Pyramide. Richtige Pyramide

Wenn jemand das Wort „Pyramide“ hört, erinnert er sich sofort an die majestätischen ägyptischen Bauwerke. Allerdings sind die antiken Steinriesen nur einer der Vertreter der Pyramidenklasse. In diesem Artikel betrachten wir aus geometrischer Sicht die Eigenschaften des Richtigen viereckige Pyramide.

Was ist eine Pyramide im Allgemeinen?

In der Geometrie versteht man darunter eine dreidimensionale Figur, die man erhält, indem man alle Eckpunkte eines flachen Polygons mit einem einzigen Punkt verbindet, der in einer anderen Ebene als dieses Polygon liegt. Das Bild unten zeigt 4 Formen, die zufriedenstellend sind diese Definition.

Wir sehen, dass die erste Figur eine dreieckige Grundfläche hat, die zweite eine viereckige Grundfläche. Die letzten beiden werden durch eine fünfeckige und eine sechseckige Basis dargestellt. Allerdings besteht die Mantelfläche aller Pyramiden aus Dreiecken. Ihre Anzahl entspricht genau der Anzahl der Seiten oder Eckpunkte des Polygons an der Basis.

Ein besonderer Pyramidentyp, der sich von anderen Vertretern der Klasse durch seine ideale Symmetrie unterscheidet, ist die regelmäßige Pyramide. Damit die Zahl korrekt ist, müssen die folgenden zwei Voraussetzungen erfüllt sein:

• die Basis muss ein regelmäßiges Vieleck haben;
• Die Seitenfläche der Figur sollte aus gleichschenkligen Dreiecken bestehen.

Beachten Sie, dass die zweite erforderliche Bedingung kann durch etwas anderes ersetzt werden: Eine Senkrechte, die von der Spitze der Pyramide (dem Schnittpunkt der Seitendreiecke) zur Basis gezogen wird, muss diese Basis in ihrem geometrischen Mittelpunkt schneiden.

Kommen wir nun zum Thema des Artikels und überlegen, welche Eigenschaften eine regelmäßige viereckige Pyramide ihn charakterisieren. Lassen Sie uns zunächst in der Abbildung zeigen, wie diese Figur aussieht.

Seine Basis ist ein Quadrat. Die Seiten stellen 4 identische gleichschenklige Dreiecke dar (sie können bei einem bestimmten Verhältnis der Seitenlänge des Quadrats und der Höhe der Figur auch gleichseitig sein). Die von der Spitze der Pyramide abgesenkte Höhe schneidet das Quadrat in seiner Mitte (dem Schnittpunkt der Diagonalen).

Diese Pyramide hat 5 Flächen (ein Quadrat und vier Dreiecke), 5 Eckpunkte (vier davon gehören zur Basis) und 8 Kanten. Die vierte Ordnung, die durch die Höhe der Pyramide verläuft, verwandelt sie durch eine Drehung um 90 o in sich selbst.

Die ägyptischen Pyramiden von Gizeh sind regelmäßig viereckig.

Vier grundlegende lineare Parameter

Beginnen wir unsere Betrachtung der mathematischen Eigenschaften einer regelmäßigen viereckigen Pyramide mit den Formeln für Höhe, Seitenlänge der Grundfläche, Seitenkante und Apothem. Nehmen wir gleich an, dass alle diese Größen miteinander in Beziehung stehen, es reicht also aus, nur zwei davon zu kennen, um die restlichen beiden eindeutig zu berechnen.

Angenommen, die Höhe h der Pyramide und die Länge a der Seite der quadratischen Grundfläche sind bekannt, dann ist die Seitenkante b gleich:

b = √(a 2 / 2 + h 2)

Nun geben wir die Formel für die Länge a b des Apothems (die Höhe des zur Seite der Basis abgesenkten Dreiecks) an:

a b = √(a 2 / 4 + h 2)

Offensichtlich ist die Seitenkante b immer größer als das Apothem a b .

Mit beiden Ausdrücken können alle vier linearen Kenngrößen ermittelt werden, wenn die beiden anderen Parameter bekannt sind, beispielsweise a b und h.

Fläche und Volumen einer Figur

Dies sind zwei weitere wichtige Eigenschaften einer regelmäßigen viereckigen Pyramide. Die Basis der Figur hat folgende Fläche:

Jedes Schulkind kennt diese Formel. Die Fläche der Mantelfläche, die durch vier identische Dreiecke gebildet wird, lässt sich durch das Apothem a b der Pyramide wie folgt bestimmen:

Wenn a b unbekannt ist, kann es mit den Formeln aus dem vorherigen Absatz durch die Höhe h oder Kante b ermittelt werden.

Die Gesamtoberfläche der betrachteten Figur ist die Summe der Flächen S o und S b:

S = S o + S b = a 2 + 2 × a × a b = a (a + 2 × a b)

Die berechnete Fläche aller Flächen der Pyramide ist in der Abbildung unten in Form ihrer Entwicklung dargestellt.

Eine Beschreibung der Eigenschaften einer regelmäßigen viereckigen Pyramide ist ohne Berücksichtigung der Formel zur Bestimmung ihres Volumens nicht vollständig. Dieser Wert wird für die betreffende Pyramide berechnet auf die folgende Weise:

Das heißt, V ist gleich dem dritten Teil des Produkts aus der Höhe der Figur und der Fläche ihrer Grundfläche.

Eigenschaften einer regelmäßigen viereckigen Pyramide

Diese Figur erhalten Sie von der Originalpyramide. Dazu müssen Sie die Spitze der Pyramide mit einem Hobel abschneiden. Die unter der Schnittebene verbleibende Figur wird Pyramidenstumpf genannt.

Es ist am bequemsten, die Eigenschaften eines Pyramidenstumpfes zu untersuchen, wenn seine Grundflächen parallel zueinander sind. In diesem Fall sind die untere und obere Basis ähnliche Polygone. Da bei einer viereckigen regelmäßigen Pyramide die Grundfläche ein Quadrat ist, stellt der beim Schnitt gebildete Abschnitt ebenfalls ein Quadrat dar, jedoch von geringerer Größe.

Die Seitenfläche der Stumpffigur wird nicht durch Dreiecke, sondern durch gleichschenklige Trapeze gebildet.

Eine der wichtigen Eigenschaften dieser Pyramide ist ihr Volumen, das nach der Formel berechnet wird:

V = 1/3 × h × (S o1 + S o2 + √(S o1 × S o2))

Hier ist h der Abstand zwischen den Basen der Figur, S o1, S o2 sind die Flächen der unteren und oberen Basen.

Viereckige Pyramide ist ein Polyeder, dessen Grundfläche ein Quadrat ist und dessen Seitenflächen identische gleichschenklige Dreiecke sind.

Dieses Polyeder hat viele verschiedene Eigenschaften:

• Seine Seitenkanten und angrenzenden Diederwinkel sind einander gleich;
• Die Flächen der Seitenflächen sind gleich;
• An der Basis einer regelmäßigen viereckigen Pyramide liegt ein Quadrat;
• Die Höhe, die von der Spitze der Pyramide abfällt, schneidet den Punkt, an dem sich die Diagonalen der Basis schneiden.

All diese Eigenschaften erleichtern das Auffinden. Allerdings ist es häufig darüber hinaus notwendig, das Volumen des Polyeders zu berechnen. Verwenden Sie dazu die Formel für das Volumen einer viereckigen Pyramide:

Das heißt, das Volumen der Pyramide entspricht einem Drittel des Produkts aus der Höhe der Pyramide und der Grundfläche. Da es gleich dem Produkt seiner gleichen Seiten ist, geben wir die Formel für die Fläche eines Quadrats sofort in den Ausdruck für das Volumen ein.
Betrachten wir ein Beispiel für die Berechnung des Volumens einer viereckigen Pyramide.

Gegeben sei eine viereckige Pyramide, deren Grundfläche ein Quadrat mit der Seitenlänge a = 6 cm ist. Die Seitenfläche der Pyramide beträgt b = 8 cm. Bestimmen Sie das Volumen der Pyramide.

Um das Volumen eines bestimmten Polyeders zu ermitteln, benötigen wir die Länge seiner Höhe. Deshalb werden wir es finden, indem wir den Satz des Pythagoras anwenden. Berechnen wir zunächst die Länge der Diagonale. Im blauen Dreieck ist es die Hypotenuse. Es sei auch daran erinnert, dass die Diagonalen eines Quadrats einander gleich sind und am Schnittpunkt in zwei Hälften geteilt werden:


Aus dem roten Dreieck ermitteln wir nun die Höhe h, die wir benötigen. Es wird gleich sein:

Lasst uns ersetzen erforderliche Werte und finde die Höhe der Pyramide:

Wenn wir nun die Höhe kennen, können wir alle Werte in die Formel für das Volumen der Pyramide einsetzen und den erforderlichen Wert berechnen:

Auf diese Weise konnten wir mit der Kenntnis einiger einfacher Formeln das Volumen einer regelmäßigen viereckigen Pyramide berechnen. Vergiss das nicht gegebener Wert gemessen in Kubikeinheiten.

Einführung

Als wir begannen, stereometrische Figuren zu studieren, berührten wir das Thema „Pyramide“. Dieses Thema hat uns gefallen, da die Pyramide in der Architektur sehr häufig verwendet wird. Und seit unserem zukünftiger Beruf Architektin, inspiriert von dieser Figur, wir glauben, dass sie uns zu großartigen Projekten antreiben kann.

Die Stärke architektonischer Strukturen ist ihre wichtigste Qualität. Sie verbinden Stärke erstens mit den Materialien, aus denen sie hergestellt sind, und zweitens mit den Eigenschaften konstruktive Lösungen Es stellt sich heraus, dass die Festigkeit einer Struktur in direktem Zusammenhang mit der ihr zugrunde liegenden geometrischen Form steht.

Mit anderen Worten, es handelt sich um die geometrische Figur, die als Modell des Entsprechenden betrachtet werden kann architektonische Form. Es stellt sich heraus, dass die geometrische Form auch die Stärke einer architektonischen Struktur bestimmt.

Seit der Antike gelten die ägyptischen Pyramiden als die langlebigsten architektonischen Bauwerke. Wie Sie wissen, haben sie die Form regelmäßiger viereckiger Pyramiden.

Es ist diese geometrische Form, die die größte Stabilität bietet großes Gebiet Gründe. Andererseits sorgt die Pyramidenform dafür, dass die Masse mit zunehmender Höhe über dem Boden abnimmt. Es sind diese beiden Eigenschaften, die die Pyramide stabil und damit stark unter den Bedingungen der Schwerkraft machen.

Ziel des Projekts: Lernen Sie etwas Neues über Pyramiden, vertiefen Sie Ihr Wissen und finden Sie praktische Anwendung.

Um dieses Ziel zu erreichen, mussten folgende Aufgaben gelöst werden:

· Erfahren Sie historische Informationen über die Pyramide

· Betrachten Sie die Pyramide als geometrische Figur

· Finden Sie Anwendung im Leben und in der Architektur

· Finden Sie die Ähnlichkeiten und Unterschiede zwischen den Pyramiden in verschiedene Teile Sweta

Theoretischer Teil

Historische Informationen

Der Beginn der Geometrie der Pyramide wurde im alten Ägypten und Babylon gelegt, aber sie wurde dort aktiv weiterentwickelt Antikes Griechenland. Der erste, der das Volumen der Pyramide festlegte, war Demokrit, und Eudoxos von Knidos bewies es. Der antike griechische Mathematiker Euklid systematisierte das Wissen über die Pyramide im XII. Band seiner „Elemente“ und leitete auch die erste Definition einer Pyramide ab: eine feste Figur, die von Ebenen begrenzt wird, die von einer Ebene zu einem Punkt zusammenlaufen.

Gräber ägyptischer Pharaonen. Die größten von ihnen – die Pyramiden von Cheops, Khafre und Mikerin in El Gizeh – galten in der Antike als eines der sieben Weltwunder. Der Bau der Pyramide, in der bereits die Griechen und Römer ein Denkmal für den beispiellosen Stolz der Könige und die Grausamkeit sahen, die das gesamte ägyptische Volk zu sinnlosem Bau verurteilte, war der wichtigste Kultakt und sollte offenbar das zum Ausdruck bringen mystische Identität des Landes und seines Herrschers. Die Bevölkerung des Landes arbeitete während des von landwirtschaftlicher Arbeit freien Teils des Jahres am Bau des Grabes. Eine Reihe von Texten zeugen von der Aufmerksamkeit und Sorgfalt, die die Könige selbst (wenn auch aus späterer Zeit) dem Bau ihres Grabes und seiner Erbauer widmeten. Es ist auch bekannt, dass der Pyramide selbst besondere Kultverehrung zuteil wurde.

Grundlegendes Konzept

Pyramide wird ein Polyeder genannt, dessen Basis ein Polygon ist und dessen verbleibende Flächen Dreiecke sind, die einen gemeinsamen Scheitelpunkt haben.

Apothema- die Höhe der Seitenfläche einer regelmäßigen Pyramide, ausgehend von ihrer Spitze;

Seitenflächen- Dreiecke, die sich an einem Scheitelpunkt treffen;

Seitliche Rippen- gemeinsame Seiten der Seitenflächen;

Spitze der Pyramide- ein Punkt, der die Seitenrippen verbindet und nicht in der Ebene der Basis liegt;

Höhe- ein senkrechtes Segment, das durch die Spitze der Pyramide zur Ebene ihrer Basis gezogen wird (die Enden dieses Segments sind die Spitze der Pyramide und die Basis der Senkrechten);

Diagonalschnitt einer Pyramide- Abschnitt der Pyramide, der durch die Spitze und die Diagonale der Basis verläuft;

Base- ein Polygon, das nicht zum Scheitelpunkt der Pyramide gehört.

Grundlegende Eigenschaften einer regelmäßigen Pyramide

Die Seitenkanten, Seitenflächen und Apotheme sind jeweils gleich.

Die Diederwinkel an der Basis sind gleich.

Die Diederwinkel an den Seitenkanten sind gleich.

Jeder Höhenpunkt ist von allen Eckpunkten der Basis gleich weit entfernt.

Jeder Höhenpunkt ist von allen Seitenflächen gleich weit entfernt.

Grundlegende Pyramidenformeln

Die Fläche der Seiten- und Gesamtfläche der Pyramide.

Die Fläche der Seitenfläche einer Pyramide (voll und stumpf) ist die Summe der Flächen aller ihrer Seitenflächen, die Gesamtoberfläche ist die Summe der Flächen aller ihrer Flächen.

Satz: Die Fläche der Mantelfläche einer regelmäßigen Pyramide ist gleich der Hälfte des Produkts aus dem Umfang der Grundfläche und dem Apothem der Pyramide.

P- Grundumfang;

H- Apothem.

Die Fläche der Seiten- und Vollflächen eines Pyramidenstumpfes.

S. 1, P 2 - Grundumfang;

H- Apothem.

R- Gesamtoberfläche eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes;

S-Seite- Fläche der Mantelfläche eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes;

S 1 + S 2- Grundfläche

Volumen der Pyramide

Bilden Volumen ula wird für Pyramiden jeglicher Art verwendet.

H- Höhe der Pyramide.

Pyramidenecken

Die von der Seitenfläche und der Basis der Pyramide gebildeten Winkel werden Diederwinkel an der Basis der Pyramide genannt.

Ein Diederwinkel wird durch zwei Senkrechte gebildet.

Um diesen Winkel zu bestimmen, müssen Sie häufig den Satz der drei senkrechten Winkel verwenden.

Die Winkel, die die Seitenkante und ihre Projektion auf die Grundebene bilden, werden aufgerufen Winkel zwischen der Seitenkante und der Ebene der Basis.

Der von zwei Seitenkanten gebildete Winkel heißt Diederwinkel bei seitliche Rippe Pyramiden.

Der Winkel, den zwei Seitenkanten einer Seite der Pyramide bilden, wird aufgerufen Winkel an der Spitze der Pyramide.

Pyramidenabschnitte

Die Oberfläche einer Pyramide ist die Oberfläche eines Polyeders. Jede ihrer Flächen ist eine Ebene, daher ist der durch eine Schnittebene definierte Abschnitt einer Pyramide eine gestrichelte Linie, die aus einzelnen geraden Linien besteht.

Diagonaler Abschnitt

Der Schnitt einer Pyramide durch eine Ebene, die durch zwei Seitenkanten verläuft, die nicht auf derselben Seite liegen, wird genannt Diagonalabschnitt Pyramiden.

Parallele Abschnitte

Satz:

Wird die Pyramide von einer zur Grundfläche parallelen Ebene geschnitten, so werden die Seitenkanten und Höhen der Pyramide durch diese Ebene in proportionale Teile geteilt;

Der Schnitt dieser Ebene ist ein der Grundfläche ähnliches Polygon;

Die Flächen des Abschnitts und der Basis stehen im Verhältnis zueinander als Quadrate ihrer Abstände vom Scheitelpunkt.

Arten von Pyramiden

Richtige Pyramide – eine Pyramide, deren Grundfläche ein regelmäßiges Vieleck ist und deren Spitze in die Mitte der Grundfläche projiziert wird.

Für eine regelmäßige Pyramide:

1. Seitenrippen sind gleich

2. Seitenflächen sind gleich

3. Apotheme sind gleich

4. Die Diederwinkel an der Basis sind gleich

5. Die Diederwinkel an den Seitenkanten sind gleich

6. Jeder Höhenpunkt ist von allen Eckpunkten der Basis gleich weit entfernt

7. Jeder Höhenpunkt ist von allen Seitenkanten gleich weit entfernt

Pyramidenstumpf- Teil der Pyramide, der zwischen ihrer Basis und einer zur Basis parallelen Schnittebene eingeschlossen ist.

Die Basis und der entsprechende Abschnitt eines Pyramidenstumpfes werden genannt Basen eines Pyramidenstumpfes.

Eine Senkrechte, die von einem beliebigen Punkt einer Basis zur Ebene einer anderen gezogen wird, heißt die Höhe eines Pyramidenstumpfes.

Aufgaben

Nr. 1. In einer regelmäßigen viereckigen Pyramide ist Punkt O der Mittelpunkt der Basis, SO=8 cm, BD=30 cm. Finden Sie die Seitenkante SA.

Probleme lösen

Nr. 1. In einer regelmäßigen Pyramide sind alle Flächen und Kanten gleich.

Betrachten Sie OSB: OSB ist ein rechteckiges Rechteck, weil.

SB 2 =SO 2 +OB 2

SB 2 =64+225=289

Pyramide in der Architektur

Eine Pyramide ist ein monumentales Bauwerk in der Form eines gewöhnlichen Regelkreises geometrische Pyramide, bei dem die Seiten in einem Punkt zusammenlaufen. Von funktionaler Zweck In der Antike waren Pyramiden Orte der Bestattung oder Kultverehrung. Die Basis einer Pyramide kann dreieckig, viereckig oder die Form eines Polygons mit einer beliebigen Anzahl von Eckpunkten haben. Die gebräuchlichste Version ist jedoch die viereckige Basis.

Es gibt eine beträchtliche Anzahl von Pyramiden, die von verschiedenen Kulturen erbaut wurden. Antike Welt hauptsächlich als Tempel oder Denkmäler. Zu den großen Pyramiden zählen die ägyptischen Pyramiden.

Überall auf der Erde sind architektonische Strukturen in Form von Pyramiden zu sehen. Die Pyramidengebäude erinnern an antike Zeiten und sehen sehr schön aus.

Ägyptische Pyramiden sind die größten Baudenkmäler Antikes Ägypten, darunter eines der „Sieben Weltwunder“ die Cheopspyramide. Vom Fuß bis zum Gipfel erreicht er eine Höhe von 137,3 m, und bevor er den Gipfel verlor, betrug seine Höhe 146,7 m

Das Gebäude des Radiosenders in der Hauptstadt der Slowakei, das einer umgekehrten Pyramide ähnelt, wurde 1983 erbaut. Neben Büros und Serviceräumen befindet sich im Inneren des Gebäudes ein recht geräumiger Konzertsaal, der über eine der größten Orgeln der Slowakei verfügt.

Der Louvre, der „still, unveränderlich und majestätisch wie eine Pyramide“ ist, hat im Laufe der Jahrhunderte viele Veränderungen durchgemacht, bevor er zum größten Museum der Welt wurde. Es entstand als Festung, die 1190 von Philipp Augustus errichtet wurde und bald zu einer königlichen Residenz wurde. 1793 wurde der Palast zum Museum. Sammlungen werden durch Schenkungen oder Ankäufe bereichert.

Dieses Video-Tutorial hilft Benutzern, sich ein Bild vom Pyramid-Thema zu machen. Richtige Pyramide. In dieser Lektion machen wir uns mit dem Konzept einer Pyramide vertraut und geben ihm eine Definition. Betrachten wir, was eine regelmäßige Pyramide ist und welche Eigenschaften sie hat. Dann beweisen wir den Satz über die Mantelfläche einer regelmäßigen Pyramide.

In dieser Lektion machen wir uns mit dem Konzept einer Pyramide vertraut und geben ihm eine Definition.

Betrachten Sie ein Polygon A 1 A 2...Ein, der in der α-Ebene liegt, und der Punkt P, die nicht in der α-Ebene liegt (Abb. 1). Lassen Sie uns die Punkte verbinden P mit Spitzen A 1, A 2, A 3, … Ein. Wir bekommen N Dreiecke: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R usw.

Definition. Polyeder RA 1 A 2 ...A n, besteht aus N-Quadrat A 1 A 2...Ein Und N Dreiecke RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 wird aufgerufen N-Kohlenpyramide. Reis. 1.

Reis. 1

Betrachten Sie eine viereckige Pyramide PABCD(Abb. 2).

R- die Spitze der Pyramide.

A B C D- die Basis der Pyramide.

RA- Seitenrippe.

AB- Grundrippe.

Von Punkt R Lassen wir die Senkrechte fallen RN zur Basisebene A B C D. Die eingezeichnete Senkrechte ist die Höhe der Pyramide.

Reis. 2

Die Gesamtfläche der Pyramide besteht aus der Mantelfläche, also der Fläche aller Seitenflächen, und der Grundfläche:

S voll = S Seite + S Haupt

Eine Pyramide heißt korrekt, wenn:

• seine Basis ist ein regelmäßiges Vieleck;
• Das Segment, das die Spitze der Pyramide mit der Mitte der Basis verbindet, ist ihre Höhe.

Erläuterung am Beispiel einer regelmäßigen viereckigen Pyramide

Betrachten Sie eine regelmäßige viereckige Pyramide PABCD(Abb. 3).

R- die Spitze der Pyramide. Basis der Pyramide A B C D- ein regelmäßiges Viereck, also ein Quadrat. Punkt UM, der Schnittpunkt der Diagonalen, ist der Mittelpunkt des Quadrats. Bedeutet, RO ist die Höhe der Pyramide.

Reis. 3

Erläuterung: im richtigen N In einem Dreieck fallen der Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises und der Mittelpunkt des Umkreises zusammen. Dieses Zentrum wird als Mittelpunkt des Polygons bezeichnet. Manchmal sagt man, dass der Scheitelpunkt in die Mitte projiziert wird.

Die Höhe der Seitenfläche einer von ihrem Scheitel aus gezogenen regelmäßigen Pyramide wird aufgerufen Apothema und ist bezeichnet h a.

1. Alle Seitenkanten einer regelmäßigen Pyramide sind gleich;

2. Die Seitenflächen sind gleichschenklige Dreiecke.

Wir werden diese Eigenschaften am Beispiel einer regelmäßigen viereckigen Pyramide beweisen.

Gegeben: PABCD- regelmäßige viereckige Pyramide,

A B C D- Quadrat,

RO- Höhe der Pyramide.

Beweisen:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Siehe Abb. 4.

Reis. 4

Nachweisen.

RO- Höhe der Pyramide. Das heißt, gerade RO senkrecht zur Ebene ABC und daher direkt JSC, VO, SO Und TUN darin liegen. Also Dreiecke ROA, ROV, ROS, ROD- rechteckig.

Betrachten Sie ein Quadrat A B C D. Aus den Eigenschaften eines Quadrats folgt das AO = VO = CO = TUN.

Dann die rechtwinkligen Dreiecke ROA, ROV, ROS, ROD Bein RO- Allgemein und Beine JSC, VO, SO Und TUN sind gleich, was bedeutet, dass diese Dreiecke auf zwei Seiten gleich sind. Aus der Gleichheit der Dreiecke folgt die Gleichheit der Segmente, RA = PB = RS = PD. Punkt 1 ist bewiesen.

Segmente AB Und Sonne sind gleich, weil sie Seiten desselben Quadrats sind, RA = PB = RS. Also Dreiecke AVR Und VSR - gleichschenklig und auf drei Seiten gleich.

Auf ähnliche Weise finden wir Dreiecke ABP, VCP, CDP, DAP gleichschenklig und gleich sind, wie in Absatz 2 zu beweisen ist.

Die Fläche der Mantelfläche einer regelmäßigen Pyramide entspricht der Hälfte des Produkts aus dem Umfang der Basis und dem Apothem:

Um dies zu beweisen, wählen wir eine regelmäßige dreieckige Pyramide.

Gegeben: RAVS- regelmäßige dreieckige Pyramide.

AB = BC = AC.

RO- Höhe.

Beweisen: . Siehe Abb. 5.

Reis. 5

Nachweisen.

RAVS- regelmäßige dreieckige Pyramide. Also AB= AC = BC. Lassen UM- Mittelpunkt des Dreiecks ABC, Dann RO ist die Höhe der Pyramide. An der Basis der Pyramide liegt ein gleichseitiges Dreieck ABC. Beachte das .

Dreiecke RAV, RVS, RSA- gleich gleichschenklige Dreiecke(nach Eigentum). U Dreieckige Pyramide drei Seitenflächen: RAV, RVS, RSA. Dies bedeutet, dass die Fläche der Seitenfläche der Pyramide beträgt:

S-Seite = 3S RAW

Der Satz ist bewiesen.

Der Radius eines Kreises, der an der Basis einer regelmäßigen viereckigen Pyramide eingeschrieben ist, beträgt 3 m, die Höhe der Pyramide beträgt 4 m. Ermitteln Sie die Fläche der Seitenfläche der Pyramide.

Gegeben: regelmäßige viereckige Pyramide A B C D,

A B C D- Quadrat,

R= 3m,

RO- Höhe der Pyramide,

RO= 4 m.

Finden: S-Seite. Siehe Abb. 6.

Reis. 6

Lösung.

Nach dem bewiesenen Satz ist .

Lassen Sie uns zunächst die Seite der Basis finden AB. Wir wissen, dass der Radius eines Kreises, der an der Basis einer regelmäßigen viereckigen Pyramide eingeschrieben ist, 3 m beträgt.

Dann, m.

Finden Sie den Umfang des Quadrats A B C D mit einer Seitenlänge von 6 m:

Betrachten Sie ein Dreieck BCD. Lassen M- Mitte der Seite Gleichstrom. Als UM- Mitte BD, Lautstärke).

Dreieck DPC- gleichschenklig. M- Mitte Gleichstrom. Also, RM- Median und damit die Höhe im Dreieck DPC. Dann RM- Apothem der Pyramide.

RO- Höhe der Pyramide. Dann gerade RO senkrecht zur Ebene ABC und daher direkt OM, darin liegen. Finden wir das Apothem RM aus rechtwinkliges Dreieck Rom.

Jetzt können wir finden Seitenfläche Pyramiden:

Antwort: 60 m2.

Der Radius des um die Basis einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide umschriebenen Kreises beträgt m. Die Mantelfläche beträgt 18 m 2. Finden Sie die Länge des Apothems.

Gegeben: ABCP- regelmäßige dreieckige Pyramide,

AB = BC = SA,

R= m,

S-Seite = 18 m2.

Finden: . Siehe Abb. 7.

Reis. 7

Lösung.

In einem rechtwinkligen Dreieck ABC Der Radius des umschriebenen Kreises ist angegeben. Finden wir eine Seite AB dieses Dreieck unter Verwendung des Sinusgesetzes.

Wenn wir die Seite eines regelmäßigen Dreiecks (m) kennen, ermitteln wir seinen Umfang.

Nach dem Satz über die Mantelfläche einer regelmäßigen Pyramide, wo h a- Apothem der Pyramide. Dann:

Antwort: 4 m.

Also haben wir uns angeschaut, was eine Pyramide ist, was eine regelmäßige Pyramide ist, und wir haben den Satz über die Mantelfläche einer regelmäßigen Pyramide bewiesen. In der nächsten Lektion lernen wir den Pyramidenstumpf kennen.

Referenzliste

1. Geometrie. Klassen 10-11: Lehrbuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen (Grund- und Profilebenen) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. Aufl., rev. und zusätzlich - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 S.: Abb.
2. Geometrie. Klassen 10-11: Lehrbuch für allgemeinbildende Einrichtungen / Sharygin I. F. - M.: Bustard, 1999. - 208 Seiten: Abb.
3. Geometrie. Klasse 10: Lehrbuch für allgemeinbildende Einrichtungen mit vertieftem und spezialisiertem Studium der Mathematik /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. Aufl., Stereotyp. - M.: Bustard, 008. - 233 S.: Abb.

1. Internetportal „Yaklass“ ()
2. Internetportal „Festival pädagogische Ideen"Der erste September" ()
3. Internetportal „Slideshare.net“ ()

Hausaufgaben

1. Kann ein regelmäßiges Vieleck die Basis einer unregelmäßigen Pyramide sein?
2. Beweisen Sie, dass disjunkte Kanten einer regelmäßigen Pyramide senkrecht zueinander stehen.
3. Finden Sie den Wert Diederwinkel an der Seite der Basis einer regelmäßigen viereckigen Pyramide, wenn das Apothem der Pyramide gleich der Seite ihrer Basis ist.
4. RAVS- regelmäßige dreieckige Pyramide. Konstruieren Sie den linearen Winkel des Diederwinkels an der Basis der Pyramide.

Definition

Pyramide ist ein Polyeder, das aus einem Polygon \(A_1A_2...A_n\) und \(n\) Dreiecken mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt \(P\) (der nicht in der Ebene des Polygons liegt) und gegenüberliegenden Seiten besteht, die mit dem zusammenfallen Seiten des Polygons.
Bezeichnung: \(PA_1A_2...A_n\) .
Beispiel: fünfeckige Pyramide \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Dreiecke \(PA_1A_2, \PA_2A_3\) usw. werden genannt Seitenflächen Pyramiden, Segmente \(PA_1, PA_2\) usw. – seitliche Rippen, Polygon \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – Basis, Punkt \(P\) – Spitze.

Höhe Pyramiden sind eine Senkrechte, die von der Spitze der Pyramide zur Ebene der Basis verläuft.

Man nennt eine Pyramide mit einem Dreieck an der Basis Tetraeder.

Die Pyramide heißt richtig, wenn seine Basis ein regelmäßiges Vieleck ist und eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

\((a)\) die Seitenkanten der Pyramide sind gleich;

\((b)\) die Höhe der Pyramide verläuft durch den Mittelpunkt des Kreises, der in der Nähe der Basis umschrieben wird;

\((c)\) Die Seitenrippen sind im gleichen Winkel zur Grundebene geneigt.

\((d)\) die Seitenflächen sind im gleichen Winkel zur Grundebene geneigt.

Regelmäßiges Tetraeder ist eine dreieckige Pyramide, deren Flächen alle gleichseitige gleichseitige Dreiecke sind.

Satz

Die Bedingungen \((a), (b), (c), (d)\) sind äquivalent.

Nachweisen

Lassen Sie uns die Höhe der Pyramide \(PH\) ermitteln. Sei \(\alpha\) die Ebene der Basis der Pyramide.

1) Beweisen wir, dass aus \((a)\) \((b)\) folgt. Sei \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

Weil \(PH\perp \alpha\), dann steht \(PH\) senkrecht zu jeder in dieser Ebene liegenden Geraden, was bedeutet, dass die Dreiecke rechtwinklig sind. Dies bedeutet, dass diese Dreiecke im gemeinsamen Bein \(PH\) und in der Hypotenuse \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) gleich sind. Das bedeutet \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Das bedeutet, dass die Punkte \(A_1, A_2, ..., A_n\) den gleichen Abstand vom Punkt \(H\) haben, also auf demselben Kreis mit dem Radius \(A_1H\) liegen. Dieser Kreis wird per Definition um das Polygon \(A_1A_2...A_n\) herum beschrieben.

2) Beweisen wir, dass \((b)\) \((c)\) impliziert.

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) rechteckig und gleich auf zwei Beinen. Das bedeutet, dass auch ihre Winkel gleich sind, also \(\angle PA_1H=\angle PA_2H=...=\angle PA_nH\).

3) Beweisen wir, dass \((c)\) \((a)\) impliziert.

Ähnlich wie beim ersten Punkt, Dreiecke \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) rechteckig und entlang des Beins und scharfe Ecke. Das bedeutet, dass auch ihre Hypotenusen gleich sind, also \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) Lassen Sie uns beweisen, dass \((b)\) \((d)\) impliziert.

Weil In einem regelmäßigen Vieleck fallen die Mittelpunkte des umschriebenen und des eingeschriebenen Kreises zusammen (im Allgemeinen wird dieser Punkt Mittelpunkt eines regelmäßigen Vielecks genannt), dann ist \(H\) der Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises. Zeichnen wir Senkrechte vom Punkt \(H\) zu den Seiten der Basis: \(HK_1, HK_2\) usw. Dies sind die Radien des eingeschriebenen Kreises (per Definition). Dann ist gemäß TTP (\(PH\) eine Senkrechte zur Ebene, \(HK_1, HK_2\) usw. sind Projektionen senkrecht zu den Seiten) geneigt \(PK_1, PK_2\) usw. senkrecht zu den Seiten \(A_1A_2, A_2A_3\) usw. jeweils. Also per Definition \(\angle PK_1H, \angle PK_2H\) gleich den Winkeln zwischen den Seitenflächen und der Basis. Weil Dreiecke \(PK_1H, PK_2H, ...\) gleich sind (als Rechtecke auf zwei Seiten), dann die Winkel \(\angle PK_1H, \angle PK_2H, ...\) sind gleich.

5) Beweisen wir, dass \((d)\) \((b)\) impliziert.

Ähnlich wie beim vierten Punkt sind die Dreiecke \(PK_1H, PK_2H, ...\) gleich (als Rechteck entlang des Schenkels und spitzer Winkel), was bedeutet, dass die Segmente \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) sind gleich. Dies bedeutet per Definition, dass \(H\) der Mittelpunkt eines in die Basis eingeschriebenen Kreises ist. Aber weil bei regelmäßige Polygone fallen die Mittelpunkte des eingeschriebenen und des umschriebenen Kreises zusammen, dann ist \(H\) der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises. Chtd.

Folge

Die Seitenflächen einer regelmäßigen Pyramide sind gleichschenklige Dreiecke.

Definition

Die Höhe der Seitenfläche einer von ihrem Scheitel aus gezogenen regelmäßigen Pyramide wird aufgerufen Apothema.
Die Apotheme aller Seitenflächen einer regelmäßigen Pyramide sind einander gleich und sind auch Mediane und Winkelhalbierende.

Wichtige Notizen

1. Die Höhe einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide fällt am Schnittpunkt der Höhen (oder Winkelhalbierenden oder Mittellinien) der Basis (die Basis ist ein regelmäßiges Dreieck).

2. Die Höhe einer regelmäßigen viereckigen Pyramide fällt am Schnittpunkt der Diagonalen der Grundfläche (die Grundfläche ist ein Quadrat).

3. Die Höhe stimmt sechseckige Pyramide fällt am Schnittpunkt der Diagonalen der Grundfläche (die Grundfläche ist ein regelmäßiges Sechseck).

4. Die Höhe der Pyramide steht senkrecht zu jeder geraden Linie, die an der Basis liegt.

Definition

Die Pyramide heißt rechteckig, wenn eine seiner Seitenkanten senkrecht zur Ebene der Grundfläche steht.

Wichtige Notizen

1. Bei einer rechteckigen Pyramide entspricht die Kante senkrecht zur Basis der Höhe der Pyramide. Das heißt, \(SR\) ist die Höhe.

2. Weil \(SR\) ist dann senkrecht zu jeder Linie von der Basis \(\triangle SRM, \triangle SRP\)– rechtwinklige Dreiecke.

3. Dreiecke \(\triangle SRN, \triangle SRK\)- auch rechteckig.
Das heißt, jedes Dreieck, das durch diese Kante und die Diagonale gebildet wird, die vom Scheitelpunkt dieser an der Basis liegenden Kante ausgeht, ist rechteckig.

\[(\Large(\text(Volumen und Oberfläche der Pyramide)))\]

Satz

Das Volumen der Pyramide entspricht einem Drittel des Produkts aus der Grundfläche und der Höhe der Pyramide: \

Folgen

Sei \(a\) die Seite der Basis, \(h\) die Höhe der Pyramide.

1. Das Volumen einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide beträgt \(V_(\text(rechtwinkliges Dreieck.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. Das Volumen einer regelmäßigen viereckigen Pyramide beträgt \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).

3. Das Volumen einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide beträgt \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. Das Volumen eines regelmäßigen Tetraeders beträgt \(V_(\text(right tetr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Satz

Die Fläche der Mantelfläche einer regelmäßigen Pyramide ist gleich dem halben Produkt aus dem Umfang der Basis und dem Apothem.

\[(\Large(\text(Frustum)))\]

Definition

Betrachten Sie eine beliebige Pyramide \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Zeichnen wir eine Ebene parallel zur Basis der Pyramide durch einen bestimmten Punkt, der an der Seitenkante der Pyramide liegt. Diese Ebene teilt die Pyramide in zwei Polyeder, von denen eines eine Pyramide (\(PB_1B_2...B_n\)) ist und das andere aufgerufen wird Pyramidenstumpf(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

Der Pyramidenstumpf hat zwei Grundflächen – die Polygone \(A_1A_2...A_n\) und \(B_1B_2...B_n\), die einander ähnlich sind.

Die Höhe eines Pyramidenstumpfes ist eine Senkrechte, die von einem Punkt der oberen Basis zur Ebene der unteren Basis verläuft.

Wichtige Notizen

1. Alle Seitenflächen eines Pyramidenstumpfes sind Trapeze.

2. Das Segment, das die Mittelpunkte der Grundflächen eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes (d. h. einer Pyramide, die durch den Querschnitt einer regelmäßigen Pyramide entsteht) verbindet, ist die Höhe.