Das Gleichungssystem heißt definit. Lösen von Systemen mit der Substitutionsmethode

Zweck des Dienstes. Online-Rechner zum Studium des Systems lineare Gleichungen. Normalerweise müssen Sie in der Problemstellung finden allgemeine und besondere Lösung des Systems. Beim Studium linearer Gleichungssysteme werden folgende Probleme gelöst:

1. ob das System kollaborativ ist;
2. wenn das System kompatibel ist, dann ist es definitiv oder unbestimmt (das Kriterium für die Kompatibilität des Systems wird durch den Satz bestimmt);
3. Wenn das System definiert ist, wie findet man es dann? einzige Entscheidung(Cramer-Methode, Inverse-Matrix-Methode oder Jordan-Gauss-Methode werden verwendet);
4. Wenn das System unsicher ist, wie soll dann die Menge seiner Lösungen beschrieben werden?

Klassifikation linearer Gleichungssysteme

Ein beliebiges lineares Gleichungssystem hat die Form:
a 1 1 x 1 + a 1 2 x 2 + ... + a 1 n x n = b 1
a 2 1 x 1 + a 2 2 x 2 + ... + a 2 n x n = b 2
...................................................
a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ... + a m n x n = b m

1. Systeme linearer inhomogener Gleichungen (die Anzahl der Variablen ist gleich der Anzahl der Gleichungen, m = n).
2. Beliebige Systeme linearer inhomogener Gleichungen (m > n oder m< n).

Definition. Eine Lösung für ein System ist eine beliebige Menge von Zahlen c 1 ,c 2 ,...,c n , deren Einsetzen in das System anstelle der entsprechenden Unbekannten jede Gleichung des Systems in eine Identität verwandelt.

Definition. Zwei Systeme heißen äquivalent, wenn die Lösung des ersten die Lösung des zweiten ist und umgekehrt.

Definition. Ein System, das mindestens eine Lösung hat, heißt gemeinsam. Ein System, das keine einzige Lösung hat, wird als inkonsistent bezeichnet.

Definition. Ein System, das eine eindeutige Lösung hat, heißt bestimmt, und es ist ungewiss, mehr als eine Lösung zu haben.

Algorithmus zur Lösung linearer Gleichungssysteme

1. Finden Sie die Ränge der Haupt- und erweiterten Matrizen. Wenn sie nicht gleich sind, ist das System nach dem Kronecker-Capelli-Theorem inkonsistent und hier endet die Studie.
2. Sei rang(A) = rang(B). Wir wählen das grundlegende Nebenfach. Dabei werden alle unbekannten linearen Gleichungssysteme in zwei Klassen eingeteilt. Unbekannte, deren Koeffizienten im Basis-Minor enthalten sind, werden als abhängig bezeichnet, und Unbekannte, deren Koeffizienten nicht im Basis-Minor enthalten sind, werden als frei bezeichnet. Beachten Sie, dass die Auswahl abhängiger und freier Unbekannter nicht immer einfach ist.
3. Wir streichen diejenigen Gleichungen des Systems durch, deren Koeffizienten nicht in der Basis-Minor enthalten sind, da sie Folgen der anderen sind (gemäß dem Satz über die Basis-Minor).
4. Wir verschieben die Terme der Gleichungen, die freie Unbekannte enthalten, auf die rechte Seite. Als Ergebnis erhalten wir ein System von r Gleichungen mit r Unbekannten, äquivalent zu der gegebenen Gleichung, deren Determinante ungleich Null ist.
5. Das resultierende System wird auf eine der folgenden Arten gelöst: die Cramer-Methode, die inverse Matrixmethode oder die Jordan-Gauß-Methode. Es werden Beziehungen gefunden, die die abhängigen Variablen durch die freien ausdrücken.

Wir beschäftigen uns weiterhin mit Systemen linearer Gleichungen. Bisher haben wir Systeme betrachtet, die eine einzigartige Lösung haben. Solche Systeme können auf beliebige Weise gelöst werden: durch Substitutionsmethode("Schule"), nach Cramers Formeln, Matrixmethode, Gaußsche Methode. In der Praxis sind jedoch zwei weitere Fälle weit verbreitet:

1) das System ist inkonsistent (hat keine Lösungen);

2) Das System hat unendlich viele Lösungen.

Für diese Systeme wird die universellste aller Lösungsmethoden verwendet – Gaußsche Methode. Tatsächlich führt auch die „Schul“-Methode zur Antwort, aber in der höheren Mathematik ist es üblich, die Gaußsche Methode der sequentiellen Eliminierung von Unbekannten zu verwenden. Diejenigen, die mit dem Gaußschen Methodenalgorithmus nicht vertraut sind, lesen bitte zuerst die Lektion Gaußsche Methode

Die elementaren Matrixtransformationen selbst sind genau gleich, der Unterschied liegt im Ende der Lösung. Schauen wir uns zunächst einige Beispiele an, bei denen das System keine Lösungen hat (inkonsistent).

Beispiel 1

Was fällt Ihnen an diesem System sofort ins Auge? Die Anzahl der Gleichungen ist geringer als die Anzahl der Variablen. Es gibt einen Satz, der besagt: „Wenn die Anzahl der Gleichungen im System weniger Menge Variablen, dann ist das System entweder inkonsistent oder hat unendlich viele Lösungen.“ Und es bleibt nur noch, es herauszufinden.

Der Anfang der Lösung ist völlig gewöhnlich – wir schreiben die erweiterte Matrix des Systems auf und bringen sie mithilfe elementarer Transformationen in eine schrittweise Form:

(1). Im oberen linken Schritt müssen wir (+1) oder (–1) erhalten. In der ersten Spalte gibt es solche Zahlen nicht, daher bringt eine Neuanordnung der Zeilen nichts. Die Einheit muss sich selbst organisieren, und dies kann auf verschiedene Weise erfolgen. Wir haben das gemacht. Zur ersten Zeile fügen wir die dritte Zeile hinzu, multipliziert mit (–1).

(2). Jetzt erhalten wir in der ersten Spalte zwei Nullen. Zur zweiten Zeile addieren wir die erste Zeile, multipliziert mit 3. Zur dritten Zeile addieren wir die erste, multipliziert mit 5.

(3). Nach Abschluss der Transformation ist es immer ratsam zu prüfen, ob eine Vereinfachung der resultierenden Zeichenfolgen möglich ist. Dürfen. Wir teilen die zweite Zeile durch 2 und erhalten gleichzeitig im zweiten Schritt den gewünschten Wert (–1). Teilen Sie die dritte Zeile durch (–3).

(4). Fügen Sie der dritten Zeile eine zweite Zeile hinzu. Wahrscheinlich ist jedem die schlechte Linie aufgefallen, die aus elementaren Transformationen resultierte:

. Es ist klar, dass das nicht so sein kann.

Schreiben wir tatsächlich die resultierende Matrix neu

zurück zum linearen Gleichungssystem:

Wenn als Ergebnis elementarer Transformationen eine Zeichenfolge der Form erhalten wird , Woλ ist eine Zahl ungleich Null, dann ist das System inkonsistent (hat keine Lösungen).

Wie schreibe ich das Ende einer Aufgabe auf? Sie müssen den Satz aufschreiben:

„Als Ergebnis elementarer Transformationen wurde eine Zeichenfolge der Form erhalten, wo λ ≠ 0 " Antwort: „Das System hat keine Lösungen (inkonsistent).“

Bitte beachten Sie, dass es in diesem Fall keine Umkehrung des Gaußschen Algorithmus gibt, es keine Lösungen gibt und einfach nichts zu finden ist.

Beispiel 2

Lösen Sie ein System linearer Gleichungen

Dies ist ein Beispiel dafür unabhängige Entscheidung. Komplette Lösung und die Antwort am Ende der Lektion.

Wir erinnern Sie noch einmal daran, dass Ihre Lösung von unserer Lösung abweichen kann; die Gaußsche Methode gibt keinen eindeutigen Algorithmus vor; die Reihenfolge der Aktionen und die Aktionen selbst müssen jeweils unabhängig erraten werden.

Noch eine technisches Merkmal Lösungen: Elementare Transformationen können gestoppt werden sofort, sobald eine Zeile wie , where λ ≠ 0 . Betrachten wir ein bedingtes Beispiel: Nehmen wir an, dass nach der ersten Transformation die Matrix erhalten wird

.

Diese Matrix wurde noch nicht auf die Staffelform reduziert, es besteht jedoch keine Notwendigkeit für weitere elementare Transformationen, da eine Linie der Form aufgetreten ist, wo λ ≠ 0 . Es sollte sofort die Antwort gegeben werden, dass das System nicht kompatibel ist.

Wenn ein lineares Gleichungssystem keine Lösungen hat, ist es für den Schüler fast ein Geschenk, da man eine kurze Lösung erhält, manchmal buchstäblich in 2-3 Schritten. Aber alles auf dieser Welt ist ausgeglichen, und ein Problem, für das das System unendlich viele Lösungen hat, ist nur länger.

Beispiel 3:

Lösen Sie ein System linearer Gleichungen

Es gibt 4 Gleichungen und 4 Unbekannte, sodass das System entweder eine einzige Lösung oder keine Lösungen oder unendlich viele Lösungen haben kann. Wie dem auch sei, die Gaußsche Methode wird uns auf jeden Fall zur Antwort führen. Das ist seine Vielseitigkeit.

Der Anfang ist wieder Standard. Schreiben wir die erweiterte Matrix des Systems auf und bringen sie mithilfe elementarer Transformationen in eine schrittweise Form:

Das ist alles, und du hattest Angst.

(1). Bitte beachten Sie, dass alle Zahlen in der ersten Spalte durch 2 teilbar sind, sodass 2 im oberen linken Schritt in Ordnung ist. Zur zweiten Zeile addieren wir die erste Zeile multipliziert mit (–4). Zur dritten Zeile addieren wir die erste Zeile multipliziert mit (–2). Zur vierten Zeile fügen wir die erste Zeile hinzu, multipliziert mit (–1).

Aufmerksamkeit! Viele könnten von der vierten Zeile in Versuchung geführt werden subtrahieren erste Linie. Dies ist möglich, aber nicht notwendig; die Erfahrung zeigt, dass die Wahrscheinlichkeit eines Rechenfehlers um ein Vielfaches steigt. Wir fügen einfach hinzu: Zur vierten Zeile addieren wir die erste Zeile, multipliziert mit (–1) – genau so!

(2). Die letzten drei Zeilen sind proportional, zwei davon können gestrichen werden. Auch hier müssen wir zeigen erhöhte Aufmerksamkeit, aber sind die Linien wirklich proportional? Um auf der sicheren Seite zu sein, wäre es eine gute Idee, die zweite Zeile mit (–1) zu multiplizieren und die vierte Zeile durch 2 zu dividieren, was zu drei identischen Zeilen führt. Und erst danach zwei davon entfernen. Durch elementare Transformationen wird die erweiterte Matrix des Systems auf eine schrittweise Form reduziert:

Wenn Sie eine Aufgabe in ein Notizbuch schreiben, ist es aus Gründen der Übersichtlichkeit ratsam, dieselben Notizen mit Bleistift zu machen.

Schreiben wir das entsprechende Gleichungssystem um:

Von einer „gewöhnlichen“ Einzellösung des Systems riecht es hier nicht. Schlechte Zeile wo λ ≠ 0, auch nicht. Dies bedeutet, dass dies der dritte verbleibende Fall ist – das System hat unendlich viele Lösungen.

Eine unendliche Menge von Lösungen für ein System wird kurz in der sogenannten Form geschrieben allgemeine Lösung des Systems.

Wir finden die allgemeine Lösung des Systems mithilfe der Umkehrung der Gaußschen Methode. Für Gleichungssysteme mit unendlich vielen Lösungen tauchen neue Konzepte auf: „Grundvariablen“ Und „Freie Variablen“. Definieren wir zunächst, welche Variablen wir haben Basic, und welche Variablen - frei. Es ist nicht notwendig, die Begriffe der linearen Algebra im Detail zu erklären; es genügt, sich daran zu erinnern, dass es solche gibt Grundvariablen Und freie Variablen.

Basisvariablen „sitzen“ immer strikt auf den Schritten der Matrix. IN in diesem Beispiel Die Grundvariablen sind X 1 und X 3 .

Freie Variablen sind alles übrig Variablen, die keinen Schritt erhalten haben. In unserem Fall gibt es zwei davon: X 2 und X 4 – freie Variablen.

Jetzt brauchen Sie AlleGrundvariablenäußern nur durchfreie Variablen. Die Umkehrung des Gaußschen Algorithmus funktioniert traditionell von unten nach oben. Aus der zweiten Gleichung des Systems drücken wir die Grundvariable aus X 3:

Schauen Sie sich nun die erste Gleichung an: . Zuerst ersetzen wir den gefundenen Ausdruck darin:

Es bleibt die Basisvariable auszudrücken X 1 über freie Variablen X 2 und X 4:

Am Ende haben wir bekommen, was wir brauchten - Alle Grundvariablen ( X 1 und X 3) ausgedrückt nur durch freie Variablen ( X 2 und X 4):

Eigentlich, gemeinsame Entscheidung bereit:

.

Wie schreibe ich die allgemeine Lösung richtig? Zunächst werden freie Variablen „von selbst“ und ausschließlich an ihrer Stelle in die allgemeine Lösung geschrieben. In diesem Fall freie Variablen X 2 und X 4 sollte an der zweiten und vierten Stelle geschrieben werden:

.

Die resultierenden Ausdrücke für die Basisvariablen und muss natürlich an erster und dritter Stelle geschrieben werden:

Aus der allgemeinen Lösung des Systems kann man unendlich viele finden private Lösungen. Es ist sehr einfach. Freie Variablen X 2 und X 4 werden so genannt, weil sie gegeben werden können eventuelle Endwerte. Die beliebtesten Werte sind Nullwerte, da dies die am einfachsten zu erhaltende Teillösung ist.

Ersetzen ( X 2 = 0; X 4 = 0) in die allgemeine Lösung, erhalten wir eine der besonderen Lösungen:

, oder ist eine bestimmte Lösung, die freien Variablen mit Werten entspricht ( X 2 = 0; X 4 = 0).

Ein weiteres süßes Paar sind Einsen, ersetzen wir ( X 2 = 1 und X 4 = 1) in die allgemeine Lösung:

, also (-1; 1; 1; 1) – eine weitere besondere Lösung.

Es ist leicht zu erkennen, dass das Gleichungssystem Folgendes hat unendlich viele Lösungen da wir freie Variablen angeben können beliebig Bedeutungen.

Jede die jeweilige Lösung muss genügen zu jedem Gleichung des Systems. Dies ist die Grundlage für eine „schnelle“ Überprüfung der Richtigkeit der Lösung. Nehmen Sie zum Beispiel die spezielle Lösung (-1; 1; 1; 1) und setzen Sie sie in die linke Seite jeder Gleichung des ursprünglichen Systems ein:

Alles muss zusammenpassen. Und bei jeder einzelnen Lösung, die Sie erhalten, sollte auch alles übereinstimmen.

Streng genommen täuscht die Prüfung einer bestimmten Lösung manchmal, d. h. Eine bestimmte Lösung kann jede Gleichung des Systems erfüllen, aber die allgemeine Lösung selbst wird tatsächlich falsch gefunden. Daher ist zunächst die Überprüfung der allgemeinen Lösung gründlicher und zuverlässiger.

So überprüfen Sie die resultierende allgemeine Lösung ?

Es ist nicht schwierig, aber es erfordert einige langwierige Transformationen. Wir müssen Ausdrücke akzeptieren Basic Variablen, in diesem Fall und und setze sie in die linke Seite jeder Gleichung des Systems ein.

Auf der linken Seite der ersten Gleichung des Systems:

Man erhält die rechte Seite der anfänglichen ersten Gleichung des Systems.

Auf der linken Seite der zweiten Gleichung des Systems:

Man erhält die rechte Seite der anfänglichen zweiten Gleichung des Systems.

Und dann - auf der linken Seite der dritten und vierten Gleichung des Systems. Diese Prüfung dauert länger, garantiert aber eine 100%ige Korrektheit der Gesamtlösung. Darüber hinaus erfordern einige Aufgaben eine Überprüfung der allgemeinen Lösung.

Beispiel 4:

Lösen Sie das System mit der Gaußschen Methode. Finden Sie die allgemeine Lösung und zwei spezielle Lösungen. Überprüfen Sie die allgemeine Lösung.

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Auch hier ist übrigens die Anzahl der Gleichungen geringer als die Anzahl der Unbekannten, was bedeutet, dass sofort klar ist, dass das System entweder inkonsistent sein wird oder unendlich viele Lösungen haben wird.

Beispiel 5:

Lösen Sie ein System linearer Gleichungen. Wenn das System unendlich viele Lösungen hat, finden Sie zwei bestimmte Lösungen und überprüfen Sie die allgemeine Lösung

Lösung: Schreiben wir die erweiterte Matrix des Systems auf und bringen sie mithilfe elementarer Transformationen in eine schrittweise Form:

(1). Fügen Sie die erste Zeile zur zweiten Zeile hinzu. Zur dritten Zeile addieren wir die erste Zeile multipliziert mit 2. Zur vierten Zeile addieren wir die erste Zeile multipliziert mit 3.

(2). Zur dritten Zeile fügen wir die zweite Zeile hinzu, multipliziert mit (–5). Zur vierten Zeile fügen wir die zweite Zeile hinzu, multipliziert mit (–7).

(3). Die dritte und vierte Zeile sind gleich, wir löschen eine davon. Das ist so eine Schönheit:

Auf den Stufen sitzen Basisvariablen, also Basisvariablen.

Es gibt nur eine freie Variable, die hier keinen Schritt bekommen hat: .

(4). Rückwärtsbewegung. Lassen Sie uns die Grundvariablen durch eine freie Variable ausdrücken:

Aus der dritten Gleichung:

Betrachten wir die zweite Gleichung und ersetzen wir den gefundenen Ausdruck darin:

, , ,

Betrachten wir die erste Gleichung und ersetzen wir die gefundenen Ausdrücke darin:

Somit ist die allgemeine Lösung mit einer freien Variablen X 4:

Noch einmal: Wie ist es ausgegangen? Freie Variable X 4 liegt allein auf seinem rechtmäßigen vierten Platz. Die resultierenden Ausdrücke für die Basisvariablen , , sind ebenfalls vorhanden.

Lassen Sie uns gleich die allgemeine Lösung überprüfen.

Wir setzen die Grundvariablen , , in die linke Seite jeder Gleichung des Systems ein:

Man erhält die entsprechenden rechten Seiten der Gleichungen und somit die richtige allgemeine Lösung.

Nun zur gefundenen allgemeinen Lösung wir erhalten zwei besondere Lösungen. Alle Variablen werden hier durch eine einzelne ausgedrückt freie Variable x 4 . Sie müssen sich nicht den Kopf zerbrechen.

Lassen X 4 = 0 dann – die erste besondere Lösung.

Lassen X 4 = 1 dann – eine weitere private Lösung.

Antwort: Gemeinsame Entscheidung: . Private Lösungen:

Und .

Beispiel 6:

Finden Sie die allgemeine Lösung des linearen Gleichungssystems.

Wir haben die allgemeine Lösung bereits überprüft, der Antwort kann man vertrauen. Ihre Lösung kann von unserer Lösung abweichen. Die Hauptsache ist, zusammenzupassen allgemeine Lösungen. Viele Leute haben wahrscheinlich einen unangenehmen Moment in den Lösungen bemerkt: Sehr oft mussten wir bei der Umkehrung der Gauß-Methode herumbasteln gewöhnliche Brüche. In der Praxis ist dies tatsächlich der Fall; Fälle, in denen es keine Brüche gibt, sind viel seltener. Seien Sie mental und vor allem technisch vorbereitet.

Lassen Sie uns auf die Merkmale der Lösung eingehen, die in den gelösten Beispielen nicht gefunden wurden. Die allgemeine Lösung des Systems kann manchmal eine Konstante (oder Konstanten) enthalten.

Zum Beispiel eine allgemeine Lösung: . Hier ist eine der Grundvariablen gleich konstante Zahl: . Daran ist nichts Exotisches, es passiert. Offensichtlich wird in diesem Fall jede einzelne Lösung an erster Stelle eine Fünf enthalten.

Selten, aber es gibt Systeme, in denen Die Anzahl der Gleichungen ist größer als die Anzahl der Variablen. Allerdings funktioniert die Gaußsche Methode auch unter den härtesten Bedingungen. Sie sollten die erweiterte Matrix des Systems mithilfe eines Standardalgorithmus in aller Ruhe auf eine schrittweise Form reduzieren. Ein solches System kann inkonsistent sein, unendlich viele Lösungen haben und seltsamerweise nur eine einzige Lösung haben.

Wiederholen wir unseren Rat: Um sich bei der Lösung eines Systems mit der Gaußschen Methode wohl zu fühlen, sollten Sie mindestens ein Dutzend Systeme gut lösen können.

Lösungen und Antworten:

Beispiel 2:

Lösung:Schreiben wir die erweiterte Matrix des Systems auf und bringen sie mithilfe elementarer Transformationen in eine schrittweise Form.

Durchgeführte Elementartransformationen:

(1) Die erste und dritte Zeile wurden vertauscht.

(2) Die erste Zeile wurde zur zweiten Zeile addiert, multipliziert mit (–6). Die erste Zeile wurde zur dritten Zeile addiert, multipliziert mit (–7).

(3) Die zweite Zeile wurde zur dritten Zeile addiert, multipliziert mit (–1).

Als Ergebnis elementarer Transformationen wird eine Zeichenfolge der Form erhalten, Wo λ ≠ 0 .Das bedeutet, dass das System inkonsistent ist.Antwort: es gibt keine Lösungen.

Beispiel 4:

Lösung:Schreiben wir die erweiterte Matrix des Systems auf und bringen sie mithilfe elementarer Transformationen in eine schrittweise Form:

Durchgeführte Konvertierungen:

(1). Die erste Zeile, multipliziert mit 2, wurde zur zweiten Zeile hinzugefügt. Die erste Zeile, multipliziert mit 3, wurde zur dritten Zeile hinzugefügt.

Für den zweiten Schritt gibt es keine Einheit und Transformation (2) zielt darauf ab, es zu erhalten.

(2). Die dritte Zeile wurde zur zweiten Zeile addiert und mit –3 multipliziert.

(3). Die zweite und dritte Zeile wurden vertauscht (wir haben die resultierende –1 in den zweiten Schritt verschoben)

(4). Die dritte Zeile wurde zur zweiten Zeile addiert und mit 3 multipliziert.

(5). In den ersten beiden Zeilen wurde das Vorzeichen geändert (multipliziert mit –1), in der dritten Zeile wurde das Vorzeichen durch 14 geteilt.

Umkehren:

(1). Hier sind die Grundvariablen (die sich auf den Schritten befinden) und – freie Variablen (die keinen Schritt bekommen haben).

(2). Lassen Sie uns die Grundvariablen als freie Variablen ausdrücken:

Aus der dritten Gleichung: .

(3). Betrachten Sie die zweite Gleichung:, private Lösungen:

Antwort: Gemeinsame Entscheidung:

Komplexe Zahlen

In diesem Abschnitt stellen wir das Konzept vor komplexe Zahl, halten algebraisch, trigonometrisch Und Exponentialform komplexe Zahl. Wir lernen auch, wie man Operationen mit komplexen Zahlen durchführt: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Potenzierung und Wurzelziehen.

Meistern komplexe Zahlen Es sind keine besonderen Kenntnisse aus dem höheren Mathematikstudium erforderlich und der Stoff ist auch für Schüler zugänglich. Es reicht aus, algebraische Operationen mit „gewöhnlichen“ Zahlen durchführen zu können und sich die Trigonometrie zu merken.

Erinnern wir uns zunächst an die „gewöhnlichen“ Zahlen. In der Mathematik heißen sie Menge reeller Zahlen und werden durch den Buchstaben bezeichnet R, oder R (verdickt). Alle reellen Zahlen liegen auf der bekannten Zahlengeraden:

Die Gesellschaft der reellen Zahlen ist sehr vielfältig – hier gibt es ganze Zahlen, Brüche und irrationale Zahlen. In diesem Fall entspricht jeder Punkt auf der Zahlenachse notwendigerweise einer reellen Zahl.

Beispiel 1. Finden Sie eine allgemeine Lösung und eine bestimmte Lösung des Systems

Lösung Wir machen es mit einem Taschenrechner. Schreiben wir die erweiterten und Hauptmatrizen auf:

Die Hauptmatrix A ist durch eine gestrichelte Linie getrennt. Wir schreiben oben unbekannte Systeme und berücksichtigen dabei die mögliche Neuordnung von Termen in den Gleichungen des Systems. Indem wir den Rang der erweiterten Matrix bestimmen, ermitteln wir gleichzeitig den Rang der Hauptmatrix. In Matrix B sind die erste und zweite Spalte proportional. Von den beiden Proportionalspalten kann nur eine in den Grundmoll fallen, also verschieben wir zum Beispiel die erste Spalte mit dem umgekehrten Vorzeichen über die gepunktete Linie hinaus. Für das System bedeutet dies, Terme von x 1 auf die rechte Seite der Gleichungen zu übertragen.

Reduzieren wir die Matrix auf die Dreiecksform. Wir werden nur mit Zeilen arbeiten, da die Multiplikation einer Matrixzeile mit einer anderen Zahl als Null und deren Addition zu einer anderen Zeile für das System bedeutet, die Gleichung mit derselben Zahl zu multiplizieren und sie mit einer anderen Gleichung zu addieren, was die Lösung der Gleichung nicht ändert System. Wir arbeiten mit der ersten Zeile: Multiplizieren Sie die erste Zeile der Matrix mit (-3) und addieren Sie der Reihe nach zur zweiten und dritten Zeile. Dann multiplizieren Sie die erste Zeile mit (-2) und addieren Sie sie zur vierten.

Die zweite und dritte Linie sind proportional, daher kann eine davon, beispielsweise die zweite, durchgestrichen werden. Dies ist gleichbedeutend mit dem Streichen der zweiten Gleichung des Systems, da sie eine Folge der dritten ist.

Jetzt arbeiten wir mit der zweiten Zeile: Multiplizieren Sie sie mit (-1) und addieren Sie sie zur dritten.

Das mit einer gestrichelten Linie eingekreiste Nebenelement hat die höchste Ordnung (möglicher Nebenelemente) und ist ungleich Null (es ist gleich dem Produkt der Elemente auf der Hauptdiagonale). Daher gehört dieses Nebenelement sowohl zur Hauptmatrix als auch zur erweiterten Matrix rangA = rangB = 3.
Unerheblich ist einfach. Es enthält Koeffizienten für die Unbekannten x 2 , x 3 , x 4 , was bedeutet, dass die Unbekannten x 2 , x 3 , x 4 abhängig und x 1 , x 5 frei sind.
Lassen Sie uns die Matrix transformieren und links nur die Basis Minor übrig lassen (was Punkt 4 des obigen Lösungsalgorithmus entspricht).

Das System mit den Koeffizienten dieser Matrix entspricht dem Originalsystem und hat die Form

Mit der Methode zur Eliminierung von Unbekannten finden wir:
, ,

Wir haben Beziehungen erhalten, die die abhängigen Variablen x 2, x 3, x 4 durch die freien Variablen x 1 und x 5 ausdrücken, d. h. wir haben eine allgemeine Lösung gefunden:

Indem wir den freien Unbekannten beliebige Werte zuweisen, erhalten wir beliebig viele bestimmte Lösungen. Lassen Sie uns zwei spezielle Lösungen finden:
1) Sei x 1 = x 5 = 0, dann x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) Setzen Sie x 1 = 1, x 5 = -1, dann x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7.
Somit wurden zwei Lösungen gefunden: (0,1,-3,3,0) – eine Lösung, (1,4,-7,7,-1) – eine andere Lösung.

Beispiel 2. Erkunden Sie die Kompatibilität und finden Sie eine allgemeine und eine bestimmte Lösung für das System

Lösung. Ordnen wir die erste und zweite Gleichung so um, dass sie eins in der ersten Gleichung haben, und schreiben wir die Matrix B.

Wir erhalten Nullen in der vierten Spalte, indem wir mit der ersten Zeile operieren:

Jetzt erhalten wir die Nullen in der dritten Spalte mithilfe der zweiten Zeile:

Die dritte und vierte Zeile sind proportional, sodass eine davon gestrichen werden kann, ohne dass sich die Rangfolge ändert:
Multiplizieren Sie die dritte Zeile mit (–2) und addieren Sie sie zur vierten:

Wir sehen, dass die Ränge der Haupt- und erweiterten Matrizen gleich 4 sind und der Rang mit der Anzahl der Unbekannten übereinstimmt, daher hat das System eine eindeutige Lösung:
;
x 4 = 10- 3x 1 – 3x 2 – 2x 3 = 11.

Beispiel 3. Untersuchen Sie das System auf Kompatibilität und finden Sie gegebenenfalls eine Lösung.

Lösung. Wir erstellen eine erweiterte Matrix des Systems.

Wir ordnen die ersten beiden Gleichungen so um, dass in der oberen linken Ecke eine 1 steht:
Multiplizieren Sie die erste Zeile mit (-1) und addieren Sie sie zur dritten:

Multiplizieren Sie die zweite Zeile mit (-2) und addieren Sie sie zur dritten:

Das System ist inkonsistent, da wir in der Hauptmatrix eine aus Nullen bestehende Zeile erhalten haben, die beim Finden des Rangs durchgestrichen wird, in der erweiterten Matrix jedoch die letzte Zeile erhalten bleibt, d. h. r B > r A .

Übung. Untersuchen Sie dieses Gleichungssystem auf Kompatibilität und lösen Sie es mithilfe der Matrizenrechnung.
Lösung

Beispiel. Beweisen Sie die Kompatibilität des linearen Gleichungssystems und lösen Sie es auf zwei Arten: 1) nach der Gauß-Methode; 2) Cramers Methode. (Geben Sie die Antwort in der Form ein: x1,x2,x3)
Lösung :doc :doc :xls
Antwort: 2,-1,3.

Beispiel. Gegeben ist ein lineares Gleichungssystem. Beweisen Sie die Kompatibilität. Finden Sie eine allgemeine Lösung des Systems und eine bestimmte Lösung.
Lösung
Antwort: x 3 = - 1 + x 4 + x 5 ; x 2 = 1 - x 4 ; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5

Übung. Finden Sie die allgemeinen und besonderen Lösungen jedes Systems.
Lösung. Wir untersuchen dieses System mit dem Kronecker-Capelli-Theorem.
Schreiben wir die erweiterten und Hauptmatrizen auf:

1	1	14	0	2	0
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Hier ist Matrix A fett hervorgehoben.
Reduzieren wir die Matrix auf die Dreiecksform. Wir werden nur mit Zeilen arbeiten, da die Multiplikation einer Matrixzeile mit einer anderen Zahl als Null und deren Addition zu einer anderen Zeile für das System bedeutet, die Gleichung mit derselben Zahl zu multiplizieren und sie mit einer anderen Gleichung zu addieren, was die Lösung der Gleichung nicht ändert System.
Lassen Sie uns die 1. Zeile mit (3) multiplizieren. Multiplizieren Sie die 2. Zeile mit (-1). Fügen wir die 2. Zeile zur 1. hinzu:

0	-1	40	-3	6	-1
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1

Lassen Sie uns die 2. Zeile mit (2) multiplizieren. Multiplizieren Sie die 3. Zeile mit (-3). Fügen wir die 3. Zeile zur 2. hinzu:

0	-1	40	-3	6	-1
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

Multiplizieren Sie die 2. Zeile mit (-1). Fügen wir die 2. Zeile zur 1. hinzu:

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

Die ausgewählte Nebenmatrix hat die höchste Ordnung (möglicher Nebenmatrix) und ist ungleich Null (sie ist gleich dem Produkt der Elemente auf der umgekehrten Diagonale), und diese Nebenmatrix gehört sowohl zur Hauptmatrix als auch zur erweiterten Matrix, daher rang( A) = rang(B) = 3 Da der Rang der Hauptmatrix gleich dem Rang der erweiterten Matrix ist, dann Das System ist kollaborativ.
Dieses Nebenfach ist grundlegend. Es enthält Koeffizienten für die Unbekannten x 1 , x 2 , x 3 , was bedeutet, dass die Unbekannten x 1 , x 2 , x 3 abhängig (grundlegend) und x 4 , x 5 frei sind.
Lassen Sie uns die Matrix transformieren und links nur die Basis-Moll übrig lassen.

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-1	3	-6
2	3	-3	1	-3	2
x 1	x 2	x 3		x 4	x 5

Das System mit den Koeffizienten dieser Matrix entspricht dem Originalsystem und hat die Form:
27x 3 =
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4 - 6x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
Mit der Methode zur Eliminierung von Unbekannten finden wir:
Wir haben Beziehungen erhalten, die die abhängigen Variablen x 1 , x 2 , x 3 durch die freien Variablen x 4 , x 5 ausdrücken, das heißt, wir haben sie gefunden gemeinsame Entscheidung:
x 3 = 0
x 2 = 1 - 3x 4 + 6x 5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
unsicher, Weil hat mehr als eine Lösung.

Übung. Lösen Sie das Gleichungssystem.
Antwort:x 2 = 2 - 1,67x 3 + 0,67x 4
x 1 = 5 - 3,67 x 3 + 0,67 x 4
Indem wir den freien Unbekannten beliebige Werte zuweisen, erhalten wir beliebig viele bestimmte Lösungen. Das System ist unsicher

Höhere Mathematik » Systeme linearer algebraischer Gleichungen » Grundbegriffe. Matrix-Aufzeichnungsformular.

System linearer algebraischer Gleichungen. Grundbegriffe. Matrix-Aufzeichnungsformular.

1. Definition eines Systems linearer algebraischer Gleichungen. Systemlösung. Klassifizierung von Systemen.
2. Matrixform zum Schreiben von Systemen linearer algebraischer Gleichungen.

Definition eines Systems linearer algebraischer Gleichungen. Systemlösung. Klassifizierung von Systemen.

Unter System linearer algebraischer Gleichungen(SLAE) implizieren ein System

\begin(equation) \left \( \begin(aligned) & a_(11)x_1+a_(12)x_2+a_(13)x_3+\ldots+a_(1n)x_n=b_1;\\ & a_(21) x_1+a_(22)x_2+a_(23)x_3+\ldots+a_(2n)x_n=b_2;\\ & \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ ldots \\ & a_(m1)x_1+a_(m2)x_2+a_(m3)x_3+\ldots+a_(mn)x_n=b_m. \end(aligned) \right. \end(equation)

Die Parameter $a_(ij)$ ($i=\overline(1,m)$, $j=\overline(1,n)$) werden aufgerufen Koeffizienten, und $b_i$ ($i=\overline(1,m)$) - kostenlose Mitglieder SLAU. Um die Anzahl der Gleichungen und Unbekannten hervorzuheben, sagt man manchmal „$m\times n$ System linearer Gleichungen“, was darauf hinweist, dass das SLAE $m$ Gleichungen und $n$ Unbekannte enthält.

Wenn alle freien Terme $b_i=0$ ($i=\overline(1,m)$) sind, dann wird die SLAE aufgerufen homogen. Wenn es unter den freien Mitgliedern mindestens ein Mitglied ungleich Null gibt, wird die SLAE aufgerufen heterogen.

Durch Lösung von SLAU(1) Rufen Sie eine beliebige geordnete Sammlung von Zahlen ($\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_n$) auf, wenn die Elemente dieser Sammlung in einer bestimmten Reihenfolge die Unbekannten $x_1,x_2,\ldots,x_n$ ersetzen, Kehren Sie jede Gleichung des SLAE in Identität um.

Für jedes homogene SLAE gibt es mindestens eine Lösung: null(in anderer Terminologie - trivial), d.h. $x_1=x_2=\ldots=x_n=0$.

Wenn SLAE (1) mindestens eine Lösung hat, wird es aufgerufen gemeinsam, wenn es keine Lösungen gibt - nicht gelenkig. Wenn ein gemeinsames SLAE genau eine Lösung hat, wird es aufgerufen bestimmt, wenn es eine unendliche Menge von Lösungen gibt - unsicher.

Beispiel Nr. 1

Betrachten wir die SLAE

\begin(equation) \left \( \begin(aligned) & 3x_1-4x_2+x_3+7x_4-x_5=11;\\ & 2x_1+10x_4-3x_5=-65;\\ & 3x_2+19x_3+8x_4-6x_5= 0. \\ \end (ausgerichtet) \right. \end(Gleichung)

Wir haben ein System linearer algebraischer Gleichungen, das $3$-Gleichungen und $5$-Unbekannte enthält: $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$. Wir können sagen, dass ein System von $3\times 5$ linearen Gleichungen gegeben ist.

Die Koeffizienten des Systems (2) sind die Zahlen vor den Unbekannten. In der ersten Gleichung lauten diese Zahlen beispielsweise: $3,-4,1,7,-1$. Freie Mitglieder des Systems werden durch die Zahlen $11,-65,0$ repräsentiert. Da es unter den freien Termen mindestens einen gibt, der ungleich Null ist, ist SLAE (2) heterogen.

Die geordnete Sammlung $(4;-11;5;-7;1)$ ist eine Lösung für dieses SLAE. Dies lässt sich leicht überprüfen, wenn Sie $x_1=4; x_2=-11; x_3=5; x_4=-7; x_5=1$ in die Gleichungen des gegebenen Systems:

\begin(aligned) & 3x_1-4x_2+x_3+7x_4-x_5=3\cdot4-4\cdot(-11)+5+7\cdot(-7)-1=11;\\ & 2x_1+10x_4-3x_5 =2\cdot 4+10\cdot (-7)-3\cdot 1=-65;\\ & 3x_2+19x_3+8x_4-6x_5=3\cdot (-11)+19\cdot 5+8\cdot ( -7)-6\cdot 1=0. \\ \end(ausgerichtet)

Natürlich stellt sich die Frage, ob die bewährte Lösung die einzige ist. Auf die Frage nach der Anzahl der SLAE-Lösungen wird im entsprechenden Thema eingegangen.

Beispiel Nr. 2

Betrachten wir die SLAE

\begin(equation) \left \( \begin(aligned) & 4x_1+2x_2-x_3=0;\\ & 10x_1-x_2=0;\\ & 5x_2+4x_3=0; \\ & 3x_1-x_3=0; \\ & 14x_1+25x_2+5x_3=0. \end(aligned) \right. \end(equation)

System (3) ist ein SLAE mit $5$-Gleichungen und $3$-Unbekannten: $x_1,x_2,x_3$. Da alle freien Terme dieses Systems gleich Null sind, ist der SLAE (3) homogen. Es ist leicht zu überprüfen, ob die Sammlung $(0;0;0)$ eine Lösung für das gegebene SLAE ist. Wenn wir beispielsweise $x_1=0, x_2=0,x_3=0$ in die erste Gleichung von System (3) einsetzen, erhalten wir die korrekte Gleichung: $4x_1+2x_2-x_3=4\cdot 0+2\cdot 0 -0=0$ . Die Substitution in andere Gleichungen erfolgt auf ähnliche Weise.

Matrixform zum Schreiben von Systemen linearer algebraischer Gleichungen.

Jedem SLAE können mehrere Matrizen zugeordnet werden; Darüber hinaus kann der SLAE selbst in Form einer Matrixgleichung geschrieben werden. Berücksichtigen Sie für SLAE (1) die folgenden Matrizen:

Die Matrix $A$ heißt Matrix des Systems. Die Elemente dieser Matrix stellen die Koeffizienten eines bestimmten SLAE dar.

Die Matrix $\widetilde(A)$ wird aufgerufen erweitertes Matrixsystem. Es wird erhalten, indem der Systemmatrix eine Spalte hinzugefügt wird, die freie Terme $b_1,b_2,…,b_m$ enthält. Normalerweise wird diese Spalte der Übersichtlichkeit halber durch eine vertikale Linie getrennt.

Die Spaltenmatrix $B$ wird aufgerufen Matrix freier Mitglieder, und die Spaltenmatrix $X$ ist Matrix der Unbekannten.

Unter Verwendung der oben eingeführten Notation kann SLAE (1) in Form einer Matrixgleichung geschrieben werden: $A\cdot X=B$.

Notiz

Die dem System zugeordneten Matrizen können geschrieben werden verschiedene Wege: Alles hängt von der Reihenfolge der Variablen und Gleichungen des betrachteten SLAE ab. Aber in jedem Fall muss die Reihenfolge der Unbekannten in jeder Gleichung eines gegebenen SLAE gleich sein (siehe Beispiel Nr. 4).

Beispiel Nr. 3

Schreiben Sie SLAE $ \left \( \begin(aligned) & 2x_1+3x_2-5x_3+x_4=-5;\\ & 4x_1-x_3=0;\\ & 14x_2+8x_3+x_4=-11. \end(aligned) \right.$ in Matrixform und geben Sie die erweiterte Matrix des Systems an.

Wir haben vier Unbekannte, die in jeder Gleichung in dieser Reihenfolge erscheinen: $x_1,x_2,x_3,x_4$. Die Unbekanntenmatrix lautet: $\left(\begin(array) (c) x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end(array) \right)$.

Die freien Terme dieses Systems werden durch die Zahlen $-5,0,-11$ ausgedrückt, daher hat die Matrix der freien Terme die Form: $B=\left(\begin(array) (c) -5 \\ 0 \\ -11 \end(array )\right)$.

Fahren wir mit der Zusammenstellung der Systemmatrix fort. Die erste Zeile dieser Matrix enthält die Koeffizienten der ersten Gleichung: $2,3,-5,1$.

In die zweite Zeile schreiben wir die Koeffizienten der zweiten Gleichung: $4,0,-1,0$. Dabei ist zu berücksichtigen, dass die Systemkoeffizienten für die Variablen $x_2$ und $x_4$ in der zweiten Gleichung gleich Null sind (da diese Variablen in der zweiten Gleichung fehlen).

In die dritte Zeile der Systemmatrix schreiben wir die Koeffizienten der dritten Gleichung: $0,14,8,1$. In diesem Fall berücksichtigen wir, dass der Koeffizient der Variablen $x_1$ gleich Null ist (diese Variable fehlt in der dritten Gleichung). Die Systemmatrix sieht folgendermaßen aus:

$$ A=\left(\begin(array) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \end(array) \right) $$

Um die Beziehung zwischen der Systemmatrix und dem System selbst klarer zu machen, schreibe ich neben das gegebene SLAE und seine Systemmatrix:

In Matrixform hat das gegebene SLAE die Form $A\cdot X=B$. Im erweiterten Eintrag:

$$ \left(\begin(array) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \end(array) \right) \cdot \left(\begin(array) (c) x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end(array) \right) = \left(\begin(array) (c) -5 \\ 0 \\ -11 \end(array) \right) $$

Schreiben wir die erweiterte Matrix des Systems auf. Dazu wird zur Systemmatrix $ A=\left(\begin(array) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \ end(array ) \right) $ füge die Spalte der freien Terme hinzu (d. h. $-5,0,-11$). Wir erhalten: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (cccc|c) 2 & 3 & -5 & 1 & -5 \\ 4 & 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 14 & 8 & 1 & -11 \end(array) \right) $.

Beispiel Nr. 4

Schreiben Sie das SLAE $ \left \(\begin(aligned) & 3y+4a=17;\\ & 2a+4y+7c=10;\\ & 8c+5y-9a=25; \\ & 5a-c=- 4 .\end(aligned)\right.$ in Matrixform und geben Sie die erweiterte Matrix des Systems an.

Wie Sie sehen können, ist die Reihenfolge der Unbekannten in den Gleichungen dieses SLAE unterschiedlich. In der zweiten Gleichung lautet die Reihenfolge beispielsweise: $a,y,c$, in der dritten Gleichung jedoch: $c,y,a$. Bevor SLAEs in Matrixform geschrieben werden, muss die Reihenfolge der Variablen in allen Gleichungen gleich gemacht werden.

Sie können die Variablen in den Gleichungen eines bestimmten SLAE ordnen verschiedene Wege(Die Anzahl der Möglichkeiten, drei Variablen anzuordnen, beträgt $3!=6$). Ich werde mir zwei Möglichkeiten ansehen, die Unbekannten zu ordnen.

Methode Nr. 1

Lassen Sie uns die folgende Reihenfolge einführen: $c,y,a$. Schreiben wir das System um und ordnen die Unbekannten in der erforderlichen Reihenfolge an: $\left \(\begin(aligned) & 3y+4a=17;\\ & 7c+4y+2a=10;\\ & 8c+5y-9a= 25; \\ & -c+5a=-4.\end(aligned)\right.$

Der Klarheit halber schreibe ich das SLAE in dieser Form: $\left \(\begin(aligned) & 0\cdot c+3\cdot y+4\cdot a=17;\\ & 7\cdot c+4\ cdot y+ 2\cdot a=10;\\ & 8\cdot c+5\cdot y-9\cdot a=25; \\ & -1\cdot c+0\cdot y+5\cdot a=-4 . \ end(aligned)\right.$

Die Systemmatrix hat die Form: $ A=\left(\begin(array) (ccc) 0 & 3 & 4 \\ 7 & 4 & 2\\ 8 & 5 & -9 \\ -1 & 0 & 5 \ end( array)\right)$. Matrix freier Terme: $B=\left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(array) \right)$. Denken Sie beim Schreiben der Unbekanntenmatrix an die Reihenfolge der Unbekannten: $X=\left(\begin(array) (c) c \\ y \\ a \end(array) \right)$. Die Matrixform zum Schreiben des gegebenen SLAE lautet also wie folgt: $A\cdot X=B$. Erweitert:

$$ \left(\begin(array) (ccc) 0 & 3 & 4 \\ 7 & 4 & 2\\ 8 & 5 & -9 \\ -1 & 0 & 5 \end(array) \right) \ cdot \left(\begin(array) (c) c \\ y \\ a \end(array) \right) = \left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(array) \right) $$

Die erweiterte Matrix des Systems ist: $\left(\begin(array) (ccc|c) 0 & 3 & 4 & 17 \\ 7 & 4 & 2 & 10\\ 8 & 5 & -9 & 25 \\ -1 & 0 & 5 & -4 \end(array) \right) $.

Methode Nr. 2

Lassen Sie uns die folgende Reihenfolge einführen: $a,c,y$. Schreiben wir das System um und ordnen die Unbekannten in der erforderlichen Reihenfolge an: $\left \( \begin(aligned) & 4a+3y=17;\\ & 2a+7c+4y=10;\\ & -9a+8c+5y =25; \ \&5a-c=-4.\end(aligned)\right.$

Der Klarheit halber schreibe ich das SLAE in dieser Form: $\left \( \begin(aligned) & 4\cdot a+0\cdot c+3\cdot y=17;\\ & 2\cdot a+7\ cdot c+ 4\cdot y=10;\\ & -9\cdot a+8\cdot c+5\cdot y=25; \\ & 5\cdot c-1\cdot c+0\cdot y=-4 . \ end(aligned)\right.$

Die Systemmatrix hat die Form: $ A=\left(\begin(array) (ccc) 4 & 0 & 3 \\ 2 & 7 & 4\\ -9 & 8 & 5 \\ 5 & -1 & 0 \ end( array) \right)$. Matrix freier Terme: $B=\left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(array) \right)$. Denken Sie beim Schreiben der Unbekanntenmatrix an die Reihenfolge der Unbekannten: $X=\left(\begin(array) (c) a \\ c \\ y \end(array) \right)$. Die Matrixform zum Schreiben des gegebenen SLAE lautet also wie folgt: $A\cdot X=B$. Erweitert:

$$ \left(\begin(array) (ccc) 4 & 0 & 3 \\ 2 & 7 & 4\\ -9 & 8 & 5 \\ 5 & -1 & 0 \end(array) \right) \ cdot \left(\begin(array) (c) a \\ c \\ y \end(array) \right) = \left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(array) \right) $$

Die erweiterte Matrix des Systems ist: $\left(\begin(array) (ccc|c) 4 & 0 & 3 & 17 \\ 2 & 7 & 4 & 10\\ -9 & 8 & 5 & 25 \\ 5 & ​​- 1 & 0 & -4 \end(array) \right) $.

Wie Sie sehen, entspricht die Änderung der Reihenfolge der Unbekannten einer Neuanordnung der Spalten der Systemmatrix. Doch wie auch immer diese Reihenfolge der Anordnung der Unbekannten aussehen mag, sie muss in allen Gleichungen eines gegebenen SLAE übereinstimmen.

Lineare Gleichungen

Lineare Gleichungen- ein relativ einfaches mathematisches Thema, das häufig in Algebra-Aufgaben vorkommt.

Systeme linearer algebraischer Gleichungen: Grundkonzepte, Typen

Lassen Sie uns herausfinden, was es ist und wie lineare Gleichungen gelöst werden.

Allgemein, Lineargleichung ist eine Gleichung der Form ax + c = 0, wobei a und c beliebige Zahlen oder Koeffizienten sind und x eine unbekannte Zahl ist.

Eine lineare Gleichung wäre beispielsweise:

Lineare Gleichungen lösen.

Wie löst man lineare Gleichungen?

Das Lösen linearer Gleichungen ist überhaupt nicht schwierig. Verwenden Sie dazu eine mathematische Technik wie z Identitätstransformation. Lassen Sie uns herausfinden, was es ist.

Ein Beispiel für eine lineare Gleichung und ihre Lösung.

Sei ax + c = 10, wobei a = 4, c = 2.

Somit erhalten wir die Gleichung 4x + 2 = 10.

Um es einfacher und schneller zu lösen, verwenden wir die erste Methode der Identitätstransformation – das heißt, wir verschieben alle Zahlen auf die rechte Seite der Gleichung und belassen das unbekannte 4x auf der linken Seite.

Es wird sich herausstellen:

Somit handelt es sich bei der Gleichung um ein sehr einfaches Problem für Anfänger. Es bleibt nur noch die zweite Methode der identischen Transformation zu verwenden – x auf der linken Seite der Gleichung zu belassen und die Zahlen auf die rechte Seite zu verschieben. Wir bekommen:

Untersuchung:

4x + 2 = 10, wobei x = 2.

Die Antwort ist richtig.

Lineares Gleichungsdiagramm.

Bei der Lösung linearer Gleichungen in zwei Variablen wird häufig auch die grafische Methode verwendet. Tatsache ist, dass eine Gleichung der Form ax + y + c = 0 in der Regel viele mögliche Lösungen hat, da viele Zahlen an die Stelle der Variablen passen und die Gleichung in allen Fällen wahr bleibt.

Um die Aufgabe zu vereinfachen, wird daher eine lineare Gleichung aufgetragen.

Um es zu erstellen, reicht es aus, ein Paar variabler Werte zu nehmen – und sie mit Punkten auf der Koordinatenebene zu markieren und eine gerade Linie durch sie zu zeichnen. Alle Punkte auf dieser Linie sind Varianten der Variablen in unserer Gleichung.

Ausdrücke, Ausdrucksumwandlung

Vorgehensweise zur Durchführung von Aktionen, Regeln, Beispiele.

Numerische, alphabetische Ausdrücke und Ausdrücke mit Variablen in ihrer Notation können verschiedene Vorzeichen enthalten Rechenoperationen. Beim Transformieren von Ausdrücken und Berechnen der Werte von Ausdrücken werden Aktionen in einer bestimmten Reihenfolge ausgeführt, mit anderen Worten, Sie müssen sie beachten Reihenfolge der Aktionen.

In diesem Artikel werden wir herausfinden, welche Aktionen zuerst und welche danach ausgeführt werden sollten. Beginnen wir mit den einfachsten Fällen, wenn der Ausdruck nur Zahlen oder Variablen enthält, die durch Plus-, Minus-, Multiplikations- und Divisionszeichen verbunden sind. Als nächstes erklären wir, welche Reihenfolge der Aktionen in Ausdrücken mit Klammern eingehalten werden sollte. Schauen wir uns abschließend die Reihenfolge an, in der Aktionen in Ausdrücken ausgeführt werden, die Potenzen, Wurzeln und andere Funktionen enthalten.

Zuerst Multiplikation und Division, dann Addition und Subtraktion

Die Schule gibt Folgendes bekannt eine Regel, die die Reihenfolge bestimmt, in der Aktionen in Ausdrücken ohne Klammern ausgeführt werden:

• Aktionen werden in der Reihenfolge von links nach rechts ausgeführt,
• Darüber hinaus werden zuerst Multiplikation und Division durchgeführt, dann Addition und Subtraktion.

Die angegebene Regel wird ganz natürlich wahrgenommen. Das Ausführen von Aktionen in der Reihenfolge von links nach rechts erklärt sich aus der Tatsache, dass es bei uns üblich ist, Aufzeichnungen von links nach rechts zu führen. Und die Tatsache, dass Multiplikation und Division vor Addition und Subtraktion durchgeführt werden, erklärt sich aus der Bedeutung, die diese Aktionen haben.

Sehen wir uns einige Beispiele für die Anwendung dieser Regel an. Als Beispiele nehmen wir die einfachsten numerische Ausdrücke, um sich nicht von Berechnungen ablenken zu lassen, sondern sich gezielt auf die Reihenfolge der Aktionen zu konzentrieren.

Befolgen Sie die Schritte 7–3+6.

Der ursprüngliche Ausdruck enthält keine Klammern und keine Multiplikation oder Division. Deshalb sollten wir alle Aktionen in der Reihenfolge von links nach rechts ausführen, das heißt, zuerst subtrahieren wir 3 von 7, wir erhalten 4, danach addieren wir 6 zur resultierenden Differenz von 4, wir erhalten 10.

Kurz gesagt kann die Lösung wie folgt geschrieben werden: 7−3+6=4+6=10.

Geben Sie die Reihenfolge der Aktionen im Ausdruck 6:2·8:3 an.

Um die Frage des Problems zu beantworten, wenden wir uns der Regel zu, die die Reihenfolge der Ausführung von Aktionen in Ausdrücken ohne Klammern angibt. Der ursprüngliche Ausdruck enthält nur die Operationen Multiplikation und Division und muss gemäß der Regel in der Reihenfolge von links nach rechts ausgeführt werden.

Zuerst dividieren wir 6 durch 2, multiplizieren diesen Quotienten mit 8 und dividieren schließlich das Ergebnis durch 3.

Grundlegendes Konzept. Systeme linearer Gleichungen

Berechnen Sie den Wert des Ausdrucks 17−5·6:3−2+4:2.

Lassen Sie uns zunächst festlegen, in welcher Reihenfolge die Aktionen im ursprünglichen Ausdruck ausgeführt werden sollen. Es enthält sowohl Multiplikation und Division als auch Addition und Subtraktion.

Zuerst müssen Sie von links nach rechts Multiplikation und Division durchführen. Also multiplizieren wir 5 mit 6, wir erhalten 30, wir dividieren diese Zahl durch 3, wir erhalten 10. Jetzt dividieren wir 4 durch 2, wir erhalten 2. Wir ersetzen den gefundenen Wert 10 in den ursprünglichen Ausdruck anstelle von 5 6:3, und statt 4:2 – dem Wert 2, haben wir 17−5·6:3−2+4:2=17−10−2+2.

Der resultierende Ausdruck enthält keine Multiplikation und Division mehr, daher müssen die verbleibenden Aktionen in der Reihenfolge von links nach rechts ausgeführt werden: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7.

17−5·6:3−2+4:2=7.

Um bei der Berechnung des Wertes eines Ausdrucks die Reihenfolge der ausgeführten Aktionen nicht zu verwechseln, ist es zunächst zweckmäßig, über den Aktionszeichen Zahlen zu platzieren, die der Reihenfolge entsprechen, in der sie ausgeführt werden. Für das vorherige Beispiel würde es so aussehen: .

Bei der Arbeit mit Buchstabenausdrücken sollte die gleiche Reihenfolge der Operationen eingehalten werden – zuerst Multiplikation und Division, dann Addition und Subtraktion.

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Aktionen der ersten und zweiten Stufe

In einigen Mathematiklehrbüchern gibt es eine Einteilung der Rechenoperationen in Operationen der ersten und zweiten Stufe. Lassen Sie uns das herausfinden.

In diesem Sinne wird die Regel aus dem vorherigen Absatz, die die Reihenfolge der Ausführung von Aktionen bestimmt, wie folgt geschrieben: Wenn der Ausdruck keine Klammern enthält, werden in der Reihenfolge von links nach rechts die Aktionen der zweiten Stufe (Multiplikation) aufgeführt und Division) werden zuerst ausgeführt, dann die Aktionen der ersten Stufe (Addition und Subtraktion).

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Reihenfolge arithmetischer Operationen in Ausdrücken mit Klammern

Ausdrücke enthalten häufig Klammern, um die Reihenfolge anzugeben, in der Aktionen ausgeführt werden. In diesem Fall eine Regel, die die Reihenfolge der Ausführung von Aktionen in Ausdrücken mit Klammern angibt ist wie folgt formuliert: Zuerst werden die in Klammern stehenden Aktionen ausgeführt, außerdem werden Multiplikation und Division in der Reihenfolge von links nach rechts ausgeführt, dann Addition und Subtraktion.

Daher werden die Ausdrücke in Klammern als Bestandteile des ursprünglichen Ausdrucks betrachtet und behalten die uns bereits bekannte Reihenfolge der Aktionen bei. Schauen wir uns zur besseren Übersicht die Lösungen zu den Beispielen an.

Befolgen Sie diese Schritte 5+(7−2·3)·(6−4):2.

Der Ausdruck enthält Klammern, also führen wir zunächst die Aktionen in den in diesen Klammern eingeschlossenen Ausdrücken aus. Beginnen wir mit dem Ausdruck 7−2·3. Darin müssen Sie zuerst eine Multiplikation und erst dann eine Subtraktion durchführen, wir haben 7−2·3=7−6=1. Kommen wir zum zweiten Ausdruck in den Klammern 6−4. Hier gibt es nur eine Aktion – Subtraktion, wir führen sie 6−4 = 2 durch.

Wir setzen die erhaltenen Werte in den ursprünglichen Ausdruck ein: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2. Im resultierenden Ausdruck führen wir zuerst eine Multiplikation und Division von links nach rechts durch, dann eine Subtraktion, wir erhalten 5+1·2:2=5+2:2=5+1=6. An diesem Punkt sind alle Aktionen abgeschlossen, wir haben uns an die folgende Reihenfolge ihrer Umsetzung gehalten: 5+(7−2·3)·(6−4):2.

Schreiben wir es auf kurze Lösung: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2=5+1=6.

5+(7−2·3)·(6−4):2=6.

Es kommt vor, dass ein Ausdruck Klammern in Klammern enthält. Davor müssen Sie keine Angst haben, Sie müssen lediglich die angegebene Regel für die Ausführung von Aktionen in Ausdrücken mit Klammern konsequent anwenden. Lassen Sie uns die Lösung des Beispiels zeigen.

Führen Sie die Operationen im Ausdruck 4+(3+1+4·(2+3)) aus.

Hierbei handelt es sich um einen Klammerausdruck, was bedeutet, dass die Ausführung von Aktionen mit dem Klammerausdruck beginnen muss, also mit 3+1+4·(2+3).

Dieser Ausdruck enthält auch Klammern, daher müssen Sie zuerst die darin enthaltenen Aktionen ausführen. Machen wir das: 2+3=5. Wenn wir den gefundenen Wert ersetzen, erhalten wir 3+1+4·5. In diesem Ausdruck führen wir zuerst eine Multiplikation und dann eine Addition durch, wir haben 3+1+4·5=3+1+20=24. Der Anfangswert hat nach dem Ersetzen dieses Werts die Form 4+24, und es müssen nur noch die Aktionen ausgeführt werden: 4+24=28.

4+(3+1+4·(2+3))=28.

Wenn ein Ausdruck Klammern innerhalb von Klammern enthält, ist es im Allgemeinen oft praktisch, Aktionen auszuführen, die mit den inneren Klammern beginnen und zu den äußeren übergehen.

Nehmen wir zum Beispiel an, wir müssen die Aktionen im Ausdruck (4+(4+(4−6:2))−1)−1 ausführen. Zuerst führen wir die Aktionen in den inneren Klammern aus, da 4−6:2=4−3=1, danach nimmt der ursprüngliche Ausdruck die Form (4+(4+1)−1)−1 an. Wir führen die Aktion erneut in den inneren Klammern aus, da 4+1=5 ist, kommen wir zu dem folgenden Ausdruck (4+5−1)−1. Wir führen erneut die in Klammern stehenden Aktionen aus: 4+5−1=8 und erhalten die Differenz 8−1, die gleich 7 ist.

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Die Reihenfolge der Operationen in Ausdrücken mit Wurzeln, Potenzen, Logarithmen und anderen Funktionen

Wenn der Ausdruck Potenzen, Wurzeln, Logarithmen, Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens sowie andere Funktionen enthält, werden ihre Werte berechnet, bevor andere Aktionen ausgeführt werden, und es gelten die Regeln aus den vorherigen Absätzen, die die Reihenfolge der Aktionen festlegen ebenfalls berücksichtigt. Mit anderen Worten: Die aufgelisteten Dinge können grob gesagt als in Klammern eingeschlossen betrachtet werden, und wir wissen, dass die Aktionen in Klammern zuerst ausgeführt werden.

Schauen wir uns die Lösungen zu den Beispielen an.

Führen Sie die Operationen im Ausdruck (3+1)·2+6 2:3−7 aus.

Dieser Ausdruck enthält die Potenz von 6 2, sein Wert muss berechnet werden, bevor andere Aktionen ausgeführt werden. Also führen wir die Potenzierung durch: 6 2 =36. Wenn wir diesen Wert in den ursprünglichen Ausdruck einsetzen, wird er die Form (3+1)·2+36:3−7 annehmen.

Dann ist alles klar: Wir führen die Aktionen in Klammern aus, danach bleibt ein Ausdruck ohne Klammern übrig, in dem wir in der Reihenfolge von links nach rechts zuerst Multiplikation und Division und dann Addition und Subtraktion durchführen. Wir haben (3+1)·2+36:3−7=4·2+36:3−7=8+12−7=13.

(3+1)·2+6 2:3−7=13.

Andere, darunter mehr komplexe Beispiele Das Ausführen von Aktionen in Ausdrücken mit Wurzeln, Potenzen usw. erfahren Sie im Artikel Berechnen der Werte von Ausdrücken.

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Aktionen der ersten Stufe Addition und Subtraktion werden aufgerufen, und Multiplikation und Division werden aufgerufen Aktionen der zweiten Stufe.

• Mathematik: Lehrbuch für die 5. Klasse. Allgemeinbildung Institutionen / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. – 21. Aufl., gelöscht. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 Seiten: Abb. ISBN 5-346-00699-0.

Schreiben Sie das System linearer algebraischer Gleichungen in allgemeiner Form auf

Wie nennt man die Lösung eines SLAE?

Die Lösung eines Gleichungssystems ist eine Menge von n Zahlen,

Beim Einsetzen in das System wird jede Gleichung zu einer Identität.

Welches System wird als Gelenk (inkompatibel) bezeichnet?

Ein Gleichungssystem heißt konsistent, wenn es mindestens eine Lösung hat.

Ein System heißt inkonsistent, wenn es keine Lösungen hat.

Welches System heißt definitiv (unbestimmt)?

Ein konsistentes System heißt definit, wenn es eine eindeutige Lösung hat.

Ein konsistentes System heißt unsicher, wenn es mehr als eine Lösung hat.

Matrixform zum Schreiben eines Gleichungssystems

Rang des Vektorsystems

Der Rang eines Vektorsystems wird als maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren bezeichnet.

Matrixrang und Methoden, um ihn zu finden

Matrixrang- die höchste Ordnung der Minderjährigen dieser Matrix, deren Determinante von Null verschieden ist.

Die erste Methode, die Kantenmethode, ist wie folgt:

Wenn alle Minderjährigen 1. Ordnung sind, d.h. Matrixelemente gleich Null sind, dann ist r=0.

Wenn mindestens einer der Nebenwerte 1. Ordnung ungleich Null ist und alle Nebenwerte 2. Ordnung gleich Null sind, dann ist r=1.

Wenn das Nebenfach 2. Ordnung von Null verschieden ist, studieren wir die Nebenfächer 3. Ordnung. Auf diese Weise finden wir den Minor k-ter Ordnung und prüfen, ob die Minor k+1. Ordnung gleich Null sind.

Wenn alle Minderjährigen k+1. Ordnung gleich Null sind, dann ist der Rang der Matrix gleich der Zahl k. Solche Minderjährigen k+1. Ordnung werden normalerweise durch „Edging“ des Molls k. Ordnung gefunden.

Die zweite Methode zur Bestimmung des Rangs einer Matrix besteht darin, elementare Transformationen der Matrix anzuwenden, wenn sie in die Diagonalform gebracht wird. Der Rang einer solchen Matrix ist gleich der Anzahl der Diagonalelemente ungleich Null.

Allgemeine Lösung eines inhomogenen linearen Gleichungssystems, seine Eigenschaften.

Eigentum 1. Die Summe jeder Lösung eines linearen Gleichungssystems und jeder Lösung des entsprechenden homogenen Systems ist eine Lösung des linearen Gleichungssystems.

Eigentum 2.

Systeme linearer Gleichungen: Grundkonzepte

Die Differenz zweier beliebiger Lösungen eines inhomogenen Systems linearer Gleichungen ist eine Lösung des entsprechenden homogenen Systems.

Gauß-Methode zur Lösung von SLAEs

Folge:

1) Eine erweiterte Matrix des Gleichungssystems wird erstellt

2) Mithilfe elementarer Transformationen wird die Matrix auf eine schrittweise Form reduziert

3) Der Rang der erweiterten Matrix des Systems und der Rang der Systemmatrix werden bestimmt und ein Kompatibilitäts- oder Inkompatibilitätspakt des Systems geschlossen

4) Bei Kompatibilität wird das äquivalente Gleichungssystem geschrieben

5) Die Lösung des Systems ist gefunden. Die Hauptvariablen werden durch free ausgedrückt

Kronecker-Capelli-Theorem

Kronecker-Capelli-Theorem- Kompatibilitätskriterium für ein System linearer algebraischer Gleichungen:

Ein System linearer algebraischer Gleichungen ist genau dann konsistent, wenn der Rang seiner Hauptmatrix gleich dem Rang seiner erweiterten Matrix ist, und das System hat eine eindeutige Lösung, wenn der Rang gleich der Anzahl der Unbekannten ist, und an unendlich viele Lösungen, wenn der Rang kleiner ist als die Anzahl der Unbekannten.

Damit ein lineares System konsistent ist, ist es notwendig und ausreichend, dass der Rang der erweiterten Matrix dieses Systems gleich dem Rang seiner Hauptmatrix ist.

Wann gibt es für ein System keine Lösung, wann gibt es eine einzige Lösung oder gibt es viele Lösungen?

Wenn die Anzahl der Gleichungen eines Systems gleich der Anzahl der unbekannten Variablen ist und die Determinante seiner Hauptmatrix ungleich Null ist, dann haben solche Gleichungssysteme eine eindeutige Lösung, im Falle eines homogenen Systems alle unbekannte Variablen sind gleich Null.

Ein System linearer Gleichungen, das mindestens eine Lösung hat, heißt simultan. Ansonsten, d.h. Wenn das System keine Lösungen hat, heißt es inkonsistent.

Lineare Gleichungen heißen kompatibel, wenn sie mindestens eine Lösung haben, und inkonsistent, wenn es keine Lösungen gibt. In Beispiel 14 ist das System konsistent, die Spalte ist seine Lösung:

Diese Lösung kann ohne Matrizen geschrieben werden: x = 2, y = 1.

Wir nennen ein Gleichungssystem unbestimmt, wenn es mehr als eine Lösung hat, und definitiv, wenn es nur eine Lösung gibt.

Beispiel 15. Das System ist unsicher. Zum Beispiel ... sind seine Lösungen. Der Leser kann viele andere Lösungen für dieses System finden.

Formeln, die die Koordinaten von Vektoren in der alten und neuen Basis verbinden

Lassen Sie uns zunächst lernen, wie man lineare Gleichungssysteme in einem bestimmten Fall löst. Wir nennen ein Gleichungssystem AX = B Cramer, wenn seine Hauptmatrix A quadratisch und nicht entartet ist. Mit anderen Worten: Im Cramer-System stimmt die Anzahl der Unbekannten mit der Anzahl der Gleichungen und |A| überein = 0.

Satz 6 (Cramer-Regel). Das Cramer-System linearer Gleichungen hat eine einzigartige Lösung, die durch die Formeln gegeben ist:

wobei Δ = |A| ist die Determinante der Hauptmatrix, Δi ist die Determinante, die man aus A erhält, indem man die i-te Spalte durch eine Spalte mit freien Termen ersetzt.

Wir werden den Beweis für n = 3 durchführen, da im allgemeinen Fall die Argumentation ähnlich ist.

Wir haben also das Cramer-System:

Nehmen wir zunächst an, dass eine Lösung für das System existiert, also vorhanden ist

Lassen Sie uns den ersten multiplizieren. Gleichheit auf dem algebraischen Komplement zum Element aii, die zweite Gleichheit auf A2i, die dritte auf A3i und addiere die resultierenden Gleichheiten:

System linearer Gleichungen ~ Lösung des Systems ~ Konsistente und inkompatible Systeme ~ Homogenes System ~ Kompatibilität eines homogenen Systems ~ Rang der Systemmatrix ~ Bedingung für nichttriviale Kompatibilität ~ Grundlegendes Lösungssystem. Allgemeine Lösung ~ Untersuchung eines homogenen Systems

Betrachten Sie das System M lineare algebraische Gleichungen bezüglich N Unbekannt
x 1 , x 2 , …, x n :

Durch Entscheidung System heißt Menge N unbekannte Werte

x 1 =x’ 1, x 2 =x’ 2, …, x n =x’ n,

Bei der Substitution werden alle Gleichungen des Systems zu Identitäten.

Ein System linearer Gleichungen kann in Matrixform geschrieben werden:

Wo A- Systemmatrix, B- rechter Teil, X- die gewünschte Lösung, A p - erweiterte Matrix Systeme:

.

Ein System, das mindestens eine Lösung hat, heißt gemeinsam; ein System, das keine einzige Lösung hat - unvereinbar.

Ein homogenes System linearer Gleichungen ist ein System, dessen rechte Seite gleich Null ist:

Matrixansicht eines homogenen Systems: Ax=0.

Ein homogenes System ist immer konsistent, da jedes homogene lineare System mindestens eine Lösung hat:

x 1 =0, x 2 =0, …, x n =0.

Wenn ein homogenes System eine eindeutige Lösung hat, dann ist diese eindeutige Lösung Null und das System heißt trivial gefügt. Wenn ein homogenes System mehr als eine Lösung hat, gibt es darunter Lösungen ungleich Null, und in diesem Fall wird das System aufgerufen nicht trivial verbunden.

Es ist bewiesen, dass wann m=n für nicht triviale Systemkompatibilität notwendig und ausreichend so dass die Determinante der Systemmatrix gleich Null ist.

BEISPIEL 1. Nichttriviale Kompatibilität eines homogenen Systems linearer Gleichungen mit einer quadratischen Matrix.

Indem wir den Gaußschen Eliminierungsalgorithmus auf die Systemmatrix anwenden, reduzieren wir die Systemmatrix auf eine schrittweise Form

.

Nummer R Nicht-Null-Zeilen in der Staffelform einer Matrix werden aufgerufen Matrixrang, bezeichnen
r=rg(A) oder r=Rg(A).

Die folgende Aussage ist wahr.

System linearer algebraischer Gleichungen

Damit ein homogenes System nicht trivial konsistent ist, ist es notwendig und ausreichend, dass der Rang R Die Matrix des Systems war kleiner als die Anzahl der Unbekannten N.

BEISPIEL 2. Nichttriviale Kompatibilität eines homogenen Systems aus drei linearen Gleichungen mit vier Unbekannten.

Wenn ein homogenes System nicht trivial konsistent ist, dann hat es unendlich viele Lösungen, und eine Linearkombination beliebiger Lösungen des Systems ist auch seine Lösung.
Es ist bewiesen, dass man aus der unendlichen Menge von Lösungen eines homogenen Systems genau herausgreifen kann nr linear unabhängige Lösungen.
Gesamtheit nr werden linear unabhängige Lösungen eines homogenen Systems genannt grundlegendes Lösungssystem. Jede Lösung des Systems wird linear durch das Fundamentalsystem ausgedrückt. Also, wenn der Rang R Matrizen A homogenes lineares System Ax=0 weniger Unbekannte N und Vektoren
e 1 , e 2 , …, e n-r bilden sein grundlegendes Lösungssystem ( Ae i =0, i=1,2, …, n-r), dann jede Lösung X Systeme Ax=0 kann in das Formular geschrieben werden

x=c 1 e 1 + c 2 e 2 + … + c n-r e n-r ,

Wo c 1 , c 2 , …, c n-r- beliebige Konstanten. Der schriftliche Ausdruck heißt allgemeine Entscheidung homogenes System .

Forschung

Ein homogenes System bedeutet, festzustellen, ob es nicht trivial konsistent ist, und wenn ja, dann das grundlegende Lösungssystem zu finden und einen Ausdruck für die allgemeine Lösung des Systems aufzuschreiben.

Lassen Sie uns ein homogenes System mit der Gaußschen Methode untersuchen.

Matrix des untersuchten homogenen Systems, dessen Rang ist R< n .

Eine solche Matrix wird durch Gaußsche Eliminierung auf die Stufenform reduziert

.

Das entsprechende Äquivalentsystem hat die Form

Von hier aus ist es einfach, Ausdrücke für Variablen zu erhalten x 1 , x 2 , …, x r durch x r+1 , x r+2 , …, x n. Variablen
x 1 , x 2 , …, x r angerufen Grundvariablen und die Variablen x r+1 , x r+2 , …, x n - freie Variablen.

Wenn wir die freien Variablen auf die rechte Seite verschieben, erhalten wir die Formeln

welche die allgemeine Lösung des Systems bestimmen.

Setzen wir nacheinander die Werte der freien Variablen gleich

und berechnen Sie die entsprechenden Werte der Basisvariablen. Erhalten nr Lösungen sind linear unabhängig und bilden daher ein grundlegendes Lösungssystem des untersuchten homogenen Systems:

Untersuchung eines homogenen Systems auf Konsistenz mit der Gaußschen Methode.

Das System heißt gemeinsam, oder lösbar, wenn es mindestens eine Lösung gibt. Das System heißt unvereinbar, oder unlösbar, wenn es keine Lösungen gibt.

Definitiver, unbestimmter SLAU.

Wenn ein SLAE eine Lösung hat, und zwar eine eindeutige, dann wird es aufgerufen bestimmt und wenn die Lösung nicht eindeutig ist, dann unsicher.

MATRIXGLEICHUNGEN

Matrizen ermöglichen es, ein System linearer Gleichungen kurz aufzuschreiben. Gegeben sei ein System aus 3 Gleichungen mit drei Unbekannten:

Betrachten Sie die Systemmatrix und Matrizenspalten mit unbekannten und freien Begriffen

Lasst uns die Arbeit finden

diese. Als Ergebnis des Produkts erhalten wir die linken Seiten der Gleichungen dieses Systems. Dann kann dieses System unter Verwendung der Definition der Matrixgleichheit in der Form geschrieben werden

oder kürzer A∙X=B.

Hier sind die Matrizen A Und B bekannt sind, und die Matrix X Unbekannt. Es ist notwendig, es zu finden, weil... Seine Elemente sind die Lösung für dieses System. Diese Gleichung heißt Matrixgleichung.

Die Matrixdeterminante sei von Null verschieden | A| ≠ 0. Dann ist die Matrixgleichung gelöst auf die folgende Weise. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung links mit der Matrix A-1, Umkehrung der Matrix A: . Weil das A -1 A = E Und E∙X = X, dann erhalten wir eine Lösung der Matrixgleichung in der Form X = A -1 B .

Beachten Sie das seitdem inverse Matrix kann nur für quadratische Matrizen gefunden werden, dann kann die Matrixmethode nur solche Systeme lösen, in denen die Anzahl der Gleichungen stimmt mit der Anzahl der Unbekannten überein.

Cramers Formeln

Cramers Methode besteht im sequentiellen Finden Hauptdeterminante des Systems, d.h. Determinante der Matrix A: D = det (a i j) und n Hilfsdeterminanten D i (i= ), die aus der Determinante D erhalten werden, indem die i-te Spalte durch eine Spalte mit freien Termen ersetzt wird.

Cramers Formeln sehen wie folgt aus: D × x i = D i (i = ).

Daraus folgt die Cramer-Regel, die eine erschöpfende Antwort auf die Frage nach der Kompatibilität des Systems gibt: Wenn die Hauptdeterminante des Systems von Null verschieden ist, dann hat das System eine eindeutige Lösung, bestimmt durch die Formeln: x i = D i / D.

Wenn die Hauptdeterminante des Systems D und alle Hilfsdeterminanten D i = 0 (i= ), dann hat das System unendlich viele Lösungen. Wenn die Hauptdeterminante des Systems D = 0 ist und mindestens eine Hilfsdeterminante von Null verschieden ist, dann ist das System inkonsistent.

Satz (Cramer-Regel): Wenn die Determinante des Systems Δ ≠ 0 ist, dann hat das betrachtete System genau eine Lösung und

Beweis: Betrachten Sie also ein System aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten. Multiplizieren wir die erste Gleichung des Systems mit dem algebraischen Komplement Eine 11 Element eine 11, 2. Gleichung – weiter Ein 21 und 3. – am A 31:

Fügen wir diese Gleichungen hinzu:

Schauen wir uns die einzelnen Klammern und die rechte Seite dieser Gleichung an. Nach dem Satz über die Erweiterung der Determinante in Elemente der 1. Spalte.

Ebenso lässt sich zeigen, dass und .

Schließlich ist das leicht zu erkennen

Somit erhalten wir die Gleichheit: . Somit, .

Die Gleichungen und werden auf ähnliche Weise abgeleitet, woraus die Aussage des Satzes folgt.

Kronecker-Capelli-Theorem.

Ein System linearer Gleichungen ist genau dann konsistent, wenn der Rang der Matrix des Systems gleich dem Rang der erweiterten Matrix ist.

Nachweisen: Es gliedert sich in zwei Phasen.

1. Lassen Sie das System eine Lösung haben. Zeigen wir das.

Lassen Sie eine Reihe von Zahlen ist eine Lösung für das System. Bezeichnen wir mit der ten Spalte der Matrix, . Dann ist die Spalte der Dummy-Terme eine lineare Kombination der Spalten der Matrix. Lassen . Tun wir mal so . Dann vorbei . Wählen wir im Grundmoll. Er hat Ordnung. Die Spalte der freien Terme muss durch dieses Nebenfach verlaufen, andernfalls ist es das Basis-Nebenfach der Matrix. Die Spalte der Dummy-Terme im Nebenfach ist eine lineare Kombination der Spalten der Matrix. Aufgrund der Eigenschaften der Determinante ist wo die Determinante, die man aus der Nebenform erhält, indem man die Spalte der freien Terme durch die Spalte ersetzt. Wenn die Spalte durch das kleine M verläuft, gibt es in , zwei identische Spalten und daher . Wenn die Spalte den Minor nicht durchlaufen hat, unterscheidet sie sich vom Minor der Ordnung r+1 der Matrix nur in der Reihenfolge der Spalten. Seit damals. Dies widerspricht also der Definition eines Basis-Moll. Dies bedeutet, dass die Annahme, dass , falsch ist.

2. Lass . Zeigen wir, dass das System eine Lösung hat. Da ist die Basis-Moll der Matrix die Basis-Moll der Matrix. Lassen Sie die Säulen durch das Moll verlaufen . Dann ist nach dem Satz über die Basis Minor in einer Matrix die Spalte der freien Terme eine Linearkombination der angegebenen Spalten:

(1)

Setzen wir , , , , und setzen wir die verbleibenden Unbekannten gleich Null. Dann erhalten wir mit diesen Werten

Aufgrund der Gleichheit (1) . Die letzte Gleichheit bedeutet, dass die Menge der Zahlen ist eine Lösung für das System. Die Existenz einer Lösung ist nachgewiesen.

In dem oben besprochenen System , und das System ist kooperativ. Im System , und ist das System inkonsistent.

Hinweis: Obwohl das Kronecker-Capelli-Theorem es ermöglicht, die Konsistenz eines Systems zu bestimmen, wird es recht selten verwendet, hauptsächlich in theoretische Forschung. Der Grund dafür ist, dass die Berechnungen zur Ermittlung des Rangs einer Matrix im Grunde dieselben sind wie die Berechnungen zur Ermittlung der Lösung des Systems. Daher suchen sie normalerweise nach einer Lösung für das System, anstatt nach und zu suchen. Wenn wir es finden können, stellen wir fest, dass das System konsistent ist und erhalten gleichzeitig seine Lösung. Wenn keine Lösung gefunden werden kann, schließen wir daraus, dass das System inkonsistent ist.

Algorithmus zum Finden von Lösungen für ein beliebiges System linearer Gleichungen (Gauss-Methode)

Gegeben sei ein lineares Gleichungssystem mit Unbekannten. Es ist erforderlich, seine allgemeine Lösung zu finden, ob sie kompatibel ist, oder ihre Inkompatibilität festzustellen. Die in diesem Abschnitt vorgestellte Methode ähnelt der Methode zur Berechnung der Determinante und der Methode zur Bestimmung des Rangs einer Matrix. Der vorgeschlagene Algorithmus heißt Gaußsche Methode oder durch die Methode des sequentiellen Ausschlusses von Unbekannten.

Schreiben wir die erweiterte Matrix des Systems auf

Nennen wir die folgenden Operationen mit Matrizen Elementaroperationen:

1. Neuordnung der Linien;

2. Multiplizieren einer Zeichenfolge mit einer Zahl ungleich Null;

3. Hinzufügen einer Zeichenfolge zu einer anderen Zeichenfolge, multipliziert mit einer Zahl.

Beachten Sie, dass Sie beim Lösen eines Gleichungssystems im Gegensatz zur Berechnung der Determinante und zur Ermittlung des Rangs nicht mit Spalten arbeiten können. Wenn wir mithilfe der durch die Durchführung einer Elementaroperation erhaltenen Matrix das Gleichungssystem wiederherstellen, dann neues System wird dem Original entsprechen.

Das Ziel des Algorithmus besteht darin, durch Anwenden einer Folge elementarer Operationen auf die Matrix sicherzustellen, dass jede Zeile, außer vielleicht der ersten, mit Nullen beginnt und die Anzahl der Nullen vor dem ersten Nicht-Null-Element in jeder nachfolgenden Zeile beträgt größer als im Vorgänger.

Der Algorithmusschritt ist wie folgt. Suchen Sie die erste Spalte ungleich Null in der Matrix. Dies sei eine Spalte mit der Nummer . Wir finden darin ein von Null verschiedenes Element und tauschen die Zeile mit diesem Element mit der ersten Zeile aus. Um keine zusätzliche Notation hinzuzufügen, gehen wir davon aus, dass eine solche Zeilenänderung in der Matrix bereits vorgenommen wurde. Dann addieren wir zur zweiten Zeile den ersten, multipliziert mit der Zahl, zur dritten Zeile addieren wir den ersten, multipliziert mit der Zahl usw. Als Ergebnis erhalten wir die Matrix

(Die führenden Nullspalten fehlen normalerweise.)

Wenn die Matrix eine Zeile mit der Nummer k enthält, in der alle Elemente gleich Null sind, und , dann stoppen wir die Ausführung des Algorithmus und kommen zu dem Schluss, dass das System inkonsistent ist. Wenn wir das Gleichungssystem aus der erweiterten Matrix wiederherstellen, erhalten wir tatsächlich, dass die Gleichung die Form haben wird

Keine Zahlenmenge erfüllt diese Gleichung. .

Die Matrix kann in der Form geschrieben werden

Bezogen auf die Matrix führen wir den beschriebenen Schritt des Algorithmus durch. Wir erhalten die Matrix

Wo , . Diese Matrix kann wiederum geschrieben werden als

und wenden Sie den oben beschriebenen Algorithmusschritt erneut auf die Matrix an.

Der Prozess stoppt, wenn nach der Ausführung des nächsten Schritts die neue reduzierte Matrix nur noch aus Nullen besteht oder wenn alle Zeilen erschöpft sind. Beachten Sie, dass die Schlussfolgerung, dass das System nicht kompatibel ist, den Prozess früher hätte stoppen können.

Wenn wir die Matrix nicht reduziert hätten, hätten wir am Ende eine Matrix der Form erhalten

Als nächstes wird die sogenannte Umkehrung der Gaußschen Methode durchgeführt. Anhand der Matrix stellen wir ein Gleichungssystem auf. Auf der linken Seite belassen wir Unbekannte mit Zahlen, die den ersten Nicht-Null-Elementen in jeder Zeile entsprechen. Beachte das . Wir verschieben die verbleibenden Unbekannten auf die rechte Seite. Betrachtet man die Unbekannten auf der rechten Seite als bestimmte feste Größen, ist es einfach, die Unbekannten auf der linken Seite durch sie auszudrücken.

Indem wir nun den Unbekannten auf der rechten Seite beliebige Werte zuweisen und die Werte der Variablen auf der linken Seite berechnen, finden wir verschiedene Lösungen für das ursprüngliche System Ax=b. Um die allgemeine Lösung aufzuschreiben, müssen Sie die Unbekannten auf der rechten Seite in einer bestimmten Reihenfolge mit Buchstaben bezeichnen , einschließlich der Unbekannten, die aufgrund von Nullkoeffizienten nicht explizit auf der rechten Seite ausgeschrieben werden, und dann kann die Spalte der Unbekannten als Spalte geschrieben werden, in der jedes Element eine lineare Kombination beliebiger Größen ist (insbesondere nur ein beliebiger Wert). Dieser Eintrag stellt die allgemeine Lösung des Systems dar.

Wenn das System homogen war, erhalten wir die allgemeine Lösung des homogenen Systems. Die Koeffizienten für , die in jedem Element der allgemeinen Lösungsspalte entnommen werden, bilden die erste Lösung aus dem grundlegenden Lösungssystem, die Koeffizienten für - die zweite Lösung usw.

Methode 2: Das grundlegende Lösungssystem eines homogenen Systems kann auf andere Weise erhalten werden. Dazu muss einer nach rechts verschobenen Variablen der Wert 1 und dem Rest Nullen zugewiesen werden. Nachdem wir die Werte der Variablen auf der linken Seite berechnet haben, erhalten wir eine Lösung aus dem Fundamentalsystem. Indem wir einer anderen Variablen auf der rechten Seite den Wert 1 und dem Rest Nullen zuweisen, erhalten wir die zweite Lösung aus dem Fundamentalsystem usw.

Definition: Das System wird gemeinsam aufgerufen th, wenn es mindestens eine Lösung hat, und inkonsistent – ​​andernfalls, wenn das System keine Lösungen hat. Die Frage, ob ein System eine Lösung hat oder nicht, hängt nicht nur mit dem Verhältnis der Anzahl der Gleichungen zur Anzahl der Unbekannten zusammen. Zum Beispiel ein System aus drei Gleichungen mit zwei Unbekannten

hat eine Lösung und sogar unendlich viele Lösungen, aber ein System aus zwei Gleichungen mit drei Unbekannten.

……. … ……

A m 1 x 1 + … + a mn x n = 0

Dieses System ist immer konsistent, da es eine triviale Lösung x 1 =...=x n =0 hat

Für die Existenz nichttrivialer Lösungen ist es notwendig und ausreichend zu erfüllen

Bedingungen r = r(A)< n , что равносильно условию det(A)=0, когда матрица А – квадратная.

Th Die Lösungsmenge des SLAE bildet einen linearen Raum der Dimension (n-r). Dies bedeutet, dass das Produkt seiner Lösung durch eine Zahl sowie die Summe und Linearkombination einer endlichen Anzahl seiner Lösungen Lösungen für dieses System sind. Der lineare Lösungsraum eines beliebigen SLAE ist ein Unterraum des Raums Rn.

Jede Menge von (n-r) linear unabhängigen Lösungen eines SLAE (das eine Basis im Lösungsraum darstellt) wird aufgerufen grundlegende Lösungsmenge (FSR).

Seien x 1 ,…, x r die grundlegenden Unbekannten, x r +1 ,…, x n – freie Unbekannte. Geben wir den freien Variablen der Reihe nach folgende Werte:

……. … ……

A m 1 x 1 + … + a mn x n = 0

Bildet einen linearen Raum S (Lösungsraum), der ein Unterraum in R n ist (n ist die Anzahl der Unbekannten) und dims=k=n-r, wobei r der Rang des Systems ist. Die Basis im Lösungsraum (x (1) ,…, x (k)) heißt fundamentales Lösungssystem und Die allgemeine Lösung hat die Form:

X=c 1 x (1) + … + c k x (k), c (1) ,…, c (k) ? R