Die Gleichung einer durch t.u A(ha; wah) und eine Steigung haben k, wird in das Formular geschrieben

y - ya \u003d k (x - xa).(5)

Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte geht t. A (x 1; y 1) usw. B (x 2; y 2), hat die Form

Wenn die Punkte ABER und BEI eine gerade Linie definieren parallel zur Ox-Achse (y 1 \u003d y 2) oder y-Achse (x 1 = x 2), dann schreibt man die Gleichung einer solchen Geraden jeweils in der Form:

y = y 1 oder x = x 1(7)

Normalgleichung einer Geraden

Es gebe eine durchgehende Linie C gegebener Punkt Mo (Xo; Uo) und senkrecht zum Vektor (A; B). Jeder Vektor, der senkrecht zu einer gegebenen Linie steht, heißt sein normaler Vektor. Wählen wir einen beliebigen Punkt M auf der Geraden (x; y). Dann und damit ihr Skalarprodukt. Diese Gleichheit kann in Koordinaten geschrieben werden

A (x-x o) + B (y-y o) \u003d 0 (8)

Gleichung (8) wird aufgerufen Normalgleichung einer Geraden .

Parametrische und kanonische Gleichungen einer Geraden

Lassen Sie die Linie l durch Startpunkt gegeben M 0 (x 0; y 0) und Richtungsvektor ( eine 1; eine 2),. Lassen Sie t. M(x;y)- irgendein Punkt auf einer Linie l Dann ist der Vektor kollinear zum Vektor . Daher = . Wenn wir diese Gleichung in Koordinaten schreiben, erhalten wir die parametrische Gleichung der geraden Linie

Lassen Sie uns den Parameter t aus Gleichung (9) ausschließen. Dies ist möglich, weil der Vektor und damit mindestens eine seiner Koordinaten nicht Null ist.

Lassen Sie und , dann , und daher

Gleichung (10) wird aufgerufen Kanonische Geradengleichung mit Führungsvektor

\u003d (ein 1; ein 2). Wenn ein a 1 = 0 und , dann nehmen die Gleichungen (9) die Form an

Diese Gleichungen definieren eine Gerade parallel zur Achse, OU und den Punkt passieren

M 0 (x 0; y 0).

x = x 0(11)

Wenn , , dann nehmen die Gleichungen (9) die Form an

Diese Gleichungen definieren eine gerade Linie parallel zur O-Achse X und den Punkt passieren

M 0 (x 0; y 0). Die kanonische Gleichung einer solchen Geraden hat die Form

y=y 0(12)

Winkel zwischen Linien. Die Bedingung der Parallelität und Rechtwinkligkeit von zwei

Direkte

Gegeben seien zwei durch allgemeine Gleichungen gegebene Geraden:

und

Dann der Winkel φ zwischen ihnen wird durch die Formel bestimmt:

(13)

Parallelzustand 2 Geraden: (14)

Senkrechter Zustand 2 Geraden: (15)

Parallelzustand hat in diesem Fall die Form: (17)

Senkrechter Zustand gerade: (18)

Wenn zwei Zeilen durch kanonische Gleichungen gegeben sind:

und

dann wird der Winkel φ zwischen diesen Linien durch die Formel bestimmt:

(19)

Parallelzustand gerade: (20)

Senkrechter Zustand Direkte: (21)

Abstand von Punkt zu Linie

Distanz d von diesem Punkt M (x 1; y 1) zu gerade Ax+By+C=0 nach der Formel berechnet

(22)

Implementierungsbeispiel praktische Arbeit

Beispiel 1 Baue eine Linie 3 X- 2bei+6=0.

Lösung: Um eine Linie zu bauen, reicht es aus, zwei beliebige ihrer Punkte zu kennen, zum Beispiel die Punkte ihres Schnittpunkts mit den Koordinatenachsen. Punkt A des Schnittpunkts der Linie mit der Achse Ox kann erhalten werden, wenn wir in der Gleichung der Linie y \u003d 0 nehmen, dann haben wir 3 X+6=0, d.h. X=-2. Auf diese Weise, ABER(–2;0).

Dann BEI Schnittpunkt einer Linie mit einer Achse OU hat eine Abszisse X=0; daher die Ordinate des Punktes BEI wird aus der Gleichung -2 gefunden j+ 6=0, d.h. y=3. Auf diese Weise, BEI(0;3).

Beispiel 2 Schreiben Sie die Gleichung einer geraden Linie, die auf der negativen Halbebene schneidet OU ein Segment gleich 2 Einheiten und bildet mit der Achse Oh Winkel φ =30˚.

Lösung: Die Linie schneidet die Achse OU am Punkt BEI(0;–2) und hat eine Steigung k=tg φ= = . Unter der Annahme in Gleichung (2) k= und b= –2 erhalten wir die gewünschte Gleichung

Oder .

Beispiel 3 ABER(–1; 2) und

BEI(0;–3). (bei Zeugnis: die Steigung der Geraden wird durch die Formel (3) gefunden)

Lösung: .Von hier haben wir . Einsetzen der Koordinaten in diese Gleichung Fernseher, wir bekommen: , d.h. anfängliche Ordinate b= -3 . Dann erhalten wir die Gleichung.

Beispiel 4 Allgemeine Geradengleichung 2 X – 3bei– 6 = 0 führen zur Segmentgleichung.

Lösung: schreiben gegebene Gleichung als 2 X– 3bei=6 und dividiere beide Teile durch den freien Term: . Dies ist die Gleichung dieser Geraden in Segmenten.

Beispiel 5 Durch den Punkt ABER(1;2) zeichne eine gerade Linie, die gleiche Segmente auf den positiven Halbachsen der Koordinaten schneidet.

Lösung: Die Gleichung der gesuchten Geraden habe die Form Durch Bedingung a=b. Daher wird die Gleichung X+ bei= a. Da der Punkt A (1; 2) zu dieser Linie gehört, erfüllen ihre Koordinaten die Gleichung X + bei= a; diese. 1 + 2 = a, wo a= 3. Damit ist die gewünschte Gleichung geschrieben auf die folgende Weise: x + y = 3, bzw x + y - 3 = 0.

Beispiel 6 Für gerade Schreibe die Gleichung in Segmenten auf. Berechnen Sie die Fläche des Dreiecks, das durch diese Linie und die Koordinatenachsen gebildet wird.

Lösung: Transformieren wir diese Gleichung wie folgt: , oder .

Als Ergebnis erhalten wir die Gleichung , das ist die Gleichung der gegebenen geraden Linie in Segmenten. Das aus dieser Linie und den Koordinatenachsen gebildete Dreieck ist ein rechtwinkliges Dreieck mit Beinen gleich 4 und 3, also ist seine Fläche S= (Quadrateinheiten)

Beispiel 7 Schreiben Sie eine Gleichung einer Geraden, die durch einen Punkt (–2; 5) und eine Erzeugende mit einer Achse verläuft Oh Winkel 45º.

Lösung: Steigung der gesuchten Geraden k= tg 45º = 1. Daher erhalten wir unter Verwendung von Gleichung (5). ja - 5 = x- (-2), oder x - y + 7 = 0.

Beispiel 8 Schreiben Sie die Gleichung einer geraden Linie, die durch die Punkte geht ABER(–3; 5) und BEI( 7; –2).

Lösung: Verwenden wir Gleichung (6):

, oder , woher 7 X + 10bei – 29 = 0.

Beispiel 9Überprüfen Sie, ob Punkte liegen ABER(5; 2), BEI(3; 1) und AUS(–1; –1) auf einer Geraden.

Lösung: Stellen Sie die Gleichung einer Geraden auf, die durch die Punkte geht ABER und AUS:

, oder

Setzen Sie in diese Gleichung die Koordinaten des Punktes ein BEI (xB= 3 und y B = 1) erhalten wir (3–5) / (–6)= = (1–2) / (–3), d.h. wir erhalten die richtige Gleichheit. Also Punktkoordinaten BEI erfülle die Geradengleichung ( AC), d. h. .

Beispiel 10: Schreiben Sie eine Gleichung für eine Gerade durch t. A (2; -3).

Senkrecht =(-1;5)

Lösung: Mit Formel (8) finden wir die Gleichung dieser Geraden -1(x-2)+5(y+3)=0,

oder endlich, x - 5 y - 17 \u003d 0.

Beispiel 11: Punkte gegeben M 1(2;-1) und M 2(4; 5). Schreibe die Gleichung einer Geraden auf, die durch einen Punkt geht M 1 senkrecht zum Vektor Lösung: Der Normalenvektor der gesuchten Geraden hat die Koordinaten (2; 6), daher erhalten wir nach Formel (8) die Gleichung 2(x-2)+6(y+1)=0 oder x+3y+1=0.

Beispiel 12: und .

Lösung: ; .

Beispiel 13:

Lösung: a) ;

Beispiel 14: Winkel zwischen Linien berechnen

Lösung:

Beispiel 15: Herausfinden gegenseitiges Einverständnis Direkte:

Lösung:

Beispiel 16: Finden Sie den Winkel zwischen den Linien und .

Lösung: .

Beispiel 17: Finden Sie die relative Position der Linien heraus:

Lösung: a ) - Linien sind parallel;

b) bedeutet, dass die Linien senkrecht sind.

Beispiel 18: Berechnen Sie den Abstand vom Punkt M(6; 8) zur Geraden

Lösung: Nach Formel (22) erhalten wir: .

Aufgaben für einen praktischen Unterricht:

Variante 1

1. führen allgemeine Gleichung Linie 2x+3y-6=0 zu der Gleichung in Segmenten und berechnen Sie die Fläche des Dreiecks, die von dieser Linie aus dem entsprechenden Koordinatenwinkel abgeschnitten wird;

2. In ∆ABC haben die Eckpunkte die Koordinaten von Punkt A (-3;4), Punkt B (-4;-3), Punkt C (8;1). Stellen Sie die Gleichungen für Seite (AB), Höhe (VC) und Median (CM) zusammen;

3. Berechnen Sie die Steigung der Geraden, die durch den Punkt M 0 (-2; 4) und parallel zum Vektor (6; -1) verläuft;

4. Berechnen Sie den Winkel zwischen den Linien

4. Berechnen Sie den Winkel zwischen den Linien:

a) 2x - 3y + 7 = 0 und 3x - y + 5 = 0; b) und y = 2x – 4;

5. Bestimmen Sie die relative Position von 2 geraden Linien und;

, wenn die Koordinaten der Streckenenden t.A (18; 8) und t.B (-2; -6) bekannt sind.

Möglichkeit 3

1. Bringen Sie die allgemeine Gleichung der Geraden 4x-5y+20=0 in die Segmentgleichung und berechnen Sie die von dieser Geraden abgeschnittene Fläche des Dreiecks aus dem entsprechenden Koordinatenwinkel;

2. In ∆ABC haben die Eckpunkte die Koordinaten von Punkt A (3;-2), Punkt B (7;3), Punkte

C(0;8). Stellen Sie die Gleichungen für Seite (AB), Höhe (VC) und Median (CM) zusammen;

3. Berechnen Sie die Steigung der Geraden, die durch den Punkt M 0 (-1;-2) verläuft und

parallel zum Vektor (3;-5);

4. Berechnen Sie den Winkel zwischen den Linien

a) 3x + y – 7 = 0 und x – y + 4 = 0; b) und;

5. Bestimmen Sie die relative Position von 2 Linien und y = 5x + 3;

6. Berechnen Sie den Abstand von der Mitte des Segments AB zur Geraden , wenn die Koordinaten der Segmentenden t.A (4; -3) und t.B (-6; 5) bekannt sind.

Möglichkeit 4

1. Setze die allgemeine Gleichung der Geraden 12x-5y+60=0 auf die Segmentgleichung und berechne die Länge der Strecke, die von dieser Geraden um den entsprechenden Koordinatenwinkel abgeschnitten wird;

2. In ∆ABC haben die Eckpunkte die Koordinaten von Punkt A (0;-2), Punkt B (3;6), Punkt C (1;-4). Stellen Sie die Gleichungen für Seite (AB), Höhe (VC) und Median (CM) zusammen;

3. Berechnen Sie die Steigung der Geraden, die durch den Punkt M 0 (4;4) und parallel zum Vektor (-2;7) verläuft;

4. Berechnen Sie den Winkel zwischen den Linien

a) x +4 y + 8 = 0 und 7x - 3y + 5 = 0; b) und;

5. Bestimmen Sie die relative Position von 2 geraden Linien und;

6. Berechnen Sie den Abstand von der Mitte des Segments AB zur Geraden , wenn die Koordinaten der Streckenenden t.A (-4; 8) und t.B (0; 4) bekannt sind.

Testfragen

1. Nennen Sie die Gleichungen einer Geraden in einer Ebene, wenn ihr Durchgangspunkt und ihr Richtungsvektor bekannt sind;

2. Was ist die normale, allgemeine Gleichung einer geraden Linie in einer Ebene;

3. Nennen Sie die Gleichung einer geraden Linie, die durch zwei Punkte geht, die Gleichung einer geraden Linie in Segmenten, die Gleichung einer geraden Linie mit Neigungsfaktor;

4. Nennen Sie die Formeln zur Berechnung des Winkels zwischen Linien, gegebenen Gleichungen mit Winkelfaktor. Formulieren Sie die Bedingungen für Parallelität und Rechtwinkligkeit zweier Geraden.

5. Wie findet man den Abstand von einem Punkt zu einer Geraden?

Die Gerade soll durch die Punkte M 1 (x 1; y 1) und M 2 (x 2; y 2) verlaufen. Die Gleichung einer geraden Linie, die durch den Punkt M 1 verläuft, hat die Form y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10.6)

wo k - noch unbekannter Koeffizient.

Da die Gerade durch den Punkt M 2 (x 2 y 2) verläuft, müssen die Koordinaten dieses Punktes die Gleichung (10.6) erfüllen: y 2 -y 1 \u003d k (x 2 - x 1).

Von hier aus finden wir den gefundenen Wert ersetzen k In Gleichung (10.6) erhalten wir die Gleichung einer Geraden, die durch die Punkte M 1 und M 2 verläuft:

Es wird angenommen, dass in dieser Gleichung x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Wenn x 1 \u003d x 2, dann ist die gerade Linie, die durch die Punkte M 1 (x 1, y I) und M 2 (x 2, y 2) verläuft, parallel zur y-Achse. Seine Gleichung ist x = x 1 .

Wenn y 2 \u003d y I, dann kann die Gleichung der geraden Linie geschrieben werden als y \u003d y 1, die gerade Linie M 1 M 2 ist parallel zur x-Achse.

Gleichung einer Geraden in Segmenten

Lassen Sie die gerade Linie die Ox-Achse am Punkt M 1 (a; 0) und die Oy-Achse - am Punkt M 2 (0; b) schneiden. Die Gleichung nimmt die Form an:
diese.
. Diese Gleichung heißt die Gleichung einer geraden Linie in Segmenten, weil die Zahlen a und b geben an, welche Segmente die Gerade auf den Koordinatenachsen abschneidet.

Gleichung einer geraden Linie, die durch einen gegebenen Punkt senkrecht zu einem gegebenen Vektor verläuft

Lassen Sie uns die Gleichung einer geraden Linie finden, die durch einen gegebenen Punkt Mo (x O; y o) senkrecht zu einem gegebenen Nicht-Null-Vektor n = (A; B) verläuft.

Nimm einen beliebigen Punkt M(x; y) auf der Geraden und betrachte den Vektor M 0 M (x - x 0; y - y o) (siehe Abb. 1). Da die Vektoren n und M o M senkrecht zueinander stehen, ist ihr Skalarprodukt gleich Null: das heißt,

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Gleichung (10.8) wird aufgerufen Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt senkrecht zu einem gegebenen Vektor verläuft .

Der Vektor n = (A; B) senkrecht zur Geraden heißt normal Normalenvektor dieser Linie .

Gleichung (10.8) kann umgeschrieben werden als Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

wobei A und B die Koordinaten des Normalenvektors sind, C \u003d -Ax o - Vu o - freies Mitglied. Gleichung (10.9) ist die allgemeine Geradengleichung(siehe Abb.2).

Abb.1 Abb.2

Kanonische Gleichungen der Geraden

,

Wo
sind die Koordinaten des Punktes, durch den die Linie verläuft, und
- Richtungsvektor.

Kurven zweiter Ordnung Kreis

Ein Kreis ist die Menge aller Punkte einer Ebene, die von einem bestimmten Punkt, dem Mittelpunkt, gleich weit entfernt sind.

Kanonische Gleichung eines Radiuskreises R auf einen Punkt zentriert
:

Wenn insbesondere der Mittelpunkt des Einsatzes mit dem Ursprung zusammenfällt, sieht die Gleichung folgendermaßen aus:

Ellipse

Eine Ellipse ist eine Menge von Punkten in einer Ebene, die Summe der Abstände von jedem von ihnen zu zwei gegebenen Punkten und , die Foci genannt werden, ist ein konstanter Wert
, größer als der Abstand zwischen den Brennpunkten
.

Die kanonische Gleichung einer Ellipse, deren Brennpunkte auf der Ox-Achse liegen und deren Ursprung in der Mitte zwischen den Brennpunkten liegt, hat die Form
G de a die Länge der großen Halbachse; b ist die Länge der kleinen Halbachse (Abb. 2).

Die Linie, die durch den Punkt K(x 0; y 0) und parallel zur Linie y = kx + a verläuft, wird durch die Formel gefunden:

y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)

Wobei k die Steigung der Geraden ist.

Alternative Formel:
Die Linie, die durch den Punkt M 1 (x 1 ; y 1) und parallel zur Linie Ax + By + C = 0 verläuft, wird durch die Gleichung dargestellt

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

Schreiben Sie die Gleichung einer Geraden, die durch den Punkt K( ;) parallel zur Linie y = x + .

Beispiel 1. Stellen Sie die Gleichung einer geraden Linie auf, die durch den Punkt M 0 (-2.1) verläuft, und gleichzeitig:
a) parallel zur Geraden 2x+3y -7 = 0;
b) senkrecht zur Linie 2x+3y -7 = 0.
Lösung . Stellen wir die Steigungsgleichung als y = kx + a dar. Dazu übertragen wir alle Werte außer y auf die rechte Seite: 3y = -2x + 7 . Dann dividieren wir die rechte Seite durch den Koeffizienten 3 . Wir erhalten: y = -2/3x + 7/3
Finden Sie die Gleichung NK, die durch den Punkt K(-2;1) parallel zur geraden Linie y = -2 / 3 x + 7 / 3 verläuft
Durch Ersetzen von x 0 \u003d -2, k \u003d -2 / 3, y 0 \u003d 1 erhalten wir:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
oder
y = -2 / 3 x - 1 / 3 oder 3y + 2x +1 = 0

Beispiel #2. Schreiben Sie die Gleichung einer geraden Linie parallel zur geraden Linie 2x + 5y = 0 und bilden Sie zusammen mit den Koordinatenachsen ein Dreieck mit der Fläche 5.
Lösung . Da die Geraden parallel sind, lautet die Gleichung der gesuchten Geraden 2x + 5y + C = 0. Fläche rechtwinkliges Dreieck, wobei a und b seine Beine sind. Finden Sie die Schnittpunkte der gewünschten Linie mit den Koordinatenachsen:
;
.
Also A(-C/2,0), B(0,-C/5). Ersetzen Sie in der Formel für die Fläche: . Wir erhalten zwei Lösungen: 2x + 5y + 10 = 0 und 2x + 5y - 10 = 0 .

Beispiel #3. Schreiben Sie die Gleichung der Geraden auf, die durch den Punkt (-2; 5) und die parallele Gerade 5x-7y-4=0 verläuft.
Lösung. Diese Gerade lässt sich durch die Gleichung y = 5/7 x – 4/7 (hier a = 5/7) darstellen. Die Gleichung der gewünschten Linie ist y - 5 = 5 / 7 (x - (-2)), d.h. 7(y-5)=5(x+2) oder 5x-7y+45=0 .

Beispiel Nr. 4. Beim Lösen von Beispiel 3 (A=5, B=-7) mit Formel (2) finden wir 5(x+2)-7(y-5)=0.

Beispiel Nummer 5. Schreiben Sie die Gleichung einer Geraden, die durch den Punkt (-2;5) verläuft, und einer parallelen Geraden 7x+10=0.
Lösung. Hier A=7, B=0. Formel (2) ergibt 7(x+2)=0, d.h. x+2=0. Formel (1) ist nicht anwendbar, da diese Gleichung nicht nach y gelöst werden kann (diese Gerade ist parallel zur y-Achse).

Der Richtungsvektor der Geraden l jeder Nicht-Null-Vektor ( m, n) parallel zu dieser Linie.

Lassen Sie den Punkt M 1 (x 1 , j 1) und Richtungsvektor ( m, n), dann die Gleichung der Geraden, die durch den Punkt geht M 1 in Richtung des Vektors hat die Form: . Diese Gleichung wird als kanonische Geradengleichung bezeichnet.

Beispiel. Finden Sie die Gleichung einer geraden Linie mit Richtungsvektor (1, -1) und durch den Punkt A(1, 2) verlaufend.

Wir suchen die Gleichung der gewünschten Geraden in der Form: Axt+Durch+C= 0. Schreiben wir die kanonische Gleichung der Linie , transformieren Sie sie. Erhalten x + y - 3 = 0

Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte geht

Gegeben seien zwei Punkte auf der Ebene M 1 (x 1 , j 1) und M 2 (x 2, j 2), dann hat die Gleichung einer Geraden, die durch diese Punkte geht, die Form: . Wenn einer der Nenner gleich Null ist, sollte der entsprechende Zähler gleich Null gesetzt werden.

Beispiel. Finden Sie die Gleichung einer geraden Linie, die durch die Punkte A(1, 2) und B(3, 4) verläuft.

Wenden wir die obige Formel an, erhalten wir:

Gleichung einer Geraden aus einem Punkt und einer Steigung

Wenn die allgemeine Gleichung einer geraden Linie Ah + Wu + C= 0 auf die Form: bringen und bezeichnen, dann heißt die resultierende Gleichung Geradengleichung mit Steigung k.

Gleichung einer Geraden in Segmenten

Wenn in der allgemeinen Gleichung die Linie Ah + Wu + C= 0 Koeffizient AUS¹ 0, dann dividieren wir durch C und erhalten: oder wo

Die geometrische Bedeutung der Koeffizienten ist, dass der Koeffizient a ist die Koordinate des Schnittpunkts der Geraden mit der Achse Oh, a b- die Koordinate des Schnittpunkts der Linie mit der Achse OU.

Beispiel. Die allgemeine Geradengleichung ist gegeben X – bei+ 1 = 0. Finden Sie die Gleichung dieser geraden Linie in Segmenten. A = -1, B = 1, C = 1, dann a = -1, b= 1. Die Gleichung einer geraden Strecke in Segmenten hat die Form .

Beispiel. Die Eckpunkte des Dreiecks A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) sind gegeben. Finden Sie die Gleichung für die vom Scheitelpunkt C gezogene Höhe.

Wir finden die Gleichung der Seite AB: ;

4x = 6j– 6; 2x – 3j + 3 = 0;

Die gesuchte Höhengleichung hat die Form: Axt+Durch+C= 0 bzw y = kx + b.

k= . Dann j= . Da die Höhe durch den Punkt C geht, dann erfüllen ihre Koordinaten diese Gleichung: wo b= 17. Gesamt: .

Antwort: 3 x + 2j – 34 = 0.

Praktischer Unterricht №7

Klassenname: Kurven zweiter Ordnung.

Zweck des Unterrichts: Lerne, wie man Kurven 2. Ordnung macht, baue sie.

Vorbereitung auf den Unterricht: Wiederholung des Theoriestoffs zum Thema "Kurven 2. Ordnung"

Literatur:

1. Dadayan A.A. "Mathematik", 2004

Aufgabe für den Unterricht:

Die Reihenfolge des Unterrichts:

1. Arbeitserlaubnis einholen
2. Erledige Aufgaben
3. Sicherheitsfragen beantworten.

1. Name, Zweck der Lektion, Aufgabe;
2. Abgeschlossene Aufgabe;
3. Antworten auf Kontrollfragen.

Kontrollfragen für Offset:

1. Definieren Sie Kurven zweiter Ordnung (Kreis, Ellipse, Hyperbel, Parabel), schreiben Sie ihre kanonischen Gleichungen auf.
2. Wie nennt man die Exzentrizität einer Ellipse oder Hyperbel? Wie finde ich es?
3. Schreiben Sie die Gleichung einer gleichseitigen Hyperbel

BLINDDARM

Umfang ist die Menge aller Punkte der Ebene, die von einem Punkt, dem Mittelpunkt, gleich weit entfernt sind.

Der Mittelpunkt des Kreises sei ein Punkt Ö(a; b) und die Entfernung zu einem beliebigen Punkt M(x;y) Kreis ist gleich R. Dann ( x-a) 2 + (y-b) 2 = R 2 – kanonische Kreisgleichung mit Mittelpunkt Ö(a; b) und Radius R.

Beispiel. Finden Sie die Koordinaten des Mittelpunkts und den Radius des Kreises, wenn seine Gleichung gegeben ist als: 2 x 2 + 2j 2 - 8x + 5 j – 4 = 0.

Um die Koordinaten des Mittelpunkts und des Radius des Kreises zu finden, muss diese Gleichung auf die kanonische Form gebracht werden. Wählen Sie dazu die vollständigen Quadrate aus:

x 2 + j 2 – 4x + 2,5j – 2 = 0

x 2 – 4x + 4 – 4 + j 2 + 2,5j + 25/16 – 25/16 – 2 = 0

(x– 2) 2 + (j + 5/4) 2 – 25/16 – 6 = 0

(x – 2) 2 + (j + 5/4) 2 = 121/16

Von hier aus finden wir die Koordinaten des Zentrums Ö(2; -5/4); Radius R = 11/4.

Ellipse eine Menge von Punkten in einer Ebene heißt, die Summe der Abstände von jedem von ihnen zu zwei gegebenen Punkten (genannt Brennpunkte) ist ein konstanter Wert, der größer ist als der Abstand zwischen den Brennpunkten.

Schwerpunkte sind durch Buchstaben gekennzeichnet F 1 , F Mit, ist die Summe der Entfernungen von jedem Punkt der Ellipse zu den Brennpunkten 2 a (2a > 2c), a- eine große Halbachse; b- kleine Halbachse.

Die kanonische Gleichung der Ellipse lautet: , wo a, b und c durch Gleichheiten miteinander verbunden: a 2 - b 2 \u003d c 2 (oder b 2 - a 2 \u003d c 2).

Die Form einer Ellipse wird durch eine Eigenschaft bestimmt, die das Verhältnis der Brennweite zur Länge der Hauptachse ist und als Exzentrizität bezeichnet wird. oder .

Da definitionsgemäß 2 a> 2c, dann wird die Exzentrizität immer als echter Bruch ausgedrückt, d.h. .

Beispiel. Schreiben Sie eine Gleichung für eine Ellipse, wenn ihre Brennpunkte F 1 (0; 0), F 2 (1; 1) sind, Hauptachse gleich 2.

Die Ellipsengleichung hat die Form: .

Abstand zwischen den Schwerpunkten: 2 c= , auf diese Weise, a 2 – b 2 = c 2 = . Nach Bedingung 2 a= 2, also a = 1, b= Die gewünschte Gleichung der Ellipse hat die Form: .

Hyperbel Die so genannte Menge von Punkten in der Ebene, der Unterschied in den Abständen von jedem von ihnen zu zwei gegebenen Punkten, genannt Brennpunkte, ist ein konstanter Wert, kleiner als der Abstand zwischen den Brennpunkten.

Die kanonische Gleichung einer Hyperbel hat die Form: oder , wo a, b und c Gleichheit verbunden a 2 + b 2 = c 2 . Die Hyperbel ist symmetrisch in Bezug auf die Mitte des Segments, das die Brennpunkte verbindet, und in Bezug auf die Koordinatenachsen. Schwerpunkte sind durch Buchstaben gekennzeichnet F 1 , F 2 , Abstand zwischen Brennpunkten - 2 Mit, ist der Abstandsunterschied von jedem Punkt der Hyperbel zu den Brennpunkten 2 a (2a < 2c). Achse 2 a heißt die reelle Achse der Hyperbel, Achse 2 b ist die imaginäre Achse der Hyperbel. Eine Hyperbel hat zwei Asymptoten, deren Gleichungen sind

Die Exzentrizität einer Hyperbel ist das Verhältnis des Abstands zwischen den Brennpunkten zur Länge der reellen Achse: oder. Da definitionsgemäß 2 a < 2c, dann wird die Exzentrizität der Hyperbel immer als unechter Bruch ausgedrückt, d.h. .

Wenn die Länge der reellen Achse gleich der Länge der imaginären Achse ist, d.h. a = b, ε = , dann heißt die Hyperbel gleichseitig.

Beispiel. Schreiben Sie die kanonische Gleichung einer Hyperbel, wenn ihre Exzentrizität 2 ist und die Brennpunkte mit den Brennpunkten der Ellipse mit der Gleichung übereinstimmen

Wir finden Brennweite c 2 = 25 – 9 = 16.

Für Übertreibung: c 2 = a 2 + b 2 = 16, ε = c/a = 2; c = 2a; c 2 = 4a 2 ; a 2 = 4; b 2 = 16 – 4 = 12.

Dann - die gewünschte Gleichung der Hyperbel.

Parabel ist die Menge der Punkte in einer Ebene mit gleichem Abstand von gegebener Punkt, Fokus genannt, und eine gegebene gerade Linie, die Leitlinie genannt wird.

Der Brennpunkt einer Parabel wird mit dem Buchstaben bezeichnet F, Direktor - d, ist der Abstand vom Fokus zur Leitlinie R.

Die kanonische Gleichung einer Parabel, deren Brennpunkt auf der x-Achse liegt, lautet:

j 2 = 2px oder j 2 = -2px

x = -p/2, x = p/2

Die kanonische Gleichung einer Parabel, deren Fokus auf der y-Achse liegt, lautet:

X 2 = 2py oder X 2 = -2py

Directrix-Gleichungen bei = -p/2, bei = p/2

Beispiel. Auf einer Parabel bei 2 = 8X Finden Sie einen Punkt, dessen Abstand von der Leitlinie 4 ist.

Aus der Parabelgleichung bekommen wir das R = 4. r=x + p/2 = 4; Folglich:

x = 2; j 2 = 16; j= ±4. Suchpunkte: M 1 (2; 4), M 2 (2; -4).

Übung Nr. 8

Klassenname: Aktionen vorbei komplexe Zahlen in algebraischer Form. Geometrische Interpretation komplexer Zahlen.

Zweck des Unterrichts: Erfahren Sie, wie Sie mit komplexen Zahlen operieren.

Vorbereitung auf den Unterricht: Wiederholen Sie den theoretischen Stoff zum Thema "Komplexe Zahlen".

Literatur:

1. Grigoriev V.P., Dubinsky Yu.A. "Elemente der höheren Mathematik", 2008.

Aufgabe für den Unterricht:

1. Berechnung:

1) ich 145 + ich 147 + ich 264 + ich 345 + ich 117 ;

2) (ich 64 + ich 17 + ich 13 + ich 82)( ich 72 – ich 34);

Gleichung einer Linie, die in einer bestimmten Richtung durch einen bestimmten Punkt verläuft. Gleichung einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte geht. Winkel zwischen zwei Geraden. Bedingung der Parallelität und Rechtwinkligkeit zweier Geraden. Bestimmung des Schnittpunktes zweier Geraden

1. Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt verläuft EIN(x 1 , j 1) in eine bestimmte Richtung, bestimmt durch die Neigung k,

j - j 1 = k(x - x 1). (1)

Diese Gleichung definiert ein Linienbündel, das durch einen Punkt verläuft EIN(x 1 , j 1), die als Strahlmittelpunkt bezeichnet wird.

2. Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte geht: EIN(x 1 , j 1) und B(x 2 , j 2) wird so geschrieben:

Die Steigung einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte verläuft, wird durch die Formel bestimmt

3. Winkel zwischen geraden Linien EIN und B ist der Winkel, um den die erste Gerade gedreht werden muss EIN um den Schnittpunkt dieser Linien gegen den Uhrzeigersinn herum, bis er mit der zweiten Linie zusammenfällt B. Wenn zwei Geraden durch Steigungsgleichungen gegeben sind

j = k 1 x + B 1 ,