Biegen nennt man Verformung, bei der die Achse des Stabes und alle seine Fasern, also Längslinien parallel zur Achse des Stabes, unter dem Einfluss äußerer Kräfte gebogen werden. Der einfachste Fall einer Biegung liegt vor, wenn äußere Kräfte in einer Ebene liegen, die durch die Mittelachse des Stabes verläuft und keine Projektionen auf diese Achse erzeugen. Diese Art der Biegung wird Querbiegung genannt. Es gibt Flachbögen und Schrägbögen.

Flache Biegung- ein solcher Fall, wenn die gekrümmte Achse der Stange in derselben Ebene liegt, in der äußere Kräfte wirken.

Schräge (komplexe) Biegung– ein Fall der Biegung, wenn die gebogene Achse des Stabes nicht in der Wirkungsebene äußerer Kräfte liegt.

Üblicherweise wird ein Biegestab genannt Strahl.

Wenn flach Querbiegung Balken in einem Abschnitt mit einem Koordinatensystem y0x können zwei Schnittgrößen entstehen – eine Querkraft Q y und ein Biegemoment M x; Im Folgenden stellen wir die Notation für sie vor Q Und M. Wenn in einem Abschnitt oder Abschnitt eines Balkens keine Querkraft vorhanden ist (Q = 0) und das Biegemoment nicht Null ist oder M konstant ist, wird normalerweise eine solche Biegung genannt sauber.

Seitenkraft in jedem Abschnitt des Balkens ist numerisch gleich der algebraischen Summe der Projektionen auf die Achse aller Kräfte (einschließlich Stützreaktionen), die sich auf einer Seite (auf beiden Seiten) des gezeichneten Abschnitts befinden.

Biegemoment in einem Balkenabschnitt ist numerisch gleich der algebraischen Summe der Momente aller Kräfte (einschließlich Stützreaktionen), die sich auf einer Seite (einer beliebigen) des gezeichneten Abschnitts relativ zum Schwerpunkt dieses Abschnitts, genauer gesagt relativ zur Achse, befinden senkrecht zur Zeichenebene durch den Schwerpunkt des gezeichneten Abschnitts verläuft.

Q erzwingen Ist resultierendüber den Innenquerschnitt verteilt Scherbeanspruchung, A Moment M– Summe der Momente um die Mittelachse des Abschnitts X intern normaler Stress.

Es besteht eine unterschiedliche Beziehung zwischen den inneren Kräften

das zur Erstellung und Überprüfung von Q- und M-Diagrammen verwendet wird.

Da einige Fasern des Balkens gedehnt und andere gestaucht werden und der Übergang von Spannung zu Kompression reibungslos und ohne Sprünge erfolgt, befindet sich im mittleren Teil des Balkens eine Schicht, deren Fasern sich nur biegen, aber auch nicht erfahren Zug oder Druck. Diese Schicht heißt neutrale Schicht. Die Linie, entlang der die neutrale Schicht den Querschnitt des Balkens schneidet, wird aufgerufen neutrale Linie Th. oder neutrale Achse Abschnitte. Auf der Achse des Balkens sind neutrale Linien aufgereiht.

Linien, die auf der Seitenfläche des Trägers senkrecht zur Achse gezeichnet werden, bleiben beim Biegen flach. Diese experimentellen Daten ermöglichen es, die Schlussfolgerungen der Formeln auf der Hypothese ebener Schnitte zu stützen. Nach dieser Hypothese sind die Abschnitte des Balkens vor dem Biegen flach und senkrecht zu seiner Achse, bleiben flach und verlaufen beim Biegen senkrecht zur gekrümmten Achse des Balkens. Der Querschnitt des Trägers wird beim Biegen verzerrt. Auf Kosten der Querverformung Maße Querschnitt In der komprimierten Zone vergrößern sich die Balken und in der Spannungszone werden sie komprimiert.

Annahmen zur Ableitung von Formeln. Normale Spannungen

1) Die Hypothese ebener Schnitte ist erfüllt.

2) Längsfasern drücken nicht aufeinander und daher wirken unter dem Einfluss von Normalspannungen lineare Spannungen oder Kompressionen.

3) Verformungen von Fasern hängen nicht von ihrer Position entlang der Querschnittsbreite ab. Folglich bleiben die Normalspannungen, die sich entlang der Höhe des Abschnitts ändern, entlang der Breite gleich.

4) Der Balken hat mindestens eine Symmetrieebene und alle äußeren Kräfte liegen in dieser Ebene.

5) Das Material des Balkens gehorcht dem Hookeschen Gesetz und der Elastizitätsmodul bei Zug und Druck ist gleich.

6) Die Beziehungen zwischen den Abmessungen des Balkens sind so, dass er unter bestimmten Bedingungen funktioniert flache Biegung kein Verziehen oder Einrollen.

Bei reine Biegung Balken auf Plattformen in ihrem Abschnitt wirken nur normaler Stress, bestimmt durch die Formel:

Dabei ist y die Koordinate eines beliebigen Schnittpunkts, gemessen von der Neutrallinie – der Hauptmittelachse x.

Normale Biegespannungen entlang der Profilhöhe werden verteilt lineares Gesetz. An den äußersten Fasern erreichen die Normalspannungen ihren Maximalwert und im Schwerpunkt des Abschnitts sind sie gleich Null.

Die Art der Normalspannungsdiagramme für symmetrische Abschnitte relativ zur Neutrallinie

Die Art der Normalspannungsdiagramme für Abschnitte, die keine Symmetrie in Bezug auf die Neutrallinie aufweisen

Gefährliche Punkte sind die Punkte, die am weitesten von der neutralen Linie entfernt sind.

Wählen wir einen Abschnitt aus

Nennen wir jeden Punkt des Abschnitts einen Punkt ZU, Balkenfestigkeitsbedingung gem normale Spannungen hat die Form:

, wo n.o. - Das neutrale Achse

Das axialer Abschnittsmodul relativ zur neutralen Achse. Seine Abmessung beträgt cm 3, m 3. Das Widerstandsmoment charakterisiert den Einfluss der Form und Abmessungen des Querschnitts auf die Größe der Spannungen.

Normaler Spannungsfestigkeitszustand:

Die Normalspannung ist gleich dem Verhältnis des maximalen Biegemoments zum axialen Widerstandsmoment des Abschnitts relativ zur neutralen Achse.

Hält das Material Zug und Druck nicht gleichermaßen stand, müssen zwei Festigkeitsbedingungen verwendet werden: für die Zugzone mit der zulässigen Zugspannung; für eine Druckzone mit zulässiger Druckspannung.

Bei der Querbiegung wirken die Träger auf den Bahnsteigen in ihrem Querschnitt als normal, so und Tangenten Stromspannung.

Aufgabe. Konstruieren Sie die Diagramme Q und M für einen statisch unbestimmten Balken. Berechnen wir die Balken mit der Formel:

N= Σ R- Sch— 3 = 4 — 0 — 3 = 1

Strahl einmal ist statisch unbestimmt, das heißt eins der Reaktionen ist „extra“ unbekannt. Nehmen wir die Unterstützungsreaktion als das „zusätzliche“ Unbekannte IN — R B.

Ein statisch bestimmter Träger, der aus einem gegebenen Träger durch Entfernen der „zusätzlichen“ Verbindung entsteht, wird als Hauptsystem bezeichnet (B).

Nun soll dieses System vorgestellt werden Äquivalent gegeben. Laden Sie dazu das Hauptsystem gegeben laden, und zwar auf den Punkt IN Bewerben wir uns „zusätzliche“ Reaktion R B(Reis. V).

Allerdings für Gleichwertigkeit Das nicht genug, da in einem solchen Strahl der Punkt IN Vielleicht vertikal bewegen, und in einem gegebenen Strahl (Abb. A ) Das kann nicht passieren. Deshalb fügen wir hinzu Zustand, Was Durchbiegung t. IN im Hauptsystem sollte gleich 0 sein. Durchbiegung t. IN besteht aus Durchbiegung von der aktiven Last Δ F und von Ablenkung von der „zusätzlichen“ Reaktion Δ R.

Dann versöhnen wir uns Voraussetzung für Bewegungskompatibilität:

Δ F + Δ R=0 (1)

Jetzt müssen diese noch berechnet werden Bewegungen (Ablenkungen).).

Wird geladen hauptsächlich System gegebene Belastung(Reis .G) und wir werden bauen BelastungsdiagrammM F (Reis. D ).

IN T. IN Bewerben wir uns und erstellen wir eine Folge. (Reis. Igel ).

Mit der Simpson-Formel bestimmen wir Durchbiegung aufgrund aktiver Belastung.

Lassen Sie uns nun definieren Ablenkung von der Aktion der „zusätzlichen“ Reaktion R B , dazu laden wir das Hauptsystem R B (Reis. H ) und erstellen Sie ein Diagramm der Momente seiner Aktion HERR (Reis. Und ).

Wir komponieren und lösen Gleichung (1):

Lass uns bauen Folge Q Und M (Reis. k, l ).

Erstellen eines Diagramms Q.

Lassen Sie uns ein Diagramm erstellen M Methode charakteristische Punkte. Wir platzieren Punkte auf dem Balken – das sind die Punkte am Anfang und Ende des Balkens ( D,A ), konzentrierter Moment ( B ), und markieren Sie außerdem die Mitte einer gleichmäßig verteilten Last als charakteristischen Punkt ( K ) ist ein zusätzlicher Punkt zur Konstruktion einer Parabelkurve.

Wir bestimmen Biegemomente an Punkten. Regel der Zeichen cm. - .

Der Moment in IN wir werden es bestimmen auf die folgende Weise. Definieren wir zunächst:

Punkt ZU lasst uns aufnehmen Mitte Fläche mit gleichmäßig verteilter Belastung.

Erstellen eines Diagramms M . Handlung AB – parabolische Kurve(Regenschirmregel), Fläche ВD – gerade schräge Linie.

Bestimmen Sie für einen Balken die Auflagerreaktionen und erstellen Sie Diagramme der Biegemomente ( M) Und Scherkräfte (Q).

1. Wir benennen unterstützt Briefe A Und IN und direkte Unterstützungsreaktionen R A Und R B .

Kompilieren Gleichgewichtsgleichungen.

Untersuchung

Notieren Sie die Werte R A Und R B An Entwurfsschema.

2. Erstellen eines Diagramms Scherkräfte Methode Abschnitte. Wir ordnen die Abschnitte weiter charakteristische Bereiche(zwischen Änderungen). Laut Dimensionsfaden - 4 Abschnitte, 4 Abschnitte.

Sek. 1-1 bewegen links.

Der Abschnitt verläuft durch das Gebiet mit gleichmäßig verteilte Last, markieren Sie die Größe z 1 links vom Abschnitt vor Beginn des Abschnitts. Die Länge des Abschnitts beträgt 2 m. Regel der Zeichen Für Q - cm.

Wir bauen nach dem gefundenen Wert DiagrammQ.

Sek. 2:2-Zug nach rechts.

Der Abschnitt durchläuft erneut den Bereich mit gleichmäßig verteilter Last, markieren Sie die Größe z 2 nach rechts vom Abschnitt zum Anfang des Abschnitts. Die Länge des Abschnitts beträgt 6 m.

Erstellen eines Diagramms Q.

Sek. 3-3 Spielzug nach rechts.

Sek. 4-4 nach rechts ziehen.

Wir bauen DiagrammQ.

3. Bau Diagramme M Methode charakteristische Punkte.

Feature-Punkt- ein Punkt, der auf dem Balken etwas sichtbar ist. Das sind die Punkte A, IN, MIT, D , und auch ein Punkt ZU , wobei Q=0 Und Das Biegemoment hat ein Extremum. auch in Mitte Konsole werden wir einen zusätzlichen Punkt setzen E, da in diesem Bereich unter einer gleichmäßig verteilten Belastung das Diagramm M beschrieben krumm Linie, und es ist zumindest entsprechend gebaut 3 Punkte.

Also, die Punkte sind platziert, beginnen wir mit der Bestimmung der darin enthaltenen Werte Biegemomente. Zeichenregel - siehe.

Websites NA, AD – parabolische Kurve(die „Umbrella“-Regel für mechanische Fachgebiete oder die „Segelregel“ für Baufachgebiete), Abschnitte DC, SV – gerade schräge Linien.

Moment an einem Punkt D sollte bestimmt werden sowohl links als auch rechts vom Punkt D . Der Moment in diesen Ausdrücken Ausgeschlossen. Am Punkt D wir bekommen zwei Werte mit Unterschied um den Betrag M – Sprung durch seine Größe.

Jetzt müssen wir den Zeitpunkt vor Ort bestimmen ZU (Q=0). Zunächst definieren wir jedoch Punktposition ZU , wobei der Abstand von ihm zum Anfang des Abschnitts als unbekannt bezeichnet wird X .

T. ZU gehört zweite charakteristisches Gebiet, es Gleichung für Scherkraft(siehe oben)

Aber die Scherkraft inkl. ZU gleich 0 , A z 2 gleich unbekannt X .

Wir erhalten die Gleichung:

Jetzt wissen X, Bestimmen wir den Moment an der Stelle ZU auf der rechten Seite.

Erstellen eines Diagramms M . Der Bau kann z.B. durchgeführt werden mechanisch Spezialitäten, verschieben positive Werte hoch von der Nulllinie und unter Verwendung der „Umbrella“-Regel.

Für eine gegebene Konstruktion eines Kragarms ist es notwendig, Diagramme der Querkraft Q und des Biegemoments M zu erstellen und eine Konstruktionsberechnung durch Auswahl eines kreisförmigen Querschnitts durchzuführen.

Material - Holz, Bemessungswiderstand des Materials R=10MPa, M=14kN·m, q=8kN/m

Es gibt zwei Möglichkeiten, Diagramme in einem Auslegerträger mit starrer Einbettung zu erstellen – auf die übliche Weise, nachdem zuvor die Auflagerreaktionen bestimmt wurden, und ohne Bestimmung der Auflagerreaktionen, wenn man die Abschnitte betrachtet, ausgehend vom freien Ende des Trägers und verwerfend der linke Teil mit der Einbettung. Lassen Sie uns Diagramme erstellen normal Weg.

1. Definieren wir Unterstützungsreaktionen.

Gleichmäßig verteilte Last Q durch bedingte Gewalt ersetzen Q= q·0,84=6,72 kN

In einer starren Einbettung gibt es drei Auflagerreaktionen – vertikal, horizontal und Moment; in unserem Fall ist die horizontale Reaktion 0.

Wir werden finden Vertikale Bodenreaktion R A Und unterstützender Moment M A aus Gleichgewichtsgleichungen.

In den ersten beiden Abschnitten rechts gibt es keine Scherkraft. Am Anfang eines Abschnitts mit gleichmäßiger Lastverteilung (rechts) Q=0, im Hintergrund - das Ausmaß der Reaktion R A.
3. Zur Konstruktion verfassen wir Ausdrücke für deren Bestimmung in Abschnitten. Lassen Sie uns ein Diagramm der Momente auf Fasern erstellen, d.h. runter.

(Das Diagramm der einzelnen Momente wurde bereits früher erstellt)

Wir lösen Gleichung (1) und reduzieren um EI

Statische Unbestimmtheit offenbart, der Wert der „zusätzlichen“ Reaktion wurde gefunden. Sie können mit der Konstruktion von Diagrammen von Q und M für einen statisch unbestimmten Strahl beginnen... Wir skizzieren das gegebene Diagramm des Strahls und geben die Größe der Reaktion an Rb. Bei diesem Strahl sind Reaktionen in der Einbettung nicht erkennbar, wenn man von rechts ausgeht.

Konstruktion Q-Plots für einen statisch unbestimmten Balken

Lassen Sie uns Q plotten.

Konstruktion von Diagramm M

Definieren wir M am Extrempunkt – am Punkt ZU. Bestimmen wir zunächst seine Position. Bezeichnen wir die Entfernung dazu als unbekannt“ X" Dann

Wir erstellen ein Diagramm von M.

Bestimmung der Schubspannungen in einem I-Profil. Betrachten wir den Abschnitt Ich glänze S x =96,9 cm 3 ; Yх=2030 cm 4 ; Q=200 kN

Zur Bestimmung der Schubspannung wird diese verwendet Formel,wobei Q die Scherkraft im Abschnitt ist, S x 0 das statische Moment des Teils des Querschnitts ist, der sich auf einer Seite der Schicht befindet, in der die Tangentialspannungen bestimmt werden, I x das Trägheitsmoment des Ganzen Querschnitt, b ist die Breite des Abschnitts an der Stelle, an der die Scherspannung bestimmt wird

Rechnen wir maximal Schubspannung:

Berechnen wir das statische Moment für obersten Regal:

Nun lasst uns rechnen Schubspannung:

Wir bauen Schubspannungsdiagramm:

Entwurfs- und Verifizierungsberechnungen. Wählen Sie für einen Balken mit konstruierten Schnittgrößendiagrammen einen Abschnitt in Form von zwei Kanälen aus dem Festigkeitszustand bei Normalspannungen aus. Überprüfen Sie die Festigkeit des Balkens anhand der Scund des Energiefestigkeitskriteriums. Gegeben:

Lassen Sie uns einen Balken mit konstruiertem zeigen Diagramme Q und M

Laut Biegemomentdiagramm ist es gefährlich Abschnitt C, indem M C = M max = 48,3 kNm.

Normaler Spannungsfestigkeitszustand denn dieser Balken hat die Form σ max =M C /W X ≤σ adm . Es ist notwendig, einen Abschnitt auszuwählen aus zwei Kanälen.

Lassen Sie uns den erforderlichen berechneten Wert ermitteln axiales Widerstandsmoment des Abschnitts:

Für einen Abschnitt in Form von zwei Kanälen akzeptieren wir entsprechend zwei Kanäle Nr. 20a, Trägheitsmoment jedes Kanals I x =1670cm 4, Dann axiales Widerstandsmoment des gesamten Abschnitts:

Überspannung (Unterspannung) an gefährlichen Stellen rechnen wir nach der Formel: Dann bekommen wir Unterspannung:

Lassen Sie uns nun die Stärke des Balkens anhand überprüfen Festigkeitsbedingungen für Tangentialspannungen. Entsprechend Scherkraftdiagramm gefährlich sind Abschnitte auf Abschnitt BC und Abschnitt D. Wie aus dem Diagramm ersichtlich ist, Q max =48,9 kN.

Festigkeitsbedingung für Tangentialspannungen hat die Form:

Für Kanal Nr. 20 a: statisches Flächenmoment S x 1 = 95,9 cm 3, Trägheitsmoment des Abschnitts I x 1 = 1670 cm 4, Wandstärke d 1 = 5,2 mm, mittlere Flanschdicke t 1 = 9,7 mm, Rinnenhöhe h 1 =20 cm, Regalbreite b 1 =8 cm.

Für Quer Abschnitte von zwei Kanälen:

S x = 2S x 1 =2 95,9 = 191,8 cm 3,

I x =2I x 1 =2·1670=3340 cm 4,

b=2d 1 =2·0,52=1,04 cm.

Den Wert ermitteln maximale Schubspannung:

τ max =48,9 10 3 191,8 10 −6 /3340 10 −8 1,04 10 −2 =27 MPa.

Wie gesehen, τmax<τ adm (27 MPa<75МПа).

Somit, die Festigkeitsbedingung ist erfüllt.

Wir prüfen die Stärke des Strahls anhand des Energiekriteriums.

Aus Rücksichtnahme Diagramme Q und M folgt dem Abschnitt C ist gefährlich, in dem sie tätig sind M C =M max =48,3 kNm und Q C =Q max =48,9 kN.

Lasst uns ausführen Analyse des Spannungszustandes an den Punkten des Abschnitts C

Definieren wir Normal- und Schubspannungen auf mehreren Ebenen (im Schnittdiagramm markiert)

Stufe 1-1: Y 1-1 = H 1 /2 = 20/2 = 10 cm.

Normal und Tangente Stromspannung:

Hauptsächlich Stromspannung:

Ebene 2−2: y 2-2 =h 1 /2−t 1 =20/2−0,97=9,03 cm.

Hauptspannungen:

Ebene 3−3: y 3-3 =h 1 /2−t 1 =20/2−0,97=9,03 cm.

Normal- und Schubspannungen:

Hauptspannungen:

Extreme Scherbeanspruchung:

Ebene 4−4: y 4-4 =0.

(in der Mitte sind die Normalspannungen Null, die Tangentialspannungen sind maximal, sie wurden im Festigkeitsversuch mit Tangentialspannungen ermittelt)

Hauptspannungen:

Extreme Scherbeanspruchung:

Stufe 5–5:

Normal- und Schubspannungen:

Hauptspannungen:

Extreme Scherbeanspruchung:

Stufe 6–6:

Normal- und Schubspannungen:

Hauptspannungen:

Extreme Scherbeanspruchung:

Stufe 7–7:

Normal- und Schubspannungen:

Hauptspannungen:

Extreme Scherbeanspruchung:

Gemäß den durchgeführten Berechnungen Spannungsdiagramme σ, τ, σ 1, σ 3, τ max und τ min sind in Abb. dargestellt.

Analyse diese Diagramm zeigt, das im Abschnitt des Balkens liegt Gefährliche Punkte liegen auf Level 3-3 (oder 5-5).), in welchem:

Benutzen Energiekriterium der Festigkeit, wir bekommen

Aus einem Vergleich von äquivalenten und zulässigen Spannungen ergibt sich, dass auch die Festigkeitsbedingung erfüllt ist

(135,3 MPa<150 МПа).

Der Durchlaufträger wird in allen Feldern belastet. Konstruieren Sie die Diagramme Q und M für einen durchgehenden Träger.

1. Definieren Grad der statischen Unbestimmtheit Balken nach der Formel:

n= Sop -3= 5-3 =2, Wo Sop – Anzahl unbekannter Reaktionen, 3 – Anzahl statischer Gleichungen. Um diesen Strahl zu lösen, ist es erforderlich zwei zusätzliche Gleichungen.

2. Bezeichnen wir Zahlen unterstützt von Null an in Ordnung ( 0,1,2,3 )

3. Bezeichnen wir Span-Zahlen vom ersten in Ordnung ( ι 1, ι 2, ι 3)

4. Wir betrachten jede Spanne als einfacher Balken und erstellen Sie Diagramme für jeden einfachen Balken Q und M. Was betrifft einfacher Balken, werden wir bezeichnen mit Index „0", das, worauf es sich bezieht kontinuierlich Strahl, wir werden bezeichnen ohne diesen Index. Somit ergibt sich die Scherkraft und das Biegemoment für einen einfachen Balken.

Flache Querbiegung von Balken. Innere Biegekräfte. Differenzielle Abhängigkeiten der Schnittgrößen. Regeln zur Überprüfung von Diagrammen der inneren Biegekräfte. Normal- und Schubspannungen beim Biegen. Festigkeitsberechnung basierend auf Normal- und Tangentialspannungen.

10. EINFACHE ARTEN DES WIDERSTANDS. Flache Biegung

10.1. Allgemeine Konzepte und Definitionen

Beim Biegen handelt es sich um eine Belastungsart, bei der der Stab mit Momenten in Ebenen belastet wird, die durch die Längsachse des Stabes verlaufen.

Ein Stab, der sich biegt, wird Balken (oder Holz) genannt. Zukünftig werden wir geradlinige Balken betrachten, deren Querschnitt mindestens eine Symmetrieachse aufweist.

Der Widerstand von Materialien wird in flache, schräge und komplexe Biegung unterteilt.

Unter ebener Biegung versteht man eine Biegung, bei der alle den Balken biegenden Kräfte in einer der Symmetrieebenen des Balkens (in einer der Hauptebenen) liegen.

Die Hauptträgheitsebenen eines Balkens sind die Ebenen, die durch die Hauptachsen der Querschnitte und die geometrische Achse des Balkens (x-Achse) verlaufen.

Schrägbiegung ist eine Biegung, bei der die Lasten in einer Ebene wirken, die nicht mit den Hauptträgheitsebenen zusammenfällt.

Unter komplexer Biegung versteht man eine Biegung, bei der Belastungen in verschiedenen (beliebigen) Ebenen wirken.

10.2. Bestimmung der inneren Biegekräfte

Betrachten wir zwei typische Biegefälle: Im ersten Fall wird der Kragarm durch ein konzentriertes Moment M o gebogen; im zweiten - konzentrierte Kraft F.

Mit der Methode der mentalen Schnitte und der Aufstellung von Gleichgewichtsgleichungen für die abgeschnittenen Teile des Balkens ermitteln wir in beiden Fällen die Schnittgrößen:

Die übrigen Gleichgewichtsgleichungen sind offensichtlich identisch gleich Null.

Im allgemeinen Fall einer ebenen Biegung im Querschnitt eines Balkens entstehen also von sechs Schnittgrößen zwei – Biegemoment M z und Querkraft Q y (oder bei Biegung relativ zu einer anderen Hauptachse - Biegemoment M y und Querkraft Q z).

Darüber hinaus kann die ebene Biegung entsprechend den beiden betrachteten Belastungsfällen in reine und transversale Biegung unterteilt werden.

Bei der reinen Biegung handelt es sich um eine flache Biegung, bei der in den Stababschnitten nur eine von sechs Schnittgrößen auftritt – ein Biegemoment (siehe erster Fall).

Querbiegung– Biegung, bei der in den Stababschnitten zusätzlich zum inneren Biegemoment auch eine Querkraft entsteht (siehe zweiter Fall).

Zu den einfachen Widerstandsarten zählt genau genommen nur das reine Biegen; Querbiegung wird üblicherweise als einfache Widerstandsart eingestuft, da in den meisten Fällen (bei ausreichend langen Trägern) die Wirkung der Querkraft bei der Festigkeitsberechnung vernachlässigt werden kann.

Bei der Ermittlung des Eigenaufwandes orientieren wir uns an folgender Zeichenregel:

1) Die Querkraft Q y gilt als positiv, wenn sie dazu neigt, das betreffende Balkenelement im Uhrzeigersinn zu drehen;

2) Biegemoment M z gilt als positiv, wenn beim Biegen eines Balkenelements die oberen Fasern des Elements gestaucht und die unteren Fasern gedehnt werden (Umbrella-Regel).

So bauen wir die Lösung des Problems der Bestimmung der Schnittgrößen beim Biegen nach folgendem Plan auf: 1) Im ersten Schritt ermitteln wir unter Berücksichtigung der Gleichgewichtsbedingungen der gesamten Struktur ggf. die unbekannten Reaktionen der Stützen (beachten Sie, dass bei einem freitragenden Balken die Reaktionen in der Einbettung nicht gefunden werden können, wenn wir den Balken vom freien Ende aus betrachten); 2) Im zweiten Schritt wählen wir charakteristische Abschnitte des Balkens aus, wobei wir als Grenzen der Abschnitte die Angriffspunkte der Kräfte, die Änderungspunkte der Form oder Größe des Balkens und die Befestigungspunkte des Balkens nehmen. 3) Im dritten Schritt bestimmen wir die Schnittgrößen in den Balkenabschnitten unter Berücksichtigung der Gleichgewichtsbedingungen der Balkenelemente in jedem Abschnitt.

10.3. Differenzielle Abhängigkeiten beim Biegen

Lassen Sie uns einige Beziehungen zwischen inneren Kräften und äußeren Lasten beim Biegen sowie charakteristische Merkmale der Diagramme Q und M herstellen, deren Kenntnis die Erstellung von Diagrammen erleichtert und es uns ermöglicht, ihre Richtigkeit zu kontrollieren. Zur Vereinfachung der Notation bezeichnen wir: M ≡ M z, Q ≡ Q y.

Wählen wir ein kleines Element dx in einem Balkenabschnitt mit einer beliebigen Last an einer Stelle aus, an der keine konzentrierten Kräfte und Momente auftreten. Da sich der gesamte Träger im Gleichgewicht befindet, befindet sich auch das Element dx unter der Einwirkung von Scherkräften, Biegemomenten und äußerer Belastung im Gleichgewicht. Da sich Q und M im Allgemeinen entlang der Balkenachse ändern, treten in den Abschnitten des Elements dx Querkräfte Q und Q + dQ sowie Biegemomente M und M + dM auf. Aus der Gleichgewichtsbedingung des ausgewählten Elements erhalten wir

∑ F y = 0 Q + q dx − (Q + dQ) = 0;

∑ M 0 = 0 M + Q dx + q dx dx 2 − (M + dM ) = 0.

Aus der zweiten Gleichung ergibt sich unter Vernachlässigung des Termes q dx (dx /2) als infinitesimale Größe zweiter Ordnung

Es werden die Beziehungen (10.1), (10.2) und (10.3) aufgerufen Differentialabhängigkeiten von D. I. Zhuravsky beim Biegen.

Die Analyse der oben genannten unterschiedlichen Abhängigkeiten beim Biegen ermöglicht es uns, einige Merkmale (Regeln) für die Erstellung von Diagrammen von Biegemomenten und Querkräften festzulegen:

a – In Bereichen, in denen keine verteilte Last q vorhanden ist, sind die Diagramme Q auf Geraden parallel zur Basis und die Diagramme M auf geneigte Geraden beschränkt;

b – In Bereichen, in denen eine verteilte Last q auf den Balken wirkt, werden die Diagramme Q durch geneigte Geraden und die Diagramme M durch quadratische Parabeln begrenzt. Wenn wir außerdem Diagramm M „auf einer gestreckten Faser“ konstruieren, dann ist die Konvexität der Pa-

die Arbeit wird in die Wirkungsrichtung q gerichtet und das Extremum liegt in dem Abschnitt, in dem das Diagramm Q die Grundlinie schneidet;

c – in Abschnitten, in denen eine konzentrierte Kraft auf den Balken ausgeübt wird, gibt es im Diagramm Q Sprünge um die Größe und in die Richtung dieser Kraft, und im Diagramm M gibt es Knicke, deren Spitze in die Richtung gerichtet ist Wirkung dieser Kraft; d – in Abschnitten, in denen ein konzentriertes Moment auf den Balken auf der Epi-

es wird keine Änderungen in re Q geben, und auf dem Diagramm M wird es Sprünge um den Wert dieses Moments geben; d – in Bereichen, in denen Q > 0 ist, nimmt das Moment M zu, und in Bereichen, in denen Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. Normalspannungen beim reinen Biegen eines geraden Trägers

Betrachten wir den Fall einer reinen ebenen Biegung eines Balkens und leiten wir eine Formel zur Bestimmung der Normalspannungen für diesen Fall ab. Beachten Sie, dass es in der Elastizitätstheorie möglich ist, eine genaue Abhängigkeit der Normalspannungen bei reiner Biegung zu erhalten. Wenn dieses Problem jedoch durch Methoden der Materialbeständigkeit gelöst werden soll, müssen einige Annahmen eingeführt werden.

Für das Biegen gibt es drei solcher Hypothesen:

a – Hypothese ebener Abschnitte (Bernoulli-Hypothese)

– Abschnitte, die vor der Verformung flach waren, bleiben nach der Verformung flach, drehen sich jedoch nur relativ zu einer bestimmten Linie, die als neutrale Achse des Balkenabschnitts bezeichnet wird. In diesem Fall werden die Fasern des Balkens, die auf einer Seite der neutralen Achse liegen, gedehnt und auf der anderen Seite gestaucht; Fasern, die auf der neutralen Achse liegen, ändern ihre Länge nicht;

b – Hypothese über die Konstanz der Normalspannungen

niy – Spannungen, die im gleichen Abstand y von der neutralen Achse wirken, sind über die Breite des Balkens konstant;

c – Hypothese über das Fehlen seitlicher Drücke – Co-

Die grauen Längsfasern drücken nicht aufeinander.

Biegen sogenannte Verformung des Stabes, begleitet von einer Änderung der Krümmung seiner Achse. Ein Stab, der sich biegt, heißt Strahl.

Abhängig von der Art der Belastung und der Befestigung der Stange kann es zu unterschiedlichen Biegungen kommen.

Tritt unter Einwirkung einer Belastung nur ein Biegemoment im Stabquerschnitt auf, spricht man von Biegung sauber.

Treten in Querschnitten neben Biegemomenten auch Querkräfte auf, spricht man von Biegung quer.

Liegen äußere Kräfte in einer Ebene, die durch eine der Hauptmittelachsen des Stabquerschnitts verläuft, spricht man von Biegung einfach oder Wohnung. In diesem Fall liegen die Last und die verformte Achse in derselben Ebene (Abb. 1).

Reis. 1

Damit ein Balken eine Last in einer Ebene aufnehmen kann, muss er mit Stützen gesichert werden: klappbar-beweglich, klappbar-fest oder versiegelt.

Der Balken muss geometrisch unverändert sein, wobei die geringste Anzahl an Verbindungen 3 betragen darf. Ein Beispiel für ein geometrisch variables System ist in Abb. 2a dargestellt. Ein Beispiel für geometrisch unveränderliche Systeme ist Abb. 2b, c.

a B C)

In den Stützen treten Reaktionen auf, die aus den statischen Gleichgewichtsbedingungen bestimmt werden. Die Reaktionen in den Stützen sind äußere Lasten.

Innere Biegekräfte

Ein mit Kräften senkrecht zur Längsachse des Balkens belasteter Stab erfährt eine ebene Biegung (Abb. 3). In Querschnitten treten zwei innere Kräfte auf: die Scherkraft Qy und Biegemoment Mz.

Schnittgrößen werden nach der Schnittmethode ermittelt. Auf Distanz X vom Punkt A Der Stab wird durch eine Ebene senkrecht zur X-Achse in zwei Abschnitte geschnitten. Einer der Balkenteile wird verworfen. Das Zusammenwirken der Balkenteile wird durch Schnittgrößen ersetzt: Biegemoment Mz und Scherkraft Qy(Abb. 4).

Interne Bemühungen Mz Und Qy Der Querschnitt wird aus Gleichgewichtsbedingungen bestimmt.

Für das Teil wird eine Gleichgewichtsgleichung aufgestellt MIT:

∑j = R A – P 1 – Q y = 0.

Dann Qy = R A – P1.

Abschluss. Die Querkraft in jedem Abschnitt des Balkens ist gleich der algebraischen Summe aller äußeren Kräfte, die auf einer Seite des Querschnitts liegen. Die Querkraft gilt als positiv, wenn sie den Stab relativ zum Querschnittspunkt im Uhrzeigersinn dreht.

∑M 0 = R A ∙ X – P 1 ∙ (X - A) – Mz = 0

Dann Mz = R A ∙ X – P 1 ∙ (X – A)

1. Bestimmung von Reaktionen R A , R B ;

∑M A = P ∙ A – R B ∙ l = 0

R B =

∑M B = R A ∙ e – P ∙ a = 0

2. Aufbau der Diagramme im ersten Abschnitt 0 ≤ X 1 ≤ A

Q y = R A =; M z = R A ∙ x 1

x 1 = 0 M z (0) = 0

x 1 = a M z (a) =

3. Aufbau der Diagramme im zweiten Abschnitt 0 ≤ X 2 ≤ B

Qy = - R B = - ; Mz = R B ∙ X 2 ; X 2 = 0 Mz(0) = 0 X 2 = BMz(B) =

Beim Bauen Mz Positive Koordinaten werden in Richtung der gestreckten Fasern abgelegt.

Diagramme prüfen

1. Auf dem Diagramm Qy Brüche können nur dort auftreten, wo äußere Kräfte wirken und die Größe des Sprunges muss ihrer Größe entsprechen.

+ = = P

2. Auf dem Diagramm Mz Diskontinuitäten entstehen an Stellen, an denen konzentrierte Momente wirken und die Größe des Sprunges gleich ihrer Größe ist.

Differenzielle Abhängigkeiten zwischenM, QUndQ

Zwischen Biegemoment, Querkraft und Intensität der Flächenlast wurden folgende Zusammenhänge festgestellt:

q = , Qy =

wobei q die Intensität der verteilten Last ist,

Prüfung der Biegefestigkeit von Balken

Zur Beurteilung der Biegefestigkeit eines Stabes und zur Auswahl des Balkenquerschnitts werden Festigkeitsbedingungen auf Basis von Normalspannungen verwendet.

Das Biegemoment ist das resultierende Moment der über den Querschnitt verteilten Normalschnittkräfte.

s = × j,

wobei s die Normalspannung an jedem Punkt des Querschnitts ist,

j– Abstand vom Schwerpunkt des Abschnitts zum Punkt,

Mz– im Abschnitt wirkendes Biegemoment,

Jz– axiales Trägheitsmoment der Stange.

Um die Festigkeit sicherzustellen, werden die maximalen Spannungen berechnet, die an den Querschnittspunkten auftreten, die am weitesten vom Schwerpunkt entfernt sind j = ymax

s max = × ymax,

= W z und s max = .

Dann hat die Festigkeitsbedingung für Normalspannungen die Form:

s max = ≤ [s],

wobei [s] die zulässige Zugspannung ist.