Regelmäßige viereckige Pyramide. Finden der Seite einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide

Übung.

In einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide SABC mit der Basis ABC sind alle Kanten gleich 6.

a) Konstruieren Sie einen Abschnitt der Pyramide mit einer Ebene, die durch den Scheitelpunkt S und senkrecht zu dem Segment verläuft, das die Mittelpunkte der Kanten AB und BC verbindet.

b) Ermitteln Sie den Abstand von der Ebene dieses Abschnitts zum Mittelpunkt der Fläche SAB.

Lösung:

a) Konstruieren Sie einen Abschnitt der Pyramide mit einer Ebene, die durch die Spitze verläuftSund senkrecht zu dem Segment, das die Mittelpunkte der Kanten AB und BC verbindet.

Sei Punkt M der Mittelpunkt der Kante BC und Punkt N der Mittelpunkt der Kante AB, dann ist MN die Mittellinie des Dreiecks ∆ABC. Das bedeutet, dass MN parallel zu AC ist. Da die SABC-Pyramide regelmäßig ist, ist die Basis ein regelmäßiges Dreieck ∆ABC, daher ist BD der Median und die Höhe des Dreiecks ∆ABC, d. h. BD steht senkrecht auf AC und BD steht senkrecht auf MN. Verbinden wir nacheinander die Punkte B, D und S. Wir erhalten den erforderlichen Abschnitt SBD, der durch den Scheitelpunkt S und senkrecht zu dem Segment verläuft, das die Mittelpunkte der Kanten AB und BC verbindet.

b) Ermitteln Sie den Abstand von der Ebene dieses Abschnitts zur GesichtsmitteSAB.

Der Abstand von einem Punkt zu einer Ebene ist die Senkrechte, die von einem bestimmten Punkt zur Ebene gezogen wird. Konstruieren wir den Mittelpunkt der Fläche SAB; dazu ermitteln wir den Schnittpunkt der Mediane des Dreiecks ∆SAB. Da das Dreieck ∆SAB regelmäßig ist, ist der Schnittpunkt der Mediane F der Mittelpunkt der Fläche SAB.

Zeichnen wir FE parallel zu MN. Da MN senkrecht zur Schnittebene SBD steht, steht FE senkrecht zur Schnittebene SBD. Daher ist FE der Abstand von der Schnittebene SBD zur Gesichtsmitte SAB.

Da die Punkte M und N die Mittelpunkte der Kanten AB und BC sind, ist MN die Mittellinie des Dreiecks ∆ABC.

Da BD der Median und die Höhe des Dreiecks ∆ABC ist, ist BP der Median und die Höhe des Dreiecks ∆BMN. Daher ist NP = MP = 1,5.

In einer regelmäßigen Pyramide sind die Apotheme SN und SM gleich, was bedeutet, dass das Dreieck ∆SMN gleichschenklig ist, SP ist die Höhe des Dreiecks ∆SMN.

In einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide SABC ist N die Mitte der Kante BC und S der Scheitelpunkt. Es ist bekannt, dass SN=6 ist und die Mantelfläche 72 beträgt. Ermitteln Sie die Länge des Segments AB.

Die Lösung des Problems

Diese Lektion demonstriert ein geometrisches Problem, dessen Lösung auf der Definition und den Eigenschaften einer Regelmäßigkeit basiert Dreieckige Pyramide. Es wird angegeben, dass alle Seitenflächen regelmäßige Pyramide sind gleichschenklige Dreiecke. Dies bedeutet, dass die Mantelfläche dieser Pyramide als Seite definiert werden kann. pov =. Als nächstes betrachten wir bei der Lösung ein Dreieck, dessen Fläche gleich der Hälfte des Produkts aus der Länge der Seite und der Länge der zu dieser Seite gezeichneten Höhe ist. Nach Eigentum gleichschenkligen Dreiecks Ein Segment ist sowohl ein Median als auch eine Höhe, daher gilt die folgende Gleichheit: . Nachdem in der Formel die Fläche der Seitenfläche der Pyramide entsprechend ersetzt wurde, werden die durch die Bedingung bekannten Werte ersetzt. Da sich per Definition einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide an ihrer Basis ein regelmäßiges Dreieck befindet, ist der gefundene Wert gleich der erforderlichen Länge des Segments.

Diese Aufgabe ähnelt Aufgaben des Typs B13 und kann daher erfolgreich zur Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik eingesetzt werden.

Wir berücksichtigen weiterhin die Aufgaben des Einheitlichen Staatsexamens in Mathematik. Wir haben bereits Probleme untersucht, bei denen die Bedingung gegeben ist und es erforderlich ist, den Abstand zwischen zwei gegebenen Punkten oder einen Winkel zu ermitteln.

Eine Pyramide ist ein Polyeder, dessen Grundfläche ein Vieleck ist, dessen übrige Flächen Dreiecke sind und einen gemeinsamen Scheitelpunkt haben.

Eine regelmäßige Pyramide ist eine Pyramide, an deren Basis sich befindet regelmäßiges Vieleck, und seine Oberseite wird in die Mitte der Basis projiziert.

Richtig viereckige Pyramide— Die Grundfläche ist ein Quadrat. Die Spitze der Pyramide wird auf den Schnittpunkt der Diagonalen der Grundfläche (Quadrat) projiziert.

ML – Apothem
∠MLO - Diederwinkel am Fuß der Pyramide
∠MCO – Winkel zwischen der Seitenkante und der Ebene der Pyramidenbasis

In diesem Artikel werden wir uns mit Problemen zur Lösung einer regelmäßigen Pyramide befassen. Sie müssen ein Element, eine Mantelfläche, ein Volumen und eine Höhe finden. Natürlich müssen Sie den Satz des Pythagoras, die Formel für die Fläche der Mantelfläche einer Pyramide und die Formel zur Ermittlung des Volumens einer Pyramide kennen.

Im Artikel „“ stellt die Formeln vor, die zur Lösung von Problemen in der Stereometrie notwendig sind. Also die Aufgaben:

SABCD Punkt Ö- Mitte der Basis,S Scheitel, ALSO = 51, A.C.= 136. Finden seitliche Rippe SC..

In diesem Fall ist die Grundfläche ein Quadrat. Das bedeutet, dass die Diagonalen AC und BD gleich sind, sich schneiden und durch den Schnittpunkt halbiert werden. Beachten Sie, dass bei einer regelmäßigen Pyramide die Höhe, die von der Spitze abfällt, durch die Mitte der Basis der Pyramide verläuft. SO ist also die Höhe und das DreieckSOCrechteckig. Dann gilt nach dem Satz des Pythagoras:

So extrahieren Sie die Wurzel aus große Zahl.

Antwort: 85

Entscheide dich selbst:

In einer regelmäßigen viereckigen Pyramide SABCD Punkt Ö- Mitte der Basis, S Scheitel, ALSO = 4, A.C.= 6. Finden Sie die Seitenkante SC..

In einer regelmäßigen viereckigen Pyramide SABCD Punkt Ö- Mitte der Basis, S Scheitel, SC. = 5, A.C.= 6. Finden Sie die Länge des Segments ALSO.

In einer regelmäßigen viereckigen Pyramide SABCD Punkt Ö- Mitte der Basis, S Scheitel, ALSO = 4, SC.= 5. Ermitteln Sie die Länge des Segments A.C..

SABC R- Mitte der Rippe B.C., S- Spitze. Es ist bekannt, dass AB= 7, a S.R.= 16. Finden Sie die Mantelfläche.

Die Fläche der Seitenfläche einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide ist gleich der Hälfte des Produkts aus dem Umfang der Basis und dem Apothem (Apothem ist die Höhe der Seitenfläche einer regelmäßigen Pyramide, ausgehend von ihrer Spitze):

Oder wir können es so sagen: Die Fläche der Seitenfläche der Pyramide ist gleich der Summe drei Quadrate Seitenkanten. Die Seitenflächen einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide sind Dreiecke gleicher Fläche. In diesem Fall:

Antwort: 168

Entscheide dich selbst:

In einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide SABC R- Mitte der Rippe B.C., S- Spitze. Es ist bekannt, dass AB= 1, ein S.R.= 2. Finden Sie die Mantelfläche.

In einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide SABC R- Mitte der Rippe B.C., S- Spitze. Es ist bekannt, dass AB= 1 und die Fläche der Seitenfläche beträgt 3. Ermitteln Sie die Länge des Segments S.R..

In einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide SABC L- Mitte der Rippe B.C., S- Spitze. Es ist bekannt, dass SL= 2 und die Fläche der Seitenfläche beträgt 3. Ermitteln Sie die Länge des Segments AB.

In einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide SABC M. Fläche eines Dreiecks ABC 25 ist, beträgt das Volumen der Pyramide 100. Ermitteln Sie die Länge des Segments MS.

Die Basis der Pyramide ist ein gleichseitiges Dreieck. Deshalb Mist der Mittelpunkt der Basis undMS- Höhe einer regelmäßigen PyramideSABC. Volumen der Pyramide SABC entspricht: Lösung anzeigen

In einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide SABC Die Mittellinien der Basis schneiden sich in diesem Punkt M. Fläche eines Dreiecks ABC gleich 3, MS= 1. Finden Sie das Volumen der Pyramide.

In einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide SABC Die Mittellinien der Basis schneiden sich in diesem Punkt M. Das Volumen der Pyramide beträgt 1, MS= 1. Finden Sie die Fläche des Dreiecks ABC.

Lassen Sie uns hier fertig werden. Wie Sie sehen, werden Probleme in ein oder zwei Schritten gelöst. In Zukunft werden wir uns mit anderen Problemen aus diesem Teil befassen, in denen es um Revolutionskörper geht. Verpassen Sie es nicht!

Ich wünsche Ihnen Erfolg!

Mit freundlichen Grüßen Alexander Krutitskikh.

P.S.: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie mir in den sozialen Netzwerken von der Seite erzählen würden.