Lange vor dem Studium der Geometrie begegnen Studierende dem Konzept einer Pyramide. Der Fehler liegt bei den berühmten großen ägyptischen Weltwundern. Deshalb stellen sich die meisten Studenten, wenn sie mit dem Studium dieses wunderbaren Polyeders beginnen, es bereits klar vor. Alle oben genannten Attraktionen haben die richtige Form. Was regelmäßige Pyramide, und welche Eigenschaften es hat und wir werden reden weiter.

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Definition

Es gibt eine ganze Reihe von Definitionen für eine Pyramide. Seit der Antike erfreut es sich großer Beliebtheit.

Euklid definierte es beispielsweise als eine Körperfigur, die aus Ebenen besteht, die von einer Ebene ausgehend in einem bestimmten Punkt zusammenlaufen.

Heron lieferte eine präzisere Formulierung. Er bestand darauf, dass dies die Figur sei hat eine Basis und Ebenen in Form von Dreiecken, in einem Punkt zusammenlaufen.

Verlassen auf moderne Interpretation Die Pyramide wird als räumliches Polyeder dargestellt, das aus bestimmten k-Eck- und k-Flachfiguren besteht dreieckige Form, mit einem gemeinsamen Punkt.

Schauen wir es uns genauer an, Aus welchen Elementen besteht es:

• Das K-Eck gilt als Grundlage der Figur;
• Als Kanten des Seitenteils ragen 3-eckige Formen hervor;
• der obere Teil, von dem die Seitenelemente ausgehen, wird Apex genannt;
• alle Segmente, die einen Scheitelpunkt verbinden, werden Kanten genannt;
• Wenn eine gerade Linie vom Scheitelpunkt in einem Winkel von 90 Grad zur Ebene der Figur abgesenkt wird, ist ihr Teil darin eingeschlossen Innenraum— Höhe der Pyramide;
• In jedem Seitenelement kann eine Senkrechte, ein sogenanntes Apothem, zur Seite unseres Polyeders gezogen werden.

Die Anzahl der Kanten wird mit der Formel 2*k berechnet, wobei k die Anzahl der Seiten des k-Ecks ist. Wie viele Flächen ein Polyeder wie beispielsweise eine Pyramide hat, lässt sich mit dem Ausdruck k+1 ermitteln.

Wichtig! Eine Pyramide regelmäßiger Form ist eine stereometrische Figur, deren Grundebene ein k-Eck mit gleichen Seiten ist.

Grundeigenschaften

Richtige Pyramide hat viele Eigenschaften, die für sie einzigartig sind. Lassen Sie uns sie auflisten:

1. Die Basis ist eine Figur mit der richtigen Form.
2. Die Kanten der Pyramide, die die Seitenelemente begrenzen, haben gleiche Zahlenwerte.
3. Seitenelemente – gleichschenklige Dreiecke.
4. Die Höhenbasis der Figur fällt in die Mitte des Polygons und ist gleichzeitig Mittelpunkt des Eingeschriebenen und Umschriebenen.
5. Alle Seitenrippen sind im gleichen Winkel zur Grundebene geneigt.
6. Alle Seitenflächen haben gegenüber der Grundfläche den gleichen Neigungswinkel.

Dank aller aufgeführten Eigenschaften ist die Durchführung von Elementberechnungen wesentlich einfacher. Basierend auf den oben genannten Eigenschaften achten wir auf zwei Zeichen:

1. Wenn das Polygon in einen Kreis passt, haben die Seitenflächen eine Grundfläche gleiche Winkel.
2. Bei der Beschreibung eines Kreises um ein Polygon haben alle vom Scheitelpunkt ausgehenden Kanten der Pyramide die gleiche Länge und den gleichen Winkel zur Grundfläche.

Die Basis ist ein Quadrat

Regelmäßige viereckige Pyramide - ein Polyeder, dessen Grundfläche ein Quadrat ist.

Es hat vier Seitenflächen, die gleichschenklig aussehen.

Ein Quadrat wird auf einer Ebene dargestellt, basiert aber auf allen Eigenschaften eines regelmäßigen Vierecks.

Wenn Sie beispielsweise die Seite eines Quadrats mit seiner Diagonale in Beziehung setzen müssen, verwenden Sie die folgende Formel: Die Diagonale ist gleich dem Produkt aus der Seite des Quadrats und der Quadratwurzel aus zwei.

Es basiert auf einem regelmäßigen Dreieck

Eine regelmäßige dreieckige Pyramide ist ein Polyeder, dessen Grundfläche ein regelmäßiges Dreieck ist.

Wenn die Basis ein regelmäßiges Dreieck ist und die Seitenkanten gleich den Kanten der Basis sind, dann ist eine solche Figur ein Tetraeder genannt.

Alle Flächen eines Tetraeders sind gleichseitige 3-Ecke. In diesem Fall müssen Sie einige Punkte kennen und dürfen bei der Berechnung keine Zeit damit verschwenden:

• der Neigungswinkel der Rippen zu jeder Basis beträgt 60 Grad;
• die Größe aller Innenflächen beträgt ebenfalls 60 Grad;
• jedes Gesicht kann als Basis dienen;
• , innerhalb der Figur eingezeichnet, handelt es sich um gleiche Elemente.

Abschnitte eines Polyeders

In jedem Polyeder gibt es mehrere Arten von Abschnitten Wohnung. In einem Schulgeometriekurs arbeiten sie oft mit zwei:

• axial;
• parallel zur Basis.

Ein Axialschnitt entsteht durch den Schnitt eines Polyeders mit einer Ebene, die durch den Scheitelpunkt, die Seitenkanten und die Achse verläuft. In diesem Fall ist die Achse die vom Scheitelpunkt ausgehende Höhe. Die Schnittebene wird durch die Schnittlinien mit allen Flächen begrenzt, sodass ein Dreieck entsteht.

Aufmerksamkeit! Bei einer regelmäßigen Pyramide ist der axiale Abschnitt ein gleichschenkliges Dreieck.

Verläuft die Schnittebene parallel zur Grundfläche, so ergibt sich die zweite Möglichkeit. In diesem Fall haben wir eine Querschnittsfigur ähnlich der Basis.

Befindet sich beispielsweise an der Basis ein Quadrat, dann ist der zur Basis parallele Abschnitt ebenfalls ein Quadrat, nur mit kleineren Abmessungen.

Bei der Lösung von Problemen unter dieser Bedingung verwenden sie Zeichen und Eigenschaften der Ähnlichkeit von Figuren, basierend auf dem Satz von Thales. Zunächst muss der Ähnlichkeitskoeffizient bestimmt werden.

Zieht man die Ebene parallel zur Grundfläche und schneidet sie den oberen Teil des Polyeders ab, so erhält man im unteren Teil einen regelmäßigen Pyramidenstumpf. Dann nennt man die Grundflächen eines Polyederstumpfes ähnliche Polyeder. In diesem Fall sind die Seitenflächen gleichschenklige Trapeze. Der Axialschnitt ist ebenfalls gleichschenklig.

Um die Höhe eines Polyederstumpfes zu bestimmen, ist es notwendig, die Höhe im Axialschnitt, also im Trapez, einzutragen.

Oberflächenbereiche

Die wichtigsten geometrischen Probleme, die in einem Schulgeometriekurs gelöst werden müssen, sind Ermitteln der Oberfläche und des Volumens einer Pyramide.

Es gibt zwei Arten von Oberflächenwerten:

• Bereich der Seitenelemente;
• Fläche der gesamten Oberfläche.

Aus dem Namen selbst ist klar, wovon wir sprechen. Seitenfläche Enthält nur Seitenelemente. Daraus folgt, dass man, um es zu finden, lediglich die Flächen der Seitenebenen addieren muss, also die Flächen der gleichschenkligen 3-Ecke. Versuchen wir, die Formel für die Fläche der Seitenelemente abzuleiten:

1. Die Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks beträgt Str=1/2(aL), wobei a die Seite der Basis und L das Apothem ist.
2. Die Anzahl der Seitenebenen hängt von der Art des k-Ecks an der Basis ab. Zum Beispiel das Richtige viereckige Pyramide hat vier seitliche Ebenen. Daher ist es notwendig, die Flächen von vier Figuren Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L zu addieren. Der Ausdruck wird auf diese Weise vereinfacht, da der Wert 4a = Rosn ist, wobei Rosn der Umfang der Basis ist. Und der Ausdruck 1/2*Rosn ist sein Halbumfang.
3. Daraus schließen wir, dass die Fläche der Seitenelemente einer regelmäßigen Pyramide gleich dem Produkt aus dem Halbumfang der Basis und dem Apothem ist: Sside = Rosn * L.

Quadrat Vollflächig Pyramide besteht aus der Summe der Flächen der Seitenebenen und der Basis: Sp.p = Sside + Sbas.

Für die Grundfläche wird hier die Formel entsprechend der Art des Polygons verwendet.

Volumen einer regelmäßigen Pyramide gleich dem Produkt aus der Fläche der Grundebene und der Höhe dividiert durch drei: V=1/3*Sbas*H, wobei H die Höhe des Polyeders ist.

Was ist eine regelmäßige Pyramide in der Geometrie?

Eigenschaften einer regelmäßigen viereckigen Pyramide

Einführung

Als wir begannen, stereometrische Figuren zu studieren, berührten wir das Thema „Pyramide“. Dieses Thema hat uns gefallen, da die Pyramide in der Architektur sehr häufig verwendet wird. Und seit unserem zukünftiger Beruf Architektin, inspiriert von dieser Figur, wir glauben, dass sie uns zu großartigen Projekten antreiben kann.

Die Stärke architektonischer Strukturen ist ihre wichtigste Qualität. Sie verbinden Stärke erstens mit den Materialien, aus denen sie hergestellt sind, und zweitens mit den Eigenschaften konstruktive Lösungen Es stellt sich heraus, dass die Festigkeit einer Struktur in direktem Zusammenhang mit der ihr zugrunde liegenden geometrischen Form steht.

Mit anderen Worten, es handelt sich um die geometrische Figur, die als Modell des Entsprechenden betrachtet werden kann architektonische Form. Es stellt sich heraus, dass die geometrische Form auch die Stärke einer architektonischen Struktur bestimmt.

Seit der Antike gelten die ägyptischen Pyramiden als die langlebigsten architektonischen Bauwerke. Wie Sie wissen, haben sie die Form regelmäßiger viereckiger Pyramiden.

Es ist diese geometrische Form, die die größte Stabilität bietet großes Gebiet Gründe. Andererseits sorgt die Pyramidenform dafür, dass die Masse mit zunehmender Höhe über dem Boden abnimmt. Es sind diese beiden Eigenschaften, die die Pyramide stabil und damit stark unter den Bedingungen der Schwerkraft machen.

Ziel des Projekts: Lernen Sie etwas Neues über Pyramiden, vertiefen Sie Ihr Wissen und finden Sie praktische Anwendung.

Um dieses Ziel zu erreichen, mussten folgende Aufgaben gelöst werden:

· Erfahren Sie historische Informationen über die Pyramide

· Betrachten Sie die Pyramide als geometrische Figur

· Finden Sie Anwendung im Leben und in der Architektur

· Finden Sie die Ähnlichkeiten und Unterschiede zwischen den Pyramiden in verschiedene Teile Sweta

Theoretischer Teil

Historische Informationen

Der Beginn der Geometrie der Pyramide wurde im alten Ägypten und Babylon gelegt, aber sie wurde dort aktiv weiterentwickelt Antikes Griechenland. Der erste, der das Volumen der Pyramide festlegte, war Demokrit, und Eudoxos von Knidos bewies es. Der antike griechische Mathematiker Euklid systematisierte das Wissen über die Pyramide im XII. Band seiner „Elemente“ und leitete auch die erste Definition einer Pyramide ab: eine feste Figur, die von Ebenen begrenzt wird, die von einer Ebene zu einem Punkt zusammenlaufen.

Gräber ägyptischer Pharaonen. Die größten von ihnen – die Pyramiden von Cheops, Khafre und Mikerin in El Gizeh – galten in der Antike als eines der sieben Weltwunder. Der Bau der Pyramide, in der bereits die Griechen und Römer ein Denkmal für den beispiellosen Stolz der Könige und die Grausamkeit sahen, die das gesamte ägyptische Volk zu sinnlosem Bau verurteilte, war der wichtigste Kultakt und sollte offenbar das zum Ausdruck bringen mystische Identität des Landes und seines Herrschers. Die Bevölkerung des Landes arbeitete während des von landwirtschaftlicher Arbeit freien Teils des Jahres am Bau des Grabes. Eine Reihe von Texten zeugen von der Aufmerksamkeit und Sorgfalt, die die Könige selbst (wenn auch aus späterer Zeit) dem Bau ihres Grabes und seiner Erbauer widmeten. Es ist auch bekannt, dass der Pyramide selbst besondere Kultverehrung zuteil wurde.

Grundlegendes Konzept

Pyramide wird ein Polyeder genannt, dessen Basis ein Polygon ist und dessen verbleibende Flächen Dreiecke sind, die einen gemeinsamen Scheitelpunkt haben.

Apothema- die Höhe der Seitenfläche einer regelmäßigen Pyramide, ausgehend von ihrer Spitze;

Seitenflächen- Dreiecke, die sich an einem Scheitelpunkt treffen;

Seitliche Rippen- gemeinsame Seiten der Seitenflächen;

Spitze der Pyramide- ein Punkt, der die Seitenrippen verbindet und nicht in der Ebene der Basis liegt;

Höhe- ein senkrechtes Segment, das durch die Spitze der Pyramide zur Ebene ihrer Basis gezogen wird (die Enden dieses Segments sind die Spitze der Pyramide und die Basis der Senkrechten);

Diagonalschnitt einer Pyramide- Abschnitt der Pyramide, der durch die Spitze und die Diagonale der Basis verläuft;

Base- ein Polygon, das nicht zum Scheitelpunkt der Pyramide gehört.

Grundlegende Eigenschaften einer regelmäßigen Pyramide

Die Seitenkanten, Seitenflächen und Apotheme sind jeweils gleich.

Die Diederwinkel an der Basis sind gleich.

Die Diederwinkel an den Seitenkanten sind gleich.

Jeder Höhenpunkt ist von allen Eckpunkten der Basis gleich weit entfernt.

Jeder Höhenpunkt ist von allen Seitenflächen gleich weit entfernt.

Grundlegende Pyramidenformeln

Die Fläche der Seiten- und Gesamtfläche der Pyramide.

Die Fläche der Seitenfläche einer Pyramide (voll und stumpf) ist die Summe der Flächen aller ihrer Seitenflächen, die Gesamtoberfläche ist die Summe der Flächen aller ihrer Flächen.

Satz: Die Fläche der Mantelfläche einer regelmäßigen Pyramide ist gleich der Hälfte des Produkts aus dem Umfang der Grundfläche und dem Apothem der Pyramide.

P- Grundumfang;

H- Apothem.

Die Fläche der Seiten- und Vollflächen eines Pyramidenstumpfes.

S. 1, P 2 - Grundumfang;

H- Apothem.

R- Gesamtoberfläche eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes;

S-Seite- Fläche der Mantelfläche eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes;

S 1 + S 2- Grundfläche

Volumen der Pyramide

Bilden Volumen ula wird für Pyramiden jeglicher Art verwendet.

H- Höhe der Pyramide.

Pyramidenecken

Die von der Seitenfläche und der Basis der Pyramide gebildeten Winkel werden Diederwinkel an der Basis der Pyramide genannt.

Diederwinkel gebildet durch zwei Senkrechte.

Um diesen Winkel zu bestimmen, müssen Sie häufig den Satz der drei senkrechten Winkel verwenden.

Die Winkel, die die Seitenkante und ihre Projektion auf die Grundebene bilden, werden aufgerufen Winkel zwischen der Seitenkante und der Ebene der Basis.

Der von zwei Seitenkanten gebildete Winkel heißt Diederwinkel am Seitenrand der Pyramide.

Der Winkel, den zwei Seitenkanten einer Seite der Pyramide bilden, wird aufgerufen Winkel an der Spitze der Pyramide.

Pyramidenabschnitte

Die Oberfläche einer Pyramide ist die Oberfläche eines Polyeders. Jede ihrer Flächen ist eine Ebene, daher ist der durch eine Schnittebene definierte Abschnitt einer Pyramide eine gestrichelte Linie, die aus einzelnen geraden Linien besteht.

Diagonaler Abschnitt

Der Schnitt einer Pyramide durch eine Ebene, die durch zwei Seitenkanten verläuft, die nicht auf derselben Seite liegen, wird genannt Diagonalabschnitt Pyramiden.

Parallele Abschnitte

Satz:

Wenn eine Pyramide von einer Ebene parallel zur Basis geschnitten wird, dann seitliche Rippen und die Höhen der Pyramide werden durch diese Ebene in proportionale Teile geteilt;

Der Schnitt dieser Ebene ist ein der Grundfläche ähnliches Polygon;

Die Flächen des Abschnitts und der Basis stehen im Verhältnis zueinander als Quadrate ihrer Abstände vom Scheitelpunkt.

Arten von Pyramiden

Richtige Pyramide- eine Pyramide, deren Basis ist regelmäßiges Vieleck, und die Spitze der Pyramide wird in die Mitte der Basis projiziert.

Für eine regelmäßige Pyramide:

1. Seitenrippen sind gleich

2. Seitenflächen sind gleich

3. Apotheme sind gleich

4. Die Diederwinkel an der Basis sind gleich

5. Die Diederwinkel an den Seitenkanten sind gleich

6. Jeder Höhenpunkt ist von allen Eckpunkten der Basis gleich weit entfernt

7. Jeder Höhenpunkt ist von allen Seitenkanten gleich weit entfernt

Pyramidenstumpf- Teil der Pyramide, der zwischen ihrer Basis und einer zur Basis parallelen Schnittebene eingeschlossen ist.

Die Basis und der entsprechende Abschnitt eines Pyramidenstumpfes werden genannt Basen eines Pyramidenstumpfes.

Eine Senkrechte, die von einem beliebigen Punkt einer Basis zur Ebene einer anderen gezogen wird, heißt die Höhe eines Pyramidenstumpfes.

Aufgaben

Nr. 1. In einer regelmäßigen viereckigen Pyramide ist Punkt O der Mittelpunkt der Basis, SO=8 cm, BD=30 cm. Finden Sie die Seitenkante SA.

Probleme lösen

Nr. 1. In einer regelmäßigen Pyramide sind alle Flächen und Kanten gleich.

Betrachten Sie OSB: OSB ist ein rechteckiges Rechteck, weil.

SB 2 =SO 2 +OB 2

SB 2 =64+225=289

Pyramide in der Architektur

Eine Pyramide ist ein monumentales Bauwerk in der Form eines gewöhnlichen Regelkreises geometrische Pyramide, bei dem die Seiten in einem Punkt zusammenlaufen. Von funktionaler Zweck In der Antike waren Pyramiden Orte der Bestattung oder Kultverehrung. Die Basis einer Pyramide kann eine dreieckige, viereckige oder vieleckige Form mit einer beliebigen Anzahl an Eckpunkten haben, die gebräuchlichste Version ist jedoch die viereckige Basis.

Es gibt eine beträchtliche Anzahl von Pyramiden, die von verschiedenen Kulturen erbaut wurden. Antike Welt hauptsächlich als Tempel oder Denkmäler. Zu den großen Pyramiden zählen die ägyptischen Pyramiden.

Überall auf der Erde können Sie sehen architektonische Strukturen in Form von Pyramiden. Die Pyramidengebäude erinnern an antike Zeiten und sehen sehr schön aus.

Ägyptische Pyramiden sind die größten Baudenkmäler Antikes Ägypten, darunter eines der „Sieben Weltwunder“ die Cheopspyramide. Vom Fuß bis zum Gipfel erreicht er eine Höhe von 137,3 m, und bevor er den Gipfel verlor, betrug seine Höhe 146,7 m

Das Gebäude des Radiosenders in der Hauptstadt der Slowakei, das einer umgekehrten Pyramide ähnelt, wurde 1983 erbaut. Neben Büros und Serviceräumen befindet sich im Inneren des Gebäudes ein recht geräumiger Konzertsaal, der über eine der größten Orgeln der Slowakei verfügt.

Der Louvre, der „still, unveränderlich und majestätisch wie eine Pyramide“ ist, hat im Laufe der Jahrhunderte viele Veränderungen durchgemacht, bevor er zum größten Museum der Welt wurde. Es entstand als Festung, die 1190 von Philipp Augustus errichtet wurde und bald zu einer königlichen Residenz wurde. 1793 wurde der Palast zum Museum. Sammlungen werden durch Schenkungen oder Ankäufe bereichert.

Pyramide. Pyramidenstumpf

Pyramide ist ein Polyeder, dessen eine Fläche ein Polygon ist ( Base ), und alle anderen Flächen sind Dreiecke mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt ( Seitenflächen ) (Abb. 15). Die Pyramide heißt richtig , wenn seine Grundfläche ein regelmäßiges Vieleck ist und die Spitze der Pyramide in die Mitte der Grundfläche projiziert wird (Abb. 16). Man nennt eine dreieckige Pyramide, bei der alle Kanten gleich sind Tetraeder .

Seitliche Rippe einer Pyramide ist die Seite der Seitenfläche, die nicht zur Grundfläche gehört Höhe Pyramide ist der Abstand von ihrer Spitze zur Ebene der Basis. Alle Seitenkanten einer regelmäßigen Pyramide sind einander gleich, alle Seitenflächen sind gleichschenklige Dreiecke. Die Höhe der Seitenfläche einer vom Scheitel aus gezogenen regelmäßigen Pyramide wird aufgerufen Apothema . Diagonaler Abschnitt heißt ein Abschnitt einer Pyramide durch eine Ebene, die durch zwei Seitenkanten verläuft, die nicht zur gleichen Fläche gehören.

Seitenfläche Pyramide ist die Summe der Flächen aller Seitenflächen. Gesamtfläche heißt die Summe der Flächen aller Seitenflächen und der Grundfläche.

Theoreme

1. Wenn bei einer Pyramide alle Seitenkanten gleichmäßig zur Grundebene geneigt sind, dann wird die Spitze der Pyramide in die Mitte des in der Nähe der Grundfläche umschriebenen Kreises projiziert.

2. Wenn alle Seitenkanten einer Pyramide gleich lang sind, wird die Spitze der Pyramide in die Mitte eines Kreises projiziert, der nahe der Basis umschrieben wird.

3. Wenn alle Flächen einer Pyramide gleich stark zur Grundebene geneigt sind, wird die Spitze der Pyramide in die Mitte eines in die Grundfläche eingeschriebenen Kreises projiziert.

Um das Volumen einer beliebigen Pyramide zu berechnen, lautet die richtige Formel:

Wo V- Lautstärke;

S-Basis- Grundfläche;

H– Höhe der Pyramide.

Für eine regelmäßige Pyramide sind die folgenden Formeln korrekt:

Wo P– Grundumfang;

h a– Apothem;

H- Höhe;

S voll

S-Seite

S-Basis- Grundfläche;

V– Volumen einer regelmäßigen Pyramide.

Pyramidenstumpf bezeichnet den Teil der Pyramide, der zwischen der Basis und einer Schnittebene parallel zur Basis der Pyramide eingeschlossen ist (Abb. 17). Regelmäßiger Pyramidenstumpf bezeichnet den Teil einer regelmäßigen Pyramide, der zwischen der Basis und einer Schnittebene parallel zur Basis der Pyramide eingeschlossen ist.

Gründe Pyramidenstumpf - ähnliche Polygone. Seitenflächen – Trapeze. Höhe eines Pyramidenstumpfes ist der Abstand zwischen seinen Grundflächen. Diagonale Ein Pyramidenstumpf ist ein Segment, das seine Spitzen verbindet, die nicht auf derselben Seite liegen. Diagonaler Abschnitt ist ein Schnitt durch einen Pyramidenstumpf durch eine Ebene, die durch zwei Seitenkanten verläuft, die nicht zur gleichen Fläche gehören.

Für einen Pyramidenstumpf gelten folgende Formeln:

(4)

Wo S 1 , S 2 – Bereiche der oberen und unteren Basis;

S voll– Gesamtfläche;

S-Seite– seitliche Oberfläche;

H- Höhe;

V– Volumen eines Pyramidenstumpfes.

Für einen regelmäßigen Pyramidenstumpf ist die Formel korrekt:

Wo P 1 , P 2 – Umfang der Sockel;

h a– Apothem eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes.

Beispiel 1. Bei einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide beträgt der Diederwinkel an der Basis 60°. Finden Sie den Tangens des Neigungswinkels der Seitenkante zur Ebene der Basis.

Lösung. Machen wir eine Zeichnung (Abb. 18).

Die Pyramide ist regelmäßig, das heißt, an der Basis befindet sich ein gleichseitiges Dreieck und alle Seitenflächen sind gleichschenklige Dreiecke. Der Diederwinkel an der Basis ist der Neigungswinkel der Seitenfläche der Pyramide zur Ebene der Basis. Der lineare Winkel ist der Winkel A zwischen zwei Senkrechten: usw. Die Spitze der Pyramide wird auf die Mitte des Dreiecks projiziert (die Mitte des Umkreises und des eingeschriebenen Kreises des Dreiecks). ABC). Der Neigungswinkel der Seitenkante (z.B S.B.) ist der Winkel zwischen der Kante selbst und ihrer Projektion auf die Ebene der Basis. Für die Rippe S.B. Dieser Winkel wird der Winkel sein SBD. Um die Tangente zu finden, müssen Sie die Beine kennen ALSO Und O.B.. Sei die Länge des Segments BD gleich 3 A. Punkt UM Liniensegment BD ist in Teile unterteilt: und Von wir finden ALSO: Daraus finden wir:

Antwort:

Beispiel 2. Ermitteln Sie das Volumen einer regelmäßigen viereckigen Pyramide, wenn die Diagonalen ihrer Grundflächen gleich cm und cm sind und ihre Höhe 4 cm beträgt.

Lösung. Um das Volumen eines Pyramidenstumpfes zu ermitteln, verwenden wir Formel (4). Um die Fläche der Basen zu ermitteln, müssen Sie die Seiten der Basisquadrate ermitteln und dabei deren Diagonalen kennen. Die Seiten der Basen betragen jeweils 2 cm und 8 cm. Das bedeutet, dass die Flächen der Basen und unter Einsetzen aller Daten in die Formel das Volumen des Pyramidenstumpfs berechnen:

Antwort: 112cm3.

Beispiel 3. Finden Sie die Fläche der Seitenfläche eines regelmäßigen dreieckigen Pyramidenstumpfes, dessen Grundseiten 10 cm und 4 cm betragen und die Höhe der Pyramide 2 cm beträgt.

Lösung. Machen wir eine Zeichnung (Abb. 19).

Die Seitenfläche dieser Pyramide ist ein gleichschenkliges Trapez. Um die Fläche eines Trapezes zu berechnen, müssen Sie die Grundfläche und Höhe kennen. Die Sockel sind dem Zustand entsprechend angegeben, lediglich die Höhe bleibt unbekannt. Wir werden sie von wo aus finden A 1 E senkrecht von einem Punkt A 1 auf der Ebene der unteren Basis, A 1 D– senkrecht von A 1 pro Wechselstrom. A 1 E= 2 cm, da dies die Höhe der Pyramide ist. Finden DE Lassen Sie uns eine zusätzliche Zeichnung erstellen, die die Draufsicht zeigt (Abb. 20). Punkt UM– Projektion der Mittelpunkte der oberen und unteren Basis. da (siehe Abb. 20) und andererseits OK– Radius eingeschrieben in den Kreis und OM– In einen Kreis eingeschriebener Radius:

MK = DE.

Nach dem Satz des Pythagoras von

Seitenfläche:

Antwort:

Beispiel 4. An der Basis der Pyramide liegt ein gleichschenkliges Trapez, dessen Grundflächen A Und B (A> B). Jede Seitenfläche bildet einen Winkel, der der Ebene der Pyramidenbasis entspricht J. Finden Sie die Gesamtoberfläche der Pyramide.

Lösung. Machen wir eine Zeichnung (Abb. 21). Gesamtoberfläche der Pyramide SABCD gleich der Summe der Flächen und der Fläche des Trapezes A B C D.

Lassen Sie uns die Aussage verwenden, dass, wenn alle Flächen der Pyramide gleichermaßen zur Ebene der Grundfläche geneigt sind, der Scheitelpunkt in die Mitte des in die Grundfläche eingeschriebenen Kreises projiziert wird. Punkt UM– Scheitelpunktprojektion S am Fuß der Pyramide. Dreieck SOD ist die orthogonale Projektion des Dreiecks CSD zur Ebene der Basis. Mit dem Satz über die Fläche der orthogonalen Projektion einer ebenen Figur erhalten wir:

Ebenso bedeutet es Somit reduzierte sich das Problem darauf, die Fläche des Trapezes zu finden A B C D. Zeichnen wir ein Trapez A B C D separat (Abb. 22). Punkt UM– der Mittelpunkt eines Kreises, der in ein Trapez eingeschrieben ist.

Da ein Kreis in ein Trapez eingeschrieben werden kann, dann oder Aus dem Satz des Pythagoras haben wir

Eine dreieckige Pyramide ist eine Pyramide, die an ihrer Basis ein Dreieck hat. Die Höhe dieser Pyramide ist die Senkrechte, die von der Spitze der Pyramide zu ihrer Basis abgesenkt wird.

Die Höhe einer Pyramide ermitteln

Wie finde ich die Höhe einer Pyramide? Sehr einfach! Um die Höhe eines beliebigen zu ermitteln Dreieckige Pyramide Sie können die Volumenformel verwenden: V = (1/3)Sh, wobei S die Grundfläche, V das Volumen der Pyramide und h ihre Höhe ist. Leiten Sie aus dieser Formel die Höhenformel ab: Um die Höhe einer dreieckigen Pyramide zu ermitteln, müssen Sie das Volumen der Pyramide mit 3 multiplizieren und dann den resultierenden Wert durch die Grundfläche dividieren. Dies ergibt: h = (3V)/S. Da die Grundfläche einer dreieckigen Pyramide ein Dreieck ist, können Sie mit der Formel die Fläche eines Dreiecks berechnen. Wenn wir wissen: die Fläche des Dreiecks S und seine Seite z, dann gilt gemäß der Flächenformel S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, wobei h die Höhe der Pyramide, γ, ist ist die Kante des Dreiecks; der Winkel zwischen den Seiten des Dreiecks und den beiden Seiten selbst, dann ermitteln wir mit der folgenden Formel: S = (1/2)γφsinQ, wobei γ, φ die Seiten des Dreiecks sind, die Fläche des Dreiecks. Der Wert des Sinus des Winkels Q muss der Sinustabelle entnommen werden, die im Internet verfügbar ist. Als nächstes setzen wir den Flächenwert in die Höhenformel ein: h = (2S)/γ. Wenn die Aufgabe die Berechnung der Höhe einer dreieckigen Pyramide erfordert, ist das Volumen der Pyramide bereits bekannt.

Regelmäßige dreieckige Pyramide

Ermitteln Sie die Höhe einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide, d. h. einer Pyramide, bei der alle Flächen gleichseitige Dreiecke sind, und kennen Sie dabei die Größe der Kante γ. In diesem Fall sind die Kanten der Pyramide die Seiten gleichseitiger Dreiecke. Die Höhe einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide beträgt: h = γ√(2/3), wobei γ die Kante des gleichseitigen Dreiecks und h die Höhe der Pyramide ist. Wenn die Grundfläche (S) unbekannt ist und nur die Kantenlänge (γ) und das Volumen (V) des Polyeders angegeben sind, muss die notwendige Variable in der Formel aus dem vorherigen Schritt ersetzt werden durch sein Äquivalent, das als Kantenlänge ausgedrückt wird. Die Fläche eines Dreiecks (regulär) ist gleich 1/4 des Produkts aus der Seitenlänge dieses Dreiecks zum Quadrat und der Quadratwurzel aus 3. Wir ersetzen diese Formel anstelle der Grundfläche in der vorherigen Formel, und wir erhalten die folgende Formel: h = 3V4/(γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). Das Volumen eines Tetraeders kann durch die Länge seiner Kante ausgedrückt werden. Aus der Formel zur Berechnung der Höhe einer Figur können Sie dann alle Variablen entfernen und nur die Seite der dreieckigen Fläche der Figur belassen. Das Volumen einer solchen Pyramide lässt sich berechnen, indem man das Produkt der Kubiklänge ihrer Fläche durch die Quadratwurzel von 2 durch 12 dividiert.

Wenn wir diesen Ausdruck in die vorherige Formel einsetzen, erhalten wir die folgende Berechnungsformel: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ √(2 /3) = (1/3)γ√6. Außerdem kann ein regelmäßiges dreieckiges Prisma in eine Kugel eingeschrieben werden, und wenn man nur den Radius der Kugel (R) kennt, kann man die Höhe des Tetraeders selbst ermitteln. Die Länge der Tetraederkante beträgt: γ = 4R/√6. Wir ersetzen die Variable γ durch diesen Ausdruck in der vorherigen Formel und erhalten die Formel: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. Die gleiche Formel kann erhalten werden, wenn man den Radius (R) eines in ein Tetraeder eingeschriebenen Kreises kennt. In diesem Fall beträgt die Länge der Dreieckskante 12 Verhältnisse dazwischen Quadratwurzel von 6 und Radius. Wir setzen diesen Ausdruck in die vorherige Formel ein und erhalten: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.

So ermitteln Sie die Höhe einer regelmäßigen viereckigen Pyramide

Um die Frage zu beantworten, wie man die Länge und Höhe einer Pyramide ermittelt, müssen Sie wissen, was eine regelmäßige Pyramide ist. Eine viereckige Pyramide ist eine Pyramide, die an ihrer Basis ein Viereck hat. Wenn wir unter den Bedingungen des Problems Folgendes haben: Volumen (V) und Fläche der Basis (S) der Pyramide, dann lautet die Formel zur Berechnung der Höhe des Polyeders (h) wie folgt: Teilen Sie das Volumen multipliziert um 3 um die Fläche S: h = (3V)/S. Ersetzen Sie bei einer quadratischen Grundfläche einer Pyramide mit gegebenem Volumen (V) und gegebener Seitenlänge γ die Fläche (S) in der vorherigen Formel durch das Quadrat der Seitenlänge: S = γ 2 ; H = 3V/γ2. Die Höhe einer regelmäßigen Pyramide h = SO verläuft genau durch den Mittelpunkt des Kreises, der nahe der Basis umschrieben wird. Da die Basis dieser Pyramide ein Quadrat ist, ist Punkt O der Schnittpunkt der Diagonalen AD und BC. Wir haben: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Als nächstes sind wir dabei rechtwinkliges Dreieck Wir finden SOC (unter Verwendung des Satzes des Pythagoras): SO = √(SC 2 -OC 2). Jetzt wissen Sie, wie Sie die Höhe einer regelmäßigen Pyramide ermitteln.