas links von der Stelle, an der das konzentrierte Moment wirkt, und etwas rechts davon berechnet werden.

Für einen Zwei-Stützen-Träger sind die charakteristischen Punkte wie folgt: C Und D – Beginn und Ende der verteilten Last; A – Balkenunterstützung; IN – die zweite Stütze des Balkens und der Angriffspunkt des konzentrierten Moments; E – rechtes Ende des Balkens; Punkt ZU , entsprechend dem Abschnitt des Balkens, in dem Qbei= 0.

Bewegen Sie sich nach links. Wir verwerfen gedanklich den rechten Teil bis zum betrachteten Abschnitt (nehmen Sie ein Blatt Papier und bedecken Sie damit den verworfenen Teil des Balkens). Wir ermitteln die Summe der Momente aller Kräfte, die links vom Abschnitt relativ zum betreffenden Punkt wirken. Also,

Bevor Sie den Moment im Abschnitt bestimmen ZU, müssen Sie den Abstand finden x=AK. Lassen Sie uns in diesem Abschnitt einen Ausdruck für die Querkraft erstellen und ihn mit Null gleichsetzen (nach links bewegen):

Dieser Abstand kann auch aus der Ähnlichkeit von Dreiecken ermittelt werden KLN Und KIG auf dem Diagramm Qbei(Reis. B) .

Bestimmen Sie den Moment an einem Punkt ZU :

Gehen wir durch den Rest des Balkens auf der rechten Seite.

Wie wir sehen, der Moment auf den Punkt D Beim Verschieben nach links und rechts war das Ergebnis dasselbe – das Diagramm wurde geschlossen. Basierend auf den gefundenen Werten erstellen wir ein Diagramm. Positive Werte wir setzen es von der Nulllinie nach unten und negative – nach oben (siehe Abb. V ).

Längs Querbiegung nennt man eine Kombination aus Querbiegung mit Druck oder Zug des Balkens.

Bei der Berechnung der Längs-Querbiegung erfolgt die Berechnung der Biegemomente in den Balkenquerschnitten unter Berücksichtigung der Durchbiegungen seiner Achse.

Betrachten wir einen Balken mit gelenkig gelagerten Enden, der mit einer gewissen Querlast und einer entlang der Balkenachse wirkenden Druckkraft 5 belastet ist (Abb. 8.13, a). Bezeichnen wir die Auslenkung der Strahlachse im Querschnitt mit der Abszisse (die positive Richtung der y-Achse wird als nach unten angenommen, daher betrachten wir die Strahlauslenkungen als positiv, wenn sie nach unten gerichtet sind). Das in diesem Abschnitt wirkende Biegemoment M beträgt

(23.13)

hier das Biegemoment aus der Wirkung der Querlast; - zusätzliches Biegemoment durch Krafteinwirkung

Man kann davon ausgehen, dass die Gesamtdurchbiegung y aus der Durchbiegung besteht, die nur durch die Wirkung der Querlast entsteht, und einer zusätzlichen Durchbiegung, die der durch die Kraft verursachten Durchbiegung entspricht.

Die Gesamtdurchbiegung y ist größer als die Summe der Durchbiegungen, die sich bei getrennter Einwirkung der Querlast und der Kraft S ergeben, da bei alleiniger Einwirkung der Kraft S auf den Balken dessen Durchbiegungen gleich Null sind. Somit ist bei Längs-Quer-Biegung das Prinzip der unabhängigen Krafteinwirkung nicht anwendbar.

Wenn eine Zugkraft S auf einen Balken ausgeübt wird (Abb. 8.13, b), ist das Biegemoment im Abschnitt mit der Abszisse

(24.13)

Die Zugkraft S führt zu einer Verringerung der Durchbiegungen des Balkens, d. h. die Gesamtdurchbiegungen y sind in diesem Fall geringer als die Durchbiegungen, die nur durch die Einwirkung der Querlast verursacht werden.

In der Praxis ingenieurtechnischer Berechnungen bedeutet Längs-Quer-Biegung üblicherweise den Fall von Druckkraft und Querbelastung.

Wenn bei einem starren Träger die zusätzlichen Biegemomente im Vergleich zum Moment klein sind, unterscheiden sich die Durchbiegungen y kaum von den Durchbiegungen . In diesen Fällen können Sie den Einfluss der Kraft S auf die Größe der Biegemomente und die Größe der Durchbiegungen des Balkens vernachlässigen und die Berechnung für die zentrale Kompression (oder Spannung) bei Querbiegung durchführen, wie in § 2.9 beschrieben.

Bei einem Balken mit geringer Steifigkeit kann der Einfluss der Kraft S auf die Größe der Biegemomente und Durchbiegungen des Balkens sehr groß sein und darf bei der Berechnung nicht vernachlässigt werden. In diesem Fall sollte der Balken für Längs-Quer-Biegung berechnet werden, also die Berechnung für gemeinsame Aktion Biegung und Druck (oder Zug), durchgeführt unter Berücksichtigung des Einflusses der Axiallast (Kraft S) auf die Biegeverformung des Trägers.

Betrachten wir die Vorgehensweise einer solchen Berechnung am Beispiel eines an den Enden gelenkig gelagerten Balkens, der mit in eine Richtung gerichteten Querkräften und einer Druckkraft S belastet wird (Abb. 9.13).

Ersetzen wir es durch einen ungefähren Wert Differentialgleichung elastische Linie (1.13) Ausdruck des Biegemoments M nach Formel (23.13):

[das Minuszeichen vor der rechten Seite der Gleichung wird genommen, da hier im Gegensatz zur Formel (1.13) die Abwärtsrichtung bei Auslenkungen als positiv angesehen wird], oder

Somit,

Um die Lösung zu vereinfachen, nehmen wir an, dass die zusätzliche Ablenkung über die Länge des Balkens entlang einer Sinuskurve variiert, d. h. dass

Diese Annahme ermöglicht es, ziemlich genaue Ergebnisse zu erhalten, wenn ein Balken einer Querlast ausgesetzt ist, die in eine Richtung gerichtet ist (z. B. von oben nach unten). Ersetzen wir die Auslenkung in Formel (25.13) durch den Ausdruck

Der Ausdruck stimmt mit Eulers Formel für die kritische Kraft überein komprimierte Stange mit aufklappbaren Enden. Daher wird sie als Euler-Kraft bezeichnet.

Somit,

Es ist notwendig, die Euler-Kraft von der mit der Euler-Formel berechneten kritischen Kraft zu unterscheiden. Der Wert kann mit der Euler-Formel nur berechnet werden, wenn die Flexibilität des Stabes größer als das Maximum ist; Der Wert wird unabhängig von der Flexibilität des Balkens in die Formel (26.13) eingesetzt. Die Formel für die kritische Kraft beinhaltet in der Regel das minimale Trägheitsmoment des Stabquerschnitts, und der Ausdruck für die Euler-Kraft beinhaltet das Trägheitsmoment relativ zu dem der Hauptträgheitsachsen des Stabquerschnitts senkrecht zur Wirkungsebene der Querlast steht.

Aus Formel (26.13) folgt, dass das Verhältnis zwischen den Gesamtdurchbiegungen des Balkens y und den Durchbiegungen, die nur durch die Wirkung der Querlast verursacht werden, vom Verhältnis (der Größe der Druckkraft 5 zur Größe der Euler-Kraft) abhängt. .

Somit ist das Verhältnis ein Kriterium für die Steifigkeit des Balkens bei Längs-Quer-Biegung; Wenn dieses Verhältnis nahe bei Null liegt, ist die Steifigkeit des Balkens hoch, und wenn es nahe bei Eins liegt, ist die Steifigkeit des Balkens gering, d. h. der Balken ist flexibel.

Im Fall der Durchbiegung, d. h. ohne Kraft S, werden Durchbiegungen nur durch die Einwirkung einer seitlichen Belastung verursacht.

Wenn sich die Größe der Druckkraft S dem Wert der Euler-Kraft nähert, nehmen die Gesamtdurchbiegungen des Balkens stark zu und können um ein Vielfaches größer sein als die Durchbiegungen, die nur durch die Einwirkung der Querlast verursacht werden. Im Grenzfall at werden die nach Formel (26.13) berechneten Auslenkungen y gleich unendlich.

Es ist zu beachten, dass die Formel (26.13) für sehr große Auslenkungen des Strahls nicht anwendbar ist, da sie auf einem ungefähren Krümmungsausdruck basiert. Dieser Ausdruck ist nur für kleine Auslenkungen anwendbar und sollte für große durch ersetzt werden gleicher Ausdruck der Krümmung (65.7). In diesem Fall wären die Auslenkungen bei nicht gleich unendlich, sondern zwar sehr groß, aber endlich.

Wenn eine Zugkraft auf den Balken ausgeübt wird, nimmt die Formel (26.13) die Form an.

Aus dieser Formel folgt, dass die Gesamtdurchbiegungen geringer sind als die Durchbiegungen, die nur durch die Einwirkung der Querlast verursacht werden. Bei einer Zugkraft S, die numerisch dem Wert der Euler-Kraft entspricht (d. h. bei ), sind die Auslenkungen y halb so groß wie die Auslenkungen

Die maximalen und minimalen Normalspannungen im Querschnitt eines Trägers mit angelenkten Enden unter Längs-Quer-Biegung und Druckkraft S sind gleich

Betrachten wir einen Zwei-Stützen-Träger mit I-Profil und einer Spannweite. Der Träger wird in der Mitte mit einer Vertikalkraft P belastet und durch eine Axialkraft S = 600 zusammengedrückt (Abb. 10.13). Trägheitsmoment, Widerstandsmoment und Elastizitätsmodul der Balkenquerschnittsfläche

Die Querbinder, die diesen Balken mit den angrenzenden Balken der Struktur verbinden, verhindern, dass der Balken in der horizontalen Ebene (d. h. in der Ebene der geringsten Steifigkeit) an Stabilität verliert.

Das Biegemoment und die Durchbiegung in der Mitte des Trägers, berechnet ohne Berücksichtigung des Einflusses der Kraft S, sind gleich:

Die Euler-Kraft wird aus dem Ausdruck bestimmt

Die Durchbiegung in der Mitte des Balkens, berechnet unter Berücksichtigung des Einflusses der Kraft S nach Formel (26.13),

Bestimmen wir die höchsten Normalspannungen (Druckspannungen) im durchschnittlichen Balkenquerschnitt mit der Formel (28.13):

von wo nach der Konvertierung

Einsetzen in einen Ausdruck (29.13) unterschiedliche Bedeutungen P(v) erhalten wir die entsprechenden Spannungswerte. Grafisch wird die Beziehung zwischen, bestimmt durch Ausdruck (29.13), durch die in Abb. gezeigte Kurve charakterisiert. 11.13.

Bestimmen wir die zulässige Belastung P, wenn für das Trägermaterial a der erforderliche Sicherheitsfaktor also die zulässige Spannung für das Material ist

Aus Abb. 11.23 Daraus folgt, dass unter Belastung Spannungen im Balken auftreten und unter Belastung Spannungen auftreten

Wenn wir die Last als zulässige Last annehmen, ist der Spannungssicherheitsfaktor gleich dem angegebenen Wert. In diesem Fall hat der Balken jedoch einen unbedeutenden Lastsicherheitsfaktor, da in ihm bereits bei Rot Spannungen in Höhe von auftreten

Folglich beträgt der Ladungssicherheitsfaktor in diesem Fall 1,06 (da e. eindeutig unzureichend ist).

Damit der Balken einen Lastsicherheitsfaktor von 1,5 hat, sollte dieser Wert als akzeptabel angenommen werden; die Spannungen im Balken sind wie folgt aus Abb. 11,13, ungefähr gleich

Oben wurden Festigkeitsberechnungen basierend auf zulässigen Spannungen durchgeführt. Dadurch wurde der notwendige Sicherheitsspielraum nicht nur für Spannungen, sondern auch für Lasten geschaffen, da in fast allen in den vorherigen Kapiteln diskutierten Fällen die Spannungen direkt proportional zur Größe der Lasten sind.

Bei Längs-Quer-Biegebeanspruchung, wie aus Abb. 11.13, sind nicht direkt proportional zur Belastung, sondern ändern sich schneller als die Belastung (bei Druckkraft S). In diesem Zusammenhang kann selbst eine geringfügige unbeabsichtigte Erhöhung der Belastung über den Auslegungswert hinaus zu einer sehr starken Spannungserhöhung und Zerstörung der Struktur führen. Daher sollte die Berechnung komprimierter gebogener Stäbe für Längs-Quer-Biegung nicht nach den zulässigen Spannungen, sondern nach der zulässigen Belastung erfolgen.

Erstellen wir analog zur Formel (28.13) eine Festigkeitsbedingung bei der Berechnung der Längs-Quer-Biegung anhand der zulässigen Belastung.

Druckgebogene Stäbe müssen neben der Berechnung der Längs-Quer-Biegung auch auf Stabilität berechnet werden.

Es lässt sich leicht ein bestimmter Zusammenhang zwischen Biegemoment, Querkraft und der Intensität der Flächenlast herstellen. Betrachten wir einen Balken, der mit einer beliebigen Last belastet ist (Abbildung 5.10). Bestimmen wir die Querkraft in einem beliebigen Abschnitt, der sich im Abstand vom linken Träger befindet Z.

Wenn wir die links vom Abschnitt befindlichen Kräfte auf die Vertikale projizieren, erhalten wir

Wir berechnen die Scherkraft in einem entfernten Abschnitt z+ dz von der linken Unterstützung.

Abbildung 5.8 .

Wenn wir (5.1) von (5.2) subtrahieren, erhalten wir dQ= qdz, Wo

das heißt, die Ableitung der Scherkraft entlang der Abszisse des Balkenquerschnitts ist gleich der Intensität der verteilten Last .

Berechnen wir nun das Biegemoment im Abschnitt mit der Abszisse z, wobei die Summe der Momente der Kräfte genommen wird, die links vom Abschnitt wirken. Dazu wird eine verteilte Last über einen Längenabschnitt verteilt z wir ersetzen es durch die Resultierende gleich qz und mit Abstand in der Mitte der Fläche angebracht z/2 aus der Rubrik:

(5.3)

Durch Subtrahieren von (5.3) von (5.4) erhalten wir den Zuwachs des Biegemoments

Der Ausdruck in Klammern gibt die Scherkraft an Q. Dann . Von hier aus erhalten wir die Formel

Somit ist die Ableitung des Biegemoments entlang der Abszisse des Balkenquerschnitts gleich der Querkraft (Satz von Zhuravsky).

Wenn wir die Ableitung beider Seiten der Gleichheit (5.5) bilden, erhalten wir

Das heißt, die zweite Ableitung des Biegemoments entlang der Abszisse des Balkenabschnitts ist gleich der Intensität der verteilten Last. Wir werden die erhaltenen Abhängigkeiten verwenden, um die Richtigkeit der Konstruktion von Diagrammen von Biegemomenten und Querkräften zu überprüfen.

Erstellung von Spannungs-Druck-Diagrammen

Beispiel 1.

Säule mit rundem Durchmesser D mit Gewalt zusammengedrückt F. Bestimmen Sie die Durchmesserzunahme unter Kenntnis des Elastizitätsmoduls E und Poissonzahl des Säulenmaterials.

Lösung.

Die Längsverformung nach dem Hookeschen Gesetz ist gleich

Mit dem Poissonschen Gesetz finden wir Querverformung

Andererseits, .

Somit, .

Beispiel 2.

Erstellen Sie Diagramme der Längskraft, Spannung und Verschiebung für einen Stufenträger.

Lösung.

1. Bestimmung der Stützreaktion. Wir stellen die Gleichgewichtsgleichung in der Projektion auf die Achse auf z:

Wo RE = 2qa.

2. Diagramme erstellen N z, , W.

E p u r a N z. Es ist nach der Formel aufgebaut

,

E p u r a. Die Spannung ist gleich. Wie aus dieser Formel hervorgeht, werden Sprünge im Diagramm nicht nur durch Sprünge verursacht N z, sondern auch durch plötzliche Änderungen der Querschnittsfläche. Wir ermitteln die Werte an charakteristischen Punkten: