Anweisungen

Wenn Sie mit dem Satz des Pythagoras rechnen müssen, verwenden Sie den folgenden Algorithmus: - Bestimmen Sie in einem Dreieck, welche Seiten die Schenkel und welche die Hypotenuse sind. Die beiden Seiten, die einen Winkel von neunzig Grad bilden, sind die Schenkel, das verbleibende Drittel ist die Hypotenuse. (cm) - Erhöhen Sie jedes Bein dieses Dreiecks mit der zweiten Potenz, dh multiplizieren Sie es mit sich selbst. Beispiel 1. Angenommen, wir müssen die Hypotenuse berechnen, wenn ein Bein in einem Dreieck 12 cm und das andere 5 cm beträgt. Zunächst sind die Quadrate der Beine gleich: 12 * 12 = 144 cm und 5 * 5 = 25 cm. Bestimmen Sie als nächstes die Summe der Quadrate der Beine. Eine bestimmte Anzahl ist Hypotenuse, müssen Sie die zweite Potenz der zu findenden Zahl loswerden Länge diese Seite des Dreiecks. Extrahieren Sie dazu aus der Quadratwurzel den Wert der Summe der Quadrate der Beine. Beispiel 1. 144+25=169. Die Quadratwurzel von 169 ist 13. Daher ist die Länge davon Hypotenuse gleich 13 cm.

Eine andere Möglichkeit, die Länge zu berechnen Hypotenuse liegt in der Terminologie von Sinus und Winkeln im Dreieck. Per Definition: der Sinus des Winkels Alpha – das Gegenstück zur Hypotenuse. Das heißt, wenn man sich die Abbildung ansieht, ist sin a = CB / AB. Daher ist Hypotenuse AB = CB / sin a. Beispiel 2. Der Winkel sei 30 Grad und die gegenüberliegende Seite sei 4 cm. Wir müssen die Hypotenuse finden. Lösung: AB = 4 cm / sin 30 = 4 cm / 0,5 = 8 cm Antwort: Länge Hypotenuse gleich 8 cm.

Eine ähnliche Art zu finden Hypotenuse aus der Definition des Kosinus eines Winkels. Der Kosinus eines Winkels ist das Verhältnis der angrenzenden Seite und Hypotenuse. Das heißt, cos a = AC/AB, also AB = AC/cos a. Beispiel 3. Im Dreieck ABC ist AB die Hypotenuse, der Winkel BAC beträgt 60 Grad, der Schenkel AC beträgt 2 cm.
Lösung: AB = AC/cos 60 = 2/0,5 = 4 cm Antwort: Die Hypotenuse ist 4 cm lang.

Hilfreicher Rat

Wenn Sie den Wert des Sinus oder Cosinus eines Winkels ermitteln möchten, verwenden Sie entweder die Tabelle der Sinus- und Cosinuswerte oder die Bradis-Tabelle.

Tipp 2: So ermitteln Sie die Länge der Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck

Die Hypotenuse ist die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck, daher ist es nicht überraschend griechische Sprache Dieses Wort wird mit „eng“ übersetzt. Diese Seite liegt immer dem 90°-Winkel gegenüber, und die Seiten, die diesen Winkel bilden, werden Beine genannt. Wenn wir die Längen dieser Seiten und die Werte der spitzen Winkel in verschiedenen Kombinationen dieser Werte kennen, können wir die Länge der Hypotenuse berechnen.

Anweisungen

Wenn die Längen beider Dreiecke (A und B) bekannt sind, dann verwenden Sie die Längen der Hypotenuse (C), vielleicht das berühmteste mathematische Postulat – den Satz des Pythagoras. Es besagt, dass das Quadrat der Länge der Hypotenuse die Summe der Quadrate der Längen der Beine ist, woraus folgt, dass Sie die Wurzel der Summe der Quadratlängen der beiden Seiten berechnen sollten: C = √ ( A² + B²). Wenn beispielsweise die Länge eines Beins 15 und - 10 Zentimeter beträgt, beträgt die Länge der Hypotenuse ungefähr 18,0277564 Zentimeter, da √(15²+10²)=√(225+100)= √325≈18,0277564.

Wenn die Länge nur eines der Schenkel (A) in einem rechtwinkligen Dreieck sowie der Wert des gegenüberliegenden Winkels (α) bekannt sind, kann die Länge der Hypotenuse (C) unter Verwendung einer der trigonometrischen Gleichungen verwendet werden Funktionen - der Sinus. Teilen Sie dazu die Länge der bekannten Seite durch den Sinus des bekannten Winkels: C=A/sin(α). Wenn beispielsweise die Länge eines der Beine 15 Zentimeter beträgt und der Winkel am gegenüberliegenden Scheitelpunkt des Dreiecks 30° beträgt, beträgt die Länge der Hypotenuse 30 Zentimeter, da 15/sin(30°) =15/0,5=30.

Wenn in einem rechtwinkligen Dreieck die Größe eines der spitzen Winkel (α) und die Länge des angrenzenden Schenkels (B) bekannt sind, können Sie zur Berechnung der Länge der Hypotenuse (C) eine andere trigonometrische Funktion verwenden – den Kosinus. Sie sollten die Länge teilen berühmtes Bein durch den Kosinus eines bekannten Winkels: C=B/ cos(α). Wenn beispielsweise die Länge dieses Beins 15 Zentimeter beträgt und der Wert spitzer Winkel, daneben 30° beträgt, dann beträgt die Länge der Hypotenuse ungefähr 17,3205081 Zentimeter, da 15/cos(30°)=15/(0,5*√3)=30/√3≈17,3205081.

Als Länge wird üblicherweise der Abstand zwischen zwei Punkten auf einem Liniensegment bezeichnet. Es kann gerade, gebrochen oder sein geschlossene Linie. Die Länge lässt sich durchaus berechnen auf einfache Weise, wenn Sie einige andere Indikatoren des Segments kennen.

Anweisungen

Wenn Sie die Länge der Seite eines Quadrats ermitteln müssen, ist diese nicht erforderlich, wenn Sie die Fläche S kennen. Da alle Seiten des Quadrats die Länge haben, können Sie den Wert einer davon mithilfe von berechnen Formel: a = √S.

Geometrie ist keine einfache Wissenschaft. Es kann für beide nützlich sein Lehrplan, und in wahres Leben. Die Kenntnis vieler Formeln und Theoreme vereinfacht geometrische Berechnungen. Eine der einfachsten Figuren der Geometrie ist ein Dreieck. Eine der Arten von Dreiecken, das gleichseitige, hat seine eigenen Eigenschaften.

Merkmale eines gleichseitigen Dreiecks

Per Definition ist ein Dreieck ein Polyeder mit drei Winkeln und drei Seiten. Dies ist eine flache zweidimensionale Figur, deren Eigenschaften untersucht werden weiterführende Schule. Je nach Winkelart unterscheidet man spitze, stumpfe und rechtwinklige Dreiecke. Ein rechtwinkliges Dreieck sieht so aus geometrische Figur, wobei einer der Winkel 90° beträgt. Ein solches Dreieck hat zwei Schenkel (sie bilden einen rechten Winkel) und eine Hypotenuse (sie ist entgegengesetzt). rechter Winkel). Je nachdem, welche Mengen bekannt sind, gibt es drei einfache Wege Hypotenuse berechnen rechtwinkliges Dreieck.

Die erste Möglichkeit besteht darin, die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks zu finden. Satz des Pythagoras

Satz des Pythagoras - der älteste Weg Berechnen Sie eine beliebige Seite eines rechtwinkligen Dreiecks. Es klingt so: „In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Schenkel.“ Um die Hypotenuse zu berechnen, sollte man also eine Ableitung vornehmen Quadratwurzel aus der Summe zweier Beine im Quadrat. Zur Verdeutlichung werden Formeln und ein Diagramm angegeben.

Zweiter Weg. Berechnung der Hypotenuse anhand von 2 bekannten Größen: Schenkel und angrenzender Winkel

Eine der Eigenschaften eines rechtwinkligen Dreiecks besagt, dass das Verhältnis der Länge des Schenkels zur Länge der Hypotenuse dem Kosinus des Winkels zwischen diesem Schenkel und der Hypotenuse entspricht. Nennen wir den uns bekannten Winkel α. Dank der bekannten Definition können Sie nun ganz einfach eine Formel zur Berechnung der Hypotenuse formulieren: Hypotenuse = leg/cos(α)

Dritter Weg. Berechnung der Hypotenuse anhand von 2 bekannten Größen: Bein und entgegengesetzter Winkel

Wenn der entgegengesetzte Winkel bekannt ist, ist es möglich, die Eigenschaften eines rechtwinkligen Dreiecks wieder zu nutzen. Das Verhältnis der Beinlänge zur Hypotenuse entspricht dem Sinus des entgegengesetzten Winkels. Nennen wir den bekannten Winkel noch einmal α. Für die Berechnungen verwenden wir nun eine etwas andere Formel:
Hypotenuse = Bein/Sünde (α)

Beispiele, die Ihnen helfen, Formeln zu verstehen

Für ein tieferes Verständnis der einzelnen Formeln sollten Sie Folgendes berücksichtigen anschauliche Beispiele. Angenommen, Sie erhalten ein rechtwinkliges Dreieck mit den folgenden Daten:

• Bein – 8 cm.
• Der angrenzende Winkel cosα1 beträgt 0,8.
• Der Gegenwinkel sinα2 beträgt 0,8.

Nach dem Satz des Pythagoras: Hypotenuse = Quadratwurzel von (36+64) = 10 cm.
Je nach Beingröße und angrenzendem Winkel: 8/0,8 = 10 cm.
Je nach Beingröße und Gegenwinkel: 8/0,8 = 10 cm.

Sobald Sie die Formel verstanden haben, können Sie die Hypotenuse problemlos mit beliebigen Daten berechnen.

Video: Satz des Pythagoras

Anweisungen

Ein Dreieck heißt rechtwinklig, wenn einer seiner Winkel 90 Grad beträgt. Es besteht aus zwei Beinen und einer Hypotenuse. Die Hypotenuse ist die längste Seite dieses Dreiecks. Es liegt gegen einen rechten Winkel. Die Beine werden dementsprechend als kleinere Seiten bezeichnet. Sie können entweder gleich sein oder unterschiedliche Größen haben. Beingleichheit ist das, was Sie mit einem rechtwinkligen Dreieck arbeiten. Das Schöne daran ist, dass es zwei Figuren vereint: eine rechteckige und eine gleichschenkligen Dreiecks. Sind die Schenkel ungleich, dann ist das Dreieck beliebig und folgt dem Grundgesetz: Je größer der Winkel, desto mehr rollt das Gegenüber.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Hypotenuse anhand und nach dem Winkel zu ermitteln. Bevor Sie jedoch einen davon verwenden, sollten Sie feststellen, welcher Winkel bekannt ist. Wenn ein Winkel und eine dazu benachbarte Seite angegeben sind, ist es einfacher, die Hypotenuse mithilfe des Kosinus des Winkels zu finden. Der Kosinus eines spitzen Winkels (cos a) in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels zur Hypotenuse. Daraus folgt, dass die Hypotenuse (c) gleich dem Verhältnis des benachbarten Schenkels (b) zum Kosinus des Winkels a (cos a) ist. Dies kann folgendermaßen geschrieben werden: cos a=b/c => c=b/cos a.

Wenn ein Winkel und ein gegenüberliegendes Bein gegeben sind, dann sollte gearbeitet werden. Der Sinus eines spitzen Winkels (sin a) in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis der gegenüberliegenden Seite (a) zur Hypotenuse (c). Hier ist das Prinzip das gleiche wie im vorherigen Beispiel, nur wird anstelle der Kosinusfunktion der Sinus genommen. sin a=a/c => c=a/sin a.

Sie können auch eine trigonometrische Funktion verwenden, z. Das Finden des gewünschten Werts wird jedoch etwas komplizierter. Der Tangens eines spitzen Winkels (tg a) in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels (a) zum benachbarten Schenkel (b). Nachdem Sie beide Beine gefunden haben, wenden Sie den Satz des Pythagoras an (das Quadrat der Hypotenuse ist gleich der Summe der Quadrate der Beine) und Sie werden das größere finden.

beachten Sie

Denken Sie bei der Arbeit mit dem Satz des Pythagoras daran, dass es sich um einen Grad handelt. Nachdem Sie die Summe der Quadrate der Beine ermittelt haben, müssen Sie die Quadratwurzel ziehen, um die endgültige Antwort zu erhalten.

Quellen:

• wie man das Bein und die Hypotenuse findet

Die Hypotenuse ist die Seite in einem rechtwinkligen Dreieck, die dem 90-Grad-Winkel gegenüberliegt. Um seine Länge zu berechnen, genügt es, die Länge eines der Schenkel und die Größe eines der spitzen Winkel des Dreiecks zu kennen.

Anweisungen

Bei einem bekannten und spitzen rechtwinkligen Winkel ist die Größe der Hypotenuse das Verhältnis des Beins zu / dieses Winkels, wenn dieser Winkel ihm gegenüber/angrenzend ist:

h = C1(oder C2)/sinα;

h = C1 (oder C2)/cosα.

Beispiel: Gegeben sei ABC mit Hypotenuse AB und C. Sei der Winkel B 60 Grad und der Winkel A 30 Grad. Die Länge der Hypotenuse AB beträgt. Dazu können Sie eine der oben vorgeschlagenen Methoden verwenden:

AB = BC/cos60 = 8 cm.

AB = BC/sin30 = 8 cm.

Wort " Bein„ kommt von den griechischen Wörtern „senkrecht“ oder „lotrecht“ – dies erklärt, warum beide Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, die seinen Neunzig-Grad-Winkel bilden, so genannt wurden. Finden Sie die Länge von einem von ihnen Bein ov ist nicht schwierig, wenn der Wert des angrenzenden Winkels und alle anderen Parameter bekannt sind, da in diesem Fall tatsächlich die Werte aller drei Winkel bekannt werden.

Anweisungen

Wenn zusätzlich zum Wert des angrenzenden Winkels (β), die Länge des zweiten Bein a (b), dann die Länge Bein und (a) kann als Quotient der Länge des Bekannten definiert werden Bein und bei einem bekannten Winkel: a=b/tg(β). Dies folgt aus der Definition dieser Trigonometrie. Auf den Tangens kann man verzichten, wenn man den Satz verwendet. Daraus folgt, dass die Länge des gewünschten zum Sinus des entgegengesetzten Winkels zum Verhältnis der Länge des Bekannten ist Bein und zum Sinus eines bekannten Winkels. Im Gegensatz zum Gewünschten Bein Der spitze Winkel y kann durch den bekannten Winkel als 180°-90°-β = 90°-β ausgedrückt werden, da die Summe aller Winkel eines Dreiecks 180° betragen muss und einer seiner Winkel 90° beträgt. Also die erforderliche Länge Bein und kann mit der Formel a=sin(90°-β)∗b/sin(β) berechnet werden.

Wenn der Wert des angrenzenden Winkels (β) und die Länge der Hypotenuse (c) bekannt sind, dann die Länge Bein und (a) kann als Produkt aus der Länge der Hypotenuse und dem Kosinus des bekannten Winkels berechnet werden: a=c∗cos(β). Dies ergibt sich aus der Definition des Kosinus als trigonometrische Funktion. Sie können aber wie im vorherigen Schritt den Sinussatz verwenden und dann die gewünschte Länge ermitteln Bein a ist gleich dem Produkt aus dem Sinus zwischen 90° und dem bekannten Winkel und dem Verhältnis der Länge der Hypotenuse zum Sinus des rechten Winkels. Und da der Sinus von 90° gleich eins ist, können wir ihn so schreiben: a=sin(90°-β)∗c.

Praktische Berechnungen können beispielsweise mit dem im Windows-Betriebssystem enthaltenen Software-Rechner durchgeführt werden. Um es auszuführen, können Sie im Hauptmenü über die Schaltfläche „Start“ die Option „Ausführen“ auswählen, den Befehl „calc“ eingeben und auf „OK“ klicken. In der einfachsten Version öffnet sich standardmäßig die Benutzeroberfläche dieses Programms trigonometrische Funktionen werden nicht bereitgestellt, daher müssen Sie nach dem Start im Menü auf den Abschnitt „Ansicht“ klicken und die Zeile „Wissenschaftlich“ oder „Ingenieurwesen“ (je nach verwendeter Version) auswählen Betriebssystem).

Video zum Thema

Das Wort „kathet“ kam aus dem Griechischen ins Russische. In der genauen Übersetzung bedeutet es eine Lotlinie, also senkrecht zur Erdoberfläche. In der Mathematik sind die Schenkel die Seiten, die rechte Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks bilden. Die diesem Winkel gegenüberliegende Seite wird Hypotenuse genannt. Der Begriff „Kathet“ wird auch in der Architektur und Schweißtechnik verwendet.

Zeichnen Sie ein rechtwinkliges Dreieck DIA. Beschriften Sie seine Beine mit a und b und seine Hypotenuse mit c. Alle Seiten und Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks sind untereinander definiert. Das Verhältnis des Schenkels gegenüber einem der spitzen Winkel zur Hypotenuse wird Sinus genannt angegebenen Winkel. IN gegebenes Dreieck sinCAB=a/c. Der Kosinus ist das Verhältnis zur Hypotenuse des benachbarten Schenkels, d. h. cosCAB=b/c. Die inversen Beziehungen heißen Sekante und Kosekans.

Die Sekante dieses Winkels erhält man, indem man die Hypotenuse durch den benachbarten Schenkel dividiert, d. h. secCAB = c/b. Das Ergebnis ist der Kehrwert des Kosinus, das heißt, es kann mit der Formel secCAB=1/cosSAB ausgedrückt werden.
Der Kosekans ist gleich dem Quotienten der Hypotenuse dividiert durch die Gegenkathete und ist der Kehrwert des Sinus. Sie kann mit der Formel cosecCAB=1/sinCAB berechnet werden

Beide Schenkel sind miteinander und durch einen Kotangens verbunden. In diesem Fall ist der Tangens das Verhältnis der Seite a zur Seite b, also der gegenüberliegenden Seite zur benachbarten Seite. Diese Beziehung kann durch die Formel tgCAB=a/b ausgedrückt werden. Dementsprechend ist das umgekehrte Verhältnis der Kotangens: ctgCAB=b/a.

Das Verhältnis zwischen der Größe der Hypotenuse und beider Beine wurde vom antiken griechischen Pythagoras bestimmt. Der Satz und sein Name werden immer noch verwendet. Es besagt, dass das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Katheten ist, also c2 = a2 + b2. Dementsprechend entspricht jedes Bein der Quadratwurzel der Differenz zwischen den Quadraten der Hypotenuse und dem anderen Bein. Diese Formel kann als b=√(c2-a2) geschrieben werden.

Die Beinlänge lässt sich auch durch die Ihnen bekannten Zusammenhänge ausdrücken. Nach den Sätzen von Sinus und Cosinus ist ein Bein gleich dem Produkt aus der Hypotenuse und einer dieser Funktionen. Es kann als und oder Kotangens ausgedrückt werden. Bein a lässt sich beispielsweise mit der Formel a = b*tan CAB ermitteln. Genauso wird abhängig von der gegebenen Tangente bzw. der zweite Schenkel bestimmt.

Der Begriff „Kathet“ wird auch in der Architektur verwendet. Es wird auf das ionische Kapitell aufgetragen und verläuft durch die Mitte seines Rückens. Das heißt, in diesem Fall steht dieser Term senkrecht zu einer gegebenen Linie.

In der Schweißtechnik gibt es einen „Kehlnahtschenkel“. Wie in anderen Fällen ist dies die kürzeste Entfernung. Hier handelt es sich um den Spalt zwischen einem der Teile, der mit dem Rand der Naht auf der Oberfläche des anderen Teils verschweißt wird.

Video zum Thema

Quellen:

• Was sind Bein und Hypotenuse im Jahr 2019?

Geometrie ist keine einfache Wissenschaft. Sie verlangt von sich selbst besondere Aufmerksamkeit und Kenntnis exakter Formeln. Diese Art von Mathematik kam zu uns Antikes Griechenland und auch nach mehreren tausend Jahren verliert es nicht an Aktualität. Denken Sie nicht umsonst, dass dies ein nutzloses Thema ist, das die Köpfe von Schülern und Schülern stört. Tatsächlich ist Geometrie in vielen Lebensbereichen anwendbar. Ohne sie können keine Kenntnisse der Geometrie aufgebaut werden architektonische Struktur, Autos werden nicht geschaffen, Raumschiffe und Flugzeuge. Komplexe und nicht sehr komplexe Straßenkreuzungen und Spurrillen – all dies erfordert geometrische Berechnungen. Ja, selbst manchmal können Sie in Ihrem Zimmer keine Reparaturen durchführen, ohne grundlegende Formeln zu kennen. Unterschätzen Sie also nicht die Bedeutung dieses Themas. Wir studieren die gängigsten Formeln, die wir in vielen Lösungen in der Schule verwenden müssen. Eine davon besteht darin, die Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck zu finden. Um dies zu verstehen, lesen Sie unten.

Bevor wir mit dem Üben beginnen, beginnen wir mit den Grundlagen und definieren, was die Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck ist.

Die Hypotenuse ist eine der Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck, die dem 90-Grad-Winkel (rechter Winkel) gegenüberliegt und immer die längste ist.

Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Länge der gewünschten Hypotenuse in einem gegebenen rechtwinkligen Dreieck zu ermitteln.

Für den Fall, dass uns die Beine bereits bekannt sind, verwenden wir den Satz des Pythagoras, bei dem wir die Summe der Quadrate zweier Beine addieren, die gleich dem Quadrat der Hypotenuse ist.

a und b sind Beine, c ist die Hypotenuse.

In unserem Fall lautet die Formel für ein rechtwinkliges Dreieck dementsprechend wie folgt:

Wenn wir die bekannten Anzahlen der Beine a und b einsetzen, sei es a=3 und b=4, dann c=√32+42, dann erhalten wir c=√25, c=5

Wenn wir nur die Länge eines Beins kennen, kann die Formel umgewandelt werden, um die Länge des zweiten zu ermitteln. Es sieht aus wie das:

Wenn wir gemäß den Bedingungen des Problems das Bein A und die Hypotenuse C kennen, können wir den rechten Winkel des Dreiecks berechnen, nennen wir ihn α.

Dazu verwenden wir die Formel:

Der zweite Winkel, den wir berechnen müssen, sei β. Wenn man davon ausgeht, dass wir die Summe der Winkel eines Dreiecks kennen, die 180° beträgt, dann gilt: β= 180°-90°-α

Wenn wir die Werte der Beine kennen, können wir die Formel verwenden, um den Wert des spitzen Winkels des Dreiecks zu ermitteln:

Abhängig von den bekannten allgemein akzeptierten Werten können die Seiten eines Rechtecks ​​​​mit vielen verschiedenen Formeln ermittelt werden. Hier sind einige davon:

Bei der Lösung von Problemen beim Finden von Unbekannten in einem rechtwinkligen Dreieck ist es sehr wichtig, sich auf die bereits bekannten Werte zu konzentrieren und diese auf dieser Grundlage in die gewünschte Formel einzusetzen. Es wird schwierig sein, sie sich sofort zu merken. Wir empfehlen Ihnen daher, einen kleinen handschriftlichen Hinweis zu verfassen und ihn in Ihr Notizbuch einzufügen.

Wie Sie sehen, können Sie es leicht herausfinden, wenn Sie sich mit allen Feinheiten dieser Formel befassen. Wir empfehlen, mehrere Probleme anhand dieser Formel zu lösen. Nachdem Sie Ihr Ergebnis gesehen haben, wird Ihnen klar, ob Sie dieses Thema verstanden haben oder nicht. Versuchen Sie, das Material nicht auswendig zu lernen, sondern sich damit zu befassen, es wird viel nützlicher sein. Auswendig gelerntes Material ist nach dem ersten Test vergessen, und Sie werden dieser Formel ziemlich oft begegnen, also verstehen Sie sie zuerst und merken Sie sie sich dann. Wenn diese Empfehlungen nicht gegeben werden positiver Effekt, das heißt, es ist sinnvoll, zusätzliche Kurse zu diesem Thema zu belegen. Und denken Sie daran: Lehren ist Licht, nicht Lehren ist Dunkelheit!

Nach dem Studium eines Themas über rechtwinklige Dreiecke vergessen Studierende oft alle Informationen darüber. Einschließlich der Frage, wie man die Hypotenuse findet, ganz zu schweigen davon, was sie ist.

Und vergebens. Denn in Zukunft stellt sich heraus, dass die Diagonale des Rechtecks ​​genau diese Hypotenuse ist, und sie muss gefunden werden. Oder der Durchmesser eines Kreises fällt mit der größten Seite eines Dreiecks zusammen, dessen einer Winkel recht ist. Und ohne dieses Wissen ist es unmöglich, es zu finden.

Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Hypotenuse eines Dreiecks zu finden. Die Wahl der Methode hängt vom Ausgangsdatensatz im Mengenproblem ab.

Methode Nummer 1: Beide Seiten sind gegeben

Dies ist die einprägsamste Methode, da sie den Satz des Pythagoras verwendet. Nur manchmal vergessen Schüler, dass diese Formel verwendet wird, um das Quadrat der Hypotenuse zu ermitteln. Das heißt, um die Seite selbst zu finden, müssen Sie die Quadratwurzel ziehen. Daher sieht die Formel für die Hypotenuse, die normalerweise mit dem Buchstaben „c“ bezeichnet wird, wie folgt aus:

c = √ (a 2 + b 2), wobei die Buchstaben „a“ und „b“ beide Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks darstellen.

Methode Nummer 2: Das Bein und der angrenzende Winkel sind bekannt

Um zu lernen, wie man die Hypotenuse findet, müssen Sie sich trigonometrische Funktionen merken. Nämlich Kosinus. Der Einfachheit halber gehen wir davon aus, dass das Bein „a“ und der daran angrenzende Winkel α angegeben sind.

Jetzt müssen wir uns daran erinnern, dass der Kosinus des Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks gleich dem Verhältnis der beiden Seiten ist. Der Zähler enthält den Wert des Beins und der Nenner enthält die Hypotenuse. Daraus folgt, dass letzteres nach folgender Formel berechnet werden kann:

c = a / cos α.

Methode Nummer 3: Gegeben sei ein Bein und ein Winkel, der ihm gegenüberliegt

Um in den Formeln nicht durcheinander zu geraten, führen wir die Bezeichnung für diesen Winkel ein – β, und belassen die Seite bei demselben „a“. In diesem Fall benötigen Sie eine weitere trigonometrische Funktion – den Sinus.

Wie im vorherigen Beispiel ist der Sinus gleich dem Verhältnis des Beins zur Hypotenuse. Die Formel für diese Methode sieht folgendermaßen aus:

c = a / sin β.

Um bei trigonometrischen Funktionen nicht verwirrt zu werden, können Sie sich eine einfache Gedächtnisstütze merken: Wenn es sich bei der Aufgabe um pr handelt Ö entgegengesetzten Winkel, dann müssen Sie es mit verwenden Und Nun, wenn - oh Pr Und hinlegen, dann zu Ö Sinus. Achten Sie auf die ersten Vokale in Schlüsselwörter. Sie bilden Paare o-ich oder und über.

Methode Nummer 4: entlang des Radius des umschriebenen Kreises

Um nun herauszufinden, wie man die Hypotenuse findet, müssen Sie sich die Eigenschaft des Kreises merken, der ein rechtwinkliges Dreieck umschreibt. Es lautet wie folgt. Der Mittelpunkt des Kreises fällt mit der Mitte der Hypotenuse zusammen. Anders ausgedrückt: Die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich der Diagonale des Kreises. Das heißt, der doppelte Radius. Die Formel für dieses Problem sieht folgendermaßen aus:

c = 2 * r, wobei der Buchstabe r den bekannten Radius bezeichnet.

Das ist alles mögliche Wege wie man die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks findet. Für jede spezifische Aufgabe müssen Sie die Methode verwenden, die für den Datensatz am besten geeignet ist.

Beispielaufgabe Nr. 1

Bedingung: In einem rechtwinkligen Dreieck werden die Mediane auf beiden Seiten eingezeichnet. Die Länge des auf der größeren Seite gezeichneten beträgt √52. Der andere Median hat eine Länge von √73. Sie müssen die Hypotenuse berechnen.

Da die Mediane in einem Dreieck gezeichnet werden, teilen sie die Schenkel in zwei gleiche Segmente. Um das Denken zu erleichtern und herauszufinden, wie man die Hypotenuse findet, müssen Sie mehrere Notationen einführen. Beide Hälften des größeren Beins seien mit dem Buchstaben „x“ und die andere mit „y“ gekennzeichnet.

Jetzt müssen wir zwei rechtwinklige Dreiecke betrachten, deren Hypotenusen die bekannten Mediane sind. Für sie müssen Sie die Formel des Satzes des Pythagoras zweimal schreiben:

(2y) 2 + x 2 = (√52) 2

(y) 2 + (2x) 2 = (√73) 2.

Diese beiden Gleichungen bilden ein System mit zwei Unbekannten. Wenn man sie gelöst hat, wird es leicht sein, die Schenkel des ursprünglichen Dreiecks und daraus die Hypotenuse zu finden.

Zuerst müssen Sie alles auf die zweite Potenz erhöhen. Es stellt sich heraus:

4y 2 + x 2 = 52

y 2 + 4x 2 = 73.

Aus der zweiten Gleichung geht hervor, dass y 2 = 73 - 4x 2. Dieser Ausdruck muss in den ersten eingesetzt und „x“ berechnet werden:

4(73 - 4x 2) + x 2 = 52.

Nach der Konvertierung:

292 - 16 x 2 + x 2 = 52 oder 15x 2 = 240.

Aus dem letzten Ausdruck x = √16 = 4.

Jetzt können Sie „y“ berechnen:

y 2 = 73 - 4(4) 2 = 73 - 64 = 9.

Je nach den Bedingungen stellt sich heraus, dass die Schenkel des ursprünglichen Dreiecks gleich 6 und 8 sind. Dies bedeutet, dass Sie die Formel aus der ersten Methode verwenden und die Hypotenuse ermitteln können:

√(6 2 + 8 2) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Antwort: Hypotenuse gleich 10.

Beispielaufgabe Nr. 2

Bedingung: Berechnen Sie die in einem Rechteck gezeichnete Diagonale mit einer kürzeren Seite gleich 41. Wenn bekannt ist, dass sie den Winkel in diejenigen teilt, die im Verhältnis 2 zu 1 stehen.

Bei diesem Problem ist die Diagonale eines Rechtecks ​​die längste Seite in einem 90°-Dreieck. Es kommt also darauf an, wie man die Hypotenuse findet.

Das Problem betrifft die Winkel. Das bedeutet, dass Sie eine der Formeln verwenden müssen, die trigonometrische Funktionen enthält. Zuerst müssen Sie die Größe eines der spitzen Winkel bestimmen.

Der kleinere der in der Bedingung besprochenen Winkel sei mit α bezeichnet. Dann ist der rechte Winkel, der durch die Diagonale geteilt wird, gleich 3α. Die mathematische Notation hierfür sieht so aus:

Aus dieser Gleichung lässt sich α leicht bestimmen. Es wird 30° betragen. Außerdem liegt es der kleineren Seite des Rechtecks ​​gegenüber. Daher benötigen Sie die in Methode Nr. 3 beschriebene Formel.

Die Hypotenuse ist gleich dem Verhältnis des Schenkels zum Sinus des entgegengesetzten Winkels, das heißt:

41 / sin 30º = 41 / (0,5) = 82.

Antwort: Die Hypotenuse ist 82.