Höhe einer dreieckigen Pyramidenformel. Grundlagen der Geometrie: Eine regelmäßige Pyramide ist

Lange vor dem Studium der Geometrie begegnen Studierende dem Konzept einer Pyramide. Der Fehler liegt bei den berühmten großen ägyptischen Weltwundern. Deshalb stellen sich die meisten Studenten, wenn sie mit dem Studium dieses wunderbaren Polyeders beginnen, es bereits klar vor. Alle oben genannten Attraktionen haben die richtige Form. Was regelmäßige Pyramide , und welche Eigenschaften es hat und wir werden reden weiter.

In Kontakt mit

Definition

Es gibt eine ganze Reihe von Definitionen für eine Pyramide. Seit der Antike erfreut es sich großer Beliebtheit.

Euklid definierte es beispielsweise als eine Körperfigur, die aus Ebenen besteht, die von einer Ebene ausgehend in einem bestimmten Punkt zusammenlaufen.

Heron lieferte eine präzisere Formulierung. Er bestand darauf, dass dies die Figur sei hat eine Basis und Ebenen in Form von Dreiecken, in einem Punkt zusammenlaufen.

Verlassen auf moderne Interpretation Die Pyramide wird als räumliches Polyeder dargestellt, das aus bestimmten k-Eck- und k-Flachfiguren besteht dreieckige Form, mit einem gemeinsamen Punkt.

Schauen wir es uns genauer an, Aus welchen Elementen besteht es:

• Das K-Eck gilt als Grundlage der Figur;
• Als Kanten des Seitenteils ragen 3-eckige Formen hervor;
• der obere Teil, von dem die Seitenelemente ausgehen, wird Apex genannt;
• alle Segmente, die einen Scheitelpunkt verbinden, werden Kanten genannt;
• Wenn eine gerade Linie vom Scheitelpunkt in einem Winkel von 90 Grad zur Ebene der Figur abgesenkt wird, ist ihr Teil darin eingeschlossen Innenraum— Höhe der Pyramide;
• In jedem Seitenelement kann eine Senkrechte, ein sogenanntes Apothem, zur Seite unseres Polyeders gezogen werden.

Die Anzahl der Kanten wird mit der Formel 2*k berechnet, wobei k die Anzahl der Seiten des k-Ecks ist. Wie viele Flächen ein Polyeder wie beispielsweise eine Pyramide hat, lässt sich mit dem Ausdruck k+1 ermitteln.

Wichtig! Eine Pyramide regelmäßiger Form ist eine stereometrische Figur, deren Grundebene ein k-Eck mit gleichen Seiten ist.

Grundeigenschaften

Richtige Pyramide hat viele Eigenschaften, die für sie einzigartig sind. Lassen Sie uns sie auflisten:

1. Die Basis ist eine Figur mit der richtigen Form.
2. Die Kanten der Pyramide, die die Seitenelemente begrenzen, haben gleiche Zahlenwerte.
3. Seitenelemente – gleichschenklige Dreiecke.
4. Die Höhenbasis der Figur fällt in die Mitte des Polygons und ist gleichzeitig Mittelpunkt des Eingeschriebenen und Umschriebenen.
5. Alle Seitenrippen sind im gleichen Winkel zur Grundebene geneigt.
6. Alle Seitenflächen haben gegenüber der Grundfläche den gleichen Neigungswinkel.

Dank aller aufgeführten Eigenschaften ist die Durchführung von Elementberechnungen wesentlich einfacher. Basierend auf den oben genannten Eigenschaften achten wir auf zwei Zeichen:

1. Wenn das Polygon in einen Kreis passt, haben die Seitenflächen eine Grundfläche gleiche Winkel.
2. Bei der Beschreibung eines Kreises um ein Polygon haben alle vom Scheitelpunkt ausgehenden Kanten der Pyramide die gleiche Länge und den gleichen Winkel zur Grundfläche.

Die Basis ist ein Quadrat

Regelmäßige viereckige Pyramide - ein Polyeder, dessen Grundfläche ein Quadrat ist.

Es hat vier Seitenflächen, die gleichschenklig aussehen.

Ein Quadrat wird auf einer Ebene dargestellt, basiert aber auf allen Eigenschaften eines regelmäßigen Vierecks.

Wenn Sie beispielsweise die Seite eines Quadrats mit seiner Diagonale in Beziehung setzen müssen, verwenden Sie die folgende Formel: Die Diagonale ist gleich dem Produkt aus der Seite des Quadrats und der Quadratwurzel aus zwei.

Es basiert auf einem regelmäßigen Dreieck

Eine regelmäßige dreieckige Pyramide ist ein Polyeder, dessen Grundfläche ein regelmäßiges Dreieck ist.

Wenn die Basis ein regelmäßiges Dreieck ist und die Seitenkanten gleich den Kanten der Basis sind, dann ist eine solche Figur ein Tetraeder genannt.

Alle Flächen eines Tetraeders sind gleichseitige 3-Ecke. In diesem Fall müssen Sie einige Punkte kennen und dürfen bei der Berechnung keine Zeit damit verschwenden:

• der Neigungswinkel der Rippen zu jeder Basis beträgt 60 Grad;
• die Größe aller Innenflächen beträgt ebenfalls 60 Grad;
• jedes Gesicht kann als Basis dienen;
• , innerhalb der Figur eingezeichnet, handelt es sich um gleiche Elemente.

Abschnitte eines Polyeders

In jedem Polyeder gibt es mehrere Arten von Abschnitten Wohnung. In einem Schulgeometriekurs arbeiten sie oft mit zwei:

• axial;
• parallel zur Basis.

Ein Axialschnitt entsteht durch den Schnitt eines Polyeders mit einer Ebene, die durch den Scheitelpunkt, die Seitenkanten und die Achse verläuft. In diesem Fall ist die Achse die vom Scheitelpunkt ausgehende Höhe. Die Schnittebene wird durch die Schnittlinien mit allen Flächen begrenzt, sodass ein Dreieck entsteht.

Aufmerksamkeit! Bei einer regelmäßigen Pyramide ist der axiale Abschnitt ein gleichschenkliges Dreieck.

Verläuft die Schnittebene parallel zur Grundfläche, so ergibt sich die zweite Möglichkeit. In diesem Fall haben wir eine Querschnittsfigur ähnlich der Basis.

Befindet sich beispielsweise an der Basis ein Quadrat, dann ist der zur Basis parallele Abschnitt ebenfalls ein Quadrat, nur mit kleineren Abmessungen.

Bei der Lösung von Problemen unter dieser Bedingung verwenden sie Zeichen und Eigenschaften der Ähnlichkeit von Figuren, basierend auf dem Satz von Thales. Zunächst muss der Ähnlichkeitskoeffizient bestimmt werden.

Zieht man die Ebene parallel zur Grundfläche und schneidet sie den oberen Teil des Polyeders ab, so erhält man im unteren Teil einen regelmäßigen Pyramidenstumpf. Dann nennt man die Grundflächen eines Polyederstumpfes ähnliche Polyeder. In diesem Fall sind die Seitenflächen gleichschenklige Trapeze. Der Axialschnitt ist ebenfalls gleichschenklig.

Um die Höhe eines Polyederstumpfes zu bestimmen, ist es notwendig, die Höhe im Axialschnitt, also im Trapez, einzutragen.

Oberflächenbereiche

Die wichtigsten geometrischen Probleme, die in einem Schulgeometriekurs gelöst werden müssen, sind Ermitteln der Oberfläche und des Volumens einer Pyramide.

Es gibt zwei Arten von Oberflächenwerten:

• Bereich der Seitenelemente;
• Fläche der gesamten Oberfläche.

Aus dem Namen selbst ist klar, wovon wir sprechen. Die Seitenfläche umfasst nur die Seitenelemente. Daraus folgt, dass man, um es zu finden, lediglich die Flächen der Seitenebenen addieren muss, also die Flächen der gleichschenkligen 3-Ecke. Versuchen wir, die Formel für die Fläche der Seitenelemente abzuleiten:

1. Die Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks beträgt Str=1/2(aL), wobei a die Seite der Basis und L das Apothem ist.
2. Die Anzahl der Seitenebenen hängt von der Art des k-Ecks an der Basis ab. Beispielsweise hat eine regelmäßige viereckige Pyramide vier Seitenebenen. Daher ist es notwendig, die Flächen von vier Figuren Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L zu addieren. Der Ausdruck wird auf diese Weise vereinfacht, da der Wert 4a = Rosn ist, wobei Rosn der Umfang der Basis ist. Und der Ausdruck 1/2*Rosn ist sein Halbumfang.
3. Daraus schließen wir, dass die Fläche der Seitenelemente einer regelmäßigen Pyramide gleich dem Produkt aus dem Halbumfang der Basis und dem Apothem ist: Sside = Rosn * L.

Die Fläche der Gesamtoberfläche der Pyramide setzt sich aus der Summe der Flächen der Seitenebenen und der Grundfläche zusammen: Sp.p. = Sside + Sbas.

Für die Grundfläche wird hier die Formel entsprechend der Art des Polygons verwendet.

Volumen einer regelmäßigen Pyramide gleich dem Produkt aus der Fläche der Grundebene und der Höhe dividiert durch drei: V=1/3*Sbas*H, wobei H die Höhe des Polyeders ist.

Was ist eine regelmäßige Pyramide in der Geometrie?

Eigenschaften des Richtigen viereckige Pyramide

Einführung

Als wir begannen, stereometrische Figuren zu studieren, berührten wir das Thema „Pyramide“. Dieses Thema hat uns gefallen, da die Pyramide in der Architektur sehr häufig verwendet wird. Und seit unserem zukünftiger Beruf Architektin, inspiriert von dieser Figur, wir glauben, dass sie uns zu großartigen Projekten antreiben kann.

Die Stärke architektonischer Strukturen ist ihre wichtigste Qualität. Sie verbinden Stärke erstens mit den Materialien, aus denen sie hergestellt sind, und zweitens mit den Eigenschaften konstruktive Lösungen Es stellt sich heraus, dass die Festigkeit einer Struktur in direktem Zusammenhang mit der ihr zugrunde liegenden geometrischen Form steht.

Mit anderen Worten, es handelt sich um die geometrische Figur, die als Modell des Entsprechenden betrachtet werden kann architektonische Form. Es stellt sich heraus, dass Geometrische Figur bestimmt auch die Stärke einer architektonischen Struktur.

Seit der Antike gelten die ägyptischen Pyramiden als die langlebigsten architektonischen Bauwerke. Wie Sie wissen, haben sie die Form regelmäßiger viereckiger Pyramiden.

Es ist diese geometrische Form, die die größte Stabilität bietet großes Gebiet Gründe. Andererseits sorgt die Pyramidenform dafür, dass die Masse mit zunehmender Höhe über dem Boden abnimmt. Es sind diese beiden Eigenschaften, die die Pyramide stabil und damit stark unter den Bedingungen der Schwerkraft machen.

Ziel des Projekts: Lernen Sie etwas Neues über Pyramiden, vertiefen Sie Ihr Wissen und finden Sie praktische Anwendung.

Um dieses Ziel zu erreichen, mussten folgende Aufgaben gelöst werden:

· Erfahren Sie historische Informationen über die Pyramide

· Betrachten Sie die Pyramide als geometrische Figur

· Finden Sie Anwendung im Leben und in der Architektur

· Finden Sie die Ähnlichkeiten und Unterschiede zwischen den Pyramiden in verschiedene Teile Sweta

Theoretischer Teil

Historische Informationen

Der Beginn der Geometrie der Pyramide wurde im alten Ägypten und Babylon gelegt, aber sie wurde dort aktiv weiterentwickelt Antikes Griechenland. Der erste, der das Volumen der Pyramide festlegte, war Demokrit, und Eudoxos von Knidos bewies es. Der antike griechische Mathematiker Euklid systematisierte das Wissen über die Pyramide im XII. Band seiner „Elemente“ und leitete auch die erste Definition einer Pyramide ab: eine feste Figur, die von Ebenen begrenzt wird, die von einer Ebene zu einem Punkt zusammenlaufen.

Gräber ägyptischer Pharaonen. Die größten von ihnen – die Pyramiden von Cheops, Khafre und Mikerin in El Gizeh – galten in der Antike als eines der sieben Weltwunder. Der Bau der Pyramide, in der bereits die Griechen und Römer ein Denkmal für den beispiellosen Stolz der Könige und die Grausamkeit sahen, die das gesamte ägyptische Volk zu sinnlosem Bau verurteilte, war der wichtigste Kultakt und sollte offenbar das zum Ausdruck bringen mystische Identität des Landes und seines Herrschers. Die Bevölkerung des Landes arbeitete während des von landwirtschaftlicher Arbeit freien Teils des Jahres am Bau des Grabes. Eine Reihe von Texten zeugen von der Aufmerksamkeit und Sorgfalt, die die Könige selbst (wenn auch aus späterer Zeit) dem Bau ihres Grabes und seiner Erbauer widmeten. Es ist auch bekannt, dass der Pyramide selbst besondere Kultverehrung zuteil wurde.

Grundlegendes Konzept

Pyramide wird ein Polyeder genannt, dessen Basis ein Polygon ist und dessen verbleibende Flächen Dreiecke sind, die einen gemeinsamen Scheitelpunkt haben.

Apothema- die Höhe der Seitenfläche einer regelmäßigen Pyramide, ausgehend von ihrer Spitze;

Seitenflächen- Dreiecke, die sich an einem Scheitelpunkt treffen;

Seitliche Rippen- gemeinsame Seiten der Seitenflächen;

Spitze der Pyramide- ein Punkt, der die Seitenrippen verbindet und nicht in der Ebene der Basis liegt;

Höhe- ein senkrechtes Segment, das durch die Spitze der Pyramide zur Ebene ihrer Basis gezogen wird (die Enden dieses Segments sind die Spitze der Pyramide und die Basis der Senkrechten);

Diagonalschnitt einer Pyramide- Abschnitt der Pyramide, der durch die Spitze und die Diagonale der Basis verläuft;

Base- ein Polygon, das nicht zum Scheitelpunkt der Pyramide gehört.

Grundlegende Eigenschaften einer regelmäßigen Pyramide

Die Seitenkanten, Seitenflächen und Apotheme sind jeweils gleich.

Die Diederwinkel an der Basis sind gleich.

Die Diederwinkel an den Seitenkanten sind gleich.

Jeder Höhenpunkt ist von allen Eckpunkten der Basis gleich weit entfernt.

Jeder Höhenpunkt ist von allen Seitenflächen gleich weit entfernt.

Grundlegende Pyramidenformeln

Die Fläche der Seiten- und Gesamtfläche der Pyramide.

Die Fläche der Seitenfläche einer Pyramide (voll und stumpf) ist die Summe der Flächen aller ihrer Seitenflächen, die Gesamtoberfläche ist die Summe der Flächen aller ihrer Flächen.

Satz: Die Fläche der Mantelfläche einer regelmäßigen Pyramide ist gleich der Hälfte des Produkts aus dem Umfang der Grundfläche und dem Apothem der Pyramide.

P- Grundumfang;

H- Apothem.

Die Fläche der Seiten- und Vollflächen eines Pyramidenstumpfes.

S. 1, P 2 - Grundumfang;

H- Apothem.

R- Gesamtoberfläche eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes;

S-Seite- Fläche der Mantelfläche eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes;

S 1 + S 2- Grundfläche

Volumen der Pyramide

Bilden Volumen ula wird für Pyramiden jeglicher Art verwendet.

H- Höhe der Pyramide.

Pyramidenecken

Die von der Seitenfläche und der Basis der Pyramide gebildeten Winkel werden Diederwinkel an der Basis der Pyramide genannt.

Ein Diederwinkel wird durch zwei Senkrechte gebildet.

Um diesen Winkel zu bestimmen, müssen Sie häufig den Satz der drei senkrechten Winkel verwenden.

Die Winkel, die die Seitenkante und ihre Projektion auf die Grundebene bilden, werden aufgerufen Winkel zwischen der Seitenkante und der Ebene der Basis.

Der von zwei Seitenkanten gebildete Winkel heißt Diederwinkel am Seitenrand der Pyramide.

Der Winkel, den zwei Seitenkanten einer Seite der Pyramide bilden, wird aufgerufen Winkel an der Spitze der Pyramide.

Pyramidenabschnitte

Die Oberfläche einer Pyramide ist die Oberfläche eines Polyeders. Jede ihrer Flächen ist eine Ebene, daher ist der durch eine Schnittebene definierte Abschnitt einer Pyramide eine gestrichelte Linie, die aus einzelnen geraden Linien besteht.

Diagonaler Abschnitt

Der Schnitt einer Pyramide durch eine Ebene, die durch zwei Seitenkanten verläuft, die nicht auf derselben Seite liegen, wird genannt Diagonalabschnitt Pyramiden.

Parallele Abschnitte

Satz:

Wenn eine Pyramide von einer Ebene parallel zur Basis geschnitten wird, dann seitliche Rippen und die Höhen der Pyramide werden durch diese Ebene in proportionale Teile geteilt;

Der Schnitt dieser Ebene ist ein der Grundfläche ähnliches Polygon;

Die Flächen des Abschnitts und der Basis stehen im Verhältnis zueinander als Quadrate ihrer Abstände vom Scheitelpunkt.

Arten von Pyramiden

Richtige Pyramide- eine Pyramide, deren Basis ist regelmäßiges Vieleck, und die Spitze der Pyramide wird in die Mitte der Basis projiziert.

Für eine regelmäßige Pyramide:

1. Seitenrippen sind gleich

2. Seitenflächen sind gleich

3. Apotheme sind gleich

4. Die Diederwinkel an der Basis sind gleich

5. Die Diederwinkel an den Seitenkanten sind gleich

6. Jeder Höhenpunkt ist von allen Eckpunkten der Basis gleich weit entfernt

7. Jeder Höhenpunkt ist von allen Seitenkanten gleich weit entfernt

Pyramidenstumpf- Teil der Pyramide, der zwischen ihrer Basis und einer zur Basis parallelen Schnittebene eingeschlossen ist.

Die Basis und der entsprechende Abschnitt eines Pyramidenstumpfes werden genannt Basen eines Pyramidenstumpfes.

Eine Senkrechte, die von einem beliebigen Punkt einer Basis zur Ebene einer anderen gezogen wird, heißt die Höhe eines Pyramidenstumpfes.

Aufgaben

Nr. 1. In einer regelmäßigen viereckigen Pyramide ist Punkt O der Mittelpunkt der Basis, SO=8 cm, BD=30 cm. Finden Sie die Seitenkante SA.

Probleme lösen

Nr. 1. In einer regelmäßigen Pyramide sind alle Flächen und Kanten gleich.

Betrachten Sie OSB: OSB ist ein rechteckiges Rechteck, weil.

SB 2 =SO 2 +OB 2

SB 2 =64+225=289

Pyramide in der Architektur

Eine Pyramide ist ein monumentales Bauwerk in der Form eines gewöhnlichen Regelkreises geometrische Pyramide, bei dem die Seiten in einem Punkt zusammenlaufen. Von funktionaler Zweck In der Antike waren Pyramiden Orte der Bestattung oder Kultverehrung. Die Basis einer Pyramide kann dreieckig, viereckig oder die Form eines Polygons mit einer beliebigen Anzahl von Eckpunkten haben. Die gebräuchlichste Version ist jedoch die viereckige Basis.

Es gibt eine beträchtliche Anzahl von Pyramiden, die von verschiedenen Kulturen erbaut wurden. Antike Welt hauptsächlich als Tempel oder Denkmäler. Zu den großen Pyramiden zählen die ägyptischen Pyramiden.

Überall auf der Erde sind architektonische Strukturen in Form von Pyramiden zu sehen. Die Pyramidengebäude erinnern an antike Zeiten und sehen sehr schön aus.

Ägyptische Pyramiden sind die größten Baudenkmäler Antikes Ägypten, darunter eines der „Sieben Weltwunder“ die Cheopspyramide. Vom Fuß bis zum Gipfel erreicht er eine Höhe von 137,3 m, und bevor er den Gipfel verlor, betrug seine Höhe 146,7 m

Das Gebäude des Radiosenders in der Hauptstadt der Slowakei, das einer umgekehrten Pyramide ähnelt, wurde 1983 erbaut. Neben Büros und Serviceräumen befindet sich im Inneren des Gebäudes ein recht geräumiger Konzertsaal, der über eine der größten Orgeln der Slowakei verfügt.

Der Louvre, der „still, unveränderlich und majestätisch wie eine Pyramide“ ist, hat im Laufe der Jahrhunderte viele Veränderungen durchgemacht, bevor er zum größten Museum der Welt wurde. Es entstand als Festung, die 1190 von Philipp Augustus errichtet wurde und bald zu einer königlichen Residenz wurde. 1793 wurde der Palast zum Museum. Sammlungen werden durch Schenkungen oder Ankäufe bereichert.

Dieses Video-Tutorial hilft Benutzern, sich ein Bild vom Pyramid-Thema zu machen. Richtige Pyramide. In dieser Lektion machen wir uns mit dem Konzept einer Pyramide vertraut und geben ihm eine Definition. Betrachten wir, was eine regelmäßige Pyramide ist und welche Eigenschaften sie hat. Dann beweisen wir den Satz über die Mantelfläche einer regelmäßigen Pyramide.

In dieser Lektion machen wir uns mit dem Konzept einer Pyramide vertraut und geben ihm eine Definition.

Betrachten Sie ein Polygon A 1 A 2...Ein, der in der α-Ebene liegt, und der Punkt P, die nicht in der α-Ebene liegt (Abb. 1). Lassen Sie uns die Punkte verbinden P mit Spitzen A 1, A 2, A 3, … Ein. Wir bekommen N Dreiecke: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R usw.

Definition. Polyeder RA 1 A 2 ...A n, besteht aus N-Quadrat A 1 A 2...Ein Und N Dreiecke RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 wird aufgerufen N-Kohlenpyramide. Reis. 1.

Reis. 1

Betrachten Sie eine viereckige Pyramide PABCD(Abb. 2).

R- die Spitze der Pyramide.

A B C D- die Basis der Pyramide.

RA- Seitenrippe.

AB- Grundrippe.

Von Punkt R Lassen wir die Senkrechte fallen RN zur Basisebene A B C D. Die eingezeichnete Senkrechte ist die Höhe der Pyramide.

Reis. 2

Vollflächig Die Pyramide besteht aus einer Mantelfläche, also der Fläche aller Seitenflächen, und der Fläche der Grundfläche:

S voll = S Seite + S Haupt

Eine Pyramide heißt korrekt, wenn:

• seine Basis ist ein regelmäßiges Vieleck;
• Das Segment, das die Spitze der Pyramide mit der Mitte der Basis verbindet, ist ihre Höhe.

Erläuterung am Beispiel einer regelmäßigen viereckigen Pyramide

Betrachten Sie eine regelmäßige viereckige Pyramide PABCD(Abb. 3).

R- die Spitze der Pyramide. Basis der Pyramide A B C D- ein regelmäßiges Viereck, also ein Quadrat. Punkt UM, der Schnittpunkt der Diagonalen, ist der Mittelpunkt des Quadrats. Bedeutet, RO ist die Höhe der Pyramide.

Reis. 3

Erläuterung: im richtigen N In einem Dreieck fallen der Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises und der Mittelpunkt des Umkreises zusammen. Dieses Zentrum wird als Mittelpunkt des Polygons bezeichnet. Manchmal sagt man, dass der Scheitelpunkt in die Mitte projiziert wird.

Die Höhe der Seitenfläche einer von ihrem Scheitel aus gezogenen regelmäßigen Pyramide wird aufgerufen Apothema und ist bezeichnet h a.

1. Alle Seitenkanten einer regelmäßigen Pyramide sind gleich;

2. Die Seitenflächen sind gleichschenklige Dreiecke.

Wir werden diese Eigenschaften am Beispiel einer regelmäßigen viereckigen Pyramide beweisen.

Gegeben: PABCD- regelmäßige viereckige Pyramide,

A B C D- Quadrat,

RO- Höhe der Pyramide.

Beweisen:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Siehe Abb. 4.

Reis. 4

Nachweisen.

RO- Höhe der Pyramide. Das heißt, gerade RO senkrecht zur Ebene ABC und daher direkt JSC, VO, SO Und TUN darin liegen. Also Dreiecke ROA, ROV, ROS, ROD- rechteckig.

Betrachten Sie ein Quadrat A B C D. Aus den Eigenschaften eines Quadrats folgt das AO = VO = CO = TUN.

Dann die rechtwinkligen Dreiecke ROA, ROV, ROS, ROD Bein RO- Allgemein und Beine JSC, VO, SO Und TUN sind gleich, was bedeutet, dass diese Dreiecke auf zwei Seiten gleich sind. Aus der Gleichheit der Dreiecke folgt die Gleichheit der Segmente, RA = PB = RS = PD. Punkt 1 ist bewiesen.

Segmente AB Und Sonne sind gleich, weil sie Seiten desselben Quadrats sind, RA = PB = RS. Also Dreiecke AVR Und VSR - gleichschenklig und auf drei Seiten gleich.

Auf ähnliche Weise finden wir Dreiecke ABP, VCP, CDP, DAP gleichschenklig und gleich sind, wie in Absatz 2 zu beweisen ist.

Die Fläche der Mantelfläche einer regelmäßigen Pyramide entspricht der Hälfte des Produkts aus dem Umfang der Basis und dem Apothem:

Um dies zu beweisen, wählen wir eine regelmäßige dreieckige Pyramide.

Gegeben: RAVS- regelmäßige dreieckige Pyramide.

AB = BC = AC.

RO- Höhe.

Beweisen: . Siehe Abb. 5.

Reis. 5

Nachweisen.

RAVS- regelmäßige dreieckige Pyramide. Also AB= AC = BC. Lassen UM- Mittelpunkt des Dreiecks ABC, Dann RO ist die Höhe der Pyramide. An der Basis der Pyramide liegt ein gleichseitiges Dreieck ABC. beachte das .

Dreiecke RAV, RVS, RSA- gleiche gleichschenklige Dreiecke (nach Eigenschaft). U Dreieckige Pyramide drei Seitenflächen: RAV, RVS, RSA. Dies bedeutet, dass die Fläche der Seitenfläche der Pyramide beträgt:

S-Seite = 3S RAW

Der Satz ist bewiesen.

Der Radius eines Kreises, der an der Basis einer regelmäßigen viereckigen Pyramide eingeschrieben ist, beträgt 3 m, die Höhe der Pyramide beträgt 4 m. Ermitteln Sie die Fläche der Seitenfläche der Pyramide.

Gegeben: regelmäßige viereckige Pyramide A B C D,

A B C D- Quadrat,

R= 3m,

RO- Höhe der Pyramide,

RO= 4 m.

Finden: S-Seite. Siehe Abb. 6.

Reis. 6

Lösung.

Nach dem bewiesenen Satz ist .

Lassen Sie uns zunächst die Seite der Basis finden AB. Wir wissen, dass der Radius eines Kreises, der an der Basis einer regelmäßigen viereckigen Pyramide eingeschrieben ist, 3 m beträgt.

Dann, m.

Finden Sie den Umfang des Quadrats A B C D mit einer Seitenlänge von 6 m:

Betrachten Sie ein Dreieck BCD. Lassen M- Mitte der Seite Gleichstrom. Als UM- Mitte BD, Das (M).

Dreieck DPC- gleichschenklig. M- Mitte Gleichstrom. Also, RM- Median und damit die Höhe im Dreieck DPC. Dann RM- Apothem der Pyramide.

RO- Höhe der Pyramide. Dann gerade RO senkrecht zur Ebene ABC und daher direkt OM, darin liegen. Finden wir das Apothem RM aus rechtwinkliges Dreieck Rom.

Jetzt können wir finden Seitenfläche Pyramiden:

Antwort: 60 m2.

Der Radius des um die Basis einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide umschriebenen Kreises beträgt m. Die Mantelfläche beträgt 18 m 2. Finden Sie die Länge des Apothems.

Gegeben: ABCP- regelmäßige dreieckige Pyramide,

AB = BC = SA,

R= m,

S-Seite = 18 m2.

Finden: . Siehe Abb. 7.

Reis. 7

Lösung.

In einem rechtwinkligen Dreieck ABC Der Radius des umschriebenen Kreises ist angegeben. Finden wir eine Seite AB dieses Dreieck unter Verwendung des Sinusgesetzes.

Wenn wir die Seite eines regelmäßigen Dreiecks (m) kennen, ermitteln wir seinen Umfang.

Nach dem Satz über die Mantelfläche einer regelmäßigen Pyramide, wo h a- Apothem der Pyramide. Dann:

Antwort: 4 m.

Also haben wir uns angeschaut, was eine Pyramide ist, was eine regelmäßige Pyramide ist, und wir haben den Satz über die Mantelfläche einer regelmäßigen Pyramide bewiesen. In der nächsten Lektion lernen wir den Pyramidenstumpf kennen.

Referenzliste

1. Geometrie. Klassen 10-11: Lehrbuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen (Grund- und Profilebenen) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. Aufl., rev. und zusätzlich - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 S.: Abb.
2. Geometrie. Klassen 10-11: Lehrbuch für allgemeinbildende Einrichtungen / Sharygin I. F. - M.: Bustard, 1999. - 208 Seiten: Abb.
3. Geometrie. Klasse 10: Lehrbuch für allgemeinbildende Einrichtungen mit vertieftem und spezialisiertem Studium der Mathematik /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. Aufl., Stereotyp. - M.: Bustard, 008. - 233 S.: Abb.

1. Internetportal „Yaklass“ ()
2. Internetportal „Festival pädagogische Ideen"Der erste September" ()
3. Internetportal „Slideshare.net“ ()

Hausaufgaben

1. Kann ein regelmäßiges Vieleck die Basis einer unregelmäßigen Pyramide sein?
2. Beweisen Sie, dass disjunkte Kanten einer regelmäßigen Pyramide senkrecht zueinander stehen.
3. Ermitteln Sie den Wert des Diederwinkels an der Seite der Basis einer regelmäßigen viereckigen Pyramide, wenn das Apothem der Pyramide gleich der Seite ihrer Basis ist.
4. RAVS- regelmäßige dreieckige Pyramide. Konstruieren Sie den linearen Winkel des Diederwinkels an der Basis der Pyramide.

• Apothema- die Höhe der Seitenfläche einer regelmäßigen Pyramide, die von ihrem Scheitelpunkt aus gezogen wird (außerdem ist das Apothem die Länge der Senkrechten, die von der Mitte des regelmäßigen Vielecks zu einer seiner Seiten abgesenkt wird);
• Seitenflächen (ASB, BSC, CSD, DSA) - Dreiecke, die sich am Scheitelpunkt treffen;
• seitliche Rippen ( ALS , B.S. , C.S. , D.S. ) — gemeinsame Seiten der Seitenflächen;
• Spitze der Pyramide (t. S) - ein Punkt, der die Seitenrippen verbindet und der nicht in der Ebene der Basis liegt;
• Höhe ( ALSO ) - ein senkrechtes Segment, das durch die Spitze der Pyramide zur Ebene ihrer Basis gezogen wird (die Enden eines solchen Segments sind die Spitze der Pyramide und die Basis der Senkrechten);
• diagonaler Abschnitt der Pyramide- ein Abschnitt der Pyramide, der durch die Spitze und die Diagonale der Basis verläuft;
• Base (A B C D) - ein Polygon, das nicht zum Scheitelpunkt der Pyramide gehört.

Eigenschaften der Pyramide.

1. Wenn alle Seitenkanten gleich groß sind, dann gilt:

• Es ist einfach, einen Kreis in der Nähe der Basis der Pyramide zu beschreiben, und die Spitze der Pyramide wird in die Mitte dieses Kreises projiziert.
• die Seitenrippen bilden mit der Ebene der Basis gleiche Winkel;
• Darüber hinaus ist auch das Gegenteil der Fall, d. h. Wenn die Seitenrippen gleiche Winkel mit der Ebene der Basis bilden oder wenn ein Kreis um die Basis der Pyramide beschrieben werden kann und die Spitze der Pyramide in die Mitte dieses Kreises projiziert wird, bedeutet dies, dass alle Seitenkanten der Pyramide sind gleich groß.

2. Wenn die Seitenflächen einen gleichen Neigungswinkel zur Ebene der Basis haben, dann:

• Es ist einfach, einen Kreis in der Nähe der Basis der Pyramide zu beschreiben, und die Spitze der Pyramide wird in die Mitte dieses Kreises projiziert.
• die Höhen der Seitenflächen sind gleich lang;
• Die Fläche der Seitenfläche ist gleich der Hälfte des Produkts aus dem Umfang der Basis und der Höhe der Seitenfläche.

3. Eine Kugel kann um eine Pyramide beschrieben werden, wenn sich an der Basis der Pyramide ein Polygon befindet, um das ein Kreis beschrieben werden kann (eine notwendige und hinreichende Bedingung). Der Mittelpunkt der Kugel ist der Schnittpunkt der Ebenen, die durch die Mitten der senkrecht zu ihnen stehenden Kanten der Pyramide verlaufen. Aus diesem Satz schließen wir, dass eine Kugel sowohl um jedes Dreieck als auch um jede regelmäßige Pyramide beschrieben werden kann.

4. Eine Kugel kann in eine Pyramide eingeschrieben werden, wenn die Winkelhalbierenden der inneren Ebenen sind Diederwinkel Die Pyramiden schneiden sich im 1. Punkt (eine notwendige und hinreichende Bedingung). Dieser Punkt wird zum Mittelpunkt der Kugel.

Die einfachste Pyramide.

Basierend auf der Anzahl der Winkel wird die Basis der Pyramide in dreieckige, viereckige usw. unterteilt.

Es wird eine Pyramide geben dreieckig, viereckig usw., wenn die Basis der Pyramide ein Dreieck, ein Viereck usw. ist. Eine dreieckige Pyramide ist ein Tetraeder – ein Tetraeder. Viereckig – fünfeckig und so weiter.