Was ist der Unterschied zwischen reinem Biegen und Querbiegen? Archiv der Kategorie: Biegung

23.06.2020

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Beim Bauen Diagramme der BiegemomenteM bei Bauherren akzeptiert: Ordinaten, die in einem bestimmten Maßstab ausgedrückt werden positiv Werte der Biegemomente, beiseite legen gestreckt Fasern, d.h. - runter, A negativ - oben von der Strahlachse. Daher sagen sie, dass Bauherren Diagramme auf gedehnten Fasern erstellen. Bei den Mechanikern Positive Werte sowohl der Querkraft als auch des Biegemoments werden verschoben hoch. Mechaniker zeichnen Diagramme auf komprimiert Fasern.

Hauptbetonungen beim Biegen. Äquivalente Spannungen.

Im allgemeinen Fall einer direkten Biegung in den Querschnitten eines Trägers gilt: normal Und TangentenStromspannung. Diese Spannungen variieren sowohl entlang der Länge als auch der Höhe des Balkens.

Im Falle einer Biegung ist dies der Fall ebener Spannungszustand.

Betrachten wir ein Diagramm, in dem der Balken mit der Kraft P belastet wird

Größter Normalwert Spannungen entstehen in extrem, Punkte, die am weitesten von der neutralen Linie entfernt sind, und In ihnen treten keine Scherspannungen auf. Also z extrem Fasern Hauptspannungen ungleich Null sind Normalspannungen im Querschnitt.

Auf der Ebene der neutralen Linie im Querschnitt des Balkens gibt es höchste Scherbeanspruchung, A Normalspannungen sind Null. bedeutet in den Fasern neutral Schicht die Hauptspannungen werden durch die Werte der Tangentialspannungen bestimmt.

In diesem Entwurfsschema Die oberen Fasern des Balkens werden gedehnt und die unteren werden gestaucht. Zur Bestimmung der Hauptspannungen verwenden wir den bekannten Ausdruck:

Voll Spannungsanalyse Stellen wir es uns auf dem Bild vor.

Biegespannungsanalyse

Maximale Hauptspannung σ 1 befindet sich Oberer, höher extreme Fasern und ist auf den unteren äußersten Fasern gleich Null. Hauptspannung σ 3 Es hat am höchsten in Absolutwert Wert auf die unteren Fasern.

Verlauf der Hauptspannungen hängt von der Lasttyp Und Methode zur Befestigung des Balkens.

Beim Lösen von Problemen reicht es separatüberprüfen normal Und getrennt Tangentialspannungen. Allerdings manchmal am stressigsten erweisen sich als dazwischenliegend Fasern, in denen sowohl Normal- als auch Scherspannungen auftreten. Dies geschieht in Abschnitten, in denen Gleichzeitig erreichen sowohl das Biegemoment als auch die Querkraft große Werte - Dies kann bei der Einbettung eines Kragarms, bei der Auflage eines Balkens mit Kragarm, in Abschnitten unter konzentrierter Krafteinwirkung oder in Abschnitten mit stark wechselnden Breiten der Fall sein. Zum Beispiel in einem I-Abschnitt am gefährlichsten die Verbindung von Wand und Regal- es gibt Sowohl Normal- als auch Scherspannungen sind erheblich.

Das Material befindet sich in einem ebenen Spannungszustand und ist erforderlich Überprüfen Sie, ob entsprechende Spannungen vorhanden sind.

Festigkeitsbedingungen für Träger aus Kunststoffmaterialien Von dritte(Theorie maximaler Tangentialspannungen) Und vierte(Theorie der Energie von Formänderungen) Theorien der Stärke.

In gewalzten Trägern werden die Vergleichsspannungen in der Regel nicht überschritten normaler Stress Bei extremen Fasern sind keine besonderen Tests erforderlich. Etwas anderes - Verbundmetallträger, welche Die Wand ist dünner als bei Walzprofilen auf gleicher Höhe. Häufiger werden geschweißte Verbundträger aus Stahlblechen verwendet. Berechnung der Festigkeit solcher Balken: a) Auswahl des Abschnitts – Höhe, Dicke, Breite und Dicke der Balkensehnen; b) Überprüfung der Festigkeit durch Normal- und Tangentialspannungen; c) Überprüfung der Festigkeit anhand von Vergleichsspannungen.

Bestimmung der Schubspannungen in einem I-Profil. Betrachten wir den Abschnitt Ich glänze S x =96,9 cm 3 ; Yх=2030 cm 4 ; Q=200 kN

Zur Bestimmung der Schubspannung wird diese verwendet Formel,wobei Q die Scherkraft im Abschnitt und S x 0 das statische Moment des Teils ist Querschnitt, befindet sich auf einer Seite der Schicht, in der die Scherspannung bestimmt wird, I x ist das Trägheitsmoment des gesamten Querschnitts, b ist die Breite des Abschnitts an der Stelle, an der die Scherspannung bestimmt wird

Rechnen wir maximal Schubspannung:

Berechnen wir das statische Moment für obersten Regal:

Nun lasst uns rechnen Schubspannung:

Wir bauen Schubspannungsdiagramm:

Betrachten wir den Querschnitt eines Standardprofils in der Form Ich glänze und definieren Scherbeanspruchung, parallel zur Scherkraft wirkend:

Rechnen wir statische Momente einfache Zahlen:

Dieser Wert kann berechnet werden und ansonsten, unter Ausnutzung der Tatsache, dass für die I-Träger- und Trogabschnitte das statische Moment der Hälfte des Abschnitts angegeben ist. Dazu ist es notwendig, vom bekannten Wert des statischen Moments den Wert des statischen Moments zur Geraden abzuziehen A 1 B 1:

Die Tangentialspannungen an der Verbindungsstelle zwischen Flansch und Wand ändern sich krampfhaft, als scharf Wandstärke variiert von t st Vor B.

Diagramme der Tangentialspannungen in den Wänden von Trog-, Hohl-Rechteck- und anderen Profilen haben die gleiche Form wie im Fall eines I-Profils. Die Formel umfasst das statische Moment des schattierten Teils des Abschnitts relativ zur X-Achse und der Nenner enthält die Breite des Abschnitts (netto) in der Schicht, in der die Scherspannung bestimmt wird.

Bestimmen wir die Tangentialspannungen für einen Kreisabschnitt.

Da die Schubspannungen auf die Profilkontur gerichtet sein müssen tangential zur Kontur, dann punktuell A Und IN an den Enden einer beliebigen Sehne parallel zum Durchmesser AB, Schubspannungen werden gerichtet senkrecht zu den Radien OA Und OV. Somit, Richtungen Tangentialspannungen an Punkten A, VC irgendwann zusammenlaufen N auf der Y-Achse.

Statisches Moment des abgeschnittenen Teils:

Das heißt, die Schubspannungen ändern sich entsprechend parabolisch Gesetz und wird auf der Ebene der neutralen Linie maximal sein, wenn y 0 =0

Formel zur Bestimmung der Schubspannung (Formel)

Betrachten Sie einen rechteckigen Abschnitt

Auf Distanz y 0 Von der Mittelachse zeichnen wir Abschnitt 1-1 und bestimmen Sie die Tangentialspannungen. Statischer Moment Bereich abgeschnittenes Teil:

Es sollte bedacht werden, dass es von grundlegender Bedeutung ist gleichgültig, nimm das statische Moment der Fläche schattierter oder verbleibender Teil Querschnitt. Beides statische Momente gleich und entgegengesetzt im Vorzeichen, also ihre Summe, was darstellt statisches Flächenmoment des gesamten Abschnitts relativ zur neutralen Linie, nämlich der zentralen x-Achse, gleich sein null.

Trägheitsmoment eines rechteckigen Abschnitts:

Dann Scherbeanspruchung nach der Formel

Die Variable y 0 ist in der Formel enthalten zweite Grad, d.h. Tangentialspannungen in einem rechteckigen Abschnitt variieren je nach Gesetz einer quadratischen Parabel.

Schubspannung erreicht maximal auf der Ebene der neutralen Linie, d.h. Wann y 0 =0:

, Wo A ist die Fläche des gesamten Abschnitts.

Festigkeitsbedingung für Tangentialspannungen hat die Form:

, Wo S x 0– statisches Moment des Teils des Querschnitts, der sich auf einer Seite der Schicht befindet, in dem die Schubspannungen bestimmt werden, Ix– Trägheitsmoment des gesamten Querschnitts, B– Abschnittsbreite an der Stelle, an der die Schubspannung bestimmt wird, Q-Seitenkraft, τ - Scherbeanspruchung, [τ] — zulässige Tangentialspannung.

Dieser Festigkeitszustand ermöglicht es uns zu produzieren drei Art der Berechnung (drei Arten von Problemen bei der Berechnung der Festigkeit):

1. Nachweisrechnung bzw. Festigkeitsprüfung anhand von Tangentialspannungen:

2. Auswahl der Abschnittsbreite (für einen rechteckigen Abschnitt):

3. Bestimmung der zulässigen Querkraft (für einen rechteckigen Querschnitt):

Zur Bestimmung Tangenten Betrachten Sie bei Spannungen einen mit Kräften belasteten Balken.

Die Aufgabe, Spannungen zu ermitteln, ist immer statisch unbestimmt und erfordert Engagement geometrisch Und körperlich Gleichungen. Es ist jedoch möglich, dies zu akzeptieren Hypothesen über die Natur der Stressverteilung dass die Aufgabe wird statisch definierbar.

Durch zwei unendlich nahe beieinander liegende Querschnitte 1-1 und 2-2 selektieren wir dz-Element, Lassen Sie uns es im großen Maßstab darstellen und dann einen Längsschnitt 3-3 zeichnen.

In den Abschnitten 1–1 und 2–2, Normalspannungen σ 1, σ 2, die durch die bekannten Formeln bestimmt werden:

Wo M - Biegemoment im Querschnitt, dM - Inkrement Biegemoment bei der Länge dz

Seitenkraft in den Abschnitten 1–1 und 2–2 ist entlang der Hauptmittelachse Y gerichtet und stellt offensichtlich dar die Summe der vertikalen Komponenten der über den Abschnitt verteilten inneren Tangentialspannungen. In der Regel wird auf die Festigkeit der Materialien geachtet Annahme ihrer gleichmäßigen Verteilung über die Breite des Abschnitts.

Zur Bestimmung der Größe der Scherspannungen an einem beliebigen Punkt im Querschnitt, der sich in einiger Entfernung befindet y 0 Zeichnen Sie von der neutralen X-Achse aus eine Ebene parallel zur neutralen Ebene (3-3) durch diesen Punkt und entfernen Sie das abgeschnittene Element. Wir werden die Spannung bestimmen, die über den ABCD-Bereich wirkt.

Projizieren wir alle Kräfte auf die Z-Achse

Die Resultierende der inneren Längskräfte entlang der rechten Seite ist gleich:

Wo A 0 – Fläche der Fassadenkante, S x 0 – statisches Moment des abgeschnittenen Teils relativ zur X-Achse. Ebenso auf der linken Seite:

Beide Ergebnisse gerichtet auf gegenseitig, da das Element in ist komprimiert Strahlbereich. Ihr Unterschied wird durch die Tangentialkräfte am unteren Rand von 3-3 ausgeglichen.

Tun wir mal so Schubspannung τüber die Breite des Balkenquerschnitts verteilt b gleichmäßig. Diese Annahme ist umso wahrscheinlicher, je kleiner die Breite im Vergleich zur Höhe des Abschnitts ist. Dann Resultierende der Tangentialkräfte dT gleich dem Spannungswert multipliziert mit der Gesichtsfläche:

Lasst uns jetzt komponieren Gleichgewichtsgleichung Σz=0:

oder woher

Lass uns erinnern unterschiedliche Abhängigkeiten , wonach Dann erhalten wir die Formel:

Diese Formel heißt Formeln. Diese Formel wurde 1855 erhalten. Hier S x 0 – statisches Moment eines Teils des Querschnitts, auf einer Seite der Schicht liegen, in der die Schubspannungen bestimmt werden, I x – Trägheitsmoment der gesamte Querschnitt, b – Abschnittsbreite an der Stelle, an der die Schubspannung bestimmt wird, Q – Scherkraft im Querschnitt.

— Biegefestigkeitszustand, Wo

- maximales Moment (Modulo) aus dem Diagramm der Biegemomente; - axiales Widerstandsmoment des Abschnitts, geometrisch charakteristisch; - zulässige Spannung (σ zul)

- maximale Normalspannung.

Erfolgt die Berechnung gem Grenzzustandsmethode, dann gehen wir statt der zulässigen Spannung in die Berechnung ein Bemessungswiderstand des Materials R.

Arten von Biegefestigkeitsberechnungen

1. Überprüfen Berechnung oder Prüfung der Festigkeit unter Verwendung von Normalspannungen

2. Design Berechnung bzw Auswahl des Abschnitts

3. Definition zulässig laden (Definition Tragfähigkeit und/oder betriebsbereit Träger Fähigkeiten)

Bei der Ableitung der Formel zur Berechnung der Normalspannungen berücksichtigen wir den Biegefall, bei dem die Schnittgrößen in den Balkenabschnitten nur auf reduziert werden Biegemoment, A Die Scherkraft ist Null. Dieser Biegefall wird aufgerufen reines Biegen. Betrachten Sie den mittleren Abschnitt des Trägers, der einer reinen Biegung unterliegt.

Bei Belastung biegt sich der Balken so, dass er Die unteren Fasern verlängern sich und die oberen Fasern verkürzen sich.

Da ein Teil der Fasern des Balkens gedehnt und ein Teil komprimiert wird, kommt es zum Übergang von Spannung zu Kompression reibungslos, ohne Sprünge, V Durchschnitt Ein Teil des Balkens befindet sich eine Schicht, deren Fasern sich nur biegen, aber weder Zug noch Druck erfahren. Diese Schicht heißt neutral Schicht. Die Linie, entlang der die neutrale Schicht den Querschnitt des Balkens schneidet, wird aufgerufen neutrale Linie oder neutrale Achse Abschnitte. Auf der Achse des Balkens sind neutrale Linien aufgereiht. Neutrale Linie ist die Zeile, in der Normalspannungen sind Null.

Die auf der Seitenfläche des Strahls senkrecht zur Achse gezeichneten Linien bleiben erhalten Wohnung beim Biegen. Diese experimentellen Daten ermöglichen es, die Schlussfolgerungen der Formeln zu begründen Hypothese ebener Schnitte (Vermutung). Nach dieser Hypothese sind die Abschnitte des Balkens vor dem Biegen flach und senkrecht zu seiner Achse, bleiben flach und verlaufen beim Biegen senkrecht zur gekrümmten Achse des Balkens.

Annahmen zur Ableitung von Normalspannungsformeln: 1) Die Hypothese ebener Schnitte ist erfüllt. 2) Längsfasern drücken nicht aufeinander (Nicht-Druck-Hypothese) und daher befindet sich jede der Fasern in einem Zustand einachsiger Spannung oder Kompression. 3) Verformungen von Fasern hängen nicht von ihrer Position entlang der Querschnittsbreite ab. Folglich bleiben die Normalspannungen, die sich entlang der Höhe des Abschnitts ändern, entlang der Breite gleich. 4) Der Balken hat mindestens eine Symmetrieebene und alle äußeren Kräfte liegen in dieser Ebene. 5) Das Material des Balkens gehorcht dem Hookeschen Gesetz und der Elastizitätsmodul bei Zug und Druck ist gleich. 6) Die Beziehungen zwischen den Abmessungen des Balkens sind so, dass er unter bestimmten Bedingungen funktioniert flache Biegung kein Verziehen oder Einrollen.

Betrachten wir einen Balken mit beliebigem Querschnitt, aber einer Symmetrieachse. Biegemoment repräsentiert resultierendes Moment der inneren Normalkräfte, entsteht auf unendlich kleinen Flächen und kann ausgedrückt werden in Integral bilden: (1), wobei y der Arm der Elementarkraft relativ zur x-Achse ist

Formel (1) drückt aus statisch Seite des Problems der Biegung eines geraden Balkens, jedoch entlang dieser mit einem bekannten Biegemoment Es ist unmöglich, Normalspannungen zu bestimmen, bis das Gesetz ihrer Verteilung festgelegt ist.

Wählen wir die Balken im Mittelteil aus und überlegen wir Abschnitt der Länge dz, unterliegen einer Biegung. Lassen Sie es uns im vergrößerten Maßstab darstellen.

Abschnitte, die den Bereich dz begrenzen, parallel zueinander, bis sie verformt werden, und nach Aufbringen der Last drehen sich um einen Winkel um ihre neutralen Linien . Die Länge des Fasersegments der neutralen Schicht ändert sich nicht. und wird gleich sein: , wo ist es Krümmungsradius die gekrümmte Achse des Balkens. Aber jede andere Faser liegt niedriger oder höher neutrale Schicht, wird seine Länge ändern. Rechnen wir relative Dehnung von Fasern, die sich im Abstand y von der neutralen Schicht befinden. Die relative Dehnung ist das Verhältnis der absoluten Verformung zur ursprünglichen Länge, dann:

Reduzieren wir um und bringen ähnliche Begriffe mit, dann erhalten wir: (2) Diese Formel drückt aus geometrisch Seite des reinen Biegeproblems: Die Verformungen der Fasern sind direkt proportional zu ihren Abständen zur neutralen Schicht.

Kommen wir nun zu betont, d.h. wir werden darüber nachdenken körperlich Seite der Aufgabe. gemäß Annahme ohne Druck Wir verwenden Fasern unter axialem Zug-Druck: dann unter Berücksichtigung der Formel (2) wir haben (3), diese. normaler Stress beim Biegen entlang der Profilhöhe linear verteilt. An den äußersten Fasern erreichen die Normalspannungen ihren Maximalwert und im Schwerpunkt des Abschnitts sind sie gleich Null. Lasst uns ersetzen (3) in die Gleichung ein (1) und nimm den Bruch aus dem Integralzeichen als konstanter Wert, dann haben wir . Aber der Ausdruck ist axiales Trägheitsmoment des Abschnitts relativ zur x-Achse - Ich x. Seine Dimension cm 4, m 4

Dann ,Wo (4) ,wo ist die Krümmung der gekrümmten Achse des Balkens und die Steifigkeit des Balkenabschnitts beim Biegen.

Ersetzen wir den resultierenden Ausdruck Krümmung (4) in den Ausdruck bringen (3) und wir bekommen Formel zur Berechnung der Normalspannungen an jedem Punkt im Querschnitt: (5)

Das. maximal Spannungen entstehen an den Punkten, die am weitesten von der neutralen Linie entfernt sind. Attitüde (6) angerufen axiales Moment des Abschnittswiderstands. Seine Dimension cm 3, m 3. Das Widerstandsmoment charakterisiert den Einfluss der Form und Abmessungen des Querschnitts auf die Größe der Spannungen.

Dann maximale Spannungen: (7)

Biegefestigkeitsbedingung: (8)

Wenn eine Querbiegung auftritt nicht nur Normal-, sondern auch Schubspannungen, Weil verfügbar Scherkraft. Scherbeanspruchung erschweren das Bild der Verformung, sie führen zu Krümmung Querschnitte des Balkens, was zu die Hypothese der ebenen Schnitte wird verletzt. Untersuchungen zeigen jedoch, dass durch Scherspannungen Verformungen entstehen leicht wirken sich auf die nach der Formel berechneten Normalspannungen aus (5) . Somit kommt es bei der Ermittlung von Normalspannungen zu Querbiegung Die Theorie der reinen Biegung ist durchaus anwendbar.

Neutrale Linie. Frage zur Position der neutralen Linie.

Fehlt beim Biegen Längskraft, damit wir schreiben können Ersetzen wir hier die Formel für Normalspannungen (3) und wir bekommen Da der Längselastizitätsmodul des Balkenmaterials ungleich Null ist und die gekrümmte Achse des Balkens einen endlichen Krümmungsradius aufweist, bleibt die Annahme, dass dieses Integral gleich Null ist statisches Flächenmoment Querschnitt des Strahls relativ zur neutralen Linienachse x , und da ist sie gleich Null, dann verläuft die Neutrallinie durch den Schwerpunkt des Abschnitts.

Die Bedingung (Fehlen eines Moments der Schnittgrößen relativ zur Feldlinie) ergibt oder unter Berücksichtigung (3) . Aus den gleichen Gründen (siehe oben) . Im Integranden - Das Zentrifugalträgheitsmoment des Abschnitts relativ zur x- und y-Achse ist Null, was bedeutet, dass diese Achsen sind Haupt und Zentral und schminken gerade Ecke. Somit, Strom- und Neutralleiter gerade Biegung zueinander senkrecht.

Nach der Installation neutrale Linienposition, einfach zu bauen Normalspannungsdiagramm entlang der Abschnittshöhe. Ihr linear Charakter wird bestimmt Gleichung ersten Grades.

Die Art des Diagramms σ für symmetrische Abschnitte relativ zur Neutrallinie, M<0

Allgemeine Konzepte.

Biegeverformungbesteht in einer Krümmung der Achse eines geraden Stabes oder in einer Änderung der anfänglichen Krümmung eines geraden Stabes(Abb. 6.1) . Machen wir uns mit den Grundkonzepten vertraut, die bei der Betrachtung der Biegeverformung verwendet werden.

Man nennt Stäbe, die sich biegen Balken.

Sauber Dies wird als Biegung bezeichnet, bei der das Biegemoment der einzige innere Kraftfaktor ist, der im Querschnitt des Balkens auftritt.

Häufiger entsteht im Querschnitt des Stabes neben dem Biegemoment auch eine Querkraft. Diese Biegung wird Querbiegung genannt.

Flach (gerade) Man nennt es Biegung, wenn die Wirkungsebene des Biegemoments im Querschnitt durch eine der Hauptmittelachsen des Querschnitts verläuft.

Mit schräger Biegung Die Wirkungsebene des Biegemoments schneidet den Querschnitt des Balkens entlang einer Linie, die mit keiner der Hauptmittelachsen des Querschnitts zusammenfällt.

Wir beginnen unsere Untersuchung der Biegeverformung mit dem Fall der reinen ebenen Biegung.

Normale Spannungen und Dehnungen beim reinen Biegen.

Wie bereits erwähnt, ist bei reiner ebener Biegung im Querschnitt von den sechs Schnittgrößenfaktoren nur das Biegemoment ungleich Null (Abb. 6.1, c):

; (6.1)

An elastischen Modellen durchgeführte Experimente zeigen, dass ein Liniengitter auf die Oberfläche des Modells aufgebracht wird(Abb. 6.1, a) , dann verformt es sich bei reiner Biegung wie folgt(Abb. 6.1, b):

a) Längslinien sind entlang des Umfangs gekrümmt;

b) die Konturen der Querschnitte bleiben flach;

c) Die Höhenlinien der Abschnitte schneiden sich überall mit den Längsfasern im rechten Winkel.

Auf dieser Grundlage kann davon ausgegangen werden, dass bei reiner Biegung die Querschnitte des Balkens flach bleiben und sich so drehen, dass sie normal zur gekrümmten Achse des Balkens bleiben (flache Abschnitte in der Biegehypothese).

Reis. .

Durch Messen der Länge der Längslinien (Abb. 6.1, b) können Sie feststellen, dass sich die oberen Fasern bei der Biegung des Balkens verlängern und die unteren kürzer werden. Offensichtlich ist es möglich, Fasern zu finden, deren Länge unverändert bleibt. Ein Satz Fasern, deren Länge sich beim Biegen eines Balkens nicht ändert, wird als bezeichnetneutrale Schicht (n.s.). Die neutrale Schicht schneidet den Querschnitt des Balkens in einer geraden Linie, die man nenntAbschnitt der Neutralleitung (n.l.)..

Um eine Formel abzuleiten, die die Größe der im Querschnitt auftretenden Normalspannungen bestimmt, betrachten wir einen Abschnitt des Balkens im verformten und unverformten Zustand (Abb. 6.2).

Reis. .

Unter Verwendung zweier infinitesimaler Querschnitte wählen wir ein Längenelement aus. Vor der Verformung waren die das Element begrenzenden Abschnitte parallel zueinander (Abb. 6.2, a) und nach der Verformung neigten sie sich leicht und bildeten einen Winkel. Die Länge der in der Neutralschicht liegenden Fasern verändert sich beim Biegen nicht. Bezeichnen wir den Krümmungsradius der Spur der neutralen Schicht auf der Zeichenebene mit einem Buchstaben. Bestimmen wir die lineare Verformung einer beliebigen Faser, die sich im Abstand von der neutralen Schicht befindet.

Die Länge dieser Faser nach der Verformung (Bogenlänge) ist gleich. Wenn man bedenkt, dass vor der Verformung alle Fasern die gleiche Länge hatten, erhält man die absolute Dehnung der betreffenden Faser

Seine relative Verformung

Offensichtlich hat sich die Länge der in der Neutralschicht liegenden Faser nicht verändert. Dann bekommen wir nach der Auswechslung

(6.2)

Daher ist die relative Längsdehnung proportional zum Abstand der Faser von der neutralen Achse.

Nehmen wir an, dass die Längsfasern beim Biegen nicht aufeinander drücken. Unter dieser Annahme verformt sich jede Faser isoliert und erfährt dabei eine einfache Spannung oder Kompression. Unter Berücksichtigung von (6.2)

, (6.3)

das heißt, Normalspannungen sind direkt proportional zu den Abständen der betrachteten Querschnittspunkte von der neutralen Achse.

Ersetzen wir die Abhängigkeit (6.3) in den Ausdruck für das Biegemoment im Querschnitt (6.1).

Denken Sie daran, dass das Integral das Trägheitsmoment des Abschnitts relativ zur Achse darstellt

Oder

(6.4)

Die Abhängigkeit (6.4) stellt das Hookesche Gesetz für Biegung dar, da sie die Verformung (Krümmung der neutralen Schicht) mit dem im Abschnitt wirkenden Moment verknüpft. Das Produkt wird als Biegesteifigkeit des Abschnitts N bezeichnet m 2.

Ersetzen wir (6.4) durch (6.3)

(6.5)

Dies ist die erforderliche Formel zur Bestimmung der Normalspannungen bei reiner Biegung eines Balkens an jedem Punkt seines Querschnitts.

Für Um festzustellen, wo sich die Neutrallinie im Querschnitt befindet, setzen wir den Wert der Normalspannungen in den Ausdruck für die Längskraft und das Biegemoment ein

Weil das,

Das

(6.6)

(6.7)

Gleichheit (6.6) besagt, dass die Achse, die neutrale Achse des Querschnitts, durch den Schwerpunkt des Querschnitts verläuft.

Gleichheit (6.7) zeigt, dass und die Hauptmittelachsen des Abschnitts sind.

Nach (6.5) wird die höchste Spannung in den Fasern erreicht, die am weitesten vom Neutralleiter entfernt sind

Das Verhältnis stellt das axiale Widerstandsmoment des Abschnitts relativ zu seiner Mittelachse dar, d. h

Die Bedeutung für die einfachsten Querschnitte ist:

Für rechteckigen Querschnitt

, (6.8)

wo ist die Seite des Abschnitts senkrecht zur Achse;

Die Seite des Abschnitts verläuft parallel zur Achse;

Für runden Querschnitt

, (6.9)

Wo ist der Durchmesser des kreisförmigen Querschnitts?

Der Festigkeitszustand für normale Biegebeanspruchungen kann in das Formular geschrieben werden

(6.10)

Alle erhaltenen Formeln wurden für den Fall der reinen Biegung eines geraden Stabes ermittelt. Die Wirkung der Querkraft führt dazu, dass die den Schlussfolgerungen zugrunde liegenden Hypothesen ihre Kraft verlieren. Die Berechnungspraxis zeigt jedoch, dass auch bei Querbiegungen von Balken und Rahmen, wenn im Querschnitt neben dem Biegemoment auch eine Längskraft und eine Querkraft wirken, die angegebenen Formeln rein verwendet werden können Biegen. Der Fehler ist unbedeutend.

Bestimmung von Querkräften und Biegemomenten.

Wie bereits erwähnt, entstehen bei ebener Querbiegung im Balkenquerschnitt zwei Schnittgrößenfaktoren und.

Vor der Bestimmung werden die Reaktionen der Balkenstützen bestimmt (Abb. 6.3, a) und statische Gleichgewichtsgleichungen erstellt.

Zur Bestimmung und Anwendung der Schnittmethode. An der Stelle, die uns interessiert, machen wir einen gedanklichen Schnitt des Balkens, zum Beispiel in einiger Entfernung von der linken Stütze. Lassen Sie uns einen der Teile des Balkens verwerfen, zum Beispiel den rechten, und betrachten wir das Gleichgewicht des linken Teils (Abb. 6.3, b). Ersetzen wir die Wechselwirkung der Balkenteile durch Schnittgrößen und.

Lassen Sie uns die folgenden Vorzeichenregeln für und aufstellen:

Die Querkraft in einem Abschnitt ist positiv, wenn ihre Vektoren dazu neigen, den betrachteten Abschnitt im Uhrzeigersinn zu drehen;
Das Biegemoment in einem Abschnitt ist positiv, wenn es eine Kompression der oberen Fasern bewirkt.

Reis. .

Um diese Kräfte zu bestimmen, verwenden wir zwei Gleichgewichtsgleichungen:

1. ; ; .

2. ;

Auf diese Weise,

a) die Querkraft im Querschnitt des Balkens ist numerisch gleich der algebraischen Summe der Projektionen aller auf einer Seite des Abschnitts wirkenden äußeren Kräfte auf die Querachse des Abschnitts;

b) Das Biegemoment im Querschnitt des Balkens ist numerisch gleich der algebraischen Summe der Momente (berechnet relativ zum Schwerpunkt des Abschnitts) der äußeren Kräfte, die auf einer Seite des gegebenen Abschnitts wirken.

Bei praktischen Berechnungen orientieren sie sich in der Regel an Folgendem:

Wenn eine äußere Last dazu neigt, den Balken relativ zum betrachteten Abschnitt im Uhrzeigersinn zu drehen (Abb. 6.4, b), dann ergibt sich im Ausdruck dafür ein positiver Term.
Wenn eine äußere Last ein Moment relativ zum betrachteten Abschnitt erzeugt und eine Kompression der oberen Fasern des Balkens verursacht (Abb. 6.4, a), dann ergibt sich im Ausdruck für in diesem Abschnitt ein positiver Term.

Reis. .

Konstruktion von Diagrammen in Balken.

Stellen Sie sich einen Balken mit zwei Stützen vor(Abb. 6.5, a) . Auf den Balken wirkt an einem Punkt ein konzentriertes Moment, an einem Punkt eine konzentrierte Kraft und an einem Abschnitt eine gleichmäßig verteilte Intensitätslast.

Lassen Sie uns die Unterstützungsreaktionen ermitteln und(Abb. 6.5, b) . Die Resultierende der Flächenlast ist gleich und ihre Wirkungslinie verläuft durch die Querschnittsmitte. Lassen Sie uns Momentengleichungen über die Punkte und erstellen.

Bestimmen wir die Scherkraft und das Biegemoment in einem beliebigen Abschnitt, der sich in einem Abschnitt im Abstand von Punkt A befindet(Abb. 6.5, c) .

(Abb. 6.5, d). Der Abstand kann innerhalb von () variieren.

Der Wert der Querkraft hängt nicht von den Koordinaten des Abschnitts ab, daher sind die Querkräfte in allen Abschnitten des Abschnitts gleich und das Diagramm sieht aus wie ein Rechteck. Biegemoment

Das Biegemoment variiert linear. Bestimmen wir die Ordinaten des Diagramms für die Grenzen des Geländes.

Bestimmen wir die Scherkraft und das Biegemoment in einem beliebigen Abschnitt, der sich in einem vom Punkt entfernten Abschnitt befindet(Abb. 6.5, d). Der Abstand kann innerhalb von () variieren.

Die Querkraft variiert linear. Lassen Sie uns die Grenzen der Site definieren.

Biegemoment

Das Diagramm der Biegemomente in diesem Abschnitt ist parabelförmig.

Um den Extremwert des Biegemoments zu bestimmen, setzen wir die Ableitung des Biegemoments entlang der Abszisse des Abschnitts mit Null gleich:

Von hier

Für einen Abschnitt mit einer Koordinate beträgt der Wert des Biegemoments

Als Ergebnis erhalten wir Diagramme der Querkräfte(Abb. 6.5, f) und Biegemomente (Abb. 6.5, g).

Differenzielle Abhängigkeiten beim Biegen.

(6.11)

(6.12)

(6.13)

Diese Abhängigkeiten ermöglichen es, einige Merkmale der Diagramme der Biegemomente und Querkräfte festzulegen:

N und in Bereichen ohne verteilte Last sind die Diagramme auf Geraden parallel zur Nulllinie des Diagramms beschränkt, und Diagramme sind im allgemeinen Fall geneigte Geraden.

N und in Bereichen, in denen eine gleichmäßig verteilte Last auf den Balken ausgeübt wird, wird das Diagramm durch geneigte Geraden und das Diagramm durch quadratische Parabeln mit einer Konvexität begrenzt, die in die entgegengesetzte Richtung zur Lastrichtung weist.

IN Abschnitte, bei denen die Tangente an das Diagramm parallel zur Nulllinie des Diagramms verläuft.

N und in Bereichen, in denen das Moment zunimmt; in Bereichen, in denen das Moment abnimmt.

IN In Abschnitten, in denen konzentrierte Kräfte auf den Balken wirken, zeigt das Diagramm Sprünge entsprechend der Größe der ausgeübten Kräfte und Brüche.

In Abschnitten, in denen konzentrierte Momente auf den Balken wirken, zeigt das Diagramm Sprünge in der Größe dieser Momente.

Die Ordinaten des Diagramms sind proportional zum Tangens des Neigungswinkels der Tangente an das Diagramm.

10.1. Allgemeine Konzepte und Definitionen

Biegen- Hierbei handelt es sich um eine Belastungsart, bei der der Stab mit Momenten in Ebenen belastet wird, die durch die Längsachse des Stabes verlaufen.

Ein Stab, der sich biegt, wird Balken (oder Holz) genannt. Zukünftig werden wir geradlinige Balken betrachten, deren Querschnitt mindestens eine Symmetrieachse aufweist.

Der Widerstand von Materialien wird in flache, schräge und komplexe Biegung unterteilt.

Flache Biegung– Biegung, bei der alle den Balken biegenden Kräfte in einer der Symmetrieebenen des Balkens (in einer der Hauptebenen) liegen.

Die Hauptträgheitsebenen eines Balkens sind die Ebenen, die durch die Hauptachsen der Querschnitte und die geometrische Achse des Balkens (x-Achse) verlaufen.

Schräge Biegung– Biegung, bei der die Lasten in einer Ebene wirken, die nicht mit den Hauptträgheitsebenen zusammenfällt.

Komplexe Biegung– Biegung, bei der Lasten in verschiedenen (beliebigen) Ebenen wirken.

10.2. Bestimmung der inneren Biegekräfte

Betrachten wir zwei typische Biegefälle: Im ersten Fall wird der Kragarm durch ein konzentriertes Moment Mo gebogen; im zweiten - konzentrierte Kraft F.

Mit der Methode der mentalen Schnitte und der Aufstellung von Gleichgewichtsgleichungen für die abgeschnittenen Teile des Balkens ermitteln wir in beiden Fällen die Schnittgrößen:

Die übrigen Gleichgewichtsgleichungen sind offensichtlich identisch gleich Null.

Im allgemeinen Fall einer ebenen Biegung im Querschnitt eines Balkens entstehen also von sechs Schnittgrößen zwei – Biegemoment Mz und Scherkraft Qy (oder bei Biegung relativ zu einer anderen Hauptachse - Biegemoment My und Querkraft Qz).

Darüber hinaus kann die ebene Biegung entsprechend den beiden betrachteten Belastungsfällen in reine und transversale Biegung unterteilt werden.

Saubere Biegung– flache Biegung, bei der in den Stababschnitten von sechs Schnittgrößen nur eine entsteht – ein Biegemoment (siehe erster Fall).

Querbiegung– Biegung, bei der in den Stababschnitten zusätzlich zum inneren Biegemoment auch eine Querkraft entsteht (siehe zweiter Fall).

Zu den einfachen Widerstandsarten zählt genau genommen nur das reine Biegen; Querbiegung wird üblicherweise als einfache Widerstandsart eingestuft, da in den meisten Fällen (bei ausreichend langen Trägern) die Wirkung der Querkraft bei der Festigkeitsberechnung vernachlässigt werden kann.

Bei der Ermittlung des Eigenaufwandes orientieren wir uns an folgender Zeichenregel:

1) Die Querkraft Qy gilt als positiv, wenn sie dazu neigt, das betreffende Balkenelement im Uhrzeigersinn zu drehen;

2) Das Biegemoment Mz gilt als positiv, wenn beim Biegen eines Balkenelements die oberen Fasern des Elements gestaucht und die unteren Fasern gedehnt werden (Umbrella-Regel).

Somit wird die Lösung des Problems der Bestimmung der Schnittgrößen beim Biegen nach folgendem Plan aufgebaut: 1) Im ersten Schritt ermitteln wir unter Berücksichtigung der Gleichgewichtsbedingungen der gesamten Struktur ggf. die unbekannten Reaktionen der Stützen (beachten Sie, dass bei einem freitragenden Balken die Reaktionen in der Einbettung nicht gefunden werden können, wenn wir den Balken vom freien Ende aus betrachten); 2) Im zweiten Schritt wählen wir charakteristische Abschnitte des Balkens aus, wobei wir als Grenzen der Abschnitte die Angriffspunkte der Kräfte, die Änderungspunkte der Form oder Größe des Balkens und die Befestigungspunkte des Balkens nehmen. 3) Im dritten Schritt bestimmen wir die Schnittgrößen in den Balkenabschnitten unter Berücksichtigung der Gleichgewichtsbedingungen der Balkenelemente in jedem Abschnitt.

10.3. Differenzielle Abhängigkeiten beim Biegen

Lassen Sie uns einige Beziehungen zwischen inneren Kräften und äußeren Lasten beim Biegen sowie die charakteristischen Merkmale der Q- und M-Diagramme herstellen, deren Kenntnis die Erstellung von Diagrammen erleichtert und es uns ermöglicht, ihre Richtigkeit zu kontrollieren. Zur Vereinfachung der Notation bezeichnen wir: M≡Mz, Q≡Qy.

Wählen wir ein kleines Element dx in einem Balkenabschnitt mit einer beliebigen Last an einer Stelle aus, an der keine konzentrierten Kräfte und Momente auftreten. Da sich der gesamte Träger im Gleichgewicht befindet, befindet sich auch das Element dx unter der Einwirkung von Scherkräften, Biegemomenten und äußerer Belastung im Gleichgewicht. Da Q und M im Allgemeinen variieren

Achse des Balkens, dann entstehen in den Abschnitten des Elements dx Querkräfte Q und Q+dQ sowie Biegemomente M und M+dM. Aus der Gleichgewichtsbedingung des ausgewählten Elements erhalten wir

Die erste der beiden geschriebenen Gleichungen gibt die Bedingung an

Aus der zweiten Gleichung ergibt sich unter Vernachlässigung des Termes q dx (dx/2) als infinitesimale Größe zweiter Ordnung

Wenn wir die Ausdrücke (10.1) und (10.2) zusammen betrachten, können wir erhalten

Die Beziehungen (10.1), (10.2) und (10.3) werden Differential genannt Abhängigkeiten von D. I. Zhuravsky beim Biegen.

Die Analyse der oben genannten unterschiedlichen Abhängigkeiten beim Biegen ermöglicht es uns, einige Merkmale (Regeln) für die Erstellung von Diagrammen von Biegemomenten und Querkräften festzulegen: a - In Bereichen, in denen keine verteilte Last q vorhanden ist, sind die Diagramme Q auf gerade Linien parallel zur Basis beschränkt , und Diagramme M sind auf geneigte Geraden beschränkt; b – In Bereichen, in denen eine verteilte Last q auf den Balken wirkt, werden die Q-Diagramme durch geneigte Geraden und die M-Diagramme durch quadratische Parabeln begrenzt.

Wenn wir außerdem das Diagramm M „auf einer gestreckten Faser“ konstruieren, ist die Konvexität der Parabel in die Wirkungsrichtung q gerichtet, und das Extremum befindet sich in dem Abschnitt, in dem das Diagramm Q die Grundlinie schneidet. c – in Abschnitten, in denen eine konzentrierte Kraft auf den Balken ausgeübt wird, gibt es im Diagramm Q Sprünge um die Größe und in die Richtung dieser Kraft, und im Diagramm M gibt es Knicke, deren Spitze in die Richtung gerichtet ist Wirkung dieser Kraft; d – in Abschnitten, in denen ein konzentriertes Moment auf den Balken ausgeübt wird, gibt es keine Änderungen im Diagramm Q und im Diagramm M werden Sprünge in der Größe dieses Moments auftreten; d – in Bereichen, in denen Q>0 ist, nimmt das Moment M zu, und in Bereichen, in denen Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. Normalspannungen beim reinen Biegen eines geraden Trägers

Betrachten wir den Fall einer reinen ebenen Biegung eines Balkens und leiten wir eine Formel zur Bestimmung der Normalspannungen für diesen Fall ab.

Beachten Sie, dass es in der Elastizitätstheorie möglich ist, eine genaue Abhängigkeit der Normalspannungen bei reiner Biegung zu erhalten. Wenn dieses Problem jedoch mithilfe von Materialfestigkeitsmethoden gelöst werden soll, müssen einige Annahmen eingeführt werden.

Für das Biegen gibt es drei solcher Hypothesen:

a – Hypothese flacher Abschnitte (Bernoulli-Hypothese) – flache Abschnitte vor der Verformung bleiben nach der Verformung flach, drehen sich jedoch nur relativ zu einer bestimmten Linie, die als neutrale Achse des Balkenabschnitts bezeichnet wird. In diesem Fall werden die Fasern des Balkens, die auf einer Seite der neutralen Achse liegen, gedehnt und auf der anderen Seite gestaucht; Fasern, die auf der neutralen Achse liegen, ändern ihre Länge nicht;

b – Hypothese über die Konstanz der Normalspannungen – Spannungen, die im gleichen Abstand y von der neutralen Achse wirken, sind über die Breite des Balkens konstant;

c – Hypothese über das Fehlen seitlicher Drücke – benachbarte Längsfasern drücken nicht aufeinander.

Statische Seite des Problems

Um die Spannungen in den Balkenquerschnitten zu ermitteln, betrachten wir zunächst die statischen Seiten des Problems. Mithilfe der Methode der mentalen Schnitte und der Aufstellung von Gleichgewichtsgleichungen für den abgeschnittenen Teil des Balkens ermitteln wir die Schnittgrößen beim Biegen. Wie bereits gezeigt wurde, ist die einzige innere Kraft, die bei reiner Biegung im Balkenabschnitt wirkt, das innere Biegemoment, sodass hier die damit verbundenen Normalspannungen auftreten.

Wir werden die Beziehung zwischen inneren Kräften und Normalspannungen im Balkenquerschnitt ermitteln, indem wir die Spannungen auf der Elementarfläche dA berücksichtigen, die im Querschnitt A des Balkens an dem Punkt mit den Koordinaten y und z ausgewählt wird (die y-Achse ist nach unten gerichtet). Bequemlichkeit der Analyse):

Wie wir sehen, ist das Problem intern statisch unbestimmt, da die Art der Verteilung der Normalspannungen über den Abschnitt unbekannt ist. Betrachten Sie zur Lösung des Problems das geometrische Bild der Verformungen.

Geometrische Seite des Problems

Betrachten wir die Verformung eines Balkenelements der Länge dx, das an einem beliebigen Punkt mit der Koordinate x von einem Biegestab getrennt ist. Unter Berücksichtigung der zuvor akzeptierten Hypothese flacher Abschnitte dreht sich der Balkenabschnitt nach dem Biegen relativ zur neutralen Achse (n.o.) um einen Winkel dϕ, während sich die Faser ab, die im Abstand y von der neutralen Achse entfernt ist, in eine verwandelt Kreisbogen a1b1, und seine Länge ändert sich um eine gewisse Größe. Erinnern wir uns hier daran, dass sich die Länge der Fasern, die auf der neutralen Achse liegen, nicht ändert und daher der Bogen a0b0 (dessen Krümmungsradius mit ρ bezeichnet wird) die gleiche Länge hat wie das Segment a0b0 vor der Verformung a0b0=dx .

Ermitteln wir die relative lineare Verformung εx der Faser ab des gekrümmten Balkens.

Aufgabe. Konstruieren Sie die Diagramme Q und M für einen statisch unbestimmten Balken. Berechnen wir die Balken mit der Formel:

N= Σ R- Sch— 3 = 4 — 0 — 3 = 1

Strahl einmal ist statisch unbestimmt, das heißt eins der Reaktionen ist „extra“ unbekannt. Nehmen wir die Unterstützungsreaktion als das „zusätzliche“ Unbekannte IN — R B.

Ein statisch bestimmter Träger, der aus einem gegebenen Träger durch Entfernen der „zusätzlichen“ Verbindung entsteht, wird als Hauptsystem bezeichnet (B).

Nun soll dieses System vorgestellt werden Äquivalent gegeben. Laden Sie dazu das Hauptsystem gegeben laden, und zwar auf den Punkt IN Bewerben wir uns „zusätzliche“ Reaktion R B(Reis. V).

Allerdings für Gleichwertigkeit Das nicht genug, da in einem solchen Strahl der Punkt IN Vielleicht vertikal bewegen, und in einem gegebenen Strahl (Abb. A ) Das kann nicht passieren. Deshalb fügen wir hinzu Zustand, Was Durchbiegung t. IN im Hauptsystem sollte gleich 0 sein. Durchbiegung t. IN besteht aus Durchbiegung von der aktiven Last Δ F und von Ablenkung von der „zusätzlichen“ Reaktion Δ R.

Dann versöhnen wir uns Voraussetzung für Bewegungskompatibilität:

Δ F + Δ R=0 (1)

Jetzt müssen diese noch berechnet werden Bewegungen (Ablenkungen).).

Wird geladen hauptsächlich System gegebene Belastung(Reis .G) und wir werden bauen BelastungsdiagrammM F (Reis. D ).

IN T. IN Bewerben wir uns und erstellen wir eine Folge. (Reis. Igel ).

Mit der Simpson-Formel ermitteln wir Durchbiegung aufgrund aktiver Belastung.

Lassen Sie uns nun definieren Ablenkung von der Aktion der „zusätzlichen“ Reaktion R B , dazu laden wir das Hauptsystem R B (Reis. H ) und erstellen Sie ein Diagramm der Momente seiner Aktion HERR (Reis. Und ).

Wir komponieren und lösen Gleichung (1):

Lass uns bauen Folge Q Und M (Reis. k, l ).

Erstellen eines Diagramms Q.

Lassen Sie uns ein Diagramm erstellen M Methode charakteristische Punkte. Wir platzieren Punkte auf dem Balken – das sind die Punkte am Anfang und Ende des Balkens ( D,A ), konzentrierter Moment ( B ), und markieren Sie außerdem die Mitte einer gleichmäßig verteilten Last als charakteristischen Punkt ( K ) ist ein zusätzlicher Punkt zur Konstruktion einer Parabelkurve.

Wir bestimmen Biegemomente an Punkten. Regel der Zeichen cm. - .

Der Moment in IN Wir werden es wie folgt definieren. Definieren wir zunächst:

Punkt ZU lasst uns aufnehmen Mitte Fläche mit gleichmäßig verteilter Belastung.

Erstellen eines Diagramms M . Handlung AB – parabolische Kurve(Regenschirmregel), Fläche ВD – gerade schräge Linie.

Bestimmen Sie für einen Balken die Auflagerreaktionen und erstellen Sie Diagramme der Biegemomente ( M) und Scherkräfte ( Q).

Wir benennen unterstützt Briefe A Und IN und direkte Unterstützungsreaktionen R A Und R B .

Kompilieren Gleichgewichtsgleichungen.

Untersuchung

Notieren Sie die Werte R A Und R B An Entwurfsschema.

2. Erstellen eines Diagramms Scherkräfte Methode Abschnitte. Wir ordnen die Abschnitte weiter charakteristische Bereiche(zwischen Änderungen). Laut Dimensionsfaden - 4 Abschnitte, 4 Abschnitte.

Sek. 1-1 bewegen links.

Der Abschnitt verläuft durch das Gebiet mit gleichmäßig verteilte Last, markieren Sie die Größe z 1 links vom Abschnitt vor Beginn des Abschnitts. Die Länge des Abschnitts beträgt 2 m. Regel der Zeichen Für Q - cm.

Wir bauen nach dem gefundenen Wert DiagrammQ.

Sek. 2:2-Zug nach rechts.

Der Abschnitt durchläuft erneut den Bereich mit gleichmäßig verteilter Last, markieren Sie die Größe z 2 nach rechts vom Abschnitt zum Anfang des Abschnitts. Die Länge des Abschnitts beträgt 6 m.

Erstellen eines Diagramms Q.

Sek. 3-3 Spielzug nach rechts.

Sek. 4-4 nach rechts ziehen.

Wir bauen DiagrammQ.

3. Bau Diagramme M Methode charakteristische Punkte.

Feature-Punkt- ein Punkt, der auf dem Balken etwas sichtbar ist. Das sind die Punkte A, IN, MIT, D , und auch ein Punkt ZU , wobei Q=0 Und Das Biegemoment hat ein Extremum. auch in Mitte Konsole werden wir einen zusätzlichen Punkt setzen E, da in diesem Bereich unter einer gleichmäßig verteilten Belastung das Diagramm M beschrieben krumm Linie, und es ist zumindest entsprechend gebaut 3 Punkte.

Also, die Punkte sind platziert, beginnen wir mit der Bestimmung der darin enthaltenen Werte Biegemomente. Zeichenregel - siehe.

Websites NA, AD – parabolische Kurve(die „Umbrella“-Regel für mechanische Fachgebiete oder die „Segelregel“ für Baufachgebiete), Abschnitte DC, SV – gerade schräge Linien.

Moment an einem Punkt D sollte bestimmt werden sowohl links als auch rechts vom Punkt D . Der Moment in diesen Ausdrücken Ausgeschlossen. Am Punkt D wir bekommen zwei Werte mit Unterschied um den Betrag M – Sprung durch seine Größe.

Jetzt müssen wir den Moment vor Ort bestimmen ZU (Q=0). Zunächst definieren wir jedoch Punktposition ZU , wobei der Abstand von ihm zum Anfang des Abschnitts als unbekannt bezeichnet wird X .

T. ZU gehört zweite charakteristisches Gebiet, es Gleichung für Scherkraft(siehe oben)

Aber die Scherkraft inkl. ZU gleich 0 , A z 2 gleich unbekannt X .

Wir erhalten die Gleichung:

Jetzt wissen X, Bestimmen wir den Moment an der Stelle ZU auf der rechten Seite.

Erstellen eines Diagramms M . Der Bau kann z.B. durchgeführt werden mechanisch Spezialitäten, positive Werte beiseite legen hoch von der Nulllinie und unter Verwendung der „Umbrella“-Regel.

Für eine gegebene Konstruktion eines Kragarms ist es notwendig, Diagramme der Querkraft Q und des Biegemoments M zu erstellen und eine Konstruktionsberechnung durch Auswahl eines kreisförmigen Querschnitts durchzuführen.

Material - Holz, Bemessungswiderstand des Materials R=10MPa, M=14kN·m, q=8kN/m

Es gibt zwei Möglichkeiten, Diagramme in einem Auslegerträger mit starrer Einbettung zu erstellen – auf die übliche Weise, nachdem zuvor die Auflagerreaktionen bestimmt wurden, und ohne Bestimmung der Auflagerreaktionen, wenn man die Abschnitte betrachtet, ausgehend vom freien Ende des Trägers und verwerfend der linke Teil mit der Einbettung. Lassen Sie uns Diagramme erstellen normal Weg.

1. Definieren wir Unterstützungsreaktionen.

Gleichmäßig verteilte Last Q durch bedingte Gewalt ersetzen Q= q·0,84=6,72 kN

In einer starren Einbettung gibt es drei Auflagerreaktionen – vertikal, horizontal und Moment; in unserem Fall ist die horizontale Reaktion 0.

Wir werden finden Vertikale Bodenreaktion R A Und unterstützender Moment M A aus Gleichgewichtsgleichungen.

In den ersten beiden Abschnitten rechts gibt es keine Scherkraft. Am Anfang eines Abschnitts mit gleichmäßiger Lastverteilung (rechts) Q=0, im Hintergrund - das Ausmaß der Reaktion R A.
3. Zur Konstruktion verfassen wir Ausdrücke für deren Bestimmung in Abschnitten. Lassen Sie uns ein Diagramm der Momente auf Fasern erstellen, d.h. runter.

(Das Diagramm der einzelnen Momente wurde bereits früher erstellt)

Wir lösen Gleichung (1) und reduzieren um EI

Statische Unbestimmtheit offenbart, der Wert der „zusätzlichen“ Reaktion wurde gefunden. Sie können mit der Konstruktion von Diagrammen von Q und M für einen statisch unbestimmten Strahl beginnen... Wir skizzieren das gegebene Diagramm des Strahls und geben die Größe der Reaktion an Rb. Bei diesem Strahl sind Reaktionen in der Einbettung nicht erkennbar, wenn man von rechts ausgeht.

Konstruktion Q-Plots für einen statisch unbestimmten Balken

Lassen Sie uns Q plotten.

Konstruktion von Diagramm M

Definieren wir M am Extrempunkt – am Punkt ZU. Bestimmen wir zunächst seine Position. Bezeichnen wir die Entfernung dazu als unbekannt“ X" Dann

Wir erstellen ein Diagramm von M.

Bestimmung der Schubspannungen in einem I-Profil. Betrachten wir den Abschnitt Ich glänze S x =96,9 cm 3 ; Yх=2030 cm 4 ; Q=200 kN

Zur Bestimmung der Schubspannung wird diese verwendet Formel,wobei Q die Scherkraft im Abschnitt ist, S x 0 das statische Moment des Teils des Querschnitts ist, der sich auf einer Seite der Schicht befindet, in der die Tangentialspannungen bestimmt werden, I x das Trägheitsmoment des Ganzen Querschnitt, b ist die Breite des Abschnitts an der Stelle, an der die Scherspannung bestimmt wird

Rechnen wir maximal Schubspannung:

Berechnen wir das statische Moment für obersten Regal:

Nun lasst uns rechnen Schubspannung:

Wir bauen Schubspannungsdiagramm:

Entwurfs- und Verifizierungsberechnungen. Wählen Sie für einen Balken mit konstruierten Schnittgrößendiagrammen einen Abschnitt in Form von zwei Kanälen aus dem Festigkeitszustand bei Normalspannungen aus. Überprüfen Sie die Festigkeit des Balkens anhand der Scund des Energiefestigkeitskriteriums. Gegeben:

Lassen Sie uns einen Balken mit konstruiertem zeigen Diagramme Q und M

Laut Biegemomentdiagramm ist es gefährlich Abschnitt C, indem M C = M max = 48,3 kNm.

Normaler Spannungsfestigkeitszustand denn dieser Balken hat die Form σ max =M C /W X ≤σ adm . Es ist notwendig, einen Abschnitt auszuwählen aus zwei Kanälen.

Lassen Sie uns den erforderlichen berechneten Wert ermitteln axiales Widerstandsmoment des Abschnitts:

Für einen Abschnitt in Form von zwei Kanälen akzeptieren wir entsprechend zwei Kanäle Nr. 20a, Trägheitsmoment jedes Kanals I x =1670cm 4, Dann axiales Widerstandsmoment des gesamten Abschnitts:

Überspannung (Unterspannung) an gefährlichen Stellen rechnen wir nach der Formel: Dann erhalten wir Unterspannung:

Lassen Sie uns nun die Stärke des Balkens anhand überprüfen Festigkeitsbedingungen für Tangentialspannungen. Entsprechend Scherkraftdiagramm gefährlich sind Abschnitte auf Abschnitt BC und Abschnitt D. Wie aus dem Diagramm ersichtlich ist, Q max =48,9 kN.

Festigkeitsbedingung für Tangentialspannungen hat die Form:

Für Kanal Nr. 20 a: statisches Flächenmoment S x 1 = 95,9 cm 3, Trägheitsmoment des Abschnitts I x 1 = 1670 cm 4, Wandstärke d 1 = 5,2 mm, mittlere Flanschdicke t 1 = 9,7 mm, Rinnenhöhe h 1 =20 cm, Regalbreite b 1 =8 cm.

Für Quer Abschnitte von zwei Kanälen:

S x = 2S x 1 =2 95,9 = 191,8 cm 3,

I x =2I x 1 =2·1670=3340 cm 4,

b=2d 1 =2·0,52=1,04 cm.

Den Wert ermitteln maximale Schubspannung:

τ max =48,9 10 3 191,8 10 −6 /3340 10 −8 1,04 10 −2 =27 MPa.

Wie gesehen, τmax<τ adm (27 MPa<75МПа).

Somit, die Festigkeitsbedingung ist erfüllt.

Wir prüfen die Stärke des Strahls anhand des Energiekriteriums.

Aus Rücksichtnahme Diagramme Q und M folgt dem Abschnitt C ist gefährlich, in dem sie tätig sind M C =M max =48,3 kNm und Q C =Q max =48,9 kN.

Lasst uns ausführen Analyse des Spannungszustandes an den Punkten des Abschnitts C

Definieren wir Normal- und Schubspannungen auf mehreren Ebenen (im Schnittdiagramm markiert)

Stufe 1-1: Y 1-1 = H 1 /2 = 20/2 = 10 cm.

Normal und Tangente Stromspannung:

Hauptsächlich Stromspannung:

Ebene 2−2: y 2-2 =h 1 /2−t 1 =20/2−0,97=9,03 cm.

Hauptbetonungen:

Ebene 3−3: y 3-3 =h 1 /2−t 1 =20/2−0,97=9,03 cm.

Normal- und Schubspannungen: