Seitenkante einer sechseckigen Pyramide. Volumen einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide

Probleme mit Pyramiden. In diesem Artikel werden wir uns weiterhin mit Problemen mit Pyramiden befassen. Sie lassen sich keiner Klasse oder Art von Aufgaben zuordnen und es können keine allgemeinen (algorithmischen) Lösungsempfehlungen gegeben werden. Lediglich die restlichen Aufgaben, die vorher nicht berücksichtigt wurden, werden hier gesammelt.

Ich werde die Theorie auflisten, die Sie benötigen, um Ihr Gedächtnis aufzufrischen, bevor Sie sie lösen: Pyramiden, Eigenschaften der Ähnlichkeit von Figuren und Körpern, Eigenschaften regelmäßiger Pyramiden, Satz des Pythagoras, Formel für die Fläche eines Dreiecks (es ist die zweite). Betrachten wir die Aufgaben:

Von einer dreieckigen Pyramide mit einem Volumen von 80 wird eine dreieckige Pyramide durch eine Ebene abgeschnitten, die durch die Spitze der Pyramide und die Mittellinie der Basis verläuft. Finden Sie das Volumen der abgeschnittenen dreieckigen Pyramide.

Das Volumen einer Pyramide entspricht einem Drittel des Produkts aus der Fläche ihrer Grundfläche und ihrer Höhe:

Diese Pyramiden (ursprünglich und abgeschnitten) haben eine gemeinsame Höhe, sodass ihre Volumina mit den Flächen ihrer Grundflächen in Beziehung stehen. Die Mittellinie des ursprünglichen Dreiecks schneidet ein Dreieck ab, dessen Fläche viermal kleiner ist, das heißt:

Weitere Informationen hierzu finden Sie hier.

Das bedeutet, dass das Volumen der abgeschnittenen Pyramide viermal kleiner sein wird.

Es wird also gleich 20 sein.

Antwort: 20

* ein ähnliches Problem, es wird die Formel für die Fläche eines Dreiecks verwendet.

Das Volumen einer dreieckigen Pyramide beträgt 15. Die Ebene geht durch die Seite der Basis dieser Pyramide und schneidet die gegenüberliegende Seitenkante an einem Punkt, der sie im Verhältnis 1:2 teilt, gerechnet von der Spitze der Pyramide. Finden Sie das größte Volumen der Pyramiden, in das die Ebene die ursprüngliche Pyramide teilt.

Lasst uns eine Pyramide bauen und die Eckpunkte markieren.Markieren wir den Punkt E auf der Kante AS, sodass AE doppelt so groß ist wie ES (die Bedingung besagt, dass ES im Verhältnis 1 zu 2 zu AE steht), und konstruieren wir die angegebene Ebene, die durch die Kante AC und den Punkt E verläuft:

Lassen Sie uns analysieren, welches Volumen der Pyramide größer sein wird: EABC oder SEBC?

*Das Volumen einer Pyramide entspricht einem Drittel des Produkts aus der Fläche ihrer Grundfläche und ihrer Höhe:

Wenn wir die beiden resultierenden Pyramiden betrachten und in beiden die Fläche EBC als Basis nehmen, wird deutlich, dass das Volumen der Pyramide AEBS größer sein wird als das Volumen der Pyramide SEBC. Warum?

Der Abstand von Punkt A zur EBC-Ebene ist größer als der Abstand von Punkt S. Und dieser Abstand spielt für uns die Rolle der Höhe.

Ermitteln wir also das Volumen der Pyramide EABC.

Das Volumen der ursprünglichen Pyramide ist uns gegeben; die Pyramiden SABC und EABC haben eine gemeinsame Basis. Wenn wir das Höhenverhältnis ermitteln, können wir das Volumen leicht bestimmen.

Aus dem Verhältnis der Segmente ES und AE ergibt sich, dass AE zwei Drittel von ES beträgt. Die Höhen der Pyramiden SABC und EABC stehen im gleichen Verhältnis -Die Höhe der Pyramide EABC entspricht 2/3 der Höhe der Pyramide SABC.

Also, wenn

Das

Antwort: 10

Lautstärke korrekt sechseckige Pyramide 6. Die Seite der Basis ist 1. Finden Sie die Seitenkante.

Bei einer regelmäßigen Pyramide wird die Spitze in die Mitte der Basis projiziert.Lassen Sie uns zusätzliche Konstruktionen durchführen:

Wir können eine Seitenkante finden von rechtwinkliges Dreieck SOC. Dazu müssen Sie SO und OS kennen.

SO ist die Höhe der Pyramide, wir können sie mit der Volumenformel berechnen:

Berechnen wir die Fläche der Basis. Dies ist ein regelmäßiges Sechseck mit einer Seite gleich 1. Die Fläche eines regelmäßigen Sechsecks ist gleich der Fläche von sechs gleichseitigen Dreiecken mit derselben Seite, mehr dazu (Abschnitt 6), also:

Bedeutet

OS = BC = 1, da in einem regelmäßigen Sechseck das Segment, das seinen Mittelpunkt mit der Spitze verbindet, gleich der Seite dieses Sechsecks ist.

Nach dem Satz des Pythagoras gilt also:

Antwort: 7

VolumenDas Volumen eines Tetraeders beträgt 200. Finden Sie das Volumen eines Polyeders, dessen Eckpunkte die Mittelpunkte der Kanten des gegebenen Tetraeders sind.

Das Volumen des angegebenen Polyeders ist gleich der Differenz zwischen den Volumina des ursprünglichen Tetraeders V 0 und vier gleichen Tetraedern, die jeweils durch Abschneiden einer Ebene erhalten werden, die durch die Mittelpunkte der Kanten mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt verläuft:

Lassen Sie uns herausfinden, was gleich dem Volumen geschnittenes Tetraeder.

Beachten Sie, dass das ursprüngliche Tetraeder und das „abgeschnittene“ Tetraeder ähnliche Körper sind. Es ist bekannt, dass das Verhältnis der Volumina ähnlicher Körper gleich k 3 ist, wobei k der Ähnlichkeitskoeffizient ist. In diesem Fall ist es gleich 2 (da alle linearen Abmessungen des ursprünglichen Tetraeders doppelt so groß sind wie die entsprechenden Abmessungen des geschnittenen Tetraeders):

Berechnen wir das Volumen des geschnittenen Tetraeders:

Somit ist das erforderliche Volumen gleich:

Antwort: 100

Die Oberfläche des Tetraeders beträgt 120. Finden Sie die Oberfläche des Polyeders, dessen Eckpunkte die Mittelpunkte der Kanten des gegebenen Tetraeders sind.

Erster Weg:

Die benötigte Fläche besteht aus 8 gleichseitigen Dreiecken, deren Seite halb so groß ist wie die Kante des ursprünglichen Tetraeders. Die Oberfläche des ursprünglichen Tetraeders besteht aus 16 solcher Dreiecke (auf jeder der 4 Flächen des Tetraeders befinden sich 4 Dreiecke), sodass die erforderliche Fläche der Hälfte der Oberfläche des gegebenen Tetraeders entspricht und 60 beträgt.

Zweiter Weg:

Da die Oberfläche des Tetraeders bekannt ist, können wir seine Kante ermitteln, dann die Länge der Kante des Polyeders bestimmen und dann seine Oberfläche berechnen.

Die Oberfläche eines Tetraeders besteht aus vier regelmäßigen Dreiecken gleicher Fläche. Sei die Seite eines solchen Dreiecks (Kante des Tetraeders) gleich a, dann können wir schreiben:

Das ist alles. Viel Glück!

Mit freundlichen Grüßen Alexander Krutitskikh.

P.S.: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie mir in den sozialen Netzwerken von der Seite erzählen würden.

Die Berechnung der Volumina räumlicher Figuren ist eine davon wichtige Aufgaben Stereometrie. In diesem Artikel werden wir uns mit der Frage der Bestimmung des Volumens eines Polyeders wie einer Pyramide befassen und auch ein sechseckiges regelmäßiges Volumen angeben.

Sechseckige Pyramide

Schauen wir uns zunächst die Zahl an, die im Artikel besprochen wird.

Lassen Sie uns ein beliebiges Sechseck haben, dessen Seiten nicht unbedingt einander gleich sind. Nehmen wir außerdem an, dass wir einen Punkt im Raum gewählt haben, der nicht in der Ebene des Sechsecks liegt. Indem wir alle Ecken des letzteren mit dem ausgewählten Punkt verbinden, erhalten wir eine Pyramide. In der Abbildung unten sind zwei verschiedene Pyramiden mit sechseckiger Grundfläche dargestellt.

Man erkennt, dass die Figur neben dem Sechseck aus sechs Dreiecken besteht, deren Verbindungspunkt Scheitelpunkt genannt wird. Der Unterschied zwischen den dargestellten Pyramiden besteht darin, dass die Höhe h der rechten Figur die sechseckige Grundfläche nicht in ihrem geometrischen Mittelpunkt schneidet, während die Höhe der linken Figur genau in diesem Mittelpunkt liegt. Aufgrund dieses Kriteriums wurde die linke Pyramide als gerade und die rechte Pyramide als geneigt bezeichnet.

Da die Basis der linken Figur in der Abbildung durch ein Sechseck mit gleichen Seiten und Winkeln gebildet wird, wird sie regelmäßig genannt. Weiter im Artikel wir werden reden nur über diese Pyramide.

Um das Volumen einer beliebigen Pyramide zu berechnen, gilt folgende Formel:

Hier ist h die Länge der Höhe der Figur, S o ist die Fläche ihrer Basis. Verwenden wir diesen Ausdruck, um das Volumen einer sechseckigen regelmäßigen Pyramide zu bestimmen.

Da die Basis der betreffenden Figur ein gleichseitiges Sechseck ist, können Sie zur Berechnung ihrer Fläche den folgenden allgemeinen Ausdruck für ein n-Eck verwenden:

S n = n/4 * a 2 * ctg(pi/n)

Hier ist n eine ganze Zahl, die der Anzahl der Seiten (Winkel) des Polygons entspricht, a ist die Länge seiner Seite, die Kotangensfunktion wird anhand der entsprechenden Tabellen berechnet.

Wenn wir den Ausdruck für n = 6 anwenden, erhalten wir:

S 6 = 6/4 * a 2 * ctg(pi/6) = √3/2 * a 2

Jetzt bleibt nur noch, diesen Ausdruck zu ersetzen allgemeine Formel für Band V:

V 6 = S 6 * h = √3/2 * h * a 2

Um das Volumen der betreffenden Pyramide zu berechnen, ist es daher notwendig, ihre beiden linearen Parameter zu kennen: die Länge der Basisseite und die Höhe der Figur.

Beispiel einer Problemlösung

Lassen Sie uns zeigen, wie der resultierende Ausdruck für V 6 zur Lösung des folgenden Problems verwendet werden kann.

Es ist bekannt, dass das richtige Volumen 100 cm 3 beträgt. Es ist notwendig, die Seite der Basis und die Höhe der Figur zu bestimmen, wenn bekannt ist, dass sie durch die folgende Gleichung miteinander in Beziehung stehen:

Da die Formel für das Volumen nur a und h enthält, können Sie jeden dieser Parameter einsetzen, ausgedrückt durch den anderen. Wenn wir beispielsweise a ersetzen, erhalten wir:

V 6 = √3/2*h*(2*h) 2 =>

h = ∛(V 6 /(2*√3))

Um die Höhe einer Figur zu ermitteln, müssen Sie die dritte Wurzel aus dem Volumen ziehen, die der Längendimension entspricht. Ersetzen wir den Wert des Volumens V 6 der Pyramide aus den Problembedingungen, erhalten wir die Höhe:

h = ∛(100/(2*√3)) ≈ 3,0676 cm

Da die Seite der Basis entsprechend der Problemstellung doppelt so groß ist wie der gefundene Wert, erhalten wir den Wert dafür:

a = 2*h = 2*3,0676 = 6,1352 cm

Das Volumen einer sechseckigen Pyramide lässt sich nicht nur durch die Höhe der Figur und den Seitenwert ihrer Grundfläche ermitteln. Um sie zu berechnen, reicht es aus, zwei verschiedene lineare Parameter der Pyramide zu kennen, beispielsweise das Apothem und die Länge der Seitenkante.

Pyramiden sind: dreieckig, viereckig usw., je nachdem, was die Basis ist – Dreieck, Viereck usw.
Eine Pyramide heißt regelmäßig (Abb. 286, b), wenn erstens ihre Basis ist regelmäßiges Vieleck und zweitens geht die Höhe durch die Mitte dieses Polygons.
Andernfalls wird die Pyramide als unregelmäßig bezeichnet (Abb. 286, c). In einer regelmäßigen Pyramide sind alle Seitenrippen einander gleich (wie schräge mit gleichen Vorsprüngen). Daher alle Seitenflächen regelmäßige Pyramide Es gibt gleichschenklige Dreiecke.
Analyse der Elemente einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide und deren Darstellung in einer komplexen Zeichnung (Abb. 287).

a) Komplexe Zeichnung einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide. Die Basis der Pyramide liegt auf der Ebene P 1; zwei Seiten der Basis der Pyramide sind parallel zur Projektionsebene P 2.
b) Die Basis ABCDEF ist ein Sechseck, das in der Projektionsebene P 1 liegt.
c) Die Seitenfläche von ASF ist ein Dreieck, das in der Hauptebene liegt.
d) Die Seitenfläche von FSE ist ein Dreieck, das in der Profilprojektionsebene liegt.
e) Edge SE ist ein Segment in allgemeiner Position.
f) Rib SA – Frontalsegment.
g) Die Spitze S der Pyramide ist ein Punkt im Raum.
Die Abbildungen 288 und 289 zeigen Beispiele für sequentielle Grafikoperationen bei der Durchführung komplexer Zeichnungen und visueller Bilder (Axonometrie) der Pyramiden.

Gegeben:
1. Die Basis befindet sich auf der Ebene P 1.
2. Eine der Seiten der Basis ist parallel zur x-Achse 12.
I. Komplexe Zeichnung.
Ich, a. Wir entwerfen die Basis der Pyramide - ein Polygon, das gemäß dieser Bedingung in der Ebene P1 liegt.
Wir entwerfen einen Scheitelpunkt – einen Punkt im Raum. Die Höhe des Punktes S ist gleich der Höhe der Pyramide. Die horizontale Projektion S 1 des Punktes S liegt in der Mitte der Projektion der Basis der Pyramide (gemäß der Bedingung).
Ich, geb. Wir entwerfen die Kanten der Pyramidensegmente; Dazu verbinden wir die Projektionen der Scheitelpunkte der Basis ABCDE mit den entsprechenden Projektionen des Scheitelpunkts der Pyramide S durch Geraden. Wir stellen die Frontalprojektionen S 2 C 2 und S 2 D 2 der Kanten der Pyramide mit gestrichelten Linien dar, als unsichtbar, geschlossen durch die Kanten der Pyramide (SА und SAE).
Ich, c. Bei einer horizontalen Projektion K 1 des Punktes K auf der Seitenfläche von SBA müssen Sie dessen Frontalprojektion ermitteln. Zeichnen Sie dazu eine Hilfslinie S 1 F 1 durch die Punkte S 1 und K 1 , finden Sie deren Frontalprojektion und bestimmen Sie darauf mithilfe einer vertikalen Verbindungslinie den Ort der gewünschten Frontalprojektion K 2 des Punktes K .
II. Die Entwicklung der Oberfläche einer Pyramide ist eine flache Figur, die aus Seitenflächen besteht – identischen gleichschenkligen Dreiecken, von denen eine Seite gleich der Seite der Basis und die anderen beiden – den Seitenkanten und aus einem regelmäßigen Vieleck – entspricht die Basis.
Die natürlichen Abmessungen der Seiten des Sockels kommen in der horizontalen Projektion zum Vorschein. Die natürlichen Abmessungen der Rippen waren in den Projektionen nicht erkennbar.
Hypotenuse S 2 ¯A 2 (Abb. 288, 1 , b) ein rechtwinkliges Dreieck S 2 O 2 ¯A 2 , bei dem der große Schenkel gleich der Höhe S 2 O 2 der Pyramide und der kleine Schenkel gleich der horizontalen Projektion der Kante S 1 A 1 ist die natürliche Größe des Randes der Pyramide. Der Bau des Sweeps sollte in durchgeführt werden Nächste Bestellung:
a) Von einem beliebigen Punkt S (Scheitelpunkt) zeichnen wir einen Bogen mit dem Radius R gleich der Kante der Pyramide;
b) Auf dem gezeichneten Bogen legen wir fünf Akkorde der Größe R 1 gleich der Seite der Basis ab;
c) Verbinden Sie die Punkte D, C, B, A, E, D mit Geraden in Reihe miteinander und mit Punkt S erhalten wir fünf gleichschenklige Linien gleiche Dreiecke, die die Entwicklung der Seitenfläche dieser Pyramide darstellt, entlang der Kante SD geschnitten;
d) Wir befestigen die Basis der Pyramide – ein Fünfeck – mithilfe der Triangulationsmethode an einer beliebigen Fläche, beispielsweise an der DSE-Fläche.
Die Übertragung des Punktes K auf den Scan erfolgt durch eine Hilfsgerade unter Verwendung der Abmessung B 1 F 1 der Horizontalprojektion und der Abmessung A 2 K 2 der natürlichen Rippengröße.
III. Eine visuelle Darstellung einer Pyramide in Isometrie.
III, a. Wir stellen die Basis der Pyramide anhand der Koordinaten gemäß (Abb. 288, 1 , A).
Wir stellen die Spitze der Pyramide mit den Koordinaten gemäß (Abb. 288, 1 , A).
III, geb. Wir stellen die Seitenkanten der Pyramide dar, die die Spitze mit den Spitzen der Basis verbinden. Die Kante S"D" und die Seiten der Basis C"D" und D"E" sind mit gestrichelten Linien dargestellt, als unsichtbar, geschlossen durch die Kanten der Pyramide C"S"B", B"S"A" und A"S"E".
III, e. Wir bestimmen den Punkt K auf der Oberfläche der Pyramide anhand der Abmessungen y F und x K. Für ein dimetrisches Bild einer Pyramide sollte die gleiche Reihenfolge eingehalten werden.
Bild einer unregelmäßigen dreieckigen Pyramide.

Gegeben:
1. Die Basis befindet sich auf der Ebene P 1.
2. Seite BC der Basis steht senkrecht zur X-Achse.
I. Komplexe Zeichnung
Ich, a. Gestaltung der Basis der Pyramide - gleichschenkligen Dreiecks, liegt in der Ebene P 1, und der Scheitelpunkt S ist ein im Raum gelegener Punkt, dessen Höhe gleich der Höhe der Pyramide ist.
Ich, geb. Wir entwerfen die Kanten der Pyramide – Segmente, für die wir gerade Linien der gleichnamigen Projektionen der Basisscheitelpunkte mit den gleichnamigen Projektionen der Pyramidenspitze verbinden. Wir stellen die horizontale Projektion der Seite der Basis des Flugzeugs mit einer gestrichelten Linie dar, wie unsichtbar, bedeckt von zwei Flächen der Pyramide ABS, ACS.
Ich, c. Auf der Frontalprojektion A 2 C 2 S 2 der Seitenfläche ist eine Projektion D 2 des Punktes D gegeben. Sie müssen seine horizontale Projektion finden. Dazu zeichnen wir durch Punkt D 2 eine Hilfslinie parallel zur x 12-Achse - die Frontalprojektion der Horizontalen, finden dann deren horizontale Projektion und bestimmen darauf mithilfe einer vertikalen Verbindungslinie den Ort des Gewünschten horizontale Projektion D 1 von Punkt D.
II. Konstruieren eines Pyramidenscans.
Auf der horizontalen Projektion kommen die natürlichen Abmessungen der Seiten des Sockels zum Vorschein. Die natürliche Größe der Rippe AS wurde in der Frontalprojektion sichtbar; In den Projektionen gibt es keine Kanten BS und CS natürlicher Größe; die Größe dieser Kanten wird durch Drehen um die i-Achse senkrecht zur Ebene P1, die durch die Spitze der Pyramide S verläuft, sichtbar. Die neue Frontalprojektion ¯C 2 S 2 ist der natürliche Wert der Kante CS.
Die Reihenfolge der Konstruktion der Entwicklung der Oberfläche der Pyramide:
a) Zeichnen Sie ein gleichschenkliges Dreieck - Fläche CSB, dessen Basis gleich der Seite der Basis der Pyramide CB ist und deren Seiten gleich der natürlichen Größe der Kante SC sind;
b) Wir befestigen zwei Dreiecke an den Seiten SC und SB des konstruierten Dreiecks – den Flächen der Pyramide CSA und BSA, und an der Basis CB des konstruierten Dreiecks – der Basis CBA der Pyramide, als Ergebnis erhalten wir eine vollständige Entwicklung der Oberfläche dieser Pyramide.
Die Übertragung von Punkt D auf den Scan erfolgt in der folgenden Reihenfolge: Zeichnen Sie zunächst auf dem Scan der Seitenfläche ASC eine horizontale Linie mit der Größe R 1 und bestimmen Sie dann die Position von Punkt D auf der horizontalen Linie mit der Größe R 2.
III. Eine visuelle Darstellung der frontalen dimetrischen Projektion der Pyramide
III, a. Wir stellen die Basis A"B"C und die Spitze S" der Pyramide dar, indem wir Koordinaten gemäß (

Anweisungen

Ersetzen Sie bei einer quadratischen Pyramidenbasis mit bekannter Seitenlänge (a) und gegebenem Volumen (V) die Fläche in der Berechnungsformel aus dem vorherigen Schritt durch die quadratische Seitenlänge: H = 3*V/a².

Die Formel aus dem ersten Schritt kann umgewandelt werden, um die Höhe (H) einer regelmäßigen Pyramide mit einer beliebig geformten Basis zu berechnen. Die anfänglichen Daten, die dabei berücksichtigt werden sollten, sind das Volumen (V) des Polyeders, die Länge der Kante an der Basis (a) und die Anzahl der Eckpunkte an der Basis (n). Die Fläche eines regelmäßigen Vielecks wird durch ein Viertel des Produkts aus der Anzahl der Eckpunkte, dem Quadrat der Seitenlänge und dem Kotangens des Winkels bestimmt, gleich dem Verhältnis von 180° und der Anzahl der Eckpunkte: ¼* n*a²*ctg(180°/n). Setzen Sie diesen Ausdruck in die Formel aus dem ersten Schritt ein: H = 3*V/(¼*n*a²*ctg(180°/n)) = 12*V/(n*a²*ctg(180°/n)) .

Wenn die Fläche der Basis aus den Bedingungen des Problems unbekannt ist und nur das Volumen (V) und die Länge der Kante (a) angegeben sind, kann die fehlende Variable in der Formel aus dem vorherigen Schritt ersetzt werden durch sein Äquivalent, ausgedrückt in der Länge der Kante. Die Fläche (sie liegt, wie Sie sich erinnern, an der Basis der Pyramide des betreffenden Typs) entspricht einem Viertel des Produkts Quadratwurzel von drei bis zum Quadrat der Seitenlänge. Setzen Sie diesen Ausdruck anstelle der Fläche der Basis in die Formel aus dem vorherigen Schritt ein und erhalten Sie das folgende Ergebnis: H = 3*V*4/(a²*√3) = 12*V/(a²*√3 ).

Da das Volumen eines Tetraeders auch durch die Kantenlänge ausgedrückt werden kann, können alle Variablen aus der Formel zur Berechnung der Höhe einer Figur entfernt werden, so dass nur die Seite ihrer Fläche übrig bleibt. Das Volumen dieser Pyramide wird berechnet, indem man das Produkt aus der Quadratwurzel aus zwei und der Kubiklänge der Fläche durch 12 dividiert. Setzen Sie diesen Ausdruck in die Formel aus dem vorherigen Schritt ein und erhalten Sie das Ergebnis: H = 12*(a³*√2/12)/(a²*√3) = (a³*√2)/(a²*√3) = a* √⅔ = ⅓*a*√6.

Das richtige Prisma kann in eine Kugel eingeschrieben werden, und wenn man nur seinen Radius (R) kennt, kann man das Tetraeder berechnen. Die Länge der Kante ist gleich dem Vierfachen des Verhältnisses aus Radius und Quadratwurzel aus sechs. Ersetzen Sie die Variable a in der Formel aus dem vorherigen Schritt durch diesen Ausdruck und erhalten Sie die Gleichheit: H = ⅓*√6*4*R/√6 = 4*r/3.

Eine ähnliche Formel kann erhalten werden, wenn man den Radius (r) des in das Tetraeder eingeschriebenen Kreises kennt. In diesem Fall beträgt die Länge der Kante zwölf Verhältnisse zwischen dem Radius und dem Quadrat von sechs. Setzen Sie diesen Ausdruck in die Formel aus dem dritten Schritt ein: H = ⅓*a*√6 = ⅓*√6*12*R/√6 = 4*R.

Die Pyramide ist eine der mystischsten Figuren der Geometrie. Damit sind Ströme kosmischer Energie verbunden; viele antike Völker wählten diese besondere Form für den Bau ihrer religiösen Gebäude. Aus mathematischer Sicht ist eine Pyramide jedoch nur ein Polyeder mit einem Polygon an der Basis und die Flächen sind Dreiecke mit einer gemeinsamen Spitze. Schauen wir uns an, wie man es findet Quadrat Kanten V Pyramide.

Du wirst brauchen

• Taschenrechner.

Anweisungen

Arten von Pyramiden: regelmäßig (an der Basis befindet sich ein regelmäßiges Polygon und die Eckpunkte befinden sich in seiner Mitte), beliebig (an der Basis befindet sich ein beliebiges Polygon und die Projektion des Scheitelpunkts stimmt nicht unbedingt mit seinem Mittelpunkt überein), rechteckig (eine davon). die Seitenkanten bilden einen rechten Winkel mit der Basis) und . Abhängig von den Seiten des Polygons an der Basis der Pyramide wird es drei-, vier-, fünf- oder beispielsweise zehneckig genannt.

Für alle Arten von Pyramiden, außer Pyramidenstümpfen: Multiplizieren Sie die Länge der Basis des Dreiecks und die Höhe, die von der Spitze der Pyramide darauf abgesenkt wird. Teilen Sie das resultierende Produkt durch 2 – das ist das gewünschte Ergebnis Quadrat Seite Kanten Pyramiden.

PyramidenstumpfFalten Sie beide Basen des Trapezes, das die Fläche einer solchen Pyramide darstellt. Teilen Sie den resultierenden Betrag durch zwei. Multiplizieren Sie den resultierenden Wert mit der Höhe Kanten-Trapez. Der resultierende Wert ist Quadrat Seite Kanten Pyramiden dieser Art.

Video zum Thema

Hilfreicher Rat

Die Fläche der Mantelfläche und der Basis, der Umfang der Basis der Pyramide und ihr Volumen sind durch bestimmte Formeln verbunden. Dies ermöglicht manchmal die Berechnung der Werte der fehlenden Daten, die zur Bestimmung der Fläche einer Fläche in der Pyramide erforderlich sind.

Das Volumen jeder nicht abgeschnittenen Pyramide entspricht einem Drittel des Produkts aus der Höhe der Pyramide und der Grundfläche. Für eine regelmäßige Pyramide gilt: Die Fläche der Mantelfläche entspricht dem halben Umfang der Grundfläche multipliziert mit der Höhe einer der Flächen. Ersetzen Sie bei der Berechnung des Volumens eines Pyramidenstumpfes anstelle der Grundfläche einen Wert, der der Summe der Flächen der oberen und unteren Grundfläche und der Quadratwurzel ihres Produkts entspricht.

Quellen:

• Stereometrie
• wie man die Seitenfläche einer Pyramide findet

Eine Pyramide heißt rechteckig, wenn eine ihrer Kanten senkrecht zur Grundfläche steht, also in einem Winkel von 90° steht. Diese Kante entspricht auch der Höhe der rechteckigen Pyramide. Die Formel für das Volumen einer Pyramide wurde erstmals von Archimedes abgeleitet.

Du wirst brauchen

• - Griff;
• - Papier;
• - Taschenrechner.

Anweisungen

In einer rechteckigen Höhe gibt es eine Kante, die in einem Winkel von 90 ° zur Basis steht. Die Fläche der rechteckigen Grundfläche wird mit S bezeichnet, und die Höhe wird ebenfalls mit S bezeichnet Pyramiden, − h. Dann, um die Lautstärke davon zu ermitteln Pyramiden, ist es notwendig, die Fläche seiner Grundfläche mit seiner Höhe zu multiplizieren und durch 3 zu dividieren. Somit ergibt sich das Volumen eines Rechtecks Pyramiden berechnet nach der Formel: V=(S*h)/3.

Erstellen Sie gemäß den angegebenen Parametern. Beschriften Sie die Basis mit dem lateinischen ABCDE und die Oberseite Pyramiden- S. Da sich die Zeichnung in der Projektion auf einer Ebene befindet, geben Sie zur Vermeidung von Verwirrung die Daten an, die Sie bereits kennen: SE = 30 cm; S(ABCDE)=45 cm².

Berechnen Sie das Volumen eines Rechtecks Pyramiden, unter Verwendung der Formel. Wenn man die Daten ersetzt und Berechnungen durchführt, stellt sich heraus, dass das Volumen ein Rechteck ist Pyramiden wird gleich sein: V=(45*30)/3=cm³.

Wenn die Problemstellung keine Daten zu und Höhe enthält Pyramiden, dann müssen Sie zusätzliche Berechnungen durchführen, um diese Werte zu erhalten. Die Fläche der Basis wird abhängig davon berechnet, ob das Polygon an seiner Basis liegt.

Höhe Pyramiden Finden Sie heraus, ob Sie die Hypotenuse eines der rechteckigen EDS oder EAS und den Winkel kennen, in dem die Seitenfläche SD oder SA zu ihrer Basis geneigt ist. Berechnen Sie den SE-Zweig mithilfe des Sinussatzes. Es wird die Höhe des Rechtecks ​​sein Pyramiden.

beachten Sie

Bei der Berechnung von Größen wie Höhe, Volumen, Fläche sollten Sie bedenken, dass jede davon ihre eigene Maßeinheit hat. Die Fläche wird also in cm², die Höhe in cm und das Volumen in cm³ gemessen.
Ein Kubikzentimeter ist eine Volumeneinheit, die dem Volumen eines Würfels mit einer Kantenlänge von 1 cm entspricht. Wenn wir die Daten in unsere Formel einsetzen, erhalten wir: cm³= (cm²*cm)/3.

Hilfreicher Rat

Wenn das Problem darin besteht, das Volumen einer rechteckigen Pyramide zu ermitteln, sind in der Regel alle notwendigen Daten bekannt – zumindest um die Grundfläche und die Höhe der Figur zu ermitteln.

Eine Zeichnung ist der erste und sehr wichtige Schritt zur Lösung eines geometrischen Problems. Wie sollte die Zeichnung einer regelmäßigen Pyramide aussehen?

Erinnern wir uns zunächst parallele Designeigenschaften:

- parallele Segmente einer Figur werden durch parallele Segmente dargestellt;

— Das Verhältnis der Längen von Abschnitten paralleler Linien und Abschnitten einer geraden Linie bleibt erhalten.

Zeichnung einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide

Zuerst zeichnen wir die Basis. Da beim Parallelentwurf die Winkel und Längenverhältnisse nichtparalleler Segmente nicht erhalten bleiben, wird das regelmäßige Dreieck an der Basis der Pyramide als beliebiges Dreieck dargestellt.

Der Mittelpunkt eines regelmäßigen Dreiecks ist der Schnittpunkt der Dreiecksmediane. Da die Mediane am Schnittpunkt vom Scheitelpunkt aus im Verhältnis 2:1 geteilt sind, verbinden wir gedanklich den Scheitelpunkt der Basis mit der Mitte der gegenüberliegenden Seite, teilen ihn ungefähr in drei Teile und setzen einen Punkt auf einen Abstand von 2 Teilen vom Scheitelpunkt. Von diesem Punkt aus zeichnen wir eine Senkrechte nach oben. Dies ist die Höhe der Pyramide. Zeichnen Sie eine Senkrechte mit einer solchen Länge, dass die Seitenkante das Bild der Höhe nicht verdeckt.

Zeichnung korrekt viereckige Pyramide

Wir beginnen auch mit dem Zeichnen einer regelmäßigen viereckigen Pyramide von der Basis aus. Da die Parallelität der Segmente erhalten bleibt, die Winkelwerte jedoch nicht, wird das Quadrat an der Basis als Parallelogramm dargestellt. Vorzugsweise scharfe Ecke Machen Sie dieses Parallelogramm kleiner, dann werden die Seitenflächen größer. Der Mittelpunkt eines Quadrats ist der Schnittpunkt seiner Diagonalen. Wir zeichnen Diagonalen und stellen vom Schnittpunkt eine Senkrechte wieder her. Diese Senkrechte ist die Höhe der Pyramide. Wir wählen die Länge der Senkrechten so, dass die Seitenrippen nicht miteinander verschmelzen.

Zeichnung einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide

Da beim Parallelentwurf die Parallelität der Segmente erhalten bleibt, wird die Grundfläche einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide – eines regelmäßigen Sechsecks – als Sechseck dargestellt, dessen gegenüberliegende Seiten parallel und gleich sind. Der Mittelpunkt eines regelmäßigen Sechsecks ist der Schnittpunkt seiner Diagonalen. Um die Zeichnung nicht zu überladen, zeichnen wir keine Diagonalen, sondern ermitteln diesen Punkt ungefähr. Daraus stellen wir die Senkrechte – die Höhe der Pyramide – wieder her, damit die Seitenrippen nicht miteinander verschmelzen.