Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion. Verwenden der Ableitung, um den größten und kleinsten Wert einer stetigen Funktion in einem Intervall zu ermitteln

Manchmal gibt es in den Aufgaben B14 „schlechte“ Funktionen, für die es schwierig ist, eine Ableitung zu finden. Früher geschah dies nur bei Probeprüfungen, mittlerweile sind diese Aufgaben so alltäglich, dass sie bei der Vorbereitung auf das echte Einheitliche Staatsexamen nicht mehr außer Acht gelassen werden können. In diesem Fall funktionieren andere Techniken, darunter die Monotonie. Definition Eine Funktion f (x) heißt auf der Strecke monoton wachsend, wenn für beliebige Punkte x 1 und x 2 dieser Strecke gilt: x 1

Definition. Eine Funktion f (x) heißt auf dem Segment monoton fallend, wenn für beliebige Punkte x 1 und x 2 dieses Segments gilt: x 1 f (x 2). Mit anderen Worten: Für eine zunehmende Funktion gilt: Je größer x, desto größer f(x). Für eine abnehmende Funktion gilt das Gegenteil: Je größer x, desto kleiner f(x).

Beispiele. Der Logarithmus nimmt monoton zu, wenn die Basis a > 1 ist, und nimmt monoton ab, wenn 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0) 1 und nimmt monoton ab, wenn 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> 1, und nimmt monoton ab, wenn 0 0. f (x) = log a x (a > 0 ; a 1; x > 0)"> 1 und nimmt monoton ab, wenn 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)" title="Beispiele) Der Logarithmus steigt monoton, wenn die Basis a > 1, und monoton abnehmend, wenn 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> title="Beispiele. Der Logarithmus nimmt monoton zu, wenn die Basis a > 1 ist, und nimmt monoton ab, wenn 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> !}

Beispiele. Exponentialfunktion verhält sich ähnlich wie ein Logarithmus: Er nimmt zu, wenn a > 1 ist, und nimmt ab, wenn 0 0: 1 und verringert sich bei 0 0:"> 1 und verringert sich bei 0 0:"> 1 und verringert sich bei 0 0:" title="Beispiele. Die Exponentialfunktion verhält sich ähnlich wie der Logarithmus: Sie nimmt für a > 1 zu und nimmt für 0 0 ab:"> title="Beispiele. Die Exponentialfunktion verhält sich ähnlich wie der Logarithmus: Sie nimmt für a > 1 zu und für 0 0 ab:"> !}

0) oder nach unten (eine 0) oder nach unten (eine 9). Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel Am häufigsten wird das Argument der Funktion durch ein quadratisches Trinom der Form ersetzt. Ihr Graph ist eine Standardparabel, bei der wir uns für die Äste interessieren: Die Äste der Parabel können nach oben gehen (z a > 0) oder nach unten (a 0) oder nach unten (a 0) oder nach unten (a 0) oder nach unten (a 0) oder nach unten (a 0) oder nach unten (a 0) oder nach unten (a title="(! SPRACHE: Koordinaten des Scheitelpunkts einer Parabel Am häufigsten wird das Argument der Funktion durch ein quadratisches Trinom der Form ersetzt. Ihr Graph ist eine Standardparabel, deren Äste uns interessieren: Die Äste einer Parabel können nach oben gehen (für a > 0) oder nach unten (a

Die Problemstellung enthält kein Segment. Daher besteht keine Notwendigkeit, f(a) und f(b) zu berechnen. Es bleiben nur noch die Extrempunkte zu betrachten; Aber es gibt nur einen solchen Punkt – den Scheitelpunkt der Parabel x 0, deren Koordinaten buchstäblich mündlich und ohne Ableitungen berechnet werden.

Dadurch wird die Lösung des Problems stark vereinfacht und besteht aus nur zwei Schritten: Schreiben Sie die Gleichung der Parabel auf und ermitteln Sie ihren Scheitelpunkt mit der Formel: Finden Sie den Wert der ursprünglichen Funktion an diesem Punkt: f (x 0). Wenn nein zusätzliche Bedingungen Nein, das wird die Antwort sein.

0. Scheitelpunkt der Parabel: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" title="Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion: Lösung: Unter der Wurzel ist quadratische Funktion Der Graph dieser Parabelfunktion hat Aufwärtszweige, da der Koeffizient a = 1 > 0 ist. Oberseite der Parabel: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" class="link_thumb "> 18 Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion: Lösung: Unter der Wurzel liegt eine quadratische Funktion. Der Graph dieser Funktion ist eine Parabel mit Verzweigungen nach oben, da der Koeffizient a = 1 > 0 ist. Scheitelpunkt der Parabel: x 0 = b/ (2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3 0. Spitze der Parabel: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> 0. Spitze der Parabel: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> 0. Scheitelpunkt der Parabel: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" title="Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion: Lösung: Unter der Wurzel liegt eine quadratische Funktion. Der Graph dieser Funktion ist eine Parabel mit Verzweigungen nach oben, da der Koeffizient a = 1 > 0 ist. Der Scheitelpunkt der Parabel: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> title="Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion: Lösung: Unter der Wurzel liegt eine quadratische Funktion. Der Graph dieser Funktion ist eine Parabel mit Verzweigungen nach oben, da der Koeffizient a = 1 > 0 ist. Scheitelpunkt der Parabel: x 0 = b/ (2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> !}

Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion: Lösung Unter dem Logarithmus ist wieder die quadratische Funktion. Der Graph der Parabel hat Zweige nach oben, weil a = 1 > 0. Scheitelpunkt der Parabel: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1 0. Spitze der Parabel: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> 0. Spitze der Parabel: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> 0. Scheitelpunkt der Parabel: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1" title="Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion: Lösung Unter dem Logarithmus liegt wieder eine quadratische Funktion vor. Der Graph der Parabel hat aufwärts gerichtete Äste, weil a = 1 > 0. Der Scheitelpunkt der Parabel: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1 ) = 2/2 = 1"> title="Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion: Lösung Unter dem Logarithmus ist wieder die quadratische Funktion. Der Graph der Parabel hat Zweige nach oben, weil a = 1 > 0. Scheitelpunkt der Parabel: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> !}

Finden Höchster Wert Funktionen: Lösung: Der Indikator enthält eine quadratische Funktion. Schreiben wir ihn in Normalform um: Offensichtlich ist der Graph dieser Funktion eine Parabel, die nach unten verzweigt (a = 1).

Folgerungen aus dem Funktionsbereich Manchmal reicht es zur Lösung von Problem B14 nicht aus, einfach den Scheitelpunkt der Parabel zu finden. Der gewünschte Wert liegt möglicherweise am Ende des Segments und überhaupt nicht am Extrempunkt. Wenn das Problem überhaupt kein Segment spezifiziert, schauen wir uns den Bereich zulässiger Werte der Originalfunktion an. Nämlich:

0 2. Arithmetik Quadratwurzel existiert nur aus nicht negativen Zahlen: 3. Der Nenner des Bruchs darf nicht Null sein:" title="1. Das Argument des Logarithmus muss positiv sein: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Die arithmetische Quadratwurzel existiert nur aus nicht negativen Zahlen: 3. Der Nenner des Bruchs darf nicht gleich Null sein:" class="link_thumb"> 26 !} 1. Das Argument des Logarithmus muss positiv sein: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Die arithmetische Quadratwurzel existiert nur aus nichtnegativen Zahlen: 3. Der Nenner des Bruchs darf nicht Null sein: 0 2. Die arithmetische Quadratwurzel existiert nur aus nicht negativen Zahlen: 3. Der Nenner eines Bruchs darf nicht gleich Null sein: "> 0 2. Die arithmetische Quadratwurzel existiert nur aus nicht negativen Zahlen: 3. Der Nenner eines Bruchs darf nicht gleich Null sein: "> 0 2. Arithmetik Die Quadratwurzel existiert nur aus nicht negativen Zahlen: 3. Der Nenner des Bruchs darf nicht Null sein:" title="1. Die Argument des Logarithmus muss positiv sein: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Arithmetisches Quadrat Die Wurzel existiert nur aus nichtnegativen Zahlen: 3. Der Nenner des Bruchs darf nicht gleich Null sein:"> title="1. Das Argument des Logarithmus muss positiv sein: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Die arithmetische Quadratwurzel existiert nur aus nichtnegativen Zahlen: 3. Der Nenner des Bruchs darf nicht Null sein:"> !}

Lösung Unter der Wurzel liegt wiederum eine quadratische Funktion. Sein Graph ist parabolisch, aber die Äste sind nach unten gerichtet, da a = 1
Suchen wir nun den Scheitelpunkt der Parabel: x 0 = b/(2a) = (2)/(2 · (1)) = 2/(2) = 1 Der Punkt x 0 = 1 gehört zum Segment ODZ und das ist Gut. Jetzt berechnen wir den Wert der Funktion am Punkt x 0 sowie an den Enden der ODZ: y(3) = y(1) = 0 Wir haben also die Zahlen 2 und 0 erhalten. Wir werden gebeten, zu finden die größte Zahl 2. Antwort: 2

Bitte beachten Sie: Die Ungleichung ist streng, daher gehören die Enden nicht zur ODZ. Dies unterscheidet den Logarithmus von der Wurzel, wo uns die Enden des Segments recht gut passen. Wir suchen den Scheitelpunkt der Parabel: x 0 = b/(2a) = 6/(2 · (1)) = 6/(2) = 3 Der Scheitelpunkt der Parabel passt zur ODZ: x 0 = 3 ( 15). Da uns aber die Enden des Segments nicht interessieren, berechnen wir den Wert der Funktion nur am Punkt x 0:

Y min = y(3) = log 0,5 (6 ) = = log 0,5 (18 9 5) = log 0,5 4 = 2 Antwort: -2

In der Praxis ist es durchaus üblich, die Ableitung zu verwenden, um den größten und kleinsten Wert einer Funktion zu berechnen. Wir führen diese Aktion durch, wenn wir herausfinden, wie wir Kosten minimieren, Gewinne steigern, die optimale Produktionsbelastung berechnen usw., also in Fällen, in denen wir den optimalen Wert eines Parameters bestimmen müssen. Um solche Probleme richtig zu lösen, müssen Sie die größten und kleinsten Werte einer Funktion genau kennen.

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Normalerweise definieren wir diese Werte innerhalb eines bestimmten Intervalls x, das wiederum dem gesamten Funktionsbereich oder einem Teil davon entsprechen kann. Es kann wie ein Segment sein [a; b ] und offenes Intervall (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), unendliches Intervall (a ; b), (a ; b ], [ a ; b) oder unendliches Intervall - ∞ ; a, (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

In diesem Material erklären wir Ihnen, wie Sie den größten und kleinsten Wert einer explizit definierten Funktion mit einer Variablen y=f(x) y = f (x) berechnen.

Grundlegende Definitionen

Beginnen wir wie immer mit der Formulierung grundlegender Definitionen.

Definition 1

Der größte Wert der Funktion y = f (x) in einem bestimmten Intervall x ist der Wert m a x y = f (x 0) x ∈ X, was für jeden Wert x x ∈ X, x ≠ x 0 die Ungleichung f (x) ergibt ≤ f (x) gültig 0) .

Definition 2

Der kleinste Wert der Funktion y = f (x) in einem bestimmten Intervall x ist der Wert m i n x ∈ X y = f (x 0) , was für jeden Wert x ∈ X, x ≠ x 0 die Ungleichung f(X f) ergibt (x) ≥ f (x 0) .

Diese Definitionen sind ziemlich offensichtlich. Noch einfacher können wir sagen: Der größte Wert einer Funktion ist ihr größter Wert sehr wichtig auf einem bekannten Intervall bei Abszisse x 0, und der kleinste ist der kleinste akzeptierte Wert auf demselben Intervall bei x 0.

Definition 3

Stationäre Punkte sind die Werte des Arguments einer Funktion, bei denen ihre Ableitung 0 wird.

Warum müssen wir wissen, was stationäre Punkte sind? Um diese Frage zu beantworten, müssen wir uns an den Satz von Fermat erinnern. Daraus folgt, dass ein stationärer Punkt der Punkt ist, an dem sich das Extremum der differenzierbaren Funktion befindet (d. h. ihr lokales Minimum oder Maximum). Folglich nimmt die Funktion in einem bestimmten Intervall genau an einem der stationären Punkte den kleinsten oder größten Wert an.

Eine Funktion kann den größten oder kleinsten Wert auch an den Stellen annehmen, an denen die Funktion selbst definiert ist und ihre erste Ableitung nicht existiert.

Die erste Frage, die sich beim Studium dieses Themas stellt: Können wir in allen Fällen den größten oder kleinsten Wert einer Funktion in einem bestimmten Intervall bestimmen? Nein, das können wir nicht tun, wenn die Grenzen eines bestimmten Intervalls mit den Grenzen des Definitionsbereichs übereinstimmen oder wenn es sich um ein unendliches Intervall handelt. Es kommt auch vor, dass eine Funktion in einem bestimmten Segment oder im Unendlichen unendlich klein oder unendlich ist große Werte. In diesen Fällen ist es nicht möglich, den größten und/oder kleinsten Wert zu ermitteln.

Diese Punkte werden durch die Darstellung in den Grafiken klarer:

Die erste Abbildung zeigt uns eine Funktion, die das größte und annimmt kleinster Wert(m a x y und m i n y) an stationären Punkten auf dem Segment [ - 6 ; 6].

Lassen Sie uns den in der zweiten Grafik dargestellten Fall im Detail untersuchen. Ändern wir den Wert des Segments in [ 1 ; 6 ] und wir stellen fest, dass der maximale Wert der Funktion an dem Punkt erreicht wird, an dem die Abszisse am rechten Rand des Intervalls liegt, und der minimale Wert am stationären Punkt.

In der dritten Abbildung stellen die Abszissen der Punkte die Randpunkte des Segments dar [ - 3 ; 2]. Sie entsprechen dem größten und kleinsten Wert einer gegebenen Funktion.

Schauen wir uns nun das vierte Bild an. Darin nimmt die Funktion m a x y (den größten Wert) und m i n y (den kleinsten Wert) an stationären Punkten im offenen Intervall (- 6; 6) an.

Wenn wir das Intervall [ 1 ; 6), dann können wir sagen, dass der kleinste Wert der darauf befindlichen Funktion an einem stationären Punkt erreicht wird. Der größte Wert wird uns unbekannt sein. Die Funktion könnte ihren Maximalwert bei x gleich 6 annehmen, wenn x = 6 zum Intervall gehörte. Genau das ist in Grafik 5 dargestellt.

In Grafik 6 erhält diese Funktion ihren kleinsten Wert an der rechten Grenze des Intervalls (- 3; 2 ], und wir können keine eindeutigen Schlussfolgerungen über den größten Wert ziehen.

In Abbildung 7 sehen wir, dass die Funktion m a x y an einem stationären Punkt hat, dessen Abszisse gleich 1 ist. Die Funktion erreicht ihren Minimalwert am Rand des Intervalls c rechte Seite. Bei minus Unendlich nähern sich die Funktionswerte asymptotisch y = 3.

Nehmen wir das Intervall x ∈ 2 ; + ∞ , dann werden wir sehen, dass die gegebene Funktion weder den kleinsten noch den größten Wert annimmt. Wenn x gegen 2 tendiert, tendieren die Werte der Funktion gegen minus Unendlich, da die Gerade x = 2 eine vertikale Asymptote ist. Wenn die Abszisse gegen Unendlich tendiert, nähern sich die Funktionswerte asymptotisch y = 3. Dies ist genau der in Abbildung 8 dargestellte Fall.

In diesem Absatz stellen wir die Abfolge von Aktionen vor, die ausgeführt werden müssen, um den größten oder kleinsten Wert einer Funktion in einem bestimmten Segment zu finden.

1. Lassen Sie uns zunächst den Definitionsbereich der Funktion ermitteln. Prüfen wir, ob das in der Bedingung angegebene Segment darin enthalten ist.
2. Berechnen wir nun die in diesem Segment enthaltenen Punkte, an denen die erste Ableitung nicht existiert. Am häufigsten sind sie in Funktionen zu finden, deren Argument unter dem Modulzeichen geschrieben ist, oder in Potenzfunktionen, deren Exponent eine gebrochen rationale Zahl ist.
3. Als nächstes werden wir herausfinden, welche stationären Punkte in das gegebene Segment fallen. Dazu müssen Sie die Ableitung der Funktion berechnen, sie dann mit 0 gleichsetzen, die resultierende Gleichung lösen und dann die entsprechenden Wurzeln auswählen. Wenn wir keinen einzigen stationären Punkt erhalten oder diese nicht in das angegebene Segment fallen, fahren wir mit dem nächsten Schritt fort.
4. Wir bestimmen, welche Werte die Funktion an bestimmten stationären Punkten (falls vorhanden) oder an den Punkten annimmt, an denen die erste Ableitung nicht existiert (falls vorhanden), oder wir berechnen die Werte für x = a und x = b.
5. 5. Wir haben eine Reihe von Funktionswerten, aus denen wir nun den größten und den kleinsten auswählen müssen. Dies sind die größten und kleinsten Werte der Funktion, die wir finden müssen.

Sehen wir uns an, wie Sie diesen Algorithmus bei der Lösung von Problemen richtig anwenden.

Beispiel 1

Zustand: die Funktion y = x 3 + 4 x 2 ist gegeben. Bestimmen Sie den größten und kleinsten Wert auf den Segmenten [ 1 ; 4 ] und [ - 4 ; - 1 ] .

Lösung:

Beginnen wir damit, den Definitionsbereich einer gegebenen Funktion zu finden. In diesem Fall handelt es sich um die Menge aller reellen Zahlen außer 0. Mit anderen Worten, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . Beide in der Bedingung angegebenen Segmente liegen innerhalb des Definitionsbereichs.

Nun berechnen wir die Ableitung der Funktion nach der Regel der Bruchdifferenzierung:

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Wir haben gelernt, dass die Ableitung einer Funktion an allen Punkten der Segmente [ 1 ; 4 ] und [ - 4 ; - 1 ] .

Jetzt müssen wir die stationären Punkte der Funktion bestimmen. Machen wir das mit der Gleichung x 3 - 8 x 3 = 0. Es hat nur eine echte Wurzel, nämlich 2. Es wird ein stationärer Punkt der Funktion sein und in das erste Segment [1; 4 ] .

Berechnen wir die Werte der Funktion an den Enden des ersten Segments und an diesem Punkt, d.h. für x = 1, x = 2 und x = 4:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Wir haben herausgefunden, dass der größte Wert der Funktion m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 wird bei x = 1 erreicht, und das kleinste m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – bei x = 2.

Das zweite Segment enthält keinen einzigen stationären Punkt, daher müssen wir die Funktionswerte nur an den Enden des gegebenen Segments berechnen:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Das bedeutet m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Antwort: Für das Segment [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , für das Segment [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Siehe Bild:

Bevor Sie lernen diese Methode Wir empfehlen Ihnen, sich mit der korrekten Berechnung des einseitigen Grenzwerts und des Grenzwerts im Unendlichen zu befassen und sich mit den grundlegenden Methoden zu dessen Ermittlung vertraut zu machen. Um den größten und/oder kleinsten Wert einer Funktion in einem offenen oder unendlichen Intervall zu ermitteln, führen Sie die folgenden Schritte nacheinander aus.

1. Zunächst müssen Sie prüfen, ob das angegebene Intervall eine Teilmenge des Definitionsbereichs der angegebenen Funktion ist.
2. Bestimmen wir alle Punkte, die im gewünschten Intervall enthalten sind und an denen die erste Ableitung nicht existiert. Sie treten normalerweise bei Funktionen auf, bei denen das Argument im Modulzeichen eingeschlossen ist, und bei Potenzfunktionen mit einem gebrochenrationalen Exponenten. Fehlen diese Punkte, können Sie mit dem nächsten Schritt fortfahren.
3. Lassen Sie uns nun bestimmen, welche stationären Punkte in das angegebene Intervall fallen. Zuerst setzen wir die Ableitung mit 0 gleich, lösen die Gleichung und wählen geeignete Wurzeln aus. Wenn wir keinen einzigen stationären Punkt haben oder dieser nicht in das angegebene Intervall fällt, fahren wir sofort mit weiteren Aktionen fort. Sie werden durch die Art des Intervalls bestimmt.

• Wenn das Intervall die Form [ a ; b) , dann müssen wir den Wert der Funktion am Punkt x = a und dem einseitigen Grenzwert lim x → b - 0 f (x) berechnen.
• Wenn das Intervall die Form (a; b ] hat, müssen wir den Wert der Funktion am Punkt x = b und dem einseitigen Grenzwert lim x → a + 0 f (x) berechnen.
• Wenn das Intervall die Form (a; b) hat, müssen wir die einseitigen Grenzen lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x) berechnen.
• Wenn das Intervall die Form [ a ; + ∞), dann müssen wir den Wert am Punkt x = a und den Grenzwert bei plus unendlich lim x → + ∞ f (x) berechnen.
• Wenn das Intervall wie folgt aussieht (- ∞ ; b ] , berechnen wir den Wert am Punkt x = b und den Grenzwert bei minus Unendlich lim x → - ∞ f (x) .
• Wenn - ∞ ; b , dann betrachten wir den einseitigen Grenzwert lim x → b - 0 f (x) und den Grenzwert bei minus Unendlich lim x → - ∞ f (x)
• Wenn - ∞; + ∞ , dann betrachten wir die Grenzen für minus und plus unendlich lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

1. Am Ende müssen Sie auf der Grundlage der erhaltenen Funktionswerte und -grenzen eine Schlussfolgerung ziehen. Hier stehen Ihnen viele Optionen zur Verfügung. Wenn also der einseitige Grenzwert gleich minus Unendlich oder plus Unendlich ist, dann ist sofort klar, dass über den kleinsten und größten Wert der Funktion nichts gesagt werden kann. Im Folgenden betrachten wir ein typisches Beispiel. Detaillierte Beschreibungen wird Ihnen helfen zu verstehen, was was ist. Bei Bedarf können Sie zu den Abbildungen 4 – 8 im ersten Teil des Materials zurückkehren.

Bedingung: gegebene Funktion y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Berechnen Sie seinen größten und kleinsten Wert in den Intervallen - ∞ ; - 4, - ∞; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; + ∞) .

Lösung

Zunächst ermitteln wir den Definitionsbereich der Funktion. Der Nenner des Bruchs enthält ein quadratisches Trinom, das nicht zu 0 werden sollte:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Wir haben den Definitionsbereich der Funktion erhalten, zu dem alle in der Bedingung angegebenen Intervalle gehören.

Lassen Sie uns nun die Funktion differenzieren und erhalten:

y" = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6 " (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 ​​​​x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Folglich existieren Ableitungen einer Funktion in ihrem gesamten Definitionsbereich.

Fahren wir mit der Suche nach stationären Punkten fort. Die Ableitung der Funktion wird bei x = - 1 2 0. Dies ist ein stationärer Punkt, der in den Intervallen (- 3 ; 1 ] und (- 3 ; 2) liegt.

Berechnen wir den Wert der Funktion bei x = - 4 für das Intervall (- ∞ ; - 4 ] sowie den Grenzwert bei minus Unendlich:

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Da 3 e 1 6 - 4 > - 1, bedeutet dies, dass m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Dadurch können wir den kleinsten Wert von nicht eindeutig bestimmen Funktion. Wir können nur schlussfolgern, dass unterhalb von - 1 eine Einschränkung vorliegt, da sich die Funktion diesem Wert asymptotisch bei minus Unendlich annähert.

Die Besonderheit des zweiten Intervalls besteht darin, dass es darin keinen einzigen stationären Punkt und keine einzige strenge Grenze gibt. Folglich können wir weder den größten noch den kleinsten Wert der Funktion berechnen. Nachdem wir den Grenzwert bei minus Unendlich definiert haben und das Argument auf der linken Seite zu -3 tendiert, erhalten wir nur ein Werteintervall:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Dies bedeutet, dass die Funktionswerte im Intervall - 1 liegen; +∞

Um den größten Wert der Funktion im dritten Intervall zu finden, bestimmen wir ihren Wert am stationären Punkt x = - 1 2, wenn x = 1. Wir müssen auch den einseitigen Grenzwert für den Fall kennen, wenn das Argument auf der rechten Seite zu -3 tendiert:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Es stellte sich heraus, dass die Funktion an einem stationären Punkt m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 den größten Wert annimmt. Den kleinsten Wert können wir nicht bestimmen. Alles was wir wissen , ist das Vorhandensein einer Untergrenze von -4.

Nehmen Sie für das Intervall (- 3 ; 2) die Ergebnisse der vorherigen Berechnung und berechnen Sie erneut, wie groß die einseitige Grenze ist, wenn Sie auf der linken Seite zu 2 tendieren:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

Dies bedeutet, dass m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 und der kleinste Wert nicht bestimmt werden kann und die Werte der Funktion von unten durch die Zahl - 4 begrenzt werden .

Basierend auf dem, was wir in den beiden vorherigen Berechnungen erhalten haben, können wir sagen, dass für das Intervall [ 1 ; 2) Die Funktion nimmt bei x = 1 den größten Wert an, es ist jedoch unmöglich, den kleinsten zu finden.

Auf dem Intervall (2 ; + ∞) wird die Funktion weder den größten noch den kleinsten Wert erreichen, d.h. es werden Werte aus dem Intervall - 1 angenommen; + ∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Nachdem wir den Wert der Funktion bei x = 4 berechnet haben, finden wir heraus, dass m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , und die gegebene Funktion bei plus Unendlich nähert sich asymptotisch der Geraden y = - 1 .

Vergleichen wir das, was wir in jeder Berechnung erhalten haben, mit dem Diagramm der gegebenen Funktion. In der Abbildung sind die Asymptoten durch gestrichelte Linien dargestellt.

Das ist alles, was wir Ihnen über das Ermitteln der größten und kleinsten Werte einer Funktion sagen wollten. Die von uns angegebenen Handlungsabläufe helfen Ihnen, die notwendigen Berechnungen so schnell und einfach wie möglich durchzuführen. Denken Sie jedoch daran, dass es oft nützlich ist, zunächst herauszufinden, in welchen Intervallen die Funktion abnimmt und in welchen sie zunimmt. Anschließend können Sie weitere Schlussfolgerungen ziehen. Auf diese Weise können Sie die größten und kleinsten Werte der Funktion genauer bestimmen und die erhaltenen Ergebnisse begründen.

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Die Suche nach den kleinsten und größten Werten einer Funktion auf einem Segment erinnert an einen faszinierenden Flug um ein Objekt (Funktionsgraph) mit einem Hubschrauber, bei dem man mit einer Langstreckenkanone auf bestimmte Punkte feuert und ganz besondere Punkte auswählt von diesen Punkten aus für Kontrollschüsse. Punkte werden auf eine bestimmte Art und Weise und nach bestimmten Regeln ausgewählt. Nach welchen Regeln? Wir werden weiter darüber sprechen.

Wenn die Funktion j = F(X) ist stetig im Intervall [ A, B] , dann erreicht es dieses Segment am wenigsten Und höchste Werte . Dies kann entweder in geschehen Extrempunkte oder an den Enden des Segments. Daher zu finden am wenigsten Und die größten Werte der Funktion , kontinuierlich im Intervall [ A, B] , müssen Sie seine Werte insgesamt berechnen kritische Punkte und an den Enden des Segments, und wählen Sie dann das kleinste und größte davon aus.

Angenommen, Sie möchten den größten Wert der Funktion ermitteln F(X) auf dem Segment [ A, B] . Dazu müssen Sie alle kritischen Punkte finden, die auf [ A, B] .

Kritischer Punkt nennt man den Punkt, an dem Funktion definiert, und sie Derivat entweder gleich Null oder nicht vorhanden. Dann sollten Sie die Werte der Funktion an den kritischen Punkten berechnen. Und schließlich sollte man die Werte der Funktion an kritischen Punkten und an den Enden des Segments vergleichen ( F(A) Und F(B)). Die größte dieser Zahlen wird sein der größte Wert der Funktion im Segment [A, B] .

Probleme beim Finden kleinste Funktionswerte .

Wir suchen gemeinsam nach dem kleinsten und größten Wert der Funktion

Beispiel 1. Finden Sie den kleinsten und größten Wert einer Funktion auf dem Segment [-1, 2] .

Lösung. Finden Sie die Ableitung dieser Funktion. Setzen wir die Ableitung mit Null () gleich und erhalten zwei kritische Punkte: und . Um die kleinsten und größten Werte einer Funktion auf einem bestimmten Segment zu finden, reicht es aus, ihre Werte an den Enden des Segments und am Punkt zu berechnen, da der Punkt nicht zum Segment gehört [-1, 2]. Diese Funktionswerte sind: , , . Es folgt dem kleinster Funktionswert(im Diagramm unten rot angezeigt), gleich -7, wird am rechten Ende des Segments erreicht - am Punkt , und größte(in der Grafik ebenfalls rot), beträgt am kritischen Punkt 9,-.

Wenn eine Funktion in einem bestimmten Intervall stetig ist und dieses Intervall kein Segment ist (sondern z. B. ein Intervall ist); der Unterschied zwischen einem Intervall und einem Segment: Die Randpunkte des Intervalls sind nicht im Intervall enthalten, sondern die Randpunkte des Segments sind im Segment enthalten), dann darf es unter den Werten der Funktion nicht den kleinsten und den größten geben. So ist beispielsweise die in der Abbildung unten gezeigte Funktion stetig auf ]-∞, +∞[ und hat nicht den größten Wert.

Für jedes Intervall (geschlossen, offen oder unendlich) gilt jedoch die folgende Eigenschaft stetiger Funktionen.

Beispiel 4. Finden Sie den kleinsten und größten Wert einer Funktion auf dem Segment [-1, 3] .

Lösung. Die Ableitung dieser Funktion finden wir als Ableitung des Quotienten:

.

Wir setzen die Ableitung mit Null gleich, was uns einen kritischen Punkt gibt: . Es gehört zum Segment [-1, 3] . Um die kleinsten und größten Werte einer Funktion auf einem bestimmten Segment zu finden, ermitteln wir ihre Werte an den Enden des Segments und am gefundenen kritischen Punkt:

Vergleichen wir diese Werte. Fazit: gleich -5/13, an Punkt und Höchster Wert gleich 1 am Punkt .

Wir suchen weiterhin gemeinsam nach den kleinsten und größten Werten der Funktion

Es gibt Lehrer, die den Schülern beim Thema Finden der kleinsten und größten Werte einer Funktion keine Lösungsbeispiele geben, die komplexer sind als die gerade besprochenen, also solche, bei denen die Funktion ein Polynom oder a ist Bruch, dessen Zähler und Nenner Polynome sind. Aber wir werden uns nicht auf solche Beispiele beschränken, denn unter den Lehrern gibt es solche, die die Schüler gerne zum vollständigen Denken zwingen (die Ableitungstabelle). Daher werden der Logarithmus und die trigonometrische Funktion verwendet.

Beispiel 6. Finden Sie den kleinsten und größten Wert einer Funktion auf dem Segment .

Lösung. Wir finden die Ableitung dieser Funktion als Derivat des Produkts :

Wir setzen die Ableitung mit Null gleich, was einen kritischen Punkt ergibt: . Es gehört zum Segment. Um die kleinsten und größten Werte einer Funktion auf einem bestimmten Segment zu finden, ermitteln wir ihre Werte an den Enden des Segments und am gefundenen kritischen Punkt:

Ergebnis aller Aktionen: Die Funktion erreicht ihren Minimalwert, gleich 0, am Punkt und am Punkt und Höchster Wert, gleich e², an der Stelle.

Beispiel 7. Finden Sie den kleinsten und größten Wert einer Funktion auf dem Segment .

Lösung. Finden Sie die Ableitung dieser Funktion:

Wir setzen die Ableitung mit Null gleich:

Der einzige kritische Punkt betrifft das Segment. Um die kleinsten und größten Werte einer Funktion auf einem bestimmten Segment zu finden, ermitteln wir ihre Werte an den Enden des Segments und am gefundenen kritischen Punkt:

Abschluss: Die Funktion erreicht ihren Minimalwert, gleich , am Punkt und Höchster Wert, gleich , an der Stelle .

Bei angewandten Extremalproblemen kommt es beim Finden der kleinsten (maximalen) Werte einer Funktion in der Regel darauf an, das Minimum (Maximum) zu finden. Aber nicht die Minima oder Maxima selbst sind von größerem praktischen Interesse, sondern die Werte des Arguments, bei denen sie erreicht werden. Bei der Lösung angewandter Probleme entsteht eine zusätzliche Schwierigkeit: das Zusammenstellen von Funktionen, die das betrachtete Phänomen oder den betrachteten Prozess beschreiben.

Beispiel 8. Ein Tank mit einem Fassungsvermögen von 4 Litern, der die Form eines Parallelepipeds mit quadratischer Grundfläche hat und oben offen ist, muss verzinnt sein. Welche Abmessungen sollte der Tank haben, damit er Platz findet? geringste Menge Material?

Lösung. Lassen X- Basisseite, H- Tankhöhe, S- seine unbedeckte Oberfläche, V- seine Lautstärke. Die Oberfläche des Tanks wird durch die Formel ausgedrückt, d.h. ist eine Funktion zweier Variablen. Ausdrücken S Als Funktion einer Variablen nutzen wir die Tatsache, dass , von wo . Ersetzen des gefundenen Ausdrucks H in die Formel für S:

Lassen Sie uns diese Funktion bis zum Äußersten untersuchen. Es ist überall in ]0, +∞[ , und definiert und differenzierbar

.

Wir setzen die Ableitung mit Null () gleich und finden den kritischen Punkt. Wenn die Ableitung nicht existiert, ist dieser Wert außerdem nicht im Definitionsbereich enthalten und kann daher kein Extrempunkt sein. Das ist also der einzige kritische Punkt. Überprüfen wir anhand des zweiten ausreichenden Zeichens, ob ein Extremum vorliegt. Finden wir die zweite Ableitung. Wenn die zweite Ableitung größer als Null ist (). Dies bedeutet, dass die Funktion ein Minimum erreicht . Seit dem Minimum ist das einzige Extremum dieser Funktion, es ist ihr kleinster Wert. Die Seitenlänge des Tankbodens sollte also 2 m und seine Höhe 2 m betragen.

Beispiel 9. Von Punkt A Liegt direkt an der Bahnstrecke, bis zum Punkt MIT, in einiger Entfernung davon gelegen l Es muss Fracht transportiert werden. Die Kosten für den Transport einer Gewichtseinheit pro Entfernungseinheit auf der Schiene betragen , auf der Autobahn betragen sie . Bis zu welchem ​​Punkt M Linien Eisenbahn Für den Gütertransport sollte eine Autobahn gebaut werden A V MIT war am wirtschaftlichsten (Abschnitt AB wird davon ausgegangen, dass die Eisenbahnlinie gerade ist)?

Zierlich und hübsch einfache Aufgabe aus der Kategorie derjenigen, die als Rettungsring für einen schwimmenden Schüler dienen. In der Natur ist es Mitte Juli, also ist es Zeit, sich mit Ihrem Laptop am Strand niederzulassen. Am frühen Morgen begann der Sonnenstrahl der Theorie zu spielen, um sich bald auf die Praxis zu konzentrieren, die trotz der erklärten Leichtigkeit Glasscherben im Sand enthält. In diesem Zusammenhang empfehle ich Ihnen, sich gewissenhaft mit den wenigen Beispielen dieser Seite auseinanderzusetzen. Für Lösungen praktische Aufgaben muss fähig sein zu Derivate finden und den Inhalt des Artikels verstehen Monotonieintervalle und Extrema der Funktion.

Zunächst kurz zum Wesentlichen. In der Lektion über Kontinuität der Funktion Ich habe die Kontinuität an einem Punkt und die Kontinuität in einem Intervall definiert. Das beispielhafte Verhalten einer Funktion auf einem Segment wird ähnlich formuliert. Eine Funktion ist in einem Intervall stetig, wenn:

1) es ist im Intervall stetig;
2) kontinuierlich an einem Punkt rechts und zwar auf den Punkt links.

Im zweiten Absatz haben wir über das sogenannte gesprochen einseitige Kontinuität Funktionen an einem Punkt. Es gibt verschiedene Ansätze, es zu definieren, aber ich bleibe bei der Linie, die ich zuvor begonnen habe:

Die Funktion ist im Punkt stetig rechts, wenn sie an einem bestimmten Punkt definiert ist und ihr rechter Grenzwert mit dem Wert der Funktion an einem bestimmten Punkt übereinstimmt: . Es ist an der Stelle kontinuierlich links, wenn an einem bestimmten Punkt definiert und sein linker Grenzwert gleich dem Wert an diesem Punkt ist:

Stellen Sie sich vor, dass die grünen Punkte Nägel sind, an denen ein magisches Gummiband befestigt ist:

Nehmen Sie die rote Linie gedanklich in die Hand. Offensichtlich bleibt die Funktion erhalten, egal wie weit wir den Graphen nach oben und unten (entlang der Achse) strecken begrenzt– oben ein Zaun, unten ein Zaun und schon weidet unser Produkt auf der Koppel. Auf diese Weise, Eine auf einem Intervall stetige Funktion ist darauf beschränkt. Im Zuge der mathematischen Analyse wird diese scheinbar einfache Tatsache dargelegt und streng bewiesen. Der erste Satz von Weierstrass....Viele Menschen ärgern sich darüber, dass elementare Aussagen in der Mathematik mühsam begründet werden, aber das hat eine wichtige Bedeutung. Angenommen, ein bestimmter Bewohner des Frottee-Mittelalters zog einen Graphen in den Himmel, der über die Grenzen der Sichtbarkeit hinausging, und dieser wurde eingefügt. Vor der Erfindung des Teleskops war die eingeschränkte Funktion im Weltraum überhaupt nicht offensichtlich! Woher wissen Sie wirklich, was uns hinter dem Horizont erwartet? Schließlich galt die Erde einst als flach, sodass heute selbst eine gewöhnliche Teleportation einen Beweis erfordert =)

Entsprechend Der zweite Satz von Weierstrass, kontinuierlich auf einem Segmentdie Funktion erreicht ihr Ziel genaue Obergrenze und deins exakte Unterkante .

Die Nummer wird auch angerufen der maximale Wert der Funktion auf dem Segment und werden mit bezeichnet, und die Zahl ist der minimale Wert der Funktion auf dem Segment markiert.

In unserem Fall:

Notiz : Theoretisch sind Aufnahmen üblich .

Grob gesagt ist der Wert dort am größten, wo er am meisten ist Hochpunkt Grafiken, und der kleinste ist dort, wo der tiefste Punkt ist.

Wichtig! Wie bereits im Artikel über betont Extrema der Funktion, größter Funktionswert Und kleinster Funktionswert – NICHT DAS GLEICHE, Was maximale Funktion Und minimale Funktion. Im betrachteten Beispiel ist die Zahl also das Minimum der Funktion, aber nicht der Minimalwert.

Was passiert übrigens außerhalb des Segments? Ja, selbst eine Überschwemmung interessiert uns im Kontext des betrachteten Problems überhaupt nicht. Die Aufgabe besteht lediglich darin, zwei Zahlen zu finden und alle!

Darüber hinaus ist die Lösung daher rein analytisch Es ist nicht nötig, eine Zeichnung anzufertigen!

Der Algorithmus liegt an der Oberfläche und ergibt sich aus der obigen Abbildung:

1) Finden Sie die Werte der Funktion in kritische Punkte, die zu diesem Segment gehören.

Ein weiterer Vorteil: Hier ist es nicht erforderlich, die hinreichende Bedingung für ein Extremum zu prüfen, da, wie gerade gezeigt, das Vorhandensein eines Minimums oder Maximums erforderlich ist garantiert noch nicht, was ist der minimale oder maximale Wert? Die Demonstrationsfunktion erreicht ein Maximum und durch den Willen des Schicksals ist dieselbe Zahl der größte Wert der Funktion auf dem Segment. Aber natürlich kommt ein solcher Zufall nicht immer vor.

Im ersten Schritt ist es also schneller und einfacher, die Werte der Funktion an kritischen Punkten des Segments zu berechnen, ohne sich darum zu kümmern, ob sie Extrema enthalten oder nicht.

2) Wir berechnen die Werte der Funktion an den Enden des Segments.

3) Wählen Sie unter den im 1. und 2. Absatz gefundenen Funktionswerten den kleinsten und den größten aus große Nummer, schreibe die Antwort auf.

Wir setzen uns ans Ufer des blauen Meeres und schlagen mit den Absätzen ins flache Wasser:

Beispiel 1

Finden Sie den größten und kleinsten Wert einer Funktion auf einem Segment

Lösung:
1) Berechnen wir die Werte der Funktion an kritischen Punkten, die zu diesem Segment gehören:

Berechnen wir den Wert der Funktion am zweiten kritischen Punkt:

2) Berechnen wir die Werte der Funktion an den Enden des Segments:

3) „Fette“ Ergebnisse wurden mit Exponenten und Logarithmen erhalten, was ihren Vergleich erheblich erschwert. Aus diesem Grund bewaffnen wir uns mit einem Taschenrechner oder Excel und berechnen ungefähre Werte. Vergessen wir dabei nicht:

Jetzt ist alles klar.

Antwort:

Bruchrationale Instanz für unabhängige Entscheidung:

Beispiel 6

Finden Sie die Maximal- und Minimalwerte einer Funktion auf einem Segment

Wie finde ich den größten und kleinsten Wert einer Funktion in einem Segment?

Dafür Wir folgen einem bekannten Algorithmus:

1 . Finden der ODZ-Funktionen.

2 . Finden der Ableitung der Funktion

3 . Die Ableitung mit Null gleichsetzen

4 . Wir ermitteln die Intervalle, über die die Ableitung ihr Vorzeichen behält, und bestimmen daraus die Intervalle der Zunahme und Abnahme der Funktion:

Wenn im Intervall I die Ableitung der Funktion 0 ist" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} nimmt in diesem Zeitraum zu.

Wenn auf dem Intervall I die Ableitung der Funktion ist, dann ist die Funktion nimmt in diesem Zeitraum ab.

5 . Wir finden Maximal- und Minimalpunkte der Funktion.

IN Am Maximalpunkt der Funktion ändert die Ableitung das Vorzeichen von „+“ nach „-“..

IN Minimalpunkt der Funktiondie Ableitung ändert das Vorzeichen von „-“ zu „+“.

6 . Wir finden den Wert der Funktion an den Enden des Segments,

• dann vergleichen wir den Wert der Funktion an den Enden des Segments und an den Maximalpunkten und Wählen Sie den größten Wert aus, wenn Sie den größten Wert der Funktion ermitteln möchten
• oder vergleichen Sie den Wert der Funktion an den Enden des Segments und an den Mindestpunkten und Wählen Sie den kleinsten Wert aus, wenn Sie den kleinsten Wert der Funktion ermitteln möchten

Abhängig davon, wie sich die Funktion auf dem Segment verhält, kann dieser Algorithmus jedoch erheblich reduziert werden.

Betrachten Sie die Funktion . Der Graph dieser Funktion sieht folgendermaßen aus:

Schauen wir uns einige Beispiele zur Lösung von Problemen aus der Open Task Bank an

1 . Aufgabe B15 (Nr. 26695)

Auf dem Segment.

1. Die Funktion ist für alle reellen Werte von x definiert

Offensichtlich hat diese Gleichung keine Lösungen und die Ableitung ist für alle Werte von x positiv. Folglich nimmt die Funktion zu und nimmt am rechten Ende des Intervalls, also bei x=0, den größten Wert an.

Antwort: 5.

2 . Aufgabe B15 (Nr. 26702)

Finden Sie den größten Wert der Funktion auf dem Segment.

1. ODZ-Funktionen title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Die Ableitung ist bei gleich Null, ändert jedoch an diesen Punkten das Vorzeichen nicht:

Daher ist title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} steigt und nimmt den größten Wert am rechten Ende des Intervalls an, bei .

Um deutlich zu machen, warum die Ableitung das Vorzeichen nicht ändert, transformieren wir den Ausdruck für die Ableitung wie folgt:

Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Antwort: 5.

3. Aufgabe B15 (Nr. 26708)

Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion im Segment.

1. ODZ-Funktionen: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Legen wir die Wurzeln dieser Gleichung auf den trigonometrischen Kreis.

Das Intervall enthält zwei Zahlen: und

Lasst uns Schilder aufstellen. Dazu bestimmen wir das Vorzeichen der Ableitung am Punkt x=0: . Beim Durchlaufen der Punkte und ändert die Ableitung das Vorzeichen.

Stellen wir den Vorzeichenwechsel der Ableitung einer Funktion auf der Koordinatenlinie dar:

Offensichtlich ist der Punkt ein Minimalpunkt (an dem die Ableitung das Vorzeichen von „-“ zu „+“ ändert), und um den kleinsten Wert der Funktion auf dem Segment zu finden, müssen Sie die Werte der Funktion bei vergleichen am Minimalpunkt und am linken Ende des Segments, .