Die Konzepte Sinus (), Cosinus (), Tangens (), Kotangens () sind untrennbar mit dem Konzept des Winkels verbunden. Um diese auf den ersten Blick komplexen Konzepte (die bei vielen Schulkindern einen Zustand des Entsetzens auslösen) gut zu verstehen und um sicherzustellen, dass „der Teufel nicht so schrecklich ist, wie er dargestellt wird“, beginnen wir mit dem ganz am Anfang und verstehe das Konzept eines Winkels.

Winkelkonzept: Bogenmaß, Grad

Schauen wir uns das Bild an. Der Vektor hat sich relativ zum Punkt um einen bestimmten Betrag „gedreht“. Das Maß dieser Drehung relativ zur Ausgangsposition ist also Ecke.

Was müssen Sie sonst noch über das Konzept des Winkels wissen? Nun, natürlich, Winkeleinheiten!

Winkel können sowohl in der Geometrie als auch in der Trigonometrie in Grad und Bogenmaß gemessen werden.

Der Winkel (ein Grad) ist der Mittelpunktswinkel in einem Kreis, der von einem Kreisbogen begrenzt wird, der einem Teil des Kreises entspricht. Somit besteht der gesamte Kreis aus „Teilen“ von Kreisbögen, oder der vom Kreis beschriebene Winkel ist gleich.

Das heißt, die obige Abbildung zeigt einen Winkel gleich, das heißt, dieser Winkel ruht auf einem Kreisbogen mit der Größe des Umfangs.

Ein Winkel im Bogenmaß ist der Mittelpunktswinkel in einem Kreis, der von einem Kreisbogen begrenzt wird, dessen Länge gleich dem Radius des Kreises ist. Na, hast du es herausgefunden? Wenn nicht, dann lassen Sie es uns anhand der Zeichnung herausfinden.

Die Abbildung zeigt also einen Winkel gleich einem Bogenmaß, das heißt, dieser Winkel ruht auf einem Kreisbogen, dessen Länge gleich dem Radius des Kreises ist (die Länge ist gleich der Länge oder der Radius ist gleich der Länge des Bogens). Somit wird die Bogenlänge nach folgender Formel berechnet:

Wo ist der Mittelpunktswinkel im Bogenmaß?

Nun, wenn Sie das wissen, können Sie dann antworten, wie viele Bogenmaße in dem Winkel enthalten sind, der durch den Kreis beschrieben wird? Ja, dafür müssen Sie sich die Formel für den Umfang merken. Da ist sie:

Nun wollen wir diese beiden Formeln korrelieren und feststellen, dass der durch den Kreis beschriebene Winkel gleich ist. Das heißt, indem wir den Wert in Grad und Bogenmaß korrelieren, erhalten wir das. Jeweils, . Wie Sie sehen, wird im Gegensatz zu „Grad“ das Wort „Radiant“ weggelassen, da die Maßeinheit normalerweise aus dem Kontext klar hervorgeht.

Wie viele Radianten gibt es? Alles ist richtig!

Habe es? Dann machen Sie weiter und beheben Sie das Problem:

Haben Sie Schwierigkeiten? Dann schau Antworten:

Rechtwinkliges Dreieck: Sinus, Cosinus, Tangens, Winkelkotangens

Also haben wir das Konzept eines Winkels herausgefunden. Aber was sind Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels? Lass es uns herausfinden. Dabei hilft uns ein rechtwinkliges Dreieck.

Wie heißen die Seiten? rechtwinkliges Dreieck? Richtig, Hypotenuse und Beine: Die Hypotenuse ist die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt (in unserem Beispiel ist das die Seite); Beine sind die beiden verbleibenden Seiten und (die angrenzenden). rechter Winkel), und wenn wir die Beine relativ zum Winkel betrachten, dann ist das Bein das benachbarte Bein und das Bein das Gegenteil. Beantworten wir nun die Frage: Was sind Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels?

Winkelsinus- Dies ist das Verhältnis des gegenüberliegenden (entfernten) Beins zur Hypotenuse.

In unserem Dreieck.

Kosinus des Winkels- Dies ist das Verhältnis des angrenzenden (nahen) Schenkels zur Hypotenuse.

In unserem Dreieck.

Tangente des Winkels- Dies ist das Verhältnis der gegenüberliegenden (entfernten) Seite zur benachbarten (nahen).

In unserem Dreieck.

Kotangens des Winkels- Dies ist das Verhältnis des benachbarten (nahen) Beins zum gegenüberliegenden (fernen).

In unserem Dreieck.

Diese Definitionen sind notwendig erinnern! Damit Sie sich leichter merken können, welches Bein in was unterteilt werden soll, müssen Sie dies klar verstehen Tangente Und Kotangens nur die Beine sitzen und die Hypotenuse erscheint nur in Sinus Und Kosinus. Und dann kann man sich eine Assoziationskette ausdenken. Zum Beispiel dieses hier:

Kosinus→Berührung→Berührung→benachbart;

Kotangens→Berührung→Berührung→benachbart.

Zunächst müssen Sie bedenken, dass Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens als Verhältnisse der Seiten eines Dreiecks nicht von der Länge dieser Seiten (im gleichen Winkel) abhängen. Glaubst du nicht? Dann vergewissern Sie sich anhand des Bildes:

Betrachten Sie zum Beispiel den Kosinus eines Winkels. Per Definition aus einem Dreieck: , aber wir können den Kosinus eines Winkels aus einem Dreieck berechnen: . Sie sehen, die Längen der Seiten sind unterschiedlich, aber der Wert des Kosinus eines Winkels ist der gleiche. Somit hängen die Werte von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens ausschließlich von der Größe des Winkels ab.

Wenn Sie die Definitionen verstanden haben, dann machen Sie weiter und festigen Sie sie!

Für das in der Abbildung unten gezeigte Dreieck finden wir.

Na, hast du es verstanden? Dann probieren Sie es selbst: Berechnen Sie das Gleiche auch für den Winkel.

Einheitskreis (trigonometrisch).

Nachdem wir die Konzepte von Grad und Bogenmaß verstanden hatten, betrachteten wir einen Kreis mit einem Radius gleich. Ein solcher Kreis heißt einzel. Es wird beim Studium der Trigonometrie sehr nützlich sein. Deshalb schauen wir uns das etwas genauer an.

Wie Sie sehen, ist dieser Kreis im kartesischen Koordinatensystem konstruiert. Der Radius des Kreises ist gleich eins, während der Mittelpunkt des Kreises im Koordinatenursprung liegt, ist die Anfangsposition des Radiusvektors entlang der positiven Richtung der Achse festgelegt (in unserem Beispiel ist dies der Radius).

Jeder Punkt auf dem Kreis entspricht zwei Zahlen: der Achsenkoordinate und der Achsenkoordinate. Was sind diese Koordinatenzahlen? Und was haben sie generell mit dem jeweiligen Thema zu tun? Dazu müssen wir uns an das betrachtete rechtwinklige Dreieck erinnern. In der Abbildung oben sehen Sie zwei ganze rechtwinklige Dreiecke. Betrachten Sie ein Dreieck. Es ist rechteckig, weil es senkrecht zur Achse steht.

Was ist das Dreieck gleich? Alles ist richtig. Darüber hinaus wissen wir, dass dies der Radius des Einheitskreises ist, was bedeutet. Setzen wir diesen Wert in unsere Formel für den Kosinus ein. Folgendes passiert:

Was ist das Dreieck gleich? Nun, natürlich, ! Setzen Sie den Radiuswert in diese Formel ein und erhalten Sie:

Können Sie also sagen, welche Koordinaten ein Punkt hat, der zu einem Kreis gehört? Nun ja, auf keinen Fall? Was wäre, wenn Sie das erkennen und nur Zahlen sind? Welcher Koordinate entspricht es? Na klar, die Koordinaten! Und welcher Koordinate entspricht es? Genau, Koordinaten! Also Punkt.

Was sind dann und gleich? Richtig, verwenden wir die entsprechenden Definitionen von Tangens und Kotangens und erhalten das: a.

Was ist, wenn der Winkel größer ist? Zum Beispiel wie auf diesem Bild:

Was hat sich geändert? in diesem Beispiel? Lass es uns herausfinden. Dazu wenden wir uns noch einmal einem rechtwinkligen Dreieck zu. Betrachten Sie ein rechtwinkliges Dreieck: Winkel (als angrenzend an einen Winkel). Welche Werte haben Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens für einen Winkel? Richtig, wir halten uns an die entsprechenden Definitionen trigonometrischer Funktionen:

Nun, wie Sie sehen können, entspricht der Wert des Sinus des Winkels immer noch der Koordinate; der Wert des Kosinus des Winkels - die Koordinate; und die Werte von Tangens und Kotangens an die entsprechenden Verhältnisse. Somit gelten diese Beziehungen für jede Drehung des Radiusvektors.

Es wurde bereits erwähnt, dass die Anfangsposition des Radiusvektors entlang der positiven Richtung der Achse liegt. Bisher haben wir diesen Vektor gegen den Uhrzeigersinn gedreht, aber was passiert, wenn wir ihn im Uhrzeigersinn drehen? Nichts Außergewöhnliches, Sie erhalten auch einen Winkel mit einem bestimmten Wert, aber nur dieser ist negativ. Wenn wir also den Radiusvektor gegen den Uhrzeigersinn drehen, erhalten wir positive Winkel und beim Drehen im Uhrzeigersinn - Negativ.

Wir wissen also, dass eine ganze Umdrehung des Radiusvektors um einen Kreis oder ist. Ist es möglich, den Radiusvektor nach oder nach zu drehen? Natürlich können Sie das! Im ersten Fall macht der Radiusvektor daher eine volle Umdrehung und stoppt an der Position oder.

Im zweiten Fall macht der Radiusvektor drei volle Umdrehungen und stoppt an der Position oder.

Aus den obigen Beispielen können wir daher schließen, dass Winkel, die sich um oder (wobei eine beliebige ganze Zahl ist) unterscheiden, derselben Position des Radiusvektors entsprechen.

Die folgende Abbildung zeigt einen Winkel. Das gleiche Bild entspricht der Ecke usw. Diese Liste lässt sich beliebig fortsetzen. Alle diese Winkel können durch die allgemeine Formel oder (wobei eine beliebige ganze Zahl ist) geschrieben werden

Versuchen Sie nun, die Definitionen der grundlegenden trigonometrischen Funktionen zu kennen und den Einheitskreis zu verwenden, die Werte zu beantworten:

Hier ist ein Einheitskreis, der Ihnen helfen soll:

Haben Sie Schwierigkeiten? Dann lass es uns herausfinden. Wir wissen also:

Von hier aus bestimmen wir die Koordinaten der Punkte, die bestimmten Winkelmaßen entsprechen. Nun, fangen wir der Reihe nach an: Der Winkel entspricht einem Punkt mit Koordinaten, also:

Existiert nicht;

Wenn wir der gleichen Logik folgen, finden wir außerdem heraus, dass die Ecken jeweils Punkten mit Koordinaten entsprechen. Mit diesem Wissen ist es einfach, die Werte trigonometrischer Funktionen an den entsprechenden Punkten zu bestimmen. Probieren Sie es zunächst selbst aus und überprüfen Sie dann die Antworten.

Antworten:

Existiert nicht

Existiert nicht

Existiert nicht

Existiert nicht

Somit können wir die folgende Tabelle erstellen:

Es ist nicht nötig, sich alle diese Werte zu merken. Es reicht aus, sich an die Entsprechung zwischen den Koordinaten von Punkten auf dem Einheitskreis und den Werten trigonometrischer Funktionen zu erinnern:

Aber die Werte der trigonometrischen Funktionen der Winkel in und, angegeben in der folgenden Tabelle, muss in Erinnerung bleiben:

Haben Sie keine Angst, jetzt zeigen wir Ihnen ein Beispiel ganz einfach, sich die entsprechenden Werte zu merken:

Um diese Methode verwenden zu können, ist es wichtig, sich die Werte des Sinus für alle drei Winkelmaße () sowie den Wert des Tangens des Winkels zu merken. Wenn man diese Werte kennt, ist es ganz einfach, die gesamte Tabelle wiederherzustellen – die Kosinuswerte werden entsprechend den Pfeilen übertragen, das heißt:

Wenn Sie dies wissen, können Sie die Werte wiederherstellen. Der Zähler „ “ stimmt überein und der Nenner „ “ stimmt überein. Kotangenswerte werden gemäß den in der Abbildung angegebenen Pfeilen übertragen. Wenn Sie dies verstehen und sich das Diagramm mit den Pfeilen merken, reicht es aus, sich alle Werte aus der Tabelle zu merken.

Koordinaten eines Punktes auf einem Kreis

Ist es möglich, einen Punkt (seine Koordinaten) auf einem Kreis zu finden? Kenntnis der Koordinaten des Kreismittelpunkts, seines Radius und Drehwinkels?

Natürlich können Sie das! Lass es uns rausholen allgemeine Formel um die Koordinaten eines Punktes zu finden.

Hier ist zum Beispiel ein Kreis vor uns:

Wir wissen, dass der Punkt der Mittelpunkt des Kreises ist. Der Radius des Kreises ist gleich. Es ist notwendig, die Koordinaten eines Punktes zu ermitteln, indem man den Punkt um Grad dreht.

Wie aus der Abbildung ersichtlich ist, entspricht die Koordinate des Punktes der Länge des Segments. Die Länge des Segments entspricht der Koordinate des Kreismittelpunkts, ist also gleich. Die Länge eines Segments kann mit der Definition des Kosinus ausgedrückt werden:

Dann haben wir das für die Punktkoordinate.

Mit derselben Logik ermitteln wir den y-Koordinatenwert für den Punkt. Auf diese Weise,

Also rein Gesamtansicht Koordinaten von Punkten werden durch die Formeln bestimmt:

Koordinaten des Kreismittelpunkts,

Kreisradius,

Der Drehwinkel des Vektorradius.

Wie Sie sehen können, werden diese Formeln für den betrachteten Einheitskreis erheblich reduziert, da die Koordinaten des Mittelpunkts gleich Null und der Radius gleich eins sind:

Probieren wir diese Formeln aus, indem wir üben, Punkte auf einem Kreis zu finden.

1. Finden Sie die Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis, den Sie durch Drehen des Punktes erhalten.

2. Finden Sie die Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis, den Sie durch Drehen des Punktes erhalten.

3. Finden Sie die Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis, den Sie durch Drehen des Punktes erhalten.

4. Der Punkt ist der Mittelpunkt des Kreises. Der Radius des Kreises ist gleich. Es ist notwendig, die Koordinaten des Punktes zu finden, der durch Drehen des anfänglichen Radiusvektors um erhalten wird.

5. Der Punkt ist der Mittelpunkt des Kreises. Der Radius des Kreises ist gleich. Es ist notwendig, die Koordinaten des Punktes zu finden, der durch Drehen des anfänglichen Radiusvektors um erhalten wird.

Haben Sie Schwierigkeiten, die Koordinaten eines Punktes auf einem Kreis zu finden?

Lösen Sie diese fünf Beispiele (oder werden Sie gut darin, sie zu lösen) und Sie werden lernen, sie zu finden!

1.

Das merkt man. Aber wir wissen, was einer vollständigen Umdrehung des Ausgangspunkts entspricht. Somit befindet sich der gewünschte Punkt in der gleichen Position wie beim Drehen. Mit diesem Wissen ermitteln wir die erforderlichen Koordinaten des Punktes:

2. Der Einheitskreis hat seinen Mittelpunkt in einem Punkt, was bedeutet, dass wir vereinfachte Formeln verwenden können:

Das merkt man. Wir wissen, was zwei vollen Umdrehungen des Startpunkts entspricht. Somit befindet sich der gewünschte Punkt in der gleichen Position wie beim Drehen. Mit diesem Wissen ermitteln wir die erforderlichen Koordinaten des Punktes:

Sinus und Cosinus sind Tabellenwerte. Wir erinnern uns an ihre Bedeutung und erhalten:

Somit hat der gewünschte Punkt Koordinaten.

3. Der Einheitskreis hat seinen Mittelpunkt in einem Punkt, was bedeutet, dass wir vereinfachte Formeln verwenden können:

Das merkt man. Lassen Sie uns das betreffende Beispiel in der Abbildung darstellen:

Der Radius bildet Winkel, die gleich und mit der Achse sind. Zu wissen, dass die Tabellenwerte von Kosinus und Sinus gleich sind, und festgestellt zu haben, dass der Kosinus hier annimmt negative Bedeutung, und der Sinus ist positiv, wir haben:

Solche Beispiele werden beim Studium der Formeln zur Reduzierung trigonometrischer Funktionen im Thema ausführlicher besprochen.

Somit hat der gewünschte Punkt Koordinaten.

4.

Drehwinkel des Radius des Vektors (nach Bedingung)

Um die entsprechenden Vorzeichen von Sinus und Cosinus zu bestimmen, konstruieren wir einen Einheitskreis und einen Einheitswinkel:

Wie Sie sehen, ist der Wert positiv und der Wert negativ. Wenn wir die Tabellenwerte der entsprechenden trigonometrischen Funktionen kennen, erhalten wir Folgendes:

Setzen wir die erhaltenen Werte in unsere Formel ein und ermitteln die Koordinaten:

Somit hat der gewünschte Punkt Koordinaten.

5. Um dieses Problem zu lösen, verwenden wir Formeln in allgemeiner Form, wo

Koordinaten des Kreismittelpunkts (in unserem Beispiel

Kreisradius (nach Bedingung)

Drehwinkel des Radius des Vektors (nach Bedingung).

Setzen wir alle Werte in die Formel ein und erhalten:

und - Tabellenwerte. Erinnern wir uns und setzen sie in die Formel ein:

Somit hat der gewünschte Punkt Koordinaten.

ZUSAMMENFASSUNG UND GRUNDFORMELN

Der Sinus eines Winkels ist das Verhältnis des gegenüberliegenden (fernen) Schenkels zur Hypotenuse.

Der Kosinus eines Winkels ist das Verhältnis des benachbarten (nahen) Schenkels zur Hypotenuse.

Der Tangens eines Winkels ist das Verhältnis der gegenüberliegenden (fernen) Seite zur benachbarten (nahen) Seite.

Der Kotangens eines Winkels ist das Verhältnis der benachbarten (nahen) Seite zur gegenüberliegenden (fernen) Seite.

Ich werde nicht versuchen, Sie davon zu überzeugen, keine Spickzettel zu schreiben. Schreiben! Einschließlich Spickzettel zur Trigonometrie. Später möchte ich erklären, warum Spickzettel benötigt werden und warum Spickzettel nützlich sind. Und hier finden Sie Informationen darüber, wie Sie einige trigonometrische Formeln nicht lernen, sondern sich merken können. Also - Trigonometrie ohne Spickzettel! Wir nutzen Assoziationen zum Auswendiglernen.

1. Additionsformeln:

Kosinuswerte kommen immer „paarweise“ vor: Kosinus-Kosinus, Sinus-Sinus. Und noch etwas: Kosinuswerte sind „unzureichend“. „Alles stimmt nicht“, also ändern sie die Vorzeichen: „-“ zu „+“ und umgekehrt.

Nebenhöhlen – „mix“: Sinus-Cosinus, Cosinus-Sinus.

2. Summen- und Differenzformeln:

Kosinuswerte kommen immer „paarweise“ vor. Durch Addition zweier Kosinuswerte – „Koloboks“ – erhalten wir ein Kosinuspaar – „Koloboks“. Und wenn wir subtrahieren, erhalten wir definitiv keine Koloboks. Wir bekommen ein paar Sinus. Auch mit einem Minus voraus.

Nebenhöhlen – „mix“ :

3. Formeln zur Umrechnung eines Produkts in Summe und Differenz.

Wann erhalten wir ein Kosinuspaar? Wenn wir Kosinus addieren. Deshalb

Wann bekommen wir ein paar Sinus? Beim Subtrahieren von Kosinuswerten. Von hier:

„Mischen“ entsteht sowohl beim Addieren als auch beim Subtrahieren von Sinuswerten. Was macht mehr Spaß: Addieren oder Subtrahieren? Genau, falten. Und für die Formel nehmen sie den Zusatz:

In der ersten und dritten Formel steht die Summe in Klammern. Durch die Neuanordnung der Begriffe ändert sich die Summe nicht. Die Reihenfolge ist nur für die zweite Formel wichtig. Aber um nicht zu verwirren und sich leichter zu merken, nehmen wir in allen drei Formeln in den ersten Klammern die Differenz

und zweitens - die Menge

Spickzettel in Ihrer Tasche geben Ihnen Sicherheit: Wenn Sie die Formel vergessen, können Sie sie kopieren. Und sie geben Ihnen Sicherheit: Wenn Sie den Spickzettel nicht verwenden, können Sie sich die Formeln leicht merken.

Beispiele:

\(\cos(⁡30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos⁡\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos⁡2=-0,416…\)

Argument und Bedeutung

Kosinus eines spitzen Winkels

Kosinus eines spitzen Winkels kann mit einem rechtwinkligen Dreieck bestimmt werden – es ist gleich dem Verhältnis des angrenzenden Schenkels zur Hypotenuse.

Beispiel :

1) Es sei ein Winkel gegeben und wir müssen den Kosinus dieses Winkels bestimmen.

2) Vervollständigen wir ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck in diesem Winkel.

3) Nachdem wir die erforderlichen Seiten gemessen haben, können wir den Kosinus berechnen.

Kosinus einer Zahl

Mit dem Zahlenkreis können Sie den Kosinus einer beliebigen Zahl bestimmen, aber normalerweise finden Sie den Kosinus von Zahlen, die irgendwie mit Folgendem zusammenhängen: \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\ ).

Beispielsweise ist für die Zahl \(\frac(π)(6)\) der Kosinus gleich \(\frac(\sqrt(3))(2)\) . Und für die Zahl \(-\)\(\frac(3π)(4)\) ist sie gleich \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (ungefähr \ (-0 ,71\)).

Zum Kosinus für andere in der Praxis häufig anzutreffende Zahlen siehe.

Der Kosinuswert liegt immer im Bereich von \(-1\) bis \(1\). In diesem Fall kann der Kosinus für absolut jeden Winkel und jede Zahl berechnet werden.

Kosinus eines beliebigen Winkels

Dank des Zahlenkreises können Sie nicht nur den Kosinus bestimmen spitzer Winkel, aber auch stumpf, negativ und sogar größer als \(360°\) (volle Drehung). Wie man das macht, ist leichter einmal zu sehen als hundertmal zu hören, schauen Sie sich also das Bild an.

Nun eine Erklärung: Angenommen, wir müssen den Kosinus des Winkels bestimmen KOA mit Gradmaß in \(150°\). Den Punkt kombinieren UM mit dem Mittelpunkt des Kreises und der Seite OK– mit der \(x\)-Achse. Danach \(150°\) gegen den Uhrzeigersinn beiseite legen. Dann die Ordinate des Punktes A zeigt uns den Kosinus dieses Winkels.

Wenn wir uns für einen Winkel mit Gradmaß interessieren, zum Beispiel in \(-60°\) (Winkel KOV), machen wir dasselbe, setzen aber \(60°\) im Uhrzeigersinn.

Und schließlich ist der Winkel größer als \(360°\) (Winkel CBS) - Alles ist ähnlich wie beim Dummen, nur nachdem wir eine volle Umdrehung im Uhrzeigersinn gemacht haben, gehen wir zum zweiten Kreis und „bekommen das Fehlen von Graden“. Konkret wird in unserem Fall der Winkel \(405°\) als \(360° + 45°\) aufgetragen.

Es ist leicht zu erraten, dass man zum Zeichnen eines Winkels, beispielsweise in \(960°\), zwei Drehungen machen muss (\(360°+360°+240°\)), und für einen Winkel in \(2640 °\) - ganze sieben.

Wie Sie vielleicht sagen, sind sowohl der Kosinus einer Zahl als auch der Kosinus eines beliebigen Winkels nahezu identisch definiert. Lediglich die Art und Weise, wie der Punkt auf dem Kreis gefunden wird, ändert sich.

Kosinuszeichen pro Viertel

Anhand der Kosinusachse (also der Abszissenachse, in der Abbildung rot hervorgehoben) lassen sich die Vorzeichen der Kosinuswerte entlang des numerischen (trigonometrischen) Kreises leicht bestimmen:

Wenn die Werte auf der Achse von \(0\) bis \(1\) reichen, hat der Kosinus ein Pluszeichen (I- und IV-Viertel – grüner Bereich),
- wo die Werte auf der Achse von \(0\) bis \(-1\) liegen, hat der Kosinus ein Minuszeichen (II. und III. Viertel – violetter Bereich).

Beziehung zu anderen trigonometrischen Funktionen:

- der gleiche Winkel (oder die gleiche Zahl): die grundlegende trigonometrische Identität \(\sin^2⁡x+\cos^2⁡x=1\)
- der gleiche Winkel (oder die gleiche Zahl): nach der Formel \(1+tg^2⁡x=\)\(\frac(1)(\cos^2⁡x)\)
- und der Sinus desselben Winkels (oder derselben Zahl): die Formel \(ctgx=\)\(\frac(\cos(x))(\sin⁡x)\)
Weitere am häufigsten verwendete Formeln finden Sie unter.

Lösung der Gleichung \(\cos⁡x=a\)

Die Lösung der Gleichung \(\cos⁡x=a\), wobei \(a\) eine Zahl ist, die nicht größer als \(1\) und nicht kleiner als \(-1\) ist, d. h. \(a∈[-1;1]\):

\(\cos ⁡x=a\) \(⇔\) \(x=±\arccos⁡a+2πk, k∈Z\)

Wenn \(a>1\) oder \(a<-1\), то решений у уравнения нет.

Beispiel . Lösen Sie die trigonometrische Gleichung \(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\).
Lösung:

Lösen wir die Gleichung mithilfe des Zahlenkreises. Dafür:
1) Lasst uns die Achsen bauen.
2) Lassen Sie uns einen Kreis konstruieren.
3) Markieren Sie auf der Kosinusachse (Achse \(y\)) den Punkt \(\frac(1)(2)\) .
4) Zeichnen Sie durch diesen Punkt eine Senkrechte zur Kosinusachse.
5) Markieren Sie die Schnittpunkte der Senkrechten und des Kreises.
6) Unterschreiben wir die Werte dieser Punkte: \(\frac(π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(π)(3)\) .
7) Schreiben wir alle Werte, die diesen Punkten entsprechen, mit der Formel \(x=t+2πk\), \(k∈Z\) auf:
\(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\);

Antwort: \(x=±\frac(π)(3)+2πk\) \(k∈Z\)

Funktion \(y=\cos(x)\)

Wenn wir die Winkel im Bogenmaß entlang der \(x\)-Achse und die diesen Winkeln entsprechenden Kosinuswerte entlang der \(y\)-Achse auftragen, erhalten wir die folgende Grafik:

Dieser Graph heißt und hat folgende Eigenschaften:

Der Definitionsbereich ist jeder Wert von x: \(D(\cos(⁡x))=R\)
- Wertebereich – von \(-1\) bis einschließlich \(1\): \(E(\cos(x))=[-1;1]\)
- gerade: \(\cos⁡(-x)=\cos(x)\)
- periodisch mit Periode \(2π\): \(\cos⁡(x+2π)=\cos(x)\)
- Schnittpunkte mit Koordinatenachsen:
Abszissenachse: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+πn\),\(;0)\), wobei \(n ϵ Z\)
Y-Achse: \((0;1)\)
- Intervalle der Vorzeichenkonstanz:
die Funktion ist positiv auf den Intervallen: \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn) \), wobei \(n ϵ Z\)
die Funktion ist negativ auf den Intervallen: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\ ), wobei \(n ϵ Z\)
- Anstiegs- und Abfallintervalle:
die Funktion wächst auf den Intervallen: \((π+2πn;2π+2πn)\), wobei \(n ϵ Z\)
die Funktion nimmt auf den Intervallen ab: \((2πn;π+2πn)\), wobei \(n ϵ Z\)
- Maxima und Minima der Funktion:
die Funktion hat einen Maximalwert \(y=1\) an den Punkten \(x=2πn\), wobei \(n ϵ Z\)
die Funktion hat einen Minimalwert \(y=-1\) an Punkten \(x=π+2πn\), wobei \(n ϵ Z\).

In diesem Artikel werfen wir einen umfassenden Blick darauf. Grundlegende trigonometrische Identitäten sind Gleichheiten, die eine Verbindung zwischen Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels herstellen und es einem ermöglichen, jede dieser trigonometrischen Funktionen über eine bekannte andere zu finden.

Lassen Sie uns gleich die wichtigsten trigonometrischen Identitäten auflisten, die wir in diesem Artikel analysieren werden. Schreiben wir sie in eine Tabelle, und unten geben wir die Ergebnisse dieser Formeln an und geben die notwendigen Erklärungen.

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Beziehung zwischen Sinus und Cosinus eines Winkels

Manchmal geht es nicht um die in der obigen Tabelle aufgeführten wichtigsten trigonometrischen Identitäten, sondern um eine einzige grundlegende trigonometrische Identität Art . Die Erklärung für diese Tatsache ist recht einfach: Die Gleichheiten werden aus der trigonometrischen Hauptidentität erhalten, nachdem beide Teile durch und bzw. und die Gleichheiten dividiert wurden Und ergeben sich aus den Definitionen von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens. Wir werden in den folgenden Abschnitten ausführlicher darauf eingehen.

Das heißt, von besonderem Interesse ist die Gleichheit, die den Namen der wichtigsten trigonometrischen Identität erhielt.

Bevor wir die trigonometrische Hauptidentität beweisen, geben wir ihre Formulierung an: Die Summe der Quadrate von Sinus und Cosinus eines Winkels ist identisch gleich eins. Jetzt wollen wir es beweisen.

Die grundlegende trigonometrische Identität wird sehr oft verwendet, wenn Konvertieren trigonometrischer Ausdrücke. Es ermöglicht, die Summe der Quadrate von Sinus und Cosinus eines Winkels durch eins zu ersetzen. Nicht seltener wird die grundlegende trigonometrische Identität in umgekehrter Reihenfolge verwendet: Die Einheit wird durch die Summe der Quadrate von Sinus und Cosinus eines beliebigen Winkels ersetzt.

Tangens und Kotangens durch Sinus und Cosinus

Identitäten, die Tangens und Kotangens mit Sinus und Cosinus eines Blickwinkels verbinden und ergeben sich unmittelbar aus den Definitionen von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens. Tatsächlich ist der Sinus per Definition die Ordinate von y, der Kosinus die Abszisse von x und der Tangens das Verhältnis der Ordinate zur Abszisse, d. h. , und der Kotangens ist das Verhältnis der Abszisse zur Ordinate, d. h. .

Dank dieser Offensichtlichkeit der Identitäten und Tangens und Kotangens werden oft nicht durch das Verhältnis von Abszisse und Ordinate, sondern durch das Verhältnis von Sinus und Cosinus definiert. Der Tangens eines Winkels ist also das Verhältnis des Sinus zum Cosinus dieses Winkels, und der Kotangens ist das Verhältnis des Cosinus zum Sinus.

Zum Abschluss dieses Absatzes ist anzumerken, dass die Identitäten und finden für alle Winkel statt, bei denen die darin enthaltenen trigonometrischen Funktionen sinnvoll sind. Die Formel gilt also für alle außer (ansonsten hat der Nenner eine Null, und wir haben die Division durch Null nicht definiert) und die Formel - für alle, anders als wenn z irgendein Wert ist.

Beziehung zwischen Tangens und Kotangens

Eine noch offensichtlichere trigonometrische Identität als die beiden vorherigen ist die Identität, die Tangens und Kotangens eines Winkels der Form verbindet . Es ist klar, dass dies für alle anderen Winkel als gilt, da sonst entweder der Tangens oder der Kotangens nicht definiert sind.

Beweis der Formel sehr einfach. Per Definition und von wo . Der Beweis hätte etwas anders erfolgen können. Seit , Das .

Tangens und Kotangens des gleichen Winkels, bei dem sie einen Sinn ergeben, sind also .

Wertetabelle trigonometrischer Funktionen

Notiz. Diese Tabelle trigonometrischer Funktionswerte verwendet das √-Zeichen zur Darstellung der Quadratwurzel. Um einen Bruch anzugeben, verwenden Sie das Symbol „/“.

siehe auch nützliche Materialien:

Für Bestimmen des Wertes einer trigonometrischen Funktion, finden Sie es am Schnittpunkt der Linie, die die trigonometrische Funktion angibt. Zum Beispiel Sinus 30 Grad – wir suchen die Spalte mit der Überschrift sin (Sinus) und finden den Schnittpunkt dieser Tabellenspalte mit der Zeile „30 Grad“, an ihrem Schnittpunkt lesen wir das Ergebnis – eine Hälfte. Ebenso finden wir Kosinus 60 Grad, Sinus 60 Grad (wiederum finden wir am Schnittpunkt der Sin-Spalte und der 60-Grad-Linie den Wert sin 60 = √3/2) usw. Die Werte von Sinus, Cosinus und Tangens anderer „beliebter“ Winkel werden auf die gleiche Weise ermittelt.

Sinus Pi, Kosinus Pi, Tangens Pi und andere Winkel im Bogenmaß

Die folgende Tabelle mit Kosinus, Sinus und Tangens eignet sich auch zum Ermitteln des Werts trigonometrischer Funktionen, deren Argument ist angegeben im Bogenmaß. Verwenden Sie dazu die zweite Spalte mit Winkelwerten. Dadurch können Sie den Wert gängiger Winkel von Grad in Bogenmaß umrechnen. Suchen wir zum Beispiel den Winkel von 60 Grad in der ersten Zeile und lesen darunter seinen Wert im Bogenmaß ab. 60 Grad entsprechen π/3 Bogenmaß.

Die Zahl pi drückt eindeutig die Abhängigkeit des Umfangs vom Gradmaß des Winkels aus. Somit entspricht Pi im Bogenmaß 180 Grad.

Jede in Pi (Bogenmaß) ausgedrückte Zahl kann leicht in Grad umgewandelt werden, indem Pi (π) durch 180 ersetzt wird.

Beispiele:
1. Sinus pi.
Sünde π = Sünde 180 = 0
Somit ist der Sinus von Pi derselbe wie der Sinus von 180 Grad und gleich Null.

2. Kosinus pi.
cos π = cos 180 = -1
Daher ist der Kosinus von Pi derselbe wie der Kosinus von 180 Grad und gleich minus eins.

3. Tangente pi
tg π = tg 180 = 0
Daher ist der Tangens Pi dasselbe wie der Tangens 180 Grad und gleich Null.

Tabelle der Sinus-, Cosinus- und Tangenswerte für Winkel 0 - 360 Grad (allgemeine Werte)

Winkel α-Wert (Grad)	Winkel α-Wert im Bogenmaß (über pi)	Sünde (Sinus)	cos (Kosinus)	tg (Tangente)	ctg (Kotangens)	Sek (Sekante)	cosec (Kosekans)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Wenn in der Wertetabelle trigonometrischer Funktionen anstelle des Funktionswerts ein Strich angegeben ist (Tangens (tg) 90 Grad, Kotangens (ctg) 180 Grad), dann ist für einen gegebenen Wert das Gradmaß des Winkels die Funktion hat keinen bestimmten Wert. Wenn kein Bindestrich vorhanden ist, ist die Zelle leer, was bedeutet, dass wir den erforderlichen Wert noch nicht eingegeben haben. Wir interessieren uns für die Anfragen der Nutzer und ergänzen die Tabelle mit neuen Werten, obwohl die aktuellen Daten zu den Werten von Kosinus, Sinus und Tangens der häufigsten Winkelwerte zur Lösung der meisten völlig ausreichen Probleme.

Wertetabelle der trigonometrischen Funktionen sin, cos, tg für die gängigsten Winkel
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 Grad
(Zahlenwerte „gemäß Bradis-Tabellen“)

Winkel α-Wert (Grad)	Winkel α-Wert im Bogenmaß	Sünde (Sinus)	cos (Kosinus)	tg (Tangente)	ctg (Kotangens)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18