In dieser Lektion werden wir uns ansehen, wie man die Determinante zum Erstellen verwendet Ebenengleichung. Wenn Sie nicht wissen, was eine Determinante ist, lesen Sie den ersten Teil der Lektion – „Matrizen und Determinanten“. Andernfalls besteht die Gefahr, dass Sie den heutigen Stoff nicht verstehen.

Gleichung einer Ebene mit drei Punkten

Warum brauchen wir überhaupt eine Ebenengleichung? Es ist ganz einfach: Wenn wir es wissen, können wir Winkel, Abstände und anderen Mist in Aufgabe C2 leicht berechnen. Im Allgemeinen kann man auf diese Gleichung nicht verzichten. Daher formulieren wir das Problem:

Aufgabe. Im Raum sind drei Punkte angegeben, die nicht auf derselben Geraden liegen. Ihre Koordinaten:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3);

Sie müssen eine Gleichung für die Ebene erstellen, die durch diese drei Punkte verläuft. Darüber hinaus sollte die Gleichung wie folgt aussehen:

Ax + By + Cz + D = 0

wobei die Zahlen A, B, C und D die Koeffizienten sind, die tatsächlich gefunden werden müssen.

Nun, wie erhält man die Gleichung einer Ebene, wenn nur die Koordinaten der Punkte bekannt sind? Am einfachsten ist es, die Koordinaten in die Gleichung Ax + By + Cz + D = 0 einzusetzen. Sie erhalten ein System aus drei Gleichungen, das leicht gelöst werden kann.

Viele Studierende empfinden diese Lösung als äußerst mühsam und unzuverlässig. Das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik im letzten Jahr hat gezeigt, dass die Wahrscheinlichkeit, einen Rechenfehler zu machen, sehr hoch ist.

Daher begannen die fortgeschrittensten Lehrer, nach einfacheren und eleganteren Lösungen zu suchen. Und sie haben es gefunden! Die erhaltene Technik bezieht sich zwar eher auf die höhere Mathematik. Persönlich musste ich die gesamte Bundeslehrbuchliste durchstöbern, um sicherzustellen, dass wir das Recht haben, diese Technik ohne Begründung oder Beweise anzuwenden.

Gleichung einer Ebene durch eine Determinante

Genug der Texte, kommen wir zur Sache. Zunächst ein Satz darüber, wie die Determinante einer Matrix und die Gleichung der Ebene zusammenhängen.

Satz. Gegeben seien die Koordinaten von drei Punkten, durch die die Ebene gezogen werden muss: M = (x 1, y 1, z 1); N = (x 2, y 2, z 2); K = (x 3, y 3, z 3). Dann kann die Gleichung dieser Ebene durch die Determinante geschrieben werden:

Versuchen wir als Beispiel, ein Ebenenpaar zu finden, das tatsächlich in den Problemen C2 auftritt. Schauen Sie, wie schnell alles berechnet ist:

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C 1 = (1, 1, 1);

Wir bilden eine Determinante und setzen sie mit Null gleich:

Wir erweitern die Determinante:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x ) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Wie Sie sehen können, habe ich bei der Berechnung der Zahl d die Gleichung ein wenig „gekämmt“, sodass die Variablen x, y und z hineinkamen richtige Reihenfolge. Das ist alles! Die Ebenengleichung ist fertig!

Aufgabe. Schreiben Sie eine Gleichung für eine Ebene, die durch die Punkte verläuft:

A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);

Wir ersetzen sofort die Koordinaten der Punkte in der Determinante:

Wir erweitern die Determinante noch einmal:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d = a − b = z − (x + y ) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Damit erhält man wieder die Gleichung der Ebene! Auch hier mussten wir im letzten Schritt die Vorzeichen ändern, um eine „schönere“ Formel zu erhalten. Dies ist in dieser Lösung überhaupt nicht notwendig, wird aber dennoch empfohlen – um die weitere Lösung des Problems zu vereinfachen.

Wie Sie sehen, ist das Aufstellen der Gleichung einer Ebene jetzt viel einfacher. Wir setzen die Punkte in die Matrix ein, berechnen die Determinante – und fertig, die Gleichung ist fertig.

Damit könnte die Lektion beendet sein. Viele Studierende vergessen jedoch ständig, was in der Determinante enthalten ist. Welche Zeile enthält beispielsweise x 2 oder x 3 und welche Zeile enthält nur x. Um dies wirklich zu klären, schauen wir uns an, woher die einzelnen Zahlen kommen.

Woher kommt die Formel mit der Determinante?

Lassen Sie uns also herausfinden, woher eine so harte Gleichung mit einer Determinante kommt. Dies wird Ihnen helfen, sich daran zu erinnern und es erfolgreich anzuwenden.

Alle Ebenen, die in Problem C2 vorkommen, werden durch drei Punkte definiert. Diese Punkte sind immer auf der Zeichnung markiert oder sogar direkt im Problemtext angegeben. Um eine Gleichung zu erstellen, müssen wir auf jeden Fall ihre Koordinaten aufschreiben:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3).

Betrachten wir einen anderen Punkt auf unserer Ebene mit beliebigen Koordinaten:

T = (x, y, z)

Nehmen Sie einen beliebigen Punkt der ersten drei (z. B. Punkt M) und zeichnen Sie von ihm Vektoren zu jedem der drei verbleibenden Punkte. Wir erhalten drei Vektoren:

MN = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1 );
MK = (x 3 − x 1 , y 3 − y 1 , z 3 − z 1 );
MT = (x − x 1 , y − y 1 , z − z 1 ).

Lassen Sie uns nun aus diesen Vektoren eine quadratische Matrix zusammenstellen und ihre Determinante mit Null gleichsetzen. Die Koordinaten der Vektoren werden zu Zeilen der Matrix – und wir erhalten genau die Determinante, die im Satz angegeben ist:

Diese Formel bedeutet, dass das Volumen eines Parallelepipeds, das auf den Vektoren MN, MK und MT aufgebaut ist, gleich Null ist. Daher liegen alle drei Vektoren in derselben Ebene. Insbesondere ist ein beliebiger Punkt T = (x, y, z) genau das, wonach wir gesucht haben.

Ersetzen von Punkten und Linien einer Determinante

Determinanten haben mehrere tolle Eigenschaften, die es noch einfacher machen Lösung für Problem C2. Es ist uns zum Beispiel egal, von welchem ​​Punkt aus wir die Vektoren zeichnen. Daher ergeben die folgenden Determinanten dieselbe Ebenengleichung wie oben:

Sie können die Zeilen der Determinante auch vertauschen. Die Gleichung bleibt unverändert. Viele Leute schreiben zum Beispiel gerne eine Zeile mit den Koordinaten des Punktes T = (x; y; z) ganz oben. Bitte, wenn es für Sie bequem ist:

Manche Leute sind verwirrt darüber, dass eine der Linien Variablen x, y und z enthält, die beim Ersetzen von Punkten nicht verschwinden. Aber sie sollten nicht verschwinden! Wenn Sie die Zahlen in die Determinante einsetzen, sollten Sie diese Konstruktion erhalten:

Dann wird die Determinante gemäß dem Diagramm zu Beginn der Lektion entwickelt und man erhält die Standardgleichung der Ebene:

Ax + By + Cz + D = 0

Schauen Sie sich ein Beispiel an. Es ist das letzte in der heutigen Lektion. Ich werde die Linien absichtlich vertauschen, um sicherzustellen, dass die Antwort die gleiche Gleichung der Ebene ergibt.

Aufgabe. Schreiben Sie eine Gleichung für eine Ebene, die durch die Punkte verläuft:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1).

Wir berücksichtigen also 4 Punkte:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Erstellen wir zunächst eine Standarddeterminante und setzen sie mit Null gleich:

Wir erweitern die Determinante:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Das war's, wir haben die Antwort: x + y + z − 2 = 0.

Lassen Sie uns nun ein paar Zeilen in der Determinante neu anordnen und sehen, was passiert. Schreiben wir zum Beispiel eine Zeile mit den Variablen x, y, z nicht unten, sondern oben:

Wir erweitern noch einmal die resultierende Determinante:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Wir haben genau die gleiche Ebenengleichung erhalten: x + y + z − 2 = 0. Das bedeutet, dass es wirklich nicht auf die Reihenfolge der Zeilen ankommt. Es bleibt nur noch, die Antwort aufzuschreiben.

Wir sind also davon überzeugt, dass die Gleichung der Ebene nicht von der Linienfolge abhängt. Wir können ähnliche Berechnungen durchführen und beweisen, dass die Gleichung der Ebene nicht von dem Punkt abhängt, dessen Koordinaten wir von anderen Punkten subtrahieren.

In dem oben betrachteten Problem haben wir den Punkt B 1 = (1, 0, 1) verwendet, aber es war durchaus möglich, C = (1, 1, 0) oder D 1 = (0, 1, 1) zu nehmen. Im Allgemeinen jeder Punkt mit bekannten Koordinaten, der auf der gewünschten Ebene liegt.

Sie können einstellen verschiedene Wege(ein Punkt und ein Vektor, zwei Punkte und ein Vektor, drei Punkte usw.). Vor diesem Hintergrund kann die Gleichung der Ebene gelten Verschiedene Arten. Unter bestimmten Bedingungen können Ebenen außerdem parallel, senkrecht, sich schneidend usw. sein. Wir werden in diesem Artikel darüber sprechen. Wir lernen, wie man eine allgemeine Gleichung einer Ebene erstellt und vieles mehr.

Normalform der Gleichung

Nehmen wir an, es gibt einen Raum R 3, der ein rechteckiges XYZ-Koordinatensystem hat. Definieren wir den Vektor α, der vom Anfangspunkt O ausgeht. Durch das Ende des Vektors α zeichnen wir eine Ebene P, die senkrecht dazu steht.

Bezeichnen wir einen beliebigen Punkt auf P als Q = (x, y, z). Unterschreiben wir den Radiusvektor des Punktes Q mit dem Buchstaben p. In diesem Fall ist die Länge des Vektors α gleich ð=IαI und Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Dies ist ein Einheitsvektor, der wie der Vektor α zur Seite gerichtet ist. α, β und γ sind die Winkel, die zwischen dem Vektor Ʋ und den positiven Richtungen der Raumachsen x, y, z gebildet werden. Die Projektion eines beliebigen Punktes QϵП auf den Vektor Ʋ ist konstanter Wert, was gleich p ist: (p,Ʋ) = p(p≥0).

Die obige Gleichung macht Sinn, wenn p=0. Das Einzige ist, dass die Ebene P in diesem Fall den Punkt O (α=0) schneidet, der den Koordinatenursprung darstellt, und der vom Punkt O freigegebene Einheitsvektor Ʋ unabhängig von seiner Richtung senkrecht zu P steht bedeutet, dass der Vektor Ʋ vorzeichengenau bestimmt wird. Die vorherige Gleichung ist die Gleichung unserer Ebene P, ausgedrückt in Vektorform. Aber in Koordinaten sieht es so aus:

P ist hier größer oder gleich 0. Wir haben die Gleichung der Raumebene in Normalform gefunden.

Allgemeine Gleichung

Wenn wir die Gleichung in Koordinaten mit einer Zahl ungleich Null multiplizieren, erhalten wir eine Gleichung, die dieser entspricht und genau diese Ebene definiert. Es wird so aussehen:

Dabei sind A, B, C Zahlen, die gleichzeitig von Null verschieden sind. Diese Gleichung wird als allgemeine Ebenengleichung bezeichnet.

Gleichungen von Ebenen. Sonderfälle

Gleichung in Gesamtansicht kann geändert werden, sofern verfügbar zusätzliche Bedingungen. Schauen wir uns einige davon an.

Nehmen wir an, dass der Koeffizient A 0 ist. Das bedeutet, dass diese Ebene parallel zur gegebenen Ox-Achse ist. In diesem Fall ändert sich die Form der Gleichung: Ву+Cz+D=0.

Ebenso ändert sich die Form der Gleichung unter den folgenden Bedingungen:

• Erstens, wenn B = 0, dann ändert sich die Gleichung zu Ax + Cz + D = 0, was Parallelität zur Oy-Achse anzeigt.
• Zweitens, wenn C=0, dann wird die Gleichung in Ax+By+D=0 umgewandelt, was Parallelität zur gegebenen Oz-Achse anzeigt.
• Drittens, wenn D=0, sieht die Gleichung wie Ax+By+Cz=0 aus, was bedeutet, dass die Ebene O (den Ursprung) schneidet.
• Viertens: Wenn A=B=0, dann ändert sich die Gleichung zu Cz+D=0, was sich als parallel zu Oxy erweist.
• Fünftens: Wenn B=C=0, dann lautet die Gleichung Ax+D=0, was bedeutet, dass die Ebene zu Oyz parallel ist.
• Sechstens, wenn A=C=0, dann nimmt die Gleichung die Form Ву+D=0 an, das heißt, sie meldet Parallelität zu Oxz.

Art der Gleichung in Segmenten

Für den Fall, dass die Zahlen A, B, C, D von Null verschieden sind, kann die Form der Gleichung (0) wie folgt sein:

x/a + y/b + z/c = 1,

wobei a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

Wir erhalten als Ergebnis. Es ist erwähnenswert, dass diese Ebene die Ox-Achse an einem Punkt mit den Koordinaten (a,0,0), Oy – (0,b,0) und Oz – (0,0,c) schneidet ).

Unter Berücksichtigung der Gleichung x/a + y/b + z/c = 1 ist es nicht schwer, sich die Lage der Ebene relativ zu einem gegebenen Koordinatensystem visuell vorzustellen.

Normale Vektorkoordinaten

Der Normalenvektor n zur Ebene P hat Koordinaten, die Koeffizienten sind allgemeine Gleichung einer gegebenen Ebene, also n (A, B, C).

Um die Koordinaten der Normalen n zu bestimmen, reicht es aus, die allgemeine Gleichung einer gegebenen Ebene zu kennen.

Bei Verwendung einer Gleichung in Segmenten, die die Form x/a + y/b + z/c = 1 hat, sowie bei Verwendung einer allgemeinen Gleichung können Sie die Koordinaten eines beliebigen Normalenvektors einer gegebenen Ebene schreiben: (1 /a + 1/b + 1/ Mit).

Es ist erwähnenswert, dass der Normalenvektor zur Lösung verschiedener Probleme beiträgt. Zu den häufigsten gehören Probleme, bei denen es um den Nachweis der Rechtwinkligkeit oder Parallelität von Ebenen geht, Probleme beim Ermitteln von Winkeln zwischen Ebenen oder von Winkeln zwischen Ebenen und Geraden.

Art der Ebenengleichung entsprechend den Koordinaten des Punktes und des Normalenvektors

Ein Vektor n ungleich Null senkrecht zu einer gegebenen Ebene wird als Normal für eine gegebene Ebene bezeichnet.

Nehmen wir an, dass im Koordinatenraum (rechteckiges Koordinatensystem) Oxyz gegeben sind:

• Punkt Mₒ mit den Koordinaten (xₒ,yₒ,zₒ);
• Nullvektor n=A*i+B*j+C*k.

Es ist notwendig, eine Gleichung für eine Ebene zu erstellen, die durch den Punkt Mₒ senkrecht zur Normalen n verläuft.

Wir wählen einen beliebigen Punkt im Raum und bezeichnen ihn mit M (x y, z). Der Radiusvektor eines beliebigen Punktes M (x,y,z) sei r=x*i+y*j+z*k und der Radiusvektor des Punktes Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Punkt M gehört zu einer gegebenen Ebene, wenn der Vektor MₒM senkrecht zum Vektor n steht. Schreiben wir die Orthogonalitätsbedingung mit dem Skalarprodukt:

[MₒM, n] = 0.

Da MₒM = r-rₒ, sieht die Vektorgleichung der Ebene folgendermaßen aus:

Diese Gleichung kann eine andere Form haben. Dazu werden die Eigenschaften des Skalarprodukts genutzt und die Transformation durchgeführt links Gleichungen = - . Wenn wir es als c bezeichnen, erhalten wir die folgende Gleichung: - c = 0 oder = c, die die Konstanz der Projektionen der Radiusvektoren gegebener Punkte, die zur Ebene gehören, auf den Normalenvektor ausdrückt.

Jetzt können wir die Koordinatenform zum Schreiben der Vektorgleichung unserer Ebene = 0 erhalten. Da r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k und n = A*i+B *j+С*k, wir haben:

Es stellt sich heraus, dass wir eine Gleichung für eine Ebene haben, die durch einen Punkt senkrecht zur Normalen n verläuft:

A*(x- xₒ)+B*(y- yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Art der Ebenengleichung entsprechend den Koordinaten zweier Punkte und eines zur Ebene kollinearen Vektors

Geben wir zwei beliebige Punkte M′ (x′,y′,z′) und M″ (x″,y″,z″) sowie einen Vektor a (a′,a″,a‴) an.

Jetzt können wir eine Gleichung für eine gegebene Ebene erstellen, die durch die vorhandenen Punkte M′ und M″ sowie jeden Punkt M mit parallelen Koordinaten (x, y, z) verläuft gegebener Vektor A.

In diesem Fall müssen die Vektoren M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) und M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) koplanar mit dem Vektor sein a=(a′,a″,a‴), was bedeutet, dass (M′M, M″M, a)=0.

Unsere Ebenengleichung im Raum wird also wie folgt aussehen:

Art der Gleichung einer Ebene, die drei Punkte schneidet

Nehmen wir an, wir haben drei Punkte: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), die nicht zur selben Geraden gehören. Es ist notwendig, die Gleichung einer Ebene zu schreiben, die durch gegebene drei Punkte verläuft. Die Geometrietheorie behauptet, dass diese Art von Ebene tatsächlich existiert, aber sie ist die einzige und einzigartige. Da diese Ebene den Punkt (x′,y′,z′) schneidet, lautet die Form ihrer Gleichung wie folgt:

Hier sind A, B, C gleichzeitig von Null verschieden. Außerdem schneidet die gegebene Ebene zwei weitere Punkte: (x″,y″,z″) und (x‴,y‴,z‴). Dabei müssen folgende Voraussetzungen erfüllt sein:

Jetzt können wir ein homogenes System mit Unbekannten u, v, w erstellen:

In unserem Fall x,y oder z fungiert als beliebiger Punkt, der Gleichung (1) erfüllt. Bei gegebener Gleichung (1) und dem Gleichungssystem (2) und (3) wird das in der Abbildung oben angegebene Gleichungssystem durch den Vektor N (A,B,C) erfüllt, der nicht trivial ist. Deshalb ist die Determinante dieses Systems gleich Null.

Die Gleichung (1), die wir erhalten haben, ist die Gleichung der Ebene. Es durchläuft genau 3 Punkte, was leicht zu überprüfen ist. Dazu müssen wir unsere Determinante auf die Elemente in der ersten Zeile erweitern. Aus den bestehenden Eigenschaften der Determinante folgt, dass unsere Ebene gleichzeitig drei ursprünglich gegebene Punkte (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) schneidet. . Das heißt, wir haben die uns gestellte Aufgabe gelöst.

Diederwinkel zwischen Ebenen

Ein Diederwinkel stellt einen räumlichen Winkel dar geometrische Figur, gebildet aus zwei Halbebenen, die von einer Geraden ausgehen. Mit anderen Worten: Dies ist der Teil des Raumes, der durch diese Halbebenen begrenzt wird.

Nehmen wir an, wir haben zwei Ebenen mit den folgenden Gleichungen:

Wir wissen, dass die Vektoren N=(A,B,C) und N¹=(A¹,B¹,C¹) gemäß den gegebenen Ebenen senkrecht stehen. In dieser Hinsicht ist der Winkel φ zwischen den Vektoren N und N¹ gleich dem Winkel (Dieder), der zwischen diesen Ebenen liegt. Skalarprodukt hat die Form:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

gerade weil

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Es genügt zu berücksichtigen, dass 0≤φ≤π.

Tatsächlich bilden zwei Ebenen, die sich schneiden, zwei Winkel (Dieder): φ 1 und φ 2. Ihre Summe ist gleich π (φ 1 + φ 2 = π). Was ihre Kosinuswerte betrifft, so sind ihre Absolutwerte gleich, aber sie unterscheiden sich im Vorzeichen, d. h. cos φ 1 = -cos φ 2. Wenn wir in Gleichung (0) A, B und C durch die Zahlen -A, -B bzw. -C ersetzen, dann bestimmt die Gleichung, die wir erhalten, dieselbe Ebene, die einzige, den Winkel φ in der Gleichung cos φ= NN 1 /| N||N 1 | wird durch π-φ ersetzt.

Gleichung einer senkrechten Ebene

Ebenen, zwischen denen der Winkel 90 Grad beträgt, werden Senkrechte genannt. Mithilfe des oben präsentierten Materials können wir die Gleichung einer Ebene senkrecht zu einer anderen finden. Nehmen wir an, wir haben zwei Ebenen: Ax+By+Cz+D=0 und A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Wir können sagen, dass sie senkrecht stehen, wenn cosφ=0. Das bedeutet, dass NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Parallele Ebenengleichung

Zwei Ebenen, die keine gemeinsamen Punkte enthalten, heißen parallel.

Die Bedingung (ihre Gleichungen sind die gleichen wie im vorherigen Absatz) ist, dass die Vektoren N und N¹, die senkrecht zu ihnen stehen, kollinear sind. Damit sind folgende Verhältnismäßigkeitsvoraussetzungen erfüllt:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Wenn die Proportionalitätsbedingungen erweitert werden - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

Dies weist darauf hin, dass diese Ebenen zusammenfallen. Das bedeutet, dass die Gleichungen Ax+By+Cz+D=0 und A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 eine Ebene beschreiben.

Abstand zur Ebene vom Punkt

Nehmen wir an, wir haben eine Ebene P, die durch Gleichung (0) gegeben ist. Es ist notwendig, die Entfernung dazu von einem Punkt mit den Koordinaten (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ zu ermitteln. Dazu müssen Sie die Gleichung der Ebene P in Normalform bringen:

(ρ,v)=ð (ð≥0).

In diesem Fall ist ρ (x,y,z) der Radiusvektor unseres Punktes Q auf P, p ist die Länge der Senkrechten P, die vom Nullpunkt losgelassen wurde, v ist der Einheitsvektor, der sich in befindet die Richtung a.

Der Differenz-ρ-ρº-Radiusvektor eines Punktes Q = (x, y, z), der zu P gehört, sowie der Radiusvektor eines gegebenen Punktes Q 0 = (xₒ, yₒ, zₒ) ist ein solcher Vektor, Absolutwert dessen Projektion auf v gleich dem Abstand d ist, der von Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) nach P gefunden werden muss:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, aber

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =ð-(ρ 0 ,v).

Es stellt sich also heraus

d=|(ρ 0 ,v)-ð|.

Also werden wir finden Absolutwert der resultierende Ausdruck, also das gewünschte d.

Mit der Parametersprache erhalten wir das Offensichtliche:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

Wenn ein gegebener Punkt Q 0 auf der anderen Seite der Ebene P liegt, wie der Koordinatenursprung, dann liegt zwischen dem Vektor ρ-ρ 0 und v also:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-ð>0.

Wenn der Punkt Q 0 zusammen mit dem Koordinatenursprung auf derselben Seite von P liegt, ist der erzeugte Winkel spitz, das heißt:

d=(ρ-ρ 0 ,v)=ð - (ρ 0 , v)>0.

Als Ergebnis stellt sich heraus, dass im ersten Fall (ρ 0 ,v)>ð, im zweiten (ρ 0 ,v)<р.

Tangentenebene und ihre Gleichung

Die Tangentenebene an die Oberfläche am Kontaktpunkt Mº ist eine Ebene, die alle möglichen Tangenten an die durch diesen Punkt auf der Oberfläche gezogenen Kurven enthält.

Mit dieser Art von Flächengleichung F(x,y,z)=0 sieht die Gleichung der Tangentenebene am Tangentenpunkt Mº(xº,yº,zº) wie folgt aus:

F x (xº,yº,zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y- yº)+ F x (xº, yº,zº)(z-zº)=0.

Wenn Sie die Oberfläche in der expliziten Form z=f (x,y) angeben, wird die Tangentenebene durch die Gleichung beschrieben:

z-zº =f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y- yº).

Schnittpunkt zweier Ebenen

Im Koordinatensystem (rechteckig) Oxyz sind zwei Ebenen П′ und П″ gegeben, die sich schneiden und nicht zusammenfallen. Da jede Ebene in einem rechtwinkligen Koordinatensystem durch eine allgemeine Gleichung bestimmt wird, gehen wir davon aus, dass P′ und P″ durch die Gleichungen A′x+B′y+C′z+D′=0 und A″x gegeben sind +B″y+ С″z+D″=0. In diesem Fall haben wir die Normale n‘ (A‘,B‘,C‘) der Ebene P‘ und die Normale n‘‘ (A‘‘,B‘‘,C‘‘) der Ebene P‘‘. Da unsere Ebenen nicht parallel sind und nicht zusammenfallen, sind diese Vektoren nicht kollinear. Mit der Sprache der Mathematik können wir diese Bedingung wie folgt schreiben: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Die Gerade, die am Schnittpunkt von P′ und P″ liegt, sei mit dem Buchstaben a bezeichnet, in diesem Fall a = P′ ∩ P″.

a ist eine Gerade, die aus der Menge aller Punkte der (gemeinsamen) Ebenen P′ und P″ besteht. Das bedeutet, dass die Koordinaten eines beliebigen Punktes, der zur Geraden a gehört, gleichzeitig die Gleichungen A′x+B′y+C′z+D′=0 und A″x+B″y+C″z+D″=0 erfüllen müssen . Das bedeutet, dass die Koordinaten des Punktes eine Teillösung des folgenden Gleichungssystems sind:

Als Ergebnis stellt sich heraus, dass die (allgemeine) Lösung dieses Gleichungssystems die Koordinaten jedes Punktes der Linie bestimmt, die als Schnittpunkt von P′ und P″ fungiert, und die Gerade bestimmt a im Oxyz (rechteckigen) Koordinatensystem im Raum.

In diesem Material werden wir uns damit befassen, wie wir die Gleichung einer Ebene finden, wenn wir die Koordinaten von drei verschiedenen Punkten kennen, die nicht auf derselben Geraden liegen. Dazu müssen wir uns daran erinnern, was ein rechteckiges Koordinatensystem im dreidimensionalen Raum ist. Zunächst stellen wir das Grundprinzip dieser Gleichung vor und zeigen genau, wie man sie zur Lösung spezifischer Probleme verwendet.

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Zuerst müssen wir uns an ein Axiom erinnern, das so klingt:

Definition 1

Wenn drei Punkte nicht miteinander übereinstimmen und nicht auf derselben Linie liegen, dann verläuft im dreidimensionalen Raum nur eine Ebene durch sie.

Mit anderen Worten: Wenn wir drei verschiedene Punkte haben, deren Koordinaten nicht übereinstimmen und die nicht durch eine gerade Linie verbunden werden können, können wir die durch sie verlaufende Ebene bestimmen.

Nehmen wir an, wir haben ein rechteckiges Koordinatensystem. Nennen wir es O x y z. Es enthält drei Punkte M mit den Koordinaten M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), die nicht verbunden werden können gerade Linie. Basierend auf diesen Bedingungen können wir die Gleichung der benötigten Ebene aufschreiben. Zur Lösung dieses Problems gibt es zwei Ansätze.

1. Der erste Ansatz verwendet die allgemeine Ebenengleichung. In Buchstabenform wird es als A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 geschrieben. Mit seiner Hilfe können Sie in einem rechteckigen Koordinatensystem eine bestimmte Alphaebene definieren, die durch den ersten gegebenen Punkt M 1 (x 1, y 1, z 1) verläuft. Es stellt sich heraus, dass der Normalenvektor der Ebene α die Koordinaten A, B, C hat.

Definition von N

Wenn wir die Koordinaten des Normalenvektors und die Koordinaten des Punktes kennen, durch den die Ebene verläuft, können wir die allgemeine Gleichung dieser Ebene aufschreiben.

Davon werden wir in Zukunft ausgehen.

Somit haben wir entsprechend den Bedingungen des Problems die Koordinaten des gewünschten Punktes (sogar drei), durch den die Ebene verläuft. Um die Gleichung zu finden, müssen Sie die Koordinaten ihres Normalenvektors berechnen. Bezeichnen wir es mit n → .

Erinnern wir uns an die Regel: Jeder Vektor einer bestimmten Ebene ungleich Null steht senkrecht zum Normalenvektor derselben Ebene. Dann haben wir, dass n → senkrecht zu den Vektoren steht, die aus den ursprünglichen Punkten M 1 M 2 → und M 1 M 3 → bestehen. Dann können wir n → als Vektorprodukt der Form M 1 M 2 → · M 1 M 3 → bezeichnen.

Da M 1 M 2 → = (x 2 – x 1, y 2 – y 1, z 2 – z 1) und M 1 M 3 → = x 3 – x 1, y 3 – y 1, z 3 – z 1 (Beweise dieser Gleichheiten werden in dem Artikel gegeben, der der Berechnung der Koordinaten eines Vektors aus den Koordinaten von Punkten gewidmet ist), dann stellt sich heraus, dass:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 – x 1 y 2 – y 1 z 2 – z 1 x 3 – x 1 y 3 – y 1 z 3 – z 1

Wenn wir die Determinante berechnen, erhalten wir die Koordinaten des Normalenvektors n →, die wir brauchen. Jetzt können wir die Gleichung aufschreiben, die wir für eine Ebene benötigen, die durch drei gegebene Punkte verläuft.

2. Der zweite Ansatz zum Finden der Gleichung durch M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), basiert auf einem Konzept wie der Koplanarität von Vektoren.

Wenn wir eine Menge von Punkten M (x, y, z) haben, dann definieren sie in einem rechteckigen Koordinatensystem eine Ebene für gegebene Punkte M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2 , z 2 ) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) nur für den Fall, dass die Vektoren M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2 → = ( ​​x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) und M 1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1) werden koplanar sein .

Im Diagramm sieht es so aus:

Dies bedeutet, dass das gemischte Produkt der Vektoren M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → gleich Null ist: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 , da dies die Hauptbedingung der Koplanarität ist: M 1 M → = (x - x 1, y - y 1, z - z 1), M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1 , z 2 - z 1 ) und M 1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1).

Schreiben wir die resultierende Gleichung in Koordinatenform:

Nachdem wir die Determinante berechnet haben, können wir die Ebenengleichung erhalten, die wir für drei Punkte benötigen, die nicht auf derselben Geraden M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) liegen ), M 3 (x 3 , y 3 , z 3) .

Aus der resultierenden Gleichung können Sie zur Gleichung der Ebene in Segmenten oder zur Normalgleichung der Ebene übergehen, wenn die Bedingungen des Problems dies erfordern.

Im nächsten Absatz geben wir Beispiele dafür, wie die von uns aufgezeigten Ansätze in der Praxis umgesetzt werden.

Beispiele für Probleme beim Aufstellen einer Gleichung einer Ebene, die durch drei Punkte verläuft

Zuvor haben wir zwei Ansätze identifiziert, mit denen Sie die gewünschte Gleichung finden können. Schauen wir uns an, wie sie zur Lösung von Problemen eingesetzt werden und wann Sie sie auswählen sollten.

Beispiel 1

Es gibt drei Punkte, die nicht auf derselben Linie liegen, mit den Koordinaten M 1 (- 3, 2, - 1), M 2 (- 1, 2, 4), M 3 (3, 3, - 1). Schreiben Sie eine Gleichung für die durch sie verlaufende Ebene.

Lösung

Wir nutzen beide Methoden abwechselnd.

1. Finden Sie die Koordinaten der beiden Vektoren, die wir benötigen M 1 M 2 →, M 1 M 3 →:

M 1 M 2 → = - 1 - - 3 , 2 - 2 , 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2 , 0 , 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3 , 3 - 2 , - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

Berechnen wir nun ihr Vektorprodukt. Wir werden die Berechnungen der Determinante nicht beschreiben:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →

Wir haben einen Normalenvektor der Ebene, die durch die drei erforderlichen Punkte verläuft: n → = (- 5, 30, 2) . Als nächstes müssen wir einen der Punkte nehmen, zum Beispiel M 1 (- 3, 2, - 1), und die Gleichung für die Ebene mit dem Vektor n → = (- 5, 30, 2) aufschreiben. Wir erhalten Folgendes: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

Dies ist die Gleichung, die wir für eine Ebene benötigen, die durch drei Punkte verläuft.

2. Gehen wir einen anderen Ansatz. Schreiben wir die Gleichung für eine Ebene mit drei Punkten M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) in das folgende Formular:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

Hier können Sie Daten aus der Problemstellung ersetzen. Da x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, am Ende erhalten wir:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 y + 2 z - 73

Wir haben die Gleichung, die wir brauchten.

Antwort:- 5 x + 30 Jahre + 2 Jahre - 73 .

Was aber, wenn die angegebenen Punkte immer noch auf derselben Linie liegen und wir für sie eine Ebenengleichung erstellen müssen? Hier muss gleich gesagt werden, dass diese Bedingung nicht ganz richtig sein wird. Durch solche Punkte können unendlich viele Ebenen verlaufen, daher ist es unmöglich, eine einzige Antwort zu berechnen. Betrachten wir ein solches Problem, um die Unrichtigkeit einer solchen Fragestellung zu beweisen.

Beispiel 2

Wir haben ein rechteckiges Koordinatensystem im dreidimensionalen Raum, in dem drei Punkte mit den Koordinaten M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1) platziert sind , 1) . Es ist notwendig, eine Gleichung der durch sie verlaufenden Ebene zu erstellen.

Lösung

Verwenden wir die erste Methode und beginnen wir mit der Berechnung der Koordinaten zweier Vektoren M 1 M 2 → und M 1 M 3 →. Berechnen wir ihre Koordinaten: M 1 M 2 → = (- 4, 6, 2), M 1 M 3 → = - 6, 9, 3.

Das Kreuzprodukt ist gleich:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 i ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

Da M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 → ist, sind unsere Vektoren kollinear (lesen Sie den Artikel darüber noch einmal, wenn Sie die Definition dieses Konzepts vergessen haben). Somit liegen die Anfangspunkte M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) auf derselben Linie, und unser Problem hat unendlich viele Optionen Antwort.

Wenn wir die zweite Methode verwenden, erhalten wir:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8 z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

Aus der resultierenden Gleichheit folgt auch, dass die gegebenen Punkte M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) auf derselben Geraden liegen.

Wenn Sie aus der unendlichen Anzahl seiner Möglichkeiten mindestens eine Antwort auf dieses Problem finden möchten, müssen Sie die folgenden Schritte ausführen:

1. Schreiben Sie die Gleichung der Geraden M 1 M 2, M 1 M 3 oder M 2 M 3 auf (schauen Sie sich ggf. das Material zu dieser Aktion an).

2. Nehmen Sie einen Punkt M 4 (x 4, y 4, z 4), der nicht auf der Geraden M 1 M 2 liegt.

3. Schreiben Sie die Gleichung einer Ebene auf, die durch drei verschiedene Punkte M 1, M 2 und M 4 verläuft, die nicht auf derselben Geraden liegen.

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Erste Ebene

Koordinaten und Vektoren. Der umfassende Leitfaden (2019)

In diesem Artikel beginnen wir mit der Diskussion eines „Zauberstabs“, der es Ihnen ermöglicht, viele Geometrieprobleme auf einfache Arithmetik zu reduzieren. Dieser „Stab“ kann Ihnen das Leben erheblich erleichtern, insbesondere wenn Sie unsicher sind, räumliche Figuren, Abschnitte usw. zu konstruieren. All dies erfordert eine gewisse Vorstellungskraft und praktische Fähigkeiten. Die Methode, die wir hier betrachten werden, ermöglicht es Ihnen, von allen Arten geometrischer Konstruktionen und Überlegungen fast vollständig zu abstrahieren. Die Methode wird aufgerufen „Koordinatenmethode“. In diesem Artikel gehen wir auf folgende Fragen ein:

1. Koordinatenebene
2. Punkte und Vektoren auf der Ebene
3. Konstruieren eines Vektors aus zwei Punkten
4. Vektorlänge (Abstand zwischen zwei Punkten).
5. Koordinaten der Segmentmitte
6. Skalarprodukt von Vektoren
7. Winkel zwischen zwei Vektoren

Ich denke, Sie haben bereits erraten, warum die Koordinatenmethode so heißt? Richtig, es hat diesen Namen bekommen, weil es nicht mit geometrischen Objekten arbeitet, sondern mit deren numerischen Eigenschaften (Koordinaten). Und die Transformation selbst, die uns den Übergang von der Geometrie zur Algebra ermöglicht, besteht in der Einführung eines Koordinatensystems. Wenn die ursprüngliche Figur flach war, sind die Koordinaten zweidimensional, und wenn die Figur dreidimensional ist, sind die Koordinaten dreidimensional. In diesem Artikel betrachten wir nur den zweidimensionalen Fall. Und das Hauptziel des Artikels besteht darin, Ihnen beizubringen, wie Sie einige grundlegende Techniken der Koordinatenmethode anwenden (sie erweisen sich manchmal als nützlich bei der Lösung von Problemen zur Planimetrie in Teil B des Einheitlichen Staatsexamens). Die nächsten beiden Abschnitte zu diesem Thema sind der Diskussion von Methoden zur Lösung des Problems C2 (dem Problem der Stereometrie) gewidmet.

Wo wäre es logisch, mit der Diskussion der Koordinatenmethode zu beginnen? Wahrscheinlich aus dem Konzept eines Koordinatensystems. Denken Sie daran, als Sie ihr zum ersten Mal begegnet sind. Mir kommt es so vor, als hätte man in der 7. Klasse zum Beispiel etwas über die Existenz einer linearen Funktion gelernt. Ich möchte Sie daran erinnern, dass Sie es Punkt für Punkt aufgebaut haben. Erinnerst du dich? Sie haben eine beliebige Zahl gewählt, diese in die Formel eingesetzt und auf diese Weise berechnet. Zum Beispiel wenn, dann, wenn, dann usw. Was haben Sie am Ende herausgefunden? Und Sie haben Punkte mit Koordinaten erhalten: und. Als nächstes zeichneten Sie ein „Kreuz“ (Koordinatensystem), wählten darauf einen Maßstab (wie viele Zellen Sie als Einheitssegment haben werden) und markierten darauf die erhaltenen Punkte, die Sie dann mit einer geraden Linie verbanden; das Ergebnis Linie ist der Graph der Funktion.

Hier gibt es ein paar Punkte, die Ihnen etwas genauer erklärt werden sollten:

1. Sie wählen aus Bequemlichkeitsgründen ein einzelnes Segment, damit alles schön und kompakt in die Zeichnung passt.

2. Es wird akzeptiert, dass die Achse von links nach rechts und von unten nach oben verläuft

3. Sie schneiden sich im rechten Winkel und der Punkt ihres Schnittpunkts wird Ursprung genannt. Dies wird durch einen Buchstaben gekennzeichnet.

4. Wenn Sie beispielsweise die Koordinaten eines Punktes schreiben, steht links in Klammern die Koordinate des Punktes entlang der Achse und rechts entlang der Achse. Insbesondere bedeutet es einfach das an der Stelle

5. Um einen beliebigen Punkt auf der Koordinatenachse anzugeben, müssen Sie seine Koordinaten (2 Zahlen) angeben.

6. Für jeden Punkt, der auf der Achse liegt,

7. Für jeden Punkt, der auf der Achse liegt,

8. Die Achse wird x-Achse genannt

9. Die Achse wird y-Achse genannt

Machen wir nun den nächsten Schritt: Markieren Sie zwei Punkte. Verbinden wir diese beiden Punkte mit einem Segment. Und wir werden den Pfeil so platzieren, als würden wir ein Segment von Punkt zu Punkt zeichnen: das heißt, wir machen unser Segment gerichtet!

Erinnern Sie sich, wie ein anderes Richtungssegment genannt wird? Das ist richtig, es heißt Vektor!

Wenn wir also Punkt für Punkt verbinden, und der Anfang wird Punkt A sein, und das Ende wird Punkt B sein, dann erhalten wir einen Vektor. Du hast diese Konstruktion auch in der 8. Klasse gemacht, erinnerst du dich?

Es stellt sich heraus, dass Vektoren wie Punkte durch zwei Zahlen bezeichnet werden können: Diese Zahlen werden Vektorkoordinaten genannt. Frage: Glauben Sie, dass es ausreicht, die Koordinaten des Anfangs und Endes eines Vektors zu kennen, um seine Koordinaten zu ermitteln? Es stellt sich heraus, ja! Und das geht ganz einfach:

Da also in einem Vektor der Punkt der Anfang und der Punkt das Ende ist, hat der Vektor die folgenden Koordinaten:

Wenn zum Beispiel, dann die Koordinaten des Vektors

Machen wir nun das Gegenteil und ermitteln die Koordinaten des Vektors. Was müssen wir dafür ändern? Ja, Sie müssen Anfang und Ende vertauschen: Jetzt befindet sich der Anfang des Vektors am Punkt und das Ende am Punkt. Dann:

Schauen Sie genau hin, was ist der Unterschied zwischen Vektoren und? Der einzige Unterschied besteht in den Vorzeichen in den Koordinaten. Sie sind Gegensätze. Diese Tatsache wird normalerweise so geschrieben:

Manchmal, wenn nicht genau angegeben ist, welcher Punkt der Anfang und welcher das Ende des Vektors ist, werden Vektoren nicht mit zwei Großbuchstaben, sondern mit einem Kleinbuchstaben bezeichnet, zum Beispiel: usw.

Jetzt ein wenig üben selbst und finden Sie die Koordinaten der folgenden Vektoren:

Untersuchung:

Lösen Sie nun ein etwas schwierigeres Problem:

Ein Vektor mit einem Anfang an einem Punkt hat ein Co-or-di-na-you. Finden Sie die Abs-Cis-Su-Punkte.

Trotzdem ist es ziemlich prosaisch: Seien die Koordinaten des Punktes. Dann

Ich habe das System basierend auf der Definition der Vektorkoordinaten zusammengestellt. Dann hat der Punkt Koordinaten. Uns interessiert die Abszisse. Dann

Antwort:

Was kann man sonst noch mit Vektoren machen? Ja, fast alles ist das Gleiche wie bei gewöhnlichen Zahlen (außer dass man nicht dividieren, sondern auf zwei Arten multiplizieren kann, von denen wir hier etwas später noch eine besprechen werden).

1. Vektoren können einander hinzugefügt werden
2. Vektoren können voneinander subtrahiert werden
3. Vektoren können mit einer beliebigen Zahl ungleich Null multipliziert (oder dividiert) werden
4. Vektoren können miteinander multipliziert werden

Alle diese Operationen haben eine sehr klare geometrische Darstellung. Zum Beispiel die Dreiecks- (oder Parallelogramm-)Regel für Addition und Subtraktion:

Ein Vektor dehnt oder zieht sich zusammen oder ändert die Richtung, wenn er mit einer Zahl multipliziert oder dividiert wird:

Allerdings wird uns hier die Frage interessieren, was mit den Koordinaten passiert.

1. Wenn wir zwei Vektoren addieren (subtrahieren), addieren (subtrahieren) wir ihre Koordinaten Element für Element. Also:

2. Beim Multiplizieren (Dividieren) eines Vektors mit einer Zahl werden alle seine Koordinaten mit dieser Zahl multipliziert (dividiert):

Zum Beispiel:

· Finden Sie die Menge an Co-oder-Di-Nat-Century-to-Ra.

Lassen Sie uns zunächst die Koordinaten jedes der Vektoren ermitteln. Sie haben beide den gleichen Ursprung – den Ursprungspunkt. Ihre Enden sind unterschiedlich. Dann, . Berechnen wir nun die Koordinaten des Vektors. Dann ist die Summe der Koordinaten des resultierenden Vektors gleich.

Antwort:

Lösen Sie nun selbst folgendes Problem:

· Finden Sie die Summe der Vektorkoordinaten

Wir überprüfen:

Betrachten wir nun das folgende Problem: Wir haben zwei Punkte auf der Koordinatenebene. Wie finde ich den Abstand zwischen ihnen? Lassen Sie den ersten Punkt sein und den zweiten. Bezeichnen wir den Abstand zwischen ihnen mit. Lassen Sie uns zur Verdeutlichung die folgende Zeichnung anfertigen:

Was ich getan habe? Zuerst habe ich die Punkte verbunden und außerdem von dem Punkt aus eine Linie parallel zur Achse gezeichnet, und von dem Punkt aus habe ich eine Linie parallel zur Achse gezeichnet. Haben sie sich an einem Punkt gekreuzt und eine bemerkenswerte Figur gebildet? Was ist das Besondere an ihr? Ja, Sie und ich wissen fast alles über das rechtwinklige Dreieck. Nun, auf jeden Fall der Satz des Pythagoras. Das erforderliche Segment ist die Hypotenuse dieses Dreiecks und die Segmente sind die Schenkel. Wie lauten die Koordinaten des Punktes? Ja, sie sind aus dem Bild leicht zu finden: Da die Segmente parallel zu den Achsen sind und dementsprechend ihre Längen leicht zu finden sind: Wenn wir die Längen der Segmente mit bzw. bezeichnen, dann

Lassen Sie uns nun den Satz des Pythagoras verwenden. Wir kennen die Länge der Beine, wir finden die Hypotenuse:

Somit ist der Abstand zwischen zwei Punkten die Wurzel der Summe der quadrierten Differenzen der Koordinaten. Oder – der Abstand zwischen zwei Punkten ist die Länge des sie verbindenden Segments. Es ist leicht zu erkennen, dass der Abstand zwischen Punkten nicht von der Richtung abhängt. Dann:

Daraus ziehen wir drei Schlussfolgerungen:

Lassen Sie uns ein wenig üben, wie man den Abstand zwischen zwei Punkten berechnet:

Wenn zum Beispiel, dann ist der Abstand zwischen und gleich

Oder gehen wir einen anderen Weg: Finden Sie die Koordinaten des Vektors

Und ermitteln Sie die Länge des Vektors:

Wie Sie sehen, ist es dasselbe!

Üben Sie nun selbst ein wenig:

Aufgabe: Finden Sie den Abstand zwischen den angegebenen Punkten:

Wir überprüfen:

Hier sind ein paar weitere Probleme, die dieselbe Formel verwenden, obwohl sie etwas anders klingen:

1. Ermitteln Sie das Quadrat der Länge des Augenlids.

2. Ermitteln Sie das Quadrat der Länge des Augenlids

Ich denke, Sie haben sie ohne Schwierigkeiten gemeistert? Wir überprüfen:

1. Und das dient der Aufmerksamkeit) Die Koordinaten der Vektoren haben wir bereits früher gefunden: . Dann hat der Vektor Koordinaten. Das Quadrat seiner Länge ist gleich:

2. Finden Sie die Koordinaten des Vektors

Dann ist das Quadrat seiner Länge

Nichts Kompliziertes, oder? Einfache Arithmetik, mehr nicht.

Die folgenden Probleme lassen sich nicht eindeutig einordnen, es geht vielmehr um allgemeine Gelehrsamkeit und die Fähigkeit, einfache Bilder zu zeichnen.

1. Finden Sie den Sinus des Winkels aus dem Schnitt, der den Punkt mit der Abszissenachse verbindet.

Und

Wie gehen wir hier vor? Wir müssen den Sinus des Winkels zwischen und der Achse ermitteln. Wo können wir nach Sinus suchen? Genau, in einem rechtwinkligen Dreieck. Was müssen wir also tun? Baue dieses Dreieck!

Da die Koordinaten des Punktes und sind, ist das Segment gleich und das Segment. Wir müssen den Sinus des Winkels finden. Ich möchte Sie daran erinnern, dass der Sinus das Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse ist

Was bleibt uns noch zu tun? Finden Sie die Hypotenuse. Sie können dies auf zwei Arten tun: mit dem Satz des Pythagoras (die Beine sind bekannt!) oder mit der Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten (eigentlich dasselbe wie bei der ersten Methode!). Ich gehe den zweiten Weg:

Antwort:

Die nächste Aufgabe wird Ihnen noch einfacher erscheinen. Sie befindet sich auf den Koordinaten des Punktes.

Aufgabe 2. Von diesem Punkt aus wird der Per-Pen-Di-Ku-Lyar auf die Ab-Ciss-Achse abgesenkt. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Machen wir eine Zeichnung:

Die Basis einer Senkrechten ist der Punkt, an dem sie die x-Achse (Achse) schneidet, für mich ist das ein Punkt. Die Abbildung zeigt, dass es Koordinaten hat: . Uns interessiert die Abszisse, also die „x“-Komponente. Sie ist gleich.

Antwort: .

Aufgabe 3. Ermitteln Sie unter den Bedingungen des vorherigen Problems die Summe der Abstände vom Punkt zu den Koordinatenachsen.

Die Aufgabe ist im Allgemeinen einfach, wenn man weiß, wie groß der Abstand eines Punktes zu den Achsen ist. Du weisst? Ich hoffe, aber ich möchte Sie trotzdem daran erinnern:

Habe ich in meiner Zeichnung oben bereits eine solche Senkrechte gezeichnet? Auf welcher Achse liegt es? Zur Achse. Und wie lang ist es dann? Sie ist gleich. Zeichnen Sie nun selbst eine Senkrechte zur Achse und ermitteln Sie deren Länge. Es wird gleich sein, oder? Dann ist ihre Summe gleich.

Antwort: .

Aufgabe 4. Finden Sie unter den Bedingungen von Aufgabe 2 die Ordinate eines Punktes, der symmetrisch zum Punkt relativ zur Abszissenachse ist.

Ich denke, Ihnen ist intuitiv klar, was Symmetrie ist? Viele Objekte haben sie: viele Gebäude, Tische, Flugzeuge, viele geometrische Formen: Kugel, Zylinder, Quadrat, Raute usw. Grob gesagt kann Symmetrie wie folgt verstanden werden: Eine Figur besteht aus zwei (oder mehr) identischen Hälften. Diese Symmetrie wird Axialsymmetrie genannt. Was ist dann eine Achse? Dies ist genau die Linie, entlang derer die Figur relativ gesehen in gleiche Hälften „geschnitten“ werden kann (in diesem Bild ist die Symmetrieachse gerade):

Kommen wir nun zurück zu unserer Aufgabe. Wir wissen, dass wir nach einem Punkt suchen, der symmetrisch zur Achse ist. Dann ist diese Achse die Symmetrieachse. Das bedeutet, dass wir einen Punkt so markieren müssen, dass die Achse das Segment in zwei gleiche Teile schneidet. Versuchen Sie, einen solchen Punkt selbst zu markieren. Vergleichen Sie nun mit meiner Lösung:

Hat es bei Ihnen genauso geklappt? Bußgeld! Uns interessiert die Ordinate des gefundenen Punktes. Es ist gleich

Antwort:

Sagen Sie mir nun, nachdem ich ein paar Sekunden nachgedacht habe, was die Abszisse eines Punktes sein wird, der symmetrisch zu Punkt A relativ zur Ordinate ist. Wie ist deine Antwort? Korrekte Antwort: .

Im Allgemeinen kann die Regel so geschrieben werden:

Ein Punkt symmetrisch zu einem Punkt relativ zur Abszissenachse hat die Koordinaten:

Ein Punkt, der relativ zur Ordinatenachse symmetrisch zu einem Punkt ist, hat Koordinaten:

Nun, jetzt ist es völlig beängstigend Aufgabe: Finden Sie die Koordinaten eines Punktes, der symmetrisch zum Punkt relativ zum Ursprung ist. Denken Sie zuerst selbst nach und schauen Sie sich dann meine Zeichnung an!

Antwort:

Jetzt Parallelogrammproblem:

Aufgabe 5: Die Punkte erscheinen ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Finden Sie or-di-zu diesem Punkt.

Sie können dieses Problem auf zwei Arten lösen: Logik und die Koordinatenmethode. Ich verwende zuerst die Koordinatenmethode und erkläre Ihnen dann, wie Sie es anders lösen können.

Es ist ganz klar, dass die Abszisse des Punktes gleich ist. (es liegt auf der Senkrechten, die vom Punkt zur Abszissenachse gezogen wird). Wir müssen die Ordinate finden. Machen wir uns die Tatsache zunutze, dass unsere Figur ein Parallelogramm ist, das heißt das. Ermitteln wir die Länge des Segments mithilfe der Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten:

Wir senken die Senkrechte, die den Punkt mit der Achse verbindet. Den Schnittpunkt bezeichne ich mit einem Buchstaben.

Die Länge des Segments ist gleich. (Finden Sie selbst das Problem, bei dem wir diesen Punkt besprochen haben), dann ermitteln wir die Länge des Segments mithilfe des Satzes des Pythagoras:

Die Länge eines Segments stimmt genau mit seiner Ordinate überein.

Antwort: .

Eine andere Lösung (ich gebe nur ein Bild, das es veranschaulicht)

Lösungsfortschritt:

1. Verhalten

2. Finden Sie die Koordinaten des Punktes und die Länge

3. Beweisen Sie das.

Noch eine Segmentlängenproblem:

Die Punkte erscheinen oben auf dem Dreieck. Finden Sie die Länge seiner Mittellinie parallel.

Erinnern Sie sich an die Mittellinie eines Dreiecks? Dann ist diese Aufgabe für Sie elementar. Wenn Sie sich nicht erinnern, erinnere ich Sie daran: Die Mittellinie eines Dreiecks ist die Linie, die die Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten verbindet. Es ist parallel zur Basis und entspricht der Hälfte davon.

Die Basis ist ein Segment. Wir mussten vorher nach der Länge suchen, sie ist gleich. Dann ist die Länge der Mittellinie halb so groß und gleich.

Antwort: .

Kommentar: Dieses Problem kann auf andere Weise gelöst werden, auf die wir etwas später zurückkommen werden.

In der Zwischenzeit sind hier ein paar Aufgaben für Sie, üben Sie sie, sie sind sehr einfach, aber sie helfen Ihnen, die Koordinatenmethode besser zu nutzen!

1. Die Punkte sind die obersten Punkte der Tra-pe-tionen. Finden Sie die Länge seiner Mittellinie.

2. Punkte und Erscheinungen ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Finden Sie or-di-zu diesem Punkt.

3. Ermitteln Sie die Länge des Schnitts, verbinden Sie den Punkt und

4. Finden Sie den Bereich hinter der farbigen Figur auf der Koordinatenebene.

5. Ein Kreis mit einem Mittelpunkt in na-cha-le ko-or-di-nat geht durch den Punkt. Finden Sie ihr Radio.

6. Find-di-te ra-di-us des Kreises, beschreibe-san-noy über den rechten Winkel-no-ka, die Spitzen von etwas haben einen Co-oder -di-na-du bist so verantwortlich

Lösungen:

1. Es ist bekannt, dass die Mittellinie eines Trapezes gleich der Hälfte der Summe seiner Basen ist. Die Basis ist gleich und die Basis. Dann

Antwort:

2. Der einfachste Weg, dieses Problem zu lösen, besteht darin, Folgendes zu beachten (Parallelogrammregel). Die Berechnung der Koordinaten von Vektoren ist nicht schwierig: . Beim Hinzufügen von Vektoren werden die Koordinaten hinzugefügt. Dann hat Koordinaten. Der Punkt hat auch diese Koordinaten, da der Ursprung des Vektors der Punkt mit den Koordinaten ist. Uns interessiert die Ordinate. Sie ist gleich.

Antwort:

3. Wir handeln sofort nach der Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten:

Antwort:

4. Schauen Sie sich das Bild an und sagen Sie mir, zwischen welchen beiden Figuren der schattierte Bereich „eingeklemmt“ ist? Es liegt zwischen zwei Quadraten. Dann ist die Fläche der gewünschten Figur gleich der Fläche des großen Quadrats minus der Fläche des kleinen. Die Seite eines kleinen Quadrats ist ein Segment, das die Punkte verbindet, und seine Länge beträgt

Dann beträgt die Fläche des kleinen Quadrats

Dasselbe machen wir mit einem großen Quadrat: Seine Seite ist ein Segment, das die Punkte verbindet, und seine Länge ist

Dann beträgt die Fläche des großen Quadrats

Die Fläche der gewünschten Figur ermitteln wir mit der Formel:

Antwort:

5. Wenn ein Kreis den Ursprung als Mittelpunkt hat und durch einen Punkt verläuft, dann ist sein Radius genau gleich der Länge des Segments (machen Sie eine Zeichnung und Sie werden verstehen, warum das offensichtlich ist). Lassen Sie uns die Länge dieses Segments ermitteln:

Antwort:

6. Es ist bekannt, dass der Radius eines um ein Rechteck umschriebenen Kreises gleich der Hälfte seiner Diagonale ist. Lassen Sie uns die Länge einer der beiden Diagonalen ermitteln (schließlich sind sie in einem Rechteck gleich!)

Antwort:

Na, hast du alles verkraftet? Es war nicht sehr schwer, es herauszufinden, oder? Hier gibt es nur eine Regel: Machen Sie sich ein visuelles Bild und „lesen“ Sie einfach alle Daten daraus.

Wir haben nur noch sehr wenig übrig. Es gibt im wahrsten Sinne des Wortes zwei weitere Punkte, die ich gerne besprechen möchte.

Versuchen wir, dieses einfache Problem zu lösen. Lassen Sie zwei Punkte und gegeben werden. Finden Sie die Koordinaten des Mittelpunkts des Segments. Die Lösung dieses Problems lautet wie folgt: Sei der Punkt der gewünschte Mittelpunkt, dann hat er Koordinaten:

Also: Koordinaten der Segmentmitte = arithmetisches Mittel der entsprechenden Koordinaten der Segmentenden.

Diese Regel ist sehr einfach und bereitet den Studierenden in der Regel keine Schwierigkeiten. Mal sehen, bei welchen Problemen und wie es verwendet wird:

1. Find-di-te or-di-na-tu se-re-di-ny from-cut, connect-the-point und

2. Die Punkte scheinen die Spitze der Welt zu sein. Find-di-te or-di-na-tu-Punkte pro-re-se-che-niya seines Dia-go-na-ley.

3. Finde-di-te abs-cis-su Mittelpunkt des Kreises, beschreibe-san-noy über das rechteckige-no-ka, die Spitzen von etwas haben Co-oder-di-na-du so-verantwortlich-aber.

Lösungen:

1. Das erste Problem ist einfach ein Klassiker. Wir fahren sofort fort, die Mitte des Segments zu bestimmen. Es hat Koordinaten. Die Ordinate ist gleich.

Antwort:

2. Es ist leicht zu erkennen, dass dieses Viereck ein Parallelogramm (sogar eine Raute!) ist. Sie können dies selbst beweisen, indem Sie die Längen der Seiten berechnen und miteinander vergleichen. Was weiß ich über Parallelogramme? Seine Diagonalen werden durch den Schnittpunkt in zwei Hälften geteilt! Ja! Was ist also der Schnittpunkt der Diagonalen? Dies ist die Mitte einer der Diagonalen! Ich werde insbesondere die Diagonale wählen. Dann hat der Punkt Koordinaten. Die Ordinate des Punktes ist gleich.

Antwort:

3. Womit fällt der Mittelpunkt des um das Rechteck umschriebenen Kreises zusammen? Es fällt mit dem Schnittpunkt seiner Diagonalen zusammen. Was wissen Sie über die Diagonalen eines Rechtecks? Sie sind gleich und der Schnittpunkt teilt sie in zwei Hälften. Die Aufgabe wurde auf die vorherige reduziert. Nehmen wir zum Beispiel die Diagonale. Wenn dann der Mittelpunkt des Umkreises ist, dann ist der Mittelpunkt. Ich suche Koordinaten: Die Abszisse ist gleich.

Antwort:

Üben Sie jetzt ein wenig alleine. Ich gebe Ihnen nur die Antworten auf jedes Problem, damit Sie sich selbst testen können.

1. Find-di-te ra-di-us des Kreises, beschreibe-san-noy über das Dreieck-no-ka, die Spitzen von etwas haben ein Co-oder-di-no-Mister

2. Finden Sie-di-te oder-di-auf-diesem Mittelpunkt des Kreises, beschreiben Sie-san-noy über das Dreieck-no-ka, dessen Spitzen Koordinaten haben

3. Welche Art von ra-di-u-sa sollte ein Kreis haben, dessen Mittelpunkt an einem Punkt liegt, so dass er die Ab-Ziss-Achse berührt?

4. Finden-di-diese oder-di-auf-dem-Punkt der Neu-Se-ce-tion der Achse und vom-Schnitt, verbinden-den-Punkt und

Antworten:

War alles erfolgreich? Ich hoffe wirklich darauf! Jetzt – der letzte Stoß. Seien Sie jetzt besonders vorsichtig. Das Material, das ich jetzt erläutern werde, steht nicht nur in direktem Zusammenhang mit einfachen Problemen der Koordinatenmethode aus Teil B, sondern ist auch überall in Problem C2 zu finden.

Welche meiner Versprechen habe ich noch nicht gehalten? Erinnern Sie sich, welche Operationen für Vektoren ich versprochen habe und welche ich letztendlich eingeführt habe? Bist du sicher, dass ich nichts vergessen habe? Vergessen! Ich habe vergessen zu erklären, was Vektormultiplikation bedeutet.

Es gibt zwei Möglichkeiten, einen Vektor mit einem Vektor zu multiplizieren. Abhängig von der gewählten Methode erhalten wir Objekte unterschiedlicher Natur:

Das Kreuzprodukt ist recht geschickt gemacht. Wie das geht und warum es nötig ist, besprechen wir im nächsten Artikel. Und in diesem Fall konzentrieren wir uns auf das Skalarprodukt.

Es gibt zwei Möglichkeiten, es zu berechnen:

Wie Sie vermutet haben, sollte das Ergebnis dasselbe sein! Schauen wir uns also zunächst die erste Methode an:

Punktprodukt über Koordinaten

Finden Sie: - allgemein akzeptierte Notation für Skalarprodukt

Die Berechnungsformel lautet wie folgt:

Das heißt, das Skalarprodukt = die Summe der Produkte von Vektorkoordinaten!

Beispiel:

Find-di-te

Lösung:

Lassen Sie uns die Koordinaten jedes der Vektoren ermitteln:

Wir berechnen das Skalarprodukt nach der Formel:

Antwort:

Sehen Sie, absolut nichts Kompliziertes!

Nun, probieren Sie es doch selbst aus:

· Finden Sie ein skalares Pro-iz-ve-de-nie von Jahrhunderten und

Hast du es geschafft? Vielleicht ist Ihnen ein kleiner Haken aufgefallen? Lass uns das Prüfen:

Vektorkoordinaten, wie im vorherigen Problem! Antwort: .

Neben der Koordinateneins gibt es noch eine andere Möglichkeit, das Skalarprodukt zu berechnen, nämlich durch die Längen der Vektoren und den Kosinus des Winkels zwischen ihnen:

Bezeichnet den Winkel zwischen den Vektoren und.

Das heißt, das Skalarprodukt ist gleich dem Produkt der Längen der Vektoren und dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen.

Warum brauchen wir diese zweite Formel, wenn wir die erste haben, die viel einfacher ist, zumindest keine Kosinuswerte enthält? Und es wird benötigt, damit Sie und ich aus der ersten und zweiten Formel ableiten können, wie man den Winkel zwischen Vektoren ermittelt!

Denken Sie dann an die Formel für die Länge des Vektors!

Wenn ich diese Daten dann in die Skalarproduktformel einsetze, erhalte ich:

Aber auf der anderen Seite:

Was haben Sie und ich also bekommen? Wir haben jetzt eine Formel, mit der wir den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen können! Manchmal wird es der Kürze halber auch so geschrieben:

Das heißt, der Algorithmus zur Berechnung des Winkels zwischen Vektoren lautet wie folgt:

1. Berechnen Sie das Skalarprodukt durch Koordinaten
2. Finden Sie die Längen der Vektoren und multiplizieren Sie sie
3. Teilen Sie das Ergebnis von Punkt 1 durch das Ergebnis von Punkt 2

Üben wir anhand von Beispielen:

1. Finden Sie den Winkel zwischen den Augenlidern und. Geben Sie die Antwort in grad-du-sah.

2. Finden Sie unter den Bedingungen des vorherigen Problems den Kosinus zwischen den Vektoren

Machen wir Folgendes: Ich helfe Ihnen bei der Lösung des ersten Problems und versuche, das zweite selbst zu lösen! Zustimmen? Dann fangen wir an!

1. Diese Vektoren sind unsere alten Freunde. Wir haben ihr Skalarprodukt bereits berechnet und es war gleich. Ihre Koordinaten sind: , . Dann ermitteln wir ihre Längen:

Dann suchen wir nach dem Kosinus zwischen den Vektoren:

Was ist der Kosinus des Winkels? Das ist die Ecke.

Antwort:

Nun lösen Sie das zweite Problem selbst und vergleichen Sie dann! Ich gebe nur eine ganz kurze Lösung:

2. hat Koordinaten, hat Koordinaten.

Sei dann der Winkel zwischen den Vektoren und

Antwort:

Es ist zu beachten, dass Probleme direkt zu Vektoren und der Koordinatenmethode in Teil B der Prüfungsarbeit recht selten sind. Die allermeisten C2-Probleme lassen sich jedoch leicht durch die Einführung eines Koordinatensystems lösen. Sie können diesen Artikel also als Grundlage betrachten, auf deren Grundlage wir ziemlich clevere Konstruktionen erstellen werden, die wir zur Lösung komplexer Probleme benötigen.

KOORDINATEN UND VEKTOREN. DURCHSCHNITTSNIVEAU

Sie und ich studieren weiterhin die Koordinatenmethode. Im letzten Teil haben wir eine Reihe wichtiger Formeln abgeleitet, die Ihnen Folgendes ermöglichen:

1. Finden Sie Vektorkoordinaten
2. Finden Sie die Länge eines Vektors (alternativ: den Abstand zwischen zwei Punkten)
3. Vektoren addieren und subtrahieren. Multiplizieren Sie sie mit einer reellen Zahl
4. Finden Sie den Mittelpunkt eines Segments
5. Berechnen Sie das Skalarprodukt von Vektoren
6. Finden Sie den Winkel zwischen Vektoren

Natürlich passt die gesamte Koordinatenmethode nicht in diese 6 Punkte. Es liegt einer Wissenschaft wie der analytischen Geometrie zugrunde, mit der Sie an der Universität vertraut werden. Ich möchte lediglich eine Grundlage schaffen, die es Ihnen ermöglicht, Probleme in einem einzigen Staat zu lösen. Prüfung. Wir haben uns mit den Aufgaben von Teil B befasst. Jetzt ist es an der Zeit, auf ein ganz neues Level zu wechseln! Dieser Artikel widmet sich einer Methode zur Lösung derjenigen C2-Probleme, bei denen es sinnvoll wäre, auf die Koordinatenmethode umzusteigen. Diese Angemessenheit wird dadurch bestimmt, was im Problem gefunden werden muss und welche Zahl angegeben wird. Daher würde ich die Koordinatenmethode verwenden, wenn die Fragen lauten:

1. Finden Sie den Winkel zwischen zwei Ebenen
2. Finden Sie den Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene
3. Finden Sie den Winkel zwischen zwei Geraden
4. Finden Sie den Abstand von einem Punkt zu einer Ebene
5. Finden Sie den Abstand von einem Punkt zu einer Linie
6. Ermitteln Sie den Abstand zwischen einer Geraden und einer Ebene
7. Finden Sie den Abstand zwischen zwei Linien

Handelt es sich bei der in der Problemstellung angegebenen Figur um einen Rotationskörper (Kugel, Zylinder, Kegel...)

Geeignete Zahlen für die Koordinatenmethode sind:

1. Rechteckiges Parallelepiped
2. Pyramide (dreieckig, viereckig, sechseckig)

Auch aus meiner Erfahrung Es ist ungeeignet, die Koordinatenmethode dafür zu verwenden:

1. Querschnittsflächen finden
2. Berechnung von Körpervolumina

Es sollte jedoch sofort festgestellt werden, dass die drei „ungünstigen“ Situationen für die Koordinatenmethode in der Praxis eher selten sind. Bei den meisten Aufgaben kann es Ihr Retter sein, insbesondere wenn Sie sich nicht besonders gut mit dreidimensionalen Konstruktionen auskennen (die manchmal recht kompliziert sein können).

Was sind die Zahlen, die ich oben aufgeführt habe? Sie sind nicht mehr flach, wie zum Beispiel ein Quadrat, ein Dreieck, ein Kreis, sondern voluminös! Dementsprechend müssen wir kein zweidimensionales, sondern ein dreidimensionales Koordinatensystem betrachten. Die Konstruktion ist recht einfach: Zusätzlich zur Abszissen- und Ordinatenachse führen wir eine weitere Achse ein, die Applikatenachse. Die Abbildung zeigt schematisch ihre relative Lage:

Sie stehen alle senkrecht zueinander und schneiden sich in einem Punkt, den wir Koordinatenursprung nennen. Wie zuvor bezeichnen wir die Abszissenachse, die Ordinatenachse mit - und die eingeführte Anwendungsachse mit -.

Wurde früher jeder Punkt auf der Ebene durch zwei Zahlen charakterisiert – die Abszisse und die Ordinate, so wird jeder Punkt im Raum bereits durch drei Zahlen beschrieben – die Abszisse, die Ordinate und die Applikate. Zum Beispiel:

Dementsprechend ist die Abszisse eines Punktes gleich, die Ordinate ist , und das Applikat ist .

Manchmal wird die Abszisse eines Punktes auch als Projektion eines Punktes auf die Abszissenachse bezeichnet, die Ordinate – die Projektion eines Punktes auf die Ordinatenachse und das Applikat – die Projektion eines Punktes auf die Applikatachse. Wenn dementsprechend ein Punkt gegeben ist, dann ein Punkt mit Koordinaten:

nennt man die Projektion eines Punktes auf eine Ebene

nennt man die Projektion eines Punktes auf eine Ebene

Es stellt sich natürlich die Frage: Sind alle für den zweidimensionalen Fall abgeleiteten Formeln im Raum gültig? Die Antwort lautet: Ja, sie sind fair und sehen gleich aus. Für ein kleines Detail. Ich denke, Sie haben bereits erraten, um welches es sich handelt. In allen Formeln müssen wir einen weiteren Term hinzufügen, der für die Anwendungsachse verantwortlich ist. Nämlich.

1. Wenn zwei Punkte gegeben sind: , dann:

• Vektorkoordinaten:
• Abstand zwischen zwei Punkten (oder Vektorlänge)
• Der Mittelpunkt des Segments hat Koordinaten

2. Wenn zwei Vektoren gegeben sind: und, dann:

• Ihr Skalarprodukt ist gleich:
• Der Kosinus des Winkels zwischen den Vektoren ist gleich:

Allerdings ist der Weltraum nicht so einfach. Wie Sie wissen, führt das Hinzufügen einer weiteren Koordinate zu einer erheblichen Vielfalt im Spektrum der in diesem Raum „lebenden“ Figuren. Und für die weitere Erzählung muss ich grob gesagt eine „Verallgemeinerung“ der Geraden einführen. Diese „Verallgemeinerung“ wird ein Flugzeug sein. Was wissen Sie über Flugzeug? Versuchen Sie, die Frage zu beantworten: Was ist ein Flugzeug? Das ist sehr schwer zu sagen. Wir alle stellen uns jedoch intuitiv vor, wie es aussieht:

Grob gesagt handelt es sich hierbei um eine Art endloses „Blatt“, das im Weltraum steckt. Unter „Unendlichkeit“ ist zu verstehen, dass sich die Ebene in alle Richtungen erstreckt, das heißt, ihre Fläche ist gleich unendlich. Allerdings vermittelt diese „praxisnahe“ Erklärung nicht den geringsten Einblick in die Struktur des Flugzeugs. Und sie wird sich für uns interessieren.

Erinnern wir uns an eines der Grundaxiome der Geometrie:

• Eine Gerade geht durch zwei verschiedene Punkte auf einer Ebene, und zwar nur durch einen:

Oder sein Analogon im Weltraum:

Natürlich erinnern Sie sich daran, wie man die Gleichung einer Geraden aus zwei gegebenen Punkten herleitet; das ist überhaupt nicht schwierig: Wenn der erste Punkt Koordinaten hat: und der zweite, dann lautet die Gleichung der Geraden wie folgt:

Das hast du in der 7. Klasse gelernt. Im Raum sieht die Gleichung einer Geraden so aus: Gegeben sind uns zwei Punkte mit Koordinaten: , dann hat die Gleichung der durch sie verlaufenden Geraden die Form:

Beispielsweise verläuft eine Linie durch Punkte:

Wie ist das zu verstehen? Dies ist wie folgt zu verstehen: Ein Punkt liegt auf einer Geraden, wenn seine Koordinaten dem folgenden System genügen:

Die Gleichung einer Geraden wird uns nicht besonders interessieren, aber wir müssen auf das sehr wichtige Konzept des Richtungsvektors einer Geraden achten. - jeder Vektor ungleich Null, der auf einer bestimmten Linie oder parallel dazu liegt.

Beispielsweise sind beide Vektoren Richtungsvektoren einer Geraden. Sei ein Punkt, der auf einer Linie liegt, und sei sein Richtungsvektor. Dann kann die Geradengleichung in folgender Form geschrieben werden:

Auch hier wird mich die Gleichung einer geraden Linie nicht besonders interessieren, aber Sie müssen sich unbedingt daran erinnern, was ein Richtungsvektor ist! Noch einmal: Dies ist JEDER Vektor ungleich Null, der auf einer Linie oder parallel dazu liegt.

Zurückziehen Gleichung einer Ebene basierend auf drei gegebenen Punkten ist nicht mehr so ​​trivial und das Thema wird in den Oberstufenkursen normalerweise nicht angesprochen. Aber vergeblich! Diese Technik ist von entscheidender Bedeutung, wenn wir zur Lösung komplexer Probleme auf die Koordinatenmethode zurückgreifen. Ich gehe jedoch davon aus, dass Sie Lust haben, etwas Neues zu lernen? Darüber hinaus können Sie Ihren Lehrer an der Universität beeindrucken, wenn sich herausstellt, dass Sie bereits wissen, wie man eine Technik anwendet, die normalerweise in einem Kurs für analytische Geometrie erlernt wird. Also lasst uns anfangen.

Die Gleichung einer Ebene unterscheidet sich nicht allzu sehr von der Gleichung einer Geraden auf einer Ebene, sie hat nämlich die Form:

einige Zahlen (nicht alle gleich Null), sondern Variablen, zum Beispiel: usw. Wie Sie sehen, unterscheidet sich die Gleichung einer Ebene nicht sehr von der Gleichung einer Geraden (lineare Funktion). Erinnern Sie sich jedoch daran, was Sie und ich gestritten haben? Wir sagten: Wenn wir drei Punkte haben, die nicht auf derselben Linie liegen, dann kann die Gleichung der Ebene aus ihnen eindeutig rekonstruiert werden. Aber wie? Ich werde versuchen, es dir zu erklären.

Da die Gleichung der Ebene lautet:

Und die Punkte gehören zu dieser Ebene. Wenn wir dann die Koordinaten jedes Punktes in die Gleichung der Ebene einsetzen, sollten wir die richtige Identität erhalten:

Es müssen also drei Gleichungen mit Unbekannten gelöst werden! Dilemma! Sie können jedoch immer davon ausgehen (dazu müssen Sie dividieren). Somit erhalten wir drei Gleichungen mit drei Unbekannten:

Wir werden ein solches System jedoch nicht lösen, sondern den daraus folgenden mysteriösen Ausdruck aufschreiben:

Gleichung einer Ebene, die durch drei gegebene Punkte verläuft

\[\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(array)) \right| = 0\]

Stoppen! Was ist das? Ein sehr ungewöhnliches Modul! Das Objekt, das Sie vor sich sehen, hat jedoch nichts mit dem Modul zu tun. Dieses Objekt wird als Determinante dritter Ordnung bezeichnet. Wenn Sie sich von nun an mit der Methode der Koordinaten in einer Ebene befassen, werden Sie sehr oft auf dieselben Determinanten stoßen. Was ist eine Determinante dritter Ordnung? Seltsamerweise ist es nur eine Zahl. Es bleibt abzuwarten, welche konkrete Zahl wir mit der Determinante vergleichen werden.

Schreiben wir zunächst die Determinante dritter Ordnung in einer allgemeineren Form:

Wo sind einige Zahlen? Darüber hinaus meinen wir mit dem ersten Index die Zeilennummer und mit dem Index die Spaltennummer. Dies bedeutet beispielsweise, dass sich diese Zahl am Schnittpunkt der zweiten Zeile und der dritten Spalte befindet. Stellen wir uns die folgende Frage: Wie genau berechnen wir eine solche Determinante? Das heißt, welche konkrete Zahl werden wir damit vergleichen? Für die Determinante dritter Ordnung gibt es eine heuristische (visuelle) Dreiecksregel, die wie folgt aussieht:

1. Das Produkt der Elemente der Hauptdiagonale (von der oberen linken Ecke nach unten rechts). Das Produkt der Elemente, die das erste Dreieck „senkrecht“ zur Hauptdiagonale bilden. Das Produkt der Elemente, die das zweite Dreieck „senkrecht“ zur Hauptdiagonale bilden Hauptdiagonale
2. Das Produkt der Elemente der Nebendiagonale (von der oberen rechten Ecke nach unten links). Das Produkt der Elemente, die das erste Dreieck „senkrecht“ zur Nebendiagonale bilden. Das Produkt der Elemente, die das zweite Dreieck „senkrecht“ zur Nebendiagonale bilden sekundäre Diagonale
3. Dann ist die Determinante gleich der Differenz zwischen den im Schritt und erhaltenen Werten

Wenn wir das alles in Zahlen aufschreiben, erhalten wir folgenden Ausdruck:

Allerdings müssen Sie sich die Berechnungsmethode in dieser Form nicht merken; es reicht aus, nur die Dreiecke im Kopf zu behalten und die Vorstellung davon, was sich zu was addiert und was dann von was subtrahiert wird.

Lassen Sie uns die Dreiecksmethode anhand eines Beispiels veranschaulichen:

1. Berechnen Sie die Determinante:

Lassen Sie uns herausfinden, was wir addieren und was wir subtrahieren:

Begriffe mit Plus:

Dies ist die Hauptdiagonale: Das Produkt der Elemente ist gleich

Das erste Dreieck, „senkrecht zur Hauptdiagonale: Das Produkt der Elemente ist gleich

Zweites Dreieck, „senkrecht zur Hauptdiagonale: Das Produkt der Elemente ist gleich

Addieren Sie drei Zahlen:

Begriffe, die mit einem Minus versehen sind

Dies ist eine Seitendiagonale: Das Produkt der Elemente ist gleich

Das erste Dreieck, „senkrecht zur Nebendiagonale: Das Produkt der Elemente ist gleich

Das zweite Dreieck „senkrecht zur Nebendiagonale: Das Produkt der Elemente ist gleich

Addieren Sie drei Zahlen:

Jetzt muss nur noch die Summe der „Plus“-Terme von der Summe der „Minus“-Terme abgezogen werden:

Auf diese Weise,

Wie Sie sehen, ist die Berechnung von Determinanten dritter Ordnung weder kompliziert noch übernatürlich. Es ist nur wichtig, sich an Dreiecke zu erinnern und keine Rechenfehler zu machen. Versuchen Sie nun, es selbst zu berechnen:

Wir überprüfen:

1. Das erste Dreieck senkrecht zur Hauptdiagonale:
2. Zweites Dreieck senkrecht zur Hauptdiagonale:
3. Summe der Terme mit Plus:
4. Das erste Dreieck senkrecht zur Nebendiagonale:
5. Zweites Dreieck senkrecht zur Seitendiagonale:
6. Summe der Terme mit Minus:
7. Die Summe der Terme mit Plus minus die Summe der Terme mit Minus:

Hier noch ein paar Determinanten, berechnen Sie deren Werte selbst und vergleichen Sie sie mit den Antworten:

Antworten:

Na, ist alles zusammengefallen? Super, dann kann es weitergehen! Wenn es Schwierigkeiten gibt, dann ist mein Rat: Im Internet gibt es viele Programme zur Online-Berechnung der Determinante. Sie müssen sich lediglich Ihre eigene Determinante ausdenken, diese selbst berechnen und sie dann mit den Berechnungen des Programms vergleichen. Und so weiter, bis die Ergebnisse übereinstimmen. Ich bin mir sicher, dass dieser Moment nicht lange auf sich warten lässt!

Kehren wir nun zu der Determinante zurück, die ich aufgeschrieben habe, als ich über die Gleichung einer Ebene sprach, die durch drei gegebene Punkte verläuft:

Sie müssen lediglich den Wert direkt berechnen (mit der Dreiecksmethode) und das Ergebnis auf Null setzen. Da es sich hierbei um Variablen handelt, erhalten Sie natürlich einen Ausdruck, der von ihnen abhängt. Dieser Ausdruck ist die Gleichung einer Ebene, die durch drei gegebene Punkte verläuft, die nicht auf derselben Geraden liegen!

Lassen Sie uns dies anhand eines einfachen Beispiels veranschaulichen:

1. Konstruieren Sie die Gleichung einer Ebene, die durch die Punkte verläuft

Für diese drei Punkte stellen wir eine Determinante zusammen:

Vereinfachen wir:

Jetzt berechnen wir es direkt mit der Dreiecksregel:

\[(\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(array)) \ rechts| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Somit lautet die Gleichung der durch die Punkte verlaufenden Ebene:

Versuchen Sie nun, ein Problem selbst zu lösen, und dann besprechen wir es:

2. Finden Sie die Gleichung der Ebene, die durch die Punkte verläuft

Lassen Sie uns nun die Lösung besprechen:

Erstellen wir eine Determinante:

Und berechnen Sie seinen Wert:

Dann hat die Gleichung der Ebene die Form:

Oder reduzieren wir um:

Nun zwei Aufgaben zur Selbstkontrolle:

1. Konstruieren Sie die Gleichung einer Ebene, die durch drei Punkte verläuft:

Antworten:

Passte alles zusammen? Auch hier, wenn es bestimmte Schwierigkeiten gibt, dann lautet mein Rat: Nehmen Sie drei Punkte aus Ihrem Kopf (mit hoher Wahrscheinlichkeit werden sie nicht auf derselben geraden Linie liegen) und bauen Sie auf ihrer Grundlage ein Flugzeug. Und dann überprüfen Sie sich online. Zum Beispiel auf der Website:

Mit Hilfe von Determinanten werden wir jedoch nicht nur die Gleichung der Ebene konstruieren. Denken Sie daran, ich habe Ihnen gesagt, dass für Vektoren nicht nur das Skalarprodukt definiert ist. Es gibt auch ein Vektorprodukt sowie ein gemischtes Produkt. Und wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren eine Zahl ist, dann ist das Vektorprodukt zweier Vektoren ein Vektor, und dieser Vektor steht senkrecht auf den gegebenen:

Darüber hinaus entspricht sein Modul der Fläche eines Parallelogramms, das aus den Vektoren und aufgebaut ist. Wir benötigen diesen Vektor, um den Abstand von einem Punkt zu einer Linie zu berechnen. Wie kann man das Vektorprodukt von Vektoren berechnen und wenn ihre Koordinaten gegeben sind? Dabei kommt uns wieder die Determinante dritter Ordnung zu Hilfe. Bevor ich jedoch zum Algorithmus zur Berechnung des Vektorprodukts übergehe, muss ich noch einen kleinen Exkurs machen.

Dieser Exkurs betrifft Basisvektoren.

Sie sind in der Abbildung schematisch dargestellt:

Warum werden sie Ihrer Meinung nach einfach genannt? Die Sache ist die :

Oder im Bild:

Die Gültigkeit dieser Formel liegt auf der Hand, denn:

Vektorgrafiken

Jetzt kann ich mit der Einführung des Kreuzprodukts beginnen:

Das Vektorprodukt zweier Vektoren ist ein Vektor, der nach folgender Regel berechnet wird:

Lassen Sie uns nun einige Beispiele für die Berechnung des Kreuzprodukts geben:

Beispiel 1: Finden Sie das Kreuzprodukt von Vektoren:

Lösung: Ich erstelle eine Determinante:

Und ich berechne es:

Nachdem ich nun die Basisvektoren beschrieben habe, kehre ich zur üblichen Vektorschreibweise zurück:

Auf diese Weise:

Probieren Sie es jetzt aus.

Bereit? Wir überprüfen:

Und traditionell zwei Aufgaben zur Steuerung:

1. Finden Sie das Vektorprodukt der folgenden Vektoren:
2. Finden Sie das Vektorprodukt der folgenden Vektoren:

Antworten:

Gemischtes Produkt aus drei Vektoren

Die letzte Konstruktion, die ich brauche, ist das gemischte Produkt aus drei Vektoren. Es ist wie ein Skalar eine Zahl. Es gibt zwei Möglichkeiten, es zu berechnen. - durch eine Determinante, - durch ein Mischprodukt.

Gegeben seien nämlich drei Vektoren:

Dann kann das gemischte Produkt aus drei Vektoren, bezeichnet mit, wie folgt berechnet werden:

1. - das heißt, das gemischte Produkt ist das Skalarprodukt eines Vektors und das Vektorprodukt zweier anderer Vektoren

Das gemischte Produkt dreier Vektoren ist beispielsweise:

Versuchen Sie es selbst mit dem Vektorprodukt zu berechnen und stellen Sie sicher, dass die Ergebnisse übereinstimmen!

Und noch einmal zwei Beispiele für eigenständige Lösungen:

Antworten:

Auswählen eines Koordinatensystems

Nun verfügen wir über alle notwendigen Wissensgrundlagen, um komplexe stereometrische Geometrieprobleme zu lösen. Bevor ich jedoch direkt zu Beispielen und Algorithmen zu deren Lösung übergehe, halte ich es für sinnvoll, auf die folgende Frage einzugehen: Wie genau Wählen Sie ein Koordinatensystem für eine bestimmte Figur. Schließlich ist es die Wahl der relativen Lage des Koordinatensystems und der Figur im Raum, die letztendlich darüber entscheidet, wie aufwändig die Berechnungen sein werden.

Ich möchte Sie daran erinnern, dass wir in diesem Abschnitt die folgenden Zahlen betrachten:

1. Rechteckiges Parallelepiped
2. Gerades Prisma (dreieckig, sechseckig...)
3. Pyramide (dreieckig, viereckig)
4. Tetraeder (identisch mit dreieckiger Pyramide)

Für einen rechteckigen Parallelepiped oder Würfel empfehle ich Ihnen folgende Konstruktion:

Das heißt, ich werde die Figur „in die Ecke“ stellen. Der Würfel und das Parallelepiped sind sehr gute Figuren. Für sie können Sie die Koordinaten ihrer Eckpunkte immer leicht finden. Wenn zum Beispiel (wie im Bild gezeigt)

dann sind die Koordinaten der Eckpunkte wie folgt:

Natürlich müssen Sie sich das nicht merken, aber es ist ratsam, sich daran zu erinnern, wie Sie einen Würfel oder ein rechteckiges Parallelepiped am besten positionieren.

Gerades Prisma

Das Prisma ist eine schädlichere Figur. Es kann auf unterschiedliche Weise im Raum positioniert werden. Die folgende Option erscheint mir jedoch am akzeptabelsten:

Dreieckiges Prisma:

Das heißt, wir platzieren eine der Seiten des Dreiecks vollständig auf der Achse und einer der Eckpunkte fällt mit dem Koordinatenursprung zusammen.

Sechseckiges Prisma:

Das heißt, einer der Scheitelpunkte fällt mit dem Ursprung zusammen und eine der Seiten liegt auf der Achse.

Viereckige und sechseckige Pyramide:

Die Situation ist ähnlich wie bei einem Würfel: Wir richten zwei Seiten der Basis an den Koordinatenachsen aus und richten einen der Eckpunkte am Koordinatenursprung aus. Die einzige kleine Schwierigkeit wird darin bestehen, die Koordinaten des Punktes zu berechnen.

Für eine sechseckige Pyramide gilt dasselbe wie für ein sechseckiges Prisma. Die Hauptaufgabe wird wieder darin bestehen, die Koordinaten des Scheitelpunkts zu finden.

Tetraeder (dreieckige Pyramide)

Die Situation ist sehr ähnlich wie die, die ich für ein dreieckiges Prisma angegeben habe: Ein Scheitelpunkt fällt mit dem Ursprung zusammen, eine Seite liegt auf der Koordinatenachse.

Nun sind Sie und ich endlich kurz davor, Probleme zu lösen. Aus dem, was ich ganz am Anfang des Artikels gesagt habe, könnte man die folgende Schlussfolgerung ziehen: Die meisten C2-Probleme sind in zwei Kategorien unterteilt: Winkelprobleme und Distanzprobleme. Zunächst werden wir uns mit den Problemen der Winkelfindung befassen. Sie werden wiederum in die folgenden Kategorien unterteilt (mit zunehmender Komplexität):

Probleme beim Finden von Winkeln

1. Ermitteln des Winkels zwischen zwei Geraden
2. Ermitteln des Winkels zwischen zwei Ebenen

Schauen wir uns diese Probleme der Reihe nach an: Beginnen wir damit, den Winkel zwischen zwei Geraden zu ermitteln. Denken Sie daran, haben Sie und ich nicht schon einmal ähnliche Beispiele gelöst? Erinnern Sie sich, wir hatten bereits etwas Ähnliches ... Wir suchten nach dem Winkel zwischen zwei Vektoren. Ich möchte Sie daran erinnern, wenn zwei Vektoren gegeben sind: und, dann wird der Winkel zwischen ihnen aus der Beziehung ermittelt:

Unser Ziel ist es nun, den Winkel zwischen zwei Geraden zu ermitteln. Schauen wir uns das „flache Bild“ an:

Wie viele Winkel haben wir erhalten, als sich zwei Geraden kreuzten? Nur ein paar Dinge. Allerdings sind nur zwei von ihnen nicht gleich, während die anderen senkrecht zu ihnen stehen (und daher mit ihnen zusammenfallen). Welchen Winkel sollten wir also als Winkel zwischen zwei Geraden betrachten: oder? Hier gilt die Regel: Der Winkel zwischen zwei Geraden beträgt immer nicht mehr als Grad. Das heißt, aus zwei Winkeln wählen wir immer den Winkel mit dem kleinsten Gradmaß. Das heißt, in diesem Bild ist der Winkel zwischen zwei Geraden gleich. Um sich nicht jedes Mal die Mühe zu machen, den kleinsten von zwei Winkeln zu finden, schlugen schlaue Mathematiker die Verwendung eines Moduls vor. Somit wird der Winkel zwischen zwei Geraden durch die Formel bestimmt:

Sie als aufmerksamer Leser hätten eine Frage haben müssen: Wo genau bekommen wir genau diese Zahlen, die wir zur Berechnung des Kosinus eines Winkels benötigen? Antwort: Wir werden sie aus den Richtungsvektoren der Linien ableiten! Somit lautet der Algorithmus zum Ermitteln des Winkels zwischen zwei Geraden wie folgt:

1. Wir wenden Formel 1 an.

Oder genauer:

1. Wir suchen die Koordinaten des Richtungsvektors der ersten Geraden
2. Wir suchen die Koordinaten des Richtungsvektors der zweiten Geraden
3. Wir berechnen den Modul ihres Skalarprodukts
4. Wir suchen nach der Länge des ersten Vektors
5. Wir suchen nach der Länge des zweiten Vektors
6. Multiplizieren Sie die Ergebnisse von Punkt 4 mit den Ergebnissen von Punkt 5
7. Wir dividieren das Ergebnis von Punkt 3 durch das Ergebnis von Punkt 6. Wir erhalten den Kosinus des Winkels zwischen den Geraden
8. Wenn dieses Ergebnis es uns ermöglicht, den Winkel genau zu berechnen, suchen wir danach
9. Ansonsten schreiben wir durch Arkuskosinus

Nun ist es an der Zeit, zu den Problemen überzugehen: Ich werde die Lösung für die ersten beiden im Detail demonstrieren, für ein anderes werde ich die Lösung in einer kurzen Form vorstellen und für die letzten beiden Probleme werde ich nur die Antworten geben; Sie müssen alle Berechnungen dafür selbst durchführen.

Aufgaben:

1. Ermitteln Sie im rechten Tet-Ra-Ed-Re den Winkel zwischen der Höhe des Tet-Ra-Ed-Ra und der Mittelseite.

2. Im rechten sechseckigen Pi-ra-mi-de sind die hundert os-no-va-niyas gleich und die Seitenkanten sind gleich, ermitteln Sie den Winkel zwischen den Linien und.

3. Die Längen aller Kanten des rechten Vier-Kohle-Pi-Ra-Mi-Dy sind einander gleich. Finden Sie den Winkel zwischen den geraden Linien und wenn Sie aus dem Schnitt kommen - Sie sind mit dem gegebenen pi-ra-mi-dy, ist der Punkt se-re-di-auf seinen bo-co-zweiten Rippen

4. Auf der Kante des Würfels befindet sich ein Punkt, sodass Sie den Winkel zwischen den Geraden und ermitteln können

5. Punkt – an den Kanten des Würfels Finden Sie den Winkel zwischen den Geraden und.

Es ist kein Zufall, dass ich die Aufgaben in dieser Reihenfolge angeordnet habe. Während Sie noch nicht mit der Koordinatenmethode vertraut sind, werde ich die „problematischsten“ Figuren selbst analysieren und Sie mit dem einfachsten Würfel befassen! Nach und nach müssen Sie lernen, mit allen Figuren umzugehen, ich werde die Komplexität der Aufgaben von Thema zu Thema steigern.

Beginnen wir mit der Lösung von Problemen:

1. Zeichnen Sie ein Tetraeder und platzieren Sie es im Koordinatensystem, wie ich zuvor vorgeschlagen habe. Da das Tetraeder regelmäßig ist, sind alle seine Flächen (einschließlich der Grundfläche) regelmäßige Dreiecke. Da uns die Länge der Seite nicht gegeben ist, kann ich davon ausgehen, dass sie gleich ist. Ich denke, Sie verstehen, dass der Winkel nicht wirklich davon abhängt, wie weit unser Tetraeder „gestreckt“ ist? Ich werde auch die Höhe und den Mittelwert im Tetraeder einzeichnen. Unterwegs werde ich seine Basis zeichnen (sie wird auch für uns nützlich sein).

Ich muss den Winkel zwischen und finden. Was wissen wir? Wir kennen nur die Koordinate des Punktes. Das bedeutet, dass wir die Koordinaten der Punkte finden müssen. Nun denken wir: Ein Punkt ist der Schnittpunkt der Höhen (oder Winkelhalbierenden oder Mediane) des Dreiecks. Und ein Punkt ist ein angesprochener Punkt. Der Punkt ist die Mitte des Segments. Dann müssen wir endlich Folgendes finden: die Koordinaten der Punkte: .

Beginnen wir mit dem Einfachsten: den Koordinaten eines Punktes. Schauen Sie sich die Abbildung an: Es ist klar, dass das Applikat eines Punktes gleich Null ist (der Punkt liegt auf der Ebene). Seine Ordinate ist gleich (da es sich um den Median handelt). Es ist schwieriger, seine Abszisse zu finden. Dies lässt sich jedoch leicht anhand des Satzes des Pythagoras bewerkstelligen: Betrachten Sie ein Dreieck. Seine Hypotenuse ist gleich und einer seiner Schenkel ist gleich Dann:

Endlich haben wir: .

Lassen Sie uns nun die Koordinaten des Punktes ermitteln. Es ist klar, dass sein Applikat wieder gleich Null ist und seine Ordinate mit der des Punktes übereinstimmt. Finden wir seine Abszisse. Dies geschieht recht trivial, wenn Sie sich daran erinnern Die Höhen eines gleichseitigen Dreiecks werden durch den Schnittpunkt proportional geteilt, von oben gezählt. Da: ist die erforderliche Abszisse des Punktes, die der Länge des Segments entspricht, gleich: . Somit sind die Koordinaten des Punktes:

Lassen Sie uns die Koordinaten des Punktes ermitteln. Es ist klar, dass seine Abszisse und Ordinate mit der Abszisse und Ordinate des Punktes übereinstimmen. Und das Applikat entspricht der Länge des Segments. - Dies ist einer der Schenkel des Dreiecks. Die Hypotenuse eines Dreiecks ist ein Segment – ​​ein Bein. Es wird aus Gründen gesucht, die ich fett hervorgehoben habe:

Der Punkt ist die Mitte des Segments. Dann müssen wir uns die Formel für die Koordinaten des Mittelpunkts des Segments merken:

Das war's, jetzt können wir nach den Koordinaten der Richtungsvektoren suchen:

Nun, alles ist fertig: Wir ersetzen alle Daten in der Formel:

Auf diese Weise,

Antwort:

Sie sollten sich vor solch „gruseligen“ Antworten nicht einschüchtern lassen: Bei C2-Aufgaben ist dies gängige Praxis. Ich würde mich lieber über die „schöne“ Antwort in diesem Teil überraschen lassen. Außerdem habe ich, wie Sie bemerkt haben, praktisch nichts anderes als den Satz des Pythagoras und die Höheneigenschaft eines gleichseitigen Dreiecks herangezogen. Das heißt, um das stereometrische Problem zu lösen, habe ich ein Minimum an Stereometrie verwendet. Der Gewinn darin wird teilweise durch recht umständliche Berechnungen „zunichte gemacht“. Aber sie sind ziemlich algorithmisch!

2. Lassen Sie uns eine regelmäßige sechseckige Pyramide zusammen mit dem Koordinatensystem sowie ihrer Basis darstellen:

Wir müssen den Winkel zwischen den Linien und finden. Unsere Aufgabe besteht also darin, die Koordinaten der Punkte zu finden: . Die Koordinaten der letzten drei ermitteln wir mithilfe einer kleinen Zeichnung und die Koordinate des Scheitelpunkts ermitteln wir durch die Koordinate des Punktes. Es gibt noch viel zu tun, aber wir müssen anfangen!

a) Koordinate: Es ist klar, dass ihr Applikat und ihre Ordinate gleich Null sind. Finden wir die Abszisse. Betrachten Sie dazu ein rechtwinkliges Dreieck. Leider kennen wir darin nur die Hypotenuse, die gleich ist. Wir werden versuchen, das Bein zu finden (denn es ist klar, dass wir mit der doppelten Länge des Beins die Abszisse des Punktes erhalten). Wie können wir danach suchen? Erinnern wir uns, was für eine Figur wir am Fuß der Pyramide haben? Dies ist ein regelmäßiges Sechseck. Was bedeutet das? Das bedeutet, dass alle Seiten und alle Winkel gleich sind. Wir müssen einen solchen Blickwinkel finden. Irgendwelche Ideen? Es gibt viele Ideen, aber es gibt eine Formel:

Die Summe der Winkel eines regelmäßigen n-Ecks ist .

Somit ist die Summe der Winkel eines regelmäßigen Sechsecks gleich Grad. Dann ist jeder der Winkel gleich:

Schauen wir uns das Bild noch einmal an. Es ist klar, dass das Segment die Winkelhalbierende ist. Dann ist der Winkel gleich Grad. Dann:

Woher dann.

Hat also Koordinaten

b) Jetzt können wir leicht die Koordinate des Punktes finden: .

c) Finden Sie die Koordinaten des Punktes. Da seine Abszisse mit der Länge des Segments übereinstimmt, ist es gleich. Auch das Finden der Ordinate ist nicht sehr schwierig: Wenn wir die Punkte verbinden und den Schnittpunkt der Geraden beispielsweise als . bezeichnen. (Do-it-yourself-einfache Konstruktion). Dann ist die Ordinate von Punkt B gleich der Summe der Längen der Segmente. Schauen wir uns das Dreieck noch einmal an. Dann

Dann seit Dann hat der Punkt Koordinaten

d) Lassen Sie uns nun die Koordinaten des Punktes ermitteln. Betrachten Sie das Rechteck und beweisen Sie, dass die Koordinaten des Punktes also sind:

e) Es müssen noch die Koordinaten des Scheitelpunkts ermittelt werden. Es ist klar, dass seine Abszisse und Ordinate mit der Abszisse und Ordinate des Punktes übereinstimmen. Lassen Sie uns die Anwendung finden. Seit damals. Betrachten Sie ein rechtwinkliges Dreieck. Je nach Problemstellung eine Seitenkante. Das ist die Hypotenuse meines Dreiecks. Dann beträgt die Höhe der Pyramide ein Bein.

Dann hat der Punkt Koordinaten:

Nun, das war's, ich habe die Koordinaten aller Punkte, die mich interessieren. Ich suche die Koordinaten der Richtungsvektoren von Geraden:

Wir suchen den Winkel zwischen diesen Vektoren:

Antwort:

Auch bei der Lösung dieses Problems habe ich außer der Formel für die Summe der Winkel eines regelmäßigen n-Ecks und der Definition des Kosinus und Sinus eines rechtwinkligen Dreiecks keine ausgefeilten Techniken verwendet.

3. Da uns wiederum die Längen der Kanten in der Pyramide nicht bekannt sind, betrachte ich sie als gleich eins. Da also ALLE Kanten und nicht nur die Seitenkanten einander gleich sind, befindet sich an der Basis der Pyramide und mir ein Quadrat, und die Seitenflächen sind regelmäßige Dreiecke. Zeichnen wir eine solche Pyramide sowie ihre Basis auf einer Ebene und notieren wir uns dabei alle im Text der Aufgabe angegebenen Daten:

Wir suchen den Winkel zwischen und. Ich werde sehr kurze Berechnungen durchführen, wenn ich nach den Koordinaten der Punkte suche. Sie müssen sie „entschlüsseln“:

b) - die Mitte des Segments. Seine Koordinaten:

c) Ich werde die Länge des Segments mithilfe des Satzes des Pythagoras in einem Dreieck ermitteln. Ich kann es mit dem Satz des Pythagoras in einem Dreieck finden.

Koordinaten:

d) - die Mitte des Segments. Seine Koordinaten sind

e) Vektorkoordinaten

f) Vektorkoordinaten

g) Auf der Suche nach dem Winkel:

Ein Würfel ist die einfachste Figur. Ich bin sicher, dass Sie es selbst herausfinden werden. Die Antworten auf die Aufgaben 4 und 5 lauten wie folgt:

Ermitteln des Winkels zwischen einer Geraden und einer Ebene

Nun, die Zeit der einfachen Rätsel ist vorbei! Jetzt werden die Beispiele noch komplizierter. Um den Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene zu ermitteln, gehen wir wie folgt vor:

1. Aus drei Punkten konstruieren wir eine Gleichung der Ebene
   ,
   unter Verwendung einer Determinante dritter Ordnung.
2. Anhand zweier Punkte suchen wir die Koordinaten des Richtungsvektors der Geraden:
3. Wir wenden die Formel an, um den Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene zu berechnen:

Wie Sie sehen, ist diese Formel derjenigen sehr ähnlich, mit der wir Winkel zwischen zwei Geraden ermittelt haben. Die Struktur auf der rechten Seite ist einfach die gleiche, und auf der linken Seite suchen wir jetzt nach dem Sinus, nicht wie zuvor nach dem Cosinus. Nun, eine unangenehme Aktion wurde hinzugefügt – die Suche nach der Gleichung der Ebene.

Lasst uns nicht zögern Lösungsbeispiele:

1. Das Haupt-aber-va-ni-em-Direktprisma-wir sind ein gleich-armes Dreieck. Finden Sie den Winkel zwischen der Geraden und der Ebene

2. Finden Sie in einem rechteckigen Par-ral-le-le-pi-pe-de von Westen den Winkel zwischen der Geraden und der Ebene

3. In einem geraden sechseckigen Prisma sind alle Kanten gleich. Finden Sie den Winkel zwischen der Geraden und der Ebene.

4. Finden Sie im rechten dreieckigen Pi-ra-mi-de mit dem os-no-va-ni-em der bekannten Rippen eine Ecke, ob-ra-zo-van -flach in der Basis und gerade, die durch das Grau verläuft Rippen und

5. Die Längen aller Kanten eines rechten Vierecks pi-ra-mi-dy mit einem Scheitelpunkt sind einander gleich. Finden Sie den Winkel zwischen der Geraden und der Ebene, wenn der Punkt in der Mitte der Pi-ra-mi-dy-Kante liegt.

Auch hier werde ich die ersten beiden Probleme ausführlich und das dritte kurz lösen und die letzten beiden Ihnen überlassen, sie selbst zu lösen. Außerdem haben Sie sich bereits mit drei- und viereckigen Pyramiden beschäftigt, mit Prismen jedoch noch nicht.

Lösungen:

1. Lassen Sie uns ein Prisma sowie seine Basis darstellen. Kombinieren wir es mit dem Koordinatensystem und notieren wir alle Daten, die in der Problemstellung angegeben sind:

Ich entschuldige mich für die Nichteinhaltung der Proportionen, aber für die Lösung des Problems ist das eigentlich nicht so wichtig. Die Ebene ist einfach die „Rückwand“ meines Prismas. Es reicht aus, einfach zu vermuten, dass die Gleichung einer solchen Ebene die Form hat:

Dies lässt sich jedoch direkt zeigen:

Wählen wir drei beliebige Punkte auf dieser Ebene: zum Beispiel .

Erstellen wir die Gleichung der Ebene:

Übung für Sie: Berechnen Sie diese Determinante selbst. Warst du erfolgreich? Dann sieht die Gleichung der Ebene so aus:

Oder einfach

Auf diese Weise,

Um das Beispiel zu lösen, muss ich die Koordinaten des Richtungsvektors der Geraden ermitteln. Da der Punkt mit dem Koordinatenursprung zusammenfällt, stimmen die Koordinaten des Vektors einfach mit den Koordinaten des Punktes überein. Dazu müssen Sie zunächst die Koordinaten des Punktes ermitteln.

Betrachten Sie dazu ein Dreieck. Zeichnen wir die Höhe (auch Median und Winkelhalbierende genannt) vom Scheitelpunkt aus. Da die Ordinate des Punktes gleich ist. Um die Abszisse dieses Punktes zu finden, müssen wir die Länge des Segments berechnen. Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

Dann hat der Punkt Koordinaten:

Ein Punkt ist ein „erhabener“ Punkt:

Dann sind die Vektorkoordinaten:

Antwort:

Wie Sie sehen, gibt es bei der Lösung solcher Probleme nichts grundsätzlich Schwieriges. Tatsächlich wird der Vorgang durch die „Geradheit“ einer Figur wie eines Prismas noch etwas vereinfacht. Kommen wir nun zum nächsten Beispiel:

2. Zeichnen Sie ein Parallelepiped, zeichnen Sie eine Ebene und eine gerade Linie darin und zeichnen Sie auch separat seine untere Basis:

Zuerst finden wir die Gleichung der Ebene: Die Koordinaten der drei darin liegenden Punkte:

(Die ersten beiden Koordinaten werden auf offensichtliche Weise ermittelt, und die letzte Koordinate kann vom Punkt aus leicht aus dem Bild ermittelt werden.) Dann stellen wir die Gleichung der Ebene auf:

Wir berechnen:

Wir suchen die Koordinaten des Leitvektors: Es ist klar, dass seine Koordinaten mit den Koordinaten des Punktes übereinstimmen, nicht wahr? Wie finde ich Koordinaten? Dies sind die Koordinaten des Punktes, erhöht entlang der Anwendungsachse um eins! . Dann suchen wir den gewünschten Winkel:

Antwort:

3. Zeichnen Sie eine regelmäßige sechseckige Pyramide und zeichnen Sie dann eine Ebene und eine gerade Linie darin.

Hier ist es sogar problematisch, eine Ebene zu zeichnen, ganz zu schweigen von der Lösung dieses Problems, aber der Koordinatenmethode ist das egal! Seine Vielseitigkeit ist sein Hauptvorteil!

Das Flugzeug durchquert drei Punkte: . Wir suchen ihre Koordinaten:

1) . Finden Sie die Koordinaten der letzten beiden Punkte selbst heraus. Dazu müssen Sie das Problem der sechseckigen Pyramide lösen!

2) Wir konstruieren die Gleichung der Ebene:

Wir suchen die Koordinaten des Vektors: . (Siehe noch einmal das Dreieckspyramidenproblem!)

3) Auf der Suche nach einem Blickwinkel:

Antwort:

Wie Sie sehen, gibt es bei diesen Aufgaben nichts übernatürlich Schwieriges. Nur mit den Wurzeln muss man sehr vorsichtig sein. Ich werde nur Antworten auf die letzten beiden Probleme geben:

Wie Sie sehen, ist die Technik zur Lösung von Problemen überall gleich: Die Hauptaufgabe besteht darin, die Koordinaten der Scheitelpunkte zu finden und sie in bestimmte Formeln einzusetzen. Wir müssen noch eine weitere Klasse von Problemen zur Winkelberechnung betrachten, nämlich:

Winkel zwischen zwei Ebenen berechnen

Der Lösungsalgorithmus sieht wie folgt aus:

1. Anhand von drei Punkten suchen wir nach der Gleichung der ersten Ebene:
2. Mithilfe der anderen drei Punkte suchen wir nach der Gleichung der zweiten Ebene:
3. Wir wenden die Formel an:

Wie Sie sehen, ist die Formel den beiden vorherigen sehr ähnlich, mit deren Hilfe wir nach Winkeln zwischen Geraden und zwischen einer Geraden und einer Ebene gesucht haben. Es wird Ihnen also nicht schwerfallen, sich daran zu erinnern. Kommen wir zur Analyse der Aufgaben:

1. Die Seite der Basis des rechten dreieckigen Prismas ist gleich und die Diagonale der Seitenfläche ist gleich. Finden Sie den Winkel zwischen der Ebene und der Ebene der Prismenachse.

2. Finden Sie in den rechten vier Ecken pi-ra-mi-de, deren Kanten alle gleich sind, den Sinus des Winkels zwischen der Ebene und dem ebenen Knochen, der durch den Punkt per-pen-di-ku- geht. lyar-aber gerade.

3. Bei einem regelmäßigen Viereckprisma sind die Seiten der Grundfläche gleich und die Seitenkanten sind gleich. Es gibt einen Punkt am Rand von-me-che-on, also. Finden Sie den Winkel zwischen den Ebenen und

4. Bei einem rechtwinkligen viereckigen Prisma sind die Seiten der Grundfläche gleich und die Seitenkanten sind gleich. Es gibt einen Punkt an der Kante vom Punkt, sodass der Winkel zwischen den Ebenen und ermittelt wird.

5. Ermitteln Sie in einem Würfel den Co-Sinus des Winkels zwischen den Ebenen und

Problemlösungen:

1. Ich zeichne ein regelmäßiges dreieckiges Prisma (ein gleichseitiges Dreieck an der Basis) und markiere darauf die Ebenen, die in der Problemstellung erscheinen:

Wir müssen die Gleichungen zweier Ebenen finden: Die Gleichung der Basis ist trivial: Sie können die entsprechende Determinante aus drei Punkten zusammenstellen, aber ich werde die Gleichung gleich zusammenstellen:

Finden wir nun die Gleichung. Punkt hat Koordinaten. Punkt – Da es sich um den Median und die Höhe des Dreiecks handelt, kann er mithilfe des Satzes des Pythagoras im Dreieck leicht gefunden werden. Dann hat der Punkt Koordinaten: Finden wir das Applikat des Punktes. Betrachten Sie dazu ein rechtwinkliges Dreieck

Dann erhalten wir die folgenden Koordinaten: Wir stellen die Gleichung der Ebene auf.

Wir berechnen den Winkel zwischen den Ebenen:

Antwort:

2. Eine Zeichnung erstellen:

Am schwierigsten ist es zu verstehen, was für eine mysteriöse Ebene es ist, die senkrecht durch den Punkt verläuft. Nun, die Hauptsache ist, was ist das? Hauptsache Aufmerksamkeit! Tatsächlich ist die Linie senkrecht. Die Gerade steht auch senkrecht. Dann steht die durch diese beiden Geraden verlaufende Ebene senkrecht zur Geraden und geht übrigens durch den Punkt. Diese Ebene verläuft auch durch die Spitze der Pyramide. Dann das gewünschte Flugzeug - Und das Flugzeug wurde uns bereits gegeben. Wir suchen die Koordinaten der Punkte.

Wir finden die Koordinate des Punktes durch den Punkt. Aus dem kleinen Bild lässt sich leicht ableiten, dass die Koordinaten des Punktes wie folgt aussehen werden: Was bleibt nun noch zu finden, um die Koordinaten der Spitze der Pyramide zu finden? Sie müssen auch seine Höhe berechnen. Dies geschieht mit dem gleichen Satz des Pythagoras: Beweisen Sie zunächst das (trivialerweise anhand kleiner Dreiecke, die an der Basis ein Quadrat bilden). Denn aufgrund der Bedingung haben wir:

Jetzt ist alles fertig: Scheitelpunktkoordinaten:

Wir stellen die Gleichung der Ebene zusammen:

Sie sind bereits Experte in der Berechnung von Determinanten. Ohne Schwierigkeiten erhalten Sie:

Oder anders (wenn wir beide Seiten mit der Wurzel aus zwei multiplizieren)

Finden wir nun die Gleichung der Ebene:

(Sie haben nicht vergessen, wie wir die Gleichung einer Ebene erhalten, oder? Wenn Sie nicht verstehen, woher dieses Minus eins kommt, dann kehren Sie zur Definition der Gleichung einer Ebene zurück! Es stellte sich einfach immer vorher heraus mein Flugzeug gehörte zum Koordinatenursprung!)

Wir berechnen die Determinante:

(Vielleicht fällt Ihnen auf, dass die Gleichung der Ebene mit der Gleichung der durch die Punkte verlaufenden Geraden übereinstimmt! Denken Sie darüber nach, warum!)

Berechnen wir nun den Winkel:

Wir müssen den Sinus finden:

Antwort:

3. Knifflige Frage: Was ist Ihrer Meinung nach ein rechteckiges Prisma? Das ist nur ein Parallelepiped, das Sie gut kennen! Lass uns gleich eine Zeichnung anfertigen! Den Sockel muss man nicht einmal extra abbilden, er nützt hier wenig:

Die Ebene wird, wie bereits erwähnt, in Form einer Gleichung geschrieben:

Jetzt erstellen wir ein Flugzeug

Wir erstellen sofort die Gleichung der Ebene:

Auf der Suche nach einem Blickwinkel:

Nun die Antworten auf die letzten beiden Probleme:

Nun ist es an der Zeit, eine kleine Pause zu machen, denn Sie und ich sind großartig und haben großartige Arbeit geleistet!

Koordinaten und Vektoren. Fortgeschrittenes Level

In diesem Artikel besprechen wir mit Ihnen eine weitere Klasse von Problemen, die mit der Koordinatenmethode gelöst werden können: Entfernungsberechnungsprobleme. Wir werden nämlich die folgenden Fälle betrachten:

1. Berechnung des Abstands zwischen sich schneidenden Linien.

Ich habe diese Aufgaben nach steigendem Schwierigkeitsgrad geordnet. Es stellt sich heraus, dass es am einfachsten zu finden ist Abstand vom Punkt zur Ebene, und das Schwierigste ist, es zu finden Abstand zwischen sich kreuzenden Linien. Obwohl natürlich nichts unmöglich ist! Lassen Sie uns nicht zögern und uns sofort mit der ersten Klasse von Problemen befassen:

Berechnen des Abstands von einem Punkt zu einer Ebene

Was brauchen wir, um dieses Problem zu lösen?

1. Punktkoordinaten

Sobald wir also alle notwendigen Daten erhalten haben, wenden wir die Formel an:

Sie sollten bereits aus den vorherigen Problemen, die ich im letzten Teil besprochen habe, wissen, wie wir die Gleichung einer Ebene konstruieren. Kommen wir gleich zu den Aufgaben. Das Schema ist wie folgt: 1, 2 – Ich helfe Ihnen bei der Entscheidung, und im Detail, 3, 4 – nur die Antwort, Sie führen die Lösung selbst durch und vergleichen. Lasst uns beginnen!

Aufgaben:

1. Gegeben sei ein Würfel. Die Kantenlänge des Würfels ist gleich. Finden Sie den Abstand vom Se-Re-Di-Na vom Schnitt zum Flugzeug

2. Bei der richtigen Vier-Kohlen-Pi-ra-mi-ja ist die Seite der Seite gleich der Basis. Finden Sie den Abstand vom Punkt zur Ebene, wo - se-re-di-an den Kanten.

3. Im rechten dreieckigen Pi-ra-mi-de mit dem os-no-va-ni-em ist die Seitenkante gleich und das Hundert-ro-auf dem os-no-vania ist gleich. Finden Sie den Abstand von oben zur Ebene.

4. In einem geraden sechseckigen Prisma sind alle Kanten gleich. Finden Sie den Abstand von einem Punkt zu einer Ebene.

Lösungen:

1. Zeichnen Sie einen Würfel mit einzelnen Kanten, konstruieren Sie ein Segment und eine Ebene und bezeichnen Sie die Mitte des Segments mit einem Buchstaben

.

Beginnen wir zunächst mit dem Einfachen: Finden Sie die Koordinaten des Punktes. Seitdem (merken Sie sich die Koordinaten der Segmentmitte!)

Jetzt stellen wir die Gleichung der Ebene aus drei Punkten zusammen

\[\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \right| = 0\]

Jetzt kann ich anfangen, die Entfernung zu ermitteln:

2. Wir beginnen wieder mit einer Zeichnung, auf der wir alle Daten markieren!

Bei einer Pyramide wäre es sinnvoll, ihre Basis separat zu zeichnen.

Selbst die Tatsache, dass ich mit der Pfote wie ein Huhn zeichne, wird uns nicht davon abhalten, dieses Problem mit Leichtigkeit zu lösen!

Jetzt ist es einfach, die Koordinaten eines Punktes zu finden

Da die Koordinaten des Punktes also

2. Da die Koordinaten von Punkt a die Mitte des Segments sind, dann

Ohne Probleme können wir die Koordinaten von zwei weiteren Punkten auf der Ebene ermitteln. Wir erstellen eine Gleichung für die Ebene und vereinfachen sie:

\[\left| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(array)) \right|) \right| = 0\]

Da der Punkt die Koordinaten hat: , berechnen wir die Entfernung:

Antwort (sehr selten!):

Na, hast du es herausgefunden? Mir scheint, dass hier alles genauso technisch ist wie in den Beispielen, die wir uns im vorherigen Teil angesehen haben. Ich bin also sicher, dass es Ihnen nicht schwer fallen wird, die verbleibenden beiden Probleme zu lösen, wenn Sie dieses Material beherrschen. Ich gebe Ihnen nur die Antworten:

Berechnen des Abstands von einer Geraden zu einer Ebene

Tatsächlich gibt es hier nichts Neues. Wie können eine Gerade und eine Ebene relativ zueinander positioniert werden? Sie haben nur eine Möglichkeit: sich zu schneiden, oder eine Gerade verläuft parallel zur Ebene. Wie groß ist Ihrer Meinung nach der Abstand einer Geraden zu der Ebene, die diese Gerade schneidet? Es scheint mir, dass hier klar ist, dass ein solcher Abstand gleich Null ist. Kein interessanter Fall.

Der zweite Fall ist schwieriger: Hier ist der Abstand bereits ungleich Null. Da die Linie jedoch parallel zur Ebene verläuft, ist jeder Punkt der Linie von dieser Ebene gleich weit entfernt:

Auf diese Weise:

Das bedeutet, dass meine Aufgabe auf die vorherige reduziert wurde: Wir suchen die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf einer geraden Linie, suchen nach der Gleichung der Ebene und berechnen den Abstand vom Punkt zur Ebene. Tatsächlich sind solche Aufgaben im Einheitlichen Staatsexamen äußerst selten. Es gelang mir, nur ein Problem zu finden, und die darin enthaltenen Daten waren so beschaffen, dass die Koordinatenmethode darauf nicht sehr anwendbar war!

Kommen wir nun zu einer anderen, viel wichtigeren Klasse von Problemen:

Berechnen des Abstands eines Punktes zu einer Linie

Was brauchen wir?

1. Koordinaten des Punktes, von dem aus wir die Entfernung suchen:

2. Koordinaten eines beliebigen Punktes, der auf einer Linie liegt

3. Koordinaten des Richtungsvektors der Geraden

Welche Formel verwenden wir?

Was der Nenner dieses Bruchs bedeutet, sollte Ihnen klar sein: Dies ist die Länge des Richtungsvektors der Geraden. Das ist ein sehr kniffliger Zähler! Der Ausdruck bedeutet den Modul (Länge) des Vektorprodukts von Vektoren und wie man das Vektorprodukt berechnet, haben wir im vorherigen Teil der Arbeit untersucht. Frischen Sie Ihr Wissen auf, wir werden es jetzt dringend brauchen!

Somit sieht der Algorithmus zur Lösung von Problemen wie folgt aus:

1. Wir suchen die Koordinaten des Punktes, von dem aus wir die Entfernung suchen:

2. Wir suchen die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf der Geraden, zu dem wir die Entfernung suchen:

3. Konstruieren Sie einen Vektor

4. Konstruieren Sie einen Richtungsvektor einer Geraden

5. Berechnen Sie das Vektorprodukt

6. Wir suchen nach der Länge des resultierenden Vektors:

7. Berechnen Sie den Abstand:

Wir haben noch viel zu tun und die Beispiele werden ziemlich komplex sein! Konzentrieren Sie sich jetzt auf alle Ihre Aufmerksamkeit!

1. Gegeben sei ein rechtwinkliges dreieckiges Pi-ra-mi-da mit einer Spitze. Das Hundert-Ro-auf der Basis des Pi-Ra-Mi-Dy ist gleich, du bist gleich. Finden Sie den Abstand von der grauen Kante zur geraden Linie, wo die Punkte und die grauen Kanten sind und vom Veterinärpunkt.

2. Die Längen der Rippen und des geradlinigen No-Go-Par-ral-le-le-pi-pe-da sind entsprechend gleich und ermitteln Sie den Abstand von der Spitze zur geraden Linie

3. In einem geraden sechseckigen Prisma sind alle Kanten gleich. Ermitteln Sie den Abstand von einem Punkt zu einer geraden Linie

Lösungen:

1. Wir erstellen eine übersichtliche Zeichnung, auf der wir alle Daten markieren:

Wir haben viel zu tun! Zunächst möchte ich in Worten beschreiben, wonach wir suchen werden und in welcher Reihenfolge:

1. Koordinaten von Punkten und

2. Punktkoordinaten

3. Koordinaten von Punkten und

4. Koordinaten von Vektoren und

5. Ihr Kreuzprodukt

6. Vektorlänge

7. Länge des Vektorprodukts

8. Entfernung von bis

Nun, wir haben noch viel Arbeit vor uns! Lasst uns mit hochgekrempelten Ärmeln an die Sache herangehen!

1. Um die Koordinaten der Höhe der Pyramide zu ermitteln, müssen wir die Koordinaten des Punktes kennen. Sein Applikat ist gleich Null und seine Ordinate ist gleich seiner Abszisse ist gleich der Länge des Segments. Da ist die Höhe von ein gleichseitiges Dreieck, es wird im Verhältnis geteilt, gezählt vom Scheitelpunkt, von hier aus. Endlich haben wir die Koordinaten:

Punktkoordinaten

2. - Mitte des Segments

3. - Mitte des Segments

Mittelpunkt des Segments

4.Koordinaten

Vektorkoordinaten

5. Berechnen Sie das Vektorprodukt:

6. Vektorlänge: Der einfachste Weg zum Ersetzen besteht darin, dass das Segment die Mittellinie des Dreiecks ist, was bedeutet, dass es der Hälfte der Basis entspricht. Also.

7. Berechnen Sie die Länge des Vektorprodukts:

8. Schließlich ermitteln wir den Abstand:

Uff, das ist es! Ich sage Ihnen ganz ehrlich: Die Lösung dieses Problems mit herkömmlichen Methoden (durch Konstruktion) wäre viel schneller. Aber hier habe ich alles auf einen vorgefertigten Algorithmus reduziert! Ich denke, der Lösungsalgorithmus ist Ihnen klar? Daher bitte ich Sie, die verbleibenden beiden Probleme selbst zu lösen. Vergleichen wir die Antworten?

Ich wiederhole es noch einmal: Es ist einfacher (schneller), diese Probleme durch Konstruktionen zu lösen, als auf die Koordinatenmethode zurückzugreifen. Ich habe diese Lösungsmethode nur gezeigt, um Ihnen eine universelle Methode zu zeigen, die es Ihnen ermöglicht, „nichts fertig zu bauen“.

Betrachten Sie abschließend die letzte Klasse von Problemen:

Berechnen des Abstands zwischen sich schneidenden Linien

Hier ähnelt der Algorithmus zur Lösung von Problemen dem vorherigen. Was wir haben:

3. Jeder Vektor, der die Punkte der ersten und zweiten Linie verbindet:

Wie finden wir den Abstand zwischen Linien?

Die Formel lautet wie folgt:

Der Zähler ist der Modul des gemischten Produkts (wir haben ihn im vorherigen Teil eingeführt) und der Nenner ist, wie in der vorherigen Formel (der Modul des Vektorprodukts der Richtungsvektoren der Geraden, deren Abstand wir haben sind auf der Suche nach).

Ich werde Sie daran erinnern

Dann Die Formel für den Abstand kann umgeschrieben werden als:

Dies ist eine Determinante dividiert durch eine Determinante! Obwohl ich hier ehrlich gesagt keine Zeit für Witze habe! Diese Formel ist tatsächlich sehr umständlich und führt zu recht komplexen Berechnungen. Wenn ich Sie wäre, würde ich nur als letzten Ausweg darauf zurückgreifen!

Versuchen wir, einige Probleme mit der oben genannten Methode zu lösen:

1. Ermitteln Sie in einem rechtwinkligen dreieckigen Prisma, dessen Kanten alle gleich sind, den Abstand zwischen den Geraden und.

2. Bei einem geraden dreieckigen Prisma sind alle Kanten der Basis gleich dem durch den Körper verlaufenden Rippenabschnitt und die Se-Re-Di-Well-Rippen sind ein Quadrat. Finden Sie den Abstand zwischen den Geraden und

Ich entscheide über das Erste, und basierend darauf entscheiden Sie über das Zweite!

1. Ich zeichne ein Prisma und markiere gerade Linien und

Koordinaten von Punkt C: dann

Punktkoordinaten

Vektorkoordinaten

Punktkoordinaten

Vektorkoordinaten

Vektorkoordinaten

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\end(array))\\(\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(array))\end(array)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Wir berechnen das Vektorprodukt zwischen Vektoren und

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Jetzt berechnen wir seine Länge:

Antwort:

Versuchen Sie nun, die zweite Aufgabe sorgfältig zu erledigen. Die Antwort darauf wird sein: .

Koordinaten und Vektoren. Kurzbeschreibung und Grundformeln

Ein Vektor ist ein gerichtetes Segment. - der Anfang des Vektors, - das Ende des Vektors.
Ein Vektor wird mit oder bezeichnet.

Absoluter Wert Vektor – die Länge des Segments, das den Vektor darstellt. Bezeichnet als.

Vektorkoordinaten:

,
Wo sind die Enden des Vektors \displaystyle a ?

Summe der Vektoren: .

Produkt von Vektoren:

Skalarprodukt von Vektoren:

Gleichung einer Ebene. Wie schreibe ich eine Gleichung einer Ebene?
Gegenseitige Anordnung der Flugzeuge. Aufgaben

Raumgeometrie ist nicht viel komplizierter als „flache“ Geometrie, und unsere Flüge im Weltraum beginnen mit diesem Artikel. Um das Thema zu beherrschen, müssen Sie ein gutes Verständnis dafür haben Vektoren Darüber hinaus ist es ratsam, mit der Geometrie der Ebene vertraut zu sein – es wird viele Ähnlichkeiten und Analogien geben, sodass die Informationen viel besser verdaut werden können. In einer Reihe meiner Lektionen wird die 2D-Welt mit einem Artikel eröffnet Gleichung einer Geraden in einer Ebene. Doch nun hat Batman den Flachbildfernseher verlassen und startet vom Kosmodrom Baikonur.

Beginnen wir mit Zeichnungen und Symbolen. Schematisch lässt sich die Ebene in Form eines Parallelogramms zeichnen, wodurch der Eindruck von Raum entsteht:

Die Ebene ist unendlich, aber wir haben die Möglichkeit, nur einen Teil davon darzustellen. In der Praxis wird neben dem Parallelogramm auch ein Oval oder sogar eine Wolke gezeichnet. Aus technischen Gründen ist es für mich bequemer, das Flugzeug genau so und in genau dieser Position darzustellen. Echte Flugzeuge, die wir in praktischen Beispielen betrachten, können auf beliebige Weise lokalisiert werden – nehmen Sie die Zeichnung gedanklich in die Hand und drehen Sie sie im Raum, um der Ebene eine beliebige Neigung und einen beliebigen Winkel zu geben.

Bezeichnungen: Flugzeuge werden normalerweise in kleinen griechischen Buchstaben bezeichnet, offenbar um sie nicht mit zu verwechseln gerade Linie in einer Ebene oder mit gerade Linie im Raum. Ich bin es gewohnt, den Buchstaben zu verwenden. In der Zeichnung ist es der Buchstabe „Sigma“ und überhaupt kein Loch. Obwohl das löchrige Flugzeug auf jeden Fall ziemlich lustig ist.

In manchen Fällen ist es zweckmäßig, zur Bezeichnung von Ebenen dieselben griechischen Buchstaben mit niedrigeren Indizes zu verwenden, zum Beispiel .

Es ist offensichtlich, dass die Ebene eindeutig durch drei verschiedene Punkte definiert ist, die nicht auf derselben Linie liegen. Daher sind dreibuchstabige Bezeichnungen von Flugzeugen sehr beliebt, beispielsweise anhand der dazugehörigen Punkte usw. Oft werden Buchstaben in Klammern gesetzt: , um die Ebene nicht mit einer anderen geometrischen Figur zu verwechseln.

Für erfahrene Leser werde ich geben Schnellzugriffsmenü:

• Wie erstellt man eine Gleichung einer Ebene aus einem Punkt und zwei Vektoren?
• Wie erstellt man eine Gleichung einer Ebene aus einem Punkt und einem Normalenvektor?

und wir werden nicht in langem Warten schmachten:

Allgemeine Ebenengleichung

Die allgemeine Gleichung der Ebene hat die Form, wobei die Koeffizienten gleichzeitig ungleich Null sind.

Eine Reihe theoretischer Berechnungen und praktischer Probleme gelten sowohl für die übliche Orthonormalbasis als auch für die affine Basis des Raums (wenn das Öl Öl ist, kehren Sie zur Lektion zurück Lineare (Nicht-)Abhängigkeit von Vektoren. Basis von Vektoren). Der Einfachheit halber gehen wir davon aus, dass alle Ereignisse in einer orthonormalen Basis und einem kartesischen rechtwinkligen Koordinatensystem auftreten.

Nun üben wir ein wenig unser räumliches Vorstellungsvermögen. Es ist in Ordnung, wenn Ihres schlecht ist, jetzt werden wir es ein wenig weiterentwickeln. Auch das Spielen auf Nerven erfordert Training.

Im allgemeinsten Fall, wenn die Zahlen ungleich Null sind, schneidet die Ebene alle drei Koordinatenachsen. Zum Beispiel so:

Ich wiederhole noch einmal, dass das Flugzeug in alle Richtungen unendlich weiterläuft und wir die Möglichkeit haben, nur einen Teil davon darzustellen.

Betrachten wir die einfachsten Ebenengleichungen:

Wie ist diese Gleichung zu verstehen? Denken Sie darüber nach: „Z“ ist IMMER gleich Null, für alle Werte von „X“ und „Y“. Dies ist die Gleichung der „nativen“ Koordinatenebene. Tatsächlich kann die Gleichung formal wie folgt umgeschrieben werden: , wo man deutlich sehen kann, dass es uns egal ist, welche Werte „x“ und „y“ annehmen, wichtig ist, dass „z“ gleich Null ist.

Ebenfalls:
– Gleichung der Koordinatenebene;
– Gleichung der Koordinatenebene.

Machen wir das Problem etwas komplizierter und betrachten wir eine Ebene (hier und weiter im Absatz gehen wir davon aus, dass die numerischen Koeffizienten ungleich Null sind). Schreiben wir die Gleichung in der Form um: . Wie ist es zu verstehen? „X“ ist IMMER, für alle Werte von „Y“ und „Z“, gleich einer bestimmten Zahl. Diese Ebene ist parallel zur Koordinatenebene. Beispielsweise ist eine Ebene parallel zu einer Ebene und geht durch einen Punkt.

Ebenfalls:
– Gleichung einer Ebene, die parallel zur Koordinatenebene ist;
– Gleichung einer Ebene, die parallel zur Koordinatenebene ist.

Fügen wir Mitglieder hinzu: . Die Gleichung kann wie folgt umgeschrieben werden: Das heißt, „zet“ kann alles sein. Was bedeutet das? „X“ und „Y“ sind durch die Beziehung verbunden, die eine bestimmte gerade Linie in der Ebene zeichnet (Sie werden es herausfinden Gleichung einer Geraden in einer Ebene?). Da „z“ alles sein kann, wird diese Gerade in jeder Höhe „repliziert“. Somit definiert die Gleichung eine Ebene parallel zur Koordinatenachse

Ebenfalls:
– Gleichung einer Ebene parallel zur Koordinatenachse;
– Gleichung einer Ebene, die parallel zur Koordinatenachse ist.

Wenn die freien Terme Null sind, verlaufen die Ebenen direkt durch die entsprechenden Achsen. Zum Beispiel die klassische „direkte Proportionalität“: . Zeichnen Sie eine gerade Linie in die Ebene und multiplizieren Sie sie im Geiste nach oben und unten (da „Z“ beliebig ist). Fazit: Die durch die Gleichung definierte Ebene verläuft durch die Koordinatenachse.

Wir vervollständigen die Rezension: die Gleichung der Ebene geht durch den Ursprung. Nun, hier ist es ziemlich offensichtlich, dass der Punkt diese Gleichung erfüllt.

Und schließlich der in der Zeichnung dargestellte Fall: – Die Ebene ist mit allen Koordinatenachsen befreundet, während sie immer ein Dreieck „abschneidet“, das in jedem der acht Oktanten liegen kann.

Lineare Ungleichungen im Raum

Um die Informationen zu verstehen, müssen Sie gut lernen lineare Ungleichungen in der Ebene, denn vieles wird ähnlich sein. Der Absatz wird einen kurzen Überblick mit mehreren Beispielen haben, da das Material in der Praxis recht selten ist.

Wenn die Gleichung eine Ebene definiert, dann die Ungleichungen
fragen Halbräume. Wenn die Ungleichung nicht streng ist (die letzten beiden in der Liste), dann umfasst die Lösung der Ungleichung neben dem Halbraum auch die Ebene selbst.

Beispiel 5

Finden Sie den Einheitsnormalenvektor der Ebene .

Lösung: Ein Einheitsvektor ist ein Vektor, dessen Länge eins ist. Bezeichnen wir diesen Vektor mit . Es ist absolut klar, dass die Vektoren kollinear sind:

Zuerst entfernen wir den Normalenvektor aus der Gleichung der Ebene: .

Wie finde ich einen Einheitsvektor? Um den Einheitsvektor zu finden, benötigen Sie jeden Teilen Sie die Vektorkoordinate durch die Vektorlänge.

Schreiben wir den Normalenvektor in der Form um und ermitteln seine Länge:

Gemäß dem oben Gesagten:

Antwort:

Verifizierung: was verifiziert werden musste.

Leser, die den letzten Absatz der Lektion sorgfältig studiert haben, haben das wahrscheinlich bemerkt Die Koordinaten des Einheitsvektors sind genau die Richtungskosinusse des Vektors:

Machen wir eine Pause vom vorliegenden Problem: wenn Sie einen beliebigen Vektor ungleich Null erhalten, und je nach Bedingung ist es erforderlich, seinen Richtungskosinus zu finden (siehe die letzten Aufgaben der Lektion). Skalarprodukt von Vektoren), dann finden Sie tatsächlich einen Einheitsvektor, der kollinear zu diesem ist. Eigentlich zwei Aufgaben in einer Flasche.

Die Notwendigkeit, den Einheitsnormalenvektor zu finden, entsteht bei einigen Problemen der mathematischen Analyse.

Wir haben herausgefunden, wie man einen Normalenvektor herausfischt. Beantworten wir nun die entgegengesetzte Frage:

Wie erstellt man eine Gleichung einer Ebene aus einem Punkt und einem Normalenvektor?

Diese starre Konstruktion aus einem Normalenvektor und einem Punkt ist von der Dartscheibe gut bekannt. Bitte strecken Sie Ihre Hand nach vorne und wählen Sie gedanklich einen beliebigen Punkt im Raum aus, zum Beispiel eine kleine Katze im Sideboard. Offensichtlich können Sie durch diesen Punkt eine einzelne Ebene senkrecht zu Ihrer Hand zeichnen.

Die Gleichung einer Ebene, die durch einen Punkt senkrecht zum Vektor verläuft, wird durch die Formel ausgedrückt: