Die Funktion y=x^2 heißt quadratische Funktion. Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Die allgemeine Ansicht der Parabel ist in der folgenden Abbildung dargestellt.

Quadratische Funktion

Abb. 1. Gesamtansicht der Parabel

Wie aus der Grafik ersichtlich ist, ist es symmetrisch zur Oy-Achse. Die Oy-Achse wird als Symmetrieachse der Parabel bezeichnet. Dies bedeutet, dass Sie im Diagramm eine gerade Linie parallel zur Ox-Achse über dieser Achse zeichnen. Dann schneidet es die Parabel an zwei Punkten. Der Abstand dieser Punkte zur Oy-Achse wird gleich sein.

Die Symmetrieachse teilt den Graphen einer Parabel in zwei Teile. Diese Teile werden Parabeläste genannt. Und der Punkt einer Parabel, der auf der Symmetrieachse liegt, wird als Scheitelpunkt der Parabel bezeichnet. Das heißt, die Symmetrieachse verläuft durch den Scheitelpunkt der Parabel. Die Koordinaten dieses Punktes sind (0;0).

Grundlegende Eigenschaften einer quadratischen Funktion

1. Bei x =0, y=0 und y>0 bei x0

2. Mindestwert quadratische Funktion erreicht seinen Höhepunkt. Ymin bei x=0; Außerdem ist zu beachten, dass die Funktion keinen Maximalwert hat.

3. Die Funktion nimmt im Intervall (-∞;0] ab und im Intervall zu;

Gerade ungerade:

bei B = 0 gerade Funktion

bei B ≠ 0-Funktion ist weder gerade noch ungerade

bei D> 0 zwei Nullen: ,

bei D= 0 eine Null:

bei D < 0 нулей нет

Vorzeichenkonstanzintervalle:

wenn a > 0, D> 0 also

wenn a > 0, D= 0 also

e wenn a > 0, D < 0, то

wenn ein< 0, D> 0 also

wenn ein< 0, D= 0 also

wenn ein< 0, D < 0, то

- Intervalle der Monotonie

für a > 0

an einer< 0

Der Graph einer quadratischen Funktion istParabel – eine Kurve, die symmetrisch zu einer geraden Linie ist , der durch den Scheitelpunkt der Parabel verläuft (der Scheitelpunkt der Parabel ist der Schnittpunkt der Parabel mit der Symmetrieachse).

Um eine quadratische Funktion grafisch darzustellen, benötigen Sie:

1) Finden Sie die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel und markieren Sie ihn in der Koordinatenebene;

2) Konstruieren Sie mehrere weitere Punkte, die zur Parabel gehören;

3) Verbinden Sie die markierten Punkte mit einer glatten Linie.

Die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel werden durch die Formeln bestimmt:

; .

Konvertieren von Funktionsgraphen

1. Dehnen Grafiky = x 2 entlang der Achsebei V|a| Zeiten (um|a| < 1 ist eine Komprimierung von 1/|a| einmal).

Wenn, und< 0, произвести, кроме того, зеркальное отражение графика отно­сительно оси X (Die Äste der Parabel werden nach unten gerichtet sein).

Ergebnis: Graph einer Funktiony = ah 2 .

2. Parallele Übertragung Funktionsgrafikeny = ah 2 entlang der AchseX An| M | (nach rechts, wenn

M > 0 und nach links, wennT< 0).

Ergebnis: Funktionsgraphy = a(x - t) 2 .

3. Parallele Übertragung Funktionsgrafiken entlang der Achsebei An| N | (bis ump> 0 und unten beiP< 0).

Ergebnis: Funktionsgraphy = a(x - t) 2 + S.

Quadratische Ungleichungen

Ungleichungen der FormOh 2 + B x + c > 0 undOh 2 + bx + c< 0, woX - variabel,A , B UndMit - einige Zahlen unda≠ 0 heißen Ungleichungen zweiten Grades mit einer Variablen.

Das Lösen einer Ungleichung zweiten Grades in einer Variablen kann man sich so vorstellen, dass man die Intervalle findet, in denen die entsprechende quadratische Funktion positive oder negative Werte annimmt.

Ungleichungen der Form lösenOh 2 + bx + c > 0 undOh 2 + bx + c< 0 kommen an auf die folgende Weise:

1) Finden Sie die Diskriminante des quadratischen Trinoms und finden Sie heraus, ob das Trinom Wurzeln hat;

2) Wenn das Trinom Wurzeln hat, markieren Sie diese auf der AchseX und durch die markierten Punkte ist schematisch eine Parabel gezeichnet, deren Äste nach oben gerichtet sindA > 0 oder unten, wennA< 0; Wenn das Trinom keine Wurzeln hat, stellen Sie schematisch eine Parabel dar, die sich in der oberen Halbebene bei befindetA > 0 oder niedriger beiA < 0;

3) auf der Achse gefundenX Intervalle, für die die Punkte der Parabel über der Achse liegenX (wenn die Ungleichung gelöst istOh 2 + bx + c > 0) oder unterhalb der AchseX (wenn die Ungleichung gelöst istOh 2 + bx + c < 0).

Beispiel:

Lasst uns die Ungleichung lösen .

Betrachten Sie die Funktion

Sein Graph ist eine Parabel, deren Äste nach unten gerichtet sind (da ).

Lassen Sie uns herausfinden, wie sich der Graph relativ zur Achse befindetX. Lassen Sie uns die Gleichung dafür lösen . Wir verstehen dasx = 4. Die Gleichung hat eine einzige Wurzel. Das bedeutet, dass die Parabel die Achse berührtX.

Durch die schematische Darstellung einer Parabel stellen wir fest, dass die Funktion für jeden negative Werte annimmtX, außer 4.

Die Antwort kann so geschrieben werden:X - jede Zahl ungleich 4.

Lösen von Ungleichungen mit der Intervallmethode

Lösungsdiagramm

1. Finden Sie Nullen Funktion auf der linken Seite der Ungleichung.

2. Markieren Sie die Position der Nullstellen auf der Zahlenachse und bestimmen Sie deren Vielfachheit (Wennk ich gerade ist, dann ist Null von gerader Multiplizität, wennk ich ungerade ist ungerade).

3. Finden Sie die Vorzeichen der Funktion in den Intervallen zwischen seinen Nullstellen, beginnend mit dem Intervall ganz rechts: In diesem Intervall ist die Funktion auf der linken Seite der Ungleichung immer positiv für die gegebene Form von Ungleichungen. Beim Übergang von rechts nach links durch die Nullstelle einer Funktion von einem Intervall zu einem benachbarten sollte man Folgendes berücksichtigen:

wenn Null ungerade ist Multiplizität, das Vorzeichen der Funktion ändert sich,

wenn Null gerade ist Multiplizität bleibt das Vorzeichen der Funktion erhalten.

4. Schreiben Sie die Antwort auf.

Beispiel:

(x + 6) (x + 1) (X - 4) < 0.

Funktionsnullstellen gefunden. Sie sind gleich:X 1 = -6; X 2 = -1; X 3 = 4.

Markieren wir die Nullstellen der Funktion auf der KoordinatenlinieF ( X ) = (x + 6) (x + 1) (X - 4).

Finden wir die Vorzeichen dieser Funktion in jedem der Intervalle (-∞; -6), (-6; -1), (-1; 4) und

Aus der Abbildung geht hervor, dass die Lösungsmenge der Ungleichung die Vereinigung der Intervalle (-∞; -6) und (-1; 4) ist.

Antwort: (-∞ ; -6) und (-1; 4).

Die betrachtete Methode zur Lösung von Ungleichungen heißtIntervallmethode.