Formeln für die Fläche der Mantel- und Gesamtfläche eines Kegels. Fläche der Mantel- und Gesamtfläche des Kegels

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Unterrichtsart: eine Lektion zum Erlernen neuer Materialien unter Verwendung von Elementen einer problembasierten Entwicklungslehrmethode.

Lernziele:

• lehrreich:
  • Kennenlernen eines neuen mathematischen Konzepts;
  • Gründung neuer Ausbildungszentren;
  • Bildung praktischer Problemlösungsfähigkeiten.
• Entwicklung:
  • Entwicklung des unabhängigen Denkens der Studierenden;
  • Kompetenzentwicklung richtige Rede Schulkinder.
• lehrreich:
  • Entwicklung von Teamfähigkeiten.

Unterrichtsausrüstung: Magnettafel, Computer, Leinwand, Multimediaprojektor, Kegelmodell, Unterrichtspräsentation, Handouts.

Unterrichtsziele (für Studierende):

• lernen Sie ein neues geometrisches Konzept kennen - Kegel;
• Leiten Sie eine Formel zur Berechnung der Oberfläche eines Kegels ab.
• lernen, das erworbene Wissen bei der Lösung praktischer Probleme anzuwenden.

Während des Unterrichts

Stufe I. Organisatorisch.

Abgabe von Heften mit Heimtestarbeiten zum behandelten Thema.

Die Schüler sind eingeladen, durch Lösen des Rätsels das Thema der kommenden Unterrichtsstunde herauszufinden (Folie 1):

Bild 1.

Bekanntgabe des Themas und der Ziele des Unterrichts an die Schüler (Folie 2).

Stufe II. Erläuterung des neuen Materials.

1) Vortrag des Lehrers.

Auf der Tafel befindet sich eine Tabelle mit dem Bild eines Kegels. Neues Material wird mit dem Programmmaterial „Stereometrie“ erläutert. Auf dem Bildschirm erscheint ein dreidimensionales Bild eines Kegels. Der Lehrer gibt die Definition eines Kegels und spricht über seine Elemente. (Folie 3). Man sagt, ein Kegel sei ein Körper, der durch die Drehung eines rechtwinkligen Dreiecks relativ zu einem Bein entsteht. (Folien 4, 5). Es erscheint ein Bild eines Scans der Seitenfläche des Kegels. (Folie 6)

2) Praktische Arbeit.

Grundkenntnisse aktualisieren: Wiederholen Sie die Formeln zur Berechnung der Fläche eines Kreises, der Fläche eines Sektors, der Länge eines Kreises, der Länge eines Kreisbogens. (Folien 7–10)

Die Klasse wird in Gruppen eingeteilt. Jede Gruppe erhält einen Scan der Mantelfläche des aus Papier ausgeschnittenen Kegels (ein Kreissektor mit einer zugewiesenen Nummer). Die Studierenden nehmen die notwendigen Messungen vor und berechnen die Fläche des resultierenden Sektors. Anweisungen zur Arbeitsausführung, Fragen – Problemstellungen – erscheinen auf dem Bildschirm (Folien 11–14). Ein Vertreter jeder Gruppe schreibt die Ergebnisse der Berechnungen in eine an der Tafel vorbereitete Tabelle. Die Teilnehmer jeder Gruppe kleben aus der Vorlage, die sie haben, ein Modell eines Kegels zusammen. (Folie 15)

3) Darstellung und Lösung des Problems.

Wie berechnet man die Mantelfläche eines Kegels, wenn nur der Radius der Grundfläche und die Länge der Mantellinie des Kegels bekannt sind? (Folie 16)

Jede Gruppe nimmt die erforderlichen Messungen vor und versucht anhand der verfügbaren Daten eine Formel zur Berechnung der benötigten Fläche abzuleiten. Bei dieser Arbeit sollten Schulkinder beachten, dass der Umfang der Kegelbasis gleich der Länge des Sektorbogens ist – der Entwicklung der Mantelfläche dieses Kegels. (Folien 17–21) Anhand der notwendigen Formeln wird die gewünschte Formel abgeleitet. Die Argumente der Studierenden sollten etwa so aussehen:

Der Sektor-Sweep-Radius ist gleich lch, Gradmaß des Bogens – φ. Die Fläche des Sektors wird nach der Formel berechnet: Die Länge des diesen Sektor begrenzenden Bogens ist gleich dem Radius der Kegelbasis R. Die Länge des an der Kegelbasis liegenden Kreises beträgt C = 2πR . Beachten Sie, dass die Fläche der Seitenfläche des Kegels gleich der Entwicklungsfläche seiner Seitenfläche ist

Die Fläche der Mantelfläche des Kegels wird also nach der Formel berechnet S BSB = πRl.

Nach der Berechnung der Mantelfläche des Kegelmodells anhand einer unabhängig abgeleiteten Formel schreibt ein Vertreter jeder Gruppe das Ergebnis der Berechnungen entsprechend den Modellnummern in eine Tabelle an die Tafel. Die Berechnungsergebnisse in jeder Zeile müssen gleich sein. Auf dieser Grundlage bestimmt der Lehrer die Richtigkeit der Schlussfolgerungen jeder Gruppe. Die Ergebnistabelle sollte so aussehen:

Modellparameter:

1. l=12 cm, φ =120°
2. l=10 cm, φ =150°
3. l=15 cm, φ =120°
4. l=10 cm, φ =170°
5. l=14 cm, φ =110°

Die Annäherung von Berechnungen ist mit Messfehlern verbunden.

Nach Überprüfung der Ergebnisse erscheint die Ausgabe der Formeln für die Flächen der Mantel- und Gesamtflächen des Kegels auf dem Bildschirm (Folien 22–26), Schüler machen Notizen in Notizbüchern.

Stufe III. Konsolidierung des untersuchten Materials.

1) Studenten werden angeboten Probleme zur mündlichen Lösung anhand vorgefertigter Zeichnungen.

Ermitteln Sie die Flächen der vollständigen Oberflächen der in den Abbildungen gezeigten Kegel (Folien 27–32).

2) Frage: Sind die Oberflächenflächen von Kegeln, die durch die Drehung eines rechtwinkligen Dreiecks um verschiedene Schenkel entstehen, gleich? Die Schüler stellen eine Hypothese auf und testen diese. Die Hypothese wird durch das Lösen von Problemen überprüft und vom Schüler an die Tafel geschrieben.

Gegeben:Δ ABC, ∠C=90°, AB=c, AC=b, BC=a;

ВАА", АВВ" – Rotationskörper.

Finden: S PPK 1, S PPK 2.

Abbildung 5. (Folie 33)

Lösung:

1) R=BC = a; S PPK 1 = S BSB 1 + S Haupt 1 = π a c + π a 2 = π a (a + c).

2) R=AC = b; S PPK 2 = S BSB 2 + S Base 2 = π b c+π b 2 = π b (b + c).

Wenn S PPK 1 = S PPK 2, dann a 2 +ac = b 2 + bc, a 2 - b 2 + ac - bc = 0, (a-b)(a+b+c) = 0. Weil a, b, c – positive Zahlen (die Längen der Seiten des Dreiecks), die Gleichheit ist nur dann wahr, wenn a =B.

Abschluss: Die Oberflächen zweier Kegel sind nur dann gleich, wenn die Seiten des Dreiecks gleich sind. (Folie 34)

3) Lösung des Problems aus dem Lehrbuch: Nr. 565.

Stufe IV. Zusammenfassung der Lektion.

Hausaufgaben: Absätze 55, 56; Nr. 548, Nr. 561. (Folie 35)

Bekanntgabe der vergebenen Noten.

Schlussfolgerungen während des Unterrichts, Wiederholung der wichtigsten während des Unterrichts erhaltenen Informationen.

Literatur (Folie 36)

1. Geometrieklassen 10–11 – Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev et al., „Prosveshchenie“, 2008.
2. „Mathematische Rätsel und Scharaden“ – N.V. Udaltsova, Bibliothek „Erster September“, Reihe „MATHEMATIK“, Ausgabe 35, M., Chistye Prudy, 2010.

Wir wissen, was ein Kegel ist. Versuchen wir, seine Oberfläche zu ermitteln. Warum müssen Sie ein solches Problem lösen? Sie möchten zum Beispiel wissen, wie viel Teig für die Herstellung einer Waffelwaffel benötigt wird? Oder wie viele Steine ​​braucht man, um das Dach einer Ziegelburg zu bauen?

Die Messung der Mantelfläche eines Kegels ist einfach nicht möglich. Aber stellen wir uns das gleiche Horn vor, das in Stoff gehüllt ist. Um die Fläche eines Stoffstücks zu ermitteln, müssen Sie es ausschneiden und auf dem Tisch auslegen. Das Ergebnis ist eine flache Figur, deren Fläche wir ermitteln können.

Reis. 1. Schnitt eines Kegels entlang der Mantellinie

Machen wir dasselbe mit dem Kegel. Lassen Sie uns seine Seitenfläche zum Beispiel entlang einer beliebigen Mantellinie „schneiden“ (siehe Abb. 1).

Lassen Sie uns nun die Seitenfläche auf eine Ebene „abwickeln“. Wir bekommen einen Sektor. Der Mittelpunkt dieses Sektors ist der Scheitelpunkt des Kegels, der Radius des Sektors ist gleich der Erzeugenden des Kegels und die Länge seines Bogens stimmt mit dem Umfang der Kegelbasis überein. Ein solcher Sektor wird als Entwicklung der Mantelfläche des Kegels bezeichnet (siehe Abb. 2).

Reis. 2. Entwicklung der Seitenfläche

Reis. 3. Winkelmessung im Bogenmaß

Versuchen wir, anhand der verfügbaren Daten die Fläche des Sektors zu ermitteln. Lassen Sie uns zunächst die Notation einführen: Der Winkel am Scheitelpunkt des Sektors sei im Bogenmaß angegeben (siehe Abb. 3).

Bei Problemen müssen wir uns oft mit dem Winkel am oberen Ende des Sweeps auseinandersetzen. Versuchen wir zunächst, die Frage zu beantworten: Kann dieser Winkel nicht mehr als 360 Grad betragen? Das heißt, würde es nicht passieren, dass sich der Sweep überlappen würde? Natürlich nicht. Lassen Sie uns dies mathematisch beweisen. Lassen Sie den Scan sich selbst „überlagern“. Dies bedeutet, dass die Länge des Sweep-Bogens größer ist als die Länge des Kreises mit dem Radius. Aber wie bereits erwähnt, ist die Länge des Sweep-Bogens die Länge des Kreises mit dem Radius. Und der Radius der Kegelbasis ist natürlich kleiner als die Erzeugende, weil zum Beispiel der Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks kleiner ist als die Hypotenuse

Dann erinnern wir uns an zwei Formeln aus dem Planimetriekurs: Bogenlänge. Branchengebiet: .

In unserem Fall übernimmt der Generator die Rolle , und die Länge des Bogens ist gleich dem Umfang der Kegelbasis, das heißt. Wir haben:

Schließlich erhalten wir: .

Neben der Fläche der Mantelfläche findet man auch die Fläche Vollflächig. Dazu addieren Sie die Fläche der Basis zur Fläche der Mantelfläche. Aber die Basis ist ein Kreis mit einem Radius, dessen Fläche gemäß der Formel gleich ist.

Endlich haben wir: , Wo ist der Radius der Basis des Zylinders, ist die Generatrix.

Lassen Sie uns ein paar Probleme mit den angegebenen Formeln lösen.

Reis. 4. Erforderlicher Winkel

Beispiel 1. Die Mantelfläche des Kegels verläuft sektorförmig mit einem Winkel an der Spitze. Finden Sie diesen Winkel, wenn die Höhe des Kegels 4 cm und der Radius der Basis 3 cm beträgt (siehe Abb. 4).

Reis. 5. Rechtwinkliges Dreieck, einen Kegel bildend

Durch die erste Aktion ermitteln wir nach dem Satz des Pythagoras den Generator: 5 cm (siehe Abb. 5). Als nächstes wissen wir das .

Beispiel 2. Die axiale Querschnittsfläche des Kegels ist gleich, die Höhe ist gleich. Ermitteln Sie die Gesamtoberfläche (siehe Abb. 6).

Die Oberfläche eines Kegels (oder einfach die Oberfläche eines Kegels) ist gleich der Summe der Flächen der Grundfläche und der Mantelfläche.

Die Fläche der Mantelfläche des Kegels wird nach der Formel berechnet: S = πR l, wobei R der Radius der Kegelbasis ist und l- Einen Kegel formen.

Da die Fläche der Kegelbasis gleich πR 2 (als Fläche eines Kreises) ist, ist die Fläche der Gesamtoberfläche des Kegels gleich: πR 2 + πR l= πR(R+ l).

Das Erhalten der Formel für die Fläche der Mantelfläche eines Kegels kann durch die folgende Überlegung erklärt werden. Lassen Sie die Zeichnung die Entwicklung der Mantelfläche eines Kegels zeigen. Teilen wir den Bogen AB in möglichst viele gleiche Teile und verbinden wir alle Teilungspunkte mit der Mitte des Bogens und die benachbarten Punkte durch Sehnen miteinander.

Wir bekommen eine Serie gleiche Dreiecke. Die Fläche jedes Dreiecks beträgt Ah / 2 wo A- Länge der Basis des Dreiecks, a H- sein High.

Die Summe der Flächen aller Dreiecke beträgt: Ah / 2 N = anh / 2 wo N- Anzahl der Dreiecke.

Bei große Zahl Divisionen kommt die Summe der Flächen der Dreiecke sehr nahe an die Fläche der Abwicklung, also die Fläche der Mantelfläche des Kegels. Die Summe der Grundflächen der Dreiecke, d.h. ein, kommt der Länge des Bogens AB, also dem Umfang der Kegelbasis, sehr nahe. Die Höhe jedes Dreiecks kommt dem Radius des Bogens, d. h. der Erzeugenden des Kegels, sehr nahe.

Unter Vernachlässigung geringfügiger Unterschiede in der Größe dieser Größen erhalten wir die Formel für die Fläche der Mantelfläche des Kegels (S):

S=C l / 2, wobei C der Umfang der Kegelbasis ist, l- Einen Kegel formen.

Wenn wir wissen, dass C = 2πR ist, wobei R der Radius des Grundkreises des Kegels ist, erhalten wir: S = πR l.

Notiz. In der Formel S = C l / 2 gibt es ein Zeichen für exakte, nicht für ungefähre Gleichheit, obwohl wir diese Gleichheit aufgrund der obigen Überlegungen als ungefähr betrachten könnten. Aber in der High School weiterführende Schule es ist bewiesen, dass die Gleichheit

S=C l / 2 ist genau, nicht ungefähr.

Satz. Die Mantelfläche des Kegels ist gleich dem Produkt aus dem Umfang der Grundfläche und der Hälfte der Erzeugenden.

Schreiben wir etwas in den Kegel (Abb.). richtige Pyramide und mit Buchstaben bezeichnen R Und l Zahlen, die die Länge des Umfangs der Basis und des Apothems dieser Pyramide ausdrücken.

Dann wird seine Mantelfläche als Produkt 1/2 ausgedrückt R l .

Nehmen wir nun an, dass die Anzahl der Seiten des in die Basis eingeschriebenen Polygons unbegrenzt zunimmt. Dann der Umfang R tendiert zu dem Grenzwert, der als Länge C des Basisumfangs und des Apothems angenommen wird l wird als Grenze die Erzeugende des Kegels haben (da ΔSAK folgt, dass SA - SK
1 / 2 R l tendiert zur Grenze von 1/2 C L. Diese Grenze wird als Größe der Mantelfläche des Kegels angenommen. Wenn wir die Mantelfläche des Kegels mit dem Buchstaben S bezeichnen, können wir schreiben:

S = 1/2 C L = C 1/2 L

Folgen.
1) Da C = 2 π R, dann wird die Mantelfläche des Kegels durch die Formel ausgedrückt:

S = 1/2 2π R L= π R.L.

2) Wir erhalten die volle Oberfläche des Kegels, wenn wir die Mantelfläche zur Grundfläche addieren; Wenn wir also die gesamte Oberfläche mit T bezeichnen, erhalten wir:

T= π RL+ π R2= π R(L+R)

Satz. Die Mantelfläche eines Kegelstumpfes ist gleich dem Produkt aus der halben Summe der Längen der Grundkreise und des Generators.

Schreiben wir in den Kegelstumpf (Abb.) eine Regelmäßigkeit Pyramidenstumpf und mit Buchstaben bezeichnen r, r 1 und l Zahlen, die in identischen linearen Einheiten die Längen der Umfänge der unteren und oberen Basis sowie des Apothems dieser Pyramide ausdrücken.

Dann ist die Seitenfläche der eingeschriebenen Pyramide gleich 1/2 ( p + p 1) l

Mit einer unbegrenzten Zunahme der Anzahl der Seitenflächen der eingeschriebenen Pyramide werden die Umfänge größer R Und R 1 tendiere zu den Grenzen, die als Längen C und C 1 der Grundkreise und des Apothems angenommen werden l hat als Grenze den Generator L eines Kegelstumpfes. Folglich tendiert die Größe der Seitenfläche der eingeschriebenen Pyramide zu einer Grenze gleich (C + C 1) L. Diese Grenze wird als Größe der Seitenfläche des Kegelstumpfes angenommen. Wenn wir die Mantelfläche des Kegelstumpfes mit dem Buchstaben S bezeichnen, erhalten wir:

S = 1 / 2 (C + C 1) L

Folgen.
1) Wenn R und R 1 die Radien der Kreise der unteren und oberen Basis bedeuten, dann ist die Mantelfläche des Kegelstumpfs:

S = 1 / 2 (2 π R+2 π R 1) L = π (R + R 1) L.

2) Wenn wir im Trapez OO 1 A 1 A (Abb.), aus dessen Drehung ein Kegelstumpf entsteht, die Mittellinie BC zeichnen, dann erhalten wir:

BC = 1 / 2 (OA + O 1 A 1) = 1 / 2 (R + R 1),

R + R 1 = 2VS.

Somit,

S=2 π BC L,

d.h. Die Mantelfläche eines Kegelstumpfes ist gleich dem Produkt aus dem Umfang des Mittelteils und der Erzeugenden.

3) Die Gesamtoberfläche T eines Kegelstumpfes wird wie folgt ausgedrückt:

T= π (R 2 + R 1 2 + RL + R 1 L)

Hier gibt es Probleme mit Zapfen, deren Zustand mit deren Oberfläche zusammenhängt. Bei einigen Problemen geht es insbesondere darum, die Fläche zu ändern, wenn die Höhe des Kegels oder der Radius seiner Basis vergrößert (verkleinert) wird. Theorie zur Lösung von Problemen in . Betrachten wir die folgenden Aufgaben:

27135. Der Umfang der Kegelbasis beträgt 3, der Generator ist 2. Ermitteln Sie die Fläche der Mantelfläche des Kegels.

Die Mantelfläche des Kegels ist gleich:

Ersetzen der Daten:

75697. Wie oft vergrößert sich die Fläche der Mantelfläche des Kegels, wenn seine Erzeugende um das 36-fache vergrößert wird und der Radius der Basis gleich bleibt?

Kegelmantelfläche:

Die Erzeugende erhöht sich um das 36-fache. Der Radius bleibt gleich, das heißt, der Umfang der Basis hat sich nicht verändert.

Dies bedeutet, dass die Mantelfläche des modifizierten Kegels die Form hat:

Somit wird es um das 36-fache erhöht.

*Die Beziehung ist unkompliziert, sodass dieses Problem leicht mündlich gelöst werden kann.

27137. Wie oft verringert sich die Fläche der Mantelfläche des Kegels, wenn der Radius seiner Basis um das 1,5-fache verringert wird?

Die Mantelfläche des Kegels ist gleich:

Der Radius verringert sich um das 1,5-fache, das heißt:

Es wurde festgestellt, dass die Mantelfläche um das 1,5-fache abnahm.

27159. Die Höhe des Kegels beträgt 6, die Erzeugende beträgt 10. Ermitteln Sie die Fläche seiner Gesamtoberfläche geteilt durch Pi.

Vollkegelfläche:

Sie müssen den Radius ermitteln:

Höhe und Erzeugende sind bekannt, mit dem Satz des Pythagoras berechnen wir den Radius:

Auf diese Weise:

Teilen Sie das Ergebnis durch Pi und schreiben Sie die Antwort auf.

76299. Die Gesamtoberfläche des Kegels beträgt 108. Parallel zur Basis des Kegels wird ein Abschnitt gezeichnet, der die Höhe in zwei Hälften teilt. Ermitteln Sie die Gesamtoberfläche des abgeschnittenen Kegels.

Der Abschnitt verläuft durch die Mitte der Höhe parallel zur Basis. Das bedeutet, dass der Radius der Basis und die Erzeugende des abgeschnittenen Kegels zweimal kleiner sind als der Radius und die Erzeugende des ursprünglichen Kegels. Schreiben wir die Oberfläche des abgeschnittenen Kegels auf:

Es soll 4 Mal sein weniger Fläche Oberfläche des Originals, also 108:4 = 27.

*Da es sich bei Original- und abgeschnittenem Kegel um ähnliche Körper handelt, konnte auch die Ähnlichkeitseigenschaft genutzt werden:

27167. Der Radius der Kegelbasis beträgt 3 und die Höhe beträgt 4. Ermitteln Sie die Gesamtoberfläche des Kegels dividiert durch Pi.

Formel für die Gesamtoberfläche eines Kegels:

Der Radius ist bekannt, es ist notwendig, die Erzeugende zu finden.

Nach dem Satz des Pythagoras:

Auf diese Weise:

Teilen Sie das Ergebnis durch Pi und schreiben Sie die Antwort auf.

Aufgabe. Die Fläche der Mantelfläche des Kegels beträgt das Vierfache der Grundfläche. Etwas finden gleich Kosinus der Winkel zwischen der Erzeugenden des Kegels und der Ebene der Grundfläche.

Die Grundfläche des Kegels beträgt:

Das heißt, der Kosinus ist gleich:

Antwort: 0,25

Entscheide dich selbst:

27136. Wie oft vergrößert sich die Fläche der Mantelfläche des Kegels, wenn seine Mantellinie um das Dreifache vergrößert wird?

27160. Die Fläche der Mantelfläche des Kegels ist doppelt so groß wie die Fläche der Basis. Finden Sie den Winkel zwischen der Erzeugenden des Kegels und der Ebene der Basis. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an. .

27161. Die Gesamtoberfläche des Kegels beträgt 12. Parallel zur Basis des Kegels wird ein Abschnitt gezeichnet, der die Höhe in zwei Hälften teilt. Finden Sie die Gesamtoberfläche des abgeschnittenen Kegels.

Das ist alles. Viel Glück!

Mit freundlichen Grüßen, Alexander.

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