Der methodisches Material dient nur als Referenz und gilt für ein breites Themenspektrum. Der Artikel bietet einen Überblick über Diagramme grundlegender Elementarfunktionen und geht auf das wichtigste Thema ein: wie man ein Diagramm richtig und SCHNELL erstellt. Im Laufe des Studiums der höheren Mathematik ohne Kenntnis der Graphen grundlegender Elementarfunktionen wird es schwierig sein, daher ist es sehr wichtig, sich daran zu erinnern, wie die Graphen einer Parabel, Hyperbel, Sinus, Cosinus usw. aussehen, und sich einige davon zu merken der Bedeutung der Funktionen. Auch wir werden redenüber einige Eigenschaften von Grundfunktionen.

Ich erhebe keinen Anspruch auf Vollständigkeit und wissenschaftliche Gründlichkeit der Materialien; der Schwerpunkt liegt in erster Linie auf der Praxis – den Dingen, mit denen Man begegnet buchstäblich auf Schritt und Tritt, in jedem Thema der höheren Mathematik. Diagramme für Dummies? Das könnte man auch sagen.

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Im Ernst, sechs, sogar ich war überrascht. Diese Zusammenfassung enthält verbesserte Grafiken und ist gegen eine geringe Gebühr erhältlich; eine Demoversion kann angesehen werden. Es ist praktisch, die Datei auszudrucken, damit die Diagramme immer zur Hand sind. Vielen Dank für die Unterstützung des Projekts!

Und fangen wir gleich an:

Wie konstruiert man Koordinatenachsen richtig?

In der Praxis werden Tests fast immer von den Schülern in separaten, quadratisch linierten Notizbüchern ausgefüllt. Warum braucht man karierte Markierungen? Schließlich kann die Arbeit grundsätzlich auf A4-Blättern erledigt werden. Und der Käfig ist gerade für die hochwertige und genaue Gestaltung von Zeichnungen notwendig.

Jede Zeichnung eines Funktionsgraphen beginnt mit Koordinatenachsen.

Zeichnungen können zweidimensional oder dreidimensional sein.

Betrachten wir zunächst den zweidimensionalen Fall Kartesisches rechtwinkliges Koordinatensystem:

1) Koordinatenachsen zeichnen. Die Achse heißt x-Achse , und die Achse ist y-Achse . Wir versuchen immer, sie zu zeichnen ordentlich und nicht schief. Die Pfeile sollten auch nicht dem Bart von Papa Carlo ähneln.

2) Wir signieren die Achsen mit großen Buchstaben „X“ und „Y“. Vergessen Sie nicht, die Achsen zu beschriften.

3) Stellen Sie den Maßstab entlang der Achsen ein: Zeichne eine Null und zwei Einsen. Beim Erstellen einer Zeichnung ist der praktischste und am häufigsten verwendete Maßstab: 1 Einheit = 2 Zellen (Zeichnung links) – wenn möglich, bleiben Sie dabei. Allerdings kommt es hin und wieder vor, dass die Zeichnung nicht auf das Notizbuchblatt passt – dann verkleinern wir den Maßstab: 1 Einheit = 1 Zelle (Zeichnung rechts). Es kommt selten vor, aber es kommt vor, dass der Maßstab der Zeichnung noch weiter verkleinert (oder vergrößert) werden muss

Es besteht KEINE NOTWENDIGKEIT, „Maschinengewehr“ zu verwenden … -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …. Denn die Koordinatenebene ist kein Denkmal für Descartes, und der Student ist keine Taube. Wir stellen null Und zwei Einheiten entlang der Achsen. Manchmal anstatt Einheiten ist es praktisch, andere Werte zu „markieren“, zum Beispiel „zwei“ auf der Abszissenachse und „drei“ auf der Ordinatenachse – und dieses System (0, 2 und 3) definiert auch das Koordinatengitter eindeutig.

Es ist besser, die geschätzten Abmessungen der Zeichnung abzuschätzen, BEVOR Sie die Zeichnung erstellen. Wenn die Aufgabe beispielsweise das Zeichnen eines Dreiecks mit den Eckpunkten , , erfordert, dann ist es völlig klar, dass der beliebte Maßstab 1 Einheit = 2 Zellen nicht funktioniert. Warum? Schauen wir uns den Punkt an – hier müssen Sie fünfzehn Zentimeter nach unten messen, und offensichtlich passt die Zeichnung nicht (oder kaum) auf ein Notizbuchblatt. Daher wählen wir sofort einen kleineren Maßstab: 1 Einheit = 1 Zelle.

Übrigens etwa Zentimeter und Notebookzellen. Stimmt es, dass 30 Notebook-Zellen 15 Zentimeter enthalten? Messen Sie zum Spaß mit einem Lineal 15 Zentimeter in Ihrem Notizbuch. In der UdSSR mag das wahr gewesen sein ... Es ist interessant festzustellen, dass die Ergebnisse (in den Zellen) unterschiedlich ausfallen, wenn man dieselben Zentimeter horizontal und vertikal misst! Streng genommen sind moderne Notizbücher nicht kariert, sondern rechteckig. Das mag vielleicht Unsinn erscheinen, aber in solchen Situationen ist es sehr umständlich, beispielsweise einen Kreis mit einem Zirkel zu zeichnen. Um ehrlich zu sein, fängt man in solchen Momenten an, über die Richtigkeit des Genossen Stalin nachzudenken, der wegen Hackarbeit in der Produktion in Lager geschickt wurde, ganz zu schweigen von der heimischen Automobilindustrie, abstürzenden Flugzeugen oder explodierenden Kraftwerken.

Apropos Qualität, oder eine kurze Empfehlung zum Thema Briefpapier. Heutzutage sind die meisten Notizbücher im Angebot, böse Worte ganz zu schweigen von völligem Quatsch. Aus dem Grund, dass sie nass werden, und zwar nicht nur von Gelstiften, sondern auch von Kugelschreibern! Sie sparen Papiergeld. Für die Registrierung Tests Ich empfehle die Verwendung von Notizbüchern der Zellstoff- und Papierfabrik Archangelsk (18 Blatt, Raster) oder „Pyaterochka“, obwohl es teurer ist. Es empfiehlt sich, einen Gelschreiber zu wählen; selbst die billigste chinesische Gelmine ist viel besser als ein Kugelschreiber, der das Papier entweder verschmiert oder zerreißt. Der einzige „konkurrenzfähige“ Kugelschreiber, an den ich mich erinnern kann, ist der Erich Krause. Sie schreibt klar, schön und konsequent – ​​ob mit vollem Kern oder mit fast leerem Kern.

Zusätzlich: Die Vision eines rechteckigen Koordinatensystems durch die Augen der analytischen Geometrie wird in dem Artikel behandelt Lineare (Nicht-)Abhängigkeit von Vektoren. Basis von Vektoren Detaillierte Informationen zu Koordinatenquartieren finden Sie im zweiten Absatz der Lektion Lineare Ungleichungen.

3D-Hülle

Hier ist es fast das Gleiche.

1) Koordinatenachsen zeichnen. Standard: Achse anwenden – nach oben gerichtet, Achse – nach rechts gerichtet, Achse – nach links unten gerichtet streng in einem Winkel von 45 Grad.

2) Beschriften Sie die Achsen.

3) Stellen Sie den Maßstab entlang der Achsen ein. Der Maßstab entlang der Achse ist doppelt so groß wie der Maßstab entlang der anderen Achsen. Beachten Sie auch, dass ich in der rechten Zeichnung eine nicht standardmäßige „Kerbe“ entlang der Achse verwendet habe (Diese Möglichkeit wurde oben bereits erwähnt). Aus meiner Sicht ist dies genauer, schneller und ästhetisch ansprechender – es ist nicht nötig, unter dem Mikroskop nach der Mitte der Zelle zu suchen und eine Einheit nahe dem Koordinatenursprung zu „formen“.

Auch beim Erstellen einer 3D-Zeichnung sollten Sie der Skalierung Priorität einräumen
1 Einheit = 2 Zellen (Zeichnung links).

Wozu dienen all diese Regeln? Regeln sind gemacht um gebrochen zu werden. Das werde ich jetzt tun. Tatsache ist, dass nachfolgende Zeichnungen des Artikels von mir in Excel erstellt werden und die Koordinatenachsen aus der Sicht falsch aussehen richtiges Design. Ich könnte alle Diagramme von Hand zeichnen, aber es ist wirklich beängstigend, sie zu zeichnen, da Excel sie nur ungern viel genauer zeichnen möchte.

Graphen und grundlegende Eigenschaften elementarer Funktionen

Durch die Gleichung ist eine lineare Funktion gegeben. Der Graph linearer Funktionen ist Direkte. Um eine Gerade zu konstruieren, reicht es aus, zwei Punkte zu kennen.

Beispiel 1

Konstruieren Sie einen Graphen der Funktion. Lassen Sie uns zwei Punkte finden. Es ist vorteilhaft, als einen der Punkte Null zu wählen.

Wenn, dann

Nehmen wir einen anderen Punkt, zum Beispiel 1.

Wenn, dann

Beim Erledigen von Aufgaben werden die Koordinaten der Punkte üblicherweise in einer Tabelle zusammengefasst:

Und die Werte selbst werden mündlich oder auf einem Entwurf, einem Taschenrechner, berechnet.

Zwei Punkte wurden gefunden, machen wir eine Zeichnung:

Bei der Zeichnungserstellung signieren wir immer die Grafiken.

Es wäre nützlich, sich an Sonderfälle einer linearen Funktion zu erinnern:

Beachten Sie, wie ich die Unterschriften platziert habe. Unterschriften sollten beim Studium der Zeichnung keine Unstimmigkeiten zulassen. In diesem Fall war es äußerst unerwünscht, eine Signatur neben dem Schnittpunkt der Linien oder unten rechts zwischen den Diagrammen anzubringen.

1) Eine lineare Funktion der Form () heißt direkte Proportionalität. Zum Beispiel, . Ein direkter Proportionalitätsgraph verläuft immer durch den Ursprung. Dadurch wird die Konstruktion einer Geraden vereinfacht – es reicht aus, nur einen Punkt zu finden.

2) Eine Gleichung der Form gibt eine Gerade parallel zur Achse an, insbesondere ist die Achse selbst durch die Gleichung gegeben. Der Graph der Funktion wird sofort gezeichnet, ohne dass Punkte gefunden werden. Das heißt, der Eintrag ist wie folgt zu verstehen: „Das y ist immer gleich –4, für jeden Wert von x.“

3) Eine Gleichung der Form gibt eine Gerade parallel zur Achse an, insbesondere ist die Achse selbst durch die Gleichung gegeben. Auch der Graph der Funktion wird sofort geplottet. Der Eintrag ist wie folgt zu verstehen: „x ist für jeden Wert von y immer gleich 1.“

Manche werden fragen: Warum sollte man sich an die 6. Klasse erinnern?! So ist es, vielleicht ist es so, aber im Laufe der Jahre der Praxis habe ich ein gutes Dutzend Studenten getroffen, die vor der Aufgabe, einen Graphen wie oder zu konstruieren, nicht standhalten konnten.

Das Konstruieren einer geraden Linie ist die häufigste Aktion beim Zeichnen.

Die Gerade wird im Rahmen der analytischen Geometrie ausführlich besprochen, Interessierte können auf den Artikel verweisen Gleichung einer Geraden in einer Ebene.

Graph einer quadratischen, kubischen Funktion, Graph eines Polynoms

Parabel. Zeitplan quadratische Funktion () stellt eine Parabel dar. Betrachten Sie den berühmten Fall:

Erinnern wir uns an einige Eigenschaften der Funktion.

Die Lösung unserer Gleichung lautet also: – An diesem Punkt befindet sich der Scheitelpunkt der Parabel. Warum das so ist, erfahren Sie im theoretischen Artikel zur Ableitung und in der Lektion zu Extrema der Funktion. Berechnen wir in der Zwischenzeit den entsprechenden „Y“-Wert:

Somit liegt der Scheitelpunkt am Punkt

Jetzt finden wir andere Punkte und nutzen dabei dreist die Symmetrie der Parabel. Es ist zu beachten, dass die Funktion – ist nicht einmal, aber dennoch hat niemand die Symmetrie der Parabel aufgehoben.

In welcher Reihenfolge die verbleibenden Punkte zu finden sind, wird meiner Meinung nach anhand der Abschlusstabelle klar sein:

Dieser Konstruktionsalgorithmus kann im übertragenen Sinne als „Shuttle“ oder als „Hin- und Her“-Prinzip bei Anfisa Tschechowa bezeichnet werden.

Machen wir die Zeichnung:

Aus den untersuchten Diagrammen fällt mir eine weitere nützliche Funktion ein:

Für eine quadratische Funktion () Folgendes ist wahr:

Wenn , dann sind die Äste der Parabel nach oben gerichtet.

Wenn , dann sind die Äste der Parabel nach unten gerichtet.

Vertiefende Kenntnisse über die Kurve erhalten Sie in der Lektion Hyperbel und Parabel.

Durch die Funktion ist eine kubische Parabel gegeben. Hier ist eine aus der Schule bekannte Zeichnung:

Lassen Sie uns die Haupteigenschaften der Funktion auflisten

Graph einer Funktion

Es stellt einen der Äste einer Parabel dar. Machen wir die Zeichnung:

Haupteigenschaften der Funktion:

In diesem Fall ist die Achse vertikale Asymptote für den Graphen einer Hyperbel bei .

Es wäre ein GROßER Fehler, wenn Sie beim Erstellen einer Zeichnung unachtsam zulassen würden, dass sich der Graph mit einer Asymptote schneidet.

Auch einseitige Grenzen sagen uns, dass die Hyperbel nicht von oben begrenzt Und nicht von unten begrenzt.

Untersuchen wir die Funktion im Unendlichen: Das heißt, wenn wir beginnen, uns entlang der Achse nach links (oder rechts) ins Unendliche zu bewegen, verlaufen die „Spiele“ in einem geordneten Schritt unendlich nah nähern sich Null und dementsprechend die Zweige der Hyperbel unendlich nah Annäherung an die Achse.

So ist die Achse horizontale Asymptote für den Graphen einer Funktion, wenn „x“ gegen plus oder minus unendlich tendiert.

Die Funktion ist seltsam, und daher ist die Hyperbel symmetrisch zum Ursprung. Diese Tatsache ist aus der Zeichnung ersichtlich, außerdem lässt sie sich leicht analytisch überprüfen: .

Der Graph einer Funktion der Form () stellt zwei Zweige einer Hyperbel dar.

Wenn , dann liegt die Hyperbel im ersten und dritten Koordinatenviertel(siehe Bild oben).

Wenn , dann liegt die Hyperbel im zweiten und vierten Koordinatenviertel.

Das angegebene Muster der Hyperbelresidenz ist aus der Sicht geometrischer Transformationen von Graphen leicht zu analysieren.

Beispiel 3

Konstruieren Sie den rechten Zweig der Hyperbel

Wir verwenden die punktweise Konstruktionsmethode, wobei es vorteilhaft ist, die Werte so zu wählen, dass sie durch ein Ganzes teilbar sind:

Machen wir die Zeichnung:

Es wird nicht schwierig sein, den linken Zweig der Hyperbel zu konstruieren; die Seltsamkeit der Funktion wird hier helfen. Grob gesagt addieren wir in der Tabelle der punktweisen Konstruktion gedanklich zu jeder Zahl ein Minus, setzen die entsprechenden Punkte ein und zeichnen den zweiten Zweig.

Detaillierte geometrische Informationen zur betrachteten Linie finden Sie im Artikel Hyperbel und Parabel.

Graph einer Exponentialfunktion

In diesem Abschnitt werde ich gleich auf die Exponentialfunktion eingehen, da bei Problemen der höheren Mathematik in 95 % der Fälle die Exponentialfunktion auftritt.

Ich möchte Sie daran erinnern, dass es sich hierbei um eine irrationale Zahl handelt: Sie wird bei der Erstellung eines Diagramms benötigt, das ich tatsächlich ohne Umschweife erstellen werde. Drei Punkte, vielleicht reicht das:

Lassen wir den Graphen der Funktion vorerst in Ruhe, dazu später mehr.

Haupteigenschaften der Funktion:

Funktionsgraphen usw. sehen grundsätzlich gleich aus.

Ich muss sagen, dass der zweite Fall in der Praxis seltener vorkommt, aber er kommt vor, daher hielt ich es für notwendig, ihn in diesen Artikel aufzunehmen.

Graph einer logarithmischen Funktion

Betrachten Sie eine Funktion mit einem natürlichen Logarithmus.
Machen wir eine Punkt-für-Punkt-Zeichnung:

Wenn Sie vergessen haben, was ein Logarithmus ist, schauen Sie bitte in Ihren Schulbüchern nach.

Haupteigenschaften der Funktion:

Domain:

Wertebereich: .

Die Funktion ist von oben her nicht eingeschränkt: , wenn auch langsam, aber der Zweig des Logarithmus geht bis ins Unendliche.
Untersuchen wir das Verhalten der Funktion nahe Null auf der rechten Seite: . So ist die Achse vertikale Asymptote für den Graphen einer Funktion, da „x“ von rechts gegen Null geht.

Es ist unbedingt erforderlich, den typischen Wert des Logarithmus zu kennen und sich daran zu erinnern: .

Der Graph des Logarithmus an der Basis sieht grundsätzlich gleich aus: , , ( dezimaler Logarithmus zur Basis 10) usw. Darüber hinaus ist die Grafik umso flacher, je größer die Basis ist.

Wir werden den Fall nicht prüfen, ich weiß nicht mehr wann das letzte Mal Auf dieser Grundlage habe ich ein Diagramm erstellt. Und der Logarithmus scheint in Problemen der höheren Mathematik ein sehr seltener Gast zu sein.

Am Ende dieses Absatzes möchte ich noch eine Tatsache erwähnen: Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion– das sind zwei zueinander inverse Funktionen. Wenn man sich den Graphen des Logarithmus genau anschaut, sieht man, dass es sich um denselben Exponenten handelt, er liegt nur etwas anders.

Diagramme trigonometrischer Funktionen

Wo beginnt trigonometrische Qual in der Schule? Rechts. Vom Sinus

Lassen Sie uns die Funktion grafisch darstellen

Diese Zeile heißt Sinusoid.

Ich möchte Sie daran erinnern, dass „pi“ eine irrationale Zahl ist und in der Trigonometrie Ihre Augen zum Strahlen bringt.

Haupteigenschaften der Funktion:

Diese Funktion ist periodisch mit Punkt. Was bedeutet das? Schauen wir uns das Segment an. Links und rechts davon wiederholt sich endlos genau derselbe Teil des Diagramms.

Domain: , das heißt, für jeden Wert von „x“ gibt es einen Sinuswert.

Wertebereich: . Die Funktion ist begrenzt: , das heißt, alle „Spiele“ sitzen streng im Segment .
Das passiert nicht, oder genauer gesagt, es passiert, aber diese Gleichungen haben keine Lösung.

Grenzen und Kontinuität

Sets

Unter viele wird als eine Ansammlung homogener Objekte verstanden. Objekte, die eine Menge bilden, werden aufgerufen Elemente oder Punkte dieser Menge. Mengen bezeichnen in Großbuchstaben, und ihre Elemente sind Kleinbuchstaben. Wenn A ist ein Element der Menge A, dann wird der Eintrag verwendet AÎ A. Wenn B ist kein Element der Menge A, dann schreibt man es so: B Ï A. Eine Menge, die kein einzelnes Element enthält, heißt leere Menge und wird wie folgt bezeichnet: Ø.

Wenn das Set B besteht aus einem Teil der Elemente der Menge A oder damit übereinstimmt, dann die Menge B angerufen Teilmenge setzt und bezeichnet BÌ A.

Die beiden Mengen werden aufgerufen gleich, wenn sie aus den gleichen Elementen bestehen.

Verband zwei Sets A Und B eine Menge genannt C, bestehend aus allen Elementen, die zu mindestens einer der Mengen gehören: C=AÈ B.

Durch Überqueren zwei Sets A Und B eine Menge genannt C, bestehend aus allen Elementen, die zu jeder dieser Mengen gehören: C=AÇ B.

Durch Differenz Sätze A Und B eine Menge genannt E A, die nicht zur Menge gehören B: .

Ergänzung Sätze AÌ B eine Menge genannt C, bestehend aus allen Elementen der Menge B, nicht dazugehörend A.

Mengen, deren Elemente reelle Zahlen sind, werden aufgerufen numerisch:

Dabei NÌ ZÌ QÌ R, ICHÌ R Und R=ICHÈ Q.

Ein Haufen X, deren Elemente die Ungleichung erfüllen, heißt Segment(Segment) und wird mit [ A; B]; Ungleichheit A<X<B – Intervall und wird mit () bezeichnet; Ungleichheiten und - Halbintervalle und werden jeweils mit und bezeichnet. Oft muss man sich auch mit unendlichen Intervallen und Halbintervallen befassen: , , , und . Es ist praktisch, sie alle anzurufen in Intervallen .

Intervall, d.h. Menge von Punkten, die die Ungleichung erfüllen (wobei ), heißt die -Nachbarschaft des Punktes A.

Der Funktionsbegriff. Grundlegende Eigenschaften einer Funktion

Wenn jedes Element X Sätze X ein einzelnes Element wird abgeglichen j Sätze Y, dann sagen sie das am Set X gegeben Funktion j=F(X). Dabei X angerufen unabhängige Variable oder Streit, A j – abhängige Variable oder Funktion, A F bezeichnet das Gesetz der Korrespondenz. Ein Haufen X angerufen Definitionsbereich Funktionen und eine Menge Y – Wertebereich Funktionen.

Es gibt mehrere Möglichkeiten, Funktionen anzugeben.

1) Analytische Methode – die Funktion wird durch eine Formel der Form gegeben j=F(X).

2) Tabellarische Methode – die Funktion wird durch eine Tabelle spezifiziert, die die Argumentwerte und die entsprechenden Funktionswerte enthält j=F(X).

3) Grafische Methode – Darstellung eines Graphen einer Funktion, d.h. Menge von Punkten ( X; j) Koordinatenebene, deren Abszissen die Werte des Arguments und deren Ordinaten die entsprechenden Werte der Funktion darstellen j=F(X).

4) Verbale Methode – eine Funktion wird durch die Regel für ihre Zusammensetzung beschrieben. Beispielsweise nimmt die Dirichlet-Funktion den Wert 1 an, wenn X ist eine rationale Zahl und 0, wenn X- irrationale Zahl.

Folgende Haupteigenschaften von Funktionen werden unterschieden.

1 Gerade und ungerade Funktion j=F(X) wird genannt sogar, wenn für irgendwelche Werte X aus seinem Definitionsbereich erfüllt ist F(–X)=F(X), Und seltsam, Wenn F(–X)=–F(X). Wenn keine der aufgeführten Gleichheiten erfüllt ist, dann j=F(X) wird genannt allgemeine Funktion. Der Graph einer geraden Funktion ist symmetrisch zur Achse Oy, und der Graph der ungeraden Funktion ist symmetrisch zum Ursprung.

2 Monotonie Funktion j=F(X) wird genannt zunehmend (abnehmend) auf dem Intervall X, Wenn höherer Wert ein Argument aus diesem Intervall entspricht einem größeren (kleineren) Wert der Funktion. Lassen X 1 ,X 2 Î X, X 2 >X 1 . Dann nimmt die Funktion im Intervall zu X, Wenn F(X 2)>F(X 1) und verringert sich, wenn F(X 2)<F(X 1).

Neben steigenden und fallenden Funktionen werden auch nicht fallende und nicht steigende Funktionen berücksichtigt. Die Funktion wird aufgerufen nicht abnehmend (nicht zunehmend), wenn bei X 1 ,X 2 Î X, X 2 >X 1 Ungleichung gilt F(X 2)≥F(X 1) (F(X 2)≤F(X 1)).

Steigende und fallende Funktionen sowie nicht steigende und nicht fallende Funktionen werden als monoton bezeichnet.

3 Begrenzt Funktion j=F(X) heißt auf dem Intervall beschränkt X, wenn es eine solche positive Zahl gibt M>0, was | F(X)|≤M für jeden XÎ X. Andernfalls heißt die Funktion unbeschränkt X.

4 Frequenz Funktion j=F(X) heißt periodisch mit Punkt T≠0, falls vorhanden X aus dem Bereich der Funktion F(X+T)=F(X). Unter Periode verstehen wir im Folgenden die kleinste positive Periode einer Funktion.

Die Funktion wird aufgerufen explizit, wenn es durch eine Formel der Form gegeben ist j=F(X). Wenn die Funktion durch die Gleichung gegeben ist F(X, j)=0, relativ zur abhängigen Variablen nicht zulässig j, dann heißt es implizit.

Lassen j=F(X) ist eine Funktion der auf der Menge definierten unabhängigen Variablen X mit Reichweite Y. Lassen Sie uns jeden einzelnen zuordnen jÎ Y einzige Bedeutung XÎ X, bei welchem F(X)=j.Dann die resultierende Funktion X=φ (j), auf dem Set definiert Y mit Reichweite X, angerufen umkehren und ist bezeichnet j=F –1 (X). Diagramme gegenseitig Umkehrfunktionen symmetrisch relativ zur Winkelhalbierenden des ersten und dritten Koordinatenviertels.

Lassen Sie die Funktion j=F(u) ist eine Funktion einer Variablen u, am Set definiert U mit Reichweite Y, und die Variable u wiederum ist eine Funktion u=φ (X), auf dem Set definiert X mit Reichweite U. Dann am Set gegeben X Funktion j=F(φ (X)) wird genannt komplexe Funktion (Zusammensetzung von Funktionen, Überlagerung von Funktionen, Funktion einer Funktion).

Elementare Funktionen

Zu den wichtigsten Elementarfunktionen gehören:

• Power-Funktion j=x n; j=x–n Und j=X 1/ N;
• Exponentialfunktion j=ein x;
• logarithmische Funktion j=log ein x;
• trigonometrische Funktionen j=Sünde X, j=cos X, j=tg X Und j=ctg X;
• inverse trigonometrische Funktionen j= Arcsin X, j=arccos X, j=arctg X Und j=arcctg X.

Aus den Grundelementarfunktionen können durch algebraische Operationen und Überlagerung von Funktionen neue Funktionen gewonnen werden.

Es werden Funktionen aufgerufen, die aus grundlegenden Elementarfunktionen unter Verwendung einer endlichen Anzahl algebraischer Operationen und einer endlichen Anzahl von Superpositionsoperationen aufgebaut sind elementar.

Algebraisch ist eine Funktion, in der eine endliche Anzahl algebraischer Operationen für das Argument ausgeführt wird. Zu den algebraischen Funktionen gehören:

· eine ganze rationale Funktion (Polynom oder Polynom)

· gebrochen-rationale Funktion (Verhältnis zweier Polynome)

· Irrationale Funktion (wenn die Operationen am Argument das Extrahieren der Wurzel beinhalten).

Jede nicht-algebraische Funktion wird aufgerufen transzendental. Zu den transzendenten Funktionen gehören exponentielle, logarithmische, trigonometrische und inverse trigonometrische Funktionen.

Um dieses Thema zu verstehen, betrachten wir eine in einem Diagramm dargestellte Funktion. // Zeigen wir, wie ein Diagramm einer Funktion es Ihnen ermöglicht, ihre Eigenschaften zu bestimmen.

Schauen wir uns die Eigenschaften einer Funktion anhand eines Beispiels an

Der Definitionsbereich der Funktion ist Spanne [ 3,5; 5.5].

Der Wertebereich der Funktion ist Spanne [ 1; 3].

1. Bei x = -3, x = - 1, x = 1,5, x = 4,5 ist der Wert der Funktion Null.

Der Argumentwert, bei dem der Funktionswert Null ist, wird Funktion Null genannt.

//diese. Für diese Funktion sind die Zahlen -3;-1;1,5; 4,5 sind Nullen.

2. In Abständen [ 4,5; 3) und (1; 1,5) und (4,5; 5,5] der Graph der Funktion f liegt oberhalb der Abszissenachse und in den Intervallen (-3; -1) und (1,5; 4,5) unterhalb der Abszissenachse wird so erklärt -in Intervallen[ 4,5; 3) und (1; 1.5) und (4.5;5.5] nimmt die Funktion an positive Werte, und auf den Intervallen (-3; -1) und (1,5; 4,5) sind negativ.

Jedes der angegebenen Intervalle (wobei die Funktion Werte mit demselben Vorzeichen annimmt) wird als Intervall mit konstantem Vorzeichen der Funktion f.//d.h. bezeichnet. Nehmen wir zum Beispiel das Intervall (0; 3), dann ist es kein Intervall mit konstantem Vorzeichen dieser Funktion.

In der Mathematik ist es bei der Suche nach Intervallen mit konstantem Vorzeichen einer Funktion üblich, Intervalle mit maximaler Länge anzugeben. //Diese. das Intervall (2; 3) ist Intervall der Vorzeichenkonstanz Funktion f, aber die Antwort sollte das Intervall [ 4,5; 3) enthält das Intervall (2; 3).

3. Wenn Sie sich entlang der x-Achse von 4,5 auf 2 bewegen, werden Sie feststellen, dass der Funktionsgraph nach unten geht, das heißt, die Funktionswerte sinken. //In der Mathematik ist es üblich zu sagen, dass auf dem Intervall [ 4,5; 2] nimmt die Funktion ab.

Wenn x von 2 auf 0 steigt, steigt der Graph der Funktion, d. h. die Funktionswerte steigen. //In der Mathematik ist es üblich zu sagen, dass auf dem Intervall [ 2; 0] erhöht sich die Funktion.

Eine Funktion f heißt, wenn für zwei beliebige Werte des Arguments x1 und x2 aus diesem Intervall mit x2 > x1 die Ungleichung f (x2) > f (x1) gilt. // oder die Funktion wird aufgerufen über einen gewissen Zeitraum ansteigend, wenn für beliebige Werte des Arguments aus diesem Intervall ein größerer Wert des Arguments einem größeren Wert der Funktion entspricht.//d.h. je mehr x, desto mehr y.

Die Funktion f wird aufgerufen über einen gewissen Zeitraum abnehmend, wenn für zwei beliebige Werte des Arguments x1 und x2 aus diesem Intervall, so dass x2 > x1, die Ungleichung f(x2) in einem bestimmten Intervall abnimmt, wenn für beliebige Werte des Arguments aus diesem Intervall der größere Wert des Arguments dem kleineren Wert der Funktion entspricht. //diese. je mehr x, desto weniger y.

Wenn eine Funktion über den gesamten Definitionsbereich zunimmt, wird sie aufgerufen zunehmend.

Wenn eine Funktion über den gesamten Definitionsbereich abnimmt, wird sie aufgerufen abnehmend.

Beispiel 1. Diagramm der steigenden bzw. fallenden Funktionen.

Beispiel 2.

Definieren Sie das Phänomen. ob lineare Funktion f (x) = 3x + 5 steigend oder fallend?

Nachweisen. Lassen Sie uns die Definitionen verwenden. Seien x1 und x2 beliebige Werte des Arguments und x1< x2., например х1=1, х2=7

Definition: Eine numerische Funktion ist eine Korrespondenz, die jede Zahl x aus einer gegebenen Menge zuordnet Singular j.

Bezeichnung:

Dabei ist x die unabhängige Variable (Argument) und y die abhängige Variable (Funktion). Die Wertemenge von x wird als Definitionsbereich der Funktion bezeichnet (bezeichnet mit D(f)). Die Wertemenge von y wird als Wertebereich der Funktion bezeichnet (bezeichnet mit E(f)). Der Graph einer Funktion ist die Menge der Punkte in der Ebene mit den Koordinaten (x, f(x))

Methoden zur Angabe einer Funktion.

1. analytische Methode (unter Verwendung einer mathematischen Formel);
2. tabellarische Methode (unter Verwendung einer Tabelle);
3. beschreibende Methode (mittels verbaler Beschreibung);
4. grafische Methode (unter Verwendung eines Diagramms).

Grundlegende Eigenschaften der Funktion.

1. Gerade und ungerade

Eine Funktion wird aufgerufen, auch wenn
– Der Definitionsbereich der Funktion ist symmetrisch um Null
f(-x) = f(x)

Der Graph einer geraden Funktion ist symmetrisch zur Achse 0y

Eine Funktion heißt ungerade wenn
– Der Definitionsbereich der Funktion ist symmetrisch um Null
– für jedes x aus dem Definitionsbereich f(-x) = –f(x)

Der Graph einer ungeraden Funktion ist symmetrisch zum Ursprung.

2. Häufigkeit

Eine Funktion f(x) heißt periodisch mit Periode if für jedes x aus dem Definitionsbereich f(x) = f(x+T) = f(x-T) .

Der Graph einer periodischen Funktion besteht aus sich unbegrenzt wiederholenden identischen Fragmenten.

3. Monotonie (zunehmend, abnehmend)

Die Funktion f(x) wächst auf der Menge P, wenn für jedes x 1 und x 2 aus dieser Menge gilt, dass x 1

Die Funktion f(x) nimmt auf der Menge P ab, wenn für jedes x 1 und x 2 aus dieser Menge gilt, so dass x 1 f(x 2) .

4. Extreme

Der Punkt X max heißt Maximalpunkt der Funktion f(x), wenn für alle x aus einer Umgebung von X max die Ungleichung f(x) f(X max) erfüllt ist.

Der Wert Y max =f(X max) wird als Maximum dieser Funktion bezeichnet.

X max – Maximalpunkt
Bei Maximum - Maximum

Ein Punkt X min heißt Minimalpunkt der Funktion f(x), wenn für alle x aus einer Umgebung von X min die Ungleichung f(x) f(X min) erfüllt ist.

Der Wert Y min =f(X min) wird als Minimum dieser Funktion bezeichnet.

X min – Mindestpunktzahl
Y min – Minimum

X min , X max – Extrempunkte
Y min, Y max – Extrema.

5. Nullstellen der Funktion

Der Nullpunkt einer Funktion y = f(x) ist der Wert des Arguments x, bei dem die Funktion Null wird: f(x) = 0.

X 1, X 2, X 3 – Nullstellen der Funktion y = f(x).

Aufgaben und Tests zum Thema „Grundlegende Eigenschaften einer Funktion“

• Funktionseigenschaften - Numerische Funktionen 9.Klasse

  Lektionen: 2 Aufgaben: 11 Tests: 1

• Eigenschaften von Logarithmen - Exponentielle und logarithmische Funktionen Klasse 11

  Lektionen: 2 Aufgaben: 14 Tests: 1

• Quadratwurzelfunktion, ihre Eigenschaften und Diagramm - Funktion Quadratwurzel. Eigenschaften der Quadratwurzel-Klasse 8

  Lektionen: 1 Aufgaben: 9 Tests: 1

• Potenzfunktionen, ihre Eigenschaften und Graphen - Abschlüsse und Wurzeln. Leistungsfunktionen Klasse 11

  Lektionen: 4 Aufgaben: 14 Tests: 1

• Funktionen - Wichtige Themen zur Überprüfung des Einheitlichen Staatsexamens in Mathematik

  Aufgaben: 24

Nachdem Sie dieses Thema studiert haben, sollten Sie in der Lage sein, den Definitionsbereich verschiedener Funktionen zu finden, die Monotonieintervalle einer Funktion mithilfe von Diagrammen zu bestimmen und Funktionen auf Gleichmäßigkeit und Ungeradheit zu untersuchen. Betrachten wir die Lösung ähnlicher Probleme anhand der folgenden Beispiele.

Beispiele.

1. Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion.

Lösung: Der Definitionsbereich der Funktion wird aus der Bedingung ermittelt