Probleme und Beispiele für alle Operationen mit gewöhnlichen Brüchen. So lösen Sie Brüche

Nachdem wir nun gelernt haben, wie man einzelne Brüche addiert und multipliziert, können wir uns mit komplexeren Strukturen befassen. Was wäre beispielsweise, wenn dasselbe Problem darin besteht, Brüche zu addieren, zu subtrahieren und zu multiplizieren?

Zunächst müssen Sie alle Brüche in unechte Brüche umwandeln. Dann führen wir die erforderlichen Aktionen nacheinander aus – in der gleichen Reihenfolge wie bei gewöhnlichen Zahlen. Nämlich:

1. Zuerst wird die Potenzierung durchgeführt. Entfernen Sie alle Ausdrücke, die Exponenten enthalten.
2. Dann - Division und Multiplikation;
3. Der letzte Schritt ist Addition und Subtraktion.

Wenn der Ausdruck Klammern enthält, ändert sich natürlich die Reihenfolge der Operationen – alles, was in den Klammern steht, muss zuerst gezählt werden. Und denken Sie an unechte Brüche: Sie müssen den ganzen Teil erst markieren, wenn alle anderen Aktionen bereits abgeschlossen sind.

Lassen Sie uns alle Brüche aus dem ersten Ausdruck in unechte Brüche umwandeln und dann die folgenden Schritte ausführen:

Lassen Sie uns nun den Wert des zweiten Ausdrucks ermitteln. Es gibt keine Brüche mit einem ganzzahligen Teil, aber es gibt Klammern, also führen wir zuerst eine Addition und erst dann eine Division durch. Beachten Sie, dass 14 = 7 · 2. Dann:

Betrachten Sie abschließend das dritte Beispiel. Hier gibt es Klammern und einen Grad – besser ist es, diese separat zu zählen. Wenn man bedenkt, dass 9 = 3 · 3, gilt:

Achten Sie auf das letzte Beispiel. Um einen Bruch zu potenzieren, müssen Sie den Zähler und den Nenner separat potenzieren.

Sie können anders entscheiden. Wenn wir uns an die Definition eines Grades erinnern, reduziert sich das Problem auf die übliche Multiplikation von Brüchen:

Mehrstöckige Brüche

Bisher haben wir nur „reine“ Brüche betrachtet, bei denen Zähler und Nenner gewöhnliche Zahlen sind. Dies steht im Einklang mit der Definition eines Zahlenbruchs aus der ersten Lektion.

Was aber, wenn Sie ein komplexeres Objekt in den Zähler oder Nenner einfügen? Zum Beispiel ein anderer numerischer Bruch? Gerade bei der Arbeit mit langen Ausdrücken kommen solche Konstruktionen recht häufig vor. Hier ein paar Beispiele:

Für die Arbeit mit mehrstufigen Brüchen gibt es nur eine Regel: Sie müssen sie sofort loswerden. Das Entfernen „zusätzlicher“ Stockwerke ist ganz einfach, wenn Sie bedenken, dass der Schrägstrich die Standard-Divisionsoperation bedeutet. Daher kann jeder Bruch umgeschrieben werden auf die folgende Weise:

Wenn wir diese Tatsache nutzen und das Verfahren befolgen, können wir jeden mehrstöckigen Bruch leicht auf einen gewöhnlichen Bruch reduzieren. Schauen Sie sich die Beispiele an:

Aufgabe. Wandeln Sie mehrstöckige Brüche in gewöhnliche um:

In jedem Fall schreiben wir den Hauptbruch um und ersetzen den Trennstrich durch ein Divisionszeichen. Denken Sie auch daran, dass jede ganze Zahl als Bruch mit dem Nenner 1 dargestellt werden kann 12 = 12/1; 3 = 3/1. Wir bekommen:

Im letzten Beispiel wurden die Brüche vor der endgültigen Multiplikation gelöscht.

Besonderheiten der Arbeit mit mehrstufigen Brüchen

Es gibt eine Feinheit bei mehrstufigen Brüchen, die immer beachtet werden muss, sonst kann es zu einer falschen Antwort kommen, selbst wenn alle Berechnungen korrekt waren. Schau mal:

1. Der Zähler enthält die einzelne Zahl 7 und der Nenner enthält den Bruch 12/5;
2. Der Zähler enthält den Bruch 7/12 und der Nenner enthält die separate Zahl 5.

Für eine Aufnahme bekamen wir also zwei völlig unterschiedliche Interpretationen. Wenn Sie mitzählen, werden die Antworten auch unterschiedlich sein:

Um sicherzustellen, dass der Datensatz immer eindeutig gelesen wird, verwenden Sie eine einfache Regel: Die Trennlinie des Hauptbruchs muss länger sein als die Linie des zusammengesetzten Bruchs. Am besten mehrmals.

Wenn Sie diese Regel befolgen, sollten die obigen Brüche wie folgt geschrieben werden:

Ja, es ist wahrscheinlich unansehnlich und nimmt zu viel Platz ein. Aber Sie werden richtig zählen. Abschließend noch ein paar Beispiele, wo tatsächlich mehrstöckige Brüche entstehen:

Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung der Ausdrücke:

Lassen Sie uns also mit dem ersten Beispiel arbeiten. Lassen Sie uns alle Brüche in unechte Brüche umwandeln und dann Additions- und Divisionsoperationen durchführen:

Machen wir dasselbe mit dem zweiten Beispiel. Lassen Sie uns alle Brüche in unechte Brüche umwandeln und die erforderlichen Operationen durchführen. Um den Leser nicht zu langweilen, werde ich einige offensichtliche Berechnungen weglassen. Wir haben:

Aufgrund der Tatsache, dass Zähler und Nenner der Grundbrüche Summen enthalten, wird die Regel zum Schreiben mehrstöckiger Brüche automatisch eingehalten. Außerdem haben wir im letzten Beispiel absichtlich 46/1 in Bruchform belassen, um eine Division durchzuführen.

Ich möchte auch anmerken, dass in beiden Beispielen der Bruchstrich tatsächlich die Klammern ersetzt: Zuerst haben wir die Summe ermittelt und erst dann den Quotienten.

Einige werden sagen, dass der Übergang zu unechten Brüchen im zweiten Beispiel eindeutig überflüssig war. Vielleicht stimmt das. Damit versichern wir uns aber vor Fehlern, denn beim nächsten Mal könnte sich das Beispiel als deutlich komplizierter herausstellen. Entscheiden Sie selbst, was wichtiger ist: Geschwindigkeit oder Zuverlässigkeit.

Um einen Teil als Bruchteil des Ganzen auszudrücken, müssen Sie den Teil durch das Ganze teilen.

Aufgabe 1. Die Klasse besteht aus 30 Schülern, vier fehlen. Wie hoch ist der Anteil der Studierenden, die abwesend sind?

Lösung:

Antwort: Es sind keine Schüler in der Klasse.

Einen Bruch aus einer Zahl ermitteln

Um Probleme zu lösen, bei denen Sie einen Teil eines Ganzen finden müssen, gilt folgende Regel:

Wenn ein Teil eines Ganzen als Bruch ausgedrückt wird, können Sie zum Ermitteln dieses Teils das Ganze durch den Nenner des Bruchs dividieren und das Ergebnis mit seinem Zähler multiplizieren.

Aufgabe 1. Es waren 600 Rubel, dieser Betrag wurde ausgegeben. Wie viel Geld hast du ausgegeben?

Lösung: Um 600 Rubel oder mehr zu finden, müssen wir diesen Betrag in 4 Teile teilen, um herauszufinden, wie viel Geld ein Viertel ist:

600: 4 = 150 (r.)

Antwort: 150 Rubel ausgegeben.

Aufgabe 2. Es waren 1000 Rubel, dieser Betrag wurde ausgegeben. Wie viel Geld wurde ausgegeben?

Lösung: Aus der Problemstellung wissen wir, dass 1000 Rubel aus fünf gleichen Teilen bestehen. Lassen Sie uns zunächst herausfinden, wie viele Rubel ein Fünftel von 1000 sind, und dann herausfinden, wie viele Rubel zwei Fünftel sind:

1) 1000: 5 = 200 (r.) - ein Fünftel.

2) 200 · 2 = 400 (r.) - zwei Fünftel.

Diese beiden Aktionen können kombiniert werden: 1000: 5 · 2 = 400 (r.).

Antwort: 400 Rubel wurden ausgegeben.

Der zweite Weg, einen Teil eines Ganzen zu finden:

Um einen Teil eines Ganzen zu finden, können Sie das Ganze mit dem Bruch multiplizieren, der diesen Teil des Ganzen ausdrückt.

Aufgabe 3. Gemäß der Satzung der Genossenschaft müssen für die Gültigkeit des Berichtstreffens mindestens mindestens Mitglieder der Organisation anwesend sein. Die Genossenschaft hat 120 Mitglieder. In welcher Zusammensetzung kann ein Berichtsgespräch stattfinden?

Lösung:

Antwort: Das Berichtstreffen kann stattfinden, wenn die Organisation 80 Mitglieder hat.

Eine Zahl anhand ihres Bruchs ermitteln

Um Probleme zu lösen, bei denen es darum geht, ein Ganzes aus seinen Teilen zu finden, gilt folgende Regel:

Wenn ein Teil des gewünschten Ganzen als Bruch ausgedrückt wird, können Sie zum Ermitteln dieses Ganzen diesen Teil durch den Zähler des Bruchs dividieren und das Ergebnis mit seinem Nenner multiplizieren.

Aufgabe 1. Wir haben 50 Rubel ausgegeben, was weniger als der ursprüngliche Betrag war. Finden Sie den ursprünglichen Geldbetrag.

Lösung: Aus der Beschreibung des Problems sehen wir, dass 50 Rubel 6-mal weniger als der ursprüngliche Betrag sind, d. h. der ursprüngliche Betrag beträgt 6-mal mehr als 50 Rubel. Um diesen Betrag zu ermitteln, müssen Sie 50 mit 6 multiplizieren:

50 · 6 = 300 (r.)

Antwort: der Anfangsbetrag beträgt 300 Rubel.

Aufgabe 2. Wir haben 600 Rubel ausgegeben, was weniger als der ursprüngliche Geldbetrag war. Finden Sie den ursprünglichen Betrag.

Lösung: Wir gehen davon aus, dass die erforderliche Anzahl aus drei Dritteln besteht. Je nach Bedingung entsprechen zwei Drittel der Menge 600 Rubel. Lassen Sie uns zunächst ein Drittel des ursprünglichen Betrags ermitteln und dann ermitteln, wie viele Rubel drei Drittel (der ursprüngliche Betrag) sind:

1) 600: 2 3 = 900 (r.)

Antwort: der Anfangsbetrag beträgt 900 Rubel.

Der zweite Weg, aus seinen Teilen ein Ganzes zu finden:

Um ein Ganzes anhand des Werts zu finden, der seinen Teil ausdrückt, können Sie diesen Wert durch den Bruch dividieren, der diesen Teil ausdrückt.

Aufgabe 3. Liniensegment AB, gleich 42 cm, ist die Länge des Segments CD. Finden Sie die Länge des Segments CD.

Lösung:

Antwort: Segmentlänge CD 70 cm.

Aufgabe 4. Wassermelonen wurden in den Laden gebracht. Vor dem Mittagessen verkaufte der Laden die mitgebrachten Wassermelonen, und nach dem Mittagessen waren noch 80 Wassermelonen zum Verkauf übrig. Wie viele Wassermelonen hast du in den Laden mitgebracht?

Lösung: Lassen Sie uns zunächst herausfinden, welcher Teil der mitgebrachten Wassermelonen die Zahl 80 ist. Dazu nehmen wir die Gesamtzahl der mitgebrachten Wassermelonen als eins und subtrahieren davon die Anzahl der verkauften (verkauften) Wassermelonen:

Und so erfuhren wir, dass die Gesamtzahl der mitgebrachten Wassermelonen 80 Wassermelonen ausmacht. Jetzt finden wir heraus, wie viele Wassermelonen es in der Gesamtmenge gibt und wie viele Wassermelonen es dann gibt (die Anzahl der mitgebrachten Wassermelonen):

2) 80: 4 · 15 = 300 (Wassermelonen)

Antwort: Insgesamt wurden 300 Wassermelonen in den Laden gebracht.

Anweisungen

Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner.

Gegeben seien die Brüche a/b und c/d.

Zähler und Nenner des ersten Bruchs werden mit LCM/b multipliziert

Zähler und Nenner des zweiten Bruchs werden mit LCM/d multipliziert

Ein Beispiel ist in der Abbildung dargestellt.

Um Brüche zu vergleichen, müssen Sie sie auf einen gemeinsamen Nenner addieren und dann die Zähler vergleichen. Zum Beispiel 3/4< 4/5, см. .

Brüche addieren und subtrahieren.

Um die Summe zweier gewöhnlicher Brüche zu ermitteln, müssen diese auf einen gemeinsamen Nenner gebracht und dann die Zähler addiert werden, wobei der Nenner unverändert bleibt. Ein Beispiel für die Addition der Brüche 1/2 und 1/3 ist in der Abbildung dargestellt.

Die Differenz von Brüchen wird auf ähnliche Weise ermittelt; nachdem der gemeinsame Nenner ermittelt wurde, werden die Zähler der Brüche subtrahiert, siehe Abbildung.

Bei der Multiplikation gewöhnlicher Brüche werden Zähler und Nenner miteinander multipliziert.

Um zwei Brüche zu dividieren, ist ein Bruch des zweiten Bruchs notwendig, d. h. Ändern Sie Zähler und Nenner und multiplizieren Sie dann die resultierenden Brüche.

Video zum Thema

Quellen:

• Brüche Klasse 5 anhand eines Beispiels
• Grundlegende Bruchprobleme

Modul repräsentiert Absolutwert Ausdrücke. Zur Bezeichnung eines Moduls werden gerade Klammern verwendet. Die darin enthaltenen Werte gelten als Modulo. Das Lösen des Moduls besteht darin, Klammern nach bestimmten Regeln zu öffnen und den Satz von Ausdruckswerten zu finden. In den meisten Fällen wird das Modul so erweitert, dass der submodulare Ausdruck eine Reihe positiver und erhält negative Werte einschließlich Nullwert. Basierend auf diesen Eigenschaften des Moduls werden weitere Gleichungen und Ungleichungen des Originalausdrucks zusammengestellt und gelöst.

Anweisungen

Schreiben Sie die ursprüngliche Gleichung mit . Öffnen Sie dazu das Modul. Betrachten Sie jeden submodularen Ausdruck. Bestimmen Sie, bei welchem ​​Wert der darin enthaltenen unbekannten Größen der Ausdruck in modularen Klammern Null wird.

Setzen Sie dazu den submodularen Ausdruck mit Null gleich und ermitteln Sie die resultierende Gleichung. Notieren Sie die Werte, die Sie finden. Bestimmen Sie auf die gleiche Weise die Werte der unbekannten Variablen für jedes Modul in gegebene Gleichung.

Zeichnen Sie einen Zahlenstrahl und tragen Sie die resultierenden Werte darauf ein. Die Werte der Variablen im Nullmodul dienen als Einschränkungen bei der Lösung der modularen Gleichung.

In der ursprünglichen Gleichung müssen Sie die modularen Gleichungen erweitern und das Vorzeichen ändern, damit die Werte der Variablen denen entsprechen, die auf dem Zahlenstrahl angezeigt werden. Lösen Sie die resultierende Gleichung. Überprüfen Sie den gefundenen Wert der Variablen anhand der vom Modul angegebenen Einschränkung. Wenn die Lösung die Bedingung erfüllt, ist sie wahr. Wurzeln, die die Einschränkungen nicht erfüllen, müssen verworfen werden.

Erweitern Sie auf ähnliche Weise die Module des ursprünglichen Ausdrucks unter Berücksichtigung des Vorzeichens und berechnen Sie die Wurzeln der resultierenden Gleichung. Notieren Sie alle resultierenden Wurzeln, die die Zwangsungleichungen erfüllen.

Bruchzahlen können ausgedrückt werden in in verschiedenen Formen genauer Wert Mengen. Sie können mit Brüchen die gleichen mathematischen Operationen durchführen wie mit ganzen Zahlen: Subtraktion, Addition, Multiplikation und Division. Lernen, sich zu entscheiden Brüche, wir müssen uns an einige ihrer Merkmale erinnern. Sie hängen vom Typ ab Brüche, das Vorhandensein eines ganzzahligen Teils, eines gemeinsamen Nenners. Manche Rechenoperationen Nach der Ausführung erfordern sie eine Reduzierung des Bruchteils des Ergebnisses.

Du wirst brauchen

• - Taschenrechner

Anweisungen

Schauen Sie sich die Zahlen genau an. Wenn es unter den Brüchen Dezimalzahlen und unregelmäßige Brüche gibt, ist es manchmal bequemer, zuerst Operationen mit Dezimalzahlen durchzuführen und sie dann in die unregelmäßige Form umzuwandeln. Kannst du übersetzen Brüche In dieser Form schreiben Sie zunächst den Wert nach dem Dezimalpunkt in den Zähler und setzen 10 in den Nenner. Reduzieren Sie ggf. den Bruch, indem Sie die Zahlen darüber und darunter durch einen Teiler dividieren. Brüche, bei denen der ganze Teil isoliert ist, müssen in die falsche Form umgewandelt werden, indem man ihn mit dem Nenner multipliziert und zum Ergebnis den Zähler addiert. Gegebener Wert wird zum neuen Zähler Brüche. Aus einem ursprünglich falschen Teil ein ganzes Teil auswählen Brüche, müssen Sie den Zähler durch den Nenner dividieren. Gesamtergebnis aufschreiben von Brüche. Und der Rest der Division wird zum neuen Zähler, Nenner Brüche es ändert sich nicht. Bei Brüchen mit einem ganzzahligen Teil ist es möglich, Aktionen separat auszuführen, zuerst für die ganze Zahl und dann für die Bruchteile. Beispielsweise lässt sich die Summe aus 1 2/3 und 2 ¾ berechnen:
- Brüche in die falsche Form umwandeln:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Summation getrennter ganzzahliger und gebrochener Teile von Termen:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Finden Sie bei Werten unterhalb der Linie den gemeinsamen Nenner. Für 5/9 und 7/12 ist der gemeinsame Nenner beispielsweise 36. Hierfür sind Zähler und Nenner des ersten Brüche Sie müssen mit 4 multiplizieren (Sie erhalten 28/36) und das zweite Mal mit 3 (Sie erhalten 15/36). Jetzt können Sie die Berechnungen durchführen.

Wenn Sie die Summe oder Differenz von Brüchen berechnen möchten, schreiben Sie zunächst den gefundenen gemeinsamen Nenner unter die Zeile. Führen Sie die erforderlichen Aktionen zwischen den Zählern aus und schreiben Sie das Ergebnis über die neue Zeile Brüche. Somit ist der neue Zähler die Differenz oder Summe der Zähler der ursprünglichen Brüche.

Um das Produkt von Brüchen zu berechnen, multiplizieren Sie die Zähler der Brüche und schreiben Sie das Ergebnis anstelle des Zählers des Endprodukts Brüche. Machen Sie dasselbe für die Nenner. Beim Teilen eins Brüche Schreiben Sie einen Bruch auf den anderen und multiplizieren Sie dann seinen Zähler mit dem Nenner des zweiten. In diesem Fall der Nenner des ersten Brüche entsprechend mit dem zweiten Zähler multipliziert. In diesem Fall kommt es zu einer Art Revolution Brüche(Divisor). Der endgültige Bruch ergibt sich aus der Multiplikation der Zähler und Nenner beider Brüche. Es ist nicht schwer zu lernen Brüche, geschrieben in der Form „vierstöckig“ Brüche. Wenn es zwei trennt Brüche, schreiben Sie sie mit dem Trennzeichen „:“ um und fahren Sie mit der normalen Division fort.

Um das Endergebnis zu erhalten, reduzieren Sie den resultierenden Bruch, indem Sie Zähler und Nenner durch eine ganze Zahl dividieren, in diesem Fall die größtmögliche. In diesem Fall müssen sich oberhalb und unterhalb der Linie ganze Zahlen befinden.

beachten Sie

Rechnen Sie nicht mit Brüchen, deren Nenner unterschiedlich sind. Wählen Sie eine Zahl, bei der die Multiplikation von Zähler und Nenner jedes Bruchs damit ergibt, dass die Nenner beider Brüche gleich sind.

Hilfreicher Rat

Beim Schreiben von Bruchzahlen wird der Dividend über der Zeile geschrieben. Diese Größe wird als Zähler des Bruchs bezeichnet. Der Teiler oder Nenner des Bruchs wird unter der Linie geschrieben. Beispielsweise wird der Bruchteil von eineinhalb Kilogramm Reis wie folgt geschrieben: 1 ½ kg Reis. Wenn der Nenner eines Bruchs 10 ist, wird der Bruch als Dezimalzahl bezeichnet. In diesem Fall wird der Zähler (Dividende) rechts vom ganzen Teil geschrieben, durch ein Komma getrennt: 1,5 kg Reis. Um die Berechnung zu erleichtern, kann ein solcher Bruch immer in der falschen Form geschrieben werden: 1 2/10 kg Kartoffeln. Zur Vereinfachung können Sie die Zähler- und Nennerwerte reduzieren, indem Sie sie durch eine ganze Zahl dividieren. In diesem Beispiel können Sie durch 2 dividieren. Das Ergebnis sind 1 1/5 kg Kartoffeln. Stellen Sie sicher, dass die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in der gleichen Form dargestellt werden.

Anweisungen

Klicken Sie einmal auf den Menüpunkt „Einfügen“ und wählen Sie dann „Symbol“. Dies ist eines der meisten einfache Wege Einsätze Brüche in den Text ein. Es besteht aus Folgendem. Der Satz vorgefertigter Symbole umfasst Brüche. Ihre Anzahl ist in der Regel gering, aber wenn Sie ½ statt ½ in den Text schreiben müssen, ist diese Option für Sie die optimale. Darüber hinaus kann die Anzahl der Bruchzeichen von der Schriftart abhängen. Beispielsweise gibt es für die Schriftart Times New Roman etwas weniger Brüche als für die gleiche Schriftart Arial. Variieren Sie die Schriftarten, um diejenige zu finden, die am besten zu Ihnen passt Beste Option, wenn es um einfache Ausdrücke geht.

Klicken Sie auf den Menüpunkt „Einfügen“ und wählen Sie den Unterpunkt „Objekt“ aus. Vor Ihnen erscheint ein Fenster mit einer Liste möglicher Objekte zum Einfügen. Wählen Sie unter ihnen Microsoft Equation 3.0. Diese App hilft Ihnen beim Tippen Brüche. Und nicht nur Brüche, aber auch komplexe mathematische Ausdrücke, die verschiedene enthalten trigonometrische Funktionen und andere Elemente. Doppelklicken Sie mit der linken Maustaste auf dieses Objekt. Vor Ihnen erscheint ein Fenster mit vielen Symbolen.

Um einen Bruch zu drucken, wählen Sie das Symbol aus, das einen Bruch mit leerem Zähler und Nenner darstellt. Klicken Sie einmal mit der linken Maustaste darauf. Es erscheint ein zusätzliches Menü, das das Schema selbst verdeutlicht. Brüche. Möglicherweise gibt es mehrere Möglichkeiten. Wählen Sie diejenige aus, die am besten zu Ihnen passt, und klicken Sie einmal mit der linken Maustaste darauf.

Unterrichtsinhalte

Brüche mit gleichem Nenner addieren

Es gibt zwei Arten der Addition von Brüchen:

1. Brüche mit gleichem Nenner addieren
2. Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren

Lassen Sie uns zunächst die Addition von Brüchen mit gleichen Nennern lernen. Hier ist alles einfach. Um Brüche mit demselben Nenner zu addieren, müssen Sie deren Zähler addieren und den Nenner unverändert lassen. Addieren wir zum Beispiel die Brüche und . Addieren Sie die Zähler und lassen Sie den Nenner unverändert:

Dieses Beispiel lässt sich leicht verstehen, wenn wir uns an die Pizza erinnern, die in vier Teile geteilt ist. Wenn man Pizza zu Pizza hinzufügt, erhält man Pizza:

Beispiel 2. Addiere Brüche und .

Es stellte sich heraus, dass die Antwort ein unechter Bruch war. Am Ende der Aufgabe ist es üblich, unechte Brüche loszuwerden. Um einen unechten Bruch loszuwerden, müssen Sie den ganzen Teil davon auswählen. In unserem Fall lässt sich der ganze Teil leicht isolieren – zwei geteilt durch zwei ergibt eins:

Dieses Beispiel lässt sich leicht verstehen, wenn wir uns an eine Pizza erinnern, die in zwei Teile geteilt ist. Wenn man der Pizza noch mehr Pizza hinzufügt, erhält man eine ganze Pizza:

Beispiel 3. Addiere Brüche und .

Auch hier addieren wir die Zähler und lassen den Nenner unverändert:

Dieses Beispiel lässt sich leicht verstehen, wenn wir uns an die Pizza erinnern, die in drei Teile geteilt ist. Wenn man der Pizza noch mehr Pizza hinzufügt, erhält man Pizza:

Beispiel 4. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Dieses Beispiel wird genauso gelöst wie die vorherigen. Die Zähler müssen addiert und der Nenner unverändert gelassen werden:

Versuchen wir, unsere Lösung anhand einer Zeichnung darzustellen. Wenn Sie einer Pizza Pizzen hinzufügen und weitere Pizzen hinzufügen, erhalten Sie 1 ganze Pizza und weitere Pizzen.

Wie Sie sehen, ist das Addieren von Brüchen mit demselben Nenner nicht kompliziert. Es reicht aus, die folgenden Regeln zu verstehen:

1. Um Brüche mit demselben Nenner zu addieren, müssen Sie deren Zähler addieren und den Nenner unverändert lassen;

Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren

Jetzt lernen wir, wie man Brüche mit unterschiedlichen Nennern addiert. Beim Addieren von Brüchen müssen die Nenner der Brüche gleich sein. Aber sie sind nicht immer gleich.

Brüche können beispielsweise addiert werden, weil sie den gleichen Nenner haben.

Aber Brüche können nicht sofort addiert werden, da diese Brüche unterschiedliche Nenner haben. In solchen Fällen müssen Brüche auf den gleichen (gemeinsamen) Nenner reduziert werden.

Es gibt mehrere Möglichkeiten, Brüche auf denselben Nenner zu reduzieren. Heute werden wir uns nur eine davon ansehen, da die anderen Methoden für einen Anfänger möglicherweise kompliziert erscheinen.

Der Kern dieser Methode besteht darin, dass zunächst die LCM der Nenner beider Brüche gesucht wird. Der LCM wird dann durch den Nenner des ersten Bruchs dividiert, um den ersten zusätzlichen Faktor zu erhalten. Das Gleiche machen sie mit dem zweiten Bruch – der LCM wird durch den Nenner des zweiten Bruchs dividiert und man erhält einen zweiten zusätzlichen Faktor.

Anschließend werden Zähler und Nenner der Brüche mit ihren zusätzlichen Faktoren multipliziert. Als Ergebnis dieser Aktionen werden Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu Brüchen mit demselben Nenner. Und wir wissen bereits, wie man solche Brüche addiert.

Beispiel 1. Addieren wir die Brüche und

Zunächst ermitteln wir das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner beider Brüche. Der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 3 und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 2. Das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen ist 6

LCM (2 und 3) = 6

Kommen wir nun zurück zu den Brüchen und . Teilen Sie zunächst den LCM durch den Nenner des ersten Bruchs und erhalten Sie den ersten zusätzlichen Faktor. LCM ist die Zahl 6 und der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 3. Teilen Sie 6 durch 3, wir erhalten 2.

Die resultierende Zahl 2 ist der erste zusätzliche Multiplikator. Wir schreiben es bis zum ersten Bruch auf. Machen Sie dazu einen kleinen schrägen Strich über den Bruch und notieren Sie den darüber liegenden Zusatzfaktor:

Dasselbe machen wir mit dem zweiten Bruch. Wir dividieren den LCM durch den Nenner des zweiten Bruchs und erhalten den zweiten zusätzlichen Faktor. LCM ist die Zahl 6 und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 2. Teilen Sie 6 durch 2, wir erhalten 3.

Die resultierende Zahl 3 ist der zweite zusätzliche Multiplikator. Wir schreiben es bis zum zweiten Bruch auf. Wieder machen wir einen kleinen schrägen Strich über den zweiten Bruch und notieren den darüber liegenden zusätzlichen Faktor:

Jetzt haben wir alles zum Hinzufügen bereit. Es bleibt noch, die Zähler und Nenner der Brüche mit ihren zusätzlichen Faktoren zu multiplizieren:

Schauen Sie sich genau an, wozu wir gekommen sind. Wir kamen zu dem Schluss, dass Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu Brüchen mit gleichen Nennern wurden. Und wir wissen bereits, wie man solche Brüche addiert. Lassen Sie uns dieses Beispiel bis zum Ende durchgehen:

Damit ist das Beispiel abgeschlossen. Es stellt sich heraus, hinzuzufügen.

Versuchen wir, unsere Lösung anhand einer Zeichnung darzustellen. Wenn man einer Pizza Pizza hinzufügt, erhält man eine ganze Pizza und ein weiteres Sechstel einer Pizza:

Auch das Zusammenführen von Brüchen auf den gleichen (gemeinsamen) Nenner kann mit einem Bild dargestellt werden. Indem wir die Brüche und auf einen gemeinsamen Nenner reduzieren, erhalten wir die Brüche und . Diese beiden Brüche werden durch die gleichen Pizzastücke repräsentiert. Der einzige Unterschied besteht darin, dass sie diesmal in gleiche Anteile aufgeteilt (auf den gleichen Nenner reduziert) werden.

Die erste Zeichnung stellt einen Bruch dar (vier von sechs Teilen), und die zweite Zeichnung stellt einen Bruch dar (drei von sechs Teilen). Wenn wir diese Teile addieren, erhalten wir (sieben von sechs Teilen). Dieser Bruch ist unechten, daher haben wir den gesamten Teil hervorgehoben. Als Ergebnis bekamen wir (eine ganze Pizza und eine weitere sechste Pizza).

Bitte beachten Sie, was wir beschrieben haben dieses Beispiel zu detailliert. In Bildungseinrichtungen ist es nicht üblich, so ausführlich zu schreiben. Sie müssen in der Lage sein, schnell den LCM beider Nenner und zusätzlicher Faktoren zu finden und die gefundenen zusätzlichen Faktoren schnell mit Ihren Zählern und Nennern zu multiplizieren. Wenn wir in der Schule wären, müssten wir dieses Beispiel wie folgt schreiben:

Aber es gibt auch Rückseite Medaillen. Wenn man sich in den ersten Phasen des Mathematikstudiums keine detaillierten Notizen macht, tauchen solche Fragen auf. „Woher kommt diese Zahl?“, „Warum werden Brüche plötzlich zu ganz anderen Brüchen?“ «.

Um das Addieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern zu erleichtern, können Sie die folgende Schritt-für-Schritt-Anleitung verwenden:

1. Finden Sie den LCM der Nenner von Brüchen.
2. Teilen Sie den LCM durch den Nenner jedes Bruchs und erhalten Sie einen zusätzlichen Faktor für jeden Bruch.
3. Multiplizieren Sie die Zähler und Nenner von Brüchen mit ihren zusätzlichen Faktoren;
4. Addiere Brüche, die den gleichen Nenner haben;
5. Wenn sich herausstellt, dass die Antwort ein unechter Bruch ist, wählen Sie seinen ganzen Teil aus;

Beispiel 2. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks .

Nutzen wir die oben gegebenen Anweisungen.

Schritt 1. Ermitteln Sie den LCM der Nenner der Brüche

Finden Sie den LCM der Nenner beider Brüche. Die Nenner von Brüchen sind die Zahlen 2, 3 und 4

Schritt 2. Teilen Sie den LCM durch den Nenner jedes Bruchs und erhalten Sie einen zusätzlichen Faktor für jeden Bruch

Teilen Sie den LCM durch den Nenner des ersten Bruchs. LCM ist die Zahl 12 und der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 2. Teilen Sie 12 durch 2, wir erhalten 6. Wir erhalten den ersten zusätzlichen Faktor 6. Wir schreiben ihn über den ersten Bruch:

Nun dividieren wir den LCM durch den Nenner des zweiten Bruchs. LCM ist die Zahl 12 und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 3. Teilen Sie 12 durch 3, wir erhalten 4. Wir erhalten den zweiten zusätzlichen Faktor 4. Wir schreiben ihn über den zweiten Bruch:

Nun dividieren wir den LCM durch den Nenner des dritten Bruchs. LCM ist die Zahl 12 und der Nenner des dritten Bruchs ist die Zahl 4. Teilen Sie 12 durch 4, wir erhalten 3. Wir erhalten den dritten zusätzlichen Faktor 3. Wir schreiben ihn über den dritten Bruch:

Schritt 3. Multiplizieren Sie die Zähler und Nenner der Brüche mit ihren zusätzlichen Faktoren

Wir multiplizieren die Zähler und Nenner mit ihren zusätzlichen Faktoren:

Schritt 4. Addiere Brüche mit demselben Nenner

Wir kamen zu dem Schluss, dass Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu Brüchen mit demselben (gemeinsamen) Nenner wurden. Jetzt müssen nur noch diese Brüche addiert werden. Addiere es zusammen:

Der Zusatz passte nicht in eine Zeile, daher haben wir den verbleibenden Ausdruck in die nächste Zeile verschoben. Das ist in der Mathematik erlaubt. Wenn ein Ausdruck nicht in eine Zeile passt, wird er in die nächste Zeile verschoben, und am Ende der ersten Zeile und am Anfang der neuen Zeile muss ein Gleichheitszeichen (=) eingefügt werden. Das Gleichheitszeichen in der zweiten Zeile zeigt an, dass es sich um eine Fortsetzung des Ausdrucks aus der ersten Zeile handelt.

Schritt 5. Wenn sich herausstellt, dass die Antwort ein unechter Bruch ist, wählen Sie den ganzen Teil davon aus

Es stellte sich heraus, dass unsere Antwort ein unechter Bruch war. Wir müssen einen ganzen Teil davon hervorheben. Wir heben hervor:

Wir haben eine Antwort erhalten

Brüche mit gleichem Nenner subtrahieren

Es gibt zwei Arten der Subtraktion von Brüchen:

1. Brüche mit gleichem Nenner subtrahieren
2. Brüche mit unterschiedlichen Nennern subtrahieren

Lassen Sie uns zunächst lernen, wie man Brüche mit gleichen Nennern subtrahiert. Hier ist alles einfach. Um einen anderen von einem Bruch zu subtrahieren, müssen Sie den Zähler des zweiten Bruchs vom Zähler des ersten Bruchs subtrahieren, den Nenner jedoch gleich lassen.

Lassen Sie uns zum Beispiel den Wert des Ausdrucks ermitteln. Um dieses Beispiel zu lösen, müssen Sie den Zähler des zweiten Bruchs vom Zähler des ersten Bruchs subtrahieren und den Nenner unverändert lassen. Lass uns das machen:

Dieses Beispiel lässt sich leicht verstehen, wenn wir uns an die Pizza erinnern, die in vier Teile geteilt ist. Wenn man aus einer Pizza Pizzen schneidet, erhält man Pizzen:

Beispiel 2. Finden Sie den Wert des Ausdrucks.

Subtrahieren Sie erneut vom Zähler des ersten Bruchs den Zähler des zweiten Bruchs und lassen Sie den Nenner unverändert:

Dieses Beispiel lässt sich leicht verstehen, wenn wir uns an die Pizza erinnern, die in drei Teile geteilt ist. Wenn man aus einer Pizza Pizzen schneidet, erhält man Pizzen:

Beispiel 3. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Dieses Beispiel wird genauso gelöst wie die vorherigen. Vom Zähler des ersten Bruchs müssen Sie die Zähler der übrigen Brüche subtrahieren:

Wie Sie sehen, ist das Subtrahieren von Brüchen mit demselben Nenner nichts Kompliziertes. Es reicht aus, die folgenden Regeln zu verstehen:

1. Um einen anderen von einem Bruch zu subtrahieren, müssen Sie den Zähler des zweiten Bruchs vom Zähler des ersten Bruchs subtrahieren und den Nenner unverändert lassen;
2. Wenn sich herausstellt, dass die Antwort ein unechter Bruch ist, müssen Sie den gesamten Teil davon hervorheben.

Brüche mit unterschiedlichen Nennern subtrahieren

Sie können beispielsweise einen Bruch von einem Bruch subtrahieren, weil die Brüche den gleichen Nenner haben. Sie können jedoch keinen Bruch von einem Bruch subtrahieren, da diese Brüche unterschiedliche Nenner haben. In solchen Fällen müssen Brüche auf den gleichen (gemeinsamen) Nenner reduziert werden.

Der gemeinsame Nenner wird nach dem gleichen Prinzip ermittelt, das wir bei der Addition von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern verwendet haben. Ermitteln Sie zunächst den LCM der Nenner beider Brüche. Dann wird der LCM durch den Nenner des ersten Bruchs dividiert und man erhält den ersten zusätzlichen Faktor, der über dem ersten Bruch geschrieben wird. Ebenso wird der LCM durch den Nenner des zweiten Bruchs dividiert und man erhält einen zweiten zusätzlichen Faktor, der über dem zweiten Bruch geschrieben wird.

Die Brüche werden dann mit ihren zusätzlichen Faktoren multipliziert. Als Ergebnis dieser Operationen werden Brüche mit unterschiedlichen Nennern in Brüche mit gleichen Nennern umgewandelt. Und wir wissen bereits, wie man solche Brüche subtrahiert.

Beispiel 1. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

Diese Brüche haben unterschiedliche Nenner, daher müssen Sie sie auf denselben (gemeinsamen) Nenner reduzieren.

Zuerst ermitteln wir den LCM der Nenner beider Brüche. Der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 3 und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 4. Das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen ist 12

LCM (3 und 4) = 12

Kommen wir nun zurück zu den Brüchen und

Suchen wir einen zusätzlichen Faktor für den ersten Bruch. Teilen Sie dazu den LCM durch den Nenner des ersten Bruchs. LCM ist die Zahl 12 und der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 3. Teilen Sie 12 durch 3, wir erhalten 4. Schreiben Sie eine Vier über den ersten Bruch:

Dasselbe machen wir mit dem zweiten Bruch. Teilen Sie den LCM durch den Nenner des zweiten Bruchs. LCM ist die Zahl 12 und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 4. Teilen Sie 12 durch 4, wir erhalten 3. Schreiben Sie eine Drei über den zweiten Bruch:

Jetzt sind wir bereit für die Subtraktion. Es bleibt noch, die Brüche mit ihren zusätzlichen Faktoren zu multiplizieren:

Wir kamen zu dem Schluss, dass Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu Brüchen mit gleichen Nennern wurden. Und wir wissen bereits, wie man solche Brüche subtrahiert. Lassen Sie uns dieses Beispiel bis zum Ende durchgehen:

Wir haben eine Antwort erhalten

Versuchen wir, unsere Lösung anhand einer Zeichnung darzustellen. Wenn man aus einer Pizza Pizza schneidet, erhält man Pizza

Dies ist die detaillierte Version der Lösung. Wenn wir in der Schule wären, müssten wir dieses Beispiel kürzer lösen. Eine solche Lösung würde so aussehen:

Auch das Zusammenführen von Brüchen auf einen gemeinsamen Nenner lässt sich anhand eines Bildes veranschaulichen. Wenn wir diese Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen, erhalten wir die Brüche und . Diese Brüche werden durch die gleichen Pizzastücke dargestellt, dieses Mal werden sie jedoch in gleiche Anteile aufgeteilt (auf den gleichen Nenner reduziert):

Das erste Bild zeigt einen Bruch (acht von zwölf Stücken), und das zweite Bild zeigt einen Bruch (drei von zwölf Stücken). Indem wir aus acht Stücken drei Stücke schneiden, erhalten wir fünf aus zwölf Stücken. Der Bruch beschreibt diese fünf Teile.

Beispiel 2. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Diese Brüche haben unterschiedliche Nenner, daher müssen Sie sie zunächst auf denselben (gemeinsamen) Nenner reduzieren.

Lassen Sie uns den LCM der Nenner dieser Brüche ermitteln.

Die Nenner der Brüche sind die Zahlen 10, 3 und 5. Das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen ist 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Jetzt finden wir für jeden Bruch zusätzliche Faktoren. Teilen Sie dazu den LCM durch den Nenner jedes Bruchs.

Suchen wir einen zusätzlichen Faktor für den ersten Bruch. LCM ist die Zahl 30 und der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 10. Teilen Sie 30 durch 10, wir erhalten den ersten zusätzlichen Faktor 3. Wir schreiben ihn über den ersten Bruch:

Nun finden wir einen zusätzlichen Faktor für den zweiten Bruch. Teilen Sie den LCM durch den Nenner des zweiten Bruchs. LCM ist die Zahl 30 und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 3. Teilen Sie 30 durch 3, wir erhalten den zweiten zusätzlichen Faktor 10. Wir schreiben ihn über den zweiten Bruch:

Nun finden wir einen zusätzlichen Faktor für den dritten Bruch. Teilen Sie den LCM durch den Nenner des dritten Bruchs. LCM ist die Zahl 30 und der Nenner des dritten Bruchs ist die Zahl 5. Teilen Sie 30 durch 5, wir erhalten den dritten zusätzlichen Faktor 6. Wir schreiben ihn über den dritten Bruch:

Jetzt ist alles zur Subtraktion bereit. Es bleibt noch, die Brüche mit ihren zusätzlichen Faktoren zu multiplizieren:

Wir kamen zu dem Schluss, dass Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu Brüchen mit demselben (gemeinsamen) Nenner wurden. Und wir wissen bereits, wie man solche Brüche subtrahiert. Lassen Sie uns dieses Beispiel beenden.

Die Fortsetzung des Beispiels passt nicht in eine Zeile, daher verschieben wir die Fortsetzung in die nächste Zeile. Vergessen Sie nicht das Gleichheitszeichen (=) in der neuen Zeile:

Es stellte sich heraus, dass die Antwort ein regulärer Bruch war, und alles scheint zu uns zu passen, aber es ist zu umständlich und hässlich. Wir sollten es einfacher machen. Was kann getan werden? Sie können diesen Bruch kürzen.

Um einen Bruch zu kürzen, müssen Sie seinen Zähler und Nenner durch (GCD) der Zahlen 20 und 30 dividieren.

Also finden wir den gcd der Zahlen 20 und 30:

Nun kehren wir zu unserem Beispiel zurück und dividieren Zähler und Nenner des Bruchs durch den gefundenen gcd, also durch 10

Wir haben eine Antwort erhalten

Einen Bruch mit einer Zahl multiplizieren

Um einen Bruch mit einer Zahl zu multiplizieren, müssen Sie den Zähler des gegebenen Bruchs mit dieser Zahl multiplizieren und den Nenner gleich lassen.

Beispiel 1. Multiplizieren Sie einen Bruch mit der Zahl 1.

Multiplizieren Sie den Zähler des Bruchs mit der Zahl 1

Die Aufnahme kann als Halbzeitaufnahme verstanden werden. Wer zum Beispiel einmal Pizza isst, bekommt Pizza

Aus den Gesetzen der Multiplikation wissen wir, dass sich das Produkt nicht ändert, wenn der Multiplikand und der Faktor vertauscht werden. Wenn der Ausdruck als geschrieben wird, ist das Produkt immer noch gleich. Auch hier gilt die Regel zum Multiplizieren einer ganzen Zahl und eines Bruchs:

Diese Notation kann so verstanden werden, dass sie die Hälfte von eins nimmt. Wenn es zum Beispiel eine ganze Pizza gibt und wir die Hälfte davon nehmen, dann haben wir Pizza:

Beispiel 2. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Multiplizieren Sie den Zähler des Bruchs mit 4

Die Antwort war ein unechter Bruch. Lassen Sie uns den gesamten Teil davon hervorheben:

Der Ausdruck kann so verstanden werden, dass er zwei Viertel viermal einnimmt. Wenn Sie beispielsweise 4 Pizzen nehmen, erhalten Sie zwei ganze Pizzen

Und wenn wir den Multiplikanden und den Multiplikator vertauschen, erhalten wir den Ausdruck. Es wird auch gleich 2 sein. Dieser Ausdruck kann so verstanden werden, dass man aus vier ganzen Pizzen zwei Pizzen nimmt:

Brüche multiplizieren

Um Brüche zu multiplizieren, müssen Sie deren Zähler und Nenner multiplizieren. Wenn sich herausstellt, dass die Antwort ein unechter Bruch ist, müssen Sie den ganzen Teil davon hervorheben.

Beispiel 1. Finden Sie den Wert des Ausdrucks.

Wir haben eine Antwort erhalten. Es empfiehlt sich, diesen Anteil zu reduzieren. Der Bruch kann um 2 reduziert werden. Dann wird die endgültige Lösung die folgende Form annehmen:

Der Ausdruck kann so verstanden werden, dass man aus einer halben Pizza eine Pizza nimmt. Nehmen wir an, wir haben eine halbe Pizza:

Wie nimmt man aus dieser Hälfte zwei Drittel? Zuerst müssen Sie diese Hälfte in drei gleiche Teile teilen:

Und nimm zwei von diesen drei Teilen:

Wir machen Pizza. Denken Sie daran, wie Pizza aussieht, wenn sie in drei Teile geteilt wird:

Ein Stück dieser Pizza und die beiden Stücke, die wir genommen haben, werden die gleichen Abmessungen haben:

Mit anderen Worten, es handelt sich um eine Pizza gleicher Größe. Daher ist der Wert des Ausdrucks

Beispiel 2. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Multiplizieren Sie den Zähler des ersten Bruchs mit dem Zähler des zweiten Bruchs und den Nenner des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs:

Die Antwort war ein unechter Bruch. Lassen Sie uns den gesamten Teil davon hervorheben:

Beispiel 3. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Multiplizieren Sie den Zähler des ersten Bruchs mit dem Zähler des zweiten Bruchs und den Nenner des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs:

Es stellte sich heraus, dass die Antwort ein regulärer Bruch war, aber es wäre gut, wenn er gekürzt würde. Um diesen Bruch zu reduzieren, müssen Sie Zähler und Nenner dieses Bruchs durch den größten gemeinsamen Teiler (GCD) der Zahlen 105 und 450 dividieren.

Lassen Sie uns also den gcd der Zahlen 105 und 450 ermitteln:

Nun dividieren wir Zähler und Nenner unserer Antwort durch den ggT, ​​den wir nun gefunden haben, also durch 15

Darstellung einer ganzen Zahl als Bruch

Jede ganze Zahl kann als Bruch dargestellt werden. Beispielsweise kann die Zahl 5 als dargestellt werden. Dies ändert nichts an der Bedeutung von fünf, da der Ausdruck „die Zahl fünf geteilt durch eins“ bedeutet und dies, wie wir wissen, gleich fünf ist:

Reziproke Zahlen

Jetzt werden wir uns sehr kennenlernen interessantes Thema in Mathematik. Es heißt „umgekehrte Zahlen“.

Definition. Umgekehrt zur NummerA ist eine Zahl, die multipliziert mitA gibt einen.

Ersetzen wir in dieser Definition die Variable A Nummer 5 und versuchen Sie, die Definition zu lesen:

Umgekehrt zur Nummer 5 ist eine Zahl, die multipliziert mit 5 gibt einen.

Ist es möglich, eine Zahl zu finden, die, wenn man sie mit 5 multipliziert, eins ergibt? Es stellt sich heraus, dass es möglich ist. Stellen wir uns fünf als Bruch vor:

Dann multiplizieren Sie diesen Bruch mit sich selbst, indem Sie einfach Zähler und Nenner vertauschen. Mit anderen Worten, multiplizieren wir den Bruch mit sich selbst, nur verkehrt herum:

Was wird dadurch passieren? Wenn wir dieses Beispiel weiter lösen, erhalten wir eines:

Das bedeutet, dass die Umkehrung der Zahl 5 die Zahl ist, denn wenn man 5 mit multipliziert, erhält man eins.

Der Kehrwert einer Zahl kann auch für jede andere ganze Zahl ermittelt werden.

Sie können auch den Kehrwert jedes anderen Bruchs ermitteln. Drehen Sie es dazu einfach um.

Einen Bruch durch eine Zahl dividieren

Nehmen wir an, wir haben eine halbe Pizza:

Teilen wir es gleichmäßig auf zwei auf. Wie viel Pizza bekommt jede Person?

Es ist zu erkennen, dass nach dem Teilen der Pizza in zwei Hälften zwei gleiche Stücke entstanden, von denen jedes eine Pizza darstellt. So bekommt jeder eine Pizza.

Die Division von Brüchen erfolgt durch Kehrwerte. Mit Kehrzahlen können Sie die Division durch Multiplikation ersetzen.

Um einen Bruch durch eine Zahl zu dividieren, müssen Sie den Bruch mit dem Kehrwert des Divisors multiplizieren.

Mit dieser Regel schreiben wir die Aufteilung unserer Pizzahälfte in zwei Teile auf.

Sie müssen also den Bruch durch die Zahl 2 dividieren. Hier ist der Dividend der Bruch und der Divisor die Zahl 2.

Um einen Bruch durch die Zahl 2 zu dividieren, müssen Sie diesen Bruch mit dem Kehrwert des Divisors 2 multiplizieren. Der Kehrwert des Divisors 2 ist der Bruch. Sie müssen also mit multiplizieren

496. Finden X, Wenn:

497. 1) Wenn Sie 10 1/2 zu 3/10 einer unbekannten Zahl addieren, erhalten Sie 13 1/2. Finden Sie die unbekannte Nummer.

2) Wenn Sie 10 1/2 von 7/10 einer unbekannten Zahl subtrahieren, erhalten Sie 15 2/5. Finden Sie die unbekannte Nummer.

498 *. Wenn Sie 10 von 3/4 einer unbekannten Zahl subtrahieren und die resultierende Differenz mit 5 multiplizieren, erhalten Sie 100. Finden Sie die Zahl.

499 *. Wenn man eine unbekannte Zahl um 2/3 erhöht, erhält man 60. Welche Zahl ist das?

500 *. Addiert man zur unbekannten Zahl den gleichen Betrag und zusätzlich 20 1/3, erhält man 105 2/5. Finden Sie die unbekannte Nummer.

501. 1) Der Kartoffelertrag beträgt bei quadratischer Pflanzung durchschnittlich 150 Centner pro Hektar, bei konventioneller Pflanzung sind es 3/5 dieser Menge. Wie viel mehr Kartoffeln können auf einer Fläche von 15 Hektar geerntet werden, wenn die Kartoffeln im Quadratcluster-Verfahren gepflanzt werden?

2) Ein erfahrener Arbeiter produzierte 18 Teile in einer Stunde und ein unerfahrener Arbeiter produzierte 2/3 dieser Menge. Wie viele Teile mehr kann ein erfahrener Arbeiter an einem 7-Stunden-Tag produzieren?

502. 1) Die Pioniere sammelten innerhalb von drei Tagen 56 kg verschiedener Samen. Am ersten Tag wurden 3/14 der Gesamtmenge gesammelt, am zweiten das Eineinhalbfache und am dritten Tag der Rest des Getreides. Wie viele Kilogramm Samen sammelten die Pioniere am dritten Tag?

2) Beim Mahlen des Weizens ergab sich: Mehl 4/5 der Gesamtmenge Weizen, Grieß - 40-mal weniger als Mehl und der Rest war Kleie. Wie viel Mehl, Grieß und Kleie wurde beim Mahlen von 3 Tonnen Weizen getrennt produziert?

503. 1) Drei Garagen bieten Platz für 460 Autos. Die Anzahl der Autos, die in die erste Garage passen, beträgt 3/4 der Anzahl der Autos, die in die zweite passen, und die dritte Garage hat 1 1/2 Mal so viele Autos wie die erste. Wie viele Autos passen in jede Garage?

2) Eine Fabrik mit drei Werkstätten beschäftigt 6.000 Arbeiter. In der zweiten Werkstatt gibt es 1 1/2 mal weniger Arbeiter als in der ersten, und die Zahl der Arbeiter in der dritten Werkstatt beträgt 5/6 der Zahl der Arbeiter in der zweiten Werkstatt. Wie viele Arbeiter gibt es in jeder Werkstatt?

504. 1) Zuerst wurden 2/5, dann 1/3 des gesamten Kerosins aus einem Tank mit Kerosin gegossen, und danach verblieben 8 Tonnen Kerosin im Tank. Wie viel Kerosin befand sich ursprünglich im Tank?

2) Die Radfahrer fuhren drei Tage lang Rennen. Am ersten Tag legten sie 4/15 der gesamten Reise zurück, am zweiten 2/5 und am dritten Tag die restlichen 100 km. Wie weit sind die Radfahrer in drei Tagen gefahren?

505. 1) Der Eisbrecher kämpfte sich drei Tage lang durch das Eisfeld. Am ersten Tag lief er die Hälfte der Gesamtstrecke, am zweiten Tag 3/5 der restlichen Strecke und am dritten Tag die restlichen 24 km. Ermitteln Sie die Länge der Strecke, die der Eisbrecher in drei Tagen zurücklegt.

2) Drei Gruppen von Schulkindern pflanzten Bäume, um das Dorf zu begrünen. Die erste Abteilung pflanzte 7/20 aller Bäume, die zweite 5/8 der verbleibenden Bäume und die dritte die restlichen 195 Bäume. Wie viele Bäume haben die drei Teams insgesamt gepflanzt?

506. 1) Ein Mähdrescher erntete in drei Tagen Weizen von einer Parzelle. Am ersten Tag erntete er 5/18 der gesamten Parzellenfläche, am zweiten Tag 7/13 der restlichen Fläche und am dritten Tag die verbleibende Fläche von 30 1/2 Hektar. Im Durchschnitt wurden auf jedem Hektar 20 Zentner Weizen geerntet. Wie viel Weizen wurde im gesamten Gebiet geerntet?

2) Am ersten Tag legten die Rallye-Teilnehmer 3/11 der Gesamtstrecke zurück, am zweiten Tag 7/20 der Reststrecke, am dritten Tag 5/13 des neuen Restes und am vierten Tag den Rest 320 km. Wie lang ist die Strecke der Rallye?

507. 1) Am ersten Tag legte das Auto 3/8 der Gesamtstrecke zurück, am zweiten Tag 15/17 der am ersten zurückgelegten Strecke und am dritten Tag die restlichen 200 km. Wie viel Benzin wurde verbraucht, wenn ein Auto auf 10 km 1 3/5 kg Benzin verbraucht?

2) Die Stadt besteht aus vier Bezirken. Und 4/13 aller Einwohner der Stadt leben im ersten Bezirk, 5/6 der Einwohner des ersten Bezirks leben im zweiten, 4/11 der Einwohner des ersten Bezirks leben im dritten; zwei Bezirke zusammen, und im vierten Bezirk leben 18.000 Menschen. Wie viel Brot braucht die gesamte Bevölkerung der Stadt für 3 Tage, wenn eine Person durchschnittlich 500 g pro Tag verzehrt?

508. 1) Der Tourist ist am ersten Tag 31.10 der gesamten Reise gelaufen, am zweiten 9/10 der gesamten Reise, die er am ersten Tag gelaufen ist, und am dritten den Rest des Weges, und am dritten Tag hat er 12 gelaufen km mehr als am zweiten Tag. Wie viele Kilometer ist der Tourist an jedem der drei Tage gelaufen?

2) Das Auto legte die gesamte Strecke von Stadt A nach Stadt B in drei Tagen zurück. Am ersten Tag legte das Auto 7/20 der Gesamtstrecke zurück, am zweiten 8/13 der restlichen Strecke und am dritten Tag legte das Auto 72 km weniger zurück als am ersten Tag. Wie groß ist die Entfernung zwischen den Städten A und B?

509. 1) Das Exekutivkomitee teilte den Arbeitern von drei Fabriken Land zu Gartengrundstücke. Dem ersten Werk wurden 9/25 der Gesamtzahl der Parzellen zugeteilt, dem zweiten Werk 5/9 der Anzahl der für das erste zugeteilten Parzellen und dem dritten die restlichen Parzellen. Wie viele Grundstücke wurden insgesamt den Arbeitern von drei Fabriken zugeteilt, wenn der ersten Fabrik 50 Grundstücke weniger zugeteilt wurden als der dritten?

2) Das Flugzeug lieferte innerhalb von drei Tagen eine Schicht Winterarbeiter von Moskau zur Polarstation. Am ersten Tag flog er 2/5 der gesamten Distanz, am zweiten 5/6 der Distanz, die er am ersten Tag zurücklegte, und am dritten Tag flog er 500 km weniger als am zweiten Tag. Wie weit ist das Flugzeug in drei Tagen geflogen?

510. 1) Das Werk verfügte über drei Werkstätten. Die Zahl der Arbeiter in der ersten Werkstatt beträgt 2/5 aller Arbeiter im Werk; In der zweiten Werkstatt gibt es 1 1/2 Mal weniger Arbeiter als in der ersten, und in der dritten Werkstatt sind es 100 Arbeiter mehr als in der zweiten. Wie viele Arbeiter gibt es in der Fabrik?

2) Zur Kollektivfarm gehören Bewohner von drei benachbarten Dörfern. Die Zahl der Familien im ersten Dorf beträgt 3/10 aller Familien auf der Kolchose; Im zweiten Dorf ist die Zahl der Familien 1 1/2 mal größer als im ersten, und im dritten Dorf ist die Zahl der Familien um 420 geringer als im zweiten. Wie viele Familien gibt es auf der Kolchose?

511. 1) Der Artel verbrauchte in der ersten Woche 1/3 seines Rohstoffvorrats und in der zweiten Woche 1/3 des Restes. Wie viel Rohstoff bleibt im Artel übrig, wenn der Rohstoffverbrauch in der ersten Woche 3/5 Tonnen mehr betrug als in der zweiten Woche?

2) Von der importierten Kohle wurde im ersten Monat 1/6 für die Beheizung des Hauses ausgegeben, im zweiten Monat 3/8 des Restes. Wie viel Kohle bleibt zum Heizen des Hauses übrig, wenn im zweiten Monat 1 3/4 mehr verbraucht wurde als im ersten Monat?

512. 3/5 der Gesamtfläche der Kollektivwirtschaft sind für die Aussaat von Getreide vorgesehen, 13/36 des Rests sind Gemüsegärten und Wiesen, der Rest ist Wald und die Aussaatfläche der Kollektivwirtschaft ist 217 Hektar größer als die Waldfläche, 1/3 der für die Getreideaussaat vorgesehenen Fläche wird mit Roggen gesät, der Rest ist Weizen. Wie viele Hektar Land säte die Kollektivwirtschaft mit Weizen und wie viele mit Roggen?

513. 1) Die Straßenbahnstrecke ist 14 3/8 km lang. Auf dieser Strecke macht die Straßenbahn 18 Haltestellen und benötigt pro Haltestelle durchschnittlich bis zu 1 1/6 Minuten. Die Durchschnittsgeschwindigkeit der Straßenbahn auf der gesamten Strecke beträgt 12 1/2 km pro Stunde. Wie lange braucht eine Straßenbahn für eine Fahrt?

2) Buslinie 16 km. Auf dieser Strecke macht der Bus 36 Haltestellen à 3/4 Minuten. im Durchschnitt jeweils. Die durchschnittliche Busgeschwindigkeit beträgt 30 km pro Stunde. Wie lange braucht ein Bus für eine Strecke?

514*. 1) Es ist jetzt 6 Uhr. Abende. Welcher Teil ist der verbleibende Teil des Tages aus der Vergangenheit und welcher Teil des Tages bleibt übrig?

2) Ein Dampfer legt die Strecke zwischen zwei Städten mit der Strömung in 3 Tagen zurück. und zurück die gleiche Strecke in 4 Tagen. Wie viele Tage werden die Flöße flussabwärts von einer Stadt zur anderen fahren?

515. 1) Wie viele Bretter werden zum Verlegen des Bodens in einem Raum mit einer Länge von 6 2/3 m und einer Breite von 5 1/4 m verwendet, wenn die Länge jedes Bretts 6 2/3 m und seine Breite 3/4 m beträgt? 80 der Länge?

2) Eine rechteckige Plattform hat eine Länge von 45 1/2 m und ihre Breite beträgt 5/13 ihrer Länge. Dieser Bereich wird von einem 4/5 m breiten Weg begrenzt. Finden Sie den Bereich des Weges.

516. Ermitteln Sie das arithmetische Mittel von Zahlen:

517. 1) Das arithmetische Mittel zweier Zahlen beträgt 6 1/6. Eine der Zahlen ist 3 3/4. Finden Sie eine andere Nummer.

2) Das arithmetische Mittel zweier Zahlen beträgt 14 1/4. Eine dieser Zahlen ist 15 5/6. Finden Sie eine andere Nummer.

518. 1) Der Güterzug war drei Stunden unterwegs. In der ersten Stunde legte er 36 1/2 km zurück, in der zweiten 40 km und in der dritten 39 3/4 km. Ermitteln Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit des Zuges.

2) Das Auto legte in den ersten zwei Stunden 81 1/2 km zurück, in den nächsten 2 1/2 Stunden 95 km. Wie viele Kilometer ist er durchschnittlich pro Stunde gelaufen?

519. 1) Der Traktorfahrer erledigte die Aufgabe, das Land zu pflügen, in drei Tagen. Am ersten Tag pflügte er 12 1/2 Hektar, am zweiten Tag 15 3/4 Hektar und am dritten Tag 14 1/2 Hektar. Wie viele Hektar Land pflügte ein Traktorfahrer durchschnittlich pro Tag?

2) Eine Gruppe von Schulkindern, die eine dreitägige Touristenreise unternahm, war am ersten Tag 6 1/3 Stunden unterwegs, am zweiten 7 Stunden. und am dritten Tag - 4 2/3 Stunden. Wie viele Stunden waren Schulkinder durchschnittlich täglich unterwegs?

520. 1) Im Haus leben drei Familien. Die erste Familie verfügt über 3 Glühbirnen zur Beleuchtung der Wohnung, die zweite über 4 und die dritte über 5 Glühbirnen. Wie viel müsste jede Familie für Strom bezahlen, wenn alle Lampen gleich wären und die Gesamtstromrechnung (für das ganze Haus) 7 1/5 Rubel betragen würde?

2) Ein Polierer polierte die Böden in einer Wohnung, in der drei Familien lebten. Die erste Familie hatte eine Wohnfläche von 36 1/2 Quadratmetern. m, der zweite ist 24 1/2 m² groß. m und der dritte - 43 qm. m. Für die ganze Arbeit wurden 2 Rubel bezahlt. 08 Kop. Wie viel zahlte jede Familie?

521. 1) Auf dem Gartengrundstück wurden Kartoffeln von 50 Büschen mit 1 1/10 kg pro Busch, von 70 Büschen mit 4/5 kg pro Busch und von 80 Büschen mit 9/10 kg pro Busch geerntet. Wie viele Kilogramm Kartoffeln werden durchschnittlich von jedem Strauch geerntet?

2) Die Feldmannschaft erzielte auf einer Fläche von 300 Hektar eine Ernte von 20 1/2 c Winterweizen von 1 Hektar, von 80 Hektar bis 24 Zentner von 1 Hektar und von 20 Hektar – bis 28 1/2 Zentner von 1 Hektar. Wie hoch ist der durchschnittliche Ertrag einer Brigade mit 1 Hektar?

522. 1) Die Summe zweier Zahlen ist 7 1/2. Eine Zahl ist 4 4/5 größer als die andere. Finden Sie diese Zahlen.

2) Wenn Sie die Zahlen addieren, die die Breite von Tatarsky und die Breite ausdrücken Straße von Kertsch Zusammen kommen wir auf 11 7/10 km. Die Tatarenstraße ist 3 1/10 km breiter als die Straße von Kertsch. Wie breit ist jede Meerenge?

523. 1) Die Summe dreier Zahlen ist 35 2 / 3. Die erste Zahl ist um 5 1/3 größer als die zweite und um 3 5/6 größer als die dritte. Finden Sie diese Zahlen.

2) Inseln Neue Erde, Sachalin und Sewernaja Semlja nehmen zusammen eine Fläche von 196 7/10 Tausend Quadratmetern ein. km. Die Fläche von Novaya Zemlya beträgt 44 1/10 Tausend Quadratmeter. km größer als die Fläche von Severnaya Zemlya und 5 1/5 Tausend Quadratmeter. km größer als die Fläche von Sachalin. Wie groß ist die Fläche jeder der aufgeführten Inseln?

524. 1) Die Wohnung besteht aus drei Zimmern. Die Fläche des ersten Raumes beträgt 24 3/8 qm. m und beträgt 13/36 der gesamten Fläche der Wohnung. Die Fläche des zweiten Raumes beträgt 8 1/8 Quadratmeter. m mehr als die Fläche des dritten. Wie groß ist die Fläche des zweiten Raumes?

2) Ein Radfahrer war bei einem dreitägigen Wettkampf am ersten Tag 3 1/4 Stunden unterwegs, was 13/43 der gesamten Reisezeit ausmachte. Am zweiten Tag fuhr er 1 1/2 Stunden mehr als am dritten Tag. Wie viele Stunden hat der Radfahrer am zweiten Wettkampftag zurückgelegt?

525. Drei Eisenstücke wiegen zusammen 17 1/4 kg. Wenn das Gewicht des ersten Teils um 1 1/2 kg, das Gewicht des zweiten um 2 1/4 kg reduziert wird, haben alle drei Teile das gleiche Gewicht. Wie viel wog jedes Stück Eisen?

526. 1) Die Summe zweier Zahlen ist 15 1/5. Wenn die erste Zahl um 3 1/10 verringert und die zweite um 3 1/10 erhöht wird, sind diese Zahlen gleich. Was ist jede Zahl gleich?

2) In zwei Kartons befanden sich 38 1/4 kg Müsli. Wenn Sie 4 3/4 kg Müsli von einer Kiste in eine andere schütten, sind in beiden Kisten die gleichen Mengen Müsli enthalten. Wie viel Müsli ist in jeder Packung?

527 . 1) Die Summe zweier Zahlen ist 17 17 / 30. Wenn Sie von der ersten Zahl 5 1/2 subtrahieren und zur zweiten addieren, ist die erste immer noch um 2 17/30 größer als die zweite. Finden Sie beide Zahlen.

2) In zwei Kisten sind 24 1/4 kg Äpfel. Wenn Sie 3 1/2 kg von der ersten Kiste in die zweite umfüllen, sind in der ersten Kiste immer noch 3/5 kg mehr Äpfel als in der zweiten. Wie viele Kilogramm Äpfel sind in jeder Kiste?

528 *. 1) Die Summe zweier Zahlen beträgt 8 11/14 und ihre Differenz beträgt 2 3/7. Finden Sie diese Zahlen.

2) Das Boot bewegte sich mit einer Geschwindigkeit von 15 1/2 km pro Stunde entlang des Flusses und mit 8 1/4 km pro Stunde gegen die Strömung. Wie groß ist die Fließgeschwindigkeit des Flusses?

529. 1) In zwei Garagen stehen 110 Autos, und in einer davon sind es 1 1/5 mal mehr als in der anderen. Wie viele Autos stehen in jeder Garage?

2) Die Wohnfläche einer Wohnung bestehend aus zwei Zimmern beträgt 47 1/2 qm. m. Die Fläche eines Raumes beträgt 8/11 der Fläche des anderen. Finden Sie die Fläche jedes Raumes.

530. 1) Eine Legierung aus Kupfer und Silber wiegt 330 g. Das Gewicht von Kupfer in dieser Legierung beträgt 5/28 des Gewichts von Silber. Wie viel Silber und wie viel Kupfer ist in der Legierung enthalten?

2) Die Summe zweier Zahlen beträgt 6 3/4 und der Quotient beträgt 3 1/2. Finden Sie diese Zahlen.

531. Die Summe dreier Zahlen ist 22 1/2. Die zweite Zahl ist 3 1/2 Mal und die dritte ist 2 1/4 Mal so groß wie die erste. Finden Sie diese Zahlen.

532. 1) Die Differenz zweier Zahlen beträgt 7; Der Quotient aus der Division einer größeren Zahl durch eine kleinere Zahl beträgt 5 2/3. Finden Sie diese Zahlen.

2) Die Differenz zwischen zwei Zahlen beträgt 29 3/8 und ihr Vielfachverhältnis beträgt 8 5/6. Finden Sie diese Zahlen.

533. In einer Klasse beträgt die Zahl der abwesenden Schüler 3/13 der Zahl der anwesenden Schüler. Wie viele Schüler sind laut Liste in der Klasse, wenn 20 Personen mehr anwesend als abwesend sind?

534. 1) Die Differenz zwischen zwei Zahlen beträgt 3 1/5. Eine Zahl ist 5/7 einer anderen. Finden Sie diese Zahlen.

2) Der Vater ist 24 Jahre älter als sein Sohn. Die Zahl der Lebensjahre des Sohnes beträgt 5/13 der Lebensjahre des Vaters. Wie alt ist der Vater und wie alt ist der Sohn?

535. Der Nenner eines Bruchs ist 11 Einheiten größer als sein Zähler. Welchen Wert hat ein Bruch, wenn sein Nenner das 3 3/4-fache des Zählers ist?

Nr. 536 - 537 mündlich.

536. 1) Die erste Zahl ist die Hälfte der zweiten. Wie oft ist die zweite Zahl größer als die erste?

2) Die erste Zahl ist 3/2 der zweiten. Welcher Teil der ersten Zahl ist die zweite Zahl?

537. 1) 1/2 der ersten Zahl entspricht 1/3 der zweiten Zahl. Welcher Teil der ersten Zahl ist die zweite Zahl?

2) 2/3 der ersten Zahl sind gleich 3/4 der zweiten Zahl. Welcher Teil der ersten Zahl ist die zweite Zahl? Welcher Teil der zweiten Zahl ist der erste?

538. 1) Die Summe zweier Zahlen ist 16. Finden Sie diese Zahlen, wenn 1/3 der zweiten Zahl gleich 1/5 der ersten ist.

2) Die Summe zweier Zahlen ist 38. Finden Sie diese Zahlen, wenn 2/3 der ersten Zahl gleich 3/5 der zweiten sind.

539 *. 1) Zwei Jungen sammelten gemeinsam 100 Pilze. 3/8 der Anzahl der Pilze, zuerst gesammelt Junge, entsprechen zahlenmäßig 1/4 der Anzahl der vom zweiten Jungen gesammelten Pilze. Wie viele Pilze hat jeder Junge gesammelt?

2) Die Einrichtung beschäftigt 27 Mitarbeiter. Wie viele Männer arbeiten und wie viele Frauen, wenn 2/5 aller Männer gleich 3/5 aller Frauen sind?

540 *. Drei Jungen kauften einen Volleyball. Bestimmen Sie den Beitrag jedes Jungen, wobei Sie wissen, dass die Hälfte des Beitrags des ersten Jungen 1/3 des Beitrags des zweiten oder 1/4 des Beitrags des dritten Jungen entspricht und dass der Beitrag des dritten Jungen gleich ist Junge ist 64 Kopeken mehr als der Beitrag des ersten.

541 *. 1) Eine Zahl ist 6 größer als die andere. Finden Sie diese Zahlen, wenn 2/5 einer Zahl gleich 2/3 der anderen sind.

2) Die Differenz zweier Zahlen beträgt 35. Finden Sie diese Zahlen, wenn 1/3 der ersten Zahl gleich 3/4 der zweiten Zahl ist.

542. 1) Das erste Team kann einige Arbeiten in 36 Tagen abschließen, das zweite in 45 Tagen. In wie vielen Tagen werden beide Teams gemeinsam diesen Auftrag abschließen?

2) Ein Personenzug legt die Strecke zwischen zwei Städten in 10 Stunden zurück, ein Güterzug legt diese Strecke in 15 Stunden zurück. Beide Züge verließen diese Städte gleichzeitig in Richtung zueinander. In wie vielen Stunden werden sie sich treffen?

543. 1) Ein Schnellzug legt die Strecke zwischen zwei Städten in 6 1/4 Stunden zurück, ein Personenzug in 7 1/2 Stunden. Wie viele Stunden später werden sich diese Züge treffen, wenn sie beide Städte gleichzeitig in Richtung zueinander verlassen? (Runden Sie die Antwort auf die nächste Stunde.)

2) Zwei Motorradfahrer fuhren gleichzeitig aus zwei Städten aufeinander zu. Ein Motorradfahrer kann die gesamte Strecke zwischen diesen Städten in 6 Stunden zurücklegen, ein anderer in 5 Stunden. Wie viele Stunden nach der Abfahrt treffen sich die Motorradfahrer? (Runden Sie die Antwort auf die nächste Stunde.)

544. 1) Drei Fahrzeuge unterschiedlicher Tragfähigkeit können getrennt voneinander etwas Fracht transportieren: das erste in 10 Stunden, das zweite in 12 Stunden. und der dritte in 15 Stunden. In wie vielen Stunden können sie gemeinsam dieselbe Fracht transportieren?

2) Zwei Züge verlassen gleichzeitig zwei Bahnhöfe zueinander: Der erste Zug legt die Strecke zwischen diesen Bahnhöfen in 12 1/2 Stunden zurück, der zweite in 18 3/4 Stunden. Wie viele Stunden nach der Abfahrt treffen sich die Züge?

545. 1) Zwei Wasserhähne sind an die Badewanne angeschlossen. Durch die eine kann das Bad in 12 Minuten gefüllt werden, durch die andere 1 1/2 mal schneller. Wie viele Minuten dauert es, um 5/6 der gesamten Badewanne zu füllen, wenn Sie beide Wasserhähne gleichzeitig öffnen?

2) Zwei Schreibkräfte müssen das Manuskript neu tippen. Der erste Fahrer kann diese Arbeit in 3 1/3 Tagen erledigen, der zweite 1 1/2 Mal schneller. Wie viele Tage benötigen beide Schreibkräfte, um den Auftrag zu erledigen, wenn sie gleichzeitig arbeiten?

546. 1) Das Becken ist mit dem ersten Rohr in 5 Stunden gefüllt, durch das zweite Rohr kann es in 6 Stunden entleert werden. Nach wie vielen Stunden ist das gesamte Becken gefüllt, wenn beide Rohre gleichzeitig geöffnet werden?

Notiz. In einer Stunde ist der Pool auf (1/5 - 1/6 seiner Kapazität) gefüllt.

2) Zwei Traktoren haben das Feld in 6 Stunden gepflügt. Der erste Traktor allein könnte dieses Feld in 15 Stunden pflügen. Wie viele Stunden würde der zweite Traktor alleine benötigen, um dieses Feld zu pflügen?

547 *. Zwei Züge verlassen gleichzeitig zwei Bahnhöfe zueinander und treffen sich nach 18 Stunden. nach seiner Freilassung. Wie lange braucht der zweite Zug für die Strecke zwischen den Bahnhöfen, wenn der erste Zug diese Strecke in 1 Tag und 21 Stunden zurücklegt?

548 *. Der Pool ist mit zwei Rohren gefüllt. Zuerst öffneten sie das erste Rohr und dann nach 3 3/4 Stunden, als die Hälfte des Beckens gefüllt war, öffneten sie das zweite Rohr. Nach 2 1/2 Stunden Zusammenarbeit Der Pool war voll. Bestimmen Sie die Kapazität des Pools, wenn 200 Eimer Wasser pro Stunde durch das zweite Rohr fließen.

549. 1) Ein Kurierzug verließ Leningrad nach Moskau und legt in 3/4 Minuten 1 km zurück. Eine halbe Stunde nachdem dieser Zug Moskau verlassen hatte, verließ ein Schnellzug Moskau nach Leningrad, dessen Geschwindigkeit 3/4 der Geschwindigkeit des Schnellzuges entsprach. Wie weit werden die Züge 2 1/2 Stunden nach Abfahrt des Kurierzuges voneinander entfernt sein, wenn die Entfernung zwischen Moskau und Leningrad 650 km beträgt?

2) Von der Kolchose bis zur Stadt 24 km. Ein Lastwagen verlässt die Kolchose und legt in 2 1/2 Minuten 1 km zurück. Nach 15 Min. Nachdem dieses Auto die Stadt verlassen hatte, fuhr ein Radfahrer mit halb so hoher Geschwindigkeit wie der Lastwagen zur Kollektivfarm. Wie lange nach der Abfahrt wird der Radfahrer den LKW treffen?

550. 1) Ein Fußgänger kam aus einem Dorf. 4 1/2 Stunden nachdem der Fußgänger gegangen war, fuhr ein Radfahrer in die gleiche Richtung, dessen Geschwindigkeit das 2 1/2-fache der Geschwindigkeit des Fußgängers betrug. Wie viele Stunden nachdem der Fußgänger weggegangen ist, wird ihn der Radfahrer überholen?

2) Ein Schnellzug legt in 3 Stunden 187 1/2 km zurück, und ein Güterzug legt in 6 Stunden 288 km zurück. 7 1/4 Stunden nach Abfahrt des Güterzuges fährt ein Krankenwagen in die gleiche Richtung. Wie lange wird der Schnellzug brauchen, um den Güterzug einzuholen?

551. 1) Von zwei Kollektivwirtschaften, durch die die Straße zum Regionalzentrum führt, ritten zwei Kollektivbauern gleichzeitig zu Pferd in den Bezirk. Der erste von ihnen fuhr 8 3/4 km pro Stunde und der zweite war 1 1/7 Mal schneller als der erste. Der zweite Kollektivbauer holte den ersten nach 3 4/5 Stunden ein. Bestimmen Sie den Abstand zwischen Kollektivwirtschaften.

2) 26 1/3 Stunden nach der Abfahrt des Zuges Moskau-Wladiwostok, dessen Durchschnittsgeschwindigkeit 60 km/h betrug, startete ein TU-104-Flugzeug in die gleiche Richtung mit einer 14 1/6-fachen Geschwindigkeit des Zuges. Wie viele Stunden nach Abflug wird das Flugzeug den Zug einholen?

552. 1) Die Entfernung zwischen den Städten entlang des Flusses beträgt 264 km. Der Dampfer legte diese Strecke flussabwärts in 18 Stunden zurück und verbrachte ein Zwölftel dieser Zeit mit Stopps. Die Geschwindigkeit des Flusses beträgt 1 1/2 km pro Stunde. Wie lange würde ein Dampfschiff brauchen, um 87 km zurückzulegen, ohne im stillen Wasser anzuhalten?

2) Ein Motorboot legte in 13 1/2 Stunden 207 km den Fluss entlang zurück und verbrachte 1/9 dieser Zeit mit Zwischenstopps. Die Geschwindigkeit des Flusses beträgt 1 3/4 km pro Stunde. Wie viele Kilometer kann dieses Boot in 2 1/2 Stunden bei stillem Wasser zurücklegen?

553. Das Boot legte in 3 Stunden und 15 Minuten eine Strecke von 52 km über den Stausee zurück, ohne anzuhalten. Weiter entlang des Flusses gegen die Strömung, deren Geschwindigkeit 1 3/4 km pro Stunde beträgt, legte dieses Boot in 2 1/4 Stunden 28 1/2 km zurück und machte dabei 3 Stopps gleicher Dauer. Wie viele Minuten wartete das Boot an jedem Halt?

554. Von Leningrad nach Kronstadt um 12 Uhr. Der Dampfer fuhr am Nachmittag ab und legte die gesamte Strecke zwischen diesen Städten in 1 1/2 Stunden zurück. Unterwegs traf er auf ein anderes Schiff, das um 12:18 Uhr Kronstadt in Richtung Leningrad verließ. und mit der 1 1/4-fachen Geschwindigkeit des ersten gehen. Zu welcher Zeit trafen sich die beiden Schiffe?

555. Der Zug musste in 14 Stunden eine Strecke von 630 km zurücklegen. Nachdem er zwei Drittel dieser Strecke zurückgelegt hatte, wurde er 1 Stunde und 10 Minuten festgehalten. Mit welcher Geschwindigkeit sollte er seine Reise fortsetzen, um ohne Verzögerung sein Ziel zu erreichen?

556. Um 4:20 Uhr Am Morgen verließ ein Güterzug Kiew nach Odessa Durchschnittsgeschwindigkeit 31 1/5 km pro Stunde. Nach einiger Zeit kam ihm aus Odessa ein Postzug entgegen, dessen Geschwindigkeit 1 17/39-mal höher war als die Geschwindigkeit eines Güterzuges, und traf den Güterzug 6 1/2 Stunden nach seiner Abfahrt. Wann verließ der Postzug Odessa, wenn die Entfernung zwischen Kiew und Odessa 663 km beträgt?

557*. Die Uhr zeigt Mittag. Wie lange dauert es, bis Stunden- und Minutenzeiger übereinstimmen?

558. 1) Das Werk verfügt über drei Werkstätten. Die Zahl der Arbeiter in der ersten Werkstatt beträgt 9/20 aller Arbeiter des Werks, in der zweiten Werkstatt sind es 1 1/2 mal weniger Arbeiter als in der ersten und in der dritten Werkstatt sind es 300 Arbeiter weniger als in der zweite. Wie viele Arbeiter gibt es in der Fabrik?

2) In der Stadt gibt es drei weiterführende Schulen. Die Zahl der Schüler der ersten Schule beträgt 3/10 aller Schüler dieser drei Schulen; In der zweiten Schule gibt es 1 1/2 Mal mehr Schüler als in der ersten und in der dritten Schule sind es 420 Schüler weniger als in der zweiten. Wie viele Schüler gibt es in den drei Schulen?

559. 1) Zwei Mähdrescher arbeiteten im selben Gebiet. Nachdem ein Mähdrescher 9/16 der gesamten Parzelle und der zweite 3/8 derselben Parzelle abgeerntet hatte, stellte sich heraus, dass der erste Mähdrescher 97 1/2 Hektar mehr erntete als der zweite. Im Durchschnitt wurden von jedem Hektar 32 1/2 Zentner Getreide gedroschen. Wie viele Zentner Getreide hat jeder Mähdrescherbetreiber gedroschen?

2) Zwei Brüder kauften eine Kamera. Einer hatte 5/8 und der zweite 4/7 des Kamerapreises, und der erste hatte einen Wert von 2 Rubel. 25 Kopeken mehr als der zweite. Jeder zahlte die Hälfte der Kosten für das Gerät. Wie viel Geld bleibt allen übrig?

560. 1) Ein Pkw verlässt Stadt A in Richtung Stadt B, die Entfernung zwischen ihnen beträgt 215 km, mit einer Geschwindigkeit von 50 km/h. Zur gleichen Zeit verließ ein LKW die Stadt B in Richtung Stadt A. Wie viele Kilometer hat der Pkw zurückgelegt, bevor er auf den Lkw traf, wenn die Geschwindigkeit des Lkw pro Stunde 18/25 der Geschwindigkeit des Pkw entsprach?

2) Zwischen den Städten A und B 210 km. Ein Pkw verließ Stadt A in Richtung Stadt B. Zur gleichen Zeit verließ ein LKW die Stadt B in Richtung Stadt A. Wie viele Kilometer hat der Lkw zurückgelegt, bevor er auf den Pkw traf, wenn der Pkw mit einer Geschwindigkeit von 48 km/h unterwegs war und die Geschwindigkeit des Lkw pro Stunde 3/4 der Geschwindigkeit des Pkw betrug?

561. Die Kollektivwirtschaft erntete Weizen und Roggen. Mit Weizen wurden 20 Hektar mehr gesät als mit Roggen. Die gesamte Roggenernte betrug 5/6 der gesamten Weizenernte mit einem Ertrag von 20 c pro 1 ha sowohl für Weizen als auch für Roggen. Die Kollektivwirtschaft verkaufte 7/11 der gesamten Weizen- und Roggenernte an den Staat und überließ den Rest des Getreides der Deckung ihres Bedarfs. Wie viele Fahrten mussten die Zweitonner zurücklegen, um das an den Staat verkaufte Brot abzutransportieren?

562. Roggen- und Weizenmehl wurden zum Bäcker gebracht. Das Gewicht des Weizenmehls betrug 3/5 des Gewichts des Roggenmehls, und es wurden 4 Tonnen mehr Roggenmehl als Weizenmehl gebracht. Wie viel Weizen und wie viel Roggenbrot wird vom Bäcker aus diesem Mehl gebacken, wenn die Backwaren 2/5 des Gesamtmehls ausmachen?

563. Innerhalb von drei Tagen erledigte ein Arbeiterteam drei Viertel der gesamten Arbeiten zur Reparatur der Autobahn zwischen den beiden Kolchosen. Am ersten Tag wurden 2 2/5 km dieser Autobahn repariert, am zweiten Tag 1 1/2 Mal mehr als am ersten und am dritten Tag 5/8 dessen, was in den ersten beiden Tagen zusammen repariert wurde. Finden Sie die Länge der Autobahn zwischen Kollektivwirtschaften.

564. Füllen Sie die leeren Stellen in der Tabelle aus, wobei S die Fläche des Rechtecks ​​ist. A- die Basis des Rechtecks, a H-Höhe (Breite) des Rechtecks.

565. 1) Die Länge eines rechteckigen Grundstücks beträgt 120 m und die Breite des Grundstücks beträgt 2/5 seiner Länge. Finden Sie den Umfang und die Fläche des Standorts.

2) Die Breite des rechteckigen Abschnitts beträgt 250 m und seine Länge beträgt das 1 1/2-fache der Breite. Finden Sie den Umfang und die Fläche des Standorts.

566. 1) Der Umfang des Rechtecks ​​beträgt 6 1/2 Zoll, seine Basis ist 1/4 Zoll größer als seine Höhe. Finden Sie die Fläche dieses Rechtecks.

2) Der Umfang des Rechtecks ​​beträgt 18 cm, seine Höhe ist 2 1/2 cm geringer als die Grundfläche. Finden Sie die Fläche des Rechtecks.

567. Berechnen Sie die Flächen der in Abbildung 30 gezeigten Figuren, indem Sie sie in Rechtecke unterteilen und die Abmessungen des Rechtecks ​​durch Messung ermitteln.

568. 1) Wie viele Trockenputzplatten sind erforderlich, um die Decke eines Raumes mit einer Länge von 4 1/2 m und einer Breite von 4 m zu bedecken, wenn die Abmessungen der Gipsplatte 2 m x L 1/2 m betragen?

2) Wie viele Bretter mit einer Länge von 4 1/2 m und einer Breite von 1/4 m werden benötigt, um einen Boden mit einer Länge von 4 1/2 m und einer Breite von 3 1/2 m zu verlegen?

569. 1) Eine rechteckige Parzelle mit einer Länge von 560 m und einer Breite von 3/4 ihrer Länge wurde mit Bohnen besät. Wie viele Samen waren für die Aussaat der Parzelle erforderlich, wenn 1 Centner pro 1 Hektar gesät wurde?

2) Auf einem rechteckigen Feld wurde eine Weizenernte von 25 Doppelzentnern pro Hektar gesammelt. Wie viel Weizen wurde vom gesamten Feld geerntet, wenn die Länge des Feldes 800 m und die Breite 3/8 seiner Länge beträgt?

570 . 1) Ein rechteckiges Grundstück mit einer Länge von 78 3/4 m und einer Breite von 56 4/5 m ist so bebaut, dass 4/5 seiner Fläche mit Gebäuden belegt sind. Bestimmen Sie die Grundstücksfläche unter den Gebäuden.

2) Auf einem rechteckigen Grundstück, dessen Länge 9/20 km und dessen Breite 4/9 seiner Länge beträgt, plant die Kollektivwirtschaft die Anlage eines Gartens. Wie viele Bäume werden in diesem Garten gepflanzt, wenn für jeden Baum eine durchschnittliche Fläche von 36 qm benötigt wird?

571. 1) Für eine normale Tageslichtausleuchtung des Raumes ist es erforderlich, dass die Fläche aller Fenster mindestens 1/5 der Grundfläche beträgt. Stellen Sie fest, ob in einem Raum mit einer Länge von 5 1/2 m und einer Breite von 4 m genügend Licht vorhanden ist. Hat der Raum ein Fenster mit den Maßen 1 1/2 m x 2 m?

2) Finden Sie anhand der Bedingung der vorherigen Aufgabe heraus, ob in Ihrem Klassenzimmer genügend Licht vorhanden ist.

572. 1) Der Stall hat die Abmessungen 5 1/2 m x 4 1/2 m x 2 1/2 m. Wie viel Heu (nach Gewicht) passt in diesen Stall, wenn er zu 3/4 seiner Höhe gefüllt ist und wenn 1 cu . m Heu wiegt 82 kg?

2) Der Holzstapel hat die Form rechteckiges Parallelepiped, dessen Abmessungen 2 1/2 m x 3 1/2 m x 1 1/2 m betragen. Wie schwer ist der Holzstapel, wenn 1 cu. m Brennholz wiegt 600 kg?

573. 1) Ein rechteckiges Aquarium ist bis zu 3/5 seiner Höhe mit Wasser gefüllt. Die Länge des Aquariums beträgt 1 1/2 m, Breite 4/5 m, Höhe 3/4 m. Wie viele Liter Wasser werden in das Aquarium gegossen?

2) Ein Becken in Form eines rechteckigen Parallelepipeds hat eine Länge von 6 1/2 m, eine Breite von 4 m und eine Höhe von 2 m. Das Becken ist bis zu 3/4 seiner Höhe mit Wasser gefüllt. Berechnen Sie die Wassermenge, die in den Pool gegossen wird.

574. Um ein rechteckiges Grundstück mit einer Länge von 75 m und einer Breite von 45 m muss ein Zaun errichtet werden. Wie viele Kubikmeter Bretter sollten in den Bau gesteckt werden, wenn die Dicke der Bretter 2 1/2 cm und die Höhe des Zauns 2 1/4 m beträgt?

575. 1) Welcher Winkel ist die Minute und Stunden Zeiger um 13 Uhr? um 15 Uhr? um 17 Uhr? um 21 Uhr? um 23:30?

2) Um wie viel Grad dreht sich der Stundenzeiger in 2 Stunden? 5 Uhr? 8 Uhr? 30 Minuten.?

3) Wie viele Grad hat ein Bogen, der einem Halbkreis entspricht? 1/4 Kreis? 1/24 eines Kreises? 5/24 Kreise?

576. 1) Zeichnen Sie mit einem Winkelmesser: a) einen rechten Winkel; b) ein Winkel von 30°; c) ein Winkel von 60°; d) Winkel von 150°; e) ein Winkel von 55°.

2) Messen Sie mit einem Winkelmesser die Winkel der Figur und ermitteln Sie die Summe aller Winkel jeder Figur (Abb. 31).

577. Folge diesen Schritten:

578. 1) Der Halbkreis ist in zwei Bögen unterteilt, von denen einer 100° größer ist als der andere. Finden Sie die Größe jedes Bogens.

2) Der Halbkreis ist in zwei Bögen unterteilt, von denen einer 15° kleiner ist als der andere. Finden Sie die Größe jedes Bogens.

3) Der Halbkreis wird in zwei Bögen geteilt, von denen einer doppelt so groß ist wie der andere. Finden Sie die Größe jedes Bogens.

4) Der Halbkreis ist in zwei Bögen unterteilt, von denen einer fünfmal kleiner ist als der andere. Finden Sie die Größe jedes Bogens.

579. 1) Das Diagramm „Bevölkerungskompetenz in der UdSSR“ (Abb. 32) zeigt die Anzahl der gebildeten Menschen pro hundert Einwohner. Bestimmen Sie anhand der Daten im Diagramm und seiner Skala die Anzahl der gebildeten Männer und Frauen für jedes der angegebenen Jahre.

Schreiben Sie die Ergebnisse in die Tabelle:

2) Erstellen Sie anhand der Daten aus dem Diagramm „Sowjetische Gesandte im Weltraum“ (Abb. 33) Aufgaben.

580. 1) Füllen Sie gemäß dem Kreisdiagramm „Tagesablauf eines Fünftklässlers“ (Abb. 34) die Tabelle aus und beantworten Sie die Fragen: Welcher Teil des Tages ist dem Schlafen gewidmet? als Hausaufgabe? zur Schule?

2) Erstellen Sie ein Kreisdiagramm über Ihren Tagesablauf.