Formel zur Bestimmung der Hypotenuse eines Dreiecks. So finden Sie Beine, wenn die Hypotenuse bekannt ist

Formel zur Bestimmung der Hypotenuse eines Dreiecks. So finden Sie Beine, wenn die Hypotenuse bekannt ist
Formel zur Bestimmung der Hypotenuse eines Dreiecks. So finden Sie Beine, wenn die Hypotenuse bekannt ist
14.10.2019

Es gibt drei Möglichkeiten, dieses Problem zu lösen. Die erste ist, wenn in den Bedingungen des Problems vorausgesetzt wird, dass die Schenkel gleich sind (tatsächlich haben wir ein rechtwinkliges gleichschenkliges Dreieck). Die zweite Möglichkeit besteht darin, dass noch ein Winkel angegeben ist (mit Ausnahme des 45 %-Winkels, dann haben wir das gleiche gleichschenklige Dreieck und kehren zur ersten Option zurück). Und der dritte - wenn eines der Beine bekannt ist. Betrachten wir diese Optionen genauer.

So finden Sie gleiche Beine mit bekannter Hypotenuse

  • das erste Bein (bezeichnen wir es mit dem Buchstaben „a“) ​​ist gleich dem zweiten Bein ((bezeichnen wir es mit dem Buchstaben „b“): a=b;
  • Beingröße;

In dieser Version basiert die Lösung des Problems auf der Verwendung des Satzes des Pythagoras. Es wird auf rechtwinklige Dreiecke angewendet und seine Hauptversion lautet wie folgt: „Das Quadrat der Hypotenuse ist gleich der Summe der Quadrate der Schenkel.“ Da unsere Beine gleich sind, können wir beide Beine mit demselben Symbol bezeichnen: a=b, was a=a bedeutet.

  1. Wir ersetzen unsere Symbole in den Satz (unter Berücksichtigung des oben Gesagten):
    c^2=a^2+a^2,
  2. Als nächstes vereinfachen wir die Formel so weit wie möglich:
    с^2=2*(a^2) - Gruppe,
    с=√2*а - wir ziehen beide Seiten der Gleichung zur Quadratwurzel,
    a=c/√2 – wir nehmen heraus, wonach wir suchen.
  3. Lasst uns ersetzen gegebener Wert Hypotenuse und wir erhalten die Lösung:
    a=x/√2

So finden Sie Beine bei bekannter Hypotenuse und bekanntem Winkel

  • die Hypotenuse (bezeichnen wir sie mit dem Buchstaben „c“) ist gleich x cm: c=x;
  • Winkel β gleich q: β=q;
  • Beingröße;

Um dieses Problem zu lösen, müssen Sie verwenden trigonometrische Funktionen. Die beliebtesten zwei davon sind:

  • Sinusfunktion – der Sinus des gewünschten Winkels ist gleich dem Verhältnis der gegenüberliegenden Seite zur Hypotenuse;
  • Kosinusfunktion – der Kosinus des gewünschten Winkels ist gleich dem Verhältnis des benachbarten Schenkels zur Hypotenuse;

Sie können jedes verwenden. Ich werde ein Beispiel anhand des ersten geben. Die Beine seien mit den Symbolen „a“ (neben der Ecke) und „b“ (gegenüber der Ecke) gekennzeichnet. Dementsprechend liegt unser Winkel zwischen dem Schenkel „a“ und der Hypotenuse.

  1. Wir setzen die ausgewählten Symbole in die Formel ein:
    sinβ = b/c
  2. Wir leiten das Bein ab:
    b=c*sinβ
  3. Wir ersetzen unser Gegebenes und wir haben ein Bein.
    b=c*sinq

Das zweite Bein kann mit der zweiten trigonometrischen Funktion ermittelt werden, oder gehen Sie zur dritten Option.

So finden Sie eine Seite, wenn die Hypotenuse und die andere Seite bekannt sind

  • die Hypotenuse (bezeichnen wir sie mit dem Buchstaben „c“) ist gleich x cm: c=x;
  • Bein (bezeichnen wir es mit dem Buchstaben „b“) ist gleich y cm: b=y;
  • die Größe des anderen Beins (bezeichnen wir es mit dem Buchstaben „a“);

In dieser Version besteht die Lösung des Problems wie in der ersten darin, den Satz des Pythagoras zu verwenden.

  1. Wir setzen unsere Symbole in den Satz ein:
    c^2=a^2+b^2,
  2. Wir nehmen das notwendige Bein heraus:
    a^2=c^2-b^2
  3. Wir ziehen beide Seiten der Gleichung zur Quadratwurzel:
    a=√(c^2-b^2)
  4. Wir ersetzen diese Werte und haben die Lösung:
    a=√(x^2-y^2)

Nach dem Studium eines Themas über rechtwinklige Dreiecke vergessen Studierende oft alle Informationen darüber. Einschließlich der Frage, wie man die Hypotenuse findet, ganz zu schweigen davon, was sie ist.

Und vergebens. Denn in Zukunft stellt sich heraus, dass die Diagonale des Rechtecks ​​genau diese Hypotenuse ist, und sie muss gefunden werden. Oder der Durchmesser des Kreises stimmt mit der größten Seite eines Dreiecks überein, dessen einer Winkel recht ist. Und ohne dieses Wissen ist es unmöglich, es zu finden.

Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Hypotenuse eines Dreiecks zu finden. Die Wahl der Methode hängt vom Ausgangsdatensatz im Mengenproblem ab.

Methode Nummer 1: Beide Seiten sind gegeben

Dies ist die einprägsamste Methode, da sie den Satz des Pythagoras verwendet. Nur manchmal vergessen Schüler, dass diese Formel verwendet wird, um das Quadrat der Hypotenuse zu ermitteln. Das heißt, um die Seite selbst zu finden, müssen Sie die Quadratwurzel ziehen. Daher sieht die Formel für die Hypotenuse, die normalerweise mit dem Buchstaben „c“ bezeichnet wird, wie folgt aus:

c = √ (a 2 + b 2), wobei die Buchstaben „a“ und „b“ beide Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks darstellen.

Methode Nummer 2: Das Bein und der angrenzende Winkel sind bekannt

Um zu lernen, wie man die Hypotenuse findet, müssen Sie sich trigonometrische Funktionen merken. Nämlich Kosinus. Der Einfachheit halber gehen wir davon aus, dass das Bein „a“ und der daran angrenzende Winkel α angegeben sind.

Jetzt müssen wir uns an den Kosinus des Winkels erinnern rechtwinkliges Dreieck gleich dem Verhältnis der beiden Seiten. Der Zähler enthält den Wert des Beins und der Nenner enthält die Hypotenuse. Daraus folgt, dass letzteres nach folgender Formel berechnet werden kann:

c = a / cos α.

Methode Nummer 3: Gegeben sei ein Bein und ein Winkel, der ihm gegenüberliegt

Um in den Formeln nicht durcheinander zu geraten, führen wir die Bezeichnung für diesen Winkel ein – β, und belassen die Seite bei demselben „a“. In diesem Fall benötigen Sie eine weitere trigonometrische Funktion – den Sinus.

Wie im vorherigen Beispiel ist der Sinus gleich dem Verhältnis des Beins zur Hypotenuse. Die Formel für diese Methode sieht folgendermaßen aus:

c = a / sin β.

Um bei trigonometrischen Funktionen nicht verwirrt zu werden, können Sie sich eine einfache Gedächtnisstütze merken: Wenn es sich bei der Aufgabe um pr handelt Ö entgegengesetzten Winkel, dann müssen Sie es mit verwenden Und Nun, wenn - oh Pr Und hinlegen, dann zu Ö Sinus. Achten Sie auf die ersten Vokale in Schlüsselwörter. Sie bilden Paare o-ich oder und über.

Methode Nummer 4: entlang des Radius des umschriebenen Kreises

Um nun herauszufinden, wie man die Hypotenuse findet, müssen Sie sich die Eigenschaft eines Kreises merken, der um ein rechtwinkliges Dreieck herum beschrieben wird. Es lautet wie folgt. Der Mittelpunkt des Kreises fällt mit der Mitte der Hypotenuse zusammen. Anders ausgedrückt: Die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich der Diagonale des Kreises. Das heißt, der doppelte Radius. Die Formel für dieses Problem sieht folgendermaßen aus:

c = 2 * r, wobei der Buchstabe r den bekannten Radius bezeichnet.

Das ist alles mögliche Wege wie man die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks findet. Für jede spezifische Aufgabe müssen Sie die Methode verwenden, die für den Datensatz am besten geeignet ist.

Beispielaufgabe Nr. 1

Bedingung: In einem rechtwinkligen Dreieck werden die Mediane auf beiden Seiten eingezeichnet. Die Länge des auf der größeren Seite gezeichneten beträgt √52. Der andere Median hat eine Länge von √73. Sie müssen die Hypotenuse berechnen.

Da die Mediane in einem Dreieck gezeichnet werden, teilen sie die Schenkel in zwei gleiche Segmente. Um das Denken zu erleichtern und herauszufinden, wie man die Hypotenuse findet, müssen Sie mehrere Notationen einführen. Beide Hälften des größeren Beins seien mit dem Buchstaben „x“ und die andere mit „y“ gekennzeichnet.

Jetzt müssen wir zwei rechtwinklige Dreiecke betrachten, deren Hypotenusen die bekannten Mediane sind. Für sie müssen Sie die Formel des Satzes des Pythagoras zweimal schreiben:

(2y) 2 + x 2 = (√52) 2

(y) 2 + (2x) 2 = (√73) 2.

Diese beiden Gleichungen bilden ein System mit zwei Unbekannten. Wenn man sie gelöst hat, wird es leicht sein, die Schenkel des ursprünglichen Dreiecks und daraus die Hypotenuse zu finden.

Zuerst müssen Sie alles auf die zweite Potenz erhöhen. Es stellt sich heraus:

4y 2 + x 2 = 52

y 2 + 4x 2 = 73.

Aus der zweiten Gleichung geht hervor, dass y 2 = 73 - 4x 2. Dieser Ausdruck muss in den ersten eingesetzt und „x“ berechnet werden:

4(73 - 4x 2) + x 2 = 52.

Nach der Konvertierung:

292 - 16 x 2 + x 2 = 52 oder 15x 2 = 240.

Aus dem letzten Ausdruck x = √16 = 4.

Jetzt können Sie „y“ berechnen:

y 2 = 73 - 4(4) 2 = 73 - 64 = 9.

Je nach den Bedingungen stellt sich heraus, dass die Schenkel des ursprünglichen Dreiecks gleich 6 und 8 sind. Dies bedeutet, dass Sie die Formel aus der ersten Methode verwenden und die Hypotenuse ermitteln können:

√(6 2 + 8 2) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Antwort: Hypotenuse gleich 10.

Beispielaufgabe Nr. 2

Bedingung: Berechnen Sie die in einem Rechteck gezeichnete Diagonale mit einer kürzeren Seite gleich 41. Wenn bekannt ist, dass sie den Winkel in diejenigen teilt, die im Verhältnis 2 zu 1 stehen.

Bei diesem Problem ist die Diagonale eines Rechtecks ​​die längste Seite in einem 90°-Dreieck. Es kommt also darauf an, wie man die Hypotenuse findet.

Das Problem betrifft die Winkel. Das bedeutet, dass Sie eine der Formeln verwenden müssen, die trigonometrische Funktionen enthält. Und zuerst müssen Sie den Wert eines davon bestimmen scharfe Kanten.

Der kleinere der in der Bedingung besprochenen Winkel sei mit α bezeichnet. Dann ist der rechte Winkel, der durch die Diagonale geteilt wird, gleich 3α. Die mathematische Notation hierfür sieht so aus:

Aus dieser Gleichung lässt sich α leicht bestimmen. Es wird 30° betragen. Außerdem liegt es der kleineren Seite des Rechtecks ​​gegenüber. Daher benötigen Sie die in Methode Nr. 3 beschriebene Formel.

Die Hypotenuse ist gleich dem Verhältnis des Schenkels zum Sinus des entgegengesetzten Winkels, das heißt:

41 / sin 30º = 41 / (0,5) = 82.

Antwort: Die Hypotenuse ist 82.

„Und sie sagen uns, dass das Bein kürzer ist als die Hypotenuse ...“ Diese Zeilen aus dem berühmten Lied, das im Spielfilm „Die Abenteuer der Elektronik“ zu hören war, sind in der Geometrie Euklids tatsächlich korrekt. Schließlich sind Beine zwei Seiten, die einen Winkel bilden, dessen Gradmaß 90 Grad beträgt. Und die Hypotenuse ist die längste „gestreckte“ Seite, die zwei senkrecht zueinander stehende Beine verbindet und dem rechten Winkel gegenüberliegt. Aus diesem Grund ist es nur in einem rechtwinkligen Dreieck möglich, die Hypotenuse an den Beinen zu finden, und wenn das Bein länger als die Hypotenuse wäre, würde ein solches Dreieck nicht existieren.

So finden Sie die Hypotenuse mit dem Satz des Pythagoras, wenn beide Seiten bekannt sind

Der Satz besagt, dass das Quadrat der Hypotenuse nichts anderes ist als die Summe der Quadrate der Schenkel: x^2+y^2=z^2, wobei:

  • x – Hinspiel;
  • y – Rückspiel;
  • z – Hypotenuse.

Aber Sie müssen nur die Hypotenuse finden und nicht ihr Quadrat. Extrahieren Sie dazu die Wurzel.

Algorithmus zum Finden der Hypotenuse unter Verwendung von zwei bekannte Seiten:

  • Geben Sie selbst an, wo sich die Beine und die Hypotenuse befinden.
  • Richten Sie das erste Bein aus.
  • Richten Sie das zweite Bein aus.
  • Addieren Sie die resultierenden Werte.
  • Extrahieren Sie die Wurzel der in Schritt 4 erhaltenen Zahl.

So finden Sie die Hypotenuse durch den Sinus, wenn das Bein und der spitze Winkel gegenüber ihm bekannt sind

Das Verhältnis eines bekannten Schenkels zu einem ihm gegenüberliegenden spitzen Winkel ist gleich dem Wert der Hypotenuse: a/sin A = c. Dies ist eine Konsequenz aus der Definition von Sinus:

Das Verhältnis der gegenüberliegenden Seite zur Hypotenuse: sin A = a/c, wobei:

  • a – Hinspiel;
  • A – spitzer Winkel gegenüber dem Bein;
  • c- Hypotenuse.

Algorithmus zum Finden der Hypotenuse mithilfe des Sinussatzes:

  • Geben Sie für sich selbst ein bekanntes Bein und den dazu entgegengesetzten Winkel an.
  • Teilen Sie das Bein in die gegenüberliegende Ecke.
  • Holen Sie sich die Hypotenuse.

So finden Sie die Hypotenuse durch den Kosinus, wenn das Bein und der angrenzende spitze Winkel bekannt sind

Das Verhältnis des bekannten Schenkels zum spitzen Nachbarwinkel ist gleich dem Wert der Hypotenuse a/cos B = c. Dies ist eine Folge der Definition von Kosinus: das Verhältnis des benachbarten Schenkels zur Hypotenuse: cos B= a/c, wobei:

  • a – Rückspiel;
  • B – spitzer Winkel neben dem zweiten Bein;
  • c- Hypotenuse.

Algorithmus zum Finden der Hypotenuse mithilfe des Kosinussatzes:

  • Geben Sie für sich selbst ein bekanntes Bein und einen angrenzenden Winkel an.
  • Teilen Sie das Bein durch den angrenzenden Winkel.
  • Holen Sie sich die Hypotenuse.

So finden Sie die Hypotenuse mithilfe des ägyptischen Dreiecks

Das „Ägyptische Dreieck“ ist ein Zahlentrio, dessen Kenntnis Sie bei der Suche nach der Hypotenuse oder sogar einem anderen unbekannten Bein Zeit sparen kann. Das Dreieck hat diesen Namen, weil in Ägypten einige Zahlen die Götter symbolisierten und die Grundlage für den Bau von Pyramiden und anderen verschiedenen Bauwerken bildeten.

  • Die ersten drei Zahlen: 3-4-5. Die Schenkel sind hier gleich 3 und 4. Dann ist die Hypotenuse definitiv gleich 5. Überprüfen Sie: (9+16=25).
  • Zweites Zahlentripel: 5-12-13. Auch hier sind die Beine gleich 5 und 12. Daher ist die Hypotenuse gleich 13. Überprüfen Sie: (25+144=169).

Solche Zahlen helfen auch dann, wenn sie durch eine beliebige Zahl dividiert oder multipliziert werden. Wenn die Beine 3 und 4 sind, ist die Hypotenuse gleich 5. Wenn Sie diese Zahlen mit 2 multiplizieren, wird auch die Hypotenuse mit 2 multipliziert. Beispielsweise passt auch das Tripel der Zahlen 6-8-10 den Satz des Pythagoras und Sie müssen die Hypotenuse nicht berechnen, wenn Sie sich an diese Zahlentripel erinnern.



Somit gibt es vier Möglichkeiten, die Hypotenuse mithilfe der bekannten Beine zu finden. Am meisten Die beste Option ist der Satz des Pythagoras, aber es würde auch nicht schaden, sich an die Zahlentripel zu erinnern, aus denen das „ägyptische Dreieck“ besteht, denn man kann viel Zeit sparen, wenn man auf solche Werte stößt.

Es gibt viele Arten von Dreiecken: positive, gleichschenklige, spitze und so weiter. Sie alle haben Eigenschaften, die nur für sie klassisch sind, und jede hat ihre eigenen Regeln zum Ermitteln von Größen, sei es eine Seite oder ein Winkel an der Basis. Aber von jeder Sorte davon geometrische Formen Ein Dreieck mit einem rechten Winkel kann in eine separate Gruppe unterteilt werden.

Du wirst brauchen

  • Leeres Blatt, Bleistift und Lineal für eine schematische Darstellung eines Dreiecks.

Anweisungen

1. Ein Dreieck heißt rechteckig, wenn einer seiner Winkel 90 Grad beträgt. Es besteht aus 2 Beinen und einer Hypotenuse. Die Hypotenuse ist die längste Seite dieses Dreiecks. Sie lügt trotzdem rechter Winkel. Die Beine werden dementsprechend als kleinere Seiten bezeichnet. Sie können entweder gleich sein oder unterschiedliche Größen haben. Gleichschenkel bedeutet, dass man mit einem gleichschenkligen rechtwinkligen Dreieck arbeitet. Das Schöne daran ist, dass es die Eigenschaften zweier Formen vereint: rechteckig und gleichschenkligen Dreiecks. Sind die Schenkel ungleich, dann ist das Dreieck beliebig und gehorcht dem Grundgesetz: Je größer der Winkel, desto größer rollt das ihm gegenüber liegende.

2. Es gibt verschiedene Methoden, um die Hypotenuse anhand von Bein und Winkel zu ermitteln. Bevor Sie jedoch eines davon verwenden, sollten Sie feststellen, welches Bein und welcher Winkel bekannt sind. Wenn ein Winkel und ein dazu benachbarter Schenkel angegeben sind, lässt sich die Hypotenuse anhand des Kosinus des Winkels leichter erkennen. Der Kosinus eines spitzen Winkels (cos a) in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels zur Hypotenuse. Daraus folgt, dass die Hypotenuse (c) gleich dem Verhältnis des benachbarten Schenkels (b) zum Kosinus des Winkels a (cos a) ist. Dies kann folgendermaßen geschrieben werden: cos a=b/c => c=b/cos a.

3. Sind ein Winkel und ein Gegenschenkel gegeben, dann sollte mit dem Sinus gearbeitet werden. Der Sinus eines spitzen Winkels (sin a) in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis der gegenüberliegenden Seite (a) zur Hypotenuse (c). Die These hier ist die gleiche wie im vorherigen Beispiel, nur wird anstelle der Kosinusfunktion ein Sinus genommen. sin a=a/c => c=a/sin a.

4. Sie können auch eine trigonometrische Funktion wie Tangens verwenden. Allerdings wird es etwas schwieriger, den gewünschten Wert zu finden. Der Tangens eines spitzen Winkels (tg a) in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels (a) zum benachbarten Schenkel (b). Nachdem Sie beide Schenkel entdeckt haben, wenden Sie den Satz des Pythagoras an (das Quadrat der Hypotenuse ist gleich der Summe der Quadrate der Schenkel) und Sie erhalten die große Seite des Dreiecks.

Die Hypotenuse ist die Seite in einem rechtwinkligen Dreieck, die dem 90-Grad-Winkel gegenüberliegt. Um seine Länge zu berechnen, genügt es, die Länge eines der Schenkel und die Größe eines der spitzen Winkel des Dreiecks zu kennen.

Anweisungen

1. Bei einem führenden Schenkel und einem spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks kann die Größe der Hypotenuse gleich dem Verhältnis des Schenkels zum Kosinus/Sinus dieses Winkels sein, wenn dieser Winkel ihm entgegengesetzt/angrenzend ist: h = C1 ( oder C2)/sin?; h = C1 (oder C2)/cos?. Beispiel: Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit einer Hypotenuse AB und einem rechten Winkel C. Sei der Winkel B 60 Grad und der Winkel A 30 Grad Die Länge des Beins BC beträgt 8 cm. Wir müssen die Länge der Hypotenuse AB ermitteln. Dazu können Sie eine der oben vorgeschlagenen Methoden verwenden: AB = BC/cos60 = 8 cm AB = BC/sin30 = 8 cm.

Wort " Bein„kommt von den griechischen Wörtern „senkrecht“ oder „lot“ – dies erklärt, warum beide Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, die seinen Neunzig-Grad-Winkel bilden, so benannt wurden. Finden Sie jeweils die Länge Bein Es ist nicht schwierig, wenn Sie den Wert des angrenzenden Winkels und einen anderen Parameter kennen, da in diesem Fall tatsächlich die Werte aller drei Winkel bekannt werden.

Anweisungen

1. Wenn zusätzlich zum Wert des angrenzenden Winkels (β), die Länge des zweiten Bein a (b), dann die Länge Bein und (a) kann als Quotient aus der Länge des berühmten definiert werden Bein und für den Tangens des gewünschten Winkels: a=b/tg(β). Dies ergibt sich aus der Definition dieser trigonometrischen Funktion. Auf den Tangens kann man verzichten, wenn man den Sinussatz verwendet. Daraus folgt, dass das Verhältnis der Länge der gewünschten Seite zum Sinus des entgegengesetzten Winkels gleich dem Verhältnis der Länge des gewünschten Winkels ist Bein und zum Sinus des berühmten Winkels. Im Gegensatz zu dem, was gewünscht wird Bein Der spitze Winkel y kann durch den berühmten Winkel als 180°-90°-β = 90°-β ausgedrückt werden, da die Summe aller Winkel eines Dreiecks 180° betragen muss, und nach der Definition eines rechtwinkligen Dreiecks einer davon Der Winkel beträgt 90°. Damit ist die gewünschte Länge gemeint Bein und kann mit der Formel a=sin(90°-β)∗b/sin(β) berechnet werden.

2. Wenn der Wert des angrenzenden Winkels (β) und die Länge der Hypotenuse (c) bekannt sind, dann die Länge Bein und (a) kann als Produkt aus der Länge der Hypotenuse und dem Kosinus des berühmten Winkels berechnet werden: a=c∗cos(β). Dies ergibt sich aus der Definition des Kosinus als trigonometrische Funktion. Sie können aber wie im vorherigen Schritt den Sinussatz verwenden und dann die gewünschte Länge ermitteln Bein a ist gleich dem Produkt aus dem Sinus der Differenz zwischen 90° und dem Referenzwinkel und dem Verhältnis der Länge der Hypotenuse zum Sinus des rechten Winkels. Und da der Sinus von 90° gleich eins ist, kann die Formel wie folgt geschrieben werden: a=sin(90°-β)∗c.

3. Die eigentlichen Berechnungen können beispielsweise mit dem im Windows-Betriebssystem enthaltenen Software-Rechner durchgeführt werden. Um es zu starten, können Sie im Hauptmenü auf der Schaltfläche „Start“ den Eintrag „Ausführen“ auswählen, den Befehl „calc“ eingeben und auf die Schaltfläche „OK“ klicken. In der einfachsten Version der standardmäßig geöffneten Benutzeroberfläche dieses Programms sind keine trigonometrischen Funktionen verfügbar. Daher müssen Sie nach dem Start im Menü auf den Abschnitt „Ansicht“ klicken und die Zeile „Wissenschaftler“ oder „Ingenieur“ auswählen. (abhängig von der verwendeten Version Betriebssystem).

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Das Wort „kathet“ kam aus dem Griechischen ins Russische. In der genauen Übersetzung bedeutet es eine Lotlinie, also senkrecht zur Erdoberfläche. In der Mathematik sind die Schenkel die Seiten, die einen rechten Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks bilden. Die diesem Winkel gegenüberliegende Seite wird Hypotenuse genannt. Der Begriff „Bein“ wird auch in der Architektur und in der speziellen Schweißtechnik verwendet.


Zeichnen Sie ein rechtwinkliges Dreieck DIA. Beschriften Sie seine Beine mit a und b und seine Hypotenuse mit c. Alle Seiten und Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks sind durch bestimmte Beziehungen miteinander verbunden. Das Verhältnis des Schenkels gegenüber einem der spitzen Winkel zur Hypotenuse wird Sinus genannt angegebenen Winkel. IN gegebenes Dreieck sinCAB=a/c. Der Kosinus ist das Verhältnis zur Hypotenuse des benachbarten Schenkels, d. h. cosCAB=b/c. Die inversen Beziehungen werden Sekante und Kosekans genannt. Die Sekante eines gegebenen Winkels erhält man, indem man die Hypotenuse durch den benachbarten Schenkel dividiert, also secCAB = c/b. Das Ergebnis ist der Kehrwert des Kosinus, das heißt, es kann mit der Formel secCAB=1/cosSAB ausgedrückt werden. Der Kosekans ist gleich dem Quotienten der Hypotenuse dividiert durch die Gegenkathete und ist der Kehrwert des Sinus. Sie kann mit der Formel cosecCAB = 1/sinCAB berechnet werden. Beide Zweige sind durch Tangens und Kotangens miteinander verbunden. In diesem Fall ist der Tangens das Verhältnis der Seite a zur Seite b, also der gegenüberliegenden Seite zur benachbarten Seite. Diese Beziehung kann durch die Formel tgCAB=a/b ausgedrückt werden. Dementsprechend ist das umgekehrte Verhältnis der Kotangens: ctgCAB=b/a. Der Zusammenhang zwischen der Größe der Hypotenuse und beider Beine wurde vom antiken griechischen Mathematiker Pythagoras bestimmt. Der nach ihm benannte Satz wird bis heute von Menschen verwendet. Es besagt, dass das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Katheten ist, also c2 = a2 + b2. Dementsprechend ist jedes Bein gleich Quadratwurzel aus der Differenz der Quadrate der Hypotenuse und des anderen Schenkels. Diese Formel kann als b=?(c2-a2) geschrieben werden. Die Länge des Beins kann auch durch die bekannten Beziehungen ausgedrückt werden. Nach dem Sinus- und Kosinussatz ist ein Bein gleich dem Produkt aus der Hypotenuse und einer dieser Funktionen. Es kann auch durch Tangens oder Kotangens ausgedrückt werden. Das Bein a kann beispielsweise mit der Formel a = b*tan CAB ermittelt werden. In gleicher Weise wird je nach gegebenem Tangens bzw. Kotangens das 2. Bein bestimmt. In der Architektur wird auch der Begriff „Bein“ verwendet. Es wird in Bezug auf ein ionisches Kapitell verwendet und bezeichnet eine Lotlinie durch die Mitte seiner Rückseite. Das heißt, in diesem Fall bezeichnet dieser Begriff eine Senkrechte zu einer bestimmten Linie. In der speziellen Schweißtechnik gibt es den Begriff „Kehlnahtschenkel“. Wie in anderen Fällen ist dies die kürzeste Entfernung. Hier geht es um den Abstand zwischen einem der zu verschweißenden Teile und der Nahtgrenze, die sich auf der Oberfläche eines anderen Teils befindet.

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Beachten Sie!
Denken Sie bei der Arbeit mit dem Satz des Pythagoras daran, dass es sich um einen Grad handelt. Nachdem man die Summe der Quadrate der Beine ermittelt hat, muss man, um das Endergebnis zu erhalten, die Quadratwurzel ziehen.

Anweisungen

Ein Dreieck heißt rechtwinklig, wenn einer seiner Winkel 90 Grad beträgt. Es besteht aus zwei Beinen und einer Hypotenuse. Die Hypotenuse ist die längste Seite dieses Dreiecks. Es liegt gegen einen rechten Winkel. Die Beine werden dementsprechend als kleinere Seiten bezeichnet. Sie können entweder gleich sein oder unterschiedliche Größen haben. Beingleichheit ist das, was Sie mit einem rechtwinkligen Dreieck arbeiten. Das Schöne daran ist, dass es zwei Figuren vereint: ein rechtwinkliges Dreieck und ein gleichschenkliges Dreieck. Sind die Schenkel ungleich, dann ist das Dreieck beliebig und folgt dem Grundgesetz: Je größer der Winkel, desto mehr rollt das Gegenüber.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Hypotenuse anhand und nach dem Winkel zu ermitteln. Bevor Sie jedoch einen davon verwenden, sollten Sie feststellen, welcher Winkel bekannt ist. Wenn ein Winkel und eine dazu benachbarte Seite angegeben sind, ist es einfacher, die Hypotenuse mithilfe des Kosinus des Winkels zu finden. Der Kosinus eines spitzen Winkels (cos a) in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels zur Hypotenuse. Daraus folgt, dass die Hypotenuse (c) gleich dem Verhältnis des benachbarten Schenkels (b) zum Kosinus des Winkels a (cos a) ist. Dies kann folgendermaßen geschrieben werden: cos a=b/c => c=b/cos a.

Wenn ein Winkel und ein gegenüberliegendes Bein gegeben sind, dann sollte gearbeitet werden. Der Sinus eines spitzen Winkels (sin a) in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis der gegenüberliegenden Seite (a) zur Hypotenuse (c). Hier ist das Prinzip das gleiche wie im vorherigen Beispiel, nur wird anstelle der Kosinusfunktion der Sinus genommen. sin a=a/c => c=a/sin a.

Sie können auch eine trigonometrische Funktion verwenden, z. Das Finden des gewünschten Werts wird jedoch etwas komplizierter. Der Tangens eines spitzen Winkels (tg a) in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels (a) zum benachbarten Schenkel (b). Nachdem Sie beide Beine gefunden haben, wenden Sie den Satz des Pythagoras an (das Quadrat der Hypotenuse ist gleich der Summe der Quadrate der Beine) und Sie werden das größere finden.

beachten Sie

Denken Sie bei der Arbeit mit dem Satz des Pythagoras daran, dass es sich um einen Grad handelt. Nachdem Sie die Summe der Quadrate der Beine ermittelt haben, müssen Sie die Quadratwurzel ziehen, um die endgültige Antwort zu erhalten.

Quellen:

  • wie man das Bein und die Hypotenuse findet

Die Hypotenuse ist die Seite in einem rechtwinkligen Dreieck, die dem 90-Grad-Winkel gegenüberliegt. Um seine Länge zu berechnen, genügt es, die Länge eines der Schenkel und die Größe eines der spitzen Winkel des Dreiecks zu kennen.

Anweisungen

Bei einem bekannten und spitzen rechtwinkligen Winkel ist die Größe der Hypotenuse das Verhältnis des Beins zu / dieses Winkels, wenn dieser Winkel ihm gegenüber/angrenzend ist:

h = C1(oder C2)/sinα;

h = C1 (oder C2)/cosα.

Beispiel: Gegeben sei ABC mit Hypotenuse AB und C. Sei der Winkel B 60 Grad und der Winkel A 30 Grad. Die Länge der Hypotenuse AB beträgt. Dazu können Sie eine der oben vorgeschlagenen Methoden verwenden:

AB = BC/cos60 = 8 cm.

AB = BC/sin30 = 8 cm.

Wort " Bein„ kommt von den griechischen Wörtern „senkrecht“ oder „lotrecht“ – dies erklärt, warum beide Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, die seinen Neunzig-Grad-Winkel bilden, so genannt wurden. Finden Sie die Länge von einem von ihnen Bein ov ist nicht schwierig, wenn der Wert des angrenzenden Winkels und alle anderen Parameter bekannt sind, da in diesem Fall tatsächlich die Werte aller drei Winkel bekannt werden.

Anweisungen

Wenn zusätzlich zum Wert des angrenzenden Winkels (β), die Länge des zweiten Bein a (b), dann die Länge Bein und (a) kann als Quotient der Länge des Bekannten definiert werden Bein und bei einem bekannten Winkel: a=b/tg(β). Dies folgt aus der Definition dieser Trigonometrie. Auf den Tangens kann man verzichten, wenn man den Satz verwendet. Daraus folgt, dass die Länge des gewünschten zum Sinus des entgegengesetzten Winkels zum Verhältnis der Länge des Bekannten ist Bein und zum Sinus eines bekannten Winkels. Im Gegensatz zum Gewünschten Bein Der spitze Winkel y kann durch den bekannten Winkel als 180°-90°-β = 90°-β ausgedrückt werden, da die Summe aller Winkel eines Dreiecks 180° betragen muss und einer seiner Winkel 90° beträgt. Also die erforderliche Länge Bein und kann mit der Formel a=sin(90°-β)∗b/sin(β) berechnet werden.

Wenn der Wert des angrenzenden Winkels (β) und die Länge der Hypotenuse (c) bekannt sind, dann die Länge Bein und (a) kann als Produkt aus der Länge der Hypotenuse und dem Kosinus des bekannten Winkels berechnet werden: a=c∗cos(β). Dies ergibt sich aus der Definition des Kosinus als trigonometrische Funktion. Sie können aber wie im vorherigen Schritt den Sinussatz verwenden und dann die gewünschte Länge ermitteln Bein a ist gleich dem Produkt aus dem Sinus zwischen 90° und dem bekannten Winkel und dem Verhältnis der Länge der Hypotenuse zum Sinus des rechten Winkels. Und da der Sinus von 90° gleich eins ist, können wir ihn so schreiben: a=sin(90°-β)∗c.

Praktische Berechnungen können beispielsweise mit dem im Windows-Betriebssystem enthaltenen Software-Rechner durchgeführt werden. Um es auszuführen, können Sie im Hauptmenü über die Schaltfläche „Start“ die Option „Ausführen“ auswählen, den Befehl „calc“ eingeben und auf „OK“ klicken. In der einfachsten Version der standardmäßig geöffneten Benutzeroberfläche dieses Programms sind keine trigonometrischen Funktionen verfügbar. Nach dem Start müssen Sie daher im Menü auf den Abschnitt „Ansicht“ klicken und die Zeile „Wissenschaftlich“ oder „Ingenieurwesen“ auswählen ( abhängig von der Version des verwendeten Betriebssystems).

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Das Wort „kathet“ kam aus dem Griechischen ins Russische. In der genauen Übersetzung bedeutet es eine Lotlinie, also senkrecht zur Erdoberfläche. In der Mathematik sind die Schenkel die Seiten, die rechte Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks bilden. Die diesem Winkel gegenüberliegende Seite wird Hypotenuse genannt. Der Begriff „Kathet“ wird auch in der Architektur und Schweißtechnik verwendet.

Zeichnen Sie ein rechtwinkliges Dreieck DIA. Beschriften Sie seine Beine mit a und b und seine Hypotenuse mit c. Alle Seiten und Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks sind untereinander definiert. Das Verhältnis des Schenkels gegenüber einem der spitzen Winkel zur Hypotenuse wird Sinus dieses Winkels genannt. In diesem Dreieck ist sinCAB=a/c. Der Kosinus ist das Verhältnis zur Hypotenuse des benachbarten Schenkels, d. h. cosCAB=b/c. Die inversen Beziehungen heißen Sekante und Kosekans.

Die Sekante dieses Winkels erhält man, indem man die Hypotenuse durch den benachbarten Schenkel dividiert, d. h. secCAB = c/b. Das Ergebnis ist der Kehrwert des Kosinus, das heißt, es kann mit der Formel secCAB=1/cosSAB ausgedrückt werden.
Der Kosekans ist gleich dem Quotienten der Hypotenuse dividiert durch die Gegenkathete und ist der Kehrwert des Sinus. Sie kann mit der Formel cosecCAB=1/sinCAB berechnet werden

Beide Schenkel sind miteinander und durch einen Kotangens verbunden. In diesem Fall ist der Tangens das Verhältnis der Seite a zur Seite b, also der gegenüberliegenden Seite zur benachbarten Seite. Diese Beziehung kann durch die Formel tgCAB=a/b ausgedrückt werden. Dementsprechend ist das umgekehrte Verhältnis der Kotangens: ctgCAB=b/a.

Das Verhältnis zwischen der Größe der Hypotenuse und beider Beine wurde vom antiken griechischen Pythagoras bestimmt. Der Satz und sein Name werden immer noch verwendet. Es besagt, dass das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Katheten ist, also c2 = a2 + b2. Dementsprechend entspricht jedes Bein der Quadratwurzel der Differenz zwischen den Quadraten der Hypotenuse und dem anderen Bein. Diese Formel kann als b=√(c2-a2) geschrieben werden.

Die Beinlänge lässt sich auch durch die Ihnen bekannten Zusammenhänge ausdrücken. Nach dem Sinus- und Kosinussatz ist ein Bein gleich dem Produkt aus der Hypotenuse und einer dieser Funktionen. Es kann als und oder Kotangens ausgedrückt werden. Bein a lässt sich beispielsweise mit der Formel a = b*tan CAB ermitteln. Genauso wird abhängig von der gegebenen Tangente bzw. der zweite Schenkel bestimmt.

Der Begriff „Kathet“ wird auch in der Architektur verwendet. Es wird auf das ionische Kapitell aufgetragen und verläuft durch die Mitte seines Rückens. Das heißt, in diesem Fall steht dieser Term senkrecht zu einer gegebenen Linie.

In der Schweißtechnik gibt es einen „Kehlnahtschenkel“. Wie in anderen Fällen ist dies die kürzeste Entfernung. Hier handelt es sich um den Spalt zwischen einem der Teile, der mit dem Rand der Naht auf der Oberfläche des anderen Teils verschweißt wird.

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Quellen:

  • Was sind Bein und Hypotenuse im Jahr 2019?