Nach dem Studium eines Themas über rechtwinklige Dreiecke vergessen Studierende oft alle Informationen darüber. Einschließlich der Frage, wie man die Hypotenuse findet, ganz zu schweigen davon, was sie ist.

Und vergebens. Denn in Zukunft stellt sich heraus, dass die Diagonale des Rechtecks ​​genau diese Hypotenuse ist, und sie muss gefunden werden. Oder der Durchmesser eines Kreises fällt mit der größten Seite eines Dreiecks zusammen, dessen einer Winkel recht ist. Und ohne dieses Wissen ist es unmöglich, es zu finden.

Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Hypotenuse eines Dreiecks zu finden. Die Wahl der Methode hängt vom Ausgangsdatensatz im Mengenproblem ab.

Methode Nummer 1: Beide Seiten sind gegeben

Dies ist die einprägsamste Methode, da sie den Satz des Pythagoras verwendet. Nur manchmal vergessen Schüler, dass diese Formel verwendet wird, um das Quadrat der Hypotenuse zu ermitteln. Das heißt, um die Seite selbst zu finden, müssen Sie die Quadratwurzel ziehen. Daher sieht die Formel für die Hypotenuse, die normalerweise mit dem Buchstaben „c“ bezeichnet wird, wie folgt aus:

c = √ (a 2 + b 2), wobei die Buchstaben „a“ und „b“ beide Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks darstellen.

Methode Nummer 2: Das Bein und der angrenzende Winkel sind bekannt

Um zu lernen, wie man die Hypotenuse findet, müssen Sie sich trigonometrische Funktionen merken. Nämlich Kosinus. Der Einfachheit halber gehen wir davon aus, dass das Bein „a“ und der daran angrenzende Winkel α angegeben sind.

Jetzt müssen wir uns daran erinnern, dass der Kosinus des Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks gleich dem Verhältnis der beiden Seiten ist. Der Zähler enthält den Wert des Beins und der Nenner enthält die Hypotenuse. Daraus folgt, dass letzteres nach folgender Formel berechnet werden kann:

c = a / cos α.

Methode Nummer 3: Gegeben sei ein Bein und ein Winkel, der ihm gegenüberliegt

Um in den Formeln nicht durcheinander zu geraten, führen wir die Bezeichnung für diesen Winkel ein – β, und belassen die Seite bei demselben „a“. In diesem Fall benötigen Sie eine weitere trigonometrische Funktion – den Sinus.

Wie im vorherigen Beispiel ist der Sinus gleich dem Verhältnis des Beins zur Hypotenuse. Die Formel für diese Methode sieht folgendermaßen aus:

c = a / sin β.

Um bei trigonometrischen Funktionen nicht verwirrt zu werden, können Sie sich eine einfache Gedächtnisstütze merken: Wenn es sich bei der Aufgabe um pr handelt Ö entgegengesetzten Winkel, dann müssen Sie es mit verwenden Und Nun, wenn - oh Pr Und hinlegen, dann zu Ö Sinus. Bei Schlüsselwörtern sollten Sie auf die ersten Vokale achten. Sie bilden Paare o-ich oder und über.

Methode Nummer 4: entlang des Radius des umschriebenen Kreises

Um nun herauszufinden, wie man die Hypotenuse findet, müssen Sie sich die Eigenschaft des Kreises merken, der ein rechtwinkliges Dreieck umschreibt. Es lautet wie folgt. Der Mittelpunkt des Kreises fällt mit der Mitte der Hypotenuse zusammen. Anders ausgedrückt: Die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich der Diagonale des Kreises. Das heißt, der doppelte Radius. Die Formel für dieses Problem sieht folgendermaßen aus:

c = 2 * r, wobei der Buchstabe r den bekannten Radius bezeichnet.

Das ist alles mögliche Wege wie man die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks findet. Für jede spezifische Aufgabe müssen Sie die Methode verwenden, die für den Datensatz am besten geeignet ist.

Beispielaufgabe Nr. 1

Zustand: in rechtwinkliges Dreieck Mediane wurden zu beiden Seiten gezogen. Die Länge des auf der größeren Seite gezeichneten beträgt √52. Der andere Median hat eine Länge von √73. Sie müssen die Hypotenuse berechnen.

Da die Mediane in einem Dreieck gezeichnet werden, teilen sie die Schenkel in zwei gleiche Segmente. Um das Denken zu erleichtern und herauszufinden, wie man die Hypotenuse findet, müssen Sie mehrere Notationen einführen. Beide Hälften des größeren Beins seien mit dem Buchstaben „x“ und die andere mit „y“ gekennzeichnet.

Jetzt müssen wir zwei rechtwinklige Dreiecke betrachten, deren Hypotenusen die bekannten Mediane sind. Für sie müssen Sie die Formel des Satzes des Pythagoras zweimal schreiben:

(2y) 2 + x 2 = (√52) 2

(y) 2 + (2x) 2 = (√73) 2.

Diese beiden Gleichungen bilden ein System mit zwei Unbekannten. Wenn man sie gelöst hat, wird es leicht sein, die Schenkel des ursprünglichen Dreiecks und daraus die Hypotenuse zu finden.

Zuerst müssen Sie alles auf die zweite Potenz erhöhen. Es stellt sich heraus:

4y 2 + x 2 = 52

y 2 + 4x 2 = 73.

Aus der zweiten Gleichung geht hervor, dass y 2 = 73 - 4x 2. Dieser Ausdruck muss in den ersten eingesetzt und „x“ berechnet werden:

4(73 - 4x 2) + x 2 = 52.

Nach der Konvertierung:

292 - 16 x 2 + x 2 = 52 oder 15x 2 = 240.

Aus dem letzten Ausdruck x = √16 = 4.

Jetzt können Sie „y“ berechnen:

y 2 = 73 - 4(4) 2 = 73 - 64 = 9.

Gemäß den Bedingungen stellt sich heraus, dass die Schenkel des ursprünglichen Dreiecks gleich 6 und 8 sind. Dies bedeutet, dass Sie die Formel aus der ersten Methode verwenden und die Hypotenuse ermitteln können:

√(6 2 + 8 2) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Antwort: Hypotenuse gleich 10.

Beispielaufgabe Nr. 2

Bedingung: Berechnen Sie die in einem Rechteck gezeichnete Diagonale mit einer kürzeren Seite von 41. Wenn bekannt ist, dass sie den Winkel in diejenigen teilt, die im Verhältnis 2 zu 1 stehen.

Bei diesem Problem ist die Diagonale eines Rechtecks ​​die längste Seite in einem 90°-Dreieck. Es kommt also darauf an, wie man die Hypotenuse findet.

Das Problem betrifft die Winkel. Das bedeutet, dass Sie eine der Formeln verwenden müssen, die trigonometrische Funktionen enthält. Zuerst müssen Sie die Größe eines der spitzen Winkel bestimmen.

Der kleinere der in der Bedingung besprochenen Winkel sei mit α bezeichnet. Dann ist der rechte Winkel, der durch die Diagonale geteilt wird, gleich 3α. Die mathematische Notation hierfür sieht so aus:

Aus dieser Gleichung lässt sich α leicht bestimmen. Es wird 30° betragen. Außerdem liegt es der kleineren Seite des Rechtecks ​​gegenüber. Daher benötigen Sie die in Methode Nr. 3 beschriebene Formel.

Die Hypotenuse ist gleich dem Verhältnis des Schenkels zum Sinus des entgegengesetzten Winkels, das heißt:

41 / sin 30º = 41 / (0,5) = 82.

Antwort: Die Hypotenuse ist 82.

Zu den zahlreichen Berechnungen, die zur Berechnung verschiedener Größen durchgeführt werden, gehört die Ermittlung der Hypotenuse eines Dreiecks. Denken Sie daran, dass ein Dreieck ein Polyeder mit drei Winkeln ist. Im Folgenden finden Sie verschiedene Möglichkeiten zur Berechnung der Hypotenuse verschiedener Dreiecke.

Schauen wir uns zunächst an, wie man die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks findet. Für diejenigen, die es vergessen haben: Ein Dreieck mit einem Winkel von 90 Grad wird als rechtwinkliges Dreieck bezeichnet. Die Seite des Dreiecks, die auf der gegenüberliegenden Seite des rechten Winkels liegt, wird Hypotenuse genannt. Außerdem ist es die längste Seite des Dreiecks. Abhängig von den bekannten Werten wird die Länge der Hypotenuse berechnet auf die folgende Weise:

• Die Länge der Beine ist bekannt. Die Berechnung der Hypotenuse erfolgt in diesem Fall nach dem Satz des Pythagoras, der wie folgt lautet: Das Quadrat der Hypotenuse ist gleich der Summe der Quadrate der Schenkel. Wenn wir ein rechtwinkliges Dreieck BKF betrachten, in dem BK und KF Schenkel sind und FB die Hypotenuse ist, dann ist FB2= BK2+ KF2. Daraus folgt, dass bei der Berechnung der Länge der Hypotenuse jeder der Werte der Beine der Reihe nach quadriert werden muss. Addieren Sie dann die gelernten Zahlen und ziehen Sie die Quadratwurzel aus dem Ergebnis.

Betrachten Sie ein Beispiel: Gegeben sei ein Dreieck mit einem rechten Winkel. Ein Bein ist 3 cm, das andere 4 cm. Finden Sie die Hypotenuse. Die Lösung sieht so aus.

FB2= BK2+ KF2= (3cm)2+(4cm)2= 9cm2+16cm2=25cm2. Extrahieren und FB=5cm erhalten.

• Der Schenkel (BK) und der daran angrenzende Winkel, der von der Hypotenuse und diesem Schenkel gebildet wird, sind bekannt. Wie finde ich die Hypotenuse eines Dreiecks? Bezeichnen wir den bekannten Winkel α. Gemäß der Eigenschaft, die besagt, dass das Verhältnis der Länge des Beins zur Länge der Hypotenuse gleich dem Kosinus des Winkels zwischen diesem Bein und der Hypotenuse ist. Betrachtet man ein Dreieck, kann man das so schreiben: FB= BK*cos(α).
• Der Schenkel (KF) und der gleiche Winkel α sind bekannt, nur dass er jetzt entgegengesetzt ist. Wie findet man in diesem Fall die Hypotenuse? Wenden wir uns den gleichen Eigenschaften eines rechtwinkligen Dreiecks zu und finden heraus, dass das Verhältnis der Länge des Beins zur Länge der Hypotenuse gleich dem Sinus des Winkels gegenüber dem Bein ist. Das heißt, FB= KF * sin (α).

Schauen wir uns ein Beispiel an. Gegeben sei das gleiche rechtwinklige Dreieck BKF mit der Hypotenuse FB. Der Winkel F sei gleich 30 Grad, der zweite Winkel B entspricht 60 Grad. Bekannt ist auch das BK-Bein, dessen Länge 8 cm entspricht. Der benötigte Wert lässt sich wie folgt berechnen:

FB = BK /cos60 = 8 cm.
FB = BK /sin30 = 8 cm.

• Bekannt (R), beschrieben um ein Dreieck mit einem rechten Winkel. Wie findet man die Hypotenuse, wenn man ein solches Problem betrachtet? Aus der Eigenschaft eines Kreises, der ein rechtwinkliges Dreieck umschreibt, ist bekannt, dass der Mittelpunkt eines solchen Kreises mit dem Punkt der Hypotenuse zusammenfällt und ihn in zwei Hälften teilt. In einfachen Worten- Der Radius entspricht der halben Hypotenuse. Daher ist die Hypotenuse gleich zwei Radien. FB=2*R. Wenn Sie vor einer ähnlichen Aufgabe stehen, bei der nicht der Radius, sondern der Median bekannt ist, dann sollten Sie auf die Eigenschaft eines Kreises achten, der um ein Dreieck mit einem rechten Winkel umschrieben wird und besagt, dass der Radius gleich dem gezeichneten Median ist zur Hypotenuse. Unter Verwendung all dieser Eigenschaften wird das Problem auf die gleiche Weise gelöst.

Wenn die Frage lautet, wie man die Hypotenuse eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks findet, müssen Sie sich dem gleichen Satz des Pythagoras zuwenden. Aber erinnern wir uns zunächst einmal daran gleichschenkligen Dreiecks, ist ein Dreieck mit zwei gleichen Seiten. Bei einem rechtwinkligen Dreieck sind die Seiten gleich. Wir haben FB2= BK2+ KF2, aber da BK= KF gilt Folgendes: FB2=2 BK2, FB= BK√2

Wie Sie sehen, ist die Lösung von Problemen, bei denen die Länge der Hypotenuse berechnet werden muss, sehr einfach, wenn man den Satz des Pythagoras und die Eigenschaften eines rechtwinkligen Dreiecks kennt. Wenn es schwierig ist, sich alle Eigenschaften zu merken, lernen Sie vorgefertigte Formeln und ersetzen Sie bekannte Werte, durch die Sie die gewünschte Länge der Hypotenuse berechnen können.

Anweisungen

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beachten Sie

Bei der Berechnung der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks kann die Kenntnis seiner Eigenschaften eine Rolle spielen:
1) Liegt der Schenkel eines rechten Winkels einem Winkel von 30 Grad gegenüber, dann ist er gleich der halben Hypotenuse;
2) Die Hypotenuse ist immer länger als jedes der Beine;
3) Wenn ein Kreis um ein rechtwinkliges Dreieck herum beschrieben wird, muss sein Mittelpunkt in der Mitte der Hypotenuse liegen.

Die Hypotenuse ist die Seite in einem rechtwinkligen Dreieck, die dem 90-Grad-Winkel gegenüberliegt. Um seine Länge zu berechnen, genügt es, die Länge eines der Schenkel und die Größe eines der spitzen Winkel des Dreiecks zu kennen.

Anweisungen

Teilen Sie uns eines der Beine und den angrenzenden Winkel mit. Genauer gesagt sei dies die Seite |AB| und Winkel α. Dann können wir die Formel für verwenden trigonometrischer Kosinus– Kosinus des Verhältnisses des benachbarten Zweigs zu . Diese. in unserer Notation cos α = |AB| / |AC|. Daraus erhalten wir die Länge der Hypotenuse |AC| = |AB| / cos α.
Wenn wir die Seite |BC| kennen und Winkel α, dann verwenden wir die Formel, um den Sinus des Winkels zu berechnen – der Sinus des Winkels ist gleich dem Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zur Hypotenuse: sin α = |BC| / |AC|. Wir finden, dass die Länge der Hypotenuse |AC| beträgt = |BC| / cos α.

Schauen wir uns zur Verdeutlichung ein Beispiel an. Gegeben sei die Länge des Beins |AB|. = 15. Und Winkel α = 60°. Wir erhalten |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30.
Schauen wir uns an, wie Sie Ihr Ergebnis mithilfe des Satzes des Pythagoras überprüfen können. Dazu müssen wir die Länge des zweiten Beins |BC| berechnen. Mit der Formel für den Tangens des Winkels tan α = |BC| / |AC|, wir erhalten |BC| = |AB| * tan α = 15 * tan 60° = 15 * √3. Als nächstes wenden wir den Satz des Pythagoras an, wir erhalten 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Prüfung abgeschlossen.

Hilfreicher Rat

Überprüfen Sie nach der Berechnung der Hypotenuse, ob der resultierende Wert den Satz des Pythagoras erfüllt.

Quellen:

• Tisch Primzahlen von 1 bis 10000

Beine sind die beiden kurzen Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, die den Scheitelpunkt bilden, dessen Größe 90° beträgt. Die dritte Seite in einem solchen Dreieck wird Hypotenuse genannt. Alle diese Seiten und Winkel des Dreiecks sind durch bestimmte Beziehungen miteinander verbunden, die es ermöglichen, die Länge des Beins zu berechnen, wenn mehrere andere Parameter bekannt sind.

Anweisungen

Verwenden Sie den Satz des Pythagoras für Bein (A), wenn Sie die Länge der anderen beiden Seiten (B und C) des rechtwinkligen Dreiecks kennen. Dieser Satz besagt, dass die Summe der Quadratlängen der Beine gleich dem Quadrat der Hypotenuse ist. Daraus folgt, dass die Länge jedes Schenkels gleich der Quadratwurzel der Längen der Hypotenuse und des zweiten Schenkels ist: A=√(C²-B²).

Verwenden Sie die Definition der direkten trigonometrischen Sinusfunktion, um spitzer Winkel, wenn der Wert des dem berechneten Schenkel gegenüberliegenden Winkels (α) und die Länge der Hypotenuse (C) bekannt sind. Dies besagt, dass der Sinus dieses bekannten Verhältnisses der Länge des gewünschten Beins zur Länge der Hypotenuse ist. Das bedeutet, dass die Länge des gewünschten Schenkels gleich dem Produkt aus der Länge der Hypotenuse und dem Sinus des bekannten Winkels ist: A=C∗sin(α). Für dieselben bekannten Größen können Sie auch den Kosekans verwenden und die erforderliche Länge berechnen, indem Sie die Länge der Hypotenuse durch den Kosekans des bekannten Winkels A=C/cosec(α) dividieren.

Verwenden Sie die Definition der direkten trigonometrischen Kosinusfunktion, wenn neben der Länge der Hypotenuse (C) auch die Größe des spitzen Winkels (β) neben dem gewünschten Winkel bekannt ist. Der Kosinus dieses Winkels ist das Verhältnis der Längen des gewünschten Schenkels und der Hypotenuse, und daraus können wir schließen, dass die Länge des Schenkels gleich dem Produkt aus der Länge der Hypotenuse und dem Kosinus des bekannten Winkels ist: A=C∗cos(β). Sie können die Definition der Sekantenfunktion verwenden und berechnen gewünschter Wert, indem man die Länge der Hypotenuse durch die Sekante des bekannten Winkels A=C/sec(β) dividiert.

Leiten Sie die erforderliche Formel aus einer ähnlichen Definition für die Ableitung der trigonometrischen Tangensfunktion ab, wenn zusätzlich zum Wert des spitzen Winkels (α), der dem gewünschten Schenkel (A) gegenüberliegt, die Länge des zweiten Schenkels (B) bekannt ist . Der Tangens des Winkels gegenüber dem gewünschten Schenkel ist das Verhältnis der Länge dieses Schenkels zur Länge des zweiten Schenkels. Das bedeutet, dass die benötigte Menge gleich dem Produkt aus der Länge ist berühmtes Bein an den Tangens eines bekannten Winkels: A=B∗tg(α). Aus denselben bekannten Größen kann eine andere Formel abgeleitet werden, wenn wir die Definition der Kotangensfunktion verwenden. In diesem Fall muss zur Berechnung der Beinlänge das Verhältnis der Länge des bekannten Beins zum Kotangens des bekannten Winkels ermittelt werden: A=B/ctg(α).

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Das Wort „kathet“ kam aus dem Griechischen ins Russische. In der genauen Übersetzung bedeutet es eine Lotlinie, also senkrecht zur Erdoberfläche. In der Mathematik sind die Schenkel die Seiten, die einen rechten Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks bilden. Die diesem Winkel gegenüberliegende Seite wird Hypotenuse genannt. Der Begriff „Kathet“ wird auch in der Architektur und Schweißtechnik verwendet.

Die Sekante dieses Winkels erhält man, indem man die Hypotenuse durch den benachbarten Schenkel dividiert, d. h. secCAB = c/b. Das Ergebnis ist der Kehrwert des Kosinus, das heißt, es kann mit der Formel secCAB=1/cosSAB ausgedrückt werden.
Der Kosekans ist gleich dem Quotienten der Hypotenuse dividiert durch die Gegenkathete und ist der Kehrwert des Sinus. Sie kann mit der Formel cosecCAB=1/sinCAB berechnet werden

Beide Schenkel sind miteinander und durch einen Kotangens verbunden. In diesem Fall ist der Tangens das Verhältnis der Seite a zur Seite b, also der gegenüberliegenden Seite zur benachbarten Seite. Diese Beziehung kann durch die Formel tgCAB=a/b ausgedrückt werden. Dementsprechend ist das umgekehrte Verhältnis der Kotangens: ctgCAB=b/a.

Der Zusammenhang zwischen der Größe der Hypotenuse und beider Beine wurde vom antiken griechischen Pythagoras bestimmt. Der Satz und sein Name werden immer noch verwendet. Es besagt, dass das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Katheten ist, also c2 = a2 + b2. Dementsprechend entspricht jedes Bein der Quadratwurzel der Differenz zwischen den Quadraten der Hypotenuse und dem anderen Bein. Diese Formel kann als b=√(c2-a2) geschrieben werden.

Die Beinlänge lässt sich auch durch die Ihnen bekannten Zusammenhänge ausdrücken. Nach den Sätzen von Sinus und Cosinus ist ein Bein gleich dem Produkt aus der Hypotenuse und einer dieser Funktionen. Es kann als und oder Kotangens ausgedrückt werden. Das Bein a kann beispielsweise mit der Formel a = b*tan CAB ermittelt werden. Genauso wird abhängig von der gegebenen Tangente bzw. der zweite Schenkel bestimmt.

Der Begriff „Kathet“ wird auch in der Architektur verwendet. Es wird auf das ionische Kapitell aufgetragen und verläuft durch die Mitte seines Rückens. Das heißt, in diesem Fall steht dieser Term senkrecht zu einer gegebenen Linie.

In der Schweißtechnik gibt es einen „Kehlnahtschenkel“. Wie in anderen Fällen ist dies die kürzeste Entfernung. Hier handelt es sich um den Spalt zwischen einem der Teile, der mit dem Rand der Naht auf der Oberfläche des anderen Teils verschweißt wird.

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Quellen:

• Was sind Bein und Hypotenuse im Jahr 2019?

Der Satz des Pythagoras ist grundlegend für jede Mathematik. Es stellt die Beziehung zwischen den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks her. Mittlerweile wurden 367 Beweise dieses Theorems aufgezeichnet.

Anweisungen

1. Die klassische Schulformulierung des Satzes des Pythagoras klingt so: Das Quadrat der Hypotenuse ist gleich der Summe der Quadrate der Beine. Um also die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit zwei Schenkeln zu ermitteln, müssen Sie abwechselnd die Längen der Schenkel quadrieren, addieren und aus dem Ergebnis die Quadratwurzel ziehen. In seiner ursprünglichen Formulierung besagte der Satz, dass die Fläche eines auf der Hypotenuse aufgebauten Quadrats gleich der Summe der Flächen von 2 auf den Beinen aufgebauten Quadraten ist. Die moderne algebraische Formulierung erfordert jedoch nicht die Einführung der Flächendarstellung.

2. Nehmen wir an, es sei ein rechtwinkliges Dreieck gegeben, dessen Schenkel 7 cm und 8 cm lang sind. Dann ist nach dem Satz des Pythagoras das Quadrat der Hypotenuse gleich 7? + 8? = 49 + 64 = 113 cm?. Die Hypotenuse selbst ist gleich der Quadratwurzel der Zahl 113. Das Ergebnis ist eine irrationale Zahl, die in das Ergebnis eingeht.

3. Wenn die Schenkel eines Dreiecks 3 und 4 sind, dann ist die Hypotenuse gleich?25=5. Beim Extrahieren Quadratwurzel Es stellte sich heraus, dass es sich um eine natürliche Zahl handelte. Die Zahlen 3, 4, 5 bilden ein pythagoräisches Tripel, da sie die Beziehung x?+y?=z? erfüllen und völlig natürlich sind. Weitere Beispiele für pythagoreische Tripel: 6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41.

4. Wenn die Beine einander gleich sind, wird der Satz des Pythagoras zu einer primitiveren Gleichung. Seien zum Beispiel beide Seiten gleich der Zahl A und die Hypotenuse wird mit C bezeichnet. Dann ist C?=A?+A?, C?=2A?, C=A?2. In diesem Fall ist es nicht erforderlich, die Zahl A zu quadrieren.

5. Der Satz des Pythagoras ist ein Sonderfall des allgemeinen Kosinussatzes, der die Beziehung zwischen den drei Seiten eines Dreiecks für einen beliebigen Winkel zwischen zwei beliebigen Seiten festlegt.

Die Hypotenuse ist die Seite in einem rechtwinkligen Dreieck, die dem 90-Grad-Winkel gegenüberliegt. Um seine Länge zu berechnen, genügt es, die Länge eines der Schenkel und die Größe eines der spitzen Winkel des Dreiecks zu kennen.

Anweisungen

1. Beim berühmten Schenkel und spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks kann die Größe der Hypotenuse gleich dem Verhältnis des Schenkels zum Kosinus/Sinus dieses Winkels sein, wenn angegebenen Winkel liegt ihr gegenüber/benachbart: h = C1 (oder C2)/sin?; h = C1 (oder C2)/cos?. Beispiel: Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit einer Hypotenuse AB und einem rechten Winkel C. Sei Winkel B gleich 60 Grad und Winkel A 30 Grad. Die Länge des Beins BC beträgt 8 cm. Es ist notwendig, die Länge der Hypotenuse AB zu ermitteln. Dazu können Sie eine der oben vorgeschlagenen Methoden verwenden: AB = BC/cos60 = 8 cm. AB = BC/sin30 = 8 cm.

Die Hypotenuse ist die längste Seite eines Rechtecks Dreieck. Es liegt gegenüber rechter Winkel. Methode zum Ermitteln der Hypotenuse eines Rechtecks Dreieck hängt davon ab, welche Ausgangsdaten Sie haben.

Anweisungen

1. Wenn wir rechteckige Beine haben Dreieck, dann die Länge der Hypotenuse des Rechtecks Dreieck kann mit der Unterstützung des Satzes des Pythagoras entdeckt werden – das Quadrat der Länge der Hypotenuse ist gleich der Summe der Quadrate der Längen der Beine: c2 = a2 + b2, wobei a und b die Längen der Beine sind eines Rechtecks Dreieck .

2. Wenn eines der Beine und ein spitzer Winkel bekannt sind, hängt die Formel zum Ermitteln der Hypotenuse davon ab, welcher Winkel in Bezug auf das berühmte Bein benachbart (in der Nähe des Beins) oder gegenüberliegend (gegenüberliegend) ist. Im Fall von benachbarten Winkel, die Hypotenuse ist gleich dem Verhältnis des Schenkels zum Kosinus dieses Winkels: c = a/cos?; E ist der entgegengesetzte Winkel, die Hypotenuse ist gleich dem Verhältnis des Schenkels zum Sinus des Winkels: c = a/sin?.

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Ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Seiten im Verhältnis 3:4:5 stehen, wird als ägyptisches Dreieck bezeichnet, weil genau solche Figuren von den Architekten des alten Ägypten energisch genutzt wurden. Es ist auch das einfachste Beispiel für heronische Dreiecke, bei denen die Seiten und die Fläche durch ganze Zahlen dargestellt werden.

Anweisungen

Wenn Sie mit dem Satz des Pythagoras rechnen müssen, verwenden Sie den folgenden Algorithmus: - Bestimmen Sie in einem Dreieck, welche Seiten die Schenkel und welche die Hypotenuse sind. Die beiden Seiten, die einen Winkel von neunzig Grad bilden, sind die Schenkel, das verbleibende Drittel ist die Hypotenuse. (cm) - Heben Sie jedes Bein um die zweite Potenz an gegebenes Dreieck, das heißt, mit sich selbst multiplizieren. Beispiel 1. Angenommen, wir müssen die Hypotenuse berechnen, wenn ein Bein in einem Dreieck 12 cm und das andere 5 cm beträgt. Erstens sind die Quadrate der Beine gleich: 12 * 12 = 144 cm und 5 * 5 = 25 cm. Bestimmen Sie als nächstes die Summe der Quadrate der Beine. Eine bestimmte Anzahl ist Hypotenuse, müssen Sie die zweite Potenz der zu findenden Zahl loswerden Länge diese Seite des Dreiecks. Extrahieren Sie dazu aus der Quadratwurzel den Wert der Summe der Quadrate der Beine. Beispiel 1. 144+25=169. Die Quadratwurzel von 169 ist 13. Daher ist die Länge davon Hypotenuse gleich 13 cm.

Eine andere Möglichkeit, die Länge zu berechnen Hypotenuse liegt in der Terminologie von Sinus und Winkeln im Dreieck. Per Definition: der Sinus des Winkels Alpha – das Gegenstück zur Hypotenuse. Das heißt, wenn man sich die Abbildung ansieht, ist sin a = CB / AB. Daher ist Hypotenuse AB = CB / sin a. Beispiel 2. Der Winkel sei 30 Grad und die gegenüberliegende Seite 4 cm. Wir müssen die Hypotenuse finden. Lösung: AB = 4 cm / sin 30 = 4 cm / 0,5 = 8 cm. Antwort: Länge Hypotenuse gleich 8 cm.

Eine ähnliche Art zu finden Hypotenuse aus der Definition des Kosinus eines Winkels. Der Kosinus eines Winkels ist das Verhältnis der angrenzenden Seite und Hypotenuse. Das heißt, cos a = AC/AB, also AB = AC/cos a. Beispiel 3. Im Dreieck ABC ist AB die Hypotenuse, der Winkel BAC beträgt 60 Grad, der Schenkel AC beträgt 2 cm. Finden Sie AB.
Lösung: AB = AC/cos 60 = 2/0,5 = 4 cm Antwort: Die Hypotenuse ist 4 cm lang.

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Wenn Sie den Wert des Sinus oder Cosinus eines Winkels ermitteln möchten, verwenden Sie entweder die Tabelle der Sinus- und Cosinuswerte oder die Bradis-Tabelle.

Tipp 2: So ermitteln Sie die Länge der Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck

Die Hypotenuse ist die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck, daher ist es nicht überraschend griechische Sprache Dieses Wort wird mit „eng“ übersetzt. Diese Seite liegt immer dem 90°-Winkel gegenüber, und die Seiten, die diesen Winkel bilden, werden Beine genannt. Wenn wir die Längen dieser Seiten und die Werte der spitzen Winkel in verschiedenen Kombinationen dieser Werte kennen, können wir die Länge der Hypotenuse berechnen.

Anweisungen

Wenn die Längen beider Dreiecke (A und B) bekannt sind, dann verwenden Sie die Längen der Hypotenuse (C), vielleicht das berühmteste mathematische Postulat – den Satz des Pythagoras. Es besagt, dass das Quadrat der Länge der Hypotenuse die Summe der Quadrate der Längen der Beine ist, woraus folgt, dass Sie die Wurzel der Summe der Quadratlängen der beiden Seiten berechnen sollten: C = √ ( A² + B²). Wenn beispielsweise die Länge eines Beins 15 und - 10 Zentimeter beträgt, beträgt die Länge der Hypotenuse ungefähr 18,0277564 Zentimeter, da √(15²+10²)=√(225+100)= √325≈18,0277564.

Wenn die Länge nur eines der Schenkel (A) in einem rechtwinkligen Dreieck sowie der Wert des gegenüberliegenden Winkels (α) bekannt sind, kann die Länge der Hypotenuse (C) unter Verwendung einer der trigonometrischen Gleichungen verwendet werden Funktionen - der Sinus. Teilen Sie dazu die Länge der bekannten Seite durch den Sinus des bekannten Winkels: C=A/sin(α). Wenn beispielsweise die Länge eines der Beine 15 Zentimeter beträgt und der Winkel am gegenüberliegenden Scheitelpunkt des Dreiecks 30° beträgt, beträgt die Länge der Hypotenuse 30 Zentimeter, da 15/sin(30°) =15/0,5=30.

Wenn in einem rechtwinkligen Dreieck die Größe eines der spitzen Winkel (α) und die Länge des angrenzenden Schenkels (B) bekannt sind, können Sie zur Berechnung der Länge der Hypotenuse (C) eine andere trigonometrische Funktion verwenden – den Kosinus. Sie sollten die Länge des bekannten Schenkels durch den Kosinus des bekannten Winkels teilen: C=B/cos(α). Wenn beispielsweise die Länge dieses Schenkels 15 Zentimeter beträgt und der spitze Winkel daneben 30° beträgt, beträgt die Länge der Hypotenuse ungefähr 17,3205081 Zentimeter, da 15/cos(30°)=15/(0,5* √3)=30/√3≈17,3205081.

Als Länge wird üblicherweise der Abstand zwischen zwei Punkten auf einem Liniensegment bezeichnet. Es kann gerade, gebrochen oder sein geschlossene Linie. Die Länge lässt sich durchaus berechnen auf einfache Weise, wenn Sie einige andere Indikatoren des Segments kennen.

Anweisungen

Wenn Sie die Länge der Seite eines Quadrats ermitteln müssen, ist diese nicht erforderlich, wenn Sie die Fläche S kennen. Da alle Seiten des Quadrats die Länge haben, können Sie den Wert einer von ihnen mithilfe von berechnen Formel: a = √S.