Finden Sie den Winkel zwischen zwei Geraden in einer Ebene. Winkel zwischen zwei Geraden

Dieses Material ist einem Konzept wie dem Winkel zwischen zwei sich schneidenden Linien gewidmet. Im ersten Absatz erklären wir, was es ist und zeigen es in Abbildungen. Dann schauen wir uns die Möglichkeiten an, wie Sie den Sinus, den Cosinus dieses Winkels und den Winkel selbst ermitteln können (wir werden Fälle mit einem ebenen und dreidimensionalen Raum getrennt betrachten), geben die notwendigen Formeln an und zeigen dies anhand von Beispielen genau wie sie in der Praxis eingesetzt werden.

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Um zu verstehen, wie groß der Winkel ist, der entsteht, wenn sich zwei Linien schneiden, müssen wir uns an die Definition von Winkel, Rechtwinkligkeit und Schnittpunkt erinnern.

Definition 1

Wir nennen zwei Geraden einen Schnittpunkt, wenn sie einen gemeinsamen Punkt haben. Dieser Punkt wird als Schnittpunkt zweier Geraden bezeichnet.

Jede Gerade wird durch einen Schnittpunkt in Strahlen unterteilt. Beide Geraden bilden 4 Winkel, von denen zwei vertikal sind und zwei benachbart sind. Wenn wir das Maß eines davon kennen, können wir die übrigen bestimmen.

Nehmen wir an, wir wissen, dass einer der Winkel gleich α ist. In diesem Fall ist der dazu senkrechte Winkel ebenfalls gleich α. Um die verbleibenden Winkel zu ermitteln, müssen wir die Differenz 180° – α berechnen. Wenn α gleich 90 Grad ist, sind alle Winkel rechte Winkel. Linien, die sich im rechten Winkel schneiden, werden als Senkrechten bezeichnet (dem Begriff der Rechtwinkligkeit ist ein eigener Artikel gewidmet).

Schauen Sie sich das Bild an:

Kommen wir zur Formulierung der Hauptdefinition.

Definition 2

Der Winkel, den zwei sich schneidende Linien bilden, ist das Maß des kleineren der vier Winkel, die diese beiden Linien bilden.

Aus der Definition muss eine wichtige Schlussfolgerung gezogen werden: Die Größe des Winkels wird in diesem Fall durch eine beliebige reelle Zahl im Intervall (0, 90) ausgedrückt. Wenn die Linien senkrecht sind, ist der Winkel zwischen ihnen auf jeden Fall so gleich 90 Grad.

Die Fähigkeit, das Maß für den Winkel zwischen zwei sich schneidenden Linien zu ermitteln, ist für die Lösung vieler praktischer Probleme nützlich. Die Lösungsmethode kann aus mehreren Optionen gewählt werden.

Zunächst können wir geometrische Methoden anwenden. Wenn wir etwas über Komplementärwinkel wissen, können wir sie anhand der Eigenschaften gleicher oder ähnlicher Figuren auf den benötigten Winkel beziehen. Wenn wir beispielsweise die Seiten eines Dreiecks kennen und den Winkel zwischen den Geraden berechnen müssen, auf denen diese Seiten liegen, dann ist der Kosinussatz für unsere Lösung geeignet. Wenn wir die Bedingung haben rechtwinkliges Dreieck, dann benötigen wir für Berechnungen auch Kenntnisse über Sinus, Cosinus und Tangens eines Winkels.

Die Koordinatenmethode eignet sich auch sehr gut zur Lösung solcher Probleme. Lassen Sie uns erklären, wie Sie es richtig verwenden.

Wir haben ein rechteckiges (kartesisches) Koordinatensystem O x y, in dem zwei Geraden gegeben sind. Bezeichnen wir sie mit den Buchstaben a und b. Die Geraden können mit einigen Gleichungen beschrieben werden. Die ursprünglichen Linien haben einen Schnittpunkt M. Wie bestimmt man den erforderlichen Winkel (nennen wir ihn α) zwischen diesen Geraden?

Beginnen wir mit der Formulierung des Grundprinzips der Winkelfindung unter gegebenen Bedingungen.

Wir wissen, dass das Konzept einer geraden Linie eng mit Konzepten wie einem Richtungsvektor und einem Normalenvektor zusammenhängt. Wenn wir eine Gleichung einer bestimmten Geraden haben, können wir daraus die Koordinaten dieser Vektoren entnehmen. Wir können dies für zwei sich schneidende Linien gleichzeitig tun.

Der Winkel zwischen zwei sich schneidenden Linien kann ermittelt werden mit:

• Winkel zwischen Richtungsvektoren;
• Winkel zwischen Normalenvektoren;
• der Winkel zwischen dem Normalenvektor einer Linie und dem Richtungsvektor der anderen.

Schauen wir uns nun jede Methode einzeln an.

1. Nehmen wir an, dass wir eine Gerade a mit einem Richtungsvektor a → = (a x, a y) und eine Gerade b mit einem Richtungsvektor b → (b x, b y) haben. Zeichnen wir nun zwei Vektoren a → und b → vom Schnittpunkt aus. Danach werden wir sehen, dass sie jeweils auf einer eigenen geraden Linie liegen. Dann haben wir vier Möglichkeiten für ihre relative Anordnung. Siehe Abbildung:

Wenn der Winkel zwischen zwei Vektoren nicht stumpf ist, dann ist es der Winkel, den wir zwischen den Schnittlinien a und b benötigen. Wenn er stumpf ist, ist der gewünschte Winkel gleich dem Winkel neben dem Winkel a →, b → ^. Somit ist α = a → , b → ^ wenn a → , b → ^ ≤ 90 ° , und α = 180 ° - a → , b → ^ wenn a → , b → ^ > 90 ° .

Basierend auf der Tatsache, dass die Kosinuswerte gleiche Winkel gleich sind, können wir die resultierenden Gleichungen wie folgt umschreiben: cos α = cos a → , b → ^ , wenn a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, wenn a →, b → ^ > 90°.

Im zweiten Fall wurden Reduktionsformeln verwendet. Auf diese Weise,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Schreiben wir die letzte Formel in Worten:

Definition 3

Der Kosinus des Winkels, der durch zwei sich schneidende Geraden gebildet wird, ist gleich dem Modul des Kosinus des Winkels zwischen seinen Richtungsvektoren.

Die allgemeine Form der Formel für den Kosinus des Winkels zwischen zwei Vektoren a → = (a x , a y) und b → = (b x , b y) sieht folgendermaßen aus:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + by y 2

Daraus können wir die Formel für den Kosinus des Winkels zwischen zwei gegebenen Geraden ableiten:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Dann kann der Winkel selbst mit der folgenden Formel ermittelt werden:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Dabei sind a → = (a x , a y) und b → = (b x , b y) die Richtungsvektoren der gegebenen Geraden.

Lassen Sie uns ein Beispiel für die Lösung des Problems geben.

Beispiel 1

In einem rechtwinkligen Koordinatensystem auf einer Ebene sind zwei Schnittlinien a und b gegeben. Sie können durch die parametrischen Gleichungen x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R und x 5 = y - 6 - 3 beschrieben werden. Berechnen Sie den Winkel zwischen diesen Linien.

Lösung

Wir haben in unserer Bedingung eine parametrische Gleichung, was bedeutet, dass wir für diese Linie sofort die Koordinaten ihres Richtungsvektors angeben können. Dazu müssen wir die Werte der Koeffizienten für den Parameter nehmen, d.h. die Gerade x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R wird einen Richtungsvektor a → = (4, 1) haben.

Die zweite Zeile wird mit der kanonischen Gleichung x 5 = y - 6 - 3 beschrieben. Hier können wir die Koordinaten aus den Nennern entnehmen. Somit hat diese Linie einen Richtungsvektor b → = (5 , - 3) .

Als nächstes gehen wir direkt zur Bestimmung des Winkels über. Setzen Sie dazu einfach die vorhandenen Koordinaten der beiden Vektoren in die obige Formel ein: α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 . Wir erhalten Folgendes:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °

Antwort: Diese Geraden bilden einen Winkel von 45 Grad.

Wir können ein ähnliches Problem lösen, indem wir den Winkel zwischen Normalenvektoren ermitteln. Wenn wir eine Gerade a mit einem Normalenvektor n a → = (n a x , n a y) und eine Gerade b mit einem Normalenvektor n b → = (n b x , n b y) haben, dann ist der Winkel zwischen ihnen gleich dem Winkel zwischen n a → und n b → oder der Winkel, der an n a →, n b → ^ angrenzt. Diese Methode ist im Bild dargestellt:

Formeln zur Berechnung des Kosinus des Winkels zwischen sich schneidenden Linien und dieses Winkels selbst unter Verwendung der Koordinaten von Normalenvektoren sehen wie folgt aus:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n by n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2

Hier bezeichnen n a → und n b → die Normalenvektoren zweier gegebener Geraden.

Beispiel 2

In einem rechtwinkligen Koordinatensystem werden zwei Geraden durch die Gleichungen 3 x + 5 y – 30 = 0 und x + 4 y – 17 = 0 angegeben. Ermitteln Sie den Sinus und Cosinus des Winkels zwischen ihnen und die Größe dieses Winkels selbst.

Lösung

Die ursprünglichen Linien werden mithilfe von Normalliniengleichungen der Form A x + B y + C = 0 angegeben. Wir bezeichnen den Normalenvektor als n → = (A, B). Suchen wir die Koordinaten des ersten Normalenvektors für eine Linie und schreiben sie: n a → = (3, 5) . Für die zweite Linie x + 4 y - 17 = 0 hat der Normalenvektor die Koordinaten n b → = (1, 4). Nun addieren wir die erhaltenen Werte zur Formel und berechnen die Summe:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Wenn wir den Kosinus eines Winkels kennen, können wir seinen Sinus mithilfe der grundlegenden trigonometrischen Identität berechnen. Da der durch Geraden gebildete Winkel α nicht stumpf ist, gilt sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.

In diesem Fall ist α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.

Antwort: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Analysieren wir den letzten Fall – das Ermitteln des Winkels zwischen Geraden, wenn wir die Koordinaten des Richtungsvektors einer Geraden und des Normalenvektors der anderen kennen.

Nehmen wir an, dass die Gerade a einen Richtungsvektor a → = (a x , a y) und die Gerade b einen Normalenvektor n b → = (n b x , n b y) hat. Wir müssen diese Vektoren vom Schnittpunkt entfernen und alle Optionen für ihre relativen Positionen berücksichtigen. Siehe im Bild:

Wenn der Winkel zwischen gegebene Vektoren nicht mehr als 90 Grad beträgt, stellt sich heraus, dass dadurch der Winkel zwischen a und b zu einem rechten Winkel ergänzt wird.

a → , n b → ^ = 90 ° - α wenn a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Wenn es weniger als 90 Grad beträgt, erhalten wir Folgendes:

a → , n b → ^ > 90 ° , dann a → , n b → ^ = 90 ° + α

Unter Verwendung der Regel der Kosinusgleichheit gleicher Winkel schreiben wir:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α für a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a →, n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α für a →, n b → ^ > 90 °.

Auf diese Weise,

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Lassen Sie uns eine Schlussfolgerung formulieren.

Definition 4

Um den Sinus des Winkels zwischen zwei sich in einer Ebene schneidenden Linien zu ermitteln, müssen Sie den Modul des Kosinus des Winkels zwischen dem Richtungsvektor der ersten Linie und dem Normalenvektor der zweiten berechnen.

Schreiben wir die notwendigen Formeln auf. Den Sinus eines Winkels ermitteln:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n by a x 2 + a y 2 n b x 2 + n by 2

Den Winkel selbst finden:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n by 2

Hier ist a → der Richtungsvektor der ersten Linie und n b → der Normalenvektor der zweiten.

Beispiel 3

Zwei sich schneidende Geraden ergeben sich aus den Gleichungen x - 5 = y - 6 3 und x + 4 y - 17 = 0. Finden Sie den Schnittwinkel.

Lösung

Die Koordinaten des Leit- und Normalenvektors entnehmen wir den gegebenen Gleichungen. Es stellt sich heraus, dass a → = (- 5, 3) und n → b = (1, 4). Wir nehmen die Formel α = a r c sin = a x n b x + a y n by y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n by 2 und berechnen:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Bitte beachten Sie, dass wir die Gleichungen aus der vorherigen Aufgabe übernommen und genau das gleiche Ergebnis erhalten haben, jedoch auf andere Weise.

Antwort:α = a r c sin 7 2 34

Lassen Sie uns eine andere Möglichkeit vorstellen, den gewünschten Winkel mithilfe der Winkelkoeffizienten gegebener Geraden zu ermitteln.

Wir haben eine Linie a, die in einem rechtwinkligen Koordinatensystem durch die Gleichung y = k 1 x + b 1 definiert ist, und eine Linie b, definiert als y = k 2 x + b 2. Dies sind Gleichungen von Geraden mit Steigungen. Um den Schnittwinkel zu ermitteln, verwenden wir die Formel:

α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, wobei k 1 und k 2 sind Winkelkoeffizienten gegebene Geraden. Um diesen Datensatz zu erhalten, wurden Formeln zur Bestimmung des Winkels durch die Koordinaten von Normalenvektoren verwendet.

Beispiel 4

Es gibt zwei Geraden, die sich in einer Ebene schneiden, durch Gleichungen gegeben y = - 3 5 x + 6 und y = - 1 4 x + 17 4 . Berechnen Sie den Wert des Schnittwinkels.

Lösung

Die Winkelkoeffizienten unserer Linien sind gleich k 1 = - 3 5 und k 2 = - 1 4. Fügen wir sie zur Formel α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 hinzu und berechnen wir:

α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = ar c cos 23 2 34

Antwort:α = a r c cos 23 2 34

Im Fazit dieses Absatzes ist zu beachten, dass die hier angegebenen Formeln zur Bestimmung des Winkels nicht auswendig gelernt werden müssen. Dazu reicht es aus, die Koordinaten der Hilfslinien und/oder Normalenvektoren gegebener Linien zu kennen und diese daraus bestimmen zu können verschiedene Typen Gleichungen. Aber es ist besser, sich die Formeln zur Berechnung des Kosinus eines Winkels zu merken oder aufzuschreiben.

So berechnen Sie den Winkel zwischen sich schneidenden Linien im Raum

Die Berechnung eines solchen Winkels kann auf die Berechnung der Koordinaten der Richtungsvektoren und die Bestimmung der Größe des von diesen Vektoren gebildeten Winkels reduziert werden. Für solche Beispiele wird die gleiche Argumentation wie zuvor verwendet.

Nehmen wir an, wir haben ein rechteckiges Koordinatensystem im dreidimensionalen Raum. Es enthält zwei Geraden a und b mit einem Schnittpunkt M. Um die Koordinaten der Richtungsvektoren zu berechnen, müssen wir die Gleichungen dieser Linien kennen. Bezeichnen wir die Richtungsvektoren a → = (a x , a y , a z) und b → = (b x , b y , b z) . Um den Kosinus des Winkels zwischen ihnen zu berechnen, verwenden wir die Formel:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Um den Winkel selbst zu ermitteln, benötigen wir diese Formel:

α = a r c cos a x b x + a y by + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Beispiel 5

Wir haben eine im dreidimensionalen Raum definierte Linie mit der Gleichung x 1 = y - 3 = z + 3 - 2. Es ist bekannt, dass es die O z-Achse schneidet. Berechnen Sie den Schnittwinkel und den Kosinus dieses Winkels.

Lösung

Bezeichnen wir den Winkel, der berechnet werden muss, mit dem Buchstaben α. Schreiben wir die Koordinaten des Richtungsvektors für die erste Gerade auf – a → = (1, - 3, - 2) . Für die Anwendungsachse können wir uns am Koordinatenvektor k → = (0, 0, 1) orientieren. Wir haben die notwendigen Daten erhalten und können diese zur gewünschten Formel hinzufügen:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

Als Ergebnis haben wir herausgefunden, dass der von uns benötigte Winkel gleich a r c cos 1 2 = 45 ° ist.

Antwort: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

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Oh-oh-oh-oh-oh... na ja, das ist hart, als ob er sich einen Satz vorliest =) Entspannung hilft aber später, zumal ich mir heute die passenden Accessoires gekauft habe. Fahren wir daher mit dem ersten Abschnitt fort. Ich hoffe, dass ich am Ende des Artikels eine fröhliche Stimmung bewahren werde.

Die relative Position zweier gerader Linien

Dies ist der Fall, wenn das Publikum im Chor mitsingt. Zwei gerade Linien können:

1) Spiel;

2) parallel sein: ;

3) oder sich in einem einzigen Punkt schneiden: .

Hilfe für Dummies : Bitte denk daran mathematisches Zeichen Kreuzungen wird es sehr häufig vorkommen. Die Notation bedeutet, dass die Linie die Linie im Punkt schneidet.

Wie bestimmt man die relative Position zweier Linien?

Beginnen wir mit dem ersten Fall:

Zwei Geraden fallen genau dann zusammen, wenn ihre entsprechenden Koeffizienten proportional sind, das heißt, es gibt eine Zahl „Lambda“, so dass die Gleichheiten erfüllt sind

Betrachten wir die Geraden und erstellen wir drei Gleichungen aus den entsprechenden Koeffizienten: . Aus jeder Gleichung folgt, dass diese Geraden zusammenfallen.

In der Tat, wenn alle Koeffizienten der Gleichung mit –1 multiplizieren (Vorzeichen ändern) und alle Koeffizienten der Gleichung durch 2 geschnitten, erhält man die gleiche Gleichung: .

Der zweite Fall, wenn die Geraden parallel sind:

Zwei Geraden sind genau dann parallel, wenn ihre Koeffizienten der Variablen proportional sind: , Aber.

Betrachten Sie als Beispiel zwei Geraden. Wir prüfen die Proportionalität der entsprechenden Koeffizienten für die Variablen:

Es ist jedoch ziemlich offensichtlich, dass.

Und der dritte Fall, wenn sich die Linien schneiden:

Zwei Geraden schneiden sich genau dann, wenn ihre Koeffizienten der Variablen NICHT proportional sind Das heißt, es gibt KEINEN solchen Wert von „Lambda“, dass die Gleichheiten erfüllt sind

Für gerade Linien erstellen wir also ein System:

Aus der ersten Gleichung folgt, dass und aus der zweiten Gleichung: , was bedeutet Das System ist inkonsistent(keine Lösungen). Somit sind die Koeffizienten der Variablen nicht proportional.

Fazit: Linien schneiden sich

Bei praktischen Problemen können Sie das gerade besprochene Lösungsschema verwenden. Es erinnert übrigens sehr an den Algorithmus zur Überprüfung von Vektoren auf Kollinearität, den wir uns im Unterricht angesehen haben Das Konzept der linearen (Un-)Abhängigkeit von Vektoren. Basis von Vektoren. Aber es gibt eine zivilisiertere Verpackung:

Beispiel 1

Herausfinden gegenseitige Übereinkunft Direkte:

Lösung basierend auf der Untersuchung der Richtungsvektoren gerader Linien:

a) Aus den Gleichungen ermitteln wir die Richtungsvektoren der Geraden: .

, was bedeutet, dass die Vektoren nicht kollinear sind und sich die Geraden schneiden.

Für alle Fälle stelle ich an der Kreuzung einen Stein mit Schildern auf:

Der Rest springt über den Stein und folgt weiter, direkt zu Kashchei dem Unsterblichen =)

b) Finden Sie die Richtungsvektoren der Geraden:

Die Linien haben den gleichen Richtungsvektor, das heißt, sie sind entweder parallel oder fallen zusammen. Die Determinante muss hier nicht gezählt werden.

Es ist offensichtlich, dass die Koeffizienten der Unbekannten proportional sind und .

Finden wir heraus, ob die Gleichheit wahr ist:

Auf diese Weise,

c) Finden Sie die Richtungsvektoren der Geraden:

Berechnen wir die Determinante, die aus den Koordinaten dieser Vektoren besteht:
Daher sind die Richtungsvektoren kollinear. Die Linien sind entweder parallel oder fallen zusammen.

Der Proportionalitätskoeffizient „Lambda“ lässt sich leicht direkt aus dem Verhältnis der kollinearen Richtungsvektoren ablesen. Es kann jedoch auch über die Koeffizienten der Gleichungen selbst ermittelt werden: .

Lassen Sie uns nun herausfinden, ob die Gleichheit wahr ist. Beide freien Terme sind Null, also:

Der resultierende Wert erfüllt diese Gleichung(Jede Zahl erfüllt im Allgemeinen die Anforderungen).

Somit fallen die Linien zusammen.

Antwort:

Schon bald werden Sie lernen (oder haben es sogar schon gelernt), das verbal besprochene Problem buchstäblich in Sekundenschnelle zu lösen. In dieser Hinsicht sehe ich keinen Sinn darin, etwas dafür anzubieten unabhängige Entscheidung, ist es besser, einen weiteren wichtigen Baustein in das geometrische Fundament zu legen:

Wie konstruiere ich eine Linie parallel zu einer gegebenen Linie?

Aus Unwissenheit darüber einfachste Aufgabe Nachtigall der Räuber bestraft hart.

Beispiel 2

Die Gerade ergibt sich aus der Gleichung. Schreiben Sie eine Gleichung für eine parallele Gerade, die durch den Punkt verläuft.

Lösung: Bezeichnen wir die unbekannte Zeile mit dem Buchstaben . Was sagt der Zustand über sie aus? Die Gerade geht durch den Punkt. Und wenn die Geraden parallel sind, dann ist es offensichtlich, dass der Richtungsvektor der Geraden „tse“ auch zur Konstruktion der Geraden „de“ geeignet ist.

Wir nehmen den Richtungsvektor aus der Gleichung:

Antwort:

Die Beispielgeometrie sieht einfach aus:

Das analytische Testen besteht aus den folgenden Schritten:

1) Wir überprüfen, ob die Linien den gleichen Richtungsvektor haben (wenn die Gleichung der Linie nicht richtig vereinfacht wird, sind die Vektoren kollinear).

2) Überprüfen Sie, ob der Punkt die resultierende Gleichung erfüllt.

In den meisten Fällen können analytische Tests problemlos mündlich durchgeführt werden. Schauen Sie sich die beiden Gleichungen an, und viele von Ihnen werden schnell die Parallelität der Linien bestimmen, ohne sie zeichnen zu müssen.

Beispiele für eigenständige Lösungen werden heute kreativ sein. Weil Sie immer noch mit Baba Yaga konkurrieren müssen, und sie ist, wie Sie wissen, eine Liebhaberin aller möglichen Rätsel.

Beispiel 3

Schreiben Sie eine Gleichung für eine Gerade, die durch einen Punkt parallel zur Geraden verläuft

Es gibt einen rationalen und einen weniger rationalen Weg, das Problem zu lösen. Am meisten Abkürzung- am Ende der Lektion.

Wir haben ein wenig mit parallelen Linien gearbeitet und werden später darauf zurückkommen. Der Fall übereinstimmender Linien ist von geringem Interesse. Betrachten wir daher ein Problem, das Ihnen aus dem Lehrplan sehr bekannt ist:

Wie finde ich den Schnittpunkt zweier Geraden?

Wenn gerade sich im Punkt schneiden, dann sind seine Koordinaten die Lösung Systeme linearer Gleichungen

Wie finde ich den Schnittpunkt von Linien? Lösen Sie das System.

Bitte schön geometrische Bedeutung des Zweiersystems lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten- Dies sind (meistens) zwei sich schneidende Linien in einer Ebene.

Beispiel 4

Finden Sie den Schnittpunkt der Linien

Lösung: Es gibt zwei Lösungswege – grafisch und analytisch.

Die grafische Methode besteht darin, einfach die vorgegebenen Linien zu zeichnen und den Schnittpunkt direkt aus der Zeichnung herauszufinden:

Hier ist unser Punkt: . Um dies zu überprüfen, sollten Sie ihre Koordinaten in jede Gleichung der Linie einsetzen. Sie sollten sowohl dort als auch dort passen. Mit anderen Worten: Die Koordinaten eines Punktes sind eine Lösung des Systems. Im Wesentlichen haben wir uns eine grafische Lösung angesehen Systeme linearer Gleichungen mit zwei Gleichungen, zwei Unbekannten.

Die grafische Methode ist natürlich nicht schlecht, aber es gibt spürbare Nachteile. Nein, es geht nicht darum, dass Siebtklässler so entscheiden, sondern darum, dass es einige Zeit dauern wird, eine korrekte und GENAUE Zeichnung zu erstellen. Darüber hinaus sind einige Geraden nicht so einfach zu konstruieren und der Schnittpunkt selbst kann irgendwo im dreißigsten Königreich außerhalb des Notizbuchblatts liegen.

Daher ist es sinnvoller, den Schnittpunkt mit der analytischen Methode zu suchen. Lassen Sie uns das System lösen:

Zur Lösung des Systems wurde die Methode der Term-für-Term-Addition von Gleichungen verwendet. Nehmen Sie an einer Unterrichtsstunde teil, um relevante Fähigkeiten zu entwickeln Wie löst man ein Gleichungssystem?

Antwort:

Die Prüfung ist trivial – die Koordinaten des Schnittpunkts müssen jede Gleichung des Systems erfüllen.

Beispiel 5

Finden Sie den Schnittpunkt der Linien, wenn sie sich schneiden.

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Es ist zweckmäßig, die Aufgabe in mehrere Phasen aufzuteilen. Die Analyse des Zustands legt nahe, dass Folgendes erforderlich ist:
1) Schreiben Sie die Gleichung der Geraden auf.
2) Schreiben Sie die Gleichung der Geraden auf.
3) Ermitteln Sie die relative Position der Linien.
4) Wenn sich die Linien schneiden, ermitteln Sie den Schnittpunkt.

Die Entwicklung eines Aktionsalgorithmus ist typisch für viele geometrische Probleme, und ich werde mich immer wieder darauf konzentrieren.

Komplette Lösung und die Antwort am Ende der Lektion:

Noch nicht einmal ein Paar Schuhe war abgenutzt, bevor wir zum zweiten Abschnitt der Lektion kamen:

Senkrechte Linien. Abstand von einem Punkt zu einer Linie.
Winkel zwischen Geraden

Beginnen wir mit einem typischen und sehr wichtige Aufgabe. Im ersten Teil haben wir gelernt, wie man eine gerade Linie parallel zu dieser baut, und jetzt dreht sich die Hütte auf Hühnerbeinen um 90 Grad:

Wie konstruiere ich eine Gerade senkrecht zu einer gegebenen Geraden?

Beispiel 6

Die Gerade ergibt sich aus der Gleichung. Schreiben Sie eine Gleichung senkrecht zur Geraden, die durch den Punkt verläuft.

Lösung: Durch die Bedingung ist bekannt, dass . Es wäre schön, den Richtungsvektor der Linie zu finden. Da die Linien senkrecht stehen, ist der Trick einfach:

Aus der Gleichung „entfernen“ wir den Normalenvektor: , der der Richtungsvektor der Geraden sein wird.

Stellen wir die Gleichung einer Geraden aus einem Punkt und einem Richtungsvektor zusammen:

Antwort:

Erweitern wir die geometrische Skizze:

Hmmm... Orangefarbener Himmel, orangefarbenes Meer, orangefarbenes Kamel.

Analytische Überprüfung der Lösung:

1) Wir entnehmen die Richtungsvektoren aus den Gleichungen und mit der Hilfe Skalarprodukt von Vektoren Wir kommen zu dem Schluss, dass die Geraden tatsächlich senkrecht stehen: .

Übrigens können Sie Normalenvektoren verwenden, das ist noch einfacher.

2) Überprüfen Sie, ob der Punkt die resultierende Gleichung erfüllt .

Auch der Test lässt sich leicht mündlich durchführen.

Beispiel 7

Finden Sie den Schnittpunkt senkrechter Geraden, wenn die Gleichung bekannt ist und Punkt.

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Da das Problem mehrere Aktionen umfasst, ist es zweckmäßig, die Lösung Punkt für Punkt zu formulieren.

Unsere spannende Reise geht weiter:

Abstand vom Punkt zur Linie

Vor uns liegt ein gerader Flussstreifen und unsere Aufgabe ist es, auf dem kürzesten Weg dorthin zu gelangen. Es gibt keine Hindernisse und die optimale Route ist die Bewegung entlang der Senkrechten. Das heißt, der Abstand von einem Punkt zu einer Geraden ist die Länge des senkrechten Abschnitts.

In der Geometrie wird der Abstand traditionell mit dem griechischen Buchstaben „rho“ bezeichnet, zum Beispiel: – der Abstand vom Punkt „em“ zur Geraden „de“.

Abstand vom Punkt zur Linie ausgedrückt durch die Formel

Beispiel 8

Finden Sie den Abstand von einem Punkt zu einer Linie

Lösung: Sie müssen lediglich die Zahlen sorgfältig in die Formel einsetzen und die Berechnungen durchführen:

Antwort:

Machen wir die Zeichnung:

Der gefundene Abstand vom Punkt zur Linie entspricht genau der Länge des roten Segments. Wenn Sie eine Zeichnung auf kariertem Papier im Maßstab 1 Einheit erstellen. = 1 cm (2 Zellen), dann kann der Abstand mit einem gewöhnlichen Lineal gemessen werden.

Betrachten wir eine andere Aufgabe basierend auf derselben Zeichnung:

Die Aufgabe besteht darin, die Koordinaten eines Punktes zu finden, der relativ zur Geraden symmetrisch zum Punkt ist . Ich schlage vor, die Schritte selbst durchzuführen, aber ich werde den Lösungsalgorithmus mit Zwischenergebnissen skizzieren:

1) Finden Sie eine Linie, die senkrecht zur Linie steht.

2) Finden Sie den Schnittpunkt der Geraden: .

Beide Aktionen werden in dieser Lektion ausführlich besprochen.

3) Der Punkt ist der Mittelpunkt des Segments. Wir kennen die Koordinaten der Mitte und eines der Enden. Von Formeln für die Koordinaten des Mittelpunkts eines Segments wir finden .

Es wäre eine gute Idee zu überprüfen, ob der Abstand ebenfalls 2,2 Einheiten beträgt.

Hier kann es zu Berechnungsschwierigkeiten kommen, doch ein Mikrorechner im Turm ist eine große Hilfe und ermöglicht das Rechnen gemeinsame Brüche. Ich habe Sie schon oft beraten und werde Sie auch weiterhin weiterempfehlen.

Wie finde ich den Abstand zwischen zwei parallelen Linien?

Beispiel 9

Finden Sie den Abstand zwischen zwei parallelen Linien

Dies ist ein weiteres Beispiel, über das Sie selbst entscheiden können. Ich gebe Ihnen einen kleinen Hinweis: Es gibt unendlich viele Möglichkeiten, dieses Problem zu lösen. Nachbesprechung am Ende der Lektion, aber es ist besser, selbst zu raten, ich denke, Ihr Einfallsreichtum war gut entwickelt.

Winkel zwischen zwei Geraden

Jede Ecke ist ein Pfosten:


In der Geometrie wird der Winkel zwischen zwei Geraden als der KLEINERE Winkel angenommen, woraus automatisch folgt, dass er nicht stumpf sein kann. In der Abbildung wird der durch den roten Bogen angezeigte Winkel nicht als Winkel zwischen sich schneidenden Linien betrachtet. Und sein „grüner“ Nachbar bzw gegensätzlich ausgerichtet„Himbeer“-Ecke.

Stehen die Geraden senkrecht zueinander, kann jeder der vier Winkel als Winkel zwischen ihnen angenommen werden.

Wie unterscheiden sich die Winkel? Orientierung. Erstens ist die Richtung, in die der Winkel „gescrollt“ wird, von grundlegender Bedeutung. Zweitens wird ein negativ ausgerichteter Winkel mit einem Minuszeichen geschrieben, zum Beispiel wenn .

Warum habe ich dir das erzählt? Es scheint, dass wir mit dem üblichen Winkelkonzept auskommen können. Tatsache ist, dass die Formeln, mit denen wir Winkel ermitteln, leicht zu einem negativen Ergebnis führen können, und das sollte Sie nicht überraschen. Ein Winkel mit einem Minuszeichen ist nicht schlechter und hat eine ganz bestimmte geometrische Bedeutung. Achten Sie in der Zeichnung darauf, bei einem negativen Winkel dessen Ausrichtung mit einem Pfeil (im Uhrzeigersinn) anzugeben.

Wie finde ich den Winkel zwischen zwei Geraden? Es gibt zwei Arbeitsformeln:

Beispiel 10

Finden Sie den Winkel zwischen Linien

Lösung Und Methode eins

Betrachten Sie zwei gerade Linien, die durch die Gleichungen in gegeben sind Gesamtansicht:

Wenn gerade nicht senkrecht, Das orientiert Der Winkel zwischen ihnen kann mit der Formel berechnet werden:

Achten wir genau auf den Nenner – genau das ist es Skalarprodukt richtende Vektoren von Geraden:

Wenn , dann wird der Nenner der Formel Null und die Vektoren sind orthogonal und die Linien sind senkrecht. Aus diesem Grund wurde in der Formulierung ein Vorbehalt hinsichtlich der Nichtsenkrechtigkeit von Geraden gemacht.

Basierend auf dem oben Gesagten ist es zweckmäßig, die Lösung in zwei Schritten zu formalisieren:

1) Berechnen wir Skalarprodukt richtende Vektoren von Geraden:
, was bedeutet, dass die Linien nicht senkrecht sind.

2) Ermitteln Sie den Winkel zwischen Geraden mit der Formel:

Mit Hilfe Umkehrfunktion Die Ecke selbst ist leicht zu finden. In diesem Fall verwenden wir die Ungeradheit des Arkustangens (siehe. Graphen und Eigenschaften elementarer Funktionen):

Antwort:

In der Antwort geben wir an genauer Wert, sowie einen ungefähren Wert (vorzugsweise in Grad und Bogenmaß), berechnet mit einem Taschenrechner.

Nun ja, Minus, Minus, keine große Sache. Hier ist eine geometrische Illustration:

Es ist nicht verwunderlich, dass sich herausstellte, dass der Winkel eine negative Ausrichtung hatte, da in der Problemstellung die erste Zahl eine Gerade ist und das „Abschrauben“ des Winkels genau damit begann.

Wenn Sie wirklich einen positiven Winkel erhalten möchten, müssen Sie die Linien vertauschen, also die Koeffizienten aus der zweiten Gleichung übernehmen , und nehmen Sie die Koeffizienten aus der ersten Gleichung. Kurz gesagt, Sie müssen direkt beginnen .

Winkel zwischen geraden Linien im Raum nennen wir jeden der benachbarten Winkel, die durch zwei gerade Linien gebildet werden, die durch einen beliebigen Punkt parallel zu den Daten gezogen werden.

Gegeben seien zwei Zeilen im Raum:

Offensichtlich kann der Winkel φ zwischen Geraden als Winkel zwischen ihren Richtungsvektoren und angenommen werden. Da wir dann die Formel für den Kosinus des Winkels zwischen Vektoren verwenden, erhalten wir

Die Bedingungen der Parallelität und Rechtwinkligkeit zweier Geraden entsprechen den Bedingungen der Parallelität und Rechtwinkligkeit ihrer Richtungsvektoren und:

Zwei gerade parallel genau dann, wenn ihre entsprechenden Koeffizienten proportional sind, d. h. l 1 Parallele l 2 genau dann, wenn parallel .

Zwei gerade aufrecht genau dann, wenn die Summe der Produkte der entsprechenden Koeffizienten gleich Null ist: .

U Ziel zwischen Linie und Ebene

Lass es gerade sein D- nicht senkrecht zur θ-Ebene;
D′− Projektion einer Linie D zur θ-Ebene;
Der kleinste Winkel zwischen Geraden D Und D' Wir werden anrufen Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene.
Bezeichnen wir es als φ=( D,θ)
Wenn D⊥θ, dann ( D,θ)=π/2

Oi→J→k→− rechtwinkliges Koordinatensystem.
Ebenengleichung:

θ: Axt+Von+Tsch+D=0

Wir gehen davon aus, dass die Gerade durch einen Punkt und einen Richtungsvektor definiert ist: D[M 0,P→]
Vektor N→(A,B,C)⊥θ
Dann bleibt noch der Winkel zwischen den Vektoren herauszufinden N→ und P→, bezeichnen wir es als γ=( N→,P→).

Wenn der Winkel γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Wenn der Winkel γ>π/2 ist, dann ist der gewünschte Winkel φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Dann, Winkel zwischen Gerade und Ebene kann mit der Formel berechnet werden:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+Bp 2+Vgl 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√P 21+P 22+P 23

Frage29. Das Konzept der quadratischen Form. Zeichenbestimmtheit quadratischer Formen.

Quadratische Form j (x 1, x 2, …, x n) n reelle Variablen x 1, x 2, …, x n heißt Summe der Form
, (1)

Wo ein ij – einige Zahlen, die Koeffizienten genannt werden. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir davon ausgehen ein ij = ein ji.

Die quadratische Form heißt gültig, Wenn ein ij Î GR. Matrix quadratischer Form heißt eine Matrix, die aus ihren Koeffizienten besteht. Die quadratische Form (1) entspricht der einzigen symmetrischen Matrix
Das ist EIN T = A. Daher kann die quadratische Form (1) geschrieben werden Matrixform J ( X) = x T Ah, Wo x T = (X 1 X 2 … x n). (2)

Und umgekehrt entspricht jede symmetrische Matrix (2) bis zur Variablenschreibweise einer eindeutigen quadratischen Form.

Rang der quadratischen Form wird der Rang seiner Matrix genannt. Die quadratische Form heißt nicht degeneriert, wenn seine Matrix nicht singulär ist A. (Denken Sie daran, dass die Matrix A heißt nicht entartet, wenn seine Determinante ungleich Null ist. Ansonsten ist die quadratische Form entartet.

positiv definitiv(oder streng positiv) wenn

J ( X) > 0 , für jeden X = (X 1 , X 2 , …, x n), außer X = (0, 0, …, 0).

Matrix A positiv definite quadratische Form j ( X) wird auch positiv definit genannt. Daher entspricht eine positiv definite quadratische Form einer eindeutigen positiv definiten Matrix und umgekehrt.

Die quadratische Form (1) heißt negativ definiert(oder streng negativ) wenn

J ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), außer X = (0, 0, …, 0).

Ähnlich wie oben wird eine Matrix negativ definiter quadratischer Form auch negativ definit genannt.

Folglich ist die positive (negative) bestimmte quadratische Form j ( X) erreicht den minimalen (maximalen) Wert j ( X*) = 0 bei X* = (0, 0, …, 0).

Beachten Sie, dass die meisten quadratischen Formen nicht vorzeichenbestimmt sind, das heißt, sie sind weder positiv noch negativ. Solche quadratischen Formen verschwinden nicht nur im Ursprung des Koordinatensystems, sondern auch an anderen Punkten.

Wann N> 2 sind spezielle Kriterien erforderlich, um das Vorzeichen einer quadratischen Form zu überprüfen. Schauen wir sie uns an.

Haupt-Minderjährige quadratische Form nennt man Minor:

das heißt, es handelt sich um Minderjährige in der Größenordnung von 1, 2, ..., N Matrizen A, befindet sich in der oberen linken Ecke, die letzte davon stimmt mit der Determinante der Matrix überein A.

Kriterium der positiven Bestimmtheit (Sylvester-Kriterium)

X) = x T Ah positiv definit war, ist es notwendig und ausreichend, dass alle großen Nebenwerte der Matrix vorhanden sind A waren positiv, das heißt: M 1 > 0, M 2 > 0, …, M n > 0. Negatives Sicherheitskriterium Damit die quadratische Form j ( X) = x T Ah negativ definitiv war, ist es notwendig und ausreichend, dass seine Hauptminorwerte gerader Ordnung positiv und ungerader Ordnung negativ sind, d. h.: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)N