Monotone Funktion. Steigende, fallende und Extrema einer Funktion
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zunehmend auf dem Intervall \(X\) wenn für jedes \(x_1, x_2\in X\) so dass \(x_1 Die Funktion wird aufgerufen nicht abnehmend \(\blacktriangleright\) Die Funktion \(f(x)\) wird aufgerufen abnehmend auf dem Intervall \(X\) wenn für jedes \(x_1, x_2\in X\) so dass \(x_1 Die Funktion wird aufgerufen nicht zunehmend auf dem Intervall \(X\) wenn für jedes \(x_1, x_2\in X\) so dass \(x_1 \(\blacktriangleright\) Es werden steigende und fallende Funktionen aufgerufen streng eintönig, und nicht zunehmend und nicht abnehmend sind einfach eintönig. \(\blacktriangleright\) Grundeigenschaften: ICH. Wenn die Funktion \(f(x)\) streng monoton auf \(X\) ist, dann folgt aus der Gleichheit \(x_1=x_2\) (\(x_1,x_2\in X\) ) \(f( x_1)= f(x_2)\) und umgekehrt. Beispiel: Die Funktion \(f(x)=\sqrt x\) ist für alle \(x\in \) streng steigend, daher hat die Gleichung \(x^2=9\) höchstens eine Lösung auf diesem Intervall, oder besser gesagt: \(x=-3\) . die Funktion \(f(x)=-\dfrac 1(x+1)\) ist streng steigend für alle \(x\in (-1;+\infty)\), also ist die Gleichung \(-\dfrac 1 (x +1)=0\) hat auf diesem Intervall nicht mehr als eine Lösung, oder vielmehr keine, weil Der Zähler der linken Seite kann niemals gleich Null sein. III. Wenn die Funktion \(f(x)\) auf dem Segment \(\) nicht abnehmend (nicht steigend) und stetig ist und an den Enden des Segments die Werte \(f(a)= annimmt A, f(b)=B\) , dann hat für \(C\in \) (\(C\in \) ) die Gleichung \(f(x)=C\) immer mindestens eine Lösung. Beispiel: Die Funktion \(f(x)=x^3\) ist streng steigend (also streng monoton) und stetig für alle \(x\in\mathbb(R)\), also für jedes \(C\ in ( -\infty;+\infty)\) hat die Gleichung \(x^3=C\) genau eine Lösung: \(x=\sqrt(C)\) . Aufgabe 1 #3153 Aufgabenstufe: Einfacher als das Einheitliche Staatsexamen hat genau zwei Wurzeln. Schreiben wir die Gleichung wie folgt um: \[(3x^2)^3+3x^2=(x-a)^3+(x-a)\] Betrachten Sie die Funktion \(f(t)=t^3+t\) . Dann wird die Gleichung in der Form umgeschrieben: \ Lasst uns die Funktion \(f(t)\) untersuchen. \ Folglich nimmt die Funktion \(f(t)\) für alle \(t\) zu. Das bedeutet, dass jedem Wert der Funktion \(f(t)\) genau ein Wert des Arguments \(t\) entspricht. Damit die Gleichung Wurzeln hat, ist es daher notwendig: \
Damit die resultierende Gleichung zwei Wurzeln hat, muss ihre Diskriminante positiv sein: \
Antwort: \(\left(-\infty;\dfrac1(12)\right)\) Aufgabe 2 #2653 Aufgabenniveau: Entspricht dem Einheitlichen Staatsexamen Finden Sie alle Werte des Parameters \(a\), für den die Gleichung gilt \
hat zwei Wurzeln. (Aufgabe von Abonnenten.) Machen wir eine Ersetzung: \(ax^2-2x=t\) , \(x^2-1=u\) . Dann nimmt die Gleichung die Form an: \
Betrachten Sie die Funktion \(f(w)=7^w+\sqrtw\) . Dann nimmt unsere Gleichung die Form an: \ Finden wir die Ableitung \
Beachten Sie, dass für alle \(w\ne 0\) die Ableitung \(f"(w)>0\) ist, da \(7^w>0\) , \(w^6>0\) . Beachten Sie auch dass die Funktion \(f(w)\) selbst für alle \(w\) definiert ist. Da außerdem \(f(w)\) stetig ist, können wir schließen, dass \(f (w)\) nimmt insgesamt zu \(\mathbb(R)\) . \
Damit diese Gleichung zwei Wurzeln hat, muss sie quadratisch sein und ihre Diskriminante muss positiv sein: \[\begin(cases) a-1\ne 0\\ 4-4(a-1)>0\end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases)a\ne1\\a<2\end{cases}\]
Antwort: \((-\infty;1)\cup(1;2)\) Aufgabe 3 #3921 Aufgabenniveau: Entspricht dem Einheitlichen Staatsexamen Finden Sie alle positiven Werte des Parameters \(a\), für den die Gleichung gilt hat mindestens \(2\) Lösungen. Verschieben wir alle Terme, die \(ax\) enthalten, nach links und diejenigen, die \(x^2\) enthalten, nach rechts und betrachten wir die Funktion Dann nimmt die ursprüngliche Gleichung die Form an: Finden wir die Ableitung: Weil \((t-2)^2 \geqslant 0, \e^t>0, \1+\cos(2t) \geqslant 0\), dann \(f"(t)\geqslant 0\) für jedes \(t\in \mathbb(R)\) . Darüber hinaus gilt \(f"(t)=0\), wenn \((t-2)^2=0\) und \(1+\cos(2t)=0\) gleichzeitig, was nicht wahr ist für jedes \(t\). Daher ist \(f"(t)> 0\) für jedes \(t\in \mathbb(R)\) . Somit ist die Funktion \(f(t)\) für alle \(t\in \mathbb(R)\) streng steigend. Das bedeutet, dass die Gleichung \(f(ax)=f(x^2)\) äquivalent zur Gleichung \(ax=x^2\) ist. Die Gleichung \(x^2-ax=0\) für \(a=0\) hat eine Wurzel \(x=0\) und für \(a\ne 0\) hat sie zwei verschiedene Wurzeln \(x_1 =0 \) und \(x_2=a\) . Antwort: \((0;+\infty)\) . Aufgabe 4 #1232 Aufgabenniveau: Entspricht dem Einheitlichen Staatsexamen Finden Sie alle Werte des Parameters \(a\) , für die jeweils die Gleichung gilt \
hat eine einzigartige Lösung. Lassen Sie uns die rechte und linke Seite der Gleichung mit \(2^(\sqrt(x+1))\) multiplizieren (da \(2^(\sqrt(x+1))>0\) ) und die Gleichung neu schreiben in der Form : \
Betrachten Sie die Funktion \(y=2^t\cdot \log_(\frac(1)(9))((t+2))\) für \(t\geqslant 0\) (da \(\sqrt(x+1)\geqslant 0\) ). Derivat \(y"=\left(-2^t\cdot \log_9((t+2))\right)"=-\dfrac(2^t)(\ln9)\cdot \left(\ln 2\cdot \ln((t+2))+\dfrac(1)(t+2)\right)\). Weil \(2^t>0, \ \dfrac(1)(t+2)>0, \ \ln((t+2))>0\) für alle \(t\geqslant 0\) , dann ist \(y"<0\)
при всех \(t\geqslant 0\)
. Folglich nimmt die Funktion \(y\) mit \(t\geqslant 0\) monoton ab. Die Gleichung kann in der Form \(y(t)=y(z)\) betrachtet werden, wobei \(z=ax, t=\sqrt(x+1)\) . Aus der Monotonie der Funktion folgt, dass Gleichheit nur möglich ist, wenn \(t=z\) . Dies bedeutet, dass die Gleichung äquivalent zur Gleichung: \(ax=\sqrt(x+1)\) ist, die wiederum dem System entspricht: \[\begin(cases) a^2x^2-x-1=0\\ ax \geqslant 0 \end(cases)\] Wenn \(a=0\) hat das System eine Lösung \(x=-1\), die die Bedingung \(ax\geqslant 0\) erfüllt. Betrachten Sie den Fall \(a\ne 0\) . Diskriminante der ersten Gleichung des Systems \(D=1+4a^2>0\) für alle \(a\) . Folglich hat die Gleichung immer zwei Wurzeln \(x_1\) und \(x_2\), und diese haben unterschiedliche Vorzeichen (da nach dem Satz von Vieta \(x_1\cdot x_2=-\dfrac(1)(a^2)<0\)
). Das bedeutet, dass für \(a<0\)
условию \(ax\geqslant 0\)
подходит отрицательный корень, при \(a>0\) Die Bedingung wird durch eine positive Wurzel erfüllt. Daher verfügt das System immer über eine einzigartige Lösung. Also, \(a\in \mathbb(R)\) . Antwort: \(a\in \mathbb(R)\) . Aufgabe 5 #1234 Aufgabenniveau: Entspricht dem Einheitlichen Staatsexamen Finden Sie alle Werte des Parameters \(a\) , für die jeweils die Gleichung gilt \
hat mindestens eine Wurzel aus dem Segment \([-1;0]\) . Betrachten Sie die Funktion \(f(x)=2x^3-3x(ax+x-a^2-1)-3a-a^3\) für einige feste \(a\) . Finden wir seine Ableitung: \(f"(x)=6x^2-6ax-6x+3a^2+3=3(x^2-2ax+a^2+x^2-2x+1)=3((x-a)^2 +(x-1)^2)\). Beachten Sie, dass \(f"(x)\geqslant 0\) für alle Werte von \(x\) und \(a\) ist und nur für \(x=a=1) gleich \(0\) ist \). Aber für \(a=1\) : Das bedeutet, dass für alle \(a\ne 1\) die Funktion \(f(x)\) streng steigend ist, daher kann die Gleichung \(f(x)=0\) nicht mehr als eine Wurzel haben. Unter Berücksichtigung der Eigenschaften der kubischen Funktion sieht der Graph von \(f(x)\) für ein festes \(a\) wie folgt aus: Das heißt, damit die Gleichung eine Wurzel aus dem Segment \([-1;0]\) hat, ist es notwendig: \[\begin(cases) f(0)\geqslant 0\\ f(-1)\leqslant 0 \end(cases) \Rightarrow \begin(cases) a(a^2+3)\leqslant 0\\ ( a+2)(a^2+a+4)\geqslant 0 \end(cases) \Rightarrow \begin(cases) a\leqslant 0\\ a\geqslant -2 \end(cases) \Rightarrow -2\leqslant a\leqslant 0\] Somit ist \(a\in [-2;0]\) . Antwort: \(a\in [-2;0]\) . Aufgabe 6 #2949 Aufgabenniveau: Entspricht dem Einheitlichen Staatsexamen Finden Sie alle Werte des Parameters \(a\) , für die jeweils die Gleichung gilt \[(\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6)\cdot (\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2))=0\] hat Wurzeln. (Aufgabe von Abonnenten) ODZ-Gleichungen: \(2x-2x^2\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad x\in \). Damit eine Gleichung Wurzeln hat, ist es daher notwendig, dass mindestens eine der Gleichungen vorhanden ist \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad (\small(\text(or)))\quad \sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^ 2)=0\] hatte Entscheidungen über ODZ. 1) Betrachten Sie die erste Gleichung \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &\sin x=2a+ 2 \\ &\sin x=3\\ \end(aligned) \end(gathered)\right. \quad\Leftrightarrow\quad \sin x=2a+2\] Diese Gleichung muss Wurzeln in \(\) haben. Betrachten Sie einen Kreis: Wir sehen also, dass die Gleichung für jedes \(2a+2\in [\sin 0;\sin 1]\) eine Lösung hat und für alle anderen keine Lösungen. Deshalb wann \(a\in \left[-1;-1+\sin 1\right]\) Die Gleichung hat Lösungen. 2) Betrachten Sie die zweite Gleichung \[\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2)=0 \quad\Leftrightarrow\quad 8x\sqrt(x-x^2)=-a\] Betrachten Sie die Funktion \(f(x)=8x\sqrt(x-x^2)\) . Finden wir seine Ableitung: \
Auf der ODZ hat die Ableitung eine Nullstelle: \(x=\frac34\) , die auch der Maximalpunkt der Funktion \(f(x)\) ist. Damit die Gleichung Lösungen hat, ist es daher notwendig, dass der Graph \(f(x)\) die Gerade \(y=-a\) schneidet (die Abbildung zeigt eine der geeigneten Optionen). Das heißt, es ist notwendig \
. Für diese \(x\) : Die Funktion \(y_1=\sqrt(x-1)\) ist streng steigend. Der Graph der Funktion \(y_2=5x^2-9x\) ist eine Parabel, deren Scheitelpunkt im Punkt \(x=\dfrac(9)(10)\) liegt. Folglich ist für alle \(x\geqslant 1\) auch die Funktion \(y_2\) streng wachsend (der rechte Ast der Parabel). Weil die Summe der streng steigenden Funktionen ist streng steigend, dann ist \(f_a(x)\) streng steigend (die Konstante \(3a+8\) hat keinen Einfluss auf die Monotonie der Funktion). Die Funktion \(g_a(x)=\dfrac(a^2)(x)\) für alle \(x\geqslant 1\) stellt einen Teil des rechten Zweigs der Hyperbel dar und ist streng fallend. Das Lösen der Gleichung \(f_a(x)=g_a(x)\) bedeutet, die Schnittpunkte der Funktionen \(f\) und \(g\) zu finden. Aus ihrer entgegengesetzten Monotonie folgt, dass die Gleichung höchstens eine Wurzel haben kann. Wenn \(x\geqslant 1\) \(f_a(x)\geqslant 3a+4, \ \ \ 0 \\Tasse Antwort: \(a\in (-\infty;-1]\cup (Abb. 128). Also aus der Ungleichung x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2). Dies bedeutet, dass die Funktion auf dem offenen Strahl (0, + 00) abnimmt (Abb. 129). Also aus der Ungleichung x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2) d.h. Funktion nimmt auf dem offenen Strahl ab (- 00 , 0) Normalerweise werden die Begriffe „zunehmende Funktion“ und „abfallende Funktion“ unter dem allgemeinen Namen monotone Funktion zusammengefasst, und die Untersuchung einer Funktion für zunehmende und abnehmende Funktion wird als Untersuchung einer Funktion für Monotonie bezeichnet. 1) Zeichnen wir die Funktion y = 2x2 und nehmen den Ast dieser Parabel bei x< 0 (рис. 130). 2) Konstruieren und wählen Sie seinen Teil auf dem Segment aus (Abb. 131). Lesen wir den Graphen der Funktion y = f(x). 1. Der Definitionsbereich der Funktion ist der gesamte Zahlenstrahl. 2. y = 0 bei x = 0; y > 0 für x > 0. 3. Die Funktion nimmt auf dem Strahl ab (-oo, 0], nimmt auf dem Segment zu, nimmt auf dem Strahl ab, ist auf dem Segment konvex nach oben, auf dem Strahl konvex nach unten)
Dies bedeutet, dass die Gleichheit \(f(t)=f(u)\) genau dann möglich ist, wenn \(t=u\) . Kehren wir zu den ursprünglichen Variablen zurück und lösen die resultierende Gleichung:
\
\
\
Wir müssen die Werte von \(a\) finden, bei denen die Gleichung mindestens zwei Wurzeln hat, und dabei auch die Tatsache berücksichtigen, dass \(a>0\) .
Daher lautet die Antwort: \(a\in (0;+\infty)\) .
\(f"(x)=6(x-1)^2 \Rightarrow f(x)=2(x-1)^3 \Rightarrow\) Die Gleichung \(2(x-1)^3=0\) hat eine einzelne Wurzel \(x=1\), die die Bedingung nicht erfüllt. Daher kann \(a\) nicht gleich \(1\) sein.
Beachten Sie, dass \(f(0)=f(1)=0\) . Schematisch sieht der Graph \(f(x)\) also folgendermaßen aus: 
1. Betrachten Sie eine Funktion im Intervall (0, + 00).
Sei x1< х 2 . Так как х 1 и х 2 - , то из х 1 < x 2 следует (см. пример 1 из § 33), т. е. f(x 1) >f(x 2).
2. Betrachten Sie eine Funktion im Intervall (-oo, 0). Sei x 1< х 2 , х 1 и х 2 - отрицательные числа. Тогда - х 1 >- x 2, und beide Seiten der letzten Ungleichung sind positive Zahlen, und daher (wir haben wieder die in Beispiel 1 aus § 33 bewiesene Ungleichung verwendet). Als nächstes erfahren wir, woher wir kommen.
Lösung.
3) Konstruieren wir eine Hyperbel und wählen ihren Teil auf dem offenen Strahl (4, + 00) aus (Abb. 132).
4) Stellen wir alle drei „Teile“ in einem Koordinatensystem dar – das ist der Graph der Funktion y = f(x) (Abb. 133).