Wie groß ist das Volumen eines regelmäßigen dreieckigen Dreiecks? Volumen einer dreieckigen Pyramide
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Eine Pyramide ist ein Polyeder mit einem Polygon an seiner Basis. Alle Flächen bilden wiederum Dreiecke, die an einem Scheitelpunkt zusammenlaufen. Pyramiden sind dreieckig, viereckig usw. Um festzustellen, welche Pyramide vor Ihnen steht, genügt es, die Anzahl der Winkel an ihrer Basis zu zählen. Die Definition der „Höhe einer Pyramide“ findet sich sehr häufig in Geometrieaufgaben im Schullehrplan. In diesem Artikel werden wir versuchen, darüber nachzudenken verschiedene Wege ihren Standort.
Teile der Pyramide
Jede Pyramide besteht aus folgenden Elementen:
- Seitenflächen, die drei Ecken haben und an der Spitze zusammenlaufen;
- das Apothem stellt die Höhe dar, die von seiner Spitze abfällt;
- die Spitze der Pyramide ist ein Punkt, der die Seitenrippen verbindet, aber nicht in der Ebene der Basis liegt;
- die Basis ist ein Polygon, auf dem der Scheitelpunkt nicht liegt;
- Die Höhe einer Pyramide ist ein Segment, das die Spitze der Pyramide schneidet und mit ihrer Basis einen rechten Winkel bildet.
So ermitteln Sie die Höhe einer Pyramide, wenn ihr Volumen bekannt ist
Durch die Formel V = (S*h)/3 (in der Formel ist V das Volumen, S ist die Grundfläche, h ist die Höhe der Pyramide) finden wir, dass h = (3*V)/ S. Um das Material zu festigen, lösen wir das Problem sofort. Die dreieckige Grundfläche ist 50 cm 2 groß, während ihr Volumen 125 cm 3 beträgt. Unbekannte Höhe Dreieckige Pyramide, was wir finden müssen. Hier ist alles einfach: Wir fügen die Daten in unsere Formel ein. Wir erhalten h = (3*125)/50 = 7,5 cm.
So ermitteln Sie die Höhe einer Pyramide, wenn die Länge der Diagonale und ihrer Kanten bekannt ist
Wie wir uns erinnern, bildet die Höhe der Pyramide mit ihrer Basis einen rechten Winkel. Das bedeutet, dass Höhe, Kante und die Hälfte der Diagonale zusammen bilden. Viele erinnern sich natürlich an den Satz des Pythagoras. Wenn man zwei Dimensionen kennt, wird es nicht schwer sein, die dritte Größe zu finden. Erinnern wir uns an den bekannten Satz a² = b² + c², wobei a die Hypotenuse und in unserem Fall der Rand der Pyramide ist; b – das erste Bein oder die Hälfte der Diagonale und c – jeweils das zweite Bein oder die Höhe der Pyramide. Aus dieser Formel ergibt sich c² = a² - b².
Nun das Problem: Bei einer regelmäßigen Pyramide beträgt die Diagonale 20 cm, wenn die Kantenlänge 30 cm beträgt. Sie müssen die Höhe ermitteln. Wir lösen: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. Daher ist c = √ 500 = etwa 22,4.
So ermitteln Sie die Höhe eines Pyramidenstumpfes
Es ist ein Polygon mit einem Querschnitt parallel zu seiner Grundfläche. Die Höhe eines Pyramidenstumpfes ist das Segment, das seine beiden Grundflächen verbindet. Die Höhe finden Sie unter regelmäßige Pyramide, wenn die Längen der Diagonalen beider Grundflächen sowie die Kante der Pyramide bekannt sind. Die Diagonale der größeren Basis sei d1, die Diagonale der kleineren Basis sei d2 und die Kante habe die Länge l. Um die Höhe zu ermitteln, können Sie die Höhen von den beiden oberen gegenüberliegenden Punkten des Diagramms bis zu seiner Basis verringern. Wir sehen, dass wir zwei haben rechtwinkliges Dreieck, es bleibt die Länge ihrer Beine zu ermitteln. Subtrahieren Sie dazu die kleinere von der größeren Diagonale und dividieren Sie durch 2. So erhalten wir ein Bein: a = (d1-d2)/2. Danach müssen wir nach dem Satz des Pythagoras nur noch das zweite Bein finden, das der Höhe der Pyramide entspricht.
Schauen wir uns das Ganze nun in der Praxis an. Wir haben eine Aufgabe vor uns. Ein Pyramidenstumpf hat an der Basis ein Quadrat, die diagonale Länge der größeren Basis beträgt 10 cm, die der kleineren 6 cm und die Kante 4 cm. Sie müssen die Höhe ermitteln. Zuerst finden wir ein Bein: a = (10-6)/2 = 2 cm. Ein Bein ist gleich 2 cm und die Hypotenuse ist 4 cm. Es stellt sich heraus, dass das zweite Bein oder die Höhe gleich 16- ist. 4 = 12, also h = √12 = etwa 3,5 cm.
Das Hauptmerkmal von jedem geometrische Figur im Raum ist sein Volumen. In diesem Artikel werden wir uns ansehen, was eine Pyramide mit einem Dreieck an der Basis ist, und wir werden auch zeigen, wie man das Volumen einer dreieckigen Pyramide ermittelt – regelmäßig, voll und stumpf.
Was ist das – eine dreieckige Pyramide?
Jeder hat von den alten ägyptischen Pyramiden gehört, aber sie sind regelmäßig viereckig und nicht dreieckig. Lassen Sie uns erklären, wie man eine dreieckige Pyramide erhält.
Nehmen wir ein beliebiges Dreieck und verbinden alle seine Eckpunkte mit einem einzelnen Punkt, der außerhalb der Ebene dieses Dreiecks liegt. Die resultierende Figur wird als dreieckige Pyramide bezeichnet. Es ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
Wie Sie sehen können, besteht die betreffende Figur aus vier Dreiecken, die im Allgemeinen unterschiedlich sind. Jedes Dreieck stellt die Seiten der Pyramide oder ihre Fläche dar. Diese Pyramide wird oft als Tetraeder bezeichnet, also als tetraedrische dreidimensionale Figur.
Zusätzlich zu den Seiten hat die Pyramide auch Kanten (es gibt 6 davon) und Spitzen (von 4).
mit dreieckiger Basis
Eine Figur, die man aus einem beliebigen Dreieck und einem Punkt im Raum erhält, ist im allgemeinen Fall eine unregelmäßig geneigte Pyramide. Stellen Sie sich nun vor, dass das ursprüngliche Dreieck identische Seiten hat und ein Punkt im Raum genau über seinem geometrischen Mittelpunkt im Abstand h von der Dreiecksebene liegt. Die anhand dieser Ausgangsdaten erstellte Pyramide wird korrekt sein.
Offensichtlich ist die Anzahl der Kanten, Seiten und Spitzen einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide dieselbe wie die einer Pyramide, die aus einem beliebigen Dreieck besteht.
Die korrekte Abbildung hat jedoch einige Unterscheidungsmerkmale:
- seine vom Scheitelpunkt ausgehende Höhe schneidet die Basis genau im geometrischen Mittelpunkt (dem Schnittpunkt der Mediane);
- Seitenfläche Eine solche Pyramide besteht aus drei identischen Dreiecken, die gleichschenklig oder gleichseitig sind.
Eine regelmäßige dreieckige Pyramide ist nicht nur ein rein theoretisches geometrisches Objekt. Einige Strukturen in der Natur haben beispielsweise ihre Form Kristallzelle ein Diamant, bei dem ein Kohlenstoffatom durch kovalente Bindungen mit vier gleichen Atomen verbunden ist, oder ein Methanmolekül, bei dem die Spitzen der Pyramide aus Wasserstoffatomen bestehen.
Dreieckige Pyramide
Sie können das Volumen absolut jeder Pyramide mit einem beliebigen n-Eck an der Basis mithilfe des folgenden Ausdrucks bestimmen:
Hier bezeichnet das Symbol S o die Fläche der Basis, h ist die Höhe der Figur, die von der Spitze der Pyramide zur markierten Basis gezogen wird.
Da die Fläche eines beliebigen Dreiecks gleich der Hälfte des Produkts aus der Länge seiner Seite a und dem auf diese Seite fallengelassenen Apothem h a ist, kann die Formel für das Volumen einer dreieckigen Pyramide wie folgt geschrieben werden:
V = 1/6 × a × h a × h
Für den allgemeinen Typ lautet die Höhendefinition keine leichte Aufgabe. Um es zu lösen, ist es am einfachsten, die Formel für den Abstand zwischen einem Punkt (Scheitelpunkt) und einer Ebene (dreieckige Basis) zu verwenden, dargestellt durch die Gleichung Gesamtansicht.
Für das Richtige hat es ein bestimmtes Aussehen. Die Grundfläche (eines gleichseitigen Dreiecks) dafür ist gleich:
Wenn wir es in den allgemeinen Ausdruck für V einsetzen, erhalten wir:
V = √3/12 × a 2 × h
Ein Sonderfall ist die Situation, wenn sich herausstellt, dass alle Seiten eines Tetraeders identische gleichseitige Dreiecke sind. In diesem Fall kann sein Volumen nur anhand der Kenntnis des Parameters seiner Kante a bestimmt werden. Der entsprechende Ausdruck sieht so aus:
Pyramidenstumpf
Wenn man von einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide den oberen Teil abschneidet, der die Spitze enthält, erhält man eine abgeschnittene Figur. Im Gegensatz zum Original wird es aus zwei gleichseitigen dreieckigen Grundflächen und drei gleichschenkligen Trapezen bestehen.
Das Foto unten zeigt, wie eine regelmäßige dreieckige Pyramide aus Papier aussieht.
Um das Volumen einer dreieckigen Pyramide zu bestimmen, müssen Sie ihre drei linearen Eigenschaften kennen: jede der Seiten der Basis und die Höhe der Figur, gleich dem Abstand zwischen der oberen und unteren Basis. Die entsprechende Formel für das Volumen lautet wie folgt:
V = √3/12 × h × (A 2 + a 2 + A × a)
Dabei ist h die Höhe der Figur, A und a die Seitenlängen des großen (unteren) bzw. kleinen (oberen) gleichseitigen Dreiecks.
Die Lösung des Problems
Um die Informationen im Artikel für den Leser klarer zu machen, werden wir sie zeigen klares Beispiel, wie man einige der geschriebenen Formeln verwendet.
Das Volumen der dreieckigen Pyramide sei 15 cm 3 . Es ist bekannt, dass die Zahl korrekt ist. Sie sollten das Apothem a b der Seitenkante finden, wenn Sie wissen, dass die Höhe der Pyramide 4 cm beträgt.
Da das Volumen und die Höhe der Figur bekannt sind, können Sie mit der entsprechenden Formel die Seitenlänge ihrer Basis berechnen. Wir haben:
V = √3/12 × a 2 × h =>
a = 12 × V / (√3 × h) = 12 × 15 / (√3 × 4) = 25,98 cm
a b = √(h 2 + a 2 / 12) = √(16 + 25,98 2 / 12) = 8,5 cm
Es stellte sich heraus, dass die berechnete Länge des Apothems der Figur größer als ihre Höhe war, was für jede Art von Pyramide gilt.
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Lernziele.
Lehrreich: Leiten Sie eine Formel zur Berechnung des Volumens einer Pyramide her
Entwicklung: Entwicklung des kognitiven Interesses der Studierenden an akademischen Disziplinen und der Fähigkeit, ihr Wissen in der Praxis anzuwenden.
Lehrreich: Aufmerksamkeit und Genauigkeit fördern, den Horizont der Schüler erweitern.
Ausrüstung und Materialien: Computer, Leinwand, Projektor, Präsentation „Volumen der Pyramide“.
1. Frontale Umfrage. Folien 2, 3
Was man Pyramide nennt, Basis der Pyramide, Rippen, Höhe, Achse, Apothem. Welche Pyramide heißt regelmäßige Pyramide, Tetraeder, Pyramidenstumpf?
Eine Pyramide ist ein Polyeder, das aus einer Fläche besteht Polygon, Punkte, nicht in der Ebene dieses Polygons liegend und alle Segmente, diesen Punkt mit den Punkten des Polygons verbinden.
Dieser Punkt angerufen Spitze Pyramiden, und ein flaches Polygon ist die Basis der Pyramide. Segmente Die Verbindung der Spitze der Pyramide mit den Spitzen der Basis wird als bezeichnet Rippen . Höhe Pyramiden - aufrecht, abgesenkt von der Spitze der Pyramide bis zur Ebene der Basis. Apothema - Seitenkantenhöhe richtige Pyramide. Die Pyramide, die an der Wurzel ist richtig n-gon, A Höhe Basis fällt zusammen mit Mitte der Basis angerufen richtig n-eckige Pyramide. Achse einer regelmäßigen Pyramide ist die Gerade, die ihre Höhe enthält. Eine regelmäßige dreieckige Pyramide wird Tetraeder genannt. Wenn die Pyramide von einer Ebene parallel zur Basisebene geschnitten wird, wird sie von der Pyramide abgeschnitten. ähnlich gegeben. Der verbleibende Teil heißt Pyramidenstumpf.
2. Herleitung der Formel zur Berechnung des Volumens der Pyramide V=SH/3 Folien 4, 5, 6
1. Sei SABC eine dreieckige Pyramide mit Scheitelpunkt S und Basis ABC.
2. Fügen wir diese Pyramide zu einem dreieckigen Prisma mit derselben Grundfläche und Höhe hinzu.
3. Dieses Prisma besteht aus drei Pyramiden:
1) dieser SABC-Pyramide.
2) Pyramiden SCC 1 B 1.
3) und Pyramiden SCBB 1.
4. Die zweite und dritte Pyramide haben gleiche Grundflächen CC 1 B 1 und B 1 BC und eine Gesamthöhe vom Scheitelpunkt S bis zur Fläche des Parallelogramms BB 1 C 1 C. Daher haben sie gleiche Volumina.
5. Die erste und dritte Pyramide haben auch gleiche Grundflächen SAB und BB 1 S und übereinstimmende Höhen, die vom Scheitelpunkt C zur Fläche des Parallelogramms ABB 1 S gezogen werden. Daher haben sie auch gleiche Volumina.
Das bedeutet, dass alle drei Pyramiden das gleiche Volumen haben. Da die Summe dieser Volumina gleich dem Volumen des Prismas ist, sind die Volumina der Pyramiden gleich SH/3.
Das Volumen jeder dreieckigen Pyramide entspricht einem Drittel des Produkts aus Grundfläche und Höhe.
3. Konsolidierung von neuem Material. Lösung von Übungen.
1) Problem № 33 aus dem Lehrbuch von A.N. Pogorelova. Folien 7, 8, 9
Auf der Basisseite? Und seitliche Rippe b Finden Sie das Volumen einer regelmäßigen Pyramide mit der Grundfläche:
1) Dreieck,
2) Viereck,
3) Sechseck.
Bei einer regelmäßigen Pyramide verläuft die Höhe durch den Mittelpunkt eines Kreises, der die Basis umschreibt. Dann: (Anhang)
4. Historische Informationen zu den Pyramiden. Folien 15, 16, 17
Der erste unserer Zeitgenossen, der eine Reihe ungewöhnlicher Phänomene im Zusammenhang mit der Pyramide feststellte, war der französische Wissenschaftler Antoine Bovy. Als er in den 30er Jahren des 20. Jahrhunderts die Cheops-Pyramide erkundete, entdeckte er, dass die Körper kleiner Tiere, die versehentlich im königlichen Raum landeten, mumifiziert waren. Bovey erklärte sich den Grund dafür mit der Form einer Pyramide und wie sich herausstellte, täuschte er sich nicht. Seine Werke bildeten die Grundlage moderne Forschung, weshalb in den letzten 20 Jahren zahlreiche Bücher und Veröffentlichungen erschienen sind, die bestätigen, dass die Energie der Pyramiden praktische Bedeutung haben kann.
Das Geheimnis der Pyramiden
Einige Forscher argumentieren, dass die Pyramide eine große Menge an Informationen über die Struktur des Universums, des Sonnensystems und des Menschen enthält, kodiert in ihrer geometrischen Form, genauer gesagt in der Form eines Oktaeders, dessen Hälfte die Pyramide darstellt. Die Pyramide mit der Spitze nach oben symbolisiert das Leben, mit der Spitze nach unten symbolisiert sie den Tod. andere Welt. Genau wie die Bestandteile des Davidsterns (Magen David), bei dem das nach oben gerichtete Dreieck den Aufstieg zum Höheren Geist, Gott, symbolisiert und das Dreieck mit seiner Spitze nach unten den Abstieg der Seele zur Erde, der materiellen Existenz, symbolisiert ...
Der digitale Wert des Codes, mit dem Informationen über das Universum in der Pyramide verschlüsselt werden, die Zahl 365, wurde nicht zufällig gewählt. Dies ist zunächst einmal der jährliche Lebenszyklus unseres Planeten. Außerdem besteht die Zahl 365 aus den drei Ziffern 3, 6 und 5. Was bedeuten sie? Wenn drin Sonnensystem Die Sonne geht an Nummer 1 vorbei, Merkur – 2, Venus – 3, Erde – 4, Mars – 5, Jupiter – 6, Saturn – 7, Uranus – 8, Neptun – 9, Pluto – 10, dann ist 3 Venus, 6 – Jupiter und 5 – Mars. Folglich ist die Erde auf besondere Weise mit diesen Planeten verbunden. Addiert man die Zahlen 3, 6 und 5, erhält man 14, davon ist 1 die Sonne und 4 die Erde.
Die Zahl 14 hat im Allgemeinen globale Bedeutung: Insbesondere basiert die Struktur der menschlichen Hände auf ihr, deren Gesamtzahl der Fingerglieder jeweils ebenfalls 14 beträgt. Dieser Code hängt auch mit dem Sternbild Ursa Major zusammen, das umfasst unsere Sonne, und in dem es einst ein anderer Stern war, der Phaethon, einen Planeten zwischen Mars und Jupiter, zerstörte, woraufhin Pluto im Sonnensystem erschien und sich die Eigenschaften der verbleibenden Planeten änderten.
Viele esoterische Quellen behaupten, dass die Menschheit auf der Erde bereits viermal eine weltweite Katastrophe erlebt hat. Die dritte lemurische Rasse kannte die göttliche Wissenschaft des Universums, dann wurde diese geheime Lehre nur an Eingeweihte weitergegeben. Zu Beginn der Zyklen und Halbzyklen des Sternjahres bauten sie Pyramiden. Sie waren kurz davor, den Code des Lebens zu entdecken. Die Zivilisation von Atlantis war in vielen Dingen erfolgreich, aber auf einem gewissen Wissensstand wurde sie durch eine weitere Planetenkatastrophe gestoppt, die mit einem Rassenwechsel einherging. Wahrscheinlich wollten uns die Eingeweihten vermitteln, dass in den Pyramiden Wissen über kosmische Gesetze steckt...
Spezielle Geräte in Form von Pyramiden neutralisieren die negative elektromagnetische Strahlung eines Computers, Fernsehers, Kühlschranks und anderer Elektrogeräte auf eine Person.
In einem der Bücher wird ein Fall beschrieben, bei dem eine im Fahrgastraum eines Autos installierte Pyramide den Kraftstoffverbrauch senkte und den CO-Gehalt in den Abgasen reduzierte.
Samen von Gartenfrüchten, die in Pyramiden gehalten wurden, hatten eine bessere Keimung und einen besseren Ertrag. In Veröffentlichungen wurde sogar empfohlen, die Samen vor der Aussaat in Pyramidenwasser einzuweichen.
Es wurde festgestellt, dass Pyramiden eine positive Wirkung haben Umweltsituation. Beseitigen Sie pathogene Zonen in Wohnungen, Büros und Sommerhäusern und schaffen Sie so eine positive Ausstrahlung.
Der niederländische Forscher Paul Dickens nennt in seinem Buch Beispiele für die heilenden Eigenschaften der Pyramiden. Er bemerkte, dass man mit ihrer Hilfe Kopfschmerzen und Gelenkschmerzen lindern, Blutungen aus kleinen Schnitten stoppen kann und dass die Energie der Pyramiden den Stoffwechsel anregt und das Immunsystem stärkt.
In einigen modernen Veröffentlichungen wird darauf hingewiesen, dass in einer Pyramide aufbewahrte Medikamente den Behandlungsverlauf verkürzen und das mit positiver Energie gesättigte Verbandmaterial die Wundheilung fördert.
Kosmetische Cremes und Salben verstärken ihre Wirkung.
Getränke, auch alkoholische, verbessern ihren Geschmack und das in 40 % Wodka enthaltene Wasser wirkt heilend. Um eine normale 0,5-Liter-Flasche mit positiver Energie aufzuladen, benötigen Sie zwar eine hohe Pyramide.
In einem Zeitungsartikel heißt es, dass Schmuck, wenn er unter einer Pyramide aufbewahrt wird, sich selbst reinigt und einen besonderen Glanz erhält, während Edel- und Halbedelsteine positive Bioenergie ansammeln und diese dann nach und nach abgeben.
Laut amerikanischen Wissenschaftlern verbessern Lebensmittel wie Getreide, Mehl, Salz, Zucker, Kaffee und Tee nach der Aufnahme in die Pyramide ihren Geschmack und billige Zigaretten ähneln ihren edlen Brüdern.
Das mag für viele nicht relevant sein, aber in einer kleinen Pyramide schärfen sich alte Rasierklingen von selbst, und in einer großen Pyramide gefriert das Wasser bei -40 Grad Celsius nicht.
Nach Ansicht der meisten Forscher ist dies alles ein Beweis für die Existenz der Pyramidenenergie.
Im Laufe der 5000 Jahre ihres Bestehens sind die Pyramiden zu einer Art Symbol geworden, das den Wunsch des Menschen verkörpert, den Gipfel des Wissens zu erreichen.
5. Zusammenfassung der Lektion.
Literaturverzeichnis.
1) http://schools.techno.ru
2) Pogorelov A.V. Geometrie 10-11, Verlag Prosveshchenie.
3) Enzyklopädie „Baum des Wissens“ Marshall K.
Eine der einfachsten dreidimensionalen Figuren ist die dreieckige Pyramide, da sie aus der kleinsten Anzahl von Flächen besteht, aus denen eine Figur im Raum gebildet werden kann. In diesem Artikel betrachten wir Formeln, mit denen sich das Volumen einer dreieckigen regelmäßigen Pyramide ermitteln lässt.
Dreieckige Pyramide
Entsprechend allgemeine Definition Eine Pyramide ist ein Polygon, dessen Eckpunkte alle mit einem Punkt verbunden sind, der nicht in der Ebene dieses Polygons liegt. Handelt es sich bei letzterer um ein Dreieck, so nennt man die gesamte Figur Dreieckspyramide.
Die jeweilige Pyramide besteht aus einer Grundfläche (Dreieck) und drei Seitenflächen (Dreiecken). Der Punkt, an dem die drei Seitenflächen verbunden sind, wird als Scheitelpunkt der Figur bezeichnet. Die Senkrechte von diesem Scheitelpunkt zur Basis ist die Höhe der Pyramide. Wenn der Schnittpunkt der Senkrechten mit der Grundfläche mit dem Schnittpunkt der Mittellinien des Dreiecks an der Grundfläche zusammenfällt, spricht man von einer regelmäßigen Pyramide. Sonst wird es schief.
Wie bereits erwähnt, kann die Basis einer dreieckigen Pyramide ein allgemeiner Dreieckstyp sein. Ist sie jedoch gleichseitig und die Pyramide selbst gerade, spricht man von einer regelmäßigen dreidimensionalen Figur.
Jede dreieckige Pyramide hat 4 Flächen, 6 Kanten und 4 Eckpunkte. Wenn die Längen aller Kanten gleich sind, nennt man eine solche Figur Tetraeder.
Volumen einer allgemeinen dreieckigen Pyramide
Bevor wir die Formel für das Volumen einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide aufschreiben, geben wir den Ausdruck dafür an physikalische Größe für eine allgemeine Pyramide. Dieser Ausdruck sieht so aus:
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Dabei ist S o die Grundfläche, h die Höhe der Figur. Diese Gleichheit gilt für jede Art von Pyramidenpolygonbasis sowie für einen Kegel. Befindet sich an der Basis ein darauf abgesenktes Dreieck mit der Seitenlänge a und der Höhe h o, dann lautet die Formel für das Volumen wie folgt:
V = 1/6*a*h o *h.
Formeln für das Volumen einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide
Eine regelmäßige dreieckige Pyramide hat an der Basis ein gleichseitiges Dreieck. Es ist bekannt, dass die Höhe dieses Dreiecks durch die Gleichung mit der Länge seiner Seite zusammenhängt:
Wenn wir diesen Ausdruck in die Formel für das Volumen einer dreieckigen Pyramide aus dem vorherigen Absatz einsetzen, erhalten wir:
V = 1/6*a*h o *h = √3/12*a 2 *h.
Das Volumen einer regelmäßigen Pyramide mit dreieckiger Grundfläche ist eine Funktion der Seitenlänge der Grundfläche und der Höhe der Figur.
Da irgendjemand regelmäßiges Vieleck kann in einen Kreis eingeschrieben werden, dessen Radius die Länge der Seite des Polygons eindeutig bestimmt, dann kann diese Formel durch den entsprechenden Radius r geschrieben werden:
V = √3/4*h*r 2 .
Diese Formel lässt sich leicht aus der vorherigen erhalten, wenn man berücksichtigt, dass der Radius r des umschriebenen Kreises durch die Länge der Seite a des Dreiecks durch den Ausdruck bestimmt wird:
Problem der Bestimmung des Volumens eines Tetraeders
Wir zeigen, wie Sie die obigen Formeln zur Lösung spezifischer Geometrieprobleme verwenden.
Es ist bekannt, dass ein Tetraeder eine Kantenlänge von 7 cm hat. Bestimmen Sie das Volumen eines regelmäßigen dreieckigen Pyramiden-Tetraeders.
Denken Sie daran, dass ein Tetraeder eine regelmäßige dreieckige Pyramide ist, bei der alle Grundflächen einander gleich sind. Um die Formel für das Volumen einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide zu verwenden, müssen Sie zwei Größen berechnen:
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- Länge der Seite des Dreiecks;
- Höhe der Figur.
Die erste Größe ist aus den Problembedingungen bekannt:
Um die Höhe zu bestimmen, berücksichtigen Sie die in der Abbildung gezeigte Zahl.
Das markierte Dreieck ABC ist ein rechtwinkliges Dreieck, wobei der Winkel ABC 90° beträgt. Die Seite AC ist die Hypotenuse und ihre Länge beträgt a. Mit einfachen geometrischen Überlegungen kann gezeigt werden, dass die Seite BC die Länge hat:
Beachten Sie, dass die Länge BC der Radius des Kreises ist, der das Dreieck umschreibt.
h = AB = √(AC 2 - BC 2) = √(a 2 - a 2 /3) = a*√(2/3).
Jetzt können Sie h und a in die entsprechende Volumenformel einsetzen:
V = √3/12*a 2 *a*√(2/3) = √2/12*a 3 .
Damit haben wir die Formel für das Volumen eines Tetraeders erhalten. Man erkennt, dass das Volumen nur von der Kantenlänge abhängt. Wenn wir den Wert aus den Problembedingungen in den Ausdruck einsetzen, erhalten wir die Antwort:
V = √2/12*7 3 ≈ 40,42 cm 3.
Wenn wir diesen Wert mit dem Volumen eines Würfels mit der gleichen Kante vergleichen, stellen wir fest, dass das Volumen des Tetraeders 8,5-mal kleiner ist. Dies weist darauf hin, dass es sich beim Tetraeder um eine kompakte Figur handelt, die in manchen Naturstoffen vorkommt. Beispielsweise hat das Methanmolekül eine tetraedrische Form und jedes Kohlenstoffatom im Diamant ist mit vier anderen Atomen verbunden, um ein Tetraeder zu bilden.
